Rotula y Resorte Con Doble Integracion

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI CARRERA CARRER A PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

EJERCICIOS PRACTICOS EJERCICIO 1:

Dete Deterrmina minand ndo o un mome moment nto o gené genéri rio o !ar !ara "a #igu #iguie ient nte e $iga $iga%% on#iderando on#iderando EI on#tante&

E=10

Tn m

2

I =1 m

4

'( CALCUL CALCULO O DE REACCI REACCIONE ONES S

E#trutura dere)a& *+C,

∑ M =0 B

C v∗1=3 ( 1 )∗ ( 0.5 ) ∴ C v

=1.5 Tn

En toda "a e#trutura& *AC,

∑ F =0 v

A v = 2+ 3 ( 2 ) − 1.5 ∴ A v

'

=6.5 Tn

Curso: RESISTENCIA DE MATERIALES II Docente: Mgr. Mario Rodríguez Vasquez

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

∑ M =0 A

M A=1.5 ( 6 )−2 ( 2 )−3 ( 2 ) ( 5 ) ∴ M A

=−25 Tn.m

-( .a""ando momento genério ante# de "a rotu"a CORTE 1 −1

( 0 < x <5 )

3

M x =6.5 ( X )− 2∗¿ X −2 >−25− < X − 4 ¿

2

2

EI . y = {M} rsub {x} = 6.5 left (X right ) -2*
 Integrando una $e/ de" momento% tenemo# e" giro EI . θ=

6.5 ( X ) 2

2

−

2∗¿ X −2 ¿ 2

2

3

$

&

3

− 25 ( X )− < X − 4 ¿ +C … ( 1 ) 1

6

 Integrando !or #egunda $e/ de" momento% tenemo# "a 0e)a %

& EI . y =

6.5 ( X ) 6

3

−

2∗¿ X − 2 ¿ 6

3

−

25 ( X ) 2

2

−

3 24

4

< X −4 ¿ + C ( X ) + C … ( 2 ) 1

2

 Por ondiione# de 1rontera iniia"e#&

-



x =0

Cuando θ= 0 Reem!"a/ando en *',

C 1 =0

y =0

C 2 =0

Reem!"a/ando en *',

 Sim!"i2ando e3!re#ione# *', 4 *-, tenemo#& EI . θ=

6.5 ( X )

2

1

2

3

−¿ X −2 ¿ −25 ( X )− < X − 4 ¿

2

2

EI . y =

6.5 ( X ) 6

3

3

−

1∗¿ X − 2 ¿ 3

−

25 ( X )

2

1

− < X − 4 ¿

2

4

&

 Para determinar "a de0e3i5n 4 e" giro en "a rotu"a% !ero en e" tramo anterior a e#te tenemo# 6ue e$a"uar uando EI . θ=

6.5 ( 5 ) 2

2

1

2

x = 5

&

3

−¿ 5−2 ¿ −25 ( 5 ) − <5− 4 ¿ 2

EI . θ=−53.25 3

2

6.5 (5 ) 1∗¿ 5 −2 ¿3 25 ( 5 ) 1 − − − < 5− 4 ¿ 4 EI . y = 6 3 2 & EI . y =−1&6.20&3

7( Determinando e" giro 4 de#!"a/amiento !ara e" tramo de#!ué# de "a rotu"a& CORTE 2−2

( 0 < x <1 ) 2

3 ( x ) M X =1.5 ( x )− 2 EI . θ=

7

1.5 ( x ) 2

2

−

3 ( x ) 6

3

+ C … ( 4 ) 3



 Por ondiione# de 1rontera iniia"e#& Cuando y =0

Reem!"a/ando en *',

x =0

C 4=0

 Adem8# !odemo# deir 6ue e" de#!"a/amiento )a""ado anteriormente% !ara x =5 en e" corte 1−1 e# igua" 6ue e" de#!"a/amiento en x =1 !ara e" corte 2−2 3

4

1.5 ( x ) 3 ( x ) − + C 3 ( x ) EI . y = 6 24

−1&6.20&3 =

1.5 ( 1 )

3

6

−

3 ( 1) 24

4

+ C ( 1 ) 3

C 3 =−1&6.333

 e#!e9ando "a# euaione#  2

3

1.5 ( x ) 3 ( x ) − −1&6.333 EI . θ= 2 6

EI . y =

1.5 ( x )

3

6

−

3 ( x )

4

24

−1&6.333 ( x )

 Cuando 3:' 2

EI . θ=

;

1.5 ( 1 ) 2

−

3 ( 1) 6

3

−1&6.333



EI . θ=−1&6.0&3 3

4

1.5 ( 1 ) 3 ( 1) − −1&6.333 (1 ) EI . y = 6 24 EI . y =−1&6.20&

;( DIAGRAMA DE FUER
=( DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

>( DIAGRAMA DE DESPLA
EJERCICIO 2:

=



Para "a #iguiente $iga determinar "a !endiente 4 de#!"a/amiento en - *re#orte,( Con#iderando&

E=10

tn m

2

k =1 tn / m

>

2

I AB =2 m

4

I BC =1 m

4


So"ui5n& '( Reaione#&  Tenemo# 7 reaione#% e# on$eniente tra?a9ar on "a#

reaione# en ' 4 -% e#ta u"tima "a !onemo# en 1uni5n de "a 'era reai5n&

∑ M =0 3

R1 ( 5 )+ R 2 ( 3 ) =2 ( 5 ) ( 2.5 )

R2=

( )

25− R 1 5 3

(( *A,

 Para "a re#o"ui5n de" e9eriio a!"iamo# e" método de do?"e integrai5n !ara e""o nee#itamo# )aer - orte#&

-( Tra?a9amo# orte#& CORTE A − A

( 0 < x < 2 ) EI =20

M x =− x + R 1 ( x ) 2

EI . θ=

− x 3

3

R 1 ( x )

+

2

2

+ C … ( 1 ) 1

 De#!e9ando EI& 2

− x R ( x ) C ( ) + + … 1 θ= 3

1

60

y =

− x

1

40

4

240

+

R1 ( x )

20

3

120

+

C 1 ( x ) C 2 20

+

… ( 2)

20

 Condiione#& E$a"uando Cuando 3:@

4:@

entone#&

E$a"uando Cuando 3:θ=

−&

y =

60

+

R1 ( 4 ) C 1 40

+

20

→θ =

−2 15

+

R1 C 1 10

+

20

( 3)

−16 R ( & ) C ( 2 ) −1 R C + + → y = + + ( 4 ) 1

240

CORTE B −B

120

1

20

( 0 < x <3 ) EI =10

15

1

1

15

10

C 2 =0

M x =

−2 ( 2 + x )

2

+ R ( x + 2 )+ 1

2

(

(

2

M x =−( 2 + x ) + R 1 ( x + 2 ) +

25 3

25

2

M x =− x −4 x −4 + R1 x + 2 R1+

2

M x =− x +

EI . θ=

− x

(

3

+

3

EI . y =

− x

13

(

4

+

12

−

3

13 3

2 R 1

−

3

(

13 3

−

2 R1 3

−

3

25 3

) +( x

)( ) (

) ( x ) +C

)( )+(

( )+

x

3

3

R1 ( 5 ) 3

)( ) x

)( ) x

R 1 ( 5 ) ( x ) x− 3

2 R 1−4

)

2

+ 2 R1− 4

2

2 R 1

R 1 ( 5 )

−

3

3

x

6

2

2 R1 −4

)

x

2

C 3 ( x ) + C 4

 De#!e9ando EI& 3

θ=

− x

y =

30

− x

(

+

4

120

+

13

(

3

−

13 3

2 R 1

−

3

2 R1 3

)( ) x

2

20

)( ) x

( )

C + ( 2 R − 4 ) x + … ( 5 ) 1

10

3

60

+( 2 R − 4 ) 1

( ) x

θ=

C 3 … ( ' )

y =

C 4 … ( & )

10

10

10

2

20

 Condiione#& E$a"uando Cuando 3:@ en

3

( 5 ) y ( 6 )

+

C 3 ( x ) C 4 10

+

10

… ( 6)

 E$a"uando Cuando 3:7 4

y =

0=

−3

120

+

−2' 40

(

13

(

+

3

13 3

2 R1

−

3

−

)( ) 3

3

60

2 R 1 3

4:@

+ ( 2 R −4 )

)( ) (

20

1

( )

+ ( 2 R −4 ) 1

3

C 3 ( 3 ) C 4

2

20

+

( ) (

20

+

10

10

C 3 ( 3 ) C 4

+

+

10

10

… ( ( )

( 3 )=( ' ) y ( 4 )=(& )

 Por ontinuidad en "o# tramo# tomamo#& −2 R C C + + = … ( 10 ) 15

1

1

3

10

20

10

−1 R C C + + = … ( 11) 15

1

1

4

15

10

10

7( Ca"u"o de R 2' 40

(

−

13 3

−

2 R 1 3

1

De#!e9ando euai5n ( ( )

)( ) (

20

−( 2 R − 4 ) 1

( ) (

20

–

C 3 ( 3 ) 10

=

C 4 10

'

.. ( ( )

C 3

 Igua"ando ( ( ' ) =( 11) 4 reem!"a/ando

de "a euai5n ( 10 )

10

donde orre#!onde&

(

2' 13 2 R 1 − − 40 3 3

)( )

( ) (

)(

−2 R1 C 1 −1 R C   −( 2 R1− 4 ) + + = + 1 + 1 – 3 20 20 15 10 20 15 15 10 2( R1



30

+

11( 120

=

C 1 4

(

→ ( 4 )∗

−2( R 30

1

+

11( 120

)=

C 1 .. ( B )

)

 Adem8# !or #er una 1uer/a e"8#tia 4 #a?iendo 6ue F : B3 aomodando término# uti"i/ado# tendramo# R : B 4% 2

reem!"a/ando "a# euaione# tendramo# 25 − R1 ( 5 ) 3

( )

25 − R1 5 3

=( 1 )∗−(

−

1 15

+

−1 R C + + ) 15

R1 15

=

1

1

15

10

− C 1 10

( (

−2( R

5

−

124 15

)(

10 )=C 1 .. ( C )

( B )=(C )

Igua"ando

( 4 )∗

& R 1

1

30

+

11( 120

)( =

& R1 5

−

124 15

)(

10 )

R1= 4.361Tn

;( E" $a"or de "a# on#tante# #er8&

CORTE AA

(

C 1 =( 4 )∗

)

−2 R1 11 + →C 1=−12.&6 30

120

→C 2=0

CORTE ++

( A )= k (4 )

(

2

C 3 =

C 4=

(

15

1 15

−

−

R1 C 1 10

+

20

R1 C 1 15

+

10

)(

10 ) →C 3=3.42

)(

10 ) → C 4=10.65

=( Ca"u"o de giro 4 !endiente en re#orte&

CORTE AA& E$a"uamo# en 3:- on θ=

y =

2 15

−

R1 C 1 10

+

20

R 1 C 1

1

−

15

15

+

10

= 0.342

=1.065

CORTE ++& E$a"uamo# en 3:@ on θ=

y =

C 3 10

=

C 4 10

3.42

=

10

=0.342

10.65 10

=1.065

>( Ca"u"o de dem8# reaione#& R1= 4.361Tn

R1= 4.361 y C 1 =20.&2(

R1= 4.361 y C 1 =20.&2(

R2=

25− R 1 ( 5 ) 3

=

25−( 4.361 ) ( 5 ) 3

R2=1.065 Tn

∑ M =0 A

R2 (2 )+ R 3 ( 5 ) =2 ( 5 ) ( 2.5 ) R3= 4.5'4 Tn

( DIAGRAMA DE FUER
( DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

( DIAGRAMA DE DESPLA

Rotula y Resorte Con Doble Integracion

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