Ejercicios Resueltos de Calculo de Derivadas

I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS. 2º BACH CIENCIAS

CÁLCULO DE DERIVADAS 1) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = ln

4 − 5x 2x + 3

b) y =

senx x2

Solución: a) y = ln

y' =

b) y' =

4 − 5x = ln( 4 − 5x) − ln( 2x + 3) 2x + 3

−5 2 − 5( 2x + 3) − 2( 4 − 5x) − 23 − = = ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) 4 − 5x 2x + 3 cos x · x 2 − sen x · 2x cos x · x − 2sen x = x4 x3

2) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y =

35x 2x − 1

(

)

b) y = 3x · cos x 2 − 1

Solución: a) y' =

5 · 35x · ln3 ( 2x − 1) − 2 · 35x

( 2x − 1)

2

=

35x · [ 5( 2x − 1) · ln3 − 2]

( 2x − 1) 2

b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x = = 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)] 3) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = ln

1− e x 1+ ex

(

)

b) y = 3 cos x 3 − 1

Solución: a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex) y' =

b) y' =

− ex ex − e x · (1+ e x ) − e x · (1− e x ) − 2e x − = = x x 1− e 1+ e (1− e x ) · (1+ e x ) 1− e 2x

− sen(x3 − 1) · 3x 2 3 3 cos2 (x3 − 1)

=

− x 2 · sen(x3 − 1) 3

cos2 (x3 − 1)

1



4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

(

a) y = 4 · arccos x

)

b) y = log3 x 2 − 4

Solución: 1

−4·

−2

a) y' =

2 x = 1− x

b) y' =

2x ln3 · x 2 − 4

(

x · 1− x

)

5) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = 5 · arctg( 2x − 1)

b) y = 3 x 5 + 2

Solución: a) y' =

b) y' =

5· 2

1+ ( 2x − 1)

=

2

5x 4

(

)

3 · 3 x5 + 2

10

1+ ( 2x − 1)

2

2

6) Aplica la derivación logarítmica para derivar

y= x

cos x

Solución: f (x) = x

cos x

ln f (x) = cos x · ln x f ' ( x) 1 = −sen x · ln x + cos x · f ( x) x cos x  cos x    f '( x) = f ( x) ·  − sen x · ln x +  = xcos x ·  − sen x · ln x +  x  x   

7) Deriva logarítmicamente la siguiente función y = (cos x)x Solución: f (x) =(cos x)x ln f (x) = x · ln cos x 2



f ' ( x) − sen x = lncos x + x · = lncos x − x · tg x f ( x) cos x

f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x) 8) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = (x + 1)x 2 Solución: f (x) = (x + 1)x 2 ln f (x) = x2 · ln (x + 1) f '( x) 1 = 2x · ln( x + 1) + x 2 · f ( x) x +1 2  x2   = ( x + 1) x f '( x) = f ( x) ·  2x · ln( x + 1) +  x + 1  

 x2   ·  2x · ln( x + 1) + x + 1 

9) Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x. Solución: f (x) = (ln x)x ln f (x) = x · ln (ln x) 1 f '( x) 1 = ln( ln x) + x · x = ln( ln x) + f ( x) ln x ln x  1   = ( ln x) x f '( x) = f ( x) ·  ln( ln x) + ln x  

 1   ·  ln( ln x) + ln x  

10)Aplica la derivación logarítmica para derivar:  2 y=   x

x

Solución:  2 f ( x) =    x

x

 2 → lnf ( x) = x · ln   x

3



−2 2 f '( x)  2  2 = ln  + x · x = ln  − 1 2 f ( x)  x  x x x

  2   2   2  f '( x) = f ( x) ·  ln  − 1 =   ·  ln  − 1   x   x   x 

11)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4. Solución: y + xy ' − 2 + 3y ' = 0 y' · ( x + 3) = 2 − y → y' =

2− y x+3

12)Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8. Solución: 3x2 + 6y + 6xy ' + 3y2 · y ' = 0 3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y) y' =

(

− x2 + 2y 2x + y 2

)

13)Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada. Solución: 2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0 2x − 3y = y ' · (3x + 4y) y' =

2x − 3y 3x + 4y

14)Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2. Solución: 2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy ' 4



2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1) y' =

x · (y 2 − 1) y · (1− x 2 )

15)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36. Solución: 8x + 18yy ' = 0 y' =

−8x 18y

16)Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f− 1 (x) = arc cos x. Solución: f' (x) = −sen x 1 (f ) '( x) = f '(f 1(x)) = − sen(arc = cos x) −1

−1

−1 1− x2

17)Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2x, halla la derivada de f− 1 (x) = arc tg x. Solución: 1 (f ) '( x) = f '(f 1(x)) = 1+ (tg(arc tg x)) −1

−1

2

=

1 1+ x2

18)Conocida la función f(x) = ln x y su derivada f'(x) = derivada de f −1(x) = ex Solución:

(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = −1

−1

1 = ex 1 ex

5

1 , calcula la x



19)Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f − 1 (x) = ln x. Solución:

(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = e1 −1

−1

ln x

=

1 x

20)Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de f −1(x) = 5 x Solución:

(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = −1

−1

1 5 · 5 x4

21)Demuestra que todas las derivadas de orden para de la función  x f(x) = cos  se anulan para el valor x = π.  2 Solución: f I ( x) =

−1  x sen   2  2

f II ( x) =

−1  x cos   4  2

f III ( x) =

+1  x sen   8  2

f IV ( x) =

+1  x cos   16  2

... En general, las derivadas de orden par son de la forma:  x f 2n ( x) = k · cos   , donde k es unaconstante.  2 π Por tanto,se anulantodasen x = π, pues cos   = 0.  2

22)Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:

6


f '' ( x ) =


−1

2f ( x )

e

Solución: f ' ( x) =

−sen x = −tg x cos x

f (x) = ln cos x Por tanto, f '' ( x) =

→ −1

e

f ' ' ( x) = −

2f ( x )

1 cos2 x

ef (x) = cos x

.

7

Ejercicios Resueltos de Calculo de Derivadas

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