BAB 7
7.1 7.1
RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR
DEFI DEFINI NISI SI RUAN RUANG G VEK VEKTO TOR R & SUB SUB RUA RUANG NG VEKT VEKTOR OR
RUANG VEKTOR DEFINISI
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). •
Oper Operasi asi Penju Penjuml mlah ahan an (addition) addition) dapa dapatt diar diarti tika kan n seba sebaga gaii suat suatu u atur aturan an yang ang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek objek u + v, yang
•
disebut jumlah ( sum) sum) dari u dan v. Operasi Perkalian kalar ( scalar scalar multiplication), multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan dan setiap objek u pada V dengan suatu objek k u, u, yang disebut kelipatan skalar dari dari u oleh k .
!ika aksioma( "# aksioma) aksioma) berikut dipenuhi dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan dan l , maka kita menyebut V sebagai RUANG VEKTOR (vector space) space ) dan kita menyebut objek-objek pada V sebagai VEKTOR . ") $) %) &)
!ika u dan dan v adalah adalah objek-o objek-objek bjek pada pada V, V, maka u + v berada pada V. u+v = v+u u + (v + w) = (u + v) + w 'i dalam dalam V terda terdapat pat suatu suatu objek objek #, yang yang diseb disebut ut vektor nol untuk untuk V, sedemikian rupa
sehingga 0 + u = u + 0 = 0 untuk semua u pada V. ) ntuk setiap u pada V, terdapat terdapat suatu suatu objek objek *u pada V, yang disebut disebut sebagai sebagai ne!"#$ dari u, sedemikian rupa sehingga u + (%u) = (%u) + u = 0 +) !ika k adalah adalah skalar skalar sebaran sebarang g dan u adalah objek sebarang pada V, maka k u terdapat pada V. V. ) k (u (u v) k u k v /) (k l ) u k u l u 0) k (l u) u) (kl (kl ) (u) "#) "#) lu u
RUANG VEKTOR BAGIAN ( SUBSPACE SUBSPACE )
Pandang V suatu 1uang Vektor. 2 himpunan bagian dari V,2 (misalnya dengan suatu sifat khusus) memenuhi semua aksioma 1uang Vektor, sehingga merupakan 1uang Vektor tersendiri, maka 2 kita sebut 1uang Vektor Vektor 3agian (Subspace ( Subspace)) dari V. 4adang kadang dihilangkan kata 53agian6 dan menyebutnya dengan 5ruang vektor di V6, atau pula 5ruang bagian dari V6 'n"' 1
Pand Pandan ang g
R
3
dengan dengan susuna susunan n 7artesi 7artesian an dimana dimana 8, 9, : adalah adalah sumbusumbu-sum sumbu bu
koordinatnya. ;impunan vektor-vektor pada bidang 8O9 merupakan ruang vektor bagian dari
R
3
. 'apat mudah dipahami bah
adalah #. =tau> 8O9 ? (@,y,#A@
∈
1, y
∈
1 B
7ontoh anggota 8O9 adalah ! C",",#D, * C#,",#D, = C$,%,#D, # C#,#,#D, dan lain-lai lain-lain. n. !elas bah
R
3
merupakan merupakan anggota anggota 8O9. 8O9. 4emudian
mudah ditunjukkan ditunjukkan bahh
:
O
8
9
ntuk menentukan menentukan apakah 2 merupakan merupakan ruang bagian, bagian, Fukup dengan memeriksa memeriksa sebagai berikut G ∅
(7")
2H
( 2 tidak hampa), untuk itu kita tunjukkan bah
(7$)
ntuk seti etiap a, b
(7%)
ntuk seiap a
∈
∈
2 maka = 3
∈
∈
2. 2.
2 ∈
2 dan I E 4 (skalar) maka Ia
2. Maka 2 adalah ruang
vektor bagian dari V 4etiga syarat (7"), (7$) dan (7%) itu Fukup. 4arena bila 2
∁
V, aksioma ruang vektor
keFuali keFuali (3"), (3&) (3&) dan (3) (3) terpenuhi. terpenuhi. yarat (7$) dan dan (7%) dapat mengga menggantikan ntikan (3"). ∈
edang (7") yaitu 2 tidak hampa, berarti terdapat u #
∈
2, 2, (-")u -("u) -("u) -u
∈
2 dan karena (7%) terpenuhi #u
2. 3erarti (3&) dan (3) terpenuhi.
'n"'
'engan 'engan mengguaka mengguakan n syarat (7"), (7"), (7$) (7$) dan (7%) akan kita kita tunjukkan tunjukkan bah
(7")
8O9 H
karena C#,#,#D
(7$ (7$)
Misa Misalk lkan an a Ca" Ca",a ,a$, $,# #D Ca"b",a$b$,#D juga
∈
∈
R
3
, sebagai berikut G
8O9
8O9 8O9, b Cb" Cb",b ,b$, $,#D #D
∈
8O9
maka
a b
8O9 (karena komponen komponen ketiga ketiga dari ab adalah #)
('i sini a", b", b$ adalah sebarang). (7%) (7%) ∈
ntu ntuk k seba sebara rang ng ska skala larr I dan dan a Ca",a Ca",a$, $,#D #D 8O9
∈
8O9 maka Ia CIa",Ia$,#D juga
!adi terbukti 8O9 ruang vektor bagian dari 1%.
7. 7. ONT ONTO- ONT ONTO O-
RUANG UANG VE VEKT KTO OR & OER OERAS ASII /A /ANG
TERIBAT
7ontoh " G
R n !!2! 3u!"u Ru!n Ve4"'5
;impun ;impunan an V 1 n dengan operasi-op operasi-operasi erasi standar standar penjumlahan penjumlahan dan perkalian perkalian skalar yang telah didefinisikan sebelumnya adalah suatu ruang vektor. Jiga Jiga kasus kasus khusus khusus paling paling penting penting dari 1 n adalah 1 (bilangan 1eal), 1 $(vektor pada bidang ) dan 1 % (vektor pada ruang dimensi %). 7ontoh $ G
Ru!n Ve4"'5 Ve4"'5 6!"5#43
7ontoh % G
Ru!nVe4"'5 !5# 6!"5#43
7ontoh & G
Ru!n Ve4"'5 !5# Fun3# Be5n#2!# Re!2
7ontoh G
-#89un!n :!n *u4!n 8e5u9!4!n Ru!n Ve4"'5 Ve4"'5
8n
7.; 7.; ONT ONTO- ONT ONTO O-
SUB SUB RUAN RUANG G VEKT VEKTO OR & BUKA UKAN SUB SUB
RUANG VEKTOR
7ontoh "
G Pengujian ubruang
7ont 7ontoh oh $
G Karis Karis-g -gar aris is yang yang mele< mele
7ontoh %
G Vektor-vektor pada 1 % adalah 4ombinasi Linear dari i, j dan k etiap vektor v (a, b, F) pada 1 % dapat dinyatakan dinyatakan sebagai suatu kombinasi kombinasi linear dari vektor vektor basis standar i (", #, #),
j (#, ", #),
k (#, #, ")
karena v (a, b, F) a(". #, #) b(#, ", #) F(#, #, ") ai bj Fk
7.4
AT!AN "AN T UGAS UGAS L AT!AN "AN
