DISEÑO ÓPTIMO DE LA SECCIÓN DEL CANAL PARABÓLICO Resumen: En este documento se presentan ecuaciones de diseño óptimo para una sección del canal parabólico. El estudio también aborda los límites en las dimensiones del canal y la velocidad del flujo. Un enfoque parámetro adimensional se ha utilizado para simplificar el análisis, y un conjunto de gráficos para los parámetros dimensionales se presentan como una alternativa para el diseño. Procedimientos de diseño para los diferentes casos se han presentado para demostrar la sencillez del método.
INTRODUCCIÓN Las redes de canales se utilizan para transmitir, distribuir y aplicar agua a la tierra. Un canal en una red puede ser o bien sin forro o revestidos. Lechos de los ríos, los canales no revestidos, y riego por surcos, todos tienden a aproximarse a una forma parabólica estable (Mironenko et al. 1984). Por lo tanto, los canales no revestidos pueden hacerse más hidráulicamente estable, inicialmente con la construcción construcción en forma de parábola. Debido a que los taludes taludes de los canales a lo largo de la sección transversal son siempre menores que la pendiente máxima admisible en el lado la superficie del agua, los canales parabólicos son físicamente físicamente más estable (Mironenko et al. 1984; Babaeyan-Koopaei et al. 2000; Babaeyan Koopaei-2001). Un canal parabólico revestido no tiene fuerte los ángulos de la concentración concentración de esfuerzos en las grietas puede ocurrir y puede ser prefabricados en secciones moldeadas. Pequeñas zanjas parabólicos pueden ser construidos con excavadoras excavadoras y otros otros tipos de para movimiento de tierra tierra (Mironenko et al. 1984). Los canales de riego están cubiertas para varios propósitos (Swamee et al. 2000). Canales revestidos están diseñadas para un flujo uniforme teniendo en cuenta la eficiencia hidráulica, la viabilidad, y la economía (Streeter 1945). Factores a tener en cuenta en el diseño incluyen: (1) el material que forma la superficie del canal, que determina el coeficiente de rugosidad, (2) la velocidad admisible mínimo, para evitar la deposición de sedimentos o residuos; (3) la velocidad límite, para evitar la erosión de la superficie del canal; (4) la topografía de la ruta del canal, que fija la pendiente del lecho del canal, y (5) la eficiencia de la sección de canal, que indica indica cómo mucho la sección es hidráulicamente y / o económicamente eficiente (Chow 1973). A los máximos resultados hidráulicos de radio en una sección de área de excavación mínimo y el mejor diseño hidráulico. Monadjemi (1994) y otros (Froehlich 1994; Swamee 1995) presenta un enfoque fundamental para determinar la mejor sección hidráulica basada en el método de Lagrange de los multiplicadores indeterminados. Loganathan (1991) propuso óptimo para un canal de contabilidad de diseño parabólico de francobordo, junto con limitaciones en las dimensiones de velocidad y el canal y los resultados presentados en forma tabular, que no son convenientes para usar en el diseño de canales. El presente estudio es un intento de solucionar estos problemas de diseño en los canales parabólicos. A partir de las propiedades geométricas de una sección parabólica y la ecuación de flujo uniforme, el método de optimización para la sección superficie mínima que se ha descrito. Los parámetros óptimos resultantes han sido obtenidos en una forma adimensional. Los límites
en las dimensiones del canal y la velocidad de flujo también han sido tratados. Las ecuaciones de diseño propuestos se han obtenido en forma explícita a través de la minimización de los errores o análisis de regresión. Finalmente se presenta, un procedimiento de diseño paso a paso con ejemplos de diseño y las limitaciones del método.
DISEÑO HIDRAULICO DE CANAL DE SECCION PARABÓLICO PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN PARABÓLICA Un canal parabólico (La figura. 1) se describe por: Y aX 2 ..................................(1)
En la que Y=ordenada; X=abscisa; y a=parámetro
Fig. 1. Sección transversal del canal parabólico El área de flujo A (m2) de una sección del canal parabólico se calcula como: yT A 2[ 2
T /2
YdX ]
0
2 3
yT
8 3
y 2 z ..........................(2)
Donde y= profundidad de flujo (m); y T =ancho de la parte superior del canal en la superficie del agua (m), dada por T 4 yz .................................(3)
En la que z = lado de la pendiente en Y = y. El perímetro P (m) se obtiene mediante la integración de longitud ds de la parábola como
P ds dX 2 dY 2
2 yz 2[
1
z
1
1 z
2
1
1
z
z 2
ln( 1
)]...............(4)
Por otra parte, la ecuación. (4) se puede expresar como P yf z ......................(5)
Donde fz, que es una función de z solamente, está dada por 1 1 1 1 f z 2 z 2 [ 1 2 ln( 1 2 )]..............................(6) z z z z
SECCIÓN DEL CANAL ÓPTIMO Una sección del canal revestido está diseñada para el flujo uniforme. La fórmula más utilizada flujo uniforme es la ecuación de Manning (Chow 1973) La tasa de flujo uniforme o descarga Q (m3 /s) en un canal por la ecuación de Manning es Q AV
1 n
AR 2/3S f1/ 2
1
A 1 A A( )2/3 S 1/f 2 A( )2/3 S 01/ 2 ............(7) n P n P
Donde V=velocidad media de flujo uniforme (m/s); R=radio hidráulico (m), definido como la relación de área de flujo para el perímetro de flujo; n= coeficiente de rugosidad de Manning; Sf= pendiente energía (adimensional); y So=la pendiente del canal (adimensional). Para un flujo uniforme, Sf =So. En la fórmula de Manning, todos sus términos, excepto n se pueden medir directamente. El coeficiente de rugosidad es un parámetro que representa los efectos integrados de la resistencia del canal transversal. La selección de un valor de n es subjetiva, basada en la experiencia y el juicio de ingeniería. Chow (1973) listas de valores de n para diferentes condiciones de un canal.
SECCIÓN ÓPTIMA CLÁSICA La sección óptima clásica es la mejor sección hidráulica que tiene la velocidad de flujo o el área de flujo máximo y perímetro mojado mínimo para una descarga especificado y pendiente del lecho del canal. Matemáticamente, se puede afirmar como Minimice A A( y, z )........................(8a ) Sujeto a Q
1 A5/3 2/3
n P
S01/2 ( A, P) ( y , z ) 0.........(8b )
Debido a un canal parabólico está completamente descrito por dos variables independientes y, z, aplicando el método de Lagrange de los multiplicadores indeterminados Kreyszig (2001)
A 0................................(9a ) y y A 0................................(9b ) z z Q
1 A5/3 2/3
n P
S01/2 ( A, P) ( y , z ) 0.........(9c )
Donde =multiplicador indeterminado. La eliminación de partir de las ecuaciones. (9a) y (9b):
A A ................................(10) y z z y De la ecuación (9c):
z y
P A 5 P )...............(11a ) 3nP5/3 z z S01/ 2 A2 /3 P A 5P )...............(11b ) (2 A 5/3 3nP y y S01/ 2 A2 /3
(2 A
Uso de las ecuaciones. (11 bis) y (11b) en la ecuación. (10)
A P A P ................................(12) y z z y Sustituyendo A partir de la ecuación. (2) y P de la ecuación. (4) en la ecuación. (12) 16 1 1 1 1 1 2 2 1 ( yz)[4 yz[ln( 1 2 )]] (8 y )[2 z [ 1 2 ln( 1 2 )]]........(13) 3 z z z z z z
Y simplificando 1 1 1 1 3 ln[ 1 2 ] 1 2 .........................(14) z z z z Resolviendo por ensayo y error:
Z * 0.514...............................(15)
Donde el superíndice *= valor óptimo. Los valores óptimos de los demás parámetros se encuentran utilizando la ecuación. (15) en las ecuaciones. (2) a (4) A* 1.37067 y 2 ;T * 2.056 y ; P* 2.9985 y 3y .............(16)
Fig. 2. Las variaciones en los parámetros dimensionales con z (Perímetro exacto)
NO DIMENSIONALIZATION DE PARÁMETROS Suponiendo una escala de longitud L (m) L (Qn / S 0 )3/8.............................(17)
las variables adimensionales siguientes se han definido: y* y / L; P* P / L; T * T / L; A* A / L2 ; V * VL2 / Q..........(18)
Usando las ecuaciones. (2), (4), (7) y (17): 8 L8/3 ( y 2 z )5/3 / ( yf z )2/3.....................................(19) 3 Y resolviendo para y:
y (
3
)5/8 Lf z 1/ 4 ;...............................(20a ) 8 z
o y* (
3
)5 /8 f z 1/ 4................................(20b ) 8 z
La sustitución de y de la ecuación. (20 a) en las ecuaciones. (2), (3), (5), Y (7) han producido:
A* (
3
)1/ 4 f z 1/ 2 ;............................(21a ) 8 z 3 T * 4( )5/8 z 3/8 f z 1/ 4 ;......................(21b ) 8 z 3 P* ( )5/8 f z 5/ 4 ;.............................(21c ) 8 z 8 z 1 V * ( )1/4 1/2 ..............................(21d ) 3 f z
Las expresiones adimensionales para la profundidad de la corriente [Ecuación. (20b)], El área de flujo [Ecuación. (21a)], La anchura de la parte superior [Ecuación. (21b)], El perímetro mojado [Ecuación. (21c)], Y la velocidad uniforme [Ecuación. (21d)] son sólo una función de la pendiente lateral z. La representación gráfica de las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para obtener los valores de estos parámetros adimensionales para una amplia gama de z. Utilizando las ecuaciones, un conjunto de gráficos han sido trazadas por las variaciones en y *, T *, P *, V * y con z, como se muestra en la fig. 2.
PARÁMETROS ADIMENSIONAL ÓPTIMOS Sustituyendo el valor de z* de la ecuación. (15) en las ecuaciones. (20b) y (21), los siguientes valores adimensionales óptimas de otros parámetros se han obtenido: * * * y* 1.08055; A* 1.60036; T * 2.22161 * * P* 3.24003;V * 0.62486.....................(22)
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ÓPTIMO, EJEMPLOS Y DISCUSIÓN Sobre la base de las ecuaciones presentadas, un límite rígido óptima sección de canal parabólico puede ser diseñado por la adopción de los siguientes pasos: 1) Elija n para un tipo particular de revestimiento. 2) Para un determinado conjunto de datos (Q y So) y elegido n, encontrar L usando la ecuación. (17). 3) El uso de la ecuación de diseño óptimo adecuado para un caso particular, la optimización (Superficie mínima, movimiento de tierras costo mínimo, o sección de un costo mínimo alineados) los resultados en la pendiente del canal lateral óptima. 4) Uso de la pendiente lateral óptima, los parámetros restantes geométricos en forma adimensional puede obtenerse con la ayuda de las ecuaciones. (20b) y (21b) - (21d) o utilizando la figura. 2. Si no hay atado en la dimensión del canal o de la velocidad, a continuación, omita los pasos 5-7. 5) Uso de L y límites dados en la "dimensión del canal" o de la velocidad, buscar el parámetro adimensional correspondiente. Comparar este parámetro adimensional con el correspondiente parámetro óptimo dimensional según lo determinado en el paso 4. Si se convierte en un parámetro obligatorio, entonces debe ser adoptado como un parámetro óptimo. 6) Utilizando el parámetro adoptado óptimo, determine z en las ecuaciones. (32) – (35) dependiendo del caso de enlace. Alternativamente, lee el valor de z correspondiente al enlace de parámetros de la figura. 2.
7) Una vez que la pendiente lateral se fija basado en el caso de unión apropiado; los parámetros restantes geométricos en forma adimensional puede obtenerse con la ayuda de las ecuaciones. (20b) y 21b – (21d) o con la adición de la figura. 2. 8) El uso de L y los parámetros adimensionales da los parámetros correspondientes para el canal parabólico óptimo. 9) Para la sección diseñada, el promedio de velocidad de flujo V puede obtenerse a través de la ecuación. (2), Es decir, V = Q / A, o con la ayuda de la figura. 2 o la ecuación. (21d). Esta velocidad debe ser mayor que la velocidad de sedimentación no pero menor que la velocidad límite VL. 10) Si V es mayor que VL, rediseñar la sección con la pendiente del lecho revisada o rugosidad de la superficie. 11) Encuentre el costo mínimo de la sección óptima utilizando la ecuación apropiada coste óptimo [Por ejemplo, las ecuaciones. (30c) o (31c)] para el caso que nos ocupa. Alternativamente, el coste de la sección puede obtenerse a partir de la ecuación función de coste. (25) una vez que las dimensiones de la sección se decidió.
EJEMPLO DE APLICACIÓN EJEMPLO 1 Diseñar un canal óptimo parabólica para llevar a una descarga de 50 m3 /s en una pendiente longitudinal de la cama 0,001.
Solución Suponiendo que un flotador terminado el revestimiento de hormigón, rugosidad de Manning coeficiente de 0.015 (Chow 1973). De la ecuación. 17, L = 50*(0,015 /(0.001) ^2) ^ 3.8=3,2783 m. Uso de las ecuaciones. 15 y 22. z *=0,514, y *=1,08055, P *= 3,24003, T * =2,22161, A *= 1,60036 y V *=0,62486; por lo tanto, y *=1,08055* 3,2783= 3,5424 m, P *= 3,24003*3,2783=10,6218 m, t *=2,22161? 3,2783? 7,2831 m, A *=1,60036*(3,2783)^2=17,1995 m2, y V *= 2,9071 m / s. Alternativamente, V=Q/A=50/21.3411= 2,9071 m / s, que es menor que la velocidad límite para un revestimiento de hormigón (4,0 m / s). Para el perímetro aproximado, los parámetros correspondientes son z *= 0,707, y *= 3,0736 m, P *=11,5903 m, t *=8,6921 m, A * = 17.8105 m2, y V *=2,8073 m / s< 4,0 m / s.
DISCUSIÓN El francobordo requerido puede ser proporcional sobre la sección óptima o la sección óptima puede estar diseñada para un aumento del caudal, dejando un margen para el francobordo, pero dicha sección se desvía de la sección de menor costo. Sin embargo, incluso un francobordo dependiente de la profundidad en la formulación del problema óptimo, el presente método se puede ampliar para el diseño de una sección del canal óptimo considerando francobordo. Por otra parte, las velocidades permitidas no son tomadas como restricciones en el esquema de optimización. El canal de contorno empinado y suave puede dar lugar a altas velocidades medias. La velocidad media en la sección de diseño debe ser revisado con las velocidades permitidas. Si es mayor que la velocidad límite, entonces es necesario utilizar una ruta del canal con una pendiente del lecho menor, adoptar un plano pendiente del lecho con gotas, la construcción de dos canales más pequeños, seleccionar un material de revestimiento superior, que tiene una velocidad mayor limitante, o utilizar un material de revestimiento con una rugosidad más grande. Estas opciones resultan en un valor mayor para la escala de longitud y por lo tanto, menor velocidad. Loganathan es (1991) resultados de la tabla son cómodos de usar.
CONCLUSIONES
Las ecuaciones presentadas son convenientes para use en el diseño óptimo de un canal parabólico, ya que como resultado de las dimensiones del canal en los cálculos de un solo paso. Utilizando el método de Lagrange del método de los multiplicadores indeterminados, se puede hacer el diseño óptimo de la sección de canal parabólico. Ecuaciones presentadas son simples y en forma algebraica explícita, que son convenientes para usar en el diseño óptimo de un canal parabólico. El método resulta en las dimensiones del canal en cálculos solo paso.
REFERENCIAS Babaeyan-Koopaei, K. _2001_. “Dimensionless curves for normal depth calculations in canal sections.” J. Irrig. Drain. Eng., 127_6_, 386 –389. Babaeyan-Koopaei, K., Valentine, E. M., and Swailes, D. C. _2000_. “Optimal design of parabolicbottomed triangle canals.” J. Irrig. Drain. Eng., 126_6_, 408 –411. Bazaraa, M. S., and Shetty, C. M. _1979_. Nonlinear programming: Theory and algorithms, Wiley, New York. Bureau of Indian Standards. _1982_. “Criteria for design of lined canal sand guidelines for selection of type of lining.” IS: 10430 , Bureau of Indian Standards, New Delhi, India.
