Esto lo saque de un foro lo que esta en letras negras es la explicación de la ecuacion de difusividad y lo que esta en verde es una confusion que tiene un participante del foro con la ecuacion de difusión y la ecuacion de difusividad.
La ecuacion de la difusividad es la l a combinacion de las principales ecuaciones que describen el proceso fisico del movimiento de fluido dentro del reservorio,combina reservorio,combina la ecuacion de continuidad (que es el principio de la conservacion conservacion de la masa,y de aqui obtenemos el balance de materia),la ecuacion de flujo (ecuacion de Darcy) y la ecuacion de estado (compresibilidad). Esta ecuacion tiene 3 variables : 1 presion que es la del reservorio y 2 saturaciones saturaciones que son generalmente la oil y la de gas en reservorios volumetricos. A partir de esta ecuacion se obtienen las ecuaciones para los tipos de flujo que existen en el reservorio,por ejemplo en la segunda parte de la ecuacion de la difusividad la presion p resion varia con el tiempo (deltaP/Delta t) si estamos en el estado psudoestable es decir la la presion no depende del tiempo ya que llego al limite del reservorio reservorio (infnit acting) esta variacion es 0 por l o que la ecuacion de la difusividad tendra una resolucion que es l a ecuacion de flujo radial para el estado psudoestable Pr – Pwf = Costante*Q*uo*Bo(ln(re/rw)-0.75+S)/kh Hola a todos. En pa part rtic icul ular ar te teng ngo o en es esto tos s mo mome ment ntos os un una a co conf nfus usió ión n fr fren ente te a es esta ta ecuación. Siempre la he conocido como la ecuación de difusividad, pero me asalta una duda…en donde rayos se ve la Ley de Fick reflejada en esta ecuación??? Para Pa ra re reso solv lver er mi du duda da,, me re remi miti ti a la las s ec ecua uaci cion ones es qu que e de desc scri ribe ben n lo los s procesos de transporte y me encontré con una sorpresa…a mi modo de ver esta est a ec ecuac uación ión no es la ecu ecuac ación ión de dif difusi usión, ón, sino que es rea realme lmente nte la ecuación de advección. La advección está más ligada con el proceso de transporte mecánico y de hecho, incluye la Ley de Darcy en modelos de flujo en medios porosos tales como el desplazamiento del agua en el subsuelo. En nuestro caso, no solo sería agua. Este Est e fen fenóm ómeno eno de adv advecc ección ión,, tie tiene ne ínt íntima imamen mente te lig ligado ado los ca cambi mbios os de presión y contempla incluso la presencia de una concentración dado que en su definición original, la advección describe el flujo de un soluto arrastrado por un fluido a través de una superficie. Ahora si miramos la ecuación de difusión, esta está formulada sobre la Ley de Fick, pero lo interesante es que la forma general de la ecuación es muy similar a la que nosotros manejamos normalmente. De hecho se puede llegar a la ecuación de continuidad en esos términos y tener un coeficiente efectivo de difusión que tiene un comportamiento similar al de la permeabilidad…se permeabilidad…s e puede plantear para medios isotrópicos y anisotrópicos… el resultado es una ecuación muy similar a la que conocemos con cambios de presión, solo que este modelo contempla son cambios de concentración. Ahora, la fenomenología también me pone a pensar dado que yo puedo
tener difusión en un medio sin necesidad de tener advección. La pregunta que me hago ahora entonces es: esa relamente es la ecuación de difusidad? No será más bien la ecuación advectiva? Algunos elementos de la mecanica de fluidos dan mas bases para pensar lo segundo…le agradezco al que pueda aclararme esto pero de todas formas estoy trabajandole al cuento. Hola a todos: Creo que tenemos un error conceptual. Una cosa es la ecuación de difusividad y otra la ecuación de Difusión. La ecuación de Difusión es la ecuación de Fick la cual no da información de como difunde una sustancia en un medio. La ley de Fick tiene en cuenta la difusividad molecular. Existe lo que se llama pseudo Ley de Fick donde se toman difusividades efectivas y las mismas toman en cuenta efectos macroscopicos. Sin embargo también existen leyes que son análogas a la de fick y las mismas explican fenómenos de transporte de manera similar. Asi, por ejemplo para la transmición de calor tenemos la ley de Fourier, para un gradiente de presión tenemos la Ley de Darcy y son todas similares, el flujo es igual a una constante por un gradiente, Ley de Fick tenemos gradiente de concentración, ley de darcy gradiente de P y ley de fourier gradiente de T. Ahora bien, si combinamos por ejemplo cualquiera de las ecuaciones de flujo con los balances de energía o de materia podemos hacer la ecuación de difusividad en terminos de las variables que queramos. Por ejemplo, con Darcy y un balance de materia en un elemento cilindrico resulta la ecuación de Difusividad mas arriba mostrada. Con la Ley de Fourier y un balance de calor hacemos la ecuación de difusividad en terminos de la temperatura.
La siguiente, es la Ecuación de la Difusividad:
La ecuación de la difusividad es la combinación de las principales ecuaciones que describen el proceso físico del movimiento de fluido dentro del reservorio, combina la ecuación de continuidad (que es el principio de la conservación de la masa, y de aquí obtenemos el balance de materia), la ecuación de flujo (ecuación de Darcy) y la ecuación de estado (compresibilidad).
Esta ecuación tiene 3 variables: 1 presión que es la del reservorio y 2 saturaciones que son generalmente la oil y la de gas en reservorios volumétricos. A partir de esta ecuación se obtienen las ecuaciones para los tipos de flujo que
existen en el reservorio, por ejemplo en la segunda parte de la ecuación de la difusividad la presión varia con el tiempo (deltaP/Delta t) si estamos en el estado pseudoestable es decir la presión no depende del tiempo ya que llego al limite del reservorio (infinit acting) esta variación es 0 por lo que la ecuación de la difusividad tendrá una resolución que es la ecuación de flujo radial para el estadopseudoestable:
Pr - Pwf = Costante*Q*uo*Bo(ln(re/rw)-0.75+S)/kh A continuación se contempla el desarrollo de la ecuación de difusividad para el análisis de presión en yacimientos. El enfoque matemático que se presenta a continuación esta basado en los cursosPE175 (Well Test Analysis) y PE281 (Applied Mathematics for Reservoir Engineering) del programa de MS en Petroleum Engineering de Stanford University.
DESARROLLO DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD
En un sistema lineal como se muestra en la figura:
La ecuación de conservación de la masa es:
(Masa entra) - (masa sale) = (acumulación)
dividiendo (1) por Dx y Dt, y tomando límites cuando Dx-->0 y Dt-->0:
sustituyendo la Ley de Darcy, ecuación (2), en (3) obtenemos:
suponiendo que k, m y A son constantes:
desarrollando el término:
obtenemos:
Ahora necesitamos calcular
Procedemos como sigue: Primero tenemos que la compresibilidad isotérmica está definida como:
obtenemos:
Derivando (7) con respecto al tiempo, obtenemos:
Por otro lado, la compresibilidad de la roca esta definida por:
Integrando (9) y derivando con respecto al tiempo, obtenemos:
Sustituyendo (8) y (10) en (5), obtenemos:
Definiendo:
obtenemos:
Ahora, podemos decir que:
Finalmente obtenemos:
La ecuación (13) es la ecuación de difusividad en un sistema lineal. Observe que en esta ecuación hay una derivada parcial con respecto al tiempo y una segunda derivada con respecto a la distancia (espacio). En un sistema cartesiano 3D, la ecuación (13) se puede escribir como
sigue:
donde, el operador V esta definido por:
En coordenadas radiales, el operador V esta definido por:
y la ecuación de difusividad se convierte en:
Si consideramos convierte en:
que
solo
existe
flujo
radial,
la
ecuación
(15)
se
Observe que en la derivación de la ecuación de difusividad (14) se requirió el uso de la ecuación de conservación de la masa (1), la Ley de Darcy (3) y las ecuaciones de estado (6) y (9). El resultado es la ecuación general que caracteriza el comportamiento de presión en un yacimiento para todo tiempo. Las suposiciones que se han hecho son las siguientes: 1. Flujo laminar 2. Efectos capilares despreciables 3. Medio isotrópico 4. k, f, m y ct son constantes 5. Los fluidos son ligeramente compresibles 6. Flujo monofásico 7. No hay efectos de gravedad o térmicos
Ecuación de difusividad y soluciones. Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la tasa de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en la bien conocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase. La ecuación de difusividad es unión de varias ecuaciones que describen los procesos físicos del movimiento del fluido dentro del reservorio. Combina la ecuación de continuidad (que es el principio de la conservación de la masa, de la cual se obtiene la ecuación de balance de materiales), la ecuación de flujo (ecuación de Darcy) y la ecuación de estado (compresibilidad). Limitaciones de la ecuación de difusividad a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad constantes. b) Un solo fluido satura el medio poroso. c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible. d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables.
e) La densidad del fluido es gobernada por la siguiente ecuación:
Donde ρ= densidad, ρ i= densidad a pi y c= compresibilidad. En esta ecuación se toma en cuenta que la presión del fluido siempre es mayor que la del punto de burbujeo.
Aplicando la Ley de Darcy y considerando el flujo horizontal lineal que resulta de l a expansión de un fluido que se encuentra inicialmente a una presión p o.
Sea ρ = densidad promedia del fluido en los intervalos correspondientes dx y dt.
donde, m1 = masa que pasa por el plano 1 en dt
m2 = masa que pasa por el plano 2 en dt
Masa neta actual que sale de:
La pérdida de peso del fluido entre los planos 1 y 2 para una caída de presión . Igualando el pesoneto actual que fluye con la pérdida de peso del fluido en el intervalo dx, se tiene:
Sustituyendo
por su valor en
, se obtiene:
Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación de difusividad para flujo lineal.
Para determinar la ecuación de difusividad para flujo radial se puede transformar la ecuación de difusividad para flujo lineal en:
Luego se cambia las coordenadas cartesianas a radiales cilíndricas, la ecuación de difusividad para flujo radial se transforma en:
Soluciones para la ecuación de difusividad.
1.Estado estable:
Integrando:
Aplicando la Ley de Darcy:
Aplicando las ecuaciones anteriores:
Sustituyendo en
Separando variables:
Integrando:
2.Estado pseudoestable:
Sustituyendo:
Separando:
Después de integrar:
Aplicando la condicion de frotera r=r e, dP/dr=0 porque el sistema es cerrado:
Luego:
Separando:
Integrando:
