1 CAPITULO 8 Vigas con losa colaborante. Teoría general La figura N°1 muestra una losa de concreto apoyada en un perfil H de acero. Si en el plano de contacto C-C no existe desplazamiento, la sección se deforma como indica la figura 1.a, con un eje neutro n-n. En el caso que exista deslizamiento, la viga y la losa se y deforman en forma independiente, con dos ejes neutros nv − nv n l − nl respectivamente. b
nl C
C
n
n
1.a
nl
nv
nv 1.b
Fig. N°1 Las vigas en las que se impide el deslizamiento entre viga y losa reciben el nombre de “vigas con losa colaborante”. En la figura N°2 se puede apreciar una viga de acero embebida en el hormigón , impidiendo el deslizamiento por adherencia natural entre el acero y el concreto.
b
Fig. N°2 Las vigas con losa colaborante, tienen las siguientes: Ventajas: • Economía en el peso del acero del orden del 20 al 30%. • Mayor rigidez. El momento de inercia de la sección compuesta es 2,0 a 2,5 veces mayor que la del perfil metálico, permitiendo controlar las deflexiones con alturas del orden de 1/30 a 1/40 de la luz, en lugar de 1/20 a 1/25 correspondiente a vigas corrientes. Si consideramos que en la altura total se incluye el espesor de la losa, se puede apreciar que la economía de dimensiones por este concepto es apreciable.
2 • Mayor duración de la losa por estar expuesta a compresión. Desventajas: • Mayor costo de fabricación por tener que agregar conectores que impidan el deslizamiento entre la viga y la losa. • En vigas contínuas no existe colaboración en la zona de momentos negativos. Este hecho complica el análisis, ya que el momento de inercia es variable y disminuye la economía. • Tienen poca flexibilidad para modificaciones en pisos tales como los industriales, en los que son frecuentes los cambios. En resumen, las vigas con losa colaborante son una excelente solución para estructuras de carácter permanentes, como puentes en carreteras. El diseño de vigas con losa colaborante puede hacerse por la teoría elástica o la plástica. Teoría elástica. b
b
b n
b n
fh
nf h
d
fc bo
n
vc
b1
vh
n
vt ft
a1
3.a
a
Fig. N°3
3.b
La figura N° 3 muestra una viga colaborante con una losa de espesor “ d ”. El ancho colaborante “ b ” de la losa es el mismo de las vigas “T” de hormigón armado y tiene el menor de los siguientes valores: TABLA N°1 Vigas centrales
Vigas extremas
Normas AISC L b≤ 4 b ≤ (bo + 16 ⋅ d ) a + a1 b≤ 2 L b≤ 12 b ≤ (b1 + 6 ⋅ d ) (b + a ) b≤ 1 2
Normas AASHTO L 4 b ≤ 12 ⋅ d a + a1 b≤ 2 L b≤ 12 b ≤6⋅d (b + a ) b≤ 1 2 b≤
3 Donde: L = luz de la viga a y a1 = distancia entre vigas El análisis se hace reemplazando la sección compuesta, por una sección E b , siendo n = la razón entre los módulos de Young n Eh
homogénea de acero de ancho
del acero y el hormigón. Las normas AISC y AASHTO prescriben los valores de “ n ” de acuerdo a la siguiente Tabla: TABLA N°2 Calidad del hormigón Resistencia cúbica
Resistencia cilíndrica
f c′
R28 2
Kg/cm 160 225 300 400
2
Kg/cm 136 191 255 340
2
Lbs/pulg 1930 2710 3620 4830
Norma AISC
Norma AASHO Cargas
Cargas
variables
permanentes
n
n
n′ = 3 ⋅ n
11 10 8 7
15 12 10 8
45 36 30 24
Se ha adoptado la relación “ f c′ = 0,85 ⋅ R28 ” entre la resistencia cilíndrica y la resistencia cúbica del hormigón. Las normas AASHTO consideran dos tipos de cargas: “Cargas permanentes” y “ Cargas variables”. Para las cargas permanentes, tales como el peso propio y los pavimentos, recomiendan usar un valor n’ = 3n que toma en cuenta los efectos de la contracción de fragua y el escurrimiento plástico, que aumentan la deformabilidad del concreto. Para cargas variables que actúan en tiempos cortos, como son las del tránsito, se usan los valores normales de “n”. Las normas AISC no hacen distinción. Durante la construcción a veces se alzaprima la viga metálica hasta que el concreto fragüe, descimbrándolo cuando la resistencia del hormigón alcance el valor 0,75 ⋅ R28 . En este caso todas las cargas son resistidas por la sección compuesta. Si por el contrario, no se usan alzaprimas, el perfil metálico sólo, debe resistir las cargas de montaje debidas al peso propio de la losa y la viga. El cálculo de fatigas de trabajo se basa en la teoría elástica de las vigas homogéneas y se calculan según la siguiente Tabla:
4 TABLA N°3 Vigas con alzaprimas Norma AISC
fh = Hormigón
Acero en compresión
fc =
M n ⋅ Wh M Wc
ft = Acero en tracción
Norma AASHO
M Wt
(M m + M p ) +
fh = fc =
ft =
n′ ⋅ Wh′
(M
m
+M
p
Wc '
Mm + M p Wt′
)
Mv n ⋅ Wh
+
Mv Wc
+
Mv Wt
TABLA N° 4 Vigas sin alzaprimas Norma AISC
M s n ⋅W h
fh =
fc =
Mm Ms + W ac W c
fc =
ft =
Mm Ms + W at Wt
fh = Hormigón
Acero en compresión
Acero en tracción
Norma AASHO
ft =
M
p
n 'W h '
+
M v nW h
Mm M p Mv + + Wac Wc′ Wc
Mp Mm Mv + + W at Wt ' Wt
Donde: M m = Momento de las cargas de montaje M p = Momento de las sobrecargas permanentes, posteriores al montaje. M v = Momento de las sobrecargas variables. Ms = M p + Mv
M = Mm + Ms = Mm + M p + Mv I c = Momento de inercia de la sección compuesta considerando el aporte equivalente en
acero del hormigón, respecto al eje neutro.
Wh =
Ic = Módulo resistente a la flexión del ala comprimida del perfil, considerando el vh
aporte equivalente en acero del hormigón.
5 Ic = Módulo resistente a la flexión del ala comprimida del perfil de acero. vc I Wt = c = Módulo resistente a la flexión del ala traccionada del perfil. vt ′ ′ ′ ′ I c , Wh , Wc , Wt = Los mismos valores anteriores con un n ′ = 3n
Wc =
Wac , Wat = Los módulos resistentes a la flexión considerando sólo el perfil de acero. En las zonas de momentos negativos, el análisis se hace para la sección de acero del perfil más el refuerzo longitudinal de la losa. Para tomar en cuenta el refuerzo por la losa de concreto, es necesario colocar conectores en dichas zonas. En la siguiente Tabla se dan las fatigas admisibles, según las normas Inditecnor, AISC y AASHTO. TABLA N° 5 Tabla de Fatigas Admisibles en Kg/cm2 Categoría
R28 =160 f c′ =136
Concreto
225 300 400
191 255 340
A44.28H A63.42
Refuerzo
Acero estructural Vigas colaborantes
Inditecnor
61 86 115 153
54(5) 76 102 136
1.500 2.000
1.400 1.690
1.400 -
Tracción
Cizalle
(2)
A37-24 ES A43-27 ES A52-34 ES
1.440 1.620 2.040
33,3 %
→
(2)
→ 0,60 ⋅ F f
(3)
→ 0,45 ⋅ f c′ → 0,40 ⋅ F f
(4) (6)
→ 0,40 ⋅ f c′ → 0,55 ⋅ F f
(7)
→ 0,33 ⋅ F f
(5)
(
El hormigón R28 = 400 kg cm
(1)
(3)
AASHTO
60 80 100 140(1)
Aumento de cargas eventuales
Observaciones
NORMA AISC
2
(4)
960 1.080 1.360
Tracción
Cizalle
(6)
1.320 1.540 1.870
800(7) 900 1.130
25 %
), no está normalizado en Inditecnor.
6 Tabla N° 6 Altura normal de vigas colaborantes según la AISC
Vigas colaborantes
Vigas vibratorias Vigas simplemente apoyadas Vigas contínuas en un extremo Vigas contínuas en ambos extremos
H Ff ≤ L 56 H 1 ≤ L 20 Usar L Usar 0,80 L Usar 0,65 L
Altura normal de vigas colaborantes según la AASHTO Acero Viga Perfil colaborante metálico 1/25 1/30 A 37-24 ES 1/22 1/27 A 42-27 ES 1/18 1/21 A 52-34 ES
7 Ejemplo: Dimensionar las vigas V1 y V2 de un puente ubicado en una carretera principal de 30 metros de luz, según las Normas AASHTO. Usar acero A5234 ES y hormigón R28 = 225 Kg/cm2 y vigas colaborantes sin alza primas. Asfalto : 0,05 m Concreto : 0,20 m
Montaje V1
V2 0,9 m
V1 1,8 m
1,8 m
Considerar como crítico para el diseño, el paso de camiones de 30 toneladas bruto, con el siguiente tren de carga: 0,4 W
0,4 W
0,2 W
4,2m
4,2m
Recordemos lo correspondiente a Fuerza cortante y momento flextor máximo absoluto en líneas de influencia. Fuerza cortante: En vigas simplemente apoyadas, la fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá en un punto localizado al lado de uno de los soportes. En este caso las cargas se sitúan de manera que la primera en secuencia se coloque cerca del apoyo como se muestra en la siguiente figura: P1
P2
P3
30 m Vmáx abs
Momento flextor: En este caso, el momento máximo absoluto asociado, no pueden en general , determinarse por simple inspección. Sin embargo, podemos determinar analíticamente la posición. Consideremos una viga simplemente apoyada sometida a las fuerzas P1 , P2 y P3, tal como indica la siguiente figura:
8
x P1
R x ( x − x) P3
P2
A
B
a1 L/2
a2 L
Como el momento máximo absoluto ocurrirá bajo una de las fuerzas. Supongamos que este momento máximo se produce bajo la carga P2 . La posición de las cargas P1 , P2 y P3 sobre la viga estará especificada por la distancia “ x ”, medida desde P2 al centro del claro de la viga, como se muestra en la figura. Para determinar un valor específico de “ x ”, obtenemos primero la fuerza resultante “R” del sistema y su distancia “ x ”, medida desde P2 . Aplicando sumatoria de momentos respecto al punto “B”, tenemos:
O sea:
⎛L ⎞ R ⋅ ⎜ − ( x − x )⎟ ⎝2 ⎠ ⎛L ⎞ y, Ay = M 2 = A y ⋅ ⎜ − x ⎟ − P1 ⋅ a1 2 ⎝ ⎠ L R⎛ L ⎞ ⎞ ⎛L M 2 = ⎜ − ( x − x )⎟ ⋅ ⎜ − x ⎟ − P1 ⋅ a1 L⎝2 ⎠ ⎠ ⎝2
⎛R R⋅x R⋅x⎞ L ⎛R R⋅x R⋅x⎞ + + M2 = ⎜ − ⎟⋅ −⎜ − ⎟ ⋅ x − P1 ⋅ a1 L L ⎠ 2 ⎝2 L L ⎠ ⎝2 Para obtener un “M2” máximo, tenemos:
dM 2 R R R ⋅ x 2 R ⋅ x = − + − =0 dx L L 2 2
⇒
x=
x 2
Luego, podemos concluir, que el momento máximo absoluto en una viga simplemente apoyada, ocurre bajo una de las fuerzas concentradas, cuando esta fuerza se ubica sobre la viga de modo que ella y la fuerza resultante del sistema estén equidistantes del centro de la viga. 1. Solicitaciones: a. Sobrecargas de montaje (m): ⎛ ton ⎞ Losa: 0,20 (m) x 2,4(ton/m3) = 0,48 ton/m2 ⇒ q L = 0,48 ⋅ 1,8 = 0,87⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ppviga = 0,35(ton / ml ) Suponemos un peso propio de viga: Luego:
qm = q L + ppviga = 0,87 + 0,35 = 1,22(ton ml )
9
qm = carga de montaje
q m ⋅ L2 1,22 ⋅ (30 )2 Mm = = = 137,3(ton − m ) 8 8 q ⋅ L 1,22 ⋅ 30 Vm = m = = 18,3(ton ) 2 2 b. Cargas permanentes(p) (asfalto): ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ Asfalto (espesor alfalto = 5 cm): → 0,05(m) ⋅ 2,6⎜ 3 ⎟ = 0,13⎜ 2 ⎟ ⎝m ⎠ ⎝m ⎠
⎛ ton ⎞ q p = 0,13 ⋅ 1,8 = 0,234⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ q p ⋅ L2 0,234 ⋅ (30 )2 Mp = = = 26,3(ton − m ) Luego: 8 8 q p ⋅ L 0,234 ⋅ 30 Vp = = = 3,5(ton ) 2 2 ⇒
c. Sobrecargas variables: Impacto: Los vehículos pueden rebotar o ladearse al circular sobre un puente, provocando un impacto en la cubierta de éste. El incremento porcentual de cargas vivas debido al impacto se llama “ factor de impacto = I”. Este factor se obtiene generalmente de fórmulas desarrolladas a partir de la evidencia experimental. Para puentes carreteros, las especificaciones AASHTO requieren que: I=
50 ≤ 0,3 donde L= longitud del claro en pies. L + 125
Con L = 30(m) ⇒ L =
3000 = 98,4( pies) 2,54 ⋅ 12
50 50 = = 0,22 < 0,3 ⇒ OK (L + 125) (98,4 + 125) Camión ⇒ W = (1 + 0,22) ⋅ 30 = 36,6(ton) O sea: P1 = 0,2W = 7,32(ton) I=
P2 = P3 = 0,4W = 14,6(ton) Si tomamos la carga P1 como referencia, entonces la carga “ R = P1 + P2 + P3 ” estará ubicada a la siguiente distancia de la carga P1 . x=
P1 ⋅ 0 + P2 ⋅ 4,2 + P3 ⋅ 8,4 14,6 ⋅ (4,2 + 8,4 ) = = 5,02(m ) 36,6 P1 + P2 + P3
10
Alternativa 1. Supongamos que el momento máximo absoluto se genera con la carga central de 14,6 (ton). Entonces: R=36,6(ton)
0,41m
14,59m 14,6
14,6 7,3ton
0,82 30m
Vizq =
36,6 ⋅ 14,59 = 17,8(ton ) 30
M = 17,8 ⋅ 14,59 − 7,3 ⋅ 4,2 = 229(ton − m ) Alternativa 2. Si el máximo absoluto se genera con la carga extrema de 14,6 ton.. Entonces: R=36,6(ton) 1,69m 14,6ton
7,3ton 14,6
16,69m
3,38 30m
Vder =
M = 16,2 ⋅ (16,69 − 3,38) = 215,6(ton − m )
36,6⋅ (30−16,69) =16,2(ton) 30
O sea, el momento máximo absoluto es M = M V = 229(ton − m ) , Y el esfuerzo de corte máximo absoluto se obtiene con el tren de carga ubicado como se indica a continuación: R=36,6(ton)
3,38m 7,3ton
14,6
14,6ton
30m
V =
36,6 ⋅ (30 − 3,38) = 32,5(ton ) 30
11
Entonces, el momento máximo y el esfuerzo de corte máximo absoluto, son: M V = 229(ton − m )
VV = 32,5(ton ) Resumen
Carga Montaje “m” Permanente "p" Variable "v" Total “t”
Losa+pp asfalto
Esfuerzo Momento Corte "V" "M" (ton) (ton-m) 18,3 137,3 3,5 26,3
Impacto
32,5
229
54,3
392,6
Predimensionamiento. Altura: AASHTO recomienda:
L 30 = = 1,43(m ) 21 21 L 30 H≤ = = 1,67(m ) 18 18
Perfil metálico : H ≤ Viga colaborante :
Usaremos una viga H 135 cm y un espesor de 20 cm para la losa.
20 cm
135 cm
Alma:
AASHTO recomienda: h 1350 Espesor e > = = 9,6(mm ) = 0,96(cm ) 140 140 Pero:
Luego,
⎛ ton ⎞ Fv = 0,33 ⋅ F f = 0,33 ⋅ 3,4 ≈ 1,13⎜ 2 ⎟ ( ver Tabla N° 5) ⎝ cm ⎠ V 54,3 Area Ao ≥ total = = 48,1 cm 2 Fv 1,13
( )
12
Ao 48,1 = = 0,357(cm ) < 0,96(cm ) h 135 O sea “e” debe ser mayor o igual que el mayor valor entre (h 140 ) y ( Ao h ) . En este Además,
Ao = e ⋅ h ⇒ e =
caso, e ≥ 9,6(mm ) . Sea e = 10(mm).
Ala superior : Durante el montaje de las losas:
(
Fc = 0,55 F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87 ton cm 2
M m = 137,3(ton − m ) C Pero: Fc ≥ f c → Fc ≥ → C ≤ Fc ⋅ Aala Aala M Mm Mm ≈ C ⋅ h → C ≈ m → ≤ Fc ⋅ Aala Además: h h M m 137,3 ⋅ 100 Entonces: Aala ≥ = = 54,4 cm 2 Fc ⋅ h 1,87 ⋅ 135
( )
( ).
Usaremos placas de 300x20 mm ⇒ Aala = 30 ⋅ 2 = 60 cm Verificación del posible pandeo local del ala comprimida: 25,2 25,2 ⎛ b ⎞ 15 = 7,5 < = = 13,7 → Qs = 1 ⎜ ⎟= Ff 3,4 ⎝e⎠ 2
Ala inferior: Datos disponibles:
2
M total = 392,6(ton − m ) h = 135(cm ) ⎛ ton ⎞ Ft = 0,55 ⋅ F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ 2 ⎟ (Ver Tabla N° 5) ⎝ cm ⎠
Luego: : →
M total = Ft ⋅ Aala ⋅ h M 392,6 ⋅ 100 Aala = total = = 155,5 cm2 Ft ⋅ h 1,87 ⋅ 135
( )
Usaremos placas de 540 x 30 mm. (PL 54x3)
→
( )
Aala _ inf = 54 × 3 = 162 cm 2
)
13 Verificación del posible P.L. del ala:
⎛ 54 ⎞ ⎜ ⎟ 25,2 25,2 ⎛b⎞ ⎝ 2 ⎠ =9< = = 13,7 → OK ⎜ ⎟= e 3 , 0 F 3 , 4 ⎝ ⎠ f En resumen:
180 cm
20 cm PL 30 x 2 PL 130 x 1,0
135 cm
PL 54 x 3
Propiedades: a) Ancho colaborante (b). Es el menor de los siguientes valores: L 30 b≤ = = 5,75(m ) 4 4 b ≤ 12 ⋅ d = 12 ⋅ 0,2 = 2,4(m ) a + a1 1,8 + 1,8 b≤ = = 1,8(m ) 2 2 Luego, b = 180 (cm) b) Perfil de acero Cálculo del momento de inercia del perfil de acero respecto a su eje neutro:
I x = IG + y2 ⋅ A
Fórmula: Luego:
(T. Steigner para ejes paralelos)
dist.
Considera sólo la viga de acero. Elemento
b
h
A
Ala superior PL Alma PL Ala inferior PL
30 1 54
2 130 3
60 130 162
Sub Total:
352,0
y
A*y
Mto Inerc
entre
propio eje
ejes
IGO
yo
134,0 8.040 20 85,4 68,0 8.840 183.083 19,4 1,5 243 122 47,1 86,4 48,6 17.123
Total: 135,0
Mto. Inerc r.eje neutro
yo2A 437.130 48.701 360.068
IGO+yo2A 437.150 Wac 231.784 360.189 Wat
IG= 1.029.123
cm3 11.917 21.156
14
Entonces:
Wac =
( )
Wat
( )
I G 1.029.123 = = 11.917 cm 3 vc 86,4 I 1.029.123 = G = = 21.156 cm 3 48,6 vt
⎛ kg ⎞ pp = Area( dm 2 ) ⋅ Long .unitaria ( dm) ⋅ Pesoespecífico⎜ ⎟ + 15%(det alles ) 3 ⎝ dm ⎠
Peso propio :
⎛ 352 ⎞ ⎛ kg ⎞ pp = ⎜ 2 ⋅10 ⋅ 7,8 ⎟ ⋅1,15 = 316⎜ ⎟. ⎝ ml ⎠ ⎝ 10 ⎠ Conjunto compuesto por viga y losa con n'=3*n=36 Elemento
b
h
A
Equiv. hormigón en acero
5 30 1 54
20 2 130 3
100 60 130 162
Ala superior PL Alma PL Ala inferior PL Sub Total:
452,0
y
A*y
W H′ =
IG
=
yo
145 14.500 3.333 75,0 134,0 8.040 20 64,0 68,0 8.840 183.083 2,0 1,5 243 122 68,5 85,0 70,0 31.623
Total: 155,0
Luego :
IGO
yo2A 563.064 246.049 501 759.310
IGO+yo2A 566.398 W'H 246.069 W'c 183.584 759.431 W't
cm3 20.644 26.992 25.092
IG= 1.755.482
( )
1.755.482 = 20.644 cm 3 85
vH I 1.755.482 = 26.992 cm 3 Wc′ = G = (85 − 20) vc I 1.755.482 Wt′ = G = = 25.092 cm 3 70 vt
( )
( )
Conjunto compuesto por viga y losa con n=12 Elemento
b
h
A
Equiv. hormigón en acero
15 30 1 54
20 2 130 3
300 60 130 162
Ala superior PL Alma PL Ala inferior PL Sub Total:
y
A*y
IGO
yo
yo2A
IGO+yo2A
145 43.500 10.000 52,0 811.822 821.822 WH 134,0 8.040 20 41,0 100.958 100.978 Wc 68,0 8.840 183.083 25,0 81.120 264.204 1,5 243 122 91,5 1.355.713 1.355.835 Wt 62,0 652,0 93,0 60.623 IG= 2.542.839 Total: 155,0
cm3 41.000 60.515 27.348
15
WH =
IG
=
( )
2.542.839 = 41.000 cm 3 62
vH I 2.542.839 = 60.515 cm 3 Wc = G = (62 − 20) vc I 2.542.839 Wt = G = = 27.348 cm 3 93 vt
( )
( )
Verificación: Viga de acero, durante el montaje: Esfuerzo de corte:
Vm = 18,3(ton )
( )
Ao = (135 − 2 − 3) ⋅ 1,0 = 130 cm 2
fV =
Vm 18,3 ⎛ ton ⎞ = = 0,14 < FV = 0,33 ⋅ F f = 0,33 ⋅ 3,4 = 1,13⎜ 2 ⎟ → OK Ao 130 ⎝ cm ⎠ Pandeo local:
⎛ h ⎞ 130 = 130 < 140 ⇒ O.K . ⎜ ⎟= ⎝ e ⎠ 1,0 Momento flextor:
M m = 13.730(ton − cm )
( )
Wac = 11.917 cm 3 Luego:
fc =
M m 13.730 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = = 1,15⎜ 2 ⎟ < 0,55 ⋅ F f = 0,55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ 2 ⎟ → OK Wac 11.917 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
La fórmula de la AASHTO para el volcamiento es : 2 2 ⎡ ⎛ L′ ⎞ ⎤ ⎛ L′ ⎞ F = 1,25⎢1,87 − 0,001 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 2,34 − 0,00125 ⋅ ⎜ ⎟ ≥ 1,37 ⎝ b ⎠ ⎦⎥ ⎝b⎠ ⎣⎢ 2
O sea:
(2,34 − 1,37) ⎛ L ′ ⎞ L′ ≥ ⎜ ⎟ ⇒ ≤ 27,9 0,00125 b ⎝b⎠ Para b = 30(cm ) → L ′ ≤ 27,9 ⋅ 30 = 837(cm ) Se deberán colocar arriostramientos cada 837 cm como máximo.
16
Asfalto : 0,05 m Concreto : 0,20 m
0,9 m
Entonces:
1,8 m
1,8 m
Para el ala traccionada:
V1
V1
V2
( )
Wat = 21.156 cm 3 M 13.730 ⎛ ton ⎞ f mt = m = = 0,65⎜ 2 ⎟ Wat 21.156 ⎝ cm ⎠
⎛ ton ⎞ Fm = 0,55 ⋅ F f = 0.55 ⋅ 3,4 = 1,87⎜ 2 ⎟ ⇒ f mt < Fm → O.K . ⎝ cm ⎠ Viga colaborante: (Ver Tabla N° 3) Vigas colaborantes sin alza prima Hormigón: →
fH =
Mp n′ ⋅ WH′
+
MV 2.633.000 22.931.000 ⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = + = 3,6 + 46,6 = 50,2⎜ 2 ⎟ < 76⎜ 2 ⎟ n ⋅ WH 36 ⋅ 20.644 12 ⋅ 41.000 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
Acero en compresión: →
M m M p MV + + Wac Wc′ Wc 13.730 2.633 22.931 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + + = 1,15 + 0,098 + 0,38 = 1,63⎜ 2 ⎟ < 1,87⎜ 2 ⎟ fc = 11.917 26.992 60.515 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ fc =
Acero en tracción: →
M m M p MV + + Wat Wt′ Wt 13.730 2.633 22.931 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ ft = + + = 0,65 + 0,10 + 0,84 = 1,59⎜ 2 ⎟ < 1,87⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . 21.156 25.092 27.348 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ ft =
17
Norma: AASHTO
Datos: Altura de la viga de acero
Altura de la losa Hormigón Ala superior PL
180 30
Resultados
135
n´=3n
36
debe ser
20
n
12
< que:
20
fH
50,2
2
fc
1,63
76 1,87
O.K O.K.
ton-m
ton-cm
unidad
Mm
137,3
13.730
kg/cm2
Mp
26,3
2.633
2
Mv
229,3
22.931
2
Ms
255,63
25.563
ton/cm
Alma PL
130
1
ft
Ala inferior PL
54
3
ton/ml
Vm
17,7
Distancia entre vigas(m)
1,8
qlosa
0,86
Vp
3,5
dist. entre ruedas camión
4,2
qasfalto
0,23
Vv
32,6
Tonelaje camión
30
ppviga
0,32
Vtotal
53,8
Luz del puente (m)
30 5
qtotal F.Impact
1,41 0,224
espesor del asfalto (cm)
1,59
1,87
O.K.
ton/cm
18
Conectores de Cizalle Los conectores de cizalle son los elementos mecánicos encargados de evitar el desplazamiento entre las superficies en contacto entre el acero y la losa en las vigas colaborantes. Los conectores se sueldan al ala superior de la viga metálica y quedan embebidos en el hormigón. Se utilizan en diversos tipos: perfil canal o zeta, vástagos, espirales, para los cuales se han determinado datos empíricos para determinar su capacidad resistente. No se considera la adherencia directa entre la losa y el ala de la viga de acero, debido a que ésta puede deteriorarse y perderse debido a la retracción del hormigón y las vibraciones causadas por las sobrecargas móviles.
L
H
e D
La Norma AASHTO, define las resistencias útiles de cada tipo de conector, y se basan en un criterio que limita el deslizamiento relativo entre el hormigón y la viga de acero. Sea: Qu = Capacidad del conector.
Qadm = Carga admisible de corte por conector. F .S . = Factor de seguridad. En general F .S . = 4
Entonces:
Qadm =
Qu Q = u F .S . 4
La capacidad de carga útil para conectores constituídos por vástagos, está dada para cada vástago por la siguiente expresión: Para: Para:
H ≥ 4,2 ⇒ D H < 4,2 ⇒ D
Qu = 87 ⋅ D 2 ⋅ Qu = 21 ⋅ D ⋅ H ⋅
fc
′ fc
′
19
Unidades:
D(cm ) → DiámetrodelVástago
Qu (kg ) ′ ⎛ kg ⎞ f c ⎜ 2 ⎟ → Resistencia cilíndrica de compresión del hormigón. ⎝ cm ⎠ H = Altura del vástago en (cm)
Para conectores constituídos por perfiles canal de espesor constante, la carga útil por conector es:
Qu = 71 ⋅ e ⋅ L ⋅
fc
′
Las unidades de “e” y “L” son en cm.
Ejemplo: Diseñar las vigas metálicas y conectores de la viga colaborante de un puente peatonal de 13,5 metros de longitud, que será construido sin utilizar alzaprimas. Considerar una sobrecarga de 450 (kg/m2) y una distancia entre vigas de 210 cm. El espesor de la losa es de 15 cm. y la resistencia cilindrica del hormigón es 225 (kg/cm2). Usar un acero A 42-27 ES. n =10. •
Carga por viga Peso propio de la losa: q L = elosa ⋅ d entrevigas ⋅ γ pesoespec.
Sobrecarga:
⎛ ton ⎞ q L = 0,15 ⋅ 2,10 ⋅ 2,4 = 0,756⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ q sc = 0,45⎜ 2 ⎟ ⋅ d entrevigas = 0,45 ⋅ 2,1 = 0,945⎜ ⎟ ⎝m ⎠ ⎝ ml ⎠
M sc
q sc ⋅ L2 0,945 ⋅ 13,5 2 = = = 21,53(ton − m ) 8 8
Peso propio de la viga (supuesto) :
⎛ ton ⎞ ppv = 0,16⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠
Carga de montaje y momento de montaje:
qm = q L + ppv
⎛ ton ⎞ qm = 0,756 + 0,16 = 0,916⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ Mm =
qm ⋅ L2 0,916 ⋅ 13,5 2 = = 20,87(ton − m ) 8 8
20
Sobrecargas permanentes:
⎛ ton ⎞ q p = q sc = 0,945⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ q p ⋅ L2
0,945 ⋅ 13,5 2 = 21,53(ton − m ) 8 8 ⇒ M s = M p + M v = 21,53(ton − m ) Mp =
=
⇒ M total = M sobrec arg a + M m = 21,53 + 20,87 = 42,4(ton − m )
•
Prediseño del perfil metálico. Esto es para tener una idea del tamaño. Se puede tantear usando el M total sin la colaboración de la losa. Solicitación:
Wx =
( )
Mt Mt 4.240 = = = 2.617 cm 3 Ft 0,6 ⋅ F f 0,6 ⋅ 2,7
Como sabemos que tendremos la colaboración de la losa, seleccionamos un perfil suponiendo que la colaboración de la losa a la resistencia del conjunto es aproximadamente del orden del 20 %. Esto lo reflejamos con un perfil que tenga un módulo resistente cercano al 80% del calculado anteriormente. Sea éste un perfil IN 45x104, que tiene las siguientes propiedades:
( ) I = 50.900(cm ) A = 133(cm )
Wx = 2.260 cm 3
4
x
2
H = 45(cm ) B = 25(cm ) •
Análisis de tensiones: Las cargas durante el montaje son resistidas sólo por la viga metálica. Las cargas de montaje son: peso propio de la losa (el hormigón se encuentra fresco, por lo que no aporta a la resistencia del conjunto), más el peso propio de la viga (104 kg/ml). Luego,
21
⎛ ton ⎞ qm = q L + ppv = 0,756 + 0,104 = 0,86⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ qm ⋅ L2 0,86 ⋅ 13,5 2 Mm = = = 19,6(ton − m ) 8 8 M 1.960 ⎛ ton ⎞ fm = m = = 0,867⎜ 2 ⎟ Wx 2.260 ⎝ cm ⎠ Esta tensión de trabajo
es bastante menor que
la tensión admisible
⎛ ton ⎞ ⎟⎟ , por lo que se dispone de un amplio Fc = Ft = 0,6 ⋅ F f = 0.6 ⋅ 2,7 = 1,62⎜⎜ cm ⎝ 2⎠ margen para soportar las sobrecargas de construcción, tales como operarios, equipos, moldajes, etc. •
Ancho colaborante de la losa. Según la Norma AASHTO
13,5 L ⇒b≤ ⇒ b ≤ 3,375(m ) 4 4 b ≤ 12 ⋅ d ⇒ b ≤ 12 ⋅ 0,15 ⇒ b ≤ 1,8(m ) ⇐ Controla a + a1 2,1 + 2,1 b≤ ⇒b≤ ⇒ b ≤ 2,1(m ) 2 2 b≤
Luego, el ancho colaborante de la losa es 180 cm. Cálculo de Wh ,Wc ,Wt
18
180 15 Eje neutro
45
y 25 Sección efectiva
Sección equivalente en acero
22
y=
A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 18 ⋅ 15 ⋅ (45 + 7,5) + 133 ⋅ 22,5 = = 42,6(cm ) A1 + A2 18 ⋅ 15 + 133
18 ⋅ (15) 45 ⎞ ⎛ 2 = + (45 − 42,6 + 7,5) ⋅ 18 ⋅ 15 + 50.900 + ⎜ 42,6 − ⎟ ⋅ 133 2⎠ 12 ⎝ 2
3
I ejeneutro
( )
I ejeneutro = 136.159 cm 4
Luego:
I eje−neutro
( )
(45 + 15 − y )
Wc =
I eje−neutro
(45 − y )
=
136.159 = 56.733 cm 3 2,4
Wt =
I eje−neutro
=
136.159 = 3.196 cm 3 42,6
(y )
=
136.159 = 7.825 cm 3 17,4
Wh =
( )
( )
Entonces, las tensiones de trabajo son:
fh =
Ms 2.153.000 ⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = = 27,5⎜ 2 ⎟ < 80⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . n ⋅ Wh 10 ⋅ 7.825 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
fc =
M m M s 1.960 2.153 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 0,905⎜ 2 ⎟ < 2,04⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Wac Wc 2.260 56.733 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
ft =
M m M s 1.960 2.153 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 1,54⎜ 2 ⎟ < 2,04⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K Wat Wt 2.260 3.196 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
23 •
Conectores de corte. Consideraremos vástagos en filas de a tres, de acuerdo al detalle indicado en la siguiente figura:
H D
Entonces:
fv =
V ⋅S V ⋅S ⇒ fv ⋅ b = I ⋅b I
c
(fuerza por unidad de ancho)
Resistencia admisible por unidad de longitud =
nc ⋅ Qadm ⋅ I V ⋅S
c≤
Luego,
nc ⋅ Qadm V ⋅ S ≥ c I
(espaciamiento requerido)
Si usamos vástagos de 3”x1”, entonces:
D = 2,54(cm ) H = 7,6(cm ) H 7,6 = = 3 < 4,2 ⇒ Qu = 21 ⋅ D ⋅ H D 2,54
f c′
Entonces:
Qu 21 ⋅ D ⋅ H f c′ 21 ⋅ 2,54 ⋅ 7,6 ⋅ 225 = = = 1.520(kg ) 4 4 4 b d 15 ⎞ ⎛ ⎞ 180 ⎛ S = ⋅ d ⋅⎜H + − y⎟ = ⋅ 15 ⋅ ⎜ 45 + − 42,6 ⎟ = 2.673 cm 3 n 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 10 ⎝
Qadm =
( )
Luego,
nc ⋅ Qadm ⋅ I 3 ⋅ 1,52 ⋅ 136.159 232,2 = = V ⋅S V ⋅ 2.673 V El esfuerzo de corte “ V ” se encuentra expresado en (ton) en esta última fórmula. q⋅L Luego, Vmáx = 2 c≤
Los conectores sólo toman el esfuerzo rasante debido al peso de la losa y las sobrecargas. O sea:
24
⎛ ton ⎞ q = q L + q sc = 0,756 + 0,945 = 1,7⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ 1,7 ⋅ 13,5 Vmáx = = 11,48(ton ) 2
V = −0,017 ⋅ x + 11,48 11,48
9,44
6@20 120
6,176
8@24
9@37
192
333
30
675 cm
N° de L/2 = 675 espac. longitud acum. diferencia
V (ton)
232,2/V (cm)
Usar c (cm)
11,48 9,44 6,176
20,2 24,6 37,6
20 24 37
6 8 9
ocupada (cm)
pendiente (cm)
120 (120+192)=312 (312+333)=645
555 363 30
25
Problema N°2 Usando la Norma AASHTO, diseñar los conectores de cizalle para el tramo de 40 metros de la viga colaborante central de la siguiente estructura: 22 cm
2,05 m
2,65 m
Gráfico de esfuerzo de corte de la viga colaborante, que considera las cargas permanentes. 148,8
Vx (ton )
(+)
46,8
x (-) 96,9
119,5 27 m
40m
Datos complementarios: • Resistencia cúbica del hormigón :300 kg/cm2 . • Usar vástagos de 12,7 x 2,54 cms. en corridas de 7 vástagos. • Viga central con perfil IN 90 x 254. B= 35 cm; e = 3,2 cm; t = 1,2 cm; A = 324 cm2; Ix = 481.000 cm4 Para el cálculo de los conectores de corte, dividir el sector de esfuerzos de corte positivo en tres tramos y el de esfuerzos de corte negativo en dos tramos. Solución: Espaciamiento requerido:
c≤
nc ⋅ Qadm ⋅ I V ⋅S
• Cálculo del “ Qadm ” Si usamos vástagos de 5”x1”, entonces:
D = 2,54(cm ) H = 12,7(cm ) H 12,7 = = 5 > 4,2 ⇒ Qu = 87 ⋅ D 2 ⋅ D 2,54 2
Entonces:
Qadm
87 ⋅ D ⋅ Q = u = 4 4
f c′
f c′
87 ⋅ 2,54 2 ⋅ 255 = = 2.240(kg ) 4 Qadm = 2.240(kg )
26
•
Ancho colaborante de la losa: Según la Norma AASHTO
L 40 → b≤ → b ≤ 10(m ) 4 4 b ≤ 12 ⋅ d → b ≤ 12 ⋅ 0,22 → b ≤ 2,64(m ) a + a1 2,65 + 2,05 b ≤ 2,35(m ) Controla el diseño → b≤ → b≤ 2 2
b≤
Luego, el ancho colaborante de la losa es 235 cm. • Ancho colaborante equivalente: Según la Norma AASHTO n = 10 → n′ = 3n → Luego:
b 235 = = 7,83(cm ) n′ 30 •
→
n′ = 30
b = 7,83(cm ) n′
Ubicación del eje neutro: 7,83
235 22 Eje neutro
90
y 35 Sección efectiva
y= •
Sección equivalente en acero
A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 7,83 ⋅ 22 ⋅ (90 + 11) + 324 ⋅ 45 = = 64,44(cm ) 7,83 ⋅ 22 + 324 A1 + A2
Momento de inercia del àrea total respecto al eje neutro:
90 ⎞ 7,83 ⋅ (22)3 ⎛ = + (90 − 64,44 + 11)2 ⋅ 7,83 ⋅ 22 + 481.000 + ⎜ 64,44 − ⎟ ⋅ 324 2⎠ 12 ⎝ 2
I ejeneutro
( )
I ejeneutro = 840.640 cm 4
27
•
Momento estático para la secciòn en la que se produce el cortante:
S= •
( )
b d 22 ⎞ ⎛ ⎞ 235 ⎛ ⋅ 22 ⋅ ⎜ 90 + − 64,44 ⎟ = 6.300 cm 3 ⋅d ⋅⎜H + − y⎟ = n′ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ 30 ⎝
Expresión que define la distancia entre conectores de corte:
c≤
•
nc ⋅ Qadm ⋅ I 7 ⋅ 2,24 ⋅ 840.640 2.092 = = V ⋅S V ⋅ 6.300 V 2.092 c≤ V
Ecuación para el esfuerzo de corte en el tramo en estudio, con “ x ” en (cm ) :
Vx = 148,8 − 0,061425 ⋅ x •
Distancia entre los conectores de cizalle: N° de espac.
V (ton)
2.092/V (cm)
Usar c (cm)
148,8 99,78 50,64 -47,76 -96,9
14,06 20,96 41,3 43,8 21,59
14 20 40 40 20
57 40 20 20 40
longitud acum.
diferencia
ocupada (cm)
pendiente (cm)
798 (800+798)=1598 (800+1598)=2398 3200 4000
3.202 2.402 1.602 800 0
28
Vigas embebidas La figura siguiente muestra una viga embebida en hormigón en la que se han considerado las dimensiones mínimas prescritas por las Normas. Con el objeto de evitar descascaramiento del hormigón es necesario colocar un refuerzo mínimo formado por estribos ( 0,2% del área del hormigón). Refuerzo mínimo
2
2
1
1
3
3
≥ 5cm Las vigas embebidas se calculan por la teoría elástica clásica, suponiendo colaboración completa. Debido a la gran superficie de contacto no es necesario colocar conectores. Las fatigas admisibles del concreto son las de la Tabla 5. Para el acero, que está totalmente confinado, se aceptan la fatiga 0,66 F f . En las zonas de momentos positivos es necesario comparar la fuerza rasante “H” que se calcula con la fórmula que se indica a continuación, con la resistencia al cizalle más la adherencia en la línea 1221 (ver Fig. anterior)
H=
V ⋅ Sc Ic
Donde: V= es el esfuerzo de corte S c = Momento estático del concreto de la sección equivalente respecto al eje neutro.
I c = Momento de inercia de la viga colaborante.
29
En los momentos negativos hay que hacer la misma verificación en 3443. Conviene que el ala superior penetre lo más posible en la losa, tanto para mejorar esta condición como para disminuir la altura total. Como método alternativo, la Norma permite calcular la zona de momentos positivos con el perfil metálico solamente, usando una fatiga admisible de 0,76 Ff. Esta recomendación es empírica. Si no se usan alzaprimas debe calcularse el perfil para las condiciones de montaje. La siguiente Tabla resume las condiciones de diseño de vigas embebidas.
TABLA N° 7 Vigas embebidas. Elemento
Normas AISC-Inditecnor
Condición
Fatigas admisibles A 37-24 ES A 42-27 ES A 52-34 ES
Perfil de acero ton/cm2
Hormigón Kg/cm2
montaje Método alternativo, M+ Viga embebida
1,92 1,82 1,58
2,16 2,05 1,78
2,72 2,58 2,25
0,8 Ff 0,76Ff 0,66Ff
n compresión Cizalle (mín/máx) Adherencia
R28160 11 60 6/16 6
R28225 10 80 7/18 8
R28300 8 100 8/20 11
R28400 7 140 10/25 15
Refuerzo 2
Kg/cm
A 44.28
A 63.42
1.500
2.000
Ejemplo: Diseñar las viguetas V1 y las vigas maestras VM1 del piso de un restaurante ubicado en un segundo piso, estructurado como indica la siguiente figura: Cada
A
B
4
V1
1
D
VM1
3
2
C
VM1
V1
V1
V1
V1
V1
VM1
VM1 9@4=36 mts
V1
V1
V1
3@8=24 mts V1
30
Consideraciones: • Usar Acero A52-34 ES. • Concreto R28 =225 Kg/cm2 • Espesor de la losa : 20 cm • V1 ⇒ Vigas embebidas con apoyo simple. Sin alza prima • VM1 ⇒ Viga colaborante, continua. Sin alza prima. • Espesor del pavimento : 4 cm.
Diseño: 1. Vigas V1. Se diseñará como viga embebida. a) Cargas.
L = 8(metros) a = 4(metros)
⎛ ton ⎞ Losa : 0,20 ⋅ 4 ⋅ 2,4 = 1,92⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ Pavimento : 0,04 ⋅ 4 ⋅ 2,4 = 0,384⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ PesopropioViga : 0,2⎜ ⎟ → Supuesto ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ Sobrec arg a : 0,5 ⋅ 4 = 2,0⎜ ⎟ → Re staurante ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠
Carga de montaje: qm = qlosa + ppviga = 1,92 + 0,2 = 2,12⎜ Carga
permanente:
⎛ ton ⎞ q p = q pavimento + q sobreg arg a = 0.384 + 2,0 = 2,384⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ Carga total: qt = qm + q p = 2,12 + 2,384 = 4,504⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ a) Solicitaciones y tensiones admisibles.
qm ⋅ L2 2,12 ⋅ 8 2 = = 16,96(ton − m) 8 8 q p ⋅ L2 2,384 ⋅ 8 2 Mp = = = 19,072(ton − m) 8 8 Mm =
31
qt ⋅ L2 4,504 ⋅ 8 2 Mt = = = 36,03(ton − m) 8 8 b) Predimensionamiento. La AISC para vigas estipula que la altura normal de una viga colaborante queda establecida a través de la siguiente relación:
H Ff ≤ L 56 En nuestro caso:
H≤
Ff ⋅ L 56
=
3,4 ⋅ 800 = 48,6(cm) 56
Además, se debe cumplir que:
fm =
Mt ≤ 0,76 ⋅ F f Wx
⇒ Wx ≥
( )
Mt 3.603 = = 1.394 cm 3 0,76 ⋅ F f 0,76 ⋅ 3,4
Probaremos un perfil IN 35x77,8. Características del perfil: Ix = 23.900 cm4 Wx =Wac=Wat= 1.370 cm3 A = 99,1 cm2 B=25 cm H = 35 cm
⎛ ton ⎞ ppviga = 0,0778⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠
Luego, Entonces:
⎛ ton ⎞ ⎟ ⎝ ml ⎠
Carga de montaje: qm = qlosa + ppviga = 1,92 + 0,0778 = 2,0⎜ Carga
permanente:
⎛ ton ⎞ q p = q pavimento + q sobreg arg a = 0.384 + 2,0 = 2,384⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ Carga total : qt = qm + q p = 2,0 + 2,384 = 4,384⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ c) Solicitaciones y tensiones admisibles.
qm ⋅ L2 2,0 ⋅ 8 2 Mm = = = 16,0(ton − m) 8 8
→
M m = 1600(ton − cm )
32
q p ⋅ L2
2,384 ⋅ 8 2 = 19,07(ton − m) → 8 8 → M s = M p + M V = 19,07(ton − m )
Mp =
M p = 1907 (ton − cm )
=
M s = 1907 (ton − cm )
d) Verificación de la resistencia de la viga de acero, considerando la acción de las cargas de montaje:
f ac = f at =
M m 1.600 ⎛ ton ⎞ = = 1,168⎜ 2 ⎟ < Wx 1.370 ⎝ cm ⎠
⎛ ton ⎞ Fm = 0,8 ⋅ F f = 0,8 ⋅ 3,4 = 2,72⎜ 2 ⎟ ⎝ cm ⎠
e) Verificación del prediseño de la viga embebida: Cálculo del ancho “b” colaborante de la losa: L 800 = = 200(cm) 4 4 bo + 16 ⋅ d = 25 + 16 ⋅ 20 = 345(cm)
a + a1 400 + 400 = = 400(cm) 2 2 b = 200(cm ) Luego, El eje neutro queda generalmente dentro de la losa y se calcula a través de la solución de la ecuación siguiente : b
b n 5
y
d
5
Tomando como referencia un eje que pasa por la superficie superior de la losa:
33
y ⎛H ⎞ b A ⋅ ⎜ + 5⎟ + ⋅ y ⋅ 2 ⎝2 ⎠ n y= b ⎞ ⎛ ⎜ A + ⋅ y⎟ n ⎠ ⎝ Donde: A = Area del perfil de acero H = altura del perfil de acero Luego:
( H + 10) b ⋅ y 2 b⋅ y⎞ ⎛ y ⋅⎜ A + + ⎟ = A⋅ n ⎠ 2 2⋅n ⎝ 2 (H + 10) = 0 b⋅ y + A⋅ y − A⋅ 2⋅n 2 2 b ⋅ y + 2 An ⋅ y − An ⋅ (H + 10) = 0 2 An An ⋅ (H + 10) ⋅y− =0 y2 + b b 2
An An ⋅ ( H + 10) ⎛ An ⎞ ± ⎜ y=− ⎟ + b b ⎝ b ⎠ Reemplazando valores, tenemos:
99,1 ⋅ 10 99,1 ⋅ 10 ⋅ (35 + 10) ⎛ 99,1 ⋅ 10 ⎞ y=− ± ⎜ ⎟ + 200 200 ⎝ 200 ⎠ y = −4,955 ± 15,735 → y = 10,78(cm ) (valor posible) 2
Luego, el momento de inercia I n del conjunto “perfil de acero y losa equivalente de concreto” respecto al eje neutro es:
⎛b⎞ 3 ⎜ ⎟⋅ y n ⎞ ⎛H In = I x + ⎜ + 5 − y ⎟ ⋅ A + ⎝ ⎠ 3 ⎠ ⎝2 2
⎛ 200 ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⋅ 10,78 10 ⎠ ⎛ 35 ⎞ I n = 23.900 + ⎜ + 5 − 10,78 ⎟ ⋅ 99,1 + ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2
( )
I n = 45.864 cm 4 Luego:
34
( )
I n 45.864 = = 4.255 cm 3 y 10,78 In 45.864 Wc = = = 7.935 cm 3 ( y − 5) (10,78 − 5) In 45.864 Wt = = = 1.570 cm 3 (H + 5 − y ) (35 + 5 − 10,78)
Wh =
( )
( )
Fatigas de trabajo “ f ”: Resumen de solicitaciones
M m = 16(ton − m )
M p = 19,07(ton − m ) M v = 0(ton − m )
M s = M p + M v = 19,07(ton − m )
fh =
Ms 1.907.000 ⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = = 44,8⎜ 2 ⎟ < 80⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . n ⋅ Wh 10 ⋅ 4.255 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
fc =
M m M s 1.600 1.907 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 1,41⎜ 2 ⎟ < 2,25⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Wac Wc 1.370 7.935 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
ft =
M m M s 1.600 1.907 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 2,38⎜ 2 ⎟ > 2,25⎜ 2 ⎟(TablaN °7) Wat Wt 1.370 1.570 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
REDISEÑAR. Seleccionaremos otro perfil. Sea el Perfil IN 35x85,4. Observación : Con toda seguridad, sabemos que este perfil cumple con las condiciones de resistencia. Esfuerzo rasante. Línea 1221.
H=
V ⋅ Sc Ic
35 Donde:
qt ⋅ L 4,16 ⋅ 8 = = 16,64(ton ) 2 2 200 b S c = ⋅ 5 ⋅ ( y − 2,5) = ⋅ 5 ⋅ (10,78 − 2,5) = 828(cm 3 ) n 10 4 I c = I n = 45.864(cm ) 16,64 ⋅ 828 ⎛ ton ⎞ ⎛ kg ⎞ Luego: H= = 0,3⎜ ⎟ = 300⎜ ⎟ 45.864 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ ⎛ kg ⎞ 2 2 Cizalle = 2 ⋅ 5 + 15 ⋅ 7 = 221⎜ ⎟ (Ver Tabla N°7) ⎝ cm ⎠ V=
⎛ kg ⎞ ⎛ kg ⎞ = 200 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ ⎛ kg ⎞ Luego: Cizalle+adherencia=221+200=421 > H = 300 ⎜ ⎟ ⇒ O.K . ⎝ cm ⎠ Observación: No se necesita refuerzo especial → colocar Eφ 6 / 20 Adherencia = B ⋅ 8 = 25(cm ) ⋅ 8⎜
2. Viga maestra VM1. Características: • Viga continua • Colaborante • Sin alzaprimas
V1
V1
VM1 Unión V1-
2.1 Solicitaciones. a) Montaje • Cargas:
VM1
36 Cargas provenientes de la viga V1:
⎛ ton ⎞ qm = 1,92 + 0,0778 = 2,0⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ ⎛ ton ⎞ SuponemosPesopropioVigaMaestra (VM 1) : 0,3⎜ ⎟ ⎝ ml ⎠ • Solicitaciones. Usaremos el método de Cross para determinar los momentos flextores y esfuerzos de corte de la viga contínua: Entonces: 3@4=12 m
3@4=12 m
3@4=12 m
Pm
Pm
Pm
Pm
Pm
Pm
Peso propio de VM1
Donde:
qm ⋅ LV 1 2,0 ⋅ 8 ⋅ 2 = 16(ton ) ⋅2= 2 2 P ⋅ 4 ⋅ 8 16 ⋅ 4 ⋅ 8 M mE = m = = 42,7(ton − m ) 12 LVM 1 Pm =
2 ppVM 1 ⋅ LVM 0,3 ⋅ 12 2 ⎛ ton ⎞ E 1 ppVM 1 = 0,3⎜ = = 3,6(ton − m ) ⎟ ⇒ M pp = 12 12 ⎝ ml ⎠ E M E = M mE + M pp = 42,7 + 3,6 = 46,3(ton − m )
→
a) Montaje Pm
Pm
4 L K K' D ME
4
Pm
4
4
12 1 0,75
Pm
4
Pm
4
4
12 1 0,5
1
0,6
0,4
-46,3 46,3
46,3 23,1 -13,9
-46,3 -9,2
Pm
4
4
12 1 0,75 0,4
0,6
1
37
MR
0,0 -4,63 17,8 13,17
m ∑M R / L R.I. V Mt
55,5 4,63 17,8 22,43
50,28
xt
31,76
4,0
-55,5 0,0 17,8 17,8 13,24
8,0
16,0
b) Sobrecarga para el máximo momento negativo.
Psc = q sc ⋅ 4 ⋅ LV 1 = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 8 = 16(ton ) Psc
Psc 4 L K K' D ME
MR
m ∑M R / L R.I. V Mt
Psc
4
4
4
12 1 0,75
Psc 4
4
4
12 1 1
1
0,43 0,57
0,57 0,43
42,7 -42,7 21,3 -12,2 -3,9 -5,2
42,7 -24.3 -18,4 -2,6
0,7 -0,3 -0,4
1,5 1,1
59,8 4,98 16 20,98
44,08
xt
4,0
-59,8 3,54 16 19,54
24,16
18,4
8,0
16,0
17,3 -3,54 16 12,46
L K K' D ME
4
4
4
12 1 0,75 1 -42,7 42,7
4
-1,44 16 14,56
Psc
4
4
12 1 0,5 0,6 0,4 42,7 0 21,4 -38,5 -25,6
1
-17,3 1,44 16 17,44
c) Sobrecarga para el máximo momento positivo. Psc Psc
4
4
12 1 0,75
-42,7 42,7
0,0 -4,98 16 11,02
4
Psc
4
4
12 1 0,75 0,4
0,6
1
38
MR
m ∑M R / L R.I. V Mt xt
a)
0,0 -2,13 16 13,87
25,6 -25,6 2,13 0,0 16 18,13 0
55,48 4,0
46,96 8,0
-25,6 16,0
Esfuerzos de diseño: Para el tramo:
M máx.( + ) = M m + 55,48 = 50,28 + 55,48 = 105,76(ton − m )
Vtramo = Vm + 13,87 = 13,17 + 13,87 = 27,04(ton ) b)
Para el apoyo:
M máx.( − ) = M m + 59,8 = 55,5 + 59,8 = 115,3(ton − m )
Vapoyo = Vm + 20,98 = 22,43 + 20,98 = 43,41(ton )
En el apoyo, la viga maestra se encuentra debidamente asegurada, para evitar el pandeo lateral torsional, luego: Prediseño de la viga en el apoyo. Si consideramos que la viga de acero aporta aproximadamente un 80 % a la resistencia total de la viga colaborante, entonces haremos el cálculo del prediseño con un m x = 0,8 ⋅ 115,3 = 92,24(ton − m ) . O sea:
f mx =
mx mx 9224 ≤ 0,6 F f ⇒ Wx ≥ = = 4.522(cm 3 ) Wx 0,6 F f 0,6 ⋅ 3,4
Probaremos un perfil IN 60x184 Características: H = 60 cm B = 30 cm e = 3,2 cm t = 0,8 mm Altura según la AISC:
Viga colaborante :
Wx=5.510 (cm3) A = 235 (cm2) Ix=165.000 (cm4)
Ff ⋅ L H Ff ≤ ⇒H ≤ L 56 56 3,4 ⋅ 12 H≤ = 0,729(m ) > 0,60(m ) ⇒ O.K . 56
Además
⎛ kg ⎞ ⎛ ton ⎞ Fv = 0,333 ⋅ F f = 0,333 ⋅ 3,4 = 1.130⎜ 2 ⎟ = 1,13⎜ 2 ⎟ ( ver Tabla N° 5) ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
39
V V 43,41 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ = = = 0,8⎜ 2 ⎟ < Fv = 1,13⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Ao (H − 2 ⋅ e ) (60 − 2 ⋅ 3,2 ) ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
fv =
Verificación del posible pandeo local del ala comprimida:
25,2 25,2 ⎛ b ⎞ 15 = 4,7 < = = 13,7 → OK ⎜ ⎟= Ff 3,4 ⎝ e ⎠ 3,2 En este caso, como el momento flextor es un momento negativo, la losa colabora sólo con su armadura (enfierradura). Supongamos que la enfierradura esté constituída por 8φ 30 @ 200. Entonces: 10 cm
xb
xb
Ubicación del centroide del conjunto, respecto al eje xb − xb
y=
A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 56,55 ⋅ (60 + 10 ) + 235 ⋅ 30 = = 37,8(cm ) A1 + A2 291,55
Donde: A1 = 8 ⋅
π ⋅d2 4
= 2 ⋅ π ⋅ (3) = 56,55(cm 2 ) 2
Momento de inercia respecto al eje neutro
I xG I xG I xG
π ⋅d4
2
H⎞ ⎛ =8⋅ + (H − y + 10 ) ⋅ A1 + I x + ⎜ y − ⎟ ⋅ A2 64 2⎠ ⎝ π ⋅ (3)4 2 2 =8⋅ + (60 − 37,8 + 10 ) ⋅ 56,55 + 165.000 + (37,8 − 30 ) ⋅ 235 64 = 237.962(cm 4 ) 2
Luego:
I xG 237.962 = = 6.295(cm 3 ) y 37,8 I xG 237.962 = = 10.719(cm 3 ) Wt = (H − y ) 22,2 I xG 237.962 = = 7.390(cm 3 ) Wbarras = (H − y + 10) (60 − 37,8 + 10) Wc =
40 Usando las normas AISC, tenemos:
M m M s 5.550 5.548 ⎛ ton ⎞ + = + = 1,007 + 0,518 = 1,525 < 2,04⎜ 2 ⎟ → O.K. Wat Wt 5.510 10.719 ⎝ cm ⎠ M M 5.550 5.548 ⎛ ton ⎞ fc = m + s = + = 1,007 + 0,88 = 1,89 < 2,04⎜ 2 ⎟ → O.K. Wac Wc 5.510 6.295 ⎝ cm ⎠
ft =
Verificación de la resistencia en el tramo a) Ancho colaborante (b). Según la AISC, es el menor de los siguientes
valores:
b≤
L 12 = = 3(m ) 4 4
b ≤ (bo + 16d ) = (0,3 + 16 ⋅ 0,2) = 3,5(m )
b≤
a + a1 8 + 8 = = 8(m ) 2 2
Luego, b = 300 (cm) Además:
Wac = Wat = Wx = 5.510(cm 3 )
Cargas permanentes:
n = 10 (ver tabla N°2 - AISC) A ⋅ y + A2 ⋅ y 2 235 ⋅ 30 + (30 ⋅ 20) ⋅ 70 = = 58,7(cm ) y= 1 1 A1 + A2 235 + (30 ⋅ 20) b 3 2 2 ⋅d H⎞ d⎞ b ⎛ ⎛ n In = I x + ⎜ y − ⎟ ⋅ A + + ⎜H − y + ⎟ ⋅ ⋅d 2⎠ 12 2⎠ n ⎝ ⎝ 300 2 2 ⋅ (20 )3 60 ⎞ 20 ⎞ 300 ⎛ ⎛ 10 I n = 165.000 + ⎜ 58,7 − ⎟ ⋅ 235 + + ⎜ 60 − 58,7 + ⎟ ⋅ ⋅ 20 2⎠ 12 2 ⎠ 10 ⎝ ⎝
( )
I n = 455.181 cm 4 Luego:
41
In 455.181 = = 21.370(cm 3 ) (H + d − y ) (60 + 20 − 58,7) I 455.181 Wt = n = = 7.754(cm 3 ) y 58,7 In 455.181 Wc = = = 350.139(cm 3 ) (H − y ) (60 − 58,7 )
Wh =
Entonces:
fh =
Ms 5.980.000 ⎛ kg ⎞ = = 28 < 80⎜ 2 ⎟( NormaInditecnor ) ⇒ O.K . n ⋅ Wh 10 ⋅ 21.370 ⎝ cm ⎠
ft =
M m M s 5.550 5.980 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 1,0 + 0,77 = 1,77⎜ 2 ⎟ < 2,040⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Wat Wt 5.510 7.754 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠
fc =
M m M s 5.550 5.980 ⎛ ton ⎞ ⎛ ton ⎞ + = + = 1,0 + 0,017 = 1,017⎜ 2 ⎟ < 2,040⎜ 2 ⎟ ⇒ O.K . Wac Wc 5.510 350.139 ⎝ cm ⎠ ⎝ cm ⎠ 30 cm 20 cm e=3,2 cm
H=60 cm
t = 0,8 cm
y
42
Teoría Plástica Extensos ensayos de ruptura hechos en Europa y los EE.UU. demuestran que el momento último de falla Mu de vigas colaborantes puede predecirse con muy buena aproximación, con errores menores del 10 %. De estos mismos ensayos se deduce que el factor de seguridad a la ruptura de vigas diseñadas por la teoría elástica varía entre 2,2 y 2,5. El eje neutro en la condición de falla puede caer dentro o fuera de la losa como se muestran en las siguientes figuras: a) Eje neutro x1 − x1 dentro de la losa.
0,85 ⋅ f c′ = 0,72 ⋅ R28
b
C
a
d x1
x1 e
vc T
Ff
Si llamamos “A” al área del perfil de acero, entonces:
T = A ⋅ Ff C = 0,72 ⋅ R28 ⋅ b ⋅ a C T a= = ≤d 0,72 ⋅ R28 ⋅ b 0,72 ⋅ R28 ⋅ b Mu = T ⋅ e a e = vc + d − 2
43
b) Eje neutro x2 − x2 fuera de la losa.
b
0,85 ⋅ f c′ = 0,72 ⋅ R28 C
d
C’
vc
x2
x2
e
e′
T
Ff
En este caso, el perfil metálico tiene un doble rectangular de fatigas, con una C’ y una tracción T. El concreto tiene un rectangular de fatigas de resultante C. Las ecuaciones de equilibrio estático son:
C = 0,72 ⋅ R28 ⋅ b ⋅ d T = C + C′ → T − C′ = C Además: T + C′ = A ⋅ Ff Con (1) + (2) , tenemos: Y con (2) –(1):
T=
(A ⋅ F
C′ =
f
2
(A ⋅ F f
+ C)
− C)
2 M u = C ⋅ e + C ′ ⋅ e′
(1) (2)
44
En la zona de momentos negativos, si hay conectores suficientes, el momento último se obtiene de la siguiente figura, en la que A’ es el área del refuerzo longitudinal de la losa.
b T
d T’
vc x2
x2
e
e′ C
Ff
En este caso las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:
Además:
T = A′ ⋅ F f C = T + T ′ → C − T ′ = T = A′ ⋅ F f O sea: C − T ′ = A′ ⋅ F f C + T ′ = A ⋅ Ff
Con (1) + (2) → Con (2) – (1) → Y:
C= T=
(1) (2)
( A + A′) ⋅ F f 2
( A − A′) ⋅ F f
2 M u = T ⋅ e + T ′ ⋅ e′
El momento M u es independiente del método constructivo ( con o sin alzaprima) y de los valores de n y n’ ( para cargas permanentes o variables). Cuando no hay alzaprimas es necesario hacer dos verificaciones adicionales. • Las fatigas del acero durante el montaje no deben exceder los máximos admisibles de la tabla 5. Aunque la Norma no lo dice específicamente se considera lógico usar las fatigas admisibles eventuales, un 33,3 % mayor que las normales.
45 •
Donde:
Las Normas especifican que las fatigas para cargas de trabajo no deben exceder los valores elásticos admisibles aumentados en un 35 %. Si no se usan alzaprimas las fatigas elásticas reales están dadas por la fórmula:
Mm Ms M + ≤ 1,35 ⋅ Wat Wt Wt M = Mm + Ms y Ms = M p + Mv
De estas expresiones, se deduce que:
⎛ M ⎞ Wt ≤ ⎜⎜1,35 + 0,35 ⋅ s ⎟⎟ ⋅ Wat Mm ⎠ ⎝
