CONc CO NcEp Epto toS S ge gene nera rale les s de maquinas ELECTRICAS ELECTRICAS
Ing°° Saú Ing Saúll Montalvá Montalván n Apolaya Apolaya C.I.P. 72943
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PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La instalación de una panadería consta de los sigu siguie ien nte tess recep ecepto tore res: s: a) Un sistema de ventilación con un motor de 2 KW, Cos = 0,7 ; b) Un sistema de alumbrado consistente en 20 lámparas de 40 W cada una y con un factor de potencia de 0,6; c) Un horno de 4 KW.
El suministro de energía se hace a 220 V y 50 Hz. Calcular: a) La pot potencia cia apar aparen entte tot otal al ins instalad alada, a, b) El factor de potencia total, c) La corriente total por los conductores de la línea general.
SOLUCIÓN Dado que solo conocemos las potencias activas de cada uno de los receptores, lo primero que tenemos que hacer es averiguar las potencias reactivas correspondientes. a) Para calcular la potencia reactiva del motor nos valemos del triangulo de potencias, donde aplicamos la función trigonométrica de la tangente: = ⟹ = = 2 000 45,6° = 2 042
(El que le corresponde al = 0,7; es 45,6°) b) La potencia activa total de las lámparas es: P2 = 20(40 W) = 800 W El que le corresponde al = 0,6; es 53,1° = = 800 53,1° = 1 067 c) Un horno consta básicamente de una resistencia puramente óhmica, por lo que su factor de potencia es la unidad y, por tanto, su potencia reactiva es nula. Q 3 = 0 VAR
SOLUCIÓN Ahora realizamos la suma de potencias: = + + = 2 000 + 800 + 4 000 = 6 800 = + + = 2 042 + 1 067 + 0 = 3 109 =
+ =
(6 800) +(3 109) = 7 477
6 800 = = = 0,91 7 477 Con esto ya podemos obtener la intensidad total del circuito: 6 800 = ⟹ = = = 34 220 (0,91)
2. Un sistema trifásico con neutro posee una tensión de línea de 220 V. Averiguar la tensión de fase. SOLUCIÓN
=
3
=
220
3
= 127
3. Un motor trifásico está conectado en estrella a una red de C.A. trifásica de 380 V de tensión de línea (ver grafico). Su potencia activa es de 5 KW con un factor de potencia de 0,85. Averiguar: La corriente que absorbe el motor por cada uno de los conductores de la línea (corriente de línea), la corriente que fluye por cada una de las bobinas o fases del motor (corriente de fase), la tensión a que queda sometida cada una de las bobinas o fases del motor (tensión de fase), potencia reactiva y aparente.
Para calcular la corriente de línea aplicamos la expresión de potencia reactiva trifásica: P
3VL IL Cos
IL
P
3VLCos
5000
( 3)(380)(0, 85)
8, 9
Para la conexión en estrella la corriente de fase es igual a la de línea:
If
IL
8, 9 A
La tensión que aparece en cada una de las fases del motor es:
Vf
V L
380
3
3
219 V
El ángulo que le corresponde a Cos =0,85 es de 31,8º Q S
3VL IL Sen 3VL IL
3(380)(8, 9)(Sen31, 8º )
3(380)(8, 9)
5858VA
3087VAR
A
4. Un horno eléctrico trifásico posee tres resistencias eléctricas iguales conectadas en estrella. Determinar su potencia si se mide una corriente por cada fase de 15 A y una tensión de fase de 127 V. SOLUCIÓN Averiguamos primero la corriente y tensión de línea:
= = 15 = 3 = 3 127 = 220 Para calcular la potencia aplicamos la expresión general de potencia, teniendo en cuenta que el factor de potencia en este caso es la unidad por ser cargas totalmente resistivas. = 3 = 3 220 15 1 = 5 716
5.
Un aparato de calefacción eléctrico trifásico consta de tres resistencias iguales de 20 ohmios cada una conectadas en estrella a una red trifásica de 220 V (ver figura). Se trata de calcular la potencia de la carga trifásica.
R
T
S 220 V
IL = 6,4 A
SOLUCIÓN
R = 20
Primero calculamos la corriente por cada resistencia, que corresponderá con la corriente de fase, que como ya sabemos, es igual que la de línea. Para ello aplicaremos la ley de Ohm, teniendo en cuenta que la tensión que aparece en cada una de las cargas es la de fase. 220 = = = 127 3 3 127 = = = = 6,4 20
R = 20
If
Ω
R = 20
Ω
Ω
V 7 2 1
Ahora ya podemos calcular la potencia de la carga trifásica, para lo cual aplicamos la expresión general de potencia, teniendo en cuenta que, por ser cargas resistivas, el factor de potencia es igual a la unidad.
= 3 =
3 220 6,4 1 = 2 439
R
6.
Por un motor trifásico conectado en triangulo se mide una corriente de línea de 20 A cuando se le conecta a una tensión de línea de 220 V. Teniendo en cuenta que el factor de potencia del mismo es de 0,8; calcular: la corriente y la tensión de fase, potencia activa, reactiva y aparente.
S
VL = 220 V
IL = 20 A
SOLUCIÓN
La tensión de fase es igual que la de línea: V f = VL = 220 V La corriente de fase: 20 = = = 11,5 3 3 El angulo que le corresponde a Cos = 0,8 es de 36,9° Las potencias del motor las calculamos así: = 3 = 3 220 20 0,8 = 6 097 = 3 = 3 220 20 36,9° = 4 576 = 3 = 3 220 20 = 7 621
V 0 2 2 =
V f
If = 11,6 A
T
7.
Un motor asíncrono trifásico posee las siguientes características: 8 KW/380 V/Cos = 0,87. Con estos datos averiguar: la corriente de línea y de fase, así como la potencia reactiva y aparente. SOLUCIÓN
Para calcular la corriente de línea nos valemos de la potencia activa trifásica:
=
3
=
8000
3(380)(0,87)
La corriente de fase: El ángulo que le corresponde al Cos = 0,87, es 29,54° = 3 = 3(380)(13,97) Sen 29,54° = 4 533,49 VAR = 3 = 3(380)(13,97)= 9 194,76 VA
8.
La potencia de un horno trifásico es de 30 KW a 380 V. Determinar el valor óhmico de las tres resistencias iguales de las que consta. SOLUCIÓN
Como es un sistema equilibrado, la potencia que suministra cada carga será la tercera parte de la potencia total trifásica: 30 = = 10 3 Cada resistencia está sometida a la tensión de fase, que en este caso coincide con la de línea. La corriente que aparece en cada una de ellas es: ′ 10 000 = = = 26,3 380 Si ahora aplicamos la ley de Ohm obtendremos el valor de la resistencia: 380 = = = 14,4 Ω 26,3
9.
Se conectan a una red trifásica con neutro y con una tensión entre fases de 380 V, 3 motores monofásicos de 1000 W, 220 V, Cos =0,6 cada uno. Averiguar: la corriente por la línea que los alimenta.
SOLUCIÓN Como los motores funcionan a 220 V, es decir, a la tensión de fase ( =
380 3 = 220 ) , se ha conectado un motor entre cada fase y neutro con el fin de repartir equitativamente las cargas de acuerdo al siguiente grafico:
La potencia total conectada a la red trifásica es de: = 3 1000 = 3000 Para calcular la intensidad de línea nos valemos de la formula general de la potencia trifásica: = 3 3000 ⇒ = = = 7,60 3 3(380)(0,6)
10. Se necesitan conectar 30 lámparas de vapor de mercurio de 250 W, 380 V, Cos = 0,6 a una red trifásica con una tensión entre fases de 380 V. Mostrar la conexión de las mismas para conseguir que la carga esté equilibrada y averiguar la corriente por la línea que las alimenta.
R S
380 V
T
10 lámparas
10 lámparas
10 lámparas
SOLUCIÓN Como las lámparas funcionan a 380 V, es decir, a la tensión de línea, se han conectado 3 grupos de 10 lámparas entre cada dos fases, con el fin de repartir equitativamente las cargas (figura anterior): La potencia total conectada a la red trifásica es de: P = (30)(250 W) = 7 500 W
Para calcular la intensidad de línea nos valemos de la formula general de potencia trifásica: 7 500 = 3 ⇒ = = = 19 3 3 380 (0,6)
11.
Una instalación industrial posee una potencia de 20 KW a 380 V y con un factor de potencia de 0,75. Se trata de calcular la potencia reactiva que deberá poseer una batería de condensadores automática para conseguir mejorar el factor de potencia hasta 0,95. Determinar también la corriente por la línea antes y después de mejorar el factor de potencia, así como la corriente de línea de la batería de condensadores. SOLUCIÓN
Para calcular la potencia reactiva de la batería de condensadores Q C necesaria para elevar el factor de potencia de 0,75 hasta 0,95 utilizaremos la misma expresión que en los circuitos monofásicos. Para ello, determinaremos primero los ángulos que corresponden con estos factores de potencia. Al Cos = 0,75 le corresponde un ángulo de 41,4° Al Cos ′ = 0,95 le corresponde un ángulo ′ de 18,2° F i g u r a (pagina 90) = = 20 000 41,4° 20 000 18,2° = 11 057 = 11 La corriente de línea antes de la mejora del factor de potencia: 20 000 = = = 41 3 3 380 (0.95) La corriente de línea después de la mejora del factor de potencia: 20 000 ′ = = = 32 3 ′ 3 380 (0,95) Se observa como se ha conseguido reducir considerablemente la corriente por la línea al mejorar el factor de potencia. La corriente por la línea que alimenta a la batería de condensadores la calculamos teniendo en cuenta su potencia reactiva y que el ángulo de desfase provocado por los mismos es de 90° 11 057 = 3 ⟹ = = = 17 3 3 380 ( 90°)
R
I’ L
IL
S IC
T
Batería automática de condensadores
20 KW 380 V Cos φ = 0,75
12.La instalación de una nave industrial consta de los siguientes receptores: a)1 motor trifásico de 5 KW, Cos =0,85 b)3 motores trifásicos de 3 KW, Cos =0,8 c)1 horno trifásico de 5 KW d)15 motores monofásicos de 2 KW, Cos =0,65 e)9 calefactores monofásicos de 1 KW
La tensión de línea es de 380 V y se trata de calcular: la potencia total instalada, factor de potencia de la instalación, corriente por la línea y potencia reactiva de la batería de condensadores para mejorar el factor de potencia a 0,95.
S O L U C I Ó N Comenzamos calculando la potencia activa y reactiva de cada carga: a) La potencia activa del motor es: P1 = 5000 W La potencia reactiva la calculamos con la siguiente expresión obtenida del triangulo de potencias:
= = 5000 31,79° = 3098,72 (El ángulo que le corresponde al Cos = 0,85 es 31,79° b) La potencia activa de los 3 motores es: P2 = (3)(3000) = 9000 W
= = 9000 36,87° = 6750 (El ángulo que le corresponde al Cos = 0,8 es 36,87°) c) La potencia activa del horno es: P3 = 5000 W Q3 = 0 VAR (las cargas resistivas no producen potencias reactivas).
d)
Los 15 motores monofásicos se conectan entre las fases a razón de 5 motores entre cada dos fases diferentes, consiguiendo así una carga equilibrada. P4 = (15) (2000) = 30 000 W
= = 30000 49,46° = 35073,89 (El ángulo que le corresponde al Cos = 0,65, es 49,46°) e)
Los 9 calefactores monofásicos se conectan en grupos de 3 por cada dos fases diferentes. P5 = (9) (1 000) = 9 000 W Q5 = 0 VAR Ahora sumamos las potencias: PT = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 5 000 + 9 000 + 5 000 + 30 000 + 9 000 = 58 000 W QT = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 = 3 098,72 + 6 750 + 0 + 35 073,89 + 0 = 44 922,61 VAR
=
+ =
(58000) +(44922,61) = 73362,39
58000 = = = 0,79 73362,39
Ahora ya podemos calcular la corriente total por la línea:
=
3
=
58000 3(380)(0,79)
= 111,55
Calculamos ahora la potencia reactiva de la batería de condensadores para mejorar el factor de potencia de la instalación hasta 0,95: Cos = 0,79: le corresponde un ángulo de 37,81º Cos ′= 0,95: le corresponde un ángulo ′ de 18,19º
= = 58000 37,81° 58000 18,19 = 25947,41 = 25,95
13. La acometida de un edificio de viviendas consta de 3 conductores más el neutro y posee una longitud de 50 m. La potencia prevista para el edificio es de 35 KW con un factor de potencia de 0,85. Se trata de calcular la sección de los conductores de la línea teniendo en cuenta que la caída de tensión no puede superar el 1% de la de alimentación. La tensión de alimentación entre fases es de 380 V y los conductores son unipolares instalados bajo tubo. SOLUCIÓN
Primero calculamos la corriente de línea: =
=
35 000
= 63
3 3 380 (0,85) La caída de tensión en voltios máxima permitida es: 380 ∆ = 1 = 3,8 100 Ahora calculamos la sección: 3 3 0,017 50 63 (0,85) = = = 21 ∆ 3,8 2 La sección comercial que le corresponde es de 25 mm . Como la corriente permitida para tres conductores unipolares bajo tubo de 25 mm 2 es de 64 A se puede dar por válido este resultado.
14. Calcular la potencia absorbida, útil y perdida, así como el par nominal de un motor trifásico cuyas características son: V = 3 8 0 V / I = 8 5 A / = 92,5% / Cos = 0,86 / n = 980 rpm SOLUCIÓN a) Potencia absorbida: P
3 3(380)(85)(0,86) = = = 48,113 1000 1000 b) Potencia útil: Pu
= = 48,113 0,925 = 44,504 c) Potencia perdida: P p
= = 48,113 44,504 = 3,609 d) Par nominal en el eje del motor: Mn
9550 9550(44,504) = = = 433,687 980
15. Calcular la energía activa y reactiva consumida por un motor de 45 KW en 16 horas, siendo su factor de potencia Cos =0,86, y su rendimiento = 92,5%, suponiendo que todo el tiempo funciona a sus valores nominales. SOLUCIÓN
a)
Potencia absorbida: P
45 = = = 48,649 0,925 b)
Energía activa: W
= ℎ = 48,649 16 ℎ = 778,378 ℎ (En electricidad la unidad practica es el KWh; 1 KWh = 3 600 000 Joules) c) Potencia reactiva: P x
= = 48,649 0,593 = 28,849 = 0,86 ⇒ 0,86 = 30,68) Tan 30,68º = 0,593 d) Energía reactiva: W x W x = P x h = (28,849 KVAR)(16 h) = 461,584 KVARh
16. Características de un determinado motor, dados por el constructor: CARACTERÍSTICAS – Potencia – Tensión – Intensidad – Velocidad – Factor de potencia – Rendimiento – Par máximo – Intensidad de arranque – Momento de inercia – Peso – Otras características
VALORES P = 45 KW (60 CV) U = 380 V en la red I = 85 A a 380 V n = 980 rpm Cos φ= 0,86 η = 92,5% MM/MN = 2,3 IA/IN = 6,3 J = 1,5 Kgm2 m = 625 Kg No consideradas en este cálculo SOLUCIÓN
Verificación y cálculo de los datos del motor de C.A. a) Potencia útil: Pu La placa de característica del motor señala la potencia útil que puede transmitir:
=
3 3(380)(85)(0,86)(0,925) = = 44,504 1000 1000
b) Potencia absorbida: Pa Los cálculos para los aparatos de maniobra se harán a partir de la potencia absorbida:
=
3 3(380)(85)(0,86) = = 48,113 1000 1000
c) Intensidad absorbida por el motor: I La intensidad puede calcularse con cualquiera de las dos formas anteriores:
=
1000
3(380)(0,86)(0,925)
= 84,99
d) Tensión de conexión: U Las fases del motor están construidas para U f = 380 V Con red de V L = 380 V, el motor podría arrancarse en conexión estrella- triangulo (λ- Δ). Por otro lado, las características del motor permiten el arranque directo, ya que el constructor admite una intensidad de arranque I A = 6,3 veces la intensidad nominal I N e) Velocidad: n La velocidad asíncrona de n = 980 rpm, corresponde a una velocidad sincronía de n s = 1 000 rpm, por lo que se tratara de un motor con devanado trifásico de 6 polos. f) Factor de potencia: Cos El factor de potencia Cos = 0,86, corresponde al del motor, a sus valores nominales. g) Par nominal: M
=
9550 9550(44,504) = = 433,687 980
h) Par máximo: MM Según el constructor: MM = 2,3 MN = 2,3(433,687) = 997,48 N-m
17.
a) b) c)
El barraje infinito de la siguiente figura opera a 480 V. La carga 1 es un motor de inducción que consume 100 KW con factor de potencia 0,78 en atraso, y la carga 2 es un motor de inducción que consume 200 KW con factor de potencia 0,8 en atraso y la carga 3 es un motor sincrónico cuyo consumo de potencia real es de 150 KW. Si se ajusta el motor sincrónico para operar a un factor de potencia de 0,85 en atraso ¿Cuál es la corriente en la línea de transmisión del sistema? Si se ajusta el motor sincrónico para operar a factor de potencia 0,85 en adelanto ¿Cuál es la corriente en la línea de transmisión del sistema? Suponga que las perdidas en la línea de transmisión están dadas por: = 3 ; donde LL representa las perdidas en la línea ¿Cómo se comparan las pérdidas de transmisión en los dos casos?
SOLUCIÓN a) En el primer caso, la potencia real de la carga es 100 KW, y la potencia reactiva de la carga 1, es:
= = 1000 − 0,78 = 1000 38,739 = 80,228 La potencia real de la carga 2 es 200 KW, y su potencia reactiva es:
= = 200 − 0,80 = 200 36,87 = 150 La potencia real de la carga 3 es 150 KW, y la potencia reactiva de la carga 3 es:
= = 150 − 0,85 = 150 31,788 = 92,962 Entonces la carga total es: PT = P1 + P2 + P3 = 100 KW + 200 KW + 150 KW = 450 KW La carga reactiva total es: QT = Q1 + Q2 + Q3 = 80,228 + 150 + 92,962 = 323,19 KVAR El factor de potencia equivalente del sistema es:
= = − = −
,
= 35,686° = 0,812 , en atraso.
Finalmente, la corriente de línea está dada por:
=
1000
=
1000(450 )
= 666,584
b)
Las potencias real y reactiva de las cargas 1 y 2 no varían, así como tampoco la potencia real de la carga 3. La potencia reactiva de la carga 3, es:
Q3 = P3Tan =(150 KW) Tan (Cos-1 0,85) = (150 KW)Tan(-31,788) = -92,962 KVAR Entonces, la carga real total es: PT = P1 + P2 + P3 = 100 KW + 200 KW + 150 KW = 450 KW La carga reactiva total es: QT = Q1 + Q2 + Q3 = 80,228 KVAR + 150 KVAR – 92,962 KVAR = 137,266 KVAR El factor de potencia equivalente del sistema es:
= = − = −
,
= 16,964° = 0,956 , en atraso.
Finalmente, la corriente de línea está dada por:
= c)
1000 3
=
1000(450 ) 3(480 )(0,956)
= 566,178
Las pérdidas de transmisión en el primer caso son:
= 3 = 3(666,584 ) = 1333002,687 Las perdidas de transmisión en el segundo caso son: = 3 = 3(566,178 ) = 961672,587 Notamos que en el segundo caso las perdidas por transmisión son 28% menos que en el primer caso, mientras que la potencia suministrada a las tres cargas es la misma.
18. Considere un motor de inducción monofásico de 60 Hz con la siguiente información de placa: 1 HP, 1725 rpm, 115 V, 14,4 A, η = 68%. Determine el par de salida, el factor de potencia y el costo de operación del motor si la potencia eléctrica cuesta S/.1,02/KWh SOLUCIÓN La potencia de salida es 1 HP x 746 W/HP = 746 W, así que la potencia es, a partir de la siguiente ecuación:
746 = = = 1097,059 0,68
Ahora obtenemos el factor de potencia:
=
= ( )(, ) = 0,662 , y la corriente está retrasada por este tipo de motor. El
par de salida será:
=
=
( )
= 4,13 , la velocidad mecánica ha sido convertida a
radianes/segundo. Para la operación continua y condiciones de placa, el costo sería:
1097 24 ℎ /.1,02 /.26,85 = 1 1 ℎ 1000
19. Considere un motor de inducción monofásico de 60 Hz con la siguiente información de placa: 1 HP, 1725 rpm, 115 V, 14,4 A, η = 68%. Determine el par de salida, el factor de potencia y el costo de operación del motor si la potencia eléctrica cuesta S/.1,02/KWh SOLUCIÓN La potencia de salida es 1 HP x 746 W/HP = 746 W, así que la potencia es, a partir de la siguiente ecuación:
746 = = = 1097,059 0,68
Ahora obtenemos el factor de potencia:
=
= ( )(, ) = 0,662 , y la corriente está retrasada por este tipo de motor. El
par de salida será:
=
=
( )
= 4,13 , la velocidad mecánica ha sido convertida a
radianes/segundo. Para la operación continua y condiciones de placa, el costo sería:
1097 24 ℎ /.1,02 /.26,85 = 1 1 ℎ 1000
Importancia práctica del Cos : 20. Un motor monofásico de 1000 W a 220 V con un Cos = 0,6. Estos datos nos indican que el motor desarrolla una potencia mecánica equivalente a los 1000 W de potencia activa suministrados por la red eléctrica. Por otro lado, el factor de potencia está bastante por debajo de la unidad lo que nos muestra la presencia de una potencia reactiva elevada causada por el efecto de la autoinducción de los bobinados. Hay que pensar que la potencia no se transforma en trabajo útil en el motor, simplemente sirve para generar el campo electromagnético, para luego ser devuelta al generador. Este trasiego de energía reactiva del generador al motor y viceversa, hace que la compañía suministradora de energía eléctrica tenga que proporcionar una potencia aparente por la red eléctrica muy superior a la que realmente se consume. En consecuencia, se produce un aumento de corriente por los conductores de la línea que repercute directamente en los costos de las instalaciones eléctricas propiedad de las compañías.
SOLUCIÓN En este problema, obtenemos el siguiente grafico a partir de los datos:
1000 = = = 1667 0,6 = = 16677 0,8 = 1334 1000 = = = 7,6 ( ) (220)(0,6) De los datos obtenidos deducimos que el motor produce un consumo de 1000 W, pero necesita de un suministro de 1667 VA por la línea para funcionar. Si por algún método mejoramos el factor de potencia hasta por lo menos 0,95 obtendríamos los siguientes valores:
1000 = = = 1053 0,95 = = 1053 0,31 = 326 1000 = = = 4,8 ( ) (220)(0,95) Deducimos que al acercar el factor de potencia a la unidad obtenemos una reducción de corriente considerable, asi como de la potencia aparente y reactiva.
SOLUCIÓN Para contrarrestar el consumo excesivo de potencia reactiva de carácter inductivo y así reducir también la potencia aparente y la corriente por la línea se instalan condensadores conectados en paralelo con los receptores, tal como se muestra en la siguiente figura:
20. En la fabricación de un transformador monofásico se han utilizado 750 espiras en el primario y 1500 en el secundario. El flujo máximo que aparece en el núcleo magnético es de 3 mWb (mili weber). Determinar las tensiones en el primario y en el secundario para una frecuencia de 50 Hz, así como la relación de transformación. SOLUCIÓN = 4,44 Φ = 4,44 50 750 0,03 = 499,5 = 4,44 Φ = 4,44 50 1 500 0,03 = 999,0 Lo cual nos indica que es un transformador elevador, siendo su relación de transformación:
750 = = = 0,5 1 500
21. Un transformador reductor de 230/110 V proporciona energía a una electrobomba de 2 kW, 110 V, Cos = 0,6. Suponiendo la corriente de vacío y las pérdidas despreciables, determinar la intensidad por el primario y por el secundario, así como la relación de transformación del transformador. ¿Cuál es la potencia aparente que suministra el transformador? SOLUCIÓN Calculamos primero la corriente por el secundario:
2000 = = 30,3 (110)(0,6) La relación de transformación es: 230 = = = 2,01 110 La corriente por el secundario la calculamos teniendo en cuenta la relación de transformación: 30,3 = ⇒ = = = 15,07 2,01 La potencia aparente que suministra el transformador es: = = 110 30,3 = 3 333 = ⇒ =
