Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui Escuela de Ingeniería y Cs. Aplicadas Departamento de Ingeniería Civil Cátedra: Estadística Aplicada
Distribución de la Probabilidad
Profesora:
Bachilleres:
Ortiz, Mariella (Sec-21)
Gómez, Jhovanna CI: 24.494.549
Mosqueda, Harvin CI: 22.627.976
Rojas, María A. CI: 21.069.763
Vera, Roberto CI: 20.739.698
Barcelona, Febrero de 2013
Indice Introducción
1
Objetivos
2
Marco Teórico:
3
Variable
3
Clasificación de Variables: Variables Cualitativas
3
Variables Cuantitativas:
3
Variables Cuantitativas Discretas
3
Variables Cuantitativas Continuas
4
Función de probabilidad de una variable aleatoria
4
Distribución Binomial
5
Distribución Poisson
6
Distribución Normal
6
Distribución „„t‟‟ Student
8
Distribución „„chi‟‟ cuadrado
9
Conclusiones y Recomendaciones
10
Bibliografía
12
Apéndice
13
Anexos
17
Introducción En este periodo del Renacimiento es cuando empiezan a surgir de manera más seria inquietudes entorno a contabilizar el número de posibles resultados de un dado lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el juego se interrumpe antes de finalizar. En nuestra especialidad, ingeniería civil, la distribución de probabilidad indica todo el conjunto de valores que pueden representarse como resultado de una investigación. Una distribución de probabilidad es semejante a la distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, conforma una herramienta fundamental para la perspectiva, ya que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las determinaciones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera dinámica los distintos tipos de distribución probabilística, como también se estudiara las características de cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados también se enfocaran en el presente trabajo; además al estudio descriptivo de las variables cualitativas, cuantitativa, que a su vez se dividen en discretas y continuas, variables aleatorias y su función de probabilidad. Asimismo explicaremos los diferentes tipos de distribución como: Binomial, Poisson, Normal, T Student y Chi Cuadrado
Objetivos Establecer la probabilidad de ocurrencia de un evento dado mediante la estimación de valor esperado de una variable discreta usando la distribución Binomial y Poisson. Establecer la probabilidad de ocurrencia de un evento dado mediante la estimación del valor esperado de una variable continua usando las distribuciones normal, gamma, „„t‟‟ Student y „„chi‟‟ Student.
Marco Teórico Variable Una variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible.
Clasificación de variables
Variables cualitativas
Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politomicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir: 1. Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte. 2. Variable cualitativa nominal En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.
Variables cuantitativas
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
1. Variable Cuantitativa Discreta Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5). 2. Variable Cuantitativa Continua Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables.
Variables Aleatorias y su Función de Probabilidad
Variable Aleatoria: Sea S un espacio muestral sobre el que se
encuentra definida una función de probabilidad. Sea X esa función de valor real definida sobre S de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los números reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria. La cual transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. Anteriormente los experimentos se concebían de tal manera que los resultados del espacio muestral eran cualitativos. Como ejemplos de resultados cualitativos tenemos: El lanzamiento de una moneda nos puede dar como resultado: “cara” o “cruz” El producto manufacturado en una fábrica puede ser “defectuoso” o “no defectuoso” Una persona en particular puede preferir la loción “X” o la “Y” Debido a que resulta interesante en algunos casos cuantificar el comportamiento aleatorio de un espacio muestral, nace el concepto de variables aleatorias las cuales permiten relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: <>, <>, <>, <>, <> y <>. Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el número correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, será: X= 1, 2, 3,4, 5, 6.
Función de Probabilidad de una Variable Aleatoria f(x)
Es la función que asigna probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria. Consideremos una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, ..,xn. Supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que: p(X=x1) = p1, p(X=x2) = p2, p(X=x3) = p3, ..., p(X=x1) = pn, en general p(X=xi) = pi. La función de probabilidad f(x) de la variable aleatoria X es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi.
Características de la función de probabilidad
1.- p(x) ≥ 0 para todos los valores x de X, es decir, la probabilidad de cada uno de los valores que puede tomar x sea mayor a 0. 2.- Σx p(x)= 1, la sumatoria de las probabilidades asociadas deben ser igual a1 .La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras.
Distribución Binomial En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p.
En la teoría de probabilidad y estadística, un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se denomina así en honor a Jakob Bernoulli. Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, estos ensayos están modelados por una variable aleatoria que puede tomar sólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiliza el 1 para representar el éxito. Si p es la probabilidad de éxito, entonces el valor del valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p (1-p). Los procesos de Bernoulli son los que resultan de la repetición en el tiempo de ensayos de Bernoulli independientes pero idénticos.
Distribución de Poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo „„Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles‟‟. La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson. La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio.
Distribución Normal En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
Caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
Caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
Nivel de ruido en telecomunicaciones;
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes; La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza la
entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad". En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidades continuas y discretas.
Distribución T Student La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student. En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. Existen dos versiones de la prueba t-Student: una que supone que las varianzas poblacionales son iguales y otra versión que no asume esto último. Para decidir si se puede suponer o no la igualdad de varianza en las dos poblaciones, se debe realizar previamente la prueba F-Snedecor de comparación de dos varianza.
Distribución chi-cuadrado La distribución chi-cuadrado es una de las distribuciones de probabilidad más ampliamente utilizada en la estadística inferencial. Su utilidad reside en que, bajo algunos supuestos razonables y poco exigentes, existen variables que al calcularse pueden dar lugar a una distribución aproximada a la chi-cuadrado. Las situaciones mejor conocidas del uso de esta distribución está en la común prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste de una distribución observada a una distribución teórica, y la de independencia de dos criterios de clasificación de datos cualitativos. Sin embargo, muchos otros test utilizan esta distribución. Como muchas otras distribuciones comunes, la distribución chi-cuadrado está asociada a un parámetro conocido como grado de libertad. La forma de la distribución depende del valor de este parámetro.
Conclusiones y Recomendaciones La Estadística es una ciencia con base matemática, es decir, que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones prácticas que denotan incertidumbre, así mismo busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio. Las variables y sus diversas clasificaciones son útiles y comprensible; se puede utilizar para el estudio y proceso de análisis de un conjunto de observaciones de los datos que representan una ordenación, también son útiles en situaciones en la que se tienen serias dudas y se desea saber entre diferentes alternativas cual es la mejor selección a escoger. La Distribución binomial en la estadística nos permite obtener un resultado dicotómico, que mide el número de éxitos en una secuencia, obteniendo un resultado de éxito y fracaso, siendo el valor mayor el que represente el éxito en una escala de 0 a 1. En caso de que el resultado del fracaso se mantenga de manera constante la distribución obtenida pasaría a ser la de Poisson. Las Pruebas de Chi Cuadrado son unas de las más utilizadas, estas pruebas son: las pruebas de Bondad de Ajuste, estas pruebas miden el grado en que los datos
muéstrales que son observados, cumplen una distribución
hipotética determinada y si el grado de cumplimiento es razonable, se puede deducir que la distribución hipotética existe. Si dos variables están relacionadas en las 120 aplicaciones estadísticas, es frecuente interesarse en calcular si dos variables de clasificación, ya sea cuantitativa o cualitativa, son independientes o si están relacionadas. Cuando se presenten varias muestras cualitativas, se comprueba si las mismas provienen de una misma población, donde las variables medibles se presentan a través de categorías.
Estas Pruebas No Paramétricas tienen sus ventajas por ser fáciles de aplicar, son relativamente sencillos, claros de exponer y de comprender en comparación con los métodos paramétricos, ya que se pueden utilizar con muestras pequeñas, lo cual no requiere de cálculos laboriosos.
Bibliografía Guía de Estadística 1. Universidad de Oriente. Profesor Pedro Diaz Página de Internet: http://juancarlosvergara.50webs.org/Apuntes/Ejercicios%20Parte%20II.pdf Página de Internet: http://casanchi.galeon.com/mat/chi2.htm Pagina de Internet: http://www.slideshare.net/grupodetrabajo/distribucionbinomial Pagina de Internet: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cvinuesa/mdp0910.html
Apéndice 1. Distribución Binomial: Calcular la probabilidad de que la suma sea 9 una vez, en 3 lanzamientos de un par de datos. ensayos independientes. , ya que son cuatro posibilidades de éxito: [(
)(
)(
)(
)]
en cada lanzamiento. (
)
, numero de éxitos en los 3 ensayos. Aplicando la formula de distribución de probabilidad Binomial acumulada: ( ) Donde: x= Números de éxitos. n= Números de ensayo. p= Éxito. q= Fracaso. (
)
(
) (
)
La probabilidad de que la suma sea 9 es de 26,34% 2. Distribución Poisson: En un experimento de laboratorio, el promedio de partículas radioactivas que pasan por un contador durante 1 milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 partículas pasen por el contador en un milisegundo? La formula de Poisson a utilizar para resolver este tipo de problema es:
(
)
Donde: x: Numero de veces que ocurre el evento especifico. λ: Numero promedio de ocurrencias del evento en un intervalo dado. e: Base de los logaritmos neperianos = 2,71828… (
)
Usando la tabla de probabilidades Poisson acumuladas anexa al trabajo, tenemos que: (
)
( )
( )
La probabilidad de que 6 partículas pasen por el contador en un milisegundo es del 10,42%. 3. Distribución Normal: El tiempo de vida de un tipo de televisor tiene una distribución aproximadamente normal con µ=3,1 años y σ=1,2 años. Si este tipo de televisor se garantiza por un año ¿Qué fracción de los televisores que se vendan serán devueltos o cambiados por garantía?
A µ=80 0
En la tabla anexa al trabajo de probabilidades normales acumuladas, ubicamos el valor de -1,75 y obtenemos lo siguiente: (
)
( )
(
)
La fracción de televisores que se devolverán o serán cambiados por garantía es del 4,01%. 4. Distribución ‘‘t’’ Student: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10mm y desviación s=1mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20,5mm:
P (μ<20,5) Estandarizamos
( (
) √
)
que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad:
( √ (
)
) (
(
)
(
)
)
(
)
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5mm es del 99.02%. 5. Distribución ‘‘Chi’’ cuadrado: Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8 - 9.7 - 10.5 - 12.1 - 13.3 - 13.4 - 10.3 - 8.5 - 15.0 - 10.5 - 7.6 6.3. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.2 años?
= 1,2 μ = 10 s = 2,53 n =12 V =11 X2 = 48.8
Aplicando la formula de distribución chi cuadrado
(
)
tenemos
que: (
) (
( )
)
De acuerdo a lo anterior se puede observar que la desviación poblacional es mayor que 1.2 años (debido a que el valor de Chi Cuadrado es muy alto y por lo tanto no cae dentro del intervalo de confianza para una muestra de 12).
Anexos Tabla de distribución Poisson
Tabla de distribución Normal
