1-. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1.1 ASPECTOS GENERALES
Todas las ecuaciones prácticas de flujo de fluidos en medios porosos se basan en dos conceptos básicos: la Ley de Darcy y la Ley de conservación de masa. Los conceptos mas simples de Ingeniería de Yacimientos se basan en uno de estos conceptos; pero los complejos, y generalmente los más útiles, se basan en ambos. La ecuación de difusividad es una relación que permite describir el comportamiento de la presión de un fluido, que fluye a través de un medio poroso, con el tiempo y la distancia dependiendo de factores como geometría de flujo, tipo de fluido, tipo de flujo, régimen de flujo y condiciones iniciales y de límite.
1.1.1 Geometrías de Flujo De acuerdo con la geometría de flujo se puede hablar de: Flujo Lineal en 1, 2, y 3 dimensiones Flujo Radial Flujo Esférico
i)-Flujo Lineal: El flujo lineal se puede presentar en los siguientes casos (Ver figura 1.1):
•
• • •
Empuje Hidráulico Hidráulico Lateral Parcial. Parcial. Esta situación se puede puede dar cuando cuando el yacimiento está en contacto, pero solo parcialmente, con un acuífero y la región de contacto es solo una fracción relativamente pequeña de la circunferencia; el flujo se asemeja más al flujo lineal que al flujo radial. (Figura 1.1 (a)). Empuje de Fondo Fondo de un Acuífero Acuífero (Figura 1.1 (b)). Flujo en un pozo hidráulicamente hidráulicamente Fracturado. Fracturado. El yacimiento aporta a la factura a través de un flujo lineal y luego el fluido fluye a través de la fractura hacia el pozo. Flujo en un pozo horizontal horizontal:: el comportamiento comportamiento del fluido en este caso caso es similar al caso de la fractura.
Además el flujo lineal puede puede ser en 1D, 2D y 3D. El flujo en dos dimensiones dimensiones y 3 dimensiones generalmente generalmente es de aplicación en simulación de yacimientos. yacimientos.
1
(a) Empuje Hidráulico lateral Parcial
(b) Empuje Hidráulico de Fondo
Figura 1-. Casos de Flujo Lineal en Yacimientos
2
(a) Empuje Hidráulico lateral Parcial
(b) Empuje Hidráulico de Fondo
Figura 1-. Casos de Flujo Lineal en Yacimientos
2
(c) Pozo Fracturado Hidráulicamente
Figura 1.1-. (Cont.) ii) Flujo Radial: Es el caso normal en un yacimiento cuando se tienen un pozo que atraviesa toda la formación y está cañoneado en todo el espesor de la misma. (Ver Figura 1.2)
Figura 1.2-. Flujo Radial 3
iii) Flujo Esférico: Se presenta cuando una formación productora de gran espesor, ha sido abierta a flujo sólo en una fracción fracción relativamente relativamente pequeña de de su espesor. espesor. En este caso las líneas de flujo en todas las direcciones van orientadas hacia la parte abierta al flujo, que como es tan pequeña comparada con el espesor de la formación parece como un punto, el centro de una esfera a donde confluyen todas las líneas de flujo. (Ver figura 1.3)
Figura 1.3-. Flujo Esférico.
4
1.1.2 Tipos de Fluidos en un Yacimiento En un yacimiento se pueden tener fluidos incompresibles (caso agua), fluidos ligeramente compresibles (caso petróleo por encima del punto de burbujeo) y fluidos f luidos compresibles (caso gas); cada uno de estos fluidos está caracterizado por una ecuación de estado que permite analizar el comportamiento del volumen, o la densidad , del fluido con la presión y la temperatura.
i) Fluidos Incompresibles: C = −
1 ∂ V V ∂ P
=0→
M ρ = 0
∂
−
∂ P
∂ V =0 ∂ P
M ∂ ρ
ρ 2 ∂ P
= 0 → ρ = cons tan te
(1.1)
Caso: agua
ii) Fluidos Ligeramente Compresibles. Un fluido se considera ligeramente compresible si cumple con las siguientes dos condiciones: C=−
1 ∂V V ∂P
= Constante
C * P << 1
Partiendo de la definición de compresibilidad se puede tener una ecuación de estado para este tipo de fluido f luido de la siguiente manera:
m 1 δ ( ) ρ ρ = − ρ ρ = 1 δ ρ C = − * δ
m
δ P
δ P
ρ δ P
o sea que:
δρ = = C ρδ P
y
δρ δ P = C ρ , ∀i = x, y, z, t δ i δ i
Caso: Petróleo subsaturado.
5
(1.2)
iii) Fluidos Compresibles: Para un fluido compresible se tiene v = ZRT / P y por lo tanto volviendo a la definición de compresibilidad se tienen ahora
ZRT P 1 ∂ V P C = − → C = − * ∂
V ∂ P
∂ P
RT ∂Z 1 − 2 * ZRT ZRT P ∂P P P
C=−
=−
ZRT
P ZRT
*
*
ZRT 1 ∂Z
1 1 1 ∂Z − = − P Z ∂P P P Z ∂P
Cuando se tiene un gas ideal Z = 1 y C=
(1.3)
∂Z = 0 , o sea que ∂P
1 P
Cuando se trata de gases reales, la expresión para la compresibilidad del gas se ∂Z puede evaluar reemplazando Z y en términos de la presión, lo cual puede ∂P hacerse usando una ecuación de estado (EOS).
1.1.3 Períodos de Flujo en un Yacimiento Cuando se inicia una perturbación de presión en un yacimiento esta se empieza a desplazar a través del mismo y el comportamiento de la presión en un punto cualquiera del yacimiento y en un momento dado dependerá, entre otras cosas, de si la perturbación de presión ha recorrido todo el yacimiento o solo parte de este. Cuando se inicia la perturbación de presión esta empieza a viajar a través del yacimiento y mientras no llegue a un solo punto del límite exterior del yacimiento se dice que la perturbación está en su período transiente, y se habla de un transiente de presión; cuando ya la perturbación ha llegado a algún punto del límite exterior del yacimiento, pero no a todo, se inicia el período postransiente el cual termina cuando la perturbación de presión haya llegado a todos los puntos del límite exterior del yacimiento, y finalmente cuando se tienen todos los puntos del yacimiento afectados por la perturbación, incluyendo los puntos del límite exterior, se inicia el período estable o seudoestable, dependiendo de la condición de límite existente en el límite exterior del yacimiento.
6
Para analizar el comportamiento de la presión con el tiempo y la distancia, para los períodos transiente y estable o seudoestable, se requiere conocer el tipo de flujo que se está presentando y/o las condiciones de frontera. En cuanto al tipo de flujo que se puede tener en un yacimiento se puede hablar de flujo continuo, seudostable e inestable. El flujo continuo o estable se da cuando la tasa de flujo y la presión no varían con el tiempo; esta situación sólo se podrá dar en el período seudoestable y cuando el yacimiento está alimentado en su límite exterior por una fuente, como es el caso de un acuífero lateral. El flujo seudoestable se da cuando la tasa de flujo se mantiene constante en el pozo pero hacia dentro en el yacimiento varía con el tiempo y la presión en cualquier punto del yacimiento varía con el tiempo; esta situación se conoce como de tasa terminal constante y se puede presentar tanto en el período transiente como en el seudoestable. El flujo inestable se da cuando la tasa de flujo en cualquier punto del yacimiento, incluyendo el pozo, varía con el tiempo y la presión se mantiene constante en el pozo pero varía con el tiempo en cualquier otro punto del yacimiento; se puede presentar tanto en el período transiente como en el seudoestable y se conoce como caso de presión terminal constante.
Período Transiente: (Ver figura 1.4 )
Figura 1.4-. Comportamiento de la Presión y la Tasa de Flujo con el Radio en el Período Transiente. Como se ve en el período transiente en un punto cualquiera del yacimiento la presión y la tasa de flujo con el tiempo disminuye y aumenta respectivamente, sin embargo es posible mantener fija la tasa de flujo o la presión y en el primer caso se hablará de una situación de tasa terminal constante y en el segundo de una situación de presión terminal constante. 7
• Flujo Transiente - Presión Terminal Constante. La presión en el fondo del pozo se mantiene constante hasta que la perturbación llega al límite exterior del yacimiento.(Ver Figura 1.5)
Figura 1.5-. Período Transiente- Caso Presión Terminal Constante •
Flujo Transiente - Rata Terminal Constante.
Se mantiene constante la tasa de flujo en el fondo del pozo, la presión en el fondo irá disminuyendo.(Ver Figura 1.6)
Figura 1.6-. Período Transiente – Caso Tasa Terminal Constante Período Seudoestable:
8
En términos generales el comportamiento de la presión y la tasa de flujo con la distancia y el tiempo es la que se muestra en la figura 1.7.
Figura 1.7-. Comportamiento de la Tasa de Flujo y la Presión con el radio en el Período seudoestable. • Período Seudoestable - Flujo Estable: Como ya se dijo el flujo estable solo se presenta en el período seudoestable pues se requiere que en el límite exterior del yacimiento se tenga un suministro o fuente que reponga los fluidos que salen del yacimiento, por tanto en este caso la tasa de flujo en el límite exterior no puede ser cero. δ P δ q La característica de este tipo de flujo es que = = 0 en cualquier punto del δ t δ t δ q = 0 y el comportamiento de la presión y la tasa de flujo con δ r la distancia (r) y el tiempo se muestra en la figura 1.8 yacimiento, además
•
Período Seudoestable – Flujo Seudoestable
El flujo seudoestable se presenta cuando tanto la presión como la tasa de flujo varían a través del yacimiento. La tasa de flujo se mantiene constante en el pozo con el tiempo, pero a través del yacimiento varía desde un valor q en el pozo hasta cero en el límite exterior del yacimiento. La presión varía con el radio y con el tiempo pero presenta las dos siguientes características: δ P En el límite exterior como la tasa de flujo es cero el gradiente de presión es cero δ r y como la tasa de flujo es constante en un punto dado entonces el gradiente de presión es constante con el tiempo y por lo tanto el cambio de presión con el tiempo 9
δ P o sea =Cons tan te para cualquier r y las curvas de P vs. r para diferentes δ t r tiempos son paralelas.
Figura 1.8-. Comportamiento de la Presión y la Tasa de Flujo en Período Seudoestable – Caso Flujo Estable En este caso los gráficos de comportamiento de q y P con tiempo y distancia muestran las formas que aparecen en la figura 1.9.
Figura 1.9-. Período Seudoestable – Caso flujo Seudoestable.
•
Período Seudoestable – Flujo Inestable
El período seudoestable puede ser inestable si mantenemos constante la presión en el fondo del pozo y por tanto la tasa de flujo variará. El comportamiento de la presión 10
y la tasa de flujo con el tiempo y la distancia en este caso es el que se muestra en la figura 1.10.
1.1.4-. Ecuación de Darcy. La forma general de la ecuación de Darcy presenta la siguiente forma u=−
k
µ
ρ
d ds
Φ
(1)
: (1.5)
Figura 1.10-. Período Seudoestable – Caso Presión Terminal Constante (Flujo Inestable)
11
Donde u es el flujo volumétrico, k la permeabilidad del medio, µ la viscosidad del fluido, ρ la densidad del fluido, s la dirección de flujo y Φ es el potencial de flujo definido por P
Φ=
∫ Pb
dP
ρ
+ g ( z − z b )
(1.6)
Donde Zb es la altura del nivel de referencia y P b es la presión mínima a la cual se va a encontrar el fluido. Cuando la componente gravitacional no es muy importante en la ecuación de gradiente, la ecuación de potencial se convierte en P
Φ=∫ Pb
dP
ρ
(1.7)
y por tanto la ecuación de Darcy en u=−
k dP
µ ds
(1.8)
1.2-. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUJO LINEAL La ecuación de difusividad es una ecuación de movimiento que nos permite analizar el comportamiento de la presión con la posición y el tiempo en un medio poroso. Para deducir la ecuación de difusividad se requieren tres ecuaciones:
− Ecuación de Continuidad (Conservación de Masa) − Ecuación de Flujo − Ecuación de Estado del Fluido Para la ecuación de continuidad supongamos el elemento de un medio poroso que se muestra en la figura 1.11, en el que se presenta flujo de fluido en las direcciones x, y, z. La masa que está entrando al elemento en un intervalo de tiempo ∆t es: u x ρ * (∆ z∆ y ) * ∆t + u y ρ * (∆ x∆ z ) * ∆t + u z ρ * (∆ x∆ y ) * ∆t
y la masa que sale del mismo elemento es: 12
[u x ρ + ∆(u x ρ )] * (∆ y∆ z ) * ∆t +
u y ρ + ∆(u y ρ ) * (∆ x∆ z ) * ∆t + [u z ρ + ∆(u z ρ )] * (∆ x∆ z ) * ∆t
Figura 1.11-. Elemento de un Medio Poroso con Flujo Lineal Durante el intervalo ∆t, la masa que se acumula en elemento ∆x ∆y ∆z es: [Masa Acumulada] = [Masa que entra] - [Masa que sale] u x ρ * (∆ z∆ y ) * ∆t − [u x ρ + ∆(u x ρ )] * (∆ y∆ z ) * ∆t + u y ρ * (∆ z∆ x ) * ∆t − u y ρ + ∆ u y ρ * (∆ x∆ z ) * ∆t + u z ρ * (∆ z∆ y ) * ∆t − [u z ρ + ∆(u x ρ )] * (∆ y∆ z ) * ∆t =
− [∆(u x ρ ) * (∆ y∆ z ) * ∆t + ∆(u x ρ ) * (∆ y∆ z ) * ∆t + ∆(u x ρ ) * (∆ y∆ z ) * ∆t ]
∆(u x ρ )
= −∆ x∆ y∆ z
∆ x
+
∆(u y ρ ) ∆ y
+
∆(u z ρ ) * ∆t ∆ z
(1.9)
A la expresión anterior hay que agregarle la masa que entra o sale del elemento a través de fuentes o sumideros, como podría ser el caso de un pozo productor o inyector; o sea que la expresión para la acumulación teniendo en cuenta lo que entra o sale del elemento se convertirá en la siguiente
∆(u x ρ )
Acumulación = −∆ x∆ y∆ z
∆ x
+
∆(u y ρ ) ∆ y
+
∆(u z ρ ) * ∆t − q m ∆ x∆ y∆ z∆t ∆ z
(1.10)
Además la acumulación de masa en el elemento ∆x ∆y ∆z se puede obtener también de: 13
((∆ x∆ y∆ z ) * φ * ρ )t + ∆t − ((∆ x∆ y∆z ) * φ * ρ )t
(1.11)
e igualando las expresiones (1.10) y (1.11) y dividiendo por ∆ X ∆Y ∆ Z ∆t se tiene: ∆(u x ρ ) ∆(u y ρ ) ∆(u z ρ ) φ ρ )t + ∆t − φ ρ )t − + + − qm = ∆ y ∆ z ∆t ∆ x y cuando ∆x, ∆y, ∆z y ∆t tienden a cero se tiene:
−
∂ (u x ρ ) ∂ (u y ρ ) ∂ (u z ρ ) ∂ (φρ ) − − − qm = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ t
(1.12)
Si se tiene en cuenta que la velocidad del fluido es una cantidad vectorial esta puede expresar como
u = u x i + u y j + u z k
(1.13)
donde ux, uy y uz son las componentes del vector velocidad del fluido en las direcciones x, y y z. Usando la ecuación (1.13), la ecuación (1.12) se puede escribir como
− ∇.(u ρ ) − q m =
δ ( ρφ ) δ t
Si se introduce ahora la ecuación de Darcy para flujo lineal en la ecuación (1.12), suponiendo que se puede aplicar la ecuación (1.8), se tiene:
∂ k z ∂ P ∂ k y ∂ P ∂ ( ρ φ ) ∂ k x ∂ P ρ + * * ρ + * ρ − q m = y y z z t ∂ x µ ∂ x ∂ µ ∂ ∂ µ ∂ ∂
(1.14)
La ecuación (1.14) también se puede escribir como
K
∇.
µ
∇P ρ − q m =
δ ( ρφ ) δ t
(1.15)
Si el flujo es solo en una dirección los componentes en las otras direcciones en la ecuación (1.14) no aparecerán. En este caso la ecuación de continuidad se plantea de la siguiente forma, suponiendo el elemento de volumen que se muestra en la figura 1.12
14
Figura 1.12-. Elemento de Volumen para Flujo Lineal en una Dimensión Masa que entra = ρ u x A( x )∆t Masa que sale = [ ρ u x A( x) + ∆(ρ u x A( x ) )]∆t Acumulación = Masa que entra − Masa que sale − q sumideros = − ∆( ρ u x A( x) )∆t − q m A( x )∆ x∆t
= ( A( x )∆ x ρφ )t + ∆t − ( A( x )∆ x ρφ )t Dividiendo ahora por ∆x∆t, la ecuación anterior se convierte en
− ∆( ρ u x A( x) ) / ∆ x − q m A( x) = ( A( x ) ρφ )t + ∆t − ( A( x ) ρφ )t / ∆t
(1.16)
y expresando la ecuación (1.16) en forma diferencial
−
δ δ ( ρ u x A( x) ) − q m A( x) = ( A( x) ρφ ) δ x δ t
(1.17)
Si se introduce la ecuación de Darcy en la ecuación (1.17), suponiendo que se pueda aplicar la ecuación (1.8), se tiene
δ k δ P δ ρ A( x) − q m A( x) = ( A( x) ρφ ) δ x µ δ x δ t
(1.18)
La ecuación (1.18) se puede acomodar a la ecuación (1.15), solo que en este caso el tensor de permeabilidades solo tendrá la componente en la dirección x, k x. La ecuación (1.15) se podrá escribir en forma general como 15
K
∇. α
µ
∇P ρ − α q m = α
δ ( ρφ ) δ t
(1.19)
donde α=1 cuando el flujo es en tres dimensiones y α=A(x) cuando el flujo es en 1 dimensión. Cuando el flujo es en dos dimensiones, x y y, el volumen elemental se representa con la figura 1.13, y la ecuación de continuidad para cada una de las direcciones de flujo se plantea así: En la dirección x: Masa que entra = ρ u x ∆ yH ( x ) ∆t Masa que sale = [ ρ u x ∆ yH ( X ) + ∆(ρ u x ∆ yH ( x) )]∆t Acumulación x = Masa que entra − Masa que sale = − ∆ ( ρ u x ∆ yH ( x ) )∆t
Figura 1.13-. Elemento de Volumen para Flujo Lineal en dos Dimensiones En la dirección y: Masa que entra = ρ u y ∆ xH ( y )∆t Masa que sale = ρ u y ∆ xH ( y ) + ∆ ρ u y ∆ xH ( y ) ∆t
16
Acumulación y = Masa que entra − Masa que sale = − ∆( ρ u y ∆ xH ( y ) )∆t Acumulacióntotal = Masa que entra − Masa que sale − q sumideros = − ∆( ρ u x ∆ yH ( x ))∆t − q m ∆ x∆ yH ( x)∆t
= (∆ y∆ xH ( x) ρφ )t + ∆t − (∆ y∆ xH ( x ) ρφ )t Si la ecuación anterior se divide por ∆x∆y∆t, se tiene
−
( H ( x, y ) ρφ )t + ∆t − ( H ( x, y ) ρφ )t ∆( ρ u x H ( x ) ) ∆ ρ u y H ( y ) − − q m H ( x, y ) = ∆ x ∆ y ∆t
y si la ecuación anterior se expresa en forma diferencial y además se tiene en cuenta que H no es función del tiempo se tiene
−
δ ( ρ u x H ( x) ) δ ρ u y H ( y ) δ ( ρφ ) − − q m H ( x, y ) = H ( x, y ) δ x δ y δ t
(1.20)
Si se introduce la ecuación de Darcy, ecuación (1.8), en la ecuación (1.20), se tiene
k x
δ ρ
µ
H ( x )
δ x
δ P δ x
k y
δ ρ +
µ
H ( y )
δ y
δ P δ y
− q m H ( x, y ) = H ( x, y )
δ ( ρφ ) δ t
(1.21)
La ecuación (1.21) también se puede ajustar a la ecuación (1.19) teniendo en cuenta que en este caso el tensor de permeabilidades solo tiene componentes en la dirección x, k x, y en la dirección y, k y, y que α vale H(x). La ecuación (1.19) es entonces la forma general de de la ecuación de difusividad para flujo lineal y es la base para obtener las diferentes formas de la ecuación de difusividad, dependiendo del fluido que fluye a través del medio poroso cuando se tiene flujo lineal.
1.2.1 Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible • Si las Propiedades Petrofísicas no Dependen de la Presión : Cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión se puede plantear la siguiente relación: K x
K y
K z
δ ( µ ) δ ( µ ) δ ( µ ) δ ( ρφ ) = = = =0 δ x δ y δ z δ t 17
y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuación (1.19) y teniendo en cuenta la expresión anterior se tiene: Para flujo lineal en tres dimensiones k x
ρ ( µ ) *
δ δ P δ δ P δ δ P K Ky ( )+ ρ ( µ ) * ( )+ ρ ( µ ) * ( ) − qm = 0 δ x δ x δ y δ y δ z δ z z
(1.22)
y suponiendo que k x =k y =k z se tiene
δ 2 P δ 2 P δ 2 P q v µ + + − = 0 k δ x 2 δ y 2 δ z 2
(1.22a)
y si finalmente no se tiene en cuenta el factor de fuentes o sumideros
δ 2 P δ 2 P δ 2 P + + =0 δ x 2 δ y 2 δ z 2 donde q v =
(1.22b)
qm
ρ
Para flujo en dos dimensiones k x
ρ ( µ ) *
δ P δ P δ δ Ky (h )+ ρ ( µ ) * (h ) − q m h= 0 δ x δ x δ y δ y
(1.23)
y suponiendo que k x =k y =k se tiene
δ P δ P δ δ µ (h )+ (h ) − q v * h= 0 k δ x δ x δ y δ y
(1.23a)
y, finalmente, si no se tiene en cuenta el factor de fuentes y sumideros y h se mantiene constante
δ δ P δ δ P δ 2 P δ 2 P ( )+ ( )=0= + 2 δ x δ x δ y δ y δ x 2 δ y
(1.23b)
De igual manera, para flujo en una dirección se tendría suponiendo los mismas casos de dos y tres dimensiones:
18
k x
ρ ( µ ) *
δ P δ ( A )− q m A= 0 δ x δ x
(1.24)
δ P δ µ ( A )− q m A= 0 k δ x δ x
(1.24a)
δ δ P δ 2 P ( )= 0 = δ x δ x δ x 2
(1.24b)
• Si las propiedades Petrofísicas Dependen de la Presión : Partiendo de la ecuación (1.19) se tiene: Para tres dimensiones
∂ k x ∂ P ∂ k y ∂ P ∂ k z ∂ P ∂ (φ ) + − qv = + ∂ x µ ∂ x ∂ y µ ∂ y ∂ z µ ∂ z ∂ t y desarrollando las derivadas de la expresión anterior:
∂ k x δ P k x δ 2 P ∂ k y δ P k y δ 2 P ∂ k z δ P k z δ 2 P ∂ (φ ) q + + + + + − = ( )* * * v ∂ x µ δ x µ δ x 2 ∂ y µ δ y µ δ y 2 ∂ z µ δ z µ δ z 2 δ t Recordando ahora que
∂ k x ∂ k x δ P ∂ k y ∂ k y δ P ∂ k z ∂ k z δ P ; ; ; ( )= ( )* ( )= ( )* ( )= ( )* ∂ x µ δ P µ δ x δ y µ δ P µ δ y δ z µ δ P µ δ z δ φ δ φ δ P = * δ t δ P δ t
(1.25)
la expresión anterior para la ecuación de difusividad queda así :
δ P 2 k x δ 2 P ∂ k y δ P 2 k y δ 2 P ∂ k z δ P 2 k z δ 2 P ∂ k x ∂ (φ ) δ P ( )*( ) + * ( ) * ( ) q + + + + − = v δ P µ δ x µ δ x 2 ∂ P µ δ y µ δ y 2 ∂ P µ δ z µ δ z 2 ∂ P δ t Si se considera que 2
2
2
δ P δ P δ P = = =0 x y z δ δ δ
(1.26)
19
lo cual es válido porque cuando se tiene flujo estable el gradiente de presión es bajo, y que de acuerdo con la definición de compresibilidad de poro se puede escribir
δ φ =C pφ δ P
(1.27)
donde Cp es la compresibilidad de poros de la formación, y si se supone k x = ky = kz se tiene
φµ C P δ P δ 2 P δ 2 P δ 2 P + + − qv = 2 2 2 k δ t δ x δ y δ z
(1.28)
y cuando no se considera el factor de fuentes y sumideros
δ 2 P δ 2 P δ 2 P φµ C P δ P + + = k δ t δ x 2 δ y 2 δ z 2
(1.28a)
Para dos dimensiones y aplicando el mismo procedimiento anterior se tendría:
δ δ P δ δ P µ φµ C P h δ P h + h − q v h = k k δ x δ x δ y δ y δ t
(1.29)
y si se considera que el espesor es constante y se desprecia el efecto de fuentes y sumideros
δ δ P δ δ P φµ C P δ P δ 2 P δ 2 P = + 2 + = k δ t δ x 2 δ x δ x δ y δ y δ y
(1.29a)
Para flujo en una dirección se tendrá
φµ C P δ P δ δ P µ A − q v A = A δ x δ x k k δ t
(1.30)
y si se considera A constante y se desprecia el efecto de fuentes y sumideros
δ 2 P φµ C P δ P = k δ t δ x 2
(1.30a)
Con respecto a las ecuaciones (1.28) – (1.30) es importante hacer las dos aclaraciones siguientes:
20
Primero, el término C P es la compresibilidad de poro, pero es normal que en lugar de aparecer Cp aparezca C t o C que representa la compresibilidad total y está dada por C t = C P + C f
(1.31)
donde Cf es la compresibilidad de fluido y como en el caso de fluidos incompresibles esta compresibilidad es cero, entonces C se convierte en C P. Segundo, el término ϕµ C / k se conoce como el inverso de el coeficiente de difusividad, η , el cual entonces está definido por
η =
k
φµ C
(1.32)
El coeficiente de difusividad es una medida de la velocidad de propagación de una perturbación de presión en el medio poroso en términos de área barrida en la unidad de tiempo, pues un análisis dimensional de este coeficiente nos muestra que tiene unidades de área sobre tiempo 2 2 k L L φµ C = ( M / Lt ) * ( Lt 2 / M ) = t
2
La ecuación (1.32) cumple en unidades absolutas, o sea cuando k está en pies , la 2 -1 viscosidad en Lb/(pie.s), la compresibilidad en (Lb./pie.s ) y el coeficiente de 2 difusividad en pie /s. Cuando se usan unidades prácticas se tendría: k (mD) * 9.85 * 10 − m / mD * (3.28) pie / m * 3600s / 1h 16
η =
2
2
2
2
φµ (cP ) * 9.992 * 10 − 4 kg / (m.s ) / cP * C ( Lpc −1 ) * 14.7 Lpc / at * at / 101526kg / (m.s 2 )
η ( pie 2 / hr ) = 2.64 *10 −4
k (mD)
(1.32a)
φµ (cP )C ( Lpc −1 )
El coeficiente de difusividad depende de propiedades de la roca y del fluido almacenado en ella, y para un yacimiento dado depende del tipo de fluido contenido en sus poros; por ejemplo, como se verá más adelante, el valor de η será mayor para cuando en los poros hay petróleo que cuando hay gas, o sea que la perturbación de presión viaja más rápido en el yacimiento cuando hay gas que cuando hay petróleo, lo que también quiere decir que el período transiente es más corto en un yacimiento de gas que en uno de petróleo. Finalmente y de acuerdo a su definición el valor de η disminuye con la presión.
21
1.2.2 Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal – Fluido Ligeramente Compresible Para fluido ligeramente compresible, recordando la ecuación (1.2), se puede escribir
∂ P ∂ρ ∂ P ∂ρ 1 1 * ; * ; = = ∂ x C ρ ∂ x ∂ y C ρ ∂ y ∂ P ∂ρ ∂ P 1 1 ∂ρ * * = = ∂ z C ρ ∂ z ∂ t C ρ ∂ t
(1.2)
Realizando las derivadas indicadas en la ecuación (1.19), suponiendo flujo en tres dimensiones y aplicando la ecuación (1.2) se tiene
ρ
∂ k x δ P k x ∂ P 2 ∂ k y δ P k y ∂ P 2 ∂ k z δ P + + * C f ρ ( ) + ρ * C f ρ ( ) + ρ ∂ x µ δ x µ ∂ x ∂ y µ δ Y µ ∂ y ∂ z µ δ z
k z ∂ P * C f ρ ( ) ∂ z µ
+
2
− q
m
=
δ P ∂ φ ∂ ( ρφ ) = φρ C f + ρ ∂ t δ t ∂ t
y recordando lo planteado para justificar la ecuación (1.26) se tiene luego de dividir por densidad
∂ k x δ P ∂ k y δ P ∂ k z δ P ∂ φ δ P ∂ + ( ) q C + − = ρφ = φ + ( ) v f ∂ x µ δ x ∂ y µ δ Y ∂ z µ δ Z ∂ t ∂ P δ t
(1.33)
La ecuación (1.33) es la forma general de la ecuación de difusividad en tres dimensiones y de ella se pueden obtener casos particulares como cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión y cuando sí. Cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión la ecuación (1.33) se transforma en k x δ 2 P
k y δ 2 P
k z δ 2 P
∂
δ P
+ + − qv = ( ρφ ) = (φ C f ) µ δ x 2 µ δ y 2 µ δ z 2 ∂ t δ t
Y suponiendo medio isotròpico se tiene finalmente
δ 2 P δ 2 P δ 2 P µ φµ δ P 2 + 2 + 2 − qv * = ( C f ) k k δ t δ x δ y δ z
22
(1.33a)
Para llegar a la ecuación (1.33a) se ha supuesto constante la viscosidad del fluido lo cual no es correcto porque se trata de un fluido ligeramente compresible, por lo tanto se debe especificar el nivel de presión al cual se calcula esta variable y para considerarla constante se podría calcular a la presión promedia del intervalo de presión o calcular una viscosidad promedia en el mismo intervalo de presión. Cuando las propiedades petrofísicas no se pueden considerar constantes se tiene a partir de la ecuación (1.33)
∂ P ∂ k x k x ∂ 2 P ∂ P ∂ k y k y ∂ 2 P ∂ P ∂ k z k z ∂ 2 P + * + * + * + + * * ∂ x ∂ x µ µ ∂ x 2 ∂ y ∂ y µ µ ∂ y 2 ∂ z ∂ z µ µ ∂ z 2 − q v = (φ C f +
∂ φ δ P ) ∂ P δ t
Y aplicando ahora las ecuaciones (1.25) – (1.27) se tiene
k x ∂ 2 P k y ∂ 2 P k z ∂ 2 P δ P * + + − = φ + * * ( ) q C C v f P 2 µ ∂ y 2 µ ∂ z 2 δ t µ ∂ x Y suponiendo que la permeabilidad es igual en todas las direcciones
∂ 2 P ∂ 2 P ∂ 2 P µ φµ δ P + + − qv = ( C f + C P ) 2 2 2 k k δ t ∂ x ∂ y ∂ z
(1.33b)
Las ecuaciones (1.33a) y (1.33b) son similares y solo difieren en que en la primera se tiene al lado derecho C f y en la segunda se tiene (C f + CP); por tanto ambas ecuaciones se pueden escribir en forma general como
∂ 2 P ∂ 2 P ∂ 2 P µ φµ C δ P + + − qv = 2 2 2 k k δ t ∂ x ∂ y ∂ z
(1.33c)
donde C es la compresibilidad total del medio y está dada por la ecuación (1.31). Para un fluido ligeramente compresible cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión la compresibilidad de poro es cero y la compresibilidad total es la compresibilidad del fluido, y cuando las propiedades petrofísicas sí dependen de la presión la compresibilidad total es la suma de las compresibilidades de pro y de fluido. Cuando se tiene flujo en dos dimensiones α en la ecuación (1.19) es igual a h y por tanto siguiendo el mismo procedimiento para obtener la ecuación (1.33) se llega a 23
δ k x δ P δ k y δ P δφ δ P − q v h = h * h + h C f φ + δ x µ δ x δ y µ δ y δ P δ t
(1.34)
La ecuación (1.34) es la ecuación general de difusividad para flujo lineal en dos dimensiones de un fluido ligeramente compresible y a partir de ella se pueden obtener las siguientes ecuaciones para cuando las propiedades petrofísicas no dependen o si de la presión, respectivamente, siguiendo el mismo procedimiento para obtener las ecuaciones (1.33a) y (1.33b)
δ δ P δ δ P µ φµ δ P h + h − q v h = h * (C f ) k k δ x δ x δ y δ y δ t
(1.34a)
δ δ P δ δ P µ φµ δ P h + h − q v h = h * (C f + C P ) k k δ x δ x δ y δ y δ t
(1.34b)
Y si se tiene en cuenta la ecuación (1.31) las ecuaciones (1.33 a y b) se pueden escribir en forma general
δ δ P δ δ P µ φµ C δ P h + h − q v h = h * k k δ t δ x δ x δ y δ y
(1.34c)
Finalmente si se considera h constante y además no se tiene en cuenta el término de fuentes y sumideros se tendría, por ejemplo, en el caso de la ecuación (1.34c)
δ 2 P δ 2 P φµ C δ P + 2 =* 2 k δ t δ x δ y
(1.34d)
De manera similar se obtendrían las siguientes ecuaciones para flujo lineal en una dimensión, partiendo de la ecuación (1.19) y recordando que para este caso α=A
δ k x δ P δφ δ P A − q v A = A * C f φ + δ x µ δ x δ P δ t
(1.35)
δ δ P µ µφ (C f ) δ P A − q v A = A * k k δ x δ x δ t
(1.35a)
δ δ P µ µφ (C f + C P ) δ P A − q v A = A * k k δ x δ x δ t
(1.35b)
δ δ P µ µφ C δ P A − q v A = A * k k δ t δ x δ x
(1.35c)
24
La ecuación (1.35a) es para cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión, la (1.35b) cuando tales propiedades si dependen de la presión y la (1.35c) es la forma general de las ecuaciones (1.35 a y b). Nuevamente si se considera A constante y se deprecian las fuentes y sumideros se tendría δ 2 P µφ C δ P (1.35d) = k δ t δ x 2
1.2.3 Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal – Fluido Compresible (Gases) Para el caso de flujo de gas se parte de la ecuación (1.19) y se usa para la densidad del fluido la ecuación de estado dada por la ecuación de estado de los gases
ρ =
PM ZRT
(1.36)
1.2.3.1 Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal – Fluido Compresible (Gases Ideales) Si se trata de gas ideal la ecuación de estado se puede presentar como:
ρ =
PM RT
y retornando la ecuación (1.19) y aplicándola para flujo lineal en tres dimensiones se tiene al introducir en ella la expresión anterior:
∂ PM ∂ P k x ∂ PM k y ∂ P ∂ PM k z ∂ P δ PM − qm = φ * + + ∂ x RT ∂ x µ ∂ y RT µ ∂ y ∂ z RT µ ∂ z δ t RT RT δ ∂ ∂ P k x ∂ k y ∂ P ∂ k z ∂ P P P − qm = (Pφ ) * + P + M δ t ∂ x ∂ x µ ∂ y µ ∂ y ∂ z µ ∂ z
La expresión anterior se puede llevar a
∂ ∂ P 2 k x ∂ ∂ P 2 k y ∂ ∂ P 2 k z RT φ δφ δ P 2 + − q m (1.37) = + + M P δ P δ t ∂ x ∂ x µ ∂ y ∂ y µ ∂ z ∂ z µ 25
A partir de la ecuación (1.37) se pueden obtener expresiones para flujo de gas ideal dependiendo si las propiedades petrofísicas son independientes o no de la presión: En el primer caso la ecuación sería, suponiendo medio isotrópico y calculando la viscosidad del gas a una presión dada, que podría ser la inicial o la promedia, y considerándola constante 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 RT µ φµ 1 δ P + + = ] − qm 2 M k k P δ t ∂ y 2 ∂ z 2 ∂ x
Y como 1/P es la compresibilidad del gas ideal, la ecuación anterior es también 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 RT µ φµ C f δ P + + = ] − qm 2 2 2 δ M k k t x y z ∂ ∂ ∂
(1.37a)
Si k y φ no se pueden considerar constantes con la presión, después de aplicar los operadores indicados a la ecuación (1.37) y luego las relaciones (1.26) y (1.27) se tiene 2 k x ∂ 2 P 2 k y ∂ 2 P 2 k z ∂ 2 P 2 RT φ C f δ P + + = ] − qm 2 2 2 M µ µ µ δ t x y z ∂ ∂ ∂
Y suponiendo medio isotrópico, aplicando la relación (1.31) y calculando la viscosidad a una presión dada, que puede ser la presión inicial o promedia, y considerándola constante se tiene: 2 RT µ φµ C δ P δ 2 P 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 + + − = qm M k k δ t δ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
(1.37b)
y si no se tiene en cuenta el efecto de fuentes o sumideros
δ 2 P 2 ∂ 2 P 2 ∂ 2 P 2 φµ C δ P 2 + + = k δ t δ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
(1.37c)
De igual manera para flujo en dos dimensiones, a partir de la ecuación (1.19) se tiene 2 RT δ k x h δ P 2 δ k y h δ P 2 φ δφ δ P − qmh + = h + M δ x µ δ x δ y µ δ y P δ P δ t
(1.38)
A partir de la ecuación (1.38) se pueden obtener las siguientes expresiones si las propiedades petrofísicas son independientes o no de la presión respectivamente 26
RT δ δ P 2 δ δ P 2 φµ 1 δ P 2 h + h − qm h =h δ x δ x δ y δ y M k P δ t
1.38a)
RT δ δ P 2 δ δ P 2 φµ 1 δ P 2 h + h − qm h =h + C P M k P δ x δ x δ y δ y δ t
(1.38b)
Para llegar a las ecuaciones (1.38 a y b) se hicieron las mismas suposiciones que para llegar a las ecuaciones (1.37 a y b); y además teniendo en cuenta la ecuación (1.31) la ecuación general para flujo lineal de gas ideal en dos dimensiones es RT δ δ P 2 δ δ P 2 φµ C δ P 2 h + h − qm h =h M k δ t δ x δ x δ y δ y
(1.38c)
y si se desprecia el efecto de fuentes o sumideros y además se considera h constante se tiene
δ 2 P 2 δ 2 P 2 φµ C δ P 2 + = k δ t δ x 2 δ y 2
(1.38d)
Finalmente, si el flujo es en una dimensión, a partir de la ecuación (1.19) y recordando que en este caso α=A(x), se tiene RT δ k x A( x ) δ P 2 φ δφ δ P 2 − q m A = A + M P P t δ x µ δ x δ δ
(1.39)
A partir de la ecuación (1.39) y haciendo las mismas suposiciones de los casos anteriores se tienen las siguientes ecuaciones para casos particulares de flujo gas ideal en un medio poroso: Cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión
δ A( x ) δ P 2 µ RT Aφµ 1 δ P 2 Aφµ C f δ P 2 − q m A = k M k P δ t k δ x δ x δ t
(1.39a)
Cuando las propiedades petrofísicas dependen de la presión
δ A( x ) δ P 2 µ RT Aφµ 1 δ P 2 Aφµ C δ P 2 − q m A = + C P k M k P k δ x δ x δ t δ t
27
(1.39b)
Cuando el área se puede considerar constante y se desprecia el efecto de fuentes o sumideros 2 δ 2 P 2 φµ 1 φµ C δ P 2 δ P = = + C P k P k δ t δ x 2 δ t
(1.39c)
1.2.3.2 -. Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal – Fluido Compresible (Gases Reales) Cuando el gas es real, la ecuación para la densidad es ρ = (PM ) / ( ZRT ) y reemplazando la densidad por esta expresión en la ecuación (1.19) se tiene para el caso de flujo en tres dimensiones:
∂ PM k x ∂ P ∂ PM k y ∂ P ∂ PM k z ∂ P δ PM + + = * * * φ ∂ x ZRT µ ∂ x ∂ y ZRT µ ∂ y ∂ z ZRT µ ∂ z δ t ZRT ∂ Pk x ∂ P ∂ Pk y ∂ P ∂ Pk z ∂ P ∂ Pφ + + = * * * ∂ x µ Z ∂ x ∂ y µ Z ∂ y ∂ z µ Z ∂ z ∂ t z
(1.40)
La presencia del término z en la ecuación (1.40) la hace más compleja para su manipulación y obtención de una ecuación diferencial parcial de segundo orden similar a las obtenidas hasta ahora; sin embargo si se hacen algunas suposiciones es posible tener ecuaciones tan simples como las anteriores. Si se supone que el factor ( µz) es constante, la ecuación (1.40) después de algunas simplificaciones se convierte en
∂ P 2 ∂ ∂ P 2 ∂ ∂ P 2 δφ 1 1 δ Z δ P 2 RT ∂ k x * + k y * + k z * − qm µ Z = µ − φ − ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z δ δ M P P Z P δ t (1.41) La ecuación (1.41) puede ser válida en un intervalo de presión donde al aumentar la presión Z disminuya y la viscosidad aumente, este comportamiento se da a presiones bajas y hasta un valor del orden de 2000 Lpca., por lo tanto esta suposición puede ser aceptable para presiones menores de unas 2000 Lpca. La ecuación (1.41) es similar a la ecuación (1.37), solo que en lugar del término (1/P) en la ecuación (1.37), que es la compresibilidad del gas ideal, se tiene la 28
1 1 δ Z − , que es la compresibilidad de un gas real; por tanto a partir de P Z δ P
expresión
ella se pueden obtener ecuaciones similares a las ecuaciones (1.37 a, b y c) haciendo las mismas suposiciones. En conclusión la ecuación de difusividad para un gas real cuando se puede hacer la suposición de que ( µZ) es constante, o sea para presiones menores de unas 2000 Lpca., es idéntica a la ecuación de difusividad para un gas ideal solo que al calcular la compresibilidad del gas se debe tener en cuenta que para un gas real la compresibilidad se calcula de la ecuación (1.3)
1 1 ∂ Z C g = − P Z ∂ P
(1.3)
De igual manera se pueden conseguir las ecuaciones para dos y una dimensión similares a las ecuaciones (1.38) y (1.39). Si en la ecuación (1.40) se considera constante el término (P/ µZ), esta se convierte en δφ 1 1 δ Z δ P RT µ Z δ δ P δ δ P δ δ P + k z * = µ + φ − k x + k y − qm (1.42) M P P P Z P δ x δ x δ y δ y δ z δ z δ δ δ t La ecuación (1.42) es similar a la ecuación para un fluido ligeramente compresible, ecuación (1.33), solo que en lugar del término C f, que es la compresibilidad del fluido 1 1 δ Z considerada constante, se tiene − que es la compresibilidad del gas real; P Z P δ por tanto a partir de da la ecuación (1.42) se pueden obtener, haciendo las mismas suposiciones, ecuaciones similares a las ecuaciones (1.33 a,b y c). De igual manera se pueden obtener expresiones para flujo en dos y una dimensión. En resumen la ecuación de difusividad para flujo de gases reales cuando se puede hacer la suposición de (P/ µZ) constante, es idéntica a la ecuación de difusividad para un fluido ligeramente compresible, solo que para el gas la compresibilidad se debe calcular con la ecuación (1.3). La suposición de (P/ µZ) constante se puede hacer cuando al aumentar P la viscosidad y Z también aumentan y esto ocurre a presiones mayores de unas 3000 Lpca, o sea a presiones altas a las cuales como era de esperarse el gas empieza a tener comportamientos que se aproximan a de los líquidos y por tanto la ecuación de difusividad resulta similar a la del líquido.
29
Es importante insistir en algunas suposiciones hechas para obtener algunas formas 2
δ P de la ecuación de difusividad para gases: Primero es que la suposición de ≈ 0 δ s es menos válida que en el caso de líquidos, pues para gases el gradiente de presión en la dirección de flujo no es tan pequeño como en el caso de líquidos. Segundo, la viscosidad del gas no se puede considerar constante y por tanto el valor de viscosidad que aparece en el coeficiente de difusividad de las ecuaciones de difusividad para gases debe evaluarse normalmente a la presión inicial o la presión promedia del intervalo de presión en el que se está trabajando. Tercero, la ecuación de difusividad para gases es aún menos lineal que la ecuación para líquidos, pues el término (µC) es mucho más dependiente de la presión en el caso de un gas que en el caso de un líquido.
1.2.3.3-. Ecuación de Difusividad para Flujo Lineal – Fluido Compresible en Función de la Función Seudopresión, m(P) Las ecuaciones de difusividad obtenida para gases reales, ecuaciones (1.41) y (1.42) implican suposiciones y además son altamente no lineales; para no hacer las suposiciones de ( µZ) o (P/ µZ) constantes y para tratar de obtener una ecuación menos no lineal que las anteriores, se introduce en la deducción de la ecuación de difusividad para gases el concepto de seudopresión. La función seudopresión está definida por m( P ) =
P
2P
Pb
µ z
∫
dP
(1.43)
donde m(P) se conoce como la función seudopresión y P b es una presión de referencia o base, puede ser la presión correspondiente a la presión normal o estándar. De acuerdo con la ecuación (1.43) se pueden tener las siguientes relaciones: dm( P ) =
2P
µ Z
dP
dP µ Z d (m) d i
=
2P
d i
(1.44)
(1.44a)
donde i puede ser cualquier variable que afecte la presión. Ahora llevando las expresiónes (1.44 a y b) y la expresión de densidad para un gas real a la ecuación (1.19) se tiene: 30
∂ PM k x µ Z δ m( P ) ∂ PM k y µ Z δ m( P ) ∂ PM k z µ Z δ m( P ) + + − qm * * * ∂ x ZRT µ 2 P δ x ∂ y ZRT µ 2 P δ y ∂ z ZRT µ 2 P δ z =
M δ Pφ µ Z δ m( P) δ PM ( ( ) φ ) = RT δ P Z 2 P δ t δ t ZRT
y después de las simplificaciones del caso
∂ k x δ m( P) ∂ k y δ m( P) ∂ k z δ m( P) RT + + − 2q m M ∂ x δ x ∂ y δ y ∂ z δ z =
µ δφ 1 1 δ Z δ m( P ) + φ − P P Z P δ δ δ t
Y si recordamos la ecuación (1.3), la expresión anterior se escribe como
RT µ δφ ∂ k x δ m(P) ∂ k y δ m(P) ∂ k z δ m(P) δ m(P) + + − 2qm = + φ (C f ) M ∂ x δ x ∂ y δ y ∂ z δ z δ P δ t (1.45) La ecuación (1.45) es similar a la ecuación (1.33), ecuación general de difusividad para un fluido ligeramente compresible, solo que esta está en términos de la presión y aquella en términos de la seudopresión; una solución para la ecuación (1.33) en términos de la presión también será solución para la ecuación (1.45) en términos de la seudopresión. La ecuación (1.45) es también similar a las ecuaciones (1.41) y (1.42), pero para llegar a estas hubo que hacer suposiciones de ( µZ) y (P/ µZ), respectivamente, constantes, en cambio para llegar a la ecuación (1.45) no hubo necesidad de ninguna suposición y por tanto es más general que las anteriores De la ecuación (1.45) se obtendrán ecuaciones similares a las ecuaciones (1.33 a, b y c) dependiendo de si se considera que la presión afecta o no las propiedades petrofísicas, y además cuando las propiedades petrofísicas dependen de la presión 2
δ m(P ) se debe hacer la suposición de que ≈ 0 donde s es cualquier dirección de δ s flujo. De igual manera si se considera flujo en dos o una dimensión se llegará a ecuaciones similares a las ecuaciones (1.34) y (1.35) respectivamente.
31
Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presión a m(P) o lo contrario m(P) a presión; para ello se debe tener un gráfico de m(P) vs. presión el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento:
Se toma un intervalo amplio de presión dependiendo de la presión a la que se encuentre el yacimiento que se está analizando, normalmente puede ser desde 14.7 Lpc. hasta la presión del yacimiento P i. Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc. A la presión inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividió el intervalo de presión en el numeral anterior se calcula (2 P / µ Z ) y luego se grafica (2 P / µ Z ) vs. P. El valor de m(P) a la presión final P n del intervalo n es el área bajo la curva de (2 P / µ Z ) vs. P entre 14.7 Lpc. y P n y se puede obtener aplicando el método trapezoidal cuya fórmula general para obtener m(P) es n −1 2 P 2 P ∆P 2 P + 2∑ + m( P) = Z P µ Z P 2 µ Z P i =1 µ
0
i
n
(1.46)
donde, (2 P / µ Z )P es el valor de (2 P / µ Z ) evaluado a 14.7 Lpc. y (2 P / µ Z )P es el i
0
valor de (2 P / µ Z ) evaluado a la presión final de cada uno de los n intervalos de amplitud ∆P comprendidos en el intervalo 14.7 – P .
Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividió el intervalo 14.7 – P i y luego se puede hacer un gráfico de m(P) vs.P Con el gráfico obtenido en el paso anterior se puede obtener el valor de m(P) correspondiente a una presión dada o la presión correspondiente a un m(P) dado. Es más práctico, especialmente si se desea programar el procedimiento de convertir P a m(P) o lo contrario, obtener mediante regresión una relación entre las dos variables.
1.3 ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUJO RADIAL Se supondrá que el medio es completamente homogéneo en la dirección radial, angular y vertical y por tanto lo que pasa en la dirección de un radio dado es idéntico a lo que pasa en la dirección de cualquier otro radio y lo que pasa con la presión en un plano horizontal dado es idéntico a lo que pasa en cualquier otro plano horizontal del medio poroso. De acuerdo con lo anterior para el caso de flujo radial la situación es la siguiente: 32
Supongamos el corte longitudinal del elemento de un medio poroso donde existe flujo radial que se muestra en la figura 1.14.
∆r
∆r
Urρ
r
Urρ + ∆(Urρ)
r
Pozo r
Figura 1.14-. Elemento de Volumen para Flujo Radial. La masa que está entrando al elemento en el tiempo ∆t es:
[u r ρ h + ∆(u r ρ h )] * 2π (r + ∆r ) * ∆t y la masa que sale del mismo es
(u r ρ h )2π r ∆t + q m 2π rh∆r ∆t por tanto la masa que se acumula es:
[u r ρ h + ∆(u r ρ h )] * 2π (r + ∆r ) * ∆t − (u r ρ h )2π r ∆t − q m 2π rh∆r ∆t = u r ρ h 2π ∆r ∆t + ∆(u r ρ h )2π r ∆t + ∆(u r ρ h )2π ∆r ∆t − q m 2π rh∆r ∆t y suponiendo que ∆(urρh), ∆t y ∆r son pequeños el término ( ∆(urρh)* ∆r*∆t) se podrá despreciar y por tanto, la acumulación de masa en el elemento queda como Acumulación = u r ρ h2π ∆r ∆t + ∆(u r ρ h )2π r ∆t − q m 2π rh∆r ∆t
Para el mismo elemento la acumulación de masa al tiempo ∆t es: 33
Acumulación = (2π rh∆r ρφ )t + ∆t − (2π rh∆r ρφ )t
e igualando las dos expresiones para acumulación de masa en el elemento y teniendo en cuenta que h no depende de t, se tiene u r ρ h 2π ∆r ∆t + ∆ (u r ρ h )2π r ∆t − q m 2π rh∆r ∆t = (2π rh∆r ρφ )t + ∆t − (2π rh∆r ρφ )
y dividiendo a ambos lados por 2 πr∆t∆r
ρφ )t + ∆t − ρφ )t u r ρ h ∆(u r ρ h ) + − = q h h m r ∆r ∆t La ecuación anterior es el balance de masa, y si luego consideramos que ∆r y ∆t son muy pequeños al igual que ∆(Urρh), se tiene:
u r ρ h ∂ (u r ρ h ) ∂ ( ρ φ ) + − q m h = h ∂ ∂ r r t
(1.47)
Recordando ahora la ecuación de Darcy para flujo radial: u r =
k ∂ P
µ ∂ r
y llevándola a la ecuación (1.47) se tiene :
1 ∂ k δ P ∂ r ρ h − q m h = h ( ρφ ) r ∂ r µ δ r ∂ t
(1.48)
A partir de la ecuación (1.48) se pueden obtener diferentes formas de la ecuación de difusividad para flujo radial, al igual que en el caso lineal , dependiendo de las características del fluido y del medio poroso.
1.3.1-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial - Fluido Incompresible Recordando que la densidad es constante, la ecuación (1.48) se convierte en
∂ 1 ∂ k δ P rh − q v h = h (φ ) r ∂ r µ δ r ∂ t
34
(1.49)
A partir de la ecuación (1.49) se pueden tener casos particulares de la ecuación de difusividad para flujo radial de un fluido incompresible, dependiendo de si las propiedades petrofísicas son independientes o no de la presión. Si las propiedades petrofísicas no dependen de la presión la ecuación (1.49) se convierte en 1 ∂ k δ P rh − qv h = 0 r ∂ r µ δ r
(1.50)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión, la expansión de la ecuación (1.48) queda de la siguiente forma después de aplicar las relaciones (1.25) - (1.26)
φµ C P δ P 1 δ δ P rh − qv h = r δ r δ r k δ t
(1.51)
1.3.2-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial - Fluido Ligeramente Compresible. De acuerdo con la ecuación de estado para este tipo de fluido (relaciones (1.2) ) se puede escribir para el caso de flujo radial
∂ P 1 ∂ρ = * ∂ r C ρ ∂ r
(1.52)
Además también se puede escribir
δρ δρ δ P = δ r δ P δ r
2
δ P y ≈0 δ r
(1.53)
Expandiendo parcialmente la ecuación (1.48) y teniendo en cuenta las ecuaciónes (1.52) y (1.53) se tiene
∂ φ δ P 1 δ k ∂ P rh − qv h = h * (C f * φ + P ) t r δ r µ ∂ r ∂ δ
35
(1.54)
2
∂ P ≈ 0 y que C = Constante, k = Constante, µ= Constante y φ Si se supone que r ∂ = constante, la expresión anterior queda:
1 ∂
∂ P φµ C ∂ P rh − qv h = r ∂ r ∂ r k ∂ t
(1.54a)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión la aplicación de las relaciones (1.25)- (1.27) a la ecuación (1.54) nos lleva a: 1 ∂
rh
r ∂ r
φ µ (C f +C p ) ∂ P ∂ P − = q h v ∂ r ∂ t k
(1.54b)
1.3.3-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial – Fluidos Compresibles (Gases) Cuando se trata de gas, la ecuación de difusividad para flujo radial se obtiene de la siguiente manera:
1.3.3.1-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial – Fluidos Compresibles (Gases Ideales) Recordando la definición de densidad del gas ideal ρ= PM/RT y reemplazando en la ecuación (1.48) se tiene
∂ PM 1 ∂ PM k δ P rh − q m h = h * * φ r ∂ r RT µ δ r ∂ t RT RT ∂ 1 ∂ k ∂ P rh P − q m h (Pφ ) = r ∂ r µ ∂ r M ∂ t 2 RT φ δφ δ P 2 1 ∂ k ∂ P rh − 2q m h = + r ∂ r µ ∂ r M P δ P δ t
(1.55)
A partir de la ecuación (1.55) se pueden obtener ecuaciones para flujo radial de gas ideal dependiendo si las propiedades petrofísicas dependen o no de la presión. Suponiendo que las propiedades petrofísicas no dependen de la presión 36
2 2 RT µ φµ 1 δ P 1 ∂ ∂ P rh − 2q m h = ∂ r r ∂ r M k k P δ t
(1.55a)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión y por tanto del tiempo, aplicando las relaciones (1.25)- (1.27) a la ecuación (1.55) se tiene: 2 2 1 ∂ ∂ P RT µ φµ 1 δ P rh − 2q m h = + C P r ∂ r M k k P ∂ r δ t
(1.55b)
En las ecuaciones (1.55a y b), la viscosidad se calcula a la presión inicial o presión promedia del intervalo y se considera constante.
1.3.3.2-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial – Fluidos Compresibles (Gases Reales) Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial, la ecuación de difusividad se puede obtener así: Llevando la definición de densidad del gas real, ρ = PM / ZRT , a la ecuación (1.48) se tiene :
PM 1 ∂ rPM h * k ∂ P − q m h = h ∂ φ r ∂ r ZRT µ g ∂ r ∂ t ZRT 1 ∂ P ∂ P ∂ P ∂ r h k q h − = φ = φ [ * * m r ∂ r µ Z ∂ r ∂ t Z ∂ P
P P ∂φ δ P ] + Z Z P ∂ δ t
(1.56)
Si se supone que el término ( µ Z ) es constante, lo cual puede ocurrir cuando la presión es menor de 2000 Lpc. tal como se explicó al obtener la ecuación (1.41), se tiene
δφ 1 1 δ Z δ P 2 ∂ P 2 µ ZRT 1 ∂ rh * k − 2q m h = h µ + φ − ∂ r r ∂ r M P Z δ P δ t δ P
(1.57)
La ecuación (1.57) es similar a la ecuación (1.55) solo que en lugar del término 1/P , 1 1 δ Z la cual es la compresibilidad del gas ideal, aparece la expresión que es la − P Z δ P compresibilidad del gas real. Si en la ecuación (1.57) se supone que las propiedades petrofísicas no dependen de la presión se tiene 37
∂ P 2 µ ZRT h µφ 1 1 δ Z δ P 2 1 ∂ rh * − 2q m h = − ∂ r r ∂ r Mk k P Z δ P δ t
(1.57a)
y si en la misma ecuación (1.57) se considera que las propiedades petrofísicas sí dependen de la presión se obtiene después de aplicar las relaciones (1.25) – (1.27)
2 ∂ P 2 µ ZRT h µφ 1 ∂ 1 1 δ Z δ P rh * − 2q m h = C P + P − Z δ P δ t r ∂ r Mk k ∂ r
(1.57b)
Si en la ecuación (1.56) se supone que (P / µ Z ) es constante, lo cual puede ser válido a presiones mayores de una 3000 Lpc., tal como se explicó al obtener la ecuación (1.42), se tiene:
∂ P δφ 1 ∂ 1 1 δ Z δ P rh * k − 2q v h µ = h µ + φ − r ∂ r P P Z P ∂ r δ δ δ t
(1.58)
La ecuación (1.58) es similar a la ecuación general para el flujo radial de un fluido ligeramente compresible, ecuación (1.54), solo que en lugar de C f, la compresibilidad 1 1 δ Z del líquido, que se considera constante, se tiene la expresión , que es la − P Z δ P compresibilidad del gas real. Si en la ecuación (1.58) se considera que las propiedades petrofísicas son independientes de la presión se tiene
∂ P 1 ∂ h µ µφ 1 1 δ Z δ P rh * − 2q v =h − r ∂ r k k P Z δ P δ t ∂ r
(1.58a)
y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión la ecuación (1.58) se convierte en δ P ∂ P µφ 1 1 δ Z 1 ∂ h µ rh * − 2q v C (1.58b) =h − + P r ∂ r k k P Z δ P ∂ r δ t En las ecuaciones (1.57) y (1.58), a y b, la viscosidad del gas se calcula a la presión inicial o a la presión promedia y se considera constante.
38
1.3.3.3-. Ecuación de Difusividad para Flujo Radial – Fluidos Compresibles en Función de la Función Seudopresión, m(P) Las ecuaciones de difusividad para gases presentan dificultades para su solución pues no son lineales y en el caso de los gases reales se ha hecho la suposición de que P / µ Z o µ Z son constantes lo cual tampoco es cierto. Por eso recordando la definición de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) presentadas antes ( ecuaciónes (1.43) y (1.44 a y b) y llevándolas a la ecuacion (1.48) se puede tener una ecuación de difusividad para gases similar a la obtenida para flujo radial de fluidos ligeramente compresibles.
∂ P ∂ P y y la definición de densidad para el gas ∂ r ∂ t real a la ecuación (1,48) se tiene: Llevando las expresiones para
1 ∂
1 ∂ m( P ) µ δφ
r ∂ r
2
r *
=
∂ r
k δ P
1 1 δ Z δ m( P ) + P Z δ P δ t
+ φ
(1.59)
Al igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P, o lo contrario, y esto se hace siguiendo el procedimiento presentado en le caso de flujo lineal, ecuación (1.46). Si las propiedades petrofísicas no dependen de la presión la ecuación (1.49) se convierte en 1 ∂
1 ∂ m( P) µφ 1
r * r ∂ r 2
1 δ Z δ m( P ) + = ∂ r k P Z δ P δ t
(1.59a)
y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión se tiene a partir de la ecuación (1.59) 1 ∂
r *
r ∂ r
1 ∂ m( P) µφ 1 1 δ Z δ m( P) C P + + = 2 ∂ r k P Z δ P δ t
(1.59b)
En las ecuaciones (1.59 a y b), al igual que en el caso de todas las ecuaciones de difusividad para A flujo de gas, el término ( µ C ) se calcula a la presión inicial o a la presión promedia y se considera constante. Nuevamente las ecuaciones (1.59) son no lineales pero su no linealidad es menor 2 que en el caso de la ecuación dada en términos de P o P y además para llegar a δ m( P) 2 ella no se han hecho suposiciones diferentes a que ( ) =0. δ r 39
1.4 ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUJO MULTIFÁSICO(12) De acuerdo con la referencia (12) las ecuaciones fundamentales de flujo multifásico en coordenadas cartesianas se obtienen normalmente de dos formas; la primera forma se desarrolla con base a balances de masa a condiciones normales y la segunda con base a balances de masa a condiciones de yacimiento. Ambas formas son ampliamente utilizadas en simulación numérica de yacimientos. En este trabajo se presentará la forma obtenida a partir del balance de masa a condiciones normales
Ecuación Desarrollada para Flujo lineal con Base a Balances de Masa a (12) Condiciones Normales . Considérese flujo lineal en un elemento infinitesimal tal como se ilustra en la Figura 1.15. Ecuación para el petróleo . Haciendo un balance de la masa del petróleo a condiciones normales (Figura 2.14) se tiene:
masa de masa de Masa de petróleo Acumulación (+ ) petróleo − petróleo ± que entra o sale por = Agotamient o (- ) que entra ∆t que sale ∆t fuentes o sumideros ∆t de petróleo
o
∆t
(1.60)
Figura 1.15-. Elemento Infinitesimal de Volumen, Flujo Lineal Multifásico, Coordenadas Cartesianas. La masa de petróleo que entra, a condiciones normales, estará dada por:
masa de petróleo que entra
= ρ u A( x )∆t ocn oxcn ∆t
(1.61)
40
En la Ecuación 1.61, ρ ocn es densidad y uoxcn es velocidad volumétrica en la dirección x , ambas del petróleo a condiciones normales. Similarmente, la masa de petróleo que sale, a condiciones normales, será:
masa de petróleo = ρ u A( x )∆t + ∆( ρ u A( x ))∆t ocn oxcn ocn oxcn que sale ∆t
(1.62)
Si se define qocn como el volumen de petróleo a condiciones normales que entra ó sale por fuentes ó sumideros, por unidad de volumen del yacimiento, por unidad de tiempo, se tiene:
Masa de petróleo que entra o sale por = q A( x )∆ x∆t ρ ocn ocn fuentes o sumideros ∆t
(1.63)
La acumulación ó agotamiento de petróleo durante el intervalo infinitesimal de tiempo será:
Acumulación (+ ) Agotamient o (-) de petróleo
o
V ocy = [ ρ V ] − [ ρ V ] = ρ V ocy − ρ ocn ocn ocn ocn t + ∆t ocn ocn Bo t + ∆t Bo t ∆t
φ S o φ S o φ S o φ S o ( ) ( ) ( ) A x x A x x A x x ρ ∆ − ρ ∆ = ρ ∆ − ocn ocn ocn B B B B o t + ∆t o t o t + ∆t o t
(1.64)
En la Ecuación 1.64, V ocn es volumen de petróleo a condiciones normales, V ocy es volumen de petróleo a condiciones de yacimiento, Bo es factor volumétrico de petróleo y S o es saturación de petróleo. Llevando las Ecuaciones 1.61 a 1.64 a la Ecuación 1.60 se tiene:
φ S o φ S − o Bo t + ∆t Bo t
− ∆( ρ ocn u oxcn A( x ))∆t ± q ocn A( x )∆ x∆t ρ ocn = ρ ocn A( x )∆ x
Dividiendo por ∆ x∆t ρ ocn y tomando límites cuando los incrementos infinitesimales tienden a cero, se obtiene; 41
−
∂ (uoxcn A( x )) ∂ φ S ± qocn A( x ) = A( x ) o ∂ x ∂t Bo
(1.65)
La Ecuación 1.65 suele escribirse como:
−
∂ (α u oxcn ) ∂ x
= α q ocn + α
∂ φ S o ∂ t Bo
(1.66)
En la Ecuación 1.66, α = A( x ) . En forma similar a como de deduce la Ecuación 1.66, se puede desarrollar la siguiente ecuación fundamental de flujo para el petróleo en dos dimensiones:
−
∂ (α u oxcn ) ∂ x
−
∂ (α u oycn ) ∂ y
= α q ocn + α
∂ φ S o ∂t Bo
(1.67)
En la Ecuación 1.67 α = H ( x , y ) y uoycn es la velocidad volumétrica del petróleo en la dirección y llevada a condiciones normales. Similarmente, la ecuación fundamental de flujo en tres dimensiones toma la siguiente forma:
−
∂ (α u oxcn ) ∂(α u oycn ) ∂(α u ozzn ) ∂ φ S − − = α q ocn + α o ∂ x ∂ y ∂ z ∂t Bo
(1.68)
En la Ecuación 1.68 α = 1.0 y uozcn es la velocidad volumétrica del petróleo en la dirección z llevada a condiciones normales. Las Ecuaciones 1.66 a 1.68 pueden ser escritas en la siguiente forma general:
− ∇ ⋅ (α u ocn ) = α q ocn + α
∂ φ S o ∂t Bo
(1.69)
En la Ecuación 1.69, u ocn es el vector velocidad del petróleo el cual está dado por:
u ocn = uoxcn i + uoycn j + uozcn k
(1.70)
En la Ecuación 1.70, u oxcn , u oycn y uozcn son la componentes del vector velocidad de petróleo a condiciones normales en las direcciones x , y y z , respectivamente. 42
El potencial del petróleo Φ o puede ser expresado mediante aplicación de la Ecuación 1.6: p
Φ o =
dpo
∫ ρ
+ g ( z − zb )
(1.71)
ocy
Pb
En la Ecuación 1.71 pb y zb son presión y elevación de referencia, po es presión del petróleo y ρ ocy es densidad de petróleo a condiciones de yacimiento. La velocidad volumétrica del petróleo a condiciones normales está dada por: u ocn = −
K o ρ ocy
µ o Bo
∇Φ o
(1.72)
En la Ecuación 1.72, K o es el tensor de permeabilidad efectiva del petróleo. Llevando la Ecuación 1.72 a la Ecuación 1.69 se obtiene
K o ρ ocy
∇ ⋅ α
µ o Bo
∇Φ o = α q ocn + α
∂ φ S o ∂t Bo
(1.73)
Si se considera que la componente de elevación del potencial es despreciable, con respecto a la componente de presión, la Ecuaciones 1.72 y 1.73 toman las siguientes formas, respectivamente, u ocn = −
Ko
µ o Bo
∇p o
(1.74)
K ∂ φ S ∇ ⋅ α o ∇Po = α qocn + α o ∂t Bo µ o Bo
(1.75)
Ecuación para el agua . Las Ecuaciones 1.60 a 1.75 también son válidas para el flujo de agua. Por notación, en este último caso el subíndice o suele cambiarse por el subíndice w , en cuyo caso las Ecuaciones 1.71 a 1.75 toman las siguientes formas: p
Φw =
dp w
∫ ρ
Pw
+ g ( z − z b )
(1.76)
wcy
43
u wcn = −
K w ρ wcy
µ w Bw
K w ρ wcy
∇ ⋅ α
µ w B w
u wcn = −
Kw
µ w Bw
∇Φ w
∇Φ w = α q wcn + α
(1.77)
∂ φ S w ∂t B w
(1.78)
∇p w
(1.79)
K w ∂ φ S ∇ ⋅ α ∇Pw = α q wcn + α w ∂t Bw µ w Bw
(1.80)
Ecuación para el gas . Considérese flujo de gas en un sistema lineal, tal como se ilustra en la Figura 1.15. Haciendo un balance de masa del gas a condiciones normales, sobre un intervalo infinitesimal de tiempo ∆t , se tiene:
masa de masa de Masa de gas que Acumulación (+ ) gas que − gas que ± entra o sale por = Agotamient o (- ) entra ∆t sale ∆t fuentes o sumideros ∆t de gas
o
∆t
(1.81)
La masa de gas que entra tendrá tres componentes: gas que entre en solución en la fase de petróleo, gas que entra en solución en la fase de agua y gas que entre como gas libre. Por lo anterior, la masa de gas que entra al elemento infinitesimal de volumen (Figura 1.16) durante el intervalo de tiempo ∆t será:
Figura 1.16-. Elemento Infinitesimal de Volumen, Flujo Lineal de Gas, Coordenadas Cartesianas. 44
masa de gas que = ρ R u A( x )∆t + ρ R u A( x )∆t + ρ u A( x)∆t gcn s oxcn gcn sw wxcn gcn gxcn entra ∆t
(1.82)
En la Ecuación 1.82, ρ gcn es densidad del gas a condiciones normales, Rs y Rsw son las relaciones gas en solución-petróleo y gas en solución-agua, respectivamente, uwxcn y u gxcn son las velocidades volumétricas del agua y el gas, respectivamente, llevadas a condiciones normales. Similarmente, la masa de gas que sale durante el intervalo de tiempo infinitesimal ∆t será:
masa de gas que = ( ρ R u A( x ) + ∆( ρ R u A ))∆t + gcn s oxcn gcn s oxcn x sale ∆t
( ρ
Rsw u wxcn A( x ) + ∆( ρ gcn Rsw u wxcn A( x )))∆t + ( ρ gcn u gxcn A( x ) + ∆ (ρ gcn u gxcn A( x )))∆t
gcn
(1.83)
Notando como q gcn al volumen de gas a condiciones normales que sale ó entra por fuentes ó sumideros por unidad de volumen de yacimiento, por unidad de tiempo, se tiene:
Masa de gas que entra o sale por = q ρ A( x )∆ x∆t gcn gcn fuentes o sumideros ∆t
(1.84)
La acumulación de masa de gas en el elemento infinitesimal de la Figura 1.15 durante un intervalo de tiempo ∆t será:
Acumulación (+ ) Agotamient o (-) de gas mGas
= ρ gcn V gcn ρ gcn V gcn
o
= [m Gas en Solución en Petróleo + mGas en Solución en Agua + mGas Libre ]t + ∆t − ∆t
en Solución en Petróleo
+ mGas en
Gas en Solución en Petróleo
Gas en Solución en Petróleo
Solución en Agua
+ ρ gcn V gcn
+ ρ gcn V gcn
+ mGas Libre
Gas en Solución en Agua
Gas en Solución en Agua
45
t
+ ρ gcn V gcn
+ ρ gcn V gcn
Gas Libre t + ∆t
Gas Libre t
−
V ocy
Bo
= ρ gcn Rs
+ ρ gcn Rsw
φ S o
Bo
= ρ gcn R s A( x )∆ x
V wcy Bw
+ ρ gcn
V gcy
V ocy V wcy V gcy − ρ gcn Rs + ρ gcn Rsw + ρ gcn | Bg B B B o w g t t + ∆t
+ ρ gcn Rsw A( x )∆ x
φ S w B w
+ ρ gcn A( x )∆ x
φ S g
B g t + ∆t
−
φ S g φ S o φ S w ( ) ( ) ( ) R A x x R A x x A x x ρ ∆ + ρ ∆ + ρ ∆ gcn s gcn sw gcn B B B o w g t
(1.85)
En la Ecuación 1.85, S o , S w y S g hace referencia a las saturaciones de petróleo, agua y gas, respectivamente; Bg es el factor volumétrico del gas. Otros términos no definidos anteriormente y utilizados en la deducción de la Ecuación 1.85, son V ocy , V wcy
y
V gcy ,
los cuales representan volumen de petróleo, agua y gas,
respectivamente, a condiciones de yacimiento. Si se asume que el volumen total no es función del tiempo, la Ecuación 1.85 puede ser escrita como:
Acumulación (+ ) Agotamient o (- ) de gas
o
= ∆t
φ S φ S o φ S w φ S g φ S w φ S g o ρ gcn A( x )∆ x Rs + R sw + + R sw + _ R s Bw B g Bw B g Bo Bo t t + ∆t
(1.86)
Llevando las Ecuaciones 1.82 a 1.84 y 1.86 a la Ecuación 1.81 y dividiendo la Ecuación resultante por ∆ x ⋅ ∆t ⋅ ρ gcn , se obtiene:
−
∆( Rs u oxcn A( x )) ∆( Rsw u wxcn A( x )) ∆ u gxcn A( x ) − − ± q gcn A( x ) = ∆ x ∆ x ∆ x R sφ S o R swφ S w φ S g A( x ) R sφ S o R swφ S w φ S g + + − + + Bo B w B g B B ∆t Bo w g t t + ∆t
Tomando límites cuando los incrementos infinitesimales tienden a cero, se obtiene: −
∂ ∂ ∂ ( Rs uoxcn A( x )) − ( Rswu wxcn A( x )) − (u gxcn A( x )) ± q gcn A(x ) = ∂ x ∂ x ∂ x 46
A( x )
φ S ∂ Rsφ S o + Rswφ S w + g B w B g ∂t Bo
(1.87)
La Ecuación 1.87 suele escribirse como: −
∂ ∂ ∂ ∂ R φ S R φ S φ S (α Rsuoxcn ) − (α Rswuwxcn ) − (α u gxcn ) ± α qgcn = α S o + SW w + g ∂ x ∂ x ∂ x ∂t Bo Bw Bg
(1.88)
En la Ecuación 1.88, α = A X . En forma similar a como de deduce la Ecuación 1.88, se puede desarrollar la siguiente ecuación fundamental de flujo para el gas en dos dimensiones: −
∂ (α Rsuoxcn + α Rswu wxcn + α u gxcn ) − ∂ (α Rsuoycn + α Rswu wycn + α u gycn ) ± α q g = ∂ x ∂ y
α
φ S ∂ Rsφ S o + Rswφ S w + g ∂t Bo Bw Bg
(1.89)
En la Ecuación 1.89, α = H X ,Y . Análogamente, la ecuación fundamental de flujo para el gas en tres dimensiones tiene la siguiente forma: −
∂ (α Rsuoxcn + α Rswu wxcn + α u gxcn ) − ∂ (α Rsuoycn + α Rswu wycn + α u gycn ) − ∂ x ∂ y
φ S ∂ [α RS uoznz − α Rswuwznz − α u gznz ] ± α qg = α ∂ RS φ S o + RSW φ S w + g ∂ z ∂t Bo Bw Bg
(1.90)
Las Ecuaciones 1.88 a 1.90 pueden ser escritas, en forma general, como: −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (α Rsuoxcn ) − (α Rsuoycn ) − (α Rsuozcn ) − (α Rswuwxcn ) − (α Rswuwycn ) − (α Rswuwzcn ) − ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z
φ S ∂ (α u gxcn ) − ∂ (α u gycn ) − ∂ (α u gzcn ) ± α qg = α ∂ Rsφ S o + Rswφ S w + g ∂ x ∂ y ∂ z ∂t Bo Bw Bg O bien, − ∇ ⋅ (α Rs u ocn ) − ∇ ⋅ (α Rsw u wcn ) − ∇ ⋅ (α u gcn ) ± q gα = α 47
φ S ∂ Rsφ S o + Rswφ S w + g ∂t Bo Bw B g
(1.91)
En la Ecuación 1.91, uocn , u wcn y u gcn son los vectores velocidades a condiciones normales del petróleo, agua y gas, respectivamente, los cuales están dados por las siguientes expresiones: u ocn = uoxcni + uoycn j + uozcnk
(1.92)
u wcn = uwxcn i + uwycn j + uwzcn k
(1.93)
u gcn = u gxcni + u gycn j + u gzcnk
(1.94)
La velocidad volumétrica del gas a condiciones normales puede ser expresada mediante la ley de Darcy en términos del potencial del gas (en forma similar a como se hace en las Ecuaciones 1.72 y 1.77 para el petróleo y el agua, respectivamente) o en términos de la presión del gas (en forma similar a como se hace en las Ecuaciones 1.74 y 1.79 para el petróleo y el agua, respectivamente) de la siguiente forma: K g ρ gcy u gcn = − (1.95) ∇Φ g µ g Bg u gcn = −
Kg
µ g Bg
∇p g
(1.96)
Sustituyendo las Ecuaciones 1.72, 1.77 y 1.75 en la Ecuación 1.91, se obtiene la ecuación fundamental de flujo para el gas en términos del pseudo-potencial del gas:
K o ρ ocy
K w ρ wcy
µ o Bo
∂ R φ S R φ S φ S g α s o + sw w + ∂t Bo Bw Bg
µ w Bw
∇ ⋅ α Rs
∇Φ o + ∇ ⋅ α Rsw
K g ρ gcy ∇Φ g ± q g α = µ g B g
∇Φ w + ∇ ⋅ α
(1.97)
Similarmente, sustituyendo las Ecuaciones 1.74, 1.79 y 1.96 en la Ecuación 1.89, se obtiene la ecuación fundamental de flujo para el gas en términos de las presiones:
Ko
µ o Bo
∇ ⋅ α Rs
∇ po + ∇ ⋅ α Rsw
Kw
Kg
∇ pw + ∇ ⋅ α ∇ p g ± q g α = µ w Bw µ g Bg α
φ S ∂ Rsφ S o + Rswφ S w + g Bw Bg ∂t Bo 48
(1.98)
Las ecuaciones (1.75), (1.80) y (1.98) más la ecuación S 0 + S g + S w = 1
(1.99)
se deben resolver simultáneamente para encontrar las presiones de cada una de las fases y un saturación, suponiendo conocida otra de las saturaciones. Este procedimiento se usa fundamentalmente en simulación de yacimientos. Perrine para resolver el problema de flujo multifásico plantea resolver la siguiente ecuación
∂ P φ 1 ∂ ∂ P r = (C t ) * r ∂ r ∂ r k ∂ t
(1.100)
C t = C o S o + C w S w + C g S g + C f
(1.101)
k k k k = + + µ t µ o µ w µ g
(1.102)
µ t
donde:
Co = −
Cw = − Cg = −
1 ∂Bo
∂R − Bg s ∂P T Bo ∂P T 1 ∂Bw
∂R − Bg sw ∂P T Bw ∂P T 1 ∂Bg
(1.103)
(1.104) (1.105)
Bg ∂P T
La ecuación (1.103) es una expresión para calcular la compresibilidad del petróleo por debajo del punto de burbujeo y se obtiene de la siguiente manera: Supongamos un barril normal de petróleo el cual a una presión P 1 ocupa a condiciones del yacimiento un volumen B o1, y cuando la presión ha caído a P 2 el volumen que ocupa el sistema es B o2 + Bg(Rs1-Rs2) y por tanto aplicando la definición de compresibilidad se tiene: C o = −
1 Bo1
( Bo 2 − Bo1 ) Bg ( R s2 − Rs1 ) − ( P2 − P1 ) ( P2 − P1 )
*
49
y la expresión anterior se puede plantear como: C o = −
1 Bo1
δ Bo B g δ Rs − δ P δ P
*
(1.103)
La ecuación (1.104) se puede obtener siguiendo un procedimiento igual al de la ecuación (1.103) y la ecuación (1.105) se obtiene tomando un volumen de gas igual a Bg y aplicando la definición de compresibilidad.
1.5-. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
La ecuación de flujo radial incluye solo una dirección de flujo, el radio, o sea que supone que en un plano horizontal en todas las direcciones radiales las propiedades del yacimiento son las mismas y además dos planos horizontales a dos posiciones z cualesquiera son idénticos. En la práctica en un yacimiento cilíndrico habrá flujo en la dirección radial, en la dirección angular y en la dirección vertical y por tanto para describir este flujo, especialmente en Simulación de Yacimientos, se requiere de la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas. Para obtener la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas se considera flujo en las direcciones radial (r), Tangencial ( θ) y vertical (z). El esquema de la figura 1.17 muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas.
Figura 1.17-. Elemento de Volumen para Flujo en Coordenadas Cilíndricas. 50
En dicho volumen de control el balance de masa se hace de la siguiente forma: Balance de masa:
masa masa fuentes acumulación − ± = entra sale sumideros agotamient o ∆ t ∆ t ∆ t ∆ t
(1.106)
De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que:
masa entra = ρ ⋅ u r ⋅ ( ∆ S r ⋅ ∆ z )⋅ ∆ t + ρ ⋅ u S ⋅ ( ∆ r ⋅ ∆ z )⋅ ∆t + ρ ⋅ u z ⋅ (r ⋅ ∆ r ⋅ ∆θ )⋅ ∆t ∆ t
(1.107)
u S : Velocidad de flujo por unidad de área en la dirección tangencial. S r : Longitud de arco, al radio
( r ) , debida al cambio angular ( ∆θ ) .
masa sale = [ ρ ⋅ u r + ∆ ( ρ ⋅ u r ) ]⋅ ( S r + ∆ r ⋅ ∆ z )⋅ ∆t + [ ρ ⋅ u S + ∆ ( ρ ⋅ u S ) ]⋅ ( ∆ r ⋅ ∆ z )⋅ ∆t ∆ t + [ ρ ⋅ u z + ∆ ( ρ ⋅ u z
) ]⋅ ( r ⋅ ∆r ⋅ ∆θ )⋅ ∆t (1.108)
S r + ∆ r : Longitud de arco, en el radio
( r + ∆ r ) , debida al cambio angular ( ∆θ ) .
fuentes ~ sumideros = q ⋅ r ⋅ ∆ r ⋅ ∆θ ⋅ ∆ z ⋅ ∆t ∆ t
(1.109)
Donde: ~ = Masa fuentes sumideros q ∆V T ⋅ ∆t
(1.110)
51
acumulación agotamient o = [ ( ρ φ )t + ∆t − ( ρ φ )t ] ∆ t ⋅ r ⋅ ∆ r ⋅ ∆θ ⋅ ∆ z ∆ t
(1.111)
Reemplazando las ecuaciones (1.107) – (1.109) y la ecuación (1.111) en la ecuación (1.106), cancelando términos semejantes, despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo entre: ( r ⋅ ∆ r ⋅ ∆θ ⋅ ∆ z ⋅ ∆t ) , se obtiene:
ρ ⋅ u r
−
r
+
∆ ρ ⋅ u r ∆ r
∆ ρ ⋅ u S ∆ ρ ⋅ u z ~ ∆( ρ ⋅ φ ) − =q + r z t ⋅ ∆ θ ∆ ∆
−
(1.112)
Si se consideran los deltas ( ∆ r , ∆θ , ∆ z , ∆t ) tan pequeños de tal forma que la ecuación anterior se pueda expresar en diferenciales, se obtiene la ecuación de conservación de masa en forma diferencial o ecuación de continuidad:
−
ρ ⋅ u r r
−
∂ ρ ⋅ u r ∂ r
−
1 ∂ ρ ⋅ u S r
∂θ
−
∂ ρ ⋅ u z ∂ z
= q~ +
∂( ρ ⋅ φ ) ∂t
(1.113)
La ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas es obtenida al combinar la ecuación (1.113) y la Ley de Darcy para flujo radial, angular y vertical.
Ley de Darcy para flujo radial:
u r = −
k r ∂ p
⋅ µ ∂ r
(1.114)
Ley de Darcy para flujo tangencial: Velocidad debida al diferencial de presión presente entre dos puntos separados por una distancia ∂ S :
52
u S = −
k θ ∂ p
⋅ µ ∂ S
(1.115)
Donde ∂ S es la longitud de arco entre los puntos considerados: S = r ⋅θ →
∂ S = r ⋅ ∂θ
Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales:
u z = −
k z ∂ p
⋅ µ ∂ z
(1.116)
De tal forma que la Ecuación (1.113) se transforma en:
1 ∂
k r ∂ p
∂ k z ∂ p 1 ∂ k ∂ p + 2 ⋅ ⋅ ρ ⋅ θ ⋅ + ⋅ ρ ⋅ ⋅ r ∂ r µ ∂ r r ∂θ µ ∂θ ∂ z µ ∂ z δ φ δ ρ δ P = q~ + ρ + φ P P δ δ δ t ⋅
r ⋅ ρ ⋅
⋅
(1.117)
Para un fluido levemente compresible en un medio isotérmico se ha asumido convencionalmente compresibilidad constante, de acuerdo con esto cumple con la ecuación (1.2) y suponiendo también la compresibilidad de poro constante la porosidad cumple con la ecuación (1.27); o sea que la ecuación (1.117) se convierte en 1 ∂
k r ∂ p 1 ∂ k θ ∂ p ∂ k z ∂ p ∂ h + 2 ⋅ ρ ⋅ + ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − Γ ⋅ ρ ⋅ r ⋅ r ∂ r ∂ z µ ∂ r r ∂θ µ ∂θ ∂ z µ ∂ z (1.118) ⋅
= q~ + ρ φ ( C r + C f )⋅
∂ p ∂t
53
La expresión (1.118) es la ecuación general de difusividad en coordenadas cilíndricas para el flujo monofásico de cualquier fluido a través de un medio poroso isotérmico.
En forma vectorial la ecuación general de difusividad en coordenadas cilíndricas se logra considerando el operador divergencia ( ∇ ⋅ ) y el gradiente ( ∇ ) , de esta manera la Ecuación (1.117) se expresa:
k
∇ ⋅ ρ ⋅ ⋅ ∇ p = q~ + µ
∂ ( ρ ⋅φ ) ∂t
(1.119)
1.6-. VARIABLES ADIMENSIONALES:
Son grupos de variables que, como su nombre lo indica, no tienen dimensiones pero son d0minadas por una variable en particular. Se usan básicamente para tener soluciones generales de una ecuación dada sin tener en cuenta, por ejemplo en el caso de la ecuación de difusividad, efectos como: unidades de las variables, tipo de fluidos etc. En el caso de la ecuación de difusividad, las variables más importantes son: rD = t D =
P D =
2π kh q µ
r rw
= radio adimensional k t
φµ Cr w2
(1.120)
= tiempo adimensional
(∆P ) = P D (r D , t D ) =
2π kh q µ
(Pi − Pr ,t ) = presión adimensional
(1.121)
(1.122)
Cuando r = r w → r D = 1 y P D (r D , t D ) = P D (1, t D ) = P D (t D ) , o sea que P D (t D ) =
2π kh q µ
(P
i
− Pwf ( t ) )
(1.123)
Las ecuaciones (1.120) - (1.123) en unidades de campo ( µ, cp ; h, pies; t , días, horas ; P , lpc; q , BN/D ; K , md ; r w, pies), toman la siguiente forma: 54
r
rD =
rw
t D =
(1.120) k (md ) * 1 / 1000 * t (dias ) * 86400( s / d )
(30.48) cms 2 14.71lpc 2 2 φ * µ (cp) * C (lpc ) * * (r w ) * ( pies ) * 1 aT 1 pie 2 2
−1
= 0.00634 *
k t
φ µ Cr w2
= 2.64 * 10 − 4
P D =
2π kh
=
q µ
(P
i
( t , dias )
kt
φ µ Cr w2
(1.124)
(t , hrs)
(1.125)
− Pwf )
2π * k (md ) * 1 / 1000 * h( pies ) * 30.48 3
5.615 * (30.48) BN q * ( Bo ) * 86400 D
= 7.08 * 10 −3
kh q µ Bo
* (Pi − Pwf )
1 at 14 . 7 Lpc
* (P i − Pwf ) *
(1.126)
La aplicación principal de las variables adimensionales es obtener una forma de la ecuación de difusividad que no dependa de las unidades usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguiente manera A partir de las ecuaciones (1.120) - (1.123) se pueden obtener las siguientes expresiones r=rwrD
∂ r D 1 = ∂ r r w
∂ r = r w ∂ r D
δ t D k = ∂ t φ µ Cr w2 δ t φµ Cr w2 = k δ t D ∂ P D ∂ P D ∂ r 2π kh ∂ Pr ,t = =− * * r w q µ ∂ r ∂ r D ∂ r ∂ r D 55
∂ Pr ,t ∂ r
=−
q µ
2π khr w
*
∂ P D ∂ r D
2 ∂ P D ∂ P D ∂ t 2π kh ∂ Pr ,t φ µ Cr w * * * = =− q µ k ∂ t D ∂ t ∂ t D ∂ t ∂ Pr ,t ∂ P D k * q * µ =− * ∂ t 2π kh * φ µ Cr w ∂ t D
Llevando las expresiones anteriores a la ecuación (1.54) se tiene, despreciando el efecto de fuentes y sumideros:
∂ P D φ µ C ∂ P D q µ k q µ r D r w * = * * * 2π khr w ∂ r D r D r w k 2π khφ µ Cr w2 ∂ t D ∂ P ∂ P D 1 ∂ r D * D = r D ∂ r D ∂ r D ∂ t D 1
*
∂ r w ∂ r D 1
(1.127)
La ecuación (1.127) es la forma de la ecuación de difusividad en variables adimensionales para fluido ligeramente compresible en flujo radial, la cual como se ve es mas sencilla que cuando se da en variables dimensionales (Ecuación (1.54))
1.7-. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN YACIMIENTOS SENSITIVOS A ESFUERZOS
A partir de la ecuación (1.54) fue posible llegar a formas más simples para la ecuación de difusividad porque se supuso tanto en el caso de propiedades físicas 2
δ P era igual a independientes como dependientes de la presión que el término r δ cero. Esto aunque no linealizaba completamente la ecuación permitía llevarla a una forma donde era más aceptable suponer que la ecuación era lineal. Existen yacimientos donde el gradiente de presión ya no es despreciable, especialmente en zonas cercanas a la pared del pozo, y la permeabilidad es altamente dependiente del estado de esfuerzos presentes en el yacimiento y el pozo; este es el caso de los yacimientos conocidos como apretados y de los yacimientos naturalmente fracturados, los cuales se conocen en general como yacimientos sensitivos a esfuerzos. La ecuación de difusividad para este tipo de yacimiento es altamente no lineal y por tanto sus soluciones no serán similares a las obtenidas cuando la ecuación se considera lineal aunque se apliquen las mismas condiciones iniciales y de límite. 56
Se han planteado varias formas de linealizar la ecuación de difusividad para el caso de yacimientos sensitivos a esfuerzos entre las cuales se podrían mencionar:
Introducir una función seudopresión similar a la utilizada en el caso de gases reales pero incluyendo la presión y/o la porosidad y la cual ha sido definida de varias formas.
Según Raghavan : k (P ) ρ (P )
P
m( P ) =
∫ µ (P )[1 − φ (P )] dP
(1.128)
P0
(9)
Según Vairogs : Pb
m(P ) =
∫
P0
k (P )P
µ Z
dP
(1.129)
Según Ostensen (8):
Pb
m(P ) =
k (P )P
∫ k ( µ Z ) dP
(1.130)
i
P0
Cuando se usa esta opción, con cualquiera de las tres ecuaciones anteriores, se obtiene una ecuación de difusividad que presenta una forma similar a la ecuación (1.54) solo que en lugar de P se tiene m(P); estas ecuaciones son no lineales pero para tratarlas como lineales se calcula el coeficiente del término derecho de la ecuación a la presión inicial del yacimiento. Además para evaluar m(P) se debe recurrir a la integración numérica y para ello es necesario tener una relación para k(P) en función de la presión o del esfuerzo. Los tres autores anteriores presentan cada uno formas diferentes de obtener k(P) y una forma simple es usando un concepto conocido como módulo de permeabilidad el cual está definido por
γ =
1 dk k dP
(1.131)
el cual permite expresar la permeabilidad como −γ ( Pi − P )
(1.132) (7) Este es el método propuesto por Pedrosa y con las ecuaciones (1.131) y (1.132) es posible tener una ecuación de difusividad para yacimientos sensitivos a esfuerzos de la siguiente manera: k = k 0 e
57
Retomando la ecuación (1.48) y despreciando el efecto de fuentes y sumideros 1 ∂ k δ P ∂ r ρ = ( ρφ ) r ∂ r µ δ r r ∂ t
(1.133)
expandiéndola y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.2) y (1.27) se tiene 2
2
δ P φ µ δ P δ 2 P 1 δ P 1 δ k δ P ( ) + + + = + C C C f f P k δ t δ r 2 r δ r k δ P δ r δ r Aplicando la ecuación (1.131) y suponiendo que γ es mucho mayor que C f y que CP se tiene: 2
δ P φ i µ δ 2 P 1 δ P γ ( P − P ) δ P ( ) C e + + γ = t δ r k t δ δ r 2 r δ r i i
(1.134)
Definiendo ahora las siguientes variables adimensionales 2π k i h(Pi − P )
P D =
t D =
q µ k i t
φ i µ C t r w2
r D =
r r w
γ D =
q µ
2π k i h
γ
la ecuación (1.134) en variables adimensionales queda 2
δ P D γ P δ P D e + − γ = D δ r r D δ r D t δ δ r D2 D D
δ 2 P D
1 δ P D
D D
58
(1.135)
