Ejercicios de Potencia Trifasica

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS

Ejercicio 601: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el

diagra diagrama ma fasoria fasoriall de corrien corrientes tes y tension tensiones, es, hallar hallar las indica indicacio ciones nes de los vatíme vatímetros tros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. I

R

22 ∠ 0° Ω

R

WRT I

22 ∠ 0° Ω

S

WST

S

3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa

O´ 22 ∠ 0° Ω

T

T Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.

IR =

IS =

IT =

URO´

=

ZR U SO´

ZT

=

=

U SO

=

=

220∠330º

U TO

=

220∠210º 22∠0º

ZT

U

RO

10∠ 90º [ A ]

=

10∠ 330º [ A ]

=

10∠ 210º [ A ]

22∠0º

ZS

=

220 ∠90º 22∠0º

ZR

ZS U TO´

URO

= URO´ ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL I

R

O = O´ U

TR

U

TO

= UTO´

Ing. Julio Álvarez 04/10

I

T

I

S

U

ST

U

SO

= USO´

150

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS I

R

U

RT

WRT = URT IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90

30º

U

ST

WST = UST IS cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90

30º I

S

PTRIF. = 3.290,90 + 3.290,90 = 6.581,80 W PR = URO´ IR cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200 W QR = URO´ IR sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr SR = URO´ IR = 220. 10. = 2.200 VA PS = USO´ IS cos φS = 220. 10. cos 0º = 2.200 W QS = USO´ IS sen φS = 220. 10. sen 0º = 0 VAr SS = UTO´ IS = 220. 10. = 2.200 VA PT = UTO´ IT cos φT = 220. 10. cos 0º = 2.200 W QT = UTO´ IT sen φT = 220. 10. sen 0º = 0 VAr ST = UTO´ IT = 220. 10. = 2.200 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 6.600 W QTRIF: = QR + QS + QT = 0 Var S TRIF:

=

2

PTRIF

+

2

Q TRIF

=

6.660

2

+

0

2

=

6.600VA

La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V) Ejercicio 602: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el


R

R

WRT I

S


22 ∠ 90° Ω

22 ∠ 90° Ω

WST

S

O´ T

22 ∠ 90° Ω

T Ing. Julio Álvarez 04/10

UTO = UTO´

151

IT

USO = USO´


Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación IR =

IS =

IT =

URO´

=

ZR U SO´

=

=

U SO

=

ZT

=

10∠ 0º [ A ]

220∠330º

=

10∠ 240º [ A ]

=

10∠ 120º [ A ]

22∠90º

ZS

=

220 ∠90º 22∠90º

ZR

ZS U TO´

URO

U TO

=

220 ∠210º 22∠90º

ZT

U

RO

= URO´ ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL

I

T

O = O´

I

R

U

TR

U

TO

= UTO´

U

U

ST

I

SO

= USO´

S

U

RT

WRT = URT IR cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900

60º I

R

U

ST

WST = UST IS cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900

120º I

S

PTRIF. = 1.900 – 1.900 = 0 W PR = URO´ IR cos φR = 220. 10. cos 90º = 0 W QR = URO´ IR sen φR = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr SR = URO´ IR = 220. 10. = 2.200 VA


152


PS = USO´ IS cos φS = 220. 10. cos 90º = 0 W QS = USO´ IS sen φS = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr SS = UTO´ IS = 220. 10. = 2.200 V PT = UTO´ IT cos φT = 220. 10. cos 90º = 0 W QT = UTO´ IT sen φT = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr ST = UTO´ IT = 220. 10. = 2.200 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W QTRIF: = QR + QS + QT = 6.600 Var

S TRIF:

2

PTRIF

=

+

2

Q TRIF

=

0

2

+

6.600

2

=

6.600VA



R

22 ∠ - 90°

R

Ω

WRT

22 ∠ - 90°

I

S

Ω

WST

S


O´

22 ∠ - 90° Ω

T

T Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.

IR =

URO´

=

ZR

URO ZR U

=

U SO´

=

ZS

U SO

=

10∠ 180º [ A ]

=

10∠ 60º [ A ]

22∠ − 90º

RO

IS =

220 ∠90º

= URO´

=

ZS

220∠330º − RS 22∠U 90º

I IT =

I

R

U TO´ ZT

=

U TO ZT

=

220 ∠210º 22∠ − 90º

ω

DIAGRAMA FASORIAL

S

=

10∠ 300º [ A ]

O = O´

U

TR


U

TO

= UTO´

153

I

U

ST

U

SO

= USO´


U

RT

120º

WRT = URT IR cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900 I

R

I

S

60º WST = UST IS cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900

U

ST

PTRIF. = - 1.900 + 1.900 = 0 W PR = URO´ IR cos φR = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W QR = URO´ IR sen φR = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr SR = URO´ IR = 220. 10. = 2.200 VA PS = USO´ IS cos φS = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W QS = USO´ IR sen φS = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr SS = UTO´ IS = 220. 10. = 2.200 VA PT = UTO´ IT cos φT = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W QT = UTO´ IT sen φT = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr ST = UTO´ IT = 220. 10. = 2.200 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W Ing. Julio Álvarez 04/10

154


QTRIF: = QR + QS + QT = - 6.600 Var

S TRIF:

=

2

PTRIF

+

2

Q TRIF

=

0

2

6.600

+

2

=

6.600VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. I

R

10 ∠ 0° Ω

R

WRT I

10 ∠ 30° Ω

S

WST

S


O´ 10 ∠ 0° Ω

T

T Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro

•

U OÓ =

U OÓ =

•

URO ⋅ YR + U SO ⋅ YS + U TO ⋅ YT YR + YS + YT

220∠90 ⋅ 0,1∠0º +220∠330 ⋅ 0,1∠ − 30º +220∠210 ⋅ 0,1∠0º

=

0,1∠0º + 0,1∠ - 30º + 0,1∠0º

Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.

URO´ = URO − U OÓ =

220∠90º −39,1∠234,5º = 252,3∠84,9º [ V ]

U SO´ = U SO − U OÓ =

220 ∠330º −39,1∠234,5º = 226,2 ∠ − 20,1º [ V ]

U TO´

•

IR =

IS =

IT =

39,1∠234,5º [ V ]

= U TO − UOÓ = 220∠210º −39,1∠234,5º = 184,7 ∠204,9º [ V ] U Cálculo de las corrientes de línea RO URO´

=

252,3∠84,9º

ω =

10∠0º

ZR U SO´

=

226,2∠ - 20,1º

25,2∠ 84,9º [ A ]

=

10 ∠30º

ZS

=

DIAGRAMA FASORIAL

U

RO´

184,7∠204,9º 10∠0º

ZT

RS

22,6∠ - 50,1º [ A ] I

U TO´

U

=

R

18,5∠ 204,9º O[ A ]

O´

U

TR


155 I

T

U

SO´

U U

TO

TO´

I

U

ST

U

SO


24,9º I

U

RT

R

WRT = URT IR cos 24,9º = 380. 25,2. cos 24,9º = 8.685,85 U

ST

WST = UST IS cos 50,1º = 380. 22,6. cos 50,1º = 5.508,77

50,1º I

S

PTRIF. = 8.685,85 + 5.508,77 = 14.194,62 W PR = URO´ IR cos φR = 252,3. 25,2. cos 0º = 6.35,96 W QR = URO´ IR sen φR = 252,3. 25,2. sen 0º = 0 VAr SR = URO´ IR = 252,3. 25,2. = 6.357,96 VA PS = USO´ IS cos φS = 226,2. 22,6. cos 30º = 4.427,23 W QS = USO´ Is sen φS = 226,2. 22,6. sen 30º = 2.556,06 VAr SS = UTO´ IS = 226,2. 22,6. = 5.112,12 VA PT = UTO´ IT cos φT = 184,7. 18,5. cos 0º = 3.416,95 W QT = UTO´ IT sen φT = 184,7. 18,5. sen 0º = 0 VAr ST = UTO´ IT = 184,7. 18,5. = 3.416,95 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 6.357,96 + 4.427,23 + 3.416,95 = 14.202,14 W QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.556,06 + 0 = 2.556,06 Var S TRIF:

=

2

PTRIF

+

2

Q TRIF


=

14.202,14

2

+

2.556,06

2

=

14.430,32 VA

156




R

10 ∠ 0° Ω

R

WRO I

10 ∠ 30° Ω

S

WSO

S


O´ 10 ∠ 0° Ω

T

WTO

T

N

O •

IR =

IS =

IT =

Cálculo de las corrientes de línea URO

=

220∠90º

=

10∠0º

ZR U SO

=

220∠330º

22∠ 90º [ A ]

=

22∠ 300º [ A ]

=

22∠ 210º [ A ]

10∠30º

ZS U TO

=

220∠210º 10∠0º

ZT

U

RO

ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL I

R

I

N

O U

TR

I

T

O´ I

S

U

TO

U

ST


U

SO

157


La indicación de los vatímetros es la potencia por fase o sea: WRO = PR = URO IR cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W WSO = PS = USO IS cos 30º = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W WTO = PT = UTO IT cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W QR = URO IR sen φR = 220. 22. sen 0º = 0 VAr QS = USO IS sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420 Var QT = UTO IT sen φT = 220. 22. sen 0º = 0 Var PTRIF. = PR + PS + PT = 4.840 + 4.191,56 + 4.840 = 13.871,56 W QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.420 + 0 = 2.420 Var 2 2 2 2 S TRIF: = PTRIF + Q TRIF = 13.871,56 + 2.420 = 14.081, 07 VA



R

R

WRT I

S


38 ∠ 30° Ω

22 ∠ 45° Ω

WST

S

O´ T

33 ∠ 0° Ω

T N

WOT

O

•

IR =

IS =

IT =

Cálculo de las corrientes de línea URO

=

=

ZT


220∠330º

5,79 ∠ 60º [ A ]

=

10∠ 285º [ A ]

=

6,67 ∠ 210º [ A ]

22∠45º

ZS U TO

=

38 ∠30º

ZR U SO

220 ∠90º

=

220∠210º 33∠0º

158


IN

= − (IR + IS + IT ) = − (5,79 ∠60º + 10∠285º + 6,67 ∠210º = 7,99 ∠87,9º [ V ] U

RO

ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL I

N

I

R

O I U

T

TR

O´ I U

S

TO

U

U

SO

ST

0º

La indicación de los vatímetros es: I

U

RT

R

WRT = URT IR cos 0º = 380. 5,79. cos 0º = 2.200,20 U

ST

75º

WST = UST IS cos 75º = 380. 10. cos 75º = 983,51 I

S

I

N

WOT = UOT IN cos 57º = 220. 7,99. cos 57º = 957,37

57º

U

OT

PTRIF = WRT + WST + WOT = 2.200,20 + 983,51 + 957,37 = 4.141,08 W •

Calculo de las potencias por fase:

PR = URO IR cos φR = 220. 5,79. cos 30º = 1.103,14 W QR = URO IR sen φR = 220. 5,79. sen 30º = 636,90 VAr SR = URO IR = 220. 5,79. = 1.273,80 VA PS = USO IS cos φS = 220.10. cos 45º = 1.555,63 W QS = USO IR sen φS = 220.10. sen 45º = 1.555,63 VAr Ss = UsO IT = 220.10 = 2.200 VA Ing. Julio Álvarez 04/10

159


PT = UTO IT cos φT = 220. 6,67. cos 0º = 1.467,40 W QT = UTO IT sen φT = 220. 6,67. sen 0º = 0 VAr ST = UTO IT = 220. 6,67. = 1.467,40 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 1.103,14 + 1.555,63 + 1.467,40 = 4.126,17 W QTRIF: = QR + QS + QT = 636,90 + 1.555,63 + 0 = 2.192,53 Var 2 2 2 2 S TRIF: = PTRIF + Q TRIF = 4.126,17 + 2.192,53 = 4.672,52 VA



R

R

WRS I

S


T

U OÓ =

U OÓ =

38 ∠ 90° Ω

S

O´ T

•

22 ∠ 0° Ω

38 ∠ - 90° Ω

WTS

Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro URO ⋅ YR + U SO ⋅ YS + U TO ⋅ YT YR + YS + YT

220 ∠90 ⋅ 0,0455 ∠0º +220 ∠330 ⋅ 0,0263 ∠ − 90º +220 ∠210 ⋅ 0,0263 ∠90º 0,0455 ∠0º + 0,0263 ∠ - 90º + 0,0263 ∠90º

=

0 [ V]

Aunque las cargas son desequilibradas, no se produce corrimiento de neutro, con lo cual: URO´ = URO =

220∠90º [ V ]

U SO´ = USO =

220 ∠330º [ V ]

U TO´ = U TO =

220 ∠210º [ V ]


160


•

IR =

IS =

IT =

Cálculo de las corrientes de línea URO´

=

220 ∠90º

U SO´

=

220∠330º

10 ∠ 90º [ A ]

=

5,79∠ 240º [ A ]

=

5,79∠ 300º [ A ]

38∠90º

ZS U TO´

=

22∠0º

ZR

=

220∠210º 38∠ - 90º

ZT

U

RO

ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL

U

RO´

I

O´

R

O = O´

U

TR

U

TO´

U

SO´

U

TO

I

S

U I

U

SO

ST

T

U

30º

RS

I

R

WRS = URS IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90 U

WTS = UTS IT cos 120º = 380. 5,79. cos 120º = - 1.100,10

TS

120º I

PTRIF. = 3.290,90 - 1.100,10 = 2.190,8 W

T

PR = URO´ IR cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200,00 W QR = URO´ IR sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr SR = URO´ IR = 220. 10 = 2.200,00 VA


161


PS = USO´ IS cos φS = 220. 5,79. cos 90º = 0 W QS = USO´ IS sen φS = 220. 5,79. sen 90º = 1.273,80 VAr SS = UTO´ IS = 220. 5,79 = 1.273,80 VA PT = UTO´ IT cos φT = 220. 5,79. cos -90º = 0 W QT = UTO´ IT sen φT = 220. 5,79. sen -90º = - 1.273,80 VAr ST = UTO´ IT = 220. 5,79 = 1273,80 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 2.200,00 + 0 + 0 = 2.200,00W QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 1.273,80 – 1.273,80 = 0 Var S TRIF:

=

2

PTRIF

+

2

Q TRIF

=

2.200

2

+

0

2

=

2.200,00 VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz 10 - j 10 [Ω]

IR

R

S

WRT

WST

20 - j 20 [Ω]

IS

O´

30 - j 30 [Ω]

IT

T

ZR

= 10 – j 10 = 14,14 ∠ - 45º [Ω]

YR

=

ZS

= 20 – j 20 = 28,28 ∠ - 45º [Ω]

YS

=

ZT

= 30 – j 30 = 42,42 ∠ - 45º [Ω]

YT

=


1 ZR

1 ZS

1 ZT

=

=

=

1 14,14 ∠ − 45º 1 28,28 ∠ − 45º 1 42,42∠ − 45º

= 0,0707 ∠ 45º [ S]

= 0,03536 ∠ 45º [ S]

= 0,0236 ∠ 45º [ S]

162


Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro

•

U OÓ =

U OÓ =


220∠90 ⋅ 0,0707 ∠45º +220∠330 ⋅ 0,03536 ∠45º +220∠210 ⋅ 0,0236 ∠45º 0,0707 ∠45º + 0,03536 ∠45º + 0,0236 ∠45º

•

220∠90º −72,1∠76,2º = 150,3∠96,6º [ V ]


220∠330º −72,1∠76,2º = 249,3 ∠ − 46,1º [ V ]

U TO´ = U TO − U OÓ =

220∠210º −72,1∠76,2º = 274,3 ∠ - 139,1º [ V ]

IR =

IS =

IT

=

72,1∠76,2º [ V ]


URO´ = URO − UOÓ =

•

=


=

ZR U SO´

=

150,3 ∠96,6º 14,14∠ - 45º

= 10,7 ∠ 141,6º

249,3 ∠ - 46,1º

[ ]

= 8,8∠ - 1,1º A

28,28 ∠ - 45º

ZS U TO´ ZT

=

[ A ]

274,3 ∠ - 139,1º [ ] = 6,5∠ - 94,1º A 42,42∠ - 45º U

RO

ω I

U

RS

R

DIAGRAMA FASORIAL

U

RO´

I

O´

U

TO´

S

U

O

SO´

U

TR

I U

TO

T

U

ST


U

SO

163

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS U

WRT = URT IR cos 81,6º = 380. 10,7. cos 81,6º = 593,9

I

R

RT

81,6º

U


ST

I

S

1,1º

PTRIF. = 593,9 + 3.343,4 = 3.937,3 W PR = URO´ IR cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 W QR = - URO´ IR sen φR = - 150,3. 10,7. sen 45º = - 1.137,2 VAr SR = URO´ IR = 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA PS = USO´ IS cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W QS = - USO´ IR sen φS = - 249,3. 8,8. sen 45º = - 1.551,3 VAr SS = USO´ IS = 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA PT = UTO´ IT cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W QT = - UTO´ IT sen φT = - 274,3. 6,5. sen 45º = - 1.260,7 VAr ST = UTO´ IT = 274,3. 6,5 = 1.783 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W QTRIF: = QR + QS + QT = -(1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7) = - 3.949,2 VAr 2 2 2 2 S TRIF: = PTRIF + Q TRIF = 3.949,2 + 3.949,2 = 5.585 VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz IR

R

S

10 + j 10 [Ω]

WRT

WST

IS

20 + j 20 [Ω] O´

IT

30 + j 30 [ Ω]

T Ing. Julio Álvarez 04/10

164


ZR

= 10 – j 10 = 14,14 ∠ 45º [Ω]

YR =

ZS

= 20 – j 20 = 28,28 ∠ 45º [Ω]

YS =

ZT

= 30 – j 30 = 42,42 ∠ 45º [Ω]

YT =

1

=

14,14 ∠45º

ZR

1

=

ZS

1

1 28,28 ∠45º 1

=

42,42∠45º

ZT

= 0,0707 ∠ - 45º

[ S]

= 0,03536 ∠ - 45º

= 0,0236 ∠ - 45º

U OÓ =

[ S]


220∠90 ⋅ 0,0707 ∠ − 45º +220∠330 ⋅ 0,03536∠ − 45º +220∠210 ⋅ 0,0236∠ − 45º 0,0707 ∠ − 45º + 0,03536∠ − 45º + 0,0236∠ − 45º • •

220∠90º −72,1∠76,2º = 150,3∠96,6º [ V ]


220∠330º −72,1∠76,2º = 249,3 ∠ − 46,1º [ V ]


220∠210º −72,1∠76,2º = 274,3 ∠ - 139,1º [ V ]

IR

=

IS =

IT

=

=

72,1∠76,2º [ V ]



• •

[ S]


• •

U OÓ =

1


=

ZR U SO´

=

150,3∠96,6º = 10,7∠ 51,6º [ A ] 14,14∠45º 249,3 ∠ - 46,1º

=

28,28 ∠45º

ZS U TO´ ZT

8,8∠ - 91,1º [ A ]

U RO 274,3 ∠ - 139,1º = = 6,5∠ 175,9º [ A ] 42,42∠45º

I U

R

RS

ω DIAGRAMA FASORIAL

U

RO´

I

O´

T

U

TO´

U

O

SO´

U


165

TR

I U

TO

S

U

U

SO


U

RT

8,4º

WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 10,7. cos 8,4º = 4.022,4

I

R

U

ST

WST = UST IS cos 91,1º = 380. 8,8. cos 91,1º = - 64,2 91,1º I

S

PTRIF. = 4.022,4 – 64,2 = 3.958,2 W PR = URO´ IR cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 W QR = URO´ IR sen φR = 150,3. 10,7. sen 45º = 1.137,2 VAr SR = URO´ IR = 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA PS = USO´ IS cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W QS = USO´ IR sen φS = 249,3. 8,8. sen 45º = 1.551,3 VAr SS = UTO´ IS = 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA PT = UTO´ IT cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W QT = UTO´ IT sen φT = 274,3. 6,5. sen 45º = 1.260,7 VAr ST = UTO´ IT = 274,3. 6,5 = 1.783 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W Ing. Julio Álvarez 04/10

166


QTRIF: = QR + QS + QT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 VAr 2 S TRIF: = PTRIF + Q 2TRIF = 3.949,2 2 + 3.949,2 2 = 5.585 VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz IRR

10 [Ω]

ILR

j 10 [Ω]

IRS

20 [Ω]

ILS

j 20 [Ω]

IRT

30 [Ω]

ILT

j 30 [Ω]

IR

WRT

R

IS

WST

S

O´

IT

T

YR =

1 RR

+

YS =

1 RS

+

YT

=

1 1 1 1 + = + = 0,0471∠ - 45º [ S] R T j X T 30∠0º 30∠90º

•


U OÓ =

1 j X R

=

1 j X S

=

1

+

1 10∠90º

= 0,1414 ∠ - 45º

+

1 20∠90º

= 0,0707 ∠ - 45º

10∠0º

1 20∠0º

[ S]

[ S]

URO ⋅ YR + U SO ⋅ YS + U TO ⋅ YT


YR + YS + YT

167


U OÓ =

220∠90 ⋅ 0,1414 ∠ − 45º +220∠330 ⋅ 0,0707 ∠ − 45º +220∠210 ⋅ 0,0471∠ − 45º 0,1414∠ − 45º + 0,0707 ∠ − 45º + 0,0471∠ − 45º

•

220∠90º −72,1∠76,2º = 150,3∠96,6º [ V ]


220∠330º −72,1∠76,2º = 249,3 ∠ − 46,1º [ V ]


220∠210º −72,1∠76,2º = 274,3 ∠ - 139,1º [ V ]

IRR =

ILR =


=

RR URO´

=

j X R

150,3∠96,6º 10∠0º 150,3 ∠96,6º 10∠90º

[ ]

= 15,03∠ 96,6º A

[ ]

= 15,03∠ 6,6º A

IR = IRR + ILR = 15,03 ∠96,6º + 15,03 ∠6,6º =

IRS =

ILS =

72,1∠76,2º [ V ]



•

=

U SO´

=

249,3 ∠ - 46,1º

RS

20∠0º

U SO´

=

j X S

249,3∠ - 46,1º 20∠90º

21,22 ∠51,6º [ A ]

[ ]

= 12,47 ∠ - 46,1º A

[ A ]

= 12,47 ∠ - 136,1º

IS = IRS + ILS = 12,47 ∠ - 46,1º + 12,47 ∠ - 136,1º = 17,64 ∠ - 91,1º [ A ]

IRT

=

ILT =

U TO´

RT U TO´

=

=

274,3 ∠ - 139,1º = 9,14∠ - 139,1º [ A ] 30∠0º 274,3 ∠ - 139,1º

j X T

30∠90º

= 9,14∠ - 229,1º

U

[ A ]

RO

I

ω

R

= 12,93 ∠ - 184,1º [ A ] I T = IRT + ILT = 9,14 ∠ - 139,1º + 9,14 ∠ - 229,1ºU RS

DIAGRAMA FASORIAL

U

RO´

I

O´

T

U

TO´


U

O

SO´

U

168

TR

I U

TO

S

U

U

SO


U

RT

8,4º I


R

U

ST

WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 91,1º = - 128,7

91,1º I

S

PTRIF. = 7.977,1 – 128,7 = 7.848,4 W PR = URO´ IR cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W QR = URO´ IR sen φR = 150,3. 21,22. sen 45º = 2.255,2 VAr SR = URO´ IR = 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA PS = USO´ IS cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W QS = USO´ IR sen φS = 249,3. 17,64. sen 45º = 3.109,6 VAr SS = USO´ IS = 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA

PT = UTO´ IT cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W QT = UTO´ IT sen φT = 274,3. 12,93. sen 45º = 2.507,9 VAr ST = UTO´ IT = 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W Ing. Julio Álvarez 04/10

169


QTRIF: = QR + QS + QT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 VAr S TRIF:

=

2 PTRIF

2 + Q TRIF =

7.872,7 2

+ 7.872,7

2

= 11.133,7

VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz IRR

10 [Ω]

ICR

- j 10 [Ω]

IRS

20 [Ω]

IR

WRT

R

IS

WST

S

O´ ICS

- j 20 [Ω]

IRT

30 [Ω]

ICT

- j 30 [Ω]

IT

T

YR =

YS =

YT

1

+

RR

1

1

=

- j X R

+

RS

1 - j X S

1 10∠0º

=

1 20∠0º

1

+

10∠ − 90º

1

+

20∠ − 90º

= 0,1414 ∠ 45º

[ S]

= 0,0707 ∠ 45º

[S]

=

1 1 1 1 + = + = 0,0471∠ 45º [ S] R T - j X T 30∠0º 30∠ − 90º

•


U OÓ =

URO ⋅ YR + U SO ⋅ YS + U TO ⋅ YT


YR + YS + YT

170


U OÓ =

220∠90 ⋅ 0,1414 ∠45º +220∠330 ⋅ 0,0707∠45º +220∠210 ⋅ 0,0471∠45º 0,1414 ∠45º + 0,0707 ∠45º + 0,0471∠45º

• •

220∠90º −72,1∠76,2º = 150,3∠96,6º [ V ]


220∠330º −72,1∠76,2º = 249,3 ∠ − 46,1º [ V ]


220∠210º −72,1∠76,2º = 274,3 ∠ - 139,1º [ V ]

IRR =

ICR

IR

=

72,1∠76,2º [ V ]



•

=


=

150,3∠96,6º

RR

[ ]

= 15,03∠ 96,6º A

10∠0º

URO´

150,3 ∠96,6º = 15,03∠ 186,6º [ A ] 10∠ − 90º

=

- j X R

= IRR + ICR = 15,03 ∠96,6º + 15,03 ∠186,6º = 21,22 ∠141,6º [ A ]

IRS =

ICS =

U SO´

=

RS U SO´

249,3 ∠ - 46,1º 20∠0º

=

- j X S

[ ]

= 12,47 ∠ - 46,1º A

249,3 ∠ - 46,1º 20∠ − 90º

= 12,47 ∠ 43,9º

A [ ]

IS = IRS + I CS = 12,47 ∠ - 46,1º + 12,47 ∠43,9º = 17,64 ∠ - 1,1º [ A ]

U TO´

274,3 ∠ - 139,1º = 9,14∠ - 139,1º [ A ] 30∠0º

IRT

=

ICT

RO 274,3 ∠ - 139,1º = = = 9,14 ∠ - 49,1º [ A ] - j X T 30∠ − 90º

=

RT

U

U TO´

I

R

ω

U

RS

I T = IRT + ICT

DIAGRAMA FASORIAL = 9,14 ∠ - 139,1º + 9,14∠ - 49,1º = 12,93 ∠ - 94,1º [ A ] U

RO´

O´ I

U

TO´

S

U

O

SO´

U


171

TR

I

U

TO

T

U

U

SO


81,1º

URT

IR

WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 21,22. cos 81,6º = 1.178 UST

WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 1,1º = 6.702

IS

1,1º

PTRIF. = 1.178 + 6.702 = 7.880 W PR = URO´ IR cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W QR = - URO´ IR sen φR = - 150,3. 21,22. sen 45º = - 2.255,2 VAr SR = URO´ IR = 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA PS = USO´ IS cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W QS = - USO´ IR sen φS = - 249,3. 17,64. sen 45º = - 3.109,6 VAr SS = USO´ IS = 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA PT = UTO´ IT cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W QT = - UTO´ IT sen φT = - 274,3. 12,93. sen 45º = - 2.507,9 VAr ST = UTO´ IT = 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W QTRIF: = QR + QS + QT = - (2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9) = - 7.872,7 VAr Ing. Julio Álvarez 04/10

172


S TRIF:

=

2 PTRIF

2 + Q TRIF =

7.872,7 2

+ 7.872,7

2

= 11.133,7

VA

Ejercicio 612: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y

aparente trifásica y la indicación de los vatímetros. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz

IR

10 - j 10 [Ω]

R IRS IS

20 - j 20 [Ω]

WSR

S

IST IT

WTR

T

30 - j 30 [Ω] ITR

ZR

= 10 – j 10 = 14,14 ∠ - 45º [Ω]

ZS

= 20 – j 20 = 28,28 ∠ - 45º [Ω]

ZT

= 30 – j 30 = 42,42 ∠ - 45º [Ω] Cálculo de las corrientes de fase

•

IRS =

I ST =

I TR

=

URS

=

Z RS U ST

=

Z ST U TR Z TR

=

380∠120º 14,14 ∠ − 45º 380∠0º 28,28 ∠ − 45º

=

I

- ITR

26,87 ∠ 165º [ A ]

I

[ ]

= 13,44 ∠45º A

ω

R

RS

DIAGRAMA FASORIAL

U

U

TR

RS

380∠240º = 8,96 ∠ 285º [ A ] 42,42∠ − 45º

I

I

I

TR

T

•

IR = IRS − ITR =

Cálculo de las corrientes de línea

-

I

U

ST

ST

- IRS I

S

ST

26,87 ∠165º − 8,96 ∠285º = 32,3 ∠151,1º [ A ]

I S = IST − IRS = 13,44 ∠ 45º − 26,87 ∠165º = 35,6 ∠4,1º [ A ] IT

= I TR − I ST = 8,96∠285º − 13,44 ∠45º = 19,5∠ - 111,6º [ A ]


173


I

S

64,1º

WSR = USR IS cos 64,1º = 380. 35,6. cos 64,1º = 5.909,1 U

SR

U

TR

WTR = UTR IT cos 42,5º = 380. 19,5. cos 8,4º = 7.330,5

I

8,4º

T

PTRIF = WSR + WTR = 5.909,1 + 7.330,5 = 13.239,6 W •


PRS = URS IRS cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W QRS = - URS IRS sen φRS = - 380. 26,87. sen 45º = - 7.220 VAr SRS = URS IRS = 380. 26,87 = 10.210,6 VA PST = UST IST cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W QST = - UST IST sen φST = - 380.13,44. sen 45º = - 3.611,3 VAr SST = UST IST = 380.13,44 = 5.107,2 VA PTR = UTR ITR cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W QTR = - UTR ITR sen φTR = - 380. 8,96. sen 45º = - 2.407,6 VAr STR = UTR ITR = 380. 8,96 = 3.404,8 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr

S TRIF:

=

2 PTRIF

2

+ Q TRIF =

13.238,9 2

+ 13.238,9

2

= 18.722,6

VA

Ejercicio 613: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y

aparente trifásica y la indicación de los vatímetros. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz Ing. Julio Álvarez 04/10

174


10 + j 10 [ Ω]

IR

R IRS

20 + j 20 [ Ω]

IS

WSR

S

IST

WTR

T

30 + j 30 [Ω]

IT

ITR ZR

= 10 + j 10 = 14,14 ∠ 45º [Ω]

ZS

= 20 + j 20 = 28,28 ∠ 45º [Ω]

ZT

= 30 + j 30 = 42,42 ∠ 45º [Ω]

Cálculo de las corrientes de fase

•

- ITR I

IRS =

I ST =

I TR

=

URS

=

14,14 ∠45º

Z RS UST

=

Z ST U TR Z TR

380∠120º

=

380∠0º 28,28 ∠45º

=

26,87 ∠ 75º [ A ]

RS

I

ω

R

DIAGRAMA FASORIAL

[ ]

= 13,44 ∠ − 45º A

U

U

TR

380∠240º = 8,96 ∠ 195º [ A ] 42,42∠45º

RS

I

T

-

I

ST

I

U

I

ST

ST

TR

I

•

IR

S


-

I

RS

= IRS − ITR = 26,87∠75º − 8,96∠195º = 32,3 ∠61,1º [ A ]

I S = IST − IRS = 13,44 ∠ - 45º − 26,87 ∠75º = I T = I TR − IST =

35,6 ∠ - 85,9º [ A ]

8,96 ∠195º − 13,44 ∠ − 45º = 19,5 ∠158,4º [ A ]

I

S

U


25,9º

SR

175


WSR = USR IS cos 25,9º = 380. 35,6. cos 25,9º = 12.1692

I

WTR = UTR IT cos 81,6º = 380. 19,5. cos 81,6º = 1.082,5

T

81,6º U

TR

PTRIF = WSR + WTR = 12.169,2 + 1.082,5 = 13.251,7W •


PRS = URS IRS cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W QRS = URS IRS sen φRS = 380. 26,87. sen 45º = 7.220 VAr SRS = URS IRS = 380. 26,87 = 10.210,6 VA PST = UST IST cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W QST = UST IST sen φST = 380.13,44. sen 45º = 3.611,3 VAr SST = UST IST = 380.13,44 = 5.107,2 VA PTR = UTR ITR cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W QTR = UTR ITR sen φTR = 380. 8,96. sen 45º = 2.407,6 VAr STR = UTR ITR = 380. 8,96 = 3.404,8 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr S TRIF:

=

2 PTRIF

2

+ Q TRIF =

13.238,9 2

+ 13.238,9

2

= 18.722,6

R

R

WRO

VA

38 ∠ 40° Ω RS


diagrama de corrientes y tensiones, hallarS las indicaciones 3 x 380fasorial V – 50 Hz 38 ∠ 45°deΩ los vatímetros y las potencias activa, reactivaSy aparente porWfase y total. Secuencia directa SO ST


T

T

WTO

38 ∠ -45° Ω TR

O

176


I

R

•

Cálculo de las corrientes de fase - ITR

IRS =

I ST =

I TR =

URS

=

=

380∠0º

RS

=

10 ∠ − 45º [ A ]

U

TR

U

RS

=

380∠240º 38∠ − 45º

Z TR

=

10 ∠ 285º [ A ]

I

T

•

I

I

I

U TR

ST

ST

ST

I


IR = IRS − I TR = IS

ω

I

10 ∠ 80º [ A ]

DIAGRAMA FASORIAL

38 ∠ 45º

Z ST U TR

=

38∠40º

Z RS UST

380∠120º

I

RS

S

10∠80º − 10∠285º = 19,53 ∠92,5º [ A ]

= IST − IRS = 10∠ - 45º − 10∠80º = 17,74 ∠ - 72,5º [ A ]

I T = I TR − I ST =

2,5º

10∠285º − 10∠ - 45º = 5,18 ∠210º [ A ]

WRO = URO IR cos 2,5º = 220. 19,53. cos 2,5º = 4.292,51

I

U

R

RO

WSO = USO IS cos 42,5º = 220. 17,74. cos 42,5º = 2.877,45 U I

S

42,5º

SO

U

TO

WTO = UTO IT cos 0º = 220. 5,18. cos 0º = 1.139,60 I

PTRIF = WRT + WST + WOT = 4.291,51 + 2.877,45 + 1.139,60 = 8.308,56 W Ing. Julio Álvarez 04/10

0º

T

177


•


PRS = URS IRS cos φRS = 380. 10. cos 40º = 2.910,97 W QRS = URS IRS sen φRS = 380. 10. sen 40º = 2.442,59 VAr SRS = URS IRS = 380. 10= 3.800,00 VA PST = UST IST cos φST = 380.10. cos 45º = 2.687,00W QST = UST IST sen φST = 380.10. sen 45º = 2.687,00 VAr SST = UST IST = 380.10 = 3.800 VA PTR = UTR ITR cos φTR = 380. 10. cos -45º = 2.687,00 W QTR = UTR ITR sen φTR = 380. 10. sen -45º = - 2.687,00 VAr STR = UTR ITR = 380. 10 = 3.800 VA PTRIF. = PR + PS + PT = 2910,97 + 2.687,00 + 2.687,00 = 8.284,97 W QTRIF: = QR + QS + QT = 2.442,59 + 2.687,00 – 2.687,00 = 2.442,59 VAr 2 2 2 2 S TRIF: = PTRIF + Q TRIF = 8.284,97 + 2.442,59 = 8.637,53 VA


diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total I 10 ∠ 30° Ω R R WRT I I

S

10 Ω

R1

10 ∠ 30° Ω

WST

S


I

RS

O´ I

T

S1

10 ∠ 30° Ω

T I

IR1 =

IS1 =

URO´

=

ZR U SO´ ZS


URO

=

U SO ZS

=

10 ∠30º

ZR

=

220∠90º

=

220∠330º 10∠30º

=

T1

22∠ 60º [ A ]

22∠ 300º [ A ]

178


I T1 =

U TO´

IRS =

=

ZT URS

U TO

220 ∠210º

=

380∠120º 10∠0º

R

=

10∠30º

ZT

IR = IR1 + IRS = IS

=

=

22∠ 180º [ A ]

38∠ 120º [ A ]

22∠60º + 38∠120º = 52,56 ∠98,7º [ A ]

= I1 − IRS = 22∠300º − 38∠120º = 60 ∠ - 60º [ A ]

I T = I T1 =

22∠180º [ A ] U

RO

= URO´ ω U

RS

DIAGRAMA FASORIAL I

R

I

RS

I I

=I T1

R1

T

U

TR

O = O´ I

S1

- I

RS

U

TO

= UTO´

I

S

U

U

ST

SO

I

R

WST = UST IS cos 60º = 380. 60. cos 60º = 11.400

U

38,7º


I

S

= USO´

RT

60º U

ST

PTRIF. = 15.587,38 + 11.400 = 26.987,38 W PR1 = URO´ IR1 cos φR = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W QR1 = URO´ IR1 sen φR = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr SR1 = URO´ IR1 = 220. 22. = 4.840 VA PS1 = USO´ IS1 cos φS = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W Ing. Julio Álvarez 04/10

179


QS1 = USO´ IR1 sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr ST1 = UTO´ IT1 = 220. 20.= 4.840 VA PT1 = UTO´ IT1 cos φT = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W QT1 = UTO´ IT1 sen φT = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr ST1 = UTO´ IT1 = 220. 22 = 4.480 VA PRS = URS IRS cos 0º = 380. 38.1 =14.440 W QRS = URS IRS sen 0º = 0 Var SRS = URS IRS = 380. 38 = 14.440 VA PTRIF. = PR + PS + PT + PRS = 27.014,68 W QTRIF: = QR + QS + QT + QRS = 7.260 VAr S TRIF:

=

2

PTRIF

+

2

Q TRIF

=

27.014,68

2

+

7.260

2

=

27.973,21 VA

La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V) Ejercicio 616: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: W RT = 330 y

WST = 330, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas. I

R

WRT

R

I

S


Z

[Ω]

Z

[Ω]

WST

S

O´

Z

T

[Ω]

T

La suma de las indicaciones vatimétricas es la potencia trifásica, o sea 660 W, o sea 220 W por fase. Siendo un sistema equilibrado se cumple que el valor de la potencia reactiva está dada por: Q

=

3 ( WRT

−

WST )

=

3 ( 330 − 330 )

=

0


UTO = UTO´

180

IT

USO = USO´


Luego las tres impedancias son resistencias, teniendo aplicada cada una de ella la tensión de fase de 220 V, o sea: 2

PFase

=

2

UF

R

⇒

R

UF

=

=

PFase

220

2

220

=

220 Ω

Ejercicio 617: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: W RT = 4.400 y

WST = 2.200, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas. I

R

WRT

R

I

S


Z

[Ω]

Z

[Ω]

WST

S

O´

Z

T

[Ω]

T PTRIF. = WRT + WST = 4.400 + 2.200 = 6.600 W Q

TRIF :

tg ϕ = I=

Z=

Z

=

3 ( WRT

)

− W ST =

3 ( 4.400 − 2.200)

Q TRIF 3.810,4 = = 0,577 PTRIF 6.600 PTRIF

3.U.I. cos ϕ

U 220 = I 17,32

6.600

=

3 .380. 0,577

= 12,70

⇒

=

3.810,4 VAr

ϕ = 30º

= 17,32 A

Ω

= 12,70 cos 30º + 12,70 sen 30º = 11 + j 6,35 [Ω]

Ejercicio 618: La carga de un establecimiento industrial conectado a la red de 3 x 380/220 V – 50

Hz, secuencia positiva, está representada por: Tres impedancias iguales de valor: C = 4 ∠ϕ [Ω] , conectadas en estrella, siendo él cos ϕ = 0,75 en atraso. b) Tres motores trifásicos conectados en estrella que absorben cada uno, una potencia de 15 kW con una corriente de línea de 30,4 A a)


181


•

Dibuje el esquema eléctrico del circuito completo, con los condensadores y los instrumentos conectados.

•

Determine las indicaciones obtenidas en tres amperímetros conectados uno en cada línea y en dos vatímetros conectados según el método de Aron, con el punto común en la fase T. Luego, se compensa parcialmente el factor de potencia de la carga mediante un banco de condensadores conectados en triángulo, de modo de llevarlo al valor de 0,85 en atraso.

•

•

Calcule el valor (en µF) de estos condensadores y las nuevas indicaciones de los instrumentos mencionados.

•

Construya un único fasorial de tensiones y corrientes, indicando en él las tensiones de línea y de fase, y las corrientes de línea correspondientes a las situaciones antes y después de compensado el factor de potencia, para las tres fases. I

R

R

AR

4 ∠ϕ Ω

WRT I

S

S

4 ∠ϕ Ω

WST

AS

I

T

T

4 ∠ϕ Ω

AT CAPACITORES

•

M 3~

M 3~

M 3~

15 kW

15 kW

15 kW

Cálculo de las corrientes en las impedancias:

Dado que el sistema es equilibrado las 3 corrientes serán de igual módulo, con un ángulo de desfasaje de 120º entre ellas, siendo el ángulo de las impedancias: φ1 = Arc cos 0,75 = 41,4º.

IR1 =

I S1 =

I T1 =

•

URO´

=

ZR U SO´

ZT

=

=

U SO

=

U TO ZT

=

220∠330º

55∠ 48,6º [ A ]

=

55∠ 288,6º [ A ]

=

55∠ 168,6º [ A ]

4∠41,4º

ZS

=

220 ∠90º 4∠41,4º

ZR

ZS U TO´

URO

=

220∠210º 4∠41,4º

Cálculo de las corrientes en los motores:

Cada motor absorbe una corriente de 40,3 A, lo que equivale a 120,9 A en su conjunto, con el siguiente factor de potencia:


182


cos ϕ M

=

PMOT

=

3.U.I

3.15000

=

0,566

⇒

ϕ M =

3 .380.120,9

55,5º

Las corrientes de línea de los motores serán: = 120,9 ∠ 34,5º

[ A ]

IRM =

120,9 ∠ 90 - 55,5

I SM =

120,9 ∠ 330 - 55,5

= 120,9 ∠ 274,5º

[ A ]

I TM =

120,9 ∠ 210 - 55,5

= 120,9 ∠ 154,5º

[ A ]

Cálculo de las corrientes totales de línea:

•

IR = IR1 + IRM =

55∠ 48,6º + 120,9 ∠34,5º = 174,8 ∠38,9º [ A ]

I S = I S1 + I SM =

55∠288,6º

I T = I T1 + ITM =

55∠168,6º + 120,9∠154,5º = 174,8 ∠158,9º [ A ]

+

120,9∠274,5º = 174,8 ∠278,9º [ A ]

φm = 90º – 38,9º = 51,1º Indicación de los instrumentos

•

AR = 174,8 A

AS = 174,8 A

AT = 174,8 A U

RT

21,1º


I

R

U

ST


81,1º I

PTRIF. = 61.970,5 + 10.276,48 = 72.246,98 W

S

Cálculo de los capacitores

•

ΦR = Arc tg 0,85 = 31,8º C

Pm (tgϕ m

=

−

tgϕ R

2 3. ω ⋅ UL

72.246,98 (tg 51,1º − tg 31,8º ) 3. 314.380 2

= 329 µ F

Nuevas corrientes de línea

•

ICOR

=

Pm

=

3.U.cos ϕ R


=

72.246,98

=

129,2 A

3 .380.0,85 183


[ ]

IRCOR = 129,2 ∠ 90 - 31,8 = 129,2 ∠ 58,2º A

[ ]

I SCOR = 129,2 ∠ 330 - 31,8 = 129,2 ∠ 298,2º A I TCOR = 129,2 ∠ 210 - 31,8 = 129,2 ∠ 178,2º

ARCOR = 129,2 A

[ A ]

ASCOR = 129,2 A

ATCOR = 129,2 A

U

RT

1,8º

WRT = URT IRCOR cos 1,8º = 380. 129,2. cos 1,8º = 49.071,77 I

RCOR

U

ST

WST = UST ISCOR cos 61,8º = 380. 129,2. cos 61,8º = 23.200,35 61,8º I

SCOR

PTRIF. = 49.071,77 + 23.200,35 = 72.272,12 W (La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos) •

Verificación de las potencias antes de colocar los capacitores Pm

=

3 .U.I.cos ϕ m

=

3 .380.174,8 .cos 51,1º

= 72.244,87

W

Qm = Pm . tg φm = 72.244,87 . tg 51,1º = 89.534,05 Var Sm •

=

3 .U.I

3 .380.174,8

=

= 115.018,40

VA

Verificación de las potencias resultantes después de colocar los capacitores PR

=

3 .U.I COR .cos ϕ R

=

3 .380.129,2 .cos 31,8º = 72.244,87 W

= URO´ QR = P.m. tg φm = 72.244,87.UtgRO31,8º = 44.793,72 Var SR

=

3 .U.I COR

=

3 .380.129,2 = 85.013,60 VA U

RS

I

I

RCOR

R

DIAGRAMA FASORIAL

I

T

O = O´

Ejercicio 619: Una línea trifásica de 3 x 380/220 V, 50 Hz, alimenta un motor trifásico conectado en triángulo que consume una potencia de 30 kW con cos ϕ = 0,85 en atraso. Además dicha U TR línea alimenta una serie de cargas de iluminación monofásicas de 220 V, de la siguiente potencia: I


TCOR

184 I

U

TO

= UTO´

SCOR

U I

ST

U

SO

= USO´


Una potencia de 16,5 kW con cos ϕ = 1 sobre la fase “R” Una potencia de 11 kW con cos ϕ = 1 sobre la fase “S” Una potencia de 8,8 kW con cos ϕ = 1 sobre la fase “T”

• • •

Se colocan los vatímetros necesarios para medir la potencia del sistema. Dibuje el esquema de conexiones de las cargas y de los vatímetros, y calcule la indicación de los mismos. I

I

R

R

RM

WR I

I

I

R1

S

SM

WS

S

I T

S1

M 3~

TM

WT

T

T1

O •

IM

=

Corrientes que absorbe el motor PMOT

30.000

=

3.U.I. cos ϕ

=

53,6 A

3 .380.0,85

[ ]

IRM =

53,6 ∠ 90 - 31,8

I SM =

53,6 ∠ 330 - 31,8

= 53,6 ∠ 298,2º

[ A ]

I TM =

53,6 ∠ 210 - 31,8

= 53,6 ∠ 178,2º

[ A ]

•

φM = Arc cos 0,85 = 31,8º

= 53,6 ∠ 58,2º A

Corrientes de iluminación

Las mismas están en fase con las tensiones que tienen aplicadas, o sea: IRIL

=

ISIL

=

I TIL

=

PR

=

=

U TO •

11.000

=

8.800 220

IRIL =

75 ∠ 90º [ A ]

=

50 A

I SIL =

50 ∠ 330º [ A ]

=

40 A

I TIL =

40 ∠ 210º [ A ]

Corrientes totales de línea

IR = IRIL + IRM =


75 A

220

USO PT

=

220

URO PS

16.500

75 ∠90º + 53,6 ∠58,2º = 123,8 ∠76,8º [ A ]

185


IS

= ISIL + ISM = 50 ∠330º + 53,6 ∠298,2º = 99,6 ∠313,5º [ A ]

I T = I TIL + I TM =

40 ∠210º + 53,6 ∠178,2º = 90,1 ∠191,7º [ A ]

IN = −(IR + IS + I T ) =

31,2 ∠254º [ A ]

13,2º

U

WR = URO IR cos 13,2º = 220. 123,8. cos 13,2º = 26.516,4 W

RO

I

R

U

SO

WS = USO IS cos 16,5º = 220. 99,6. cos 16,5º = 21.009,6 W

I

S

16,5º I

T

18,3º

WT = UTO IT cos 18,3º = 220. 90,1. cos 18,3º = 18.819,5 W

U

TO

PTRIF. = 26.516,4 + 21.009,6 + 18.819,5 = 66.345,5 W PTRIF. = PM + PR + PS + PT = 30.000 + 16.500 + 11.000 + 8.800 = 66.300 W La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos en los ángulos. = URO´

U

RO

ω U

RS

I

DIAGRAMA FASORIAL

R

I

RIL

I I

TM

I

TIL

U

TR

I

T

RM

O I

SM

I

SIL

U

TO

= UTO´

I

S

U

ST

U

SO

= USO´

Ejercicio 620: Una industria toma energía de la red de 3 x 380 V – 50 Hz a través de una línea

trifásica. La carga está formada por: •

Motores trifásicos conectados en triángulo, que totalizan una potencia de 28 kW con factor de potencia 0,7 en atraso.


186


• •

Un horno de inducción conectado en estrella que consume 7200 W, con factor de potencia 0,25 inductivo. Un equipo de calefactores conectados en triángulo que consume 3800 W con factor de potencia igual a 1.

Se desea compensar el factor de potencia de la carga total, mediante un banco de capacitores conectados en triángulo, de modo de llevar el valor del factor de potencia a 0,85 en atraso. Para medir la potencia se utilizan vatímetros conectados en conexión Aron, con el punto común en la fase “S”. Calcular: 1. 2. 3. 4.

La lectura de los vatímetros antes de la compensación El valor de los condensadores La lectura de los vatímetros después de la compensación. La corriente por el alimentador antes y después de la compensación IR

R

WRS I

S

M 3~

S T

WTS

T

HORNO

CALEFACTORES

CARGA

POTENCIA ACTIVA [W]

POTENCIA REACTIVA [VAr]

POTENCIA APARENTE [VA]

MOTORES

28.000

28.566

40.000

HORNO

7.200

27.885

28.800

CALEFACTORES

3.800

---

3.800

TOTAL

39.000

56.451

68.613

ϕ m = Arc

I=

tg

Qm Pm

Pm

= Arc

=

3. U. cos ϕ

tg

56.451

=

39.000

39.000

=

55,4º

cos ϕ m

=

0,568

104,35 A

3 .380.0,568

IR = 104,35 ∠ (90 - 55,4) = 104,35∠ 34,6º [ A ]

[ ]

I S = 104,35 ∠ (330 - 55,4) = 104,35 ∠ 274,6º A I T = 104,35 ∠ (210


- 55,4)

[ ]

= 104,35 ∠ 154,6º A

187


U

RS

85,4º

WRS = URS IR cos 85,4º = 380. 104,35. cos 85,4º = 3.180,13

I

R

I

T

25,4º WTS = UTS IT cos 25,4º = 380. 104,35. cos 25,4º = 35.819,95

U

TS

PTRIF. = 3.180,13 + 35.819,95 = 39.000,08 W •

C

=

Cálculo de los capacitores

Pm (tgϕ m

−

tgϕ R

=

2 3. ω ⋅ UL

•

ICOR =

3. 314.380 2

= 238 µ F

Nuevas corrientes de línea Pm 3.U.cos ϕ R

39.000

=

3 .380.0,85

IRCOR =

69,73 ∠ (90 - 31,8)

I SCOR =

69,73 ∠ (330 - 31,8)

I TCOR

•

39.000 (tg 55,4º − tg 31,8º )

=

69,73 A

= 69,73 ∠ 58,2º

A [ ]

= 69,73 ∠ 298,2º

[ A ]

= 69,73 ∠ (210 - 31,8) = 69,73 ∠ 178,2º [ A ]

Nuevas lecturas de los vatímetros URS

61,8º WRS = URS IRCOR cos 61,8º = 380. 69,73. cos 61,8º = 12.521,37 I U

RO

= URO´

RS

I

TS

DIAGRAMA FASORIAL

RCOR

T

I

I

TCOR

U

U

PTRIF. = 12.521,37 + 26.484,33 = 39.005,70 W

I

ω 1,8º

WTS = UTS ITCOR cos 1,8º = 380. 69,73. cos 1,8º = 26.484,33

I

RCOR

R

O

TCOR

U

TR


188 I

SCOR

U

TO

= UTO´

U I

ST

U

SO

= USO´


Ejercicio 621: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias

activa, reactiva y aparente total I

R

WRT

10 ∠ 30° Ω

R

I

I

RS

10 Ω

10 Ω

I

S

R1

10 ∠ 30° Ω

WST

S

O´ I

I

ST

I

10 Ω

S1

TR

T

10 ∠ 30° Ω

T I

3 x 380 V – 50 Hz IR1 =

IS1 =

URO

=

ZS


=

10∠30º

ZR U SO

220∠90º

=

220∠330º 10∠30º

T1

Secuencia directa

22∠ 60º A [ ]

=

22∠ 300º [ A ]

189


I T1

=

IRS =

IST =

I TR =

•

U TO ZT URS

=

220∠210º = 22∠ 180º [ A ] 10∠30º

=

380∠120º 10∠0º

Z RS U ST

=

380∠0º 10∠0º

Z ST U TR

=

Z TR

=

[ ]

= 38 ∠ 120º A

38 ∠0º [ A ]

380∠240º 10∠0º

=

38 ∠ 240º A [ ]


IR2 = IRS − I TR = 38∠120º − 38∠240º = IS2 = I ST − IRS = I T2

38∠ 0º − 38∠120º = 65,82 ∠330º [ A ]

= I TR − IST = 38∠240º − 38∠0º = 65,82∠210º [ A ]

IR = IR1 + IR2 = IS

65,82 ∠90º [ A ]

22∠60º + 65,82∠90º = 85,58 ∠82,6º [ A ]

= I S1 + IS2 = 22∠300º + 65,82∠330º = 85,58 ∠322,6º [ A ]

I T = I T1 + I T2 =

22∠180º + 65,82 ∠210º = 85,58 ∠202,6º [ A ]

U

RO

ω U

RS

I

DIAGRAMA FASORIAL

R

O U

TR

I

T

I

S

U

TO

U

U

SO

ST

22,6º WRT = URT IR cos 22,6º = 380. 85,58. cos 22,6º = 30.023,17 Ing. Julio Álvarez 04/10

I

R

U

RT

190


U

ST

WST = UST IS cos 37,4º = 380. 85,58. cos 37,4 º = 25.834,68

37,4º

PTRIF. = 30.023,17 + 25.834,68 = 55.857,85 W

I

S

Como el sistema es equilibrado: Q TRIF

=

3 ( WRT

− W ST

) = 3 ( 30.023,17 − 25.834,68 ) = 7.254,46 VAr

2 2 2 2 S TRIF: = PTRIF + Q TRIF = 55.857,85 + 7.254,68 = 56.326,96 VA

Ejercicio 622: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias

activa, reactiva y aparente total I

R

WRT

I I

10 ∠ - 30° Ω

R

RS

I

10 ∠ 90° Ω

10 ∠ 90° Ω

S

R1

10 ∠ - 30° Ω

WST

S

O´ I

I ST

10 ∠ 90° Ω

T

I

S1

TR

10 ∠ - 30° Ω

T I

T1

IR1

=

IS1 =

I T1

=

IRS

=

IST =

I TR

=

•

URO ZR U SO

3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa 220∠90º = = 22∠ 120º [ A ] 10∠ − 30º =

220∠330º 10∠ − 30º

=

220∠210º = 22∠ 240º [ A ] 10∠ − 30º

=

380∠120º = 38 ∠ 30º [ A ] 10∠90º

ZS U TO ZT URS Z RS U ST

=

10∠90º

Z ST U TR Z TR

380∠0º

=

=

=

22∠ 0º [ A ]

38 ∠ − 90º [ A ]

380∠240º [ ] = 38 ∠ 150º A 10∠90º



191

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS IR2

= IRS − I TR = 38∠30º − 38∠150º = 65,82 ∠0º [ A ]

IS2 = I ST − IRS =

38∠ - 90º − 38∠30º = 65,82 ∠240º [ A ]

I T2 = I TR − IST = 38∠150º − 38∠ - 90º =

IR

65,82 ∠120º [ A ]

= IR1 + IR2 = 22∠120º + 65,82∠0º = 58,04 ∠19,16º [ A ]

IS = I S1 + I S2 =

22∠0º + 65,82 ∠240º = 58,04 ∠259,16º [ A ]

I T = I T1 + I T2 =

22∠240º + 65,82∠120º = 58,04 ∠139,16º [ A ] U

RO

ω U

RS

I

DIAGRAMA FASORIAL

T

I

R

O U

TR

U

TO

U

U I

SO

ST

S

U

RT

40,84º


I

R

U

ST

WST = UST IS cos 100,84º = 380. 58,04. cos 100,84 º = - 4.147,86 100,84º I

S

PTRIF. = 16.685,61 – 4.147,86 = 12.537,75 W Como el sistema es equilibrado: Q TRIF = 3 ( WRT − W ST ) = 3 (16.685,61 + 4.147,86 ) = 36.083,57 VAr S TRIF:

=

2 PTRIF

2

+ Q TRIF =


12.537,75 2

+ 36.083,57

2

= 38.199,73

VA

192


Ejercicio 623: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y la potencia activa

trifásica I

R

WRT

I I

10 ∠ 45° Ω

R

I

RS

10 ∠ 90° Ω

10 Ω

S

R1

10 ∠ 45° Ω

WST

S

O´ I

I ST

10 ∠ - 90° Ω

T

I

S1

TR

10 ∠ 45° Ω

T I

T1

3 x 380 V – 50 Hz IR1 =

IS1 =

I T1

=

IRS

=

IST =

I TR =

•

URO

=

ZT URS Z RS U ST

220∠330º 10∠45º

=

220∠210º = 22∠ 165º [ A ] 10∠45º

=

380∠120º = 38 ∠ 30º [ A ] 10∠90º

=

Z TR

380∠0º 10∠ − 90º

Z ST U TR

22∠ 45º [ A ]

=

ZS U TO

=

10∠45º

ZR U SO

220∠90º

Secuencia directa

=

=

22∠ 285º [ A ]

[ ]

= 38 ∠90º A

380∠240º 10∠0º

=

38 ∠ 240º A [ ]


IR2 = IRS − I TR = 38∠30º − 38∠240º = 73,4 ∠45º [ A ] IS2

= IST − IRS = 38∠ 90º − 38∠30º = 38∠150º [ A ]

I T2

= I TR − IST = 38∠240º − 38∠90º = 73,4 ∠255º [ A ]

IR = IR1 + IR2 = IS

22∠45º + 73,4 ∠45º = 95,4 ∠45º [ A ]

= I S1 + IS2 = 22∠285º + 38∠150º = 27,3 ∠184,73º [ A ]

I T = I T1 + I T2 =


22∠165º + 73,4 ∠255º = 76,63 ∠238,3º [ A ] 193

Ejercicios de Potencia Trifasica

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