ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Se designa con el nombre de viga a todo elemento que forma parte de una estructura y cuya longitud es considerablemente mayor que sus dimensiones transversales. Las vigas se consideran como estructuras planas y se supondrán sometidas a cargas que actúan en dirección perpendicular a su eje mayor. Estas cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal de la viga. Las cargas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones. El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. La fuerza de cortante o esfuerzo cortante es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de una viga. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante. Las deformaciones debidas a los esfuerzos cortantes, no son ni alargamientos ni acortamientos, sino deformaciones angulares.
En el siguiente trabajo se presenta el estudio de este esfuerzo cortante transversal en vigas y en patines de vigas, al igual que se explicara el centro de cortante, flujo cortante y el alabeo de secciones planas
ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS
La fuerza cortante esta inseparablemente unida a un cambio del momento flexionante en secciones adyacentes de una viga. Entonces si una fuerza cortante y un momento flexionante están presentes en una sección de una viga, un momento flexionante diferente existiría en una sección adyacente, aunque la fuerza cortante permanezca constante. Esto conduce al establecimiento de los esfuerzos cortante sobre los planos longitudinales imaginarios que son paralelos al eje del miembro. Entonces, como en un punto existen esfuerzos cortantes iguales sobre planos mutuamente perpendiculares, quedaran determinados los esfuerzos cortantes cuya dirección coincide con la fuerza cortante en una sección.
La ecuación mostrada significa que si la fuerza cortante V está actuando en una sección, habrá un cambio en el momento flexionante M de una sección adyacente. La diferencia entre los momentos flexionantes de secciones adyacentes es igual a V dx.
Si ninguna fuerza cortante está presente, ningún cambio ocurriría en el cambio flexionante. Alternativamente, la razón de cambio del momento a lo largo de una viga es igual a la fuerza cortante.
En la figura (a) vemos dos secciones cualquiera como la A y la B tomadas entre las fuerzas aplicadas P, ahí el momento flexionante es el mismo. Ninguna fuerza cortante actúa en esas secciones. Por otra parte, entre dos secciones cualquiera coma la C y la D cerca del soporte, tiene lugar un cambio en el momento flexionante. En esas secciones actúan fuerzas cortantes, las cuales se muestran actuando sobre un elemento de la viga en la figura (d). Nótese que en esta zona de la viga, el cambio en el momento flexionante en una distancia dx es P dx, ya que la fuerza cortante V es P.
FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE
Pasando dos secciones imaginarias por el elemento paralelamente al eje de la viga, se obtiene un nuevo elemento que corresponde al elemento de un tablón. Una vista lateral de este elemento se muestra en la figura (a), donde el corte longitudinal imaginario se hace a una distancia y1 del eje neutro. El área transversal de la viga se muestra en la figura (c).
Si existen fuerzas cortantes en las secciones por la viga, un momento flexionante diferente actúa en la sección A que en la sección B. Por consiguiente, un mayor empuje o un mayor tirón se desarrollan sobre un lado del área parcial fghj que sobre el otro.
En la figura (b) se pueden ver representados los esfuerzos cortantes numéricamente iguales que actúan sobre los planos mutuamente perpendiculares.
La fórmula del esfuerzo cortante en vigas se obtiene modificando la fórmula del flujo cortante. Ella da el esfuerzo cortante en el corte longitudinal.
Ella da el esfuerzo cortante en el corte longitudinal. V es la fuerza cortante total e I es el momento de inercia de todo el área de la sección transversal respecto al eje neutro. V e I son constantes en una sección de la viga. Q es el momento estático respecto al eje neutro del área parcial de la sección transversal situado a un lado del corte longitudinal imaginario, ў es la distancia del eje neutro de la viga al centroide del área parcial Afghj. Finalmente, t es el ancho del corte longitudinal imaginario, que es usualmente igual al espesor o ancho del miembro. El esfuerzo cortante en cortes longitudinales diferentes toma distintos valores ya que Q y t difieren en tales secciones.
FLUJO CORTANTE
La cantidad dF/dx se designara por q y se le llama flujo de cortante. Como la fuerza se mide en newtons o en libras, el flujo de cortante q tiene unidades de newtons por metros o de libras por pulgadas. Recordando que dM/dx = V, se obtiene la siguiente expresión para el flujo de cortante en vigas:
En esta ecuación, I es el momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro, igual que de la formula de la flexión de la cual se tomo. La fuerza cortante total en la sección se representa por V, y la integral de y dA para determinar Q se extiende solo sobre el área transversal de la viga a un lado del nivel donde q se investiga.
ALABEO DE SECCIONES PLANAS
Una solución basada en la teoría matemática de la elasticidad para una viga rectangular sometida simultáneamente a flexión y cortante muestra que las secciones planas perpendiculares al eje de la viga se alabean (es decir, no permanecen planas).
Sin embargo, con bases en análisis rigurosos, se sabe que el alabeo de las secciones es importante solo para miembros muy cortos y que es tan pequeño para miembros esbeltos que se puede ignorar. Esto puede ser justificado por los estudios de elemento finito bidimensional en los voladizos rectangulares mostrados en las figuras.
Distorsiones por cortante en una viga.
Red deformada para un voladizo corto de una solución por elemento finito.
Solución por elemento finito que muestra la deformación de un voladizo moderadamente largo.
CENTRO DE CORTANTE
En la figura (a), se supone que las paredes de este canal son suficientemente delgadas de manera que los cálculos pueden basarse en las dimensiones de sus líneas centrales. La flexion de este canal es respecto al eje horizontal y aunque esta sección no tiene un eje vertical de simetría, se supondrá que los esfuerzos de flexion están dedos por la formula usual de flexion.
Suponiendo además que este canal resiste una fuerza cortante vertical, el momento flexionante variara de una sección a la otra a lo largo de la viga. Considerando un corte vertical arbitrario c-c en la figura (a), q y pueden encontrarse de la manera usual. A lo largo de los lados horizontales del canal, esas cantidades varían linealmente desde el borde libre, tal como lo hacen a un lado del patín de una viga I. la variación de q y es parabólica a lo largo del alma, y esa variación se muestra en la figura (b) donde están graficadas a lo largo de la línea central de la sección del canal. Considerando el segmento de una viga en voladizo de peso despreciable, como en la figura (d) al cual se le aplica una fuerza vertical P paralela al alma a una distancia e desde la línea central del alma. Para mantener la fuerza P aplicada en equilibrio, debe desarrollarse una fuerza cortante V igual y opuesta en el alma. Igualmente, para no ocasionar una torcedura del canal, el par Pe debe ser igual al par F1h. En la misma sección a lo largo del canal, el momento flexionante PL es resistido por los usuales esfuerzos de flexión. Puede obtenerse ahora una expresión para la distancia e que localiza el plano en que la fuerza P debe aplicarse para no tener torcedura en el canal. Entonces, recordando que F1h =Pe y que P=V, tenemos:
Nótese que la distancia e es independiente de la magnitud de la fuerza aplicada P, así como de su posición a lo largo de la viga. La distancia e es una propiedad de una sección y se mide hacia afuera desde el centro del alma hasta la fuerza aplicada.
EJEMPLO
Dos tablones largos de madera forman una sección T para una viga, como se muestra, en mm, en la figura. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3000 N, encuentre la separación necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700 N.
SOLUCIÓN Como V se conoce y Q se define como el momento estático del área del tablón superior respecto al eje neutro, q puede ser determinada. La distancia yc de la parte superior al eje neutro es:
Una fuerza de 16.5 N/mm debe entonces transferirse de un tablón al otro a lo largo de la longitud de la viga. Sin embargo, de los datos dados, cada clavo es capaz de resistir una fuerza de 700 N; por consiguiente, un
clavo es adecuado para transmitir cortante a lo largo de 700/16.5 = 42mm de la longitud de la viga. Como la fuerza cortante permanece constante en secciones consecutivas de la viga, los clavos deben esparcirse a intervalos de 42mm.
CONCLUSIÓN
Una carga transversal en la viga produce esfuerzos normales y esfuerzos cortantes en la sección transversal de la misma. El esfuerzo cortante en la superficie vertical de un elemento debe estar acompañado por el igual esfuerzo cortante en la superficie horizontal. Esto significa que así como tenemos esfuerzo cortante en una sección transversal, tendremos esfuerzo cortante en una sección longitudinal. P y V son porciones de carga y fuerza cortante respectivamente correspondientes al segmento de la viga. Debido a que los esfuerzos cortantes son linealmente proporcionales al primer momento del área Q y este es máximo con respecto al eje neutro, se podría decir que el esfuerzo máximo se dará en el eje neutro de la sección, pero también es inversamente proporcional al
ancho t, entonces esta conclusión es válida solamente en algunos casos como secciones rectangulares. En las secciones de pared delgada, los esfuerzos cortantes están dirigidos a lo largo de la pared, aunque puede haber también esfuerzos cortantes perpendiculares a la pared pero los valores de estos serán muy pequeños (debido a que el espesor de la pared es mucho menor que su ancho) tato que se acostumbra a despreciarlo. Esfuerzos y deformaciones por flexión Los momentos flectores son causados por la aplicación de cargas normales al eje longitudinal del elemento haciendo que el miembro se flexione. Dependiendo del plano sobre el que actúen las fuerzas, de su inclinación con respecto al eje longitudinal y de su ubicación con respecto al centro de cortante de la sección transversal del elemento, se puede producir sobre este flexión simple, flexión pura, flexión biaxial o flexión asimétrica. Flexión Pura La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un momento flexionante constante. Cuando un elemento se encuentra sometido a flexión pura, los esfuerzos cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un elemento sometido a flexión pura lo constituye la parte de la viga entre las dos cargas puntuales P.
El diagrama de cortantes (V) ilustra que en la parte central de la viga no existen fuerzas cortantes ya que está sometida únicamente a un momento constante igual a P.d . Las partes de longitud d no se encuentran en flexión pura puesto que el momento no es constante y existen fuerzas cortantes. Para poder determinar los esfuerzos producidos en un elemento sometido a flexión, es necesario realizar primero un estudio de las deformaciones normales producidas sobre la sección transversal del elemento.
Flexión Simple En la vida práctica son pocos los elementos que se encuentran sometidos a flexión pura. Por lo general los miembros se encuentran en flexión no uniforme lo que indica que se presentan de forma simultanea momentos flectores y fuerzas cortantes. Por lo tanto se hace necesario saber que sucede con los esfuerzos y las deformaciones cuando se encuentran en esta situación. Para ello se deben conocer las fuerzas internas que actúan sobre los elementos determinándolas para la obtención de los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes que actúan sobre un elemento dado.
Flexión Biaxial La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas que actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su sección
transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente figura sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de simetría. Sobre esta, se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes. Para analizar los esfuerzos causados por flexión se descompone la fuerza P en cada uno de los ejes de simetría de la sección transversal para realizar un análisis de flexión por separado para cada dirección y luego superponerlos para determinar los esfuerzos y deflexiones totales. Flexión Asimétrica: Flexión Asimétrica Pura Para el análisis de esta se debe estudiar el comportamiento de miembros sometidos a flexión pura de sección transversal asimétrica, considerando que "cuando una viga asimétrica se encuentra sometida a flexión pura, el plano del momento flexionante es perpendicular a la superficie neutra sólo si los ejes centroidales de la sección transversal son los ejes principales de la misma". Los ejes principales son aquellos con respecto a los cuales la sección transversal presenta sus momentos de inercia máximo y mínimo, siendo, El producto de inercia para estos es cero. Por tanto si un momento flexionante actúa en uno de los planos principales, este plano será el plano de
flexión y se podrá aplicar la teoría de flexión vistaanteriormente (s=Mc/I).
