01. Ejemplo 1 (Doble Integracion)

RESISTENCIA DE MATERIALES II (CIV-203)

M ÉTODO ÉTODO DOBLE INTEGRACION Para la viga que se muestra en la figura, calcular la flecha en B y el giro en C E ≔ 19000000 ― 19000000 ―

2

b ≔ 0.3

h ≔ 0.4 3

b⋅h I ≔ ― = 0.0016

4

12

a. Reacciones en la viga Dividimos la viga en tramos y esquematizamos las direcciones direcciones de las reacciones y momentos, tal como se muestra en la figura:

De la estática.

∑ F V ＝ 0

solve solve , R A R A 30 30 2 - 15 2 ＝ 0 ―― → 90

∑ M A ＝ 0

M A - 30 2 ⋅ 1 - 15 2

R A ≔ 90

solv solve e , M A 2 1 ＝ 0 ―― → 120

M A ≔ 150

⋅

b. Ecuaciones de Momento lecto! "a!a cada t!amo

Corte I-I TRA! x ≤ 2

x ≔ 0 , 0.5 ‥ 2

"cuacion #e omento $lector% M AB x ≔ -90 + 90 x - 15 x

⎡0 ⎤ ⎢ 0.5 ⎥ ⎢ ⎥ x=⎢1 ⎥ ⎢ 1.5 ⎥ ⎣2 ⎦

Corte II-II

TRA! 2 < x ≤ 4

M AB

2

⎡ -90 ⎤ ⎢ -48.75 ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ -15 ⎥ ⎢ 11.25 ⎥ ⎣ 30 ⎦

x ≔ 2 , 2.5 ‥ 4

"cuacion #e omento $lector% 15 2

M BC x ≔ -90 + 90 x - 60 ⋅ x - 1 - 60 - ― x - 2

⎡2 ⎤ ⎢ 2.5 ⎥ ⎢ ⎥ x=⎢3 ⎥ ⎢ 3.5 ⎥ ⎣4 ⎦

M BC

2

⎡ -30 ⎤ ⎢ -16.875 ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ -7.5 ⎥ ⎢ -1.875 ⎥ ⎣ 0 ⎦

Ing. Ivan F. Carmona Nogales


DIA&RAA D" !"'T! $("CT!R 30 15 0

0

0.4

0.8

d2

2

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

-15 -30 -45 -60 -75 -90

c. M #todo Doble Integ!aci$n

Corte I-I TRA! x ≤ 2

E ⋅ I ⋅ ― y ＝ M AB d x2

"cuaci)n #e omento $lector %

M AB x ≔ -90 + 90 x - 15 x

"cuaci)n #e Deformacion Angular%

θ AB x ＝ ― -90 x + ― x - ― x + C1 E ⋅ I ⎝ 2 3 ⎠

"cuacion #e Defle*ion%

y AB x ＝

1

⎛

2

90

15

2

⎞

3

⎞ 1 ⎛ -90 2 90 3 15 4 x + x x + C1 ⋅ x + C2 E ⋅ I ⎝ 2 6 12 ⎠

Por Con#iciones #e A+oyo Cuan#o * θ A ≔ 0 , Reem+laamos en la ecuacion /01

C1 ≔ 0

Cuan#o * y A ≔ 0 , Reem+laamos en la ecuacion /21

C2 ≔ 0

(as ecuaciones $inales son% 1

⎛

1

⎛ -90

90

15

⎞


θ AB x ＝ ― -90 x + ― x 2 - ― x 3 E ⋅ I ⎝ 2 3 ⎠


y AB x ＝ ― ― E ⋅ I ⎝ 2

⎡0 ⎤ ⎢ 0.5 ⎥ ⎢ ⎥ x=⎢1 ⎥ ⎢ 1.5 ⎥ ⎣2 ⎦

θ AB

2

90 6

3

15 12

x +― x -― x

4⎞

⎠

⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ -0.0011 ⎥ ⎢ -0.000311 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ -0.0016 ⎥ y AB x = ⎢ -0.001028 ⎥ ⎢ -0.0017 ⎥ ⎢ -0.001873 ⎥ ⎣ -0.0013 ⎦ ⎣ -0.002632 ⎦



Corte II-II

TRA! 2 < x ≤ 4

E ⋅ I ⋅

d2

2

2

dx

y ＝ M BC

15 2

"cuaci)n #e omento $lector %

M BC x ≔ -90 + 90 x - 60 ⋅ x - 1 - 60 - ― x - 2


θ BC x ＝


y BC

2

2 3 ⎞ 1 ⎛ 90 2 60 15 x x - 1 - 60 x x - 2 + C3 -90 x + E ⋅ I ⎝ 2 2 6 ⎠ 3 4 ⎞ 1 ⎛ 90 2 90 3 60 60 15 x ＝― -― x + ― x - ― x - 1 - ― x 2 - ― x - 2 + C3 ⋅ x + C4 E ⋅ I ⎝ 2 6 6 2 24 ⎠

Para #eterminar los otros #os coeficientes, a+licamos el +rinci+io #e continui#a#% Cuan#o

x≔2

θ I ＝ θ II

⎛ 90 2 15 3 ⎞ ⎛ 90 2 60 x x ＝ -90 x + x x-1 -90 x + 2 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎝

Cuan#o

x≔2

2

- 60 x -

15 x-2 6

3

⎞ solve , C3 + C3 ―― → 110 ⎠

C3 ≔ 110

y I ＝ y II

⎛ -90 2 90 3 15 4 ⎞ ⎛ 90 2 90 3 60 ― x + ― x - ― x ＝ -― x + ― x - ― x - 1 6 12 6 6 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2

3

60 15 - ― x2 - ― x - 2 2 24

4

⎞ solve , C4 + C3 ⋅ x + C4 ―― → -110 ⎠

C4 ≔ -110

(as ecuaciones $inales son% 1 E ⋅ I 1 x ＝― E ⋅ I


θ BC x ＝


y BC

⎡2 ⎤ ⎢ 2.5 ⎥ ⎢ ⎥ x=⎢3 ⎥ ⎢ 3.5 ⎥ ⎣4 ⎦

θ BC

2 3 ⎛ ⎞ 90 2 60 15 x x - 1 - 60 x x - 2 + 110 -90 x + 2 2 6 ⎝ ⎠ 3 4 ⎛ 90 2 90 3 60 ⎞ 60 15 -― x + ― x - ― x - 1 - ― x 2 - ― x - 2 + 110 ⋅ x - 110 6 6 2 24 ⎝ 2 ⎠

⎡ -0.0013 ⎤ ⎢ -0.0017 ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ -0.0019 ⎥ ⎢ -0.002 ⎥ ⎣ -0.002 ⎦

y BC

⎡ -0.002632 ⎤ ⎢ -0.003394 ⎥ ⎢ ⎥ x = ⎢ -0.004297 ⎥ ⎢ -0.005264 ⎥ ⎣ -0.00625 ⎦

RESUMEN GENERAL: Las deflexiones y deformaciones angulares de toda la viga son:

⎡0 ⎤ ⎢ 0.5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 1.5 ⎥ x=⎢2 ⎥ ⎢ 2.5 ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ 3.5 ⎥ ⎣4 ⎦

⎡ 0 ⎤ ⎢ -0.311 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ -1.028 ⎥ ⎢ -1.8735 ⎥ y x = ⎢ -2.6316 ⎥ ⎢ -3.3936 ⎥ ⎢ ⎥ -4.2969 ⎢ ⎥ ⎢ -5.2644 ⎥ ⎣ -6.25 ⎦

mm

⎡ 0 ⎤ ⎢ -0.001131 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ -0.001645 ⎥ ⎢ -0.001665 ⎥ θ x = ⎢ -0.001316 ⎥ ⎢ -0.001696 ⎥ ⎢ ⎥ -0.001891 ⎢ ⎥ ⎢ -0.001963 ⎥ ⎣ -0.001974 ⎦

Ing. Ivan . !armona Nogales


DIA&RAA D" D"$("3I4' 4 0

0.35 -0.25

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

-0.85 -1.45 -2.05 -2.65 -3.25 -3.85 -4.45 -5.05 -5.65 -6.25

d. Com"a!acion con %A&'(((

Diagrama de Momento Flector

Deflexión en el punto extremo


01. Ejemplo 1 (Doble Integracion)

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