BAB 4 Vektor

8. E. 0

BAB IV VEKTOR

C c Q

P b

Latihan Kompetensi Siswa 1 A A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan.

R a

B

AP BQ CR 0

1. C. PR

9. D. 2a 2b 5c

4a 3b 4c2a b c

2. D. 2QR

2a 2b 5c 3. E. 0

AB BC CD DA AA

10. E. CD BA

AA 0

AB DC CD BA

4. B. BF

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

5. B. OB 1. a. PQ QB BA PA

AC CE EB BC AB BC O

b. PT TS SQ QB PB

C

c. PA AS PB BQ PS PQ PR

AB BC OB

geser

2. a. (i) PS QR salah A

B

Jadi, AC CE EB BC OB 6. A. 8a 31b 10c

  3 a 3b c 

5x 2z 3y 5 3a 2b c 2 2a 6b c



(ii) PQ RS

salah

(iii) PQ QR

salah

(iv) PR QS

salah

(v) PQ RS

benar

(vi) PQ QS

salah

8a 31b 10c b. (i) PQ QR PR 7. D. 2 b

 

2 x 2a 2b x 2a

(ii) PR RS SQ PQ (iii) SP SR SQ

3x 4 a 2b 3 x 4a 2 b

3. a. AD DC AC b. AB BD AD c. AC CB BD AD d. AB BC CA AA e. AC DC AD f. CB BD AD CD AD CA

4. a. (i) QP QR QS

9. a. AD AB BD

(ii) PQ PS RS SQ PR RQ PQ (iii) SO QO SQ

b. PM PR RM c. 2PM PQ QM PR RM PQ PR O

PQ PR (terbukti)

(iv) PR SR SQ PS SQ PQ

10. a. AD AB BD

b. (i) SR PQ a

b. AD AC CD

(ii) PR PQ QR a b

c. 4 AD AD 3 AD

  AB 3 AC  BD 3CD 

(iii) SQ SP PQ b a a b

AB BD 3 AC CD

5. a. AB BE EC AC

AB 3 AC O

b. BA AE EC CD BD

AB 3AC

c. CB AB AE DE CD d. AB BC EC DE AC EC DE

(terbukti)

11.

AE DE

C

AD

Q

6. a. AB BA AA

c P b

b. EF ED EO c. AB BO EO AO EO AE

A

d. AB BC CD DE AE e. OF OD CD CB FD

aR

B

a. QR QA AR

f. AB BC AF ... AF AD

1  c k a , untuk suatu k 2

7. a. XY XA AY a b b a

 

b. QR l CB l BC p  b , untuk suatu p

b. BC BA AC 3a 3b 3 b a

  

1  1 c.  l k  a  l  c l a c k a  c o 2 2   1 l b k a  c o 2 1 1  k a lb  c  a b c 2 2 1 1  k  dan l  2 2

   

1 3 c. AM AB BM 3a  BC 3a  b a 2 2 3  a b 2 d. XC XB BC 2a 3 b a 3b a

 



1 8. a. AB AF AO  AD 2 b. (i) CF CO OF 2 AB 2 2 4 (ii) AE 2 3



12. D

Q

C

A

P

B

E

O' 1 A

2

O

AO' O' A  2 1  3 2

Jadi, AE 2 3

2

AD BC PQ PQ 2 PQ (karena AD=BC=PQ) Hasil ini juga benar jika ABCD suatu persegi.

1 1 1 13. a. PR PA AS SR  a  c  b 2 2 2 1  a b c 2





RQ RP 2RQ RS 2. a. u RA   2 2 1 RQ  RS 2 RS RP 2RS RQ v RB   2 2 1 RS  RQ 2

1 1 1 b. SQ SA AP PQ  c  a  b 2 2 2 1  a b c 2





b. 2u 2 RQ RS

1 1 1 c. TU TA AP PU  b  a  c 2 2 2 1  a b c 2



1 v RS  RQ 2 3 2 u 2v  RS  RS  u 2v 2 3



 

14. a. PD PS SD b a

2 2 c. RP RQ RS  u  v 3 3

b. SQ SP PQ b c c b c. AQ AP PQ a c

SQ SR RQ RS RQ

d. AR AP PS SR a b c

2u 2v

e. DQ DS SP PQ a b c 3.

f. CS CR RS a c

C

g. RP RS SP c b h. PC PS SR RC b c a

bQ

15. a. BC BP PC b c c b

P

b. BA BP PA b a a b c. BD BP PD b d d b

A

d. AC AP PC A c c a

 

1 1. a. CP CQ  CA 2 1 b. PA QA  CA 2 1 c. PB QD  CA 2

D'

1 4. a. AB  PS 2

P

C

1 b. DC  PS 2

Q

c. ABCD adalah jajargenjang. A

B

BC BA AC a b b a 1 1 1 QR QA AR  b  a  a b 2 2 2 1 1 PR  AC  b 2 2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

D

R a

B

 

 

2. E. 6 u v

1 u v AX 5. a. (i) sin 60 2 u u

A'

1 3v 1 u  3 u v  u  3 3  1  1 3   3  1 1 (ii) u v  BD BX XD 2 2

 

E

 

1 3   2

v A

u +v

u

B

AB AC AD AE AF







 AB AF AC AE AD

2

 3 3   2

2

C

F

3 b. u v AC 2 AX 2  3 2 AX 

D

1 3 1   AD  AD AD 6 AD  2 2 2  

 

6 u v

Latihan Kompetensi Siswa 2

3. C. u S

R

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

A B

1 1 u v 2 2 R

M

Q

v

P

Q

PQ PS RQ RS PR RP PP AB u

N

4. C. u O

u

MN MQ QN 1 1  u v 2 2

P

AB AD CB CD AC CA AA ST u 5. B. 3 : 1

AD 2 AC AP  3 DQ 

x DA y DP  DC DB  2  x y  2  

 2  x DA y  DC  DC DC DA 3   2 2  x y      y 4 1 x   DC DC; DA 2 DA x y 3 2 x y y 3    y : x 3 :1  AT : TP 3 :1 x y 4 x 1  x y 4

6. D.

1 2

AE k AM

2 1 AB  AC AD CD 3 3 GD   2



 

 1 v 2l u   u v k    2 3   1 k 3  k 2 3 2 1 2  kl 2 3 2 3 1  . .l  l  3 3 2 1 v 2. 2 u u v  AM   3 3



2   AC AB  3  2

4 1  AB  AC 6 6 2 AB AC AD  3 4 1 GD  AB  AC 6 6 4 1 r s   6 6 3 1   6 2

ME AE AM 1 1  u v  u v 2 3 1  u v 6

     

7. C

u

A

8. A.

v

9. B

1 1 u v 6 6

A, M & E segaris berarti AE K AM

   

1 AE  AB AC 2 1  u v 2 AC 2AO AM  3 v 2.lu  3

10.

11. A. 3 dan  4





PQ q p 2 a b 2c a 5b 4c 3a 6b 6c







PR r p 3a nb mc a 5b 4c

15. B. 4



4a  n 5 b  m 4 c P, Q , & R segaris berarti PQ k PR

PQ k PR





3a 6b 6c k 4 a  n 5  b  m 4  c

3 3 3 4k  k  ; 6   n 5 n 3 4 4 3 6   m 4 m  4 4 1 1 12. A. a  b  c 2 2 AD BC OD a b c 1 OE  a OD 2 1  a a b c 2 1 1 a  b  c 2 2 13.

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

1os 2op s 2 p 1. OQ   3 3 2 os 1op 2s p OR   3 3

OD a c b

 

 

Panjang vektor a b 2 2 4 cm

4os op 4s p OT   3 3





5os 2op 5s 2 p OU   3 3 2OM 3OB 2. OP  5 2. 12 a 3b a 3b   5 5

RP 3QP 3. AP  4 

 

p r 3 p q 4

4 p 3q r  4 AB AQ QB 1 2  QR  QP 4 3 1 2  r q  p q 4 3 2 5 1  p q r 3 12 4

   

14.

4. AD BC

OD a c b OD a b c lanjutannya ada apa enggak ???

5. a. adib : terdapatk sedemikian sehingga

AB k BC



 6a b  2a b k  12a 4b  6a b  4a 2b k  6a 3b OB OA k OC OB

   

1 9. OD  OB OC 2 1  b c 2

2OD OA OG  3 1 2 b c a  2 3 a b c  3

 

2 4 6 k  k  3 jadi, A, B , C kolinear b. AB : BC 2 : 3 6. AC 3 BC



OC OA 3 OC OB

10. BC BA AC



a b

2OC 3OB OA

b a

  

3 2q p 3 p q OC  2 6 p 7q  2 7. a. AB OB OA

b a b. AC OC OA

3a b a 2a b c. AD OD OA

3b a a 3b 2a

QR QA AR PR PB BR 1 1 1 1  CA  AB  CB  BA 2 2 2 2 1 1 1  b a  CA AB  BA 2 2 2 1 1 1  a b  b a  a 2 2 2 1  b 2

   

d. BC OC OB

3a b b 3a e. BD OD OB

 

  

3b a b C. Evaluasi Kemampuan Analisis

2b a f. CD OD OC

 

1.

3b a 3a b 2b 4a

8.

1 a. (i) OM  2 1  2 1 (ii) OM  2 1  2 b. AD BC

d a c b c a b d

AC

a c BD

b d 

OA OC OB  b a c 1 1 OP OR OQ  q  a  c 2 2 1  a c 2 1  b 2 1 OQ  OB berarti Q titik tengah OB 2 berarti O , Q , & B segaris

 

2.

6.

PS 2PM a 2. 12 b PN   3 3 1 1  a b 3 3 PR PQ QR b a 1 PN  PR  P, N , & R segaris 3 Jadi, terbukti bahwa P , N & R segaris

7.

           

1 1 1 3. a. p  b c ; q  a c ; r  a b 2 2 2 1 1 1 b. p q r  b c  a c  a b 2 2 2 a b c c. AP BQ CR

 

   





  

1 1 1  AC AB  BA BC  CA CB 2 2 2 1 1  AC CA  AB BA  2 2 1 BC CB O 2



4. OC t OB  1 t  OA

c  1 t a tb

5.

1 8. AP  AB 4 1 p a  b a 4 3 1 p a b 4 4 adib : terdapat K R sedemikian sehingga BQ K .BR

 

  1  3 2 a  b K  3a b 4 4   3 1 a  b K  3a b 2 2 2 p b K 3a b

1 K  2 1 karena BQ  .BR berarti dapat disimpulkan 2 bahwa B , Q , & R segaris.

Latihan Kompetensi Siswa 3 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. 2 p 3q 4 r



 



2 2a 3b 3 4 a b 4 ha  3h k  b

4a 6b  12 4h a  3 4 3h k   b 12 4h 4 h 2

 2n 3k  5 2 n 4 2n 3   5 2n 3  8  20  2  n  3  3 3 14 29 n 3 3 29 1 n  2 14 14 4. AB OB OA

  

ta b 2a b  t 2  a 2b

3 4 3h k 6 4 3.2 k 9

AC OC OA



4k 33

10a 5b Agar A, B, dan C kolinear, maka AB kAC , k R

2. PQ OQ OP

  

 n p q 3 p q

AB k AC

t 2  a 2b k  10a 5b 

 n 3 p 2q PR OR OP



 

3 p 5q 3 p q 4q

P,Q , dan R kolinear, berarti PQ k PR

PQ k PR

n 3p 2q k  4 q

5k 2 2 k 5 2 t 2  .10 4 5 t 6 5. a. AC OC OA



 n 3 0 n 3



7a 3b 3a 7b

 

BC OC OB



 

 2na 3b 3a b

7a 3b 9a b

 2n 3 a 4b

2a 2b

BC PC PB





4a 4b

3. a. AB PB PA



 

12a 4b 2a b

1 k  8 4



5a 6b 2na 3b  5 2n  a 3b



b. A, B dan C segaris, berarti AB k BC

AB k BC

2n 3 a 4b k  5 2n  a 3b   3k 4 4 k 3

b. HK OK OH





9 a b 3a 7b  93 a  7 b AC 4a 4b 934 1

74 9  6040 2 2  ;  3 3



1 6. a. OH  AB 4 1  OB OA 4 1  b a 4

OA 3OB (iii) OQ  4 5s 30t  (ii) BQ OQ OB 4 5s 30t 1 5  10t OP  OA  s 4 2 2 5s 10t  (iv) BP OP OB 4 5  s 10t 2 5s 20t  2

8. a. (i) AB OB OA 10t 5s

   

BK OK OB 1  a b 3 b.

b. (i) BG BP OG OQ Lanjutannya manaaa!!!

7. a. (i) PQ OQ OP

  

B. Evaluasi Kemampuan Analisis

6a b 2a b 4a 2b (ii) OY 2OQ

 

2 6a b

12a 2b (iii) MY OY OM



1 OM  OP 2 1  2a b 2 1 a  b 2



k 4a 2b

2 p 3q (ii) AC OC OA

3q 2 p (iii) OD OB BD





4k a 2k b c. XY nMY  1  n 10a 2 b  2   1 10n a 2 nb 2 d.

 

2 p 3q 8 p



 1  12a 2b  a  b  2  1 10a 2 b 2 b. XQ k PQ

 

1. a. (i) OB OA OC

6 p 3q (iv) BC OA  2p

BD 4BC

8 p b.

2.

Latihan Kompetensi Siswa 4 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1.

3.

0  0  0      2. a. OA  2 ; OB 8 ;OC  10       4.

AC OC OA 0   0        10    2  0     12     0  1 0    jadi, OA  2 6  12    

1  AC 6 OA : AC 1: 6 b. AB OB OA 0  0        8   2  0    10   0 8 0  jadi, OB       8 10    10   8  AB 10 OB : AB 8 : 10

1 4  2   d. a b c  3    3  5       1 4  2       e. 2 a b 3c 2 3  33 5      4   f. 2a 3b 4c 2 3  

c. CB OB OC 0  0     8  10   

0    2    0   0  5  jadi, OC     10    2 5CB OC : CB 5 : 1

5. a.

 0  1 0  d. OA   2     10    5  1  OC 5 OA : OC 1 : 5

b.

e. CA OA OC  0  0    2   10     0     12   

0  5  0     jadi, OC     10    6 12  5  CA 6 OC : CA 5 : 6

OQ 2OP 6. a. OK  3 1 7      2 3  3 1    2 1   3 3

    9i b. b c  4i 5 j  4i 5 j 

3. a. a b 5i 5 j 4i 5 j

10 j





c. b c 4i 5 j 4i 5 j

8i







d. 3a c 3 5i 5 j 4i 5 j

11i 10 j

 



 



e. a b 2c 5i 5 j  4i 5 j 2 4i 5 j

i 10 j 4  2  2  4. a. a b  3          3  6  1  1 2       b. b c  3 5 8       1 3  4    c. a c  3       5    2 



2OQ 5OP b. OK  7 7   1 2  2     2 57  1 3         3 2 37    7 m n mOQ nOP m n   c. OK   m3n  m n m n 

7. a. AB OB OA 1 2       5  3  

1    2 

AC OC OA 1 k      4 3   

k 1   7   

A, B, dan C segaris, maka :

AB AC  1  k 1  2        7  72

mOB nOA OC  m n 12 n 4mm 2t  n      14m 2 n  t  m n   

2  7  k 11 2   k 11 7 2k 2 7  2k 5



5 k  2 72   b. AC  7    2

 7 7 2 AC      7  5 2  2 AB  12 22  5 jadi, AC 3,5 AB

OA OB 8. a. OS  2  3  6     2 2      2 4,5   0     b. SA 3SB  OS 4OA 3OB 3  6  6  4 2  3        2  14 c.

9. Misal : AC : CB m : n

4m 12n  14 m 2 n  2  m n  m n  8n 24m m : n 1 : 3 14. 1 2.3 t 5 1 3 10. a. PQ OQ OP

 3  5    4   1    2    3    PR OR OP  0  5   k    1    5   k 1    R terletak pada perpanjang PQ , berarti :

PQ PR 2  5   3        k 1

52 2  5

 k 13

2 k 13 5 2 k 2 15 2k 17  k 8

2  3  b. 2 PQ QR 2  3       4,5  7     10, 5  

QR OR OQ 3  3 0              8,5  4  4, 5   2

2 21  2 PQ QR   7  2 

 159, 25

1 2

B. Evaluasi Kemampuan Analisis

3.

 

1. a 3b 10 j 3 8i j

24i 7 j

 

vektor satuan yang sejajar dengan a 3b adalah :

a 3b



a 3b

24i 7 j

24 2 7 2

24 7  i  j 25 25 2. CB OB OC 4  2        1   3  2  4  

EF OF OE 2  3     2  0     1   2   

CB 2 EF n 2

1 OP  OA QB OB OQ 2  8  6  2 1 4 2                  2 6  3  9 3   6    OB OC  OQ  2 8  4    9    3  6       2 6   OP QB dan OP QB sehingga OP // QB Jadi, OPBQ sebuah jajargenjang.

AE OE OA 1 3     0    3    4   3    

BD OD OB  0  4    2    1    4   3    

AE BD dan AE BD

cos 

AE.BD AE BD

0

4  4331 2 2 2   4  3  







jadi, AE BD dan AE // BD sehingga, terbukti bahwa ABDE merupakan jajargenjang.

7  4. Misal : r  24   

r  7 2 24 2 25 vektor satuan yang berarah sama dengan r adalah : r 1 7      24  r 25  

1 7  28   OA 100     25  96  24   

AB OB OA 24  28  4       99 96  3      

AB   4 3 5 2

2

jadi, vektor satuan dalam arah vektor AB adalah : 45  4   AB 1          3  AB 5  3   5 

 3 5. Misal : t  4  ; t 5   4   u  3 ; u 5 

t 1  3  6    a 10  10    5 4  8 t    3  12  u 1  b 15  15     9   5 4 u    12  18  6   a b  8   9   1       

Latihan Kompetensi Siswa 5 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. 4 2x  x 2 y 3x  y 3. 2 6 5 2 z 5 x  z  .2 5 2

2 1  5      2. a. a b 3c  03 31       1   1  1 12     0   3   5  2  7       b. c a  1 0 1   1    1     0 2 1  5       c. 2a b c 2 03 1      1   1  1  0   2  2  

3. a. c  a b

 1  2  1      0 2 3  0  1   2      2 21  2. 1 3

4 1 1   3 3 2 32   3 2 20   20 3 2 2  3 1  3 jadi, tidak ada bilangan real dan  sedemikian sehingga c a b . Sehingga a, b, dan c nonkoplanar

 0   2  1  1       b. d  4 x 3 y0 z2   8  1 2  0        2 2 x y z 0 3x 2 z  4 1  x 2 y 4 x 2 y 8  4 y 12 y 3 x 2 2 x y z 2 23 z 0 z 1 jadi, d 2a 3b c 6   4. OA  4 2   CB OB OC 8  2  6         6 2 4  4 2  2       OA CB dan OA CB ,sehingga OA // CB jadi, terbukti OABC suatu jajargenjang.



 5  8   3      5. a. PQ QR RS  4 10  14 2 12   4      0    0   14    b.

6. a. adib : terdapat bilangan R, dan  sedemikian sehingga : c  a b

c a b

 5  3   2        42 1  1   1   2        1 325 2  2 4  3 3 2 32 5 21  26 3 2

terbukti a, b, & c koplanar b. c 3a 2b 7. a. adib : tidak terdapat bilangan R, dan  sedemikian sehingga c  a b

c a b

3   5   2       2  2  0  0  2  1       tidak memenuhi 22  1 523 20 525. 1 2 2  1 2.1 0 2 jadi, tidak ada & sedemikian sehingga c a b

Terbukti bahwa a, b, & c nonkoplanar

2   5   2 3         b. d  2 x 2 y 0 z 2 1  2 1 0         1 1 x 1 ; y  4 ; z  2 2 1 1 d 1 a 4b  c 2 2 8. AB OB OA BC OC OB  2  1  1  2        42   2 4  4  5  7 4        1  3      2  6  1  3      Adib : A, B, dan C segaris, artinya : AB kBC , k R

1  3      2k  6  1   3      3k 1

1 k  3 1 karena AB  BC, maka terbukti 3 A, B, dan C segaris. AB : BC  1:3 9. AB OB OA

6  2     5  1    13   5   4   4  8  

1 AP  AB 4 4 1   4 4  8  1    1 2 

OB 3OA OP  4 6  2     1 5 3 3      13 5     2 4  7   jadi, koordinat titik P adalah  3, 2,7 

1 10. a. OP  OA 2 x1  1   y1  2  z1  x2  y 2  z 2

1

1

1

1 OQ  OB 2 x2  1   y 2  2  z2 

     

b. PQ OQ OP

x2  y 2  z 2

2

2

2

     

5  2 7       2. a. c a  1  0 1  2     1    0 

c a  49 1  50 5 2 2 1  5       b. 2 a b c 2 0 3 1      1   1 1 

0   2  2  

AB OB OA

x2 x1   1  y 2 y1  2  z2 z1  1 PQ  AB 2 PQ sejajar AB

x2 x1    y 2 y1  z z  2 1 

Latihan Kompetensi Siswa 6

2a b c  0 4 4  8 2 2 vektor satuan yang searah dengan 0   2  2  2a b c e   2 2  1 1   ,  0,  2  2

A.

 1  1  2      1. a. a b c  1  0 1 2    1     3   4   0  2  

a b c  16 0 4  20 2 5  2  1 2      b. 2a b c  2  01 4     1    3 5    1  0  

2a b 2c  25 1 0  26

3. a. a  4 9 36

 49 7 b  64 4 9  77 b. jarak a dan b

  8 2 2  3 3 6 2

2

2

 36 25 81  142 4. a  1 k 2 9  26

10 k 2 26 k 2 16  k 4 5. a. OP  16 9 4  29 b. OP  4 1 9  14 c. OP  0 4 0 2 d. OP  9 0 16 5 e. OP  49 1 0  50 5 2 f. OP  4 9 36  49 7 g. OP  36 36 36  108 6 3

3   2  5       8. a. p q  2 1  1   1  3  2      

h. OP  a 4a 9a  14 a a 14 2

2

2

2

1 2 2 4 i. OP  p  p p 4 

5 p2 4 p 4 4

p  2

5i j 2k

5 p  4

p2



2

3   2  1       b. p q  2 1 3  1  3   4      

p 2 5

i 3 j 4k

6. a. PQ   4 1 3 1 2 1 2

2

2

6   6  12       c. 2 p 3q  4  3 1   2 9 7      

 9 4 1  14 b. PQ   2 3 3 2 0 0 2

2

2

12i j 7k

 1 1 0  2 c. PQ   0 0 1  3 2 4 2

2

2

 0 4 36  40 2 10 d. PQ   5 2 5 0 2  5  2

2

2

 9 25 49  83 7. a. r1  25 36 4  65

10   2  12      b. 2r1 r 3  12  2 10  14  4  8     





2r1 r3  144 100 64  308  5  7   6  8         c. r1 r2 3r3  6 3  6 15 2      1    12   9 





r1 r2 3r3  64 225 81  370 7   2  5      d. r2 r3  3  2  1   4  5 1     

 

r2 r3  25 1 25  51 vektor satuan yang searah dengan r2 r3 :

5   1  5  5 1 5   i j k 51 51 51 51

9. sejajar jika a.b a b ,

 2 4     jadi  1  2 8 2 18 28 3  6    

a b  4 1 9 16 4 36  14 56

 784 28 karena a.b a b 28 maka kedua vektor sejajar. 10. a. OE 3i 5k b. OG 6 j 5k c. OB 3i 6 j d. OF 3i 6 j 5k

1 1 5 e. GM  GF  OA  2 2 2 5 OM  i 6 j 5k 2 1 1 f. EN  EF  OC 3 2 2 ON 3i 3 j 5k

B.

3. a. PQ  0 2 1 5 3 7  4 16 16 36 2

1. AB   9 3 2 4 3  1  2

2

2

 144 36 16

2

BC   3 9 4 8 1 11 2

2

2

 196 14 AC   9 9 2 8 3 11 2

2

 488 karena AB BC 14, maka ABC merupakan segitiga sama kaki dengan A, B dan C adalah titik sudut segitiga sama kaki. 2. PQ   1 3 3 5 1 0  2

 4 4 1

 9 3 2

2

6 PR   1  1 3 41 1 2

2

 9 3 PQ Q P

2

4. a. OA A O 5  0  5        20 2     1 1   0   

CB B C 1  5  6       42 2  6 5   1     

karena OA CB dan AB OC , maka ada 2 kemungkinan bangun yang terbentuk, yaitu persegi panjang adan jajaran genjang. 1  5    OC.OA 2  2 14 0    5 1   

PR R P 1  1  2        4 3 1  1  1  2      

 PQ.PR

karena OC.OA 0 maka OC tidak tegak lurus OA, sehingga OABC berbentuk jajaran genjang.

cos PQ , PR 

PQ PR

2  2     2  1     1   2 0   3. 3   PQ, PR 90



2

terbukti AB OC

3  1  2      5 3 2  0  1  1     



2

OC C O  1  0   1      20 2     5   0  5 

 4 1 4



2

AB B A 6 5   1      42 2  6   1    5 

 4 1 1 2

2

terbukti OA CB

QR   3  1 5 40 1 2

2

2

 324 100 64

2

2

c. RP  2 0 1 1 5 3 4 4 4 12

 36 16 144

2

2

b. QR  2  2  5 17 5 16 36 4 56

 196 14 2

2



b. OA  25 4 1  30

AB  1 4 25  30



terbukti OA AB

karena PQ PR 3 dan  PQ, PR 90 , maka PQR segitiga siku-siku sama kaki dengan siku-siku di P



OC  1 4 25  30 CB  25 4 1  30

karena OA AB OC CB 30, dan

OA. AB 14 0 , maka OABC berbentuk belah ketupat.

2. a. AB B A  2  0   2       30 3 3  0   3      

5. untuk membuktikan bahwa D berimpit

AC C A 2  0  2       3 0  3  3  0  3      

dengan A , maka CD CA

CA BA BC 2   1  3        1 4  5  3  2   1      

 2  2     31 3  AB 1. AC 3  3     

3  3      karena CD  5 dan CA  5  , maka  1  1    

karena AB k AC , dengan k 1, maka A, B, dan C segaris.

CD CA . ini berarti D berimpit dengan A 2 1     BA.BC  1 . 4   3 2    

b. BC C B 2   2  4       3 3 6  3   3  6      

2 4 6 0

BC  16 36 36  88 2 22

oleh karena BA.BC 0 maka BA tegak lurus

AB  4 9 9  22

BC . Ini berarti ABC siku-siku. jadi ABC adalah segitiga siku-siku di B .

AB : BC  22 : 2 22 1 : 2

AC CA  4 9 9  22 BC : CA 2 22 : 22 2 :1

Latihan Kompetensi Siswa 7

CA : AB  22 : 22 1 : 1

A. 3.

1. a. PQ : RS 1 :1 b. PQ : QS 1 : 2 c. PQ : PT 1 : 4 d. PR : RT 1 : 1 e. PR : PT 1 : 2 f. PT : TR 2 : 1 g. RT : TQ 2 : 3 h. RP : PS 2 : 3 i. SP : PR 3 : 2 j. SQ : QT 2 : 3

BD : DC 1 :1

5  9     3  6      2  B C 2  3   9  D   2  2 2  1 2 

 9 1 jadi, koordinat titik D  2, ,    2 2

4. a. OM : MP 1 : 2

 0  0      3 0       0 P 2O 3 0    M  1  3 3 1  

jadi, koordinat M  0,1, 1 ON : NQ 1 : 2

6  0    3 0     2  Q 2O 6  0   N  1  3 3 2    jadi, koordinat N  2,1, 2 b. MN N M 2  0 2       1 1 2  2 1 1      

PQ Q P

6  0  6  2         3  3 6 32  6  3  3  1         karena PQ 3MN maka PQ dan MN sejajar.

PQ 3MN  MN : PQ 1 : 3

5. AR : RB 3 : 9

 

3B 9 A 1 R  b 3a 12 4

6. Misalkan titikV adalah titik berat ∆ABC

     

n x r x1 m  x 2 xr 

m xr x1  n x 2 xr ( Terbukti ) b. karena A, B, dan C segaris maka : AB k AC 1   3      2 k p 4  3  q 2     

1 dari baris pertama, 1 k .3  k  3 1 jadi, AB  AC 3 AB : AC 1 : 3 1 c. dari baris kedua, 2  p 4 p 2 3 1 dari baris ketiga, 3   q 2   q 7 3 jadi, p 2 dan q 7 8. a. RA : AP 3 : 2

3  12    6 16  3 3P 2 R  A     2   5 5   PB : BQ 3 : 2

OB b

12  2     9    4  3Q 2P     2 B     5 5 1   QC : CR 4 : 9

OV v

OV OC CV 2 OC  CD 3 2 1  v c    a b c  3 2  1 2 c  a b  c 3 3 1  a b c 3

mx nx1 7. a. x r  2 m n mx r nx r mx 2 nx1

OA a OC c

CV : VD 2 :1

x v  x1 x2 x 3    1  yv  y1 y 2 y 3  z  3 z z z  2 3  v  1 jadi, koordinat titik berat V adalah : x1 x2 x 3 y1 y 2 y 3 z1 z2 z3  , ,   3 3 3  

 24  36   32      12    27   C  1  5  

jadi, koordinat A 3, 2 , B 2,1 , dan C  12,1 b. AB B A 2 3  5          1    2  1

BC C B  12  2  10   5    1     2    1    2  1

karena BC 2 AB maka A, B , dan C segaris

3. a. BL : LC 2 : 1

2   1     0 2    1  1  2  2C B     2  L  3 3 3  1    3  CM : MA 1 : 2 2   2     2  0    0    A 2C 2  2   2  M   3  3 3  4  3  N titik tengah AB  AN : NB 1: 1 AN : NB 1: 1  1  2      2  2 12      2  B A  1    N  2  2 2 1  2 

BC 2 AB  AB : BC 1 : 2

B. 1. Misalkan : A 1,0  dan B 4,10 

Titik P, Q, R , dan S adalah titik yang membagi AB menjadi 5 bagian yang sama AP : PB 1 : 4 4  4       0 10  B 4 A    0   P   2   5 5  AQ : QB 2 : 3

8  3    20  0   1 2B 3A  Q        5 5 4  AR : RB 3 : 2 12   2         30 2 3B 2 A   0     R     5 5 6

AS : SB 4 :1

2 1 2 4  jadi, koordinat L 1,  ,   ,M 0,  ,   ,    3 3    3 3 1 1 dan N   ,2,  2 2 b.

16  1   40      3 4 B A    0   S     5 5 8   jadi, koordinat titik P 0,2  , Q 1, 4 , R 2,6  dan S  3,8

2. Membagi di dalam : AR : RB 3 :1

27  5     30 2   8    39  1 3B A      R  8  4 4  10   

Koordinat R  8,8,10  Membagi di luar : AR : RB 3 : 1

5 27      30 2  11      39  1 3B A    R  14   2 2  19   

koordinat R 11,14,19 

Misalkan BM dan AL berpotongan di titik P dan BM dan AL berpotongan di P dengan perbandingan q : r AP : PL q : r AP : PL q : r

qL r A qM r B P P q r q r Berdasarkan kedua persamaan di atas,

q L r A q M r B

  

q L M r B A

1  3     q0 r  0    1  3   dari baris pertama : q.1 r. 3 q 3  r 1 q : r 3 : 1 (terbukti)

Latihan Kompetensi Siswa 8 A.

 2  4  2        a b 36 3  1  2  1        jadi, a b  2i 3 j k

1. E

AB k AC

 4  x   2  x        3 y 3 k  5      9    1 5   5       y x  2 x      y 3 k  2   4   4      dari kolom ke tiga : 4 k . 4 k 1 dari kolom pertama : 4 x k  2 x 

4 x 1 2 x  4 x 2 x 2x 6 x 3 dari kolom kedua : y 3 k . 2 y 3 2 y 1 jadi, x y 3 1 4 2. E

2 4  1 1   PS  PQ  2 1 2 2   0 0  RS PS PR 2  3   5        1 1  2  0   2  2       3. A

 

a. a b 42 2

a a.b 42 14 a.b 42 a.b 28 karena b sejajar a maka b k a  2  2 k     . 3k 28 3  1  k     4k 9k k 28 k 2

4. A

a k b x  6     4 k y    7 14      dari kolom ketiga : 7 k .14 1 k 2 1 jadi, x k. 6  .6 3 2 4 k. y

1 4  y  y 8 2 x y 3 8 5 5. E

c sejajar d dan berlawanan arah sehingga 16m    d m.c  15m  12m   

d 75  256m 2 225m 2 144m 2 75 25m m 3 jadi, d  48i 45 j 36k 6. B karena PQ a dan PQ berlawanan arah

4   dengan a , maka PQ  5 3    PQ Q P

4  2 2         5 Q 1 Q  4  3  3 0        7. D

 

a. a b a.a a.b 2

a a b cos 60

64 8.6. 88

1 2



8. B

B.

3  1  1        a 1, b  n , c  m   2 2 p         3 1     a.b 0  1.  n 0  22    3 n 4 0 n 1  3  1     a.c 0  1 .  m 0  2 p     3 m 2 p 0 m 2 p 3 ........ 1 1  1     b.c 0  1 .  m 0 2 p     1 m 2 p 0 m 2 p 1........ 2 dari  1dan  2 m 2 p 3 m 2 p 1  2m 4 m 2 substitusi m 2 kepersamaan  1 : 2 2 p 3 2 p 1 1 p 2 1 3 jadi, n m p 1 2   2 2 9. C 2

2

a b  a b 2 a b cos 60

 100 36 2. 10.6.

 196 14 10. E 2

2

2

a b a b 2a.b

1 36 1, 69   2a.b 4 25 0 2a.b 2

2

a b  a b 2a. b 

1 36  0 4 25

 1,69 1,3

1 2



0  2     1. a. a.b  1 3 3 0  1     2 3     b. a.b  1 0 6 0  1      1 2     c. a.b  2 1 1   1  1     1 1     d. a.b  1 11   1 1    25   1    e. a.b  3 8 1  0  0    2  4     2. a.b 0  p  . 20  2 1    6 2 p 0 p 3 2  5     3. a.b  3 . 20    1   4 210    a.c  3 . 13 0    1  19   5 10     b.c 2. 130 419     karena a.b a.c b.c 0, maka ketiga vektor tersebut saling tegak lurus.

1  1     4. a. a.b  1  . 0 1 2  1    1 2     b. b.c  0 . 1 5    1   3   2  1     c. c. a  1  .  1 5  3 2    

 1  3     d. a. b c  1  . 16 2  4      2  1 6     e. 2a. b 3c  2  . 0 3  4  1 9    

 

 

14 6 40



32



f. 5a 37b 15c .c

 5 37 30   2      5 0 15  1 10 37 45  3     2 2     10  1 4 10 6 0 2 3      2  2      g. a.b .c 1 1  1  3  3     



  1 2  5        5. a. a.b .c  0  1 . 1          3  0  1    



1  13      13 1  13  0 0     13i 13 j  1 5  2       b. a.c .b  0 1   . 1      1  3  0    



 5  10     21 2  1   2     10i 2 j 2k  1  5        c. a.c . b.c 2.  1 1    = 2 . 4 = 8     1 0      

  

  

d. a c . b c

 1  1  2   5            1 .  1 0  1  3  0 1  0           

1  4      1 24 2 3 9  3  1    

 

6. a. a. b a a.b a.a

a b cos120 a 

2

1 3.4.  9 2 3

 

b. b. a b b.a b.b

b a cos120 b 

2

1 4.3.  16 2 10

6  1     7. a.b  2 3  3  4     6 6 12 0 (terbukti) 17  6     8. a.c 0   2 . p 0  q  3    102 2 p 3q 0 2 p 3q 102 ....... 1 17  1     b.c 0   3 . p 0 4q     17 3 p 4q 0 3 p 4q 17 ....... 2 dari  1dan  2 6 p 9q 306 6 p 8q 34  17q  272 q 16 substitusi kepersamaan  1: 2 p 3. 16 102 p 27 11  2     9. a.c 0   2 . p 0 1 q     22 2 p q 0 2 p q 22.......  1 1  11     b.c 0  3 . p 0 4 q     11 3 p 4q 0 3 p 4q 11....... 2

dari  1dan  2 8 p 4q 88 3 p 4 q 11  11 p 77 p 7 substitusi kepersamaan  1: 2. 7 q 22 q 8 jadi, p 7 dan q 8

10. a. PR : RQ 3 : 2

30   0     6  6      6 3Q 2P 21  6   R  0 5 5 3  koordinat R 6, 0, 3 b. PR R P 6  0   6       0 3 3  3  3  6      

RQ Q R 10  6   4       20 2   7  3   4       6  4      a.b 3  2  6  4      24 6 24 54

C.

dari  1dan  2

144 a.b b.c 25 a.b a.c

 119 b.c a.c ........ 4

dari  3 dan  4

169 b.c a.c 119 b.c a.c 50 2a.c



25 a.c dan b.c 144 dan a.b 0 jadi, a.b b.c a.c 169 2. CM CA AM  CA CM AM

CM CB BM CB AM  CB CM AM jika ABC siku-siku di C maka CA.CB 0

CM AM .CM AM CM CM

2

2

AM CM

 

a.b b c .b 2

a.b b c.b

144 a.b b.c ........ 1

 

a.c a. a b 2

a.c a a.b

25 a.b a.c ........ 2





b.c  c a .c 2

b.c c a.c

169 b.c a.c ........ 3

2

0

(terbukti) perhatikan ACM adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan AM CM

2 x     3. a. a. p 0   1 . y 0    1   z 

2 x y z 0 ........ 1

1 x     b. p 0  1. y 0  5 z    

x y 5 z 0........ 2

1. a b c 0  a b c

2

pilih x 1 , sehingga dari  1: y z 2 dari  2 : y 5 z 1  6 z  3

1 z  2 1 dari  1: 2 y  0 2 y 2 5 1 jadi, p i  j  k 2 2

1 2

b. akan dibuktikan tidak ada nilai dan yang memenuhi sehingga :

Latihan Kompetensi Siswa 9

c a b

2  1  3        1 1  4  2    1     5 dari baris 1 dan 2 : 3 2 4   7 3 7 5  dan  3 3 cek nilai dan ke baris 3 : 7 25 5  3 3 6 2 ternyata nilai dan yang didapat tidak memenuhi. Jadi, c tidak sebidang dengan dan  4. Belum tentu b c 2 3  2     Misalkan : a  1 , b 5  , c 4   2  3  3    

a.b 17 dan a.c 17 a.b a.c 17 ,tetapi b c

  

5. a. a b . a b 2

a a.b b.a b 2

2

2

2

a b

2

a a 0

   

terbukti a b dan a b saling tegak lurus.

A.



a.b 1. cos a, b  ab





 1 0    2  0     3 1    1 4 9

1



3 14

a, b 36,699

2  0    2. a. OP  0 dan OQ 3  2 1    

OP.OQ cos POQ  OP OQ 2  0    0  3   2 1    4   5 13 65

POQ 75, 636  5   b. OR  0 1  

OP.OR cos POR  OP OR 2  5     0   0    1  1 9   5 26 130

POR  37, 875

b. a.b 0 2

2

a b  a b 2a.b 2

 a b

2

2

2

a b  a b 2a.b 2

 a b

2

terbukti a b a b

OQ.OR c. cos  QOR  OQ OR 0 5     3 0 2 1      2   13 26 13 2

QOR 96, 245

d. QP OP OQ

2   0   2       0 3  3       1    2  1 

AB  8

QR OR OQ  5   0  5        0 3 3  1  2  3     

QP .QR cos  PQR  QP QR 2 5      3   3  1   3     22   14 43 602

PQR 26,278 1  3     3. a b  2 dan a b  0  2  0    

 

 

a b  1 4 4 3 a b  9 0 0 3

a b.a b 

cos 

a b a b

maka ∆AOB adalah segitiga sama sisi. 6. PQ Q R

4  2   2      0 2 2  2     1     1

RS S R 1 2 3        3 2 1  5    1    4  a. u.v PQ. RS

 2 3    2 . 14 1  4    



u.v b. cos u, v  uv 

4

4  9 . 26 3 26

u, v 105,16

 1  4     4. a.b 0   r  r 0 3 1    

4 r 2 3 0 r 1 r 1 2

2 0     5. a. OA  0 dan OB  2 2  2    

OA.OB cos  AOB  OA OB 2  0      0  2 2  2    1   2 8 8 

karena OA OB AB  8



3 1   3. 3 3 70,529

AOB 60

b. AB OB OA 0 2  2     2 0 2 2  2   0     

7. cos ABC  

BA. BC BA BC

2 4     2  8  1   1  9 1   9.3 3 9 . 81 ABC 109, 47



8. a. AB B A 1  2  3       1 3 2  2    1     1

AC C A 1  2  1       23 5  3     1    2 

BC C B 1  1  2       2 1 3  3   2 1       cos ABC

cos  BAC 

AB AC 3  2      1  2  3  0      4   19 8 152

BA.BC BA BC

3 2      3 2  1  1     1   14 14 14 ABC 105,5



cos BAC

AB. AC AB AC

3  1      2  5   1 2      15   14 30 420 BAC 42,95







BCA 18042,95105,5 31,55



b. AB B A  2  1  3       1  0  1  1  2  3      

BC C B  1   2  1       2 1 3   2  1  3       AC C A 1  1  2       2  02   2   2  0       cos ABC

BA.BC BA BC

3 1       1   3  3   3     15   19 19 19 ABC 37,86



AB. AC

BAC 71, 068







BCA 180 37,8671, 068 71, 072 9. AP : PB 1 : 1

1 5      3 5  3  7   5 B A      P  4  2 2  6  CQ : QD 3 :1 6  2     18  6   1 27   5   3D C      Q   6 4 4  8  

PQ Q P 1  3  2        6 4 2  8  6  2      

AB B A 1  4  5        5 32  7  5 2       CD D C 2  2  4      6  6 0  9   5  4      2  4     PQ. AB  2  2 0  2 2     terbukti PQ tegak lurus AB

 2  4     PQ.CD  2  0 0  2 4     terbukti PQ tegak lurus CD

  a.b

10. cos a, b 

ab

2  1      1  3  3  2 1    7    44 2 14 4 1 a, b 60  3 (terbukti)



B. 1. a. PR : RQ 1 : 2

2  2     14   4  0  3  0   Q 2 P       R  6  3 3  1   jadi, koordinat R 0, 6,1 b. RP P R 1  0   1      7 6  1 0     1    1 

RS S R 2  0  2         8 6 2     5 1    4  1  2     RP.RS 1  2  1 4     2 2 4 0 karena RP. RS 0 maka RP RS , artinya

PRS 90

A B 2. a. x  2 4  2     1 3   1 0  2        2  2  1   B C y 2  2   0     1  3  1  2  4          2 2 3   

C D u 2 0   2     1 1   1 4   0        0  2 2   D A v 2  2  4     1 1 3  0  0         0 2 0 

jadi, koordinat x 1, 2,1 , y 1,2, 3 ,u  1,0, 2 , dan

v 3,0, 0

2    b. xy y x  0  2    2    vu u v  0  2    2    xv v x 2 1    2    yu u y  2   1   

 

cos xy, xv 

xy. xv xy xv

4 0 2 6 1    2 8. 9 6 2

2

 

 xy, xv 135 Oleh karena xy vu , xv yu , dan

 

xy, xv 13590maka xyuv adalah jajaran genjang.

   uv, uy  135 ,  vx, vy  45 ,  yx, yu  45 .

c. berdasarkan b.  xy, xv 135 ,









 2  a  2 a       3. AB  4  a 4 a  3 0   3      

cos 

Latihan Kompetensi Siswa 10

AB.OA 0 a 2 a  a 4 a 0

a 2 a 4 a 0

A.

a 6 2a 0 a 0 dan a 3

1. A

1   4  5      b c  1 1  2   3   4  1      

1 a1      a2  0  a  0  3   a12 a22 a32 a1



1 0 0 a bc

a a a 2 1

2 2

2 3

a12 a22 a32 a2



0 1 0

2. D

a.b a b cos

a12 a 22 a32

a12 a 22 a32 a3



0 0 1

8 2x  70 14 x

2

a a2 a3  12 1 2 2 a1 a2 a3 (terbukti) 2

5. a. a 3i 6 j 2 k

cos 

3 3  9 36 4 7

64,62 6 6 cos   7 9 36 4

148,99

2

0 10 x 2 32 x 6 2

a1 a2 a3  2   a1 a22 a32 a12 a22 a23 a12 a22 a32 2

1 2

64 32 x 70 14 x 2

b. cos 2 cos 2 cos 2 

2

1 x 2 4 .

2 x 6  14 5 x 2 .

a12 a 22 a32

2

 3

2 1       1  x  4 1 9 3 2     

a1  0     a2  0  a   1 3   

cos 

4 5      3   2  5  4 1        2  25 4 1   1 

5  30     2 5i 2 j k 30   1 

0 a1      1 a2   a   0 3   

cos 

2  9 36 4 7

73, 4

a   OA a  0  

4. a. cos 

2

0 5x 2 16 x 3 0  x 3 5x 1 1 x 3 atau x  5

1 2

3. E

7. D

2   3   a 3   2    1  

u.v u v cos 60



x  1      2  1  3  x 1 9 3  2     

1 9 4 .

1 2

u.v  14  v 9 a2 1

2 x 9 x 2 10 . 14

4 x 2 72 x 324 14 x 2 140

14 

10 x 2 72 x 184 0 5x 2 36 x 92 0  5 x 46 x 2 0

38 a  atau a 2 5

2   2  4      d 1 2 1  9  6  3      4 3     1  2  3  3   1     dc  2  9 4 1   1 

8. B

x 2     4  1 y 2  a.b  6 6    9 b 2 x 4 2 y 18 x y 11 y 11 x

3  7  1  2  c 14   2 1 

a  89 89  x 2 16 y 2 73 x 2 y 2

5. B

4  2   2       AB  1 1 2  3   4  1      

73 x 2 121 22x x 2 0 2 x 2 22x 48 0 x 2 11x 24 0  x 8  x 3 x 8 atau x 3

2   2  0      AC 0 1 1 5   4   1     



2

0 5a 2 48a 76 0  5a 38 a 2 

4. C



10 a

140 14a 2 64 48a 9a 2

46 x  atau x 2 5

1 1 cos AB, AC   3 2 6

8 3a

9. C

2

6. B

p  2 q  p 2q  x   4 p          q  4 p q  3 c  4    karena x sejajar dengan c ,maka : p 2q 3 4 4 p 8q 12 4 p q 4 3 12 p 3q 12 + 8 p 11q 0

1  5      2  4  5 3  2   4  a     b 25 16 4   2 

 5  5  9   1   4   4  45   5    2  2 

10. B

3 4    t  5    2  1  

4 5 4 5 uv    15 15 16 25 4 12 5t 2 45

4. a. AB AC

4 5  15

75t 210 60 75t 150 t 2

b. AC AB

1  3      2  0  3  4  9 9      5 5 9 16

3  1      0   2 4  3  9 9      14 1 4 9 14 14

B.

1. a  v

1  4      2  4  1  7      16 16 49

 1 10     3  11  10  4  2     11  5. ba      100 121 4   2 

19  9

10  10  35   7    11  11  225   45   2  2 

1 2     3  5  1 6  3     2. a. ab  5  1 25 9  3 

2  3      1  1  3 3 2   1      3   6. ba  1 1  9 1 1   11   1  1 

 1  1 28   4   5  5 35   5  3  3 1  2    5  3  2 3  6       b. ba  3  4 49 36  6  2  2  35   7    3  3  49   9   6  6 

3. a  b

2  2     10  2     11 1    4 100 121

 1 3      7. a. a.b  2  1 6 2 10 6  5 2     



a.b 6 b. cos a, b   30 14 ab



6  3   105 2 105 105  1  105 35

a, b 107, 02



13 13  225 15

c. a b 

6

6  14 14 14 3  14 7

4  2     2    AB. AD 1     8. a. cos  BAD   16  4 4 1 AB AD

 2   32   12       b2 b b1 1 12  32  3  0  3     

 32  2      12  1    3  b.b1   0  b. cos b, b1   14 104 b b1

6 3   10 5

 

BAD 53,13



BCD BAD 53,13



ABC 180 53,13 126, 87 





ADC ABC 126,87





2  4       2   4 1      b. AD AB   16 4  2  6  3 4   5      2  10  35      Misalkan AD AB AM dan tinggi MD 65  2 45     MD MA AD   3  8  1  5  5   4 64 80 MD  16 5 25 25  25  5 vektor satuan searah dengan tinggi : 45   8  1 5  MD 5 5 e       4 2 MD 5 5 5  5

 

1  5   5   3  b 19   19 3  1  4      3  1  4 3 2        b. b   1 a 16 1 4   2

5  a 21



4 5 5 8 satuan luas

21 ba 21.

AC AD DC 2   4  6           1   2  1 jadi, BD  2i 3 j dan AC 6i j

2  3      1  1 3 3  0 b.a      9. a. b1  2 a  1 9 1   a 0 3   1   1  12  2    0 0  3 2



4 1       1 3  1 2 3   3  10. a. a     b 1 9 9   3

 20 .

4  DC AB  2    

5  35 2 35

b, b1 65

c. Luas AB MD

d. BD AD AB 2  4  2          1   2   3 

5 2

5 a 21

5a (terbukti)

C.

x 1      y 2  3  2      1. ab 2  2 1 4 4 x 2 y 6 6 x 2 y

a 3 6 x 2 y 2 9  54 4 y 2 y 2 9 54

y 3  x 6

5 y 45

y 3  x 6

2

y 9 y 3 2



Oleh karena a, b sudut lancip, maka

a.b 0 sehingga :

x 6 dan y 3  a.b 6 x 6 dan y 3  a.b 6 jadi, nilai-nilai x dan y yang memenuhi : x 6 dan y 3 , atau x 6 dan y 3

 54   25  c. v t w 3   72   25  144   26  v s w 3   9   26 

v t w



v w s

1 1  0      2. a. u v 1  10  2 1  3      1 1  2       u v 1 1 2   2  1  1        0 2     0  2     3  1 3 1 u v uv    4 4 1 3

 

2  3   b. u v u v  2  2  3   1 

 

1 549  175 26 3  14274 0, 0788 4550

 3   3      3  p       1  3  3    3 4. a   b 2 2 2 3 p 9 3p 12 p



 

 

v. v sw 0

2  2 4s      3   3 0 6  6 3s      4 8s 9 36 18s 0 49 26s 49 s 26 b. v tw tegak lurus w , artinya :

v t w.w 0

2 4t 4     .0 0 3 0  6 3t 3     8 16t 18 9t 0 25t 26 26 t  25

3  2

2

  

9 12 p 4 9 p 2 2

108 27 p2

2  2  3      1  2  23  3    1 1   3 

3. a. v tegak lurus v sw , artinya :

549 25 26901 26

p 2 4 p 2 5. a. a.b a b cos 45



1  4     2   p   16 4  

1 p .



2



1 2 2

2 4 2 p 20 1 p2 . 2 64 64 p 16 p 2 40 40 p 2 24 p 2 64 p 24 0 3 p2 8 p 3 0 3 p 1 p 30 1 p  atau p 3 3

b. a

b

1 4    2  3  a.b    1 9 b



10  10 10

1  1 10    c. ab       10 3 3 

Uji Kompetensi Akhir BAB IV A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

1  2

 6  4   2       AB u 10 7  3  6  0  6       AB u  2 2 32  6 7 2

1  4  3      AC v 9 7  2  0  0   0      AC v   32 2 0 2  13 2

cos BAC 

6 6 0  0 7. 13 AB AC AB. AC

1 BAC 90   2 2. C. 144

AB k AC  3  9     4k n 5     7   m 4

1   m 47 9k 3 3 1 m 4 21 k 3 m 17 1   n 54 3 n 5 12 n 7 jadi, m n 17 7 10 8 6 i k 5 5 3   2  1       AB u 2  3 5  1  1   2      

4. B.

10   2 9        AC v 3 3 0  5  1 6      

AC v  82 62 10 proyeksi vektor ortogonal u terhadap v adalah : 8  u.v 8 0 12  uv  2 v  0  102  v 6  



85   8 6 0  i  k 5 5 6  5 

12 cos  13 OB b  122 52 13 a.b a b cos  12. 13.

12 144 13

5. A. 0, 50

 2  OA a   3     1  OB b  1   

a tb   2 t 3 t  2

3. C. 10

 6   3  3       AB 15 4   3  4  7      

2

 2t 2t 13 2

t 0  a tb  13

 12  3   9       AC n 5 n 5  m  4  m 4     

t 1  a tb  17

A, B, dan C segaris, berarti AB k AC

1 1 t   a tb  12 2 2

1 1 t   a tb  14 2 2

1 5 t   a tb  12 (minimum) 4 8

8 11. E.  20

6.

u.v 0

karena u v

0, 8b     0 . a   1    0,8b a 0 a 0, 8b 8  10 a 8  2b 10

7.

 1 1  12. B.  0, 2, 2 2  2  x   Misal : w y  z   u w  u. w 0 2 x y z 0

8.

u w  u. w 0 x y z 0

0   y  y  

2 x y z 0 x y z 0  x 0 y z

   0 0    w e   12 12 2  w  w 0 y 2 y 2 1     1 2   2  2

1 65 4 KM LM LK 4  2 2        3 1  2  1  2 1      

9. C.

13.

22     . 2  1 2 1  LK . KM    cos   4 4 1 LK KM

4 2 2 4   9 9 1 tan  65 4 10. B. 13i 26 j 29k

  3 i 5 j 7k 



2a b 3c 2 8i 4 j 3k 3 j 2k  13i 26 j 29k

14. D. 1

cos 

panjang proyeksi p pada q  p q 

pq 

p.q q

6a 2 3a 4  1 7 32 22 62

2 1 2 5   6 6 6 AB BC AB.BC

1 tan  11 5

3a 4 6a2

18. E.

6a 2 3a 4 7

1  1,1, 0 4

6a 2 3a 3 0 2a 2 a 1 0 2a 1 a 10

1 a  atau a 1 2 15. A. 1

AC AB AD

c p a qb

i j

5 4   1  5 p 3  q 2        4 p q 5  2  1 3 p 2q 5  5 p 5 p 1 ; q 1  pq 1. 1 1

1 FP  FC 2 1  FB FG 2 1  k j 2 FP. AC FP AC  . AC 2 AC

 

16. E. 2 14

1   2  8      2u 3v 22 3 3 5  3  1 3     

 1  1   1   1,1,0  2  4 0  1 2

v  2 3  1 2

2

2

 14

 

1 2 19. C.  a  b 3 3

2u 3v.v

2u 3v v 

v 16 15 3  14 

28 14



14 14

2 14

CB 2CA CP  3 a 2 b  3 1 2  a  b 3 3

11 5 BC AC AB

17. C.



1  2 1        0  1 1  1     1    2 

20.

AB  22 12 12  6 BC   1 1 2  6 2

2

2

Uji Kompetensi Akhir BAB IV 21. D.

BAD 90 u v AC u v u BA

BD karena ABCD belah ketupat, maka AC tegak lurus BD . Jadi, u v tegak lurus u v .

1  2    x  1  2 1   

6 4 1 1 2 2   x 2 6 6 2 2 cos   1 4 4 4 1 1 3 6 23. C. 2

3  1      3r 9  r 3  0  0      6  1      2  3 5  0      cos q, r  36 4 25 1 9 0  0 65 10  q, r  2



27. E.



2

2q 3r p 5 15  12      5  4 3r 10  10     



22. A.

2

26. A. RP : PQ 2 : 3

2

a b a b 2a.b 1 3 1 2a.b 1 2a.b 3 2

2p 3   a b  5   2   

a b  13 b

2 p 3  3     5  4   2  0     13 9 16 6 p 9 20 65 6 p 36 p 6

2

a b  a b 2a.b 28. D.

 3 1 3

a b c 0  b a c

 7

a a c 6 2

2

a c 2a.c 36

24. B.

p tegak lurus q  p.q 0 2

2

p q  p q 2 p.q

 144 25 0 13 25. B.

ba 

2  2     2  6  1  3    

5  4 36 9 7

144 + 64 + 2 a.c 36

2 a.c 172 a.c 86

a.c 86

29. B.

32. A.

0    BA  2  5   

b c d 2  4 2     17  3  3   11        3  2 7  

1   BC  1 0  

BA BC 

0   1    1 2   5 0    1 1 0



BD d b  3   4  1       3 1 4  7  3   4      

2  2 2

BA a b 2  4  2       1 1 2  2  3  1      

BA BC BD 2 BA  0 4 25  29 2

jarak A ke BC AD  BA BD

2

BD BA

 29 2  27 3 3 30. B.

a PQ

2  1  EA BA BE   2  3  1 

7  1   8  Q  2       7 1  6  Q   8      2    10  31. A. AC 2CB AC : 2CB 2 : 1

2b a C 3

 .a

OC OA 

2ba 3

a

1 2b.a a.a      3  a 3 



2 a.b 1   a 3 a 3

2 2 8 4   BE  2  4 4 1   1  2 2   2  3  1 

EA AE   33.

1 4 4 1 9 1 .9 1 9

34. A.

38. B.

1  3       2   3  3 1   4        AE  3 9 9 16   4

AD AB

b c a i 2 j 3k c a b 3i j 2c 4i j 3k

1 3 c 2i  j  k 2 2 b c a i 2 j 3k

3  13    3  34   4  3  13   AE FB  3 34   4

a b c 2i 5 j 5k 2b 3i 7 j 2k

karena AE FB 

a b c 2i 5 j 5k 2a 5i 4 j 5k

3  3    26   3  3   4  34  4      3   8    3  34   4 

36. B. 2

2

a b a b 2 a . b

3 1 4 2.1. 2 cos  2 4 cos  1 cos  2   3 37. D.

a kb tegak lurus 2a b, artinya : a kb .2a b 0 3 k 6 1    .    0 1 2k   2 2 21 7k 4 8k 0 15k 25 5 k 3 3k 5

39. E.





2



5 5 a  i 2 j  k 2 2  52   32  2  6         a b c  2  72 12 6   5    3    2  1 2  2 

3  4   4  3 3i 3 j 4k 17   17 4  4 karena DC EF maka CD  3i 3 j 4k 17





3 7 b  i  j k 2 2 c a b 3i j

EF AB AE FB AB 2 AE





5  x     a.b 0   2  .y 0 1 1   

5x 2 y 1........ 1

 x 2     a.c 0   2  . 1 0 1 z    

2 x z 2 ........ 2

5 2     b.c 0  y  . 1 0    1 z   

y z 10 ........ 3

dari  2 dan  3 : 2 x y 12 2 4 x 2 y 24

5 x 2 y 1  x 25 x 25 dari  1: 125 2 y 1 y 62 dari  2 : 50 z 2 z 52 jadi, x y z 15 dari  1:

40. D.

B.

u.v u v cos 45



a  1 1  . b   2   10 5. 2 2    a 2b 5 a 5 2b ........ 1

3. a. a b c 0

b a c a.b b.c c.a 1

   a c.c 1 a. a c 1 a. a c a c .c c. a 1

u  10  a 2 b 2

2

10 25 20b 4b2 b2 0 b 2 20b 15

a.c c 1

a  11

 1c 1

2

0 b 4b 3 0  b 3  b 1 2

2

a a.c 1

2

a 2

b 3 atau b 1 a 5 6 b 5 2  1 3 1  3 jadi, u    3 atau u   1    

2

a 2

a 2

2

2

c 2 2

c 2

c 2

a b c 0 a b c a.b 1

B. Bentuk Uraian

b c.b 1

1.

2

b c.b 1 b  11 2

2

b 2 2

b 2

b 2 jadi, a b c  2

2.



a.b b. cos a, b  ab 1

1  2 2. 2





a, b 120



4.

CB AB AC a b

ba 

a.b a

a b a 

b c.b 1 1 3

a b .a

2 3 1 b   1 3 1 3

a

2 1  3 4 2 3 b   2 1 3

2 2

t b 

a.b

 2 3

a 2

b  2 3



2

a b a.b 2



a b c 0

2

a

b a c

Luas L1 L 2



3 b.c  1 3



1  ba  a b a .t 2 2  1 a.b a.b a   2 a  2

1 a 1  . 2 a a 2

1  2 (terbukti)

2

  

 2 2  a b a.b  2  a 

2



a b a.b 2

2



a b a.b

2

2 3 a.c c  1 3

3 2 c



1 3

2

3  1 3

2 2 3 2 c  2 1 3

jadi, b  2  3 dan c  2

b a c misal : a.b n

b.c  3 n





c.a  3 2 n



a c.c 1 3 3

c 2

5. a b c 0

a.b n

2



a. a c n 2

a a.c n

1 3 n 2n n 1

1  3 n 1 1 n 1 3

1 jadi, a.b  1 3 3 2 c.a  1 3

a b c 0 a b c 1

a.b  1 3

3 b.c  , dan 1 3