Exercices sur les efforts internes 1/ 18 kN
15 kN/m
A
B 1.5m
3m
6m
Determiner l’effort tranchant et le moment fléchissant à la section au milieu de la poutre AB (Xác định lực cắt và momen uốn tại mặt cắt giữa nhịp của dầm AB) Réponse: Q C = 6.75kN ; M C = 47.25kN.m
2/ Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour les poutres suivantes : (Vẽ biểu đồ lực cắt và momen uốn cho các dầm sau đây :) a/
4 kN
P
3 kN/m
A
b/
B
1m
2m
1m
A a
P
B b
a
3/ 1 kN
2 kN
4/
4m
2m
4m
P
P
3 kN
2m
a
5/
a
Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre suivante et indiquer les valeurs intéressantes.
4m M 0 = Pa
A a
1 kN
B
a
Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre ABC qui est soumise à des charges indiqué es sur la figure .
q0
L
d’ordre 2 d’ordre 3
Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléch chissants pour la poutre console AB, soumise à la charge uniformément distribuée avec l’intensité maximale q 0 . q z2 q 0 L/4 Qz 0 4L Hint : q0 z 3 M ( z ) q 0 L2/12 12 L
6/ Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre suivante : q
2qL2 2L
2qa
L
2L
7/ Tracer les diagrammes des efforts normaux, des efforts tranchants et des moments fléchissants pour les portiques suivantes . qL2
q
qL2
q
2qL
C
B
2L
L L
2L
D
A L
8/ Tracer les diagrammes des efforts normaux, des efforts tranchants et des moments fléchissants q C
B a a
A
9/ Tracer les diagrammes des efforts normaux, des moments fléchissants et des moments de torsion pour les portiques spatiales suivantes :
A a
3qa
Bq
A a
2qa a
C
D
B
a a
C
2qa
FONCTIONS DE SINGULARITE
f n (x) = x - a
n
, n > 0 fn
0 if x < a x = n if x > a x - a
Obéit la loi d’integral
x
n 1
x a y a dy n 1 n
for n 0
La singularité est bien convenable à la présentation des efforts tranchants et des moments de flexion dans poutres soumises à des charges dans des segments différents Ex1: O
4000 N x
Choisir O comme l’origine, on peut écrire:
1m
3m
3000 N
1000 N 3000 N
0
0
1
1
V 3000 x 4000 x 1 c’est-à-dire: + V = 3000 N si x < 1 + V = 3000 – 4000 = - 1000 si x > 1 M 3000 x 4000 x 1 c’est-à-dire:
1000 N
+ M = 3000(x)1 + M = 3000(x)1 – 4000(x – 1)1
if x < 1 if x > 1
3000 N.m
Ex2: P
Efforts tranchants: q
x L/2
0
V P x q x
L/2
V P x
0
L 2
1
c’est à dire
P
qL P qL2 PL 2 d’ordre 2 8 lineaire PL/2
L 2
1
1
M P x P.x q L M P x x 2 2 1
Exemple:
x<
L L V P x q x if x > 2 2 Moments fléchissants: 2 q L 1 M P x x c’est à dire 2 2 0
P
if
if 0< x < 2
if
L> x >
L 2 L 2
10 kN
4 kN/m 1m
4m x
4 kN/m
V A = 7.6kN
1m 10 kN
4 kN/m V B = 18.4 kN 10
7.6 1.9m
+ Calculer les reactions d’appuis:
M / A 0 4x4x2 10x6 V 5 0 V 18.4kN F / y 0 V 4x4 10 18.4 0 V 7.6kN B
A
A
+ Expressions pour les efforts tranchants et les moments de flexion utilisant les fonctions de singularités: V x 7.6 x 4 x 4 x 4 18.4 x 5 V(x) = 7.6 – 4x 0
1
2
10 7.22
1
0
2
x x4 1 M(x) 7.6 x 4 4 18.4 x 5 2 2 2 M(x) = 7.6x – 2x 0
8.4
B
EXERCICES DU CHAPITRE 2 Exercice 1: 125kN 60kN
125kN 0.9m
Exercice 2:
Exercice 3:
1.2m
Deux barres solides de sections circulaires AB et BC sont soudeùes ensemble en B et sont chargeùes comme indiqueùes sur la figure 1. Sachant que la contrainte normale dans chaque barre ne peut pas passer 150 MPa, deùterminer les valeurs minimales des diameøtres d 1 et d 2 .
Fig. 1 Une poutre uniforme est supporteùe par deux barres AB et CD ayant les sections droites d’aires respectivement 10 mm2 et 15 mm2 (Fig.2). Deùterminer la position d de la force distribueùe pour que la contrainte moyenne dans chaque barre soit la meâme.
Fig.2
Fig.3a
Fig.3b
Le diagramme contrainte – deformation pour le reùsine polyestyreøne est donneù dans la figure 3b. Si une poutre rigide est supporteùe par deux barres AB et CD, faites par ce mateùriau, et est soumise aø une charge P = 80 kN (Fig.3a), deùterminer l’angle d’ inclinaison de la poutre rigide quand la force est appliqueùe. Le diameøtre de la barre AB est de 40 mm et le diameøtre de CD est de 80 mm.
Exercice 4:
Une barre AC, eùtant suspendue par la barre AB simplement appuyeùe en C, est soumise aø une force verticale de 3kN. Deùterminer la position x de cette force telle que la contrainte compressive en C est eùgale aø la contrainte en tension dans la barre AB (Fig.4a). La barre AB a une section d’aire de 400 mm2 et l’aire de contact en C est de 650 mm2.
Fig.4 Solution
Efforts internes. Le scheùma du corps libre pour la barre AB est indiqueù sur la Fig. (4b). Les trois inconnues sont nommeùes F AC , F C , et x. L’eùquilibre de AC donne: Fy 0
+ M A 0
FAB FC 3000N 0
- 3000N (x) FC 200mm 0
(1) (2)
Contrainte normale moyenne. Une troisieøme eùquation neùcessaire qui demande que la contrainte de tension dans la barre AB et la contrainte compressive en C sont eùgales, peut s’eùcrire : FC FAB FC 1.625FAB 3 400 mm 2 650 mm 2 Substituant (3) dans Eq. 1, reùsolvant pour F AB et puis pour F C , on obtient: FAB 1143 N ;
FC 1857 N
La position de la force appliqueùe est deùtermineùe aø partir d’eùquation 2.: x = 124 mm Notant que 0 < x < 200 mm, comme demandeù. Exercice 5:
3,6m
3,6m
Fig.5
Une colonne en acier supporte les charges symeùtriques aø partir de deux planchers d’un immeuble (Fig.5). Deùterminer les charges P 1 et P 2 si A se deùplace vers le bas de 3mm et B se deùplace vers le bas de 2 mm lorsque les forces sont appliqueùes. La colonne a une section de 645 mm2, E st = 200 GPa.
Exercise 6:
Toutes les portions de la tige ABC sont faites en aluminum ayant E = 70 GPa (Fig.6). Sachant que l’intensiteù de P est de 4 kN. Deùterminer: (a) la valeur de Q telle que le deùplacement en A est zero; (b) le deùplacement correspondant de B;
Fig. 6
Exercice 7: Une barre ayant constituée de deux parties, ABC et CD, de sections circulaires de d1 2P d2 diamètres respectives,d 1 et d 2 . La barre est C D P A B encastrée en extrémité A, et supporte les charges concentrées 2P en B et P en D (voir 1,5a a a fig. 7). (a) Tracer le diagramme des efforts normaux ; (b) Tracer le diagramme des Fig. 7 contraintes normales ; (c) Tracer le diagramme des diagramme de déplacement. Sachant : a = 1m, d 1 = 20 mm, d 2 = 10 mm, P = 10 kN, E = 200 Gpa Reùponses : (a) N AB = +P, N BC = N CD = -P ; (b) AB = +31.83MPa ; CD = - 127.32Mpa ; (c) A = 0, B =Pa/EA 1 = 0.159mm, C = 0 ; D = - 0.95mm Exercice 8: C 2d
2L
D
P = 2qL
d
q
A
L B
L
3L
Une barre parfaitement rigide est suspendue par deux tirants AC et BD, ayant les sections circulaires de diamètres respectives 2d et d. Le système est soumis aux charges indiquées sur la figure. 1/ Calculer les efforts normaux des barres AC et BD et pui, en déduire les contraintes correspondantes.
2/ Sachant que : L = 1m, d = 10 mm, [] = 160 Mpa, E = 200 GPa. Calculer [q] pour garantir la condition de reùsistance. 3/ En deùduire le deùplacement vertical du point d’application de la charge P. Reùp. 1/ Exercice 9:
Une tige constitueùe de deux portions cylindriques AB et BC est encastreùe aux deux bouts . La portion AB est faite en cuivre (E Cu = 105 GPa, Cu = 20.9 x 106 0 / C) et la portion BC est faite de l’aluminum (E Al = 72 GPa, Al = 23.9 x 10-6/0C) (Fig.9). Sachant que la tige est initialement sans contrainte, deùterminer: (a) les contraintes normales induites dans les portions AB et BC dues aø une eùleùvation de tempeùrature de 420C; (b) le deùplacement correspondant du point B.
Fig.9 Exercice 10: Une charge axialement centrique P = 450 kN est appliqueùe aø un bloc composite par l’intermeùdiaire d’une plaque rigide (Fig.10). Sachant que h = 10 mm, deùterminer la contrainte normale dans (a) le noyau en cuivre (E = 105 GPa), (b) les plaques d’ aluminium
Fig.10 Exercice 11: Une barre rigide supporte deux poteaux et un ressort (Fig.11). Si chacun des poteaux a une longueur sans contrainte de 1 m et une section droite d’aire de 600 mm2 , et le ressort a une rigiditeù de k = 2 MN/m avec une longueur initiale de 1.02 m, deùterminer le deùplacement vertical de A et B apreøs l’application de la charge .
Fig.11
Exercise 12 La barre rigide indiqueùe dans la figure 10 est fixeùe aø la teâte de trois poteaux qui sont faits de l’acier et de l’aluminium. Tous les trois poteaux ont une longueur de 250 mm lorsqu’il y a pas de charge appliqueùe aø la barre et la tempeùrature est de T 1 = 200C. Deùterminer la force supporteùe par chaque poteau si la barre est soumise aø une charge uniforme de 150 kN/m et la tempeùrature est eùleveù aø T 2 = 800C. Le diameøtre de chaque poteau et les proprieùteùs des mateùriaux sont indiqueùs dans la figure 12.
150kN/m Acier 40mm
Acier
60mm Al.
40mm 300mm
300mm
Acier Aluminum E a = 200 GPa E Al = 70 Gpa a = 12(10-6)/0C st = 23(106 0 )/ C
Fig. 12
Solution Equilibrium:
90 kN
N st
N Al
F
y
0;
2Nst NAl - 90 10 3 0
(1)
N st
Compatibiliteù de deùformations: Due aø la symmeùtrie de la charge, de la geùomeùtrie et du mateùriau, le sommet de chaque poteau se deùplace d’une quantiteù eùgale. Par conseùquent: 2 st Al Le deùplacement du sommet de chaque poteau est eùgale aø son deùplacement causeù par l’eùleùvation de tempeùrature, plus son deùplacement causeù par les efforts internes. ( st )
( Al ) T ( Al ) N
Position initiale
( st )
Introduction dans (2) donne:
position finale
st st T st N
(3)
Al Al T Al N
(4)
st T st N Al T Al N
Utilisant les Eqs. (2) – (5) , nous obtenons:
N st 0.250m 2 p 0.02m 200 109 N/m 2 N Al 0.250m = - 23 10 -6 / 0 C 80 0 C - 20 0 C 0.250m + 2 p 0.03m 70 109 N/m 2 - 12 10-6 / 0 C 800 C - 200 C 0.250m +
(5)
Nst = 1.270N Al -165.9 103
ou
(6)
Resoudre (1) et (6) simultaneùment on obtient: N Al = 119 kN N st = - 14.6 kN La valeur neùgative de N st indique que cette force s’applique dans le sens opposite aø celui indiqueù sur la figure. Autrement dit, les poteaux en acier sont en tension et celui en aluminum est en compression. Exercice 13: Une barre composite de section droite rectangulaire avec les dimensions 2b x 2b est construite par deux mateùriaux differents ayant les modules d’eùlasticiteù E 1 and E 2 (voir figure). Tous les deux parties de la barre ont les meâmes dimensions de section. (a) Supposant que les plaques aux extreùmiteùs sont rigides, deùriver la formule pour l’excentriciteù e de la charge P telle que chaque partie de la barre est comprimeùe uniformmeùment; (b) Quelles forces axiales P 1 and P 2 sont supporteùes par les mateùriaux 1 et 2, respectivement? E2
P e
P
E1
b b
e
2b Ans. (a) e
b E 2 E1 2 E 2 E1
; (b) P1
Exercise 14
E a
F EA
EA
D
B EA EA
a A
P
Un systeøme meùcanique se composant de quatres barres de meâme rigiditeù EA lieùes aø la barre BD de rigiditeù 2Ea, est soumis aø la force verticale P au noeud B (voir figure). Calculer l’effort normal dans chaque barre. Hint:
2EA
2a
PE1 PE 2 ; P2 E 2 E1 E 2 E1
C
EXERCICES DE TORSION 1/
Quatre engrenages sont attacheùs aø un arbre solide et transmettent les torques indiqueùs sur la figure. Deùterminer les diameøtres requis d ab , d bc , et d cd pour chaque portion de l’arbre si la contrainte de cisaillement permissible est de 70 MPa Resp. : d ab = 40.3 mm, d bc = 44.4 mm, d cd = 38.8 mm
2/
Un arbre aø pas est soumis aø 3 torques comme indiqueùes sur la figure. La longueur de chaque section est de 0.5m et les diameøtres sont 80 mm, 60 mm, et 40 mm. Le mateùriau est l’acier avec le module d’eùlasticiteù de glissement de G = 80 GPa. (a) Calculer la contrainte de cisaillement maximale max dans l’arbre (b) Calculer l’angle de torsion en degreùs) aø l’extreùmiteù Resp. : (a) 66.0MPa ; (b) = 2.440 max
3/ Un arbre circulaire AB en acier, encastreù aux deux bouts, a deux diffeùrents diameøtres (voir la figure). Supposer que la contrainte de cisaillement permissible est de 80 MPa, deùterminer la torque permissible [T] qui peut s’appliquer aø la jonction C. Resp.: [T] = 128 N.m 4/ Une barre ABC, fixeùe aux deux bouts, est soumise aø une torque T aø la section B (voir la figure). La barre a une section circulaire solide (diameøtre = d 1 ) de A aø B et une section creuse circulaire (diameøtre exteùrieur d 2 , diameøtre inteùrieur d 1 ) de B aø C. Deùriver l’expression pour le quotient a/L telle que les torques reùactives en A et C sont
5/
numeùriquement eùgales
Un axe circulaire en acier de diameøtre de 50 mm est entoureù par un tube creux ayant le diameøtre exteùrieur de 75mm et le diameøtre inteùrieur de 65 mm (voir la figure). Les deux barres sont fixeùes aø l’extreùmiteù A et sont soudeùes aø une plaque rigide en B. (a) En appliquant une torque T = 2kNm aø la plaque rigide, calculer les maximales contraintes tangentielles dans le tube et dans labarre. (b) Calculer l’angle de rotation de la plaque, en supposant que G = 80 GPa (c) Quel est la rigiditeù en torsion du systeøme? Resp. : (a) 1 = 38.1 MPa, b = 25.4 MPa; (b) = 0.480; (c) k = 238.4 kN.m/rad 6/ Une barre circulaire ayant un trou le long d’une moitieù de sa longueur est fixeùe aux deux bouts (voir la figure). Noter par I pa et I pb , les moments d’inertie polaire de deux moitieùs. A quelle distance x aø partir de l’extreùmiteù gauche une torque T doit-t-elle s’appliquer pour que les moments de reùaction aux deux bouts soient eùgaux? Resp.: x = L(3 – I pb /I pa )/4 7/
Un tube creux AB de longueur L et de rigiditeù torsionnelle GI p est fixeù aø l’extreùmiteù A. A l’autre bout, une barre horizontale de longueur 2c est soudeùe au tube. Deux resorts similaires de rigiditeù k sont mises aux deux bouts de la barre horizontale avec une petite distance b. On attache les resorts aux bouts de la barre et puis relaxer, ce qui cause une rotation de la barre et du tube d’un angle treøs petit (voir la figure). Obtenir la formule pour la torque T dans le tube.
Resp.: T = 2GI p bck/(GI p + 2c2kL) 8/
P
Rigid bar B
A
C
1
P
Rigid bar B
A
C 2
1 2a
a
2a
a
a/ Calculer la(es) contrainte(s) tangentielle(s) maximale(s) dans le ressort 1 (et/ou 2) b/ Calculer le deùplacement vertical du point C, en supposant que la barre ABC est rigide. Connaissant: Ressort 1: D 1 = 0.06 m; d 1 = 0.01 m; n 1 = 10 Ressort 2: D 2 = 0.05 m; d 2 = 0.008 m; n 2 = 8 P = 1 kN; G 1 = G 2 = 80 GPa 9/
Exercices sur la stabilité des barres comprimées 1/
P
d
L
Une colonne de longueur L encastrée en une extrémité et simplement appuyée à l’autre bout, supporte une force P. Sa section droite est un anneau de diamètres intérieur et extérieur respectivement d et D. Sachant que le matériau est duraluminium avec les caractéristiques suivantes :E = 70 GPa, pr = 180 MPa. Supposons: L = 1,2m, d = 30 mm, D = 40 mm. Calculer la force criticque, P cr , et la contrainte critique, cr Ans: P cr = 85,3 kN, cr = 155 MPa
D
2/
P
t L
d
t d
Une colonne encastrée au pied et simplement appuyée au sommet, est soumise à une force P. La section a la forme d’un croix indiquée sur la figure.Le matériau est la fonte avec les caractéristiques suivantes : E = 120 GPa, p = 180 MPa, l’élancement 0 = 80, dans la formule empirique: cr = a – bc2 , a, b, c, ont les valeurs: a = 776 MPa, b = 12 MPa, c = 0,053 MPa. Assumer: L = 1,6 m, d = 60 mm, t = 10 mm. Calculer la force criticque, P cr , et la contrainte critique, cr Ans: cr = 236,8 MPa, P cr = 261 kN
3/ Quel est le diamètre minimum d’une colonne en acier de section circulaire avec les deux bouts simplement appuyés et une longueur de 2m si elle doit supporter une force axiale P = 800 kN ? Supposant que : E = 200 GPa and Y = 250 MPa) Ans: d = 98,3 mm 4/ Quelle est la largeur minimale b d’une colonne de section carrée en acier avec les deux bouts simplement appuyés et une longueur de L = 1,5m si elle doit supporter une force axiale P = 250 kN? (Assumer E = 200 GPa et Y = 250 MPa). Ans: b = 53 mm
5/ Une colonne en bois de section carrée avec la largeur de 120 mm (dimensions actuelles) Déterminer la longueur maximale L d la colonne cho 1 trong các trường hợp chịu tải dọc trục như sau: P = 90 kN, 60 kN, and 30 kN. (Supposer E = 12 GPa et F c = 8 MPa) Ans: L = 2,81 m, 3,53 m, 4,99m 6/ P
d
L DL
Une colonne simplement appuyée aux deux bouts, ayant une section annulaire de diamètre intérieur d = 40mm et de diamètre extérieur D = 80 mm, est comprimée par une charge P. La colonne est faite de l’acier avec E = 200 GPa, Sachant que L = 2,5 m et le facteur de sécurité en stabilité k st = 2,0. Choisir la valeur maximale permissible de P pour garantir la condition de stabilité. Ans:
60
P 7/ Une poutre de L L=1,5m section rectangulaire A AB est simplement B appuyée en un bout et 60 est supportée par une colonne de section 60 90 carrée creusée BC. Une 1,8 L charge concentrée P est 30 appliquée au point milieu de la poutre (voir 30 figure). La poutre et la colonne sont, toutes les C deux, faites du bois ayant la contrainte permissible [] = 40 MPa. Calculer la valeur permissible de P pour garantir la condition de résistance de la poutre et la condition de stabilité de la colonne BC. Ans:
8/ A
B P
C L1
Un treillis ABC supporte une charge P au noeud B, comme indiqué sur la figure. La longueur L 1 de la barre AB est fixée mais la la longueur de la barre BC varie lorsque l’angle est changé. La barre BC a une section circulaire. Supposant que la rupture existe due à l’instabilité de la barre BC, déterminer l’angle pour la valeur minimale du poids de celle-ci Ans: = 26.570
10/ a = 100
a
C d Cuivre
B
D
d d 0 0 Acier 30 30 Acier A
Trois barres articulées aux deux bouts AB, AC et AD sont soumises à un changement de température (t0C). A quelle valeur de t0C, la(les) barre(s) comprimée(s) sera(ont) instables? Sachant que: - Pour l’acier: E a = 200 GPa, y = 200 MPa; - Pour le cuivre: E c = 100 GPa, y = 100 MPa Ans: 630C
11/
B d
d
A
300 300 a = 4m
D
300 300 P a
C
Un treillis dont les membres sont de même diamètre d, supporte une charge P = 10 kN. Choisir la dimension des barres. Sachant que toutes les barres sont faites du bois avec [] = 10 MPa. . Ans:
Exercices du chapitre 7
Exercice 1: Sachant: P = 5 kN. [] = 10 MPa. Vérifier la condition de résistance.
P 2P 50 60 100
Exercice 2 : z
P
x
h/2
h/2
y
2P
q
Une colonne de longueur 2h, ayant une section carrée creuse de côté extérieure a et de côté intérieure b, est encastrée au pied. La colonne est soumise à une charge uniformément distribuée d’intensité q le long de sa hauteur dans le plan (x,z), à une charge concentrée verticale au coin et une charge horizontale 2P au milieu de la colonne dans le plan (y,z). Sachant que: h = 2m, a = 90mm, b = 60mm, q = 10 kN/m, P = 15 kN, [] = 160 MPa. (a) Tracer les diagrammes des efforts normaux, des moments de flexion ; (b) Vérifier la condition de résistance ; (c) Tracer le diagramme des contraintes normales à la section au pied de la colonne.
Exercice 3 : Une poutre console de section rectangulaire b x 2b est soumise à
q b L x
2b
y
