Cap´ıtulo 2
Din´ amica de Lagrange 2.1.
Ecuaciones de Lagrange
Sea el sistema de N part part´´ıcul ıculas as de ma masa sass m1, . . . , mN afectadas de las fuerzas ¯1, . . . , F ¯N F N , respectivamente, como se ilustra en la Figura 2.1. Con la l a finalida fin alidad d de facilitar facili tar el estudio del movimiento m ovimiento del sistema de part p art´´ıculas empleamos un sistema coordenado de orientaci´on on fija con origen un punto fijo en un sistema coordenado inercial o en el centro de masa del sistema de 17 FERNANDO SALOMÓN MERCHÁN GORDILLO
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Figura 2.1: Sistema de part´ıculas.
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE
part´ıculas. Siendo q 1, . . . , qn las coordenadas generalizadas del sistema, esto es, cantidades independientes en el menor n´umero posible que especifican en todo instante la posici´on de las part´ıculas del sistema, se tiene: r¯l = r¯l (q 1, . . . , qn ),
l = 1, . . . , N
o, equivalentemente, xl = xl (q 1, . . . , qn ) yl = yl (q 1, . . . , qn ) z l = z l (q 1, . . . , qn )
Entonces, el trabajo realizado por todas la fuerzas en un intervalo diferencial de tiempo es N
dW =
l=1
N
¯l .dr¯l = F
n
¯l . F
l=1
α=1
∂ r¯l dq α ∂q α
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20 n
=
N
¯l . F
α=1
l =1
∂ r¯l ∂q α
dq α
(2.1)
∂ r¯l ¯ F l . ,
(2.2)
Definiendo la fuerza generalizada Φα como N
Φα =
l =1
∂q α
con una relaci´on fuerza generalizada-diferencial de coordenada generalizada corespondiente como se indica en la tabla siguiente, dq α Φα Fuerza ↔ Distancia ´ Torque ↔ Angulo ...
↔
...
la ecuaci´on (2.1) se escribe como n
dW =
Φαdq α
α=1
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE
N´otese que n
dW =
α=1
´o
∂W dq α = ∂q α
n
Φα −
α=1
n
Φαdq α
α=1
∂W dq α = 0 ∂q α
Como las cantidades dq α son linealmente independientes, la expresi´on anterior implica u´ nicamente lo siquiente: Φα =
∂W , ∂q α
∀α
= 1, . . . , n
(2.3)
¯l = ml ¨r¯l , Ahora bien, ya que F N
l =1
¯l . ∂ r¯l = F ∂q α
N
l=1
ml r¨¯l .
∂ r¯l ∂q α
(2.4)
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22 donde ¨r¯.
∂ r¯l d = ∂q α dt
pero d dt
∂ r¯l ∂q α
r¯˙ l .
∂ r¯l ∂q α
−r ¯˙ l .
d dt
∂ r¯l ∂q α
(2.5)
∂ 2r¯l ∂ 2r¯l ∂ 2 r¯l = q ˙1 + . . . + q ˙n + ∂q 1∂q α ∂q n∂q α ∂t∂q α ∂ ∂ r¯l ∂ r¯l ∂ r¯l q ˙1 + . . . + q ˙n + = ∂q α ∂q 1 ∂q n ∂t
´o
d dt
∂ r¯l ∂q α
∂ r¯˙ l = ∂q α
(2.6)
Reemplazando las ecuaciones (2.5) y (2.6) en (2.4), se obtiene ( ml es constante!): N
l =1
¯l . ∂ r¯l = d F ∂q α dt
N
l =1
∂ r¯l ml r¯˙ l . ∂q α
N
−
l =1
ml r¯˙ l .
∂ r¯˙ l ∂q α
(2.7)
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE
N´otese que ∂ r¯˙ l ∂ = ∂ q ˙α ∂ q ˙α
1 Entonces, siendo E k = 2
∂ r¯l ∂ r¯l ∂ r¯l q ˙1 + . . . + q ˙n + ∂q 1 ∂q n ∂t
=
∂ r¯l ∂q α
(2.8)
N
ml r¯˙ l .r¯˙ l y considerando la ecuaci´on (2.8), se tiene
l=1
∂E k ∂ = ∂ q ˙α ∂ q ˙α N
=
1 2
N
ml r¯˙ l .r¯˙ l
=
l=1
ml r¯˙ l .
l=1
N
l =1
∂ r¯˙ ml r¯˙ l . ∂ q ˙α
∂ r¯ ∂q α
(2.9)
Tambi´en, ∂E k ∂ = ∂q α ∂q α
N
N
1 2
ml r¯˙ l .r¯˙ l
l =1
=
l =1
ml r¯˙ l .
∂ r¯˙ l ∂q α
(2.10)
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Reemplazando (2.7), (2.9), (2.10), y (2.3) en (2.2), obtenemos la llamada ecuaci´on de Lagrange: d dt
∂E k ∂ q ˙α
−
∂E k ∂W = Φα = ∂q α ∂q α
(2.11)
Aqu´ı, N
Φα =
l =1
∂ r¯l ¯ F l .
∂q α
es la fuerza generalizada del sistema asociada a la coordenada generalizada q α, y ∂E k = pα ∂ q ˙α
es el momentum generalizado asociado con la coordenada generalizada q α. Si el sistema es conservativo, ∆W = −∆E p FERNANDO SALOMÓN MERCHÁN GORDILLO
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2.1. ECUACIONES DE LAGRANGE
y
∂W ∂E p =− , ∂q α ∂q α
donde E p depende de las q ′s, y, posiblemente de t (no depende de las q ˙ ’s!!). En (2.11), con la funci´on de Lagrange L definida por L
y notando que
= E k − E p,
∂ L ∂E k = , obtenemos ∂ q ˙α ∂ q ˙α d dt
∂ L ∂ q ˙α
−
∂ L =0 ∂q α
Si alguna fuerza no es conservativa, con E p′ la energ´ıa potencial de las fuerzas conservativas, se tiene d dt
∂ L ∂ q ˙α
−
∂ L = Φ′α ∂q α FERNANDO SALOMÓN MERCHÁN GORDILLO
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26 donde
= E k − E p′ Φ′α : fuerzas generalizadas asociadas a las fuerzas no conservativas del sistema L
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