1 Enunciado Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios R radios R1 y R y R2 ( R R1 < R < R2), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), d espreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q. 1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada? 2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?
2 Solución 2.1 Carga en cada esfera 2.1.1 Cálculo directo
Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo po tencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra. El potencial El potencial en cada una de las esferas será, en función de su carga
Si las dos esferas están al mismo potencial nos queda
lo que nos dice que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga). Como además la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones
con solución
El potencial en el conjunto es
2.1.2 Empleando un circuito equivalente
La carga en cada esfera también es fácil de calcular empleando un circuito equivalente. Tal como se demuestra en otro problema, problema, cada esfera forma con el infinito un condensador de capacidad
La esfera de mayor radio tiene mayor capacidad, proporcional a él. Al unirlos con el hilo, estos dos condensadores se conectan en paralelo (ya que dos de las placas están unidas por el hilo y las otras dos están también al mismo potencial, el de tierra). La capacidad de la asociación será
y, por tanto, el potencial de las placas cargadas (que son las esferas) es
Una vez que tenemos el potencial, podemos hallar la carga en cada una de las esferas, que corresponde an a las placas positivas de los condensadores.
2.2 Densidad de carga y campo
Tal como se ve en el caso de una sola esfera, esfera, la densidad de carga en la superficie de una esfera cuando no hay más cargas o conductores influyendo sobre ella, es u niforme e igual a
lo cual quiere decir que las densidades de carga en las dos esferas son, teniendo en cuenta que están al mismo potencial.
esto es, que cuanto más pequeña sea la esfera, mayor es su densidad de carga (aunque la carga total sea menor). En términos de la carga total
En cuanto al campo en la superficie, puesto que es proporcional a l a carga superficial, también será más intenso en la esfera de menor radio
Esta es una aplicación de un principio más general, conocido como efecto punta: punta: el campo eléctrico en la superficie de un conductor es más intenso donde el radio de curvatura es más pequeño. pequeño. Este principio se encuentra, por ejemplo, en la base del funcionamiento de los pararrayos.
CAMPOS ELECTROSTÁTICOS
4.1 Dos esferas conductoras de radios 0.10 cm y 0.15 cm tienen cargas eléctricas de 10-7 C y 2 x 10-7 C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga con que queda cada esfera. La carga total es 3 x 10 -7 C; al poner las esferas en contacto, esta carga total se reparte entre ellas de tal manera que ambas esferas queden al mismo potencial. Llamando V a a este potencial final, y a q y Q a las cargas con que finalmente quedan las l as esferas de radios menor y mayor, respectivamente. Podemos decir que y también
igualando estas dos expresiones:
, es decir 0.15 q = 0.10 Q además: q + Q = 3 x 10 -7 C En los últimos dos renglones hay un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; la solución de este sistema de ecuaciones es: q = 1.2 x 10 -7 C Q = 1.8 x 10 -7 C
4.2 Un cilindro hueco largo tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Este cilindro tiene una densidad de carga por unidad de volumen dada por , donde k es es una constante y r es es la distancia al eje. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las tres regiones: a) r < a b) a < r < b c) r > b.
Tomamos como superficie gaussiana un cilindro concéntrico de radio r y longitud L. Como el
es radial, entonces el flujo de a través de la superficie gaussiana es y la ley de Gauss dice:
, de donde
-1De otro lado
, es decir:
-2a) Para r < a la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero y - 1 - da E = 0. Este resultado se introduce en - 2 - y obtenemos V = constante.
b) Para a < r < b la carga encerrada por la superficie gaussiana es ecuación - 1 - da
y la
. Este resultado se introduce en - 2 - así:
, de donde:
c) Para r > b la carga encerrada es . Este resultado se introduce en - 2 - así:
, de donde:
y la ecuación - 1 - da
4.3 Una esfera metálica hueca tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las regiones I, II y III sabiendo que hay una carga q en el centro.
En la región II, por ser metálica, el campo electrostático es cero, y en consecuencia el potencial es constante: - 1 - E II = 0 V II = constante
Para hallar E I tomamos como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r < a. Como se espera que tenga dirección radial, entonces el flujo de gaussiana es
a través de la superficie
y la ley de Gauss dice que
, de donde:
-2Sabemos que
, es decir
, de donde
-3Podemos fácilmente hallar la carga eléctrica que se acumula en la superficie interior del metal, la que tiene radio a. Imaginamos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r < a y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.
Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- y -2- vemos que el flujo es dice que
y utilizando -2- vemos que la carga acumulada es y de signo contrario se acumula en la otra pared:
y la ley de Gauss
. Una carga igual
- 4 - En la pared exterior del metal (la que ti ene radio b) se acumula una carga q. Finalmente utilizaremos la ley de Gauss para hallar E III . Imaginemos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r > b y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.
Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- vemos que el flujo es
y la ley de Gauss dice:
y - 4 - esto permite entonces concluir que
-5-
; e integrando como en - 3 -:
-6- 2 - 3 - 4 - 5 – 6 - es lo que se obtiene si no hubiera metal.
4.4 Considere una esfera de material dieléctrico con susceptibilidad eléctrica . Esta esfera es de radio b y en el centro hay una carga puntual q. Encuentre: a) el campo eléctrico para r > b; b) el campo eléctrico para r > b; c) la carga de polarización en la superficie de la esfera.
r > b
a)
b) c) Para
la polarización es
evaluar en r = b:
Vemos entonces que anterior.
, lo que debe compararse con el enunciado - 4 - de la página
Apliquemos nuestro resultado , es decir
para el vidrio, por ejemplo; para el vidrio se tiene
, entonces
.
4.5 Se coloca una lámina de cuarzo, cuya constante dieléctrica es en un campo eléctrico -1 de 20kV-m . El vector del campo eléctrico forma un ángulo de 45º con las caras superior e inferior y es paralelo a las caras frontal y posterior.
Calcular la densidad de carga en cada una de las caras.
Sabemos que
entonces
, de donde
. De otro lado,
, así:
En las caras frontal y posterior se tiene
perpendicular a
En todas las otras caras
, entonces
hace 45º con
, entonces
.
. 4.6 Calcule la capacitancia de un condensador formado por dos cascarones metálicos esféricos concéntricos, de radios a y b: Suponemos que el cascaron pequeño tiene
carga q y el grande carga
. Deseamos saber la diferencia de voltaje
ya que dividiendo q sobre
se encuentra la capacitancia C .
,
Para encontrar se halla primero E y luego, por integración, se encuentra . Para encontrar el valor E (r ) imaginamos una superficie gaussiana esférica, concéntrica y de radio r tal que a < r < b, y que aparece con trazos punteados en la figura de arriba. El flujo de E a través de la superficie gaussiana es sea que la ley de Gauss dice que
, y la carga encerrada es q, o
, de donde
-1 Ahora,
; integrando se tiene que:
y con - 1 - :
4.7 Considere un condensador formado por dos cascarones cilíndricos, rectos, coaxiales e infinitos, y de radios a y b, como muestra la figura. Considere un trozo de longitud L y halle su capacitancia C .
Suponemos que el cascaron menor se carga con un carga el cascaron grande con ya que
por unidad de longitud, y
. Deseamos saber la diferencia de potencial
,
es la capacitancia.
Para encontrar se halla primero E y luego, integrando, se encuentra . Para encontrar E imaginamos como superficie gaussiana otra superficie cilíndrica coaxial, de longitud L y radio r , tal que a < r < b, y que aparece con trazo punteado en esta figura.
El flujo de a través de la superficie gaussiana es que la ley de Gauss dice que
, de donde
-1 Ahora,
; integrando
y con - 1 - :
y la carga encerrada es
, o sea
Nota 1. Los dos últimos problemas se resuelven siguiendo la misma rutina: SUPONER que las piezas conductoras tienen carga. Encontrar E usando la ley de Gauss. Integrar E para encontrar Dividir carga sobre
.
para encontrar la capacitancia.
Nota 2. La rutina mencionada se basa en SUPONER que las pi ezas conductoras están cargadas, pero la respuesta final, la capacitancia, siempre resuelta independiente de la cantidad de carga que se supone en el literal a) de la Nota 1. La capacitancia es una propiedad que depende de la forma, tamaño y orientación relativa de las pi ezas conductoras, y también depende del dieléctrico utilizado; pero C no dep ende de si el condensador está cargado o no, así como el volumen de una botella no depende de si está llena o vacía. 4.8 Considere un condensador de placas paralelas, cada una con un área de 0.2 m 2 y separadas una distancia 1cm. A este condensador se le aplica una diferencia de potencial V = 3000 voltios hasta que el condensador se carga, después de lo cual se desconecta de la batería y el condensador queda aislado. Luego se llena el condensador con un material dieléctrico de constante desconocida , y se observa que el potencial disminuye a V’ = 1000 voltios. Calcule: a) la capacitancia C antes de rellenar el condensador con un material dieléctrico; b) la carga libre en cada placa, antes y después de rellenar; c) la capacitancia C d después; d) la energía almacenada en el condensador, antes y después; e) la constante .
a)
b) carga libre . Como el condensador está desconectado de la pila durante el proceso de rellenar con material dieléctrico, esta q permanece constante.
c)
d) energía antes =
energía después =
¿a qué se debe el cambio de energía
?
e)
Dividiendo un renglón por el otro se obtiene
a) y c) se obtiene que
. Ahora, usando las respuestas de los literales
, entonces
4.9 Un condensador de placas planas paralelas de área A se llena con tres materiales dieléctricos de constantes capacitancia.
y de espesores d 1, d 2 y d 3, como muestra la figura. Hallar la
Para hallar la capacitancia C suponemos que l as placas se cargan con densidades de carga . Debemos entonces calcular los valores del campo eléctrico E 1, E 2 y E 3 en los tres dieléctricos, y para cada uno de ellos usamos como superficie gaussiana un cilindro tal que una de las bases está dentro de la placa metálica y la otra base está en el respectivo dieléctrico. En la figura mostramos estos tres cilindros; el de la izquierda sirve para calcular E 1, el del centro sirve para calcular E 2 y el de la derecha para E 3.
Calculemos por ejemplo E 2: el flujo del desplazamiento es
, entonces la ley de Gauss dice que
es decir
, de donde obtenemos
. De la misma manera se calculan E 1 y E 3, para obtener
:
-1-
y la carga libre encerrada es
;
;
.
,
y
La caída de potencial en el material k 1 es
; así mismo
y
, y la diferencia de potencial entrelas dos placas conductoras es
:
-2-
Finalmente,
:
-2-
4.10 Para el condensador del problema anterior: a) Calcule la energía total contenida en él. b) Calcule la energía del campo eléctrico en cada uno de los tres materiales dieléctricos. c) Sume las tres contribuciones de la respuesta b) y compare con la respuesta a). a)
b) En el medio k 1 la densidad volumétrica de energía es
; como este material k 1 tiene
volumen Ad 1 entonces la energía del campo eléctrico en el medio k 1 es
; ahora usando - 1 - de la página anterior se tiene:
. Así mismo
y
.
:
c) Finalmente sumamos estas tres contribuciones:
que coincide con la respuesta del literal a). Hemos verificado, pues, que la "energía contenida en un condensador" es la energía del campo eléctrico.
4.11 Se carga a 1000 voltios un condensador de 20 y se desconecta del generador de voltaje. Luego, los terminales de este condensador se conectan a los de otro condensador de que inicialmente se encontraba descargado. Calcular a) la carga eléctrica inicial del sistema, b) la caída de potencial en cada condensador al final del proceso c) las energías inicial y final. Usaremos la siguiente notación: q: carga del sistema, , , V = 1000 voltios, V f = voltaje al final del proceso; E , E f : las energías al comienzo y al final del proceso. a)
: constante
b) Como los dos condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia total del sistema es
:
Al final del proceso los dos condensadores quedan a una distancia de potencial dada por
:
V
que es considerablemente menor que el voltaje inicial V que era 1000 voltios.
c)
En el proceso de conectar un condensador cargado a otro descargado se produce una corriente eléctrica, y esta corriente produce radiación y/o calor en los alambres. La diferencia es la energía de radiación y/o la energía calórica. Pérdidas de estas también ocurren en el proceso mencionado en el problema 4.1.
4.12 Considere el circuito de condensadores que aparecen en la figura y suponga que un voltaje V se aplica entre los puntos a y b. Calcule el voltaje, la carga y la energía en cada condensador.
El circuito es equivalente a:
-1que a su vez equivale a
-2-
Cuando un circuito se compone de condensadores en serie (como en - 1 -), la cantidad de carga en uno cualquiera de los condensadores es igual a la cantidad de carga total del circuito. Con - 1 - vemos que la carga contenida en uno de los condensadores en
serie es , y con - 2 - vemos que la carga total en el circuito es podemos decir entonces que
:
, es decir
y como
tenemos:
Sabemos que carga = capacitancia x voltaje y así calculamos la carga contenida en cada condensador:
Ahora calculamos la energía en cada condensador:
Sumar
para hallar la energía total:
-3La energía total se puede calcular también de otra manera directa; en efecto, sabemos que
y con - 2 -:
que coincide con - 3 - .
Solución del Ejercicio 435:
Fuera de la esfera el potencial es potencial dentro de la esfera (siendo
. Para determinar el )
hace falta adicionar al potencial
un valor numéricamente igual al trabajo realizado por el campo sobre una carga unitaria positiva durante su desplazamiento radial desde
hasta
. Este trabajo
es igual al área sombreada en la fig. 424 (véase el problema 428).
Calculando, obtenemos que
Solución al ejercicio 455:
Supongamos que la batería de los condensadores esté cargada .Entonces, los puntos 1,2 y 3 tendrán el mismo potencial y podemos unirlos entre si .Del mismo modo, podemos unir los puntos 4,5 y 6 (fig.162). Como resultado, recibimos un circuito equivalente al que se muestra en la (fig. 429) .La capacidad de los sectores del circuito es 3C, 6C, 3C.La capacidad total se halla de la formula: =2/3C +1/6C, de donde
=1.2C.
1 Enunciado
Una superficie esférica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interior una distribución de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma
1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora. 3. Halle el potencial eléctrico en el centro de la esfera. 1. A partir del campo eléctrico. 2. Por integración directa a partir de las densidades de carga. 4. Halle la energía electrostática almacenada en el sistema.
2 Campo eléctrico Al haber una superficie conductora a tierra, que funciona como Jaula de Faraday, el problema se desacopla en dos independientes: el exterior de la esfera y el interior de ella.
2.1 En el exterior de la esfera En el exterior del conductor se verifica la ecuación de Laplace, puesto que no hay carga exterior (r > R)
con las condiciones
La solución de la ecuación de Laplace en una región cuando el potencial se anula en todos los puntos de la frontera es simplemente
Dicho en términos físicos, la esfera conductora apantalla la densidad de carga interior, con el resultado de que en el exterior no se percibe campo alguno.
2.2 En el interior de la esfera En el interior, dada la simetría rotacional de la d istribución de carga, la herramienta natural para calcular el campo es la ley de Gauss en forma integral. Por la simetría del sistema, el campo va a ser radial y con módulo dependiente sólo de la distancia al origen
Por ello, si consideramos el flujo del campo a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera conductora
De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo será igual a la carga encerrada en esta superficie esférica, dividida por
La carga encerrada por una esfera de radio r es
Sustituyendo la expresión de ρ(r )
Por tanto el campo eléctrico en el interior de la esfera vale
Reuniendo los dos resultados
3 Carga en la esfera conductora Podemos calcular la carga en la superficie esférica conductora de dos formas: por aplicación del teorema de Faraday o integrando la densidad de carga superficial
3.1 Por el teorema de Faraday Es una consecuencia inmediata de la ley de Gauss. Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie exterior al conductor, tenemos que
Por tanto la carga contenida dentro de esta superficie es nula. Esto quiere decir que la carga almacenada en la superficie conductora es exactamente igual y de signo contrario a la carga total almacenada en el volumen. Esta carga ya la hemos calculado en el apartado anterior. Basta sustituir r por R para obtener la carga total d e volumen
3.2 A partir de la densidad de carga superficial El campo eléctrico es discontinuo en la superficie conductora, ya que en el exterior es nulo, mientras que en el interior no lo es. Esto quiere decir que en la esfera existe una densidad de carga superficial, proporcional al salto en el campo eléctrico
Esta densidad de carga es uniforme, por lo que la carga total es simplemente el producto de esta densidad por el área de la esfera
4 Potencial en el centro de la esfera 4.1 A partir del campo eléctrico Una forma de hallar el potencial eléctrico en el centro de la esfera es integrando a lo largo de un camino que va desde el infinito hasta el centro
Considerando un camino radial, tal que , esta integral se compone de dos tramos: uno por el exterior de la esfera y otro por su interior
4.2 Por integración directa Otra posibilidad es emplear la expresión integral para el potencial eléctrico creado por una distribución de carga
donde hay que recordar que en este caso, además de la distribución de carga de volumen tenemos una carga en la superficie de la esfera conductora. Como sólo deseamos el potencial en el centro de la esfera, volumen es el producto de una integral sobre θ' y radial:
. La integral en el
(que dan un factor 4π) y una integral
2
La integral sobre la superficie simplemente produce un factor 4π R , ya que el integrando no depende ni de θ' ni de
Sumando las dos contribuciones
5 Energía electrostática almacenada La forma más sencilla de calcular la energía ele ctrostática almacenada en el sistema es a partir de la densidad de energía
La integral se extiende a todo el espacio. Sin embargo, dado que el campo exterior es nulo, el cálculo se reduce a una integral en el volumen de la esfera. De nuevo, el integrando depende solo de r , por lo que la integral en las variables angulares da un factor 4π. La integral radial queda
Desarrollando el cuadrado
Capacidad de un condensador esférico
Un condensador esférico está formado por dos superficies conductoras esféricas, concéntricas de radios a y b, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y – Q, respectivamente.
Situamos imaginariamente, una superficie esférica concéntrica de radio r , para determinar el campo eléctrico en las distintas regiones aplicando la ley de Gauss.
Como ya se ha explicado en la página titulada “Modelo atómico de Kelvin_Thomson”, en este problema de simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial y su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica de radio r . El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie cerrada vale
Determinamos la carga q encerrada en dicha superficie esférica, para distintos valores del radio r , aplicamos la ley de Gauss
Para r
Para r>b, la superficie esférica de radio r , contiene una carga, q=+Q-Q=0 , y E =0
En la figura, se representa el módulo del campo E en función de r . La diferencia de potencial entre las dos placas es de radios a y b es
La capacidad de un condensador esférico es
Si el radio del segundo conductor esférico es muy grande b→∞, entonces tenemos la capacidad de un condensador esférico de radio R=a
Suponiendo que la Tierra es un conductor esférico de radio R=6370 km, su capacidad sería
Dos esferas conductoras
Sean dos esferas conductoras de radios R1 y R2 respectivamente, que están inicialmente aisladas una de la otra y cargadas con cargas Q1 y Q2 respectivamente. Los potenciales de las superficies de las dos esferas son, respectivamente
Se ponen en contacto las dos esferas mediante un cable. La carga pasa de una esfera a la otra hasta que sus potenciales se igualan.
En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos q1 y q2
El potencial común V vale
Dos esferas conductoras en un campo eléctrico uniforme Examinamos ahora, el siguiente problema. Dos esferas conductoras del mismo radio R, inicialmente descargadas están unidas mediante un hilo conductor. Se colocan en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme E , paralelo al eje X, tal como se muestra en la figura. El centro de la primera esfera está fijada en el origen y el centro de la segunda se desplaza a una distancia x0. El radio de las esferas es pequeño para que el efecto de las cargas inducidas en sus superficies sea despreciable.
La diferencia de potencial entre las dos esferas es E·x0. Pero como están conectadas por un hilo conductor deberán estar al mismo potencial, pasará carga de la primera a la segunda esfera hasta que sus potenciales se igualen. La primera esfera se carga con una carga -q y la segunda con una carga +q. La diferencia de potencial entre dos esferas de radio R cargadas con cargas +q y – q es
Esta diferencia de potencial debe ser igual a E·x0
Movimiento de la segunda esfera La primera esfera está fija en el origen, la segunda esfera se coloca en la posición inicial x0 y se suelta. Observamos que esta esfera se mueve bajo la acción de dos fuerzas, la que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas.
Cuando la segunda esfera está a una distancia x, la fuerza de atracción entre dos cargas puntuales +q y -q vale
que es constante La fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la segunda esfera cargada con carga +q vale
La ecuación del movimiento de la segunda esfera de masa m es
La solución de esta ecuación diferencial es
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t =0, la posición de la segunda esfera es x0 y su velocidad dx/dt =0.
La posición x y velocidad v de la segunda esfera vale
La velocidad también la podemos obtener a partir de la relación entre el trabajo de las fuerzas que actúan sobre una partícula y la variación de energía cinética.
Sustituyendo x por su expresión en función del tiempo t , podemos comprobar después de hacer algunas operaciones, que se obtiene v en función de t . Ejemplo:
Intensidad del campo eléctrico, E =0.9 Radio de las esferas, R=0.2 Posición inicial, x0=5.0 2 Se ha elegido los valores de la masa m y radio R tal que el parámetro a vale a= E
El tiempo que tarda en llegar a la posición x=15.0 es t =1.97. La velocidad en dicha posición es v=12.67..
Aproximaciones Suponiendo que R es pequeño, el parámetro b es pequeño y por tanto, se puede despreciar la fuerza de atracción entre las esferas frente a la fuerza que ejerce el campo eléctrico externo E .
Actividades Se introduce
El valor del campo E , actuando en la barra de desplazamiento titulada Campo eléctrico. El radio de la esfera se ha fijado en R=0.2 2 El parámetro a se ha fijado de modo que a=E
Se pulsa el botón titulado Nuevo Con el puntero del ratón se arrastra la segunda esfera.
Cuando dicha esfera se acerca a la esfera situada en el origen, la carga pasa de la esfera derecha a la izquierda. La carga de cada esfera disminuye, así lo señala la intensidad del color azul (negativa) y rojo (positiva).
Cuando la esfera se aleja del origen, la carga, representada por puntos de color rojo, pasa de la esfera derecha a la esfera situada en el origen, la carga de cada esfera aumenta, así lo señala la intensidad del color azul (negativa) y rojo (positiva).
Se pulsa el botón titulado Empieza La esfera situada en la posición x0, se mueve bajo la acción de la fuerza que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas. A medida que la segunda esfera se aleja del origen, la carga de cada esfera aumenta. Los datos del tiempo t y la velocidad v aparecen en la parte inferior izquierda del applet, la posición x aparece al lado de la esfera que se mueve.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Cuatro prtículas q1=q, q2=-3q,q3=4q y q4=-2q se encuentran ubicadas en los puntos indicados en la fig.. a) Determine el potencial total en el punto P. b) Determine el trabajo para llevar una partícula q0 desde A hasta B.
Solución a.- El potencial total en el punto P es:
Calculando el potencial para cada partícula tenemos:
Fig.5.9 Problema 1 Sumando tenemos:
b.-Para el cálculo del trabajo utilizamos la ecuación:
El potencial total en A y B es: El trabajo total es: ¿Qué significado tiene el signo negativo? 2)Determine la energía necesaria para colocar cua tro partículas en los vertices de un cuadrado de lado a, como se indica en la fig. .
Solución De acuerdo a la ecuación (5.17), la energía necesaria para colocar las cuatro partículas en el cuadrado es:
Sea Con
Fig.5.10 Problema 2 Sustituyendo todo esto en la expresión anterior, tenemos:
3) Aplicando el concepto de potencial electrico determine el potencial electrico dentro de una esfera de radio a con densidad de carga uniforme( carga por unidad de volumen constante).
Solución
Fig.5.11 Problema 3
El potencial se define como el trabajo para traer una partícula desde el infinito hasta una distancia r con velocidad contante, es decir: Así Donde W1 es la trabajo para traer la partícula desde el infinito hasta la superficie de la esfera, y W2 , es el trabajo para llevar a la partícula desde la superficie hasta el punto r en el interior de la esfera. Calculo del W1
Con
Desarrollando:
Calculo del W2
Con
Desarrollando:
Sumando los dos trabajos y dividiendo entre q0, tenemos:
Del resultado anterior encuentre el campo eléctrico en el interior de la esfera. Utilice la ecuación:
¿Qué opina usted al respecto?
4) Se tiene un anillo de radio a y densidad de carga por unidad de longitud constante. a) Determine el potencial en un punto a lo largo del eje x. b)Si se coloca una partícula q0 en el centro del anillo y se le da un pequeño desplazamiento para separarlo del equilibrio esta se va al infinito del eje x, determine la velocidad en el infinito.
Solución
Fig.5.12 Problema 4 a.- Aplicamos la ecuación (), tenemos:
Integrando:
b.- Para hallar la velocidad en el infinito, aplicamos el principio de la conservación de la energía.
Como la partícula parte del reposo E0=0 y la energía potencial en el infinito es cero. Así.
Introduciendo en la ecuación de la energía tenemos:
5.-Una esferita de masa m y carga positiva q est� suspendida por un hilo aislante de longitud L . Desde una gran distancia se la va acercando lentamente otra esferita con carga positiva Q hasta ocupar la posici�n original de la esferita suspendida. Como resultado la esferita q se ha elevado una distancia h. Calcule el trabajo realizado en el proceso.
Solución
Fig.5.13 Problema 5
La esferita de carga q estará en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: el peso mg, la tensión T y la repulsión eléctrica Fe. La fuerza eléctrica es:
Por la similitud de los triángulos formados, se tiene respectivamente:
y
Combinando estas tres ecuaciones, tenemos:
A esta separación la energía potencial electrostática del sistema es:
Fig.5.14 Problema 5
El trabajo neto para elevar la esferita será la suma de la energía potencial electrostática y la energía potencial gravitacional: Nos queda:
6.- Una varilla delgada aislante de longitud L tiene una densidad de carga uniforme λ. Tómese V = 0 en el infinito. (a) Determine el potencial eléctrico en un pu nto P sobre la mediatriz de la varilla, a una distancia b del eje x. (b) Si la línea de carga fuera infinita. ¿ se podría obtener el potencial a partir de la expresión obtenida en la parte a?
Solución
Fig.5.16 Problema 6 Tomemos un elemento infinitesimal de carga , como
se indica en la figura. Para obtener el potencial en el punto P integramos sobre toda la varilla.
Integrando, obtenemos:
b.-Para la varilla infinita, no se puede usar esta expresión de V. ¿Por qué? Al usar la expresión anterior para hallar el potencial cuando la varilla es infinita, el potencial V resulta infinito y esto físicamente no tiene solución. Esto es un inco nveniente que se presenta en el caso de distribuciones infinitas de cargas, y es consecuencia de haber usado la expresión para el potencial que es válida cuando se le asigna a priori el valor de referencia cero ( V = 0) en r infinito.
7.-Determine el potencial eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga con densidad de carga constante.
Solución
Fig.5.17 Problema 7 Primero calculemos el campo eléctrico por medio de la ley de Gauss:
A partir del campo eléctrico, calcularemos la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados a las distancia a y b de la línea de carga.
Introduciendo el campo E e integrando obtenemos:
En esta expresión si tomamos VB = 0 cuando b tiende al infinito, entonces el potencial en el punto A es infinito, es decir:
Fig.5.18 Problema 7
Por esta razón conviene escoger como referencia V = 0 en un punto arbitrario situado a una distancia b = r 0. Así el potencial a cualquier otra distancia viene dada por:
8.-Un anillo circular tiene una carga Q distribuida uniformemente sobre su Superficie que está comprendida dentro de los radios a y 2a. Un electrón se aproxima en el eje del anillo pasando por el centro A con una rapidez uA. Si el electrón alcanza una posición máxima B a distancia 3a del centro y se devuelve. ¿Con que rapidez había pasado por el centro del anillo?
Solución
Fig.5.19 Problema 8 Primero calculamos el potencial en el eje del disco, para ello utilizamos la ecuación 5.19
Integrando:
Evaluando los potenciales en los puntos z = 0 y z =3a, tenemos:
Aplicando el principio de la conservación de la energía y tomando en cuenta que la velocidad en B es nula se tiene: Desarrollando tenemos:
9.-Una esfera solida de radio interior a y radio e xterior b tiene una carga Q distribuida uniformemente. Determine el potencial en función d e la distancia r desde el centro. a.- a < r < b, b.- r < a
Solución
Fig.5.20 Problema 9 a.-Para resolver este problema aplicamos el concepto d e potencial eléctrico, es decir: Tenemos que traer una partícula q0 desde el infinito hasta un r menor que b y mayor que a.
Aplicando la ley de Gauss calculamos los campos E1 y E2
Estos resultados usted los obtuvo del capítulo anterior. Introduciendo en la expresión del trabajo total y posteriormente dividiendo entre q0, obtenemos para el potencial entre a < r < b :
b.- Para la región interior donde está el hueco, el campo eléctrico es cero, ¿Por qué?. Como el campo eléctrico es cero, entonces el potencial en el hueco es constante hasta la superficie. Si calculamos el potencial en la superficie automáticamente este es el mismo potencial en el interior, por lo tanto si evaluamos el resultados anterior en r = a, obt enemos el potencial en r < a:
10.- Dos conchas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 tiene cargas Q1 y Q2 respectivamente. a.- Determine el potencial eléctrico en todas las regiones. b.- ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos esferas?
Solución
Fig.5.21 Problema 10 El principio de superposición nos permite calcular los po tenciales de
