INTRODUCCION
Con frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexión que pueda sufrir una viga o un eje, cuando se le somete a una carga, por lo que describiremos varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas y ejes. Entre los métodos analíticos están el de integración. El uso de funciones de discontinuidad y el de superposici superposición. ón. ambién ambién se presentara presentara una técnica técnica semigrafi semigrafica, ca, llamada llamada método método de momento de área. !l final usaremos esos métodos para determinar las reacciones en los soportes de una viga o un eje que sean estáticamente indeterminados.
OBJETIVOS
" #allar el valor de la deformación en cualquier punto. " !plicar el criterio de dimensionamiento. " El objetivo principal de esta parte es encontrar la ecuación elástica. $Cómo se deforma%
LA CURVA ELASTICA
!ntes de determinar la pendiente o el despla&amiento en un punto de una viga 'o un eje(, con frecuencia es )til bosquejar la forma flexionada de la viga al cargarla, para *visuali&ar+ los result resultados ados calculado calculados, s, y con ello ello compro comprobar bar en forma forma parcia parciall esos esos result resultado ados. s. El diag diagra rama ma de defl deflexi exión ón del eje eje long longit itud udin inal al que que pasa pasa por por el cent centro roid idee de cada cada área área transv transvers ersal al de la viga viga se llama curva curva elástica elástica.. ara ara la mayor parte de las vigas vigas la curva elástica elástica se puede bosquejar sin grandes grandes dificulta dificultades. des. -in embargo, embargo, al acerlo acerlo es necesario necesario conocer cómo se restringen la pendiente o el despla&amiento en diversos tipos de soportes. En gene genera ral, l, los los sopo soport rtes es que resi resist sten en una fuer fuer&a &a,, como como un pasa pasado dor, r, rest restri ring ngen en el despla&amiento, y los que resisten un momento, por ejemplo una pared fija, restringen la rotación o la pendiente, y también el despla&amiento. Con lo anterior en mente, se muestran
dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas 'o ejes( cargadas, bosquejadas con una escala muy exagerada,
Cuando parece difícil establecer la curva elástica de una viga, se sugiere tra&ar primero su diagrama de momentos. !l usar la convención de signos para vigas establecida, un momento interno positivo tiende a doblar la viga en forma cóncava acia arriba, /e igual forma, un momento negativo tiende a doblar la viga para que quede cóncava acia abajo. or consiguiente, si se conoce el diagrama de momentos, será fácil formar la curva elástica.
or ejemplo, veamos la viga con su correspondiente diagrama de momentos. /ebido a los apoyos de rodillo y de pasador 'apoyo *libre+ y *articulado+ o *libre pero guiado+, respectivamente(, los despla&amientos en 0 y en / deben ser cero. /entro de la región !C, de momento negativo, la curva elástica debe ser cóncava acia abajo, y dentro de la región C/ de momento positivo, la curva elástica debe ser cóncava acia arriba. or consiguiente,
debe aber un punto de inflexión en el punto C, donde la curva cambia de cóncava acia arriba a cóncava acia abajo ya que este es un punto donde el momento es cero.
!provecando lo anterior, la curva elástica de la viga se bosqueja a una escala muy exagerada. ambién se debe observar que los despla&amientos en
1! y 1E son
especialmente críticos. En el punto E, la pendiente de la curva elástica es cero, y allí la deflexión de la viga puede ser máxima. El que 12 sea en realidad mayor que 1! depende de las magnitudes relativas de 3 y 4, y de la ubicación del rodillo en 0.
/e acuerdo con estos principios, obsérvese como se tra&ó la curva elástica. En este caso la viga esta en voladi&o, desde un soporte fijo en !, y en consecuencia la curva elástica debe tener despla&amiento cero y pendiente cero en ese punto. ambién, el máximo despla&amiento estará en /, donde la pendiente es cero, o en C.
Convención de signos y coordenadas. !l aplicar la ecuación es importante usar el signo adecuado para M seg)n lo establece la convención de signos que se usó e n la obtención de esta ecuación, figura. !demás, recuerde que la de flexión v positiva es acia arriba y, en consecuencia, el ángulo de la pendiente positiva dx medirá en sentido antiorario desde el eje x. 3a ra&ón de esto se muestra e n la figura 5 67 b . !quí, los incrementos positivos dx y dv e n x y v crean un
incremento de dθ que es en sentido antiorario. !demás, como el ángulo de la pendiente 8 será muy peque9o, su valor en radianes puede determinarse directamente de θ ≈ tan θ = dv/dx.
DIFERENTES CASOS DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA.
:as condiciones de frontera siempre se toman en los apoyos, de i&quierda acia la dereca.
FUNCIONES DE MACAULAY
! fin de determinar la deflexión de una viga o un eje, pueden usarse las funciones de ;acaulay, llamadas así en onor al matemático <. #. ;acaulay, para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en forma general como
!quí x representa la coordenada de posición de un punto a lo largo de la viga y a es la ubicación sobre la viga donde ocurre una *discontinuidad+= es decir, el punto donde comienza una carga distribuida. >bserve que la función de ;acaulay 'x ? a(
n
se escribe
con paréntesis angulares para distinguirla de la función ordinaria ' x 6 a(n, escrita entre paréntesis. -eg)n lo establecido por la ecuación, ' x ? a( n @ ' x 6 a(n sólo cuando x A a, de lo contrario su valor es cero. or otra parte, estas funciones son válidas sólo para valores exponenciales de n A B. :a integración de las funciones de ;acaulay sigue las mismas reglas que para las funciones abituales, es decir
>bserve que las funciones de ;acaulay describen tanto la carga uniforme wB'n @ B( como la carga triangular 'n @ 3(, que se muestran en la tabla. or supuesto, este tipo de descripción puede extenderse para cargas distribuidas que tienen otras formas. !demás, es posible emplear la superposición de las cargas uniforme y triangular a fin de crear la
función de ;acaulay para una carga trape&oidal. En la tabla también se muestra el uso de la integración en las funciones de ;acaulay para el cortante, V @ ʃ w' x( dx, y el momento, M @ ʃ V dx.
FUNCIONES DE SINGULARIDAD.
Estas funciones sólo se utili&an para describir la ubicación de las fuer&as concentradas o momentos de par que act)an sobre una viga o eje. En específico, una fuer&a concentrada P puede considerarse como un caso especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w @ P 2 de tal manera que su longitud sea 2, donde 2 D B.
El área bajo este diagrama de carga es equivalente a P , positiva hacia arriba, por lo que se usará la función de singularidad para describir la fuer&a P .
!quí n @ 63 de modo que las unidades de w son de fuer&a por longitud, como debían ser. !demás, la función toma el valor de P sólo en el punto x @ a donde se produce la carga, de lo contrario su valor es cero. /e manera similar, un momento de par MB, considerado positivo en sentido horario, es un límite cuando 2 D B de dos cargas distribuidas como las mostradas en la figura.
!quí, la siguiente función describe su valor
El exponente n @ 64, tiene la finalidad de garanti&ar que se mantengan las unidades de w, fuer&a por longitud.
:a integración de las dos funciones de singularidad anteriores sigue las reglas del cálculo operacional y produce resultados diferentes a los obtenidos mediante las funciones de ;acaulay. En específico,
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS
El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar la pendiente y la defexión de una viga (o eje) usando el método de integración. CURVA ELÁSTICA.
• /ibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. ecuerde que en todos los soportes fijos se produce pendiente cero y despla&amiento cero, y que en todos los soportes de pasador y de rodillo ocurre despla&amiento cero.
" Estable&ca los ejes de coordenadas x y *y+. El eje x debe ser paralelo a la viga sin deflexión y puede tener su origen en cualquier punto a lo largo de la viga, con una dirección positiva ya sea a la dereca o a la i&quierda.
" -i existen varias cargas discontinuas presentes, estable&ca las coordenadas x que son válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades. Elija estas coordenadas de modo que simplifiquen el trabajo algebraico posterior.
" En todos los casos, el eje positivo y asociado debe estar dirigido acia arriba. FUNCIÓN DE CARGA O DE MOMENTO.
" ara cada región en la que ay una coordenada x, exprese la carga F o el momento interno ; como una función de x. En particular, siempre suponga que ; act)a en la dirección positiva cuando se aplica la ecuación de equilibrio de momentos para determinar ; @ f'x(. PENDIENTE Y CURVA ELÁSTICA.
• -iempre que EG sea constante, aplique la ecuación de carga EG dHydxH @F'x(, que requiere cuatro integraciones para obtener y @ y'x(, o la ecuación de momentos EG d4ydx4 @
;'x(, que requiere sólo dos integraciones. ara cada integración, es importante incluir una constante de integración.
" :as constantes se eval)an usando las condiciones de frontera para los soportes 'tabla 346 3( y las condiciones de continuidad que se aplican a la pendiente y el despla&amiento en los puntos donde coinciden dos funciones. Ina ve& que las constantes se eval)an y se sustituyen de nuevo en las ecuaciones de pendiente y deflexión, es posible determinar la pendiente y el despla&amiento en puntos específicos de la curva elástica.
" :os valores numéricos obtenidos pueden verificarse de manera gráfica al compararlos con el dibujo de la curva elástica. >bserve que los valores positivos para la pendiente tienen sentido anti orario si el eje x positivo se extiende a la dereca, y sentido orario si el eje x positivo se extiende acia la i&quierda. En cualquiera de estos casos, el despla&amiento positivo es acia arriba.
