Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS II Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP
VIGAS DE EJE CURVO
Autores: Ing. Jorge Maiztegui Ing. Juan P. Durruty Ing. Asdrúbal Bottani
-2008-
Vigas de Eje Curvo
Estructuras II
1) INTRODUCCION: Entendemos por vigas, en general a aquellos elementos en los cuales una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos que lo componen. La trayectoria del eje de la viga puede ser una curva de cualquier forma en el espacio, el sistema de cargas solicitante también puede ser cualquiera al igual que las solicitaciones externas (con un numero de restricciones tal que aseguren el equilibrio). Es por esto que las vigas de eje curvo no son otra cosa que un caso particular de las vigas en general, donde la trayectoria de su eje sigue un curva determinada, que podría ser circular plana, elíptica, helicoidal, etc., con un radio y un centro de curvatura determinados que también pueden ser variables punto a punto. Podemos imaginar las vigas de eje recto como un caso particular de las de eje curvo con el centro de curvatura en el infinito. Como veremos mas adelante todos los conocimientos adquiridos hasta el momento para vigas de eje recto, en mayor o menor medida, son aplicables a las de eje curvo. En lo referente al calculo de solicitaciones, se pueden usar todas las herramientas disponibles para el análisis de estructuras de barras, como modelos matemáticos de elementos finitos (Programas de pórticos y emparrillados planos, pórticos espaciales, etc.) con la única precaución de dividir la viga en un numero de elementos tal que cada uno de ellos no sea muy distinto de una barrita recta. Si disponemos de programas de pórticos y emparrillados planos, que en la actualidad son muy accesibles, podremos resolver las solicitaciones para todos aquellos casos en que el eje de la viga se encuentra contenido en un plano, ya que cualquier estado de cargas (espacial) puede ser descompuesto en dos estados, uno de cargas contenidas en el plano mencionado y otro normal al mismo. En aquellos casos en que la trayectoria del eje sigue una curva espacial cualquiera, por ejemplo un helicoide, podremos utilizar un programa de pórticos espaciales. Aparecen sí diferencias importantes en las tensiones cuando el radio de curvatura es chico respecto de la altura de la sección, estos casos se conocen como de gran curvatura, y para dar un limite diremos que en general cuando la relación r/h < 5 se deberá hacer el estudio considerando la pieza de gran curvatura y para los casos en que r/h > 10 se podrá usar la teoría de eje recto pues las diferencias son menores al 1 %. Como ejemplo de vigas de gran curvatura podemos citar el caso de eslabones de cadena, ganchos de grúa, etc. Para facilitar el análisis, estudiaremos solo aquellas vigas cuyo eje este contenido en un plano, y de este modo cualquier estado de cargas actuante lo podremos descomponer en:
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I. Un estado de cargas contenidas en el plano. II. Un estado de cargas perpendiculares al plano. Para cada caso dividiremos el estudio en tres partes. a) Calculo de solicitaciones. b) Análisis de las tensiones. c) Análisis de las deformaciones. 2) VIGAS CURVAS CON CARGAS CONTENIDAS EN EL PLANO. 2.1) CALCULO DE SOLICITACIONES Cuando tanto el eje de la viga como las cargas están contenidas en un mismo plano xy, y además uno de los ejes principales de inercia esta en dicho plano, la viga después de deformada seguirá estando en el mismo y los esfuerzos que puedan existir son: • • •
Momento flector Mz Esfuerzo axial Nz Esfuerzo de corte Qy
La convención de signos será la siguiente: o
Φ R
Nx
R
Mz
Mz
Nx
Lado cóncavo Qy Lado convexo
• • •
Qy
Mz (+): Si tracciona las fibras del lado convexo Nx (+): Si tracciona el elemento Qy (+): Si tiende a producir un giro horario
Para la determinación de los esfuerzos característicos se pueden seguir dos caminos.
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a) Determinando el valor por puntos en un numero de secciones determinado por definición. b) Plantando y resolviendo las ecuaciones diferenciales que ligan los esfuerzos con las cargas externas. En general resulta más sencillo resolver por secciones, aunque daremos las indicaciones para poder abordar por cualquiera de los dos caminos. a) Por definición: Se consideran todas las cargas que quedan a la derecha o a la izquierda de la sección en análisis según convenga, y se reducen a una resultante con un par resultante en la sección. El momento flector es el par (producto de las fuerzas por las distancia correspondientes). El axial y el corte surgen de la proyección de la resultante según la tangente la normal al eje de la pieza en esta sección. Ejemplo:
Q
P A
N
B Φ P Φ
N B = − P ⋅ senΦ QB = P ⋅ cos Φ M B = P ⋅ R ⋅ senΦ
b) Por ecuaciones: Su estudio para este curso no es obligatorio, para aquellos alumnos que tengan interés en profundizar el análisis se pueden remitir al Anexo 1.
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2.2) ANALISIS DE LAS TENSIONES 2.2.1) GENERALIDADES Y DISTRIBUCION DE TENSIONES Veremos a continuación qué efecto produce la curvatura de la pieza sobre la distribución de tensiones normales en una sección transversal de una viga sometida a un momento flector. Admitimos que siguen teniendo validez las hipótesis de Bernoulli-Navier respecto de las secciones planas (las secciones que son planas antes de la deformación, después de haberse producida la misma se siguen manteniendo planas) y por lo tanto las deformaciones δds de cada fibra son proporcionales a la distancia que las separa del eje neutro. Hasta acá aparentemente no nos apartamos del análisis para vigas de eje recto. La diferencia radica en que la longitud inicial de cada fibra es distinta, y por ende la deformación específica ε = δds no es igual para las fibras ubicadas hacia el lado ds cóncavo o convexo, aunque estén a igual distancia del eje neutro. Las tensiones normales σ = ε ⋅ E ya no son directamente proporcionales a la distancia a la fibra neutra. Como consecuencia de lo expuesto, las fibras que se ubican hacia el centro de curvatura (lado cóncavo de la pieza) tendrán una mayor deformación especifica ε dado que tienen una menor longitud inicial ds, lo que genera un incremento en las tensiones normales (concentración de tensiones), inversamente ocurre con las fibras que están hacia el lado convexo, donde las tensiones disminuyen.
Δds ds Δds1 = Δds 2 ds1 < ds 2 ε 1 > ε 2 ∴σ 1 > σ 2 ε=
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Como en flexión simple los volúmenes de tensiones de tracción y compresión deben ser iguales para que haya equilibrio, el eje neutro ya no será baricéntrico, desplazándose hacia el lado cóncavo. A medida que el radio de curvatura crece respecto de la altura h de la pieza, la curvatura disminuye atenuándose el efecto de concentración de tensiones, el comportamiento se asemeja cada vez mas al de una pieza de eje recto, y el análisis por uno u otro camino no difiere demasiado cuando la relación R > 10 . h Este efecto de concentración llega a su máximo en al caso de quiebres bruscos, tal el caso de esquinas de pórticos donde el radio R = 0 en su cara interna, o el extremo de fisuras. Para disminuir este efecto se puede redondear los quiebres, tratando de que el radio R tenga un valor mayor. Incorrecto
M
Correcto
R=0 σ→∞
M
M
R≠0
M
Para ver como es la ley de variación de las tensiones, tomamos un elemento de viga (arco de radio R y ángulo dΦ) que sufre una deformación δdΦ. Aunque el radio R de la pieza fuese variable punto a punto (por ejemplo una espiral logarítmica) el análisis que haremos sigue teniendo validez ya que en el elemento diferencial se puede suponer que el radio vale r y es constante.
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σ = ε⋅E δdx y ε= = δdxo + ⋅ δdΦ dx dx dx = (R + y) ⋅ dΦ dxo dxo = R ⋅ dΦ ⇒ dΦ = R
Reemplazando en ε:
δdx 0 ε0 y δdΦ y 1 δdΦ + ⋅ = + ⋅ ⋅ (R + y) ⋅ dxo / R (R + y) dΦ 1 + y / R R (1 + y / R) dΦ 1 y δdΦ ⎞ 1 y y y δdΦ ⎞ ⎛ ⎛ ⋅ ⎜ ε0 + ε0 ⋅ − ε0 ⋅ + ⋅ ε= ⋅ ⎜ ε0 + ⋅ ⎟ ⎟= R dΦ ⎠ (1 + y ) ⎝ R R R dΦ ⎠ (1 + y ) ⎝ R R ε=
⎡ 1 y ⎛ δdΦ ⎞⎤ − ε 0 ⎟⎥ ⋅ ⎢ε 0 ⋅ ⎛⎜1 + y ⎞⎟ + ⋅ ⎜ R ⎠ R ⎝ dΦ ⎠⎦ (1 + y ) ⎣ ⎝ R y ⎛ δdΦ ⎞ ε = ε0 + ⋅⎜ − ε0 ⎟ (1) R + y ⎝ dΦ ⎠
ε=
Analizaremos ahora el caso en que la sección esta sometida a un momento flector y a un esfuerzo axial (M y N) externos. Estas acciones externas deben estar en equilibrio con la reacción interna manifestada a través de un determinado estado de tensiones, debiéndose cumplir:
∫ σ ⋅ dA = N N = ∫ E ⋅ ε 0 ⋅ dA + ∫ E ⋅
∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M y ⎛ δdΦ ⎞ ⋅⎜ − ε 0 ⎟ ⋅ dA R + y ⎝ dΦ ⎠
y 2 ⎛ δdΦ ⎞ M = ∫ E ⋅ ε 0 ⋅ y ⋅ dA + ∫ E ⋅ ⋅⎜ − ε 0 ⎟ ⋅ dA R + y ⎝ dΦ ⎠
O sea:
y ⎛ δdΦ ⎞ N = E ⋅ ε0 ⋅ A + E ⋅ ⎜ − ε0 ⎟ ⋅ ∫ ⋅ dA ⎝ dΦ ⎠ R+y y2 ⎛ δdΦ ⎞ M = E ⋅ ε 0 ⋅ ∫ y ⋅ dA + E ⋅ ⎜ − ε0 ⎟ ⋅ ∫ ⋅ dA ⎝ dΦ ⎠ R+y Teniendo en cuenta que
∫ y ⋅ dA = 0
Y que: y y2 + y ⋅ R − y ⋅ R y ⋅ ( R + y) R⋅y y ⋅ dA = ⋅ dA = ∫ ⋅ dA − ∫ ⋅ dA = − R ⋅ ∫ ⋅ dA ∫R+y ∫ R+y R+y R+y R+y 2
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Si llamamos Z a:
Z=
−1 y ⋅∫ ⋅ dA A R+y Reemplazando en las ecuaciones de N y M, se obtiene:
⎛ δdΦ ⎞ N = E ⋅ ε0 ⋅ A + E ⋅ ⎜ − ε 0 ⎟ ⋅ (− A ⋅ Z) ⎝ dΦ ⎠ ⎛ δdΦ ⎞ ⎛ δdΦ ⎞ − ε 0 ⎟ ⋅ (R ⋅ A ⋅ Z) = E ⋅ R ⋅ A ⋅ Z ⋅ ⎜ M = E ⋅⎜ − ε0 ⎟ ⎝ dΦ ⎠ ⎝ dΦ ⎠ δdΦ M − ε0 = dΦ E⋅A⋅R ⋅Z N = E ⋅ ε0 ⋅ A − E ⋅ A ⋅ Z ⋅
(2)
M M = E ⋅ ε0 ⋅ A − E⋅A⋅R ⋅Z R
Entonces:
M⎞ 1 ⎛ ε0 = ⎜ N + ⎟ ⋅ R ⎠ E⋅A ⎝
(3)
Si sustituimos las ecuaciones 2 y 3 en la 1, teniendo en cuenta además que σ = ε ⋅ E tenemos: y M M⎞ 1 ⎛ σ = E ⋅⎜N + ⎟⋅ +E⋅ ⋅ R ⎠ E⋅A R + y E⋅A⋅R ⋅Z ⎝ Que reordenada es la Fórmula de GRASHOF o de WINKLER
σ=
N M ⎛ 1 y ⎞ ⎟ + ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ A A ⋅ R ⎝ Z R + y ⎟⎠
En la fibra baricéntrica tenemos y = 0 resultando:
σg =
N M + A A⋅R
σ = σg +
M y ⋅ A⋅R ⋅Z R + y
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2.2.2) CALCULO DE Z: Recordemos que Z =
−1 y dA ⋅∫ A R+ y
1) SECCION RECTANGULAR:
h/2
h/2
b
dA y
R
dy Y(+)
Y(-)
Z=
⎤ 1 ⎡ 1 y −1 −1 y + R − R dA ⎥ = dA = dA = − ⋅ ⎢A − R ⋅ ∫ ⋅∫ ⋅∫ R+y A ⎣ R+y ⎦ A R+y A h
2 R b R b Z = −1 + ⋅ ∫ dy = − 1 + ⋅ ⋅ ln(R + y ) A R+y b h −h
Z = −1 +
2
R+h R 2 ⋅ ln h h R− 2
Veamos la influencia de la relación R/h (curvatura) en las tensiones: R/h 0.51 0.75 1 3 5 10
Z 1.353711 0.207078 0.098612 0.009417 0.003353 0.000835
Con estos valores construiremos una tabla de comparación con los resultados obtenidos por aplicación de la teoría de eje recto. Para comparar supongamos que se trata de un caso de flexión simple (N = 0).
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σ=
M ⎛ 1 y ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ A ⋅ R ⎝ Z R + y ⎟⎠
R/h
yn/h
yn (% de h)
0,51 0,75 1 3 5 10
-0,2933 -0,1287 -0,0898 -0,028 -0,0167 -0,0083
29,3 12,9 9 2,8 1,7 0,8
y = −Z ⋅
R 1+ Z
Coeficiente * M/bh Eje curvo Eje recto σ int. σ ext. σ int. σ ext. -70,46 2,68 -6 6 -11,54 3,91 -6 6 -9,14 4,38 -6 6 -6,75 5,39 -6 6 -6,43 5,62 -6 6 -6,21 5,81 -6 6
Como puede observarse en el ejemplo anterior, para relaciones R/h > 10 la diferencia en las tensiones según se calcula por uno u otro método es insignificante.
2) SECCIONES COMPUESTAS:
1
0
4
3
2 G
R y1 y0
y2 y3 y4
1 2 6 1 y R⎡ dy dy dy ⎤ z=− ∫ dA = −1 + ⎢b 01 ∫ + b12 ∫ + K + b 56 ∫ ⎥ A R+y A⎣ 0R+y R+y R + y⎦ 1 5
Como: dy
⎛ R + yi + 1 ⎞ ⎟ R + y i ⎟⎠
∫ R + y = ln⎜⎜⎝ Entonces: Z = −1 +
⎛ R + yi + 1⎞ R n ⎟⎟ ⋅ ∑ b i ,i +1 ⋅ ln⎜⎜ A 0 ⎝ R + yi ⎠ Página 9 de 22
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Con esta ecuación se puede calcula Z para cualquier sección que se pueda descomponer en trapecios.
2.2.3) VALIDEZ DE LA FORMULA DE GRASHOF EN SECCIONES T y I: En el caso de secciones tipo T, I o similares la hipótesis de mantenimiento de las secciones planas después de la deformación ya no es tan cierta puesto que las alas tienden a girar alrededor de su propio eje neutro, este efecto se hace mas considerable si el ala es relativamente gruesa. Cuando las alas son muy delgadas, las que corresponden al cordón comprimido tienden a alejarse del centro de curvatura y las traccionadas a acercarse. Este efecto trae como consecuencia una disminución de las tensiones hacia los bordes y el consecuente aumento en la unión con el alma. Esto no lo contemplan las fórmulas y pueden traer como consecuencia errores considerables en el cálculo de las tensiones. Para evitar roturas generadas por este efecto generalmente se disponen refuerzos soldados o remachados. En el caso de alas delgadas las tensiones normales (circunferenciales) actuantes en las mismas generan un tensión radial que puede ser muy importante y que provoca una deformación en las alas, lo que hace que la longitud (ds = R*dФ) de dos fibras, ambas pertenecientes al ala, una cerca y otra lejos del alma, sea diferente y por ende también lo serán las deformaciones específicas y las tensiones normales.
Cuando las alas son de gran espesor, además del giro producido alrededor del eje neutro de toda la sección, cada una tiende a girar sobre su propio eje provocando un incremento en las tensiones normales calculadas con las ecuaciones de Grashof.
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2.2.4) TENSIONES RADIALES: Si se toma un elemento de barra curva sometido a momento flector M, aparecen tensiones circunferenciales que pueden ser calculadas aplicando la fórmula de Grashof. Si ahora tomamos una rebanada de este elemento, para que exista el equilibrio en dirección del radio necesariamente aparecen las tensiones radiales, que en los bordes serán nulas salvo que existan cargas externas y crecen hacia el centro.
Cuando la sección es maciza los niveles de estas tensiones σr no son muy importantes, pero en secciones del tipo T, I o similares adquieren valores significativos en el alma y si no se toman los recaudos correspondientes pueden desestabilizar la misma provocando la rotura de la pieza. Para calcular σr planteamos el equilibrio en dirección radial: Fuerza circunferencial actuante sobre la parte rayada y
T = ∫ σ ⋅ dA −c
La fuerza debida a las tensiones radiales en la cara R+y es:
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Fr = σ r ⋅ (R + y) ⋅ dΦ ⋅ t
Donde t es el espesor de la viga a la distancia y del C.G. Si ahora planteamos el equilibrio según la bisectriz de la pieza: y
σ r ⋅ (R + y) ⋅ dΦ ⋅ t = 2 ⋅ T ⋅ sen (dΦ ) = T ⋅ dΦ = dΦ ⋅ ∫ σ ⋅ dA 2 −c
Luego: y
σr =
∫ σ ⋅ dA
−c
( R + y) ⋅ t
Recordemos la expresión de Grashof para el cálculo de σ: σ=
M ⎛ 1 y ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ A ⋅ R ⎝ Z R + y ⎟⎠
y
y
y
M M y ⋅ dA T = ∫ σ ⋅ dA = ⋅ ∫ dA + ⋅∫ A ⋅ R −c A ⋅ R ⋅ Z −c R + y −c
Si llamamos Z´ a: y
− 1 y ⋅ dA Z´= ⋅ A −∫c R + y
Tendremos que:
T=
M A´ M ⋅ A´⋅Z´ M ⋅ A´ ⎡ Z´ ⎤ + − = ⋅ 1− R A R ⋅ A ⋅ Z R ⋅ A ⎢⎣ Z ⎥⎦
Finalmente
σr =
M A´ 1 ⎡ Z´ ⎤ ⋅ ⋅ ⋅ ⎢1 − ⎥ R A ( R + y) ⋅ t ⎣ Z ⎦
Esta ecuación da valores suficientemente exactos para el alma de perfiles tipo T o I aun cuando la ecuación de σ circunferencial no es exacta en estos casos. La presencia de una fuerza axial N no altera los valores de σr ya que N se equilibra con Q.
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2.3) ANALISIS DE DEFORMACIONES: En general el cálculo de deformaciones en piezas de eje curvo puede hacerse aplicando los mismos criterios que en vigas de eje recto, pues salvo en los casos de muy fuerte curvatura no existen diferencias apreciables entre una y otra forma de calcular, por otro lado, con teoría de eje recto se obtienen valores del lado de la seguridad. Para el cálculo haremos uso del Teorema de Castigliano que expresa “En un cuerpo elástico en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas cualquiera, el desplazamiento de un punto donde actúa una fuerza, en la dirección de la fuerza, está dado por la derivada parcial de la energía de deformación respecto de dicha fuerza”.
δP =
∂A i ∂P
Veamos ahora cómo se expresa la energía interna en función de los esfuerzos característicos. a) Esfuerzo axial (N): ds N
N
La fuerza axial N provoca un giro de una sección respecto de otra alrededor del centro O, por lo que todas las fibras tienen la misma deformación especifica ε.
σ=N
o
A
La energía interna de deformación viene dada por:
1 1 σ2 1 N2 1 N2 dAN = ⋅ σ ⋅ ε ⋅ A ⋅ ds = ⋅ ⋅ A ⋅ ds = ⋅ 2 ⋅ A ⋅ ds = ⋅ ⋅ ds 2 2 E 2 A ⋅E 2 E⋅A Entonces:
1 N2 AN = ⋅ ∫ ⋅ ds 2 E⋅A b) Esfuerzo de corte (Q): Análogamente al esfuerzo axial, la energía interna debida al esfuerzo de corte es:
1 Q2 AQ = ⋅ χ ⋅ ∫ ⋅ ds G⋅A 2 Donde χ es un coeficiente de forma que depende de la forma de la sección, para secciones de tipo rectangular χ = 1,2. Página 13 de 22
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c) Momento flector: Para el cálculo de la energía interna provocada por el momento flector haremos uso del Principio de los Trabajos Virtuales, que en su forma más general nos dice que en una estructura sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio, para una deformación virtual cualquiera, el trabajo exterior es igual al trabajo interno. Para un elemento ds:
1 Ae = ⋅ M ⋅ δdΦ 2 Siendo δdФ el giro de las secciones. Recordando la ecuación:
δdΦ M − ε0 = dΦ E⋅A⋅R ⋅Z Y siendo ε0, para N=0:
ε0 =
M E⋅A⋅R
Reemplazando se obtiene:
δdΦ M M ⎛ 1⎞ = ⋅ ⎜1 + ⎟ = ⋅ (1 + Z) dΦ E ⋅ A ⋅ R ⎝ Z ⎠ E ⋅ A ⋅ R ⋅ Z Entonces:
1 1 M2 ds dAM = ⋅ M ⋅ δdΦ = ⋅ ⋅ (1 + Z) ⋅ 2 2 E⋅A⋅R ⋅Z R Si tenemos en cuenta que:
σ=
M ⎛ 1 y ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ A ⋅ R ⎝ Z R + y ⎟⎠
Y calculamos la ubicación del eje neutro y0 para lo cual hacemos σ=0 ya que en el eje neutro la tensión es nula.
1+
y0 1 ⋅ =0 Z R + y0
1= −
y0 1 ⋅ Z R + y0
Z ⋅ R + Z ⋅ y0 = −y0 Página 14 de 22
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⇒ y0 = −
por:
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Z⋅R 1+ Z
Dejando de lado el signo de y0, la expresión de la energía interna queda dada
1 M2 dAM = ⋅ ⋅ ds 2 E ⋅ A ⋅ R ⋅ y0 1 M2 AM = ⋅ ∫ ⋅ ds 2 E ⋅ A ⋅ R ⋅ y0 Cuando R ≥ 4 ⋅ h la ecuación usada para eje recto no introduce mayores errores y en el cálculo de la energía de deformación por flexión se puede usar teoría de eje recto. Si actuasen simultáneamente M y N aparece un trabajo recíproco de deformación AMN, ya que como se vio, M provoca una deformación ε0 a nivel del eje neutro. Supongamos que actúa primero N y luego M, esta última provoca un desplazamiento del punto de aplicación de N en el valor ε0·ds, siendo:
ε0 =
M E⋅A⋅R
Entonces:
dAMN =
M⋅N ⋅ ds E⋅A⋅R
Y la energía total de deformación es:
1 M⋅N AMN = ⋅ ∫ ⋅ ds 2 E ⋅ A ⋅ R ⋅ y0 La expresión que nos da la energía total de deformación para una pieza de eje curvo es la siguiente: A=
1 1 1 N2 Q2 M2 M ⋅N ⋅∫ ⋅ ds + ⋅ χ ⋅ ∫ ⋅ ds + ⋅ ∫ ⋅ ds + ∫ ⋅ ds 2 E⋅A 2 G⋅ A 2 E ⋅ A ⋅ R ⋅ y0 E ⋅ A⋅ R Para obtener el desplazamiento buscado, haremos:
∂A ∂P
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Por el Principio de los Trabajos Virtuales:
δ =∫
MM NN QQ ds + ∫ ds + χ ∫ ds EJ EA GA
Para R/h > 4
Y
δ =∫
NM MN MM QQ NN ds ds + ∫ ds + ∫ ds + ∫ ds + χ ∫ EAR EAR EARy0 GA EA
Para R/h < 4
En donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos.
3) VIGAS DE EJE CURVO CON CARGAS NORMALES AL PLANO 3.1) INTRODUCCION: Algunos de los casos en los que aparecen este tipo de vigas son los siguientes: a) arandelas a presión:
b) vigas anillo:
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c) vigas balcón:
En todos los casos las cargas son siempre perpendiculares al plano que contiene a la viga. Estas cargas hacen que la viga se deforme y el eje se salga de su plano original, pero no se aparta de la superficie cilíndrica de origen, que tiene como directriz a la viga en cuestión.
--- luego de deformada
Ningún punto sufre desplazamientos en el plano del eje, todos permanecen en la superficie cilíndrica. Tampoco existen giros contenidos en el plano. 3.2) ESFUERZOS EXISTENTES Y CONVENCION DE SIGNOS: De lo expuesto anteriormente podemos concluir en lo siguiente: a) El eje de la pieza no cambia de longitud, por lo tanto no hay deformaciones según el eje x, luego: Nx=0 b) Al no haber desplazamientos en el plano de la viga, la deformación según y es nula (δy=0), luego: Qy=0 c) Al no haber rotaciones según ejes normales al plano de la pieza, el giro según z es nulo (φz=0), luego: Mz=0 De los seis esfuerzos posibles en el espacio, quedan solo tres, a saber:
MX = 0 MY = 0 QZ = 0
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Mx: momento torsor; (+) si el vector Mx sale de la sección. My: momento flector; (+) si tracciona las fibras inferiores. Qz: corte; (+) sobre la cara derecha hacia abajo, y sobre la cara izquierda hacia arriba, el elemento siempre se mira desde el centro de curvatura.
3.3) ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS: Se trata de encontrar las ecuaciones que ligan les esfuerzos característicos entre sí y con las cargas externas. Se analiza un elemento de viga sometido a una carga q(z). o
D: baricentro de la carga dΦ R
OD =
R dΦ/2
dΦ/2
R ⋅ sen dφ dφ
2
2
dΦ Mx
Mx + dMx D
My q Qz
dΦ My + dMy Qz + dQz Página 18 de 22
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a) Proyección de momentos sobre My:
My + (Mx + dMx ) ⋅ sen dφ − (My + dMy ) ⋅ cos dφ + q ⋅ r ⋅ dφ ⋅ OD ⋅ sen⎛⎜ dφ ⎞⎟ − (Qz + dQz ) ⋅ R ⋅ sen dφ = 0 ⎝ 2⎠ Considerando que: ⎧sen dφ ≈ dφ ⎪ ⎨cos dφ ≈ 1 ⎪dχ ⋅ dχ ≈ 0 ⎩
(producto de diferenciales)
⇒ Mx ⋅ dφ − dMy − Qz ⋅ R ⋅ dφ ≈ 0 dMy = Mx − Qz ⋅ R dφ
(I)
b) Proyectando en dirección de Mx: Mx − (Mx + dMx ) ⋅ cos(dφ) − (My + dMy ) ⋅ sen (dφ) − (Qz + dQz ) ⋅ R ⋅ [1 − cos(dφ)] + +q ⋅ R ⋅ dφ ⋅ ⎡⎢R − OD ⋅ cos⎛⎜ dφ ⎞⎟⎤⎥ − dMx + My ⋅ dφ ≈ 0 ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣
dMx = −My dφ
(II)
c) Sumatoria de fuerzas sobre Z:
− Qz − q ⋅ R ⋅ dφ + Qz + dQz = 0 dQz = q⋅R dφ
(III)
Derivando la ecuación (I) respecto de φ, y reemplazando (II) y (III), resulta: d 2 My dMx dQz = −R⋅ 2 dφ dφ dφ
Despejando y reemplazando: d 2 My + My = −q ⋅ R 2 2 dφ
(IV)
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3.4) ANÁLISIS DE LAS DEFORMACIONES: 3.4.1) Nuevamente se hace uso del Teorema de Castigliano, que dice: la derivada de la energía interna de deformación (A) con respecto a una carga Pi da como resultado el desplazamiento del punto de aplicación de la carga, en la dirección de la carga.
δi =
A Pi
Teniendo en cuenta los esfuerzos que pueden actuar, la energía interna estará compuesta por un término debido al corte (Qz), otro debido al momento torsor (Mx) y un tercer término debido al momento flector (My). 1) A(Qz ) =
1 Qz 2 ⋅χ ⋅∫ ⋅ ds 2 G⋅ A
χ: coeficiente de forma que depende de la sección: -sección rectangular: -sección tipo doble T: -sección tipo anular:
χ = 1.2 Area χ= h ⋅ t alma χ=2
(talma = espesor alma)
1 My 2 2) A(My ) = ⋅ ∫ ⋅ ds 2 E ⋅ Jy
1 Mx 2 3) A(Mx ) = ⋅ ∫ ⋅ ds 2 C A=
donde: C=G·Jp
rigidez torsional
1 1 Mx 2 1 My 2 Qz 2 χ∫ ds + ∫ ds + ∫ ds 2 2 C 2 EJy G⋅ A
En general la influencia de la deformación por corte puede despreciarse frente a las otras. 3.4.2) Es aplicable también para el cálculo de deformaciones, el Principio de Trabajos Virtuales:
δ =∫
MyMy Mx M x QzQ z ds + ∫ ds + χ ∫ ds EJy C GA
En donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos. Página 20 de 22
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Anexo A: Cálculo de solicitaciones por ecuaciones diferenciales: (cargas en el plano de la viga) Para hacer el análisis aislamos un elemento de viga de radio R y longitud ds con un ángulo dφ y le colocamos a este elemento, además de las cargas externas, las acciones que le transmite el resto de la viga para que no se alteren las condiciones de equilibrio y hacemos un planteo de las ecuaciones. o
dΦ R
R dΦ/2
Mz + dMz
Mz
Nx + dNx
Nx
ds q
Qy + dQy
p y q son cargas exteriores por unidad de longitud, actuantes en el tramo de longitud ds. P tiene dirección radial, como si fuera una presión y q tiene dirección angular.
Qy
P
1) Proyección de fuerzas según la bisectriz de dφ:
⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ p ⋅ R ⋅ dφ + Qy ⋅ cos ⎜ ⎟ − ( Qy + dQy ) ⋅ cos ⎜ ⎟ + N ⋅ sen ⎜ ⎟ + ( N + dN ) ⋅ sen ⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
p ⋅ R ⋅ dφ − dQy + N ⋅ dφ = 0
(1)
2) Proyección de fuerzas según la normal a dicha bisectriz:
⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ ⎛ dφ ⎞ q ⋅ R ⋅ dφ + Qy ⋅ sen ⎜ ⎟ − ( Qy + dQy ) ⋅ sen ⎜ ⎟ − N ⋅ cos ⎜ ⎟ + ( N + dN ) ⋅ cos ⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
q ⋅ R ⋅ dφ + Qy ⋅ dφ + dN = 0
(2)
3) Sumatoria de los momentos respecto de O: q ⋅ R 2 ⋅ dφ − N ⋅ R + ( N + dN ) ⋅ R − Mz + ( Mz + dMz ) = 0
q ⋅ R 2 ⋅ dφ + dN ⋅ R + dMz = 0
(3)
Reordenando las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene el siguiente grupo de tres ecuaciones:
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Vigas de Eje Curvo
Estructuras II
⎧ dQy ⎪ dφ − N = p ⋅ R ⎪ ⎪ dN + Qy = −q ⋅ R ⎨ φ d ⎪ ⎪ dMz dN +R⋅ = −q ⋅ R 2 ⎪ d φ d φ ⎩
(I) (II) (III)
Despejando (II) y reemplazando en (III):
dMz + R ⋅ ( −q ⋅ R − Qy ) = −q ⋅ R 2 dφ De donde se obtiene:
1 dMz ⋅ = Qy R dφ
(IV)
Teniendo en cuenta que R ⋅ dφ = ds resulta la misma relación entre el momento flector y el corte (recordar dM = Q ) que en vigas de eje recto. Esto permite, entre dx otras cosas, el control del diagrama de momentos (pendientes) con el valor del corte. Si se deriva la ecuación (I) respecto de φ, se obtiene: d 2 Qy dN dp − = ⋅R dφ 2 d φ dφ
De la ecuación (II) se tenía:
dN = −q ⋅ R − Qy dφ ⎛ dp ⎞ d 2 Qy + Qy = R ⋅ ⎜ + q ⎟ 2 dφ ⎝ dφ ⎠
(V)
Si ahora se deriva (IV) respecto de φ dos veces: 1 d 2 Mz dQy ⋅ = R dφ 2 dφ
1 d 3 Mz d 2Qy ⋅ = R dφ 3 dφ 2
Reemplazando en la (V)
⎛ dp ⎞ d 3 Mz dMz + = R 2 ⋅ ⎜⎜ − q ⎟⎟ (VI) 3 dφ dφ ⎝ dφ ⎠
Que nos da las relaciones de los esfuerzos característicos entre ellos y con las cargas externas.
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