Clase 1 Vectores Cuadricas t2larson101-150

5/16/2018

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S ec ci6 n 1 0 .2

9,83

C o o r d e n a d a s y v ec to re s e n e l e sp a cio

10.2 C O N T E N ID O

•

C o o r d e n ad a s e n e l e s p ac io

•

V e c to re s e n e l e s p ac io

•

A p lic ac io ne s

•

Coordenadas y v ectores en el esp ac io C oorden adas en el esp ac io

Hasta ahora hemos manejado casi exclusivamente sistemas de coordenadas en dos dimensiones. Buena parte de 1 0 que resta por hacer exige sistemas de coor denadas en tres dimensiones. Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, introducimos un sistema de coordenadas tridimensional, colocando un eje z perpendicular en el origen a los ejes x e y. La Figura 10.14 muestra los tres semiejes positivos. Tornados por parejas, los ejes coordenados determinan tres pianos coordenados: el planoxy, el planoxz y el plano jz. Estos tres planos dividen el espacio en ocho octantes. EI primer octante es aquel en el cuallas tres coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P del espacio viene deter minado por un trio ordenado (x, y, z), donde

z

y

F IG U R A 1 0,1 4 S is te m a d e c oo rd e na d as e n tr es d im e n sio n es .

x

= distancia dirigida de P al plano

y

= distancia dirigida de P al plano x z

z

= distancia dirigida de

yz

P al plano .x y

La Figura 10.15 muestra varios punt os localizados en el espacio. z 6

, " t ~

,

-4

3

•

,

-5

4 (2, -5,3)

-3

2

I

I I

.

--_

-----~

-8

-- 3 4

,,

(-2,5,4) -Q

5

.~

-

,,'

---.--._~'

5

6

""

---r-----_.£..._~._.__

,," - -

-- ...

- It " ...

(1,6,0)

I

I I

• (3, 3,-2)

x

z

/:,~y b

,ft

S istema dextrogiro

F IG U R A 1 0 .1

z

/. ..~ I~ x

y l\

Sistema levogiro

F IG U R A 1 0 .1 6

E n u n s is te m a d e c oo rd en ad as tr id im e n s io na l lo s p u n to s s e re pre se nta n p or tr io s o rd en ad os

Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientacien levo Para determinar la orientacion de un sistema, imagine que 0 dextrogiro. esta de pie con los brazos sefialando las direcciones de los semiejes positi vos x e y, y con el eje z hacia arriba, como en la Figura 10.16. El sistema es dextrogiro 0 levogiro dependiendo de que mana sefiala el semieje x positivo. En este libro trabajaremos unicamente con sistemas dextrogiros. Muchas de las formulas validas en el sistema de coordenadas bidimensional se pueden generalizar a tres dimensiones. Por ejemplo, para calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, basta aplicar dos veces el teorema de Pitagoras, como muestra la Figura 10.17. Con ello se obtiene la formula para la distancia entre los puntos (Xl' Yl' Zl) Y (X 2 ' Y2' Z2)' giro

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984

C a p it u lo 1 0

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e s pa c io

z

F6rmula de la dist

~zll

E JE M P L O 1

D is t a n c ia e n tr e d a s p u n ta s e n e l e sp a c ia

La distancia entre los puntos (2, -1, 3) Y (1, 0, -2) es d F IG U R A 1 0.1 7

D i st a n c ia e n t r e d o s p u n to s e n e l e sp a c io .

= JO =

J1

2)2 + (0 + 1)2 + (-2 - 3)2

+ 1 + 25

=fo =3)3

Una esfera can centro en (x o , Y o, z o) Yradio r se define como el conjunto puntos (x , y, z) cuya distancia a (xo. Y o. zo) es r. Usando la formula d distancia podemos hallar la ecuacirin canonica de una esfera de radio r trada en (x o , Y o' zo) . Si (x , y, z) es un punta arbitrario de la esfera, la ecua de la esfera es

z

Ecuaci6n de la esfera y x

F IG U R A 1 0.1 8

como muestra la Figura 10.18. Ademas, el punta media del segmento recto une los puntas (Xl' Yl' ZI ) Y (x2 , Y2' Z 2) tiene par coordenadas

RegIa del punta media

EJEMPLO 2

E c u a ci 6 n d e u n a e sfe ra

Hallar la ecuaci6n canonica de la esfera que tiene al segmento que une (5, -2 Y (0, 4, Solucian:

-3)

como uno de sus diametros.

Par Ia regIa del punta media, el centro de esa esfera es

(5

+ 2

0,-2

+ 2

4 ,3 - 3 )::;::( ~ .l 0 ) 2

2'

De la formula de la distancia se deduce que su radio es

2

2

5 )2

2

0+(4-1) +(-3-0) = http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

J(

='./4=-22/50 /9 7 fo

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S ee ei6 n 1 0.2

C o o r d e n a d a s y v ee to re s e n e J e sp a ci o

9

Por tanto, la ecuacion canonica de la esfera es

z

V ec tores en el esp ac io

En el espacio los vectores se denotan por trios ordenados v = en la direccion positiva del eje z, la notacio canonica en terminos de vectores unitarios para v es y

(vease la Figura 10.19). Si v se representa mediante un segmento recto orien do que va de P(P., P2' P3) a Q(q., q2' Q3)' como en la Figura 10.20, su exp

r

F IG U R A 1 0.1 9 L o s v ec to re s u n ita rio s c an o ni c o s e n e l e sp a c io .

sion en componentes se obtiene restando las coordenadas del punto inicial las del punto final:

y

x

F IG U R A l O .2 0

Las propiedades de la surna y del producto par un escalar expuestas en e l Teo rna 10.1 siguen siendo validas para vectores en el espacio. I Nota.

EJEMPLO 3

E xp r e si 6 n e n c o m p o n e n t e s d e u n v e c to r e n e l e sp a c io

Hallar la expresi6n en componentes y la longitud de un vector v con pun inicial (-2, 3, 1) Ypunto final (0, -4, 4). Hallar un vector unitario en la dire cion de v. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150 3/50

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C a p it u lo 1 0

V e c t o r e s y g e o m e trf a d e l e s pa c io

La expresion de v en componentes viene dada por

Solucian:

v = < ql - P l' q2 - P2' q3 - P 3) = <0 - (-2), -4 - 3, 4 - 1) = = <2, -7, 3)

as! que su longitud es

El vector unitario en la direccion del v es 1 v u=~=-(2,-7,3)

J6 2

Ilvll

De la definicion del producto por un esc alar se sigue que los multip escalares positivos de un vector no nulo v tienen la misma direccion que mientras que los rmiltiplos negativos tienen direccion opuesta a la de v.

general, dos vectores u y v son paralelos si existe algiin escalar c tal que u =

y

•

V ~

/

u=2v W=2~

/ /

··~x

En la Figura 10.21, los vectores u, v y w son paralelos, ya que u = y w = -v.

EJEMPLO 4

V e c to r e s p a r a le lo s

F IG U R A 1 0 .2 1 V e c to r es p a ra le lo s .

EI vector w tiene punto inicial (2, -1,3) Y punto final (-4, 7, 5). l,Cu:il de es vectores es paralelo a w? a)

u=<3,-4,-I)

Solucian:

b)

v = (12, -16, 4)

En forma de componentes, el vector w se escribe w

= <-4 - 2,7 -

(-1),5 -

3)

1

a) b)

= <-6, 8, 2) 1

Como u = = <3,-4, -1) = - 2 " <-6,8,2) = - 2 " w , podemos conc1uir que u paralelo a w. En este caso necesitarfamos un escalar c tal que (12, - 16,4)

12 -16

= c<-6, 8, 2)

= -6c - c = -2 =

4=

8c -

c

2c-c=

= -

2

2

Como ningun c satisface las tres condiciones exigidas, los vectores no son ralelos. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S ec cio n 1 0 .2

9

C o o r d e n a d a s y v ec to re s e n e l e sp ac io

EJEMPLO 5

P u n to s c o li ne a le s

Detenninar si los puntas pel, -2,3), Q(2, 1,0), YR(4, 7, -6) estan sabre misma recta. Soludon:

Las expresiones en componentes de P Q y P I? son

z

P Q = <2 -

1, 1 - (-2), 0 - 3) = (1, 3, -3)

y

P R = <4 - 1,7 - (-2), -6 -

3)

=

(3, 9, -9)

Estos dos vectores tienen un punta inicial cormin. Par tanto, P, Q y R es sabre una misma recta si y s610 si P Q y P R son paralelos. Y 10 son, ya P R = 3 P Q , como se ilustra en la Figura 10.22. EJEMPLO 6

N o ta d o n d e v ec to re s u n i t a ri o s c a n o n ic o:

F IG U R A 1 0. 2 2 L o s p u n to s P , Q y R s o n c o li n ea le s .

a) b)

Expresar el vector v = 4i - 5k en componentes. Calcular el punta final del vector v = 7i - j + 3k, cuyo punta inicial P(-2, 3, 5).

Soiudon:

a)

Como falta j, su componente es 0, luego v = 4i - 5k

b)

= (4, 0, -5)

Hemos de encontrar un Q(ql' q2' q3)' tal que v = P Q = 7i - j + 3k. E implica que q1 - (-2) = 7, q2 - 3 = -1, Y q3 -5 = 3. La soluci6n de esas ecuaciones es ql = 5, q2 = 2, Y q3 = 8. Par tanto, Q es (5, 2, 8).

Aplicaciones EJEMPLO 7

M a g n it u d d e u n a J u e r z a

Una camara de televisi6n de 120 libras esta colocada sabre un trfpode (Fi ra 10.23). Representar en forma de vector la fuerza ejercida sabre cada una las patas del tripode, suponiendo que el peso se distribuye unifonnemente en las tres.

z

Sean los vectores F l' F 2 Y F 3 que representan las fuerzas ejercid sobre los tres puntas de apoyo. De la Figura 10.23 se pueden deducir las dir ciones de F l' F 2 Y F 3: Solucian:

P Q 1 = <0 - 0, -1 - 0, x

F IG U R A 1 0.2 3

PQ

=

° - 4) =

(0, -1, -4)

( J 3 _ ° !_ 0 - 4 ) = ( J 3 , !, 4 ) 2

'2'

2

1

~~-"(J3

)

1

22 '

(J3

PQ3 = , 0, 4 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

2 -2-

°-

2

=

) -4 5/50

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V e c to r e s y g e om e tr ia d el e sp a c io

C a p itu lo 1 0

Puesto que las tres patas tienen la misma longitud y la fuerza se reparte formemente entre elIas, IIF 1 1 1 = IIF 2 1 1 = IIF 3 1 1 · Por tanto, existe una consta tal que

dado que la fuerza total ejercida por la camara es F

= -120k, de

se sigue que F l' F 2 Y F 3 tienen cada uno de ellos una componente ve igual a-40. Eso implica que c(-4) = -40, luego c = 10. En consecuencia fuerzas ejercidas sobre las tres patas del trfpode vienen representadas po vectores

F, = <0, -10, -40) F2 = = <5)3, 5, -40) F3 = = <-5)3, 5, -40)

E je r c i c i o s d e l a S e c c i 6 n 1 0 .2 En los Ejercicios 1-4, situar los puntos en un sistema de coordenadas tridimensional. 1.

a)

(2, J, 3)

b)

(-1, 2, 1)

2.

a)

(3, -2, 5)

b)

2 ' 4' -2)

3.

a)

(5, -2, 2)

b)

(5, -2, -2)

4.

a)

(0,4, -5)

b)

(4,0, 5)

e

9.

EI punta esta en el eje x, diez unidades delante de no yz,

10.

EI punta esta en el plano yz, tres unidades a la de el plano xz y dos par encima del plano xy.

i.Cual es la coordenada z de cua punta del plano xy?

12. Para pensar

(,Cual es la coordenada x de cua

punta del plano yz?

z

6.

B.

5

4 3 -.,..:

2

-3

-2

- 4'

, ,,

En los Ejercicios 13-16, determinar la localizaci6n d puntas que satisfacen las condiciones impuestas.

,

13. xy > 0,

Z

= -3

14. xy < 0,

Z

=4

,/,';k

'1':_ ~ -2 I

- .......

·A x

EI punta esta siete unidades delante del plan dos a la izquierda del plano xz y una par debaj plano xy.

11. Para pensar

En los Ejercicios 5 y 6, aproximar las coordenadas de los puntos. 5.

8.

'

~y

x

15. xyz < 0 16.

xyz> 0

En los Ejercicios 7-10, hallar las coordenadas del punta. 7.

El punta esta tres unidades detras del plano yz, cuatro a la derecha del plano xz y cinco sobre el plano xy.

En los Ejercicios 17-20, calcular las longitudes de los del triangulo cuyos vertices se especifican y discutir triangulo es recto, is6sceles 0 ninguna de las dos casa


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Clase1VectoresCuadricast2larson101-150-slidepdf.com E j e r c i c i o s d e f a S e cc i6 n 1 0 .2

17. (0,0, 0), (2, 2, 1), (2, -4, 4)

35.

6t

~t

(0,3,3)

4

2

1,2)

" '4 ~-Y 6

20. (5,0,0), (0, 2, 0), (0, 0, -3)

22. Parapensar El triangulo del Ejercicio 18 se traslada tres unidades hacia la derecha por el eje y. Calcular las coordenadas del triangulo trasladado. En los Ejercicios 23 y 24, hallar las coordenadas del punta mediodel segmento que une los dos puntos dados.

24.

(4,0, -6), (8, 8,20)

2

(2, 3, 4)

j- = -t. r~

2,3,0)

3,3,0)

6

21. Para pensar El triangulo del Ejercicio 17 se traslada cinco unidades hacia arriba por el eje z. Calcular las coordenadas del triangulo trasladado.

23. (5, -9, 7), (-2, 3,3)

z

6

18. (5, 3, 4), (7, 1, 3), (3, 5, 3) 19. (1, -3, -2), (5, -1, 2), (-I,

36.

z

4 -- ;.. 6

6 x

x

En los Ejercicios 3 7 y 38 se dan los puntos inicial y fin un vector. a) Dibujar el segmento dirigido, b) expres vector en componentes, y c) dibujar el vector con el o como punto inicial. 37.

Punto inicial: (-1, 2, 3) Punto final: (3, 3, 4)

38.

Punto inicial: (2, -1, -2) Punto final: (-4, 3, 7)

Enlos Ejercicios 25-28, escribir en forma canonica la ecuacionde la esfera. 25. Centro (0, 2, 5) y radio 2.

En los Ejercicios 39 y 40, se dan un vector v y su inicial. determinar el punto final. 39.

v = <3, -5, 6) Punto inicial: (0, 6, 2)

26. Centro (4, -1, 1) y radio 5. 27. Puntos terminales de un diametro: (2, 0,0) y (0, 6, 0).

40.

v

=

/0 ~ -~ ) \ ' 2' 3

28. Centro (- 2, 1, 1) y tangente al plano xy. Punto inicial: EnlosEjercicios 29-32, completar el cuadrado para escribir laecuaci6nde la esfera en forma can6nica. Hallar el centro y elradiode la esfera, 2 9.

x 2 + y2 +

Z2 -

En los Ejercicios 41 y 42, dibujar cada rmiltiplo escalar

41.

2 x + 6y + 8z + 1 = 0

v = <1,2,2) a)

30. x 2 + i+ 31.

Z2

+ 9x - 2y + IOz + 19 = 0

9 x 2 + 9y2 + 9z 2

32. 4x2 + 4l

+ 4z2

-

6x + 18y + 1 = 0

-

4x - 32y + 8z + 33 = 0

33.

34.

z

6

42.

6

2v

b)

-v

c)

3 -v 2

d)

Ov

2v

c)

-v 2

d)

5 -v 2

v = <2, -2, 1) a)

Enlos Ejercicios 33-36, a) expresar en componentes el veetorv, y b) dibujar el vector con el origen como punto inicial.

( 3 , 0, - ~)

-v

b)

En los Ejercicios 43-48, calcular el vector z, siendo u = 3), v = <2, 2, -I), y w = <4,0, -4) 43.

z=u-v

44.

z = u - v + 2w

45.

z = 2u + 4v - w

46.

z = 5u - 3v --w 2

47.

2z - 3u

48.

2u + v - w + 3z = 0

4 (4,0,3)

2

y

1

4

6 x

x

=

w


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990

V e c t o r e s y g e om e tr fa d el e sp a c io

C a p itu lo 1 0

En los Ejercicios 49-52, averiguar paralelo

a z. Confinnar

cual de los vectores

los resultados

mediante

es

69.

una grafica

50.

(-6,

c)

(6,4,

1.

z =-

-4, 10) 10)

2.

I - -J

234

a) c)

como resultado:

a) la expresi6n

en c o

nentes de u + v , b) Ilu + vii, c) Ilull, y d) Ilvll.

z = (3, 2, -5) a)

Se dan las expresiones en comp tes de dos vectores u y v. Escribir un programa produzca

en calculadora. 49.

Programacion

b)

(2 ~ _ 10)

d)

(1,-4,2)

'3'

70.

Aplicar el programa los vectores

3

u

satisfacen la ecuacion,

3

6i - 4j + 9k

. 4. 3 -I+-J--k 3 2

b)

12i + 9k

3.

9 I - J + -k 4 8

d)

71.

IIcvll = 5

72.

Ilcull = 3

= (-1,3,4)

precede

Yv = (5,4,5,

71 y 72, detenninar

En los Ejercicios

+- k

escrito en el ejercicio

-6)

los valores de

siendo u = i + 2j + 3k y v = 2i + 2

.

En los Ejercicios

73-76, hallar el vector v de longitud

recci6n dadas. 51.

z tiene punto inicial (1, -1,3) y punto terminal (-2, 3, 5)

a)

52.

-6i + 8j + 4k

b)

4j + 2k

z tie n e punto inicial (3,2, -1) y punta terminal (-1, -3, 5) a) (0,5, -6) b) (8, 10,-12)

En los Ejercicios 53-56, usar veetores puntas son colineales.

para decidir

si los

Magnitud

Direccion

73.

10

u = (0, 3

74.

3

u = (I, 1

5. 53.

(0, -2, -5), (3, 4,4), (2, 2, 1)

54.

(1, -I, 5), (0, -1, 6), (3, -1,3)

55.

(1,2,4),

56.

(0, 0, 0,), (l, 3, -2), (2, -6, 4)

76.

3

u = (2, -2

-

2

Js

u = (-4,6,

(2, 5, 0), (0, 1, 5)

En los Ejercicios

En los Ejercicios

57 y 58, usar vectores

puntos son vertices

para probar que los

de un paralelogramo.

57.

(2, 9, 1), (3, 11, 4), (0, 10, 2), (I, 1 2 ,5)

58.

(1, 1,3), (9, -1, -2), (11, 2, -9), (3,4, -4)

En los Ejercicios

77 y 78, dibujar el vector v y expresar

componentes.

59-64, hallar la Iongitud

2 y forma un

77.

vesta en el plano yz, tiene longitud de 3 0 ° can el semieje y positivo.

78.

vesta en el plano xz, tiene Iongitud 5 y forma un de 45° can el semieje

z positivo.

de v.

7 9 y 8 0 , usar vectores para hallar el tercios del camino de P a Q.

En los Ejercicios

59.

v = (0,0,0)

60.

v = (I, 0, 3)

61.

v = i-2j - 3k

62.

v = -4i + 3j + 7k

63.

Punta inieial de: v: (1, -3, 4) Punta final de v: (1,0, -1)

64.

que esta ados 79.

P(4, 3, 0),

Q(l, -3, 3)

80.

pel, 2, 5),

Q(6, 8, 2)

81.

j + k, y w au + bv Sean u = i+ j, v a) Dibujar u y v. b) Si w = 0, probar que a y b deben ser nulos a

Punta inicial de: v: (0, -1, 0) Punta final de v:

0,

direcci6n

d) un vector

de u, y b) en la direcci6n

65.

u = (2,-1,2)

66.

u = (6,0,8)

67.

u = (3,2,-5)

68.

u

=( 8 , 0 , 0 )

c)

2, -2)

En los Ejercicios 65-68, hallar

=

opuesta

unitario

Hallar a y b de manera que w = i+ 2i + k. Probar que ninguna elecei6n de a y b haee p que w = i+ 2j + 3k.

a) en la

a la de u.

=

82. Parapensar

Los puntas inicial y final de un ve

son (xt• Yl' Zl) Y (x, y. z). Deseribir los puntas 83.

el conjunto

de

(x. y, z) tales que Ilvll = 4.

Inuestigacion

numerica, grdfica y analitica

cos de un auditorio

son discos de 24 libras y de

gadas de radio. Cada disco esta colgado


de tres

8/50

L

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9

E je rc ic io s d e 1 a S ec cia n 1 0 .2

igualmente espaciados de L pulgadas de longitud (vease figura). a) Expresar la tension T de cada cable como funcion de L. Especificar el dominio de esa funcion. b ) Con ayuda de una calculadora y el modelo del apartada a), completar la tabla.

I

c) d) e)

;

I

20

I

25

I

30

I

35

I

40

I

45

I

50

Representar en la calculadora el modelo y determinar las asfntotas de su grafica, Comprobar analfticamente las asintotas obtenidas. Calcular la longitud minima que pueden tener los cables si la maxima tension que pueden soportar es de 10 libras.

86.

El cable de anclaje de una tone 100 pies de altura soporta una tension de 550 lib Con los datos de la figura, expresar en componentes vector F que representa la tension del cable. Cable de anclaje

I

x

87.

Cargas suspendidas

Calcular la tension en cada

de los cables de la figura si el peso del embalaje es 500 newtons. z

18 pulgadas

84.

Supongamos que cada uno de los cables del Ejercicio 83 tiene una longitud fija x = a y que el radio de cada disco es r 0 pulgadas. Enunciar una conjetura acerca del Iimite Para pensar

88.

Un muro de hormigon p colada es mantenido temporalmente en posicion ve cal par cuerdas, como indica la figura. Calcular la fu za total ejercida sabre la sujecion A si las tensiones AB y AC son de 420 y 650 libras, respectivamente.

89.

Escribir una ecuacion cuya grafica coincida con el c junto de puntos P(x, y, z) que distan de A(O, -1, 1) ble que de B(1, 2, 0).

lim T y justificar la respuesta.

85.

Construccion de edificios

de un cubo Expresar en componentes el vector unitario v en la direccion de la diagonal del cubo de la figura.

Diagonal

z

y x


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C O N T E N ID O

•

V e e t a r e s y g e o m e tr fa d e l e s pa c io

nl_lO,_3 L_j El p ro duc to e sc ala r d e d os v ec to re s

__

E l p ro du ct o e sc al a r • A n gu lo e n tr e d os v e ct o re s • C o se n o s d ir e ct o re s •

El p ro duc to e sc a la r

P ro y e cc io n es y v ec to re s c o rn p o n en te s • T ra b a jo •

Hasta ahora estudiado dos operaciones con vectores, la sumaEny esta la mus plicacion porhemos un escalar, que producen como resultado un vector. cion introducimos una tercera operacion, el pro due to escalar, euyo resulta no es un vector, sino un escalar (un numero).

I Nota.

EI producto escalar se llama tambien producto interno.

Demostraci6n:

Para probar la primera propiedad, tom amos u

v =

V3)'

v 2'

=
u 2,

u 3)

Entonces

En cuanto a la quinta, sea v

=

Entonces

V2• V3)'

v . v =

VI +

= (JvI

v~ + v~

+

v~

+

V~)2

= IIvl12 Las demostraciones de las restantes propiedades se dejan http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

al cuidado 10/50 del lector

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S e c c i 6 n !O J

99

E 1 p r o d u c t o e s c a J a r d e d o s v e et or es

E J E M P LO 1

Dados u a)

C d l c u lo d e p ro d u c t o s e s c a l a re s

=

<2, -2),

u :v

v

=

<5, 8), y

(u : v)w

b)

c)

W

=

U·

calcular

<-4,3), (2v)

Sducum:

v

=

a)

U·

b)

(u : v)w

c)

U·

d)

IIwl12 =

. <5, 8)

<2, -2)

=

-6<-4,

(2v) = 2(u . v) W· W

=

=

3)

=

=

2(5) + (-2)(8)

=

-6

<24, -18)

2(-6)

<-4, 3)'

=

-12

<-4, 3)

=

(-4)(-4)

+ (3)(3)

=

25

Notese que el resultado del apartado b) es un vector, mientras que los result dos restantes son escalares.

A n g u lo e n t r e d o s v e c to r e s

EI angulo entre dos vectores es el angulo e , 0 ~ e ~ tt entre sus respectivo vectores en posicion canonica (Figura 10.24). El proximo teorema ensefia c mo calcularlo mediante el producto escalar. (Tengase en cuenta que no es definido el angulo entre el vector cero y otro vector.)

u

Origen

F IG U R A 1 0.2 4 A n g ul o e n tr e d o s v ec to re s.

Consideremos el triangulo formado por los vectores u, v y v (Figura 10.24). Por la ley de los cosenos,

Demostmcum:

Ilv - ul12 = IIul12 + IIvl12- 211ullllvil cos

e

Por las propiedades del producto escalar, el miembro de la izquierda se pued transformar asf:

llv - ul12 = (v - u) . (v - u)

=

(v - u) . v - (v - u) . u

=v'v-u'v-v'u+u'u 2 IIvl12 2u . v IIul1 + = http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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C a p it ulo IO

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e sp a ci o

y sustituyendo en la ley de los cosenos obtenemos final mente

IIv l1 2 - 2 u . v + I I u l 1 2 I I u l 1 2 + IIv l1 2 - 2 1 1 v llllv il cos 8 - 2 u . v = - 2 1 1 u l l l l v l l cos e u 'v cos 8 = Ilullllvll Si se conoce el angulo entre dos vectores, reescribiendo el Teorema como

I

u . v = Ilullllvll cos 8

Forma alternativa del producto escalar

se dispone de un nuevo metodo para calcular el producto escalar. Es facil cuenta de que, al ser Ilull y llvl siempre positivos, u . v y cos e tendran sie el mismo signo. La Figura 10.25 muestra las posibles orientaciones de vectores.

rv~o.

U'v
Direccion puesta

o

•

u

a.

v

Mism direcc

v

n/2 < 0 < n -1 < cos 0 < 0

O=n coslJ=-1

v>O

u

~

v

U

() < () < n/2 ()
0= n/2 cos (I =' 0

0=0

cos F IG UR A

Las palabras « pe rpe nd ic uIan >, «ortogonal» y «normal» significan esencialmente 1 0 mismo: formar angulo recto. Sin embargo, suele decirse que dos vectores son ortogonales, que dos rectas a planos son perpendiculares y que un I No ta .

vector es normal a una recta plano.

0a

un

De esta definici6n se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vect ya que 0 . u = O.Adernas, para e ~ tt, vemos que cos e = si Y s6 8 = n12 . Por tanto, el Teorema 10.5 nos lleva a la conclusi6n de que dos v res no nulos son ortogonales si y s610 si el angulo entre ellos es n12.

°~

EJEMPLO 2

°

A n g u lo e n tr e d o s v ee t o re s

Dados u = <3, -1,2), v = <-4,0,2), Y z = (2,0, W = <1, -1, -2), calcular el angulo entre cada uno de los pares de vectores siguientes. a)

u y v

)

uy

W

c)

v y z.

Soluci6n:

a)

cos

e =

u . v

Ilullllvll

=

Como u . v < 0,

-12 + 4

ji4J20

e =

arccos

=

-8

2Ji4J5

-4

= _-

J7 0

-4 fo :::::: ,069 radianes


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9

E 1 p ro du cto e sc ala r d e d os v ec to re s

b)

u

cos () =

r

w

lIullllwll

=

3+1-4

0

=

= = --

2.fi4

ji4j6

0

Como u . w = = 0, u y w son ortogonales. Ademas, () = n 1 2 . -8 + 0 - 2

v . z

c)

cos () = =

Ilvllllzll =

foj5

-10

= -jW - o =

-1

En consecuencia, () = n. N6tese que v y z son paralelos, con v = = -2z.

Cosenos directores

Para un vector en el plano hemos visto que es conveniente medir la direcci en terminos del angulo, medido en sentido contrario al de giro de las agujas un reloj, desde el semieje x positivo hasta el vector. En el espacio es conv

k

y

niente medirla en terminos de los angulos entre el vector v (no nulo) y los t vectores unitarios i, j y k, como muestra la Figura 10.26. Los angulos IX , r son los angulos de direccion (0 angulos directores) de v, y cos IX , cos p , co son los cos enos directores de v. De

x

v . i= Ilvllllill cos

IX

==

livll cos

IX

F IG U R A 1 0.2 6 Angulos directores.

y

se sigue que cos obtiene

IX

= vl/llvil. Por un argumento similar con los vectoresj y k

cos

v

IX

= _ 1

rt .

IIvll v

COS

P =

COS

Y

es el angulo entre v e i

fJ es el angulo entre v

11:11 v

yj

y es el angulo entre v y k

= Ilvll

Por consiguiente, cualquier vector v no nulo en el espacio, tiene la forma n malizada

-

V

Ilv ll

y como

v t•

= -I

Ilv ll

V3 v 2• J + - k = cos +-

Ilv ll

Ilv ll

•

R"

+ cos p J + cos yk

IX

v/llvil es un vector unitario, resulta


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C a p itu lo 1 0

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e sp a ci o

EJEMPLO 3

C d lc u l o d e l o s d n g u lo s d ir ec to r e s

i + 3j + 4k Y co Calcular los cosenos y angulos directores del vector v = probar que cos ' e x + cos? f3 + cos? '}'= 1.

Solucion:

Como Ilvll =

J2

2

2

+ 3

+ 42 = fo, tenemos Vi

cos e x =-

Ilvll

2 =-~

V2

3

Ilvll

fo

cos f3 == --

V3

C(

fo

:::::;

68,2°

4

= ~ cos y = Ilvll fo a

= Angulo

4

,B

= Angulo

entre v e i entre v y j

3

Y

= Angul o

ent re v y k

v= 2i + 3j +4k

La suma de los cuadrados de los cosenos directores es

cos 2 e x + cos 2 f3 + cos 2

4

'}'

= ~

9

16

+- +~ 29 29 29 29 29

x

= 1 F IG U R A 1 0.2 7

(Vease Figura 10.27.)

A n g u lo s d ir e c to re s d e v .

P r o y e c c io n e s y v e c to r e s c o m p o n e n t e s

Ya hemos tenido ocasi6n de sumar vectores para producir un nuevo vec Muchas aplicaciones a la Ffsica 0 a la Ingenieria plantean el problema inv so: descomponer un vector como suma de vectores componentes. La u dad de este procedimiento se comprendera mejor recurriendo a un ejem

ffsico. Consideremos la lancha sobre una rampa inc1inada de la Figura 10.28 fuerza de la gravedad F empuja la lancha hacia abajo y contra la ram Estas dos fuerzas, w 1 y W 2' son ortogonales y se Haman los vectores com nentes de F. Vectores componentes de F

F IG U R A 1 0.2 8 L a fu er z a d e l a g ra v ed a d e m pu ja l a la nc ha h a ci a a b ajo y c o n tr a la r a m p a .

Las fuerzas w 1 Y w 2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lanc Por ejemplo, w 1 indica la fuerza necesaria para evitar que la lancha descie por la rampa y w 2 1 0 que deben soportar los neumaticos.


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S e cc io n 1 0 .3

E 1 p ro du c to e sc aJ ar d e d o s v ee /o re s

Y

e

e

es agudo

t----------------------

es obtuso

r----------------------I I

I I I

v

F IG U R A WI::

p r oY v u : : p r oy e cc io n d e u s ob re v : : v ec to r c o m p o n en te d e u e n l a d i re c c io n w

EJEMPLO 4

C d lc u lo d e l v e c t o r c o m p o n e n t e d e

U

o rto g on a l a

Calcular el vector componente de u = <7,4) wl = proy.u = <4,6) Y

2 ;:;

v ec to r c o m p o n e n t e d e u o rto g on

V

ortogonal a v = <2,3),

sie

u=<7,4)=Wl+W2

Como u = W1 + W2' donde W 1 es paralelo a v, se sigue que W2 e vector componente de u ortogonal a v. As! pues,

So/uci6n:

-1

Wz = u - wl = <7, 4) - <4,6)

-1 -2

Compruebe como ejercicio que ra 10.30.

Wz

= = <3, -2)

es ortogonal a v, tal como muestra la F

F IG U R A 1 0.3 0 U =W 1+W 2·

EI Ejemplo 4 pone de manifiesto que es facil hallar el vector componente una vez conocida la proyecci6n W 1 de u sobre v. Para calcular esta proyecc

el teorema siguiente utiliza el producto escalar (para su demostraci6n veas Ejercicio 68). N 6te se la d istin ci6 n e n tre l o s te rm i n o s « c o m p o n e n t e » y « v e c t o r c o m po n e n te». P o r e jem plo , usa nd o lo s v ec to re s u nita rio s c an 6 n i c o s c o n u = Uti + u z , i , u1 e s la c om po n en te d e u en la d ire c c io n d e iy u 1is e l v ec to r c o m po n e n te d e u e n la d ire cc i6 n d e i. I

NOla.


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C a p itu lo 1 0

V e c t o r e s y g e om e t rfa d e l e sp a ci o

La proyecci6n de u sobre v se puede escribir como un rmiltiplo esc ala un vector unitario en la direcci6n de v:

v v ( u~ . v ) v= ( u.~. v ) ~=(k)~

k

=

u'v

M Ilull cos e

z

EI mimero k se llama la componente de u en la direcci6n de v.

EJEMPLO 5

D e s c o m p o s i c ia n d e u n v e ct o r e n v ec to re s c o m p o n en te s

Hallar la proyecci6n de u sobre v y el vector componente de u ortogonal para los vectores u = 3i - 5j + 2k y v = 7i + j -2k. (Vease Figura 10.31 La proyeccion de u sobre v es

So/ucian: F IG U R A 1 0.3 1

El vector componente de u ortogonal a v es el vector

w 2= u -

EJEMPLO 6

=

W

..

(31 - 5j + 2k)-

(14 . I

9

2 . 4) + -j - -k 9

9

47. 22 + ~k = -13. I - -j 9

9

9

C d lc u lo d e u n a J u e r z a

Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una ramp a con 30° de incli cion (Figura 10.32). l,Que fuerza es necesaria para evitar que la lancha r de cuesta abajo?

Como la fuerza de la gravedad es vertical y hacia abajo, puede rep sentarse por el vector F = -600j. Para hallar la fuerza requerida para impe que la lancha descienda por la rampa, proyectamos F sobre un vector unitari en la direcci6n de la rampa: Solucian:

F IG U R A 1 0.3 2

v = cos 30

0

I+

J3 . + -1.J

sen 300'J = -I

2

Vector unitario en la direccion de la r a m

2

Por tanto, la proyeccion de F sobre v es

= proYvF =

W

( F llvll. :) v

=

(F ' v )v

= (-600)(~)v 2

=

-300(J3 2

j

+

!j) 2

La magnitud de esta fuerza es 300, as! que la fuerza pedida es de 300 libr http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S e e r i 6 n /O J

9

E I p r o d u e to e sc a/a r d e d os v ec to re s

Trabajo

El trabajo W realizado por una fuerza con s tante F que actua a 10 largo de recta de movimiento de un objeto viene dado por W = (magnitud de la fuerza) (distancia) = IIFIIIIPQII

como se muestra en la Figura 10.33a. Si la fuerza constante F no esta dirig en la direccion del movimiento, la Figura 1 0.33b indica que el trabajo W re zado por la fuerza es W = IlproYPQFllllPQl1= (cos (J)IIFIIIIPQII= F .

P

Q Trabajo

a)

PQ

=

Trabajo =I l p r o Y P Q F l l l l P Q l 1

I I F I II I P Q I I

La f ue rz a a ctua en la dire cc io n d el m ovimiento

b)

La fuerza actua formando direccion del movimiento

un angul o

e

con

F IG U R A

Resumimos esta nocion de trabajo en el cuadro siguiente.

EJEMPLO 7

Trabajo

Para cerrar una puerta corredera, una persona tira de una cuerda con una fue con stante de 50 libras con un angulo de 60° (Figura 10.34). Calcular el trab realizado para mover la puerta 12 pies hasta que queda cerrada. Solucion: F IG U R A 1 0.3 4

Por proyeccion podemos hallar el trabajo realizado haciendo W

= IlproYj>QFIIIIPQII

= cos (60°) IIFIIIIPQII = !(50)(l2) 2

= 300 Jibras-pies http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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1000

C a p itu lo 1 0

V e c to r e s y g e om e u ia d el e sp a c io

Eje rc ic ios de la S ec ci6 n 1 0 J En los Ejercicios 1-6, calcular a) (u : v)v, y e) U· (2v)

U· v,

U· u,

b)

c)

lIuW,

20.

d)

1.

v =

3.

(2, -3)

=

4.

(0,6,5)

u::::;2i - j + k

6.

<8, -4, 2), v = (2, 5, 2)

i

"=2i+j-2k

21.

":::::(4,0),v=
22.

"::::: <2, 18), v = \~,

23.

u = (4,3),

24.

"=

25.

u =j + 6k

-l)

v::::;i - 3j + 2k El vector"

Ingresos

"=

En los Ejercicios 21-28, averiguar si u y v son ortogon paralelos 0 ninguna de ambas cosas.

u =i v::::;

v::::;i-k 7.

b)

u::::; (5, 12) v = (-3, 2)

u::::;(2, -3,4) v

5.

2.

u = 0,4)

Usando el Ejercicio 19 hallar el angulo entre lo tores a) u:::::(3,4),v=(-7,5)

= <3.240, 1.450, 2.235) da el

v = \~ ,

-~ )

numero de unidades de los productos X, Y, Z Y el vec-

tor v = <2,22, 1,85,3,25) da el precio, en dolares, por unidad de cada uno de esos productos. Calcular el producto escalar u . v y explicar que informacion ofrece. 8.

Si u . v = ". w y u = f. 0, entonces ;_,esnecesariamente cierto que v ::::;w? Si es falso, explicar por que 0 dar un ejemplo que demuestre su falsedad. ;,Verdadero

8, Ilvll

11"11 = 10.

5, y el angulo entre"

27.

Ilull:::::4 0, Ilvll::::: 25, y el angulo entre u yves

u = <1, I), v:::::(2, -2)

12.

u = 0,

13.

u::::;3i + j v

=

-2i + 4j

u ::::;I, 1, I) v = (2, 1, -1)

17.

"::::: cos (~}

u = 3i + 4j v = -2j + 3k

19. Programacion

v = cos 16.

v =
e,

-cos 8,

30.

Angulo de enlace

31.

Parapensar

32.

;,Verdadero

33.

Consideremos los vectores u = fJ . Calcular su p to escalar y usarlo para demostrar la identidad

5rr./6.

+ sen C4rr.)j

":::::2i + 3j + k v = -3i

u=
Probar, usando vectores, que las diagonales de un bo son perpendiculares.

+ sen (~)j

C :}

28.

29.

1), v = (2, -I) 14.

-2i + 3j - k

v:::::2i+j-k

I) v = (-I, -I,-

11-18, hallar el angulo 0 entre los vee-

11.

u = (2, -3, I)

"=

rr./3.

=

En los Ejercicios tores.

15.

yves

26.

v = i-2j - k

0falso?

En los Ejercicios 9 y 10, calcular u . v 9.

1

- - (i - 2j), v ::::;i - 4j 3

+ 2j

18. "= 2i - 3j + k v:::::i - 2j + k

Escribir un programa que, dados dos vectores u y v en forma de componentes, calcule

un tetraedro r con vertices (0,0, 0),Consideremos (k, k, 0), (k , 0, k) y (0, k, k), k denota un mimero real positivo. Dibujar el tetraedro. a) b) Calcular la longitud de sus aristas. c) Hallar, mediante el producto escalar, el angu tre dos aristas. Calcular el angulo entre los segmentos que v d) centroide (kI2, k12, k12) a dos vertices. Este angulo de enlace para una molecula tal CH4, 0 PbCI4, cuya estructura tiene forma traedro.

i,Que se puede decir acerca del an entre dos vectores no nulos u y v, si u : v = O? b)" .v > O? a) c) U· v

Si u y v son ortogonales 0 falso? i,es u + v ortogonal a w? En caso afirmativo, d trarlo. En caso negative, explicar par que es falso un ejemplo que confirme su falsedad.

a) 1 1 " 1 1 , b) Ilvll, y c) el angulo entre" y v. cos (a - [J ) = cos a http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

cos {) + sen exsen 18/50

fJ

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E je rc ic io s d e 1 a S e cc i6 n 1 0 .3

34.

Hallar los vectores Y l =x

2

el=

Xl/3

tangentes

unitarios

a las curvas

en sus puntos de interseccion.

50.

Calcu-

proyeccion

lar los angulos entre las curvas en esos puntos. En los Ejercicios 35-38, hallar los cosenos verificar que la suma de sus cuadrados

3 5.

u = = i+ 2 j + 2 k

7. u = (0, 6, -4)

36.

u = 3i - j + 5k

u = (3,4),

b)

u=(5,6,2),v=(-1,3,4)

38.

u

< a,

posicion

b, c)

51 y 52, usar la f

En los Ejercicios

para hallar rnentalmente (Se dan las coordenadas canonica.)

la proyeccion de los puntas

Verificar

de u sab terminales

los resultados

51.

52. (6,4)

(6,4

de cada vector.

Magnitud

+ +-l~+-l-+-+

-+-~-+-!---t-+-+--+'""" x _I

Punto final

U

-2

-4

3 9.

Ft F2

50lb 80lb

(10, 5, 3) (12, 7, -5)

40 .

Fl

300N

(-20,

F2

lOON

41 .

42.

53.

Hallar el angulo sus aristas.

-10, 5) (5, 15,0)

Para pensar

a) l,Que se puede decir de dos vec

u y v sabiendo

que la proyeccion

de u sabre v es

54.

Si la proyeccion

de u sabre v tie

Para pensar misrna

Hallar el angulo entre la diagonal gonal de una de sus caras.

Iongitud

de un cuba Y la dia-

Una carga esta suspendi-

da de tres cables, como rnuestra la figura. Calcular

los

opuestas

que la proyeccion

de v sabre u

Il u l l = Ilvll?

cierto que En los Ejercicios

43. Cablesque soportan carga

(-3, -2)

l,Y si es O ?

de un cuba Y una de

entre la diagonal

angulos directores

analf

mente.

39 y 40, usar una calculadora grafica para hallar la magnitud y los angulos directores de la resultante de las fuerzas FlY F 2 can puntas iniciales en el origen. Se dan

Vector

anterior para caIcul

v = (8, 2)

a)

Para pensar

IEn los Ejercicios

la magnitud y el punto terminal

del ejercicio

de u sabre v.

direct ores de u y

es I.

=

Usar el programa

55-58, hallar

que sean ortogonales

dos vectores

en direccio

al vector u. (La solucion

iinica.)

del cable OA.

z

=

1

2

2

3

55.

u

57.

u = (3, 1, -2)

5 9.

Fuerza d e los fre nos

i--j

u = -Si

58.

u = (0, -3,6)

Un camion de 32.000 libras

aparcado

en una calle can

15° de pendiente

Supuesto

que la unica fuerza actuante es la de la g

dad, calcular a) la fuerza requerida

x

+ 3j

56.

(fig

para impedir q

camion ruede cuesta abajo, y b) la fuerza perpendic

44. Cables que soportan carga

Hallar el peso de la carga

al suelo.

en el Ejercicio 43 si la tension en el cable OA es de 200 newtons. Ell los Ejercicios 45-48, a) proyectar

el vector componente

de u ortogonal

45. u= (2, 3), V= (5,1) 47.

u ; ; : ; (2, I, 2)

Programacion componentes, componentes

a v.

46.

u=(2,-3),v=(3,2)

48.

u = (0, 4, 1)

Peso = 32.000 libras

v = (0,2,3)

v;;:; (0,3,4)

I49.

u sobre v , y b) calcular

Dados dos vectores escribir

un programa

la proyeccion

u y v en fonna que

de u sobre v.

exprese

de en

60.

Cables que soportan carga Calcular Ia rnagnitud la proyeccion del cable OA de la figura de Ia pa siguiente sobre eI semieje z positivo.


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1002

C a p itu lo 1 0

(5, -5 , 20)

Z

C

V ec to r e s y g e o m e tr fa d e l e s p a c io

(-5, -5,20) B

1.000 kg

61.

Trabajo

Se arrastra

10 pies por el suelo

un objeto

aplicando

una fuerza de 85 Iibras. Calcular

el trabajo

realizado

si la direccion

de 60° con la horizontal,

de la fuerza forma como indica

Trabajo

un angulo

63 y 64, calcular

En los Ejercicios

zado al mover la partfcula

el trabajo r

de P a Q si la magnitud

y la d

ci6n de la fuerza vienen dadas por v,

la figura.

< J,

4, 8)

63.

P(O, 0,0), Q(4, 7, 5), v =

64.

P(I, 3,0), Q(-3, 5, 10), v = -2i + 3j + 6k

65.

Dernostrar

66.

Probar la desigualdad

que Ilu -

vW

= IIul12 + IIvl12- 2 u . v.

de Cauchy-Schwarz

[lu . v

~ Ilullllvll.

62.

Trabajo

Un vag6n

de juguete

es arrastrado

por un

67.

Demostrar la desigualdad

68.

Demostrar

el Teorema

triangular Ilu + vii ~ Ilull +

10.6.

nino que tira con una fuerza de 15 libras de una varilla que forma 30° con la horizontal lar el trabajo realizado

(vease figura).

al arrastrarlo

Calcu-

50 pies.

lO A C O N T E N ID O

•

E l p ro d u ct o v ec to ria l • E l p r o du c to m iX IO (0 p ro d uc to e sc al a r tr ip le ) •

D

- E l -p - r- o d -u - c t- o -v - e c -t o -r -i a -l -d e - d o - s -Y - e c -t o -r e sn e l e s p a c i o

E I p ro d u c to

v e c to r ia l

En muchos problemas de Fisica, Ingenierfa y Geometria se hace necesario cular un vector ortogonal ados vectores dados. En esta seccion presentamos producto que produce un vector asi. Se denomina producto vectorial y define facilmente utilizando los vectores unitarios canonicos.

I Nota.

Esta definici6n

ducto vectorial

es aplicable

de vectores

solamente

a vectores

en tres dimensiones.

El

en el plano no esta definido.

Una manera conveniente de calcular u x v consiste en usar deterrninan (Esta forma de determinante 3 x 3 se usa solo como ayuda para memoriza http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S e c ci6 n 1 0 .4

1

E I p r o du c to v ec to ria l d e d o s v ec to r e s e n e l e s p ac io

formula del producto vectorial, pero no es tecnicamente un detenninante, que sus entradas no son mimeros reales.) ProPittdad

j

k

U1

U2

U3

VI

V2

V3

j

k

u2

u3 i- u1

v2

V3

U31'

-

i

dueto v e

.a dJu ti .

uxv=

dey

cioll,

rial

=! =

2 IU V2

V3

<---

Colocar «u» en la fila 2

<---

CoJocar

«v»

u3

v1

V3

k

u3 j +

v1

u1

en la fila 3

V3

j +

ut VI

U21k V2

Notese el signo negativo que antecede a la cornponente j. Cada uno de e detenninantes 2 x 2 se calcula, como es bien sabido, haciendo

C d lc u lo d el p ro d u c to r e c t o r i a l

E JE M P L O I

Dados u a)

=

i-2j + k y v

u x v

= 3i + j - 2k, hallar:

v x u

b)

c)

V X V

Solucion:

k

j )

-2

UXV=

3

1

1 =I-~ -2

_~Ii-I~

= (4 =

b)

vxu:::

3 1

j

k

1 -2

-2 1

l)i - (-2 -

3)j + (1 + 6)k

3i + 5j + 7k I

= -2 =

. 11 -21 1 k -2 J + 3

-~Ii-I~

(l - 4)i -

3 -21. 1 + 1 J 1 _121k

(3 + 2)j + (-6 - I)k

= -3i - 5j - 7k Notese que este resultado es el negativo del obtenido en eI apartado

c)

vx v=

i j

k

1

-2

3

= 0

3 1 -2 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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1004

C a p itu lo 1 0

Los resultados del Ejemplo 1 sugieren algunas propiedades algebrai interesantes del producto vectorial, como u x v = -(v xu), y v x v = O.E propiedades, y varias mIS, se resumen en el proximo teorema.

a

NOTACltlN

PARA PRODUCTO E SC A L A R V P AR A E L P R O D U C T O VETORIAL .

.

,

.

. .,

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e sp a c io

..

L a n o ta c io n u til iz a d a p a ra e st o s c o s p r o . . duct os f u ei nt rodu clda p o r e l f[sico es·· t a d o u n i~ s e Jo W illa r d . G ib b s · .

( 1 8 39 .,. 19 0 3 1 . A c o Gibbs elaboro

r ep r es e n ta r m a g n te m a f u e e l de loscuaterni·

Para demostrar la propiedad 1, consideremos u + v J +V3k. Entonces,

Demostraci6n:

.v =

vIi

=

uli + uJ+ u

uzvI)k

u x v =

(UZv3

-

u3vz)i

- (ulV3

-

U3VI)j

+

(ui v2

-

v x u =

(VZu 3

-

v3u z )i

-

-

V3UI)j

+

(v1Uz

- v zu 1 )k

y

de manera que u x v = -(v xu). Ejercicios 45-48).

(VIU3

Las restantes se dejan como ejercicio (ve

La propiedad 1 del Teorema 10.7 nos pone sobre aviso de que el prod vectorial no es conmutatioo. En particular, esta propiedad indica que los v res u x v y v x u tienen iguallongitud pero direcciones opuestas. EI prox teorema recoge otras propiedades geometricas del producto vectorial.

Para probar la propiedad 2, observemos que de cos Ilullllvll), se sigue que

Demostraci6n:

[ lull llv llse n

f}

= IIullllvllJ1

- cos z

f}

= (u

f}

(u .

V)2

Ilullllvll 1 - --=------= IIul1 11vllz http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150 2

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S e ee ia n lO A

1

E I p ro d u cto v ec to r ia l d e d o s v ee to r e s e n e l e sp a cio

=

J (ui

=

J

+~ +5)(vi

(UZv 3

+ CUt

u 3VZ)z

-

(u1 v1 + uzvz

+~ +~) V3

U3V1)z

-

+ C U v2

-

j

+3V U2Vj)2

110 x vII

= Para demostrar

la propiedad

4, nos referiremos

ra 10.35, con lados adyacentes

llvl

0 y

al paralelogramo

de la F

v. Puesto que la altura del paralelogramo

sen 8, el area es

u

Area

F IG U R A 1 0.3 5 L o s v e c to r e s u y v s o n l ad o s a d ya c en te s d e u n p a r a l e l o g r a m o .

=

(base)(altura)

=

lIolilivll sen 8

= 110 Se deja como cios 49 y 50).

ejercicio

probar

x vII

las

De las propiedades 1 y 2 del Teorema 1 0 . 8 I Nota. unitario ortogonal a u Y v , entonces

u x

V ::::

EJEMPLO 2

P la no d ete rm in ad o P O f U Y

la orientaci6n

se deduce que s i n es un v

al plano determinado

u, v, y

por 0

de los vectores

0

U t ili za ti o n d e l p r o d u c to v e c t o r ia l

Hallar un vector unitario

ortogonal

a

V

u = i-4j k=i

Eje

x v consiste compararlos con los vectores i,j, y k = i x j, como sugiere la Figura 10.36. tres vectores u, v, y u x v forman un sistema dextrogiro, mientras que u v x u constituyen un sistema leuogiro. Una forma de recordar

u

(vease

±(llullllvll sen tJ)n

Ambos, 0 x v y v x 0, son perpendiculares

v

1 y 3

propiedades

+k

=

v

2i + 3j

x j

Solucion:

El producto

vectorial

0 x

v, como muestra

la Figura

10.37, es orto

nal tanto a u como a v.

j

i

u x v=

1 -4

k 1

230

= F IG U R A 1 0.3 6 S i st em a s d e x tr 6 g ir o s.

Como Ilu x vII = J(-3)2

-3i + 2j + 11k

+ 22 + 112 =

fo,un vector

unitario

ortogona

u yves

u x v 3. 2. = ~ l+ J + k lIu x v ii http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

11

fo fo fo

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1006

C a p fr u Jo 1 0

z

(- 3,2,

V e c t o r e s y g e om e tr ia d el e sp a cio

En el Ejemplo 2 podiamos haber utilizado v x u para construir un vector u rio ortogonal a u y v, Can esa eleccion, el resultado hubiera sido e] negativo del ob do en el ejemplo. I Nota.

II)

E J E M P L O 3 A p lic a ci o n g e o m i tr ic a d e l p r o d u c to v e c to r i a l

Probar que el cuadrilatero con vertices en los siguientes puntos es un paral gramo y caIcular su area. A

= (5,2,0)

B = = (2,6, 1)

C

=

D

(2, 4, 7)

=

(5, 0, 6)

En la Figura 10.38 vemos que los lados del cuadrilatero correspon a los cuatro vectores siguientes:

Solucion: y

(2,3.0)

4 x

F IG U R A 1 0 .3 7 E l v ec to r u x v e s o rto g o n a l a a m b o s, u y v .

z

AS =

-3i + 4j + k

CD

= = 3i - 4j - k = =

AD =

O i - 2j + 6k

CB

= = Oi + 2j - 6k

-A B

= - AD

As! pues, A l i es paralelo a C D y A D es paralelo aCE, y podemos concluir el cuadrilatero es un paralelogramo con A B y A D como lados adyacentes. A mas, como

o

j

k

4

1

-2

6

= = 26i + 18j + 6k

el area de ese paralelogramo es

IIAB x A D II =

A

J T .0 3 6 ~

32,19

EI paralelogramo (,es un rectangulo? Para decidir si 10 entre los vectores A S y A D .

= (5,2,0)

10 es 0

no, calcule el an

x

F IG U R A 1 0. 3 8 E l a re a d e l p a r ale lo g ra m o e s a p r ox im a d a m e nt e 3 2,1 9 .

En Fisica el producto vectorial sirve para medir el momento M de fuerza F respecto de un punto P (Figura 10.39). Si el punto de aplicacion la fuerza es Q, el momento de F respecto de P viene dado por Momento de F rcspecto de P

PO

La magnitud del momento mide la tendencia del vector a girar en sen antihorario (regla de la mano derecha) en torno a un eje dirigido a 1 0 largo vector M. EJEMPLO 4

F IG U R A 1 0.3 9

U n a a p li c a c io n d e l p r o d u c to v e c to r ia l

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de I pi longitud, ligada a un eje en el punto P (Figura 10AO). Calcular el momenta

E I m o m en t a d e F r e s p ec to d e P . esa fuerza respecto del punto P cuando f] = = 60°. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S ec eio n 1 0 .4

z

1

E I p ro d u cto v ec to r ia l d e d o s v ec to r e s e n e J e s p a c i o

Soluao»:

Si representamos --"

PQ

la fuerza pOI el vector F 1

= -50k Y l a palanca

= cos (60 )j + sen (60 )k -j+ 0

0

2

.j3

k

2

el momento de F respecto de P es

i

j

0

-

2

2

0

0

-50

y --------'-

M = PQ x F =

x

F IG U R A 1 0.4 0

1

k

j3

= -25i

U n a f u e r z a v er ti c al d e 5 0 l ib ra s s e a pli c a e n e l p u n to Q .

La magnitud de este momenta es de 25 libras-pie.

I N o t a . En el Ejemplo 4 el momenta (tendencia de Ia palanca a girar en torno al depende del angulo O . El momenta es 0 cuando () = n1 2 y maximo cuando e = o

EI p ro duc to m ix to (0 p ro duc to e sc a la r trip le ) Dados tres vectores u, v, wen el espacio, el producto escalar u y v x N o t a . El valor de un determinante queda multiplicado por -I si se intercambiandos de sus filas. Tras dos de esos intercambios, el valor del determinante queda invariable. Por tanto, los siguientes productos mixtosson iguales: I

U·

u : (v x w)

se llama el produeto mixto (0 pro due to esealar triple) de u, v, w. La dem traci6n del pr6ximo teorema se deja como ejercicio (vease Ejercicio 53).

(v x w) =

v : (w xu) W·

W

=

(u x v)

vXw

Si los vectores u, v, w no son cop1anarios, su producto mixto da el volu del paraleleptpedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos) que tiene a u w como lados adyacentes (Figura 10.41). Eso es 10 que establece el teor siguiente.

I lp r o j , • w u II F IG U R A 1 0.4 1 A re a d e la b a se

=

IU x

wll.

V o l u m e n d e l p a ra le le p fp e d o = lu . (v x w ) l . http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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1008

C a p i t u l o /0

V e c t o r e s y g e om e tr fa d e l e sp a cio

Demostracian:

En la Figura 10.41 se observa que

Ilv x wll = area de la base y Ilproyvxwull = altura del paraleleptped Por consiguiente, el volumen es

v = (alturajrarea

de la base) = Ilproyvxwullliv x wll

= lu . (v x

W ) I" V

x wll

Ilv x wll

= z

EJEMPLO 5

[u . (v x w ) 1

C a l c u lo d e u n v o lu m e n m e di a nt e e l p ro d u ct o m i x t o

Calcular el volumen del paralelepfpedo que tiene au = 3i - 5j + k, v y w = 3i + j + k como aristas adyacentes (vease Figura 10.42). Solucum:

= 2j -

Del Teorema 10.1 0 se sigue que V

F IG U R A 1 0. 4 2

= [u . (v x w ) 1 3

E l p a ra le le p fp e d o t i e n e v o lu m e n 3 6 .

-5

1

= 0

2

-2

3

1

1

2 - 2 11

=

3 1

=

3(4) + 5(6)

1

1

0

- (-5) 3

=

-2 1

0 + (1) 1 3

211

1(-6)

= 36

Del Teorema 10.10 se desprende que el volumen del paralelepfpedo es 0 s610 si los tres vectores son coplanarios. Esto es, tres vectores u =
>,

>

u : (v x w)

U1

«.

U3

vl

v2

V3

WI

W2

W3

=

0

Ejerc ic ios de la Sec ci6 n 1 0.4 En los Ejercicios 1-6, hallar el producto vectorial de los veetores unitarios y dibujar el resultado. 1.

j x i

2.

i xj

3.

jx k

4.

k xj

5.

ix k

6.

kxi

7.

u = (2, -3, I)

8.

v=(O,l,O)

v = (I, -2, 1) 9.

u = (12, -3, 0)

10.

11.

u=i+j+k v = 2i + j -k

nal tanto a u como a v. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

u = (-10,0,6)

v", (7,0,0)

v = (-2, 5, 0)

En los Ejercicios 7-12, calcular u x v y probar que es ortogo-

u = (-1,1,2)

12.

u = j + 6k v=i-2j+k 26/50

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1

Ejercicios d e 1 a S e c c i o n 1 0 .4

En los Ejercicios 13-16, usar los vectores u y v deIafigura para dibujar un vector en Ia direccion del productovectorial indicado en un sistema dextrogiro.

Para pensar

z

6 .

I

43 x

Y

(2, -3, 4), (0, 1,2), (-1, 2, 0)

31.

(1, 3, 5), (3, 3,0), (-2,0,5)

32.

(I, 2, 0), (-2, I, 0), (0, 0, 0)

En los Ejercicios 33-36, calcular u . (v x w)

I

I

---,!c. -U--

T

-y ;4 - 0 ,' 6 I

33.

"

u x v

14.

v xu

1 5.

(-v) x u

16.

u x (u x v)

IEnlosEjercicios 17-20, usar una calculadora

35. para hallar u x v

un vectorunitario ortogonal au y v. 18. u = (-8, -6,4)

17. u = (4, -3,5, 7)

v = (10, -12, -2)

v = (-1,8,4)

19. u = -3i + 2j - 5k 1. 3. v=-I--J+~k 2 4

u=(I,I,I)

20.

2

u =-k 3

v = (2, 1,0)

w=k

w= (0, 0,1)

37.

u = (2,0,0)

v = (0, 3, 0)

v = (1, 1, 1)

w = (0, 0, I)

w = (0, 2,2)

u = i+ j

u = (1, 3, I)

38.

v=j+k

v =i+ 6k 2

10

36.

u = (2,0, I)

Volumen En los Ejercicios 37 y 38, usar el producto m para calcular el volumen del paralelepipedo con lados a centes u, v, w.

1

1

v =j

w

121.

34.

u=i

-~-'"7~

13.

y

30.

,

2

---

(0, 0, 0), (1, 2, 3), (-3, 0, 0)

I

45

3 2 I

29.

P rogramac ion Escribir un programa que, dados veetares u y v en forma de componentes, calcule u x v y

= i+ k z

v

= (0, 5, 5)

v

= (4,0,4) z

[u x v ii. 122.

Usarel programa anterior para calcular u x v y IIUx v ii u = (8, -4, 2) b) u = (-2, 6, 10) v = (2, 5, 2) v = 0, 8,5)

a)

y

Irea

En los Ejercicios 23-26, caIcular el area del paralelogramoque tiene a los vectores dados como lados adyacentes. VerificareJ resultado con una calculadora.

23.

u =j

24.

u = (3, 2, -I)

Volumen En los Ejercicios 39 y 40, calcular el volu del paralelepfpedo con los vertices dados (vease figuras

v =j + k

v =j + k 25.

u=i+j+k

x

26.

v = (1, 2,3)

u = (2, -I, 0)

39.

(0, 0, 0), (3, 0, 0), (0,5, 1), (3, 5, 1) (2, 0, 5), (5, 0, 5), (2, 5, 6), (5, 5, 6)

v = (-1,2,0) z

A r e a En los Ejercicios 27 y 28, comprobar que los puntos sonvertices de un paralelogramo y calcular su area. 27.

(1, I, I), (2, 3,4),

(6,5,2),

(7, 7,5)

28.

(2, -1, I), (5, 1, 4), (0, 1,1), (3, 3,4)

En los Ejercicios 29-32, calcular el area del triangulo cuyosvertices se especifican. (Ayuda: El area del triangulo 1 conu y v como Iados adyacentes es -Ilu x v i D . 2

Area

40.

(0,0,0),

(1, 1,0), (1,0,2),

(2,1,2),

(1, 1,3), (1,2,

(0, 1,1)

1), (2, 2, 3)


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1010

C a p itu lo 1 0

V e c t o r c s y g e o m e tr ia d e l e sp a c io

y x

41. Momento

Un nino frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia abajo de 20 libras sobre el pedal cuando la manivela forma un Angulode 40° con la horizontal (figura). Calcular el momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.

44.

Optimizacion Una fuerza de 60 libras acuia sob

Have inglesa de la figura. a) Calcular la magnitud del momenta respecto evaluando I I O A x F I I . Representar en una cal dora la funcion de 0 resultante. b) Usar el resultado del apartado a) para determ la magnitud del momento cuando () = 45°. c) Definir el angulo 0, usando el apartado a), cu la magnitud del momento sea maxima. (,Esla puesta que se esperaba? (,Por que?

p

42.

Momento Tanto la magnitud como la direcci6n de la fuerza sobre un ciguefial cambian cuando este va girando. Calcular el momento sobre el ciguefial con los datos de la figura.

En los Ejercicios 45-52, demostrar la propiedad del prod vectorial que se especifica.

43. Optimizacion Una fuerza de 200 libras acnia sobre el soporte de la figura. a) Hallar el vector A B y el vector F que representa la

45.

u x (v + w) = (u x v) + (u x w).

46.

c(u x v)

47.

u x u = O.

48.

u . (v x w) = (u x v) . w.

49.

u x v es ortogonal a u y a v.

50.

u x v = 0 si Y solo si u y v son multiples escalares

51.

de otro. Ilu x vii = lIullllvll si u y v son ortogonales.

52.

u x (v x w)

53.

Demostrar el Teorema 10.9.

54.

Parapensar Si se doblan las longitudes de dos v res, (,c6mo cambia la magnitud de su producto v rial? Explicar la respuesta.

55.

Parapensar

= (cu) x

V

=

U

x (cv).

(J).

b)

c) d)

e)

fuerza de darse del en terminos Calcular(F lahaIl1~nitud momento de respecto de A calculando I I A B x F I I . Determinar, usando el resultado del apartado b), la magnitud del momento cuando (J = 30°. Hallar, usando el resultado de b), el Angulo () cuando la magnitud del momento es maxima. Para ese angulo, ~que relaci6n hay entre los vectores F y X B ? (,es la que esperaba? ~Por que? Representar la funci6n que da la magnitud del momento respecto de A para 0° :( () :( 180 Hallar eI cero de la funcion en ese dominio e interpretar el significado de ese cero en el contexto del problema. 0 •

= (u . w)v - (u . v)w

Los vertices de un triangulo en el es

son (Xi' Yv Z 1)' (X2' Y2' Z2)' (x 3 • h. Z3)' Explicar com puede hallar un vector perpendicular al tr iangulo,


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Clase1VectoresCuadricast2larson101-150-slidepdf.com Seccion

1011

R e c us y piano,I' e n e l espacio

10.5

56. ;,Verdadero 0falso? Se puede definir el producto vectorialde dos vectores en el plano. Explicar la respuesta.

58.

57. Dadoslos vectores u ::= y V := {J , calcular su producto vectorial . y usarel resultado para probar que sen (rx- fl) = sen a cos

Ii -

cos a sen f3

Lea el articulo «Tooth Tables: Solution of a Dental Problem by Vector Algebra» de Gary Hosler Meisters en Mathematics Magazine, noviembre 1982. A continuacion, escriba unas Ifneas explicando como se puede usar e I algebra vectorial en la construcci6n de implantes den-

Redaccion

tales.

~_10._5

l____j

CONTENIDO·

__

Rectas y p Ian os en el esp acio

R e cta s e n e I e s p ac i o • P Ia n os e n e l e s p ac io • T ra z a d o d e p I a n os e n e l e s p ac io

•

D i s ta n c ia s e n t re p u n t o s , r e ct as y p ia n os •

z

R ectas en el esp acio

En el plano, se usaba la pendiente para expresar Ia ecuaci6n de una recta. En el espacio es mas conveniente utilizar vectores para ello. En Ia Figura 10.43, consideremos Ia recta L que pasa por el punto P(x I' Y l' Z I) Yes paralela al vector v = (a, b, c). EI vector v es el vector de direcci6n (0 vector director) de la recta L, y a, b, c son sus mimeros de direcci6n (0 rnimeros directores). La recta L contiene pecisamente los puntos Q(x, y, z) para los que el vector P Q es paraielo a v. Eso significa que P Q es un multiplo escalar de v, de modo que P Q = tv, donde t es un escalar (un mimero real). PQ

r

=

(x -

Xl'

Y - Y

I' Z -

Zl)

=

(at, bt, ct)

=

tv

Igualando las componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones parametricas de una recta en el espacio.

x

F IG U R A 1 0. 4 3 ~ . a r e c t a L y s u v ec to r d ir e cto r v .

Si los rnimeros directores a, b, c son todos distintos de cero, se puede eliminar el parametro i, con 10 que se obtienen las ecuaciones simetricas de Ia recta:

x -

-_ --

EJEMPLO J

a

Xl

=

Y -

Yl

h

=

Z -

Zt

c

Ecuaciones simetricas

E c u a c io n e s p a r a m it ric a s y s u n e tn ca s d e u n a r e c t a

Hallar ecuaciones parametricas y ecuaciones simetricas para Ia recta L que pasa por el punta (1, -2, 4) paralela a v = < 2, 4, -4) http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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1012

C a pitu lo 1 0

V e c t o r e s y g e om e tr ia d e l e sp a cio

Para hallar un conjunto de ecuaciones parametric as de una recta mos las coordenadas Xl :=1, Y 1 :=- 2, Z 1 = 4 Ylos mimeros de direccion a := 4 y c = -4 (Figura 10.44). Solucion:

x = 1 + 2t, Y :::;-2 + 4t,

Como a, bye

Z

= 4 - 4t

Ecuaciones parametric as

son todos no nulos, un conjunto de ecuaciones simetricas I y + 2

x -

=

2

4

Z -

=

4

-4

Ecuaciones simetricas

Ni las ecuaciones parametric as ni las simetricas de una recta son ii Asi, en el Ejemplo 1, tomando t = 1en las ecuaciones parametricas se obte el punta (3, 2, 0). Usando este punto y los numeros de direcci6n a = 2, b c = -4 se llega a unas ecuaciones parametric as diferentes: x = 3 + 2t, Y F IG U R A 1 0. 4 4 E I v ec to r v e s p a r a le lo a l a r e ct a L .

EJEMPLO 2

= 2 + 4t, Y z = -4t

E cu a c i o n e s p a r a m e u ic a s d e l a r e ct a q u e p a s a p o r d o s p u n t a s

Hallar un conjunto de ecuaciones parametricas puntos (-2, 1, 0) Y (1, 3, 5).

de la recta que pasa po

Con los puntos P C -2, 1,0) y Q( 1, 3, 5) construimos un vector di de la recta, a saber

S o l u c ia n :

I

v:= P Q

variar t sobre la recta real, las ecuaciones parametricas del Ejemplo 2 determinan los puntos (x , y, z) de la recta. En particular, t ;;::0 y t = 1 dan los puntos originales (-2, 1, 0) y (1, 3, 5). N o ta .

=

(l- (-2), 3 - 1,5 - 0)

=

(3, 2, 5):::;

< a,

b, c)

AI

Usando los mimeros de direcci6n a = 3, b obtenemos las ecuaciones parametricas

= 2, c = 5

y el punto P(-2,

x = -2 + 3t, y = 1+ 2t, y z := 5t

P Ia n o s e n e l e s p a c io

Hemos visto que una ecuaci6n para una recta en el espacio se puede obte partir de un punto y de un vector paralelo a ella. Ahora veremos qu ecuaci6n para un plano en el espacio se puede deducir a partir de un punto vector normal (perpendicular) a el, Consideremos el plano que contiene el punta P(x1, Y1 ' Z 1 ) Ycon un v normal no nulo n = (a, b, c), como muestra la Figura 10.45. Este plano c de todos los puntos Q(x, Y, z) para los que el vector PQ es perpendicular Usando el producto escalar, podemos escribir n'PQ=O

n - PQ=o

x

(a , b, c) .
a(x -

Xl)

Xl'

Y - Yi'

Z -

+ be y - Yi) + c(z -

Zl) Zl)

::: 0

=

0

E I v ec to r n o n n a l n e s o rt o go n a l a t o d o s l o s v ec to re s d e l

PQ

plano.

La tercera ecuacion del plano se dice que esta en forma canonica.


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S eecia n /0.5

10

R e G l a s y p Ia no s e n e l e sp a c io

Reagrupando terminos, se obtiene la forma general de la ecuaci6n de plano en el espacio:

I

ax

+ by + cz + d = 0

Ecuacion general de un plano en el espacio

Dada la ecuaci6n general de un plano es facil hallar un vector normal a Basta usar los coeficientes de x , y, Z Yescribir n = < a , b, c). EJEMPLO 3

E cu a c i o n d e u n p la n o e n e l e s p a c io

Hallar la ecuaci6n general del plano que contiene los puntos (2, 1, 1), (0, 4, Y(-2, 1,4).

Para aplicar el Teorema 10.12 necesitamos un punto del plano y vector normal al plano. Hay tres opciones para elegir el punto, pero el vec normal no nos ha sido dado. Con el fin de construir un vector normal, recur mos al producto vectorial de los vectores que van del punto (2, 1, 1) a puntos (0, 4, 1) y (-2, 1, 4) (Figura 10.46). Las expresiones de u y v en comp Soluci6n:

z

nentes son u = <0 - 2, 4 - 1, 1 - 1) = <-2, 3, 0)

v=<-2-2,1-1,4-1)=<-4,0,3)

asi que n=uxv

i j k x

= -2 F IG U R A 1 0 .4 6 8 1 p la no d ete rm i n ad o p or u y v .

3

0

-4 0

3

=

9i + 6j + 12k

=

< a , b, c)

es normal al plano dado. U sando los mimeros de direcci6n de n y el pun (Xl' Yl' ZI) = (2, 1, 1), llegamos a la ecuaci6n del plano: a(x - Xl)

+ bey - Yl ) + c(z - ZI ) = 0

9(x-2)+6(y-l)+

12(z-I)=0

9x + 6y + 12z - 36

Forma canonica

=

0

3x + 2y + 4z - 12 0 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

=

Forma general

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1014


V e c t o r e s y g e om e tr fa d e l e .- pa c io

C a pitu lo 1 0

N o t a . Compruebe que en el EjempJo 3 cada uno de los t r e s puntos dados satisfa ecuaci6n I

Dos pIanos distintos en el espacio 0 son paralelos 0 se cortan en una r Si se cortan, el angulo entre enos 1 0 da el angulo que forman sus vec normales (Figura 10. 47 ) . As! pues, si los vectors 0 1 Y 0 2 son normales

planos que se cortan, el angulo 0 entre los vectores normales es igual al an entre los dos pIanos y viene dado por

F IG U R A 1 0 .4 7

Angulo entre dos planos

E l a n gu lo 0 e n t r e d o s p ia n o s,

En consecuencia, dos pIanos con vectores normales n 1

0 2 son

si n 1 . 0 2 = O. si 0 1 es un rmiltiplo escalar de 0 2 '

1.

perpendiculares

2.

paralelos

EJEMPLO 4

Y

R e cta i n te rs ec c it 5 n d e d o s p ia n os

Hallar el angulo entre los pIanos Z

=

0

Ecuacion

2x + 3y - 2z

=

0

Ecuacion del plano 2

x - 2y +

y ecuaciones parametric as de su recta intersecci6n

del plano I

(Figura 10.48).

Solucum: Los vectores normales a los planos son 0 1 = (1, -2, I> y 0 2 = <2,3, Por consiguiente, el angulo entre los pIanos viene dado por

x

1 0 1 . °2 1 cos 0 = ----11°11111°211

Coseno

del angulo entre

"I

Y "2

1-6 1

- J6fo 6

- jI62

F IG U R A 1 0.4 8

E I a ng u lo e ntr e lo s p ia no s e s a p ro r i m a d am e n te 5 3 ,5 5 '.

~ 0,59409

o ~ arccos 0,59409

Esto implica que el angulo entre los dos pIanos es 0 ~ 53,55°. Podemos e trar la recta intersecci6n resolviendo simultaneamente las dos ecuacion neales de los pIanos. Una manera de hacer esto consiste en multiplicar l mera ecuaci6n por -2 y sumar el resultado a Ia segunda ecuacion, x - 2y + z

=

0

2x + 3y - 2z = 0

I;

- 2x + 4y - 2z = 0 2x + 3y - 2z = 0 7y - 4 z

=


0

4z y=32/50

7

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S e c c i6 n 1 0 .5

1015

R e c ta s y p la no s e n e l e sp a c io

Sustituyendo y :::: 4zJ7 en una de las ecuaciones originales, se ve que x = z/7. Finalmente, haciendo t = zJ 7 se obtienen las ecuaciones parametricas x

=

t, Y

=

4t, Y

=

Z

Recta interseccion

7t

de manera que 1, 4, 7 son numeros directores para la recta intersecci6n.

D

Hagamos notar que los mimeros directores en el Ejemplo 4 se pueden obtener del producto vectorial de los dos vectores normales:

Dl

X Dz

=

j

k

1

-2

1

2

3

-2

i

= I- ~ _ ~ Ii- I~ - ~ I j I~ +

=

-2 1 k

i+ 4j + 7k

Eso quiere decir que la recta intersecci6n de los dos pIanos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales.

T r a z a d o d e p Ia n o s e n e l e s p a c i o Si un plano corta a uno de los pIanos coordenados, la recta de intersecci6n se llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio, es iitil hallar sus puntos de intersecci6n con los ejes de coordenadas y sus trazas en los pIanos de coordenadas. A titulo de ejemplo, consideremos el plano 3x + 2y + 4z Haciendo z

= 12

Ecuaci6n del plano

= 0 hallamos su traza en el plano 3x + 2y

=

12

xy, que resulta ser Traza xy

Esta recta corta al eje x en (4, 0, 0) y al eje y en (0, 6, 0). En la Figura 10.49 continuamos este proceso hallando las trazas v z y xz, y sombreando la regi6n triangular del primer octante. z

0,0,3)

x

x

Traza xy (z = 0): 3x + 2y

=

12

Traza

(0,0,3)

x yz (x

2y + 42

=

= 0):

12

Traza xz (y 3x + 42

=

= 0):

12

F IG U R A 1 0.4 9 T ra za s d el p la no 3 x + 2 y + 4 z : : ;:1 2 . http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150 33/50

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1016

C a p itu lo 1 0

Veetores y geometria del espacio

Si en la ecuacion de un plano esta 2x + z = I, el plano es paralelo al eje faltan dos variables en la ecuaci6n de denado de las dos variables ausentes

(0,0,1)

ausente alguna de las variables, com de la variable ausente (Figura 10.50 un plano, este es paralelo al plano c (Figura 10.51).

z

z

z

y x

F IG U R A 1 0.5 0

y

°

EI plano ax + d = es paralelo al plano yz

y x

x

EI plano by + d =0 es paralelo al plano xz

EI plano cz + d = 0 es paralelo al plano xy

F IG U R A

D i s t a n c i a s e n tr e p u n to s , r e c t a s y p I a n o s

Cerramos la secci6n analizando dos tipos de problemas sobre distancias e espacio, 1. 2.

D

lproYDPQl1

=

F IG U R A 1 0.5 2

D i s t a nc ia d e u n p u n to a u n p la n o .

Ca1cular la distancia de un punto a un plano. Calcular la distancia de un punto a una recta.

Sus soluciones ilustran la versatilidad y la utilidad de los vectores en G metria analftica: el primer problema se resuelve mediante el producto escal el segundo mediante el producto vectorial. La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento corto que une Q con el plano (Figura 10.52). Si P es un punta arbitrario plano, podemos hallar esa distancia proyectando el vector PQ sobre el ve normal n. La longitud de esta proyecci6n es la distancia buscada.

Para determinar un punta en el plano de ecuaci6n ax + by + c: + d (a i= 0), hacemos y = 0 y z = O.De la ecuaci6n resultante, ax + d = 0, con mas que (-dla, 0, 0) esta en ese plano. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S e cc io n 1 0 .5

10

R ec us y p la na s e n e l e sp ac ia

EJEMPLO 5

D is ta n c ia d e u n p u nta a u n p la n o

Calcular la distancia del punta Q(1, 5,-4) al plano 3x - y + 2z = 6

I

N ota . L a elec cio n d el punto P en el Ejem p lo 5 es arbitraria. C o n s i d e -

Soluci6n: Sabemos que n = 0,-1, 2) es normal al plano dado. Para enco trar un punta del plano, hacemos y = 0 y z = O. El resultado es el pun P(2, 0, 0). El vector de P a Q viene dado par

re un p un to distin to d el p lan o y c om p rue be que se o btie ne la misma dis tancia.

P Q = (1 - 2, 5 - 0, -4 - 0) = (-I, 5,-4) La formula de la distancia en el Teorema 10.13 implica que D -

I P Q . n]

-

1(-1, 5, -4)

. (3, -1, 2)1

- r = = = = = = ~ + 1 + 4

J9

Iln ll

1 -3 - 5 - 8 1

=

jl4 16

=j14 De acuerdo can el Teorema 10.13, la distancia del punta Q (x o ' Yo' zo) plano de ecuacion a x + by + cz + d = 0 es D =

la (x o

-

+ b(yo

Xl)

-

+ c(zo - z l ) 1

Yt )

----"-------;::::.=;:====;:===::c----=----=--

Ja

2

+ b

2

c

+

2

es decir

Distancia punto-plano 3x-y+2t-6

=0

donde P(Xl' YP EJEMPLO 6

Zl)

es un punta del plano y d

=

-(ax!

+ by! + ezl).

D is u m c ia e n tr e d o s p ia n o : p a r a le lo s

Calcular la distancia entre los planos paralelos

=

3x - y + 2z - 6

6x - 2y + 4z + 4

0

=

0

Para hallar la distancia entre los dos planos, que se muestran en Figura 10.53, elegimos un punta del primero, digamos (x o , Y o, zo) = (2, 0, Entonces, de la ecuacion del segundo plano resulta a = 6, b = -2, e = 4, y d = asf que la distancia viene dada par Solucion:

6x-2y+4z+4=Q

F IG U R A 1 0 .5 3 L a d is ta n c ia e n tr e l os p ia n o s p a ra le lo s e s a p ro x im a d a m e n te 2 ,1 4 .

D =

la x o + byo +

+ dl

cZ o

-----'~::;:::=::::::::::====;::_-

Ja

2

2

+ b

16(2) + (-2)(0)

+ e

2

+ (4)(0) + 41

16

,14 35/50 fo= jl4 ~

+ (_2)2 + 42 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

=

J6

2

=

8

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1018

C a p it u lo 1 0

V e c t o r e s y g e o m e tr fa d e l e s pa c io

La formula de Ia distancia de un punto a una recta en el espacio recuerd de la distancia de un punto a un plano, salvo que el producto escalar qu reemplazado por el producto vectorial y el vector normal n por un vecto direccion de Ia recta.

Demonracio«:

D

=I I P Q I I

sen

e

En la Figura 10.54 vemos que la distancia D del punto Q a Iar

vse e r isigue f i c a Dque = I I P Q I I sen 0, donde (}e s el an gul o entre u y PQ. Del Teorema I l u 1 1 1 1 P Q 1 1en (}= Ilu x P Q II = IIP Q x n il

P

u

En consecuencia, F IG U R A 1 0.5 4 D in an c i a d e u n p u nlo a u n a r ec ta .

--"

IIP Q x u ll Ilull

D = I I P Q I I sen () =

E J E M P L O 7 D is ta n a a d e u n p u n to a u n a r e c ta

Hallar la distancia del punta Q(3,-I, 4) a la recta dada par x

=

-2 + 3t,

y

=

-2t,

y

=

z

I

+ 4t

Usando los ruimeros directores 3, -2, 4 sabemos que un vecto direccion de la recta es

Soluci6n: z

u=(3,-2,4)

Vector de direccion

Para determinar un punta de Ia recta hacemos t = 0, can 10 que se obtien P

=

(-2,0, 1)

As! pues,

PQ = x

<3 - (-2), -I - 0, 4 - I)

=

<5, -I, 3)

y podemos caIcular el producto vectorial

3 5 y

I

j

--_::::..

F IG U R A 1 0.5 5

PQ xu =

5

-I

k

3 = 2i -Ilj

- 7k= (2, -11, -7)

L a d is t a n c ia en tr e e l p u n to Q y l a r e ct a e s 2,45. 3 -2 4 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

J6.~

36/50

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1

E je rc ic io s d e J a S e cc io n J O.5

Finalmente,

del Teorema

I I P Q x u ll _ lIu ll -

D = ~

10.14 concluimos

que la distancia pedida es

;_ '" fo _

fo-V 6

(Vease Figura 10.55)

'" 2,45

E j e rc ic io s d e l a S e c c i6 n 1 0 .5 En los Ejercicios

I y 2, la figura muestra

recta dada por las ecuaciones

la grafica

de una

adjuntas.

a) Di-

parametricas

bujar una flecha sobre la recta que indique su orientacion. Hallar las coordenadas considerar el vector

de dos puntos,

P~Q. .Que relacion

nentes de este vector y los coeficientes nar las coordenadas

de los puntos

pianos de coordenadas. nos de coordenadas

1.

=

x

de t en las ecuaciones

0;;;;

c) Determi-

de interseccion

con los

Si la recta no corta a uno de los pla-

explicar

10.

(1,0, I), (I, 3, -2) 11 y

12, hallar

ecuaciones

parametric

para la recta. 11.

La recta que pasa por el punto (2, 3, 4) Y es paralel los pianos xz e yz.

x = 2 - 3t

12.

La recta que pasa por el punto (2, 3,4) y es perpendi lar al plano 3x + 2y - Z

y=2

z = I- t

2 + St

I)

(5, - 3, -2), (-~,~, 3 3

En los Ejercicios

por que.

2.

I+ 3t

y=2-t z

b)

P y Q, de la recta y hay entre las compo-

parametricas? (,Cual es la razon de tal relacion?

9.

En los Ejercicios

= 6.

13 y 14, determinar

que puntos estan e

recta L

z

13.

La recta que pasa por el punto (-2, 3, 1)Y es paralela vector v = 4i - k. a) (2,3,0) b) (-6,3,2)

.i<~

d) (6,3,

c) (2,1,0)

~----,~-

14.

" ,'

x

.r

En los Ejercicios 3-8, hallar ecuaciones

a) parametric as y b)

simetricas, para la recta que pasa por el punto y es paralela vector 0 recta indicados.

(Para cada recta, expresar

al

los mime-

ros directores como enteros.)

P unto 3. (0,0,0) 4.

(0,0,0)

Paralela a v

= <1,2,3)

v =

1\ - 2 '2'~

v = 2i + 4j - 2k

6. (-2,0, 3)

v

7.

(1,0, I)

8.

(-3,

s. 4)

= 6i

En los Ejercicios

hallar el punto de interseccion

15.

x = 4t + 2, Y = 3, z = -t + 1 x '" 2 8 + 2 , y ::;;2 8 + 3, z = s + 1

16.

x = -3t + I, .v = 4t + 1, z = 2t + 4 x = 38 + 1, y

17.

x = 3 + 3t, y = S - 2t, z = -7 + t x - I y + I --=~~=z-3 3 -2

si las rectas se cortan.

y el cos

del angulo de interseccion.

+ 3j

En los Ejercicios 9 y 10, hallar ecuaciones

15-18, averiguar

caso afirmativo,

I)

5. (-2,0,3)

La recta que pasa por los puntos (2, 0, -3) Y (4, 2, 5 I 11) c) (-1, -3, -4) a) (4, 1, -2) b) ( 2 ' 2 ' - 4

18.

= 2s

x V 2

Z = -s

x I

- - + 1 -- c. '4'

- - .~~ 3 - I

x-2

+ 4,

y-2

En los Ejercicios

= } '+

2

z + 3 =-

-3

z+2

x-3

= = z 3

-3

+ 1

6

'

= v + 5 = -

2·

19 y 20, representar

4

en una calculadora

par de rectas y hallar su punto de interseccion.

a) parametricas y (Para

h) sirnetricas para la recta que pasa por los dos puntos.

19. x = 2t + 3 , y = 5t - 2 , z = -t + I

x = - 2s + 7 , y = s + 8, Z = 2s cada recta, expresar los ruimeros directores como enteros.) http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

1

37/50

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1020

20. x

V e c to r e s y g eo m em a d e! e sp ac io

C a p itu lo 1 0

= x

Producto

2t - 1, y = -4t + 10, z = t = 5.~- 12, y = 3s + 11, z = -2s - 4

El plano que pasa por el punta (2, 2, 1 ) Y contien recta dada par

3 6.

coordenadas~

los vectores PQ y PRo b) Hallar PQ x PRo i,Que relaci6n hay entre las componentes del producto vectorial y los coeficientes en la ecuacion del plano? i,Por que? 21.

x

En los Ejercicios 21 y 22, a) hallar las tre~untos P. Q _ ] " " R ~ plano y considerar

vectorial

4x - 3y - 6z = 6

4

37.

EI plano que pasa par los puntas (2, 2, I) Y (-1, 1, -I es perpendicular al plano 2x - 3y + z = 3 .

38.

El plano que pasa par los puntas (3, 2, 1) Y (3, 1, -5 es perpendicular al plano 6x + 7y + 2z = 10.

39.

El plano que pasa par los puntas (1, -2 , -1) Y (2 , 5, es paralelo al eje x.

40.

El plano que pasa par los puntos (4, 2, 1) y (-3, 5, 7 es paralelo al eje z,

22. 2x + 3y + 4z = 4 z

Y -

-=--=z 2 -I

En los Ejercicios 41-46, averiguar si los planos son par

En los Ejercicios 23-28, hallar una ecuacion del plano que pasa par el punta y es perpendicular al vector a recta dados. Punta

Perpendicular

los, perpendiculares 0 ninguna de ambas casas. En los ca en que no sean paralelos ni ortogonales, hallar el angulo intersecci6n. 41.

a

43.

=

23.

(2, 1,2)

n

24.

(1,0,-3)

n=k

25.

(3,2,2)

n = 2i + 3j - k

26.

(0,0, 0)

n = -3i + 2k

27.

(0,0, 6)

x

=

I -

28.

(3, 2, 2)

x -

I

x + 4y + T:

= =

x - 3y + 6z

= 4

5x - 3y + z

5x + y - z

i 45.

x - 5y -

=

4

42.

3x + y - 4z = 3 -9x - 3y + 12z =

44.

3x + 2y - Z =7 x - 4y + 2z:::: 0

46.

2x-z::::1

I

4

z:::: I

5x - 25y - 5z

= -3

4x + y + 8z

= 10

En los Ejercicios 47-52, marcar las intersecciones y dib la grafica del plano.

t, Y =2 + t, Z

= 4 -

2t

z + 3

--=y+2=--

-3

4

En los Ejercicios 29-40, hallar una ecuaci6n del plano.

47.

4x + 2y + 6z = 12

48.

3x + 6y + 2z = 6

49.

2x - y + 3z ::::4

50.

2x - y + z = 4

51.

y + z =5

52.

x + 2y:::: 4

En los Ejercicios 53-56, representar el plano en una calc dora.

29.

EI plano que pasa par (0, 0, 0), (1, 2, 3) Y (-2, 3, 3).

30.

EI plano que pasa por (1,2, -3), (2, 3, 1), y (0, -2, -I).

53.

2x + y - z = 6

54.

x - 3z = 3

31.

EI plano que pasa par (1,2,3),

55.

-5x + 4y - 6z ::::-8

56.

2,lx - 4,7y - z:::: -3

32.

El plano que pasa par el punta (1,2,3) no yz.

33.

EI plano que pas a p ar el punta (1, 2,3) y es paralelo al plano xy.

34.

El plano que contiene al eje y y forma un angulo de 11:16 can el semieje x positivo.

35.

EI plano que contiene las rectas de ecuaciones x-I --=y-4=z -2

Y

(3, 2, 1), Y (-1, -2, 2).

x-2 -3

=

paralelo al pla-

y-l

4

=

z-2 -1

En los Ejercicios 57 y 58, hallar ecuaciones par ametr ic para la recta intersecci6n de los dos planos, 57.

3x + 2y -z ::::7

x - 3y + 6z ::::4

58.

x - 4y + 2z:::: 0

5x + y - z

4

>

En los Ejercicios 59-62, hallar el punta de intersecci6n (s hay) de la recta can el plano. Determinar asimismo si la r esta contenida en el plano. 59.

2x - 2y +

1

Z

Y

= 12, x - - ::::

2


+ (3/2) -1

z + 1

::::-

2

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1

E je rc ic io s d e l a S e cc io n 1 0 .5

x-I

y

6 0.

2x+3y=-5'-4-="2=-6-

6 1.

2x + 3y = 10,-3

x-I

y+l

= --

-2

Un modelo para esos datos viene dado por

z-3

=

0,987x + 1, 71y + z = 276

z - 3

a)

x-4

6 2.

5x + 3y = 17, -2-

y+l

z+2

= - - - - = 3 = -5-

En los Ejercicios 63 y 64, calcular la distancia del punto al plano.

b)

63. (0,0,0) 2 x + 3y + z = 12

c)

64.

(1,2,3)

Completar una cuarta fila de la tabla usando modelo para estimar z para valores dados de x Comparar las aproximaciones obtenidas con valores reales de z , Segun este modelo, l,que efecto tendra un aume del consumo de dos tipos de leche en el con su del tipo restante? Dibujar las trazas del plano y su grafica en el mer octante (puesto que x, y, z han de ser no ne tivas).

2x-y+z=4

En los Ejercicios 65 y 66, calcular la distancia entre los pianos. 65 .

66 .

70.

Optimizacion parametric as

x - 3y + 4z = 10 x - 3y + 4z = 6 2x - 4 z

Consideremos

Ia recta de ecuacio

1

x = -t + 3, y = -( + 1, z = 2t - 1 2

= 4

2 x - 4 z = 10

y el punto (4, 3, s) para un mimero real s arbitrario Expresar Ia distancia del punto a la recta en cion de s. b) Representar esa funci6n con ayuda de una calc dora. Hallar, a la vista de Ia grafica, el valor que hace minima Ia distancia. c) Usar el zoom para ampliar varias veces la gra

a)

En l os Ejercicios 67 y 68, hallar la distancia del punto a Ia recta dada en forma parametrica. 67. (1, 5, -2); x = 4t - 2, y = 3, z = -t + 1 68. (4, I, -2); x = 2t + 2, y = 2f, z = t - 3

69. Un modelo matemdtico El consumo per capita (en libras) de distintos tipos de leche en EE.UU. viene recogido en Ia tabla. Los consumos de Ieche desnatada, semidesnatada y entera se denotan por las variables x, y, Z respectivamente. (Fuente: U.S. Department of Agriculture.)

del apartado b). l,Parece que la grafica tiene a totas oblicuas? Explicar Ia respuesta. Si es asi, lIar sus ecuaciones. 71.

Para pensar

a)

Aiio

1970

1975

1980

1985

x

11,6

11,5

11,6

12,6

y

29,8

53,2

70,1

83,3

z

213,5

174,9

141,7

119,7

b)

4x - 3y + z = 10 72.

Aiio

1990

1991

1992

1993

x

22,9

23,9

25,0

26,7

Y

98,3

99,7

99,4

97,1

z

87,6

84,7

81,5

77,8

Describir y hallar una ecuaci6n de Ia superficie nerada por los puntos (x. y. z) que distan cu unidades del punto (3, -2, 5). Describir y hallar una ecuaci6n de Ia superficie nerada por los puntos (x, y, z) que distan cu unidades del plano

Consideremos dos vectores no nulo y v. Describir la figura geometrica generada por puntos terminales de los siguientes vectores, donde t denotan mimeros reales arbitrarios.

Para pensar

a)

73.

tv

b)

u + tv

c)

su

+ tv

Diseiio industrial Hallar el angulo entre lados ad centes del contenedor de la figura de la pagina sigu

te, al que vierte el cereal una http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

cosechadora. 39/50

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1022

Vee/ores y geometrfa de l espacio

C a p rt ul o IO

, -"

. . ,. - "_

," ,:_ ..

' , - . .... < .'. ..., ' ,"

,.

Enesta. secd6nhemos presentado dosfonnulas p a r a c cular distancias;. de un puntoaun· p 1 t U l 0 yde.unpunto

1

untercerproble . una-recta, En este proyecto vaaanalizar ma dedistanci~s: ladistancia entr~dos rectas.que seer zan, estoes, dos rectas que ni secoItan Ii i sonparalel

H p u lg .

(veasefjgura). .:.....•.• ..• .....•.......••. a) .Considere las ~osTectasen.elespacio

- _ ._ 1

•

y L1 ;x =4 + 5t, L i: x = 4 + s,·Y 74.

. •.ii•.·· •.• • i) P ro b arq ue n o.s on ·p a ra le ~ as 'i ·.ii) °J>rgharque no se cortali,de modo que $0Il,d .i . rectas.quese.cruzan,...

calar d tal que = ald, hI = b2d,

;.Verdadero el enunciado

0

[also?

C1

0 no.

que muestre

=

cld

.iii) Demostrarqueesas

75 y 76, discutir

En los Ejercicios

es correcto

dar un ejemplo

Y

Si no 1 0 es, explicar

si

la raz6n

0

su falsedad. b)

75.

Si v = ali plano

hd

+ b,b2 + c,e2

al(l2 76.

+

dado par a2x

+ clk es eualquier + b2y + czz + d2

vector = 0,

en el

entonees

en el espacio

0

se cortan

0

son

paralelas, 77.

c)

Idem p a r a las rectas

Consideremos el plano que pas a par los puntas P, R Y S . Demostrar que la distancia de un punta Q a ese plano es

.

.

Distancia

10'

(v x

= ------

. d)

w )1

1 1 0 x v ii

Probar ax

que

+ by +

la distancia cz

+ d, =0 y

entre ax

Escribiruna formula que permita caleuiar 1adist . cia entre las rectas que se cruzan Li:X==Xt+ a1t.'Y=Yl+ Lz:x =xl + u z S'Y .= Y 2

donde u = P R , v = P S , y w = P Q 78.

dos rectas.estalicontenida e n . des planosp(I!alelos, .......• .· .· · . . .• . •. . ... . .. . . ...• .• • . dosplalios iv) Calcular Ia distanciaentrelos .dist ..",apartado iii). Estaes;pordefiniciOn,Ja cia en tr e .la s d es rectasquese c ruzan . .. Rallar,. por el·procedimiento .anterior, ·ladistanc entre lasrectas

L{x== 2t,y.·::i 4t,z = 6 t Lz :x=l··_ $,y=4+

=0

Dos rectas cualesquiera

1-41. + 8.s,.z=? ,...3$

< i . .. .. .. .

Si ap hI' c, y az ' hz, Cz son dos conjuntos de numeros directores de una misma recta, probar que existe un es-

al

= 5t5t,z*

los planos

paralelos

+ by + «z + d2 = 0 es


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1023

Superficies en eJ espacio

S ec cio n 1 0 .6

~ 1 0 _ .6 C O N T E N ID O

•

[]

~

__

~~~~

__

S u p e rf i c ie s e n e l e s p a c i o

S u p e rfi cie s c il fn d ri ca s • S u pe rfi c ie s c u a dr ic as •

S u p e rf i ci es d e r ev o lu ti o n •

S u p e r fi c i e s c i l i n d r ic a s

Las primeras cinco secciones de este capitulo estudiaban los preliminares vee toriales necesarios para afrontar el calculo vectorial y el calculo en el espacio. E esta secci6n y en la siguiente estudiaremos superficies y sistemas de coordenadas alternativos en el espacio. Ya conocemos dos tipos especiales de superficies. z

I.

2.

Esferas: (x - X O ) 2 + (y - Y O ) 2 + PIanos: ax + by + c; + d = 0

(2 -

20)2

=

r2

Secci6n 10.2 Secci6n 10.5

Un tercer tipo 10 constituyen las superficies cilindricas (0 simplemente cilindros. Para definir 10 que se entiende por un cilindro en general, consideremos el cilindro recto circular usual de la Figura 10.56. Podemos imaginar est cilindro generado por una recta vertical que se mueve alrededor del cfrculo x2 + i = a2 del plano xy. Este circulo se llama la curva directriz (0 curva generatriz) del cilindro, como se especifica en la pr6xima definici6n.

x

F IG U R A 1 0. 5 6 L a s r e d a s g e n e r atr ic e s s o n p a ra le la s a l e je

z.

Nota. Se puede suponer, de coordenadas. Mas aun, rectos, es decir, cilindros coordenadas que contiene I

sin perdida de generalidad, que C esta en uno de los plano en este libro restringiremos nuestra atencion a los cilindro cuyas rectas generatrices son perpendiculares al plano d a C, como ilustra la Figura 10.57.

Para el cilindro circular recto de la Figura 10.56, la ecuaci6n de la curv directriz es Ecuaci6n de la curva directriz en el plano xy F IG U R A 1 0 .5 7 C i l in d ro : L a s r e c t a s g e n e ra tr i c es c o rt a n a C

y s on p ar a le la s a u n a r e ct a d ad a .

Para hallar una ecuaci6n del cilindro observamos que cualquiera de las recta generatrices se puede seleccionar fijando valores de x e y, y haciendo variar

por toda la recta real. En este sentido, el valor de z es arbitrario y, en conse cuencia, no aparece en la ecuacion. En otras palabras, la ecuaci6n de ese cilin dro coincide con la de su curva directriz. Ecuaci6n de un cilindro en el espacio


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1024


C a p itu lo 1 0

V e c t o r e s y g e om e tr fa d el e s p s d o

E JE M P L O I

G r d fic a s d e c i li n d r o s

Dibujar un esbozo de la superficie dada por cada una de las ecuaciones siguie a)

z =

l

b)

o ~ x ~ 2n

z=senx,

Soluci6n:

a)

b)

Es la grafica de un cilindro cuya curva directriz, z = y2, es una parabo el plano v z. Sus rectas generatrices son paralelas al eje x (Figura 1O.5 Es la grafica de un cilindro cuya curva directriz es la curva seno e plano xz, Sus generatrices son paralelas al eje y (Figura 1O.58b).

y

a)

Las generatrices son paralelas al eje

x

b)

Las generatrices son paralelas al eje

F IG U R A

Superficies cuadricas ADVERTENCIA En lasetabla de las paginas 1025 y 1026 muestra solo una de las posibles orientaciones de cada cuadrica. Si la superficie estuviera orientada a 10 largo de un eje distinto, su ecuacion cambiarfa en concordancia, como ilustran los Ejemplos 2 y 3. El hecho de que los dos tipos de paraboloides tengan una variable elevada a potencia unidad ayuda a clasificar cuadricas, Los otros cuatro tipos tienen ecuaciones que son de segundo grado en las tres variables.

EI cuarto tipo basico de superficies en el espacio 10 constituyen las superf cuadricas, analogo tridimensional de las secciones conicas.

La interseccion de una superficie con un plano se llama la traza de la su ficie en ese plano. Para visualizar una superficie en el espacio es conven determinar de antemano sus trazas con pIanos elegidos astutamente. Las traz las superficies cuadricas son conicas. Estas trazas, junto con la forma canonic la ecuacion de cada cuadrica, se muestran en la tabla de las paginas 1025 Y1 Para c1asificar una cuadrica, empezaremos escribiendo su ecuacion en ma canonica y seguiremos hallando sus trazas en los pIanos de coordenad en otros pIanos que sean paralelos a los planos coordenados. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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TABLA141

1

S u pe rfid es e n e I e sp a cio

S e cc i6 n 1 0 .6

S u pe rfic ie s c u a dr ic as

Elipsoide

x2

y2

Z2

a2

b2

c

~+~+

z

y

/

2

Traza

Plano

Elipse

Paralelo al plano xy

Elipse

Paralelo aJ plano xz

Elipse

ParaJelo al plano yz

x

La superficie es una esfera si a

= b

= c

i= O .

I.

H iperboloide de una hoja

y

x

Traza

Plano

Elipse


Hiperbola

Paralelo al plano xz

Hiperbola

Paralelo al plano yz

y

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

Hiperboloide de dos hojas

x

)'

Trara Elipse

Plano _

Hiperbola


Hiperbola



EI eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.


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1026

V e e / o r e s y g e o m e tr ia d e l e sp a c io

C a p itu lo 1 0

T A B L A 1 4 .1 . S u p e r fic ie s c u ad r i c a s ( C o n t i n u a c i r i n )

Cono eliptico z

Traza

Plano

Elipse


Hiperbola


Hiperbola


y .\

EI eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los pIanos coordenados paralelos a ese eje son rectas que se cortan.

Paraboloide eliptico z

Plano

raza Elipse


Parabola

Paralelo al plano .rz

Parabola

Paralelo al plano y z

EI eje del paraboloide corresponde a Ia variable elevada a la potencia unidad.

.\

Paraboloide hiperbolico

z

y2 Z =2

y

I

x2

-

a2

Traza

Plano

Hiperbola


Parabola


Parabola


EI eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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S ec cio n 1 0 .6

102

S u pe rfic ie s e n e J e s p ac io

EJEMPLO 2

G r 4 fi c a d e u n a s u p e rj i c ie c u d d n ca

Clasificar y dibujar la superficie dada par 4x2 Solucion:

3_l

-

12z2 + 12 = 0

+

Para empezar, escribimos su ecuacion en forma canonica. 4x2

3y 2 + 12z2 + 12

-

2

Ecuacion

= 0

original

2

x v - + ---_- 2 - I= 0 -3 4 ~.

Dividir por -12

7

Forma canonica

De la tabla de las paginas 1025 y 1026 se sigue que la superficie es un hiperbo loide de dos hojas con el eje y como su eje. Para dibujarla, conviene hallar su trazas en los pIanos coordenados. y2

2 x

Traza

xy

(z = 0);

4- -3- = I

Hipcrbola

Traza

xz

(y

= 0):

x2 Z2 - + - =-1 I 3

No hay iraza

Traza yz (x

= 0):

\'

y2

Z2

-~= 1 4

I

Hiperbola

La Figura 10.59 muestra su grafica, F IG U R A 1 0. 5 9

EJEMPLO 3

G r d fi c a d e u n a s u pe rfi e ie c u d d n ca

Clasificar

y dibujar la superficie de ecuaci6n x -

2 y2

-

4z

=

O.

Como x esta elevada a la potencia unidad, la superficie es un parabo loide, que ademas tiene como eje el eje x. En forma canonica su ecuacion

Solucion: z

Forma canonica

Algunas trazas convenientes son: \'

Traza xy (z

=

Traza

= 0):

xz ( V

0):

Parabola

x = 4z y2

Paralela al plano yz (x

= 4):

2

Parabola

72

I = 1 -4 + ""_

Elipse

La superficie es un paraboloide eliptico (Figura 10.60). F lG U R A 1 0. 6 0

Hay ecuaciones de segundo grado en x, y, Z que no representan ninguno d los seis tipos basicos de superficies cuadricas. He aqui un par de ejemplos. x

2

+

l+

Z2

x2 +

y2

= 0 = I

Un unico punto Cilindro

circular

recto

La ecuaci6n can6nica de una cuadrica que no esta centrada en el origen s puede encontrar completando el cuadrado, como ensefia el Ejemplo 4. http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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1028

C a p itu lo 1 0

V e c t o r e s y g e o m e tr fa d e l e sp a c io

EJEMPLO z

4

U n a s u p e i f i c ie

c u a d r i c a n o c e n t r a d a e n e l o ri g e n

Clasificar y dibujar la superficie dada por x2 + 2y2 + Z 2 - 4 x + 4 y - 2z + 3

3

Completando el cuadrado en cada variable obtenemos

S o l u c ia n :

y

(x2

-

4x + ) + 2(y2 + 2 y +

) +

(Z2

-

2z + )

=

-3

(x2

-

4x + 4) + 2(y2 + 2 y + 1) +

(Z2

-

2 z + 1)

=

-3 + 4 + 2 + 1

(x - 2)2

(X _2 )2

+ 2 (y + 1)2 + (z - 1)2 = 4 (y+ l)2

---+----+

(z-I)2

424

F IG U R A 1 0.6 1

U n e li p sc id e c en tr a d o e n (2 , -I , 1 ).

= 0

=1

A la vista de esta ecuacion, ya podemos concluir que se trata de un elipsoi centrado en el punto (2, -1, 1). Su grafica puede verse en la Figura 10.61.

Crcado con Mathematica

Creado can Mathematica

* Algunos programas informaticos de represcntacion tridimensional exigen introducir las perficie mediante ecuaciones parametric as (Secci6n 14.5).


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S e cd a n / 0 .6

1029

S u p e J i i c i e s e n e J e s p a ci o

S up e rfic ie s d e r ev o luc io n EI quinto tipo especial de superficies que vamos a estudiar es el de las denominadas superficies de revolucion. En la Seccion 6.4 expusimos un metodo para caIcular el area de tales superficies. Ahara nos ocupamos de como hallar su ecuacion. Consideremos Seccien circular

la grafica de la funcion radio

z

y

=

Curva generatriz

r(z)

en el plano v z. Si esta grafica gira en torno al eje z, genera una superficie d revolucion (Figura 10.62). Su traza en el plano z = Z o es un cfrculo de radio r(zo) y su ecuaci6n es Traza circular en el plano

z = Zo

y

Cambiando

x

F IG U R A 1 0.6 2 U n a s u pe if ic ie d e r ev o lu c i6 n .

Zo

por z obtenemos una ecuacion que es valida para todo valor de z

Del mismo modo se obtienen ecuaciones para superficies de revoluci6n en torno a los otros dos ejes. Resumirnos este proceso en el siguiente cuadro.

E J E M P L O 5 E c u a ci 6 n d e u n a s u p e i fi c ie d e r ev o l u c i 6 n

a)

Una ecuaci6n grafica de

para la superficie

1 Y=-

de revoluci6n

generada

al girar l

Funcion radio

.

z

=

[r(z)]2

Giro en torno al eje z

=

(~)2

Sustituir r(z) por ~ z

en torno al eje z es x 2 + y2

x

b)

2

+

y2

1

Para haIlar una ecuacion de la superficie engendrada al hacer girar la grafi ca de 9x2 = y3 en torno al eje y, despejamos x en terminos de y: 1

x=--y

3/2

=r(y)

Funcion radio

3 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

47/50

5/16/2018

1030


C a p ftu lo 1 0

V e c t o r e s y g c om e tr fa d e l e .lp a cio

Asf pues, la ecuacion de esa superficie es z

Giro en torno al eje y

Sustituir

I

rev) par _\,312 .. 3"

Ecuacion de la superficie

Su grafica se muestra en la Figura 10.63.

La curva generatriz de una superficie de revolucion no es tinica. As superficie F IG U R A

1 0.6 3

se puede generar hacienda girar la grafica de x = e - Y en torno del eje y, la grafica de z = e - Y en torno del eje y, como ilustra la Figura 10.64.

0

z

I

x

.1

F IG U R A

EJEMPLO 6

C u r v a g e n e r a u i ; d e u n a s u p e r fic ie d e r e vo /u c i () n

Hallar una curva generatriz y el eje de revolucion de la superficie

Soiucum:

Sabemos que la ecuacion ha de adoptar una de estas formas: x2 + y 2 : : : ; : r(z)]2

En lorna al cjc z

y2

+ Z2 = [rex)]2

En lorna al eje x

x2

+ Z2 = [r(y)]2

En torno al cjc y

Como los coeficientes de x2 y Z2 son iguales, hernos de escoger la ter opcion, de manera que F IG U R A 1 0.6 5 http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

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5/16/2018


1

E je rc ic io 8 d e ls S e cc i6 n 1 0 . 6

EI eje y es el eje de revoluci6n. Podemos elegir como curva generatriz cu quiera de estas dos trazas x2 Z2

= 9= 9-

3y 2

Traza en el plano xy

3y 2

Traza en el plano yz

Por ejemplo, usando la primera traza, la curva generatriz es la sernielipse Curva generatriz

La Figura 10.65 muestra la grafica de esta superficie.

E je rc ic io s d e l a S e c c i6 n 1 0 .6 E n l os Ejercicios 1-6, as ociar

cada ecuaci6n con s u g ra fic a ,

11.

x2

13.

4x + z - sen

2

r

15.

12.

Y =0 y2 =

4 y =

14. 16.

0

=4

y2 +

Z

y2 _

Z2

z - e ·v

=4

= 0

17. Parapensar

Las cuatro figuras son graficas de la perficie cuadrica z = x 2 + y2. Asociar cada una de e can el punto del espacio desde el que se esta conte plando el paraboloide. Los cuatro puntos, desorde dos, son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (l0, 10,

y y

I.

I

z

x

z

v

z

J

y

x ,

)

?

C v1 . '__ + :_ __+ ~-- = I 9 16 9

18.

7 -

4x 2

-

y2

5 . 4x 2

-

4y +

3.

+ 4z2 = 4 Z2

=0

E n l os Ejercicios 7-16, des cr ibir 7.

,,=3

9.

y2 +

8. ~2

=9

10.

4.

y2

6.

4x2

y

= 4x2 -

+ 9 z2

y2 +

4z

Usar una calculadora apropiada para dibujar la gra del cilindro y2 + Z2 = 4 desde cada uno de los pun siguientes: a) (10,0,0) c) (10, 10, b) (0, 10, 0)

=0

dibujar Ia superficie.

En los Ejercicios 19-30, identificar y dibujar la superf Confirmar el dibujo en una calculadora.

cuadrica,

x=4 x

2

+ Z2 = 16


20. 49/50

5/16/2018


1032

V e c lo r e s y g e om e tr fa d e l e sp a cio

C a p itu lo 1 0

En los Ejercicios

22.

generatriz

51 y 52, hallar una ecuacion

de la superficie

de revolucion

para l

cuya ecuac

especifica. 24. 25. 27. 29.

30. I~

En los Ejercicios 53 y 54, usar el metoda de capas p cular el volumen del solido bajo la superficie de revolu 16x2 + 9 y2 + 1 6 z 2 2

4x

+ y2 - 4z

z

1 6 x - 6y - 1 6 z + 9

=2

para reprcsentar

32.

sen x

sobre el plano xy.

=0

la superficie

(Ayuda: Puede ser necesario

rar dos ccuaciones 31.

-

32x - 36 y + 36 = 0

3 1 A O , representar

En los Ejercicios culadora.

2

-

despejar

en una cal-

La curva z =4x - x2 en el plano xz gira en torno

54.

La curva z = sen y (0 : : s ; y : : s ; n ) en el plano yz torno a] eje z ,

z y conside-

la superficie.)

z

53.

En los Ejercicios

55 y 56, analizar

= x2 + 0,5y2

I

I

=_x

_y2

2

z

>

35.

(2)2

)

55. 37.

z

c--;

V Ixvl

=4 -

38.

-x

secciones

y2

56.

graticas

dibujar

41A4,

la region

acotada

57.

42 .

z = ~-

43.

x2 + y2 = 1, x + z = 2, z = 0

44 •

-r

-

c. -

z =2

x 2, Y =

J4

- x 2,

v/4----=-2-=-:2 x -' , Y -- 2 7, .,

X

= 0, y = 0, z =

de la superficie

b)

<.

-

-

generada

para la superfi-

por la curva dada en el plano de al girar en tomo del eje indi-

cado.

Forma de la Tierra

A causa de las fuerzas cion, la Tierra es un elipsoide oblongo en lugar

que el centro

Un modelo mate matico la sanidad

publica

de la Tierra es

Ecuacion

Plano

de la curoa

coordenado

Eje de renolucion

Aiio

~2

plano vz

eje y

46.

z = 2y

plano yz

eJe y

47.

z = 2v

plano yz

eje z

plano xz

eJe x

plano xy

eJe x

La tabla recoge los g

(en millones

en indemnizaciones medica

de dolares) en

a los trabajadores

(y) y medicamentos

Care Financing

= 4y

can los planos

= 2.

ecuador.)

0

cie de revolucion

"

x

del foco de la parabola

esfera. EI radio ecuatorial mide 3.963 millas y polar 3.942 millas. Hallar una ecuacion de ese

a

58.

45.

las coordenada

= 4

con los planos

origen y que Ia traza en el plano z = 0 correspo -r

45-50, hallar una ecuacion

que se especifica,

y

y me

de los foeos, de las elipse

z =8

b)

de. (Suponemos

En los Ejercicios coordenadas

Calcular seccion

por las

de las ecuaciones.

z = 2J_~2~2,

de los ejes mayor

de la superficie

z = 2

a)

41.

las longitudes

como las eoordenadas

z = c

8 + x2 +

Hallar

a)

En los Ejercicios

+ 4

2

en los pIanos indicados.

36.

~ +y = ~

la traza de la sup

(x), as

(z). (Fuente:

U.S.

Administration.)

1980

1985

1990

1991

1992

x

5,1

8,0

16,1

17,2

19,0

Y

28,0

44,5

80,5

99,1

113,5

z

37,5

72,2

112, I

123,3

138,3

-

48.

2: =

49.

X}'

'.i4 -

=2

2

x

Estos datos admiten

el modelo

50. z = In y plano yz eje Z O,551x2-0,OI4y2-19,868x http://slidepdf.com/reader/full/clase-1-vectores-cuadricas-t2larson101-150

+

1,856y+z+3,SI2= 50/50

Clase 1 Vectores Cuadricas t2larson101-150

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