Copie de Geometrie_2009 by ExoSup.com

GEOMETRIE ELEMENTAIRE Mohamed HOUIMDI

F IGURE 1 – Droite d’Euler

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Table des matières

1

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3

Espaces affines 1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points 1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . 1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . . 1.3 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . . 1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . 1.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . . 1.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . 1.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . . 1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 7 7 7 8 9 11 12 12 13 16 16 19 19 21 23

Applications affines 2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . . 2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation analytique d’une application affine . . 2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine 2.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . . 2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Projection affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Symétrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29 29 29 30 31 32 33 33 35 38 42 47

Espace affine euclidiens 3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . . 3.4 Hyperplan médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3

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51 51 52 53 54 56

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3.6

3.7 3.8

3.9

3.5.1 Distance de deux droites de E3 . . . . . . . . . . Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affine . . . 3.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3 . . 3.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . 3.8.2 Isométrie du plan affine euclidien . . . . . . . . 3.8.3 Isométries de l’espace affine de dimension 3 . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre

1

Espaces affines 1.1

Définition et propriètés élémentaires

Définition 1 Soient E un R-espace vectoriel et E un ensemble quelconque, non vide. On dit que E est un espace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application

E × E −→ E

− → (A, B) 7−→ AB

vérifiant les propriètés suivantes : i) Pour tout A ∈ E , l’application

E −→ E

−→ M 7−→ AM

est bijective.

ii) Relation de Chasles : − → − → − → ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , BC = BA + AC Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas, la dimension de E est égale à celle de sa direction. Remarque 1 Si E est un espace affine de direction E, alors les éléments de E sont appelés des points et sont désignés par des lettres majuscules A, B,C, D, M, N, P, . . . . Tandis que les éléments de E sont appelés des − − → → − → − → − vecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées d’une flêche i , j , k , → u ,− v ,→ w ,.... Exemples 1 1. Si dim(E) = 1, on dit que E est une droite affine. 2. Si dim(E) = 2, on dit que E est un plan affine. 3. Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace affine attaché à lui même, lorsqu’on considère l’application suivante : E × E −→ E → − (a, b) 7−→ ab = b − a qui vérifie les conditions de la définition. C’est pour cela que les éléments d’un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations, comme des points ou comme des vecteurs. 5

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1.1.1

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Règles de calcul

Soit E un espace affine attaché à l’espace vectoriel E, alors a)

−→ −→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , AM = AN =⇒ M = N

b)

− → → − ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , AB = 0 ⇐⇒ A = B

c)

− → − → ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , BA = −AB

d)

− → − → − → ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , BC = AC − AB

− e) Pour tout point A ∈ E et pour tout vecteur → u ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que −→ → AM = − u − → − − f) Si A et B sont deux points de E , alors il exite un unique vecteur → u ∈ E, tel que AB = → u. Preuve a) D’après la première proprièté de la définition, l’application

E −→ E

−→ M 7−→ AM

est bijective.

Donc cette apploication est injective, par suite, on a le résultat. b) (⇐=) D’aprè la relation de Chasles, pour tout A ∈ E , on a − → − → − → AA + AA = AA

− → → − donc AA = 0 .

(=⇒) − → → − → − → − AB = 0 =⇒ AB = AA =⇒ B = A − → → − c) Pour tout A ∈ E , on a AA = 0 , donc d’après la relation de Chasles, pour tout B ∈ E , on a − → − → → − → − → − AB + BA = 0 , par suite, BA = −AB. d) Pour A, B et C éléments de E , on a, d’après Chasles, − → − → − → − → − → BC = BA + AC = −AB + AC e) Lorsque on fixe un point A, l’aplication

E −→ E

−→ M 7−→ AM

est bijective.

−→ − − Donc pour tout → u ∈ E, il existe un unique M ∈ E , tel que AM = → u. Page 6 sur 78

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1.1.2

Proprièté du parallélogramme

Proposition 1 Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine E . Alors les propriètés suivantes sont équivalentes, − → −→ i) AB = CD. − → −→ ii) AC = BD. − → − → −→ iii) AB + AC = AD. Si quatre points A, B, C et D vérifient l’une des trois propriètés équivalentes, précédentes, on dit que A, B, C et D forment un parallélogramme. Preuve i) ⇐⇒ ii) − → −→ AB = CD ⇐⇒ ⇐⇒

− → − → − → −→ AC + CB = CB + BD − → −→ AC = BD

i) ⇐⇒ iii) − → −→ AB = CD ⇐⇒ ⇐⇒

1.2

Sous-espaces affines

1.2.1

Définition et exemples

− → −→ − → AB = AD − AC − → − → −→ AB + AC = AD

Définition 2 Soit E un espace affine attaché à E. On dit qu’une partie non vide F de E est un sous-espace affine de E , s’il existe un point A ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que −→ ∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒ AM ∈ F Dans ce cas, on dit que F est le sous-espace affine de E passant par le point A et de direction le sous-espace vectoriel F. Exemples 2 1. Pour tout point A ∈ E , le singleton {A} est un sous-espace affine de E . C’est le sous-espace → − affine de E passant par A et de direction F = { 0 }. 2. Soit E un R-espace vectoriel, alors pour tout sous-espace affine F de E, il existe un point a ∈ E et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que,

F = a+F Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un sous-espace affine de E, tandis que la réciproque n’est pas toujours vraie. En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel de E, lel que ∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ x − a ∈ F ⇐⇒ x ∈ a + F Donc F = a + F. Page 7 sur 78

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M.HOUIMDI 3. Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. − i) Si dim(F) = 1 avec F = Vect(→ u ), on dit que F est la droite affine de E passant par A et de − − vecteur directeur → u . On la note D(A, → u ), donc pour M ∈ F on aura −→ − − M ∈ D(A, → u ) ⇐⇒ (AM, → u ) est lié −→ − ⇐⇒ ∃α ∈ R : AM = α→ u − − ii) Si dim(F) = 2 avec F = Vect({→ u ,→ v }), on dit que F est le plan affine passant par A et de − − − − vcteurs directeurs → u et → v . On le note P(A, → u ,→ v ), donc pour M ∈ F on aura −→ − → − − M ∈ P(A, → u ,→ v ) ⇐⇒ (AM, → u ,− v ) est lié −→ − − ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 : AM = α→ u + β→ v iii) Si F est un hyperplan de E, on dit que F est un hyperplan affine de E .

Remarque 2 Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. Alors pour tout point B ∈ F , on a −→ ∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒ BM ∈ F

1.2.2

Sous-espace affine engendré par un ensemble de points

Définition 3 Soient E un espace affine attaché à E, A une partie non vide de E et A ∈ A . On appelle sousespace affine engendré par A , qu’on note A f f (A ), le sous-espace affine de E passant par le − → point A et de direction F = Vect({AB : B ∈ A }). Remarque 3 A f f (A ) est le plus petit sous-espace affine de E contenant A . C’est à dire, si F est un sous-espace affine de E qui contient A , alors F contient A f f (A ). En effet, Fixons un point A ∈ A et désignons par F la direction de F . Soit M ∈ A f f (A ), alors, par définition, il existe (A1 , A2 , . . . , Am ) ∈ A m et il existe (α1 , α2 , . . . , αm ) ∈ Rm , tels que m −→ −→ AM = ∑ αi AAi i=1

−→ Or, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m}, Ai ∈ F et A ∈ F , donc, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m}, AAi ∈ F, donc −→ AM ∈ F, par suite, M ∈ F . Définition 4 − →− → Trois points A, B et C d’un espace affine E sont dits non alignés, si le système (AB, AC) est lible. Remarque 4 − →− → − →− → − →− → Si A, B et C sont trois points non alignés, alors les systèmes (AB, AC), (BA, BC) et (CA, CB) sont libres. (à vérifier) Exemples 3 Soit E un espace affine de direction E. 1. Pour tout point A ∈ E , on a A f f ({A}) = {A}. Page 8 sur 78

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M.HOUIMDI 2. Si A et B sont deux points distincts de E , alors A f f ({A, B}) est le sous-espace affine de E pas− → sant par A et de direction Vect(AB). A f f ({A, B}) est donc la droite passant par A et de vecteur − → directeur AB. Dans ce cas, A f f ({A, B}) s’appelle la droite passant par les points distincts A et B, on la note (AB), donc on aura −→ − → ∀M ∈ E , M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM, AB) est lié −→ − → ⇐⇒ ∃α ∈ R : AM = αAB 3. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors A f f ({A, B,C}) est le sous-espace affine − →− → − →− → de E passant par A et de direction Vec({AB, AC}). Puisque le système (AB, AC) est libre, alors − → − → A f f ({A, B,C}) est le plan affine passant par A de vecteurs directeurs AB et AC. dans ce cas, A f f ({A, B,C}) s’ppelle le plan affine passant par les trois points non alignés A, B et C, on la note (ABC), donc on aura −→ − →− → ∀M ∈ E , M ∈ (ABC) ⇐⇒ (AM, AB, AC) est lié −→ − → − → ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 : AM = αAB + βAC

1.2.3

Intersection de deux sous-espaces affines

Proposition 2 Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. Alors l’intersection de F et G , s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction F ∩ G. Preuve Supposons que F ∩ G 6= 0/ et soit A ∈ F ∩ G , alors on a M ∈ F ∩ G ⇐⇒ M ∈ F et M ∈ G −→ −→ ⇐⇒ AM ∈ F et AM ∈ G −→ ⇐⇒ AM ∈ F ∩ G Donc F ∩ G est un sous-espace affine de direction F ∩ G. Exemples 4 Soit E un espace affine de dimension 3 et de direction E. 1. Si D et D 0 sont deux droites affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée / i) D ∩ D 0 = 0. ii) D ∩ D 0 est réduite à un seul point. iii) D = D 0 . 2. Si P et P 0 sont deux plans affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée / i) P ∩ P 0 = 0. ii) P ∩ P 0 est une droite affine de E . iii) P = P 0 . 3. Si D est une droite affine de E et P un plan affine de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée / i) D ∩ P = 0. ii) D ∩ P est réduite à un seul point de E . Page 9 sur 78

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M.HOUIMDI iii) D ⊆ P .

Proposition 3 i) Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. Alors − →

F ∩ G 6= 0/ ⇐⇒ ∃(A, B) ∈ F × G : AB ∈ F + G − ii) Soient E un espace affine de dimension 3, D une droite affine de E de vecteur directeur → u → − → − et P un plan affine de E de vecteurs directeurs v et w . Alors D ∩ P est réduite à un seul − − − point, si et seulement si, le système (→ u ,→ v ,→ w ) est libre. Preuve i) (=⇒) Supposons que F ∩ G 6= 0/ et soit Ω ∈ F ∩ G , alors −→ −→ ∀A ∈ F , ∀B ∈ G AΩ ∈ F et BΩ ∈ G −→ −→ −→ −→ − → − → donc AΩ − BΩ ∈ F + G avec AΩ − BΩ = AB, donc AB ∈ F + G. − → (⇐=) Supposons qu’il existe (A, B) ∈ F × G , tel que AB ∈ F + G, donc il existe − → − → − − (→ u ,→ v ) ∈ F × G, tel que AB = → u +− v. −→ → −→ − Soit M le point de F défini par AM = − u et N le point de G défini par BN = −→ v , alors on a −→ → − → −→ − AM = − u =⇒ AB + BM = → u −→ → − =⇒ BM = − v −→ −→ =⇒ BM = BN =⇒ M = N / Donc M ∈ F ∩ G , par suite F ∩ G 6= 0. ii) (=⇒) Supposons que D ∩ P est réduite à un seul point A de E , puis supposons, par absurde, − → − − − − que (→ u ,→ v ,→ w ) est lié. Puisque A ∈ D , alors il existe un point B ∈ D , tel que AB = → u, − →→ − → − donc (AB, v , w ) est lié et puisque A ∈ P , alors B ∈ P , par suite, B ∈ D ∩ P . Ce qui est absurde, car A 6= B. − − − (⇐=) Supposons que (→ u ,→ v ,→ w ) est libre. Puisque dim(E) = 3, où E est la direction de E , → − → − → − − − − alors ( u , v , w ) est une base de E, donc E = Vect(→ u ) +Vect({→ v ,→ w }). − → → − → − → − / Donc AB ∈ Vect( u ) +Vect({ v , w }), par suite, d’après i), D ∩ P 6= 0. Supposons que D ∩ P contient plus qu’un point et soient A et B deux points distincts de D ∩ P , donc on aura (− → − AB = a→ u avec a 6= 0 − → → − → − AB = b v + c w → − − − − − − − donc a→ u − b→ v − c→ w = 0 , avec a 6= 0, par suite, (→ u ,→ v ,→ w ) est lié, ce qui est absurde, donc D ∩ P est réduite à un seul point. Remarque 5 Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. / 1. Si E = F + G, alors F ∩ G 6= 0. 2. Si E = F ⊕ G, alors F ∩ G est réduit à un seul point. Page 10 sur 78

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1.2.4

Parallélisme de deux sous-espace affines

Définition 5 Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de directions respectives F et G. On dit que F et G sont parallèles, si F ⊆ G ou G ⊆ F. Dans le cas où F = G, on dit que F et G sont strictement parallèles. Si F et G sont parallèles, on note F k G . Exemples 5 E un espace affine de direction E − − 1. Soient D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ) deux droites affines de E , alors − − D k D 0 ⇐⇒ (→ u ,→ v ) est lié − − − − 2. P = P(A, → v ,→ w ) et P 0 = P(B, → v 0, → w 0 ) deux plans affines de E , alors − − − − − − P k P 0 ⇐⇒ (→ v ,→ v 0, → w 0 ) et (→ w ,→ v 0, → w 0 ) sont liés Définition 6 Soit E un espace affine, on dit que deux droites D et D 0 de E sont coplanaires, s’il existe un plan P de E qui contient les droites D et D 0 . Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires.

F IGURE 1.1 – Droites coplanaires

F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires Page 11 sur 78

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Théorème 1 − − Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ) deux droites affines 0 de E . On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantes est vérifiée, − →− → i) Si (AB, → u ,− v ) est lié, alors D et D 0 sont coplanaires et dans ce cas, D ∩ D 0 est réduit à un seul point. − →− → / ii) Si (AB, → u ,− v ) est libre, alors D et D 0 sont non coplanaires et dans ce cas, D ∩ D 0 = 0.

Preuve − − D a pour direction F = Vect(→ u ) et D 0 a pour direction G = Vect(→ v ), donc, d’après la proposition 3, on a − → D ∩ D 0 6= 0/ ⇐⇒ AB ∈ F + G − →− → − → / i) Si (AB, → u ,− v ) est lié, alors AB ∈ F + G, donc D ∩ D 0 6= 0. − →− → − → / ii) Si (AB, → u ,− v ) est libre, donc AB ∈ / F + G, et puisqiue A et B sont arbitraires, alors D ∩ D 0 = 0.

1.3

Barycentre

1.3.1

Fonction vectorielle de Leibnitz

Définition 7 Soit E un espace affine de direction E. i) On appelle point pondéré de E , tout couple (A, α), où A ∈ E et α ∈ R. Dans ce cas, α s’apelle le poids ou la masse de A. m

ii) Si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points pondérés de E , alors α =

∑ αi s’appelle

i=1

la masse totale des points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ).

Proposition 4 Soient E un espace affine de direction E et (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points pondérés de E . On considère l’application suivante, appelée fonction vectorielle de Leibnitz, définie par, ϕ : E −→ E m −−→ M 7−→ ϕ(M) = ∑ αi MAi i=1

Alors, m

i) Si

∑ αi = 0, ϕ est constante.

i=1 m

ii) Si

∑ αi 6= 0, ϕ est bijective.

i=1

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Preuve i) Soint M et N deux points quelconques de E , alors on a m

−−→ m −−→ ϕ(M) − ϕ(N) = ∑ αi MAi − ∑ αi NAi i=1 m

i=1

−−→ −−→ = ∑ αi (MAi − NAi ) i=1 m

=

!

∑ αi

−−→ MN

(d’après la relation de chasles)

i=1 m

Donc si

∑ αi = 0, alors ϕ est constante.

i=1

− −−→ → ii) D’après la relation précédente, si ϕ(M) = ϕ(N), alors MN = 0 , donc M = N, par suite ϕ est injective. − − Soit → u ∈ E. Montrons qu’il existe M ∈ E , tel que ϕ(M) = → u. Pour cela fixons un point A ∈ E , alors d’après la relation de Chasles, on a ! m m m −→ −→ −→ −→ ϕ(M) = ∑ αi (AAi − AM) = ∑ αi AAi − ∑ αi AM i=1

i=1

i=1

Donc, − ∃M ∈ E : ϕ(M) = → u ⇐⇒ ∃M ∈ E :

m

m

−→

∑ αiAAi − ∑ αi

i=1

!

−→ → AM = − u

i=1

m

−→ − −→ 1 u) ⇐⇒ ∃M ∈ E : AM = ( ∑ αi AAi − → α i=1 Donc si on pose 1 m −→ − → − u) w = ( ∑ αi AAi − → α i=1 −→ − alors M est l’unique point de E , tel que AM = → w. Remarque 6 D’près la proposition précédente, si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points pondérés de E , m

tel que

− v ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que ∑ αi 6= 0, alors pour tout vecteur →

i=1

m

−−→

− v ∑ αiMAi = →

i=1

1.3.2

Définition et prooprièté du barycentre

Définition 8 Soient (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points pondérés d’un espace affine E de direction E, tels que, m

∑ αi 6= 0

i=1

On appelle barycentre des points (A1 α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ), l’unique point G de E défini par m −−→ → − ∑ αiGAi = 0 i=1

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Remarque 7 1. Soit G le barycentre des points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ), alors pour tout point A ∈ E , on a m −→ 1 m −→ AG = ∑ αi AAi où α = ∑ αi α i=1 i=1 2. Si α1 = α2 = · · · = αm = 1, on dit que G est l’isobarycentre des points A1 , A2 , . . . , Am ,. Dans ce cas, on a −→ 1 m −→ AG = ∑ AAi m i=1 3. Pour tout λ ∈ R∗ , les points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) et (A1 , λα1 ), (A2 , λα2 ), . . . , (Am , λαm ) ont même barycentre. m 1 Donc, si on prend λ = m , on peut toujours supposer que ∑ αi = 1. i=1 ∑ αi i=1

Exemples 7 soit E un espace affine de direction E. 1. Soient A et B deux points distincts de E , l’ensemble des barycentres des points pondérés (A, α) et (B, β), avec α ≥ 0 et β ≥ 0, s’appelle le segment joignant les points A et B et se note [A, B]. Donc on aura, −→ − −→ → M ∈ [A, B] ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2+ : α + β 6= 0 et αMA + βMB = 0 Puisque pour tout λ ∈ R∗ , les points (A, α) et (B, β) ont même barycentre que les points (A, λα) 1 , on peut supposer que α + β = 1. Ainsi, on aura et (B, λβ), alors en cosidérant λ = α+β −→ − −→ → M ∈ [A, B] ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2+ : α + β = 1 et αMA + βMB = 0 −→ − −→ → ⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] : (1 − α)MA + αMB = 0 −→ − → ⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] : AM = αAB En particulier, le milieu I du segment [A, B] est caractérisé par, → − → − − → I est milieu de [A, B] ⇐⇒ IA + IB = 0 − → 1 −→ −→ ⇐⇒ ∀O ∈ E , OI = (OA + OB) 2 1− → → − ⇐⇒ AI = AB 2 2. Soient A, B et C trois points non alignés de E , alors A, B et C forment ce qu’on appelle un triangle qui sera noté ABC, les segments [A, B], [A,C] et [B,C] sont appelés les cotés de ce triangle. L’isobarycentre G des points A, B et C s’appelle le centre de gravité du triagle ABC, il est défini par −→ −→ −→ → − GA + GB + GC = 0 Si donc G est le barycentre du triangle ABC, alor on a −→ 1 − → − → −→ 1 − → − → −→ 1 − → − → AG = (AB + AC), BG = (BA + BC), et CG = (CA + CB) 3 3 3 Page 14 sur 78

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Définition 9 On appelle médiane issue de A d’un triangle ABC, la droite (AI) passant par le point A et le point I milieu de [B,C]. Remarque 8 Un triangle possède trois médianes, (AI), (BJ) et (CK), où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A, B].

F IGURE 1.3 – Médianes d’un triangle

Théorème 2 Les trois médianes d’un triangle ABC se coupent au centre de gravité G de ce triagle et on a −→ 2 → − −→ 2 − −→ 2 −→ → AG = AI, BG = BJ et CG = CK 3 3 3 où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A, B]. Preuve I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A, B], donc on a 1 − → − → − → − → − → −→ 1 − → − → → 1 − AI = (AB + AC), BJ = (BA + BC) et CK = (CA + CB) 2 2 2 On en déduit, donc, que 2→ −→ 1 − → − → − AG = (AB + AC) = AI 3 3 Donc G ∈ (AI). Et de la même manière, on montre que −→ 2 − → −→ 2 −→ BG = GJ et CG = CK 3 3 Donc G ∈ (AI) ∩ (BJ) ∩ (CK). Page 15 sur 78

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1.4 1.4.1

Espaces affines de dimension finie Repère affine - Coordonnées barycentriques

Repère affine Définition 10 Soient E un espace affine de direction E, A0 , A1 , . . . , Am des points de E . On dit que le système −−→ −−→ −−−→ (A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre, si le système (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est libre. Exemples 8 1. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A, B) est un système affinement libre. 2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors le système (A, B,C) est affinement libre. 3. Si quatre points A, B, C et D sont affinement libres, on dit qu’ils forment un thétreidre. .

F IGURE 1.4 – Un thétreidre Définition 11 Soit E un espace affine de direction E, un repère affine de E est un système (A0 , A1 , . . . , An ) de points de E , tels que i) E = A f f ({A0 , A1 , . . . , Am }) ii) (A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre. Exemples 9 1. Si A et B sont deux points distincts, alors (A, B) est un repère affine de la droite affine (AB) passant par A et B. 2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A, B,C) est une repère affine du plan (ABC) passant par A, B et C. Théorème 3 Soit E un espace affine de direction E et de dimension finie = n. Alors E possède au moins un repère affine. Page 16 sur 78

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Preuve Soit (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E. Fixons un point A0 ∈ E , alors pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, il existe −−→ − un unique point Ai ∈ E , lel que A0 Ai = → ei . Il est facile de vérifier que E = A f f ({A0 , A1 , . . . , An }) et que (A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre. Coordonnées barycentriques Théorème 4 Soient E un espace affine de dimension finie = n et (A0 , A1 , . . . , An ) un repère affine de E . Alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel que α0 + α1 + · · · + αn = 1 et tel que n −−→ → − ∑ αiMAi = 0 i=0

Dans ce cas, α0 , α1 , . . . , αn s’appelle les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A0 , A1 , . . . , An ). Remarque 9 Si (A0 , A1 , . . . , An ) est un repère affine de E , alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel que α0 +α1 +· · ·+αn = 1 et tel que M soit barycentre des points pondérés (A0 , α0 ), (A1 , α1 ), . . . , (An , αn ). Preuve −−→ −−→ −−→ (A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre, donc, par définition, (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est libre dans E, or −−→ −−→ −−−→ dim(E) = n, donc (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est une base de E. Soit M ∈ E , alors il existe un unique (β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn , tel que, n −−→ −−→ A0 M = ∑ βi A0 Ai i=1

n n −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ A0 M = ∑ βi A0 Ai =⇒ A0 M = ∑ βi (MAi − MA0 ) i=1

i=1 n

−−→ −−→ n −−→ → − =⇒ MA0 + ∑ βi MAi − ∑ βi MA0 = 0 i=1 n

=⇒

i=1 n

!

−−→ −−→ → − 1 − ∑ βi MA0 + ∑ βi MAi = 0 i=1

i=1

Posons α0 = 1 − ∑ni=1 βi et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = βi , alors on aura, n

n

∑ αi = 1 et

i=0

−−→

∑ αiMAi =

→ − 0

i=0

d’où l’existence de α0 , α1 , . . . , αn . Pour l’unicité, on suppose qu’il existe λ0 , λ1 , . . . , λn vérifiant la même chose que α0 , α1 , . . . , αn , alors on aura n n −−→ −−→ −−→ −−→ A0 M = ∑ αi A0 Ai et A0 M = ∑ λi A0 Ai i=1

i=1

Donc ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = λi et puisque n

n

∑ αi = ∑ λi = 1

i=0

i=0

alors on obtient α0 = λ0 . Page 17 sur 78

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Quelques applications des coordonnées barycentriques Proposition 5 Soit E un plan affine de direction E, muni d’un repère affine (A, B,C). Soient M, N et P trois points de E , de coordonnées barycentriques respectivement (α, β, γ), (α0 , β0 , γ0 ) et (α00 , β00 , γ00 ) dans le repère (A, B,C). Alors M, N et P sont alignés, si et seulement si, α α0 α00 β β0 β00 = 0 γ γ0 γ00 Preuve Puisque α + β + γ = α0 + β0 + γ0 = α00 + β00 + γ00 = 1, alors on a 0 α α0 α00 1 1 1 1 0 0 β − β β00 − β 0 00 0 00 0 00 β β β = β β β = β β − β β − β = 0 γ − γ γ00 − γ γ γ0 γ00 γ γ0 γ00 γ γ0 − γ γ00 − γ D’autre part, on a −→ − → − → −→ − → − → − → − → − → AM = βAB + γAC, AN = β0 AB + γ0 AC et AP = β00 AB + γ00 AC Donc

− → − → − → − → −−→ −→ MN = (β0 − β)AB + (γ0 − γ)AC et MP = (β00 − β)AB + (γ00 − γ)AC − →− → −−→ −→ On sait que M, N et P sont alignés, si et seulement si, (MN, MP) est lié. Puisque (AB, AC) est une base de E, alors −−→ −→ −−→ −→ (MN, MP) est lié ⇐⇒ det(MN, MP) = 0 0 β − β β00 − β =0 ⇐⇒ 0 γ − γ γ00 − γ d’où le résultat. Théorème 5 (de Ménélaüs) Soient E un plan affine, ABC un triangle, P, Q et R trois points de E , tels que P ∈ (AB), Q ∈ (BC) − → −→ − → −→ et R ∈ (AC) avevc P ∈ / {A, B}, Q ∈ / {B,C} et R ∈ / {A,C}. On suppose que PA = αPB, QB = βQC − → − → et RC = γRA. Alors P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1.

Preuve

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E est un plan affine et A, B, C non alignés, donc (A, B,C) est un repère affine de E . P a pour co-

−β −α 1 1 , 1−α , 0), Q a pour coordonnées byrycenrtiques (0, 1−β ordonnées byrycenrtiques ( 1−α , 1−β ) et R a −γ 1 pour coordonnées byrycenrtiques ( 1−γ , 0, 1−γ ). Donc d’après la proposition précédente,

1 0 −γ 0 = 0 P, Q, R sont alignés ⇐⇒ −α 1 0 −β 1 ⇐⇒ 1 − γαβ = 0 ⇐⇒ αβγ = 1

1.4.2

Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes

Définition 12 Soit E un espace affine de direction E et de dimension fine = n. Un repère cartésien de E est − − − − − − un système (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ), où O est un point quelconque de E et (→ e1 , → e2 , . . . , → en ) une base quelconque de E. Remarque 10 −−→ −−→ −−→ Si (A0 , A1 , A2 , . . . , An ) est un repère affine de E , alors (A0 , A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est un repère cartésien de E . Exemples 10 − → 1. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A, AB) est un repère affine de la droite affine passant par A et B. − →− → 2. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors (A, AB, AC) est un repère cartésien du plan affine passant par A, B et C. Définition 13 − − − Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ). Donc pour tout point M ∈ E , il existe un unique (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , tel que, n −−→ − OM = ∑ xi → ei i=1

Dans ce cas, x1 , x2 , . . . , xn s’appellent les coordonnées cartésiennes du point M par rapport au − − − repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ).

1.4.3

Représentation paramétrique d’un sous-espace affine

− − − Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ). Soit F un sous-espace affine de E , passant par le point A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ), de direction F − − − avec dim(F) = p. Soit (→ v1 , → v2 , . . . , → v p ) une base de F, alors on a n

− − ∀ j ∈ {1, 2, . . . , p}, → v j = ∑ αi j → ei i=1

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Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors, M∈F

−→ ⇐⇒ AM ∈ F −→ ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : AM =

p

− vj ∑ λ j→

j=1

p

n −→ ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : AM = ∑

!

∑ λ j αi j

→ − ei

j=1

i=1

p

n −−→ ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : OM = ∑

∑ λ j αi j

!

−→ → − ei + OA

j=1

i=1

On obtient, donc, le système suivant, appelé représentation paramétrique de F ,     x1 =          x2 =    M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : ..  .    ..   .        xn = 

p

∑ λ j α1 j + a 1

j=1 p

∑ λ j α2 j + a 2

j=1

p

∑ λ j αn j + a n

j=1

Exemples 11 − − − Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ). 1. Représentation paramétrique d’une droitre affine − Soit D = D(A, → u ) une droite affine passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ) et de vecteur − directeur → u , tel que n

→ − − u = ∑ αi → ei i=1

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce qui précéde, on a   x1 = λα1 + a1    x2 = λα2 + a2 M ∈ D ⇐⇒ ∃λ ∈ R : . ..     x = λα + a n n n 2. Représentation paramétrique d’un plan affine − − Soit P = P(A, → u ,→ v ) un plan affine de E , passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ) et de − − vecteurs directeurs → u et → v , tels que n

n

i=1

i=1

→ − − − − u = ∑ αi → ei et → v = ∑ βi → ei Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce qui précéde, Page 20 sur 78

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M.HOUIMDI on a   x1 = λ1 α1 + λ2 β1 + a1    x2 = λ1 α2 + λ2 β2 + a2 M ∈ D ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 ) ∈ R2 : . ..     x = λ α + λ β + a 1 n

n

1.4.4

2 n

n

Représentation cartésienne d’un sous-espace affine

Théorème 6 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et F un sous-espace vectoriel de E de dimension = p. Alors, il existe n − p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p , lelles que ∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0 Preuve Soit F ⊥ l’orthogonal de F dans E ∗ , puisque dim(F) = p, alors dim(F ⊥ ) = n − p. Soit (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) une base de F ⊥ , alors on a ∀x ∈ E, x ∈ F =⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0. Réciproquement, supposons que ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0 et supposons, par absurde, que x∈ / F. Soit G un supplémentaire de Vect(x) + F dans E et soit H = F + G, alors E = Vect(x) ⊕ H et F ⊆ H. Soit ϕ la forme linéaire sur E définie par ∀y ∈ E, y = αx + z =⇒ ϕ(y) = α où z ∈ H Alors on aura ϕ(x) = 1 et ∀y ∈ F, ϕ(y) = 0, par suite ϕ ∈ F ⊥ . Or (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) est une base de F ⊥ et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0, donc ϕ(x) = 0, ce qui est absurde. − − − Soient E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ), et F un sous-espace affine de E de dimension = p. Soit F la direction de F et soit A un point quelconque de F de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ). D’après le théorème précédent, il existe n − p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p , telles que − − − ∀→ u ∈ E, → u ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (→ u)=0 Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ). Donc si on pose ( − ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}, αi j = ϕi (→ ej ) −→ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, βi = ϕi (OA) Alors, on aura M∈F

−→ ⇐⇒ AM ∈ F −→ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (AM) = 0 −−→ −→ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (OM) = ϕ(OA) n

− ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi ( ∑ x j → e j ) = βi j=1

n

⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p},

∑ αi j x j = β i

j=1

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M.HOUIMDI

Ainsi, on obtient le système suivant de rang n − p, appelé représentation cartésienne de F ,   α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn = β1   α21 x2 + α22 x2 + · · · + α2n xn = β2 M ∈ F ⇐⇒ . ..     α x +α x +···+α x =β n−1,1 1

n−p,2 2

n−p,n n

n−p

Remarque 11 1. Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous forme d’un système de rang n − p et de n − p équations. 2. Soit F u n hyperplan affine de E , donc dim(F ) = n−1, par suite, F possède une représentation cartésienne sous forme d’une seul equation, M ∈ F ⇐⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β Exemples 12 1. Cas d’un plan affine

→ − → − Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien (O, i , j ). Les sous-espaces affines non triviaux de E sont les droites affine de E . Soit D une droite affine de E , alors D est un hyperplan ` une représentation cartésienne, sous la forme affine de E , donc D possde M ∈ D ⇐⇒ ax + by + c = 0

avec (a, b) 6= (0, 0)

→ − → − où x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j ). → − → − − Dans ce cas, on vérifie que D est la droite de vecteur directeur → u = −b i + a j . a) Soit maintenant D la droite affine de E , passant par le point A de coordonnées (x0 , y0 ) et → − → − − de vecteur directeur → u = α i + β j . soit M un point quelconque de E de coordonnées (x, y), alors léquation cartésien de D est déterminée par −→ − M ∈ D ⇐⇒ (AM, → u ) est lié −→ → ⇐⇒ det(AM, − u)=0 x − x0 α =0 ⇐⇒ y − y0 β ⇐⇒

β(x − x0 ) − α(y − y0 ) = 0

b) Soient A un point de coordonnées (a, b) et B un point de coordonnées c, d), avec A 6= B. Soit (AB) la droite passant par les points A et B, alors léquation cartésien de (AB) est déterminée par −→ − → M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM, AB) est lié −→ − → ⇐⇒ det(AM, AB) = 0 x − a c − a =0 ⇐⇒ y − b d − b ⇐⇒

(d − b)(x − a) − (c − a)(y − b) = 0

2. Cas d’un espace affine de dimension 3

− → − → − → Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Les sousespaces affines non triviaux de E sont ou bien des droites affines ou bien des plans affines. Page 22 sur 78

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M.HOUIMDI a) Soit P un plan affine de E , puisque dim(E ) = 3, alors P est un hyperplan affine de E , donc P possède une représentation cartésienne sous la forme d’une seule équation, M ∈ P ⇐⇒ ax + by + cz + d = 0

avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0)

− → − → − → où (x, y, z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j , k ). → − → − → − − → − − Dans ce cas, → u = −b i + a j et → v = −c i + a k sont deux vecteurs directeurs de P . Puisque (a, b, c) 6= (0, 0, 0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0 et dans ce cas, en posant y = λ et z = µ, on obtient une représentation paramétrique de P , définie par  c b   x = − a λ − a µ − d y=λ    z=µ b) Soit D une droite affine de E , puisque dim(E ) = 3, alors D possède une représentation cartésienne sous forme d’un système de deux équations, ( ax + by + cz + d = 0 M ∈ D ⇐⇒ a0 x + b0 y + c0 z + d 0 = 0 D’aprè ce qui précède, ce système est de rang deux, donc on doit avoir a b a c b c 0 0 6= 0 ou 0 0 6= 0 ou 0 0 6= 0 a b a c b c

1.5

exercices

Exercice 1 Soit F = { f ∈ RR : ∀x ∈ R, f (x + 1) = f (x) + 1}. Montrer que F est un sous-espace affine de RR dont on déterminera un point et la direction. Exercice 2 Soient E un R-espace vectoriel, x0 ∈ E et F = {u ∈ L(E) : u(x0 ) = x0 }. Montrer que F est un sous-espace affine de L(E) dont on déterminera un point et la direction. Exercice 3 Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’un plan affine E . On suppose que (AD) est parallèle à (BC), (AD) ∩ (CD) = {E} et (AC) ∩ (BD) = {F}. Soient I et J les milieux de [A, D] et [B,C] respectivement. Montrer que les points E, F, I et J sont alignés. Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E . P, Q et R trois points tels que P ∈ (AB), Q ∈ (AC) et R ∈ (BC). On considère les points I, J et K, tels que BPIR, APJQ et CQKR soient des parallélogrammes. montrer que les points I, J et K sont alignés. Exercice 5 (Théorème de Pappus) Soient D et D 0 deux droites d’un plan affine, on considère trois points distincts A, B et C de D et trois points distincts A0 , B0 et C0 de D 0 . On suppose que les droites (AB0 ) et (BA0 ) et que les droites (BC0 ) et (CB0 ) sont parallèles. Montrer que les droites (CA0 ) et (AC0 ) sont parallèles. Page 23 sur 78

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Exercice 6 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les pints A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 2) et (0, 1, −2). Soient D1 et D2 les droites affines définies par     x = −λ + 3 x = 3µ + 1 D1 : y = 2λ + 1 , λ ∈ R, D2 : y = −2µ , µ∈R     z = λ−1 z = 5µ + 3 Soient P1 , P2 et P3 les plans affines définis par   x = −2λ + 3µ + 1 P1 : y = λ + µ − 2 , (λ, µ) ∈ R2 ,   z = −λ − 2µ + 4

P2 : 2x − y + 3z − 1 = 0, P3 : x + 2z − 4 = 0

1. Donner une équation cartésienne de P1 . 2. Déterminer une représentation paramétrique de P2 ∩ P3 . 3. Donner une équation cartésienne du plan pssant par les points A, B et C. 4. Montrer que D1 et D2 sont coplanaires et donner une équation du plan Q contenant D1 et D2 . 5. Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point C et contenant la droite D1 . 6. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P2 et coupant D1 . Exercice 7 − → − → − → Soit E un espace affine de dimension 3 muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 1) et (1, 1, 1). 1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés. 2. Trouver une équation cartésienne du plan P1 passant par les points A, B et C. 3. Soit D la droite affine de E définie par, ( 2x + y + z − 5 = 0 D: −2x − y + z + 3 = 0 a) Trouver une représentation paramétrique de D . b) Vérifier que le point A0 de coordonnées (2, −2, −3) n’appartient pas à D et trouver une représentation paramétrique du plan P2 contenant la droite D et le point A0 . c) Montrer que P1 et P2 sont parallèles et que P1 6= P2 . 4. Soient α et β deux réels, tels que α + β = 1. Pour chaque point M de coordonnées (x, y, z), on considère le point M 0 de coordonnées (x0 , y0 , z0 ) barycentre du système ((A0 , α), (M, β)). a) Déterminer x0 , y0 et z0 en fonction de α, β, x, y et z. b) On considère l’ensemble P des points M 0 lorsque M décrit P1 . Montrer que si β 6= 0, alors P est un plan parallèle à P1 . Dans quel cas a-t-on P = P1 ? Que devient l’ensemble P , lorsque β = 0? 5. Soit D 0 la droite affine de E définie par, ( x−y+z = a D0 : x−z = 2 Page 24 sur 78

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M.HOUIMDI a) Pour quelles valeurs du réel a, les droites D et D 0 sont coplanaires ? b) Dans le cas où D et D 0 sont coplanaires, déterminer une équation cartésienne du plan contenant D et D 0 .

Exercice 8 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les droites D1 et D2 définies par ( ( x − 2z = 1 x+y+z = 1 , y = z+2 x − 2y + 2z = a Déterminer le réel a pour que D1 et D2 soient coplanaires et dans ce cas, déterminer une équation cartésienne du plan les contenant. Exercice 9 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient D et D 0 les droites définies par :     x = −1 − λ x = 2 − 3µ  0 ,µ ∈ R D : y = 1 + 2λ , λ ∈ R, D : y = 1 + µ     z = −2µ z = 3+λ 1. Montrer que D et D 0 ne sont pas coplanaires. 2. Soit m ∈ R et soient M et M 0 les points appartenant respectivement à D et D0 en prenant λ = µ = m. Montrer que la droite (MM 0 ) reste parallèle à un plan fixe lorsque m varie. Exercice 10 − → − → − → Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Pour chaque m ∈ R, on considère le plan Pm d’équation, (2m + 1)x − 2y + (m + 1)z − 3m + 4 1. Montrer que tous les plans Pm contiennent une droite ∆ dont on déterminera une représentation paramétrique. 2. On considère les droites ∆1 et ∆2 définies par :  (  x = 1 − 2λ x − 2y + 3 = 0 , λ ∈ R et ∆2 : ∆1 : y = 3 + λ  x + 2z = 0  z = 1 + 4λ a) Montrer que ∆1 et ∆2 sont sécantes et déterminer le point I intersection de ∆1 et ∆2 . Vérifier que I ∈ P0 . b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant ∆1 et ∆2 . c) Soit O0 l’image de O par la symétrie centrale de centre I. Ecrire une équation cartésienne du plan Q0 passant par O0 et parallèle à P0 . d) Donner une représentation paramétrique de D = Q ∩ Q0 . 1 3. a) Existe-t-il un plan Pm passant par le point A de coordonnées ( , 0, 2). 2 b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par le point A et la droite ∆. c) Soient P l’ensemble de tous les plans Pm et Q celui de tous les plans contenant ∆. P est-t-il égal àQ ? Page 25 sur 78

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Exercice 11 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). A tout couple (a, m) ∈ R2 , on associe la droite ∆a et le plan Pm définis par : ( x+1 = 0 ∆a : y − z − a = 0 et Pm : (m + 1)x − (m − 1)y + (2m + 3)z + 2 = 0 − 1. Trouver un point A et un vecteur directeur → u de la droite ∆a . 2. Etudier, suivant les valeurs de a et m, la position relative de ∆a et Pm . 3. Démontrer que tous les plans Pm contiennent une droite fixe D dont on déterminera un point A − et un vecteur directeur → u. 4. a) Déterminer a pour que ∆a et D soient coplanaires. b) Dans le cas où ∆a et D sont coplanaires, donner une équation cartésienne du plan Q contenant ∆a et D. Exercice 12 Soient A, B et C trois points non alignés, I le barycentre de ((A, 2), (C, 1)), J celui de ((A, 1), (B, 2)) et K celui de ((C, 1), (B, −4)). a) Montrer que J est le milieu de [I, K]. b) Soient L et M les milieux respectifs de [C, I] et [C, K]. Montrer que IJML est un parallélogramme dont le centre G est le barycentre du triangle ABC. Exercice 13 Dans un plan affine, soient ABC et A0 B0C0 deux triangles de centre de gravité G et G0 respectivement. −→ −→ −→ 1. Calculer AB0 + BC0 + CA0 en fontion de G et G0 . 2. On suppose que les triagles ABC et A0 B0C0 ont même centre de gravité. Soit M le point du plan, tel que MBA0C soit un parallélogramme. Montrer que MB0 AC0 est aussi un parallélogramme. 3. Réciproquement, on suppose qu’il existe un point M du plan, tel que MBA0C et MB0 AC0 soient des parallélogrammes. Montrer que les triagles ABC et A0 B0C0 ont même centre de gravité. Exercice 14 Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E et M un point quelconque de E . On pose −→ −→ −→ −→ −→ −→ λA = det(MB, MC), λB = det(MC, MA), λC = det(MA, MB) 1. Montrer que λA + λB + λC 6= 0. 2. Montrer que M est le barycentre de (A, λA ), (B, λB ) et (C, λC ). 3. En déduire que si G est le barycentre du triangle ABC, alors −→ −→ −→ −→ −→ −→ det(GB, GC) = det(GC, GA) = det(GA, GB) Exercice 15 Soint P un plan affine muni d’un repère affine (A, B,C) et M un point de P de coordonnées barycentriques (α, β, γ). Trouver une condition necessaire et suffisante liant α, β et γ, telle que : a) Le point M appartient à la droite (AB). b) Le point M appartient à la médiane issue de A du triangle ABC. c) Le point M appartient à la parallèle à la droite (BC) mené par le milieu du segment [A, B]. Page 26 sur 78

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Exercice 16 (Théorème de Menelaüs) Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que P ∈ (BC) \ {B,C}, Q ∈ (AC) \ {A,C} et R ∈ (AB) \ {A, B} − → −→ −→ − → − → − → On suppose que PB = αPC, QC = βQA et RA = γRB. Montrer que les points P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1. Exercice 17 (Théorème de Ceva) Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que P ∈ (BC) \ {B,C}, Q ∈ (AC) \ {A,C} et R ∈ (AB) \ {A, B} − → −→ −→ − → − → − → On suppose que PB = αPC, QC = βQA et RA = γRB. Montrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes, si et seulement si, αβγ = −1. Exercice 18 Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant − →− → − →− → mêmes coordonnées dans les repères cartésiens (A, AB, AC) et (B, BA, BC). Exercice 19 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient A, B, C et D les points de coordonnées respectives (4, −1, 2), (2, −5, 4), 5, 0, −3) et (1, −5, 6). 1. Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires. − → − → − → 2. On considère les droites et les plans suivants dont les équations par rapport au repère (O, i , j , k ) sont données par i) x + y = 1 = 0. ii) 2x − 3y + 4z − 1 = 0. ( x+y+z = 1 . iii) 2x − y + 4z = 3 ( 3x − y − z = −1 iv) . 4x − 3y − z = −2 − →− → −→ Donner les équations de ces droites et ces plans par rapport au repère (A, AB, AC, AD). Exercice 20 Soient A, B, C et D quatres points non coplanaires de l’espace affine de dimension 3. On définit les points K, L, M et N par −→ − → → −→ → − − − −→ −−→ → − −→ − −→ → → KA + αKB = 0 , LB + βLC = 0 , MC + γMD = 0 , ND + λNA = 0 Caractériser (α, β, γ, λ) pour que les plans (KCD), (LDA), (MAB) et (NBC) aient un point commun.

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Applications affines 2.1 2.1.1

Propriètés caractéristiques d’une application affine Définition et propriètés élémentaires

Définition 14 Soit E un espace affine de direction E. On dit qu’une application f : E −→ E est une application → − affine, s’il existe un endomorphisme de E, noté f , telle que −−−−−−→ → − −−→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , f (M) f (N) = f (MN) → − Dans ce cas, f s’appelle l’application linéaire associée à f Exemples 13 Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique : E × E −→ E → − (a, b) 7−→ ab = b − a Alors toute application affine f de E s’écrit sous la forme, ∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b

où u ∈ L(E) et b ∈ E

En effet, si f (x) = u(x) + b, alors on aura, −−−−−→ ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x) f (y) = = = =

f (y) − f (x) u(y) − u(x) u(y − x) − u(→ xy)

Donc f est une application affine. Réciproquement, soit f une application affine, alors il existe une application linéaire u de E, telle que : ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x) − f (y) = u(x − y), donc pour y = 0 et b = f (0) nous obtenons, ∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b Proposition 6 Soient E un espace affine de direction E et f : E −→ E une application. Alors f est une → − application affine, si et seulement si, il existe une application linéaire f de E et il existe un point A ∈ E , tel que, −−−−−−→ → − −→ ∀M ∈ E , f (A) f (M) = f (AM) 29

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Preuve (=⇒) Trivial. (⇐=) Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a −−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ f (M) f (N) = f (A) f (N) − f (A) f (M) → − −→ → − −→ = f (AN) − f (AM) → − −→ −→ = f (AN − AM) → − −−→ = f (MN) Proposition 7 Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et F un sous-espace affine de E passant par le point A et de direction F, alors, → − i) f (F ) est un sous-espace affine de E passant par f (A) et de direction f (F). → − ii) f −1 (F ), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de direction f −1 (F). Preuve i) Montrons que

−−−−→ → − ∀M ∈ E , M ∈ f (F ) ⇐⇒ f (A)M ∈ f (F) −−−−→ −−−−−−→ → − − → Soit M ∈ f (F ), alors, il existe P ∈ F , tel que M = f (P), donc, f (A)M = f (A) f (P) = f (AP). −−−−→ → − Donc f (A)M ∈ f (F). −−−−→ → −−−−→ → − − − − Supposons que f (A)M ∈ f (F), donc il existe → u ∈ F, tel que f (A)M = f (→ u ). −−−−→ −−−−−−→ −→ → − Soit N ∈ F , tel que u = AN, donc f (A)M = f (A) f (N), par suite, M = f (N). ii) Supposons que f −1 (F ) 6= 0/ et soit A ∈ f −1 (F ), alors on a M ∈ f −1 (F ) ⇐⇒ f (M) ∈ F −−−−−−→ ⇐⇒ f (A) f (M) ∈ F → − −→ ⇐⇒ f (AM) ∈ F −→ → − ⇐⇒ AM ∈ f −1 (F) → − Donc f −1 (F ) est le sous-espace affine passant par A et de direction f −1 (F). Remarque 12 Pour tout point M ∈ E , f −1 ({M}), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction → − ker( f ).

2.1.2

Représentation analytique d’une application affine

− − − Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ). Soient → − → − → − − f une application affine et A = (ai j )1≤i, j≤n la matrice de f par rapport à la base ( e1 , e2 , . . . , → en ). On désigne par (b1 , b2 , . . . , bn ) les coordonnées de Ω = f (O) et pour chaque point M ∈ E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), on désigne par (x10 , x20 , . . . , xn0 ) les coordonnées de M 0 = f (M), puisque −−−−−−→ → − −−→ f (OM) = f (O) f (M), alors on aura −−→0 → − −−→ −→ OM = f (OM) + OΩ, par suite, on obtient le système suivant, appelé représentation analytique de l’application affine f :   x10 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1    x0 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2 2 . ..     x0 = a x + a x + . . . + a x + b n

n1 1

n2 2

nn n

n

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Remarque 13 D’après ce qui précède, si on pose       x1 x10 b1 x2  x0  b2     2   X =  ..  , X 0 =  ..  et b =  ..  . . . 0 xn xn bn alors, on obtient ce qu’on appelle la représentation matricielle de l’application affine f , par rapport − − − au repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ) : X 0 = AX + b

2.1.3

Composée de deux applications affines - Groupe affine

Proposition 8 Soient E un espace affine, f et g deux applications affines de E . Alors g ◦ f est une application → − − affine dont l’application linéaire associée est → g◦ f. Preuve Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a −−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→ (g ◦ f )(M)(g ◦ f )(N) = g( f (M))g( f (N)) −−−−−−→ − = → g ( f (M) f (N)) → − −−→ − = → g ( f (− →MN)) → − −−→ − = (→ g ◦ f )(MN) −−→ − → − Donc g ◦ f est une application affine et g ◦ f = → g◦ f. Proposition 9 Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E . Alors, i)

→ − f est bijective ⇐⇒ f est bijective −−→ → − ii) Si f est bijective, alors f −1 est une application affine et on a f −1 = f −1 . Preuve i) Fixons un point A ∈ E . Supposons que f est bijective et soient ϕ et ψ les applications définies par ϕ : E −→ E −→ M 7−→ AM

et

ψ : E −→ E −−−−−−→ M 7−→ f (A) f (M)

alors, par définition, ϕ est bijective et puisque f est bijective, alors ψ est bijective. On voit → − → − → − facilement que ψ ◦ f = f ◦ ϕ, donc f = ψ ◦ f ◦ ϕ, par suite f est bijective. → − Réciproquement, supposons que f est bijective et montrons que f est à la fois injective et surjective. Page 31 sur 78

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M.HOUIMDI Soint M et N deux points de mathcalE, tels que f (M) = f (N), a-t-on M = N ? Pour cela fixons un point A ∈ E , alors on aura, −−−−−−→ −−−−−−→ f (M) = f (N) =⇒ f (A) f (M) = f (A) f (N) → − −→ → − =⇒ f (AM) = f (AN) −→ −→ → − =⇒ AM = AN (car f est bijective) =⇒ M = N Soit P un point de E , existe-t-il M ∈ E , lel que f (M) = P ? −−−→ → − → − − − Puisque f est bijective, alors il existe → v ∈ E, tel que f (→ v ) = f (A)P. Soit M ∈ E , tel que −−−−−−→ −−−→ −→ → → − − → − −→ AM = − v , donc f (→ v ) = f (AM) = f (A) f (M) = f (A)P, par suite, P = f (M).

ii) Remarque 14 Soit E un espace affine. On note GA(E ) l’ensemble de toutes les bijections affines de E , alors (GA(E ), ◦) est un groupe, appelé groupe affine de E .

2.1.4

Points fixes d’une application affine

Définition 15 Soient E un espace affine et f une application affine de E . On dit que A ∈ E est un point fixe de f , si f (A) = A. On note Fix( f ) l’ensemble de tous les points fixes de f . Remarque 15 Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . On muni E d’un − − − repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ), où O est un point fixe de f . Alors la représentation matricielle de f par rapport à ce repère s’écrit sous la forme : X 0 = AX Donc, dans ce cas, f se comporte comme une application linéaire. Proposition 10 Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors Fix( f ), s’il n’est pas vide, est → − un sous-espace affine de E de direction ker( f − IdE ). Preuve Supposons que Fix( f ) 6= 0/ et fixons un point A ∈ Fix( f ), alors on a, M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ f (M) = M −−−−→ −→ ⇐⇒ A f (M) = AM −−−−−−→ −→ ⇐⇒ f (A) f (M) = AM → − −→ −→ ⇐⇒ f (AM) = AM −→ → − ⇐⇒ AM ∈ ker( f − IdE ) → − Donc Fix( f ) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction ker( f − IdE ). Théorème 7 Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes, i) f possède un unique point fixe. → − ii) 1 n’est pas valeur propre de f . Page 32 sur 78

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Preuve i) =⇒ ii) Si f possède un unique point fixe A, donc le sous-espace affine Fix( f ) est réduit à un seul → − → − → − point, par suite, Fix( f ) est de direction { 0 }, donc ker( f − IdE ) = { 0 }, donc 1 n’est pas → − valeur propre de f . → − ii) ⇐= i) Fixons un point A ∈ E . Puisque 1 n’est pas valeur propre de f et E de dimension finie, −−−→ → − → − − − alors IdE − f est bijective, par suite, il existe → u ∈ E, tel que (IdE − f )(→ u ) = A f (A). Soit −−−→ −→ → −−−−→ −→ −→ − − −→ −→ −−−−−−→ M ∈ E , tel que AM = → u . Ainsi, A f (A) = AM − f (AM) = AM − f (A) f (M), donc A f (M) = AM, / par conséquent, f (M) = M, donc Fix( f ) 6= 0. − → −−−−−−→ → − − → − → → − Soient A et B deux points de Fix( f ), alors on a AB = f (A) f (B) = f (AB), donc AB = 0 , car → − 1 n’est pas valeur propre de f , par suite A = B.

2.2 2.2.1

Exemples d’applications affines Translation

Définition et propriètés élémentaires Définition 16 − Soient E un espace affine de direction E et → u un vecteur de E. On appelle translation de vecteur → − u , l’application de E vers E qui à tout point M ∈ E , fait correspondre l’unique point M 0 de E , tel que −−→0 → MM = − u − − la translation de vecteur → On note t→ u. u

Proposition 11 Soit E un espace affine de direction E, alors toute translation de E est une application affine dont l’application linéaire associée est l’identité de E. Preuve − Soit f une translation de E de vecteur → v et soient M et N deux points quelconques de E , alors, d’après la relation de Chasles, on a, −−−−−−→ −−−−→ −−→ −−−−→ −−→ − −−→ −−→ − f (M) f (N) = f (M)M + MN + N f (N) = −→ v + MN + → v = MN = IdE (MN) → − Donc f est une application affine et f = IdE . Proposition 12 Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une translation de E , si → − et seulement si, f = IdE . Preuve (=⇒) D’après la proposition précédente. → − (⇐=) Supposons que f = IdE , alors on aura, −−−−−−→ −−→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , f (M) f (N) = MN Donc, d’après la proprièté du prallélogramme, on a −−−−→ −−−−→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , M f (M) = N f (N) −−−→ − − Fixons A ∈ E et soit → v = A f (A), alors f est la translation de vecteur → v. Page 33 sur 78

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Groupe des translations de E Proposition 13 Soit E un espace affine de direction E. Alors − = IdE . i) t→ 0 − − − − − − − − ii) ∀→ u ∈ E, ∀→ v ∈ E, t→ u = t(→ u +→ v ). v ◦ t→ v = t→ u ◦ t→ → − −1 − − = t−→ iii) Pour tout u ∈ E, t→ − u est bijective et on a t→ u. u iv) Soit T l’ensemble de toutes les translations de E , alors (T , ◦) est un groupe commutatif, appelé groupe des translations de E . v) L’application (E, +) −→ (T , ◦) → − − u 7−→ t→ u est un isomorphisme de groupes. Preuve Exercice Proposition 14 Le groupe T des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine GE(E ) et le groupe quotient de GE(E ) par T est isomorphe au groupe linéaire de E. GE(E )/T ' GL(E) Preuve En effet, il suffit de considérer l’application ϕ : (GE(E ), ◦) −→ (GL(E), ◦) → − f 7−→ ϕ( f ) = f −−→ − → − On a vu que g ◦ f = → g ◦ f , donc ϕ est un homomorphisme de groupes. D’après la proposition → − précédente, f = IdE , si et seulement f est une translation de E , donc ker(ϕ) = { f ∈ E : ϕ( f ) = IdE } = T Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E )/T est isomorphe à ϕ(GE(E )) avec ϕ(GE(E )) = GL(E). Décomposition d’une application affine Lemme 1 − Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et → v un vecteur de E. Alors → − → − − − f ◦ t→ v = t→ v ◦ f ⇐⇒ v ∈ ker( f − IdE ) Preuve (=⇒) On sait que

−−−−−→ → − − ∀M ∈ E , Mt→ v (M) = v −−−−→ −−−−−−−−−→ → − − − Soit A ∈ E , alors on aura At→ v (A) = f (A)t→ v ( f (A)) = v , donc, → − → → − −−−−−→ − f (− v ) = f (At→ v (A)) −−−−−−−−−→ − = f (A) f (t→ v (A)) −−−−−−−−−→ − − − = f (A)t→ v ( f (A)) (car f ◦ t→ v = t→ v ◦ f) → − = v Page 34 sur 78

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(⇐=) −−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→ − − ∀M ∈ E , f (M)( f ◦ t→ v (M)) v )(M) = f (M) f (t→ → − −−−−−→ − = f (Mt→ v (M)) −−−−−→ → − → − → − − = Mt→ v (M) (car f ( v ) = v ) −−−−−−−−−−→ − = f (M)t→ v ( f (M)) −−−−−−−−−−−→ − = f (M)(t→ v ◦ f )(M) − − Donc f ◦ t→ v ◦ f. v = t→

Théorème 8 Soient E un espace affine de direction E et f une application affine sans points fixes, telle que → − → − E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ) → − − / tels que Alors il existe → v ∈ ker( f − IdE ) et il existe une application affine g avec Fix(g) 6= 0, − − f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v

Preuve −−−→ −−−→ → − − Supposons qu’il existe un point A ∈ E , tel que A f (A) ∈ ker( f − IdE ), puis posons → v = A f (A) et − g = t−→ v ◦ f , alors on aura − − i) f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v. −−−→ → −−−→ −−−−−−−−−→ −−−→ → − − − → − − ii) Ag(A) = A t→ v ( f (A)) = A f (A) + f (A)t→ v ( f (A)) = A f (A) − v = 0 , donc g(A) = A. −−−→ → − Donc il suffit de montrer qu’il existe un point A ∈ E , tel que A f (A) ∈ ker( f − IdE ). Pour cela, fixons → − → − → − − un point B ∈ E , puisque E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ), alors il existe → v ∈ ker( f − IdE ) et il − existe → u ∈ E, tels que −−−→ → → − − B f (B) = − v + (IdE − f )(→ u) −−−→ − − −−−→ − − → − → −−−−−−→ Soit A ∈ E , tel que BA = → u , alors on aura B f (B) = → v + BA − f (B) f (A), donc A f (A) = → v.

Remarque 16 −−−−→ → − 1. M ∈ Fix(g) ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ). −−−→ − 2. → v = A f (A), pour n’importe quel point A ∈ Fix(g).

2.2.2

Homothétie

Définition 17 Soient E un espace affine de direction E, Ω un point de E et k un nombre réel. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport k, l’application h : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre le point M 0 de E défini par −−→0 −−→ ΩM = kΩM Remarque 17 Soit h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k. Page 35 sur 78

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M.HOUIMDI 1. Ω, M et h(M) sont toujours alignés.

F IGURE 2.1 – Une homothétie de rapport 3 et une autre de rapport −2 2. Si k = 0, alors ∀M ∈ E , h(M) = Ω, donc, dans ce cas, h est constante. 3. Si k = 1, alors ∀M ∈ E , h(M) = M, donc, dans ce cas, h = IdE . Proposition 15 Soient E un espace affine de direction E et h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k. → − Alors h est une application affine dont l’application linéaire associée est h = kIdE . Preuve Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a, −−−−−−→ −−−−→ −−−−→ −→ −−→ −−→ −−→ h(M)h(N) = Ωh(N) − Ωh(M) = kΩN − kΩM = kMN = kIdE (MN) → − Donc h est une application affine et h = kIdE . Remarque 18 Soit h est une homothétie de centre Ω et de rapport k, avec k 6= 1. 1. Alors Ω est l’unique point fixe de h. 2. Si k = −1, on dit que h est une symétrie centrale de centre Ω.

F IGURE 2.2 – Symétrie de centre Ω Proposition 16 Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une homothétie, si et → − seulement si, il existe un réel k 6= 1, tel que f = kIdE . Page 36 sur 78

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M.HOUIMDI

Preuve (=⇒) Déjà vu. → − → − (⇐=) f = kIdE , donc 1 n’est pas valeur propre de f , donc d’après le théorème 7, f possède un unique point fixe Ω, ainsi on aura −−−−→ −−−−−−−→ → −−→ − −−→ ∀M ∈ E , Ω f (M) = f (Ω) f (M) = f (ΩM) = kΩM Donc f est l’homothétie de centre Ω et de rapport k. Remarque 19 1. On note HT (E ) l’ensemble des applications affine de E , défini par → − f ∈ HT (E ) ⇐⇒ ∃k 6= 0 : f = kIdE Alors d’après ce qu’on a vu sur les translations et les homothéties, f ∈ HT (E ), si et seulement si, f est une translation ou f est une homothétie. Ainsi, si on désigne par H (E ) l’ensemble des homothéties de E , alors HT (E ) = T (E ) ∪ H (E ) 2. (HT (E ), ◦) est un sous-groupe de GA(E ), ◦) En effet, soit H = {kIdE : k ∈ R∗ }, alors H est un sous-groupe de GL(E) et on a HT (E ) = ϕ−1 (H ), où ϕ est l’homomorphisme de groupes défini par ϕ : GA(E ) −→ GL(E) → − f 7−→ f Les éléments de HT (E ) sont appelés des homothéties-translations. Définition 18 Soit E un espace affine, on appelle dilatation de E , toute bijection affine de E qui transforme toute droite D en une droite parallèle à D . Lemme 2 Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps commutatif quelconque. Soit u un endomorphisme de E, tel que ∀x ∈ E, ∃α ∈ K ∗ : u(x) = αx Alors il existe k ∈ K ∗ , tel que u = kIdE . Preuve Fixons x0 ∈ E, alors il existe k ∈ K ∗ , tel que u(x0 ) = kx0 . Montrons que ∀x ∈ E, u(x) = kx Soit x ∈ E, alors deux cas sont possibles : 1er Cas (x0 , x) lié, alors il existe λ ∈ K, tel que x = λx0 , donc u(x) = λu(x0 ) = λkx0 = kx. 2ème Cas (x0 , x) libre. Dans ce cas, soit α ∈ K ∗ , tel que u(x) = αx et soit β ∈ K ∗ , tel que u(x0 + x) = β(x0 + x), puisque u est linéaire, alors u(x0 + x) = u(x0 ) + u(x) = kx0 + αx, donc kx0 + αx = βx0 + βx et puisque (x0 , x) est libre, alors α = β = k. Proposition 17 Soient E un espace affine et f une application affine. Alors f est une dilatation ⇐⇒ f ∈ HT (E ) Page 37 sur 78

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M.HOUIMDI

Preuve (=⇒) Soient M et N deux points quelconques distincts de E , puisque f est une dilatation, alors les −−−−−−→ −−→ droites (MN) et ( f (M) f (N)) sont prallèles, donc il existe α 6= 0, tel que f (M) f (N) = αMN, donc on aura → − − − − ∀→ v ∈ E, ∃α ∈ R∗ : f (→ v ) = α→ v → − Donc, d’après le lemme précédent, il existe k ∈ R∗ , tel que f = kIdE , par suite, f ∈ HT (E ). (⇐=) Trivial.

2.2.3

Projection affine

Proposition 18 Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de F dans E. Alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique point M 0 ∈ F , tel que −−→0 MM ∈ G. Preuve Fixons un point A ∈ F et soit M un point quelconque de E , puisque E = F ⊕ G, alors il existe −→ − → − − − (→ u ,→ v ) ∈ F × G, tel que AM = → u +− v . Puisque → u ∈ F et A ∈ F , alors il existe M 0 ∈ F , tel que −−→0 → −−→ − −−→ AM = − u , donc on aura M 0 M = → v , par suite MM 0 ∈ G. −−→ −−→ −−→ Supposons qu’il existe un autre point N de F , tel que MN ∈ G, donc M 0 N ∈ G et on a aussi M 0 N ∈ F, → − or F ∩ G = { 0 }, donc M 0 = N. Définition 19 Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de F dans E. On appelle projection affine sur F parallèlement à G (ou de direction G), l’application de E vers E qui à tout point M de E fait correspondre l’unique point M 0 de F , −−→ tel que MM 0 ∈ G Remarque 20 Soit f la projection sur F parallèlement à G, alors 1. Pour tout M ∈ E , on a f (M) ∈ F . −−−−→ 2. Pour tout M ∈ E , on a M f (M) ∈ G. 3. ∀M ∈ E , f (M) = M ⇐⇒ M ∈ F . Définition 20 (Rappel d’algèbre linéaire) soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. i) On appelle projection sur F parallèlement à G, l’application de E vers E définie par pF : E = F ⊕ G −→ E x = x1 + x2 7−→ pF (x) = x1 ii) On appelle projecteur de E tout endomorphisme u de E vérifiant u2 = u. Remarque 21 1. Soit pF la projection sur F parallèlement à G, alors i) pF est un endomorphisme de E. ii) Im(pF ) = F et ker(pF ) = G. Page 38 sur 78

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M.HOUIMDI iii) pF ◦ pF = pF , donc pF est un projecteur de E. 2. Réciproquement, supposons que u est un projecteur de E, alors on sait que i) E = Im(u) ⊕ ker(u). ii) ∀x ∈ E, x ∈ Im(u) ⇐⇒ u(x) = x iii) ker(u) = Im(u − IdE ) et Im(u) = ker(u − IdE ). iii) u est la projection sur F parallèlement à G, où F = Im(u) et G = ker(u).

Proposition 19 Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de F dans E. Alors la projection p sur F parallélement à G est une application affine de E dont −p = p . l’applcation linéaire associée est → F Preuve Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a −−→ −−−−→ −−−−−−→ −−−−→ −−−−−−→ −−−−→ −−−−→ MN = M p(M) + p(M)p(N) + p(N)N = p(M)p(N) + (M p(M) + p(N)N) −−−−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−−−→ −−→ avec p(M)p(N) ∈ F et (M p(M) + p(N)N) ∈ G, donc p(M)p(N) = pF (MN). −p = p . Donc p est une application affine et → F Proposition 20 Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors → − → − f est une projection affine ⇐⇒ Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f → − → − → − Dans le cas où Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f , f est la projection sur Fix( f ) parallèlement à ker( f ). Preuve (=⇒) Si f est une projection affine sur F parallèlement à G, alors, d’après la proposition précédente, → −2 → − f = f et par définition, on a Fix( f ) = F . / alors, dans ce cas, on sait que Fix( f ) est un sous-espace affine de (⇐=) Supposons que Fix( f ) 6= 0, → − → − direction ker( f − IdE ), puisque f est un projecteur de E, alors on sait que → − → − ker( f − IdE ) = Im( f ) et que → − → − E = Im( f ) ⊕ ker( f ) → − → − Soit p la projection affine sur Im( f ) de direction ker( f ). Fixons A ∈ Fix( f ), alors on a −−−−−−−→ −−−−→ −−−−→ ∀M ∈ E , f (M)p(M) = Ap(M) − A f (M) −−−−−−→ −−−−−−→ = p(A)p(M) − f (A) f (M) (car f (A) = p(A) = A) → → − −→ −p (− =→ AM) − f (AM) − → − −p = → = 0 (car → f) Donc, ∀M ∈ E , f (M) = p(M). Remarque 22 Soient E un espace affine de dimension et f une application afine de E . Page 39 sur 78

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M.HOUIMDI → − → − → − / alors f n’est pas une projection. Cependant, puisque f est un 1. Si f 2 = f et Fix( f ) = 0, → − → − → − → − projecteur de E, alors ker( f ) = Im( f − IdE ) et Im( f ) = ker( f − IdE ), donc on aura → − → − E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ) → − − Donc, d’après le théorème 8, il existe → v ∈ Im( f ) et il existe une projection affine g de direction → − → − ker( f ) sur un sous-espace affine de direction Im( f ), tels que − − f = t→ v v ◦ g = g ◦ t→

− − − 2. On suppose que E est de dimension finie = n muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ). → − → − → − → − Soit A la matrice de f par rapport à la base ( e1 , e2 , . . . , en ), alors f est une projection affine ⇐⇒ A2 = A et Fix( f ) 6= 0/ Corollaire 1 Soient E un espace affine de direction E et f une application affine. Alors f est une projection affine ⇐⇒ f 2 = f Preuve → − → − −−→ → − → − → − → − → − Il suffit de montrer que Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f . Pour cela, on a f ◦ f = f ◦ f , donc f ◦ f = f . D’autre part, on a f 2 = f , donc pour tout point M ∈ E , f ( f (M)) = f (M), donc ∀M ∈ E , on a f (M) ∈ Fix( f ). Exemples 14 − − − 1. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , → e3 ). Trouver l’expression analytique de la projection affine sur le plan P d’équation x + y + z = 1 parallèlement − − − à G = Vect(→ e1 + → e2 − → e3 ). Réponse Soit M un point de E de coordonnées (x, y, z)et soit (x0 , y0 , z0 ) les coordonnées de M 0 = f (M). −−→ Puisque on sait que M 0 ∈ P et MM 0 ∈ G, alors on aura  0 0 0  x + y + z = 1 y0 − y = x0 − x  0 z − z = −(x0 − x) Donc ce système en x0 , y0 et z0 admet pour solution,  0  x = −y − z + 1 y0 = −x − z + 1  0 z = x + y + 2z − 1 − − − 2. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, → e1 , → e2 , → e3 ). Soit l’application affine de E défine analytiquement par  1 0  x = 2 (x − y − z + 1) y0 = −x − z + 1  0 1 z = 2 (x + y + 3z − 1) Page 40 sur 78

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M.HOUIMDI a) Montrer que f est une projection affine et déterminer ses éléments caractéristiques. x−1 y z−3 b) Trouver l’image de la droite D d’équations = = . −1 2 4 c) Trouver l’image du plan P d’équation x + y − z + 5 = 0. Réponse a) En général, l’étude d’une application affine, définie analytiquement, commence par la recherche des points fixes. Soit M un point de coordonnées (x, y, z), alors M ∈ Fix( f ), si et seulement si, x, y et z vérifient le système suivant,  1  x = 2 (x − y − z + 1) y = −x − z + 1   z = 12 (x + y + 3z − 1) Ce système est équivalent à l’équation x + y + z − 1 = 0, donc Fix est le plan affine P d’équation → − − − − x + y + z − 1 = 0. Soit A la matrice de f par rapport à la base (→ e1 , → e2 , → e3 ), alors on aura,   1 −1 −1 1 −2 0 −2 A= 2 1 1 3 Donc on aura 

    1 −1 −1 2 −2 −2 1 −1 −1 1 1 A2 = −2 0 −2 −2 0 −2 = −4 0 −4 = A 4 4 1 1 3 2 2 6 1 1 3 A2 = A et Fix( f ) 6= 0/ donc f est une projection affine P . Pour déterminer la direction de f on doit chercher ker(A).        x 1 −1 −1 x 0 y ∈ ker(A) ⇐⇒ −2 0 −2 y = 0 z 1 1 3 z 0   x − y − z = 0 ⇐⇒ −2x − 2z = 0   x + y + 3z = 0 ( y = 2x ⇐⇒ z = −x Donc f est la projection affine sur le plan P d’équation x + y + z − 1 = 0 parallèlement à − − − G = Vect(→ e1 + 2→ e2 − → e3 ). b) D est la droite passant par le point A de coordonnées (1, 0, 3) et de vecteur directeur → − − − − u =→ e1 − 2→ e2 − 4→ e3 , donc f (D ) est le sous-espace affine de E passant par le point f (A) → − − → − − − − − e1 +6→ e3 −13→ e3 ), donc f (D ) est la droite et de direction Vect( f (→ u )). On a f (→ u ) = 12 (7→ 1 9 passant par le point B de coordonnées (− 2 , −3, 2 ) et de vecteur directeur − − − → − v = 12 (7→ e1 + 6→ e3 − 13→ e3 ). c) P est le plan passant par le point A de coordonnées (−5, 0, 0) et de vecteurs directeurs → − − − − − − u = −→ e1 + → e2 et → v =→ e1 + → e3 . Donc f (P ) est le sous-espace affine passant par f (A) et → − → → − − − de direction Vect({ f ( u ), f (→ v )}). Donc f (P ) est le plan affine passant par le point B −−→ − −−→ → de coordonnées (−2, 6, 2) et de vecteurs directeurs −e1 + → e2 et −e2 + − e3 . Page 41 sur 78

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2.2.4

Symétrie affine

Définition 21 Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire de F dans E et p la projection affine sur E de direction G. On appelle symétrie affine par rapport à F parallèlement à G (ou de direction G), l’application f : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M 0 défini par −−→0 −−−−→ MM = 2M p(M)

Remarque 23 Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire de F dans E, p la projection affine sur E de direction G et f la symétrie affine par rapport à F parallèlement à G. Alors, 1. f (M) = M ⇐⇒ p(M) = M ⇐⇒ M ∈ Fix(p)

2. p(M) est le milieu du segment [M, f (M)]. −−−−→ 3. ∀M ∈ E , M f (M) ∈ G

F IGURE 2.3 – Symétrie affine Page 42 sur 78

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Définition 22 (Rappel d’Algèbre linéaire) Soit E un K-espace vectoriel. i) Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. On appelle symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G, l’application sF définie par sF : E = F ⊕ G −→ E x = x1 + x2 7−→ sF (x) = x1 − x2 ii) On dit qu’un endomorphisme u de E est une symétrie, si u2 = IdE . Remarque 24 1. Soit sF la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G. Alors, a) ∀x ∈ E, sF (sF (x)) = sF (x1 − x2 ) = x1 − (−x2 ) = x1 + x2 = x, donc s2F = IdE . b) ker(sF − IdE ) = F et ker(sF + IdE ) = G. c) Si pF est la projection sur F parallèlement à G, alors sF = 2pF − IdE . 2. Soit u une symétrie de E. Alors, a) E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ). b) u est la symétrie vectorielle par rapport à ker(u − IdE ) parallélement à ker(u + IdE ). c) u est un automorphisme de E. Proposition 21 Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F et G un supplémentaire de F dans E. Alors la symétrie f par rapport à F parallélement à G est une application affine dont l’application linéaire associée est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Preuve −p = p . Soient M et N deux Soit p la projection affine sur F parallélement à G, alors on sait que → F points quelconques de E , alors on a −−−−−−→ −−−−→ −−→ −−−−→ f (M) f (N) = f (M)M + MN + N f (N) −−−−→ −−→ −−−−→ = −2M p(M) + MN + 2N p(N) −−−−→ −−→ −−−−→ −−→ = −2M p(M) + MN + 2M p(N) − 2MN −−−−−−→ −−→ = 2 p(M)p(N) − MN −−→ −−→ = 2pF (MN) − MN −−→ = (2pF − IdE )(MN) → − Donc f est une application affine de E et f = 2pF − IdE = sF . Remarque 25 Si f est la symétrie affine par rapport à F parallèlement à G, alors a) Fix( f ) = F . −−−−→ b) ∀M ∈ E , M f (M) ∈ G. c) f est une bijection affine. Page 43 sur 78

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Proposition 22 Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors → − f est une symétrie affine ⇐⇒ Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = IdE → − Dans le cas où Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = IdE , alors f est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) → − parallèlement à ker( f + IdE ). Preuve (=⇒) Trivial. → − / donc Fix( f ) est un sous-espace affine de E de direction F = ker( f −IdE ). Puisque (⇐=) Fix( f ) 6= 0, → −2 f = IdE , alors E = ker( f − IdE ) ⊕ ker( f + IdE ). Soit p la projection affine sur Fix( f ) paral→ − −p − Id . Montrons que f lélement à G = ker( f + IdE ), alors, d’après la remarque 22, f = 2→ E est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallélement à G = ker( f + IdE ). Pour cela, soit M un point quelconque de E et soit A ∈ Fix( f ), alors on aura −−−−→ −−−−→ −−−−−−−→ M f (M) = M p(M) + p(M) f (M) −−−−→ −−−−→ −−−−→ = M p(M) + A f (M) − Ap(M) −−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ = M p(M) + f (A) f (M) − p(A)p(M) −−−−→ → − −→ − −→ = M p(M) + f (AM) − → p (AM) −−−−→ → −→ − −→ −p (− = M p(M) + 2→ AM) − AM − → p (AM) −−−−→ → −→ −→ − = M p(M) + p (AM) − AM −−−−→ −−−−→ −→ = M p(M) + Ap(M) − AM −−−−→ = 2M p(M) → − Donc f est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallèlement à ker( f − IdE ). Corollaire 2 Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une symétrie affine ⇐⇒ f 2 = IdE (=⇒) Supposons que f est une symétrie affine et soit p la projection affine sur Fix( f ) parallélement à → − ker( f +IdE ), alors on sait que pour tout point M ∈ E , p(M) est le milieu su segment [M, f (M)], −−−−→ −−−−−−−→ par suite, f (M)M = 2 f (M)p(M), donc, par définition, pour tout point M ∈ E , on a f ( f (M)) = M. −−→ −→ → − → − (⇐=) On a f ◦ f = IdE , donc f ◦ f = IdE , par suite, f ◦ f = IdE . Il suffit donc de vérifier que / pour cela, soit A un point de E et soit B le milieu de [A, f (A)], alors on aura, Fix( f ) 6= 0, − → −−−→ → → − − → → − −−−→ − → − BA + B f (A) = 0 =⇒ f (BA) + f (B f (A)) = 0 −−−−−−→ −−−→ → − =⇒ f (B) f (A) + f (B)A = 0 (car f ( f (A)) = A) =⇒ f (B) est le milieu de [A, f (A)] =⇒ f (B) = B =⇒ Fix( f ) 6= 0/ Page 44 sur 78

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Remarque 26 → − / Alors f n’est Soient E un espace affine et f une application de E , telle que f 2 = IdE et Fix( f ) = 0. pas une symétrie affine de E . Lemma 1 Soient K-espace vectoriel de dimension finie et u une symétrie vectorielle de E. Alors E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ) Preuve on a u2 = IdE , donc (u + IdE ) ◦ (u − IdE ) = 0, donc Im(u − IdE ) ⊆ ker(u + IdE ). Or on sait que E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ), et dim(E) = dim(ker(u − IdE )) + dim(Im(u − IdE )). Donc dim(Im(u − IdE )) = dim(ker(u + IdE )), par suite on a E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ). Proposition 23 → − Soient E un espace affine de dimension finie et f une application de E , telle que f 2 = IdE et → − − / Alors, il existe un vecteur → Fix( f ) = 0. v ∈ ker( f − IdE ) et il existe une symétrie affine g de E , tels que − − f = t→ v v ◦ f = f ◦ t→ → − Dans ce cas, f s’appelle une symétrie glissée par rapport à Fix(g) parallèlement à ker( f + IdE ) − et de vecteur → v. Preuve D’après le lemme précédent, E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ), donc d’après le théorème 8, il existe → − / tels que v ∈ E et il existe une application affine g avevc Fix( f ) 6= 0, − − f = t→ v ◦ f = f ◦ t→ v

→ − − − / alors g est la symétrie affine par rapport à Puisque → g = f , alors → g 2 = IdE et puisque Fix(g) 6= 0, → − Fix(g) parallélement à ker( f + IdE ). Exemples 15 − → − → − → L’espace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). 1. ( Déterminer l’expression analytique de la symétrie affine par rapport à la droite D d’équations x−y+z = 2 parallélement au plan vectoriel G d’équation x + y + 2z = 0. 3x + y + z = 4 Réponse Pour déterminer l’expression analytique de f nous allons utiliser le fait que pour −−−−→ tout point M de E , M f (M) ∈ G et le milieu N de [M, f (M)] appartient à D . ( x0 − y0 + z0 = −x + y − z + 4 N ∈ D ⇐⇒ 3x0 + y0 + z0 = −3x − y − z + 8 −−−−→ M f (M) ∈ G ⇐⇒ x0 + y0 + 2z0 = x + y + 2z On obtient donc le système suivant  0 0 0  x − y + z = −x + y − z + 4 3x0 + y0 + z0 = −3x − y − z + 8   0 x + y0 + 2z0 = x + y + 2z Page 45 sur 78

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M.HOUIMDI qui admet pour solution,  1 0  x = 2 (−3x − y − 2z + 7) y0 = 12 (x − y + 2z − 3)  0 z = x+y+z−1 2. Soit f l’application affine définie analytiquement par  0  x = −y − z + 1 y0 = −2x − y − 2z + 2  0 z = x + y + 2z − 1 Montrer que f est une symétrie dont on déterminera les éléments caractéristiques. Réponse

− → − → − → − → Soit A la matrice de f par rapport à la base ( i , j , k ), alors on a      0 −1 −1 0 −1 −1 1 0 0 A2 = −2 −1 −2 −2 −1 −2 = 0 1 0 = I 1 1 2 1 1 2 0 0 1 M ∈ Fix( f ), si et seulement les coordonnées x, y et z de M vérifient le système suivant,   x = −y − z + 1 y = −2x − y − 2z + 2   z = x + y + 2z − 1 qui est équivalent à l’équation x + y + z = 1. → − → − → − → − − Pour conclure, on doit chercher ker( f +IdE ). Soit → u = a i +b j +c k un vecteur quelconque de E, alors      1 −1 −1 a 0 → − → − u ∈ ker( f + IdE ) ⇐⇒ −2 0 −2 b = 0 1 1 3 c 0   a − b − c = 0 ⇐⇒ −2a − 2c = 0   a + b + 3c = 0 ( b = 2a ⇐⇒ c = −a − → − → − → − → Donc ker( f + IdE ) = Vect( i + 2 j − k ). → − f est la symétrie affine par rapport au plan d’équation x + y + z = 1 parallélement à Vect( i + − → − → 2 j − k ). 3. Soit f l’application affine définie analytiquement par  0  x = 3x − 4z − 1 y0 = 2x − y − 2z − 2  0 z = 2x − 3z − 3 Montrer que f est une symétrie glissée dont on déterminera les éléments caractéristiques.

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M.HOUIMDI Réponse

→ − On vérifie facilement que f n’a aucun point fixe et que A2 = I, où A est la matrice de f − → − → − → par rapport à la base ( i , j , k ). Donc f est une symétrie glissée. Pour obtenir les éléments −−−−→ caractéristiques de f , on cherche d’abord l’ensemble des point M ∈ E , tels que M f (M) ∈ → − ker( f − IdE ).      2 0 −4 2x − 4z − 1 0 −−−−→ → − M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ 2 −2 −2 2x − 2y − 2z − 2 = 0 2 0 −4 2x − 4z − 3 0 ( 2x − 4z − 5 = 0 ⇐⇒ x−y−z−8 = 0 5 11 Donc, par exemple, pour z = 0, on a x = 52 et y = − 11 2 . Soit B le point de coordonnées ( 2 , − 2 , 0), −−−→ − − − → → − → − → − → − − − alors A f (A) ∈ ker( f . Soit → v = A f (A), alors on a → v = 4 i + 14 j + 2 k(. 2x − 4z − 5 = 0 f est donc la symétrie glissée par rapport à la droite affine d’équations x−y−z−8 = 0 − → → − → − → − → − → − → − → − parallélement à ker( f + IdE ) = Vect( i + k , j ) et de vecteur v = 4 i + 14 j + 2 k .

2.3

Exercices

Exercice 21 Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . On considère l’application f : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M 0 barycentre du triangle ABM. Trouver la nature de f et déterminer ses éléments caractéristiques. Exercice 22 Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Pour chaque point M de E , soit N le point de E , tel que (A, B, M, N) forme un parallélogramme. On considère l’application f : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M 0 milieu de [A, N]. Trouver la nature de f et déterminer ses éléments caractéristiques. Exercice 23 Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Soient α et β deux réels différents de 1, f l’homothétie de centre A et de rapport α et g l’homothétie de centre B et de rapport β. On considère l’application h : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M 0 milieu de [ f (M), g(M)]. a) Montrer que si α + β = 0, alors h est une translation dont le vecteur a une direction fixe. b) Montrer que si α + β 6= 0, alors h est une homothétie dont on déterminera le rapport k et le centre Ω. Montrer que Ω ∈ (AB). Exercice 24 Soient E un espace affine de dimension 3, (A, B,C, D) un repère affine de E et G le centre de gravité du triangle ABC. Soit f l’application affine de E , telle que f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C et f (D) = G. Trouver la nature de f et déterminer ses éléments caractéristiques. Exercice 25 Soit E un espace affine. On appelle dilatation de E toute bijection de E qui transforme toute droite en une droite parallèle. Dans la suite f désigne une dilatation de E . 1. On suppose qu’il existe A ∈ E , tel que f (A) = A. Montrer que toute droite passant par A est globalement invariant par f . Page 47 sur 78

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M.HOUIMDI 2. On suppose que f possède au moins deux points fixes A et B. Montrer que f = IdE . 3. On suppose que f admet un unique point fixe Ω. Monter que f est l’homothétie de centre Ω. −−−→ − 4. On suppose que f n’admet aucun point fixe. Soit A un point de E et → v = f (A)A. Montrer que − − t→ v ◦ f = IdE . En déduire la nature de f . v ◦ f est une dilatation et que t→

Exercice 26 Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d’un espace affine E , (α, β, γ) ∈ R3 , tels que α + β + γ 6= −1 et σ = (α, β, γ). On considère l’application fσ : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre le point M 0 barycentre de ((A, α), (B, β), (C, γ), (M, 1)). 1. Montrer que fσ est une application affine et préciser la nature de fσ suivant la valeur de σ. − − 2. Soit → v un vecteur de E. existe-t-il une valeur de σ telle que f soit la translation de vecteur → v ? σ

3. Soit Ω ∈ E et k un réel non nul. existe-t-il une valeur de σ, telle que fσ soit la transtation de rapport k et de centre Ω ? Exercice 27 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement par   0 0 = 7x − 4y − 2z + 4   x x = 3x − 4z − 4  , y0 = 2x − y − 2z − 2 y0 = 6x − 3y − 2z + 4   0 0 z = 2x − 3z − 4 z = 12x − 8y − 3z + 8  0  x = −x + 2y − 2z − 2 y0 = −3y + 2z + 6  0 z = −4y + 3z + 6

,

 1 2 0  x = 2 (y − z) + 3 y0 = 12 (−2x + 3y − z) + 23  0 1 z = 2 (−2x + y + z) + 23

Exercice 28 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les applications affines définies analytiquement par   1 0 = −y − z − 1 0   x  x = 3 (x − 2y − 2z + 1) y0 = 13 (−2x + y − 2z + 2) y0 = −2x − y − 2z + 1 ,   0 0 1 z = x + y + 2z − 2 z = 3 (−2x − 2y + z − 1) Montrer que ces applications sont des symétries glissées dont on déterminera les éléments caractéristiques. Exercice 29 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement par les expressions suivantes :    1 0 = 3x + 4y + 2z − 4 0 = −4x − 2y + z − 7 0    x x   x = 11 (9x + 2y − 6z + 38) 1 , y0 = −2x − 3y − 2z + 4 , y0 = x − y − z − 1 y0 = 11 (2x + 9y + 6z + 17)    0 0 0 1 z = 4x + 8y + 5z − 8 z = −3x − 6y − 9 z = 11 (−6x + 6y − 7z − 29) Exercice 30 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer l’expression analytique des applications affines suivantes : Page 48 sur 78

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M.HOUIMDI 1. La projection ( sur le plan affine d’équation x + y + z = 2 parallélement à la droite vectorielle x = 2z d’équations . x+y+2 = 0 ( x−y+z = 2 2. La symétrie affine par rapport à la droite affine d’équations parallélement 3x + y + z = 4 au plan vectoriel d’équation x + y + 2z = 0. − → − → − → 3. La symétrie par rapport au plan d’équation x + 2y + z = 1 et de direction Vect( i + j + k ). ( x+y+1 = 0 4. La symétrie par rapport à la droite d’équation de direction le plan vectoriel 2y + z + 2 = 0 d’équation 3x + 3y − 2z = 0.

Exercice 31 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient A, B, C et D qautres points de coordonnées respectives (1, 2, −1), (1, 0, 2), (2, −4, 3) et (−2, −1, 0). 1. Donner l’expression analytique de la symétrie affine par rapport au plan P = (ACD) paralléle− → ment à G = Vect(AB). →. 2. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport −2. Reconnaitre l’application affine f = h ◦ t− AB Exercice 32 Soient D1 et D2 deux droites affines de l’espace affine E de dimension 3. Soit P un plan affine de E qui n’est parallèle ni à D1 ni à D2 . On désigne par q la projection affine sur P parallèlement à la direction de D1 et par p la projection affine sur P parallèlement à la direction de D2 . Soit α ∈]0, 1[ et soit f : E −→ E l’application qui à chaque point M fait correspondre le point M 0 barycentre de ((p(M), α), (q(M), (1 − α)). → − −p et → − 1. Montrer que f est une application affine et déterminer f en fonction de → q. → − → − → − → − → − → − 2. Montrer que p ◦ q = p et q ◦ p = q . → − → − → − 3. Montrer que f ◦ f = f et en déduire que f est une projection affine. 4. Déterminer les éléments caractéristiques de f . Exercice 33 Soient E un espace affine, F un sous-espace de E de direction F, G un supplémentaire de F dans E, p la projection sur F parallélement à G et α un nombre réel. On appelle affinité de base F , de direction G et de rapport α, l’application f : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre le point M 0 défini par −−−−−→0 −−−−→ p(M)M = α p(M)M → − 1. Montrer que f est une application affine et déterminer l’application linéaire associée f . 2. Identifier f dans le cas α = 0, α = 1 et α = −1. 3. Montrer que si α 6= 0, alors f est une bijection affine et que f −1 est une affinité dont on déterminera la base, la direction et le rapport. 4. Montrer que f ◦ f est une affinité dont on déterminera la base, la direction et le rapport. Exercice 34 − → − → − → L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les application affines f et g définies analytiquement par   0 0   x = 2x + 2y + 2z + 1 x = 3x + 4y + 2z − 4 f : y0 = −x − y − 2z − 1 g : y0 = −2x − 3y − 2z + 4   0 0 z = x + 2y + 3z + 1 z = 4x + 8y + 5z − 8 Page 49 sur 78

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Montrer que f et g sont des affinités et déterminer leurs éléments caractéristiques. Exercice 35 Soient E un espace affine et f une application affine de E , telle que pour tout point M de E , f 2 (M) soit le milieu du segment [M, f (M)]. Montrer que f est une affinité.

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Chapitre

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Espace affine euclidiens 3.1

Notions de base

− − − − Dans toute la suite, on désigne par E un espace euclidien. Pour → u ∈ E et → v ∈ E, → u .→ v désigne le → − → − produit scalaire de u par v . Définition 23 Soit E un espace affine de direction E. On dit que E est un espace affine euclidien, si E est un espace euclidien. Remarque 27 Rappelons qu’un espace euclidien E est un espace préhilbertien de dimension finie. Donc tout espace affine euclidien est de dimension finie. Dans la suite, on désigne par En tout espace affine euclidien de dimension n. Définition 24 Soient E un espace euclidien, A et B deux points quelconques de E . On définit la distance entre les points A et B, qu’on note d(A, B) ou AB, par − → d(A, B) = kABk Remarque 28 Soit E un espace euclidien, alors l’application, d : E × E −→ R+ − → (A, B) 7−→ d(A, B) = kABk définit une distance sur E : i) ∀(A, B) ∈ E × E , d(A, B) ≥ 0. ii) ∀(A, B) ∈ E × E , d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B. iii) ∀(A, B) ∈ E × E , d(A, B) = d(B, A). vi) ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , d(A, B) ≤ d(A,C) + d(B,C). Donc tout espace affine euclidien est un espace métrique. Lemma 2 − − Soient par → u et → v deux vecteures quelconques de E. Alors, − − − − − − − − k→ u +→ v k = k→ u k + k→ v k ⇐⇒ ((→ u ,→ v ) lié) et (→ u .→ v ≥ 0) 51

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Preuve − − − − − − − − Rappelons que, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwatz, |→ u .→ v | ≤ k→ u kk→ v k et que |→ u .→ v | = k→ u kk→ v k, → − → − si et seulement si, ( u , v ) est lié. − − − − k→ u +→ v k = k→ u k + k→ v k ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

− − − − k→ u +→ v k2 = (k→ u k + k→ v k)2 − − − − − − − − k→ u k2 + k→ v k2 + 2→ u .→ v = k→ u k2 + k→ v k2 + 2k→ u k2 k→ v k2 − − − − k→ u kk→ vk=→ u .→ v → − → − → − − ( u , v ) lié et u .→ v ≥0

Proposition 24 Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points quelconques de E . Alors, d(A, B) = d(A, M) + d(B, M) ⇐⇒ M ∈ [A, B] Preuve (=⇒) − → −→ −→ d(A, B) = d(A, M) + d(B, M) ⇐⇒ kABk = kAMk + kMBk −→ −→ −→ −→ ⇐⇒ kAM + MBk = kAMk + kMBk −→ −→ −→ −→ ⇐⇒ (AM, MB) lié et AM.MB ≥ 0 −→ −→ ⇐⇒ M ∈ (AB) et AM.MB ≥ 0 On a

−→ −→ − → −→ −→ −→ −→ − → −→ −→ AM.MB = AB.AM − AM 2 et AM.MB = AB.AM − MB2 −→ − → → −→ − donc AM.AB ≥ 0 et MB.AB ≥ 0. −→ − → −→ − → M ∈ (AB) et AM.AB ≥ 0 =⇒ ∃α ≥ 0 : AM = αAB − → −→ =⇒ MB = (1 − α)AB → −→ − =⇒ 1 − α ≥ 0 (car MB.AB ≥ 0) Donc 0 ≤ α ≤ 1, par suite, M ∈ [A, B]. (⇐=) Trivial. Proposition 25 Soient A et B deux points distincts et I un point quelconque d’un espace affine euclidien E . Alors, I est le milieu de [A, B] ⇐⇒ I ∈ (AB) et d(I, A) = d(I, B) Preuve (=⇒) Trivial. → − − → − → (⇐=) Puisque I ∈ (AB), alors, d’après le théorème 4, il existe α ∈ R, tel que (1 − α)IA + αIB = 0 → − → − et puisqiue kIAk = kIBk, alors |1 − α| = |α|, donc α = 12 , par suite, I est le milieu de [A, B].

3.2

Repère orthonormé

Définition 25 Soient E un espace affine euclidien de dimension n. Un repère orthonormé de E est un système − − − − − − (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ), où O est un point quelconque de E et (→ e1 , → e2 , . . . , → en ) est une base orthonormale de E. Page 52 sur 78

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Remarque 29 − − − Si (O, → e1 , → e2 , . . . , → en ) est un repère orthonoirmé de E et si A et B sont deux points quelconques de E , de coordonnées respectives (x1 , x2 , . . . , xn ) et (y1 , y2 , . . . , yn ), alors, s d(A, B) =

n

∑ (xi − yi)2

i=1

3.3

Sous-espaces affines orthogonaux

Définition 26 Soient E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. Alors, on dit que, i) F est orthogonal à G , si F ⊆ G⊥ . ii) F est perpendiculaire à G , si F ⊥ ⊆ G. iii) F et G sont supplémentaires orthogonaux, si F = G⊥ . Remarque 30 1. La relation d’orthogonalité est symétrique. En effet, supposons que F est orthogonal à G , alors, par définition, F ⊆ G⊥ , donc G⊥⊥ ⊆ F ⊥ . Or, G⊥⊥ = G, donc G ⊆ F ⊥ , par suite, G est orthogonal à F . On vérifie de la même manière que la relation de perpendicularité est aussi symétrique. − − 2. Soient D et D 0 deux droites affine de E , avec D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ). Alors − − D et D 0 sont orthogonaux ⇐⇒ → u .→ v =0 a) Si E est un plan affine euclidien, alors

D et D 0 sont orthogonaux ⇐⇒ D et D 0 sont perpendiculaires ⇐⇒ D et D 0 sont supplémentaires orthogonaux → − → − On suppose que E est muni d’un repère orthonormé (O, i , j ) et que D et D 0 ont pour équations cartésiennes respectives ax + by + c = 0 et a0 x + b0 y + c0 = 0, alors

D et D 0 sont perpendiculaires ⇐⇒ aa0 + bb0 = 0 b) Si E est un espace affine euclidien de dimension ≥ 3, alors deux droites droites affines ou deux hyperplans affines de E ne sont jamais ni perpendiculaire, ni supplémentaires orthogonales. 3. Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Si D est une droite affine et P un plan affine de E , alors,

D et P sont orthogonaux ⇐⇒ D et P sont perpendiculaires ⇐⇒ D et P sont supplémentaires orthogonaux − − − On suppose que D = D(A, → u ) et P = P(B, → v ,→ w ), alors, − − − − D et P sont perpendiculaires ⇐⇒ → u .→ v = 0 et → u .→ w =0 Page 53 sur 78

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Proposition 26 Soient E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. i) Si F et G sont orthogonaux, alors F ∩ G est ou bien vide ou bien réduite à un seul point. / ii) Si F et G sont perpendiculaires, alors F ∩ G 6= 0. iii) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, alors F ∩ G est réduite à un seul point. Preuve − → − → i) Supposons que F ∩ G 6= 0/ et soient A et B deux points de F ∩ G . Alors AB ∈ F et AB ∈ G, or − → − → → − F ⊆ G⊥ donc on a aussi AB ∈ G⊥ , donc AB = 0 , par suite, A = B. ii) Supposons que F et G sont perpendiculaires, alors, par définition, F ⊥ ⊆ G, donc F + G = E, car / F + F ⊥ = E, donc d’après la remarque 5, F ∩ G 6= 0. iii) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, alors F = G⊥ , donc F ⊕ G = E, donc, d’après la remarque 5, F ∩ G est réduite à un seul point.

3.4

Hyperplan médiateur

Proposition 27 Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points distincts de E . Alors l’ensemble des points M ∈ E , tels que d(A, M) = d(B, M) − → est un hyperplan de E passant par le milieu de [A, B] et de direction {AB}⊥ , appelé hyperplan médiateur du segment [A, B]. Preuve Soit H = {M ∈ E : d(A, M) = d(B, M)} et soit I le milieu de [A, B], alors, M∈H

−→ −→ ⇐⇒ kAMk2 = kBMk2 → − − → → − − → ⇐⇒ kAI + IMk2 = kBI + IMk2 → − → − − → − → → − → − − → − → ⇐⇒ kAIk2 + 2AI.IM + kIMk2 = kBIk2 + 2BI.IM + kIMk2 → − − → → − − → ⇐⇒ AI.IM = BI.IM − →− → ⇐⇒ AB.IM = 0 − → ⇐⇒ IM ∈ {AB}⊥

− → − → Donc H est le sous-espace affine de E passant pat I et de direction {AB}⊥ . Puisque {AB}⊥ est un hyperplan de E, alors H est un hyperplan affine de E . Remarque 31 Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points distincts de E . 1. Si E est un plan affine, l’hyperplan médiateur de [A, B] est une droite affine, appelée médiatrice du segment [A, B]. Page 54 sur 78

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F IGURE 3.1 – Médiatrice de [A, B]

2. Si E est de dimension 3, l’hyperplan médiateur de [A, B] est un plan affine, appelé plan médiateur du segment [A, B].

F IGURE 3.2 – Plan médiateur de [A, B] Page 55 sur 78

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3.5

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Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3

Perpendiculaire commune Théorème 9 − − Soient D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ) deux droites affines de E3 , non coplanaires. Alors, il existe une unique droite affine ∆ de E3 qui coupe D et D 0 et qui est à la fois orthogonale à D et à D 0 . Dans ce cas, ∆ s’appelle la perpendiculaire commune à D et D 0 . Preuve Pour l’existance de ∆, il suffit de montrer qu’il existe deux points P et Q, tels que i) P ∈ D et Q ∈ D 0 . −→ − −→ − ii) PQ.→ u = 0 et PQ.→ v = 0. − → −→ − − Pour cela, on pose AP = α→ u et BQ = β→ v , donc on aura, −→ − → − → −→ − → − − PQ = PA + AB + BQ = −α→ u + AB + β→ v −→ − −→ − Puisque PQ.→ u = 0 et PQ.→ v = 0, alors on obtient le système suivant en α et β,  − →→ → − 2 → − → − −  k u k α − ( u . v )β = AB. u (S) :  − →− → − − (− u .→ v )α − k→ v k2 β = AB.→ v − − − − Le déterminant de ce système est (→ u .→ v )2 − k→ u k2 k→ v k2 . Or d’après la relation de Lagrange, on sait que − − − − − − k→ u ∧→ v k2 = k→ u k2 k→ v k2 − (→ u .→ v )2 → − − − − − Puisque D et D 0 sont non coplanaires, alors (→ u ,→ v ) est libre, donc → u ∧→ v 6= 0 , par suite, le déterminant du système (S) est différent de zéro. (S) est donc un système de Cramer qui possède une solution unique. Exemples 16 Soient D et D 0 deux droites affine de E3 définies par, ( x + 2 = −2z D: y = 3x + z

( x+y+z = 1 D0 : 2x + y − z = a

a) Déterminer le paramètre a ∈ R, pour que D et D 0 soient non coplanaires. b) On suppose que a = 28. Déterminer une représentation cartésienne de la perpendiculaire commune aux droites D et D 0 . Réponse a) Si on pose z = λ, alors D et D 0 ont pour représentation paramétrique,     x = −2λ − 2 x = 2λ + a − 1 0 D : y = −5λ − 6 D : y = −3λ − a + 2     z=λ z=λ Page 56 sur 78

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M.HOUIMDI − − Donc D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ), où     −2 −2 → −    A −6 , u −5 , 0 1



   a−1 2 → −    B −a + 2 et v −3 0 1

− →− → On sait que D et D 0 sont non coplanaires, si et seulement si, (AB, → u ,− v ) est libre, donc on aura, − →− → − →− → (AB, → u ,− v ) est libre ⇐⇒ det(AB, → u ,− v ) 6= 0 a + 1 −2 2 ⇐⇒ −a + 8 −5 −3 6= 0 0 1 1 ⇐⇒ −6a + 30 6= 0 Donc D et D 0 sont non coplanaires, si et seulement si, a 6= 5. b) Si a = 28, alors d’après ce qui précéde, D et D 0 sont non coplanaires. D’après la preuve du théorème précédent, la perpendiculaire commune passe par les deux points P et Q avec − → −→ − − AP = α→ u et BQ = β→ v , α et β sont solution du système :  − →→ → − 2 → − → − −  k u k α − ( u . v )β = AB. u (S) :  − →− → − − (− u .→ v )α − k→ v k2 β = AB.→ v En remplaçant les coëfficients de α et β par leurs valeurs, on obtient, ( 30α − 12β = 42 12α − 14β = 118 Donc α = −3 et β = −11, donc P et Q ont pour coordonnées respectives (4, 9, −3) et (5, 7, −11). Puisque la perpendiculaire commune ∆ = (PQ), alors une représentation paramétrique de ∆ est donnée par,   x = λ + 4 y = −2λ + 9   z = −8λ − 3 Donc en éliminant le paramètre λ, on obtient une représentation cartésienne de ∆, définie par, ( 2x + y = 17 8x + z = 29

3.5.1

Distance de deux droites de E3

Rappelons que tout espace affine euclidien E est un espace métrique. Donc si A et B sont deux parties non vides de E , la distance de A à B est définie par : −−→ d(A , B ) = inf({d(M, N) : (M, N) ∈ A × B }) = inf({kMNk : (M, N) ∈ A × B }) Soient D et D 0 deux droites affines de E3 , donc, quatre cas sont possibles : i) D = D 0 , alors d(D , D 0 ) = 0. Page 57 sur 78

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− ii) D et D 0 sont parallèles de vecteur directeur → w avec D 6= D 0 . Dans ce cas, pour déterminer 0 d(D , D ), il suffit de choisir un point M quelconque de D et de déterminer N ∈ D 0 , tel que −−→ → MN.− w = 0, alors on aura, −−→ d(D , D 0 ) = kMNk iii) D coupe D 0 , alors d(D , D 0 ) = 0. iv) D et D 0 sont non coplanaires. Dans ce cas, on a le théorème suivant : Théorème 10 Soient D et D 0 deux droites non coplanaires de E3 et soient P et Q les points d’intersection de la perpendiculaire commune avec D et D 0 respectivement, alors −→ d(D , D 0 ) = kPQk Preuve Soient M et N deux points quelconques de D et D 0 respectivement, alors, −−→ −→ −→ −→ MN = MP + PQ + QN −→ −→ −→ −→ avec PQ.MP = 0 et PQ.QN = 0, donc on aura, −→ −−→ −→ −→ kMNk2 = kPQk2 + kMP + QNk2 −→ −−→ Par suite, pour tout (M, N) ∈ D × D 0 , on a kPQk ≤ kMNk, donc −→ kPQk = d(D , D 0 )

( car (P, Q) ∈ D × D 0 )

Lemma 3 − − − Soient D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ) deux droites non coplanaires de E3 et soit → w est un −−→ → → − → − → − → − − vecteur de E, tel que u . w = 0 et v . w = 0. Alors le produit scalaire MN. w ne dépent pas des points M et N avec M ∈ D et N ∈ D 0 . Preuve Soient P et Q les points d’intersection de la perpendiculaire commune avec D et D 0 respectivement et −−→ −→ −→ −→ soient M et N deux points quelconques avec M ∈ D et N ∈ D 0 . Puisque MN = MP + PQ + QN avec −→ − −→ → MP.− w = 0 et QN.→ w = 0, alors on aura, −→ − −−→ → MN.− w = PQ.→ w Proposition 28 − − Soient D = D(A, → u ) et D 0 = D(B, → v ) deux droites non coplanaires de E3 . Alors, − →− → | det(AB, → u ,− v )| d(D , D ) = → − → − ku ∧ vk 0

Preuve Soient P et Q les points d’intersection de la perpendiculaire commune avec D et D 0 respectivement −→ − −→ − −→ − − − − − − − et soit → w =→ u ∧→ v , alors → u .→ w = 0 et → v .→ w = 0. On a aussi PQ.→ u = 0 et PQ.→ v = 0, donc PQ et → − w sont colinéaires, par suite, on a −→ − −→ → − w→ PQ.(− u ∧→ v )→ −→ PQ.→ − − − PQ = → w = u ∧→ v − → − → − 2 2 kwk ku ∧ vk Page 58 sur 78

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−→ − − →− D’après le lemme précédent, PQ.→ w = AB.→ w , donc − → − → u ∧− v )→ −→ AB.(→ − − PQ = → u ∧→ v − → − 2 ku ∧ vk Par suite, on aura,

3.6 3.6.1

− → − → − →− → |AB.(→ u ∧− v )| | det(AB, → u ,− v )| −→ kPQk = = → − → − → − → − ku ∧ vk ku ∧ vk

Projection orthogonale Définition et exemples

Définition 27 Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E de direction F et G = F ⊥ . On appelle projection orthogonal sur F , la projection affine sur F parallèlement à G. Remarque 32 Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et p la projection orthogonale sur F , alors d’après ce que nous avons vu sur les projections affines, on a 1. Pour tout point M ∈ E , on a p(M) ∈ F . −−−−→ 2. Pour tout point M ∈ E , p(M) est l’unique point de F , tel que M p(M) ∈ F ⊥ . 3. Fix(p) = F . −p est la projection orthogonale sur F. 4. → Exemples 17 Soit E un espace affine euclidien quelconque. − 1. Si D = D(A, → u ) une droite affine de E , alors pour tout point M ∈ E , la projection orthogonale p(M) de M sur la droite D est définie par : −→ − −−−−→ AM · → u→ − Ap(M) = → u − 2 kuk En effet, puisque p(A) = A, alors on a −−−−→ −−−−−−→ → −→ Ap(M) = p(A)p(M) = −p (AM) −p est la projection orthogonale sur Vect(→ − Puisque → u ), alors on sait que → − − v ·→ u→ − → − → − → − u ∀ v ∈ E, p ( v ) = → − 2 kuk − 2. Soit F est hyperplan affine de E passant par le point A et de direction F. Si → u est un vecteur → − ⊥ normal à F , c’est à dire, u ∈ F , alors pour tout point M ∈ E , la projection orthogonale p(M) de M sur F est définie par : −→ − −−−−→ −→ AM · → u→ − Ap(M) = AM − → u − 2 kuk −p est la projection orthogonale sur l’hyperplan vectoriel F et puisque → − En effet, → u ∈ F ⊥ , alors on sait que → − − v ·→ u→ − −p (→ − − − ∀→ v ∈ E, → v)=→ v − → u − k u k2 Page 59 sur 78

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M.HOUIMDI − − 3. Soit P = P(A, → u ,→ v ) un plan affine d’un espace euclidien de dimension 3. P est donc un − − − hyperplan affine de E et → w =→ u ∧→ v est un vecteur normal à P , donc la projection orthogonale p sur à P est définie par, −→ − → −−−−→ −→ det(AM, → u ,− v )→ − − u ∧→ v ∀M ∈ E , Ap(M) = AM − → − → − 2 ku ∧ vk − → − → − → 4. E3 est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Déterminer l’expression analytique de la projection orthogonale f sur la droite D définie par, ( x−1 = 0 x + 2y + z = 0 Une représentation paramétrique de D est définie par,   x = 1 y=λ   z = −2λ − 1 Donc D est la droite passant par le point A de coordonnées (1, 0, −1) et de vecteur directeur → − → − → − u = j − 2 k , donc pour tout point M de coordonnées (x, y, z), on a −→ → − AM · − u = y − 2z − 2 et k→ u k2 = 5 Ainsi, si f (M) est de coordonnées (x0 , y0 , z0 ), alors on obtient,  0  x = 1 y0 = 15 (y − 2z − 2)  0 1 z = 5 (−2y + 4z − 1) − → − → − → 5. E3 est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Déterminer l’expression analytique de la projection orthogonale f sur le plan P d’équation x − y − z = 1 Une représentation paramètrique de P est définie par,   x = λ + µ + 1 y=λ   z=µ Donc P est le plan passant par le point A de coordonnées (1, 0, 0) et de vecteurs directeurs − → − → − − → − → → − u = i + j et → v = i + k , par suite, si M est un point de coordonnées (x, y, z), alors on aura − −→ − → → − → − → − − − − det(AM, → u ,− v ) = x − y − z − 1, → u ∧→ v = i + j − k et k→ u ∧→ v k2 = 3 Ainsi, si f (M) est de coordonnées (x0 , y0 , z0 ), alors on obtient,  1 0  x = 3 (2x + y + z − 2) y0 = 13 (−x + y + z + 1)  0 1 z = 3 (x − y − z − 1) Page 60 sur 78

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3.6.2

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Distance d’un point à un sous-espace affine

Définition 28 Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et M un point quelconque de E . On définit la distance de M à F , qu’on note d(M, F ), par : −−→ d(M, F ) = inf({kMNk : N ∈ F }) Proposition 29 Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et p la projection orthogonale sur F . Alors, −−−−→ ∀M ∈ E , d(M, F ) = kM p(M)k Preuve −−−−→ −−−−→ Soient M ∈ E et N ∈ F , puisque M p(M) · p(M)N = 0, alors on a −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−→ kMNk2 = kM p(M) + p(M)Nk2 = kM p(M)k2 + k p(M)Nk2 −−−−→ −−−−→ −−→ Donc, ∀N ∈ F , kM p(M)k ≤ kMNk, par suite, kM p(M)k ≤ d(M, F ). −−−−→ Or p(M) ∈ F , donc d(M, F ) ≤ kM p(M)k. Distance d’un point à une droite affine de E2 Lemme 3 − − Soit E un espace euclidien orienté de dimension 2, alors pour tout couple (→ u ,→ v ) de vecteurs non nuls de E, on a 2  2  → − − − − det(→ u ,→ v) u ·→ v + =1 − − − − k→ u kk→ vk k→ u kk→ vk Preuve → − → − → − → − − → − → − − Fixons une base orthonormale directe ( i , j ) de E, alors on aura → u = x i +y j et → v = x0 i +y0 j . Donc il s’agit de vérifier que (xx0 + yy0 )2 + (xy0 − x0 y)2 = (x2 + y2 )(x02 + y02 ) Remarque 33 − − Soient E un espace euclidien orienté de dimension 2, (→ u ,→ v ) deux vecteurs non nuls de E. Alors d’après la proposition précédente, on a − − − − det(→ u ,→ v )2 (→ u ·→ v )2 + =1 → − → − → − → − k u k2 k v k2 k u k2 k v k2 Donc il existe un unique θ ∈] − π, π], tel que → − − − − u ·→ v det(→ u ,→ v) cos θ = → et sin θ = → − → − − → − k u kk v k k u kk v k − − Dans ce cas, θ s’appelle l’angle orienté formé par les vecteurs → u et → v. Proposition 30 − Soient E2 un plan affine euclidien et D = D(A, → u ) une droite affine de E , alors, −→ − | det(AM, → u )| ∀M ∈ E , d(M, D ) = → − kuk Page 61 sur 78

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Preuve Soit p la projection orthogonale sur D , alors on sait que −−−−→ ∀M ∈ E , d(M, D ) = kM p(M)k Puisque

−→ − −−−−→ AM · → u→ − Ap(M) = → u − 2 kuk

Alors

−→ − −−−−→ AM · → u→ −→ − u − AM M p(M) = → − 2 kuk

Donc on aura, −→ − 2 −−−−→ 2 u) −→ 2 (AM · → kM p(M)k = kAMk − → − k u k2 ! −→ → − 2 (AM · u ) −→ = kAMk2 1 − → −→ − k u k2 kAMk2 ! −→ → − 2 det(AM, u ) −→ = kAMk2 −→ − k→ u k2 kAMk2 −→ − 2 det(AM, → u) = → − k u k2 Corollaire 3 → − → − Soit (O, i , j ) un repère orthonormé de E2 et soit D une droite affine de E2 d’équation ax + by + c = 0, alors pour tout point M de E2 de coordonnées (x0 , y0 ), on a d(M, D ) =

|ax0 + by0 + c| √ a2 + b2

Preuve Puisque (a, b) 6= (0, 0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0. Donc D est la droite passant → − → − − par le point A de coordonnées (− ac , 0) et de vecteur directeur → u = −b i + a j . En appliquant la formule de la proposition précédente, on obtient le résultat.

3.6.3

Distance d’un point à une droite affine de E3

− − Rappelons que si → u et → v sont deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E de dimension 3, alors d’après la relation de Lagrange, on a 2  → 2  → − − − u ·→ v k− u ∧→ vk + → =1 − − − k→ u kk→ vk k− u kk→ vk Ainsi, il existe un unique θ ∈ [0, π], tel que, → − − u ·→ v cos θ = → et sin θ = − → − k u kk v k

− − k→ u ∧→ vk → − → − k u kk v k

− − Dans ce cas, θ s’appelle l’angle non orienté formé par les vecteurs → u et → v. Page 62 sur 78

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Proposition 31 − Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3 et D = D(A, → u ) une droite affine de E3 , alors, −→ − kAM ∧ → uk ∀M ∈ E3 , d(M, D ) = → − kuk Preuve Soit p la projection orthogonale de E2 sur D , alors on sait que −→ − −−−−→ AM · → u→ −→ − M p(M) = → u − AM − kuk Ainsi, on aura, −−−−→ −→ kM p(M)k2 = kAMk2 −

 !2 −→ → − AM · u −→ = kAMk2 1 − → − kuk

!2  −→ → − AM · u  −→ → − kAMkk u k

Donc, d’après la relation de Lagrange, on obtient, −→ − −−−−→ kAM ∧ → uk d(M, D ) = kM p(M)k = → − kuk

3.6.4

Distance d’un point à un plan affine affine de E3

Rappelons que si E est un espace euclidien de dimension 3, alors le produit vectoriel de deux vecteurs − − − − non nuls → u et → v , est l’unique vecteur de E, qu’on note → u ∧→ v , et qui est défini par, − − − − − − − ∀→ x ∈ E, det(→ u ,→ v ,→ x ) = (→ u ∧→ v )·→ x Proposition 32 − − Soit P = P(A, → u ,→ v ) un plan affine de E3 , alors, −→ − − | det(→ u ,→ v , AM) ∀M ∈ E3 , d(M, P ) = − − k→ u ∧→ vk Preuve − − Soit p la projection orthogonale sur P , puisque → u ∧→ v est un vecteur normal à P , alors −→ − − −−−−→ −→ (→ u ∧→ v ) · AM → − − ∀M ∈ E3 , Ap(M) = AM − → u ∧→ v − → − 2 ku ∧ vk On en déduit, donc, que

−→ − − −−−−→ | det(→ u ,→ v , AM)| d(M, P ) = kM p(M)k = − − k→ u ∧→ vk

Corollaire 4 − → − → − → Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormé de E3 et P un plan affine de E3 d’équation ax + by + cz + d = 0, alors pour tout point M de coordonnées (x0 , y0 , z0 ), on a |ax0 + by0 + cz0 | d(M, P ) = √ a2 + b2 + c2 Page 63 sur 78

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Preuve Puisque (a, b, c) 6= (0, 0, 0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0, donc P est le plan passant → − → − − − − par le point A de coordonnées (− da , 0, 0) et de vecteurs directeurs → u et → v avec → u = −b i + a j et → − → − → − v = −c i + a k . Donc en appliquant la formule de la proposition précédente, on aura le résultat.

3.7

Symétrie orthogonale

Définition 29 Soient E un espace affine euclidienne et F un sous-espace affine de E de direction F. On appelle symétrie orthogonale par rapport à F , la symétrie affine affine par rapport à F parallélement à G = F ⊥. Remarque 34 Soit f la symétrie orthogonale par rapport à F et soit p la projection orthogonale sur F , alors on sait que, 1. Pour tout point M ∈ E , p(M) est le milieu du segment [M, f (M)], donc f (M) est définie par, −−−−→ −−−−→ M f (M) = 2M p(M) −−−−→ 2. Pour tout M ∈ E , M f (M) ∈ F ⊥ . → − 3. f est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à F, → − f : E = F ⊕ F ⊥ −→ E → − − → − − − − − x =→ x +→ x 7−→ f (→ x)=→ x −→ x 1

2

1

2

−−−−−−→ → − −−→ −−→ 4. ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , k f (M) f (N)k = k f (MN)k = kMNk. Exemples 18 E est un espace affine euclidien quelconque. − 1. Soit D = D(A, → u ) une droite affine de E . Alors la symétrie orthogonale f par rapport à D est définie par, −→ → −−−−→ AM · − u→ −→ − ∀M ∈ E , A f (M) = 2 → u − AM − k u k2 − 2. Si F est un hyperplan de E passant par le point A et si → u est un vecteur normal à F , alors la symétrie orthogonale par rapport à F est définie par, −→ → −−−−→ −→ AM · − u→ − ∀M ∈ E , A f (M) = AM − 2 → u − 2 kuk − − 3. Soit P = P(A, → u ,→ v ) un plan affine d’un espace euclidien de dimension 3. P est donc un − − − hyperplan affine de E et → w =→ u ∧→ v est un vecteur normal à P , donc la symétrie orthogonale f par rapport à P est définie par, −→ − → −−−−→ −→ det(AM, → u ,− v )→ − − ∀M ∈ E , A f (M) = AM − 2 u ∧→ v → − → − 2 ku ∧ vk Page 64 sur 78

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M.HOUIMDI − → − → − → 4. Soit E3 un espace euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Déterminer l’expression analytique de la symétrie orthogonale f par rapport à la droite affine D définie par, ( x+y+z = 1 D: x + 2y + z = 2 Si on pose z = λ, alors D a pour représentation paramétrique,   x = −λ y=1   z=λ Donc D est la droite passant par le point A de coordonnées (0, 1, 0) et de vecteur directeur − → − → → − u = − i + k . Pour tout point M de coordonnées (x, y, z) on désigne par (x0 , y0 , z0 ) les coor−→ − − données de M 0 = f (M), donc on aura, AM · → u = −x + z et k→ u k = 2 puisque −→ → −−−−→ AM · − u→ −→ − u − AM A f (M) = 2 → − 2 kuk alors, on obtient,  0  x = −z y0 = −y + 2  0 z = −x − → − → − → 5. E3 est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Déterminer l’expression analytique de la symétrie orthogonale f par rapport au plan P d’équation x + y + z = 1. Si on pose y = λ et z = µ, alors P a pour représentation paramétrique,   x = −λ − µ + 1 P : y=λ   z=µ Donc P est le plan passant par le point A de coordonnées (1, 0, 0) et de vecteurs directeurs − → − → − − → − → → − u = − i + j et → v = − i + k . Donc pour tout point M de coordonnées (x, y, z). − −→ − → → − → − → − − − − det(AM, → u ,− v ) = x + y + z − 1, → u ∧→ v = i − j + k et k→ u ∧→ vk=3 Donc si f (M) a pour coordonnées (x0 , y0 , z0 ), alors on a  1 0  x = 3 (2x − y − z − 2) y0 = 13 (x + y + z − 1)  0 1 z = 3 (−x − y − z + 1)

3.8 3.8.1

Isométries affines Définition et propriètés de base

Définition 30 Soient E un espace affine euclidien et f une application affine de E . On dit que f est une isométrie affine de E , si f conserve les distances : ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , d( f (M), f (N)) = d(M, N)

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Remarque 35 Soient E un espace affine euclidien et f une application affine de E . 1. f est une isométrie affine, si et seulement si, −−−−−−→ −−→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , k f (M) f (N)k = kMNk → − 2. f est une isométrie affine de E , si et seulement si, f est un endomorphisme orthogonal de E. 3. Si f est une isométrie affine alors f une bijection affine et f −1 est aussi une isométrie affine. 4. Si f et g sont deux isométries affines de E , alors g ◦ f est une isométrie affine de E . 5. On désigne par Isom(E ) l’ensemble de toutes les isométries affines de E , alors (Isom(E ), ◦) est un groupe, appelé groupe des isométries affine de E . → − → − 6. Rappelons que si f est un endomorphisme orthogonal, alors det( f ) = ±1. Définition 31 Soient E un espace euclidien et f une isométrie affine de E . → − i) Si det( f ) = 1, on dit que f est un déplacement de E . → − ii) Si det( f ) = −1, on dit que f est un antidéplacement de E . Remarque 36 On désigne par Isom+ (E ) l’esemble des déplacements de E et par Isom− (E ) celui des antidéplacements de E , alors 1. Isom+ (E ) est un sous-groupe de Isom(E ). 2. Le groupe T des translations de E est un sous-groupe de Isom+ (E ). 3. Isom− (E ) n’est pas un sous-groupe de Isom(E ). Exemples 19 1. Toute translation de E est une isométrie affine de E . 2. Toute symétrie orthogonale est une isométrie affine de E . 3. Toute symytrie centrale est une isométrie de E . Lemme 4 Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme orthogonal de E. Alors on a, ker(u − IdE )⊥ = Im(u − IdE ) Preuve E est de dimension finie, donc on a dim(E) = dim ker(u − IdE ) + dim Im(u − IdE ) = dim ker(u − IdE ) + dim ker(u − IdE )⊥ Donc dim ker(u − IdE )⊥ = dim Im(u − IdE ), par suite, il suffit de montrer que Im(u − IdE ) ⊆ ker(u − IdE )⊥ Pour cela, soit x ∈ E et y ∈ ker(u − IdE ), alors on a < u(x) − x, y > = = = =

< u(x), y > − < x, y > < x, u∗ (y) > − < x, y > < x, u−1 (y) > − < x, y > (car u∗ = u−1 ) < x, u−1 (y) − y >= 0 (car u−1 (y) = y) Page 66 sur 78

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Théorème 11 (Théorème de décomposition) Soient E un espace euclidien et f une isométrie affine de E sans points fixes. Alors il existe un − unique → v ∈ E et une unique isométrie g de E , tels que, − − i) f = t→ v. v ◦ g = g ◦ t→ → − → − ii) v ∈ ker( f − IdE ). / iii) Fix(g) 6= 0. Preuve → − → − D’après le lemme précédent, E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ), donc d’après le théorème 8, on a le résultat. Remarque 37 Rappelons que Fix(g) est défini par, −−−−→ → − M ∈ Fix(g) ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ) −−−→ − − et que le vecteur → v est défini par → v = A f (A), pour n’importe quel point A ∈ Fix(g). Exemples 20 − → − → − → L’espace affine euclidien E3 est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Soit f l’application affine définie analytiquement par,  0  x = −z − 1 y0 = −y + 2  0 z = −x + 1 − Montrer que f est une isométrie affine sans points fixes, puis déteminer → v ∈ E et une isométrie g de − → − E3 , tel que f = t→ ◦ g = g ◦ t . v v D’après la remarque précédente, nous commençons par chercher Fix(g) pour cela, on cherche d’abord → − → − → − → − − ker( f − IdE ). Soit → u = a i + b j + c k , alors on a,      −1 0 −1 a 0 → − → −      0 −2 0 b = 0 u ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ −1 0 −1 c 0 ( a+c = 0 ⇐⇒ b=0 −−−−→ → − → − → − On a M f (M) = (−x − z − 1) i + (−2y + 2) j + (−x − z + 1) k , donc on aura ( (−x − z − 1) + (−x − z + 1) = 0 −2y + 2 = 0 ( x+z = 0 ⇐⇒ y=1

−−−−→ → − M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒

Donc Fix(g) est la droite affine D passant par le point A de coordonnées (0, 1, 0) et de vecteur −−−−→ − → − → − − directeur → u = − i + k . On sait que → v = M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix(g), donc il −−−→ − → − → − − suffit de prendre → v = A f (A), par suite on aura → v =− i + k. − − Ainsi, f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v , où g est la symétrie orthogonale par rapport à la droite affine D . Page 67 sur 78

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3.8.2

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Isométrie du plan affine euclidien

Les déplacements Rappelons que si E un espace euclidien orienté de dimension 2 et si u est un endomorphisme orthogonal de E, tel que det(u) = 1, alors il existe un unique θ ∈] − π, π], tel que la matrice de u par rapport à n’importe quel base orthonormale directe de E, s’écrit sous la forme,   cos θ − sin θ sin θ cos θ Notons aussi que dans ce cas, u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ. Théorème 12 Soient E2 un plan affine euclidien et f un déplacement de E2 . → − i) Si f = IdE , alors f est une translation. → − ii) Si f 6= IdE , alors Fix( f ) est réduit à un unique point Ω. Dans ce cas, on dit que f est la rotation de centre Ω et d’angle θ, où θ est l’angle de la → − rotation vectorielle f . Preuve → − i) On sait qu’une application affine f est une translation, si et seulement si, f = IdE . ii) On sait qu’une application affine f possède un unique point fixe, si et seulement si, 1 n’est pas → − → − → − valeur propre de f . Puisque f est une rotation vectorielle et f 6= IdE , alors 1 n’est pas valeur → − propre de f , donc f possède un unique point fixe. Remarque 38 Soient E2 un plan affine euclidien orienté et f une rotation de centre Ω et d’angle θ, alors on a −−→ −−−−→ −−→ −−−−→ det(ΩM, Ω f (M) ΩM · Ω f (M) ∀M ∈ E2 , cos θ = et sin θ = −−→ −−→ kΩMk2 kΩMk2 −−−−→ −−→ −−→ Donc, tenant compte que kΩMk = kΩ f (M)k, θ est l’angle orienté formé par les vecteurs ΩM et −−−−→ Ω f (M).

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Les antidéplacements Rappelons que si E un espace euclidien orienté de dimension 2 et si u est un endomorphisme orthogonal de E, tel que det(u) = −1, alors 1 et −1 sont valeurs propre de u et est une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à ker(u − IdE ). Théorème 13 Soient E2 un plan affine euclidien et f un antidéplacement de E2 . / alors Fix( f ) est une droite affine de E2 et f est une symétrie orthogonale par i) Si Fix( f ) 6= 0, rapport à Fix( f ). → − − / alors il existe un unique vecteur → ii) Si Fix( f ) = 0, v ∈ ker( f − Id ) et une unique symétrie E

orthogonale g, tels que, − − f = t→ v v ◦ g = g ◦ t→

− Dans ce cas, f s’appelle une symétrie glissée de vecteur → v et de base Fix(g). Preuve → − i) Fix( f ) 6= 0/ et 1 est une valeur propre de f , donc Fix( f ) n’est pas réduit à un seul point. De → − plus, Fix( f ) 6= E2 , car f 6= IdE , donc Fix( f ) est une droite vectorielle et f est la symétrie orthogonale par rapport à Fix( f ). ii) C’est une conséquence du théorème de décomposition. Exemples 21 → − → − Soit f l’application affine de E2 définie analytiquement dans un repère orthonormé (O, i , j ) par, ( x0 = 51 (−3x + 4y + 6) y0 = 15 (4x + 3 + 22) Montrer que f est isométrie et déterminer sa nature. → − → − → − Soit A la matrice de f par rapport à la base ( i , j ), alors on a,      1 −3 4 −3 4 1 0 t AA = = 4 3 0 1 25 4 3 Donc A est une matrice orthogonale, par suite f est une isométrie. On a det(A) = −1, donc f est un antidéplacement. Soit M un point quelconque de coordonnées (x, y), alors on a ( x = 15 (−3x + 4y + 6) M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ y = 15 (4x + 3y + 22) ( 4x − 2y = 3 ⇐⇒ 4x − 2y = −22 − / par suite f est une symétrie glissée. Déteminons, donc, → Donc Fix( f ) = 0, v et g, tels que − − f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v → − → − → − Pour cela, remarquons d’abord que ker( f − IdE ) = {a i + b j : b = 2a}. Cherchons, donc, Fix(g), −−−−→ → − M ∈ Fix(g) ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ 4x − 2y + 22 = 2(−8x + 4y + 6) ⇐⇒ 2x − y + 1 = 0 − − − − → − On sait que → v = M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix( f ). Le point A de coordonnées (0, 1) −−−→ → − → − − appartient à Fix( f ), donc → v = A f (A) = 2 i + 4 j et g est la projection orthogonal sur la droite affine d’équation 2x − y + 1 = 0.

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3.8.3

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Isométries de l’espace affine de dimension 3

Les déplacements Rappelons que si E est un espace euclidien orienté de dimesion 3 et si u est un endomorphisme − orthogonal de E, tel que u 6= IdE et det(u) = 1, alors 1 est valeur propre de u de multiplicité 1 et si → e est un vecteur unitaire propre associé à la valeur propre 1, alors, il existe un unique θ ∈] − π, π], tel que la matrice de u par rapport à n’impote quelle base orthonormale directe dont le premier vecteur − est égal à → e , s’écrit sous la forme,   1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ Dans ce cas, u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ et d’axe ∆ = ker(u − IdE ). Remarque 39 Soit u une rotation de E d’angle θ, alors d’après ce qui précède, il existe une base orthonormale de E, dans laquelle la matrice de u s’écrit sous la forme,   1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ Donc on remarque que 1 + 2 cos θ = trace(u) Théorème 14 Soient E3 un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E3 . → − i) Si f = IdE , alors f est une translation de E3 . → − → − / alors f est une rotation vectorielle d’angle un certain θ ∈], −π, π] ii) Si f 6= IdE et Fix( f ) 6= 0, et ∆ = Fix( f ) est une droite affine de E3 . Dans ce cas, f s’appelle la rotation affine d’angle θ et d’axe ∆. → − → − − / alors il existe un unique vecteur → iii) Si f 6= Id et Fix( f ) = 0, v ∈ ker( f − Id ) et une unique E

E

rotation g d’angle θ et d’axe ∆, tels que, − − f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v

− Dans ce cas, f s’appelle un vissage d’angle θ, de vecteur → v et d’axe ∆. Preuve i) Vraie, par définition d’une translation. → − → − ii) f est une rotation vectorielle, donc 1 est vecteur propre de f de multiplicité 1, par suite, Fix( f ) une droite affine. iii) D’après le théorème de décomposition. Proposition 33 − Soient E un espace euclidien orienté et u une rotation de E d’angle θ et d’axe ∆ = Vect(→ e ) avec → − k e k = 1. Alors − − − − − i) ∀→ x ∈ ∆⊥ , u(→ x ) = cos θ→ x + sin θ→ e ∧→ x. − − − − − − − − ii) ∀→ x ∈ E, u(→ x ) = (1 − cos θ)(→ e ·→ x )→ e + cos θ→ x + sin θ→ e ∧→ x iii) L’angle de rotation θ est déterminée par cos θ =

− − − trace(u) − 1 det(→ e ,→ x , u(→ x )) − et ∀→ x ∈ / ∆, sin θ = → − → − 2 2 ke ∧ xk Page 70 sur 78

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Preuve → − x − − − − − − − − , alors (→ e ,→ y ,→ e ∧→ y ) est une base orthonormale i) Soit → x ∈ ∆⊥ , alors → x ·→ e = 0. Soit → y = → − kxk − directe de E dont le premier vectur est égal à → e , par suite, la matrice de u par rapport à cette base s’écrit sous la forme,   1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ − − − − Donc on voit que u(→ x ) = cos θ→ x + sin θ→ e ∧→ x. → − → − → − → − → − ⊥ ii) Soit x ∈ E, alors x − ( e · x ) e ∈ ∆ , donc d’après i), on obtient le résultat. − − − − − − − − iii) Soit → x ∈ / ∆, alors d’après i), on a u(→ x ) = (1 − cos θ)(→ e ·→ x )→ e + cos θ→ x + sin θ→ e ∧→ x , donc − − → → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − 2 u( x ) · ( e ∧ x ) = sin θ.k e ∧ x k avec u( x ) · ( e ∧ x ) = det( e , x , u(x)). Remarque 40 1. Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et u une rotation de E d’angle θ et d’axe − ∆, alors pour tout → x ∈ ∆⊥ , on a −−→ − − − − u(→ x )·→ x det(→ e ,→ x , u(x)) cos θ = et sin θ = − − k→ u k2 k→ x k2 2. Soit E3 un espace affine euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E3 . − − a) Si f est une rotation de E3 d’angle θ et d’axe ∆ = D(A, → u ) avec k→ u k = 1, alors −→ −−−−→ → − − det(→ u , AM, A f (M)) trace( f ) − 1 et ∀M ∈ / ∆, sin θ = cos θ = −→ − 2 k→ u ∧ AMk2 − b) Si f est un vissage de E3 d’angle θ de vecteur → v et d’axe ∆, alors −−−−→ → − ∆ = {M ∈ E3 , : M f (M) ∈ ker( f − IdE )} −−−−→ − Puis → v = M f (M) pour n’importe quel point M ∈ ∆. Définition 32 Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3. On appelle retournement de E , toute rotation d’angle π. Remarque 41 Soit f un retournement de E3 d’axe ∆, alors f est la symétrie orthogonale par rapport à ∆. Exemples 22 − → − → − → Soit E3 un espace euclidien de dimension 3, muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). 1. Soit f l’application affine de E3 définie analytiquement par,  1 0  x = 3 (−x + 2y + 2z − 4) y0 = 13 (2x − y + 2z + 2)  0 1 z = 3 (2x + 2y − z + 2) Montrer que f est une rotation affine et déterminer l’axe et l’angle de f . Soit A la matrice de − → − → − → − → f par rapport à la base ( i , j , k ), alors      −1 2 2 −1 2 2 1 0 0 1 At A =  2 −1 2   2 −1 2  = 0 1 0 et det(A) = 1 9 2 2 −1 2 2 −1 0 0 1 Page 71 sur 78

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M.HOUIMDI Donc f est un déplacement de E3 . Soit M un point de E3 de coordonnées (x, y, z) dans le repère − → − → − → (O, i , j , k ), alors   4x − 2y − 2z + 4 = 0 M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ 2x − 4y + 2z + 2 = 0   2x + 2y − 4z + 2 = 0   2x − y − z + 2 = 0 ⇐⇒ x − 2y + z + 1 = 0   x + y − 2z + 1 = 0 ( 2x − y − z + 2 = 0 ⇐⇒ x + y − 2z + 1 = 0 Donc Fix( f ) est la droite passant par le point A de coordonnée (−1, 0, 0) et de vecteur directeur − → − → − → → − u = i + j + k . D’autre part, on a → − trace( f ) − 1 = −1 cos θ = 2 − Donc θ = π, par suite, f est la rotation affine d’angle π et d’axe ∆ = D(A, → u ). 2. Soit f l’application affine de E3 définie analytiquement par,  0  x = −z + 1 y0 = −x  0 z = y−2 Montrer que f est un vissage dont on déterminera l’axe et le vecteur. On vérifie facilement que → − → − → − − f est un déplacement sans points fixes, donc f est un vissage. Soit → v = a i + b j + c k , alors   −c = a → − → − v ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ −a = b   b=c ( a = −c ⇐⇒ b=c Soient ∆ l’axe du vissage f et M un point de E3 de coordonnées x, y, z), alors on sait que, −−−−→ → − M ∈ ∆ ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ( −x − z + 1 = −y + z + 2 ⇐⇒ −x − y = y − z − 2 ( x − y + 2z + 1 = 0 ⇐⇒ x + 2y − z − 2 = 0 Donc ∆ est la droite affine passant par le point A de coordonnées (0, 1, 0) et de vecteur directeur −−−→ → − − → − → − → − → − → → − − − u = − i + j + k . Donc le vecteur → v du vissage f est défini par → v = A f (A) = i − j − k . − → − → − On remarque que → w = i + k est un vecteur orthogonal à l’axe, donc l’angle θ du vissage est déterminé par, √ → − → − − − − trace( f ) − 1 1 det(→ u ,→ w , f (→ w )) 3 cos θ = = − et sin θ = =− → − → − 2 2 2 2 k u kk w k − → − → − → − − Donc f est le vissage de vecteur → v = i − j − k d’axe ∆ = D(A, → u ) et d’angle

4π 3 .

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Les antidéplacements Rappelons que si E est un espace euclidien orienté et si u est un endomorphisme orthogonal, tel que det(u) = −1, alors i) Si 1 est valeur propre de u, alors 1 est de multiplicité 2 et u est la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel ker(u − IdE ). − ii) Si 1 n’est pas valeur propre de u et si → e est un vecteur propre unitaire associé à −1, alors la matrice de u par rapport à n’importe quelle base orthonormale directe dont le premier vecteur − est → e , s’écrit sous la forme,   −1 0 0  0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ Donc u = r ◦ s = s ◦ r, où r est la rotation d’axe ∆ = ker(u + IdE ) et d’angle θ et s la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel ker(u + IdE )⊥ . L’angle θ est donc déterminé par, − − − det(→ e ,→ x , u(→ x )) trace(u) + 1 → − ⊥ et ∀ x ∈ ker(u + IdE ) , sin θ = cos θ = → − 2 2 kxk Théorème 15 Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3 et f un antidéplacement de E3 . → − / alors Fix( f ) est un plan affine de E3 et f est la i) Si 1 est valeur propre de f et Fix( f ) 6= 0, symétrie orthogonale par rapport à Fix( f ). → − / alors f s’écrit d’une manière unique sous la ii) Si 1 est une valeur propre de f et Fix( f ) = 0, forme, − − f = t→ v ◦ g = g ◦ t→ v → − − où → v ∈ ker( f − IdE ) et g est une symétrie orthogonale par rapport à un plan de direction → − ker( f − IdE ). → − iii) Si 1 n’est pas valeur propre de f , alors f possède un unique point fixe Ω et f s’écrit d’une manière unique sous la forme, f = r◦s = s◦r → − où r est une rotation d’axe la droite passant par le point Ω et de direction ker( f + IdE ) et s la symétrie orthogonale par rapport au plan passant par le point Ω et de direction → − ker( f + IdE )⊥ . Dans ce cas, on dit que f est une symétrie-rotation. Remarque 42 Un antidéplacement f de E3 peut-être caractérisé à l’aide de ses points fixes : 1. Si Fix( f ) est un plan affine, alors f est la symétrie orthogonale par rapport à ce plan affine. 2. Si Fix( f ) est réduit à un seul point A, alors f est une symétrie-rotation. / alors f est une symétrie translation. 3. Si Fix( f ) = 0, Exemples 23 − → − → − → Soit E3 un espace affine euclidien orienté de dimension 3 muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ). Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application affine f définie analytiquement par, Page 73 sur 78

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 1 0  x = 3 (2x + y − 2z + 1) a) y0 = 31 (x + 2y + 2z − 1)  0 1 z = 3 (−2x + 2y − z + 2)  1 0  x = 3 (x + 2y + 2z + 10) b) y0 = 13 (2x + y − 2z − 1)  0 1 z = 3 (2x − 2y + z − 1)  0  x = y c) y0 = z − 1  0 z = −x + 1 Réponse : − → − → − → − → a) Soit A la matrice de f par rapport à la base ( i , j , k ), alors      1 −2 2 1 −2 1 0 0 1 t AA =  1 2 2   1 2 2  = 0 1 0 et det(A) = −1 9 −2 2 −1 −2 2 −1 0 0 1 donc f est un antidéplacement de E3 . Soit M un point quelconque de coordonnées (x, y, z) par − → − → − → rapport au repère (O, i , j , k ), alors M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ x − y + 2z = 1 Donc Fix( f ) est le plan affine d’équation x − y + 2z = 1, par suite, f est la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. − → − → − → − → b) Soit A la matrice de f par rapport à la base ( i , j , k ), alors      1 2 2 1 2 2 1 0 0 1 t AA = 2 1 −2 2 1 −2 = 0 1 0 et det(A) = −1 9 2 −2 1 2 −2 1 0 0 1 donc f est un antidéplacement de E3 . Soit M un point quelconque de coordonnées (x, y, z) par − → − → − → rapport au repère (O, i , j , k ), alors ( 2x − 2y − 2z = 10 25 M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ 2x − 2y − 2z = 1 / par suite, f est une symétrie-glissée, donc f s’écrit sous la forme : Donc Fix( f ) = 0, → − − − − f = t→ avec → v ∈ ker( f − IdE ) v ◦ g = g ◦ t→ v → − → − → − − Soit → w = a i + b j + c k , alors → − → − w ∈ ker( f − Id ) ⇐⇒ a = b + c E

Soit M un point quelconque de coordonnées (x, y, z), alors on aura, −−−−→ → − M ∈ Fix(g) ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ −2x + 2y + 2z + 10 = (2x − 2y − 2z − 1) + (2x − 2y − 2z − 1) ⇐⇒ x − y − z = 2 Donc g est la symétrie orthogonale par rapport au plan affine d’équation x − y − z = 2 et on −−−−→ − → − → − → − − sait que → v = M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix(g), donc → v =2 i + j + k.

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c) On voit facilement que Fix( f ) est réduit au seul point A de coordonnées (0, 0, 1), donc f est une symétrie-translation qui sécrit sous la forme f = r ◦ s = s ◦ r. Il est aussi facile de voir que → − → − − − − − − − − ker( f + IdE ) = Vect(→ e1 − → e2 + → e3 ) et que ker( f + IdE )⊥ = Vect(→ e1 + → e2 , → e2 + → e3 ). Donc s est la symétrie orthogonale par rapport au plan passant par le point A et de vecteurs directeurs → − − − − − − u =→ e1 + → e2 et → v =→ e1 + → e2 et r est la rotation d’axe la droite passant par le point A et de → − → − − − vecteur directeur e = e1 − → e2 + → e3 et d’angle θ défini par, √ → − − → − − − det(→ e ,→ u , f (→ u )) 3 1 + trace( f ) 1 = et sin θ = = − cos θ = → − → − 2 2 2 k e kk u k2 Donc θ = − π3 .

3.9

Exercices

Exercice 36 → − → − Le plan affine euclidien est rapporté à un repère (O, i , j ). Soient A,B et C les points de coordonnées (2, −2, 0), (4, 2, 6) et (−1, −3, 0). Montrer que A, B et C sont non alignés et déterminer l’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Exercice 37 → − → − Le plan affine euclidien E est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i , j ). Soient D une droite affine de E , A, B et C trois points non alignés de E . On note s la symétrie orthogonale par rapport à D. 1. Montrer que si {s(A), s(B), s(C)} = {A, B,C}, alors l’un des points A, B ou C est sur la droite D et que deux des cotés du triangle ABC ont même longueur. 2. On suppose désormais que AB = AC = BC. Quelles sont les symétries axiales transformant le triangle ABC en lui même ? 3. En composant deux symétries convenables, montrer qu’il existe une rotation r vérifiant r(A) = B, r(B) = C et r(C) = A. Quel est son centre ? 4. Montrer qu’il n’existe qu’une seule rotation r vérifiant (A) = B, r(B) = C et r(C) = A. Quelles sont les rotations transformant le triangle ABC en lui même ? Exercice 38 → − → − Le plan affine euclidien est rapporté à un repère (O, i , j ). Soient A,B et C trois points non alignés de ce plan. 1. Montrer qu’une application affine transformant le triangle ABC en lui même, possède au moins le centre de gravité de ABC comme point fixe. 2. Déterminer le groupe des isométries transformant le triangle ABC en lui-même. a) Montrer que pour tout point M du plan, on a −→ − → −→ − → −→ − → MA · BC + MB · CA + MC · AB = 0 En déduire que les trois hauteurs d’un triangle ABC sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle ABC. b) Soient Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.et K le point défini par −→ −→ −→ −→ ΩK = ΩA + ΩB + ΩC Montrer que K est l’orthocentre H du triagle ABC. En déduire que les points Ω, H et G, centre de gravité du triangle ABC, sont alignés. La droite passant par les points Ω, H et G s’appelle la doite d’euler . Page 75 sur 78

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M.HOUIMDI 3. Soient A, B et C les points de coordonnées (1, 4), (−2, −3) et (4, −1). Vérifier que A, B et C sont non alignés et déterminer les coordonnées des points Ω, H et G. 4. Etant donnés deux points A et B et un point H du plan, à quelle(s) condition(s) existe-t-il un unique triangle dont A et B en soient sommets et H l’orthocentre..

Exercice 39 Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, muni d’un repère orthonormé. Déterminer la perpendiculaire commune et la distance des droites D et D 0 définies par, ( ( x+y+z+1 = 0 x+y+z = 2 D: , D0 : 2x + y + 5z = 2 2x + y − 5z = 3 ( ( x + y − 3z + 4 = 0 x = z−1 , D0 : D: 2x − z + 1 = 0 y = z−1 ( ( x+y+z = 1 x + y − 2z = 1 D: , D0 : x+y = 1 x − y = −1 ( ( x−y = 1 = 0 x=1 , D0 : D: z=1 y−z = 0 Exercice 40 Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3. Soient D et D 0 deux droites non coplanaires − − de E , dirigées respectivement par les vecteurs unitaires → u et → v , ∆ la perpendiculaire commune aux droites D et D 0 , H et H 0 les points d’intersection de ∆ avec D et D 0 et O le milieu du segment [H, H 0 ]. − − 1. Soit θ l’angle non orienté formé par les vecteurs → u et → v . On rappelle que θ ∈] − π, π] est défini par

− − → − − k→ u ∧→ vk u ·→ v et sin θ = cos θ = → − → − → − → − kukvk kukvk

a) Montrer que θ θ − − − − k→ u +→ v k = 2 cos et k→ u −→ v k = 2 sin 2 2 b) On pose

→ − − → − − → − → − u +→ v u −→ v → − → − − → i = → , j = → et k = i ∧ k − → − − → − ku + vk ku − vk − → − → − → Montrer que (O, i , j , k est un repère orthonormé direct. Désormais E sera supposé muni de ce repère. → − → − − → − → − − c) Vérifier que → u = cos θ2 i + sin θ2 j et → v = cos θ2 i − sin θ2 j → − −−→ → − −→ d) Montrer qu’il existe a ∈ R, tel que OH = a k et OH 0 = −a k .

2. Soit M un point de coordonnées (x, y, z). a) Exprimer d(M, D ) et d(M, D 0 ) en fonction de x, y, z, a et θ. b) Soit Σ l’ensemble des points M tels que d(M, D ) = d(M, D 0 ). Trouver une équation cartésienne de Σ. → − → − 3. Pour α ∈ R, on note Πα le plan d’équation z = α. On munit ce plan du repère (Oα , i , j ), où Oα est le point d’intersection de Πα avec la droite (Oz). a) Soit M un point de Πα de coordonnées (x, y). A quelle condition M appartient-il à Σ ? Page 76 sur 78

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M.HOUIMDI b) Préciser l’intersection de Σ avec Πα . → − → − − 4. PÃ˝uur ϕ ∈ R, on pose → u ϕ = cos ϕ i + sin ϕ j et on considère le plan Π0ϕ dont le repère est → − − (O, → u ϕ , k ). a) A quelle condition un point M du plan Π0ϕ , de coordonnées (t, z), appartient-t-il à Σ ? b) Préciser l’intersection de Σ avec Π0ϕ .

Exercice 41 − → − → − → L’espace affine euclidien est muni d’un repère orthonormé R = (O, i , j , k ). Soient P le plan affine d’équation x − y + z − 1 = 0 et s la symétrie orthogonale par rapport à P . 1. Déterminer l’expression analytique de s par rapport au repère R . − → − → − → − 2. Soit D la droite passant par O et de vecteur directeur → u = 2 i − j + k . Déterminer s(D ). a-t-on s(D ) = D ? − − 3. Soit D = D(A, → v ), la droite passant par le point A et de vecteur directeur → v . Trouver une − condition necessaire et suffisante sur → v pour qu’on ait s(D ) = D . 4. Si s(D ) = D que peut-on dire de la réstriction de s à D ? Exercice 42 − → − → − → L’espace affine euclidien E3 est muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j , k ). On considère les droites D1 et D2 définies par leurs équations cartésiennes : ( ( x=1 x+y+z = 1 , D2 : D1 : x + 2y + z = 0 x + 2y + z = 2 1. Soient s1 et s2 les symétries orthogonales par rapport aux droites D1 et D2 . Déterminer les − → − → − → matrices de s1 et s2 par rapport au repère (O, i , j , k ). 2. Soit f = s1 ◦ s2 . Montrer que f est un vissage dont on précisera les éléments caractéristiques. Exercice 43 −−−−→ Soit f une application affine d’un espace euclidien, telle que pour tout point M, kM f (M)k soit constant. Montrer que f est une translation. Exercice 44 − → − → − → L’espace affine euclidien E3 est rapporté à un repère orthonormé (O, i , j , k ). On considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (1, 1, 1), (−1, −1, 1), −1, 1, −1) et (1, −1, −1). 1. Montrer que les points A, B, C et D sont affinement libres. 2. Soit σ une permutation de l’ensemble {A, B,C, D}. Montrer qu’il existe une unique isométrie f , telle que f (A) = σ(A), f (B) = σ(B), f (C) = σ(C), et f (D) = σ(D) 3. Combien y a-t-il d’isométries de E3 qui conservent globalement le thétreidre ABCD ? 4. Soit f une isométrie qui conserve globalement le thétreidre ABCD. Montrer que f (O) = O. 5. Soit τ la permutation de {A, B,C, D}, tel que τ(A) = B, τ(B) = A, τ(C) = C et τ(D) = D. Caractériser l’isométrie f , telle que f (M) = τ(M) pour M ∈ {A, B,C, D}. 6. Combien y a-t-il de rotations qui conservent globalement le thédreidre ABCD ? A quelles permutations de {A, B,C, D} correspondent-elles ? 7. Soit G le barycentre du triangle BCD. Montrer que la projection orthogonale de A sur au plan (BCD) est le point G. Page 77 sur 78

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M.HOUIMDI 8. Soit f une rotation qui conserve globalement le thédreidre ABCD, telle que f (A) = A. Montrer que f (G) = G. En déduire toutes les rotations f qui conservent globalement le thédreidre ABCD et telles que f (A) = A. 9. Soit α la permutation de {A, B,C, D}, tel que α(A) = B, α(B) = A, α(C) = D et α(D) = C. Caractériser l’isométrie f définie par la permutation α. 10. Décrire, par leurs axes et leurs angles, toutes les rotations de E3 qui conservent globalement le thétreidre ABCD.

Exercice 45 Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3, r1 et r2 deux retournements de E3 d’axes respectives ∆1 et ∆2 . 1. a) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont sécantes, alors r2 ◦ r1 est une rotation. b) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont parallèles, alors r2 ◦ r1 est une translation. c) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont non coplanaires, alors r2 ◦ r1 est un vissage. 2. Montrer que si r est une rotation différente de l’identité, alors r est la composée de deux retournements dont les axes ∆1 et ∆2 se coupent en un point de l’axe ∆ de r. − − 3. Soit → u un vecteur de E. Montrer que la translation de vecteur → u est la composée de deux retournements d’axes parallèles. 4. Montrer que tout vissage est la composée de deux retournements. Exercice 46 − → − → − → Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j , k ). Dans chacun des cas suivants déterminer l’expression analytique de l’application affine f , définie par, 1. f est le demi-tour d’axe la droite ∆ passant par le point A de coordonnées (1, 2, 0) et de vecteur − → − → − directeur → u = j − k. 2. f est la symétrie orthgonale par rapport au plan Π d’équation x + y − 2z = 0. 3. f est la symétrie-rotation d’angle π2 et d’axe la droite passant par le point de coordonnées − → − → − → (1, 0, −1) et de vecteur directeur i − 2 j + k . − → − → − 4. f est le vissage d’angle π , de vecteur → v = i − k et d’axe la droite ∆ passant par le point de 3

coordonnées (1, 0, 1). Exercice 47 − → − → − → Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j , k ). Déterminer la nature des applications affines f suivants 1.    0 = 1 (2x − y + 2z) 0 = 1 (7x + 4y + 4z + 9) 0    x x   x = −z + 1 3 9 , , y0 = 13 (2x + 2y − z) y0 = 19 (4x − 8y + z + 9) y0 = −x    0 1 0 1 0 z = 3 (−x + 2y + 2z + 3) z = 9 (4x + y − 8z + 9) z = y−2 2.

 1 0  x = 3 (−x + 2y + 2z − 4) y0 = 31 (2x − y + 2z + 2)  0 1 z = 3 (2x + 2y − z + 2)

3.

 1 0  x = 3 (x − 2y + 2z − 6) y0 = 13 (−2x + y + 2z − 6)  0 1 z = 3 (2x + 2y + z + 6)

,

 1 0  x = 3 (2x − 2y + z + 1) y0 = 13 (2x + y − 2z + 2)  0 1 z = 3 (x + 2y + 2z + 5)

,

,

 0  x = −z + 1 y0 = x  0 z = y−2

 1 0  x = 3 (2x + 2y − z + α) y0 = 13 (−x + 2y + 2z + α − 1)  0 1 z = 3 (2x − y + 2z + α − 2)

,

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