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2 - CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES 2.1 - INTRODUÇÃO O traçado em planta de uma estrada deve ser composto de trechos retos concordados com curvas circulares e de transição. • Curvas horizontais: usadas para desviar a estrada de obstáculos que não possam ser vencidos economicamente •
Quantidade de curvas: depende da topografia da região, das características geológicas e geotécnicas dos terrenos atravessados e problemas de desapropriação.
Para escolha do raio da curva existem dois fatores que limitam os mínimos valores dos raios a serem adotados: • estabilidade dos veículos que percorrem a curva com grande velocidade •
mínimas condições de visibilidade
PI T
PONTOS NOTÁVEIS DAS CURVAS HORIZONTAIS
AC
D
Estaca do PC = estaca do PI – T circular
PC tangente
20 m
Rc
G
PT
Estaca do PT = estaca do PC + D
tangente
AC o onde: PI = ponto de interseção das tangentes = ponto de inflexão AC = ângulo central das tangentes = ângulo central da curva T = tangente da curva D = desenvolvimento da curva = comprimento do arco entre PC e PT 2.2 - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS CURVAS HORIZONTAIS •
Grau da Curva (G): ângulo com vértice no ponto o que corresponde a um D de 20 m (uma estaca).
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G= •
20x360 1146 = , Rc para G em graus e Rc em metros 2π R c
Tangente da Curva T = Rc .tg AC , para T em metros e AC em graus 2
•
Desenvolvimento (D) da curva circular: comprimento do arco de círculo compreendido entre os pontos PC e PT. D = 20.AC , para AC e G em graus e D em metros G ou
D = π.Rc.AC , para AC em graus e D em metros 180o ou D = AC.Rc para R c e D em metros e AC em radianos 2.3 - ESTABILIDADE DE VEÍCULOS EM CURVAS HORIZONTAIS SUPERELEVADAS Y
[Fc = (m . V2) / R c] N
[Fa = N . f t] Fc
R
o
[P = m . g]
Fa X P
superelevação = e = tg [R c = V2 / 127 (e + f t)]
Equilíbrio em X: [Fa = Fc . cos ] = P . sen + f t (P. cos
+ Fc. sen )]
[R c = V2 / g (e + f t)]
SUPERELEVAÇÃO (e) de uma curva circular é o valor da inclinação transversal da pista em relação ao plano horizontal, ou seja, e = tang , onde do pavimento. •
Fc = (m . V2) / Rc
•
Fa = N . f t (onde f t = coeficiente de atrito transversal)
•
N = P cos α + Fc sen α
•
P=m.g
Equilíbrio em X: Fa = Fc cos α = P sen α+ f t .N Fc cos α= P sen α + f t (P cos α + Fc sen α)
= ângulo de inclinação transversal
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mV2 mV2 = m.g. tg α + f t .tg α + m.g Rc Rc mV2 = Rc.m.g.tg α + f t.m.V2.tg α + f t.m.g.Rc mV2 - f t .m.V2.tg α = Rc.m.g (tg α + f t) mV2 (1 - f t .tg α) = Rc.m.g (tg α + f t)
Rc =
V2. (1 - f t .tg α) g (tg α + f t)
No caso normal da estrada, os valores e=tg α e f t são pequenos e considera-se f t.tg α=0. V2 (1-0) Rc = g (e + f t) V2 Rc = g (e + f t)
Adotando-se g = 9,8 m/s 2 V2 Rc = 9,8 x 3,62 (e + f t) V2 Rc = 127 (e + f t)
onde: Rc = raio da curva em metros V = velocidade de percurso em km/h e = superelevação f t = coeficiente de atrito transversal pneu-pavimento 2.3.1 - VALORES MÁXIMOS DA SUPERELEVAÇÃO (e) Superelevação excessivamente alta: deslizamento do veículo para o interior da curva ou mesmo tombamento de veículos que percorram a curva com velocidades muito baixas ou parem sobre a curva por qualquer motivo. Os valores máximos adotados para a superelevação no projeto de curvas horizontais (AASHTO, 1994) são determinados em função dos seguintes fatores: • condições climáticas (chuvas, gelo ou neve) •
condições topográficas do local
•
tipo de área: rural ou urbana
•
freqüência de tráfego lento no trecho considerado
Estradas rurais: valor máximo de 12% Vias urbanas: valor máximo de 8% O DNER (1975) recomenda o uso de e máx = 10%.
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2.3.2 - VALORES MÁXIMOS DO COEFICIENTE DE ATRITO TRANSVERSAL (f t) O máximo valor do coeficiente de atrito transversal é o valor do atrito desenvolvido entre o pneu do veículo e a superfície do pavimento na iminência do escorregamento sempre que o veículo percorre uma curva horizontal circular. Para este veículo, a relação entre a superelevação, coeficiente de atrito e raio é feita com base na análise da estabilidade do veículo na iminência do escorregamento. É usual adotar para o coeficiente de atrito transversal máximo valores bem menores do que os obtidos na iminência do escorregamento, isto é, valores já corrigidos com um coeficiente de segurança. Determinar o f t correspondente à velocidade de segurança das curvas, isto é, a menor velocidade com a qual a força centrífuga criada com o movimento do veículo na curva cause ao motorista ou passageiro a sensação de escorregamento. [f t máx (AASHTO) = 0,19 - V/1600] Valores máximos de coeficiente de atrito transversal, f t máx Velocidade (km/h)
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0,20 0,18 0,16 0,15 0,15 0,14 0,13 0,13 0,12 0,11
f t máx
Fonte: DNER, 1975
2.4 - RAIO MÍNIMO DAS CURVAS CIRCULARES (R cmín) As curvas circulares devem atender as seguintes condições mínimas: •
garantir a estabilidade dos veículos que percorram a curva na velocidade diretriz;
•
garantir condições mínimas de visibilidade em toda a curva.
R AIO MÍNIMO EM FUNÇÃO DA ESTABILIDADE •
relação entre o raio da curva e a superelevação de um veículo que trafega por uma curva circular de raio Rc: V2 Rc = 127 (e + f t)
Na iminência do escorregamento, o menor raio adotando-se para a superelevação e o coeficiente de atrito lateral seus valores máximos admitidos: Rcmín =
V2 127 (emáx + f tmáx)
onde: Rcmín = raio mínimo V = velocidade diretriz emáx = máximo valor da superelevação f tmáx = máximo valor do coeficiente de atrito lateral
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2.5 - CONDIÇÕES MÍNIMAS DE VISIBILIDADE NAS CURVAS HORIZONTAIS Todas as curvas horizontais de um traçado devem necessariamente assegurar a visibilidade a uma distância (Figura 2.1) não inferior à distância de frenagem (D f ). Distância de frenagem (Df ) é a mínima distância necessária para que um veículo que percorra a estrada na velocidade de projeto possa parar, com segurança, antes de atingir um obstáculo na sua trajetória. Df = 0,69V + 0,0039
V2 f ± i
onde: Df = Distância de frenagem em metros V = velocidade de projeto em km/h f t = coeficiente de atrito longitudinal pneu x pavimento i = inclinação longitudinal do trecho (rampa) A M
B
R c
C
Pista Talude
A
Arco BC > D f M > R c [1 - cos(Df / 2 R c)] M 0,75 m
Seção Transversal AA
Figura 2.1: Condições mínimas de visiblidade em curvas 2.6 – LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES POR DEFLEXÃO
Figura 2.2: Deflexões e cordas
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2.6.1 – DEFLEXÃO SUCESSIVA É o ângulo que a visada a cada estaca forma com a tangente ou com a visada da estaca anterior. A primeira deflexão sucessiva ( d 1 ou
ds1)
é obtida pelo produto da deflexão por
metro (dm) pela distância entre o PC e a primeira estaca inteira dentro da curva (20 – a), de acordo com a seguinte expressão: ds1
= (20 – a) .
G 2c
A última deflexão sucessiva (dsPT
= d PT)
é calculada multiplicando-se a deflexão por metro
pela distância entre o PT e a última estaca inteira dentro da curva: G dsPT = b . 2c As demais deflexões são calculadas pela seguinte expressão: G ds = d = 2
Figura 2.3: Locação de curva circular simples 2.6.2 – DEFLEXÕES ACUMULADAS G da1 = ds1 = (20 – a) . 2c G G + 2c 2
da2 = ds1
+ ds2 = (20 – a) .
da3 = ds1
+ ds2 + ds3 = (20 – a) .
G G G + + 2c 2 2
M dan-1 = ds1
dan = daPT
+ ds2 +...+ dsn-1 = (20 – a).
= (20 – a) .
G G G G + +...+ = (20 – a) . 2c 2 2 2c
G G G + (n – 2) . +b. 2c 2 2c
+ (n – 2) . G 2
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Tabela de Locação de curvas circulares simples ESTACAS PC = x + a 1 2 3
DEFLEXÕES SUCESSIVAS 0o
DEFLEXÕES ACUMULADAS 0o
ds1
da1
ds2
da2
ds3
da3
M
M
M
PT = y + b
dsPT
daPT
= AC/2
2.7 - EXEMPLO Numa curva horizontal circular simples temos: estaca do PI = 180 + 4,12 m, AC = 45,5 o e Rc = 171,98 m. Determinar os elementos T, D, G 20, d, dm e as estacas do PC e do PT. Construir a tabela de locação da curva.
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EXERCÍCIOS SOBRE CURVAS HORIZONTAIS 1)
Calcular o menor raio que pode ser usado com segurança em uma curva horizontal de rodovia, com velocidade de projeto igual a 60 km/h, em imediações de cidade.
2)
Calcular a superelevação, pelo método da AASHTO, no trecho circular das seguintes curvas, sendo Vp = 100 km/h e emáx = 10%. R 2 = 345,00 m R 1 = 521,00 m
3)
R 3 = 1.348,24 m
Para a curva 1 do exercício anterior, calcular: a) o coeficiente de atrito que efetivamente está sendo "utilizado"; b) a superelevação e o coeficiente de atrito quando da operação na condição de maior conforto.
4)
Em uma curva circular são conhecidos os seguintes elementos: PI = 148 + 5,60 m, AC = 22° e R = 600,00 m. Calcular a tangente, o desenvolvimento, o grau e as estacas do PC e PT, sendo uma estaca igual a 20 metros.
PI
PC
AC PT
5)
Calcular a tabela de locação para a curva do exercício anterior.
6)
Em um trecho de rodovia tem-se duas curvas circulares simples. A primeira começando na estaca (10 + 0,00 m) e terminando na estaca (20 + 9,43 m), com 300,00m de raio, e a segunda começando na estaca (35 + 14,61 m) e terminando na estaca (75 + 0,00 m), com 1.500 m de raio. Desejando-se aumentar o raio da primeira curva para 600,00 m, sem alterar a extensão total do trecho, qual deve ser o raio da segunda curva?
7)
No traçado abaixo, sendo as curvas circulares, calcular a extensão do trecho, as estacas dos PI’s e a estaca final do traçado.
21
2.141,25 m
1.080,00 m
R 2 = 1.600,00 m
o
46
R 1 = 1.200,00 m 30o est. Zero
8)
1.809,10 m
Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme esquema abaixo, considerando R 1 = R 2: a) qual o maior raio possível? b) qual o maior raio que se consegue usar, deixando um trecho reto de 80 metros entre as curvas? 720,00 m AC1 = 40o AC2 = 28o
9)
Deseja-se projetar um ramo de cruzamento com duas curvas circulares reversas, conforme figura abaixo. A estaca zero do ramo coincide com a estaca 820 e o PT 2 coincide com a estaca (837 + 1,42 m) da estrada tronco. Calcular os valores de R 1, R 2, PI2 e PT2. Estrada Tronco
Estaca 820
Estaca 837 + 1,42 m
AC1 = 45o
PT2
R 1
PC1 = 0+0,00 m
PT1 = PC2
R 2
AC2 = 135o
10) A figura abaixo mostra a planta de um traçado com duas curvas circulares. Calcular as
estacas dos pontos notáveis das curvas (PC, PI e PT) e a estaca inicial do traçado, sabendo que a estaca do ponto F é 540 + 15,00 metros.
22
2200,00 m 1000,00 m
PI1 AC1 = 40o
F
R 2 = 1500,00 m R 1 = 1100,00 m A
PI2
AC2 = 35o 1800,00 m
