EFECTO DOPPLER EN MOVIMIENTO CIRCULAR Andrés López Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria 04510 México, D.F. Resumen Este experimento tiene como objetivo comprobar el efecto Doppler para el movimiento circular uniforme, con una fuente sonora en movimiento y un observador estacionario. Para esto se contó con un buzzer de frecuencia fre cuencia 4180 (20) Hz, un metro de madera, una pila de 9 Volts, un rotor, un variac y un micrófono comercial conectado a una computadora para posteriormente analizar el sonido haciendo uso del software Audacity©. Se hizo el montaje y se llevó a cabo el experimento para 5 distintos casos, con un voltaje inicial de 100 Volts, hasta 180 Volts en intervalos de 20 Volts. Se halló que la relación entre los resultados experimentales y los hallados teóricamente fue satisfactoria ya que en ningún caso se supero un error porcentual del 3%.
1. Introducción El efecto Doppler consiste en el cambio de la frecuencia de una onda percibida por un observador, cuando el emisor, o la fuente de la perturbación y dicho observador se encuentran en movimiento relativo entre ellos. Considérese la figura 1:
F
O
Imaginemos que un observador O, se mueve con una velocidad inicial
Figura 1
con dirección y
sentido hacia una fuente de sonido sonido F en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad
, frecuencia y longitud de onda , sin embargo, la velocidad de las l as ondas respecto al
observador será:
(1)
Sin embargo, como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda sigue siendo la misma, entonces si:
(2)
Ahora, sustituyendo la ecuación (1) en (2), tenemos que:
(3)
Por lo tanto, el observador escuchará una frecuencia mayor. Ahora, consideremos el caso del observador alejándose de la fuente, suya velocidad será:
(4)
Así, análogamente al caso anterior, se llega a la siguiente ecuación:
Ahora, sea la fuente acercándose al observador a una velocidad longitud de onda percibida está dada por:
(5)
, tenemos que la
(6)
(7)
Y como:
Combinando con la ecuación (5):
( )
(8)
Análogamente, se hace para el caso de la fuente alejándose del observador, llegando a la siguiente ecuación:
( )
(9)
Analicemos ahora el caso en el que la fuente se encuentra en un movimiento circular de
acuerdo a la figura 2. La velocidad , es reemplazada por la magnitud velocidad con la que la fuente se acerca o se aleja del observador.
que representa la
Figura2
A partir de la figura 2, podemos ver que si la velocidad tangencial es constante, dada por:
está (10)
Donde R es el radio de la circunferencia y T el periodo de giro. Mediante propiedades de vectores, y haciendo uso de coordenadas polares, encontramos que:
(11)
Por lo tanto, sabiendo que:
(12)
Entonces, en términos de R y T, la ecuación (11) puede ser reescrita como:
Por lo que,
(13)
resulta:
(14)
Entonces, considerando que el observador está en reposo y la fuente es la que está en movimiento, nos interesa la frecuencia percibida dada por las ecuaciones (8) y (9) que unidas nos dan:
(15)
es la frecuencia de emisión de la fuente. El signo
Donde V es la velocidad del sonido y
positivo se le asigna a la ecuación cuando la fuente se aleja del observador, mientras que el signo negativo se le asigna en el caso opuesto.
2. Desarrollo experimental Para la realización de este experimento se contó con un metro de madera, un buzzer, una pila de 9V, un rotor y un Variac. El ensamble de los distintos componentes se realizó de acuerdo a la figura 3.
Figura 3
Antes que nada, se obtuvo la frecuencia del buzzer, registrando en reposo su señal sonora por medio del micrófono conectado a la computadora. Así, se procedió entonces a montar el metro de madera sostenido por el centro en un eje conectado al rotor, que a su vez fue conectado al variac. Posteriormente, se colocó la pila y el buzzer en uno de los extremos de la barra. Así, se hizo girar a distintos voltajes, empezando en 100V hasta 180V en intervalos de 20V. Para cada experimento, el sonido fue obtenido mediante un micrófono comercial (50Hz12000Hz), ubicado sobre la trayectoria del buzzer, conectado a una computadora. Esta señal sonora fue registrada por medio de un software convencional de audio, en este caso, Audacity©. La señal adquirida fue procesada y analizada con el mismo software, haciendo un espectrograma para cada uno de los 6 sonidos registrados.
3. Resultados En las imágenes 1 a 7, se muestran los resultados obtenidos al analizar el espectro de frecuencias para cada uno de los casos del experimento respectivamente. Se aprecia que se trata de datos insertos en un marco de referencia de frecuencia contra tiempo, con la frecuencia en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal. Así mismo, puede notarse que a mayor intensidad de color de las líneas (o lo que es lo mismo en escala de grises, mayor tendencia al negro), mejor es el ajuste de la frecuencia buscada en su vecindad; es decir, la frecuencia deseada se encuentra en el área de mayor i ntensidad de sonido. La tabla 1, muestra las magnitudes de los valores encontrados en las imágenes para el periodo y las frecuencias máximas y mínimas para cada uno de los casos del experimento.
Imagen1: Análisis del espectro de frecuencias para el e vento 1; es decir la m edida de la frecuencia del buzzer
Imagen2: Acercamiento de la imagen 1, para poder distinguir las frecuencias
Imagen 3: Análisis del espectro de frecuencias para el evento 2; es decir, para un voltaje de 100V
Imagen 4: Análisis del espectro de frecuencias para el evento 3; es decir, para un voltaje de 120V
Imagen 5: Análisis del espectro de frecuencias para el evento 4; es decir, para un voltaje de 140V
Imagen 6: Análisis del espectro de frecuencias para el evento 5; es decir, para un voltaje de 160V
Imagen 7: Análisis del espectro de frecuencias para el evento 6; es decir, para un voltaje de 180V
Voltaje (V)
Periodo (s)
Frecuencia Máxima (Hz)
Frecuencia mínima (Hz)
100
0.534
4285 (10)
4117 (10)
120
0.441
4310 (10)
4100 (10)
140
0.372
4340 (10)
4088 (10)
160
0.325
4355 (10)
4058 (10)
180
0.302
4380 (10)
4060 (10)
Tabla 1: Datos obtenidos a pa rtir del análisis de las ondas sonoras registradas experimentalmente
4. Discusión Para la primer parte, que fue determinar la frecuencia principal, o dominante, del buzzer, se obtuvo, mediante el análisis del espectro (imagen 1) que la frecuencia donde la intensidad de la onda sonora fue mayor, estaba dentro del rango de 4160Hz y 4200Hz con la mayor intensidad justo en el medio (imagen 2). Por lo tanto, se obtuvo que la f recuencia principal de la fuente fue de 4180 (20) Hz. Ahora bien, se obtuvieron las frecuencias teóricas máximas y mínimas para cada uno de los eventos experimentales para así entonces, poder comparar. Esto se realizó conociendo que la velocidad dada por la ecuación (14) es máxima cuando el valor del coseno es 1, y mínima cuando el valor es -1, sustituyendo el resultado en la ecuación 15.
y √ √
Entonces, se llegó a la siguiente tabla: Vmax (m/s)
Vmin (m/s)
Fmax (Hz)
Fmin (Hz)
4.16
-4.16
4231.78
4129.47
5.04
-5.04
4242.86
4118.98
5.97
-5.97
4254.73
4107.85
6.84
-6.84
4265.76
4097.62
7.36
-7.36
4272.43
4091.48
Tabla 2: Velocidades y frecuencias teóricas máximas y mínimas para c ada evento del experimento
De esta manera puede construirse la siguiente tabla, que nos arroja un resultado mucho más concreto en cuanto a la relación existente entre teoría y experimento. Experimento
Teoría
Frecuencia Máxima (Hz)
Frecuencia Máxima (Hz)
Error porcentual (%)
4285 (10)
4231.78
1.26
4310 (10)
4242.86
1.58
4340 (10)
4254.73
2.00
4355 (10)
4265.76
2.09
4380 (10)
4272.43
2.52
Frecuencia mínima (Hz)
Frecuencia mínima (Hz)
4117 (10)
4129.47
0.30
4100 (10)
4118.98
0.46
4088 (10)
4107.85
0.48
4058 (10)
4097.62
0.97
4060 (10)
4091.48
0.77
Tabla 3: Errores porcentuales de la comparación hecha entre teoría y experimento para valores máximos y mínimos
Con los resultados de la tabla 3, puede apreciarse que el error porcentual en cada uno de los valores encontrados, para cada uno de los eventos del experimento es muy pequeño, todos por debajo del 3%. Ahora bien, a manera de corroborar la correlación encontrada, se compararon las curvas de la frecuencia en función del tiempo teóricas y experimentales, tal y como se ve en la imagen 8, que muestra un ajuste muy similar para ambas gráficas.
5. Conclusiones Se encontró que la frecuencia dominante del buzzer fue de 4180 (20) Hz, y que para cada evento del experimento en el que se sometió a movimiento circular uniforme, se obtuvo un error porcentual no mayor al 3% entre teoría y experimento en sus valores de frecuencia máximos. Así mismo, se pudo visualizar que la correlación entre los datos de ambos, teoría y experimento, fue bastante buena.
6. Bibliografía 1. R. Resnick y D. Halliday, Física, Vol. I, 4ª Ed. (Addison-Wesley Interamericana, México, D.F. 1995). 2. J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física, UNAM, México, 2000).
3. J. Felix, Audacity 1.2.3 (Versión 1.0.0. 29/04/2005).
