Bab 5 UKURAN VARIABILITAS
UKURAN VARIABILITAS Pengantar Pada Pada bab 3 terdahu terdahulu lu telah telah diperke diperkenalk nalkan an tendens tendensii sentral sentral yang yang dapat dapat dianggap sebagai representasi dari distribusi suatu gejala. Tetapi sebenarnya untuk memperoleh pemahaman mengenai suatu distribusi belumlah memadai kalau kita hany hanya a meng mengeta etahu huii tende tendens nsii sentra sentralny lnya a saja. saja. Untuk Untuk lebi lebih h mema memaham hamii
suatu suatu
distribu distribusi si di sampin samping g informa informasi si mengen mengenai ai tendens tendensii sentral sentralnya nya diperlu diperlukan kan juga juga informasi mengenai variabilitasnya. Ada beberapa beberapa macam ukuran variabilitas, variabilitas, antara lain rentangan rentangan (R), rerata simpangan simpangan (MD), simpangan baku (SD) dan varian, serta koefisien variasi. Dalam Dalam bab 5 ini di samping samping membahas membahas ukuran ukuran variabil variabilitas, itas, akan akan dibahas dibahas pula beberapa nilai baku yang sering kali digunakan di kalangan pendidik maupun psikolog. Setelah Setelah mempela mempelajari jari modul modul ini, pembaca pembaca diharapk diharapkan an dapat dapat mempero memperoleh leh pemahaman tentang :
1.
pengertian variabilitas.
2.
beberapa ukuran variabilitas gejala .
3.
cara-cara menentukan menentukan besaran besaran ukuran variabilitas. variabilitas.
4.
penggunaan masing-masing ukuran variabiltas.
58
UKURAN VARIABILITAS Varia Variabi bilit litas as adal adalah ah deraja derajatt peny penyeb ebara aran n nila nilai-n i-nila ilaii varia variabel bel dari dari tende tendensi nsi sentraln sentralnya ya dalam dalam suatu suatu distribu distribusi. si. Jadi Jadi variabi variabilitas litas ini menunju menunjukkan kkan seberap seberapa a banyak nilai-nilai variabel itu berbeda dari tendensi sentralnya, atau seberapa jauh nilai-nilai nilai-nilai varibel itu menyimpang menyimpang dari tendensi sentralnya (terutama rerata). Tendensi sentral dan ukuran variabilitas digunakan secara bersama dalam rangka penggambaran sekumpulan data. Sebab tendensi sentral secara terpisah tidak tidak dapat dapat menggam menggambark barkan an keadaan keadaan keselur keseluruhan uhan data dengan dengan baik. baik. Tendens Tendensii sentral hanya memberikan informasi tentang suatu nilai yang menjadi pusat dari nilai-nilai lainnya, tetapi tidak memberikan informasi seberapa jauh atau seberapa besar nilai-nilai dalam kelompok itu bervariasi. Misalkan ada dua himpunan data, yaitu himpunan himpunan A = {3 3 4 5 6 7 7} dan himpunan himpunan B = {1 2 4 5 6 8 9}. Kedua Kedua himp himpuna unan n terse tersebu butt memp mempuny unyai ai nilai nilai rerata rerata yang yang sama sama yaitu yaitu 5. Tetap Tetapii himpunan himpunan B lebih variatif daripada daripada himpunan A. Atau dengan kata kata lain himpunan himpunan A lebih homogen (seragam) daripada himpunan B. Dari Dari contoh contoh di atas atas jelas jelas bahwa bahwa untuk untuk memberi memberikan kan gambara gambaran n ringkas ringkas yang memadai mengenai suatu distribusi data atau himpunan data, di samping dengan tendensi tendensi sentral sentral juga juga diperluk diperlukan an suatu suatu ukuran ukuran variabi variabilitas litas.. Ukuran Ukuran variabi variabilitas litas dibedakan menjadi ukuran variabilitas absolut dan ukuran variabilitas relatif. Yang termasuk termasuk ukuran ukuran variabil variabilitas itas absolut absolut antara antara lain: lain: rentang rentangan, an, rerata rerata simpan simpangan gan,, simpangan baku dan varians.
A. Rent Rentan anga gan n. Rentangan (range (range of measurement ), ), adalah jarak dari data terendah sampai sampai data tertinggi. tertinggi. Karena Karena itu untuk untuk menentu menentukan kan rentang rentangan an (R) cukup cukup dengan cara menghitung selisih antara data tertinggi dengan data terendah, sehingga sehingga rumusnya dapat dituliskan seperti rumus 5.1:
R
=
X t
−
X r
.......................(Rumus 5.1.)
R = Rentangan X t t = Nilai tertinggi. X r r = Nilai terendah.
59
Jika kita lihat kembali contoh di atas tentang himpunan A dan B, maka akan kita peroleh, bahwa : Distribusi A: Xt = 7, dan Xr = 3, sehingga R = 7 – 3 = 4. Distribusi B: Xt = 9, dan Xr = 1, sehingga R = 9 – 1 = 8.
Sebag ebagai ai
ukur ukuran an
vari variab abil ilit itas as,,
sema semaki kin n
besar esar
R
(ren (renta tang ngan an))
menunjukkan distribusi datanya semakin heterogen. Namun demikian sebagai ukuran variabilitas R (rentangan) ini mempunyai dua kelemahan yaitu: a. Tidak Tidak memenuhi memenuhi batasan batasan variabilita variabilitas. s. b. Sangat tergantung tergantung pada dua dua nilai ekstrim di kedua kedua ujung. ujung. Disa isamping ing
ked kedua
kelem lemahan han
ter tersebu sebutt
R
juga
tida tidak k
dap dapat
menunjukkan bentuk distribusinya, namun demikian R dapat digunakan untuk mena menafsi fsirr varia variasi si seca secara ra mudah mudah dan cepa cepatt walau walaupun pun kura kurang ng teliti teliti.. Untuk Untuk mengatasi kelemahan kedua itu, maka digunakan R 10 – 90 dan atau RSAK. Dengan Dengan R10
– 90
berarti berarti distribu distribusi si itu dipotong dipotong 10% pada masingmasing-
masing ujungnya, sehingga R 10 – 90 = jarak dari P 10 – P90. Oleh karena itu R10–90 = P90 – P10.
P10
P90 R 10 - 90
Langkah- langkah menghitung R 10 – 90:
1. Hitung P90. 2. Hitung P10. 3. P90 – P10.
60
Tabel 5.1. : Nilai Tes 80 Siswa Interval f fk
P 90 P 10
56 – 62 49 – 55 42 – 48 35 – 41 28 – 34 21 – 27 14 – 20
2 9 16 25 17 8 3
Σ
80
80 78 69 53 28 11 3
72 − 69 = 48,5 + 7 = 50,833 9 8 − 3 = 20,5 + 7 = 24,875 8
R10 – 90 = 50,833 – 24,875 = 25,958.
RSAK = Rentangan Semi Antar kuartil RSAK = ½ (RAK). RAK = K3 – K1 Dengan Dengan RAK berarti distribusi dipotong di kedua ujungnya masing-masing masing-masing 25% K 1
K
K 3
2
RAK
Langkah-langkah menghitung RSAK:
1. Hitung K3. 2. Hitung K1. 3. Hitung RAK = K 3 – K1. 4. Tentukan Tentukan RSAK RSAK = ½ x RAK. RAK. Dari tabel dapat diperoleh RSAK = .... 1. K 3
60 − 53 = 41,5 + 7 = 44,536 16
61
2. K 1
20 − 11 = 27,5 + 7 = 31,206 17
3. RAK = 44,563 – 31,206 = 13,357. 4. RSAK = ½ x 13,357 = 6,679.
Perlatihan 5.1. Tentukan R10 – 90 dan RSAK dari tabel 5.2. dibawah ini
Tabel 5.2. : Data Fiktif Untuk Latihan. Interval f fk
B.
45 – 47 42 – 44 39 – 41 36 – 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29
2 5 10 15 10 5 3
Σ
50
Rerata Simpangan (Mean Deviation). Simpa Simpanga ngan n atau atau devia deviasi si adal adalah ah selis selisih ih sekor sekor deng dengan an rerata reratanya nya.. Deviasi biasanya biasanya diberi simbol huruf kecil (x kecil). Jadi x = X – M. Rerat Rerata a simp simpang angan an atau atau mean mean devia deviatio tion n (MD) (MD) adala adalah h rerat rerata a dari dari penyimp penyimpang angan an nilai-nil nilai-nilai ai variabl variable e dari rerata rerata kelompo kelompoknya knya.. Dibandin Dibandingka gkan n deng dengan an rent rentan anga gan, n, rera rerata ta simp simpan anga gan n ini ini lebi lebih h mant mantap ap seba sebaga gaii ukur ukuran an variabilitas, variabilitas, karena rerata simpangan simpangan ini ditentukan berdasarkan berdasarkan seluruh seluruh nilai yang ada dalam kelompoknya, bukan hanya berdasar pada nilai-nilai ekstrim saja. Adapun rumus untuk menghitung rerata simpangan simpangan ini adalah : M D
x ∑
=
………… (Rumus 5.2)
n
MD = Rerata simpangan IxI = selisih X dari M ( dalam dalam harga mutlak) mutlak) N = cacah kasus
62
Contoh: Ada lima orang
masing-masing masing-masing memperoleh memperoleh sekor 1
2
3
4
5,
rerata dari sekor ke lima lima orang tersebut tersebut adalah :
M = MD
1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
= =
(1 − 3)
=3
+ (2 − 3) + (3 − 3) + (4 − 3) + (5 − 3)
2 +1+ 0 +1+ 2 5
5
= 1,2
Jika dihitung dan disajikan dalam bentuk table maka seperti dibawah ini.
Tabel 5.3. : Contoh Tabel Kerja Untuk Menghitung MD. Nilai Subyek │x│ (X)
M =
15 5
MD =
A B C D E
1 2 3 4 5
2 1 0 1 2
Σ
15
6
=3
∑ x = 6 = 1,2 n
5
Jika Jika data data cukup cukup besar besar dan tersaji dalam tabel tabel distribu distribusi si frekuens frekuensi, i, maka rumus 5.2. dirubah menjadi rumus 5.3.
MD =
∑ f x n
.....................
Rumus 5.3.)
Misalkan sekor tes kecemasan dari 40 siswa tersaji dalam tabel 6.4. berikut ini.
Tabel 5.4. : Sekor Tes kecemasan 40 siswa. Nilai f 9 8 7 6 5 4
2 7 12 10 6 3
Σ
40 63
Untuk menentukan rerata simpangan dari data tersebut, perlu dibuat tabel tabel kerja kerja seperti seperti tabel tabel 5.5., 5.5., dan selanju selanjutnya tnya menemp menempuh uh langkah langkah-lang -langkah kah seperti tersebut di bawah ini.
Tabel 5.5. : Tabel Kerja Untuk Menentukan MD X f fX x fx 9 8 7 6 5 4
2 7 12 10 6 3
18 56 84 60 30 12
2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5
5 10,5 6 5 9 7,5
Σ
40
260
-
43
Langkah–langkah Langkah–langkah menghitung MD: 1. Hitung M =
∑ fX = 260 = 6,5 . 40
n
2. Mengisi kolom x dengan cara X – M (dengan mengabaikan tanda negatif ). Misal : x baris pertama = 9 – 6,5 = 2,5, x baris kedua = 8 – 6,5 = 1,5, dst.
3. Mengisi kolom fx 4. Menjumlahkan isi kolom fx = 43 5. Membagi jumlah isi kolom fx dengan n. MD =
43 40
= 1,075
Perlatihan 5.2 Hitunglah MD dari tabel 5.6.
Tabel 5.6. : Data Fiktif Untuk Latihan. Interval f X fX x 45 – 47 42 – 44 39 – 41 36 – 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29
2 5 10 15 10 5 3
Σ
50
fx
64
C.
Simpangan Baku (Standar Deviasi). Kelemah Kelemahan an MD adalah adalah mengaba mengabaikan ikan tanda-tan tanda-tanda da negatif negatif sehingg sehingga a tidak dapat diteruskan kepada perhitungan-perhitungan statistika lanjut. Untuk mengatasi ini digunakan simpangan baku (SD). SD adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya individu.
SD =
∑ fx
2
..........................(Rumus 5.4.)
n
Tabel 5.7. : Tabel kerja untuk menghitung SD. X f fX x fx Fx2 9 8 7 6 5 4
2 7 12 10 6 3
18 56 84 60 30 12
Σ
40
260
2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5
5 10,5 6 -5 -9 -7,5
12,50 15,75 3,00 2,50 13,50 18,75
43
66
Cara menghitung SD hampir sama dengan menghitung MD. Perhatikan tabel 5.7. di atas yang sama dengan tabel 5.5. ditambah kolom fx 2.
Jadi, SD
=
∑ fx
2
=
n
66 40
= 1,285
Perlatihan 5.3. : Tentukan SD dari tabel 5.6.
Di samping
rumus rumus 5.4. 5.4.
ada ada rumu rumus s lain lain yang yang lebi lebih h muda mudah h untu untuk k
menghitung menghitung simpangan baku (SD), yaitu rumus 5.5.
65
SD =
∑
fX 2 n
fX − ∑ n
2
....................(Rumus 5.5.)
Rumus 5.5. ini disebut rumus angka kasar, sedang rumus 5.4. disebut rumus deviasi. Contoh penggunaan rumus 5.5. dengan bahan tabel 5.5.
Tabel 5.8. : Tabel Kerja Untuk Menghitung SD x f fx Fx2
SD
=
9 8 7 6 5 4
2 7 12 10 6 3
18 56 84 60 30 12
162 448 588 360 150 48
Σ
40
260
1756
1756 40
2
260 − 40
=
43,9 − 42,25 = 1,285.
Ternyata dengan rumus rumus 5.5. ataupun rumus 5.4., hasil hitungnya sama, yaitu = 1,285.
Catatan :
1. Kekeliruan Kekeliruan yang sering terjadi terjadi adalah mahasiswa mahasiswa menganggap menganggap : fx2 = (fx)2, padahal fx2 ≠ (fx)2 fx2 = (f)(x)2, atau (fx)(x).
2. Apabila kita menghitung menghitung simpangan simpangan baku dan sampel berukuran berukuran n<100 dan akan digunakan untuk menduga besar simpangan baku populasi, maka ahliahli statistika seperti Fisher Fisher dan Wilks, menganjurkan menganjurkan supaya mengguna menggunakan kan rumus 6.6
S =
∑ fx
2
n −1
.........................(Rumus
5.6.)
atau
66
S =
∑ fX
2
−
( ∑ fX )
2
......................(Rumus 5.7.)
n
n −1
Simb Simbol ol S = SD = Simpa Simpang ngan an baku baku,, di sini sini diguna digunakan kan sema semata-m ta-mata ata untuk untuk memudahkan memudahkan pemahaman pemahaman terhadap perbedaan rumus dan penggunaannya. Rumus 6.4. dan 6.5. digunakan jika kelompok data itu dianggap populasi atau jumlah datanya cukup besar, dan rumus 6.6 dan 6.7 digunakan digunakan jika kelompok data itu dianggap sampel dan akan digunakan untuk keperluan estimasi. Hasil Hasil hitung hitung dengan dengan rumus rumus 6.6. dan 6.7. selalu lebih besar daripada daripada rumus rumus 6.4. dan 6.5. Sebagai Sebagai contoh dari tabel 6.7., digunakan rumus 6.6. diperoleh: diperoleh:
S =
∑ fx
2
66
=
n −1
= 1,301
40 − 1
Jika digunakan rumus 6.7, dari tabel 6.8. diperoleh:
S =
D.
∑ fX −
( ∑ fX ) 2
n −1
n
=
1756 −
260
40 =1,301 40 − 1
Varian (SD2) Varian Varian adalah adalah kuadrat kuadrat dari dari simpang simpangan an baku baku (SD 2). Jadi Jadi kala kalau u dari dari tabel 5.7. diperoleh SD = 1,285, maka variannya = SD 2 = 1,2852 = 1,65. Jika harga SD belum dihitung, maka varian dihitung dengan rumus:
SD
2
fx ∑ fx = n
2
.........................(Rumus
5.8)
Atau
SD
2
=
∑
fX n
2
∑ fX − n
2
....................(Rumus
5.9)
67
Seperti Seperti halnya halnya ukuran ukuran variabi variabilitas litas yang yang lain, lain, simpang simpangan an baku baku dan varian semakin besar menunjukkan bahwa distribusinya makin heterogen.
Perlatihan 5.4 1. Hitunglah Hitunglah simpangan baku dan varian dari tabel 5.9. di bawah ini. Tabel 5.9 : Untuk Latihan
Interval f 33 – 39 26 – 32 19 – 25 12 – 18 5 – 11
2 8 19 20 11
Σ
60
Jika data dalam tabel 5.9. tersebut merupakan data data dari dari samp sampel el dan dan akan akan digu digunk nkan an untu untuk k melak melakuka ukan n
estima estimasi si
terha terhadap dap
popula populasin sinya, ya,
tentukanlah simpangan baku dan variannya.
2. Hasil ujian stastistika 40 mahasiswa tersaji seperti tabel 5.10.
Tabel 5.10. : Nilai Ujian Statistika 40 Mahasiswa Mahasiswa Nilai f 40 – 46 33 – 39 26 – 32 19 – 25 12 – 18 5 – 11
3 5 11 14 5 2
Σ
40
Tentu Tentukan kanlah lah simp simpang angan an baku baku (SD) (SD) dan varian (SD 2) dari data tersebut !
E. Nilai Nilai baku baku ( Z-scor Z-score) e)
68
Nilai baku adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu nilai (X) menyimpang dari reratanya dalam satuan SD. Atau nilai baku (Z –score), adalah indeks durasi suatu nilai. Rumus untuk menghitung nilai baku, adalah :
Z =
X − M
............................(Rumus
SD
5.10.)
Z = Nilai baku X = Suatu sekor M = Rerata SD = Simpangan baku
Dilih Dilihat at dari dari defin definisi isi dan dan rumusn rumusnya ya,, maka maka Z-scor Z-score e dapa dapatt diang diangga gap p sebaga sebagaii indeks indeks ukuran ukuran jarak, jarak, seperti seperti halnya halnya R ataupun ataupun SD. Perbedaa Perbedaannya nnya dengan R dan SD bahwa Z-score tidak lagi menggunakan angka kasar dan satuan pengukurannya, melainkan dalam satuan SD. Contoh toh
;
Si
A
menda endapa patk tka an
sekor
matem tematik tika
50.
Rerata
kelompoknya kelompoknya adalah 40 dan SD = 5. Maka nilai baku dari si A tersebut adalah :
Z A
Z A
X
M
−
=
SD
50 =
−
5
40 =
2
Ini berarti nilai matematika si A ada 2 SD di atas rerata. Dikatakan di atas karena tanda positif di depan bilangan itu. Contoh lain : Dari hasil tes diketahui bahwa M = 35, dan SD = 5, Amir dan Bonar masing-m masing-masin asing g mempero memperoleh leh nilai nilai 30 dan 40, sedang sedang nilai nilai baku baku Cecep Cecep dan Dian masing-masing -2 dan +1,5.
1.
Berapakah nilai baku dari Amir dan Bonar?
2.
Berapakah Berapakah sekor mentah si Cecep dan Dian? Untuk Untuk memp memperm ermuda udah h menja menjawa wab b perta pertanya nyaan an terse tersebut but,, maka maka soal soal
cerita di atas, perlu diringkas dalam notasi matematika sebagai berikut: Diketahui
Ditanyakan
M = 35
1. a. Z A = .....?
SD = 5
b. ZB =......?
69
X A = 30
2. a. XC =.......?
XB = 40
b. XD =......?
ZC = -2 ZD = 1,5 Jawab : 1. a. Z A
=
Z A
=
x − M SD 30 − 35 5
= -1 Jadi nilai Z Amir = -1 dan
1. b. Z B
=
Z B
=
x − M SD 40 − 35 5
=1 Z Bonar = 1.
2. Untuk menjawab pertanyaan ke dua, maka Z =
X − M SD
di ubah menjadi
X = M + Z(SD) sehingga : XC = 35 + (-2)(5)
XD = 35 + (1,5)(5)
= 35 – 10
= 35 +7,5.
= 25 = 42,5 Jadi sekor mentah si Cecep = 25 25 dan sekor mentah si Dian = 42,5. Di samping samping sebaga sebagaii ukuran ukuran jarak, jarak, nilai nilai baku baku juga juga dapat dapat digunak digunakan an sebagai ukuran untuk membandingkan dua gejala atau lebih yang mempunyai ukuran yang berbeda.
Contoh ; Si A mempunya nilai matematika 50, dan si B mempunyai nilai sejarah 70. Secara sekilas mungkin orang akan mengatakan bahwa si B lebih pandai dari si A (karena nilai B = 70, sedang si A = 50). Tetapi apakah penyimpulan itu benar? Untuk menjawab menjawab inin maka perlu di cari informasi tambahan tentang M dan SD dari nilai ke dua mata pelajaran tersebut. Misalnya: nilai M dan SD dari mata pelaja pelajaran ran matemat matematika ika adalah adalah 40 dan 50, sedangk sedangkan an untuk untuk mata mata pelaja pelajaran ran sejarah adalah 75 dan 10. Maka kita dapat membandingkan keduanya sebagai berikut:
70
Z A
=
50 − 40 5
=2
Z B
=
70 − 75 10
= −0,5
Dengan Dengan nilai-n nilai-nilai ilai baku yang yang ditemuka ditemukan n tersebut tersebut,, maka maka dapat dapat disimpu disimpulkan lkan bahwa kepandaian si A adalah 2 SD di atas M, dan kepandaian si B = 0,5 SD di bawah M. Oleh karena itu para peneliti tidak membandingkan nilai atau sekor menurut harg harga a tamp tampak akny nya a saja saja,, mela melain inka kan n haru harus s menc mencar arii info inform rmas asii yang yang lebi lebih h komprehensif pada setiap distribusi yang ditelitinya.
F. Koef Koefis isien ien Vari Varias asii Beberapa ukuran variabilitas yang telah dibahas di depan kesemuanya merupakan merupakan ukuran variasi absolut. Ukuran variasi absolut tersebut hanya dapat untuk melihat penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu himpunan data, dan tidak dapat digunakan untuk membandingkan beberapa himpunan data. Koefisien variasi yang biasanya di beri simbol KV merupakan ukuran varia variasi si yang yang bersi bersifat fat relat relatif. if. Koefi Koefisi sien en varia variasi si ini ini dapa dapatt digu diguna nakan kan untu untuk k memperbandingkan beberapa himpunan data yang berbeda. Koefisien variasi dapat ditemukan dengan rumus: KV
SD =
x100 %
M
....................(Rumus
5.11.)
V = Koefisien variasi SD = Simpangan baku M = Rerata
Misa Misalka lkan n kita kita meng menghad hadap apii dua dua buah buah himpu himpuna nan n data data yang yang berb berbeda eda dalam jumlah data dan nilai datanya, masing-masing kita sebut himpunan A dan B. Jika : M A = 60
SD A = 10
MB = 80
SDB = 20
Untuk Untuk mene menentu ntukan kan himp himpuna unan n mana manakah kah yang yang lebih lebih baik, baik, maka maka kita kita gunakan gunakan koefisien variasi, dan diperoleh :
71
KV A
=
10
KV B
=
20
60 80
x100% = 16,67% x100%
= 25%
Dengan demikian himpunan A mempunyai variasi yang lebih kecil dari pada himpunan B. Contoh lain, misalkan hasil pengukuran terhadap IQ mahasiswa PTS dan PTN di Jakarta menunjukkan rerata IQ mahasiswa PTN = 105 dan SD = 10, maka besarnya koefisien variasi IQ masing-masign kelompok mahasiswa tersebut adalah:
KV S
=
KV N
=
20 100 10 105
x100% = 20% x100% = 9,52%
Ini berarti berarti bahwa bahwa mahasis mahasiswa wa PTN mempun mempunyai yai variasi variasi IQ yang yang lebih lebih kecil dari pada mahasiswa PTS.
72
