CAPITULO 5 DCL.doc

Equilibrio de un cuerpo rígido OBJETIVOS DEL CAPÍTULO  



De!"rroll"r l"! ecu"cione! de equilibrio p"r" un cuerpo rígido# Pre!en$"r el concep$o de di"gr"%" de cuerpo libre p"r" un cuerpo rígido# &o!$r"r c'%o re!ol(er proble%"! de equilibrio de cuerpo! rígido! %edi"n$e l"! ecu"cione! de equilibrio#

5#)

Condicione! p"r" el de un cuerpo rígido

equilibrio

En e!$" !ecci'n de!"rroll"re%o! l"! condicione! nece!"ri"! *!u+icien$e! p"r" logr"r el equilibrio del cuerpo rígido que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,) a# E!$e cuerpo e!$- !o%e$ido " un !i!$e%" de +uer."! e/$ern"! * %o%en$o! de p"r que e! el re!ul$"do de lo! e+ec$o! de +uer."! gr"(i$", $ori"!0 el1c$ric"!0 %"gn1$ic"! o de con$"c$o c"u!"d"! por cuerpo! "d*", cen$e!# L"! +uer."! in$ern"! c"u!"d"! por in$er"ccione! en$re p"r$ícul"! den$ro del cuerpo no !e %ue!$r"n en l" +igur" porque e!$"! +uer."! ocurren en p"re! coline"le! igu"le! pero opue!$o! * por con!iguien$e !e c"ncel"r-n0 lo cu"l e! un" con!ecuenci" de l" $ercer" le* de 2e3$on#

F)

F4

O M

F6 F

M)

7"8

Fig. 5-1

5

5# F)

F4

pun$o O +uer." M

DIA:;A&AS

DE CUE;PO LIB;E

99

Si u$ili."%o! lo! %1$odo! del c"pí$ulo "n$erior0 el !i!$e%" de +uer."! * %o%en$o! de p"r que "c$<"n !obre un cuerpo puede reducir!e " un" +uer." re!ul$"n$e * un %o%en$o de p"r equi("len$e! en cu"lquier "rbi$r"rio O !obre el cuerpo o +uer" de 1l0 +igur" 5,) b# Si $"n$o l" co%o el %o%en$o de p"r re!ul$"n$e! !on igu"le! " cero0 en$once! !e dice que el cuerpo e!$- en equilibrio# En +or%" %"$e%-$ic"0 el equilibrio de un cuerpo !e e/pre!" co%o

F6 F

FR

7"8

M)

iF

= 0

7M 8 7MR8O

R O

9 FR

9

7b8 7MR8O

0

iM A

7 M R 8O

9 FR

O

L" pri%er" de e!$"! ecu"cione! e!$"blece que l" !u%" de l"! +uer."! que "c$<"n !obre el cuerpo e! igu"l " cero# L" !egund" ecu"ci'n e!$", blece que l" !u%" de lo! %o%en$o! de $od"! l"! +uer."! en el !i!$e%" con re!pec$o "l pun$o O0 ">"did" " $odo! lo! %o%en$o! de p"r e! igu"l " cero# E!$"! do! ecu"cione! no !'lo !on nece!"ri"! p"r" el equilibrio0 $"%bi1n !on !u+icien$e!# P"r" %o!$r"r e!$o0 con!idere l" !u%"$ori" de lo! %o%en$o! con re!pec$o " "lg
O

5

75,)8

iM

9

r

FR 0

Co%o r ? 00 e!$" ecu"ci'n !e cu%ple !'lo !i !e !"$i!+"cen l"! ecu"cione! 5,)0 " !"ber FR 0 * 7MR8O 0# Cu"ndo !e "pliquen l"! ecu"cione! de equilibrio0 !upondre%o! que el

O r

per%"nece cuerpo Sin e%b"rgo0 en re"lid"d $odo! !e de+or%"n cu"ndorígido# e!$-n !o%e$ido! " c"rg"!# Aunque 1!$e lo! !e" cuerpo! el c"!o0 l" %"*orí" de lo! %"$eri"le! de ingenierí" co%o el "cero * el concre$o !on %u* rígido! por lo que !u de+or%"ci'n !uele !er %u* peque>"# Por lo $"n$o0 "l "plic"r l"! ecu"cione! de equilibrio0 pode%o! !uponer de %"ner" gener"l que el cuerpo per%"necer- rígido * no se deformará b"@o l" c"rg" "plic"d" !in in$roducir ning
A

7c8 Fig. 5-1

EUILIB;IO E2 DOS DI&E2SIO2ES En l" pri%er" p"r$e del c"pí$ulo0 con!ider"re%o! el c"!o donde el !i!$e%" de +uer."! que "c$<" !obre un cuerpo rígido !e encuen$r" en0 W

G

T

Fig. 5-2

R

cu"le!quier o%o%en$o! puede !erdepro*ec$"do !obre un el solo pl"no!e *0dirigen "de%-!0 per, p"r que "c$
5#

Di"gr"%"! de cuerpo libre

L" "plic"ci'n e/i$o!" de l"! ecu"cione! de equilibrio requiere de un" e!peci+ic"ci'n co%ple$" de todas l"! +uer."! e/$ern"! conocid"! * de!, conocid"! que "c$<"n sobre un cuerpo# L" %e@or %"ner" de $o%"r en cuen$" e!"! +uer."! e! $r"."r el di"gr"%" de cuerpo libre del cuerpo0 el cu"l lo repre!en$" aislado o libre de !u en$orno0 e!$o e!0 un cuer, po libre# Sobre e!$e bo!que@o e! nece!"rio %o!$r"r todas l"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r que e@erce el en$orno sobre el cuerpo, de %"ner" que cu"ndo !e "pliquen l"! ecu"cione! de equilibrio !e pued"n $ener en cuen$" e!$o! e+ec$o!# Para resolver problemas en mecánica, es de primordial importancia tener un entendimiento total de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre.

;e"ccione! en !opor$e!# An$e! de pre!en$"r un procedi%ien, $o +or%"l !obre c'%o $r"."r un di"gr"%" de cuerpo libre0 pri%ero con, !ider"re%o! lo! di(er!o! $ipo! de re"ccione! que ocurren en !opor$e! * pun$o! de con$"c$o en$re cuerpo! !o%e$ido! " !i!$e%"! copl"n"re! de +uer."# Co%o regl" gener"l0 



5

Si un !opor$e e(i$" l" $r"!l"ci'n de un cuerpo en un" direcci'n d"d"0 en$once! !e de!"rroll" un" +uer." !obre el cuerpo en e!" direcci'n# Si !e e(i$" un" ro$"ci'n0 !e e@erce un %o%en$o de p"r !obre el cuerpo# Por e@e%plo0 con!idere%o! $re! %"ner"! en que un ele%en$o ori,

.on$"l0 co%o un" (ig"0 e!$- !opor$"do en !u e/$re%o# Un %1$odo e! por %edio de un rodillo o cilindro0 +igur" 5,6a# Co%o e!$e !opor$e !'lo e(i$" que l" (ig" !e traslade en direcci'n (er$ic"l0 el rodillo puede e@ercer un" fuerza !obre l" (ig"
rodillo 7"8

F

7b 8

p"!"dor 7c8 F +

o bien

F!

F"

7d8

7e8 M F!

!opor$e +i@o 7+8

F"

7g8

Fig. 5-3

TABLA 5,)

Sopor$e! p"r" cuerpo! rígido! !o%e$ido! " !i!$e%"! de +uer."! bidi%e n!ion"le!

Tipo! de cone/i'n

;e"cci'n

2<%ero de inc'gni$"!

7)8

u

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." de $en!i'n que "c$<" "le@-ndo!e del ele%en$o en l" direcci'n del c"ble#

u F

c"ble 78

u

u

o bien

u F

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" " lo l"rgo del e@e del e!l"b'n#

F

e!l"b'n !in pe!o 768

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" !uper+icie en el pun$o de con$"c$o#

5

u

u F

rodillo 748

u

F

o bien

u

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" r"nur"#

u

F

rodillo o p"!"dor con+in"do en un" r"nur" li!" 758


u

u F

!opor$e %ecedor" 78


u

u !uper+icie de con$"c$o li!"

F

7F8

o bien u

u

u

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" b"rr"#

F

ele%en$o conec$"do %edi"n$e un p"!"dor " un coll"r !obre un" b"rr" li!" contin%a

TABLA 5,) Con$inu"ci'n Tipo! de cone/i'n

;e"cci'n


7 G8

o bien

u

Do! inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on do! co%po, nen$e! de +uer."0 o l" %"gni$ud * l" direcci'n de l" +uer." re!ul$"n$e# Ob!er(e que * no !on nece!"ri"%en$e igu"le! Hno !uelen !erlo0 " %eno! que l" b"rr" %o!$r"d" !e" un e!l"b'n co%o en 78#

+

F!

p"!"dor li!o o "r$icul"ci'n li!"

7J8

F

ele%en$o con cone/i'n +i@" " un coll"r !obre un" b"rr" li!" 7)98

Do! inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on el %o%en$o de p"r * l" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" b"rr"#

M

5

F"

F

F! M

+

o bien M

Tre! inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on el %o%en$o de p"r * l"! do! co%ponen$e! de +uer."0 o el %o%en$o de p"r * l" %"gni$ud * l" direcci'n de l" +uer." re!ul$"n$e#

!opor$e +i@o

En l" !iguien$e !erie de +o$ogr"+í"! !e pre!en$"n e@e%plo! $ípico! de !opor$e! re"le!# Lo! n<%ero! indic"n lo! $ipo! de cone/i'n " que !e "ce re+erenci" en l" $"bl" 5,)# E!$" $r"be de con, cre$o de!c"n!" !obre el borde que !upue!, $"%en$e "c$<" co%o un" !uper+icie de con$"c$o li!"# 78

El c"ble e@erce un" +uer." !obre l" %1n!ul"0 o !opor$e0 en l" direc, ci'n del c"ble# 7)8

El !opor$e de %ecedor" p"r" e!$" $r"be de puen$e per%i$e el %o(i, %ien$o ori.on$"l de %"ner" que el puen$e pued" dil"$"r!e * con, $r"er!e por c"%bio! en l" $e%pe, r"$ur"# 758

E!$" in!$"l"ci'n de edi+i, cio e!$- !opor$"d" por un p"!"dor en l" p"r$e !upe, rior de l" colu%n"# 7G8

L"! (ig"! del pi!o de e!$e edi+i, cio !e !ueld"n en$re !í p"r" +or, %"r cone/ione! +i@"!# 7)98

Kuer."! in$ern"!# Co%o %encion"%o! en l" !ecci'n 5#)0 l"! +uer."! in$ern"! que "c$<"n en$re p"r$ícul"! "d*"cen$e! en un cuerpo !ie%pre !e pre!en$"n en p"re@"! coline"le! que $ienen l" %i!%" %"gni, $ud pero que "c$<"n en direccione! opue!$"! 7$ercer" le* de 2e3$on8# Co%o e!$"! +uer."! !e c"ncel"n en$re !í0 no cre"r-n un efecto e!terno !obre el cuerpo# Por e!$" r".'n0 l"! +uer."! in$ern"! no deben incluir!e en el di"gr"%" de cuerpo libre !i !e $o%" en cuen$" $odo el cuerpo# Por e@e%plo0 el %o$or que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,4a $iene un di"gr", %" de cuerpo libre que "p"rece en l" +igur" 5,4b# L"! +uer."! in$ern"! en$re $od"! !u! p"r$e! conec$"d"!0 " !"ber $ornillo! * $uerc"!0 !e c"nce, l"r-n porque +or%"n p"re@"! coline"le! * opue!$"!# En el di"gr"%" de cuerpo libre *!'lo !e %ue!$r"n l"! +uer."! e/$ern"! T) * T0 que e@ercen l"! c"den"! el pe!o W del %o$or#

T T)

5 G

7"8 W

7b8 Fig. 5-4

Pe!o * cen$ro de gr"(ed"d# Cu"ndo un cuerpo e!$- !o%e, $ido " un c"%po gr"(i$"$orio0 c"d" un" de !u! p"r$ícul"! $iene un pe!o e!pecí+ico# En l" !ecci'n 4#G !e %o!$r' que dico !i!$e%" !e puede reducir " un" !ol" +uer." re!ul$"n$e que "c$<" " $r"(1! de un pun$o e!pecí+ico# 2o! re+eri%o! " e!$" +uer." re!ul$"n$e co%o "l peso W del cuerpo0 * " l" po!ici'n de !u pun$o de "plic"ci'n co%o "l centro de gravedad# Lo! %1$odo! u!"do! p"r" !u de$er%in"ci'n !e de!"rroll"r-n en el c"pí$ulo # En lo! e@e%plo! * proble%"! que !iguen0 !i el pe!o del cuerpo e! i%por$"n$e p"r" el "n-li!i!0 e!$" +uer." re!ul$"n$e !e indic"r- en el enun, ci"do del proble%"# T"%bi1n0 cu"ndo el cuerpo !e" uniforme0 o e!$1 eco de %"$eri"l o%og1neo0 el cen$ro de gr"(ed"d !e loc"li."r- en el centro geom&trico o centroide del cuerpo !in e%b"rgo0 !i el cuerpo no e! o%og1neo o $iene un" +or%" poco co%o o "n-li!i!d"r-

re!ul$"do! !eguro!# En c"!o! co%ple@o!0 e!$e proce!o puede requerir el de!"rrollo de ("rio! %odelo! di+eren$e! del ob@e$o que debe "n"li."r, !e# En cu"lquier c"!o0 e!$e proce!o de !elecci'n requiere $"n$o "bili, d"d co%o e/perienci"# Lo! !iguien$e! do! c"!o! ilu!$r"n lo que !e requiere p"r" de!"rroll"r un %odelo "propi"do# Co%o !e (e en l" +igur" 5,5 a0 !e (" " u$ili."r l" (ig" de "cero p"r" !opor$"r lo! l"rguero! del $eco de un edi+icio# Enun "n-li!i! de +uer."0 e! r".on"ble !uponer que el %"$eri"l 7"cero8 e! rígido pue!$o que !'lo ocurrir-n %u* peque>"! de+le/ione! cu"ndo !e c"rgue l" (ig"# Un" cone/i'n con perno! en A per%i$ir- cu"lquier ro$"ci'n

A

'

7"8 F

F

F

A

que ocurr" cu"ndo !e "plique por con!ider"r!e lo que p"r" elun!opor$e con!ider"r!e un pasador liso# l" Enc"rg"0 ' puede rodillo0puede pue!, $o que "í el !opor$e no o+rece re!i!$enci" "l %o(i%ien$o ori.on$"l# P"r" e!peci+ic"r l" c"rg" de $eco A !e u!" el c'digo de con!$rucci'n " +in de poder c"lcul"r l"! c"rg"! F de lo! l"rguero!# E!$"! +uer."! !er-n %"*ore! que cu"lquier c"rg" re"l !obre l" (ig" *" que $o%"n en cuen, $" lo! c"!o! e/$re%o! de c"rg" p"r" e+ec$o! din-%ico! o de (ibr"ci'n# Kin"l%en$e0 el pe!o de l" (ig" por lo gener"l !e p"!" por "l$o cu"ndo e! peque>o co%p"r"do con l" c"rg" que !opor$" l" (ig"# Por con!iguien$e0 el %odelo ide"li."do de l" (ig" !e %ue!$r" con di%en!ione! pro%edio a0 b0 c * d en l" +igur" 5,5b# Co%o un !egundo c"!o0 con!idere l" plu%" de "!cen!o de l" +igur" 5, a0 l" cu"l e!$- !opor$"d" por un p"!"dor coloc"do en A * por el cilindro idr-ulico '(0 que puede "pro/i%"r!e co%o un e!l"b'n !in pe!o# Pode%o! !uponer que el %"$eri"l e! rígido0 * con !u den!id"d conocid"0 !e de$er%in"n el pe!o de l" plu%" * l" ubic"ci'n de !u cen$ro de gr"(ed"d G# Cu"ndo !e e!peci+ic" un" c"rg" de di!e>o P0 el %odelo ide"li."do que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,b puede u!"r!e p"r" un "n-, li!i! de +uer."# P"r" e!peci+ic"r l" ubic"ci'n de l"! c"rg"! * !opor$e!0 !e u!"n di%en!ione! pro%edio 7no !e %ue!$r"n "quí8# En "lguno! de lo! e@e%plo! pre!en$"do! en el $e/$o !e d"r-n %ode, lo! ide"li."do! de ob@e$o! e!pecí+ico!# Sin e%b"rgo0 e! nece!"rio $ener en %en$e que c"d" c"!o repre!en$" l" reducci'n de un" !i$u"ci'n pr-c$ic" %edi"n$e !upue!$o! !i%pli+ic"do! co%o lo! que !e ilu!$r"n "quí# P

G

( A

(

'

A

'

7" 8

7b8 Fig. 5-6

'

a

b

c

d

7b8 Fig. 5-5

5

Procedi%ien $o p"r" el "n-li!i! P"r" con!$ruir el di"gr"%" de cuerpo libre de un cuerpo rígido o cu"lquier grupo de cuerpo! con!ider"do! co%o un !olo !i!$e%"0 deben d"r!e lo! !iguien$e! p"!o!M Tr"ce el con$orno# I%"gine el cuerpo aislado o recor$"do libre de !u! re!$riccione! * cone/ione!0 * delinee 7en un bo!que@o8 !u con$orno# &ue!$re $od"! l"! +uer."! * %o%en$o! de p"r# Iden$i+ique $od"! l"! fuerzas e!ternas conocid"! * de!conocid"! *

5

lo! %o%en$o! de p"r que act%an sobre el cuerpo# L"! que por lo gener"l !e encuen$r"n !e deben " 7)8 c"rg"! "plic"d"!0 78 re"ccio, ne! que ocurren en lo! !opor$e! o en pun$o! de con$"c$o con o$ro! cuerpo! 7(e" l" $"bl" 5,)80 * 768 el pe!o del cuerpo# P"r" $o%"r en cuen$" $odo! e!$o! e+ec$o!0 puede !er(ir "cer $r".o! !obre lo! lí%i$e!0 * !e>"l"r cuid"do!"%en$e c"d" +uer." o %o%en$o de p"r que "c$<" en el cuerpo# Iden$i+ique c"d" c"rg" * l"! di%en!ione! d"d"!# L"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r que !e conocen deben %"rc"r, !e con !u! propi"! %"gni$ude! * direccione!# Se u!"n le$r"! p"r" repre!en$"r l"! %"gni$ude! * lo! -ngulo! de direcci'n de +uer."! * %o%en$o! de p"r que !e"n de!conocido!# E!$"ble.c"un !i!$e%" coorden"do !0 " de %"ner" que !e pued"n iden$i+ic"r e!$"! inc'gni, $"!0 A!0 A"0 e$c1$er"# Indique l"! di%en!ione! del cuerpo nece!"ri"! p"r" c"lcul"r lo! %o%en$o! de l"! +uer."!#

Pun$o! i%por$"n$e! 



  





2ing
EJE&PLO

5# )

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" (ig" uni+or%e que !e%ue!$r" en l" +igur" 5,Fa# L" (ig" $iene un" %"!" de )99 Ng#

5

SOLUCI2 El di"gr"%" de cuerpo libre de l" (ig" !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Fb# Co%o el !opor$e en A e! +i@o0 l" p"red e@erce $re! re"ccione! que "c$<"n sobre la viga 0 iden$i+ic"d"! co%o A!0 A" * MA# L"! %"gni$u, de! de e!$"! re"ccione! !on desconocidas0 * !u! !en$ido! !on supues

tos # El de pe!ogr"(ed"d de l" (ig"0 ) l" (ig"0 )997#G)8 2 " G) " $r"(1! del A pue!$o que l" cen$ro G de que e!$6 %20de"c$<" (ig" e! uni+or%e#

"

)99 2

! E+ec$o del !opor$e +i@o que "c$<" !obre l" (ig"

%

A"

E+ec$o de l" +uer." "plic"d" !obre l" (ig"

A!

G

A MA

6% G) 2 E+ec$o de l" gr"(ed"d 7pe!o8 que "c$<" !obre l" (ig" 7b 8

Fig. 5-7

EJE&PLO

5#  Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del ped"l que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Ga# El oper"dor "plic" un" +uer." (er$ic"l "l ped"l de %"ner" que el re!or$e !e e!$ir" )#5 pulg * l" +uer." en el e!l"b'n cor$o en ' e! de 9 lb# F

'

)#5 pulg ) pulg

'

A A

*

9 lbPpulg

5 pulg

7b8 9 lb

F

5

'

7"8

69 lb

)#5 pulg ) pulg

Fig. 5-8 A

A!

5 pulg Ay

7c 8

SOLUCI2 Co%o pode%o! (er por l" +o$ogr"+í"0 l" p"l"nc" e!$- unid" olg", d"%en$e "l b"!$idor del c"%i'n en A por %edio de un perno# L" b"rr" en ' e!$- "r$icul"d" en !u! e/$re%o! * "c$<" co%o un e!l"b'n cor$o# De!pu1! de re"li."r l"! %edicione! "propi"d"!0 el %odelo ide"li."do de l" p"l"nc" !e%ue!$r" en l" +igur" 5,Gb# A p"r$ir de e!$o0 !e %ue!$r" el di"gr"%" de cuerpo libre en l" +igur" 5,Gc# El !opor$e de p"!"dor en A e@erce l"! co%ponen$e! de +uer." A! * A" !obre l" p"l"nc"# El e!l"b'n en ' e@erce un" +uer." de 9 lb0 * "c$<" en l" direcci'n del e!l"b'n# Ade%-!0 el re!or$e e@erce $"%bi1n un" +uer." ori.on$"l !obre l" p"l"nc"# Si !e %ide l" rigide. * !eencuen$r" que e! * 9 lbQpulg0 en$once!0 co%o el "l"rg"%ien$o s )#5 pulg0 con l" ecu"ci'n 6,0 #s *s 9 lbQpulg7)#5 pulg8 69 lb# Kin"l%en$e0 el ."p"$o del oper"dor "plic" un" +uer." (er$ic"l F !obre el ped"l# L"! di%en!ione! de l" p"l"nc" !e %ue!$r"n $"%bi1n !obre el di"gr"%" de cuerpo libre0 *" que e!$" in+or%"ci'n !er- <$il cu"ndo !e c"lcu, len lo! %o%en$o! de l"! +uer."!# Co%o e! u!u"l0 !e "n d"do por de!con$"do! lo! !en$ido! de l"! +uer."! de!conocid"! en A# Lo! !en, $ido! correc$o! !er-n e(iden$e! de!pu1! de re!ol(er l"! ecu"cione! de equilibrio#

EJE&PLO

5# 6

Do! $ubo! li!o!0 c"d" uno con %"!" de 699 Ng0 e!$-n !opor$"do! por l" orquill" del $r"c$or en l" +igur" 5,a# Dibu@e lo! di"gr"%"! de cuerpo libre p"r" c"d" $ubo * p"r" lo! do! $ubo! @un$o!# E+ec$o de ' que "c$<" !obre A

'

9#65 %

A

E+ec$o de l" pl"c" inclin"d" que "c$<" !obre A

9#65 %

R

A

69 69

69 69 T 46 2 E+ec$o de l" gr"(ed"d 7pe!o8 que "c$<" !obre A 7c 8

7b 8

'

F

E+ec$o de l" orquill" inclin"d" que "c$<" !obre A

69

7" 8 69 R

5

46 2 P

7d8

SOLUCI2 El %odelo ide"li."do " p"r$ir del cu"l debe%o! dibu@"r lo!di"gr"%"! de cuerpo libre !e %ue!$r" en l" +igur" 5,b# Aquí lo! $ubo! e!$-n iden$i+ic"do!0 !e "n "greg"do l"! di%en!ione!0 * l" !i$u"ci'n +í!ic" !e redu@o " !u +or%" %-! !i%ple# En l" +igur" 5,c !e %ue!$r" el di"gr"%" de cuerpo libre p"r" el $ubo A# Su pe!o e! ) 6997#G)8 46 2# Suponiendo que $od"! l"! !uper+icie! de con$"c$o !on lisas 0 l"! +uer."! re"c$i("! T0 F0 R "c$<"n en un" direcci'n normal " l" $"ngen$e en !u! !uper+icie! de con$"c$o# El di"gr"%" de cuerpo libre del $ubo ' !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Jd# RPuede iden$i+ic"r c"d" un" de l"! $re! +uer."! que "c$<"n sobre este tubo En p"r$icul"r0 ob!er(e que R0 que repre!en$" l" +uer." de A !obre '0 +igur" 5,d0 e! igu"l * opue!$" " R que repre!en$" l" +uer, ." de ' !obre A0 +igur" 5,c# E!$o e! un" con!ecuenci" de l" $ercer" le* del %o(i%ien$o de 2e3$on# El di"gr"%" de cuerpo libre de "%bo! $ubo! co%bin"do! 7!i!, R

con$"c$o $e%"8 !e %ue!$r" +igur" 5,e# Aquí0co%o l" +uer." con!ider"d" interna0 que "c$<" en$re A en * 'l"0 e!$un" de +uer." * por ello no !e %ue!$r" en el di"gr"%" de cuerpo libre# E! decir0 repre!en$" un p"r de +uer."! coline"le! igu"le! pero opue!$"! que !e c"ncel"n en$re !í#

'

A

69 69

46 2

69

P

T

46 2 F 7e8

Fig. 5-9

EJE&PLO

5# 4 Dibu@e el di"gr"%" de cuerpo libre de l" pl"$"+or%" !in c"rg" que e!$- !u!pendid" del borde de l" $orre pe$roler"0 +igur" 5,)9a# L" pl", $"+or%" $iene un" %"!" de 99 Ng#

F9

'

G

A

)#49 %

)%

9#G % 7b 8

Fig. 5-10

SOLUCI2

T

F9

G A!

A A"

)#49 %

9#G %

) 2 7c8

)%

El %odelo ide"li."do de l" pl"$"+or%" !e con!ider"r- en do! di%en, !ione! *" que0 por ob!er("ci'n0 l" c"rg" * l"! di%en!ione! !on !i%1, $ric"! con re!pec$o " un pl"no (er$ic"l que p"!" por !u cen$ro0 +igur" 5,)9b# Se con!ider" que l" cone/i'n en A e! un p"!"dor * que el c"ble !opor$" l" pl"$"+or%" en '# L" direcci'n del c"ble * l"! di%en!ione! pro%edio de l" pl"$"+or%" e!$-n indic"d"!0 * !e de$er%in' el cen$ro de gr"(ed"d G# A p"r$ir de e!$e %odelo e%o! dibu@"do el di"gr"%" de cuerpo libre que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)9c# El pe!o de l" pl"$", +or%" e! de 997#G)8 ) 2# L"! co%ponen$e! de +uer." A! * A" @un$o con l" +uer." del c"ble T repre!en$"n l"! re"ccione! que ambos p"!"dore! * ambos c"ble! e@ercen !obre l" pl"$"+or%"0 +igur" 5,)9a# En con!ecuenci"0 * de "cuerdo con l" !oluci'n p"r" e!$"! re"ccione!0 l" %i$"d de l" %"gni$ud de e!"! re"ccione! !e de!"rroll" en A * l" %i$"d !e de!"rroll" en '#

P;OBLE&AS Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del cilindro de p"pel de 59 Ng que $iene !u cen$ro de %"!" en G * de!, c"n!" !obre l" orquill" li!" del $r"n!por$"dor de p"pel# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." que "c$<" !obre el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# •5-1.

5.4. Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" (ig" que !opor$" l" c"rg" de G9 Ng * que e!$- "po*"d" %edi"n$e un p"!"dor en A * por %edio de un c"ble que p"!" "lrededor de l" pole" en +# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8#

65 %%

+

G

'

5

4

A

6

69

Prob. 5-1

A

'

, (

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del ele%en$o A' 0 que !e "po*" %edi"n$e un rodillo en A * un p"!"dor en '# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# 5-2.

%

5

)#5 %

%

69 lb )6 )

G99 lb pie

Prob. 5-4

5

A

G pie!

4 pie!

69

6 pie!

'

Prob. 5-2

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" "r%"du, r" que e!$- !opor$"d" por el c"ble A' * el p"!"dor (# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." que "c$<" en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# •5-5.

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" c"@" de (ol, $eo + del c"%i'n0 l" cu"l $iene un pe!o de 5999 lb * cen$ro de gr"(ed"d en G# L" c"@" e!$- !opor$"d" por un p"!"dor en A * un cilindro idr-ulico '( 7e!l"b'n cor$o8 conec$", do %edi"n$e un p"!"dor# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# 5-3.

'

69 )#5 %

G

+

A

%

)% A

'

6% 9

69

(

(

6 N2 % Prob. 5-3

%

Prob. 5-5

4 N2 %

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" plu%" A' de l" gr<"0 l" cu"l $iene un pe!o de 59 lb * cen$ro de gr", (ed"d en G# L" plu%" e!$- !opor$"d" por un p"!"dor en A * un c"ble '(# L" c"rg" de )59 lb e!$- !u!pendid" de un c"ble unido en '# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." que "c$<" en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# 5-6.

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" b"rr"0 cu*o gro!or no !e $o%" en cuen$"0 * pun$o! de con$"c$o li!o! en A0 ' * (# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8# •5-9.

6 pulg

) pie!

69

5 pulg

'

(

)G pie!

'

)6

A

5 )

( A

G

G pulg

69

)9 lb 69

Prob. 5-6

5

Prob. 5-9

5-7. Dibu@e el di"gr"%" de cuerpo libre de l" ll"(e de orquill" que e!$- !o%e$id" " l" +uer." de 9 lb# El !opor, $e en A puede con!ider"r!e un p"!"dor0 * l" !uper+icie de con$"c$o en ' e! li!"# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." que "c$<" en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8#

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del %"l"c"$e0 el cu"l con!i!$e en un $"%bor de 4 pulg de r"dio# E!$- conec, $"do %edi"n$e un p"!"dor en !u cen$ro (0 * en !u "ro e/$e, rior "* un engr"ne de cre%"ller" con un r"dio %edio de  pulg# El $rinque$e A' !ir(e co%o un ele%en$o de do! +uer."! 7e!l"b'n cor$o8 * e(i$" que el $"%bor gire# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igu, r" 5,Fb8# 5-10.

9 lb A

) pulg

'

 pulg Prob. 5-7

5-8. Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del ele%en$o A'( que e!$- !opor$"do por un coll"r li!o en A0 un rodi,

llo en '0 * un e!l"b'n cor$o (+# E/plique l" i%por$"nci" de c"d" +uer." que "c$<" en el di"gr"%"# 7Ve" l" +igur" 5,Fb8#

'

6 pulg

A

 pulg (

#5 N2

4 N2 %

9

A

'

45

4%

+

(

6%

4 pulg 599 lb

% Prob. 5-8

 pulg

Prob. 5-10

P;OBLE&AS CO2CEPTUALES Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del bo$e de b"!u, r" uni+or%e que $iene un pe!o !igni+ic"$i(o# E!$- "po*"do %edi"n$e un p"!"dor en A * de!c"n!" con$r" el ele%en$o ori.on$"l li!o en '# &ue!$re !u re!ul$"do en l" (i!$" l"$e, r"l# &"rque cu"lquier di%en!i'n que !e" nece!"ri"# P5-1.

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de un "l" del "(i'n de p"!"@ero!# Lo! pe!o! del %o$or * el "l" !on !igni, +ic"$i(o!# L"! ll"n$"! en ' rued"n libre%en$e# P5-3.

A A

' ' P5-3

P5-1

P5-2.

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre del ele%en$o

A'( que !e u$ili." p"r" !opor$"r un" re$roe/c"("dor"# El

p"!"dor !uperior ' e!$- conec$"do "l cilindro idr-ulico0 el cu"l puede con!ider"r!e co%o un p"!"dor cor$o 7ele, %en$o de do! +uer."!80 l" ."p"$" de "po*o en A e! li!" * el ele%en$o A'( e!$- conec$"do "l b"!$idor %edi"n$e un p"!"dor en (#

Tr"ce el di"gr"%" de cuerpo libre de l" rued" * el ele%en$o A'( u!"do! co%o p"r$e del $ren de "$erri."@e de un "(i'n " propul!i'n# El cilindro idr-ulico A+ "c$<" co%o un ele%en$o de do! +uer."!0 * "* un" cone/i'n de p"!"dor en '# *P5-4.

+

'

(

A '

(

A

P5-2

P5-4

5

5#6

Ecu"cione! de equilibrio

En l" !ecci'n 5#) de!"rroll"%o! l"! do! ecu"cione! que !e requieren * b"!$"n p"r" ob$ener el equilibrio de un cuerpo rígido0 e!$o e!0 F 0 *  MO 0# Cu"ndo el cuerpo e!$- !o%e$ido " un !i!$e%" de +uer."!0 l"! cu"le! !e encuen$r"n en el pl"no !,"0 l"! +uer."! !e pueden de!co%, poner en !u! co%ponen$e! ! * "# En con!ecuenci"0 l"! condicione! de equilibrio en do! di%en!ione! !on F6

A i

"

i VX

F4

!

VW

i ,P

9

9

75,8

9

F

Aquí0 #! * #" repre!en$"n0 re!pec$i("%en$e0l"! !u%"! "lgebr"ic"! de l"! co%ponen$e! ! * " de $od"! l"! +uer."! que "c$<"n !obre el cuer, po0 * -O repre!en$" l" !u%" "lgebr"ic" de lo! %o%en$o! de p"r * lo! %o%en$o! de $od"! l"! co%ponen$e! de +uer." con re!pec$o "l e@e z0 el cu"l e! perpendicul"r "l pl"no !," * que p"!" por el pun$o "rbi, $r"rio O#

(

' F)

5

7"8 MRA

A

"

!

(

'

FR

Con@un$o! "l$ern"$i(o! de ecu"cione! de equilibrio# Aunque l"! ecu"cione! 5, !e u!"n con ma"or frecuencia p"r" re!ol(er proble%"! de equilibrio copl"n"r0 pueden u!"r!e $"%bi1n do! con@un, $o! alternativos de $re! ecu"cione! de equilibrio independien$e!# Uno de e!$o! con@un$o! e!

7b8 i VW

9 9 9

FR

A

" !

(

'

i ,Y

i

,

75,68

Z

Al u!"r e!$"! ecu"cione! !e requiere que un" líne" que p"!e por lo! pun$o! A * ' no sea paralela "l e@e "# P"r" prob"r que l"! ecu"cione! 5,6 proporcion"n l"! condiciones de equilibrio0 con!idere el di"gr"%" de cuerpo libre de l" pl"c" que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,))a# Con lo! %1$odo! de l" !ecci'n 4#G0 $od"! l"! +uer."! !obre el di"gr"%" de cuer, po libre pueden ree%pl"."r!e por un" +uer." re!ul$"n$e equi("len$e FR F0 que "c$<"n en el pun$o A0 * un %o%en$o de p"r re!ul$"n, $e MR MA0 +igur" 5,))b# Si !e !"$i!+"ce -A 90 e! nece!"rio A

7c8 Fig. 5-11

0# Ade%-!0 p"r" que FR !"$i!+"g" " #! 90 no debe tener que MR componentes " lo l"rgo del e@e !0 * por lo $"n$o0 FR debe !er p"r"lel" "l e@e "0 +igur" 5,))c# Kin"l%en$e0 !e requiere que -' 90 donde ' A

no !e encuen$r" !obre l" líne" de "cci'n de FR0 en$once! FR 0# Co%o l"! ecu"cione! 5,6 %ue!$r"n que "%b"! re!ul$"n$e! !on igu"le! " cero0 cier$"%en$e el cuerpo que "p"rece en l" +igur" 5,))a debe e!$"r en equilibrio#

)5

CAPÍTULO 5 EUILIB;IO

DE U2 CUE;PO ;Í:IDO

Un !egundo con@un$o "l$ern"$i(o de ecu"cione! de equilibrio e! i ,Y

9 9 9

i i

, ,

75,48

Z [

Aquí e! nece!"rio que lo! pun$o! A0 ' * ( no !e encuen$ren en l" %i!%" líne"# P"r" prob"r que "l !"$i!+"cer e!"! ecu"cione! !e g"r"n$i." el equili, brio0 con!idere de nue(o el di"gr"%" de cuerpo libre de l" +igur" 5,))b# Si -A 9 debe !er !"$i!+ec"0 en$once! MR 0#  -( 9 !e !"$i!+"ce !i l" líne" de "cci'n de FR p"!" por el pun$o ( co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,))c# Por
Procedi%ien $o p"r" el "n-li!i! Lo! proble%"! de equilibrio de +uer."! copl"n"re! p"r" un cuerpo rígido pueden re!ol(er!e por el !iguien$e procedi%ien$o# Di"gr"%" de cuerpo libre#  E!$"ble.c" lo! e@e! coorden"do! !0 " en cu"lquier orien$"ci'n "decu"d"#  Tr"ce un con$orno del cuerpo#  &ue!$re $od"! l"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r que "c$<"n !obre el cuerpo#  &"rque $od"! l"! c"rg"! * e!peci+ique !u! direccione! rel"$i("! " lo! e@e! ! o "# El !en$ido de un" +uer." o %o%en$o de p"r que $iene un" %"gni$ud desconocida0 pero líne" de "cci'n conocid"0 puede suponerse#  Indique l"! di%en!ione! del cuerpo nece!"ri"! p"r" c"lcul"r lo! %o%en$o! de l"! +uer."!# Ecu"cione! de equilibrio# 90 con  Aplique l" ecu"ci'n de equilibrio de %o%en$o!0 -O re!pec$o " un pun$o 7O8 que !e encuen$re en l" in$er!ecci'n de l"! líne"! de "cci'n de do! +uer."! de!conocid"!# De e!$e %odo0 lo! %o%en$o! de e!"! inc'gni$"! !on cero con re!pec$o " O0 * !e puede de$er%in"r un" solución directa p"r" l" $ercer" inc'gni$"#  Al "plic"r l"! ecu"cione! de equilibrio %edi"n$e +uer."!0



#! 9 * #" 90 orien$e lo! e@e! ! * " " lo l"rgo de líne"! que proporcionen l" de!co%po!ici'n %-! !i%ple de l"! +uer."! en !u! co%ponen$e! ! * "# Si l" !oluci'n de l"! ecu"cione! de equilibrio d" co%o re!ul$"do un e!c"l"r neg"$i(o p"r" un" %"gni$ud de +uer." o de %o%en, $o de p"r0 e!$o indic" que el !en$ido e! con$r"rio "l que !e !upu!o en el di"gr"%" de cuerpo libre#

5

EJE&PLO

5# 5 De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l* (er$ic"l de l" re"cci'n en l" (ig"0 c"u!"d" por el p"!"dor en ' * el !opor$e de %ecedor" en A0 co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)a# 2o $o%e en cuen$" el pe!o de l" (ig"# "

99 2

99 2

99 !en 45 2

9# % 45

A

%

6%

B!

A

'

+

99 2

9# %

99 co! 45 2

%

%

!

'

+ 6%

%

A"

B"

)99 2

)99 2

7b8

7"8

Fig. 5-12

SOLUCI2

5

Di"gr"%" de cuerpo libre# Iden$i+ique c"d" un" de l"! +uer."! que !e %ue!$r"n en el di"gr"%" de cuerpo libre de l" (ig"0 +igu, r" 5,)b# 7Ve" el e@e%plo 5#)8# Por !encille.0 l" +uer." de 99 2 !e repre!en$" %edi"n$e !u! co%ponen$e! ! * " co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)b# Ecu"cione! de equilibrio# Al !u%"r l"! +uer."! en l" direcci'n ! !e ob$iene 9

i VW

99 co! 45\ 2

ZW

9

44 2

ZW

Resp.

Un" !oluci'n direc$" p"r" A" !e puede ob$ener %edi"n$e l" ecu"ci'n de %o%en$o! -' 9 con re!pec$o "l pun$o '# "

i

,

Z

9

)99 2  %

99 !en 45\ 2 5 %

99 co! 45\ 2 9# %

YX

F%

9 YX

6) 2

Resp.

Al !u%"r +uer."! en l" direcci'n "0 * u!"r e!$e re!ul$"do0 ob$ene%o! C iV X

9

6) 2 ZX

99 !en 45\ 2

)99 2

99 2

9 ZX

495 2

Resp.

pode%o! (eri+ic"r e!$e re!ul$"do "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A # 2OTAM

"

i ,Y

9

99 !en 45\ 2  %

99 co! 45\ 2

9#

%

)99 2 5 % ZX

Resp.

99 2 F % 495 2

ZX

F%

9

)F


EJE&PLO


5# 

L" cuerd" de l" +igur" 5,)6a !opor$" un" +uer." de )99 lb * !e enroll" !obre l" pole" !in +ricci'n# De$er%ine l" $en!i'n en l" cuerd" en ( * l"! co%ponen$e! ori.on$"l* (er$ic"l de re"cci'n en el p"!"dor A #

9#5 pie A 69

u

(

)99 lb 7"8

Fig. 5-13

SOLUCI2

5

Lo! di"gr"%"! de cuerpo libre de l" cuerd" * l" pole" !e %ue!$r"n en l" +igur" 5,)6b# Teng" pre!en$e que el principio de "cci'n igu"l pero re"cci'n opue!$" !e debe ob!er("r con gr"n cuid"do "l $r"."r c"d" uno de e!o! di"gr"%"!M l" cuerd" e@erce un" di!$ribuci'n de c"rg" de!conocid" p !obre l" pole" en l" !uper+icie de con$"c$o0 %ien$r"! que l" pole" e@erce un e+ec$o igu"l pero opue!$o !obre l" cuerd"# Sin e%b"rgo0 p"r" encon$r"r l" !olu, ci'n e! %-! !encillo combinar lo! di"gr"%"! de cuerpo libre de l" pole" * e!$" porci'n de l" cuerd"0 de %"ner" que l" c"rg" di!$ribuid" !e (uel(" interna "l !i!$e%" *0 por lo $"n$o0 pued" eli%in"r!e del "n-li!i!0 +igur" 5,)6c# Ecu"cione! de equilibrio# Al !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A p"r" eli%in"r A! * A"0 +igur" 5,)6c0 $ene%o! Di"gr"%"! de cuerpo libre#

"

i

9

,

)99 lb 9#5 pie

Y

4

9#5 pie

p p

A

69

)99 lb

T

7b 8

9

A! A"

Con el re!ul$"do

u

i VW

)99 !en 69\ lb

YW

9

59#9 lb

YW C i VX

YX

)99 lb

)99 lb

9 Resp.

)99 co! 69\ lb

9

Resp. YX

)GF lb

!e ob!er(" que l" $en!i'n per%"nece constante "l p"!"r l" cuerd" !obre l" pole"# 7Por !upue!$o0 e!$o e! cier$o p"r" cualquier ángulo en el que e!$1 dirigid" l" cuerd" * p"r" cualquier radio r de 2OTAM

!

A

Resp.

9

"

9#5 pie

)99 lb

4

A! A"

69 T

7c8

)G


l" pole"8#


EJE&PLO

5# F El ele%en$o que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)4a e!$- "r$icul"do en A * de!c"n!" con$r" un !opor$e li!o ubic"do en '# De$er%ine l"! co%, ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de re"cci'n en el p"!"dor A #

'

A

69\ 9#F5 %

9 2 % )% 9 2 7"8 N'

69

5 A

69 A!

9#F5 % "

)% A"

9 2

9 2 %

!

7b8 Fig. 5-14

SOLUCI2 Di"gr"%" de cuerpo libre# Co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)4b0 l" re"cci'n N' e! perpendicul"r "l e!l"b'n en '# T"%bi1n0 l"!

co%po, nen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de re"cci'n e!$-n repre!en$"d"! en A # Ecu"cione! de equilibrio# Al !u%"r %o%en$o! con re!pec$o " A 0 ob$ene%o! un" !oluci'n direc$" p"r" '0 "

i ,Y

9

9 2 % 9

#

9 2 ) %

#

9 Y

9

99 !en 69\ 2

YW

X

9 C iV X

9#F5 %

99 2

Z

Con e!$e re!ul$"do0 i VW

Z

YW

9 YX

)99 2

99 co! 69\ 2

9 2

 6 6 2

Resp. Resp.

EJE&PLO

5# G

L" ll"(e de cubo que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)5a !e u!" p"r" "pre$"r el perno en A# Si l" ll"(e no gir" cu"ndo !e "plic" l" c"rg" "l %"ne, r"l0 de$er%ine el p"r de $or!i'n o el %o%en$o "plic"do "l perno * l" +uer." de l" ll"(e !obre el perno# SOLUCI2

El di"gr"%" de cuerpo libre p"r" l" ll"(e !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)5b# D"do que el perno "c$<" co%o Di"gr"%" de cuerpo libre#

un !opor$e +i@o0 e@erce l"! co%ponen$e! de +uer." A! * A" * un %o%en$o MA !obre l" ll"(e en A # 699 %%

Ecu"cione! equilibrio#

de

5

YW

i VW

9

9

A 5

2

5 )6

YX

)

2

i

,

Y

9

,

Y

5

)6

,

Y

5

5 2

5

69 !en 9\ 2

Resp.

)

2 9#6 %

69 !en 9\ 2 9#F %

6# 2

Resp.

%

A"

MA#

MA

%o%en$o de p"r e! un (ec$or libre * repre!en$" l" re!i!$enci" del perno " gir"r !obre l" ll"(e# Por l" $ercer" le* de 2e3$on0 l" ll"(e e@erce un %o%en$o o p"r de $or!i'n igu"l pero opue!$o !obre el perno# Ade%-!0 l" +uer." re!ul$"n$e !obre l" ll"(e e!

VY 

F4#) 2 F4#9

Resp.



"unque !'lo pueden e!cribir!e tres ecu"cione! indepen, dien$e! de equilibrio p"r" un cuerpo rígido0 e! un buen -bi$o revisar lo! c-lculo! %edi"n$e un" cu"r$" ecu"ci'n de equilibrio# Por e@e%plo0 lo! c-lculo! "n$eriore! !e pueden (eri+ic"r en p"r$e "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o (M 2OTAM

)6

9

A!

Ob!er(e que en e!$" !u%"$ori" de %o%en$o! debe incluirse

5#99

69 2

7"8

F4#9 2

YX

"

9

5#99 2

9

9

(

Resp.

YW

C iV X

499 %%

)6 )

69 co! 9\ 2

)6

'

9#6 %

9#4 % )6 )

E!$e

(

"

5

5 2

! 7b 8

Fig. 5-15

9

69 2

"

9

i

,

[

5

)

2 9#4 %

)# 2 %

6# 2 %

6# 2 %

F4#9 2 9#F %

5)#G 2 %

9

9

EJE&PLO

5# J De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l* (er$ic"l de re"cci'n !obre el ele%en$o en el p"!"dor A0 * l" re"cci'n nor%"l en el rodillo ' de l" +igur" 5,)a# SOLUCI2

En l" +igur" 5#) b !e %ue!$r" el di"gr"%" de cuerpo libre# El p"!"dor en A e@erce do! co%ponen$e! de re"cci'n !obre el ele%en$o0 A! * A"# Di"gr"% " de cuerpo libre#

F59 lb 6 pie!

F59 lb 6 pie!

6 pie!

6 pie!

A A!

A

 pie!

5

"

A"

 pie!

'

'

!

69

7"8

69

7b8

N'

Fig. 5-16

Ecu"cione! de equilibrio# L" re"cci'n ' puede ob$ener!e direc tamente "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A pue!$o que A! * A" no producen %o%en$o! con re!pec$o " A # "

i

-A

9

H' co! 69\7 pie!8 9

H' !en 69\7 pie!8

'

56# lb

F59 lb76 pie!8

56 lb

Resp.

Con e!$e re!ul$"do i

#!

C i# "

9

9

A!

756# lb 8 !en 69\

A!

G lb

A"

756# lb8 co! 69\

9

Resp.

9 A"

F59 lb Resp.

G lb

EJE&PLO

5#)9

L" b"rr" uni+or%e li!" que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)Fa e!$- !o%e, $id" " un" +uer." * " un %o%en$o de p"r# Si l" b"rr" e!$- !opor$"d" en A por un" p"red li!"0 * en ' * ( por rodillo! coloc"do! en l" p"r$e !uperior o in+erior0 de$er%ine l"! re"ccione! en e!o! !opor$e!# 2o $o%e en cuen$" el pe!o de l" b"rr"# "

% 4%

%

(

4999 2 %

%

'

699 2 %

4% 4999 2 %

69

69

7b8 Fig. 5-17

Si u$ili."%o! el !i!$e%" coorden"do !0 " que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)Fb0 $ene%o! [X ]

"

i ,Y

9

ZX]

!en 69\

YW

9

C iV X

9

!en 69\

69\

699 2 9 Z X]

[X]

[X]

%

co! 69\ 4999 2

ZX ]

7)8 78

co! 768

%

%

699 co! 69\ 2 G %

9

Al e!cribir l" ecu"ci'n de %o%en$o!0 debe ob!er("r!e que l" líne" de "cci'n de l" co%ponen$e de +uer." 699 !en 69\ 2 p"!" por el pun$o A *0 por lo $"n$o0 e!$" +uer." no e!$- incluid" en l" ecu"ci'n de %o%en$o!# Al re!ol(er !i%ul$-ne"%en$e l"! ecu"cione!  * 6 ob$ene%o! )999#9 2

' "R

) N2

Resp.

Resp. ("R )64#4 2 )#65 N2 Co%o '"R e! un e!c"l"r neg"$i(o0 el !en$ido de B"R e! opue!$o "l del di"gr"%" de cuerpo libre de l" +igur" 5,)F b# Por con!iguien$e0 el rodillo !uperior ubic"do en ' !ir(e co%o !opor$e en (e. del in+e, rior# Se re$iene el !igno neg"$i(o p"r" '"R 7Rpor qu18 * "l !u!$i$uir lo! re!ul$"do! en l" ecu"ci'n )0 ob$ene%o!

)64#4 !en 69\ 2

7

%

)999#9 !en 69\ 28

YW

69

B" R

Ecu"cione! de equilibrio#

9

69

7"8

Co%o !e (e en l" +igur" 5,)F b0 $od"! l"! re"ccione! de !opor$e "c$<"n en +or%" nor%"l " l"! !uper+icie! de con$"c$o *" que dic"! !uper+icie! !on li!"!# Se %ue!$r" que l"! re"ccione! en ' * ( "c$<"n en l" direcci'n "R po!i$i("# E!$o "ce !uponer que lo! rodillo! ubic"do! "l +ondo de l" b"rr" !'lo !e u!"n p"r" !opor$e#

iV

! !R

A!

Di"gr"%" de cuerpo libre#

W

69

699 2 69

A

C" R

SOLUCI2

"R

9

5

)F6

YW

2

Resp.

EJE&PLO

5#)) L" r"%p" uni+or%e del c"%i'n que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)G a pe!" 499 lb * e!$- "r$icul"d" "l b"!$idor del c"%i'n en c"d" l"do "!i%i!%o0 !e %"n$iene en l" po!ici'n %o!$r"d" %edi"n$e lo! do! c"ble! l"$er"le!# De$er%ine l" $en!i'n en lo! c"ble!# SOLUCI2 En l" +igur" 5,)G b !e %ue!$r" el %odelo ide"li."do de l" r"%p"0 que indic" $od"! l"! di%en!ione! * !opor$e! nece!"rio!# Aquí el cen$ro

7"8

de gr"(ed"d e!$- loc"li."do "pro/i%"d"%en$e uni+or%e#en el pun$o %edio *" que l" r"%p" e! A p"r$ir del %odelo ide"li."do0 el di"gr"%" de cuerpo libre de l" r"%p" !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)Gc# Di"gr"%" de cuerpo libre#

Al !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A !e $endr- un" !oluci'n direc$" p"r" l" $en!i'n en el c"ble# Si !e u!" el principio de %o%en$o!0 "* ("ri"! %"ner"! de de$er%in"r el %o%en$o de T con re!pec$o " A# Si u!"%o! l"! co%ponen$e! ! * "0 con T "plic"d" en '0 $ene%o! Ecu"cione! de equilibrio#

5 '

 pie!G 9

5 pie! 69

"

A

i

9

,

Y

4

pie

co! 9\ F !en 69\ pie

7b8

4

499 lb 5 co! 69\ pie

!en 9\ F co! 69\

9

)45 lb

4

L" %"ner" %-! !i%ple de c"lcul"r el %o%en$o de T con re!pec$o " A e! de!co%ponerl" en co%ponen$e! " lo l"rgo * de %"ner" perpen, dicul"r " l" r"%p" en '# En$once!0 el %o%en$o de l" co%ponen$e " lo l"rgo de l" r"%p" e! cero con re!pec$o " A0 por lo que "

'

"

9

i

9

,

4

Y

!en )9\ F pie!

499 lb 5 co! 69\ pie

9 )45 lb

4

T

!

 pie!

G

499 lb 5 pie! 69

D"do que do! c"ble! !opor$"n l" r"%p"0 )9

A

4]

A!

Resp.

A"

4



F) lb

7c8 Fig. 5-18

2OTAM

co%o e@ercicio0 de%ue!$re que A!

)66 lb * A"

GGF#4 lb#

EJE&PLO

5#)

De$er%ine l"! re"ccione! del !opor$e !obre el ele%en$o que !e %ue!, $r" en l" +igur" 5,)a# El coll"r en A e!$- +i@o "l ele%en$o * puede de!li."r!e (er$ic"l%en$e " lo l"rgo del e@e (er$ic"l# 99 2

99 2

)#5 %

)#5 %

)#5 % )%

A

)#5 % )%

A!

A

"

MA

45

599 2 %

599 2 %

'

45

'

! 7" 8

N'

7b8 Fig. 5-19

SOLUCI2

5

En l" +igur" 5,) b !e %ue!$r" el di"gr"%" de cuerpo libre del ele%en$o# El coll"r e@erce un" +uer." ori.on$"l A! * un %o%en$o MA !obre el ele%en$o# L" re"cci'n N' del rodillo !obre el ele%en$o e! (er$ic"l# Ecu"cione! de equilibrio# L"! +uer."! A! * ' pueden c"lcul"r!e direc$"%en$e " p"r$ir de l"! ecu"cione! de equilibrio de +uer."# Di"gr"%" de cuerpo libre#

i

#!

9 C i# "

9

A!

9

' 9 '

99 2

Resp.

Resp.

99 2

El %o%en$o - A puede de$er%in"r!e "l !u%"r lo! %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A o bien con re!pec$o "l pun$o '# "

,

i

9

-A

99 27)#5 %8

Y

-A

9

i

99 2 H6 %

)4G 2 %

)#4 N2

7) %8 co! 45\

9

Resp.

%b

o bien "

599 2 %

-'

-A -A

%b

99 2 H)#5 % )4G 2 %

7) %8 co! 45\ )#4 N2

599 2 % Resp.

9

El !igno neg"$i(o indic" queMA $iene el !en$ido de ro$"ci'n opue!$o "l del di"gr"%" de cuerpo libre#

5#4

Ele%en$o! de do! * $re! +uer."!

L"! !olucione! de "lguno! proble%"! de equilibrio pueden!i%pli+ic"r!e "l iden$i+ic"r lo! ele%en$o! que e!$-n !o%e$ido! " !'lo do! o $re! +uer."!#

' A

Ele%en$o! de do! +uer."! Co%o lo indic" !u no%bre0 un ele mento de dos fuerzas $iene +uer."! "plic"d"! en !'lo do! pun$o! !obre el ele%en$o# Un e@e%plo !e %ue!$r" en l" +igur" 5,9a# P"r" !"$i!+", cer el equilibrio de +uer."!0 FA * F' deben $ener l" %i!%" %"gni$ud0 #A #' #0 pero direcci'n opue!$" 7F 080 +igur" 5,9b# Ade%-!0 el equilibrio de %o%en$o! requiere que FA * F' co%p"r$"n l"

El e!l"b'n A' del cuc"r'n de l" re$roe/c"("dor" e! un e@e%plo $ípico de un ele%en$o de do! +uer, ."!0 *" que e!$- conec$"do %edi"n$e p"!"dore! en !u! e/$re%o! *0 !i no !e $o%" en cuen$" !u pe!o0 nin, gun" o$r" +uer." "c$<" !obre e!$e ele%en$o#

%i!%"de "cci'n0 lo cu"l !'lo puede ocurrir !i e!$-n dirigid"! " lo l"rgo líne" de l" líne" que une " lo! pun$o! A * ' 7MA 0 o bien M' 080 +igur" 5,9c# Por lo $"n$o0 p"r" que cu"lquier ele%en$o de do! +uer, ."! e!$1 en equilibrio0 l"! do! +uer."! que "c$<"n !obre 1l deben tener la misma magnitud, actuar en direcciones opuestas " tener la misma línea de acción, dirigida a lo largo de la línea que une los puntos donde act%an estas fuerzas# A

5

#A

#'

A

'

#A

#

A

'

#' #'

7"8

El e!l"b'n que !e u!" e! p"r"un+ren"r e!$e ("g'n de +erroc"rril ele%en$o de $re! +uer."!# Co%o l" +uer." F' en l" b"rr" ' * F( de!de el e!l"b'n en ( !on p"r"lel"!0 p"r" logr"r el equilibrio l" +uer." re!ul$"n$e FA en el p"!"dor A $"%bi1n debe !er p"r"lel" " e!$"! do! +uer."!#

O

) A

#

' #'

#A

#A

(

#(

#A

A

'

#

# 7b8

7c8

Ele%en$o de do! +uer."! Fig. 5-20

Ele%en$o! de $re! +uer."! Si un ele%en$o e!$- !o%e$ido " !'lo tres fuerzas0 !e deno%in" elemento de tres fuerzas # El equilibrio de %o%en$o !e puede !"$i!+"cer !'lo !i l"! $re! +uer."! +or%"n un !i!, $e%" de +uer."! concurrentes o paralelas. P"r" ilu!$r"r e!$o0 con!idere el ele%en$o !o%e$ido " l"! $re! +uer."! F)0 F * F60 que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,)a# Si l"! líne"! de "cci'n de F) * F !e in$er!ec"n en el pun$o O0 en$once! l" líne" de "cci'n de F6 tambi&n debe p"!"r por el pun$o O0 de %odo que l"! +uer."! !"$i!+"g"n MO 0# Co%o c"!o e!peci"l0 !il"! $re! +uer."! !on p"r"lel"!0 +igur" 5,)b0 l" ubic"ci'n del pun$o de in$er, !ecci'n0 O0 !e "pro/i%"r- "l in+ini$o#

#'

O

L" plu%" de e!$e ele("dor e! un ele%en, $o de $re! +uer."!0 !in $o%"r en cuen$" !u pe!o# Aquí0 l"! líne"! de "cci'n del pe!o del $r"b"@"dor0 W0 * l" +uer." del ele%en$o de do! +uer."! 7cilindro idr-ulico8 en '0 F'0 !e in$er!ec"n en O# P"r" el equilibrio de %o%en$o0 l" +uer." re!ul$"n$e en el p"!"dor A0 FA0 $"%bi1n debe e!$"r dirigid" "ci" O#

F

F)

F

F6

F)

7b8

7"8

Ele%en$o de $re! +uer."!

F6

F i g . 5 2 1

5


EJE&PLO L" p"l"nc"


5#)6 A'(

e!$-

"r$icul"d" en

* conec$"d" "

A

un

e!l"b'n

cor$o 499 2

(

'+ 0 co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5, a# Si el pe!o del ele%en, $o e! in!igni+ic"n$e0 de$er%ine l" +uer." del p"!"dor !obre l" p"l"n, c" en A # 9#5 % 9# %

SOLUCI2 Di"gr"%"! de cuerpo libre#

'

Co%o !e (e en l" +igur" 5, b0 el

e!l"b'n cor$o '+ e! un elemento+de* 'dosdeben fuerzas lo que l"! fuer* zas resultantes p"!"dore! opue!$"! en lo! !er0 por igu"le!0 coline"le!# Aunque l" %"gni$ud de l" +uer." e! un" inc'gni$"0 l" líne" de "cci'n e! conocid" *" que p"!" por ' * +# L" p"l"nc" A'( e! un elemento de tres fuerzas0 por lo $"n$o0 p"r" !"$i!+"cer el equilibrio de %o%en$o0 l"! $re! +uer."! no p"r"lel"! que "c$<"n !obre l" p"l"nc" deben !er concurren$e! en O0 +igur" 5, c# En p"r$icul"r0 ob!er(e que l" +uer." F !obre l" p"l"nc" en ' e! igu"l pero opue!$" " l" +uer." F que "c$<" en ' !obre el e!l"b'n# RPor qu1 L" di!$"nci" (O debe !er de 9#5 % *" que l"! líne"! de "cci'n de F * l" +uer." de 499 2 !on conocid"!# Co%o !e requiere que el !i!$e%" de +uer."! !e" concurren$e en O0 * *" que  -O 90 el -ngulo que de+ine l" líne" de "cci'n de FA puede de$er%in"r!e por $rigono%e, $rí"0

9# %

A +

9#) % 7"8

#

5

' 45


#

+

7b8 9#5 %

#

 6) $"n

9#F

499 2

(

O 45

9#6\ 9#4

Con lo! e@e! !0 " * l" "plic"ci'n de l"! ecu"cione! de equilibrio de +uer."!0

9#5 %

45

VY co! i VW

9#6\

 co! 45\

499 2

9# %

9

'

45

u

# A

9

VY !en

9#6\

 !en 45\

9

C iV X

9 Al de!pe@"r0 ob$ene%o!

FA

VY

)#9F

Resp.

9#) % 7c8

N2

 N2

)#6

Fig. 5-22

9#4 %





$"%bi1n pode%o! re!ol(er e!$e proble%" por l" repre!en, $"ci'n de l" +uer." en A %edi"n$e !u! do! co%ponen$e! A! * A" * l" "plic"ci'n de -A 90 #! 90  #" 9 " l" p"l"nc"# Un" (e. de$er%in"d"! A! * A"0 pode%o! ob$ener #A * # 2OTAM

P;OBLE&AS KU2DA&E2TALES /odas las soluciones a los problemas deben incluir un +(0.

De$er%inel"! co%ponen$e! de re"cci'n en el !opor, $e +i@o ubic"do en A. El gro!or de l" (ig" no cuen$"# F5-4.

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en lo! !opor$e!# De!precie el gro!or de l" (ig"# F5-1.

99 2

99 2

99 2

599 lb 5

4

99 lb pie

6

)%

6%

A

)%

69

)%

499 2

'

5 pie!

5 pie!

5 pie! 9

A

F5-1

F5-4

5

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" re"cci'n !obre l" (ig" en (# F5-2.

L" b"rr" de 5 Ng $iene un cen$ro de %"!" en G# Si l" b"rr" !e !o!$iene %edi"n$e un" cl"(i@" li!" en (0 un rodillo en A * un" cuerd" A'0 de$er%ine l"! re"ccione! en e!$o! !opor$e!# F5-5.

4 N2 )#5 %

)#5 % 9#6 %

'

9# %

(

A

)#5 %

9#5 %

69

A

)5

+

F5-2

F5-5

L" "r%"dur" !e !o!$iene %edi"n$e un p"!"dor en A * un rodillo en '# De$er%ine l"! re"ccione! de !opor$e# F5-3.

De$er%ine l"! re"ccione! en lo! pun$o! de con$"c$o li!o! A0 ' * ( de l" b"rr"# F5-6.

)9 N2 %

4% 59 2

% 5 N2

'

4% A

A

69

9

9#4 %

45

9# % F5-3

F5-6

9#)5 %

P;OBLE&AS /odas las soluciones a los problemas deben incluir un +(0. De$er%ine l"! re"ccione! nor%"le! en A * ' en el proble%" 5,)# 5.11.

5.12. De$er%ine l" $en!i'n en l" cuerd" * l"! co%po, nen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el !opor$e A de l" (ig" en el proble%" 5,4# •5-13.

5-20. El ("g'n de +erroc"rril $iene un pe!o de 4 999 lb * un cen$ro de gr"(ed"d en G# E!$- !u!pendido de l" (í" en !u! p"r$e! del"n$er" * $r"!er" %edi"n$e !ei! ll"n$"! ubic", d"! en A0 ' * (# De$er%ine l"! re"ccione! nor%"le! !obre e!$"! ll"n$"! !i !e !upone que l" (í" e! un" !uper+icie li!" * que0 $"n$o en l"! ll"n$"! del"n$er"! co%o en l"! $r"!er"!0 !e !o!$iene un" porci'n equi("len$e de l" c"rg"#

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l

de l" re"cci'n en ( * l"5,5# $en!i'n en el c"ble A' p"r" l" "r%"dur" del proble%" De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en A * l" $en!i'n en el c"ble '( !obre l" plu%" del proble%" 5,# 5-14.

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l* (er$ic"l de l" re"cci'n en A * l" re"cci'n nor%"l en ' !obre l" ll"(e de or, quill" del proble%" 5,F# 5-15.

5-16. De$er%ine l"! re"ccione! nor%"le! en A * ' * l" +uer." en el e!l"b'n (+ que "c$<" !obre el ele%en$o del proble%" 5,G#

G

(

 pie! 4 pie!

De$er%ine l"! re"ccione! nor%"le! en lo! pun$o! de con$"c$o en A0 ' * ( de l" b"rr" que !e %ue!$r" en el proble%" 5,# •5-17.

'

A

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l* (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor ( * l" +uer." en el $rinque$e del

5 pie!

5-18.

Prob.

%"l"c"$e que !e %ue!$r" en el proble%" 5,)9# 5-19. Co%p"re l" +uer." e@ercid" !obre l" pun$" del pie * el $"l'n de un" %u@er de )9 lb cu"ndo c"l." ."p"$o! nor, %"le! * cu"ndo lle(" ."p"$o! de $"c'n# Supong" que $odo !u pe!o rec"e !obre uno de !u! pie! * que l"! re"ccione! ocurren en lo! pun$o! A * ' que !e %ue!$r"n en l" +igur"#

5-20

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" $en!i'n de!"rroll"d" en el c"ble '( que !e u!" p"r" !o!$ener el b"!$idor de "cero# •5-21.

)9 lb )9 lb

9 N2 )%

)%

)%

'

69 N2 % 6%

5

A

)#5 pulg

'

A

'

4

6

9#F5 pulg 6#F5 pulg Prob. 5-19

Prob. 5-21

5

L" plu%" "r$icul"d" de l" gr<" $iene un pe!o de )5 lb * cen$ro de gr"(ed"d en G# Si !o!$iene un" c"rg" de 99 lb0 de$er%inel" +uer." que "c$<" en elp"!"dor A * l" +uer." en el cilindro idr-ulico '( cu"ndo l" plu%" e!$- en l" po!ici'n %o!$r"d"# 5-22.

El $r"n!+or%"dor el1c$rico de 699 lb con cen$ro de gr"(ed"d en G !e !o!$iene %edi"n$e un p"!"dor en A * un" pl"$"+or%" li!" en '# De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" re"cci'n de l" pl"$"+or%" ' !obre el $r"n!+or%"dor# •5-25.

)#5 pie! 4 pie! A

) pie

G

A

'

6 pie!

G pie! 49

G

) pie '

(

Prob. 5-22

5 Prob. 5-25 5-23.

El "c$u"dor neu%-$ico en + !e u!" p"r" "plic"r un" +uer." de # 99 2 !obre el ele%en$o en '# De$er%ine lo! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" +uer." del e@e li!o ubic"do en ( !obre el ele, %en$o#

5-26.

5-24. El "c$u"dor neu%-$ico en + !e u!" p"r" "plic"r un" F !obre el ele%en$o en '# L" re"cci'n nor%"l en el e@e li!o ubic"do en ( !obre el ele%en$o e! de 699 2# De$er, %ine l" %"gni$ud de F * l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A #

(+ * l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el codo '# El "n$ebr".o que !o!$iene "l !i!$e%" puede %odel"r!e co%o el !i!$e%" e!$ruc$ur"l que !e %ue!$r" en l" p"r$e in+erior de l" +igur"#

En l" p"r$e !uperior de l" !iguien$e +igur" !e %ue!, $r" un di"gr"%" e!quel1$ico de un" %"no !o!$eniendo un" c"rg"# Si l" c"rg" * el "n$ebr".o $ienen %"!"! de  Ng * )# Ng0 re!pec$i("%en$e0 * !u! cen$ro! de %"!" !e loc"li."n en G) * G0 de$er%ine l" +uer." de!"rroll"d" en el bícep!

+

G)

(

( '

)5

A

99 %%

G +

'

A

9

+

G)

(

F5

'

99 %%

99 %% Probs. 5-2324

F

A

)99 %%

G

)65 %%

Prob. 5-26

5 %%

Cu"ndo !e "plic"n lo! +reno! de un "(i'n0 l" rued" +ron$"l e@erce do! +uer."! !obre el e/$re%o del $ren de "$e, rri."@e co%o !e %ue!$r" en l" +igur"# De$er%ine l"! co%, ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor ( * l" +uer." en el $ir"n$e A'# 5-27.

L" %"!" de F99 Ng !e !u!pende de un $role c"rg", dor que !e %ue(e " lo l"rgo del riel de!de d )#F % "!$" d 6#5 %# De$er%ine l" +uer." " lo l"rgo del $ir"n$e "r$icu, l"do '( 7e!l"b'n cor$o8 * l" %"gni$ud de l" +uer." en el p"!"dor A co%o un" +unci'n de l" po!ici'n d# :r"+ique lo! re!ul$"do! de #'( * #A 7e@e (er$ic"l8 con$r" d 7e@e ori, .on$"l8# •5-29.

d (

A

' 69

499 %%

(

9

%

A

99 %%

'

)#5 %

 N2 5

Prob. 5-29

 N2

Si l" +uer." de # )99 lb !e "plic" " l" %"ni@" del dobl"dor de b"rr"!0 de$er%ine l"! co%ponen$e! (er$ic"l * ori.on$"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" re"cci'n del rodillo ' !obre l" b"rr" li!"# 5-30.

Prob. 5-27

Si !e requiere que l" +uer." del rodillo li!o en ' !obre el dobl"dor de b"rr"! !e" de )#5 Nip0 de$er%ine l"! co%ponen$e! (er$ic"l * ori.on$"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" %"gni$ud de l" +uer." F que !e "plic" " l" %"ni@"# 5-31.

5-28. El $ubo de de!"gê de )#4 &g !e !o!$iene en l"! b"rr"! del %on$"c"rg"!# De$er%ine l"! +uer."! nor%"le! en A * ' co%o +uncione! del -ngulo de inclin"ci'n * gr", +ique lo! re!ul$"do! de l"! +uer."! 7e@e (er$ic"l8 con$r" 7e@e ori.on$"l8 p"r" 9 _ _ 9\#

(

49 pulg

F

9

9#4 % A

'

u

'

A

5 pulg

Prob. 5-28

Probs. 5-3031

5-32. El br".o de l" gr<" !e !o!$iene %edi"n$e un p"!", dor en ( * l" ("rill" A'# Si l" c"rg" $iene un" %"!" de  &g con !u cen$ro de %"!" loc"li."do en G0 de$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor ( * l" +uer." de!"rroll"d" en l" ("rill" A' !obre l" gr<" cu"ndo ! 5 %#

El "r%".'n !e !o!$iene %edi"n$e el ele%en$o A' que de!c"n!" !obre el pi!o li!o# Cu"ndo el "r%".'n e!$c"rg"do0 l" di!$ribuci'n de pre!i'n !obre A' e! line"l co%o !e %ue!$r" en l" +igur"# De$er%ine l" longi$ud d del ele%en$o A' * l" in$en!id"d 1 p"r" e!$e c"!o# 5-35.

El br".o de l" gr<" !e !o!$iene %edi"n$e un p"!", dor en ( * l" ("rill" A'# L" ("rill" puede !opor$"r un" $en!i'n %-/i%" de 49 N2# Si l" c"rg" $iene un" %"!" de  &g con !u cen$ro de %"!" loc"li."do en G0 de$er%ine l" %-/i%" di!$"nci" ! per%i!ible * l"! co%ponen$e! ori.on, $"l * (er$ic"l corre!pondien$e! de l" re"cci'n en (# •5-33.

4 pie!

F pie! 4%

A

G99 lb A

'

6# % 5

9# %

(

'

1 d

Prob. 5-35 +

G

!

Probs. 5-3233

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" +uer." nor%"l en l" cl"(i@" li!" ' !obre el ele%en$o# 5-34.

5-36. Lo! ele%en$o! A * ' !e u$ili."n p"r" e!$"bili."r l" gr<" * e(i$"r que !e (uelque "l le("n$"r c"rg"! %u* gr"n, de!# Si !e (" " le("n$"r un" c"rg" de 6 &g0 de$er%ine el má!imo -ngulo de l" plu%" de %odo que l" gr<" no !e (uelque# L" gr<" $iene un" %"!" de 5 &g * cen$ro de %"!" en G(0 %ien$r"! que l" plu%" $iene un" %"!" de 9# &g * cen$ro de %"!" en G'#

4#5

G' 9#4 %

5 G(

( u

69

9#4 % '

A

#

99 2

#G A

9

9#F #

Prob. 5-34

Prob. 5-36

El $"bl'n de %"der" que de!c"n!" en$re do! edi+i, cio! !e +le/ion" liger"%en$e cu"ndo !o!$iene " un" per!on" de 59 Ng# E!$" +le/i'n c"u!" un" di!$ribuci'n $ri"ngul"rde c"rg" en !u! e/$re%o!0 con in$en!id"de! %-/i%"! de 1A * 1'# C"lcule 1A * 1'0 c"d" un" %edid" en 2Q%0 cu"ndo l" per!on" e!$- p"r"d" " 6 % de uno de lo! e/$re%o! co%o !e %ue!$r" en l" +igur"# P"!e por "l$o l" %"!" de l" pl"nc"# •5-37.

A

5-40. El en!"%ble de l" pl"$"+or%" $iene un pe!o de 59 lb * !u cen$ro de gr"(ed"d e!$- en G)# Si !e quiere !opor$"r un" c"rg" %-/i%" de 499 lb coloc"d" en el pun$o G0 de$er%ineel con$r"pe!o ) %íni%o que debe ubic"r!e en ' p"r" e(i$"r un" (olc"dur" de l" pl"$"+or%"#

' G

1'

1A

6%

 pie!

%

9#45 %

 pie!

9#6 % G)

5 Prob. 5-37

G pie!

'

El re!or$e (+ per%"nece en l" po!ici'n ori.on$"l en $odo %o%en$o debido "l rodillo en +# Si el re!or$e no !e e!$ir" cu"ndo 9\ * l" %1n!ul" logr" !u po!ici'n de 5-38.

+

(

 pie! ) pie

) pie

equilibrio cu"ndo 69\0 de$er%ine l" rigide. * del re!or, ori.on$"l $e * l"! co%ponen$e! * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A#

Prob. 5-40

El re!or$e (+ per%"nece en l" po!ici'n ori.on, $"l en $odo %o%en$o debido "l rodillo en +# Si el re!or$e no !e e!$ir" cu"ndo 9\ * l" rigide. del re!or$e e! * )#5 N2Q%0 de$er%ine el %íni%o -ngulo requerido p"r" el equilibrio * l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A #

De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" re"cci'n del coll"r li!o ' !obre l" b"rr"#

5-39.

+ *

(

•5-41.

(

9#45 % 699 lb

459 lb '

9# % '

u

+ 69

A

#

A

4 pie!

699 2 ) pie

Probs. 5-3839

 pie!

) pie

Prob. 5-41

De$er%ine l"! re"ccione! de !opor$e del rodillo A * el coll"r li!o ' !obre l" b"rr"# El coll"r e!$- +i@o " l" b"rr" A'0 pero puede de!li."r!e " lo l"rgo de l" b"rr" (+# 5-42.

5-44. De$er%ine l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" +uer." en el p"!"dor A * l" re"cci'n en el !opor$e de %ecedor" ' de l" (ig" cur("#

599 2

A

99 2

99 2 )%

)% )9 )5

(

45

%

'

%

99 2 % +

45

A

'

Prob. 5-42

Prob. 5-44

5

L" b"rr" uni+or%e A' $iene un pe!o de )5 lb# De$er, %ine l" +uer." en el c"ble cu"ndo l" b"rr" e!$- en l" po!i, ci'n %o!$r"d"# 5-43.

L" gr<" de pi!o * el conduc$or $ienen un pe!o $o$"l de 599 lb con un cen$ro de gr"(ed"d en G# Si !e requiere que l" gr<" le("n$e un b"rril de 599 lb0 de$er%ine l" re"c, ci'n nor%"l !obre ambas rued"! en A * ambas rued"! en ' cu"ndo l" plu%" e!$- en l" po!ici'n %o!$r"d"# •5-45.

conduc$or * el de pe!o $o$"l de 599L"lbgr<" con de unpi!o cen$ro gr"(ed"d$ienen en Gun # De$er%ine el pe!o %-/i%o del b"rril que puede le("n$"r l" gr<" !in que e!$o c"u!e un" (olc"dur" cu"ndo l" plu%" e!$- en l" po!ici'n %o!$r"d"# 5-46.

'

#

) pie!

5 pie! 6 pie! 69

A

+

( )9

(

69

 pie! G

T

,

A

'

G#4 pie! # pie! Prob. 5-43

)#4 pie! Probs. 5-4546

El %o$or $iene un pe!o de G59 lb# De$er%ine l" +uer." que e@erce c"d" un" de l"! c"den"! !obre lo! g"n, co! de !opor$e en A0 ' * (# P"!e por "l$o el $"%">o de lo! g"nco! * el gro!or de l" (ig"# 5-47.

G59 lb

)#5 pie!

A

( ' )9

De$er%ine l" +uer." %íni%" / en el c"ble * el -ngu, lo crí$ico que "r- que l" c"%ione$" co%ience " (olc"r!e0 e! decir0 p"r" que l" re"cci'n nor%"l en A !e" igu"l " cero# Supong" que l" c"%ione$" e!$- +ren"d" * no p"$in"r- en '# L" c"%ione$" $iene un" %"!" $o$"l de 4 &g * cen$ro de %"!" en G# 5-51.

9#5 pie ) pie

El c"ble de !u@eci'n de un" c"%ione$" re%olc"dor" e!$- !o%e$ido " un" +uer." de /  N2 cu"ndo el c"ble $iene un" direcci'n 9\# De$er%ine l"! %"gni$ude! de l" +uer." $o$"l F de +ren"do por +ricci'n p"r" el p"r de rue, d"! $r"!er"! ' * de l"! +uer."! nor%"le! $o$"le! en las dos rued"! del"n$er"! A * l"! do! rued"! $r"!er"! ' p"r" logr"r el equilibrio# L" c"%ione$" $iene un" %"!" $o$"l de 4 &g * cen$ro de %"!" en G# 5-50.

)9

69

u )#5 %

A

'

%

Prob. 5-47

#5 %

F

)#5 %

Probs. 5-5051

5-48. De$er%ine l" +uer." P nece!"ri" p"r" @"l"r el rodi, llo de 59 Ng !obre el e!c"l'n li!o# Con!idere que 9\# De$er%ine l" %"gni$ud * l" direcci'n de l" +uer, ." %íni%" P nece!"ri" p"r" @"l"r el rodillo de 59 Ng !obre el e!c"l'n li!o# •5-49.

5-52. Tre! libro! igu"le!0 c"d" uno con pe!o ) * lon, gi$ud a0 e!$-n coloc"do! co%o !e %ue!$r"# De$er%ine l" di!$"nci" d %-/i%" que el libro !uperior puede !obre!"lir con re!pec$o "l de l" b"!e !in que !e c"ig"#

P

u

9#) % 9# %

6% T

'

a

A 9

Probs. 5-4849

Prob. 5-52

d

5

De$er%ine el -ngulo con el que el e!l"b'n A'( !e %"n$iene en equilibrio !i el ele%en$o '+ !e %ue(e  pulg " l" derec"# Lo! re!or$e! e!$-n srcin"l%en$e !in e!$ir"r cu"ndo 9\# C"d" re!or$e $iene l" rigide. que !e %ue!$r"# Lo! re!or$e! per%"necen ori.on$"le! porque e!$-n unido! " guí"! de rodillo# •5-53.

*(#

5-56. L" (ig" ori.on$"l e!$- !opor$"d" por re!or$e! en !u! e/$re%o!# Si l" rigide. del re!or$e loc"li."do en A e! *A 5 N2Q%0 de$er%ine l" rigide. requerid" en el re!or$e ubic"do en ' de %"ner" que !i l" (ig" !e c"rg" con G99 2 per%"ne.c" en po!ici'n ori.on$"l# Lo! re!or$e! e!$-n con!, $ruido! srcin"l%en$e de %odo que l" (ig" %"n$eng" l" po!ici'n ori.on$"l cu"ndo e!$- de!c"rg"d"#

)99 lbPpie (

# u

L" (ig" ori.on$"l e!$- !opor$"d" por re!or$e! en !u! e/$re%o!# C"d" re!or$e $iene un" rigide. de * 5 N2Q% * srcin"l%en$e no e!$- e!$ir"do cu"ndo l" (ig" !e encuen$r" en po!ici'n ori.on$"l# De$er%ine el -ngulo de inclin"ci'n de l" (ig" !i !e "plic" un" c"rg" de G99 2 en el pun$o ( co%o !e %ue!$r"# 5-55.

 pulg +

G99 2 #

'

(

 pulg

5

A

'

,

*A,

599 lbPpie

A

)% 6% Prob. 5-53

Probs. 5-5556

L" b"rr" uni+or%e A' $iene un pe!o de )5 lb * el re!or$e no !e e!$ir" cu"ndo 9\# Si 69\0 de$er%ine l" rigide. * del re!or$e# 5-54.

•5-57. Lo! di!co! li!o! + *  $ienen un pe!o de 99 lb )99 lb0 re!pec$i("%en$e# Si un" +uer." ori.on$"l de P

99 lb !e "plic" "l cen$ro del di!co 0 de$er%ine l"! re"c, cione! nor%"le! en lo! pun$o! de con$"c$o con el !uelo en A0 ' * (# Lo! di!co! li!o! + *  $ienen un pe!o de 99 lb * )99 lb0 re!pec$i("%en$e# De$er%ine l" +uer." ori.on$"l P %-/i%" que puede "plic"r!e "l cen$ro del di!co  !in oc", !ion"r que el di!co + !e %ue(" "ci" "rrib" por el pl"no inclin"do# 5-58.

 pie! A

u 6 pie!

* '

)#5 pie!

5

4

) pie

6

P

+

,

A '

Prob. 5-54

*

(

Probs. 5-5758

Un @o(en e!$- de pie en el e/$re%o de un $r"%po, lín0 el cu"l !e !o!$iene por %edio de lo! re!or$e! ubic"do! en A * '0 c"d" re!or$e $iene rigide. * )5 N2Q%# En l" po!ici'n %o!$r"d" el $r"%polín e!$- ori.on$"l# Si el @o(en $iene un" %"!" de 49 Ng0 de$er%ine el -ngulo de incli, n"ci'n que +or%" el $r"%polín con l" ori.on$"l de!pu1! de que !"l$" "l "gu"# Ignore el pe!o del $r"%polín * !upong" que e! rígido# 5-59.

Si el re!or$e '( no !e e!$ir" con 9\ * l" p"l"n, c" "ngul"r logr" !u po!ici'n de equilibrio cu"ndo )5\0 de$er%ine l" +uer." F "plic"d" en +or%" perpendicul"r "l !eg%en$o A+ * l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A# El re!or$e '( per%"nece en l" po!ici'n ori.on$"l en $odo %o%en$o debido "l rodillo en (# •5-61.

*

 N2%

(

' F

)59 )%

u

699 %%

6%

A +

'

A

499 %% 5

Prob. 5-61 Prob. 5-59

5-60. L" b"rr" uni+or%e $iene un" longi$ud l * un pe!o )# E!$- !opor$"d" en un e/$re%o A por un" p"red li!" * en el o$ro e/$re%o por un" cuerd" de longi$ud s0 l" cu"l e!$- unid" " l" p"red co%o !e %ue!$r" en l" +igur"# De%ue!$re que p"r" logr"r el equilibrio !e requiere que 2 H7s l 8Q6I)Q#

L" ("rill" delg"d" de longi$ud l e!$- !opor$"d" por el $ubo li!o# De$er%ine l" di!$"nci" a nece!"ri" p"r" el equilibrio !i l" c"rg" "plic"d" e! P# 5-62.

a

(

A

r 2

'

s

l P

A

l '

Prob. 5-60

Prob. 5-62

P;OBLE&AS CO2CEPTUALES L" b"rr" de !u@eci'n !e u!" p"r" !o!$ener el (ol", do " l" en$r"d" de un edi+icio# Si e!$- conec$"do %edi"n$e p"!"dore! " l" p"red del edi+icio en A * "l cen$ro del (ol", do '0 de$er%ine !i l" +uer." en l" b"rr" !e incre%en$"r-0 di!%inuir- o per%"necer- igu"l !i 7a8 el !opor$e en A !e %ue(e " un" po!ici'n + %-! b"@"0 * 7 b8 el !opor$e en ' !e %ue(e " un" po!ici'n ( %-! cerc"n" " l" orill"# E/plique !u re!pue!$" con un "n-li!i! de equilibrio0 u!"ndo di%en, !ione! * c"rg"!# Supong" que el (ol"do e!$- !o!$enido %edi"n$e p"!"dore! en l" p"red del edi+icio# P5-5.

Co%o cu"lquier "(i'n0 e!$e @e$ de!c"n!" !obre $re! rued"!# RPor qu1 no u!"r un" rued" "dicion"l en l" col" p"r" $ener un %e@or !opor$e 7Pien!e en "lgun" r".'n p"r" no incluir e!$" rued"8# Si ubier" un" cu"r$" rued" en l" col"0 $r"ce un di"gr"%" de cuerpo libre del @e$ de!de un" (i!$" l"$er"l 7 D80 * %ue!$re por qu1 no e! po!ible de$er, %in"r l"! re"ccione! en $od"! l"! rued"! con l"! ecu"cione! de equilibrio# P5-7.

A

+

5

(

'

P5-7 P5-5

El o%bre $r"$" de @"l"r l" cu"$ri%o$o "ci" "rrib" por el pl"no inclin"do * !obre l" pl"$"+or%" de l" c"%io, ne$"# De!de l" po!ici'n que !e %ue!$r"0 R!er- %-! e+ec$i(o %"n$ener l" cuerd" "$"d" en A0 o !erí" %e@or "$"rl" "l e@e de l"! rued"! del"n$er"! en ' Tr"ce un di"gr"%" de cuer, po libre * "g" un "n-li!i! de equilibrio p"r" e/plic"r !u re!pue!$"# P5-6.

RCu-l e! el %e@or !i$io p"r" "co%od"r l" %"*orí" de lo! $ronco! en l" c"rre$ill"0 de %odo que !e %ini%ice el $"%">o de l" +uer." que "c$<" !obre l" colu%n" (er$ebr"l de l" per!on" que $r"n!por$" l" c"rg" `"g" un "n-li!i! de equilibrio p"r" e/plic"r !u re!pue!$"# *P5-8.

A '

P5-6

P5-8

6F



EUILIB;IO E2 T;ES DI&E2SIO2ES

5#5

Di"gr"%"! de cuerpo libre

El pri%er p"!o p"r" re!ol(er proble%"! $ridi%en!ion"le! de equilibrio0 co%o en el c"!o de lo! bidi%en!ion"le!0 e! $r"."r un di"gr"%" de cuer, po libre# Sin e%b"rgo0 "n$e! de %o!$r"r e!$o0 e! nece!"rio "n"li."r lo! $ipo! de re"cci'n que pueden pre!en$"r!e en lo! !opor$e!# ;e"ccione! de !opor$e# En l" $"bl" 5,0 !e %ue!$r"n l"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r re"c$i(o! que "c$<"n en ("rio! $ipo! de !opor, $e! * cone/ione!0 cu"ndo lo! ele%en$o! !e (en en $re! di%en!ione!# E! i%por$"n$e reconocer lo! !í%bolo! u!"do! p"r" repre!en$"r c"d" uno de e!o! !opor$e! * en$ender cl"r"%en$e c'%o !e de!"rroll"n l"! +uer, ."! * lo! %o%en$o! de p"r# Igu"l que en el c"!o bidi%en!ion"lM Un" +uer." !e de!"rroll" %edi"n$e un !opor$e que re!$ringe l" $r"!, l"ci'n de !u ele%en$o conec$"do#  Un %o%en$o de p"r !e de!"rroll" cu"ndo !e e(i$" l" ro$"ci'n del ele%en$o conec$"do# 

Por e@e%plo0 en l" $"bl" 5,0 l" @un$" 748 de r'$ul" e!+1ric" i%pide cu"lquier $r"!l"ci'n del ele%en$o conec$"do por lo $"n$o0 un" +uer, ." debe "c$u"r en el ele%en$o en el pun$o de cone/i'n# E!$" +uer." $iene co%ponen$e! $re! co%ponen$e! con %"gni$ude! de!conocid"! #!0 #"0 #z# Si e!"! !on conocid"!0 !e puede ob$ener l" %"gni$ud de l" V  +uer."  V X V ? 0 * l" orien$"ci'n de l" +uer." e!$W de+ini, d" por lo! -ngulo! direc$ore! coorden"do! 0 0 0 ecu"cione! ,F# D"do que el ele%en$o conec$"do puede gir"r libre%en$e con re!pec$o " cualquier e@e0 ningun" @un$" de r'$ul" e!+1ric" re!i!$e%o%en$o "lguno de p"r# Debe ob!er("r!e que en lo! !opor$e! de cu%"cer" 758 * 7F80 !e %ue!$r" que cada p"!"dor 7G8 * l" "r$icul"ci'n %nica 78 deben re!i!$ir co%ponen$e! $"n$o de +uer." co%o de %o%en$o de p"r# Sin e%b"rgo0 !i e!o! !opor$e! !e u!"n @un$o con otras cu%"cer"!0 p"!"dore!0o "r$icu, l"cione! p"r" %"n$ener un cuerpo rígido en equilibrio * lo! !opor$e! e!$-n alineados adecuadamente cu"ndo !e conec$"n "l cuerpo0 en$once! l"! reacciones de fuerza en e!o! !opor$e! pueden por sí solas !er "de, cu"d"! p"r" !opor$"r el cuerpo# En o$r"! p"l"br"!0 lo! %o%en$o! de p"r re!ul$"n redund"n$e! * no !e %ue!$r"n en el di"gr"%" de cuerpo libre# L" r".'n de e!$o !e "cl"r" de!pu1! de e!$udi"r lo! e@e%plo! que !iguen#

L"! $re! inc'gni$"! $"%bi1n !e pueden repre!en$"r co%o un" %"gni$ud de +uer." de!conocid" # * do! -ngulo! direc$ore! coorden"do!#El $ercer -ngulo direc$or !e ob$iene

5

6G

CAPÍTULO 5 EUILIB;IO con l" iden$id"d co!

co!


co!

)0 ecu"ci'n ,G#

6J


TABLA 5,


Sopor$e! p"r" cuerpo! rígido! !o%e$ido! " !i!$e%"! de +uer."! $ridi%en!ion"le!

Tipo! de cone/i'n

;e"cci'n

7)8


F

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" "le@-ndo!e del ele%en$o en l" direcci'n conocid" del c"ble# c"ble

78

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" !uper+icie en el pun$o de con$"c$o# 5

F

Sopor$e !uper+ici"l li!o

768

Un" inc'gni$"# L" re"cci'n e! un" +uer." que "c$<" perpendicul"r%en$e " l" !uper+icie en el pun$o de con$"c$o# F

rodillo

748

F.

Tre! inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on $re! co%po, nen$e! rec$"ngul"re! de +uer."# F!

F"

r'$ul" e!+1ric"

758

M. F.

M!

cu%"cer" !i%ple

F!

Cu"$ro inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on do! +uer, ."! * do! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r que "c$<"n perpendicul"r%en$e "l e@e# ota3 por lo gener"l0 lo! %o%en$o! de p"r no !e "plic"n !i el cuerpo e!$- !opor$"do en cu"lquier o$ro pun$o# Ve" lo! e@e%plo!#

contin%a

49



TABLA 5, Con$inu"ci'n Tipo! de cone/i'n

;e"cci'n


78 M. F. M"

M!

cu%"cer" !i%ple con +lec" cu"dr"d"

F!

7F8

M. F"

M!

Cinco inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on do! +uer."! * $re! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r# ota3 por lo gener"l0 lo! %o%en$o! de p"r no !e "pli, c"n !i el cuerpo e!$- !opor$"do en cu"lquier o$ro pun$o# Ve" lo! e@e%plo!#

Cinco inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on $re! +uer."! * do! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r# ota3 en gener"l0 lo! %o%en$o! de p"r no !e "plic"n !i el cuerpo e!$- !opor$"do en cu"lquier o$ro pun$o# Ve" lo! e@e%plo!#

F. F!

cu%"cer" de e%pu@e !i%ple

M.

7G8

F.

F"

F

M"

!

p"!"dor li!o !i%ple

Cinco inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on $re! +uer."! * do! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r# ota3 por lo gener"l0 lo! %o%en$o! de p"r no !e "pli, c"n !i el cuerpo e!$- !opor$"do en cu"lquier o$ro pun$o# Ve" lo! e@e%plo!#

M.

78 F. F"

F!

Cinco inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on $re! +uer."! * do! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r# ota3 por lo gener"l0 lo! %o%en$o! de p"r no !e "pli, c"n !i el cuerpo e!$- !opor$"do en cu"lquier o$ro pun$o# Ve" lo! e@e%plo!#

M!

bi!"gr" !i%ple

7)98 M. F.

F! M!

!opor$e +i@o

F"

M"

Sei! inc'gni$"!# L"! re"ccione! !on $re! +uer."! * $re! co%ponen$e! de %o%en$o de p"r#

5

En l" !iguien$e !erie de +o$ogr"+í"! !e %ue!$r"n e@e%plo! $ípico! de !opor$e! re"le!0 cu*"! re+erenci"! e!$-n en l" $"bl" 5,#

5

E!$" @un$" de r'$ul" e!+1ric" propor, cion" un" cone/i'n p"r" l" c"@" de un" %-quin" ni(el"dor" de $ierr" con !u b"!$idor# 748

E!$" cu%"cer" !i%ple !opor$" el e/$re%o de l" +lec"# 758

E!$" cu%"cer" de e%pu@e !e u!" p"r" !opor$"r l" +lec" i%pul!or" de un" %-quin"# 7F8

E!$e p"!"dor !e u!" p"r" !opor$"r el e/$re%o de un $ir"n$e u!"do en un $r"c$or#

Di"gr"%"! de cuerpo libre# El procedi%ien$o gener"l p"r" e!$"blecer el di"gr"%" de cuerpo libre de un cuerpo rígido !e bo!que@' en l" !ecci'n 5## En e!enci"0 !e requiere pri%ero "i!l"r el cuerpo por %edio del deline"do de !u con$orno# A e!$o !igue un" cuid"do!" rotulación de todas l"! +uer."! * %o%en$o! de p"r con re+erenci" " un !i!$e%" coorden"do !0 "0 z e!$"blecido# Se !ugiere %o!$r"r l"! co%, ponen$e! de re"cci'n con %"gni$ud de!conocid" en cu"n$o "c$<"n en el di"gr"%" de cuerpo libre en sentido positivo# De e!$e %odo0 !i !e ob$ienen ("lore! neg"$i(o!0 e!$o indic"r- que l"! co%ponen$e! "c$<"n en l"! direccione! coorden"d"! neg"$i("!#

EJE&PLO

5#)4

Con!idere l"! do! b"rr"! * l" pl"c"0 @un$o con !u! di"gr"%"! de cuer, po libre "!oci"do! que !e %ue!$r"n en l" +igur" 5,6# Lo! e@e! !0 "0 z !e e!$"blecen en el di"gr"%" * l"! co%ponen$e! de re"cci'n de!, conocid"! e!$-n indic"d"! consentido positivo# El pe!o de lo! ob@e$o! no !e con!ider"#

. B.

(

45 2 %

SOLUCI2

C!

45 2 %

'

C"

A

B!

"

A"

! A.

599 2 Cu%"cer"! en A0 '0 (0 "line"d"! "propi"d"%en$e#

599 2

L"! re"ccione! de +uer." de!"rroll"d"! %edi"n$e l"! cu%"cer"! !on !u+icien$e! p"r" ob$ener el equilibrio *" que i%piden que l" +lec" gire con re!pec$o " c"d" uno de lo! e@e! coorden"do!# .

5

MA. A.

A

MA! A!

(

A"

"

99 lb [ pie

99 lb pie !

699 lb

T

699 lb

'

'

&edi"n$e el p"!"dor coloc"do !obre l" b"rr"0 !e de!"rroll"n co%ponen$e! de %o%en$o p"r" i%pedir ro$"cione! con re!pec$o " lo! e@e! ! * z#

P"!"dor en A * c"ble en '( #

.

499 lb

499 lb

C.

A.

(

C!

A A!

C"

!

" B.

'

Cu%"cer" "line"d" "propi"d"%en$e en A * bi!"gr" en (# ;odillo en '# Fig. 5-23

&edi"n$e l" cu%"cer" * l" (i!"gr" coloc"d" !obre l" pl"c"0 !e de!"rroll"n !'lo re"ccione! de +uer." p"r" i%pedir ro$"cione! con re!pec$o " c"d" e@e coorden"do# En l" bi!"gr" no !e de!"rroll" ning
5#

Ecu"cione! de equilibrio

Co%o !e e!$"bleci' en l" !ecci'n 5#)0 l"! condicione! p"r" logr"r el equilibrio de un cuerpo rígido !o%e$ido " un !i!$e%" $ridi%en!ion"l de +uer."! requieren que l" +uer." resultante * el %o%en$o de p"r resul tante que "c$<"n !obre el cuerpo !e"n igu"le! " cero#

Ecu"cione! (ec$ori"le! de equilibrio# L"! do! condicione! p"r" logr"r el equilibrio de un cuerpo rígido pueden e/pre!"r!e %"$e, %-$ic"%en$e en +or%" (ec$ori"l co%o 9 9

iF iM P

5

75,58

donde F e! l" !u%" (ec$ori"l de $od"! l"! +uer."! e/$ern"! que "c$<"n !obre el cuerpo * MO e! l" !u% " de lo! %o%en$o! de p"r * lo! %o%en, $o! de $od"! l"! +uer."! con re!pec$o " cu"lquier pun$o O loc"li."do en el cuerpo o +uer" de 1l#

Ecu"cione! e!c"l"re! de equilibrio# Si $od"! l"! +uer."! e/$ern"! * lo! %o%en$o! de p"r "plic"do! !e e/pre!"n en +or%" (ec$o, ri"l c"r$e!i"n" * !e !u!$i$u*en en l"! ecu"cione! 5,50 $ene%o! iF

i VX !

i VWi i V?"

i MP

,i ," i

i

0 i

W

0

?

,! X

Co%o l"! co%ponen$e! i0 ! * " !on independien$e! en$re !í0 l"! ecu"cio, ne! "n$eriore! !e !"$i!+"cen !ie%pre que i VW

9 9 9

i VX i V?

75,a8

*

i

9 9 9

,

W

i

,

i

X

75,b8

?

E!$"! seis ecuaciones escalares de equilibrio pueden u!"r!e p"r" re!ol(er cu"ndo %uco !ei! inc'gni$"! %o!$r"d"! en el di"gr"%" de cuerpo libre# L"! ecu"cione! 5,a e/igen que l" !u%" de l"!

co%ponen$e! e/$ern"!de +uer." que "c$<"n en l"! direccione! !0 " * z !e" igu"l " cero "!i%i!, %o0 l"! ecu"cione! 5,b requieren que l" !u%" de l"! co%ponen$e! de %o%en$o con re!pec$o " lo! e@e! !0 " * z0 !e" igu"l " cero#

46


5#F


;e!$riccione! * de$er%in"ci'n e!$-$ic"

P"r" "!egur"r el equilibrio de un cuerpo rígido0 no !'lo e! nece!"rio !"$i!+"cer l"! ecu"cione! de equilibrio0 !ino que el cuerpo $"%bi1n debe e!$"r !o!$enido o re!$ringido propi"%en$e por !u! !opor$e!# Alguno! cuerpo! pueden $ener %-! !opor$e! que lo! nece!"rio! p"r" el equili, brio0 %ien$r"! que o$ro! pueden no $ener !u+icien$e! o e!$"r coloc"do! de $"l %"ner" que oc"!ionen el%o(i%ien$o del cuerpo# A con$inu"ci'n !e "n"li." c"d" uno de e!o! c"!o!#

redund"n$e!# Cu"ndo un cuerpo $iene !opor$e! ;e!$riccione! redund"n$e!0 e! decir0 %-! de lo! nece!"rio! p"r" %"n$enerlo en equili, brio0 !e (uel(e e!$-$ic"%en$e inde$er%in"do#státicamente indetermi nado signi+ic" que "br- %-! c"rg"! de!conocid"! !obre el cuerpo que ecu"cione! de equilibrio di!ponible! p"r" !u !oluci'n# Por e@e%plo0 l" (ig" de l" +igur" 5,4 a0 * el en!"%ble de $ubo! de l" +igur" 5,4 b0 que !e %ue!$r"n @un$o con !u! di"gr"%"! de cuerpo libre0 !on e!$-$ic"%en, $e inde$er%in"do! debido " l"! re"ccione! "dicion"le! 7o redund"n$e!8 en lo! !opor$e!# P"r" l" (ig" "* cinco inc'gni$"!0 -A0 A!0 A"0 '" * ("0 p"r" l"! cu"le! !'lo !e pueden e!cribir $re! ecu"cione! de equilibrio 7#! 90  #" 9 *  -O 90 ecu"cione! 5,8# El en!"%ble de $ubo! $iene oco inc'gni$"!0 p"r" l"! cu"le! !'lo !e pueden e!cribir !ei! ecu", cione! de equilibrio0 ecu"cione! 5,# L"! ecu"cione! "dicion"le! nece!"ri"! p"r" re!ol(er proble%"! e!$-, $ic"%en$e inde$er%in"do! del $ipo que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,4 !e ob$ienen gener"l%en$e " p"r$ir de l"! condicione! de de+or%"ci'n pre!en$e! en lo! pun$o! de !opor$e# E!$"! ecu"cione! i%plic"n l"! pro, pied"de! +í!ic"! del cuerpo que !e e!$udi"n en $e%"! rel"cion"do! con l" %ec-nic" el-!$ic"0 co%o l" %ec-nic" de %"$eri"le!#

. B.

'

B! M!

B"

M"

M.

499 2 499 2 99 2 A

99 2

A.

"

! A"

7b8 Ve" ;#C# ìbbeler0 -ecánica de materiales0 F"# ed#0 Pe"r!on Educ"$ionQPren$ice `"ll0 Inc#

599 2  N2 % A

'

(

5

" A"

!

599 2

 N2 % A!

MA

B" 7"8

Fig. 5-24

C"

;e!$riccione! i%propi"!# Cu"ndo !e $ienen $"n$"! +uer."! re"c$i("! de!conocid"! co%o ecu"cione! de equilibrio0 no !ie%pre !e g"r"n$i." que un cuerpo !e encuen$re e!$"ble cu"ndo e!$- !o%e$ido " un" c"rg" p"r$icul"r# Por e@e%plo0 el !opor$e de p"!"dor en A * el !opor$e de rodillo en ' p"r" l" (ig" de l" +igur" 5,5a0 e!$-n coloc"do! de $"l %odo que l"! líne"! de "cci'n de l"! +uer."! de re"cci'n !on concurrentes en un pun$o A# En con!ecuenci"0 l" c"rg" P "plic"d" oc", !ion"r- que l" (ig" gire un poco con re!pec$o " A0 por lo que l" (ig" e!$- i%propi"%en$e re!$ringid"0 -A ? 9# En $re! di%en!ione!0 un cuerpo e!$"r- i%propi"%en$e re!$ringido !i l"! líne"! de "cci'n de $od"! l"! +uer."! re"c$i("! in$er!ec"n un e@e co%
5

P

P

F'

A!

A

A

'

A"

7"8

.

.

A

A!

A"

A

P

B!

' P

'

!

! "

A.

B" B.

"

7b8

Fig. 5-25

P

P

'

A

A FA

"

F'

! 7"8

.

F' F(

'

FA

(

A

)99 2

5

"

)99 2 !

7b8

Fig. 5-26

O$r" %"ner" en que un" re!$ricci'n i%propi" conduce " l" ine!$"bi, lid"d ocurre cu"ndo $od"! l"! fuerzas de reacción !on paralelas# En l" +igur" 5, !e %ue!$r"n e@e%plo! bidi%en!ion"le! * $ridi%en!ion"le! de e!$o# En "%bo! c"!o!0 l" !u%" de +uer."! " lo l"rgo del e@e ! no !erigu"l " cero# En "lguno! c"!o!0 un cuerpo puede $ener menos +uer."! de re"cci'n que ecu"cione! de equilibrio que deben !er !"$i!+ec"!# En$once!0 el cuer, po e!$- !'lo parcialmente restringido# Por e@e%plo0 con!idere el ele%en$o A' de l" +igur" 5,Fa con !u corre!pondien$e di"gr"%" de cuerpo libre en l" +igur" 5,Fb# Aquí0  #" 9 no !er- !"$i!+ec" p"r" l"! condicione! de c"rg"0 * por lo $"n$o no !e %"n$endr- el equilibrio# P"r" re!u%ir e!$o! pun$o!0 un cuerpo !e con!ider" impropiamente restringido !i $od"! l"! +uer."! de re"cci'n !e in$er!ec"n en un pun$o co%
)99 2

'

A

'

7"8

)99 2

FA

F'

7b8 Fig. 5-27

Pun$o! i%por$"n$e!    

Al re!ol(er cu"lquier proble%" de equilibrio0 !ie%pre $r"ce pri%ero el di"gr"%" de cuerpo libre# Si un !opor$e evita la traslación de un cuerpo en un" direcci'n e!pecí+ic"0 en$once! el !opor$e e@erce un" fuerza !obre el cuerpo en e!" direcci'n# Si un !opor$e evita la rotación con respecto a un e$e 0 en$once! el !opor$e e@erce un momento de par !obre el cuerpo con re!pec$o "l e@e# Si un cuerpo e!$- !o%e$ido " %-! re"ccione! de!conocid"! que ecu"cione! de equilibrio di!ponible!0 en$once! el proble%" e! estáticamente indetermi nado#



Un cuerpo e!$"ble requiere que l"! líne"! de "cci'n de l"! +uer."! re"c$i("! no in$er!equenun e@e co%
Procedi%ien$ o p"r" el "n-li!i! 5

Lo! proble%"! de equilibrio $ridi%en!ion"l p"r" un cuerpo rígido pueden re!ol(er!e por el !iguien$e procedi%ien$o# Di"gr"%" de cuerpo libre#  Tr"ce el con$orno del cuerpo#  &ue!$re $od"! l"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r que "c$<"n !obre elcuerpo#  E!$"ble.c" el srcen de lo! e@e! !0 "0 z en un pun$o con(enien$e * orien$e lo! e@e! de %"ner" que !e"n p"r"lelo! " l"! +uer."! * %o%en$o! e/$erno! $"n$o co%o !e" po!ible#  ;o$ule $od"! l"! c"rg"! * e!peci+ique !u! direccione! rel"$i("! " lo! e@e! !0 "0 z# En gener"l0 %ue!$re $od"! l"! co%ponen$e! desconocidas con un sentido positivo " lo l"rgo de lo! e@e! !0 "0 z#  Indique l"! di%en!ione! del cuerpo nece!"ri"! p"r" c"lcul"r lo! %o%en$o! de l"! +uer."!# Ecu"cione! de equilibrio#  Si l"! co%ponen$e! !0 "0 z de +uer." * %o%en$o p"recen +-cile! de de$er, %in"r0 en$once! "plique l"! !ei! ecu"cione! e!c"l"re! de equilibrio de o$r" %"ner"0 u!e l"! ecu"cione! (ec$ori"le!#  2o e! nece!"rio que el con@un$o de e@e! !eleccion"do! p"r" l" !u%"$ori" de +uer."! coincid" con el con@un$o de e@e! elegido! p"r" l" !u%"$ori" de %o%en$o!# En re"lid"d0 p"r" re"li."r l" !u%" de +uer."! * %o%en$o! pue, de elegir!e un e@e en cu"lquier direcci'n "rbi$r"ri"#  Eli@" l" direcci'n de un e@e p"r" l" !u%" de %o%en$o! de %"ner" que in$er, !eque l" líne" de "cci'n de l"! +uer."! de!conocid"! $"n$o co%o !e" po!ible# Teng" en cuen$" que lo!%o%en$o! de l"! +uer."! que p"!"n por lo! pun$o! !obre e!$e e@e * l"! +uer."! que !on p"r"lel"! "l e@e !er-n igu"le! " cero#  Si l" !oluci'n de l"! ecu"cione! de equilibrio d" co%o re!ul$"do un e!c"l"r neg"$i(o p"r" un" %"gni$ud de +uer." o de %o%en$o de p"r0 e!$o indic" que el !en$ido e! con$r"rio "l !upue!$o en el di"gr"%" de cuerpo libre#

EJE&PLO

5#)5

L" pl"c" o%og1ne" que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Ga $iene un" %"!" de )99 Ng * e!$- !o%e$id" " un" +uer." * un %o%en$o de p"r " lo l"rgo de !u! borde!# Si e!$- !opor$"d" en el pl"no ori.on$"l por %edio de un rodillo en A0 un" r'$ul" e!+1ric" en ' * un" cuerd" en (0 de$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n en e!$o! !opor$e!#

699 2 99 2 % )#5 %

(

A

6% %

SOLUCI2 4A506767 ,7(A0AR8 Di"gr"%" de cuerpo libre# `"* cinco re"ccione! de!conocid"!

'

que "c$<"n !obre l" pl"c"0 co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Gb# Se !upone que c"d" un" de e!"! re"ccione! "c$<" en un" direcci'n coor, den"d" po!i$i("#

7"8

.

Co%o l" geo%e$rí" $ridi%en!ion"le! b"!$"n$e !encill"0 un análisis escalar proporcion" un" solución directa " e!$e proble%"# Un" !u%" de +uer."! " lo l"rgo de c"d" e@e re!ul$" en Ecu"cione! de equilibrio#

i VW

Resp.

ZW

9

9

Resp.

i VX

ZX

i V?

Y?

9

9

9

9

G) 2

i

, ,

4[

W

%

G) 2 ) %

Z?

%

78

6%

99 768

X

G) 2 )#5 %

Z?

6%

Y?

L"! co%ponen$e! de l" +uer." en ' !e pueden eli%in"r !i lo! %o%en, $o! !e !u%"n con re!pec$o " lo! e@e! !R* "R# Ob$ene%o! i

9 i

9

, ,

W]

G) 2 ) % 9

699 2  %

Y?

%

748

X]

699 2 )#5 % % 9

4[ 6

)#5 %

.R !

A.

G) 2 )#5 %

99 2

%

758

;e!ol(er l"! ecu"cione! ) " 60 o l"! %-! con(enien$e! )0 4 * 50 d"

"

)#5 %

)% B!

B"

!R

7b 8

9

9

9 699 2 )#5 % 2 % 9

)%

B.

7)8

699 2

4[

Z?

;ecuerde que el %o%en$o de un" +uer." con re!pec$o " un e@e e! igu"l "l produc$o de l" %"gni$ud de l" +uer." * l" di!$"nci" perpen, dicul"r 7br".o de %o%en$o8 de!de l" líne" de "cci'n de l" +uer." "!$" el e@e# A!i%i!%o0 l"! +uer."! que !on p"r"lel"! " un e@e o p"!"n por 1l no gener"n %o%en$o con re!pec$o "l e@e# Por con!iguien$e0 "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o " lo! e@e! ! * " po!i$i(o!0 $ene%o! i

699 2 99 2 % G) 2 T(

Fig. 5-28

"R

5

co%o re!ul$"do Y? F9 2 El !igno neg"$i(o indic" que

)F 2 "c$<" "ci" "b"@o#

Z?

Bz

4[

F9F 2

l" !oluci'n de e!$e proble%" no requiere el u!o de un" !u%"$ori" de %o%en$o! con re!pec$o "l e@e z# L" pl"c" e!$- p"rci"l, %en$e re!$ringid"0 *" que lo! !opor$e! no pueden i%pedir que gire re!pec$o del e@e z !i !e "plic" un" +uer." en el pl"no !,"# 2OTAM

Resp.

EJE&PLO

5#) De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n que e@ercen l" @un$" de r'$ul" e!+1ric" ubic"d" en A0 l" cu%"cer" li!" en ' * el !opor$e de rodillo en (0 !obre el en!"%ble de b"rr"! que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,a# .

.

99 2 A!

+

A

9#4 %

! 9#4 %

99 2

9#4 %

(

A"

9# % "

' 9#4 %

A

! 9#4 %

9#4 %

A.

9#4 %

B.

9#4 %

7"8

B!

F(

9# % "

7b8

Fig. 5-29

SOLUCI2

5

Co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,Jb0 l"! +uer."! de re"cci'n de lo! !opor$e! e(i$"r-n que el en!"%ble gire con re!pec$o " c"d" e@e coorden"do0 de e!$" %"ner" l" cu%"cer" en ' !'lo e@erce +uer."! de re"cci'n !obre el ele%en$o# Ecu"cione! de equilibrio# Pode%o! ob$ener un" !oluci'n direc$" p"r" A" !i !u%"%o! +uer."! " lo l"rgo del e@e "# Di"gr"%" de cuerpo libre#

9

i #"

A"

Resp.

9 L" +uer." #( puede de$er%in"r!e direc$"%en$e "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l e@e "# i

-"

9

#(79# %8 99 279#4 %8 9 #( 99 2

Resp.

Con e!$e re!ul$"do0 'z puede de$er%in"r!e "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l e@e !# i

-!

9

'z79#G %8

99 27)# %8

99 279#4 %8

9

459 2

'z

Resp.

El !igno neg"$i(o indic" que Bz "c$<" "ci" "b"@o# L" +uer." '! puede encon$r"r!e "l !u%"r %o%en$o! con el re!pec$o "l e@e z# i

-z

'!79#G %8

i #!

9 '!

Resp.

9

9 A!í0 9

Resp.

A!

9

9

9

A!

Por
i #z

9

Az

2 Az

7 459 28 9 F59 2

99 2

99 Resp.

EJE&PLO

5#)F

El pe!c"n$e !e u!" p"r" !o!$ener l" %"ce$" de F5 lb que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,69a# De$er%ine l" $en!i'n de!"rroll"d" en lo! c"ble! A' * A(#

.

(

 pie!  pie!

SOLUCI2

En l" +igur" 5,69 b0 !e %ue!$r" el di"gr"%" de cuerpo libre del pe!c"n$e#

'

Di"gr"%" de cuerpo libre#

6 pie!

O

U!"re%o! un "n-li!i! (ec$ori"l#


A

! F

A'

rA'

#

i

#A' 

6 rA' 6

A'



 F VA'i

F

A(

rA(

# A(

F

#A( 

6

rA(

 F

 pie!8

7

76

 pie!

6 F VYZ"

VYZ !

i

6" pie!

 pie!8

7 

VY[F i

7"8

!

 pie!8

7

6" pie!

!

7 pie!8 pie!8

"

6

V F Y[ !

Fig. 5-30

5

6 76 pie!8

VY["

Pode%o! eli%in"r l" re"cci'n de l" +uer." en O "l e!cribir l" ecu", ci'n de equilibrio del %o%en$o con re!pec$o "l pun$o O# i MP

7FYZ

FY[

VYZ"6 VY[i



rY

W8

0

0

7!8





45 F

F

6

VYZ !

F

VYZi

)G

)  F VYZ

G F VY[

F

) )

459 6 i

V Y[ !

F

F VY[ 6 "

6 F VY["6

7

F5"8 5

0

.

F VYZ i

9

,

W

)G

VYZ

459 F

)G

9F

0

7)8

VY[

 pie! i

9 i

9

, ,

9

X

9 )

?

F

)

VYZ [

(

 pie!

F

9

78

'

VY

Al re!ol(er !i%ul$-ne"%en$e l"! ecu"cione! 7)8 * 780

6 pie!

#"

O

#!

FA' FA(

!

#.

rA

"

A

#A'

#A(

GF#5 lb

Resp.

)

 pie!

7b8

F5 lb

EJE&PLO

5#)G L" b"rr" A' que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,6) a e!$- !o%e$id" " l" +uer." de 99 2# De$er%ine l"! re"ccione! en l" @un$" de r'$ul" e!+1, ric" A * l" $en!i'n en lo! c"ble! '+ * ',# A

SOLUCI2 4A506767 9,(/OR6A08 Di"gr"%" de cuerpo libre# Kigur" 5,6)b# Ecu"cione! de equilibrio# Al repre!en$"r c"d" +uer." del di"gr", %" de cuerpo libre en +or%" (ec$ori"l c"r$e!i"n" $ene%o!

)#5

(

%

)#5

FY

99 2 

YX !

YWi

Ta

+

)

Y?"

4ai

T

'

4 !

99"

F

,

2

Al "plic"r l" ecu"ci'n de equilibrio de +uer."!M 7" 8

iF

.

5

Ta

FY

0

F YW

4a

T 0

99 " i VW

YW

9 A

YX

9

A"

!

7)8

4

78 768

99

Y?

9 "

4a

9

i V?

A!

Y?

0

9

i VX

A.

4 !

YX

i

9 Al !u%"r %o%en$o! con re!pec$o "l pun$o A re!ul$"

i MY

r(

F

r[

Ta

rZ

0 

Co%o

(

r[

9#5i

r'

0 en$once!

rZ

)! 4 !

4ai

99 2

)

0

T

)"

99"

)i

!

"

0

Al de!"rroll"r * reorden"r $1r%ino! !e ob$iene T+

'

i

7b8

9 i

Fig. 5-31

, , ,

99 i

4

T,

9 i

9

W

)99 ! 99

4a 4

4

4a "

0

748 758 78

9 4a

X

)99 ?

4

9 4a

9 Si re!ol(e%o! l"! ecu"cione! de l" ) " l" 5 ob$ene%o!

4 

4a

YW YX Y?

)99 2 59 2 59 2 )99 2 99 2

Resp. Resp.

. Resp. Resp. Resp.

el !igno neg"$i(o indic" que A! * A" $ienen un !en$ido que e! opue!$o "l que !e %ue!$r" en el di"gr"%" de cuerpo libre0 +igur" 2OTAM 5,6)b#

EJE&PLO

5#)J

L" b"rr" dobl"d" que !e %ue!$r" en l" +igur" 5,6a e!$- !opor$"d" en A por un" cu%"cer"0 en + por un" @un$" de r'$ul" e!+1ric"0 * en ' por %edio del c"ble '(# Con !'lo una ecuación de equilibrio0 ob$en, g" un" !oluci'n direc$" p"r" l" $en!i'n en el c"ble '(# L" cu%"cer" en A e! c"p". de e@ercer co%ponen$e! de +uer." !'lo en l"! direccio, ne! z * " pue!$o que e!$- "propi"d"%en$e "line"d" !obre el e@e#

(

A

)%

.

'

SOLUCI2 4A506767 9,(/OR6A08 Di"gr"%" de cuerpo libre# Co%o !e %ue!$r" en l" +igur" 5,6b0 "* !ei! inc'gni$"!# Ecu"cione! de equilibrio# L" $en!i'n T' en el c"ble puede ob$e, ner!e directamente "l !u%"r %o%en$o! con re!pec$o " un e@e que p"!e por lo! pun$o! + * A# RPor qu1 L" direcci'n del e@e e!$- de+i, nid" por el (ec$or uni$"rio $0 donde )

rbY

$

;bY

)

 9#F9F)i

 9#F9F)!

i

,

9#5 % 9#5 % !

)99 Ng

7"8

!

5

Por lo $"n$o0 l" !u%" de lo! %o%en$o! con re!pec$o " e!$e e@e !ercero !ie%pre que $ [ 7r

-+A

F8

"

+

A.

A

9

A"

T'

$

Aquí r repre!en$" un (ec$or de po!ici'n $r"."do de!de cualquier punto !obre el e@e +A "!$" cu"lquier pun$o !obre l" líne" de "cci'n de l" +uer." F 7(e" l" ecu"ci'n 4,))8# Con re+erenci" " l" +igur" 5,

'

.

r'

45

6b0

pode%o! e!cribir

9#5 %

)

G) 2 9#5 %

$

W

+ %!

!

ra

TZ

rZ

r

0

9#F9F)i

9#F9F)!

)!

/'"

7b8

9#5! G)" 9#F9F) ! H 0 49#5 i 9#F9F) 4Z 49#5 9 9

9#F9F) i

0

Fig. 5-32

4Z

Resp.

9

49#5

4Z

2

Co%o lo! br".o! de %o%en$o de!de el e@e "!$" T' * W !on +-cile!

%.

%"

"

de ob$ener0 $"%bi1n pode%o! de$er%in"r e!$e re!ul$"do con un "n-, li!i! e!c"l"r# Co%o !e%ue!$r" en l" +igur" 5,6b0 i

,

bY

9 /Z 7) % !en 45\8 4Z

49#5 2

G) 279#5 % !en 45\8 Resp.

9

P;OBLE&AS KU2DA&E2TALES /odas las soluciones a los problemas deben incluir un +(0. L" pl"c" uni+or%e $iene un pe!o de 599 lb# De$er, %ine l" $en!i'n en c"d" uno de lo! c"ble! de !opor$e# F5-7.

De$er%ine l"! re"ccione! de !opor$e en l"! cu, %"cer"! li!"! A0 ' * ( del en!"%ble de $ubo!# F5-10.

. . A

9# % A

9#4 %

'

459 2

(

"

'

!

99 lb

9# %

"

9# %

 pie!  pie!

(

F5-10

6 pie!

!

5

F5-11. De$er%ine l" +uer." de!"rroll"d" en l"! cuerd"! '+0 ( * (# * l"! re"ccione! de l" @un$" de r'$ul" A !obre el bloque#

F5-7

P"r" l" pl"c" que !e %ue!$r" en l" +igur"0 de$er%i, ne l"! re"ccione! en el !opor$e de rodillo A0 l" @un$" de r'$ul" e!+1ric" + * l" $en!i'n en el c"ble '(# F5-8.

.

.

+

,

'

(

(

99 2 9# %

'

9#4 % 9#4 %

)#5 % 99 2 9#5 %

"

4%

A

9#6 %

A !

#

6%

+

!

 N2

 N2

9#) %

F5-11

F5-8

L" b"rr" !e !o!$iene %edi"n$e cu%"cer"! li!"! ' * ( * e!$- !o%e$id" " l"! do! +uer."! %o!$r"d"!# De$er%ine l"! re"ccione! en lo! !opor$e!# F5-9. en A0

De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n que e@ercen l" cu%"cer" de e%pu@e A * el c"ble '( !obre l" b"rr"# F5-12.

.

.

(

A

!

A

' 992

9# % 9# %

+

9# %

4992 "

#

'

!

+

 pie!

)#5 pie! )#5 pie!

9#4 % (

F5-9

G9 lb

"

F5-12

P;OBLE&AS /odas las soluciones a los problemas deben incluir un +(0. El c"rro de c"rg" !opor$" un" c"@" uni+or%e que $iene un" %"!" de G5 Ng# De$er%ine l"! re"ccione! (er$ic", le! !obre l"! $re! rued"! en A0 ' * (# L" rued" en ' no !e %ue!$r"# 2o $o%e en cuen$" l" %"!" de l" c"rre$ill"# 5-63.

Si P  N20 ! 9#F5 % * " ) %0 de$er%ine l" $en!i'n de!"rroll"d" en lo! c"ble! A'0 (+ * ## `"g" c"!o o%i!o del pe!o de l" pl"c"# •5-65.

De$er%ine l" ubic"ci'n ! * " del pun$o de "plic", ci'n de l" +uer." P de %odo que l" $en!i'n de!"rroll"d" en lo! c"ble! A'0 (+ * # !e" l" %i!%"# P"!e por "l$o el pe!o de l" pl"c"# 5-66.

'

9# %

.

9#) %

A

9#4 % 9# %

9#5 %

' (

9# %

9#65 % 9#65 %

#

P

Prob. 5-63

+

A

!

5

"

,

!

5-64. El po!$e p"r" un" líne" de po$enci" e!$- !o%e$ido " l"! do! +uer."! del c"ble de 9 lb0 c"d" +uer." !e encuen, $r" en un pl"no p"r"lelo "l pl"no !,"# Si l" $en!i'n en l" re$enid" A' e! de G9 lb0 de$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n !0 "0 z en l" b"!e O del po!$e#

(

% %

"

Probs. 5-6566

5-67. Debido " un" di!$ribuci'n de!igu"l del co%bu!$ible en lo! $"nque! de l"! "l"!0 lo! cen$ro! de gr"(ed"d p"r" el +u!el"@e del "(i'n A * l"! "l"! ' * ( !e loc"li."n co%o !e %ue!$r" en l" +igur"# Si e!$o! co%ponen$e! $ienen pe!o! )A 45 999 lb0 )' G999 lb * )( 999 lb0 de$er%ine l"! re"ccione! nor%"le! de l"! rued"! +0  * # !obre el !uelo#

.

9 lb A

45

) pie

.

45

4 pie! 9 lb

G9 lb

+

A (

)9 pie!

'

6 pie!

'

O

" ! Prob. 5-64

G pie! #  pie! G pie! !  pie!

,

4 pie! 9 pie! 6 pie!

Prob. 5-67

"

5-68. De$er%ine l" %"gni$ud de l" +uer." F que debe e@ercer!e !obre l" %"ni(el" en ( p"r" !o!$ener l" c"@" de F5 Ng en l" po!ici'n %o!$r"d"# T"%bi1n0 de$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n en l" cu%"cer" de e%pu@e A * en l" cu%"cer" li!" '#

De$er%ine l" $en!i'n en lo! c"ble! '+ * (+ * l"! co%ponen$e! de re"cci'n !0 "0 z en l" @un$" de r'$ul" e!+1, ric" ubic"d" en A # 5-70.

.

. +

A

9#) %

'

'

9# %

!

6%

699 2

9#5 %

A

)#5 %

"

9# %

(

!

9#) %

9#5 %

F

5

(

)%

Prob. 5-68

"

Prob. 5-70

L" +lec" e!$- !opor$"do por $re! cu%"cer"! li!"!

•5-69.

A0 ' * (# De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n en en e!$o! !opor$e! #

El en!"%ble de b"rr"! !e u!" p"r" !o!$ener el cilin,

5-71.

dro de 59 lb# De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n en l" @un$" de r'$ul" e!+1ric" A0 en l" cu%"cer" li!"  * l" +uer." de!"rroll"d" " lo l"rgo de l" b"rr" (+# L"! cone/io, ne! en ( * + !on @un$"! de r'$ul" e!+1ric"#

. .

99 2 +

99 2

459 2 (

9# % 9# %

!

(

9# %

A

9# %

'

599 2 9# % 9# %

Prob. 5-69

9# % "

) pie

A

!

) pie

) pie

#

) pie

Prob. 5-71

,

)#5 pie!

"

5-72. De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n que "c, $<"n en l"! cu%"cer"! li!"! A0 ' * (#

Si l" c"rg" $iene un pe!o de 99 lb0 de$er%ine l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en l" @un$" de r'$ul" e!+1ric" A * l" $en!i'n en c"d" uno de lo! c"ble!# 5-74.

.

.

459 2

(

 pie! 9# % 699 2 %

A

9#4 % 9#G %

!

4 pie!

 pie!

45

'

+

"

9#4 %

#

6 pie!

A

Prob. 5-72

' !



G

 pie!

"

5

 pie!  pie!

(

Prob. 5-74

De$er%ine l"! co%ponen$e! de +uer." que "c$<"n !obre l" r'$ul" e!+1ric" en A0 l" re"cci'n en el rodillo ' * l" $en!i'n en l" cuerd" (+ nece!"ri"! p"r" el equilibrio de l" pl"c" con +or%" de cu"dr"n$e circul"r# •5-73.

Si el c"ble puede e!$"r !o%e$ido " un" $en!i'n %-, /i%" de 699 lb0 de$er%ine l" +uer." # %-/i%" que puede "plic"r!e " l" pl"c"# C"lcule l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en l" bi!"gr" A p"r" e!$" c"rg"# 5-75.

. . +

659 2

(

 pie!

6 pie!

A

99 2 % )% !

(

99 2

9

Prob. 5-73

6 pie!

6% '

"

"

A

) pie

F

!

'

 pie!

Prob. 5-75

5-76. El ele%en$o !e !o!$iene %edi"n$e un p"!"dor en A * un c"ble '(# Si l" c"rg" en + e! de 699 lb0 de$er%ine l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" $en!i'n en el c"ble '( #

El pe!c"n$e e!$- !opor$"do por un" @un$" de r'$ul" e!+1ric" en A * un" re$enid" en '# Si l"! c"rg"! de 5 N2 !e encuen$r"n en un pl"no que e! p"r"lelo "l pl"no !,"0 de$er, %ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n !0 "0 z en A * l" $en!i'n e/i!$en$e en el c"ble en '# 5-79.

. .

) pie (

5 N2 69

A

 pie!

5 N2

'

 pie!

69

6%

 pie!

!

 pie!

 pie!

"

%

5

'

A

+

"

)#5 %

!

Prob. 5-76 Prob. 5-79 •5-77.

L" pl"c" $iene un pe!o de ) con cen$ro de gr"(e, d"d en G# De$er%ine l" di!$"nci" d " lo l"rgo de l" líne" G: donde l" +uer." (er$ic"l P 9#F5) "r- que l" $en!i'n

5-80. L" puer$" circul"r $iene un pe!o de 55 lb * un cen, $ro de gr"(ed"d en G# De$er%ine l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en l" bi!"gr" A * l" +uer." que "c$<" " lo

en el c"ble (+ !e" cero# 5-78. L" pl"c" $iene un pe!o de ) con cen$ro de gr"(e, d"d en G# De$er%ine l" $en!i'n de!"rroll"d" en lo! "l"%, bre! A'0 (+ * # !i l" +uer." P 9#F5) !e "plic" en d

l"rgo del b"!$'n (' nece!"ri"! p"r" %"n$ener l" puer$" en equilibrio# Con!idere que 45\#

0Q#

L" puer$" circul"r $iene un pe!o de 55 lb * un cen, $ro de gr"(ed"d en G# De$er%ine l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en l" bi!"gr" A * l" +uer." que "c$<" " lo l"rgo del b"!$'n (' nece!"ri"! p"r" !o!$ener l" puer$" en equilibrio# Con!idereque 9\# •5-81.

. . '

0 

G

0



#

d 0

0 " 

!

6 pie!

A

:

!

A

+

P

u

" G

,

'

(

6 pie!

(

Probs. 5-7778

Probs. 5-8081

El ele%en$o A' e!$- !opor$"do en ' %edi"n$e un c"ble * en A por %edio de un" b"rr" cuadrada +i@" que en$r" olg"d"%en$e por el ori+icio cu"dr"do del coll"r# Si F 9i 49! F5"e lb0 de$er%ine l"! co%ponen$e! !0 "0 z de l" re"cci'n en A * l" $en!i'n en el c"ble#

L" pl"c" circul"r $iene un pe!o ) * cen$ro de gr", (ed"d en !u cen$ro# E!$- !o!$enid" por $re! cuerd"! (er$i, c"le! "$"d"! " !u borde de$er%ine l" di!$"nci" d %-/i%" de!de el cen$ro "!$" el pun$o donde !e puede "plic"r cu"l, quier +uer." (er$ic"l P de %"ner" que0 en ninguno de lo! c"ble!0 l" +uer." !e (uel(" cero#

5-82.

•5-85.

El ele%en$o A' e!$- !opor$"do en ' %edi"n$e un c"ble * en A por %edio de un" b"rr" cuadrada +i@" que en$r" olg"d"%en$e en el ori+icio cu"dr"do del coll"r# De$er%ine l" $en!i'n en el c"ble '( !i l" +uer." F d 45"e lb#

5-86. ;e!uel(" el proble%" 5,G5 !i !e p"!" por "l$o el pe!o ) de l" pl"c"#

5-83.

.

G pie!

(

 pie! " '

A

5

P

)9 )9

r

) pie!

)9

(

d

A '

Probs. 5-8586

4 pie! F

!

Probs. 5-8283

5-84. De$er%ine el %-/i%o pe!o del b"rril de pe$r'leo que puede !opor$"r l" gr<" de pi!o !in c"er!e# Inclu!o0 cu-, le! !on l"! re"ccione! (er$ic"le! en l"! rued"! li!"! A0 ' * ( p"r" e!$e c"!o# L" gr<" de pi!o $iene un pe!o de 699 lb0 con !u cen$ro de gr"(ed"d ubic"do en G#

Un" %e!" cu"dr"d" uni+or%e que $iene un pe!o ) * l"do! de %"gni$ud a !e !o!$iene %edi"n$e $re! p"$"! (er, $ic"le!# De$er%ine l" %íni%" +uer." (er$ic"l P que puede "plic"r!e " !u p"r$e !uperior p"r" oc"!ion"r l" (olc"dur" de l" %e!"# 5-87.

.

)9 pie!

aP aP

6 pie!

69

a

)#5pie!

G

(

A

#5 pie! #5 pie!

 pie! 4 pie!

) pie "

'

!

Prob. 5-84

Prob. 5-87

;EPASO DEL CAPÍTULO .

&'$i(ibrio

Un cuerpo en equilibrio no gir" pero puede $r"!l"d"r!e con (elocid"d con!$"n$e0 o no !e %ue(e#

F

F)

iF

0 iM

0

F4

F6

"

O

!

%os

5

)i*+,sio,+s

An$e! de "n"li."r el equilibrio de un cuer, po0 e! nece!"rio $r"."r pri%ero un di"gr"%" de cuerpo libre# E!$e di"gr"%" e! un" +or, %" deline"d" que %ue!$r" $od"! l"! +uer."! * lo! %o%en$o! de p"r que "c$<"n !obre el cuerpo# Lo! %o%en$o! de p"r pueden coloc"r!e en cu"lquier pun$o en un di"gr"%" de cuerpo libre pue!$o que !on (ec$ore! libre!# L"! +uer, ."! pueden "c$u"r en cu"lquier pun$o " lo l"rgo de !u líne" de "cci'n *" que !on (ec$ore! de!, li."n$e!#

%

599 2 % (

A )%

'

%

69

599 2 %

A!

T )%

"

A"

Lo! -ngulo! u!"do! p"r" de!co%poner +uer, ."!0 * l"! di%en!ione! e%ple"d"! p"r" $o%"r lo! %o%en$o! de l"! +uer."!0 $"%bi1n deben %o!$r"r!e en el di"gr"%" de cuerpo libre#

69

!

A con$inu"ci'n !e pre!en$"n en do! di%en!io, ne! "lguno! $ipo! co%une! de !opor$e! * !u! re"ccione!# ;ecuerde que un !opor$e e@ercer- un" +uer." !obre el cuerpo en un" direcci'n p"r$icul"r !i e(i$" l" $r"!l"ci'n del cuerpo en e!" direcci'n0 * e@ercer- un %o%en$o de p"r !obre el cuerpo !i e(i$" un" ro$"ci'n# F"

F"

F

u u

u

F

M

F

rodillo

L"! $re! ecu"cione! e!c"l"re! de equilibrio 9 pueden "plic"r!e "l re!ol(er proble%"! en do! 9 di%en!ione!0 *" que l" geo%e$rí" e! +-cil de (i!u"li."r#

9

p"!"dor o bi!"gr" li!" i VW i VX i ,P

!opor$e +i@o

;EPASO DEL

P"r" l" !oluci'n %-! direc$"0 $r"$e de !u%"r +uer."! " lo l"rgo de un e@e que eli%ine $"n, $"! +uer."! de!conocid"! co%o !e" po!ible # Su%e %o%en$o! con re!pec$o " un pun$o A que p"!e por l" líne" de "cci'n de $"n$"! +uer, ."! de!conocid"! co%o !e" po!ible#

P)

9

i VW

9

9

YW

YW

9

d'

9

9)D) 9)D)

ZX

d

A

ZXDZ

9D

P

d)

A!

9

i ,Y

5J

CAPÍTULO

A"

9D

B"

DZ

Tr+s )i*+,sio,+s

A con$inu"ci'n !e %ue!$r"n "quí en $re! di%en, !ione! "lguno! $ipo! co%une! de !opor$e * !u! re"ccione!# M.

F.

F.

F

rodillo

L"! !ei! ecu"cione! e!c"l"re! de equilibrio !e e!$"blecen "ciend o l"! re!pec$i("! co%po, nen$e! i0 ! * " de e!"! !u%"! de +uer."! * de %o%en$o! igu"le! " cero#

M!

P"r" re!$ringir "propi"d"%en$e el cuerpo0 l"! re"ccione! no deben !er $od"! concurren$e! o p"r"lel"! en$re !í#

M"

5

iF

0 iM P

0 i VW

9 9 9 i

9 9 9

i VX i V?

,

W

i

, ,

i

X ?

%++ri,/i,  +sbi(i))

Si un cuerpo e!$- !opor$"do por un n<%ero %íni%o de re!$riccione! p"r" "!egur"r el equi, librio0 en$once! e! e!$-$ic"%en$e de$er%in"do# Si $iene %-! re!$riccione! que l"! requerid"!0 en$once! e! e!$-$ic"%en$e inde$er%in"do#

F"

!opor$e +i@o

r'$ul" e!+1ric"

En $re! di%en!ione!0 " %enudo e! con(enien$e u!"r un "n-li!i! (ec$ori"l c"r$e!i"no "l "plic"r l"! ecu"cione! de equilibrio# P"r" "cer e!$o0 e/pre!e pri%ero0 en +or%" (ec$ori"l c"r$e!i", n"0 c"d" +uer." * c"d" %o%en$o de p"r cono, cido! * de!conocido! %o!$r"do!en el di"gr"%" de cuerpo libre# Luego igu"le " cero l" !u%"de +uer."!# To%e %o%en$o! con re!pec$o " un pun$o O que !e encuen$re !obre l" líne" de "cci'n de $"n$"! co%ponen$e! de!conocid"! de +uer." co%o !e" po!ible# De!de el pun$o O diri@" (ec$ore! de po!ici'n "ci" c"d" +uer."0 * luego u!e el produc$o cru. p"r" de$er%in"r el %o%en$o de c"d" +uer."#

F!

F"

F!

99 2 599 2

99 2

45

 N2 %

E!$-$ic"%en$e inde$er%in"d"!0 cinco re"ccione!0 $re! ecu"cione! de equilibrio

)99 2 ;e!$ricci'n "propi"d"0 e!$-$ic"%en$e de$er%in"d"

4



P;OBLE&AS DE ;EPASO 5-88. De$er%ine l"! co%ponen$e! (er$ic"l * ori.on$"l de l" re"cci'n en el p"!"dor A * l" +uer." en el c"ble '( # P"!e por "l$o el gro!or de lo! ele%en$o!#

De$er%ine l" re"cci'n nor%"l en el rodillo A * l"! co%ponen$e! ori.on$"l * (er$ic"l en el p"!"dor '0 p"r" logr"r el equilibrio del ele%en$o# 5-91.

)9 N2

( '

69

9# %

9# %

A

99 2P% 6%

 N2

9#G % )99 2

4%

9

5

'

9#4 % A

Prob. 5-91

4#5 % Prob. 5-88

De$er%ine l"! co%ponen$e! de re"cci'n ori.on, $"l * (er$ic"l en el p"!"dor A * l" re"cci'n en el rodillo ' requerid"! p"r" !opor$"r l" "r%"dur"# Con!idere que # 99 2# •5-89.

Si el rodillo loc"li."do en ' puede !opor$"r un" c"rg" %-/i%" de 6 N20 de$er%ine l" %-/i%" %"gni$ud de c"d" un" de l"! $re! +uer."! F que puede !er !opor$"d" por l" "r%"dur"# 5-90.

5-92. L" +lec" en!"%bl"d" e!$- !opor$"d" por do! cu, %"cer"! li!"! A * ' * un e!l"b'n cor$o +(# Si !e "plic" un %o%en$o de p"r " l" +lec" co%o !e %ue!$r"0 de$er%ine l"! co%ponen$e! de +uer." de re"cci'n en l"! cu%"cer"! * l" +uer." pre!en$e en el e!l"b'n# El e!l"b'n !e encuen$r" en un pl"no p"r"lelo "l pl"no ",z * l"! cu%"cer"! e!$-n "decu"d"%en$e "line"d"! con l" +lec"#

. + 69 9

A

)9 %%

(

% 45 %

%

'

59 %%

%

A

! F

F

'

59 2 % 499 %%

F

Probs. 5-8990

Prob. 5-92

699 %% "

)

P;OBLE&AS DE ;EPASO

De$er%ine l"! re"ccione! en lo! !opor$e! A * ' del b"!$idor# •5-93.

)9 Nip

F Nip

5 Nip

 Nip

G pie!

 pie!

 pie!

Un" +uer." (er$ic"l de G9 lb "c$<" !obre el cigê>"l# De$er%ine l" +uer." ori.on$"l P de equilibrio que debe "plic"r!e " l" %"ni(el" * l"! co%ponen$e! !0 "0 z de re"c, ci'n en l" cu%"cer" li!" A * en l" cu%"cer" de e%pu@e '. E!$o! co@ine$e! e!$-n "line"do! correc$"%en$e* e@ercen !'lo +uer."! de re"cci'n !obre l" +lec"# 5-95.

A

.

G9 lb

)9 pulg

G pie!

"

'

9#5 Nip

)4 pulg A

 pie!

)4 pulg  pulg

'

!

G pulg

Prob. 5-93

En l" p"r$e in+erior de l" +igur" !e %ue!$r" un di"gr"%" e!quel1$ico de l" piern"# Aquí !e puede ob!er, ("r que e!$" p"r$e de l" piern" !e le("n$" por l" "cci'n del %
!e piern"0 %ue!$r"de$er%ine en l" p"r$el" !uperior de ell" cu-dricep! +igur" p"r" en%odel"r ( * l" l" $en!i'n en %"gni$ud de l" +uer." re!ul$"n$e en el +1%ur 7p"!"dor80 +0 " +in de %"n$ener l" piern" en l" po!ici'n %o!$r"d"# L" piern" $iene un" %"!" de 6# Ng * un cen$ro de %"!" en G) el pie $iene un" %"!" de )# Ng * un cen$ro de %"!" en G#

5

4 pulg P

Prob. 5-95

5-96. L" repi!" !i%1$ric" e!$- !o%e$id" " un" c"rg" uni+or%e de 4 NP"# El !opor$e e!$- proporcion"do por un perno 7o p"!"dor8 loc"li."do en c"d" e/$re%o A * A R * por l"! %1n!ul"! !i%1$ric"! que !e "po*"n con$r" l" p"red li!" en "%bo! l"do! ' * 'R# De$er%ine l" +uer." re!i!$id" por c"d" perno en l" p"red * l" +uer." nor%"l ' nece!"ri"! p"r" logr"r el equilibrio#

F5 %% 5 %% A

659 %%

'

699 %% +

AR F5

4 NP"

G) G

'R

A

'

(

A

+

'

Prob. 5-94

)#5 %

9#)5 % 9# % Prob. 5-96

P"r" di!e>"r "propi"d"%en$e lo! ele%en$o!0 e! nece!"rio de$er%in"rl"! +uer."! in$ern"! de lo! ele%en$o! de c"d" puen$e de "r%"dur"#

CAPITULO 5 DCL.doc

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