Presentado al profesor MILTON MANOTAS en la asignatura de MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA FÍSICOS
Universidad Del Atlántico
-
Facultad de Ciencias Básicas
(V Semestre) Barranquilla, 2007
-
Programa de Física
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE y
2 xy
2ny
0
(1)
n= 0,1,2,…
1. Función generativa para los polinomios de Hermite : e
H n ( x)
2
2 tx t
n!
n 0
(2)
n
t
2. Solución de la ecuación diferencial de Hermite Esta ecuación tiene solu ciones de polinomios, los cuales son llamados “Polinomios de Hermite”. Dados por la fórmula de Rodríguez. n
H n x
1 e
n
d
x2
dx
x2
e
n
(3)
Dms. Usando la función generadora (2): n
H n ( x )t n
e
2
2 xt t
n!
0
n
H n ( x )t n
e
2 2 2 2 xt t x x
n!
0
n
H n ( x )t
e
n! n
2
( t
2 xt x
2
x
2
)
0 n
e
x
2
H n ( x )t
2 ( t x )
n
n!
0
entonces, derivando a ambos lados con respecto a t: n n
t
(e
x 2 ( t x ) 2
n
n
)
H n ( x)t
n
t 0
t
n 0
n!
(3*)
pero, n
n
H n ( x)t
n
t
n 0
n!
n(n 1)(n 2) n 0
(n
n(n 1)(n 2)
1
n n 2)(n n 1) H n ( x)t
(n
n 2)(n n 1)
n
H n ( x) n 0
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE Universidad Del Atlántico
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Programa de Física
* La sumatoria desde n=0 hasta →∞ se cancela, debido a que a medida que el orden de
la derivada aumenta, los primeros términos de la serie se anulan, por lo tanto: n
n
H n ( x)t
n
t
n 0
(3**)
H ( x)
n!
Por otro lado, n n
t
Como
t
(e
( t x )
2
)
(e
( t x )
2
(e
n
t
)( 2(t ( t x )
n n
t
(e
n
2
x)(1))
)
( x)
n
( x) n
( t x )
(e
e
)
(e
2
( t x )
2
2
( t x )
2
( t x )
(e
2
) , podemos decir que
)
( x)
n
(e
x 2 ( t x ) 2
)
( 1) t 0
d
dx
n
) t 0
n
n
) t 0
n
x2
t 0 x
(e
t
n
x 2 ( t x ) 2
n
t
e
)
n
x2
t 0
n
(e
x 2 ( t x ) 2
(e
( x)
2
)
(3***)
Ahora, reemplazando las ec. (3**) y (3***) en (3*) tenemos: n
( 1)
n
d
dx
n
(e
( x)
2
)
H n ( x)
lo cual demuestra la fórmula de Rodríguez para los polinomios de Hermite, con Polinomio de grado n. H n ( x)
3. Primeros polinomios de Hermite Calculando los primeros polinomios se obtiene: H 0 ( x )
1
(4)
H 1 ( x )
2x
(5)
H 2 ( x )
4x
H 3 ( x)
8x
2
3
2
(6)
12 x
(7)
Dms. Usando la ecuación (3) y remplazando los valores de n=(0,1,2,3) para cada polinomio respectivamente, se obtienen los primeros polinomios de Hermite:
2
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Programa de Física
Si n
0
H 0 ( x)
d 0
x2
0
( 1) e
x2
(e
d ( x) 0
)
(1)(1)
1
Si n 1 H 1 ( x)
1
x2
2
x
( 1) e
1
d
x2
(e d ( x)1
x2
)
( 1)e ( 2 x)e
)
e
x2
2x
Si n
2
H 2 ( x) 2
4x
( 1) e 2
4x
2
2
d
2
d ( x)
2
x
(e
2
x
d
2
dx
x
( 2 xe
2
x
2
x
e ( 2e
)
2
2
4x e
x
2
)
2
Si n
3 3
H 3 ( x) x
2
( 1) e
e ( 4 xe
x
2
3
d
x2
8 xe
3 d ( x)
x
2
(e
x2
3
8x e
x
2
2
d
x2
)
( 1)e
)
( 4 x 8x
2 d ( x)
( 2 xe 3
8x )
x2
8x
)
3
e
x2
12 x
4. Fórmulas de recurrencia para los polinomios de Hermite Los polinomios de Hermite satisfacen las formulas de recurrencia:
4.1. H n 1 ( x)
2 xH n ( x)
(8)
2nH n 1 ( x)
Dms De la función generadora (2), tenemos: e2
H n ( x)
tx t 2 n 0
n!
n
t
derivando con respecto a t: (2 x
2t )e
n 1
2
2 xt t
nH n ( x) n 0
Reemplazando
e
2
2 xt t
en la ecuación:
3
t
n!
d dx
(2e
x2
2
4x e
x2
)
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n
(2 x
2t )
H n ( x)
nH n ( x)
n!
H n ( x)
2t
H n ( x)
n 0
n
2x
nH n ( x)
n!
t
n 0
n! n
t
H n ( x)
2
n!
n 0
n 1
t
n 1
t
H n ( x)
n!
n
n!
n 0
t
n 0
n
2x
Programa de Física
n 1
t
n 0
t
-
(n 1) H n 1 ( x)
n!
n 0
n
1
t
(n 1)!
Como, al correr la sumatoria de la derecha en n=-1 este término se anula: 2x
H n ( x) n 0
t n
H n 1 ( x)
2
n!
H n ( x) n 0
2x
H n ( x) n 0
(n
(n 1)!
n 1
n
2x
t n
1) H n 1 ( x)
n 0
t n (n
n
t
H n 1 ( x)
2
n!
n 1
t n
2
n!
H n 1 ( x)
n
nt
(n
n(n 1)! nt n
n 1
1) H n 1 ( x)
n 0
(n
n!
1)!
1) H n 1 ( x)
n 0
t (n
t n (n
1)!
1)! 0
Ahora, la segunda sumatoria empieza a correr desde n=0 n
2x
H n ( x) n 0
n
t
nH n 1 ( x)
2
n!
n 0
n
2 xH n ( x) n 0
n 0
n!
(n 1) H n 1 ( x) n 0
n
t
2nH n 1 ( x)
n! n
2 xH n ( x)
n
t
2nH n 1 ( x)
n!
(n 1)!
0
n
t
(n 1) H n 1 ( x)
n! n
t
t
t
(n 1)!
0
n
t
H n 1 ( x)
n!
t
n!
0
n
t n 0
n!
2 xH n ( x)
2nH n 1 ( x)
H n 1 ( x)
0
n
t
Como se sabe que el término n 0
n!
2 xH n ( x)
0
entonces tenemos:
2nH n 1 ( x)
H n 1 ( x)
0
Con lo que se muestra que: 2 xH n ( x)
2nH n 1 ( x)
H n 1 ( x)
4.2. H ´n ( x)
2nH n 1 ( x)
Dms De (2), usamos la función generadora: 4
(9)
0
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e
H n ( x)
2
2 tx t
n!
n 0
-
Programa de Física
n
t
Derivando ambos lados con respecto a x, tenemos: 2te
n
2
2 xt t
H ' n ( x) n 0
Ahora, reemplazamos
e
2
2 xt t
t
n!
: n
2t
n
t
H n ( x)
H 'n ( x)
n!
n 0
H n ( x)
n
t
n 0
n!
n 0
n 1
2
t
H ' n ( x)
n!
n 0
t
n!
n
H n 1 ( x)
2
n
t
H ' n ( x)
(n 1)!
n 1
n 0
t
n!
n
2 H n 1 ( x) n 1
n
nt
H ' n ( x)
n(n 1)!
n 0
n
2 H n 1 ( x)
t
H ' n ( x)
n!
n!
n
nt
n 1
t
n!
n 0
Pero, se empieza a correr la sumatoria de la izquierda desde n=0, debido a que éste término se anula. Esto con el fin de asociar los términos correspondientes a cada una de las sumatorias. Entonces: n
2 H n 1 ( x)
n
nt
n 0
H ' n ( x)
n!
n 0
n
2nH n 1 ( x) n 0
t
n! n
t
H ' n ( x)
n!
n 0
t
n!
0
n
t n 0
n!
2nH n 1 ( x)
H ' n ( x)
0
Como t es una base de los k[t], k[ t], y 1/n!≠0: n
2nH n 1 ( x)
H 'n ( x)
2nH n 1 ( x)
*Con
H 0 ( x)
1 , H 1 ( x)
2x
0
H 'n ( x)
podemos obtener polinomios de grado mas alto. alt o.
5
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Programa de Física
5. Ortogonalidad de los polinomios de Hermite 5.1. Si m≠n: e
x2
H m ( x) H n ( x)dx
(10)
0
Dms Sean
y
H n ( x)
H m ( x)
funciones generativas de los polinomios de Hermite: y
dado que
H n ( x)
multiplicando por
y
2 xy
2ny
0
H m ( x) satisface la ecuación de Hermite, tenemos
H n
H m
2 xH m
H n
2 xH n
2 H m
0
2 H n
la primera ecuación y por
H m
0
la segunda:
H n H m
2 xH n H m
2 H n H m
0
H m H n
2 xH m H n
2 H m H n
0
Luego, restando las ecuaciones: ( H n H m
H m H n )
2 x( H m H n
H m H n )
2H n H m (m
n)
( H n H m
H m H n )
2 x( H m H n
H m H n )
2H n H m (n
m)
0
d
( H m H n H m H n ) 2 x( H m H n H m H n ) 2 H n H m (n m) dx 1 d ( H m H n H m H n ) x( H m H n H m H n ) H n H m (n m) 2 dx x
multiplicando por 1 2
x
e
2
:
2
x
d
2
dx x
haciendo r= e :
e
2
2
r
H m H n ) x
y r’=-x e
2
1
( H m H n
d
2 dx
xe
2
2
x
( H m H n
H m H n )
e
2
2
H n H m (n
m)
2
2
( H m H n
H m H n )
r ( H m H n
H m H n )
rH n H m (n
m)
de ésta forma, tenemos la derivada de un producto; la cual podemos expresar:
6
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-
1 d 2 dx
2 dx
H m H n )
rH n H m (n
2
x
2
e
-
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r ( H m H n x
1 d
Facultad de Ciencias Básicas
( H m H n
H m H n )
e
Programa de Física
m)
2
2
H n H m (n
m)
Ahora, integrando de - ∞ a ∞: x
1 d
1 2
x
1
( H m H n
2 1 2
e
e
x 2
e
2
H n H m ( n
H m H n )
(n
2
2
m) e
m)d
H n H m
2
x
( H m H n
H m H n )
(n
m) e
2
2
x
e
2
2
H n H mdx
2
2
(n
0
(n
0
e
2
2
2
x
H m H n )
2
e
x
( H m H n
2
x
x
multiplicamos por
x
2
2
e
2
e
2 dx
2
m) e
x2
m) e x2
H n H mdx
H n H mdx
como (n-m) es diferente de cero: e
x
2
H n H m dx
0
*Los polinomios de Hermite son mutuamente ortogonales con respecto a la función de peso o densidad e . x
2
5.2. Si m=n: e
x
2
(11)
n
2
H n ( x)dx
2 n!
Dms Sea
e
n
H n ( x)t
2
2 tx t
n 0
n!
ye
2 sx s
H m ( x) s
2
m
m!
m 0
multiplicando ambas ecuaciones tenemos e
2
2tx t
2 sx s
m n
H m ( x) H n ( x) s t
2
n 0m 0
multiplicando por
e
x
2
e integrando
7
m!n!
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e
-
2
2tx t
2 sx s
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2
m n
x2
s t
dx n 0m 0
2
(( x t ) e
2 sx s
2
2
s
2
x
2
)
(( x t )
2 s ( x t ) 2 st )
2 (( x t s ) 2 st )
2
x2
m!n!
e2
2
2 sx s )
(( x t s )
Programa de Física
e H m ( x) H n ( x)dx
resolviendo por aparte lo que a compaña al exponente ( 2tx t
-
tx t 2 2 sx s 2 x 2
(( x t )
2
2
2 sx s
2
2 st 2 st )
2 st )
dx
Como t y s son constantes la integral nos queda e
2 st
( x t s )
e e
2 st
2
2
e
x t s
dx dx
d
dx
2 st
e
2
Nota cabe aclarar que la integral e dx , es muy difícil de resolver requiere de métodos avanzados para ser resuelta, lo cual no se demuestra. e
2 st
e
2 st
4 s2t 2 ... 2!
2 st
1
2m smt m m! 0
m
m n
m
s t
m m
2 s t m
m!
0
n
e
m!n !
0 m 0
x
2
H m ( x) H n ( x )dx
Haciendo n=m tenemos m m
m
s t
m m
2 s t m 0
m!
m 0 m
Como
m!m! m m
2 s t
m
0
m!
m 0
e
x2
2
H m ( x) dx
s mt m
y m
0
0 m!m!
m m
2 s t m 0
m!
e
m m
s t m 0
x2
2
H m ( x) dx
m!m!
entonces
m
2 m!
e
8
x
2
2
H m ( x) dx
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Programa de Física
De esto podemos normalizar los polinomios de Hermite de tal manera que obtengamos un conjunto ortogonal.
6. Series de polinomios de Hermite Usando la ortogonalidad de los polinomios, es posible desarrollar una función en una serie de la forma: f ( x)
A0 H 0 ( x)
A1 H 1 ( x)
A2 H 2 ( x)
...
(12)
En donde 1
An
e
n
2 n!
*Estos desarrollos son posibles cuando
x2
f ( x) H n ( x)dx
f ( x) y f ( x)
(13)
son continuas por intervalos.
Dms De (13) tenemos que: f ( x)
An H n ( x) n 0
2
multiplicando por e x H m ( x) : e
x
2
H n ( x) f ( x)dx
Ane
x
2
H n ( x) H m ( x)
n 0
Ahora, integrando de - ∞ a ∞: e
x2
H n ( x) f ( x)dx
An e
x2
H n ( x) H m ( x)
n 0
pero, como se demostró anteriormente An e
x
2
n
H n ( x) H m ( x)
2 n!
An
n 0
para m=n: e
x2
n
H n ( x) f ( x)dx 2 n!
An
entonces e An
x2
H n ( x) f ( x)dx n
2 n!
Lo que demuestra que: An
1 n
2 n!
e
9
x2
H n ( x) f ( x)dx
