UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO: Calculo vectorial
GH:
TEMA: Funciones vectoriales de variable real PROFESOR: Fernández Juan Raymundo INTEGRANTES: -FLORES ANSELMO CARLOS EDUARDO
COD: 1623125461 1623125461
-HUAMANI HUAMAN CRISTIAN FRANCISCO
COD: 1623115339 1623115339
AÑO: 2017
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL -FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
⃗ ℝ→ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∈ ⃗ ⃗ ⃗∩ ⃗ ∩… ⃗ ⃗ ⃗ ℝ⃗ ⊆ℝ ⃗ √ 4 ⃗⃗ ℝ ⃗ ⃗ ∞ ⃗⃗ ∞√ 4 ⃗ ⃗ ∩⃗ ∩⃗ ⃗ ⃗ ℝ →ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℝ→ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∀ ∈⃗+ ⃗ ∩ ⃗ ⃗ ⃗ ∀ ∈⃗− ⃗ ∩ ⃗ ⃗ .⃗ ∩⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∑= . ⃗. ⃗ ∩ ⃗ ⃗ ℝ →ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∩ Definición: Una función : I cuya regla de correspondencia es: (t)= ( (t); ( (t);….; ( (t), t I Se denomina función vectorial de una variable real t. Las n funciones reales , (i=1,2,…, n) se llaman funciones componentes de la función vectorial f . El dominio de la función vectorial f es el conjunto D = donde es el dominio de la función componente , (i=1,2,…, n) El rango de la función (t) se define por: (campo vectorial) Ejemplo: Halle el dominio de la siguiente función vectorial: (t)= ( ; ln(t-2) ; ) Solución: si (t)= ; (t)= ln(t-2) y (t)= , entonces = ; =<2;+ > y =<- ;4> Luego, D =
=<-3;-2> U <-2; 1>
-OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES VECTORIALES Definición: Consideremos las funciones vectoriales , : con dominio respectivamente y sea : una función real con dominio ; a las funciones + ; - ; y . , definiremos mediante la siguiente regla de correspondencia. 1) ( + ) (t) = (t) + (t), t = 2) ( - ) (t) = (t)- (t), t 3) ( . ) (t)= (t). (t), 4) ( . ) (t)= (t).
=
y
=
=
,
=
5) Sea , : funciones vectoriales, entonces la función producto vectorial x está dado por: x )(t)= (t)x (t) , =
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 22 24 48
Ejemplo: Dadas las funciones vectoriales (t)=(t ; t ; ) y (t)=(t ; ; ) Halle: a) ( + )(-1) b) ( . )(1) c) ( x )(2) Solución: a) Se tiene, (-1)=(-1; -1; 1) y (-1)=(-1; 1; -1). Luego, ( + )(-1) = (-1) + (-1) = (-1; -1; 1) + (-1; 1; 1) = (-2; 0; 0) b) como (1) = (1; 1; 1) y (1) =(1; 1; 1), entonces ( . )(1) = (1). (1) =(1; 1; 1).(1; 1; 1) = 3 c) Dado que (2)=(2; 2; 4) y (2)= (2; 4; 8), entonces ( x )(2) = (2)x (2) =
= (0; -8; 4)
⃗
⃗ ⃗ ⃗ →lim⃗t | | ∈⃗ lim ⃗ ∃ | | →⃗t → l→im ⃗ ⃗t l→im ⃗ ∃ | 2| →⃗t 6;4 ⃗t 6;4 ‖3t ; 6; 4‖ ‖3t6; 4‖ 3t6 4 ≤ |3t2|6 →4 ≤ |→2| | 2|→||2|2| ⃗t 6;4 ≤ | 2| | 2|| 2| ∃ 1; ⃗ ℝ→ℝ →l⃗im ⃗ ⃗ → li⃗m ⃗ →lim ∈ℝ →lim ⃗ l i m → ⃗ −√ −+++ − ⃗ − ; − − , l→im ⃗ l→im −+√ + l→im + l→im l→im ⃗ l→im −− l→im − l→im −− -LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL: Definición: Sea (t) una función vectorial y un punto de acumulación de
, se
dice que el vector es el límite de (t) cuando t se acerca a y se expresa como (t)= sí y sólo si, para cada número real >0, existe un número >0 tal que < siempre que 0<
t
< ,
.
Es decir:
(t)=
>0,
>0 / 0<
<
Ejemplo: Demuestre que Solución:
(t)=(6;4), donde
(t)=(6;4) >0,
<
>0 / 0<
=
Sea
3
< =1
3
8 = de donde
=
+
-1
…..(1)
3
+
<5
<3 +5 =
= . Luego
Definición: Sea :
=(3t; )
<
=
+
<
=min
una función vectorial dada por
(t)= ( (t); (t);…; (t)), t y sea un número real cualquiera. Entonces (t)= ( (t);..; (t)) siempre que existan (t) , i=1,2,…,n
Ejemplo: Calcule a) (t)=
(t) (en caso exista de las siguientes funciones vectoriales
;
b) (t)=(
; 2),
=0
;
=1
Solución: a)
(t)=(
b)
(t)=(
;
;
;
;
2)=(0 ; 0 ; 2)
)=(e ; -1 ; 1)
⃗, ℝ→ℝ →lim ⃗ →lim ⃗ ⃗⃗ ℝ →ℝ →lim →lliimm⃗⃗tt⃗⃗ →lliimm ⃗⃗ →lliimm⃗⃗ ⃗⃗ → → → →lim t.⃗ →lim →lim⃗ →lim⃗ t.⃗ →lim ⃗ →lim⃗ ⃗ l→im⃗ tx⃗ →lim ⃗ →lim⃗ ⃗ + ℝ ⃗ + ⃗ →lim⃗ t.⃗ l→im⃗ tx⃗ l→im cost ; l→im + ll→iimm⃗ ⃗ ll→iimm + l i m →lim⃗ t.⃗→ lim ⃗→ lim ;⃗l→imsentt → → → ⃗ l→im⃗ tx⃗ →lim ⃗ →lim ⃗ 00 11 − -PROPIEDADES DE LÍMITES DE FUNCIONES VECTORIALES: Sea : funciones vectoriales de una variable real tales que ( ;…; ) y (t)=
= ( ;…;
) y sea :
una función real tal que
entonces i)
(t))=
(t)+
(t)= +
ii)
(t))=
(t)-
(t)= -
iii)
(t))=
(t)).
(t))= .
iv)
(t))=(
(t)).
(t))= .
v)
(t))=
(t))x(
(t))= x (solo en
Ejemplo: Sean (t)=( Halle: a)
; cost ;
(t))
b)
) y (t)= (
;
(t)= =
(t)= ,
; sent+t)
(t))
Solución: a)
(t) =
;
(t) =
;
(t)) =
b)
;0)
) = (0 ; -1;
(t))=(
)
)) = (0 ; -1 ; )
(t)).(
(t))x(
(t)) = (0 ; -1 ;
(t)) =(0 ; -1;
). (0 ; -1 ; ) =
)x(0 ; -1 ; )=
=(
;0
l→im ⃗ + 5 √ 7 −− − ; −− ; − − ; ; − − cot + −+√ − √ ⟦ ⟧ ;5 4 ; +⟦⟧ −− →lim ⃗
Ejercicios: -Calcule el límite
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(t) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales:
a) (t) =(lnt ; b) (t)= (
c) (t) = ( ; d) (t)= ( e) (t)= ( Si (t)= (
;
;
;
), =4
;
),
+1),
=0
=3
), =1
), =0
), Hallar
(t)
-CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL:
⃗⃗ ⃗< ∈⃗⃗ | | ⃗ ⃗ ∈⃗ ∩ ⃗ ⃗ ⃗ ∩ ⃗ ⃗ ⃗lim ⃗t ∈⃗ →lim ⃗t ⃗ → ⃗ +− ; ++ La función (t) es continua en el punto tal que:
, de
siempre que t
acumulación de
, si para cada >0, existe un >0,
y
, entonces (t) es continua en
<0. Si
no es punto de
, puesto que hay un >0, tal
que “ ” es el único punto en
< - , + > y entonces para cualquier >0, < - , + >. Si
< siempre que t
es un punto de acumulación de
, entonces la definición
de continuidad es equivalente a decir: La función (t) es continua en el punto i) ( ) existe, es decir ii)
, existe
iii)
= ( )
Ejemplo: Dada la función vectorial (t) =(
;
si.
) , Determine si la
función es continua en t = 1. Solución: Las funciones coordenadas:
+− ++ l→im t l→im t l→im t →ℝ ⃗ ±⃗ ⃗⃗.x⃗ ℝ→ℝ (t)=
(t)=
=0= (1) ;
(t)=
, son continuas en t = 1; pues
=0= (1) ;
= = (1)
Luego, la función vectorial f es continua en t = 1 -PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD:
∈
Sean f,g : I funciones vectoriales continuas en el punto I . Entonces: i) f es continua en , siendo una constante real. ii) es continua en iii) es continua en iv) es continua en (solamente para funciones con imágenes en )
ℝ ⊂ℝ
Observación: Una función vectorial f : es continua en el intervalo I es continua en cada uno de los puntos de I.
, si
Ejercicios: -Analice la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican:
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
; ln3 ; −, ∈ √4 1; −;0 ;3;2,, ∈∈1;20;1> |−|−−; −, 2 4 ; 5 ;0 ;;0., 0, ≠0 ⟦2⟧; 2∈ ;, ∈ 2;0 2/ ; + ; , ∈ <0;2 2 ; + ; 26, ∈ <∞;3 + +− + ; 1 ln 4 ; 1 3, ∈ <3;1 (33 ; ;), ∈ <1;∞
a) (t)= ( b) (t)=
[-2;3>
Determine la continuidad de las funciones vectoriales en el punto indicado: a) (t)= b) (t)=
Encuentre los puntos donde las siguientes funciones no son continuas: a) (t)= (t ; t ; ), t [0;8] b) (t)=
c) (t)=
∁ ⃗ ∁⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∁
-CURVAS: Definición: una curva : (t) tal que (t)=x(t) + y(t) + z(t) donde a cada valor de t le corresponde un punto de la curva cuyo vector posición es ( ), es decir: ( )= x( ) + y( ) + z( ) (
=(x( ) ; y( ) ; z( ))
⃗
(t)
⃗ (
)
∁ ⊂ℝ ∁ ℓ ⃗ ⃗ ℝ ⃗ →⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℓ , ⃗ ; REPRESENTACIÓN PARAMETRICA: La curva también puede ser representada paramétricamente :
/ t I
, donde la variable “t” se llama parámetro.
Ejemplo: : (t)= +t / t =( ; ) ; (t)= (
;
)
+t =( ) + ( ) donde =( ; ) ; =( ; ) son vectores constantes, y además se dice que la recta pasa por el punto A( ; ) cuyo vector posición es ; y tiene la dirección del vector =( ; )
⃗
(t)
A+t
,
A( ;
)
-CLASES DE CURVAS:
∁⊂ℝ ⃗ ∁; →ℝ ⃗ ⃗; ⃗ ∁ ⃗ ⃗⃗ 0;⃗ 2→ℝ 2
Sea una curva parametrizada, es decir, existe una función vectorial : tal que : ) = , entonces: i) es un curva cerrada si (a)= (b), en caso contrario es una curva abierta Ejemplo: la curva definida por : cerrada puesto que (0)= (
∁
tal que (t)=(4cost ; 2sent) es una curva )=(4;0)
(4;0)
∁
ii) es una curva con punto doble si
∁
⃗ ⃗ ≠ =
⃗
/
∁ ⃗ ≠ ∀ ∈ ;
iii)Se dice que es un curva regular si (t) es de clase ’ y (t) 0 t este caso ´´t´´ se llama parámetro regular.
en
Ejercicios: En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva descrita por la función vectorial en el punto indicado. a) (t)= (sent; 2tsent; 4 ), P(1 ; ; )
⃗⃗ ⃗⃗ ;3 ;
b) (t)= ( ;
;
c) (t)= (tcos(3
), P(1 ; 1 ; 1)
2t), P(-1 ; 0 ; 2)
d) (t)=(2cost ; 2sent ; 16), P(0 ; 2 ; 16)
⃗ ℝ→ℝ ⃗ ⃗ ⃗ →lim +−∈⃗ ⃗ ⃗ ∈ ⊂⃗ ⃗ ℝ→ℝ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ∈⃗
-DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL: Definición: Sea : una función vectorial con dominio . La derivada de la función vectorial f en cualquier punto t es la función vectorial (t) dada por (t) = = ’
’
Si ( ) existe para
, si el limite existe.
, se dice que es derivable o diferenciable en
’
En general, si (t) existe para todo t I . INTERPRETACIÓN GEOMTRICA DE LA DERIVADA: Si : una función vectorial derivable en el punto ’
Geométricamente, ( )= ’
en el punto
∈
.
⃗
I .
es un vector tangente a la curva trayectoria de (t)
( ).
⃗
∁
( )
’
f
0
⃗
( )
⃗ →ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ℝ ⃗ ℝ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗′ ⃗ ⃗ 1 −
Definición: Sea : una función vectorial derivable en el punto I . La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva trayectoria de f que pasa por el punto ( ) y es paralela al vector ( ) es: (x; y; z) = ( ) + t ( ), t El siguiente resultado nos proporciona un procedimiento conveniente para calcular la derivada de una función vectorial, en términos de las derivadas de las funciones componentes. Teorema: Si (t) = ( (t); ( (t);….; ( (t)) es una función vectorial con imagen en el espacio , donde (t); ( (t);….; ( (t) son funciones reales derivables, entonces: (t) = ( (t); ( ’(t);….; ( ’(t))
:
⃗′ ⃗⃗
’
’
Ejemplo: Halle la derivada de las siguientes funciones vectoriales: a)
(t) = (
; arctan(2 ) ;
b)
(t) = (cos(4t) ; sen(2t) ;
)
)
⃗′ 1 + − ⃗′ ⃗ , →ℝ →ℝ[⃗ ±⃗] ⃗′ ±⃗′ [⃗] ⃗′ [⃗⃗] ⃗′⃗ ⃗⃗′ [⃗. ⃗] ⃗ . ⃗ ⃗ . ⃗′ [⃗⃗] ⃗′⃗ ⃗⃗′ ℝ [⃗] ⃗⃗.⃗ ⃗ ≠0 − ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗′ − ⃗′ ⃗′ ⃗′ ⃗′ ⃗′ ⃗⃗⃗⃗ ⃗′ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗′ ⃗ ⃗′′ ⃗ ′ ⃗ ⃗′ ⃗ ⃗ [⃗′0 x ⃗0] [⃗0 .⃗′0] ⃗11⃗ 00 10 ⃗ 00⃗ 01 31 0;1;0 3;1;0 Solución: a) (t) = (3 b)
;
; -3
(t) = (-4sen(4t) ; 2cos(2t) ; 2t
)
)
-REGLAS DE DERIVACIÓN: Sean : funciones vectoriales derivables de t, c una constante real y : una función real derivable de t. Entonces se tiene: 12-
=
3-
=
5-
+
=
+
5-
+
6-
=
)’(0)
)
, si
Ejemplo: Si (t)=(t ; a) (
(valido solo en
; 3+t), (t) = (cost ; sent ; ln(t+1)) y (t)=
b) ( + )’(0) c) ( . )’(0) d) ( x )’(0)
Solución: Se tiene
(t)= (1 ; 2t ; 1),
(t)= (-sent ; cost ;
),
Luego, al evaluar en t=0 se obtiene (0)=(1 ; 0 ; 1), (0)=(0 ; 1 ; 1) y
(t)= -4
(0)=-4
Así, al utilizar las reglas de derivación resulta a) ( )’(0) = (0) (0) + (0) (0) = -4(0 ; 0 ; 3) + (1 ; 0 ; -11) b) ( + )’(0) = c) ( . )’(0) =
(0) +
(0)=(1 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; 1) = (1 ; 1 ; 2)
(0) . (0) + (0) .
d) ( x )’(0) =
=(-3;2;0)
+
(0)= 1+3= 4 =
, calcule
= Ejercicios:
⃗ ⃗ ,⃗ t ⃗ t⃗ t ⃗ ⃗ Si (t)= (t ; t ;
e) [
i) ( (t)+ (t)]
]
⃗−,ℎ: ⃗ ⃗ t ∙′ ‖⃗ t‖ ⃗
(t)= (cost ; sent ; t), (t)=
⃗′ ⃗ ⃗
b)
(t)
f) [ ( (t))] j) [
c) [ (t) g) [
]’
d) (
f) [
-VECTOR VELOCIDAD Y RECTA TANGENTE, VECTOR ACELERACIÓN Y RAPIDEZ: Si una partícula se mueve a lo largo de una curva en el espacio , de modo que su vector posición en el tiempo t es (t) = ( (t); ( (t);….; ( (t)); entonces, el vector velocidad v(t) y el vector aceleración a(t) de la partícula en el instante t son dadas por v(t)= (t)= ( (t); ( ’(t);….; ( ’(t))
⃗′
a(t)= v’(t)=
⃗′⃗′
⃗⃗′
(t)= (
⃗ ′ ⃗
(t); (
∁ ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗′ ∁
’(t);….; (
’(t))
El vector velocidad v(t) tiene la dirección del vector tangente a la curva en el punto f(t) y el vector aceleración a(t) apunta hacia el lado cóncavo de la curva (lado hacia donde se doble la curva) f
0
⃗′ ∁
a(t)=
(t)
t
⃗ El módulo del vector velocidad v(t), esto es,
‖‖ ⃗′ t [⃗′t] [⃗′t] ⋯.[⃗′t] =
∁
=
Se denomina rapidez de la particula en el instante t.
(t)
⃗′
v(t)=
(t)
Ejercicios: En los siguientes ejercicios: 1) Dibuje la curva representada por la función vectorial. 2) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para el valor de t indicado.
⃗⃗ − ;4, 1 ⃗ ⃗⃗ ; 4, 1 ⃗
a) (t)= (t+2 ;
), t = 1
b) (t)= (4
c) (t)= (2+3cos(2t) ; 4-3sen(2t)), t= d) (t)= (2+
e) (t)= (2cost ; 2sent ; 4), t=2 f) (t)= (sent ; t ; cost), t=0