Universidad del Desarrollo Facultad de Ingeniería
Evaluación de Proyectos 2017-I 14 de Marzo de 2017
AYUDANTÍA N° 1 Matemáticas Financieras Valor del Dinero en el Tiempo "Un peso hoy vale más que mañana"
Si tengo un peso hoy, puedo invertirlo y en el futuro f uturo tendré más que un peso. Al dejar de d e consumir hoy, se obtendrá la inversión más un premio que compense el sacrificio al final de un período de tiempo. Este premio se conoce como tasa de interés.
Interés Simple Aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan interés en el período siguiente. Usualmente no se aplica este interés.
∙ ∙ Donde: I = intereses, P = capital, i = tasa de interés, n = periodos
Interés Compuesto El interés ganado en cada periodo es agregado al capital inicial para constituirse en un nuevo capital sobre el cual se calcula un nuevo interés, lo cual se conoce como capitalización, que puede ser anual, trimestral, mensual, diaria; y se sigue aplicando hasta que vence el período.
∙ ( + ) Donde: P = capital inicial, i = tasa de interés del período, n = periodos, S = capital final La diferencia fundamental entre el interés simple y el compuesto es que en el primero, el capital permanece constante, y en el segundo el capital cambia al final de cada período de tiempo. Se puede calcular el valor de una tasa de interés para una unidad de tiempo diferente a partir de la anual:
+ √ +
Donde: r = tasa en el periodo de tiempo (mensual, semestral, trimestral, etc), n = períodos en el año (12 si es mensual, 2 si es semestral, 4 si es trimestral, etc.), r a = tasa anual
Valor Valor P res ente ente y V alor lor F uturo
Si una persona invierte una cantidad P a una tasa r durante t períodos, el valor futuro será:
Valor futuro de anualidades:
∙ ( + ) (( + ) − )
Si una persona recibirá una cantidad F al cabo de t periodos, periodos, el valor presente de esa cantidad es:
(+)
Profesor: Pedro Silva R. (
[email protected]) Ayudante: Paula Vásquez (
[email protected]) (
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Si se reciben n flujos durante t periodos, uno al final de cada período:
∑ (+)
Valor presente de anualidades:
Valor presente de perpetuidades:
=
( − ( + ))
Tasas E quivalentes Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes producen el mismo resultado.
Tasa de Interés Efectiva Cuando el interés se capitaliza sólo una vez al año, se le denomina tasa efectiva de interés ( i ). Es la tasa que estamos aplicando verdaderamente. Siempre es compuesta y vencida ya que se aplica al capital existente al final del período.
Tasa de Interés Nominal Cuando el interés se capitaliza más de una vez al año, a la tasa anu al de interés se le denomina tasa nominal de interés ( j ). Es una tasa expresada anualmente que genera intereses varias veces al año. Para conocer sus reales intereses generados se debe transformar a efectiva.
+ ( + ) Donde m es el número de veces que se capitaliza al año.
Ejemplo: - Si invertimos $1.000 al 2% efectivo mensual durante 2 meses obtendremos $1.020 el primer mes y $1.040,4 el segundo. Sin embargo, no podemos decir que una tasa de interés de 2% mensual equivale al 24% mensual. Si se trata de invertir los $1.000 durante un año con una tasa efectiva de 2% mensual se debe calcular:
( + .) − ,% (+.) (+.) $., - Si invertimos los $1.000 al 24% capitalizable trimestralmente, significa que obtendremos intereses a una tasa del 6% cada tres meses. La tasa anual equivalente al 24% nominal trimestral será:
( + . ) − ,% (+ .) (+.) $., Profesor: Pedro Silva R. (
[email protected]) Ayudante: Paula Vásquez (
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Ejercicios: 1. ¿Qué tasa efectiva de interés anual corresponde a las siguientes situaciones? a. b. c. d.
Una tasa de interés del 5% anual compuesto semestralmente Una tasa de interés del 8% anual compuesto mensualmente. Una tasa de interés del 12% semestral compuesto cada tres meses. Una tasa de interés del 6% semestral compuesto semanalmente.
2. Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF 3.600. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor, a un plazo de 10 años, con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? 3. Una gran tienda ofrece un nuevo modelo de televisor. El precio contado es de $165.990. La tienda ofrece un crédito en 12 cuotas de $17.687 cada una. ¿Cuál es la tasa de interés anual que ofrece esta tienda? 4. Luego de recibir su sueldo, Juanita deposita en el banco la suma de $350.000 a una tasa anual del 15%. Luego de esperar 3 años decide retirar un cuarto del total acumulado a su cuenta. Dos años más tarde, hace un depósito equivalente a la mitad del saldo existente a la fecha, y dos años después, retira todo su dinero. ¿Cuál es el valor de este último retiro?. 5. Una persona obtuvo un crédito de consumo de $1.300.000 a 18 meses, pagadero en cuotas iguales, con una tasa de 1,65% mensual. Calcule la cuota. 6. Se le presenta la posibilidad de invertir en un proyecto que le entregará los siguientes flujos: Año 1 2 3 4 5 6 Flujo $1.240.000 $890.000 $2.900.000 $920.000 $775.400 $1.290.000 Calcule el valor presente del proyecto, considerando qu e se le exige una tasa de descuento real del 12%.
Profesor: Pedro Silva R. (
[email protected]) Ayudante: Paula Vásquez (
[email protected])
