TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO I LOGICA MATEMATICA
ELABORADO POR: MARLYZ ISABEL ACOSTA FABIÁN ANDRÉS ARRIETA RODRÍGUEZ YOJAIRA PAOLA BADEL ERMES BERMUDEZ LIZETH VIVIANA QUINTERO
GRUPO: 551105_6 TUTOR PEDRO J. RUIZ P.
UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
3 DE ABRIL DE 2016 1
INTRODUCCIÓN La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. En la elaboración de este trabajo se logró el conocimiento y se identificó el propósito y temática la unidad de estudio, Evidenciando el contenido del módulo, el cual está orientando a estudiar los conceptos y la aplicación de la lógica proposicional (proposiciones lógicas, enunciados y conectivos, reglas de inferencia, tablas de verdad y tautologías), reglas de inferencia y sus demostraciones (modus Ponendo Ponens, modus Tollendo Tollens, regla de doble negación, leyes de Morgan, entre otras). Teniendo en cuenta el objetivo de este curso es que se pueda identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos con el fin de mejorar el conocimiento y desempeño en nuestra formación.
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EJERCICIOS TRABAJO INDIVIDUAL 1. ¿Cuáles de las siguientes frases son proposiciones? ¿Cuál es el valor de verdad de aquellas que son proposiciones? Cali es la capital de Colombia (Proposición Falsa) Buenos Aires es la capital de Argentina (Proposición Verdadera) 2+3=5 (Proposición Verdadera) ¿Qué día es hoy? (No es Proposición) 2. ¿Cuál es la negación a cada uno de los siguientes enunciados? Hoy es jueves (Hoy no es Jueves) No hay polución en Bogotá (Hay Polución en Bogotá) 2+1=3 (2 + 1 ≠ 3) El verano de Villavicencio es (El verano en Villavicencio Cálido y soleado no es cálido ni soleado) El verano de Villavicencio es (El verano en Villavicencio Cálido o soleado ni es cálido ni es soleado) 3. Sean p y q enunciados P: “Está permitido nada en la costa de Cartagena” q: “Se han divisado tiburones cerca de la costa” Exprese cada una de las siguientes proposiciones en lenguaje natural a) ¬q
b) ¬p Ʌ (p V q)
c) p Ʌ q
d) ¬p V q
R/ a) ¬q: No se han divisado tiburones cerca de la costa b) ¬p Ʌ (p V q): No está permitido nadar en la costa de Cartagena y está permitido nadar en la costa de Cartagena p se han divisado tiburones en la costa c) p Ʌ q: Está permitido nadar en la costa de Cartagena y se han divisado d) ¬p V q
tiburones cerca de la costa No está permitido nada en la costa de Cartagena o se han
divisado Tiburones cerca de la costa 4. Sean p y q los enunciados p: “Estamos bajo cero” q: “Nieva”, escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos. a) Estamos bajo cero y nieva b) Estamos bajo cero, pero no nieva c) No estamos bajo cero y no nieva
R/ R/ R/
(p Ʌ q) (p Ʌ ¬q) (¬p Ʌ ¬q) 3
d) Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas) R/ e) Si estamos bajo cero, entonces también nieva
R/
(p V q) V (p Ʌ q) (p → q)
5. Sean p y q los enunciados p: “Conduces a más de 100 Km/h” q: “Te multan por exceso de velocidad”, Escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos. a) No conduces a más de 100 Km/h R/ (¬p) b) Conduces a más de 100 Km/h, pero no te multan por exceso de velocidad (p Ʌ ¬q) c) Te multan por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km/h R/ (p → q)
d) Si no conduces a más de 100 Km/h no te multaran por exceso de velocidad R/ (¬p → ¬q) e) Conducir a más de 100 Km/h es suficiente para que te multen por exceso de velocidad R/
(p → q)
6. Sean p, q y r los enunciados: p: “Se han visto osos pardos en la zona” q: “Es seguro caminar por el sendero” r: “Las bayas del sendero están seguras”. Exprese los siguientes enunciados utilizando p, q y r y conectivos lógicos. a) Las bayas del sendero están seguras, pero no se han visto osos pardos por la zona R/ (r Ʌ ¬p) b) No se han visto osos pardos por la zona y es seguro caminar por el sendero, pero las bayas del sendero están seguras R/ (¬p Ʌ q Ʌ r) c) Si las bayas del sendero están seguras, es seguro caminar por el sendero si, y solo si, no se han visto osos pardos por la zona.
R/
(p
→
q)
⇔
❑
¬p 7. Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “si p, entonces q” a) Nieva siempre que el viento sopla del noreste R/ Si sopla el viento del noreste entonces nieva b) El manzano florecerá si el tiempo se mantiene cálido durándote una semana R/ Si se mantiene cálido durante una semana entonces el manzano florecerá c) Que el Real Madrid gane el campeonato implica que venció al Barcelona R/ Si el Real Madrid gana el campeonato entonces vencieron al Barcelona
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8. Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “p si, y solo si q” a) Si hace calor afuera, te compras un helado, y si te compras un helado, hace calor afuera R/ Hace calor afuera si, y solo si te compras un helado b) Para ganar la rifa es necesario y suficiente tener el numero ganador R/ Ganas la rifa si, y solo si tienes el numero ganador c) Ascenderás solo si tienes contactos. Y tienes contactos solo si asciendes R/ Ascenderás si, y solo si tienes contactos 9. Enuncie la recíproca, la contrarrecíproca y la inversa de cada uno de los siguientes condicionales a) Si un entero es par, entonces es divisible por 2 R/ Reciproca: Entonces es divisible por 2, si un entero es par Contrarrecíproca: Entonces no es divisible por 2, si un entero no es par Inversa: Si un entero no es par, entonces no es divisible por 2 b) Voy a clases siempre que vaya a haber un control R/ Reciproca: Siempre que vaya a haber control voy a clases Contrarrecíproca: Siempre que no vaya a haber control no voy a clases Inversa: No voy a clases siempre que no vaya a haber control c) Cuando me acuesto tarde, es necesario que duerma hasta el mediodía R/ Reciproca: Es necesario que duerma hasta el mediodía, cuando me acuesto tarde Contrarrecíproca: No es necesario que duerma hasta el mediodía, cuando no me acuesto tarde Inversa: Cuando no me acuesto tarde, no es necesario que duerma hasta el mediodía d) Un entero positivo es primo solo si no tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo R/ Reciproca: Solo si no tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo, un entero es positivo es primo Contrarrecíproca: Solo si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo, un entero es positivo no es primo Inversa: Un entero positivo no es primo solo si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo 10. Construir la tabla de la verdad para: ⇔ a) p → q ❑ (¬p → ¬q) →
b) [r Ʌ s] →
c) ¬p
p
→
q
(q ⇔
❑
⇔
q
[(s Ʌ ¬q)
❑ →
→
¬r]
r)
(¬p → ¬q)
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p
Q
¬p
¬q
p→ q
¬p → ¬q
p →
⇔
q ❑
(¬p →
¬q) V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
[r Ʌ s]
r
S
→
q
⇔
q
❑
¬r
¬q
[(s Ʌ ¬q)
rɅs
s Ʌ ¬q
→
¬r]
[r Ʌ s]→ q
(s Ʌ ¬q)→ ¬r
⇔
[r Ʌ s] →q
❑
[(s Ʌ ¬q)→
¬r]
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
¬p
→ (q P
→ q
r) r
¬p
q
→
r
¬p →
→
(q
r)
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V 6
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
11. Utilizando el modus ponendus ponens, llegue a la conclusión C a) P1: Si hoy es domingo, entonces hay futbol P2: Hoy es domingo C: Hay futbol X
b) P1: Si P2: C:
X
X
2
es un numero par, entonces
X
2
es par
es un número par es par
c) P1: ¬ p → q V s P2: ¬ p C: q V s 12. Utilizando el modus tollendo tollens, llegue a la conclusión C. a) P1: Si estoy preparado profesionalmente, entonces triunfaré en mis negocios P2: Fracasé en mis negocios C: No estoy preparado profesionalmente b) P1: S → ¬ t P2: ¬ (¬ t) C: ¬ S c) P1: p V q ¬r P2: ¬ (¬ r) C: ¬ (p V q) 13. Traduzca en dos formas cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos. En primer lugar, el dominio consistirá en los estudiantes de tu clase, y en segundo lugar, será el conjunto de todas las personas.
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a) a) b) c) d)
Alguien de tu clase habla inglés R/ x (Ax Ix) Todos en tu clase son amigables R/ x (Ax Fx) Hay una persona en tu clase que no nació en Bogotá R/ x (Ax x) Un estudiante de tu clase ha visto una película R/ x (Ax Ix) Ningún estudiante de tu clase ha cursado una asignatura de lógica R/ definimos Alguien = A,
14. Traduzca cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas utilizando funciones proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos. El dominio es el conjunto de todas las personas. b) c) d) e)
Nadie es perfecto. No todo el mundo es perfecto. Todos tus amigos son perfectos. Cada uno de tus amigos es perfecto
R/ R/ R/ R/
x (Ex Px) x (Ax Px) x (Ax Px) x (Ax Px)
15. Traduzca cada una de las siguientes frases a expresiones lógicas de tres formas diferentes, variando el dominio y utilizando funciones proposicionales con una y con dos variables. a) Un estudiante de tu universidad ha vivido en Cali. Solución: Introduciendo la variable x, de tal forma que nuestra frase se convierte en: “Un estudiante x de tu universidad que tiene como atributo que x ha vivido en Cali” Introducimos el predicado C(x), que es el enunciado << x ha vivido en Cali>>. Si el dominio para x consiste en el estudiante de tu universidad, se puede traducir la primera frase como x C(x). No obstante, si estamos interesados en otras personas además de las de la clase, tomamos la frase de forma ligeramente diferente y la podríamos expresar como: “Hay una persona x que tiene como atributos que x es un estudiante de la universidad y que x ha vivido en Cali” En este caso, el dominio para la variable x es todas las personas. Introducimos el predicado S(x), << x es un estudiante de tu universidad>>. Nuestra solución se
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convierte en x (S(x) Ʌ C(x)), ya que la frase hace referencia a una persona x que es estudiante de tu universidad y que ha vivido en Cali. b) Hay un estudiante de tu escuela que no habla ruso. Solución: Introduciendo la variable x, de tal forma que nuestra frase se convierte en: “Un estudiante x de tu escuela que tiene como atributo que x no habla ruso” Introducimos el predicado R(x), que es el enunciado << x habla ruso >>. Si el dominio para x consiste en el estudiante de tu escuela, se puede traducir la primera frase como x ¬R(x). No obstante, si estamos interesados en otras personas además de las de la escuela, tomamos la frase de forma ligeramente diferente y la podríamos expresar como: “Hay una persona x que tiene como atributos que x es un estudiante de tu escuela y que x no habla ruso” En este caso, el dominio para la variable x es todas las personas. Introducimos el predicado S(x), << x es un estudiante de tu escuela>>. Nuestra solución se convierte en x (S(x) Ʌ R(x)), ya que la frase hace referencia a una persona x que es estudiante de tu escuela y que no habla ruso. c) Un estudiante de tu escuela sabe Java, Prolog y C++. Solución: Introduciendo la variable x, de tal forma que nuestra frase se convierte en: “Un estudiante x de tu escuela que tiene como atributo que x sabe java, x sabe prlog y x sabe C++” Introducimos el predicado J(x), que es el enunciado << x sabe java >>, P(x), que es el enunciado << x sabe prolog >> y C(x), que es el enunciado << x sabe C++ >>. Si el dominio para x consiste en el estudiante de tu escuela, se puede traducir la primera frase como x (J(x) Ʌ P(x) Ʌ C(x)). No obstante, si estamos interesados en otras personas además de las de la escuela, tomamos la frase de forma ligeramente diferente y la podríamos expresar como:
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“Hay una persona x que tiene como atributos que x es un estudiante de tu escuela y que x sabe java, x sabe prlog y x sabe C++”
En este caso, el dominio para la variable x es todas las personas. Introducimos el predicado S(x), << x es un estudiante de tu escuela>>. Nuestra solución se convierte en x (S(x) Ʌ (J(x) Ʌ P(x) Ʌ C(x)), ya que la frase hace referencia a una persona x que es estudiante de tu escuela y que no habla ruso.
TRABAJO COLABORATIVO 1. Responder los tres problemas iniciales dados en las preguntas generadoras Leer las siguientes situaciones particulares y establecer posibles soluciones. En el transcurso de la actividad se darán las herramientas necesarias para contestar las preguntas allí planteadas. Preguntas generadoras:
Un buque que se encuentra anclado en un atracadero tiene fija a unos de sus costados una escalera en la que la diferencia de altura entre cada peldaño es de 50 cm. Si el agua está a nivel del segundo escalón y la marea empieza a subir a razón de 50 cm por hora. ¿Al nivel de qué escalón se encontrará el agua tres horas después? R/ básicamente el Buque tiene densidad menor que el agua, porque está lleno no solamente de hierro, sino de aire y por ende este tiene la posibilidad de flotar en ella, por esta razón se deduce que siempre el agua estará al nivel del segundo peldaño de la 10
escalera, ya que si aumenta la cantidad de agua, o sube la marea, el barco subirá con la superficie del agua, lo que en conclusión podemos afirmar que después de tres horas, el nivel del escalón será el mismo.
Al leer cada uno de los siguientes textos ¿Cuál sería el orden lógico de los párrafos para tener un texto coherente? a) Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: b) Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo c) En aquel momento tenía 67 años d) El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914 e) Que se pensaba no iba arder f) Aunque el laboratorio era de cemento g) Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison h) Con su cabello blanco ondeando en el viento i) “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con el” j) Por lo tanto gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche k) Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo R/ El orden lógico de estos párrafos serían los siguientes: d) El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914 f) Aunque el laboratorio era de cemento e) Que se pensaba no iba arder j) Por lo tanto gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche g) Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison c) En aquel momento tenía 67 años
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h) Con su cabello blanco ondeando en el viento a) Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: i) “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con el” b) Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo k) Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914. Aunque el laboratorio era de cemento, que se pensaba no iba arder, Por lo tanto gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche. Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison. En aquel momento tenía 67 años, Con su cabello blanco ondeando en el viento, Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con él”. Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo. Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo
En Turquía se acostumbraba que los reos condenados a muerte eligieran la forma de morir, para ello deberían de decir una proposición. Si la proposición era verdadera lo decapitaban y si era falsa lo ahorcaban. El día del juicio un reo judío dijo la siguiente proposición: “Seré ahorcado” y continuó “Si me ahorcan van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es verdad, por lo tanto deberían de decapitarme; pero si me decapitan, también van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es falso”. ¿Qué hacen con el judío, lo decapitan, lo ahorcan, lo dejan libre? R/ En mi pensamiento el reo quedaría libre, ya que se basa en proponer una verdad sobre algo falso por lo tanto su proposición lo salvaría ya que los jueces estarían truncados en el dilema de si lo decapitan entonces la proposición era falsa y tenía que morir ahorcado y si lo ahorcaban entonces la proposición era cierta y tenía que morir decapitado.
2. Verifique con tablas de verdad, que los siguientes condicionales son tautologías
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( p Ʌ q) →( p → q) p
q
pɅq
p →
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
q
( p Ʌ q ) →(p → q)
Teniendo en cuenta que: Una tautología es una fórmula cuyo valor de verdad es el mismo para todas las interpretaciones posibles. Por lo tanto, ( p ∧q ) y
( p →q)
no son
tautologías. En cambio, ( p Ʌ q ) →(p → q) si es una Tautología.
3. Utilice la tabla de la verdad para verificar la ley distributiva: p Ʌ ( p V r ) ´¿ ( p Ʌ q ) V ( p Ʌ r )
p
q
r
(pV r)
( p Ʌ q)
( p Ʌ r)
p Ʌ ( pV r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
( p Ʌ q) V ( p Ʌ r )
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Podemos observar que no se cumple la ley distributiva en este ejercicio, ya que: p Ʌ ( p V r )≠ ( p Ʌ q )V ( p Ʌ r ) 4. ¿Qué reglas de inferencia se utilizan en las siguientes deducciones?
Alicia estudia matemáticas. Por tanto, Alicia estudia o bien matemáticas o bien ingeniería. R/ Regla de la adición, ya que tenemos una proposición verdadera entonces podemos concluir que las otras dos proposiciones son verdaderas p→ ( p V q )
Henry estudia matemáticas e ingeniería. Por tanto, Henry estudia matemáticas R/ Regla de la simplificación, ya que tenemos una conjunción que es verdadera entonces cualquiera de las proposiciones que la componen es verdadera podemos concluir que la primera proposición es verdadera o la segunda es verdadera ( p Ʌ q ) → p ; ( p Ʌ q ) →q
Si llueve, se cierra la piscina. Llueve; por tanto, está cerrada. R/ Regla del Ponendo Ponens, ya que tenemos una implicación y sabemos que el primer término es verdadero, entonces podemos concluir el segundo término. ( ( p →q ) Ʌ p ) → q
Si nieva hoy, se cerrara la universidad. La universidad no está cerrada hoy. Por tanto, no nieva hoy. R/ Regla del Tollendo Tollens, ya que sabemos que tenemos una implicación y sabemos que el primer término es verdadero y su segundo término o conclusión es falso, entonces podemos concluir la negación del primero. ( ( p →q ) Ʌ ¬ q ) → ¬ p
Si voy a nadar, entonces estaré al sol demasiado tiempo. Si estoy al sol demasiado tiempo, me quemaré. Por tanto, si voy a nadar me quemaré. R/ Regla de la Transitividad de la implicación, ya que si tenemos dos implicaciones unidas por una conjunción y donde el segundo término de la primera implicación y el primer término de la segunda implicación son los mismos, entonces podemos concluir con la implicación del primer término de la primera implicación con el último término de la segunda implicación, es decir como si hiciéramos un puente.
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( ( p →q ) Ʌ ( q →r ) ) → ( q →r ) 5. Demuestre que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas. Si el reloj esta adelantado, entonces Juan llego antes de la diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj esta adelantado. Por lo tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. R/ Primero tenemos que asignar un valor a cada proposición: p = Si el reloj esta adelantado q = Juan llegó antes de las diez r = Vio partir el coche Andrés s = Andrés dice la verdad t = Estaba en el edificio en el momento del crimen Demostrando que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas. p→ ( q Ʌ r ) 1. 2.
s →¬ r
3.
sVt
4.
p
Aplicando el método Ponendo Ponens con 1 y 4: si tenemos una implicación y sabemos que el primer término es verdadero, entonces podemos concluir el segundo término. ( p →( q Ʌ r ) )→ ( q Ʌ r )
5.
(q Ʌ r ) :
Aplicando el método de la simplificación, ya que tenemos una conjunción
que es verdadera entonces cualquiera de las proposiciones que la componen es verdadera podemos concluir que la primera proposición es verdadera o la segunda es verdadera
( q Ʌ r ) →r
6.
r :
Aplicaremos el método Tollendo Tollens con 2 y 6: si sabemos que tenemos una
implicación y sabemos que el primer término es verdadero y su segundo término o conclusión es falso, entonces podemos concluir la negación del primero. (s → ¬ r)→ ¬ s
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7.
¬s :
Aplicando el método del silogismo disyuntivo con 3 y 7: si una disyunción
exclusiva, de manera que los dos miembros no pueden ser simultáneamente verdaderos, ni simultáneamente falsos. sV t ¬s t 8.
t :
Como podemos ver la conclusión si es consecuencia lógica de las premisas
previamente dadas
CONCLUSION
Las proposiciones lógicas, evidentemente son fundamentales dentro del estudio de las matemáticas, porque permiten la generación de afirmaciones a partir de verdades o falsedades existentes, que permiten cuestionar la realidad, lo que un matemático debe entender para su ejercicio, ya que las matemáticas son ciencias exactas que describen simbólica, algorítmica y estructural, una situación, y debe ser sustentada lógicamente. Por ello con estos trabajos: individual y colaborativo, se logró comprender, asimilar y cuestionar las situaciones de forma lógica, a partir de premisas, además se aprovecharon los conceptos estudiados y relacionados con la lógica proposicional siendo esta una parte fundamental en la inteligencia artificial ya que precisa de lenguaje formal para representar los hechos que se perciben en el mundo real, así como también las reglas de inferencia y demostraciones lógicas. Utilizar proposiciones es algo sencillo y practico en el momento de resolver problemas, considerando que lo podemos hacer disolviendo dicho problema en proposiciones u oraciones sencillas que permitan analizar los hechos, así también como crear nuevas proposiciones ya sean sencillas o compuestas y de esta manera tomar las decisiones.
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Es además la relación entre teoría y práctica, la que permite generar un conocimiento significativo, por ello, se hace necesario poner en práctica en la vida cotidiana, todos los conceptos aquí estudiados, para un verdadero aprendizaje, y lograr crecer como profesionales.
BIBLIOGRAFIA
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551105/logica_2014-_2/Entorno%20de%20 conocimiento/Libro_de_logica_cap._1.pdf Resumen de las leyes de inferencia. Recuperado Junio 13 de 2014 http://rosmirofuentesrocha.weebly.com/uploads/6/2/7/4/6274527/deduccion_proposicional.pdf García I ( ). Introducción a la lógica y métodos de demostración cap. 2. Domingo A. ( ). Lógica matemática. Recuperado Junio 14 de 2014http://www.monografias.com/trabajos-pdf3/logica-matematica/logica-matematica.pdf
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