Cuaderno DE Aprendizaje: Geometría

Cuaderno de Aprendizaje – 2014

CUADERNO DE APRENDIZAJE APRENDIZA JE

GEOMETRÍA

Cuaderno de Aprendizaje, de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP Profesional AIEP.. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP reservados AIEP..


Estimado Estudiante de AIEP, en este cuaderno de estudio, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves, entregadas a modo de síntesis, te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


UNIDAD 1: Trigonometría y Geometría Analítica APRENDIZAJE ESPERADO 1. Resuelve problemas geométricos aplicando razones trigonométricas. Criterio 1.1. Expresa medidas angulares en grados sexagesimales, radianes y grados

centesimales con la calculadora. Los ángulos sexagesimales se caracterizan por tener grados, minutos y segundos. 1 grado = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos. Los ángulos centesimales están en torno a los 400 grados. 400/360 = 1,11111 Por lo tanto, 1 grado = 1 ,111 grados centesimales. o

Las radianes están en torno a los 180 grados, por lo tanto, 180 = π rad. (grados . π)/180 = rad. ; (rad . 180)/π = grados. Ejercicio 1

Transformar los siguientes grados decimales a sexagesimales: a) 35,413 b) 17,512 c) 20,975 Solución: a) 35,413 = 35° .

0,413. 60 = 24,78 = 24 minutos 0,78 60 = 47 segundos Por lo tanto, tenemos que 35,413° equivalen a 35°24’47” b) 17,512 = 17° .

0,512. 60 = 30,72 = 30 minutos 0,72 60 = 43 segundos Por lo tanto, tenemos que 17,512° equivalen a 17°30’43” c) 20,975 = 20° .

0,975 60 = 58,5 = 58 minutos . 0,5 60 = 30 segundos Por lo tanto, tenemos que 20,975 equivalen a 20°58’30”


Cuaderno de Aprendizaje – 2014 Ejercicio 2

Transformar los siguientes grados a grados centesimales: a) 35,42

o

b) 21,18

c) 20 58’30”

Solución: .

c

a) 35,42 1.111111 = 39,356 .

c

b) 21,18 1.111111 = 23,53 o

c) 20 58’30” = 20 +(58/60 + 30/3600) = 20,975

Así, o

.

c 20 58’30” = 20,975 1,111111 = 23,31

Ejercicio 3

Dado el siguiente ángulo (2/7) π rad. Determine su equivalencia en grad os sexagesimal. a) b) c) d)

o

51o 42’25” 51 25’43” 51°42’86’’

52 ⅕

Solución: .

((2/7) π 180)/ π . ((2/7) 180) o 51,4286 = 51 .

0,4286. 60= 25,716 minutos 0,716 60 = 43 segundos Por lo tanto, tenemos que (2/7)π rad equivale a 51 o25’43” Respuesta: La alternativa correcta es b.

Ejercicio 4

Al convertir

a grados sexagesimales resulta:

a) 60°. b) 120°. c) 150°. d)270°. Alternativa Correcta : B


Cuaderno de Aprendizaje – 2014 Criterio 1.2. Calcula las 6 razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Ejercicio 5

De un triángulo rectángulo ABC, se sabe que sus lados a= 6 cm y b= 8 cm. Calcule las 6 razones trigonométricas de α: Solución: 2

2

 C

a b

 C

6

2

2

8

C  10

sen α = 6/10 sen α = 0,6

cosec α= 10/6 cosec α= 1,6666

cos α = 8/10 cos α = 0,8

sec α = 10/8 sec α= 1,25

tg α = 6/8 tg α = 0,75

cotg α = 8/6 cotg α= 1,33333

Ejercicio 6

Determine el seno, coseno y tangente para α y β.

Solución: Para α Sen α = 40/50 Sen α = 0,8

Para β Sen β = 30/50 Sen β = 0,6

Cos α = 30/50 Cos α = 0,6

Cos β = 40/50 Cos β = 0,8

Tg α = 40/30 Tg α = 1.33

Tg β = 30/40 Tg β = 0,75



En un triángulo rectángulo se tiene que: cos



2 . ¿A qué tipo de triángulo rectángulo 2

corresponde? a) b) c) d)

Obtusángulo. Equilátero. Isósceles. Escaleno.

Solución: 2 . Por lo que el otro ángulo agudo también mide 45°. El triángulo 2 rectángulo que tiene sus dos ángulos agudos iguales es el triángulo Isósceles. Sabemos que cos 45



Ejercicio 8

Si tg  

a)

5 12

y  es un ángulo agudo, entonces sen 

12

b)

12 5 12

13

c)

5

d)

5 13

Ubicar en un triángulo rectángulo, los catetos 5 y 12. Aplicar Pitágoras para determinar la hipotenusa, y luego escribir la función seno. Alternativa Correcta: D Criterio 1.3. Resuelve triángulos aplicando las razones trigonométricas seno, coseno y

tangente, incluyendo cálculo de lados y de ángulos medidos en distintas unidades. Ejercicio 9

Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que 2 de sus lados miden 75 y 115 metros respectivamente y forman entre ellos un ángulo de 70°. Solución: Primero, determinamos la altura. sen 70° = h/75 75 . sen 70° = h



h = 70,4769

Ahora, calcularemos el área: .

A = (b h)/2 . A = ( 115 70,4769)/2 A = 4052,42 m 2 2

Respuesta: Por lo tanto, el área de la parcela triangular es de 4052,42 m .



Hallar el radio de una circunferencia, sabiendo que una cuerda de 24,6 m., tiene un arco correspondiente de 1,22173 rad. Solución: 1,22173 rad = (1,22173 . 180)/π = 70 0 Luego, 70   AOH  35

 AOB

Ahora, calcularemos el radio. Sen35° = 12,3/ AO AO = 12,3 / sen 35° AO = 21,44 m Respuesta: El radio de la circunferencia es 21,44 m.

Ejercicio 11

Un helicóptero está volando a 1200 metros de altura. Desde el helicóptero se visualiza un pueblo, con un ángulo de depresión de 20 0. ¿A qué distancia del pueblo vuela el helicóptero? a) b) c) d)

3508,56 m. 3962,97 m 3967,79 m. 5380,56 m.

Solución: sen 20° = 1200/d d= 1200/sen 20° d= 3508,56 m Respuesta: La alternativa correcta es a.

Ejercicio 12

La medida del ángulo β es: a) 71,5 b) 57,1 c) 18,5 d 17,5

Alternativa Correcta : D


Cuaderno de Aprendizaje – 2014 Criterio 1.4. Resuelve, contextualizados en la especialidad, problemas reducibles a la

trigonometría de triángulos rectángulos, operando con razones trigonométricas seno, coseno y tangente y sus inversas, utilizando distintas medidas lineales y angulares. Ejercicio 13

Si un hombre de 1,70 metros de altura proyecta una sombra de 215 cm. de longitud. Encuentre el ángulo de elevación que hay desde el borde de la sombra al sol. Solución: tg α = 1,70 / 2,15 tg α = 0,7907 -1

α = tg 0,7907 = 38,33°

Respuesta: El ángulo de elevación es de 38,33° Ejercicio 14

En la torre de un faro que está a una altura de 1968,504 pulgadas del piso, el vigilante advierte que se aproxima un barco, formando un ángulo de depresión de 0,43633 rad. Determine la distancia en metros que separa el barco del faro. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm .

1968,504 2,54 = 5000 /100 = 50 m. (0,43633 . 180)/π = 25 grados. Tg 65 = x/50 .

Tg 65 50 = x x = 107, 23 m. Respuesta: Por lo tanto, la distancia que separa el barco del faro es de 107,23 metros. Ejercicio 15

Una escalera se encuentra apoyada en la pared de un edificio alcanzando una altura de 196,85 pulgadas desde el piso, formando un ángulo de elevación de 55°8’24”. Determine la longitud de la escalera en metros. a) 6,18. b) 6,09. c) 6,00. d) 5,09. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm .

196,85 2,54 = 500 /100 = 5 m. 55 +(8/60 + 24/3600) = 55,14 grados sen 55,14 = 5/d d = 5/ sen 55,14 d = 6,09 m Respuesta: Por lo tanto, la longitud de la escalera es de 6,09 metros Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30 como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros? a) b) c) d)

3.000. 1.732. 1.299. 750.

Cuaderno DE Aprendizaje: Geometría

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