Cap.10 Vigas Con Losa Colaborante

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

CAPITULO 10 Vigas con losa colaborante. Teoría general La figura N°1 muestra una losa de concreto apoyada en un perfil H de acero. Si en el plano de contacto C-C no existe desplazamiento, la sección se deforma como indica la figura 1.a, con un eje neutro n-n neutro n-n.. En el caso que exista deslizamiento, la viga y la losa se deforman en forma independiente, con dos ejes neutros nv − nv

y

nl − nl

respectivamente.

b nl

C

C

n

n

nl

nv

1.a

nv

1.b

Fig. N°1 Las vigas en las que se impide el deslizamiento entre viga y losa reciben el nombre de “vigas con losa colaborante”. En la figura N°2 se puede apreciar una viga de acero embebida en el hormigón , impidiendo el deslizamiento por adherencia natural entre el acero y el concreto.

b

Fig. N°2 Las vigas con losa colaborante, colabo rante, tienen las siguientes:

Ventajas: •

Economía en el peso del acero del orden del 20 al 30%.

Versión junio 2013

Apuntes de Estructuras de acero Ing. José A. Aguilera Muñoz


•

Mayor rigidez. El momento de inercia de la sección compuesta es 2,0 a 2,5 veces mayor que la del perfil p erfil metálico, permitiendo controlar las deflexiones con a lturas del orden de 1/30 a 1/40 de la luz, en lugar de 1/20 a 1/25 correspondiente a vigas corrientes. Si consideramos que en la altura total se incluye el espesor de la losa, se puede apreciar que la economía de dimensiones por este concepto es apreciable. Mayor duración de la losa por estar expuesta a compresión. •

Desventajas: •

Mayor costo de fabricación por tener que agregar conectores que impidan el deslizamiento entre la viga y la losa. En vigas contínuas no existe colaboración en la zona de momentos negativos. Este • hecho complica el análisis, ya que el momento de inercia es variable y disminuye la economía. Tienen poca flexibilidad para modificaciones en pisos tales como los industriales, en • los que son frecuentes los cambios. En resumen, las vigas con losa colaborante son una excelente solución para estructuras de carácter permanentes, como puen tes en carreteras. El diseño de vigas con losa colaborante puede hacerse por la teoría elástica o la plástica.

Teoría elástica.

b

b b

b

n

n

f h nf h d

bo

n

f c

b1

vc

vh n

vt a1

3.a

a

f t Fig. N°3

3.b

La figura N° 3 muestra una viga colaborante con una losa de espesor “ d ”.

El ancho colaborante “ b ” de la losa es el mismo de las vigas “T” de hormigón armado y tiene el menor de los siguientes valores:

Versión junio 2013



TABLA N°1

Normas AISC b ≤

Normas AASHTO

L

b ≤

4 b ≤ (bo + 16 ⋅ d )

Vigas centrales

b≤ b ≤

4 b ≤ 12 ⋅ d

a + a1

b≤

2 L

b ≤

12 b ≤ (b1 + 6 ⋅ d )

Vigas extremas

b≤

L

a + a1

2 L

12 b ≤ 6 ⋅ d

(b1 + a )

b≤

2

(b1 + a ) 2

AASHTO: American Association Association of State Highway and Transportation Transportation Officials. AISC: American Institute of Steel Construction. Donde: L = luz de la viga a y a1 = distancia entre vigas El análisis se hace reemplazando la sección compuesta, por una sección b

homogénea de acero de ancho

n

, siendo n =

E E h

la razón entre los módulos de Young

del acero y el hormigón. Las normas AISC y AASHTO prescriben los valores de “ n ” de acuerdo a la siguiente Tabla:

TABLA N°2 Calidad Ca lidad del hormig ón Resistencia

Resistencia Re sistencia cilíndrica

Norma AISC

Cargas

Cargas

v ar i ab l es

p er m an en t es

n

n

n′ = 3 ⋅ n

11 10 8 7

15 12 10 8

45 36 30 24

c′ f ′

cúbica R28 2

2

Kg/cm

Kg/cm

Lbs/pulg

160 225 300 400

136 191 255 340

1930 2710 3620 4830

2

Se ha adoptado la relación “ f c′

Norma AASHTO

= 0,85 ⋅ R28 ” entre la resistencia cilíndrica y

la resistencia cúbica del hormigón. Las normas AASHTO consideran dos tipos de cargas: “Cargas permanentes” y “ Cargas variables”.

Versión junio 2013


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Para las cargas permanentes, tales como el peso propio y los pavimentos, 3n que recomiendan usar un valor n’ = 3n que toma en cuenta los efectos de la contracción de fragua y el escurrimiento plástico, que aumentan la deformabilidad del concreto. Para cargas variables que actúan en tiempos cortos, como son las del tránsito, se n”. usan los valores normales de “ n”. Las normas AISC no hacen distinción. Durante la construcción a veces se alzaprima la viga metálica hasta que el concreto fragüe, descimbrándolo cuando la resistencia del hormigón alcance el valor 0,75 ⋅ R28 . En este caso todas las cargas son resistidas por la sección compuesta. Si por el contrario, no se usan alzaprimas, el perfil metálico sólo, debe resistir

las cargas de montaje debidas al peso propio de la losa y la viga. El cálculo de fatigas de trabajo se basa en la teoría elástica de las vigas homogéneas y se calculan según la siguiente Tabla:

TABLA N°3 Vigas con alz alzaprimas aprimas Norm a AISC

f h = Hormigón Ac ero en compresión

f c =

M n ⋅ W h M W c

f t = Ac ero en t rac ci ón

Versión junio 2013

M W t

Norm a AASHTO

f h =

f c =

f t =

M m + M p n′ ⋅ W h′

M m + M p W c '

M m + M p W t ′

+

M v n ⋅ W h

+

M v

+

M v

W c

W t



TABLA N° 4 Vigas sin alzaprimas Norm a AISC

f h = Hormigón

M s n ⋅W h

Norm a AASHTO

M M f c = m + s W ac W c

Ac ero en compresión

M M f t = m + s W at W t

Ac ero en t rac ci ón

M p

f h =

n ' W h '

f c =

f t

=

M m W ac

M m W at

+

+

+

M v nW h

M p W c′

M p W t

'

+

+

M v W c M v W t

Donde:

M m =

Momento de las cargas de montaje

M p = Momento de las sobrecargas permanentes, posteriores al montaje.

M v = Momento de las sobrecargas variables. M s = M p + M v M = M m + M p + M v

I c = Momento de inercia de la sección compuesta considerando el aporte equivalente en acero del hormigón, respecto al eje neutro.

I c

W h =

vh

= Módulo resistente a la flexión del ala comprimida del perfil, considerando el

aporte equivalente en acero del hormigón.

W c =

W t =

′

I c

vc I c

vt

′

= Módulo resistente a la flexión del ala comprimida del perfil de acero.

= Módulo resistente a la flexión del ala traccionada del perfil.

′

′

I c , W h , W c ,W t

= Los mismos valores anteriores con un

n ′ = 3n

W ac , W at = Los módulos resistentes a la flexión considerando sólo el perfil de acero. Versión junio 2013


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles En las zonas de momentos negativos, el análisis se hace para la sección de acero del perfil más el refuerzo longitudinal de la losa. Para tomar en cuenta el refuerzo por la losa de concreto, es necesario colocar conectores en dichas zonas. En la siguiente Tabla se dan las fatigas admisibles, según las normas

Inditecnor, AISC y AASHTO. TABLA N° 5 Tabla de Fatigas Admisibles en Kg/cm Categoría

NORMA AISC

Inditecn or

R28 =160 f c′ =136

Concreto

(5)

225 300

191 255

400

340

140

153

136

1.500 2.000

1.400 1.690

1.400 -

Ac ero est ru ct ur al Vigas colaborantes

(3)

AASHTO

60 80 100

A44.28H A63.42

Refuerzo

2

A 37-24 ES A 42-27 ES A 52-34 ES

(1)

54 76 102

Tracción

Cizalle

Tracción

(2)

(4)

(6)

1.440 1.620 2.040

960 1.080 1.360

33,3 %

Au men to po r c arg as ev ent ual es

61 86 115

Cizalle

1.320 1.485 1.870

(7)

800 900 1.130

25 %

Inditecnor: Instituto Nacional de Investigaciones Tecnológicas y No rmalización 2 (1) → El hormigón R28 = 400 kg cm , no está normalizado en Inditecnor. (2) → 0,60 ⋅ F f (5) → 0,40 ⋅ f c′ (6) → 0,55 ⋅ F f (3) → 0,45 ⋅ f c′ (4)

→

0,40 ⋅ F f

Versión junio 2013

(7)

→ 0,33 ⋅ F f


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Tabla N° 6 Altu ra n or mal d e vi gas co lab or ant es s egú n l a AISC

F f Vigas colaborantes H L

56 1

Vigas vibratorias H L

20

Vigas simpl emente apoyadas Vigas contínuas en un extremo Vigas contínuas en ambos extremos

Usar L Usar 0,80 Usar 0,65

L L

Al tu ra n or mal de vig as c ol abo ran tes seg ún la AASHTO Ac ero

A 37-24 ES A 42-27 ES A 52-34 ES

Versión junio 2013

Viga co lab or ant e

Perf il Metálico

H L

H L

1/25 1/22 1/18

1/30 1/27 1/21



Ejemplo: Dimensionar las vigas V1 y V2 de un puente ubicado en una carretera principal de 30 metros de luz, según las Normas AASHTO. Usar acero A 5234 ES , hormigón R 28 = 225 Kg/cm2 y vigas colaborantes sin alza primas. Asfalto : 0,05 m Concreto : 0,20 m

Montaje V1

V2 0,9 m

V1 1,8 m

1,8 m

Considerar como crítico para el diseño, el paso de camiones de 30 toneladas bruto, con el siguiente tren de carga: 0,4 W

0,4 W

0,2 W

4,2m

4,2m

Recordemos lo correspondiente a Fuerza cortante y momento flextor máximo absoluto en líneas de influencia. Fuerza cortante: En vigas simplemente apoyadas el cortante máximo se puede determinar por simple inspección. La fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá en un punto localizado al lado de uno de los soportes. En este caso las cargas se sitúan de manera que la primera en secuencia se coloque cerca del apoyo como se muestra en la siguiente figura: P1 P2 P3

30 m

V máx.absoluto

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Momento flextor: En este caso, el momento máximo absoluto asociado, no puede en general , determinarse por simple inspección. Sin embargo, podemos determinar analíticamente la posición. Consideremos una viga simplemente apoyada sometida a las fuerzas P1 , P2 y P3, tal como indica en la figura que se muestra a continuación: R

x ( x − x)

x

P3

P2

P1

A

B a1

a2

L/2

L

Como el momento máximo absoluto ocurrirá bajo una de las fuerzas. Supongamos que este momento máximo se produce bajo la carga P 2 . La posición de las cargas P1 , P 2 y P 3 sobre la viga estará especificada por la distancia “ x ”, medida desde P 2 al centro del claro de la viga, como se muestra en la figura. Para determinar un valor específico de “ x ”, obtenemos primero la fuerza resultante “ R” equivalente al sistema de fuerzas, y su distancia “ x ” medida desde P 2 . Aplicando sumatoria de momentos respecto al punto “B”, tenemos:

⎛ L ⎞ R ⋅ ⎜ − ( x − x ) ⎟ ⎝ 2 ⎠ A y = L O sea:

⎛ L ⎞ M 2 = A y ⋅ ⎜ − x ⎟ − P1 ⋅ a1 ⎝ 2 ⎠ R ⎛ L ⎞ ⎛ L ⎞ M 2 = ⎜ − ( x − x )⎟ ⋅ ⎜ − x ⎟ − P1 ⋅ a1 L ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ y,

⎛ R R ⋅ x R ⋅ x ⎞ L ⎛ R R ⋅ x R ⋅ x ⎞ + + M 2 = ⎜ − ⎟⋅ −⎜ − ⎟ ⋅ x − P1 ⋅ a1 2 L L 2 2 L L ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Para obtener un “M2” máximo, tenemos:

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dM 2 dx

=

R R

2

−

2

+

R ⋅ x L

−

2 R ⋅ x L

=0

x =

→

x

2

Luego, podemos concluir que el momento máximo absoluto en una viga simplemente apoyada, ocurre bajo una de las fuerzas concentradas, cuando esta fuerza se ubica sobre la viga de modo que ella y la fuerza resultante del

sistema estén equidistantes del centro de la viga. 1. Solicitaciones: a. Sobrecargas de montaje (m): Losa: 0,20 (m) x 2,4(ton/m3) = 0,48 ton/m2 Suponemos un peso propio de viga:

q m = q L + ppviga

Luego:

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

q L = 0,48 ⋅ 1,8 = 0,87⎜

⇒

ppviga = 0,35(ton / ml ) = 0,87 + 0,35 = 1,22(ton ml )

q m = carga de montaje M m = V m =

b.

q m ⋅ L2

8 q m ⋅ L 2

=

=

1,22 ⋅ (30 )

8 1,22 ⋅ 30 2

2

= 137,3(ton − m )

= 18,3(ton )

Cargas permanentes(p) (asfalto): ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ 0 , 13 = ⎟ ⎜ 2⎟ 3 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠

Asfalto (espesor alfalto = 5 cm): → 0,05(m) ⋅ 2,6⎜ ⇒ q p

Luego:

⎛ ton ⎞ = 0,13 ⋅ 1,8 = 0,234⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ 2 2 q p ⋅ L 0,234 ⋅ (30) M p = = = 26,3(ton − m) V p =

8 q p ⋅ L

=

8 0,234 ⋅ 30

2 c. Sobrecargas variables: Impacto:

2

= 3,5(ton )

Los vehículos pueden rebotar o ladearse al circular sobre un puente, provocando un impacto en la cubierta de éste. El incremento porcentual de cargas vivas debido al impacto se llama “ factor de impacto = I ”. Este factor se obtiene generalmente de fórmulas desarrolladas a partir de la evidencia

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Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles experimental. Para puentes carreteros, las especificaciones AASHTO requieren que:

I =

50 L + 125

≤ 0,3

donde: L = longitud del claro en pies.

3000 = 98,4( pies) 2,54 ⋅ 12 50 50 → I = = = 0,22 < 0,3 ⇒ OK ( L + 125) (98,4 + 125) I = 0,22 Camión ⇒ W = (1 + 0,22) ⋅ 30 = 36,6(ton) O sea: P1 = 0,2W = 7,32(ton) P2 = P3 = 0,4W = 14,6(ton) Si tomamos la carga P1 como referencia, entonces la carga " R" que produce el mismo efecto que P1 + P2 + P3 estará ubicada a la siguiente distancia de Con L

la carga

x =

= 30(m) ⇒ L =

P1 .

P1 ⋅ 0 + P2 ⋅ 4,2 + P3 ⋅ 8,4 P1 + P2 + P3

=

14,6 ⋅ (4,2 + 8,4 ) 36,6

= 5,02(m )

Alternativa 1.

Supongamos que el momento máximo absoluto se genera con la carga central de 14,6 (ton). Entonces: R=36,6(ton)

0,41m

14,59m 14,6

14,6 7,3ton

0,82 30m

Versión junio 2013



V izq =

36,6 ⋅ 14,59

= 17,8(ton )

30 M = 17,8 ⋅ 14,59 − 7,3 ⋅ 4,2 = 229(ton − m ) Alternativa 2. Si el máximo absoluto se genera con la carga extrema de 14,6 ton.. Entonces: R=36,6(ton) 1,69m 14,6ton

7,3ton 14,6

16,69m

3,38 30m

V der =

36,6⋅ (30−16,69) 30

M = 16,2 ⋅ (15 − 1,69) = 215,6(ton − m) O sea, el momento máximo absoluto es M = M V

=16,2(ton)

= 229(ton − m ) ,

Y el esfuerzo de corte máximo absoluto se obtiene con el tren de carga ubicado como se indica a continuación: R=36,6(ton)

3,38m 7,3ton

14,6

14,6ton

30m

36,6 ⋅ (30 − 3,38)

= 32,5(ton) 30 Entonces, el momento máximo y el esfuerzo de corte máximo absoluto, son: V =

Versión junio 2013



M V = 229(ton − m ) V V = 32,5(ton ) Resumen Esfuerzo Momento Corte "V" "M" (ton) (ton-m)

Carga Montaje “ m” Permanente " p"

Losa+pp asfalto

18,3 3,5

137,3 26,3

Variable " v" Total “ t”

Impacto

32,5

229

54,3

392,6

Predimensionamiento. Altura normal: AASHTO recomienda:

H

Perfil metálico : Viga colaborante :

L H L

1

=

21 1

=

18

→

→

H = H =

30 21 30 18

= 1,43(m )

= 1,67(m )

Usaremos una viga H 135 cm y un espesor de 20 cm para la losa.

20 cm

135 cm

Prediseño del alma:

AASHTO recomienda:

Espesor del alma

t >

Versión junio 2013

h

140

=

1350 140

= 9,6(mm)

→

t > 9,6(mm )



Pero: Luego,

Además,

⎛ ton ⎞ ( ver Tabla N° 5) 2 ⎟ ⎝ cm ⎠

F v = 0,33 ⋅ F f = 0,33 ⋅ 3,4 ≈ 1,13⎜ Ao ≥

Area del alma:

Ao = t ⋅ h

t =

→

V total F v

Ao h

=

=

54,3 1,13

48,1 135

( )

= 48,1 cm 2

= 0,357(cm) < 0,96(cm)

O sea “t ” debe ser mayor o igual que el mayor valor entre (h 140 ) y ( Ao h ) . En este caso,

t ≥ 9,6(mm) . Sea

t = 10(mm)

Prediseño del ala superior :

F c = 0,55 F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87 ton cm 2

Durante el montaje de las losas: →

F c = 1,87 ton cm

Pero:

Además:

Entonces:

2

F c ≥ f c M m ≈ C ⋅ h Aala ≥

M m F c ⋅ h

M m = 137,3(ton − m )

y

F c ≥

→

C Aala M m

→

C ≈

→

Aala ≥

Si usamos placas de 300x20 mm

→

→

→

C ≤ F c ⋅ Aala M m

h 137,3 ⋅ 100

1,87 ⋅ 135

h

↓

≤ F c ⋅ Aala

= 54,4(cm 2 )

Aala = 30 ⋅ 2 = 60(cm

2

).

Verificación del posible pandeo local del ala comprimida:

25,2 25,2 ⎛ b ⎞ 15 = = 13,7 → Qs = 1 ⎜ ⎟ = = 7,5 < e 2 F f 3,4 ⎝ ⎠ Prediseño del ala inferior: Datos disponibles: M total = 392,6(ton − m ) h = 135(cm)

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⎛ ton ⎞ ⎟ (Ver Tabla N° 5) 2 ⎝ cm M total 392,6 ⋅ 100 Aala ≥ = = 155,5(cm 2 ) F t ⋅ h 1,87 ⋅ 135

F t = 0,55 ⋅ F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ Luego:

Usaremos placas de 540 x 30 mm. (PL 54x3)

Aala _ inf = 54 × 3 = 162(cm 2 )

→

→

2 Aala _ inf = 162( cm )

Verificación del posible P.L. del ala: ⎛ 54 ⎞

⎜ ⎟ 25,2 25,2 ⎛ b ⎞ ⎝ 2 ⎠ =9< = = 13,7 → OK ⎜ ⎟= 3,4 F f ⎝ e ⎠ 3,0

Resumen del prediseño:

b

20 cm PL 30 x 2 PL 130 x 1,0

135 cm

PL 54 x 3

Propiedades: a) Ancho colaborante b . Es el menor de los siguientes valores: b≤

L

30

= 5,75(m ) 4 4 b ≤ 12 ⋅ d = 12 ⋅ 0,2 = 2,4(m ) b≤

Luego,

=

a + a1

2

=

1,8 + 1,8 2

= 1,8(m )

b = 180(cm)

Verificación del prediseño:

Perfil de acero

Cálculo del momento de inercia del perfil de acero respecto a su eje neutro: Fórmula:

Versión junio 2013

2 I x = I G + y ⋅ A

(T. Steigner para ejes paralelos)


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Luego: dist.

Considera sólo la vig a de acero. Elemento

b

h

A

y

A*y

Al a su per io r Alma

30 1

2 130

60 130

134,0 68,0

8.040 8.840

Ala in fer io r

54

3

162

1,5 86,4

243

Sub Total:

Mto Inerc

entre

Mto. Inerc

propio eje

ejes

r.eje neutro

IGO

yo

2

20 85,4 183.083 19,4 122

2

y o A

47,1

IGO+y o A

437.130 48.701

437.150 231.784

360.068

360.189

352,0 48,6 17.123 Total 135,0

IG= 1.029.123

Entonces: W ac = W at =

Peso propio :

I G

=

1.029.123 86,4

vc

I G

=

1.029.123 48,6

vt

( )

= 11.917 cm 3

( )

= 21.156 cm 3

⎛ kg ⎞ ⎟ + 15%(det alles ) 3 ⎝ dm ⎠

pp = Area( dm ) ⋅ Long.unitaria ( dm) ⋅ Pesoespecí fico⎜ 2

⎛ 352

⎞ ⎛ kg ⎞ ⋅ 10 ⋅ 7,8 ⎟ ⋅1,15 = 316⎜ ⎟. 2 ml ⎝ ⎠ ⎝ 10 ⎠

pp = ⎜

Conjunto compu esto por viga y losa con n=12 Elemento

b

h

A

Equiv. hormigón en acero

Ala superior PL Alma PL

15 30 1

20 2 130

300 60 130

Ala inferior PL

54

3

162

y

A*y

IGO

2

yo

145 43.500 10.000 52,0 134,0 8.040 20 41,0 68,0 8.840 183.083 25,0 1,5

243

122

2

y o A

IGO+y o A

811.822 100.958 81.120

821.822 100.978 264.204

91,5 1.355.713 1.355.835

62,0 Sub Total:

652,0

93,0

60.623

IG= 2.542.839

Total: 155,0

W H =

I G

=

2.542.839

v H

62

( )

= 41.000 cm 3

W c = W t =

Versión junio 2013

I G

=

2.542.839

=

2.542.839

vc

I G vt

(62 − 20) 93

( )

= 60.515 cm 3

(

= 27.348 cm 3


)


Conjunto co mpuesto po r viga y los a con n'=3*n=36 2

2

Elemento

b

h

A

y

A*y

IGO

yo

y o A

Equiv. hormigón en acero

5

20

100

145

14.500

3.333

75,0

563.064

566.398

Ala superior PL Alma PL

30 1

2 130

60 130

134,0 68,0

8.040 8.840

20 64,0 183.083 2,0

246.049 501

246.069 183.584

Ala inferior PL

54

3

162

1,5

243

759.310

759.431

122

68,5

IGO+y o A

85,0 Sub Total:

452,0

70,0

31.623

IG= 1.755.482

Total: 155,0

Luego : I 1.755.482 ′ = G = W H = 20.644 cm 3 85 v H

(

)

W c′ =

W t ′ =

I G

=

1.755.482

=

1.755.482

vc

I G

(85 − 20)

vt

70

( )

= 26.992 cm 3

( )

= 25.092 cm 3

Verificación: Viga de acero, durante el montaje: Esfuerzo de corte: V m = 18,3(ton ) Ao = (135 − 2 − 3) ⋅ 1,0 = 130 cm 2

f V =

V m Ao

=

⎛ ton ⎞ = 0,14 < F V = 0,33 ⋅ F f = 0,33 ⋅ 3,4 = 1,13⎜ 2 ⎟ 130 ⎝ cm ⎠

18,3

→

OK

Pandeo local:

⎛ h ⎞ 130 = 130 < 140 ⇒ O.K . ⎜ ⎟= ⎝ t ⎠ 1,0 Momento flextor: M m = 13.730(ton − cm ) 3 W ac = 11.917 cm

→

f c =

M m W ac

=

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,15⎜ 2 ⎟ < 0,55 ⋅ F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ 2 ⎟ 11.917 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ 13.730

Versión junio 2013

OK

→



Volcamiento del ala comprimida: La fórmula de la AASHTO para el volcamiento es :

O sea: Para

2 2 ⎡ ⎤ ⎛ L′ ⎞ ⎛ L′ ⎞ ⎟⎟ ⎥ = 2,34 − 0,00125 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 1,37 F = 1,25⎢1,87 − 0,001 ⋅ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ bac ⎠ ⎥⎦ ⎝ bac ⎠ 2 L′ (2,34 − 1,37) ⎛ L′ ⎞ ≤ 27,9 ≥ ⎜⎜ ⎟⎟ → bac 0,00125 ⎝ bac ⎠ bac = 30(cm ) L′ ≤ 27,9 ⋅ 30 → → L′ ≤ 837(cm )

Para evitar el volcamiento de la viga durante el montaje, se debe colocar arriostramientos cada 837 cm .

Asfalto : 0,05 m Concreto : 0,20 m

0,9 m

Para el ala traccionada:

V1

V1

V2

1,8 m

1,8 m

W at = 21.156(cm3 )

⎛ ton ⎞ = 0,65⎜ 2 ⎟ W at 21.156 ⎝ cm ⎠ ⎛ ton ⎞ ⇒ f mt < F m → O.K . F m = 0,55 ⋅ F f = 0.55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ 2 ⎟ cm ⎝ ⎠ Entonces:

f mt =

M m

=

13.730

Viga colaborante: (Ver Tabla N° 3) Vigas colaborantes sin alza prima Versión junio 2013



Hormigón: →

f H = f H =

M p

′ n′ ⋅ W H

2.633.000 36 ⋅ 20.644

+

M V n ⋅ W H

⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = 3,6 + 46,6 = 50,2⎜ 2 ⎟ < 76⎜ 2 ⎟ → OK 12 ⋅ 41.000 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

22.931.000

+

Acero en compresión: →

f c = →

M m

+

M p W c′

+

M V

→

f c =

13.730

+

2.633

+

22.931

11.917 26.992 60.515 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ → OK f c = 1,15 + 0,098 + 0,38 = 1,63⎜ 1,87⎜ < ⎟ ⎟ 2 2 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm

W ac

W c

Acero en tracción: →

f t = →

M m W at

+

M p W t ′

+

M V W t

→

f t =

13.730 21.156

+

2.633 25.092

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ 1,87⎜ < ⎟ ⎟ 2 2 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

f t = 0,65 + 0,10 + 0,84 = 1,59⎜

+

22.931 27.348 →

OK

Conectores de Cizalle

Versión junio 2013


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Los conectores de cizalle son los elementos mecánicos encargados de evitar el desplazamiento entre las superficies en contacto entre el acero y la losa en las vigas colaborantes. Los conectores se sueldan al ala superior de la viga metálica y quedan embebidos en el hormigón. Se utilizan en diversos tipos: perfil canal o zeta, vástagos, espirales, para los cuales se han determinado datos empíricos para determinar su capacidad resistente. No se considera la adherencia directa entre la losa y el ala de la viga de acero, debido a que ésta puede deteriorarse y perderse debido a la retracción del hormigón y las vibraciones causadas por las sobrecargas móviles.

L H

e D

La Norma AASHTO, define las resistencias útiles de cada tipo de conector, y se basan en un criterio que limita el deslizamiento relativo entre el hormigón y la viga de acero. Sea: Qu = Capacidad del conector.

Qadm = Carga admisible de corte por conector. F .S . = Factor de seguridad. En general F .S . = 4 Entonces:

Qadm =

Qu F .S .

=

Qu

4

La capacidad de carga útil para conectores constituídos por vástagos, está dada para cada vástago por la siguiente expresión: Para:

H D

Versión junio 2013

≥ 4,2 ⇒

Qu = 87 ⋅ D ⋅ 2

f c

′



Para:

H D

< 4,2 ⇒

Qu = 21 ⋅ D ⋅ H ⋅

D(cm) Qu (kg )

Unidades:

f c

′

→ diámetro del vástago

′ ⎛ kg ⎞ → Resistencia cilíndrica de compresión del hormigón. ⎟ 2 ⎝ cm H = Altura del vástago en (cm)

f c ⎜

Para conectores constituídos por perfiles canal de espesor constante, la carga útil por conector es:

Q 71⋅⋅ ee ⋅⋅ L Quu == 71 L ⋅⋅

′

f f cc′

Las unidades de “ e ” y “ L ” son en cm.

Ejemplo: Usando la Norma AASHTO, se pide diseñar las vigas metálicas y conectores de la viga colaborante de un puente peatonal de 13,5 metros de longitud, que será construido sin 2 utilizar alzaprimas. Considerar una sobrecarga de 450 (kg/m ) y una distancia entre vigas de 210 cm. El espesor de la losa es de 15 cm. y la resistencia cilindrica del hormigón es 255 2 (kg/cm ). Usar un acero A 42-27 ES.

•

Carga por viga Peso propio de la losa: q L

= elosa ⋅ d entrevigas ⋅ γ pesoespec. ⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠

q L = 0,15 ⋅ 2,10 ⋅ 2,4 = 0,756⎜

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ ⋅ = ⋅ = 0 , 45 2 , 1 0 , 945 d ⎟ ⎜ ⎟ entrevigas 2 ml m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

q sc = 0,45⎜ Sobrecarga:

M sc =

q sc ⋅ L2

8

Peso propio de la viga (supuesto) :

Versión junio 2013

=

0,945 ⋅ 13,5 2 8

= 21,53(ton − m )

⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠

ppv = 0,16⎜


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Carga de montaje y momento de montaje:

qm = q L + ppv

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

qm = 0,756 + 0,16 = 0,916⎜

→

M m =

2

qm ⋅ L

=

8

0,916 ⋅ 13,52 8

= 20,87(ton − m )

Sobrecargas permanentes:

⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠

q p = qsc = 0,945⎜ 2

M p = → →

•

q p ⋅ L

8

=

0,945 ⋅ 13,52 8

= 21,53(ton − m )

M s = M p + M v = 21,53(ton − m )

M total = M sobrec arg a + M m = 21,53 + 20,87 = 42,4(ton − m )

Prediseño del perfil metálico. Esto es para tener una idea del tamaño. Se puede tantear usando el M total sin la colaboración de la losa. Solicitación:

W x =

M t F t

=

M t

0,6 ⋅ F f

=

4.240 0,6 ⋅ 2,7

= 2.617(cm 3 )

Como sabemos que tendremos la colaboración de la losa, seleccionamos un perfil suponiendo que la colaboración de la losa a la resistencia del conjunto es aproximadamente del orden del 20 %. Esto lo reflejamos con un perfil que tenga un módulo resistente cercano al 80% del calculado anteriormente. Sea éste un perfil IN 45x104, que tiene las siguientes propiedades: 3 W x = 2.260 cm

( )

4 I x = 50.900 cm

A = 133 cm

Versión junio 2013

2

H = 45(cm) B = 25(cm)

( 3)

W ac = W at = W x = 2.260 cm



•

Análisis de tensiones: Las cargas durante el montaje son resistidas sólo por la viga metálica. Las cargas de montaje son: peso propio de la losa (el hormigón se encuentra fresco, por lo que no aporta a la resistencia del conjunto), más el peso propio de la viga (104 kg/ml).

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

qm = q L + ppv = 0,756 + 0,104 = 0,86⎜

Luego:

M m =

f m = Esta

tensión

de

2

qm ⋅ L

8 M m W x

trabajo

=

=

0,86 ⋅ 13,52 8

= 19,6(ton − m )

⎛ ton ⎞ = 0,867⎜ 2 ⎟ 2.260 ⎝ cm ⎠

1.960

es

bastante

menor

que

la

tensión

admisible

⎛ ton ⎞ ⎟⎟ , por lo que se dispone de un amplio ⎝ cm2 ⎠

F c = F t = 0,6 ⋅ F f = 0.6 ⋅ 2,7 = 1,62⎜⎜

margen para soportar las sobrecargas de construcción, tales como operarios, equipos, moldajes, etc.

•

Ancho colaborante de la losa. Según la Norma AASHTO

b≤

L

⇒b≤

13,5

⇒ b ≤ 3,375(m )

4 4 b ≤ 12 ⋅ d ⇒ b ≤ 12 ⋅ 0,15 ⇒ b ≤ 1,8(m ) ⇐ Controla b≤

a + a1

2

⇒b≤

2,1 + 2,1 2

⇒ b ≤ 2,1(m )

Luego, el ancho colaborante de la losa es b = 180(cm)

Versión junio 2013



Para n = 10 , cálculo de W h ,W c ,W t 18

180 15 Eje neutro

45

y

25

Sección equivalente en acero

Sección efectiva

y =

A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 A1 + A2 3

I ejeneutro =

18 ⋅ (15)

=

18 ⋅ 15 ⋅ (45 + 7,5) + 133 ⋅ 22,5 18 ⋅ 15 + 133

= 42,6(cm ) 2

45 ⎞ ⎛ + (45 − 42,6 + 7,5) ⋅ 18 ⋅ 15 + 50.900 + ⎜ 42,6 − ⎟ ⋅ 133 2 ⎠ ⎝ 2

12

(

I ejeneutro = 136.159 cm

4

)

Luego:

W h = W c = W t =

Versión junio 2013

I eje−neutro

(45 + 15 − y ) I eje− neutro

(45 − y )

I eje− neutro

( y )

=

136.159 17,4

=

136.159

=

136.159

2,4 42,6

= 7.825(cm 3 )

= 56.733(cm 3 ) = 3.196(cm 3 )



Para n′ = 3n = 3 ⋅ 10 = 30 , cálculo de W h′ , W c′, W t ′ 6

180 15 Eje neutro

45

y

25


Sección efectiva

y =

A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y2

I ejeneutro =

A1 + A2 3

6 ⋅ (15) 12

=

15 ⋅ 6 ⋅ ( 45 + 7,5) + 133 ⋅ 22,5 15 ⋅ 6 + 133

= 34,6(cm) 45 ⎞

⎛ + (45 − 34,6 + 7,5)2 ⋅ 6 ⋅15 + 50.900 + ⎜ 42,6 − ⎟ ⋅ 133 2 ⎠ ⎝

( )

4 I ejeneutro = 135.158 cm

Luego:

W h′ = W c′ = W t ′ =

Versión junio 2013

2

I eje − neutro

(45 + 15 − y ) I eje − neutro

(45 − y )

I eje − neutro

( y )

=

135.158 24,1

=

135.158

=

135.158

10,4 34,6

( )

= 5.321 cm3

( )

= 12.996 cm3

( )

= 3.906 cm3



Entonces, las tensiones de trabajo son: Hormigón: →

f H = f H =

M p

′ n′ ⋅ W H

+

M V n ⋅ W H

⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ + 0 = 13,49⎜ 2 ⎟ < 102⎜ 2 ⎟ → OK 30 ⋅ 5.321 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

2.153.000

Acero en compresión: →

→

f c =

M m

f c =

1.960

+

W ac

M p W c′

+

M V W c

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,03⎜ 2 ⎟ < 1,485⎜ 2 ⎟ 2.260 12.996 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ +

2.153

→

OK

Acero en tracción: →

f t = →

M m W at

f t =

+

M p W t ′

1.960 2.260

+

+

M V W t

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,418⎜ 2 ⎟ < 1,485⎜ 2 ⎟ 3.906 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ 2.153

→

OK

• Conectores de cizalle Consideraremos vástagos en filas de a tres, de acuerdo al detalle indicado en la siguiente figura:

H D

Versión junio 2013

c



Entonces, el esfuerzo cortante que se produce en la superficie de contacto entre el perfil de acero y la losa, es:

f v = Sea

V ⋅ S

I ⋅ B

Qv la fuerza cortante que actúa sobre una corrida de conectores. Entonces:

Qv = f v ⋅ B ⋅ c

Qv =

→

Y la resistencia admisible

V ⋅ S I ⋅ B

⋅ B ⋅ c

Qv =

→

V ⋅ S ⋅ c I

" Radm " por corrida de conectores es: Radm = nc ⋅ Qadm

Luego, para que se cumplan las condiciones de resistencia, se debe cumplir que:

Qv ≤ Radm

O sea:

V ⋅ S ⋅ c

→

I c≤

Luego,

≤ nc ⋅ Qadm

nc ⋅ Qadm ⋅ I

(espaciamiento requerido)

V ⋅ S

Si usamos vástagos de 3”x1”, entonces:

D = 2,54(cm)

H = 7,6(cm) H 7,6 = = 3 < 4,2 D 2,54

→

Qu = 21 ⋅ D ⋅ H f c′

Entonces:

Qadm = S =

Qu

4

=

21 ⋅ D ⋅ H f c′ 4

=

21 ⋅ 2,54 ⋅ 7,6 ⋅ 255 4

= 1.618(kg )

d ⎞ 180 15 ⎛ ⎛ ⎞ ⋅ d ⋅ ⎜ H + − y ⎟ = ⋅ 15 ⋅ ⎜ 45 + − 42,6 ⎟ = 2.673(cm 3 ) n 2 2 ⎝ ⎠ 10 ⎝ ⎠

b

Luego,

c≤

nc ⋅ Qadm ⋅ I V ⋅ S

Versión junio 2013

=

3 ⋅ 1,618 ⋅ 136.159 V ⋅ 2.673

→

c≤

247,3 V


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles El esfuerzo de corte “V ” se encuentra expresado en (ton) en esta última fórmula. Luego,

V máx =

q ⋅ L

2

Los conectores sólo toman el esfuerzo rasante debido al peso de la losa y las sobrecargas. O sea:

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

q = q L + q sc = 0,756 + 0,945 = 1,7⎜ V máx =

1,7 ⋅ 13,5 2

= 11,48(ton )

V = 11,48 − 11,48

9,44

675

⋅ x

6,176

8@26

6@20 120

11,48

7@44 308

208

39

675 cm N° de L /2 = 675 espac. longitud acum. diferencia

V (ton)

247,3/V (cm)

Usar c (cm)

11,48 9,44 5,58

21,5 26,2 44,3

20 26 44

Versión junio 2013

6 8 7

ocupada (cm)

pendiente (cm)

120 (120+208)=328 (328+308)=636

555 347 39



Problema N°2 Usando la Norma AASHTO, diseñar los conectores de cizalle para el tramo de 40 metros de la viga colaborante central de la siguiente estructura: 22cm

2,05 m

2,65 m

Gráfico de esfuerzo de corte de la viga colaborante, que considera las cargas permanentes. 148,8

V x (ton )

(+)

46,8

x

(-) 96,9

119,5 27 m

40m

Datos complementarios: • • •

2

Resistencia cúbica del hormigón :300 kg/cm . Usar vástagos de 12,7 x 2,54 cms. en corridas de 7 vástagos. Viga central con perfil IN 90 x 254.

A = 324 cm2; Ix = 481.000 cm4 Para el cálculo de los conectores de corte, dividir el sector de esfuerzos de corte positivo en tres tramos y el de esfuerzos de corte negativo en dos tramos. B= 35 cm;

e = 3,2 cm;

t = 1,2 cm;

Solución: Espaciamiento requerido:

•

c≤


Cálculo del “ Qadm ”

Si usamos vástagos de 5”x1”, entonces:

Versión junio 2013



D = 2,54(cm ) H = 12,7(cm ) H D

Qadm =

Entonces:

•

=

Qu

4

12,7 2,54

=

= 5 > 4,2 ⇒ Qu = 87 ⋅ D 2 ⋅ f c′

87 ⋅ D 2 ⋅ f c′ 4

=

87 ⋅ 2,54 2 ⋅ 255 4

= 2.240(kg )

Qadm = 2.240(kg )

Ancho colaborante de la losa: Según la Norma AASHTO

b ≤

L

b≤

→

40

b ≤ 10(m )

→

4 4 b ≤ 12 ⋅ d → b ≤ 12 ⋅ 0,22 → b ≤ 2,64(m ) a + a1 2,65 + 2,05 b ≤ 2,35(m) b≤ → b≤ → 2 2 Luego, el ancho colaborante de la losa es 235 cm. • Ancho colaborante equivalente: Según la Norma AASHTO

n = 10

→

n′ = 3n →

Controla el diseño

n′ = 30

Luego:

b n′ •

=

235 30

= 7,83(cm)

→

b n′

= 7,83(cm )

Ubicación del eje neutro: 7,83

235 22 Eje neutro

90

y

35 Sección efectiva

Versión junio 2013




y =

A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2

=

7,83 ⋅ 22 ⋅ (90 + 11) + 324 ⋅ 45

= 64,44(cm )

A1 + A2 7,83 ⋅ 22 + 324 • Momento de inercia del àrea total respecto al eje neutro: 3

I ejeneutro =

•

12

2

90 ⎞ ⎛ + (90 − 64,44 + 11) ⋅ 7,83 ⋅ 22 + 481.000 + ⎜ 64,44 − ⎟ ⋅ 324 2 ⎠ ⎝ 4 I ejeneutro = 840.640 cm 2

Momento estático para la secciòn en la que se produce el cortante: S =

•

7,83 ⋅ (22 )

22 d ⎛ ⎞ 235 ⎛ ⎞ ⋅ d ⋅ ⎜ H + − y ⎟ = ⋅ 22 ⋅ ⎜ 90 + − 64,44 ⎟ = 6.300 cm3 2 2 n′ ⎝ ⎠ 30 ⎝ ⎠ b

( )

Expresión que define la distancia entre conectores de corte: c≤


=

c≤

7 ⋅ 2,24 ⋅ 840.640

V ⋅ 6.300 2.092

=

2.092 V

V • Ecuación para el esfuerzo de corte en el tramo en estudio, con “ x ” en (cm) :

V x = 148,8 − •

(148,8 + 96,9 ) 4000

⋅ x

Distancia entre los conectores de cizalle: N° de espac.

V (ton)

2.092/V (cm)

Usar c (cm)

148,8 99,78 50,64 -47,76 -96,9

14,06 20,96 41,3 43,8 21,59

14 20 40 40 20

Versión junio 2013

57 40 20 20 40

longitud acum.

diferencia

ocupada (cm)

pendiente (cm)

798 (800+798)=1598 (800+1598)=2398 3200 4000

3.202 2.402 1.602 800 0



Vigas embebidas La figura siguiente muestra una viga embebida en hormigón en la que se han considerado las dimensiones mínimas prescritas por las Normas. Con el objeto de evitar descascaramiento del hormigón es necesario colocar un refuerzo mínimo formado por estribos ( 0,2% del área del hormigón). Refuerzo mínimo

2

2

1

1

3

3

≥ 5cm Las vigas embebidas se calculan por la teoría elástica clásica , suponiendo colaboración completa. Debido a la gran superficie de contacto no es necesario colocar conectores. Las fatigas admisibles del concreto son las de la Tabla 5. Para el acero, que está totalmente confinado, se acepta una fatiga admisible de

0,66 ⋅ F f .

En las zonas de

momentos positivos es necesario comparar la fuerza rasante “ H ” que se calcula con la fórmula que se indica a continuación, con la resistencia al cizalle más la adherencia en la línea 1221 (ver Fig. anterior): Sabemos que:

Versión junio 2013



f V =

V ⋅ S c B ⋅ I c

Donde: V = es el esfuerzo de corte S c = Momento estático del concreto de la sección equivalente, respecto al eje neutro.

I c = Momento de inercia de la viga embebida colaborante.

H = f V ⋅ B ⋅ 1

Entonces:

→

H =

V ⋅ S c B ⋅ I c

⋅ B ⋅1

→

V ⋅ S c

H =

I c

En los momentos negativos hay que hacer la misma verificación en 3443. Conviene que el ala superior penetre lo más posible en la losa, tanto para mejorar esta condición como para disminuir la altura total. Como método alternativo, la Norma permite calcular la zona de momentos

positivos con el perfil metálico solamente, usando una fatiga admisible de 0,76 ⋅ F f . Esta recomendación es empírica. Si no se usan alzaprimas debe calcularse el perfil para las condiciones d e montaje. La siguiente Tabla resume las condiciones de diseño de vigas embebidas.

TABLA N° 7 Vigas embebidas . Elemento

Normas AISC-Inditecno r

Condición

Fatigas admisibles A 37-24 ES A 42-27 ES A 52-34 ES

Perfil de acero

ton/cm

2

montaje Método alternativo, M+ Viga embebida

n

Hormigón

Kg/cm

2

Refuerzo

Kg/cm

2

Versión junio 2013

compresión Cizalle (mín/máx) Adherencia

1,92 1,82 1,58

2,16 2,05 1,78

2,72 2,58 2,25

0,8 Ff 0,76Ff 0,66Ff

R28160

R28225

R28300

R28400

11 60 6/16 6

10 80 7/18 8

8 100 8/20 11

7 140 10/25 15

A 44.28

A 63.42

1.500

2.000



Ejemplo: Diseñar las viguetas V1 y las vigas maestras VM1 del piso de un restaurante ubicado en un segundo piso, estructurado como indica la siguiente figura: Cada

A

B

4

C

VM1

D

VM1

3 V1

V1

V1

V1

V1

V1

V1

V1

V1

3@8=24 mts V1

VM1

2

VM1

1

9@4=36 mts

Viga maestra VM1. Características: • Viga continua • Colaborante • Sin alzaprimas

V1

V1

VM1 Unión V1- VM1

Versión junio 2013



Consideraciones: • • • • • •

Usar Acero A52-34 ES. Concreto R 28 =225 Kg/cm2 Espesor de la losa : 20 cm V1 ⇒ Vigas embebidas con apoyo simple. Sin alza prima VM1 ⇒ Viga colaborante, continua. Sin alza prima. Espesor del pavimento : 4 cm.

Diseño: 1. Vigas V1. Se diseñará como viga embebida. a) Cargas.

L = 8( metros )

a = 4( metros)

y

⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ ppviga = 0,2⎜ Peso propio de la viga (supuesto): ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ q = 0 , 384 Peso pavimento: q pavim = 0,04 ⋅ 4 ⋅ 2,4 = 0,384⎜ ⎜ ⎟ ⎟ pavim ⎝ ml ⎠ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ qsc = 2,0⎜ Sobrecarga (Restaurante): q sc = 0,5 ⋅ 4 = 2,0⎜ ⎟ ⎟ ml ⎝ ⎠ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ q = 2,12⎛ ton ⎞ Carga de montaje: qm = qlosa + ppviga = 1,92 + 0,2 = 2,12⎜ ⎜ ⎟ ⎟ m ml ⎝ ⎠ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ q = 2,384⎛ ton ⎞ Carga permanente: q p = q pavim + qsc = 0.384 + 2,0 = 2,384⎜ ⎜ ⎟ ⎟ p ml ml ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ q = 4 , 504 Carga total: qt = qm + q p = 2,12 + 2,384 = 4,504⎜ ⎜ ⎟ ⎟ t ml ml ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Losa:

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

q L = 0,20 ⋅ 4 ⋅ 2,4 = 1,92⎜

q L = 1,92⎜

a) Solicitaciones y tensiones admisibles.

qm ⋅ L

2

M m =

Versión junio 2013

8

=

2,12 ⋅ 8 2 8

= 16,96(ton − m)



M p = M t =

q p ⋅ L2

8 2 qt ⋅ L

= =

8

2,384 ⋅ 8 2

8 4,504 ⋅ 8 2 8

= 19,072(ton − m) = 36,03(ton − m)

b) Predimensionamiento. La AISC para vigas estipula que la altura normal de una viga colaborante queda establecida a través de la siguiente relación:

H L

≤

F f

56

En nuestro caso:

F f ⋅ L

H ≤

56

=

3,4 ⋅ 800 56

= 48,6(cm)

Además, se debe cumplir que:

f m = →

→

M t W x

≤ 0,76 ⋅ F f

W x ≥

M t

0,76 ⋅ F f

(usando el método alternativo)

=

W x ≥ 1.394(cm

3

3.603 0,76 ⋅ 3,4

= 1.394(cm3 )

)

Probaremos un perfil IN 35x77,8. Características del perfil: I x = 23.900 cm4 3 W x = W ac= W at= 1.370 cm 2 A = 99,1 cm Luego,

B=25 cm H = 35 cm

⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠

ppviga = 0,0778⎜

Entonces: Carga de montaje:

Versión junio 2013

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠

q m = qlosa + ppviga = 1,92 + 0,0778 = 2,0⎜



⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠ ⎛ ton ⎞ qt = q m + q p = 2,0 + 2,384 = 4,384⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ q p = q pavim + qsc = 0.384 + 2,0 = 2,384⎜

Carga permanente:

Carga total :

c) Solicitaciones y tensiones admisibles.

M m = M p =

2 qm ⋅ L

8

=

2 q p ⋅ L

2,0 ⋅ 8 2 8

= 16,0(ton − m)

→

2,384 ⋅ 8 2

= = 19,07(ton − m) → 8 8 → M s = M p + M V = 19,07(ton − m )

M m = 1600(ton − cm ) M p = 1907 (ton − cm ) M s = 1907 (ton − cm )

d) Verificación de la resistencia de la viga de acero, considerando la acción de las cargas de montaje:

f ac = f at =

M m W x

=

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,168⎜ 2 ⎟ < F m = 0,8 ⋅ F f = 0,8 ⋅ 3,4 = 2,72⎜ 2 ⎟ 1.370 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ 1.600

e) Verificación del prediseño de la viga embebida: Cálculo del ancho “ b” colaborante de la losa:

L

=

800

= 200(cm)

4 4 bo + 16 ⋅ d = 25 + 16 ⋅ 20 = 345(cm) a + a1

2

=

Luego,

Versión junio 2013

400 + 400 2

= 400(cm)

b = 200(cm)


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles El eje neutro queda generalmente dentro de la losa y se calcula a través de la solución de la ecuación siguiente :

b

b

n 5

y

d

5

Tomando como referencia un eje que pasa por la superficie superior de la losa:

y ⎛ H ⎞ b A ⋅ ⎜ + 5 ⎟ + ⋅ y ⋅ 2 ⎝ 2 ⎠ n y = b ⎞ ⎛ A + ⋅ y ⎟ ⎜ n ⎠ ⎝ Donde:

Luego:

A = H =

Area del perfil de acero altura del perfil de acero

( H + 10) b ⋅ y 2 b ⋅ y ⎞ ⎛ y ⋅ ⎜ A + + ⎟ = A ⋅ n ⎠ 2 2⋅n ⎝ 2 (H + 10) b ⋅ y + A ⋅ y − A ⋅ =0 2⋅n 2 2 b ⋅ y + 2 An ⋅ y − An ⋅ ( H + 10) = 0

Versión junio 2013



y + 2

2 An b

⋅ y −

An ⋅ ( H + 10) b

=0

2

⎛ An ⎞ An ⋅ ( H + 10) ± ⎜ y = − ⎟ + b b ⎝ b ⎠ An

Reemplazando valores, tenemos: 2

99,1 ⋅ 10

⎛ 99,1 ⋅ 10 ⎞ 99,1 ⋅ 10 ⋅ (35 + 10) y = − ± ⎜ ⎟ + 200 200 ⎝ 200 ⎠ y = −4,955 ± 15,735 → y = 10,78(cm ) (valor posible) Luego, el momento de inercia

I n

del conjunto “perfil de acero y losa

equivalente de concreto” respecto al eje neutro es:

⎛ b ⎞ 3 ⎜ ⎟⋅ y 2 H ⎛ ⎞ ⎝ n ⎠ I n = I x + ⎜ + 5 − y ⎟ ⋅ A + 3 ⎝ 2 ⎠

⎛ 200 ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⋅ 10,78 2 10 ⎛ 35 ⎞ I n = 23.900 + ⎜ + 5 − 10,78 ⎟ ⋅ 99,1 + ⎝ ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ 4 I n = 45.864(cm ) Luego:

W h = W c = W t =

I n y

=

45.864 10,78

I n

=

= 4.255(cm 3 )

45.864

( y − 5) (10,78 − 5) I n

=

= 7.935(cm 3 )

45.864

( H + 5 − y ) (35 + 5 − 10,78)

Versión junio 2013

= 1.570(cm 3 )



Fatigas de trabajo “ f ”: Resumen de solicitaciones

M m = 16(ton − m )

M p = 19,07(ton − m ) M v = 0(ton − m ) M s = M p + M v = 19,07(ton − m ) f h =

M s

=

n ⋅ W h

f c =

M m

f t =

M m

W ac W at

+ +

⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = 44,8⎜ 2 ⎟ < 80⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . 10 ⋅ 4.255 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

1.907.000

M s W c

M s W t

=

1.600

=

1.600

+

1.370

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,41⎜ 2 ⎟ < 2,25⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . 7.935 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

1.907

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 2,38⎜ 2 ⎟ > 2,25⎜ 2 ⎟(TablaN °7) 1.370 1.570 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ +

1.907

REDISEÑAR. Seleccionaremos otro perfil. Sea el Perfil IN 35x85,4. Observación : Con toda seguridad, sabemos que este perfil cumple con las condiciones de resistencia.

Esfuerzo rasante. Línea 1221.

H = Donde:

V = S c =

qt ⋅ L

2 b n

=

4,16 ⋅ 8 2

V ⋅ S c I c

= 16,64(ton )

⋅ 5 ⋅ ( y − 2,5) =

200 10

⋅ 5 ⋅ (10,78 − 2,5) = 828(cm 3 )

I c = I n = 45.864(cm 4 )

Versión junio 2013



H =

Luego:

16,64 ⋅ 828

Resistencia al cizalle

Adherencia Luego:

⎛ ton ⎞ ⎛ kg ⎞ 300 = 0,3⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ 45.864 cm ⎝ ⎠ ⎝ cm ⎠ ⎛ kg ⎞ = 2 ⋅ 5 2 + 152 ⋅ 7 = 221⎜ ⎟ (Ver Tabla N°7) ⎝ cm ⎠ ⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ 200 = ⎜ ⎟ 2 ⎟ cm ⎝ ⎠ ⎝ cm ⎠

= B ⋅ 8 = 25(cm) ⋅ 8⎜

⎛ kg ⎞ ⎟ ⇒ O.K . cm ⎝ ⎠ → colocar E φ 6 / 20

Cizalle+adherencia=221+200=421 > H = 300 ⎜

Observación: No se necesita refuerzo especial

2. Viga maestra VM1. Características: • Viga continua • Colaborante • Sin alzaprimas

V1

V1

VM1 Unión V1- VM1

Versión junio 2013



2.1 Solicitaciones. a) Montaje •

Cargas: Cargas provenientes de la viga V1:

⎛ ton ⎞ ⎟ ml ⎝ ⎠ ⎛ ton ⎞ ppVM 1 = 0,3⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠

q m = 1,92 + 0,0778 = 2,0⎜ Suponemos un peso propio de la viga maestra:

•

Solicitaciones.

Usaremos el método de Cross para determinar los mo mentos flextores y esfuerzos de corte de la viga contínua: Entonces:

3@4=12 m

3@4=12 m

3@4=12 m

Pm

Pm

Pm

Pm

Pm

Pm

Peso propio de VM1 Donde:

Pm =

qm ⋅ LV 1

M E m =

→

2

⋅2=

Pm ⋅ 4 ⋅ 8 LVM 1

=

2,0 ⋅ 8

⋅ 2 = 16(ton )

2 16 ⋅ 4 ⋅ 8 12

= 42,7(ton − m )

2 ppVM 1 ⋅ LVM 1 0,3 ⋅ 12 2 ⎛ ton ⎞ E ppVM 1 = 0,3⎜ = = 3,6(ton − m ) ⎟ ⇒ M pp = 12 12 ⎝ ml ⎠ E M E = M E m + M pp = 42,7 + 3,6 = 46,3(ton − m )

Versión junio 2013



a) Montaje Pm 4 L K K' D M

M

∑

M

Pm

4

4

4

12 1 0,75

E

m

Pm

R

R.I. V Mt

0,6

0,4

-46,3

46,3

-46,3

46,3

23,1 -13,9

-9,2

55,5 4,63 17,8 22,43

-55,5 0,0 17,8 17,8

50,28

xt

31,76

4,0

4

Pm 4

4

12 1 0,5

1

0,0 -4,63 17,8 13,17

/L

Pm

Pm 4

4

12 1 0,75 0,4

0,6

4

4

1

13,24

8,0

16,0

b) Sobrecarga para el máximo momento negativo. Psc = q sc ⋅ 4 ⋅ LV 1 = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 8 = 16(ton ) Psc Psc Psc Psc 4 L K K' D

4

4

4

12 1 0,75

E

M

4 12 1 1

4

12 1 0,75

1

0,43 0,57

0,57 0,43

-42,7

42,7 -42,7

42,7

42,7

21,3 -12,2 -3,9 -5,2 0,7

4

1

-24.3 -18,4 -2,6 1,5 1,1

-0,3 -0,4 M m

∑ M

R

R.I.

/L

0,0 -4,98 16

Versión junio 2013

59,8 -59,8 4,98 3,54 16 16

17,3 -17,3 -3,54 1,44 16 16

-1,44 16


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles V Mt

11,02

20,98 19,54

44,08

xt

4,0

24,16

18,4

8,0

16,0

12,46 17,44

c) Sobrecarga para el máximo momento positivo. Psc Psc 4 L K K' D

4

R

R.I. V Mt

0,6 0,4

-42,7

M /L

4

4

Psc 4

4

12 1 0,75 0,4

0,6

1

42,7 0

42,7

21,4 -38,5 -25,6

0,0 -2,13 16 13,87

25,6 -25,6 2,13 0,0 16 18,13 0

xt

4

Psc

12 1 0,5

1

E

∑ M

4

12 1 0,75

M

m

4

14,56

55,48 4,0

46,96 8,0

-25,6 16,0

Esfuerzos de diseño: a) Para el tramo: M máx.( + ) = M m + 55,48 = 50,28 + 55,48 = 105,76(ton − m ) b)

V tramo = V m + 13,87 = 13,17 + 13,87 = 27,04(ton ) Para el apoyo: M máx.( − ) = M m + 59,8 = 55,5 + 59,8 = 115,3(ton − m ) V apoyo = V m + 20,98 = 22,43 + 20,98 = 43,41(ton )

En el apoyo, la viga maestra se encuentra debidamente asegurada, para evitar el pandeo lateral torsional, luego:

Versión junio 2013



Prediseño de la viga en el apoyo. Si consideramos que la viga de acero aporta aproximadamente un 80 % a la resistencia total de la viga colaborante, entonces haremos el cálculo del prediseño con un m x = 0,8 ⋅ 115,3 = 92,24(ton − m ) . O sea:

f mx =

m x W x

≤ 0,6 F f ⇒ W x ≥

m x

0,6 F f

=

9224 0,6 ⋅ 3,4

= 4.522(cm3 )

Probaremos un perfil IN 60x184 Características:

H = 60 cm B = 30 cm e = 3,2 cm

3

Wx=5.510 (cm ) 2 A = 235 (cm ) 4 Ix=165.000 (cm )

t = 0,8 mm

Verificación del esfuerzo cortante:

⎛ kg ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1 , 13 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ( ver Tabla N° 5) ⎝ cm 2 ⎠ ⎝ cm ⎠ 43,41 V V ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ f v = = = = 0,8⎜ 2 ⎟ < F v = 1,13⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Ao ( H − 2 ⋅ e ) (60 − 2 ⋅ 3,2 ) ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ F v = 0,333 ⋅ F f = 0,333 ⋅ 3,4 = 1.130⎜

Verificación del posible pandeo local del ala comprimida:

25,2 25,2 ⎛ b ⎞ 15 = 4,7 < = = 13,7 → OK ⎜ ⎟= 3,4 F f ⎝ e ⎠ 3,2 En este caso, como el momento flextor es un momento negativo, la losa colabora sólo con su armadura (enfierradura). Supongamos que la enfierradura esté constituída por 8φ 30 @ 200. Entonces:

10 cm

xb

xb

Ubicación del centroide del conjunto, respecto al eje xb

− xb

Versión junio 2013



y =

A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 A1 + A2

Donde: A1

=8⋅

=

π ⋅ d 2

4

56,55 ⋅ (60 + 10 ) + 235 ⋅ 30 291,55

= 37,8(cm )

= 2 ⋅ π ⋅ (3) = 56,55(cm 2 ) 2

Momento de inercia respecto al eje neutro 2

π ⋅ d 4

⎛ H ⎞ I xG = 8 ⋅ + ( H − y + 10) ⋅ A1 + I x + ⎜ y − ⎟ ⋅ A2 64 2 ⎠ ⎝ 4 π ⋅ (3) 2 2 + (60 − 37,8 + 10) ⋅ 56,55 + 165.000 + (37,8 − 30) ⋅ 235 I xG = 8 ⋅ 2

64 4 I xG = 237.962(cm ) Luego:

W c = W t =

I xG

=

237.962

37,8 237.962

y I xG

( H − y )

W barras =

= 6.295(cm3 )

=

22,2

I xG

= 10.719(cm 3 ) 237.962

=

( H − y + 10) (60 − 37,8 + 10)

= 7.390(cm 3 )

Usando las normas AISC, tenemos:

⎛ ton ⎞ = 1,007 + 0,518 = 1,525 < 2,04⎜ 2 ⎟ → O.K. W at W t 5.510 10.719 ⎝ cm ⎠ M M 5.550 5.548 ⎛ ton ⎞ f c = m + s = + = 1,007 + 0,88 = 1,89 < 2,04⎜ 2 ⎟ → O.K. W ac W c 5.510 6.295 ⎝ cm ⎠ f t =

M m

+

M s

=

5.550

+

5.548

Verificación de la resistencia en el tramo a) Ancho colaborante (b). Según la AISC, es el menor de los siguientes valores:

b≤

L

4

=

12 4

= 3(m )

b ≤ (bo + 16d ) = (0,3 + 16 ⋅ 0,2) = 3,5(m)

Versión junio 2013



a + a1

b≤

=

8+8

= 8(m ) 2 2 Luego, b = 300 (cm) Además: 3 W ac = W at = W x = 5.510(cm ) Cargas permanentes: n = 10 (ver tabla N°2 - AISC) A ⋅ y + A2 ⋅ y 2 235 ⋅ 30 + (30 ⋅ 20) ⋅ 70 y = 1 1 = = 58,7(cm ) A1 + A2 235 + (30 ⋅ 20) b 3 2 ⋅ d 2 d b ⎛ H ⎞ ⎛ ⎞ I n = I x + ⎜ y − ⎟ ⋅ A + n + ⎜ H − y + ⎟ ⋅ ⋅ d 2 ⎠ 12 2 ⎠ n ⎝ ⎝ 300 2 ⋅ (20)3 2 60 ⎞ 20 ⎞ 300 ⎛ ⎛ 10 + ⎜ 60 − 58,7 + ⎟ ⋅ ⋅ 20 I n = 165.000 + ⎜ 58,7 − ⎟ ⋅ 235 + 2 12 2 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

I n = 455.181 cm 4

Luego: W h = W t =

I n

( H + d − y )

I n

W c =

y

=

=

455.181

I n

=

58,7

455.181 (60 + 20 − 58,7)

= 7.754(cm 3 )

455.181

( H − y ) (60 − 58,7 )

Versión junio 2013

= 21.370(cm 3 )

= 350.139(cm 3 )


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Entonces:

f h = f t =

M s n ⋅ W h

M m

f c =

=

W at M m W ac

+

⎛ kg ⎞ = 28 < 80⎜ 2 ⎟( NormaIndit ecnor ) ⇒ O.K . 10 ⋅ 21.370 ⎝ cm ⎠ 5.980.000

M s

+

W t M s W c

=

5.550

=

5.550

5.510 5.510

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,0 + 0,77 = 1,77⎜ 2 ⎟ < 2,040⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . 7.754 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠

+

5.980

+

⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = 1,0 + 0,017 = 1,017⎜ 2 ⎟ < 2,040⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . 350.139 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ 5.980

30 cm 20 cm e=3,2 cm H=60 cm

Versión junio 2013

t = 0,8 cm y



Teoría Plástica Extensos ensayos de ruptura hechos en Europa y los EE.UU. demuestran que el momento último de falla Mu de vigas colaborantes puede predecirse con muy buena aproximación, con errores menores del 10 %. De estos mismos ensayos se deduce que el factor de seguridad a la ruptura de vigas diseñadas por la teoría elástica varía entre 2,2 y 2,5. El eje neutro en la condición de falla puede caer dentro o fuera de la losa como se muestran en las siguientes figuras: a) Eje neutro x1 − x1 dentro de la losa.

0,85 ⋅ f c′ = 0,72 ⋅ R28

b

C

a

d x1

x1 e

vc

T

Ff Si llamamos “A” al área del perfil de acero, entonces:

T = A ⋅ F f C = 0,72 ⋅ R28 ⋅ b ⋅ a a=

C

0,72 ⋅ R28 ⋅ b

=

T

0,72 ⋅ R28 ⋅ b

≤ d

M u = T ⋅ e e = vc + d −

Versión junio 2013

a

2


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles b) Eje neutro x2

− x2 fuera de la losa. b

0,85 ⋅ f c′ = 0,72 ⋅ R28

C

d

C’

vc x2

x2

e

e′

T

Ff En este caso, el perfil metálico tiene un doble rectangular de fatigas, con una C’ y una tracción T. El concreto tiene un rectangular de fatigas de resultante C. Las ecuaciones de equilibrio estático son:

C = 0,72 ⋅ R28 ⋅ b ⋅ d T = C + C ′ → T − C ′ = C Además: T + C ′ = A ⋅ F f Con (1) + (2) , tenemos:

T =

Y con (2) –(1):

C ′ =

Versión junio 2013

(1) (2)

A ⋅ F f + C

2 A ⋅ F f − C

2 M u = C ⋅ e + C ′ ⋅ e′


Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles En la zona de momentos negativos, si hay conectores suficientes, el momento último se obtiene de la siguiente figura, en la que A’ es el área del refuerzo longitudinal de la losa.

b

T d

T’

vc e

x2

x2

e′

C

Ff En este caso las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:

T = A′ ⋅ F f

C = T + T ′ → C − T ′ = T = A′ ⋅ F f O sea: Además:

Con (1) + (2) →

C =

Con (2) – (1) →

T =

Y:

C − T ′ = A′ ⋅ F f

(1)

C + T ′ = A ⋅ F f

(2)

( A + A′) ⋅ F f 2 ( A − A′) ⋅ F f

2 M u = T ⋅ e + T ′ ⋅ e′

El momento M u es independiente del método constructivo ( con o sin alzaprima) y de los valores de n y n’ ( para cargas permanentes o variables). Cuando no hay alzaprimas es necesario hacer dos verificaciones adicionales.

Versión junio 2013


Cap.10 Vigas Con Losa Colaborante

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