Área y volumen mediante integración doble Definición de volumen bajo Si la función función
es continua continua y no negativa negativa en la región región plana plana acotada acotada R.
Entonces el volumen V del sólido que está debajo de la superficie
y
sobre la región R se define como:
si esta integral existe. Es interesante observar la relación entre esta definición y el mtodo de las secc seccio ione nes s tran transv sver ersa sale les s para para el volu volume men. n. Si por por ejem ejempl plo! o! la regi región ón R es verticalmente simple! entonces la integral de volumen de la ecuación anterior adquiere en trminos de integrales iteradas la forma:
"a integral interior
es igua iguall al al área área de la reg regió ión n en el pla plano no y sobre el intervalo
que que esta esta deb debaj ajo o de la cur curva va #figura $%.
&ero esto es la proyección de la sección transversal. &or tanto! el valor de la integral interior es simplemente el área de la sección transversal de la región sólida ' en un plano perpendicular al eje x. (s)!
de modo que en este caso la ecuación se reduce a que el volumen es la integral del área de la sección transversal.
Ejemplo
El rect rectán ángu gulo lo R en plan plano o xy cons consta ta de aque aquello llos s punt puntos os
tale tales s que que
. *etermine el volumen V del sólido que se encuentra bajo la superficie
y sobre R:
Solución: En este caso
por lo que la ecuación
Volumen mediante integrales iteradas +na región tridimensional ' se describe por lo general en trminos de las superficies que la acotan. El primer paso para aplicar la ecuación #$% y calcular el volumen V de esta región es determinar la región R en le plano xy sobre el cual se encuentra '. El segundo paso es determinar el orden adecuado de integración: Esto puede ,acerse de la siguiente forma: Si cada recta vertical en el plano xy intercepta a R en un -nico segmento de recta! entonces R es verticalmente simple #figura % y se puede integrar primero con respecto de /y0. "os l)mites •
en /y0 serán las ordenadas
de los extremos
de este segmento. "os l)mites en /x0 serán los extremos del intervalo en el eje /x0 sobre el que se proyecta R. Entonces
•
Si cada recta ,ori1ontal en el plano xy intercepta a R en un -nico segmento de recta! entonces R es ,ori1ontalmente simple #figura 2% y se puede integrar primero con respecto de /x0. "os l)mites en /x0 serán las abscisas
de los
extremos de este segmento. "os l)mites en /y0 serán los extremos Entonces
del intervalo /y0 sobre el que se proyecta R.
•
•
•
Si la región R es vertical y ,ori1ontalmente simple! entonces se tiene la opción de elegir el orden de integración que produ1ca cálculos subsecuentes más simples. Si la región R no es vertical ni ,ori1ontalmente simple! entonces se debe subdividir primero a R en regiones simples antes de proceder con la integración iterada. El caso especial
en la Ecuación #$% se produce el
área de la región plana R. En este caso! la región sólida ' se asemeja a una meseta de desierto #figura 3%! un cilindro sólido con base R de área ( y altura $. El volumen de cualquier cilindro #no necesariamente circular% es el producto de su altura y el área de su base. En este caso! las integrales iteradas en las ecuaciones #% y #2% se reducen a:
Ejemplo 1 4alcular mediante integración doble el área ( de la región R en le plano xy acotada por la recta
y por la parábola
.
Solución: &ara graficar y determinar los l)mites de integración se resuelve la ecuación donde .
4omo se indica en la figura 5! la recta interceptan en los puntos
y la parábola
. &or tanto
se
Ejemplo 2 6allar el volumen del sólido ' en forma de cu7a #figura 8% que se encuentra sobre el plano xy! bajo el plano
y dentro del cilindro
.
Solución: "a región R de la base es un semic)rculo de radio ! pero por simetr)a basta integrar sobre el cuarto de c)rculo S del primer cuadrante para despus duplicar el resultado. +na grafica del cuarto del c)rculo #figura 9% nos ayuda a establecer los l)mites de integración.
&odemos integrar en cualquier orden! pero la integración con respecto de x nos proporciona un cálculo más sencillo del volumen V.
4omo ejercicio! deberá integrar en el otro orden y comparar los resultados.
Volumen entre dos superficies Suponga a,ora que la región ' está sobre la región plana R! pero entre las dos superficies
donde
para toda
en R. Entonces se obtiene el volumen V de ' restando el volumen bajo del
ás sencilla!
volumen
bajo
!
de
modo
que
donde
describe la superficie superior y
la
superficie inferior de '. Esta es la generali1ación natural de la fórmula para el área de la región plana entre las curvas
sobre el intervalo
. (demás! como esa fórmula! la ecuación #5% es válida aunque ambas
!o
! sean negativas en parte de ó toda la región R.
Ejemplo *etermine el volumen V del sólido ' #figura ;% acotado por los planos y por los cilindros parabólicos
. Este
sólido se muestra en la siguiente figura
Solución:
y sobre la región R del plano xy está
acotada por las parábolas &ara graficar se debe determinar los puntos de cortes de las dos parábolas dadas! entonces se igualan ambas . < luego estos valores se sustituyen en las ecuaciones de las parábolas para obtener los valores de y. 4omo se indica en la figura = estas parábolas se interceptan en los puntos
.
(l integrar primero con respecto y #ya que de otro modo se necesitar)an dos integrales%! se obtiene
Integrales dobles en coordenadas polares En reiteradas ocasiones
evaluar
rectangulares o cartesianas
una
integral doble
de coordenadas
es imposible y en otras ocasiones muy
complicadas! pero si cambiamos a coordenadas polares
resulta muc,o más
fácil. En esta situación la función que transforma la región del
plano
del plano
en otra R es:
siendo el >acobiano de la transformación:
entonces:
< de acuerdo a esto el elemento de área en coordenadas polares será:
Ejemplo 1 Expresar con dos integrales simples iteradas en coordenadas polares la integral
en donde R es un c)rculo con centro en el origen y radio
a.
Solución: "a región es
#figura $
%$ (plicando la fórmula del cambio de variables:
?bservar #figura $% que
es:
