− −
Una cuerda está estirada en el eje . Se le desplaza en las direcciones y y z , de modo que el desplazamiento transversal de la cuerda está dado por
− − −− − ( , )=
(
)
,
=
a. Dibuje una gráfica de z contra y para una partícula de la cuerda que está en = 0. La gráfica mostrará la trayectoria trayectoria de la partícula vista por un observador que está en el eje + x y mira hacia = 0. Indique Indique la posición posición de la partícula partícula en t =0, =0, = /2 , = / y = 3 /2 . b. Obtenga el vector velocidad de una partícula que está en una posición arbitraria x en la cuerda. Demuestre que ese vector representa la velocidad tangencial de una partícula que se mueve en un círculo de radio A con velocidad angular , y demuestre que la rapidez de la partícula es constante(es decir, la partícula está en movimiento circular uniforme). c. Obtenga el vector de aceleración de la partícula del inciso b. Demuestre que la aceleración siempre está dirigida hacia el centro del círculo y que su magnitud es = 2 . Explique estos resultados en términos de un movimiento circular uniforme. Suponga ahora que el desplazamiento de la cuerda está dado por ( , )= ( ) , =
Describa en que diferiría el movimiento de una partícula en descrito en el inciso a.
del movimiento
a) Elevando al cuadrado y(x,t) y z(x,t) y luego sumando, su mando, tenemos que:
− − − − 2
,
+
2
,
=
2
2
,
2
(
+
2
+
,
=
2
Es una circunferencia de radio A A
-A
A
2
)
Para x=0 y: t=0:
− − − − 0,0 0,0 =
,
0
=
0 =
0
0=
0 =
0=0
− − − − − − − − − − − −− − − − − − − −− − − − −
t= /2 :
0, /2
, /2
=
=
0
/2
=
0
/2
=
0
/
(
/2) = 0 2
=
t= / :
0, 0, /
=
, /
=
0,3 0,3 /2
=
0
=
=
/
=
=0
0
3 /2
=
3 /2 = 0
0
3 /2
=
3 /2 =
t= 3 /2 :
3, /2
=
b) :Derivando en función de t
,
= ( , )=
=
2
+
2
2
=
2(
Como A y w son constantes, luego = o, si y solo si
=
(
2
)
+
es constante.
/2
=
+
2
)=
− − − − − − − − − − − − − − − −− − − −
=
2
2
(
=0
c) Derivamos Vy y Vz en función de t , = , =
=
+
2
=
2
2
2
(
)
2
2
+
=
2
2
=
Donde “ - ” significa que la aceleración va apuntando hacia adentro del radio. El movimiento de este ultimo gira en sentido opuesto que el del inciso a.
− − − −
a. Explique por qué cualquier onda descrita por una función de la forma ( , )= ( ) se mueve en la dirección + con rapidez . b. Demuestre que ( , ) = ( ) satisface la ecuación de la onda, sea cual fuere la forma funcional de . Para hacerlo, escriba ( , ) = ( ), donde = . Luego para derivar parcialmente ( , ), ), use la regla de la cadena:
( , )
( , )
( )
=
=
( )
=
(
)
=
− −
( c. Una pulsación de onda está descrita por , = son constantes positivas. Calcule la rapidez de esta onda.
)2
, donde
, C y
a) para toda onda de forma y(x,t)=f(x-vt), tenemos que el signo que separa la expresión nos dice hacia dónde dónde va la onda, asi, para y(x,t)=f(u), con u = x+vt, x+vt, tenemos una onda que se propaga hacia la izquierda (-x), con velocidad v para u=x-vt, tenemos una onda que e propaga hacia la derecha (+x), con velocidad v. b) Si tomamos a
− − −− − − − − − − =
entonces:
=
=1
Luego, derivando en cadena tenemos:
2
2
2
=
2
2
2
2
=
2
2
Luego, es una solución a la ecuación de onda. c) de b. tenemos que
( , )
Y
=
( , )
Entonces
(1)
=
(1) (2)
( , )
( , )
(2)
=
2
=
2
=
=
− – ℎℎ − – – − −
Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensada viaja en la dirección + con rapidez . La tensión en la cuerda es y la densidad lineal de masa de la cuerda es . En = 0, la forma forma del pulso pulso está dada por por 0, ( + )/ , ( )/ , 0,
( , 0) 0) =
<
< <0 0< < >
a. Dibuje la pulsación en = 0. b. Determine la función de onda ( , ) en todos los instantes de . c. Calcule la potencia instantánea de la onda. Demuestre que la potencia es cero
excepto cuando < < y que es constantes en este intervalo. Determine el valor de esta potencia constante. a)
h
-L
+L
b) para t diferente de cero tenemos que: y(x,t)=f(x-vt)
− − – – − ℎℎ − − − − − ( , 0) 0) =
( +( ( (
0, ))/ , ))/ , 0,
(
(
)< <( 0<( )>
)<0 )<
c)
−−− ℎ − ℎ – − −– − − − − −− ℎ ℎ − − −− − ℎ ,
,
=
( , )
( , )
=0,
(
)<
,
<
< 0 (3 (3)
=
,
,
0<
=0,
(
<
(4)
)>
2
Podemos ver que tanto para (3) y (4)
,
=
;
a. Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energía cinética por unidad de longitud de la cuerda es
− ∆ ∆∆ ≈ ≪ ,
=
1
2
,
2
=
1
( , )
2
2
Donde es la masa por unidad de longitud. b. Calcule , para una onda senoidal dada por la ecuación: e cuación: ( , )= ( ) (Onda senoidal que que se mueve en la dirección + ). c. También hay energía potencial elástica en la cuerda asociada al trabajo requerido para deformar y estirar la cuerda. Considere un segmento corto de la cuerda en la posición cuya longitud no estirada es . Si despreciamos la (pequeña) curvatura del segmento, su pendiente es ( , )/ )/ . Suponga que el desplazamiento de la cuerda con respecto al equilibrio es pequeño, así que / tiene magnitud mucho menos que 1. Demuestre que la longitud estirada del segmento es aproximadamente 1+
(Sugerencia: use la relación 1 +
1
( , )
2
2
1+
1 2
, válida para
1.)
d. La energía potencial almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la tensión de la cuerda (que actúa a lo largo de la cuerda) para estirar el
∆ − − −− − ∆ ∆
segmento de su longitud no estirada a la longitud calculada en el inciso c. Calcule este trabajo, y demuestre que la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es ,
e. Calcule f.
( , )
2
2 para una onda senoidal dad por la ecuación e cuación :
,
( , )= Demuestre
g. Grafique
=
1
(
) .
,
=
,
( , ),
,
para toda
,
,
y .
en función de
para todo
mismos ejes para las tres curvas. Explique por qué
y
= 0; use use los los
son máximos donde
y es cero y viceversa. h. Demuestre que la potencia instantánea en la onda, dada por la ecuación: ( , )
=
, es igual a la energía total por unidad de longitud
multiplicada por la rapidez de onda lógico.
a.
1
= (
=
2
)
2
/
b.
∆∆ ∆∆∆
c.
=
= =
=
(1/2)
/
2
=
1 2
2
− − − − ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ≈∆ ∆ ∆ ∆ −∆ 1
2 2
2
2
El ancho es
y su altura es
2
2
d.
. Explique por qué este resultado es
+
1
, así que la longitud del pedazo es
2
2
=
1+
,
=
1
2
1+
1 2
1+
2
=
1 2
1 2
2
2
− − −
e.
=
=
f.
1
(
2 2
)
2
2
(
)
g.
h.
− − − − +
=
2
2
2
2
=
2
=
Por la ecuación (15.21), la rapidez instantánea con que una onda transmite energía por una cuerda (potencia instantánea) es
− ,
=
( , )
( , )
Donde
es la tensión.
a. Evalúe , para una onda estacionaria de la forma dada por la ecuación , = . b. Demuestre que, para todos los valores de la potencia media
– transportada por la onda estacionaria es cero. [la ecuación
=
1
2 2
2
no es aplicable en este caso. ¿Sabe por qué?]. c. Para una onda estacionaria dada por la ecuación , = (onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en = 0), dibuje dibuje una una gráfica gráfica que muestre , y el desplazamiento , en función de para = 0, = /4 , = /2 y = 3 /4 . [Una , positiva implica que la energía fluye en la dirección + ; un valor negativo de , implica que la energía fluye en la dirección .] d. La energía cinética por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la rapidez transversal más alta, y la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la pendiente mas empinada (porque ahí es donde la cuerda está más estirada). (Ver ejercicio de desafío 15.81.) Usando estas ideas, analice el flujo de energía a lo largo de la cuerda. a. 1 = , = . = 2 . 2 1 2 2 = ( )= 2 (2 ).
− 4
b. El valor promedio de P es proporcional al promedio de promedio de la función seno es cero. = 0
(2
), ), y el
c. d. Cuando la onda está en su dislocación máxima en todos los puntos, toda la energía es potencial, y se concentra en los nodos. Cuando la onda tiene dislocación cero, toda la energía es cinética, concentrándose en los antinodos. Así, la energía se transfiere de los nodos a los antinodos, cada ciclo.
