������������ 6 �������� ������������������������� Unidad 1........................página 02 Unidad 2........................página 10 Unidad 3........................página 16 Unidad 4........................página 24 Unidad 5........................página 32
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1
Números naturales. Operaciones
Números de hasta nueve cifras 1 Completa estas frases. • Una
centena de millar
• Con
10
• En una
tiene 10 decenas de millar.
decenas se forma una centena.
centena
de millón hay diez decenas de millón.
1
• Hacen falta 10 centenas de millar para
unidad de millón.
2 Completa. En letras
En cifras
83.208.000
Ochenta y tres millones doscientos ocho mil
Quinientos siete millones treinta y cinco mil veintiuno
507.035.021
Seis millones ciento setenta mil cuatrocientos cincuenta
6.170.450
200.640.170
Doscientos millones seiscientos cuarenta mil ciento setenta
3 Completa la descomposición de estos números. • 348.187.449 5 3 1
8
DM 1
7
C. de millón 1 UM 1
4
C1
4 4
D. de millón 1 D1
9
8
U. de millón 1
1
CM 1
U
• 609.303.032 5
6 C. de millón 1 9 U. de millón 1 3 CM 1 3 UM 1 3 D 1 2 U
• 825.690.477 5
8 C. de millón 1 2 D. de millón 1 5 U. de millón 1 6 CM 1 1 9 DM 1 4 C 1 7 D 1 7 U
4 ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones? Escríbelos. 1 C. de millón 1 3 D. de millón 1 2 CM 1 1 6 DM 1 6 UM 1 8 C 1 5 D 1 5 U
130.266.855
C. de millón 1 9 D. de millón 1 2 U. de millón 1 4 1 1 CM 1 7 DM 1 1 UM 1 2 C 1 9 D 1 4 U
492.171.294
7 C. de millón 1 9 D. de millón 1 5 CM 1 1 9 DM 1 8 U
790.590.008
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5 Escribe los siguientes números.
517.024.453 y 517.024.457
• El número impar anterior y el posterior a 517.024.455
5.216.598
• El número par anterior y el posterior a 5.216.600
y
5.216.602
165.603.459 y 165.603.461
• Los dos números impares siguientes a 165.603.458
200.999.996 y 200.999.998
• Los dos números pares anteriores a 201.000.000 6 Compara los números y escribe el signo adecuado. 802.356.654 < 802.359.654
5.128.773 < 8.045.524
74.301.160 > 74.265.021
332.539.942 < 565.008.982
404.262.668 > 404.262.658
11.616.048 > 9.887.074
20.339.407 < 20.340.008
605.562.280 > 602.999.879
7 Escribe los siguientes números. Respuesta modelo (R. M.) • Un número que tenga 9 cifras y ninguna repetida
R. M. 123.456.789 R. M. 22.779.900
• Un número de 8 cifras en el que solo aparezcan 4 cifras diferentes • El mayor número par de 7 cifras que tenga 8 decenas de millar
9.989.998
8 Lee y contesta. Escribe los números con letras.
Cantidad de botellas de refresco vendidas en un país el año pasado: Refresco de limón ������������������ 196.000.000 Refresco de cola ���������������������� 784.000.000 Refresco de naranja ���������������� 496.000.000
• ¿Qué refresco fue el más vendido? ¿Cuántos se vendieron?
Cola F Setecientos ochenta y cuatro millones. • ¿De qué refresco se vendieron menos de 200 millones? ¿Cuántos se vendieron?
Limón F Ciento noventa y seis millones.
9 RAZONAMIENTO. Lee las pistas, coloca las cifras que faltan y adivina el número de nueve cifras. • No hay cifras repetidas. • La suma de la cifra de las CM y la de las DM es igual que la cifra de las U. • Es mayor que 389 millones y medio.
C. de millón
D. de millón
U. de millón
CM
DM
UM
C
D
U
3
8
9
6
1
4
5
2
7
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Operaciones combinadas 1 Coloca las cartelas en el orden adecuado para completar la secuencia correcta. •
8 1 3 3 (15 2 9) 8 1 3 3 (15 2 9)
•
5
17 2 6 3 (13 2 11) 17 2 6 3 (13 2 11)
•
81336
17 2 6 3 2
21 2 9 1 4 3 2 21 2 9 1 4 3 2
• (2 3 7 1 3) 3 2 2 8 (2 3 7 1 3) 3 2 2 8
8 1 18
5
17 2 12
5
21 2 9 1 8
12 1 8
5
(14 1 3) 3 2 2 8 5
5
(14 1 3) 3 2 2 8
5
5
21 2 9 1 8
20
12 1 8 5
26
5
17 2 6 3 2
17 2 12 5
81336
8 1 18
26
20
5
26
34 2 8
5
17 3 2 2 8
17 3 2 2 8 5
34 2 8 5
26
2 Haz los cálculos necesarios y relaciona cada operación con su resultado. • 7 1 8 3 6 2 2
• 60
• (7 1 8) 3 6 1 2
• 39
• (7 1 8) 3 (6 2 2)
• 53
• 7 1 8 3 (6 2 2)
• 92
HAZ AQUÍ LAS OPERACIONES
3 Calcula. • 15 2 3 3 (2 1 3)
15 2 3 3 5 5 15 2 15 5 0 • 15 2 7 3 2 1 8
15 2 14 1 8 5 9 • 45 1 12 2 4 3 7
45 1 12 2 28 5 29 • (20 1 5) 3 3 2 15
25 3 3 2 15 5 75 2 15 5 60
• 40 1 12 2 18 2 9
52 2 18 2 9 5 34 2 9 5 25 • 16 1 4 3 (11 2 5)
16 1 4 3 6 5 16 1 24 5 40 • 18 1 2 3 13 2 12
18 1 26 2 12 5 44 2 12 5 32 • 50 2 (32 2 14) : 6
50 2 18 : 6 5 50 2 3 5 47
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1 4 Escribe en cada círculo el signo adecuado para conseguir que la igualdad sea cierta. • 25 2 5 3 3 5 10
25 2 15 5 10
• 36 2 6 3 2 5 24
36 2 12 5 24
• 8 3 (9 2 6) 5 24
8 3 (9 2 6) 5 8 3 3 5 24
25 2 15 5 10
• 16 1 8 : 2 5 20
16 1 8 : 2 5 16 1 4 5 20
• 5 3 (9 1 5) 5 70
5 3 (9 1 5) 5 5 3 14 5 70
Recuerda la jerarquía de las operaciones.
5 Escribe los paréntesis necesarios para conseguir que las igualdades sean ciertas. • 4 3 5 1 8 2 6 5 46
• 4 2 15 1 3 : 6 5 1
4 3 (5 1 8) 2 6 5 4 3 13 2 6 5 52 2 6 5 46 • 7 2 2 3 6 1 2 5 32
4 2 (15 1 3) : 6 5 4 2 18 : 6 5 4 2 3 5 1 • 5 3 6 1 8 : 10 5 7
(7 2 2) 3 6 1 2 5 5 3 6 1 2 5 30 1 2 5 32 • 8 1 20 : 14 2 4 5 10
5 3 (6 1 8) : 10 5 5 3 14 : 10 5 70 : 10 5 7 • 40 : 32 2 28 2 5 5 5
8 1 20 : (14 2 4) 5 8 1 20 : 10 5 8 1 2 5 10
40 : (32 2 28) 2 5 5 40 : 4 2 5 5 10 2 5 5 5
6 Lee y escribe una expresión que represente cada frase. Después, calcula el resultado. • Al triple de ocho le sumo trece
3 3 8 1 13 5 24 1 13 5 37
• A siete le sumo el doble de la diferencia de once y seis
7 1 2 3 (11 2 6) 5 7 1 2 3 5 5 17
• Al resultado de multiplicar cuatro por cinco le resto catorce • El resultado de la suma de seis y cuatro lo multiplico por tres
4 3 5 2 14 5 20 2 14 5 6 1 4) 3 3 5 10 3 3 5 30 (6
7 Resuelve el problema y escribe en una sola expresión todas las operaciones que has hecho. Alba se compró ayer 5 sobres de cromos y hoy ha comprado otros 4 sobres. En cada sobre hay 7 cromos. De todos los cromos comprados, 11 ya los tenía. ¿Cuántos cromos nuevos ha conseguido?
(5 1 4) 3 7 2 11 5 9 3 7 2 11 5 63 2 11 5 52
SOLUCIÓN Ha conseguido 52 cromos nuevos.
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Problemas de varias operaciones 1 Resuelve estos problemas. Paloma lleva en su furgoneta 35 paquetes de periódicos con 74 periódicos cada uno. En el primer kiosco deja 3 paquetes y en el segundo, 2 paquetes y 52 ejemplares sueltos. ¿Cuántos periódicos le quedan?
35 3 74 5 2.590 (3 1 2) 3 74 1 52 5 5 5 3 74 1 52 5 422 2.590 2 422 5 2.168 SOLUCIÓN Le quedan 2.168 periódicos.
Juan y Carlos compran 6 paquetes de galletas de 2 € cada uno y 4 bolsas de naranjas de 3 € cada una. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno, si lo van a pagar entre los dos a partes iguales?
6 3 2 1 4 3 3 12 1 12 24 5 5 5 12 2 2 2
SOLUCIÓN Cada uno paga 12 �.
2 Lee cada problema y relaciónalo con las operaciones que lo resuelven. Después, calcula la solución de cada uno. Jesús tiene 5 hojas para pegar fotos y se compra 3 paquetes de 12 hojas. Luego, su tía le da la mitad de las 54 hojas que tiene ella. ¿Cuántas hojas de fotos tiene Jesús en total?
(5 1 3 1 54) 3 12 2 2
62 3 12 2 2 744 2 2 742
SOLUCIÓN En total tiene 68 hojas. Jesús recoge los huevos que ponen sus gallinas. Por la mañana, llena 5 hueveras de 12 huevos y luego otras 3. Por la tarde, recoge la mitad de los 54 huevos puestos por sus gallinas. ¿Cuántos huevos ha recogido en total?
(5 1 3) 3 12 1 54 : 2
8 3 12 1 27 96 1 27 123
SOLUCIÓN Ha recogido 123 huevos. Jesús hace cajitas de cartón en las que caben 12 caramelos. Ayer hizo 5 cajas y hoy ha hecho 3, juntándolas todas con las 54 que ya tenía hechas. Cuando empieza a rellenar las cajitas, comprueba que le faltan 2 caramelos para completarlas. ¿Cuántos caramelos tiene?
5 1 3 3 12 1 54 : 2
5 1 36 1 27 41 1 27 68
SOLUCIÓN Tiene 742 caramelos.
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Resuelve estos problemas y escribe todas las operaciones que hayas hecho en cada uno con una sola expresión. • Manuel compra 6 kilos de mandarinas a 2 € el kilo, 6 3 2 1 3 3 4 5 24 3 kilos de tomates a 4 € cada uno y 5 kilos de patatas. 50 2 16 5 34 34 2 24 5 10 Para pagar su compra entrega un billete de 50 € 10 : 5 5 2 y le devuelven 16 €. ¿Cuánto costaba cada kilo de patatas? SOLUCIÓN
Cada kilo de patatas costaba 2 €.
• En un camión hay 26 cajas con 5 bolsas y en cada bolsa hay 12 camisetas deportivas. En un almacén, el camionero deja 4 cajas y coge otras 11 bolsas de 15 camisetas cada una. ¿Cuántas camisetas lleva ahora el camión?
SOLUCIÓN
26 3 5 3 12 5 1.560 1.560 2 (4 3 5 3 12) 1 11 3 15 5 5 1.560 2 240 1 165 5 1.485
El camión lleva 1.485 camisetas.
• Un comerciante tenía un objeto cuyo precio era 12 €. Lo subió 4 €. A los dos días lo rebajó 2 € y al tercer día lo volvió a subir. ¿De cuánto fue la última subida, si al final el objeto costaba 20 €? SOLUCIÓN
4
12 1 4 2 2 5 14 20 2 14 5 6
La última subida fue de 6 €.
Observa en la tabla el número de visitantes al museo esta semana y resuelve. DÍA
L
M
X
VISITANTES
Cerrado
215
108
J
V
S
D
224
380
254
El guía recibe una gratificación de 10 € por cada grupo de 36 visitantes. Esta semana recibió 350 € de gratificación. ¿Cuántos visitantes hubo el jueves?
215 1 108 1 224 1 380 1 254 5 1.181 (350 : 10) 3 36 5 1.260 1.260 2 1.181 5 79 SOLUCIÓN
5
El jueves hubo 79 visitantes.
RAZONAMIENTO. ¿Cuántas personas fueron atendidas en el hospital de Aldeaverde el mes pasado? Lee y contesta. 1.ª semana: 236 personas. 2.ª semana: 154 más que la 1.ª. 3.ª semana: 71 más que la 2.ª. 4.ª semana: 180 menos que la 3.ª.
236 1 (236 1 154) 1 (236 1 154 1 71) 1 1 (236 1 154 1 71 2 180) 5 1.368 Fueron atendidas 1.368 personas.
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1 Lee y calcula. A una reunión cultural acuden representantes de cinco países europeos: Bulgaria, Croacia, Dinamarca, Finlandia y Grecia. • Escribe con cifras el número de habitantes de los cinco países. Sofía
Once millones trescientos cuarenta mil
11.340.000
Siete millones setecientos cincuenta mil
7.750.000
Cinco millones cuatrocientos sesenta mil
5.460.000
Cinco millones ciento ochenta mil
5.180.000
Cuatro millones ochocientos mil
4.800.000
Zagreb
• Lee las pistas y escribe el número de habitantes de cada país. Copenhague
Croacia es el país menos poblado. Croacia tiene
4.800.000
habitantes.
Finlandia tiene 380.000 habitantes más que Croacia. Finlandia tiene
5.180.000
habitantes.
Grecia tiene 6.160.000 habitantes más que Finlandia. Grecia tiene 11.340.000 habitantes. Bulgaria tiene 3.590.000 habitantes menos que Grecia. Bulgaria tiene Helsinki
7.750.000
habitantes.
Dinamarca tiene 2.290.000 habitantes menos que Bulgaria. Dinamarca tiene
5.460.000
habitantes.
Atenas
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1 Repasa lo anterior 1 Averigua el resultado de cada operación. • 56.348 1 27.809
• 6.054 1 231.047 1 77.356
56348 1 27809 84157
237.101 1 77.356 314.457
• 63.342 2 5.927
• 8.529 2 37
63342 2 5927 57415
8529 2 37 8492
• 8.648 2 2.399 2 3.907
• 56.807 2 43.978 1 25.525
6.249 2 3.907
12.829 1 25.525
2.342
38.354
2 Coloca los números y calcula. 603 3 402
603 3 402 1206 2412 242406
17.345 3 580
17345 3 580 138760 86725 10060100
208.935 : 9
208935 28 19 13 45 0
36.184 : 12
36184 0018 64 04
9 23215
12 3015
3 Calcula el número que falta. 5 9.445
2 1.953 5 3.479
3 164 5 90.036
5 9.445 2 5.478
5 3.479 1 1.953
5 90.036 : 164
5 3.967
5 5.432
5 549
5.478 1
1 1.324 5 12.000
7.205 2
5 1.432
3 236 5 13.688
5 12.000 2 1.324
5 7.205 2 1.432
5 13.688 : 236
5 10.676
5 5.773
5 58
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2
Potencias y raíz cuadrada
Potencias 1 Completa la tabla. Lectura
Escritura
Base
Exponente
Producto
Resultado
3 elevado a 5
35
3
5
333333333
243
6 elevado a 3
63
6
3
63636
216
2 elevado a 6
26
2
6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
64
4
4
4
4343434
256
4 elevado a 4
4
2
11 al cuadrado
11
11
2
11 3 11
121
5 elevado a 3
53
5
3
53535
125
3
2
3
23232
8
2 al cubo
2
2 Expresa cada potencia como producto y calcula. • 64 5 6 3 6 3 6 3 6 5 1.296
• 82 5 8 3 8 5 64
12 3 12 5 144 • 122 5
• 73 5 7 3 7 3 7 5 343
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 128 • 27 5
• 152 5 15 3 15 5 225
9 3 9 3 9 3 9 5 6.561 • 94 5
• 203 5 20 3 20 3 20 5 8.000
3 Resuelve. • Una urbanización tiene 6 edificios. Cada edificio tiene 6 pisos y en cada piso hay 6 viviendas. ¿Cuántas viviendas tiene esta urbanización?
6 3 6 3 6 5 216 SOLUCIÓN Tiene 216 viviendas. • Una farmacia recibe un pedido de medicamentos. El pedido está formado por 7 cajas. Cada caja tiene 7 paquetes y en cada paquete hay 7 cajitas de sobres. Cada cajita tiene 7 sobres. ¿Cuántos sobres hay en el pedido?
7 3 7 3 7 3 7 5 2.401 SOLUCIÓN Hay 2.401 sobres.
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Potencias de base 10 1
2
3
4
Escribe el valor de cada potencia. • 107 5 10.000.000
• 105 5 100.000
• 1010 5 10.000.000.000
• 106 5 1.000.000
• 109 5 1.000.000.000
• 1012 5 1.000.000.000.000
• 1011 5 100.000.000.000
• 103 5 1.000
• 108 5 100.000.000
Escribe los siguientes números en forma de potencia de 10. • 10.000 5 104
• 1.000 5 103
• 1.000.000.000 5 109
• 100.000.000.000.000 5 1014
• 1.000.000 5 106
• 100.000 5 105
Relaciona las cartelas de las tres columnas. Diez elevado a ocho
107
10.000.000.000.000
Diez elevado a trece
104
10.000.000
Diez elevado a siete
108
10.000
Diez elevado a cuatro
1013
100.000.000
Expresa cada número utilizando potencias de base 10. • 370.000 5 37 3 10.000 5 37 3 104
• 500.000 5 5 3 100.000 5 5 3 105
• 7.000.000 5 7 3 1.000.000 5 7 3 106
• 243.000 5 243 3 1.000 5 243 3 103
• 680.000.000 5 68 3 10.000.000 5 68 3 107 • 18.000.000.000 5 18 3 1.000.000.000 5
5 18 3 109
5
RAZONAMIENTO. Calcula el valor de las potencias y contesta. 52 53 54 55 56
5 5 5 5 5
25 125 625
3.125 15.625
22 5 23 5 24 5 25 5 26 5
4 8 16
32 64
32 5 9 33 5 27 34 5 81 35 5 243 36 5 729
• ¿En qué cifra acaban todas las potencias del 5? En 5. • ¿En qué cifras acaban todas las potencias del 2? En 2, 4, 6 y 8. • ¿En qué cifras acaban todas las potencias del 3? En 1, 3, 7 y 9.
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Expresión polinómica de un número 1 Descompón cada número y escribe después su expresión polinómica. 785 5 700 1 80 1 5 5 7 3 102 1 8 3 10 1 5 927 5 900 1 20 1 7 5 9 3 102 1 2 3 10 1 7 2.436 5 2.000 1 400 1 30 1 6 5 2 3 103 1 4 3 102 1 3 3 10 1 6 5.300 5 5.000 1 300 5 5 3 103 1 3 3 102 95.023 5 90.000 1 5.000 1 20 1 3 5 9 3 104 1 5 3 103 1
1 2 3 10 1 3 246.600 5 200.000 1 40.000 1 6.000 1 600 5 2 3 105 1 4 3 104 1 6 3 103 1 6 3 102 69.320.000 5 60.000.000 1 9.000.000 1 300.000 1 20.000 5
5 6 3 107 1 9 3 106 1 3 3 105 1 2 3 104 2 Observa el ejemplo y escribe el número que corresponde a cada descomposición. • 8 3 106 1 3 3 105 1 7 3 103 1 3 3 102 1 7 3 10 1 1 5 5 8 3 1.000.000 1 3 3 100.000 1 7 3 1.000 1 3 3 100 1 7 3 10 1 1 5 5 8.000.000 1 300.000 1 7.000 1 300 1 70 1 1 5 8.307.371 • 6 3 104 1 4 3 103 1 2 3 102 1 1 3 10 1 9 5
5 60.000 1 4.000 1 200 1 10 1 9 5 64.219 • 3 3 105 1 8 3 104 1 4 3 103 1 2 3 10 1 5 5
5 300.000 1 80.000 1 4.000 1 20 1 5 5 384.025 • 2 3 107 1 9 3 106 1 8 3 104 1 4 3 102 1 3 3 10 1 6 5
5 20.000.000 1 9.000.000 1 80.000 1 400 1 30 1 6 5 29.080.436 • 4 3 106 1 5 3 105 1 5 3 104 1 2 3 10 1 9 5
5 4.000.000 1 500.000 1 50.000 1 20 1 9 5 4.550.029
3 Observa la descomposición y completa. • 6.13 8 .647 5 6 3 106 1 1 3 105 1 3 3 104 1 8 3 103 1 6 3 102 1 4 3 10 1 7
2 3 104 1 4 3 103 1 3 3 102 1 5 3 10 1 ... 6 • 7 24. 3 5 6 5 7 3 105 1 ... 2 3 105 1 6 3 104 1 ... 2 3 103 1 5 3 102 1 ... 8 3 10 1 9 • 2 6 2. 5 8 9 5 ...
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2 Raíz cuadrada 1 Completa. • Ï64 5
8 , porque 82 5 64
• Ï81 5 9 , porque 92 5 81
• Ï49 5
7 , porque 72 5 49
• Ï100 5 10 , porque 102 5 100
• Ï36 5
6 , porque 62 5 36
• Ï64 5
8 , porque 82 5 64
2 Multiplica y completa. 11 3 11 5 121
15 3 15 5 225
12 3 12 5 144
16 3 16 5 256
13 3 13 5 169
17 3 17 5 289
Ï121 5 11
Ï225 5 15
Ï144 5 12
Ï256 5 16
Ï169 5 13
Ï289 5 17
3 Completa y escribe entre qué dos números está cada raíz. • Ï20
42 , 20 , 52 4,
• Ï59
16 , 20 , 25
• Ï43
Ï20 , 5
72 < 59 < 82 F 49 < 59 < 64
6 < Ï43 < 7 • Ï62
7 < Ï59 < 8 • Ï70
82 < 70 < 92 F 64 < 70 < 81
62 < 43 < 72 F 36 < 43 < 49
72 < 62 < 82 F 49 < 62 < 64 7 < Ï62 < 8
• Ï96
8 < Ï70 < 9
92 < 96 < 102 F 81 < 96 < 100 9 < Ï96 < 10
4 Resuelve. Raúl ha plantado en su huerto 36 plantas de tomate formando un cuadrado. En cada lado ha puesto el mismo número de plantas. ¿Cuántas plantas ha puesto en cada lado?
Ï36 5 6
El conserje de un edificio de 100 viviendas prepara un cuadrado de casilleros para meter las cartas. En cada lado del cuadrado pone el mismo número de casilleros. ¿Cuántos casilleros hay en cada lado?
Ï100 5 10
SOLUCIÓN En cada lado ha puesto
6 plantas.
SOLUCIÓN En cada lado hay 10
casilleros.
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido
no pt u Ne
Ur a
ur Sa t
Distancia al Sol en km
no
no
r pi te Jú
M e Ve rcur n io La us M Tier ar ra te
1 Observa el dibujo y completa la tabla.
Expresión polinómica 7
6
9 3 105 1 1 3 104
Mercurio
57.910.000
Venus
108.200.000
1 3 108 1 8 3 106 1 2 3 105
La Tierra
148.500.000
1 3 108 1 4 3 107 1 8 3 106 1 5 3 105
Marte
227.940.000
2 3 108 1 2 3 107 1 7 3 106 1 9 3 105 1 4 3 104
Júpiter
778.330.000
7 3 108 1 7 3 107 1 8 3 106 1 3 3 105 1 3 3 104
Saturno
1.429.400.000
1 3 109 1 4 3 108 1 2 3 107 1 9 3 106 1 4 3 105
Urano
2.879.900.000
2 3 109 1 8 3 108 1 7 3 107 1 9 3 106 1 9 3 105
Neptuno
4.504.300.000
4 3 109 1 5 3 108 1 4 3 106 1 3 3 105
5 3 10 1 7 3 10 1
2 Calcula y contesta. Marte tiene dos lunas y Neptuno tiene un número de lunas que es igual al cubo de las que tiene Marte. ¿Cuántas lunas tiene Neptuno?
23 5 8 SOLUCIÓN: Neptuno tiene 8 lunas. Marte gira alrededor del Sol a una velocidad de 25 km por segundo. La velocidad a la que gira Neptuno es aproximadamente la raíz cuadrada de la de Marte. ¿A qué velocidad gira Neptuno?
Ï25 5 5
SOLUCIÓN: Neptuno gira a 5 km por segundo. La Tierra gira alrededor del Sol a una velocidad de 29,5 km por segundo. ¿Cuántos kilómetros recorre la Tierra en una hora?
29,5 3 60 3 60 5 1.770 3 60 5 106.200 SOLUCIÓN: En una hora la Tierra recorre 106.200 km.
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2 Repasa lo anterior 1 Escribe con cifras estos números y luego ordénalos de mayor a menor. 38.940.000
• Treinta y ocho millones novecientos cuarenta mil • Cien millones doscientos mil trescientos
100.200.300
• Treinta y ocho millones novecientos treinta y nueve mil dos
38.939.002 95.031.599
• Noventa y cinco millones treinta y un mil quinientos noventa y nueve 95.030.600
• Noventa y cinco millones treinta mil seiscientos
100.200.300 . 95.031.599 . 95.030.600 . 38.940.000 . 38.939.002 2 Completa estos grupos de números consecutivos. • 215.000.098 , 215.000.099 , 215.000.100 • 78.051.999 , 78.052.000 , 78.052.001 • 654.201.002 . 654.201.001 . 654.201.000 • 20.030.041 . 20.030.040 . 20.030.039 • 99.999.999 , 100.000.000 , 100.000.001 3 Escribe los siguientes números. • El número anterior a 520.000.000
519.999.999
• El menor número par anterior a 56.310.099
56.310.098
• El número posterior a setenta y tres mil doscientos doce • El primer número par posterior a 487.056.460
73.213
487.056.462
• Los números impares comprendidos entre 2.100.000 y 2.100.004
2.100.001 y
2.100.003 4 Calcula. • 8 3 (7 2 3) 5 8 3 4 5 32
• 3 1 10 : 5 5
31255
• (9 2 1) : 2 2 3 5 8 : 2 2 3 5 4 2 3 5 1
• 10 3 4 : 2 5
40 : 2 5 20
• (10 2 4) : (5 2 3) 5
6:253
• (4 2 1) 3 9 : 3 5 3 3 9 : 3 5 27 : 3 5 9
• 7 3 3 2 8 3 2 5 21 2 16 5 5 • 6 2 14 : 7 1 3 3 2 5 6 2 2 1 6 5
5 4 1 6 5 10
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3
Números enteros
Los números enteros 1 Coloca los siguientes números en su ficha correspondiente. Añade después otros tres números más de cada tipo. 18, 13, 25, 17, 26, 19, 112, 26, 21, 22, 12, 24, 23, 111
18 13 17 19 112 12 111
25 26 21 22 24 23
POSITIVOS
NEGATIVOS
2 Colorea los termómetros para que marquen la temperatura que se indica.
26 °C 1
2 °C 2
14
4 °C 3
14
0 °C 4
27 °C 5
22 °C 6
14
14
14
14
0
0
0
0
12 0
0
22 24
24
24
24
26
24
24
27
3 Indica en cada caso si la temperatura ha subido o bajado. • La temperatura era 111 °C y ahora es de 114 °C. La temperatura ha
subido.
• La temperatura era de 24 °C y ahora es de 21 °C. La temperatura ha
subido.
• La temperatura era de 13 °C y ahora es de 22 °C. La temperatura ha
bajado.
• La temperatura era de 23 °C y ahora es de 25 °C. La temperatura ha
bajado.
• La temperatura era de 28 ºC y ahora es de 26 ºC. La temperatura ha
subido.
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4 Mira la actividad 2 y completa las tablas. Dividendo
Temperatura inicial
Variación
Temperatura final
Termómetro 1
26
22
28
12
22
0
Termómetro 3
14
22
12
Termómetro 4
0
22
22
Termómetro 5
27
22
29
Termómetro 6
22
22
24
Dividendo
Temperatura inicial
Variación
Temperatura final
Termómetro 1
26
13
23
13
15
Termómetro 2
La temperatura bajó 2 °C.
Termómetro 2
La temperatura subió 3 °C.
12
Termómetro 3
14
13
17
Termómetro 4
0
13
13
Termómetro 5
27
13
24
Termómetro 6
22
13
11
5 Resuelve. • Un buceador se lanza desde 7 m de altura y desciende 12 m hasta llegar al fondo. ¿A qué profundidad está el fondo?
12 2 7 5 5 SOLUCIÓN El fondo está a 5 m de profundidad F 25. • Leire coge el ascensor en la planta 8 y baja hasta el tercer sótano a recoger el coche. ¿Cuántos pisos baja?
8 1 3 5 11 SOLUCIÓN Baja 11 pisos.
6 RAZONAMIENTO. Lee las pistas y averigua en qué piso vive cada niño. Carlos, Estela, Irene, Luis y Natalia están en un edificio de cinco pisos. Estela vive en el primer piso. Carlos vive en un piso debajo de Luis y uno por encima de Natalia. Si Luis baja tres pisos, llega al piso de Estela.
Natalia vive en el 2.º piso. Carlos vive en el 3.er piso. Luis vive en el 4.º piso. Irene vive en el 5.º piso.
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Comparación de números enteros 1 Escribe los números que faltan en la recta entera. Después, completa.
25 24 23 22 21 0 210 29 28 27 26
12 13 14 15 16 17 18 19 110 11
Los números positivos están a la
derecha
del 0.
Los números negativos están a la
izquierda
del 0.
2 Observa los puntos del mismo color y contesta.
0 25 24 23 22 21 210 29 28 27 26
• Los puntos rojos representan los números El número mayor de los dos es
15 16 17 18 19 110 11 12 13 14
28 y 13
13
• Los puntos amarillos representan los números El número mayor de los dos es
23 y 21
21
• Los puntos verdes representan los números 210 y
17
El número menor de los dos es 210 • Los puntos azules representan los números El número menor de los dos es
26 y 12
26
3 Completa con cinco números enteros consecutivos. 17
18
19
110
111
0
11
12
13
14
210
29
28
27
26
27
26
25
24
23
23
22
21
0
11
22
21
0
11
12
4 Observa la recta entera de la actividad 1 y completa. • 14 es mayor que 27 porque 14 está más a la derecha. • 28 es
menor
que 22 porque está más a la izquierda.
• 15 es
menor
que 111 porque está más a la izquierda.
• 23 es
menor
que 16 porque está más a la izquierda.
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3 5 Compara y escribe el signo que corresponda. 15 < 112
13 > 27 16 < 110 19 < 124 21 < 0 25 < 24
28 > 210 14 > 22 217 < 213 0 < 15
26 > 28 215 < 0 0 < 19 11 > 217 29 < 0
0 < 12 15 > 13 26 < 21 28 > 29 18 > 12
211 < 27 110 > 215 112 > 111 130 < 141 26 > 210
6 Observa los resultados de la actividad anterior y completa. • Dados un número positivo y un número negativo, siempre es mayor el número positivo. • Dados un número positivo y el cero, siempre es mayor el número positivo. • Dados un número negativo y el cero, siempre es mayor el cero. • Dados dos números negativos, siempre es mayor el que es el número menor sin signo.
7 Escribe. • Cuatro números mayores que 16
R. M. 17, 112, 118, 120 • Tres números mayores que 23 y menores que 15
R. M. 22, 21, 11
• Cuatro números menores que 22
R. M. 27, 25, 24, 23 • Tres números mayores que 27 y menores que 11
R. M. 25, 23, 0
8 Ordena estos dos grupos de números enteros.
De menor a mayor
De mayor a menor
230, 121, 224, 119, 27, 211
19, 26, 116, 218, 215, 113
230 ,224 ,211 , 27 ,119 ,121
116 . 113 . 19 . 26 . 215 . 218
9 Escribe los números enteros comprendidos entre 28 y 218.
217, 216, 215, 214, 213, 212, 211, 210, 29
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Coordenadas cartesianas 1 Escribe las coordenadas de cada punto. A
14 ,11 (.... ....)
E
22,24 (.... ....)
B
13,14 (.... ....)
F
25 ,22 (.... ....)
C
21, 13 (.... ....)
G
12,22 (.... ....)
D
24 ,15 (.... ....)
H
14,23 (.... ....)
D B C A 0 G
F
H E
2 Representa los siguientes puntos. A
(25, 14)
E
(0, 12)
B
(14, 21)
F
(26, 0)
C
(21, 24)
G
(23, 12)
(13, 13)
D
H
A ● ●D
G ● F ●
●E 0
(15, 23)
●B H●
C●
3 ¿Cómo son las coordenadas de cada punto? Piensa y completa cada casilla de la tabla con la palabra positiva o negativa. Dividendo
Punto del 1.er cuadrante
Punto del 2.º cuadrante
Punto del 3.er cuadrante
Punto del 4.º cuadrante
Primera coordenada
Positiva
Negativa
Negativa
Positiva
Segunda coordenada
Positiva
Positiva
Negativa
Negativa
4 Piensa y contesta. • Un punto está situado en el eje horizontal. ¿Qué valor tiene su segunda coordenada?
Su segunda coordenada es cero. • Un punto está situado en el eje vertical. ¿Qué valor tiene su primera coordenada?
Su primera coordenada es cero.
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3 5 Sigue las pistas y encuentra el tesoro del pirata. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra enterrado. N
• Empieza en el punto (21, 11). • Camina 3 hacia el sur.
●
Has llegado a (21, 22). • Camina 5 hacia el este.
●
Has llegado al(14, 22).
O
E
0
• Camina 6 hacia el norte.
●
Has llegado al(14, 14).
●
• Camina 6 al oeste y encontrarás el tesoro. El tesoro está en (22, 14).
S
6 Dibuja en estos ejes un cuadrado y un pentágono. Después, escribe las coordenadas de sus vértices.
R. M.
Vértices del cuadrado
B
A
(12, 13 ) (22, 13 ) (22, 21 ) (12, 21 )
C Vértices del pentágono
0
D
F
E
G
(14, 22 ) ( 0, 22 ) (25, 23 ) (23, 25 ) (12, 25 )
H
I
7 RAZONAMIENTO. Lee y dibuja. • El triángulo simétrico del triángulo rojo respecto del eje horizontal. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?
F
A (14, 21) E
D 0
B
B (11, 21)
C (15, 24)
• El triángulo simétrico del triángulo rojo respecto del eje vertical. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?
A
D (21, 11)
E (24, 11)
F (25, 14)
C
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1 Lee y contesta. Diana, Esteban, Lucía y Miguel están jugando a un juego de mesa y para ganar tienen que llegar a la casilla 18. Para ello tiran dos dados, uno de los cuales está marcado con signos 1 y 2 y el otro, con los números del 1 al 6. Si al lanzar los dados sale 2 y 5, tienen que retroceder 5 casillas y si sale 1 y 3, avanzan tres casillas.
• Observa en el dibujo dónde está cada ficha y averigua en qué casilla estará después de estos lanzamientos: • La ficha amarilla estará en la casilla 110
• La ficha azul estará en la casilla
112
• La ficha roja estará en la casilla
117
• La ficha verde estará en la casilla
18
• En un momento del juego, Diana está en la casilla 11. ¿Qué tendría que sacar Diana al tirar los dados para pasar a la 9? Diana tendría que sacar
22
• El ganador ha sido Miguel. Lucía estaba 8 casillas más atrás. Diana estaba dos casillas por delante de Lucía. Esteban, cuatro por detrás de Diana. ¿En qué casilla estaba cada jugador en el momento de ganar Miguel? Lucía
110
Diana
112
Esteban
18
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22
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3
Repasa lo anterior 1
Completa cada frase. • La potencia 73 se lee «siete elevado a tres». • La potencia 56 se lee
cinco elevado a seis
• La potencia «tres elevado a diez» se escribe
2
3
4
310
• La potencia «doce elevado a diez» se escribe
1210
• La potencia «diez elevado a cinco» se escribe
105
Expresa cada potencia como producto y calcula su resultado. • 73 5 7 3 7 3 7 5 343
• 54 5 5 3 5 3 5 3 5 5 625
• 42 5 4 3 4 5 16
• 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32
• 113 5 11 3 11 3 11 5 1.331
• 162 5 16 3 16 5 256
• 93 5 9 3 9 3 9 5 729
• 107 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000.000
• 85 5 8 3 8 3 8 3 8 3 8 5 32.768
• 64 5 6 3 6 3 6 3 6 5 1.296
Calcula las siguientes raíces cuadradas. •
Ï36 5 6
•
Ï64 5 8
•
Ï81 5 9
•
Ï100 5 10
•
Ï25 5 5
•
Ï49 5 7
•
Ï4 5 2
•
Ï16 5 4
•
Ï9 5 3
Calcula entre qué números está cada raíz. • La raíz cuadrada de 70 está entre 8 y 9, porque 82 , 70 , 92
5
8 , Ï70 , … 9 …
• La raíz cuadrada de 44 está entre
6 y 7, porque 62 < 44 < 72
6 ,Ï… 7 44, … …
• La raíz cuadrada de 77 está entre
8 y 9, porque 82 < 77 < 92
8 ,Ï...77, ... 9 ...
Calcula. • 9 3 3 2 12 : 2 1 10
27 2 6 1 10 5 21 1 10 5 31 • 5 1 3 3 2 2 10 : 5
5 1 6 2 2 5 11 2 2 5 9
• 7 2 2 : 2 1 15 : 3
7 2 1 1 5 5 6 1 5 5 11 • 12 1 4 3 3 2 5 2 8 : 2
12 1 12 2 5 2 4 5 24 2 5 2 4 5 19 2 4 5 15
23 137026 _ 0001-0040.indd 23
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4
Múltiplos y divisores
Múltiplos de un número 1 Completa esta tabla. Dividendo
30
31
32
33
34
Múltiplos de 4
43050
43154
43258
4 3 3 5 12
4 3 4 5 16
Múltiplos de 6
63050
63156
6 3 2 5 12
6 3 3 5 18
6 3 4 5 24
Múltiplos de 7
73050
73157
7 3 2 5 14
7 3 3 5 21
7 3 4 5 28
Múltiplos de 8
83050
83158
8 3 2 5 16
8 3 3 5 24
8 3 4 5 32
2 Escribe. • Tres múltiplos de 8 mayores que 35
R. M. 40, 48, 56
• Tres múltiplos de 6 menores que 48
R. M. 18, 24, 30
• Tres múltiplos de 10 mayores que 50 y menores que 100
R. M. 60, 70, 80
3 Observa el ejemplo y contesta. • ¿Es 72 múltiplo de 8? 072 00
8 9
72 es múltiplo de 8 porque la división 72 : 8 es exacta.
• ¿Es 81 múltiplo de 6?
81 21 3
6 13
F
81 no es múltiplo de 6 porque la división 81 : 6 no es exacta.
• ¿Es 136 múltiplo de 8?
136 56 0
8 17
F
136 es múltiplo de 8 porque la división 136 : 8 es exacta.
• ¿Es 357 múltiplo de 3?
357 05 27 4 Resuelve. 0
3 119
F
357 es múltiplo de 3 porque la división 357 : 3 es exacta.
Gonzalo compra los cartones de leche de un litro en cajas de 4. ¿Puede comprar 17 litros de leche? ¿Y 24 litros? ¿Por qué?
17 1
4 4
24 0
6 4
17 no es múltiplo de 4. 24 es múltiplo de 4.
SOLUCIÓN No puede comprar 17 litros de leche y sí puede comprar 24 litros.
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24
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Mínimo común múltiplo 1 Calcula.
m.c.m. (3 y 4)
m.c.m. (6 y 8)
Múltiplos de 3
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Múltiplos de 4
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Múltiplos comunes
12, 24, 36, …
m.c.m. (3 y 4) 5
12
Múltiplos de 6
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …
Múltiplos de 8
0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …
Múltiplos comunes
24, 48, 72, …
m.c.m. (6 y 8) 5
24
Múltiplos de 8 m.c.m. (8 y 12)
0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
Múltiplos de 12
0, 12, 24, 36, 48, …
Múltiplos comunes
24, 48, …
m.c.m. (8 y 12) 5
24
2 Resuelve. Ester va a clase de guitarra cada 4 días y Maru, cada 9 días. Hoy han coincidido las dos en clase. ¿Cuándo coincidirán otra vez por primera vez?
Un ordenador hace una copia de seguridad cada 3 horas y otro la hace cada 12 horas. Acaban de hacerla a la vez. ¿Dentro de cuántas horas volverán a coincidir por primera vez?
Múltiplos de 4 F 0, 4, 8, 12, 16, 20, … Múltiplos de 9 F 0, 9, 18, 27, 36, …
Múltiplos de 3 F 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, … Múltiplos de 12 F 0, 12, 24, 36, 48, …
m.c.m. (4 y 9) 5 36
m.c.m. (3 y 12) 5 12
SOLUCIÓN Dentro de 36 días.
SOLUCIÓN Coincidirán dentro de 12 horas.
3 RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. En clase han calculado que el m.c.m. (3 y 11) 5 33. Julián dice que el número 27 es múltiplo de 3 y de 11. ¿Por qué se equivoca Julián?
Se equivoca porque 27 sí es múltiplo de 3, pero no de 11.
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Divisores de un número. Criterios de divisibilidad 1 Observa el ejemplo. Después, haz las divisiones y completa. • 0 1 9 7 La división es entera. 05 2
7 no es divisor de 19.
• 0 1 8 3 exacta. La división es 00 6
3 es divisor de 18.
• 0 4 8
12 es divisor de 48.
12
La división es exacta.
19 no es múltiplo de 7.
18 es múltiplo de 3.
00
4
48 es múltiplo de 12.
• 1 0 8
9
9 es divisor de 108.
18 0
12
La división es exacta.
108 es múltiplo de 9.
• 1 2 3
8 no es divisor de 123.
43 3
8
15
La división no es exacta.
123 no es múltiplo de 8.
2 Aplica los criterios de divisibilidad y rodea. Los múltiplos de 2
375
Los múltiplos de 3
132 126
453 408
560
Los múltiplos de 5
861
450
990
678 705
990
3 Escribe. • Cuatro números mayores que 200 que sean múltiplos de 2
R. M. 210, 314, 452, 506
• Cuatro números menores que 100 que sean múltiplos de 3
R. M. 99, 84, 75, 60
• Cuatro números de tres cifras que sean múltiplos de 5
R. M. 120, 480, 525, 805
4 Piensa y contesta. Beatriz está pensando en un número de dos cifras. El número 2 y el 5 son divisores de este número. ¿En qué cifra termina el número en el que piensa Beatriz?
Si el número es divisible por 5, termina en 0 o en 5; como también es divisible por 2, termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Por tanto, el número en el que piensa Beatriz termina en 0.
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4 Cálculo de todos los divisores de un número 1 Piensa y contesta. • ¿Es 1 divisor de cualquier número? ¿Por qué? Sí, porque al dividir cualquier número entre 1 la división es exacta. • ¿Es 9 divisor de 9? Sí, porque la división 9 : 9 es exacta. • ¿Es 35 divisor de 35? Sí, porque la división 35 : 35 es exacta. • ¿Es todo número divisor de sí mismo? Sí, porque la división es exacta.
2 Calcula todos los divisores de cada número. De 6
Divisores de 6: 1, 2, 3 y 6
De 8
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8
De 10
Divisores de 10: 1, 2, 5 y 10
De 12
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12
3 Resuelve. • Pablo ha comprado bidones para envasar 24 litros de agua de forma que al envasarlos no le sobre nada. ¿Qué capacidad pueden tener los bidones que ha comprado?
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24 SOLUCIÓN Los bidones pueden ser de 1, 2, 3, 4, 6, 12 o 24 ¬. • En una tienda había un rollo de cuerda de 18 metros. La han partido en trozos iguales de forma que no les ha sobrado nada. ¿Cuántos metros puede medir cada trozo?
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18 SOLUCIÓN Cada trozo puede medir 1, 2, 3, 6, 9 o 18 m. • En una panadería han hecho 20 kilos de magdalenas. Las envasan en bolsas iguales sin que les haya sobrado nada. ¿Cuántos kilos han podido meter en cada bolsa?
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 SOLUCIÓN Han podido meter 1, 2, 4, 5, 10 o 20 kg.
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Máximo común divisor 1 Calcula. Divisores de 8
1, 2, 4 y 8
Divisores de 12 m.c.d. (8 y 12)
m.c.d. (15 y 18)
Divisores comunes
1, 2 y 4
m.c.d. (8 y 12) 5
4
Divisores de 15
1, 3, 5 y 15
Divisores de 18
1, 2, 3, 6 y 18
Divisores comunes m.c.d. (15 y 18) 5
m.c.d. (20 y 24)
1, 2, 3, 4, 6 y 12
1y3
3
Divisores de 20
1, 2, 4, 5, 10 y 20
Divisores de 24
1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24
Divisores comunes m.c.d. (20 y 24) 5
1, 2 y 4
4
2 Calcula. m.c.d. (36 y 10)
m.c.d. (12 y 19)
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12 Divisores de 19: 1 y 19 m.c.d. (12 y 19) 5 1
m.c.d. (8 y 24)
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 36 Divisores de 10: 1, 2, 5 y 10
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8 Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
m.c.d. (36 y 10) 5 2
m.c.d. (8 y 24) 5 8
3 Resuelve. Andrea quiere repartir 24 bombones y 18 caramelos en bolsas iguales que tengan el máximo de chucherías posible. No quiere que en una bolsa se mezclen caramelos y bombones; tampoco quiere que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántas chucherías meterá en cada bolsa? ¿Cuántas bolsas formará?
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24 Divisores de 18: 1, 2, 3, 6 y 18
6 m.c.d. (18 y 24) 5 6
SOLUCIÓN Meterá 6 chucherías en cada bolsa y formará
4 bolsas de bombones y 3 de caramelos.
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4 Números primos y compuestos 1 Calcula todos los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. 8
10
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8
Es
compuesto.
Divisores de 10: 1, 2, 5 y 10
Es
21
Divisores de 21: 1, 3, 7 y 21
Es
compuesto.
compuesto.
12
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12
Es
23
Divisores de 23: 1 y 23
Es
primo.
compuesto.
17
Divisores de 17: 1 y 17
Es
24
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24
Es
compuesto.
primo.
25
Divisores de 25: 1, 5 y 25
Es
compuesto.
2 Calcula y escribe. Los números primos comprendidos entre 30 y 40
Números primos: 31 y 37
Los números compuestos comprendidos entre 40 y 50
Números compuestos: 42, 44, 45, 46 y 48
3 RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. • ¿Cuál es el máximo común divisor de dos números primos? ¿Por qué?
El m.c.d. de dos números primos es igual a 1, porque los números primos solo tienen como divisores el propio número y la unidad.
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1 Completa la tabla y resuelve. En un almacén de refrescos reciben de lunes a sábado botellas de limón, de naranja y de cola. En la tabla aparece el número de bebidas recibidas durante la última semana.
Dividendo 8 botellas 10 botellas
12 botellas
Limón
Naranja
Cola
Lunes Cajas
23
Botellas
23 3 12 5 5 276
Cajas Botellas Cajas Botellas
• ¿Cuántas cajas con refresco de naranja recibieron el martes? ¿Y el viernes?
Martes F 200 : 10 5 20 cajas Viernes F 450 : 10 5 45 cajas SOLUCIÓN El martes 20 cajas y el
viernes 45.
Martes
20
Miércoles
Jueves
15
11
180
11 3 12 5 5 132
120 : 12 5 5 10
200 : 10 5 5 20
20 3 10 5 200 5 200 240 : 8 5 200 : 8 5 5 30 5 25
240
200
Viernes
Sábado
15
240 : 12 5 5 20
120
180
240
15
14
450 : 10 5 5 45
40
150
140
450
400
20
25
62
55
160
200
496
55 3 8 5 5 440
• ¿Cuántas cajas con cola recibieron los dos primeros días de la semana?
240 : 8 1 200 : 8 5 30 1 25 5 55 SOLUCIÓN Recibieron 55 cajas.
• ¿Se pueden colocar todas las botellas de limón, sin que sobre ninguna, en cajas grandes de 40 botellas? ¿Y de 36 botellas?
Limón: 276 1 180 1 132 1 120 1 180 1 240 5 1.128 1.128 : 36 G No exacta 1.128 : 40 G No exacta SOLUCIÓN No, porque 40 y 36 no son divisores de 1.128. • El pedido grande de botellas de limón llega cada 6 días; el de naranja, cada 8, y el de cola, cada 4. ¿Cada cuántos días llegan los tres a la vez?
Múlt. de 6 F 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... Múlt. de 8 F 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... m.c.m. (6, 8 y 4) 5 24 Múlt. de 4 F 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... SOLUCIÓN Cada 24 días coinciden los tres pedidos.
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4 Repasa lo anterior 1 Completa esta recta entera escribiendo los números que faltan. Después, indica qué puntos son los coloreados.
28 27 26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 210 29
26
0
23
14
2 Compara y escribe el signo adecuado. 18 > 23
28 < 11
28 > 213
15 > 0
26 < 117
11 < 19
112 > 14
0 < 13
115 > 219
23 < 12
11 > 218
14 > 0
0 > 225
214 < 11
165 > 257
3 Escribe los números que faltan sabiendo que son tres números enteros consecutivos. 15 , 16 , 17
22 . 23 . 24
0 , 11 , 12
212 ,211 ,210
22 , 21 , 0
11 . 0 . 21
18 . 17 . 16
23 . 24 . 25
4 Dibuja el triángulo cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas. A
(25, 13)
B
(21, 12)
C
(22, 0)
A
D E
B G
C
O
H
F
J • Traslada el triángulo 4 cuadraditos a la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo?
• Traslada el triángulo inicial 3 cuadraditos hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante?
D F (21, 13)
G F (25, 0)
E F (13, 12)
H F (21, 21)
F F (12, 0)
J F (22, 23)
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5
Ángulos
Unidades de medida de ángulos 1 Completa la siguiente tabla. Se lee
Se escribe
59 grados 34 minutos 51 segundos
59° 34' 51"
70 grados 18 minutos 47 segundos
70o 18' 47"
132 grados 20 minutos 46 segundos
132° 20' 46"
84 grados 16 segundos
84o 16"
30 minutos 15 segundos
30' 15"
2 Escribe entre qué valores en grados está la medida de cada ángulo. • 43° 11' 14" está entre 43° y 44° • 169° 37' 28" está • 61° 50' 14" está
• 94° 6' está
entre 169o y 170o
entre 102o y 103o
• 102° 23" está
entre 61o y 62o
entre 94o y 95o
• 40' 56" está
entre 40' y 41'
3 Completa estas igualdades, indicando por qué número multiplicas o divides. : 60 …
3 60
• 64° 5 3.840 '
• 3.900' 5
3… 60
65
º
• 36' 5 2.160 "
: 60 …
• 2.700" 5
45 '
4 Expresa en la unidad indicada. • 67° En minutos
67 3 60 5 5 4.020'
• 48° En segundos
48 3 60 3 60 5 5 172.800"
• 7° 46'
• 53° 53'
7 3 60 5 420 420 1 46 5 5 466'
53 3 60 5 3.180 3.180 1 53 5 5 3.233'
• 18' 53"
18 3 60 5 1.080 1.080 1 53 5 5 1.133"
• 87° 24' 40"
87 3 60 3 60 5 313.200 24 3 60 5 1.440 313.200 1 1.440 1 40 5 5 314.680"
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10:58:16
5 Expresa las siguientes medidas en las unidades indicadas. Grados y minutos
Minutos y segundos
• 516'
Grados, minutos y segundos
• 1.773"
516 36
60 8
1773 573 33
• 5.408"
60 29
5408 008
1.773" 5 29' 33"
516' 5 8o 36' • 2.351'
2113 313 13
60 39
2.351' 5 39o 11'
60 1
5.408" 5 1o 30' 8"
• 2.113"
2351 551 11
60 90 30
• 96.539"
96539 365 0539 59
60 35
2.113" 5 35' 13"
60 1608 408 48
60 26
96.539" 5 26o 48' 59"
6 Resuelve. Un caracol tarda 78 minutos en recorrer el sendero de un jardín. ¿Cuántas horas y minutos tarda en el paseo?
78 18
60 1
En la prueba de lanzamiento, la jabalina tiene que caer dentro de un ángulo de 108.000". ¿Cuántos grados mide la zona de caída de la jabalina?
108000 480 0000
SOLUCIÓN Tarda 1 h y 18 min.
60 1800 000
60 30
SOLUCIÓN Mide 30 grados.
7 RAZONAMIENTO. ¿Cuál de estos ángulos es mayor? Calcula y rodéalo. 20.217"
Pasamos los tres a segundos.
1.168'
1168 3 60 70080"
El ángulo mayor es 1.168'.
19º 25' 36"
19 3 60 3 60 5 5 68.400 25 3 60 5 1.500 68.400 1 1.500 1 36 5 5 69.936"
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10:58:17
Suma de ángulos 1
Suma estas parejas de ángulos. Después, dibuja con ayuda del transportador el ángulo suma y comprueba que mide lo que habías calculado. 26° 1 40° 5 46o
54° 1 90° 5 144o
R.L.
2
3
R.L.
R.L.
Realiza estas sumas. 37° 26' 19" 1 54º 32' 36"
65° 11' 46" 1 12º 23' 53"
84° 39' 45" 1 127º 43' 52"
146° 21' 43" 1 28º 18' 6"
91o 58' 55"
77o 34' 99" 1 1' 77o 35' 39"
211o 82' 97" 1 1' 211o 83' 37" 1 1o
174o 39' 49"
212o 23' 37"
Coloca y calcula.
85° 42" 1 94° 43' 48"
42° 20' 34" 1 19º 52'
136o 52' 50" 98o 49' 57" 234o 101' 107" 1 1'
85o 42" 1 94o 43' 48" 179o 43' 90" 1 1'
42o 20' 34" 1 19o 52' 61o 72' 34" 1 1o
234o 102' 47" 1o 235o 42' 47"
179o 44' 30"
62o 12' 34"
136° 52' 50" 1 98° 49' 57"
1
1 4
72° 1 36° 5 108o
Resuelve. Ángel y Almudena participan en una carrera de relevos. Ángel ha tardado 1 minuto y 19 segundos. Almudena ha tardado 23 segundos más. ¿Cuánto han tardado entre los dos?
1 min 1 1 min Almudena
SOLUCIÓN
19 s 23 s 42 s
1 min 19 s 1 1 min 42 s 2 min 61 s 3 min 1 s
Han tardado 3 min y 1 s.
Juan hace un viaje en metro y autobús. El metro tarda 36 minutos y 19 segundos, y el autobús tarda 47 minutos y 58 segundos. ¿Cuánto ha durado el viaje?
36 min 1 47 min 83 min 1 1 min 84 min SOLUCIÓN
19 s 58 s 77 s 17 s 5 1 h 24 min 17s
Ha durado 1 h, 24 min y 17 s.
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5 Resta de ángulos 1 Resta estas parejas de ángulos. Después, dibuja con el transportador el ángulo diferencia y comprueba que mide lo que habías calculado. 40° 2 28° 5 12o
90° 2 54° 5 36o
R.L.
72° 2 36° 5 36o
R.L.
R.L.
2 Realiza estas restas.
74' 64o 14' 106" 77° 56' 49" 2 54º 32' 36" 23o 24' 13"
65° 15' 46" 2 12º 23' 53" 52o 51' 53"
88' 27o 28' 77"
74' 71o 14' 63"
28° 29' 17" 2 19º 52' 30" 8o 36' 47"
72° 15' 3" 2 25º 49' 18" 46o 25' 45"
3 Coloca y calcula. 62° 20' 4" 2 47° 39' 26"
61o 62o 2 47o 14o
79' 19' 64" 20' 4" 39' 26" 40' 38"
118° 39' 2 27° 23' 12"
118o 2 27o 91o
38' 39' 60" 23' 12" 15' 48"
146° 8" 2 28° 28' 43"
145o 146o 2 28o 117o
59' 68" 60' 8" 28' 43" 31' 25"
4 Resuelve. Sara está escuchando una canción que dura 3 minutos y 27 segundos, y la para cuando ha escuchado 1 minuto y 46 segundos. ¿Cuánto falta de canción?
2 min 3 min 2 1 min 1 min
s
87 s 27 s 46 s 41 s
SOLUCIÓN Falta 1 min y 41 s.
En una carrera ciclista, el ganador ha tardado 3 horas 21 minutos y 36 segundos y el último 4 horas 11 minutos y 6 segundos. ¿Qué diferencia le ha sacado el primero al último?
3 h 70 min 66 s 4 h 11 min 6 s 2 3 h 21 min 36 s 49 min 30 s SOLUCIÓN Le ha sacado 49 min y 30 s.
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Ángulos complementarios y suplementarios 1 Observa los ángulos y escribe si son complementarios o suplementarios. Después, calcula el ángulo que se indica.
D̂
Â
B̂ 5 44°
Los ángulos  y B̂ son El ángulo  mide
complementarios.
90o 2 44o 5 46o
Ê
Los ángulos Ĉ y D̂ son El ángulo D̂ mide
Ĝ
F̂ 5 101°
Los ángulos Ê y F ̂ son El ángulo Ê mide
Ĉ 5 35°
suplementarios.
180o 2 101o 5 79o
180o 2 35o 5 145o
Ĥ 5 46°
Los ángulos Ĝ y Ĥ son El ángulo Ĝ mide
suplementarios.
complementarios.
90o 2 46o 5 44o
2 Calcula los siguientes ángulos.
El ángulo complementario
• De 34°
El ángulo suplementario
• De 13°
90o 2 34o 5 56o • De 71°
180o 2 13o 5 167o • De 69°
90o 2 71o 5 19o
180o 2 69o 5 111o
• De 62° 25'
• De 104° 20'
• De 50° 23"
• De 83° 36"
89o 90o 60' 2 62o 25' 27o 35' 89o 90o 60' 2 50o 23' 39o 37'
179o 180o 60' 2 104o 20' 75o 40' 179o 59' 180o 60' 60" 2 83o 36" 96o 59' 24"
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5 Ángulos de más de 180° 1 Mide cada uno de estos ángulos.
230o
Mide
Mide
310o
Mide
285o
2 Utiliza el transportador y dibuja los siguientes ángulos. 195°
305°
R.L.
200°
R.L.
250°
R.L.
284º
R.L.
316°
R.L.
R.L.
3 RAZONAMIENTO. Lee y marca la respuesta correcta.
La suma de dos ángulos agudos
h h h
La suma de un agudo y un obtuso
Un ángulo de más de 180° y el que le falta para llegar a 360°
Puede ser agudo Puede ser 180° Es siempre obtuso Puede ser 180° Siempre es 360° Es siempre 180° Son siempre adyacentes Son siempre consecutivos Pueden ser consecutivos
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1 Lee y completa la tabla. Después, contesta. Aquí tienes una parte de la programación de tarde de una cadena de televisión. Esta cadena pone cinco minutos de publicidad entre programa y programa. Empieza
Programa
Duración
Termina
16 h 00 min
Magazine
1 h 54 min
17 h 54 min
17 h 59 min
Infantil
38 min
18 h 37 min
18 h 42 min
Documental
46 min
19 h 28 min
19 h 33 min
Serie
1 h 8 min
20 h 41 min
20 h 46 min
Cortometraje
9 min
20 h 55 min
17 h 1 17 h 1 1h 18 h
59 min 38 min 97 min 37 min
18 h 1 18 h 1 1h 19 h
42 min 46 min 88 min
19 h 1 1h 20 h
33 min 8 min 41 min
28 min
• Un día esta cadena programó la película «Lo que el viento se llevó», que dura 3 h y 58 min. La película acabó a las 20 h 44 min y 48 seg. ¿Cuánto tiempo de publicidad hubo durante la emisión de la película? LO QUE EL VIENTO SE LLEVÓ
Tiem de grab po máximo ación : 16 h Peli 1: 2 h 1 5 min y 24 seg Peli 2: y 47 seg1 h 46 min Peli 3: y 53 seg2 h 32 min
La película tendría que acabar a las 19 h y 58 min. 19 h 104 min 20 h 44 min 48 s 2 19 h 58 min 46 min 48 s SOLUCIÓN Hubo 46 min y 48 s de publicidad. • Javier quiere grabar en este DVD una película que dura 3 h y 58 min. Tiene ya grabadas las tres películas anotadas en la carátula. ¿La puede grabar? ¿Por qué?
2h 1h 1 2h 5h 6h
15 min 24 s 46 min 47 s 32 min 53 s 93 min 124 s 35 min 4s
6h 1 3h 9h 1 1h 10 h
35 min 4 s 58 min 4 s 91 min 4 s 31 min 4 s
SOLUCIÓN Sí la puede grabar, porque el tiempo total es menor de 16 h.
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5 Repasa lo anterior 1 Calcula cuatro divisores y cuatro múltiplos de cada número, y completa la tabla.
R. M.
Divisores
Número
Múltiplos
1, 2, 3, 6
18
36, 54, 72, 90
2, 3, 4, 12
24
24, 48, 96, 144
2, 3, 4, 9, 18
36
36, 72, 108, 180
2 Calcula todos los divisores de los siguientes números. Después, rodea en rojo los números primos y en verde los compuestos.
rojo 2
3 rojo
1, 2
verde 9
verde 10
1, 3, 9 1, 11
rojo 11
13 rojo
1, 3 1, 2, 5, 10 1, 13
3 Completa las tablas aplicando los criterios de divisibilidad. Dividendo
Es divisible por
Dividendo
2
3
5
El número 90
Sí
Sí
Sí
El número 48
Sí
Sí
El número 45
No
El número 510
Sí
Es divisible por 2
3
5
El número 95
No
No
Sí
No
El número 300
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
El número 40
Sí
No
Sí
Sí
Sí
El número 243
No
Sí
No
4 Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de estos números. • 20 y 24
m.c.d. (20 y 24) 5 4 m.c.m. (20 y 24) 5 120
• 12 y 18
m.c.d. (12 y 18) 5 6 m.c.m. (12 y 18) 5 36
• 10 y 15
m.c.d. (10 y 15) 5 5 m.c.m. (10 y 15) 5 30
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El cuaderno de Matemáticas 6, primer trimestre, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación, S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.
Texto: Fernando García y Pilar García. Ilustración: Pep Brocal y José M.a Valera. Edición: José A. Almodóvar y Pilar García.
Dirección de arte: José Crespo. Proyecto gráfico Portada: Carrió/Sánchez/Lacasta. Interiores: Paco Sánchez y Avi. Ilustración de portada: José Luis Agreda. Jefa de proyecto: Rosa Marín. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera. Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda. Desarrollo gráfico: José Luis García y Raúl de Andrés. Dirección técnica: Ángel García. Coordinación técnica: José Luis Verdasco. Confección y montaje: Julio Hernández. Corrección: Cristina Durán. Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografía: Calvin Hamilton; ARCHIVO SANTILLANA.
© 2009 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por CP: 137026 Depósito legal:
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