¿Por qué los métodos numéricos? 5-1C Con la difusión de poderosas computadoras y paquetes de so ftware, ¿cree que llegará el momento en que la búsqueda de soluciones analíticas analíticas para los problemas de ingeniería ingeniería desaparecerá desaparecerá del programa de estudios de los ingenieros?
………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-3C Considere un problema de conducción de calor que se puede resolver analíticamente, al resolver la ecuación diferencial que rige y mediante las condiciones de frontera, o numricamente por medio de un paquete de software del que disponga en su computadora! ¿"u procedimiento utili#aría para resolver dic$o problema? %&plique su ra#onamiento!
………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-5C ¿%n qu difieren los mtodos numricos de resolución con respecto a los analíticos? ¿Cuáles son las venta'as y las desventa'as de los mtodos numricos y los analíticos?
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Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales 5-7C (efina estos trminos usados en la formulación en diferencias finitas) nodo, malla *red nodal+, elemento de volumen, espaciamiento nodal y ecuación en diferencias!
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5-9 Considere la conducción de calor un idimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad trmica constante! a red nodal del medio consta de los nodos -, ., /, 0 y 1, con un espaciamiento nodal uniforme de ∆ x! 2ediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada * no el enfoque del balance de energía+, obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de flu'o de calor uniforme q en la frontera i#quierda *nodo -+ y convección en la frontera derec$a *nodo 1+, con un coeficiente de convección de h y una temperatura ambiente de T -
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Conducción unidimensional de calor en estado estacionario 5-11C %&plique cómo se obtiene la forma de diferencias finitas de un problema de conducción de calor por el mtodo del balance de energía!
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5-13C Considere un medio en el que la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general se da en su forma más simple como
a+ ¿a transferencia de calor en este medio es de estado estacionario o en rgimen transitorio? b+ ¿a transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c+ ¿3e tiene generación de calor en el medio? d + ¿%l espaciamiento nodal es constante o v ariable? e+ ¿a conductividad trmica del medio es constante o variable?
5-15C ¿Cómo se puede tratar un nodo sobre una frontera aislada como uno interior en la formulación en diferencias finitas de una pared plana? %&plique!
………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-17 4na aleta circular de sección transversal uniforme, con un diámetro de .- mm y longitud de 5- mm, se ad$iere a una pared con temperatura superficial de 05-6C! a aleta es de un material con una conductividad trmica de /1- 78m 9 :C y está e&puesta a una condición de aire ambiental de /56C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de /5- 78m/9 :C! 3uponga que la transferencia de calor unidimensional se produce a lo largo de la aleta y que el espaciamiento nodal es uniforme de .- mm, a+ mediante el mtodo de balance de energía, obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para determinar las temperaturas nodales, b+ determine las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver esas ecuaciones y compare los resultados con la solución analítica y c+ calcule la transferencia de calor y compare el resultado con la solución analítica!
5-19 Considere la conducción de calor en estado estacionario en una pared plana cuya superficie i#quierda *nodo -+ se mantiene a 1-:C en tanto que la derec$a *nodo ;+ se su'eta a un flu'o de calor de 0--- 78m/! %&prese la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera - y ; para el caso en el que no $ay generación de calor!
5-21 Considere la conducción de calor u nidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad trmica constante! a red nodal del medio consta de los nodos -, ., /, 0, 1 y 5, con un espaciamiento nodal uniforme de ∆ x! 2ediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera i#quierda *nodo -+ y radiación en la frontera
derec$a *nodo 1+, con una emisividad de = y una temperatura de los alrededores de T alred !
5-31 Considere una pared plana grande de espesor L > -!0 m, conductividad trmica k > /!5 78m 9 :C y área superficial A ./ m/! %l lado i#quierdo de la pared está su'eto a flu'o de calor de q·-> 05- 78m/al mismo tiempo que se mide la temperatura en esa superficie, la cual resulta ser T > @-:C! 3i se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toma el espaciamiento nodal de @ cm, a+ obtenga la formulación en diferencias finitas para los seis nodos, y b+ determine la temperatura de la o tra superficie de la pared al resolver esas ecuaciones!
5-33I Aepita el problema 5B0/ descartando la transferencia de calor por radiación desde la superficie superior! Respuestas: b+ D;!D:E, D;!1:E
5-35 Considere la conducción de calor u nidimensional en estado estacionario en una aleta de pasador de diámetro constante D, con conductividad trmica constante! a aleta pierde calor por convección $acia el aire ambiente que está a T , con un coeficiente de transferencia de calor de h! a red nodal de la aleta consta de los nodos - *en la base+, . *a la mitad+ y / *en la punta+, con un espaciamiento nodal uniforme de x! 2ediante el enfoque del balance de energía obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema con el fin d e determinar T 1 y T 2 para el caso de temperatura específica en la base de la aleta y transferencia de calor despreciable en la pun ta de la misma! Fodas las temperaturas están en :C!
5-37 4no de los lados de una placa vertical de / m de alto y 0m de anc$o que está a ;-:C se va a enfriar al su'etarle aletas de aluminio *k > /0D 78m 9 :C+ de perfil rectangular, en un medio ambiente a 05:C! as aletas tienen / cm de largo y -!0 cm de espesor, y están separadas -!1 cm entre sí! 3e estima que el coeficiente de transferencia de calor entre las aletas y el aire circundante, para convección y radiación combinadas, es de 0- 78m9 :C! 3i se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a lo largo de la aleta y se toma el espaciamiento nodal como de -!5 cm, determine a+ la formulación en diferencias finitas de este problema, b+ las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver estas ecuaciones, c la ra#ón de la transferencia de calor desde una sola de las aletas, y d + la ra#ón de la transferencia de calor desde la superficie completa con aletas de la placa!
5-39 Aepita el problema 5B0; al usar aletas de cobre * k > 0;@ 78m 9 :C+ en lugar de las de aluminio! Respuestas: b+ G;!@:C, GD!5:C, G@!D:C, G@!-:C, G5!D:C, G5!5:C
5-1! 4n motor (C alimenta de energía mecánica a un e'e giratorio de acero ino&idable * k >.5!. 78m 9 :C+ con una longitud de /5 cm y un diámetro de /5 mm! %l motor (C está rodeado por aire ambiental de /-6C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de /5 78m /9 :C, mientras que la temperatura base del e'e del motor es de G-:C! 2ediante un espaciamiento nodal uniforme de 5 cm a lo largo del e'e del motor, determine las ecuaciones en diferencias finitas y tras resolverlas, tambin las temperaturas nodales! Respuestas: 5/!-0:C, 01!D/:C, /@!G/:C, /0!5;:C, //!55:C
5-3 4na pared plana de acero ino&idable *k= .5!. 78m 9:C+ con un espesor de . m e&perimenta una generación uniforme de calor de . --- 78m 0! %l lado i#quierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de D-:C y el lado derec$o de la pared está e&puesto a una temperatura del aire ambiental de -:C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de /5- 78m/9 :C! 2ediante un espaciamiento nodal uniforme de -!/ m, a+ obtenga las ecuaciones en diferencias finitas y b+ tras resolverlas, determine las temperaturas nodales! Respuestas: @/!5:C, 5/!0:C, 0G!5:C, /1!-:C, 5!;D:C
Conducción de calor "idimensional en estado estacionario 5-9C ¿"u es una fron tera irregular? ¿Cuál es una manera práctica de mane'ar las superficies con fronteras irregulares con el mtodo de las diferencias finitas?
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5-51C Considere un medio en el cual se da la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general en su forma más simple, como
a+ ¿a transferencia de calor en este medio es en estado estacionario o en rgimen transitorio? b+ ¿a transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c+ ¿Hay generación de calor en el medio? d + ¿%l espaciamiento nodal es constante o v ariable? e+ ¿a conductividad trmica del medio es constante o variable?
5-53 Considere la transferencia bidimensional de calor en una sección transversal rectangular *@- cm &0- cm+ con temperaturas preestablecidas de -:C a la i#quierda, derec$a y superficies inferiores, mientras que la superficie superior está dada como .-- sen* π x8@-+!Con un tamaIo uniforme de malla de ∆ x> ∆t , determine a+ las ecuaciones en diferencias finitas y b+ las temperaturas nodales!
5-55 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en un a barra sólida larga cuya sección transversal se da en la figura! as temperaturas medidas en puntos seleccionados sobre las superficies e&teriores son como se muestran! a conductividad trmica del cuerpo es k > /- 78m 9 :C y no $ay generación de calor! 2ediante el mtodo de las diferencias finitas con un tamaIo de malla de ∆ x>∆ y >.!- cm, determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio! Sugerencia:
T 1> G0:C, T /> T 0> ;@:C
5-57 Considere la transferencia estacionaria bidimensional de calor en una barra larga y sólida de secciones transversales a+ cuadrada y b+ rectangular, como se muestra en la figura! as temperaturas medidas en los pu ntos seleccionados de las superficies e&teriores son como se muestra! a conductividad trmica del cuerpo es k > /- 78m 9 :C y no $ay generación de calor! 4sando el mtodo de diferencias finitas con una malla de dimensiones ∆ x = ∆ y >.!- cm, determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio! Respuestas: a+ T .>.;5:C, T />T 0>T 1>.G-:C
5-59 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en un cuerpo sólido largo cuya sección transversal se da en la figura J5B5G! as temperaturas en los nodos seleccionados y las condiciones trmicas en las fronteras son como se muestran! a conductividad trmica del cuerpo es k >.5- 78m 9 :C y se genera calor en ste de manera uniforme con una velocidad de e= 0 .-D78m0! 2ediante el mtodo de las diferencias finitas, con un tamaIo de malla de ∆ x=∆ y >.-cm, determine a+ las temperaturas en los nodos ., /, 0 y 1, y b+ la ra#ón de la prdida de calor desde la superficie superior a travs de una sección de . m de largo del cuerpo!
5-#9 os gases calientes de la combustión de un $orno fluyen por una c$imenea de concreto * k = .!1 78m 9 :C+ de sección transversal rectangular! a sección de flu'o de la c$imenea tiene /- cm & 1- cm y el espesor de la pared es de .cm! a temperatura promedio de los gases calientes en la c$imenea es T >/;-:C y el coeficiente promedio de transferencia
de calor por convección dentro de esta última es hi >D5 78m/9 :C! a c$imenea pierde calor por convección desde su superficie e&terior $acia el aire ambiente que está a T > .5:C, con un coeficiente de transferencia de calor de ho >.; 78m/9 :C, y $acia el cielo por radiación! a emisividad de la superficie e&terior de la pared es => -!Gy se estima que la temperatura efectiva del cielo es de /5- K! 2ediante el mtodo de las diferencias finitas con ∆ x> ∆ y >.- cm y si se aprovec$a plenamente la venta'a que da la simetría, a+ obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario, b+ determine las temperaturas en los puntos nodales de una sección transversal y c+ evalúe la ra#ón de la transferencia de calor para una sección de . m de largo de la c$imenea!
5-73 Considere una barra sólida larga cuya conductividad trmica es k > 5 78m 9 :C y su sección transversal se da en la figura! a superficie superior de la barra se mantiene a 5-:C, en tanto que la inferior se mantiene a ./-:C! a superficie i#quierda está aislada y las tres superficies restantes están su'etas a convección con el aire ambiente que está a T > /5:C, con un coeficiente de transferencia de calor de h 1- 78m/9 :C! 2ediante el mtodo de las diferencias finitas con un tamaIo de malla de ∆ x=∆ y= .- cm, a+ obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para transferencia de calor bidimensional en estado estacionario y b+ determine las temperaturas nodales desconocidas al resolver esas ecuaciones! Respuestas:b+ D;!;:C, D/!D:C, @1!@:C
