Ejemplos Doble Integracion Con Macaulay

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DOBLE INTEGRACION CON MACAULAY EJEMPLO 3.1 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 3. Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas.

40

12

28 7

3

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos Primera integración Segunda integración

M ( x)  12 x  40 x  7 dv 2  6 x 2  20 x  7  C1 dx 3 EIv  2 x3  6.667 x  7  C1 x  C2 EI

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Condición de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0   2  0   6.667 0  7  C1  0   C2

C2  0

x  10 v  0

EI  0   2 10   6.667  3  C1 10 

C1  182

3

3

3

3

3. Ecuaciones Finales

EI

4. Valores de giro y deflexión en x=3

dv 2 2  6  3  20 3  7  182  128 dx dv 128  dx EI

dv 2  6 x 2  20 x  7  182 dx

EI

EIv  2 x3  6.667 x  7  182 x 3

EIv  2  3  6.667 3  7  182  3  492 3

v 1

492 EI

3

EJEMPLO 3.2 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 3.5 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 1500

2571.429

3428.571

2

4

1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M ( x)  2571.429 x  750 x  2  750 x  6

Primera integración

EI

2

2

dv 3 3  1285.714 x 2  250 x  2  250 x  6  C1 dx 4 4 EIv  428.571x3  62.5 x  2  62.5 x  6  C1 x  C2

Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0   428.571 0   C2

x7 v0

EI  0   428.571 7   62.5  5  62.5 1  C1  7 

C2  0

3

3

4

4

C1  15428.571

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 3 3  1285.714 x 2  250 x  2  250 x  6  15428.571 dx

EIv  428.571x3  62.5 x  2  62.5 x  6  15428.571x 4

4

4. Valores de giro y deflexión en x=3.5

EI

dv 2 3  1285.714  3.5  250 1.5  15428.571 dx

EIv  428.571 3.5  62.5 1.5  15428.571 3.5 3

4

2

dv 522.321  dx EI v

35941.406 EI

EJEMPLO 3.3 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 4.5 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 360

216 1

324 3

1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M  x  216 x  20 x  1  180 x  4  20 x  4

Primera integración

EI

3

2

3

dv 4 3 4  108 x 2  5 x  1  60 x  4  5 x  4  C1 dx 5 4 5 EIv  36 x3  1 x  1  15 x  4  1 x  4  C1 x  C2

Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0   36  0   C1  0   C2

x5 v0

EI  0   36  5  1 4   15 1  11  C1  5

C2  0

3

3

5

4

C1  698.4

5

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 4 3 4  108 x 2  5 x  1  60 x  4  5 x  4  698.4 dx

EIv  36 x3  1 x  1  15 x  4  1 x  4  698.4 x 5

4

5

4. Valores de giro y deflexión en x=4.5

EI

dv 4 3 4  108 x 2  5  3.5  60  0.5  5  0.5   698.4 dx

EIv  36 x3  1 3.5  15  0.5  1 0.5  698.4  4.5  5

4

5

3

dv 746.1  dx EI v

386.55 EI

EJEMPLO 3.4 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 8 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 6

10

4

340 60

3

5

3

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M ( x)  340  60 x  2 x 2  6 x  3  10 x  8

dv 2 2  340 x  30 x 2  0.667 x3  3 x  3  5 x  8  C1 dx 3 3 EIv  170 x 2  10 x3  0.167 x 4  1 x  3  1.667 x  8  C1 x  C2 EI

Primera integración Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Constantes

x  0 v'  0

C1  0

x0 v0

C2  0

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 2  340 x  30 x 2  0.667 x3  3 x  3  5 x  8 dx

2

EIv  170 x 2  10 x3  0.167 x 4  1 x  3  1.667 x  8 3

3

4. Valores de giro y deflexión en x=8

EI

dv 2 3 2  340  8  30 8  0.667 8  3  5 dx

EIv  170 8  10 8  0.167 8  1 5 2

3

4

3

4

dv 1216.333  dx EI v

6567.667 EI

EJEMPLO 3.5 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 7 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 500

300

515

435

1

3

2

4

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración

M ( x)  515x  16.667 x  1  150 x  4  16.667 x  4  500 x  6 3

EI

2

3

dv 4 3 4 2  257.5 x 2  4.167 x  1  50 x  4  4.167 x  4  250 x  6  C1 dx

EIv  85.333x3  0.833 x  1  12.5 x  4  0.833 x  4  83.333 x  6  C1 x  C2 5

4

5

3

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Constantes

x0 v0

C2  0

x  10 v  0

C1  5397.25

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 4 3 4 2  257.5 x 2  4.167 x  1  50 x  4  4.167 x  4  250 x  6  5397.25 dx

EIv  85.333x3  0.833 x  1  12.5 x  4  0.833 x  4  83.333 x  6  5397.25x 5

4

4. Valores de giro y deflexión en x=7

dv 3257.75  dx EI

v

13688.25 EI

5

5

3

EJEMPLO 3.6 En la siguiente viga obtenga mediante el método de doble integración y utilizando funciones discontinuas la grafica de deflexión. 200

300

100

375

1275

4

3

1

2

5

1. Ecuación de Momentos con funciones discontinuas y doble integración

M  x  50 x 2  375 x  4  50 x  7  200 x  9  1275 x  10  10 x  10 2

EI

3

dv 2 3 2 2  16.667 x3  187.5 x  4  16.667 x  7  100 x  9  637.5 x  10  dx

2.5 x  10  C1 4

EIv  4.167 x 4  62.5 x  4  4.167 x  7  33.333 x  9  212.5 x  10  3

4

3

3

0.5 x  10  C1 x  C2 5

2. Condiciones de Frontera x4 v0 x  10 v  0

 EI  0   4.167  4   C1  4   C2 4

 EI  0   4.167 10   62.5  6   4.167  3  33.333 1  C1 10   C2 4

3

3. Ecuaciones simultáneas

 4 1  C1  1066.667  10 1 C    27862.5    2   6

4

3

4. Constantes de Integración

 C1   4465.972  C    16797.222   2 

5. Ecuaciones finales

EI

dv 2 3 2 2  16.667 x3  187.5 x  4  16.667 x  7  100 x  9  637.5 x  10  dx

2.5 x  10  4465.972 4

EIv  4.167 x 4  62.5 x  4  4.167 x  7  33.333 x  9  212.5 x  10  3

4

3

0.5 x  10  4465.972 x  16797.222 5

6. Valores de deformación en ambos extremos

 dv  EI dx  4465.972  x  0  EIv  16797.222  

 dv  EI dx  9788.194  x  15   EIv  42690.972  

7. Ubicación de tangentes horizontales a. Suponiendo v '  0 en 0  x  4  x1  3.2235  5.5832i 50 3  0   x  4465.972  x2  3.2235  5.5832i 3  x3  6.4470  Nota: dos complejas y la otra fuera de rango, ninguna es útil.

7

3

b. Suponiendo v '  0 en 4  x  7

50 2 0   x3  187.5  x  4   4465.972 3

 x1  1.9665  7.5733i   x2  1.9665  7.5733i  x3  7.3169 

Nota: dos complejas y la otra fuera de rango, ninguna es útil.

c. Suponiendo v '  0 en 7  x  9

0

50 3 50 2 3 x  187.5  x  4    x  7   4465.972 3 3

 x1  7.3173   x2  1.4712

Nota: el valor de x1 es correcto (dentro del rango supuesto)

d. Suponiendo v '  0 en 9  x  10

0

 x1  7.0394   x2  3.4368

50 3 50 2 3 2 x  187.5  x  4    x  7   100  x  9   4465.972 3 3 Nota: las dos raíces fuera de rango, ninguna es útil.

e. Suponiendo v '  0 en 10  x  15 0

50 3

x  187.5  x  4   2

3

50 3

 x  7

3

 100  x  9   637.5  x  10  2

2.5  x  10   4465.972 4

x1  18.0561  4.5753i x2  18.0561  4.5753i x3  8.3572 x4  4.4695 Nota: dos raíces complejas y dos fuera de rango, ninguna es útil.

8

2



8. Valor(es) de desplazamiento en donde hay tangentes horizontales a. Sólo se tiene un punto con tangente horizontal en x=7.3173

x  7.3173

EIv  6218.083

9. Gráfico de deflexiones

300 200 100

4.00

3.00

2.00

1.00

375

5.00

1275 (7.3173,6218.083)

10000

0

- 10000

(0,-16797.222)

- 20000

- 30000

- 40000

(15,-42690.972) 0

4

7.3173

9

9

10

15