UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL TEMA:
CONSTRUCCIÓN DE UN TRAMO DE UNA MONTAÑA RUSA PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: CALCULO DIFERENCIAL
AUTORES: LEITHER TORRES MONTOYA 0706485414 JOEL PACCHA ALEGRÍA ___________ JOSUÉ CORREA MUÑOZ ___________
TUTOR: ING. MIGUEL EMILIO MALDONADO AMAYA
MACHALA, FEBRERO, 2016
CONSTRUCCIÓN DE UN TRAMO DE UNA MONTAÑA RUSA
AUTORES:
__________________________________ LEITHER TORRES MONTOYA 0706485414
[email protected]
__________________________________ JOEL PACCHA ALEGRÍA
__________________________________ JOSUÉ CORREA MUÑOZ
TUTOR:
ING. MIGUEL EMILIO MALDONADO AMAYA # C.I.
[email protected]
MACHALA, FEBRERO, 2016 II
DEDICATORIA
Dedicado a nuestros padres, los cuales son una fuente de incondicional de apoyo para culminar con éxitos este proyecto semestral; así mismo a todos nuestros compañeros que estuvieron allí apoyándonos y dando ánimo en cada momento.
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RESUMEN CONSTRUCCIÓN DE UN TRAMO DE UNA MONTAÑA RUSA Autores: Leither Torres Montoya Joel Paccha Alegría Josué Correa Muñoz Tutor: Ing. Miguel Emilio Maldonado Amaya
Este es un proyecto semestral de la materia de Calculo Diferencial que examina un tramo de una montaña rusa, para lo cual utilizaremos esa gran herramienta del Cálculo Diferencial como es la derivada. En este proyecto estableceremos la suavidad que debe tener una montaña rusa para mantener tanto su velocidad y seguridad las cuales son factores muy importantes en la construcción de una de estas estructuras. Además estableceremos los puntos máximos, puntos mínimos, punto de inflexión y concavidad en la trayectoria del tren transportador, posteriormente se calculará la eficiencia de los trabajadores.
Palabras Claves: suavidad, puntos máximos, puntos mínimos y concavidad.
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SUMMARY CONSTRUCTION OF A SECTION OF A ROLLER COASTER Author: Leither Torres Montoya Joel Paccha Alegría Josué Correa Muñoz Tutor: Ing. Miguel Emilio Maldonado Amaya
This is a six-month project of the area of differential calculation which examines a tranche of a roller coaster, for which we will use this great tool of differential calculus as is the derivative. In this project we will establish the smoothness that must have a rollercoaster for maintaining both its speed and security which are very important factors in the construction of one of these structures. In addition we will establish the maximum points, minimum points, point of inflection and concavity in the trajectory of the train shall be calculated later conveyor, the efficiency of workers.
Key words: smoothness, maximum points, minimum points and concavity.
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ÍNDICE DE CONTENIDO
Contenido CAPITULO I.................................................................................................................................................... 8 DIAGNOSTICO DEL PROBLEMA..................................................................................................................... 8 1.1.
CONTEXTUALIZACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA OBJETO DE INTERVENCIÓN .................. 8
1.2. OBJETIVOS ......................................................................................................................................... 9 1.2.1. OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................................ 9 1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................................. 9 1.3. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................................ 10 CAPITULO II................................................................................................................................................. 11 MARCO TEÓRICO ........................................................................................................................................ 11 LA DERIVADA .......................................................................................................................................... 1 1 MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................................ 12 MÁXIMOS Y MÍNIMOS............................................................................................................................ 12 CONCAVIDAD .......................................................................................................................................... 13 RAZÓN DE CAMBIO ................................................................................................................................ 13 Materiales, equipos y software .............................................................................................................. 13 Materiales ........................................................................................................................................... 13 Equipos ............................................................................................................................................... 1 3 Software ............................................................................................................................................. 1 3 CAPITULO III................................................................................................................................................ 14 PLANTEAMIENTO DEL EJERCICIO .............................................................................................................. 14 RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO................................................................................................................... 15 Bibliografía.................................................................................................................................................. 18
ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 TABLA DE DERIVADAS .................................................................................................................................... 12 Tabla 2 COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN ............................................................................................................. 16
ÍNDICE DE GRÁFICOS Ilustración 1 REPRESENTACIÓN DE LA DERIVADA ....................................................................................................... 11 Ilustración 2 GRÁFICO DEL EJERCICIO ......................................................................................................................... 16
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INTRODUCCIÓN
El presente informe pretende dar a conocer aspectos en la construcción de una montaña rusa y la eficiencia de los trabajadores en la misma, para lo cual utilizaremos lo aprendido en Cálculo Diferencial; temas como: 1. Derivada 2. Monotonía de una Función 3. Máximos y mínimos 4. Concavidad 5. Razón de cambio
CAPITULO I
DIAGNOSTICO DEL PROBLEMA 1.1. CONTEXTUALIZACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA OBJETO DE INTERVENCIÓN Desde la antigüedad el ser humano se ha dedicado a mejorar progresivamente el diseño de las montañas rusas que son “unas atracciones de feria que consisten un circuito de carriles con desniveles por los que se deslizan vehículos a gran velocidad.” (1)
En el campo de la ingeniería se ha venido tratando de mejorar la trayectoria de las mismas, cada vez se pretende crear montañas rusas en las que sus recorridos proporcionen una mayor velocidad y produzcan en el usuario una situación llena de adrenalina, sin perder lo más importante la seguridad para quienes se sirven de esta atracción. (2)
En este proyecto nos limitaremos a definir una función que nos permita construir y simular el recorrido de un tramo de la montaña rusa.
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1.2. OBJETIVOS 1.2.1. OBJETIVO GENERAL Calcular y analizar una función que cumpla la suavidad necesaria, con el uso de la derivada podremos analizar aspectos importantes del recorrido de la función, con esto se tendrá una idea clara de la función.
1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Calcular el punto máximo la trayectoria que recorre el vehículo en la montaña rusa. Definir una función que cumpla el recorrido necesario para que esta trayectoria cumpla con los aspectos necesarios que necesita una montaña rusa. Establecer una relación de la producción con respecto al tiempo.
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1.3. JUSTIFICACIÓN El estudio de esta sección de trayectoria es muy importante ya que nos permitirá conocer cómo deben de ser las condiciones que debe de cumplir una montaña rusa y además interpretar el comportamiento del vehículo transportador. La construcción de una de estas estructuras además beneficiará a toda la provincia ya que se crearían muchas fuentes de empleo y el turismo incrementaría constantemente
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CAPITULO II
MARCO TEÓRICO LA DERIVADA Según Granville (2) a derivada de una función es el límite de la razón entre e l incremento de la función ( ) sobre el incremento de la variable independiente ( cuando éste tiende a cero ( ).
∆ ∆ → 0 = lim ∆ = lim + ∆ ∆ → ∆ ∆ → ∆
También la derivada es: La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto Q
= = ′[ ] Como se muestra en la Ilustración 1:
Ilustración 1 REPRESENTACIÓN DE LA DERIVADA (LEITHER TORRES, 2016)
Seguido veremos una tabla de las derivadas más comunes: DERIVADAS
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∆),
Tabla 1 TABLA DE DERIVADAS
FUNCIÓN
DERIVADA
= 0 = 1 = − = 2√ 1 = 1 = 1 log ℯ = ℯ = a lna = cos = = x 1 = √1 1 = √1 = 1 +1
= = = = √ = = log x = ℯ = a = = = = = =
(LEITHER TORRES, 2016)
MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
“Sea una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):
Si Si
> 0 para toda x en (a,b),entonces es creciente en [a,b]; < 0 para toda x en (a,b),entonces es decreciente en [a,b]; ” (3)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Si > 0 para toda < y < 0 para toda > , entonces es el valor máximo absoluto de . Si < 0 para toda < y < 0 para toda > , entonces es el valor mínimo absoluto de .” (4)
“Suponga que c es un número crítico de la función continua definida sobre un intervalo.
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CONCAVIDAD
“Suponga que la función es diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a y es un punto de inflexión de la gráfica de
,
Entonces, si
.
= 0 ” (3)
RAZÓN DE CAMBIO Se establecen relaciones entre variables derivándolas cada una con respecto a un parámetro
Se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra.
Materiales, equipos y software Materiales Hojas Libros
Equipos PC Impresora
Software Geogebra Microsoft Word
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CAPITULO III
PLANTEAMIENTO DEL EJERCICIO Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso y la del descenso Opta por conectar estos dos tramos rectos y mediante parte de una parábola , donde y se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los segmentos directos L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. Para simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P.
0.8 = =
+
1.6.
= = +
Primera parte a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en , y que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. b) Resuelva la ecuación del inciso (a) para , y para hallar una fórmula para . c) Dibuje , y para verificar que las transiciones son uniformes. d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. e) Determinar la monotonía f) Máximos g) Concavidad
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Segunda parte Establecer una relación entre la producción con respecto al tiempo, si se estableció un horario fijo sin horas extras y que nos puede ayudar a concluir la construcción de la montaña rusa en un menor tiempo, un estudio de eficiencia que nos indica que un obrero promedio, que llega a las 7:30 am, habrá producido:
= + 8 + 24 ; ℎ Hallar: a) La tasa de producción del obrero a las 10:30 am. b) A qué razón está cambiando la taza de producción del obrero con respecto al tiempo a las 10:30 am.
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RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO Primera parte. Planteamos la ecuación cuadrática y la derivamos.
= + + = 2 + Evaluamos la derivada en los dos puntos P, Q para encontrar a,b.
0 = 20 + 0.8 = 0 + = 0.8 100 = 2100 + 1.6 = 200 + = 1.6 200 16 8 24 10 = 10200010 = 2000 3 = 0.012 = 250 Ahora hallemos c, como la función tiene coordenadas en el origen obviamente comprobémoslo.
= 0 pero
0 = 0 + 0 + 0=0+0+ =0 Ya hemos definido = { 0.012 + 0.8 ; 0 ≤ ≤ 100. La diferencia en elevación entre P y Q.
0 100 = [0.0120 + 0.80] [0.012100 + 0.8100] = ⋯ 0 100 = 120+ 80 0 100 = 40 Analizamos la primera derivada para determinar puntos críticos y la monotonía de la función.
= 0.012 + 0.8 3 + 4 = 125 5 3 + 4 0 = 125 5 15
3 = 4 125 5 ̂ = 100 = 33.3 3 Para evitar que se torne tedioso el procedimiento directamente realizamos la segunda derivada.
3 + 4 = 125 5 3 ′ = 125 3 ′′100 = 3 125 (33.3̂) < 0 , á. Comportamiento de la función Tabla 2 Tabla 2 COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN
33.3̂ > ≥ 0 = 33.3̂ 100 ≥ > 33.3̂
13.3̂
′ + 0
Creciente y cóncava hacia abajo Decreciente hacia abajo
y
cóncava
(LEITHER TORRES, 2016)
Todo lo anteriormente resuelto queda plasmado en este gráfico.
Ilustración 2 GRÁFICO DEL EJERCICIO (LEITHER TORRES, 2016)
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′′
Segunda parte.
=3
a) La tasa de producción del obrero a las 10:30 am.
= + 8 + 24 = 3 + 16 + 24 = 33 + 163+ 24 = 45 b) A qué razón está cambiando la taza de producción del obrero con respecto al tiempo a las 10:30 am.
= 3 + 16 + 24 = 6 + 16 = 63 + 16 = 2 El signo menos indica que la tasa de producción del trabajador está decreciendo es decir, el trabajador va mucho más lento. La razón de este decrecimiento en la eficiencia a las 11; 00 a.m.es de 6 unidades por hora.
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CONCLUSIONES: Como resultado de este proyecto hemos obtenido una función que define cierto tramo de la montaña rusa y con ella hemos examinado ciertos aspectos para bosquejar una imagen que nos permita entender tanto el funcionamiento así como su suavidad.
RECOMENDACIONES: Se debe seguir un orden en las operaciones para así poder evitar errores, de la misma se les aconseja trabajar siempre los cálculos matemáticos con fracciones para así, serán mucho más precisos y además evitaran el uso de calculadoras. Confíen en sus conocimientos, no duden…
BIBLIOGRAFÍA
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1. Larousse. Larousse Diccionario Enciclopédico. Decimocuarta ed. García T, editor. México, D.F.: EDICIONES LAROUSSE S.A. de C.V.; 2008. 2. Anthony GW. Cálculo diferencial e integral México D. F.: Limusa; 2009. 3. LEITHOLD L. EL CALCULO. Septima ed. Gonzalez FM, editor. México: UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA; 1998. 4. STEWART J. CÁLCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS. Septima ed. González SC, editor. México: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.; 2012. 5. Andrew Rex RW. Fundamentos de física Martín-Romo M, editor. Madrid: PEARSON EDUCACIÓN, S. A.; 2011.
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