PREFACIO
La reducción de tamaño es una operación de gran importancia en la industria minera, la industria de energía, de la construcción y química, entre otras. En los países iberoamericanos indudablemente es la aplicación en la industria minera y del cemento la que tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industria minera del cobre por sí sola gasta 100 millones de dólares anuales para moler 100 millones de toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minería del fierro y la industria cementera, es fácil darse cuenta que las cifras involucradas en la operación de reducción de tamaño son gigantescas. Si se considera que la ley de los minerales de cobre es sólo del orden del 1%, la cantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Por otra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucran la fragmentación de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados a estas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamaño. Esto significa altos costos de inversión. Un diseño adecuado de estos equipos es de importancia fundamental si no se quiere malgastar recursos económicos siempre escasos. El gran tamaño y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos de operación. La conminución, operación bajo cuyo nombre genérico se incluye todas las operaciones de reducción de tamaño, esto es, la trituración y molienda, consume aproximadamente del 20 al 80% del costo total de energía para producir cobre o concentrado de fierro, y en el caso específico del cobre constituye la mitad del costo de procesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto económico que la optimización del proceso de conminución traería a la industria de materias primas. A pesar de su antigüedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, el conocimiento básico en conminución es precario. Falta mucho por saber respecto de la influencia de variables de operación sobre el comportamiento de los molinos de bolas y barras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientos de molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicación de los molinos semi-autógenos se ha propagado mucho mas rápidamente que el conocimiento sobre ellos, de manera que lo que de éstos se conoce es mas cualitativo que cuantitativo. Algo similar sucede con la clasificación, donde los hidrociclones se utilizan desde hace mas de cincuenta años, sin que el mecanismo de clasificación se domine en detalle. Finalmente, los mecanismos de conminución que se aplican en los equipos actuales siguen siendo la compresión y el impacto, aunque se ha demostrado que ellos son extraordinariamente ineficientes. La importancia de la conminución ha hecho que diversas instituciones de investigación en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros se encuentran en los Estados Unidos de Norte América, Canadá, Europa, Australia, África iii
del Sur y recientemente, en Iberoamérica. Sin embargo, el volumen de esta actividad no guarda ninguna relación con el tamaño de los problemas de la industria minera de la región, requiriéndose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer una infraestructura estable para el desarrollo de tecnología que, por un lado, oriente el esfuerzo de investigación en la dirección correcta y, por el otro, posibilite que los resultados lleguen a los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la región concentran importantes esfuerzos en la selección de equipos, optimización y automatización de la operación. No obstante, el estado del conocimiento del área exige un esfuerzo de investigación mayor, que genere pautas mas precisas de cómo efectuar la optimización. Aún así, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividades científicas y tecnológicas en el campo de la conminución en los países iberoamericanos y en el mundo en general. En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemas de molienda, en Viña del Mar, Chile, se creó la International Comminution Research Association, ICRA, institución con sedes en Norteamérica, Iberoamérica, Europa, Asia, Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas para orientar la investigación y difundir información especializada del campo de la conminución , para asegurar que la investigación de alto nivel en el campo sea conocida por sus miembros. Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnología para el Desarrollo CYTED, es un programa de cooperación científica y tecnológica creado en 1984 por iniciativa de España, cuya finalidad es fomentar la cooperación científica y tecnológica entre los 21 países miembros. Su ámbito de actuación es la investigación aplicada, el desarrollo tecnológico y la innovación y su objetivo es la obtención de resultados transferibles a los sectores productivos. En el año 1991 el CYTED aprobó la creación de la Red XIII-A, Fragmentación, cuyo objetivo es (1) promover la formación de recursos humanos de alto nivel, (2) promover la investigación científica y tecnológica, (3) promover el intercambio de información especializada y (4) promover la edición de monografías, textos didácticos y capacitación, todos en el campo de la conminución. ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misión en Iberoamérica en forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa dirección se han propuesto editar y distribuir el libro que aquí presentamos. Este libro es el resultado de muchos años de experiencia del autor principal en docencia e investigación en el tema de la conminución, como también de una colaboración estrecha entre los autores en investigación y en la dictación de cursos de educación continuada para ingenieros de la industria minera. En las dos últimas décadas se ha acumulado un gran caudal de nuevo conocimiento científico y tecnológico en este campo, el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autor principal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografía sobre molienda publicada en idioma inglés. La presente edición quiere extender este esfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avances habidos y la colaboración de sus autores. El texto pretende ser una revisión, en profundidad, de los principios sobre los que se basan las operaciones de conminución y clasificación y su aplicación al análisis de los iv
circuitos de molienda-clasificación. En él se da énfasis a la modelación matemática, a las técnicas de análisis experimental y a la simulación de circuitos destinados al diseño y a la optimización. En el capítulo 1 se hace una introducción al campo de la conminución y se define los principales términos involucrados. El capítulo 2 está dedicado a reseñar los fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a la ruptura de partículas de materiales frágiles. En el capítulo 3 se trata los métodos tradicionales de diseño de molinos. El capítulo 4 comienza el estudio de la cinética de la molienda y forma la base de lo tratado en los capítulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios para determinar los parámetros de molienda se describen en detalle en los capítulos 5 y 6. El comienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el capítulo 7 donde se analiza el concepto de distribución de tiempos de residencia. En el capítulo 8 se analiza los métodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la planta industrial. La clasificación se estudia en el capítulo 9 y su aplicación a circuitos de molienda se analiza en el capítulo 10. El capítulo 11 corresponde a un estudio de casos que integra todos los conocimientos vistos en los capítulos anteriores. Finalmente el capítulo 12 analiza la molienda semi-autógena, cuyo estudio ha ocupado gran parte del tiempo del autor principal en los últimos años. Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una u otra forma a hacer realidad la publicación de este libro. Sin duda que entre ellos están nuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr. Jorge Menacho por su interés y aporte en la discusión de varios temas, en especial del capítulo 12. Queremos agradecer a Sofía Barreneche de Austin por su asistencia en la traducción de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enorme trabajo en la edición del libro. Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte de recursos económicos sin los cuales habría sido imposible materializar este proyecto.
L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A. Concepción, Chile Abril de 1994.
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vi
INDICE
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii .
CAPITULO 1 INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA 1.1
LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2
FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3
DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS
1.4
CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5
NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
..................... 4
CAPITULO 2 MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO 2.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2
BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA 2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía
. . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3
RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26 2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28 2.3.3 Materiales Dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
vii
2.4
FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5
APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6
DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA
2.7
CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES
2.8
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
CAPITULO 3 ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS 3.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2
METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS . 45 3.2.1. Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46 ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47 ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 50 ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 51 ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52 3.2.2 Procedimiento de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3 Discusión del Método de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3
INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4
METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS 57 3.4.1 Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58 ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58 ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 59 ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 60 ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60
viii
3.4.2 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5
OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CAPITULO 4 CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS 4.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2
HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN
4.3
FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4
BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5
SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA
4.6
ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77
4.7
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . . . . . . . 65
. . . . 75
CAPITULO 5 INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO 5.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2
MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84
5.3
VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LAS PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4
VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5
CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6
DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7
DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.8
EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9
DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111
5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ix
5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDA DISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
CAPITULO 6 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B 6.1
DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123
6.2
TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3
RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4
RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
CAPITULO 7 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA 7.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2
EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139
7.3
MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . 7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3.2 Método experimental de inyección y medición de un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3.3 Medición de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.4 Medición de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147 7.3.5 Medición de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4
DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5
DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
x
7.5.4 Modelo de Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.6
MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.7
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
CAPITULO 8 ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DE BOLAS Y TRANSPORTE DE MASA 8.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2
POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2.1.Teoría
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.3
OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARA MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4
DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186
8.5
DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190
8.6
CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.7
OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS
8.8
EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.9
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
. . . . . . . . . . . . . . . . . 199
CAPITULO 9 CLASIFICACION E HIDROCICLONES 9.1
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2
PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES
9.3
CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION
9.4
. . . . . . . . . . . 208
. . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3.1.Método 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3.2.Método 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3.3.Método 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 (1) Ecuación de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
xi
(2) Ecuación Logaritmo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 (3) Ecuación de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 (4) Ecuación Logística en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.5
HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.5.1.Variables que afectan la operación de un hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . 226 (1) Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 (2) Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 (3) Variables de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 (4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones y su incorporación a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 .. Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn . . 234 Objetivo 1 : Diseño Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Objetivo 2 : Simulación de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Objetivo 3 : Simulación de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.6
OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.6.1. Clasificadores mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.6.4. Separadores mecánicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.7
CLASIFICACION EN DOS ETAPAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.8
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
CAPITULO 10 APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA 10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION DE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA: MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 xii
10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA DE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE . . 259 10.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.5.1.Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.5.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
CAPITULO 11 SIMULACIONES DE CIRCUITOS 11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS CON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.2.2. Caso 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.2.3. Caso 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.2.4. Caso 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.2.5. Caso 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.2.6. Caso 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.2.7. Caso 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.2.8. Caso 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.2.9. Caso 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR 11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS
. . . . . . . . . . . . 295
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.4.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.4.2. Ejemplos Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
xiii
CAPITULO 12 MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG) 12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.2 ENSAYOS CONVENCIONALES PARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA: ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG
326
12.4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337 12.5.1. Abrasión Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 12.5.2. Combinación con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA DE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.6.1 Distribución de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.6.2. Fractura rápida y lenta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y DENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DE AUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando . . . . . . 374 12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente en una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378 12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
xiv
12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.12 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
xv
CAPITULO 1 INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA
1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA La reducción de tamaño por trituración y molienda es una operación importante en las industrias minera, metalúrgica, de energía y química. La cantidad de materiales frágiles, tales como rocas, minerales, carbón, productos del cemento u otros, molidos actualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (109) de toneladas [1.1], con un gran consumo de energía asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individuales tratando 10 millones o más de toneladas por año. Sorprendentemente, para una operación unitaria de importancia tan fundamental para la tecnología industrial, no existían, hasta hace poco, textos actualizados sobre los principios de diseño de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varios libros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequibles en los últimos años [1.3, 1.4 y 1.5], y el capítulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmente bueno como una guía condensada para el diseño convencional de molinos utilizando el método Bond. A esto se agrega el que la operación unitaria de molienda tenga ahora una base teórica más elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos últimas décadas [1.6]. Aun cuando no está completa todavía, será sin duda utilizada más y más en el futuro. Esta base teórica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para la transferencia de calor y la destilación y, en particular, tiene gran similitud con la teoría del diseño de reactores químicos, usando muchos conceptos en común con la terminología utilizada en este campo. Los principales objetivos de este texto son presentar con profundidad este enfoque más elaborado y mostrar las correlaciones y divergencias de sus resultados con métodos más antiguos. Este libro es una introducción compacta al tratamiento matemático de la operación unitaria de reducción de tamaño por medios mecánicos, ésto es, el dimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usando molinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniería mecánica de los molinos de bolas serán mencionados solamente cuando se relacionen al diseño de procesos. Se espera que el libro sea apropiado como texto avanzado en la enseñanza de la ingeniería metalúrgica, ingeniería de minas e ingeniería química, ya que enfatiza los conceptos fundamentales y procedimientos de cálculo de la reducción de tamaño en molinos más que la selección de equipo o el diseño mecánico. 1
ALIMENTACION
Figura 1.1: Ilustración de un molino de bolas detenido, que posee descarga de parrilla.
1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA. Al diseñar cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso es dimensionar el reactor de acuerdo a la producción requerida de producto de la calidad deseada, usando coeficientes cinéticos, balances térmicos y de masa, y coeficientes de transferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extracción de suficiente energía para producir la reacción deseada y se debe diseñar para minimizar reacciones indeseables. El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con una variedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada de producto en la forma más eficiente posible, con el mínimo de costo de capital, de gastos de energía y de costos de mantenimiento y mano de obra. Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseño de molinos. Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino más usado en la actualidad, el molino rotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en uno de los extremos pasa por el molino fracturándose debido a la acción de la carga de bolas, produciendo un material en la descarga con una distribución de tamaño más fina. Este equipo puede ser considerado como un “reactor” continuo donde la energía suministrada es convertida en acción mecánica de ruptura y la “reacción” obtenida es una reducción 2
de tamaño. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Un paso básico en el diseño de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molino para obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentación específica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado, lo que envuelve una correcta selección de las condiciones de molienda tales como velocidad de rotación, peso de la carga de bolas, y tamaño de las mismas. Asociado con el paso básico de determinación del tamaño del molino, está la especificación de la energía necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energía por tonelada del producto. Obviamente el diseñador desea ser capaz de especificar las condiciones de molienda que produzcan un consumo mínimo de energía por tonelada del producto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mínima energía no son necesariamente aquellas para una máxima capacidad o para la más alta rentabilidad de la planta. En general, el molino debe ser diseñado para funcionar con la más eficiente molienda posible, definida por la mayor capacidad específica de molienda y el más bajo consumo de energía, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento y contaminación del producto. Además es usualmente muy deseable el saber cómo reaccionará el circuito ante cambios en las condiciones de operación, de tal manera que se pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplir especificaciones. Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de molienda combinadas con recirculación puede ser ventajoso. Es una práctica común pasar el material que sale del molino a través de un clasificador de tamaño, el cual divide el producto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partículas más gruesas (sobretamaño) y el otro partículas muy finas (bajotamaño). El flujo de partículas gruesas es recirculado al punto de alimentación del molino. El proceso de separación selectiva de tamaños se conoce como clasificación, existiendo varios tipos de equipos que producen esta acción de clasificación: harneros continuos, clasificadores de espiral y de rastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseño del circuito debe incluir una especificación de la cantidad óptima de recirculación y cómo obtenerla. Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculación, o puede haber recirculación y remolienda de material proveniente desde una etapa posterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotación. Por lo tanto, a menudo es necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamaño de un número de componentes para lograr el sistema más eficiente para un determinado trabajo. Por ejemplo, el diseñador puede confrontar la selección entre un circuito que contiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barras y molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autógeno. Varios circuitos pueden ser técnicamente factibles y la selección es entonces, una cuestión de economía global. Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados: (I) Tamaño del molino (II) Potencia del molino, energía específica de molienda (III) Condiciones de molienda eficiente 3
(IV) Recirculación, eficiencia de clasificación (V) Desempeño del circuito de molienda bajo condiciones variables (VI) Selección de molinos para circuitos complejos (VII) Optimización económica
1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS Un molino es esencialmente un reactor que está transformando partículas grandes a partículas más pequeñas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a las partículas y causar fractura, pero el ingeniero metalúrgico está interesado principalmente en equipos de gran tamaño que procesen en forma continua grandes flujos de materiales frágiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del día. Los molinos más utilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y los molinos semiautógenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos de construir, seguros, fáciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos de energía por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda. El reactivo en el molino es la alimentación que en él entra, la que raramente es de un solo tamaño y normalmente tiene una distribución granulométrica completa, de manera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribución de tamaños puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de números P(x) que representan la fracción acumulativa en peso bajo el tamaño x. A menudo es conveniente usar una escala log-log para la representación gráfica de P(x), tal como se muestra en la Figura 1.2. El método de análisis granulométrico más sencillo y seguro es el tamizado, de modo que el tamaño se refiere por lo general al tamaño de la malla de cada tamiz utilizado (ver Tabla 1.1) La fracción en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaños de tamices, denotada por w, contiene la misma información que la Figura 1.2, de manera que un conjunto de números w también representa la distribución de tamaño. Es conveniente usar intervalos de tamaño en una progresión geométrica correspondiente a la secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convención arbitraria de designar el tamaño del intervalo mayor como 1, el próximo más pequeño como 2, etc., como se muestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamaño, por ejemplo el intervalo i, la fracción en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fácil extender la distribución granulométrica a tamaños muy pequeños, menores a 38 µm (400 mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamaños pequeños. El intervalo de tamaño final, que contiene el peso del material más pequeño, es definido como la fracción en peso wn de tamaños menores al más pequeño tamiz utilizado. Este intervalo se denomina sumidero ya que él recibe material fracturado de todos los tamaños mayores, pero no entrega material a ningún otro intervalo. El producto es la distribución de tamaño del material que va saliendo del molino. Nuevamente, ésta no es nunca un tamaño individual y debe utilizarse una curva o un conjunto de números para caracterizar su distribución granulométrica, de la misma manera que se indicó para el material de alimentación. Para definir un sistema de 4
Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada Tamaño normalizado 125 mm 106 mm 100 mm 90 mm 63 mm 53 mm 50 mm 45 mm 37.5 mm 31.5 mm 26.5 mm 25.0 mm 22.4 mm 19.0 mm 16.0 mm 13.2 mm 12.5 mm 11.2 mm 9.5 mm 8.0 mm 6.7 mm 6.3 mm 5.6 mm 4.75 mm 4.00 mm 3.35 mm 2.80 mm 2.36 mm 2.00 mm 1.70 mm 1.40 mm 1.18 mm 1.00 mm
Designación malla U.S. 5" 4.24" 4“ 31⁄2 “ 21⁄2 “ 2.12 “ 2“ 13⁄4 “ 11⁄2 “ 11⁄4 “ 1.06 “ 1“ 7/8 “ 3/4 “ 5/8 “ 0.530 “ 1/2 “ 7/16 “ 3/8 “ 5/16" 0.265 “ 1/4 “ Nº 31⁄2 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18
Tamaño normalizado 850 µm 710 µm 600 µm 500 µm 355 µm 300 µm 250 µm 212 µm 180 µm 150 µm 125 µm 106 µm 90 µm 75 µm 63 µm 53 µm 45 µm 38 µm
Designación malla U.S. 20 25 30 35 45 50 60 70 80 100 120 140 170 200 230 270 325 400
5
Figura 1.2: Gráfico log-log de la distribución de tamaño acumulativa. El tiempo de molienda es t.
molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no es posible especificar la distribución de tamaño completa, por lo tanto se utiliza una de las formas que siguen: (a) un sólo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menor a 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y no más de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie específica determinada. Otro ejemplo de aplicación de la especificación del tamaño de un producto se relaciona con la liberación de un material valioso desde un trozo de roca en operaciones de metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingeniero metalúrgico llega a la deseada fineza de molienda para obtener una liberación suficiente, especificándola luego al diseñador del molino. En la concentración por flotación del componente valioso, se sabe que partículas muy finas, por ejemplo menores que 5 µm, flotan muy pobremente y que con partículas grandes, por ejemplo mayores a 300 µm, también sucede lo mismo. Este es un ejemplo de una especificación en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamaño especificado, pero debe además tener un mínimo de lamas. Como se mostrará más adelante, y como se espera por sentido común, la velocidad a la cual las partículas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamaño de las partículas. A diferencia de un reactor químico simple que convierte A en B, un molino opera con un conjunto completo de tamaños de alimentación produciendo un conjunto 6
Figura 1.3: Ilustración de la fracción de material fracturado desde un monotamaño que queda en un intervalo de tamaño determinado.
Figura 1.4: Ilustración de la distribución de tiempos de residencia (DTR) para un molino de bolas.
de tamaños finales. En forma semejante a un reactor químico, el conocimiento de la velocidad a la cual cada tamaño se fractura permite la predicción de la rapidez de desaparición de estas partículas de la carga del molino. Sin embargo, a diferencia de la simple reacción química A → B, aún la fragmentación de partículas de un sólo tamaño produce una completa variedad de tamaños de producto. Si el rango de tamaños se divide en un número de intervalos, la fracción de material fracturado desde un tamaño fijo que cae dentro de un intervalo de tamaño menor puede ser considerado como un producto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro que la comprensión razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra el conocimiento de la distribución de tamaño de la progenie, ésto es, de la función de distribución de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que un determinado tamaño se fractura y en qué tamaño aparece su producto, constituye la descripción elemental del balance de masa por tamaños o balance de población del molino. 7
Figura 1.5: Ilustración del rango de las distribuciones de tamaño con un punto común fijo en 80% menos de 75 µm, obtenido variando la razón de recirculación.
Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede considerar éste como una “caja negra” con un volumen V que contiene una masa de polvo W. Si se mira un intervalo de un tamaño particular i, la fracción de W que es de tamaño i es wi, por lo tanto la masa de tamaño i será wiW. La velocidad específica de ruptura de este tamaño, Si, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilógramos de tamaño i fracturados por unidad de tiempo por kilógramo de tamaño i presente. Las unidades de Si son (kg/t)/kg=t-1. De este modo Si queda definido por: Velocidad de ruptura de un tamaño i = SiwiW
(1.1)
y es equivalente a una constante de velocidad de reacción química de primer orden. La operación de molienda más eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores de Si son máximos. Si la geometría del molino o las condiciones de carga de bolas cambian, la intensidad y estadística de la fractura por unidad de volumen del molino también cambian y como consecuencia, cambian los valores de Si. Esto es equivalente a cambiar la temperatura en un reactor químico. Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto. Si la velocidad de alimentación de un molino de bolas de determinado tamaño se 8
disminuye, el material permanece por más tiempo en el molino, se fractura más y por lo tanto se muele finamente. Por lo tanto, el tiempo de retención, que también recibe el nombre tiempo de residencia, es un componente fundamental en la descripción de la operación del molino, aplicable a un conjunto particular de condiciones de operación. Como en cualquier tipo de reactor, el concepto anterior lleva al concepto de distribución de tiempos de residencia (DTR) [1.7]. De una pequeña cantidad de alimentación marcada con un trazador y administrada al molino por un muy corto tiempo, una parte podrá dejar el molino casi inmediatamente (y estará casi sin fracturar), mientras que otra parte del pulso de trazador permanecerá en el molino por un mayor intervalo de tiempo (y será molida más finamente) de tal forma que se establece una completa distribución de tiempos de residencia. Esto se ilustra en la Figura 1.4. Se define como flujo pistón la salida súbita de todo el material trazado después de un tiempo promedio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla hacia adelante o hacia atrás del material mientras se mueve a través del molino. En el otro extremo se denomina mezcla completa, o mezcla perfecta, al caso en que todo el material marcado se mezcla instantáneamente en el seno de la carga y la concentración del material marcado, en el molino y en el material que deja éste, es igual y disminuye exponencialmente con el tiempo; ver el capítulo 7. El tiempo promedio de residencia queda definido por W/F, siendo W la masa del material retenido en el molino, por ejemplo en toneladas, y F la velocidad de alimentación, por ejemplo en ton/min. El comportamiento del molino depende de la naturaleza de la DTR como también del tiempo de residencia promedio. La forma de la distribución de tamaño del producto puede ser modificada por la manera en que se diseña y opera el circuito de molienda. Con “forma” se quiere decir la pendiente de la curva de análisis granulométrico que se muestra en la Figura 1.2, ésto es, la relativa proporción de finos, material de tamaño intermedio y gruesos. En muchas industrias, el producto del molino debe ser menor que un determinado tamaño pero la presencia de un exceso de finos, es indeseable. Una cantidad relativa menor de finos aparece como una mayor pendiente en la curva granulométrica, como se muestra en la Figura 1.5. La producción de un exceso de finos se puede considerar análoga a una reacción química indeseable, la cual debe ser minimizada por medio de una operación eficiente. Un principio general de importancia es que, para evitar la producción de un exceso de finos, es necesario remover del molino lo más rápidamente posible todo el material que ya está suficientemente fino, evitando de este modo la sobremolienda. En la Figura 1.5 se muestra un resultado teórico (que será descrito en el Capítulo 11) de un circuito de molienda operando para producir una distribución de tamaño con el 80% menor que 75 µm. Bajo condiciones de circuito abierto (sin clasificación o reciclo), el material ya suficientemente fino naturalmente pasa todavía a lo largo del molino y es molido más finamente por debajo del tamaño de control al mismo tiempo que el material más grueso es reducido de tamaño. La incorporación de un clasificador cerrando el circuito significa que el molino opera a flujos de masas mayores y a tiempos de residencia menores. Si los flujos de alimentación fresca y de producto final se denominan Q, en toneladas por hora, y si la cantidad que recicla es T, también en toneladas por hora, el flujo total que pasa por el molino es Q + T. Este mayor flujo remueve el material más rápidamente, los finos son separados en el clasificador y las partículas más gruesas son devueltas al sistema de 9
alimentación del molino. El beneficio de esta acción es que la distribución de tamaño de las partículas que han sido trituradas en el molino contiene ahora más partículas gruesas y menos partículas finas. Si no hay finos presentes, éstos no son retriturados. El cuociente (Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulante y se la expresa como porcentaje. La razón T/Q=C se denomina razón de recirculación. Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo, que recibirá el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el párrafo anterior. El molino puede fracturar eficientemente, pero la energía se gasta en sobremoler material que ya está suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficiencia directa, sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de ruptura deficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partículas de tal manera que la energía cinética de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda una ruptura de las partículas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la acción de las bolas sobre las partículas es amortiguada por la presencia de exceso de estas últimas; (iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda húmeda, la que produce una pulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura. Finalmente, está claro que el término capacidad de molienda, que a menudo es expresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo número todas las velocidades específicas de ruptura, la distribución de ruptura primaria, las distribuciones de tiempo de residencia, las especificaciones de tamaño del producto en relación con la alimentación del molino y el tamaño de éste. Este número sólo puede ser constante para condiciones constantes precisas.
1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que está siendo fracturada y la fineza de la molienda depende de cuánto tiempo el material permanece retenido. El producto se torna más grueso cuando se aumenta el flujo de alimentación al molino, como se discutió anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato de retención. Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotación a la cual las bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en el interior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza centrífuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crítica resulta ser: Velocidad crítica = 76.6 ⁄ √ D − d D − d = 42.2 ⁄ √
RPM; D, d en pies
(1.2a)
RPM; D, d, en metros
(1.2b)
donde D es el diámetro interno del molino y d es el diámetro máximo de las bolas. Es razonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino dependerá de la fracción de velocidad crítica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad de rotación de éste normalmente se especifica por medio de ϕc, la fracción de velocidad crítica. 10
La acción de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependerán claramente de qué proporción del volumen del molino está lleno con bolas. La medida más precisa de ésto es la fracción de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos en molinos de gran tamaño, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y por lo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero sí es posible parar el molino y medir la altura desde la superficie de las bolas a la parte más alta del molino, lo que permite la estimación de la fracción del volumen que está lleno con el lecho de las bolas; Figura 1.6. Por lo tanto la fracción de llenado con bolas, J, se expresa, convencionalmente, como la fracción del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo. Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o vice versa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. La porosidad del lecho varía ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaños de bolas, el relleno de polvo, etc., sin embargo, se define una porosidad nominal constante para todos los cálculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos de porosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valor de J de:
J =
Volumen real de las bolas ⁄ Fracción en volumen de acero en el lecho Volumen del molino
masa de bolas ⁄ densidad de bolas 1.0 J = × del molino volumen porosidad 1− del lecho masa de bolas ⁄ densidad de bolas 1.0 J = × 0.6 del molino volumen Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce una densidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cúbico (4.70 ton métrica/m3). Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fracción del volumen del molino ocupada por el lecho de polvo, fc. Usando nuevamente una porosidad nominal del lecho de polvo de 0.4: masa del polvo ⁄ densidad del polvo 1.0 fc = × 0.6 del molino volumen A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente de la carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante la variable U, que expresa la fracción de huecos entre las bolas en reposo ocupada por el lecho de partículas.
volumendel lecho de partículas U = volumen de huecos en el lecho de bolas
11
=
fc × ( volumen del molino) J × ( volumen del molino) × ( porosidaddel lecho de bolas)
=
fc 0.4J
(1.5)
Empíricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporción de polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino. Si hay agua presente, la densidad de la suspensión se puede cuantificar mediante la fracción en peso de los sólidos en la mezcla cp. En realidad, las propiedades reológicas de una suspensión quedan mejor definidas por la fracción de sólido en volumen cv: cv =
cp ⁄ ρs cp ⁄ ρs + [(1 − cp) ⁄ ρl )]
(1.6)
donde cp es la fracción en peso del sólido y ρs y ρl son las densidades del sólido y del líquido. La viscosidad de una suspensión depende también de la distribución granulométrica de las partículas.
1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS Al describir un sistema de molienda, incluso el más sencillo, existen un número de niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, en orden ascendente de complejidad, de la siguiente manera: 1) Método de la energía específica global 2) Métodos globales Bond/Charles 3) Método de balance de tamaño-masa La esencia del Método 1 es el determinar experimentalmente la capacidad de molienda de un material desde una alimentación conocida a un producto determinado en el laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba son seleccionadas lo más similares posibles a las del molino industrial y el tiempo de molienda es ajustado para obtener el tamaño deseado del producto. La energía del molino se usa para calcular la energía específica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinada alimentación hasta un producto del tamaño deseado. Se supone luego, que la energía específica de molienda para obtener el producto señalado desde la alimentación dada es independiente del diseño del molino o de su operación (o se escala mediante una relación de escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potencia mp1 utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelaje de descarga estacionario Q1 desde una alimentación a un producto determinado, la energía específica es obtenida de: Energía específica E = 12
mp1 Q1
(1.7)
Figura 1.6: Geometría de la carga de bolas en un molino.
13
Entonces, si se necesita un tonelaje de producción Q2 de cualquier otro molino, y se supone una energía específica constante, su potencia será de: Q2 mp2 = E × Q2 = mp1 Q 1
(1.8)
Como la potencia mp2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseada puede ser calculada mediante ecuaciones empíricas usando las dimensiones del molino y su carga de bolas, se puede seleccionar un tamaño apropiado de molino para dar una potencia mp2. Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicación sin experiencia previa está llena de peligros. No existe una razón fundamental de por qué la energía específica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parámetro termodinámico y además, es fácil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningún modo ser constante, especialmente si el sistema de producción seleccionado es más, o menos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas de limitaciones en flujo másico a través del molino, la correcta selección de recirculación, las condiciones óptimas de operación, etc. El Método 2 utiliza elementos del Método 1 y agrega relaciones empíricas, como las de la “ley” de Bond [1.8] o la “ley” de Charles [1.9], las que describen cómo la energía específica de molienda varía con cambios en el tamaño de la alimentación o el tamaño del producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer una serie de correcciones empíricas basadas en experiencias previas para obtener resultados correctos. Los métodos arriba mencionados se denominan métodos globales porque son usualmente aplicados a la alimentación y al producto que sale del circuito y no a la distribución real de éstos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factores cinéticos en un único parámetro descriptivo, por ejemplo, el índice de Trabajo de Bond. Estos métodos serán discutidos en más detalle en el Capítulo 3. El Método 3 consiste en realizar un balance de tamaño y de masa completo para todos los tamaños de partículas del molino, utilizando los conceptos de velocidad específica de fractura, distribución de fractura primaria, distribución de tiempos de residencia y una descripción matemática de la acción de clasificación. El escalamiento desde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de producción, o a otras condiciones del molino, se efectúa por medio de un conjunto de relaciones que describen como cada elemento en el balance de tamaño-masa varía con las condiciones y el tamaño del molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas y apropiadas para la optimización y análisis del proceso. La ventaja de esta técnica es que pueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente un diseño. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados de sofisticación. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales para realizar los cálculos para un número razonable de intervalos de tamaño (por ejemplo 10 a 20), es uno de los tópicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Capítulo 4.
14
1.6 REFERENCIAS 1.1 Rumpf, H., Powder Technol., 7 (1973) 145-159. 1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37. 1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu, eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278. 1.4 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977. 1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of Comminution Circuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324. 1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp. 1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962). 1.8 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6 (1960) 378-391, 543-548. 1.9 Charles, R.J., Trans. AIME, 208 (1957) 80-88.
15
16
CAPITULO 2 MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO
2.1 INTRODUCCION Es obvio que la ciencia básica involucrada en la conminución es la mecánica de fractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseño de procesos de molienda que utilicen conceptos de mecánica de fractura. Es más, cuando las leyes de la mecánica de fractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes de diseño, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manera han creado una gran confusión. En este capítulo se reseñan los conceptos básicos de fractura desde el punto de vista de la reducción de tamaño por molienda y se muestra el por qué es tan difícil efectuar cálculos de diseño desde un razonamiento teórico a priori.
2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA 2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía Para producir una reducción de tamaño en colpas o partículas sólidas, se les debe aplicar esfuerzos y producir fractura. Un análisis teórico cuantitativo es solamente posible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgen de estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejas condiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales. Cuando un material sólido es sometido a un esfuerzo sufre una deformación. El estudio de este fenómeno corresponde a la mecánica del medio continuo. La descripción del comportamiento del sólido requiere la postulación de una ecuación constitutiva que relacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentación con el material. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensión conocidos, es posible medir cada deformación producida y clasificar su comportamiento como elástico o inelástico. El comportamiento elástico de un material se caracteriza porque la respuesta a los esfuerzos es afectada sólo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria que comprometan la respuesta posterior del material. La energía acumulada durante la carga del sólido es recuperada íntegra e instantáneamente durante la descarga. Si la ecuación constitutiva de un material sólido elástico es lineal, se dice que su comportamiento es elástico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuación constitutiva de un material elástico lineal en una dimensión. Esta ecuación constitutiva se denomina ley de Hooke y es:
17
Figura 2.1 : Esfuerzo versus deformación unitaria para el comportamiento elástico-lineal de una esfera de vidrio de 38 µm de diámetro.
σ = Yε
(2.1)
donde ε = (d − do) ⁄ do y d y do son el tamaño actual y tamaño inicial de la muestra. El parámetro Y, que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denomina módulo de Young. El material se comporta elásticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzo y de la deformación unitaria en este punto se denota por σc y εc . El módulo de Young queda expresado por: Y = σ⁄ε ,
σ<σc , ε < εc
(2.2)
Para un cristal perfecto, Y depende de las orientaciones de los esfuerzos, pero los materiales de mayor interés para nosotros son sólidos frágiles policristalinos con una distribución de cristales al azar, de manera tal que Y resulta ser una constante isotrópica elástica efectiva. Existen materiales cuya respuesta a una solicitación no es elástica. La razón puede ser que el material se deforma permanentemente o que su comportamiento depende del tiempo. Ambos disipan energía durante la deformación. Se puede distinguir dos tipos de inelasticidad, el comportamiento plástico y el comportamiento viscoso. Estos tipos de inelasticidad se superponen al comportamiento elástico y constituyen lo que se 18
5 2
4
1
3
Figura 2.2 : Esfuerzo versus deformación para la deformación elasto-plástica de una partícula mineral de aproximadamente 4 µm de diámetro.
denomina comportamiento elasto-plástico y comportamiento visco-elástico. El comportamiento elasto-plástico (Fig. 2.2) lleva a una deformación permanente del material, que no desaparece con el tiempo, por lo que se la trata como independiente de éste. La descripción se basa en el límite de fluencia como constante del material, además del módulo de Young. La energía disipada corresponde al área bajo la curva σ versus ε. El comportamiento visco-elástico se caracteriza por su gran dependencia de la velocidad con que se lleva a efecto. Mientras más lenta la carga, más inelásticamente se comporta el material (Fig. 2.3). Un material se puede comportar elásticamente en tiempos cortos, y visco-elásticamente en tiempos mayores, dependiendo el rango de comportamiento elástico de la temperatura. Por esta razón cuando se desea romper materiales visco-elásticos, tales como el cloruro de polivinilo, se debe controlar la temperatura y la velocidad de aplicación de los esfuerzos para que el material se comporte elásticamente. La densidad de energía acumulada por el material durante una deformación elástica se denomina energía de deformación y se puede expresar por unidad de volumen Ev ,o por unidad de área Es. Para una deformación unidimensional ella es:
19
Figura 2.3 : Esfuerzo versus deformación para un material visco-elástico.
Ev =
1 E = do A do A
d
d
∫d Fdx = ∫d o
o
ε
F dx = σ dξ A do ∫ 0
(2.3a)
donde Ev es la energía de deformación por unidad de volumen, do es el largo inicial del material, A su sección transversal y d el largo deformado al aplicar la fuerza F. Usando (2.1) e integrando resulta: 1 Ev = Yε2 2 y reemplazando ε de (2.2), se obtiene la energía de deformación cuando se aplica un esfuerzo σ < σc : 2
1σ Ev = 2 Y
La energía de deformación por unidad de área será obviamente:
20
(2.3b)
Figura 2.4 : Ilustración de vibración amortiguada para la carga irreversible en un ensayo de tensión simple. 2
1 σ Es = do 2 Y
(2.3c)
El valor dado por las expresiones (2.3b) y (2.3c) corresponde a una deformación reversible (Teoría de Hertz). Por otro lado, si el sólido es cargado inmediatamente a σ, el trabajo realizado será Ev = σ2 ⁄ Y o Es = doσ2 ⁄ Y. La mitad de esta cantidad es energía de deformación y la otra mitad es utilizada en acelerar el sólido y lo hará oscilar hasta que la amortiguación por fricción convierta la energía cinética en calor (Fig. 2.4). En forma similar, si un sólido se expande rápidamente a un valor "d " mediante un esfuerzo constante σ , el trabajo efectuado por unidad de volumen es σ2 ⁄ Y y otra vez solamente la mitad es energía reversible de deformación. La ruptura de un cuerpo sólido requiere la aplicación de esfuerzos suficientes sobre el material para romper los enlaces entre los átomos de la red cristalina. Si a un material ideal, considerando como tal aquél que posee una red cristalina perfecta, se le aplican esfuerzos homogéneos, éste no puede romperse. Al aumentar las solicitaciones, tal material deformaría isotrópicamente aumentando las distancias entre sus átomos en forma homogénea. Cuando los esfuerzos sobrepasaren la resistencia del material, éste sería separado en sus componentes. Si lo anterior no ocurre en la práctica se debe sencillamente 21
Figura 2.5 : Tipos de fractura según la ubicación de enlaces rotos en relación al plano de solicitaciones, en una red cúbica.
a que los materiales ideales no existen. Los sólidos siempre contienen inhomogeneidades que cambian su comportamiento. Particularmente, los minerales están compuestos de granos de diversas especies mineralógicas y cada una de éstas, de muchos cristales. Esto significa que los minerales son intrínsecamente materiales inhomogéneos. Si se aplican esfuerzos en un cierto plano del material, éste se romperá, ocurriendo fractura cuando las tensiones locales sobrepasan las fuerzas interatómicas. La fractura se denominará quiebre cuando la tensión local es mayor que la resistencia cohesiva del material y el plano de fractura sea perpendicular al plano de esfuerzos. Si la tensión local se hace mayor a la resistencia de cizalle cohesivo, el material se fracturará en un plano que no es perperdicular al de los esfuerzos y la fractura se denominará cedencia (Fig. 2.5). El tipo de fractura producido en un material depende principalmente del tipo de esfuerzo aplicado. En la conminución, los esfuerzos normales son más importantes como forma de aplicación de fuerzas para la ruptura de los minerales, sin embargo, la importancia relativa del cizalle dependerá de la magnitud de las solicitaciones a las que es sometido el material.
22
Figura 2.6 : Ilustración de los esfuerzos en un plano que pasa a través de un punto en un sólido en equilibrio.
Figura 2.7 : Ilustración del estado de esfuerzo en un sólido desde el punto de vista molecular.
2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle Considere un sólido en estado de esfuerzo en el equilibrio. En un plano que pasa por cualquier punto del sólido, no existe fuerza neta (ya que no hay movimiento de una parte del sólido con respecto a otra), como se ilustra en la Figura 2.6, y la fuerza con que el material A de un lado del plano actúa sobre el material B del otro lado debe igualar la fuerza del material B actuando sobre el material A. La fuerza por unidad de área con que A actúa sobre B es llamada esfuerzo. El esfuerzo es entonces la transmisión de fuerzas a través del sólido. El esfuerzo en un punto puede ser resuelto en dos componentes, la componente normal, perpendicular a la superficie considerada y la componente tangencial, el esfuerzo de cizalle. El esfuerzo normal tiende a separar A de B (tensión) o forzar a A 23
Figura 2.8 : Equilibrios de esfuerzo en un punto de un elemento plano sólido.
sobre B (compresión), mientras que el esfuerzo de cizalle tiende a hacer deslizar a A sobre B. La Figura 2.7 ilustra los tres estados de esfuerzos, si se esquematiza estas fuerzas operando como resortes. Obviamente, una compresión o tensión σ desigual a través de un sólido debe producir esfuerzos de cizalle. Para describir el proceso de fractura es necesario conocer los esfuerzos normales σ y tangenciales τ , y sus direcciones en el sólido. Las relaciones entre esfuerzos y dirección de esfuerzo pueden ser desarrolladas rápidamente para un sólido plano (bidimensional). Considere un esfuerzo en un plano actuando en un punto, como se muestra en la Figura 2.8a. El espesor del plano es el pequeño plano mostrado en la Figura 2.6, donde las moléculas han sido comprimidas, estiradas o cortadas. El esfuerzo puede resolverse en dos componentes perpendiculares, σx y σy, para cualquier__ángulo arbitrario α. Un balance de fuerzas muestra que, para un valor de α = α , el valor de τ se _ particular _ convierte en cero. Definiendo los nuevos ejes e paralelos y perpendiculares a la x y __ dirección de α (llamados ejes principales de _esfuerzos) se tiene los resultados de la _ Figura 2.8c. Los esfuerzos en las direcciones de x e y son llamados esfuerzos principales. Entonces, se puede demostrar que para cualquier ángulo arbitrario ß con respecto a esos ejes, como se muestra en la Figura 2.8d, los esfuerzos σ y τ están dados por: 2
24
2
σ = σ_x cos β + σ_y sen β
(2.4)
σ_x − σ_y τ= sen2β 2
(2.5)
Eliminando β entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) se obtiene la ecuación de un círculo, de manera tal que las relaciones entre τ y σ, para cualquier ángulo β, pueden ser representadas mediante el círculo de Mohr, como se muestra en la Figura 2.9. El máximo esfuerzo de cizalle ocurre en la dirección de β = 45° (o 135°), siendo: 2
τmax
1
σ_ − σ_y σx − σy = x = 2 + τxy 2
⁄2
(2.6)
σ_x + σ_y = max 2
στ
(2.7)
El esfuerzo normal máximo es claramente el mayor de los esfuerzos principales. También, es fácil demostrar que en las coordenadas originales, los esfuerzos principales están relacionados a los esfuerzos normales mediante:
Figura 2.9 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto de un elemento plano de un sólido.
σ_x , σ_y =
__ σx + σy 2τxy ± τmax , tg 2α = 2 (σx − σy)
(2.8)
Entonces, conociendo σx, σy y τxy en cualquier punto en el sólido, las direcciones y magnitudes de los esfuerzos máximos de cizalle, tracción y compresión pueden ser calculadas fácilmente. Considerando las seis componentes de los esfuerzos, un tratamiento similar en tres dimensiones conduce a círculos de Mohr para los tres planos de esfuerzos principales, como se ilustra en la Figura 2.10, donde σ3 , σ2 , σ1 son los esfuerzos principales en orden 25
Figura 2.10 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto para un sólido tridimensional.
de magnitud creciente. Se puede concluir que el máximo esfuerzo de tensión tiene la magnitud y dirección del mayor valor de los tres esfuerzos principales y que el máximo de cizalle ocurre a 45° entre las direcciones de σ1 y σ2 , con magnitud dada por la ecuación (2.6). El segundo paso en la descripción de la fractura es encontrar los valores de σx , σy y τxy en todos los puntos en un sólido, ya que éstos pueden ser convertidos a esfuerzos máximos y direcciones de máximo esfuerzo. Esto se hace solucionando el conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas que relacionan los esfuerzos con la deformación unitaria, el coeficiente de Poisson ν y el módulo de rigidez G (G = Y ⁄ 2(1+ν)) en tres dimensiones en todos los puntos de la superficie del sólido, usando como condición de contorno la ecuación constitutiva para esfuerzo-deformación unitaria. Las soluciones son complicadas excepto para casos de geometrías sencillas y para condiciones de contorno también sencillas. Un ejemplo utilizado más adelante es la carga compresiva simple de una esfera entre platos rígidos y sin fricción, correspondiendo a una prueba de esfuerzo compresivo. La energía reversible de deformación, por sobre el estado sin esfuerzo, está dada por: EV =
1 2
∫∫∫ (σ ε + σ ε + σ ε + τ γ x x
y y
z z
xy xy
+ τxzγxz + τyzγyz) dxdydz
donde γxy es la deformación angular en el plano x,y.
26
(2.9)
Figura 2.11 : Ilustración de las fuerzas entre moléculas en un sólido : (a) fuerza cohesiva, (b) energía potencial.
2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH 2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal El concepto de resistencia cohesiva ideal puede ser ilustrado mediante un sólido constituido por planos de moléculas sujetos a una tensión unidimensional simple. La tensión estira los enlaces entre las moléculas, como se ilustra en la Figura 2.11a, donde las flechas indican las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión. En el estado deformado (estirado) cualquier molécula cumple todavía un balance de fuerzas pero, como se muestra en la Figura 2.11b, el alejamiento del equilibrio venciendo las fuerzas de atracción requiere una adición de energía (integral de la fuerza por la distancia), alcanzando el sólido un nuevo equilibrio en un estado de energía más alto (energía de deformación almacenada). La máxima fuerza de atracción que el sólido puede ejercer sobre la capa de la superficie corresponde al punto de inflexión de la curva de energía potencial, ya que (fuerza) = d(energía)/d(distancia de separación) y una tensión externa que exceda este máximo, causa un desequilibrio de fuerzas y la aceleración de un plano de moléculas respecto a otro. El sólido se desintegraría en cada uno de sus planos interiores. Suponiendo que la ley de Hooke es aproximadamente aplicable hasta el punto de inflexión, la energía de deformación por unidad de volumen del sólido será, de acuerdo a la ecuación (2.3), σ2 ⁄ 2Y. Por otra parte, si se supone que esta energía se utiliza para generar una nueva superficie por ruptura del material, podemos igualar la energía superficial con la energía de deformación hasta el límite de ruptura. Como el área producida por unidad de longitud es 2N, donde N es el número de planos por unidad de longitud, N=1/a, y a es la distancia entre los planos atómicos. Entonces: 2
2γ ⁄ a =
σc 2Y
y por lo tanto:
27
⁄ a σcideal = √ 4Yγ
(2.10)
donde γ es la energía superficial específica, definida como la energía necesaria para crear una unidad de área de la superficie de un sólido no deformado. Claramente 2γ = Es ⁄ (do ⁄ a). La ecuación (2.10) debe subestimar la resistencia ideal, ya que la ley de Hooke subestima la fuerza para llegar al punto de inflexión. Los valores del esfuerzo σc calculados mediante la expresión (2.10) son siempre muy grandes comparados con los esfuerzos que se aplican a los materiales para romperlos. Tres son las razones de discrepancia entre realidad y modelo. En primer lugar, en los materiales existen medios mediante los cuales se produce concentración de esfuerzos localmente, los que así llegan a sobrepasar la resistencia cohesiva del material. La concentración de esfuerzos se producirá en las puntas de grietas microscópicas en el material, la propagación de las cuales produciría ruptura. En segundo lugar, los materiales contienen inclusiones que debilitan las uniones de ciertos planos cristalográficos disminuyendo la resistencia cohesiva original. Finalmente es probable que en muchos casos la ruptura se produzca a esfuerzos pequeños debido a grietas macroscópicas en el material.
2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith La teoría de la fractura estudia la iniciación de grietas a partir de fallas (grietas microscópicas) y su propagación en el material. De acuerdo al comportamiento en este sentido, la fractura puede ser frágil o dúctil. La fractura frágil se caracteriza por una deformación elástica antes de la ruptura y por una rápida velocidad de propagación de la grieta. La fractura dúctil va acompañada de una gran deformación plástica alrededor de las grietas antes y durante su propagación. El análisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado por Griffith [2.1] en 1920. La suposición fundamental fue que el material es un sólido elástico y frágil conteniendo un gran número de grietas microscópicas, que posteriormente tomaron el nombre de fallas de Griffith. Al someter tal material a una tensión, los esfuerzos se concentran en las puntas de las fallas estableciéndose un frente de ruptura por donde se propaga la grieta. El concepto de concentración del esfuerzo σ, o factor de intensidad del esfuerzo, puede ser ilustrado considerando un sólido plano con un pequeño agujero, bajo un esfuerzo externo de tensión uniforme S en la dirección x, y cero en la dirección y. Sin el agujero, la solución es obvia σx = S , σy = τxy = 0, par a todos los valor es de x e y. Con un pequeño agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solución [2.2] es: σx(r,θ) =
2 4 S a S a − + 1 1+3 4 cos2θ 2 r2 2 r
la cual da un esfuerzo máximo de 3S en la dirección x para θ = 90° y 270°. Como una fisura se abrirá bajo tensión, es razonable esperar que el sólido falle por fisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la dirección 28
Figura 2.12 : Ilustración de la concentración de esfuerzos en un plano debido a un agujero circular en a) y a un agujero elíptico en b. S es el esfuerzo de tensión exterior aplicado.
±y. La solución para un pequeño agujero elíptico es más compleja, pero da [2.1] un esfuerzo máximo de: σmax 2l = 1+ S b
(2.11)
donde b y l son los radios de la elipse en la dirección x e y respectivamente. Para un agujero elíptico con su eje largo perpendicular a la dirección del esfuerzo, l es mayor que b y la concentración del esfuerzo puede ser muy alta si l >> b. Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñas fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidos anteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones básicas: (i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla; (ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta de la falla son estirados hasta el límite de ruptura; (iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansión infinitesimal de la falla, y (iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga, está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo exterior aplicado. La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura 2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como: 2
2
w1 = Δz π l σ ⁄ Y
29
donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y Δz es su ancho. Entonces, dw1 ⁄ dl = Δz 2π l σ2 ⁄ Y. La energía necesaria para romper los enlaces es w2 = 4γ l Δz para una grieta de semilado l , tal que dw2 ⁄ dl = 4γΔz. Un cambio rápido e irreversible de l a l+dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformado que rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajo realizado es dos veces la energía (reversible) de deformación, dw 3 ⁄ dl = 2dw 1 ⁄ dl = (2Δz 2 π l σ2) ⁄ Y. Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta el esfuerzo de tensión crítico σc será: σcG = √ 2γY ⁄ πl
(2.12)
donde σcG es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.
Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional según la teoría de Griffith.
30
Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría de fallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del lugar geométrico.
Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes de magnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de la iniciación, dw3/dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energía extra disponible para acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se expande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlaces alrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12) es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente juntos darán una reducción adicional en la resistencia. Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de una grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que se produzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajo condiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis más detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se producen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, incluso bajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos globales normales σ1 y σ2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión To bajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), se muestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresión unidimensional es 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un orden de magnitud mayor que la resistencia a la tensión. 31
2.3.3 Materiales Dúctiles Los materiales dúctiles, por otro lado, sufren deformaciones plásticas debido al deslizamiento de unos planos del sólido sobre otros, siendo el mecanismo fundamental el movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo de movimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultáneamente, sino que se rompen sólo suficientes enlaces como para permitir que la dislocación se mueva a la próxima posición, reponiéndose los enlaces tras la dislocación, y así sucesivamente, de manera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie de pasos de baja energía. La máxima fuerza de cizalle ocurre a 45° de la dirección del esfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecerá como se ilustra en la Figura 2.15. El proceso de deslizamiento aparece como la región de cedencia en la Figura 2.2 y es bien diferente a la iniciación inestable de la fractura frágil. El deslizamiento puede iniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentración del esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo un esfuerzo de tensión. El deslizamiento plástico puede ocasionar que parte del sólido actúe como una cuña creando fuerzas de tensión, las que luego propagan la fractura frágil.
Figura 2.15 : Ilustración de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frágil.
32
El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta la plasticidad mediante la inclusión de un término dw4, que representa la energía requerida para la deformación plástica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededor de la punta de la grieta. Entonces, la condición de iniciación es dw3 - dw1 > dw2 + dw4. El valor depende del tamaño y densidad de las dislocaciones en el sólido y domina por sobre la energía de enlace dw2 para materiales dúctiles. Sin embargo, tan pronto como la fractura comienza, el valor para la energía plástica disminuye debido a que la grieta se mueve a una velocidad alta en relación a la escala de tiempo para el movimiento de las dislocaciones que dan plasticidad.
2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS En la discusión de la Figura 2.14 se definió una resistencia a la tensión To, que se obtendría de un ensayo simple de resistencia a la tensión de un material con una determinada distribución de tamaño y de densidades de fallas de Griffith. Se puede suponer que ese mismo material iniciaría grietas en cualquier región que desarrollara esfuerzos de tensión mayores a To, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos. Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para la compresión de discos, de cilindros al modo de prueba radial “brasilera” y de esferas, muestran que hay presentes esfuerzos de tensión, con valores máximos a lo largo del eje de carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la fricción entre el plato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regiones de esfuerzos de tensión. Entonces, la carga compresiva de trozos o partículas irregulares producirá ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensión y en consecuencia producirá fracturas frágiles. En particular, la compresión de esferas elásticas entre dos platos sin fricción da la solución bien conocida: 2
1
9 1 (1−ν ) 2 Δ = 2 2 P 16 d Y
⁄3
(2.13)
donde Δ es la disminución del diámetro d de la esfera producida por la aplicación de una fuerza P. Para esta carga puntual el esfuerzo de tensión máximo en el sólido está dado por:
1 (4)(21) P σ= π 28+20ν d 2
(2.14)
Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar la fractura en aquella región del sólido en que ocurre el máximo, el valor de Pc que produce fractura corresponde a un esfuerzo máximo crítico σc que iguala a To. Como la sección máxima de una esfera es π d 2 ⁄ 4, la ecuación (2.14) se puede expresar en la forma (σc = T0):
33
21 σc = σC + 28 20ν
(2.14a)
donde σC es la resistencia compresiva definida por σC = Pc ⁄ (π d 2 ⁄ 4). Como un ejemplo tomemos el valor de ν = 0.16 para el cuarzo, entonces σC = 1.5σc, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez más resistente a la compresión que una fibra del mismo material y diámetro sometida a tensión. Rumpf [2.5] ha dado un valor de σC = 14.6 MPa para una esfera de cuarzo de 38 µm de diámetro, correspondiendo a una resistencia a la tensión verdadera de σc =9.8 MPa. Una partícula de cuarzo de 135 µm de diámetro dió σC = 88.5 MPa, correspondiendo a σc = 59.3 MPa. La energía de deformación reversible de una esfera es ∫ P(dΔ), dando: 2⁄
1−ν2 E(P) = 0.83 Y
3
1⁄
3
1 P 5⁄3 d
(2.15)
Usando σC = Pc ⁄ (π d2 ⁄ 4), y expresándola como densidad de energía por unidad de volumen, resulta: 2⁄ 3
1−ν2 5⁄3 Ev = 1.06 σC Y
(2.16)
Usando el módulo de Young para el cuarzo: Y = 8.71x104 MPa, la energía crítica para la ruptura de la partícula del cuarzo, con σC = 88.5 MPa es de Ev = 0.9x106 j/m3. Como la densidad del cuarzo es de 2.62 ton/m3 y 1 kWh = 3.6x106 j, la densidad de energía para la fractura resulta ser 0.1 kWh/ton. Los experimentos para determinar la resistencia a la fractura de esferas como función del tamaño han demostrado que generalmente la resistencia a la tensión aumenta al disminuir el tamaño. Esto se explica suponiendo que en las esferas más pequeñas hay menor probabilidad que existan fallas largas de Griffith en la región de máximo esfuerzo de tensión. Este efecto se expresa en forma empírica mediante la relación: 1
σc = σo(Vo ⁄ V)
⁄m
(2.17)
donde V es el volumen de la esfera, σo es la resistencia a la tensión que corresponde a un volumen normal Vo y m es el coeficiente de uniformidad de Weibull. Un valor grande de m significa que las fallas son pequeñas comparadas con el tamaño de la muestra, de manera que la probabilidad que exista una falla grande en una región particular del sólido no varía mucho con el tamaño. La Figura 2.16 muestra resultados típicos [2.6], en que cada valor de σc es el promedio de 100 ensayos. Partículas de cuarzo de forma cercana a la de una esfera dan un aumento notable de resistencia para tamaños menores a 500 µm. Introduciendo la 34
Figura 2.16 : Variación de la resistencia S con el volumen del espécimen.
35
ecuación (2.17) en la (2.16) y usando una resistencia a la tensión de σo = 1.6 x 103 MPa para esferas de 1 cm de diámetro (Vo = π /6), resulta: −3
Ev (d) = 11×10 (1 ⁄ x)
5⁄m
, kWh⁄ ton
(2.18)
donde x está en cm. Cuando el valor de m1 cambia, la ecuación cambia a: −3
5
⁄m1
5
Ev (d) = 11×10 (1 ⁄ x1) (x1 ⁄ x)
⁄m2
, x ≤ x1
(2.18a)
donde x1 es aquel tamaño en que la pendiente cambia de m1 para x ≥ x1 a m2 para x ≤ x1. En realidad, durante la compresión de una partícula elástica, y, por efecto de las tensiones tangenciales en las zonas de contacto de la partícula con las superficies sólidas, se forma un núcleo en el que se concentran los esfuerzos y, por lo tanto, en el que el número y magnitud de las grietas aumentan. Este núcleo da como resultado partículas pequeñas al ocurrir la fractura. Fuera del núcleo las grietas se propagan radialmente pero en cantidad menor, lo que da como resultado partículas de mayor tamaño en el producto. Cuando se comprime una partícula de este tipo entre dos superficies paralelas se obtiene una relación entre las solicitaciones y deformaciones semejantes a lo señalado en la Figura 2.17. La esfera de vidrio se deforma elásticamente hasta su punto de ruptura D. En su deformación inicial el material sigue la teoría de Hertz. La partícula también sufre
Figura 2.17 : Curva esfuerzo-deformación para la compresión de una esfera de vidrio de 38 µm y un pedazo de cuarzo de 135 µm.
deformaciones elásticas pero, en este caso se debe distinguir entre fenómenos 36
microscópicos y macroscópicos. Desde el punto de vista microscópico se producen pequeñas deformaciones elásticas seguidas de rupturas de pequeños trozos (esquinas y cantos) que le dan a la curva macroscópica una forma de sierra. La curva macroscópica a su vez, está constituida por deformaciones elásticas seguidas de rupturas, como en A, B y especialmente en C y D. En D la ruptura es total. Es interesante observar que la curva CD es aproximadamente paralela a la curva de la esfera de vidrio lo que indicaría que ambos materiales tienen respuestas semejantes, modificadas por la forma y tamaño de las partículas.
2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA Las rocas, minerales y carbones al ser fracturados en máquinas de reducción de tamaño sufrirán generalmente una fractura frágil a partir de las fallas de Griffith preexistentes. La resistencia a la molienda o moliendabilidad de estos materiales correlacionará sólo aproximadamente con la dureza o la resistencia de los enlaces químicos porque el número, tamaño y orientación de los defectos son variables adicionales. Los materiales son más fuertes en compresión que en tensión. Con el
a
b
c
d
Figura 2.18 : Desarrollo de un árbol de grietas durante la propagación de la fractura, observado por fotografía de alta velocidad. Las imágenes han sido modificadas aclarando el fondo y mostrando la zona de las grietas en seudorelieve.
37
objetivo de calcular la resistencia de un trozo o partícula sometida a esfuerzos usando una teoría de mecánica de fractura a priori, sería necesario (a) resolver las ecuaciones de esfuerzo deformación para la geometría y las condiciones del esfuerzo aplicado; (b) convertir los resultados a la magnitud local y dirección de los esfuerzos principales en todos los puntos en el sólido; (c) considerar la densidad (número por unidad de volumen), distribución de tamaños y orientación (posiblemente al azar) de defectos en el sólido; (d) determinar los lugares donde los esfuerzos de tensión local pueden activar las fallas hasta el punto de iniciación de la fractura, con la ruptura comenzando en el punto más débil. Este cálculo resultaría extremadamente complicado, por no decir imposible, para las situaciones reales en un molino. Por añadidura la mayoría de los equipos de molienda producen algún grado de esfuerzos de impacto, los cuales propagan ondas de esfuerzo a través del sólido, activando defectos a fracturas por tensión en su trayectoria. La distribución granulométrica de la serie de fragmentos producidos por la fractura es tan importante como la fractura misma y no existe una teoría conocida para su predicción. Una grieta puede propagarse lentamente si ella se encuentra con una región de esfuerzos de compresión los que cierran el extremo, especialmente en el caso de materiales dúctiles. Sin embargo la teoría predice, y los experimentos confirman, que una fractura que se propaga bajo esfuerzos de tensión local adquiere rápidamente alta velocidad, del orden de la magnitud de la velocidad del sonido en el sólido. Esto conduce a una onda de esfuerzo que se propaga desde la punta de la grieta y que, por su parte, inicia más fracturas en los defectos que encuentra en su trayectoria. El resultado es una bifurcación de la grieta con bifurcaciones de cada uno de los nuevos brazos, en forma sucesiva para dar un “árbol” de grietas a través del sólido, ver Figura 2.18. La energía asociada al movimiento de la onda de esfuerzo rápido es generalmente suficiente para pasar la grieta a través de los límites de granos y a través de regiones de esfuerzos compresivos masivos. Una comparación entre la fractura de materiales frágiles y dúctiles, muestra los siguientes aspectos principales: (1) La fractura frágil pura es casi independiente de la temperatura, pero a mayores temperaturas, cercanas a las que producen mayor movilidad de las dislocaciones, la fractura puede cambiar a un deslizamiento y, por lo tanto, a menores resistencias. La fractura dúctil pura muestra una disminución de la resistencia con un aumento de temperatura debido a una mayor movilidad de la dislocación. Para una fractura frágil con una componente significativa de energía plástica, la resistencia aumenta con la temperatura debido a la zona plástica alrededor de la punta y luego disminuye cuando la fractura cambia a deslizamiento. (2) Para fracturas a partir de fallas de Griffith, una partícula más pequeña tiene una menor probabilidad de contener un defecto grande y será relativamente más fuerte. Dicho de otra manera, a medida que los materiales frágiles se fracturan los fragmentos resultantes y restantes son más fuertes porque las fallas mayores se han roto. Por otro lado, la fractura dúctil no es muy sensitiva al tamaño de partículas porque las dislocaciones son muy pequeñas comparadas con los tamaños de trozos o partículas. (3) La velocidad de la aplicación de los esfuerzos es más importante para materiales dúctiles que para materiales frágiles porque altas velocidades de aplicación de grandes 38
esfuerzos sobre materiales dúctiles pueden producir una fractura frágil, mientras que el mismo esfuerzo alcanzado en etapas lentas permitirá disponer del tiempo para un comportamiento dúctil. (4) Los materiales dúctiles demuestran endurecimiento por deformación, esto es, la deformación inicial produce movimiento y acumulación de dislocaciones, haciendo más difícil una deformación subsiguiente. También demuestran fatiga por esfuerzo, nuevamente debido a la gradual acumulación de dislocaciones en los repetidos ciclos de esfuerzo. (5) El cargar un material frágil con esfuerzos compresivos triaxiales uniformes, por ejemplo hidroestáticamente, conduce a un incremento significativo de la resistencia al reducir las fuerzas locales de tensión y al prevenir la apertura de las grietas. La literatura sobre molienda ha mostrado la existencia de reiterados errores de conceptos concerniente a la energía de molienda. Las discusiones previas muestran que un sólido fuerte debe ser llevado a un alto estado de esfuerzo para que ocurra una fractura, especialmente por aplicación de fuerzas compresivas. Tan pronto como la fractura ha comenzado, solamente una fracción de la energía de deformación almacenada localmente alrededor de las grietas que se propagan, es utilizada para romper enlaces (el término γ ). Los fragmentos de sólido son liberados de los esfuerzos externos cuando el sólido se desintegra transformándose el resto de la energía de deformación acumulada en el sólido en calor y sonido. Por ejemplo, considere el caso simple de un resorte bajo tensión, como en la Figura 2.19, conteniendo una pequeña falla como se muestra. Si el resorte fuese perfecto el aumento del esfuerzo de tensión separaría (fracturaría) eventualmente planos de moléculas en igual forma en todos los puntos del resorte, creando un vasto número de nuevas superficies y consumiendo la energía en deformación para suministrar la energía de superficie. En la práctica, empezando en la falla, la grieta se propaga a través del resorte produciendo algunos pequeños fragmentos. Sin embargo, la mayor parte de la energía de deformación acumulada permanece en las dos mitades mayores del resorte y es convertida a calor por la oscilación amortiguada de cada una de las mitades; la pieza se calienta, como la mayoría de nosotros hemos experimentado. Ensayos realizados en molinos muestran que la fracción de la energía eléctrica aplicada al molino que es utilizada directamente para romper fuerzas de enlace es muy baja ( < 1%), generalmente menor que los errores envueltos en la medición del balance de energía. La ley de Rittinger, que indica que la “energía de reducción de tamaño es proporcional a la nueva superficie producida”, no tiene una base teórica correcta. El aumento de temperatura del material molido puede ser calculado con bastante exactitud suponiendo que toda la energía se convierte en calor. El consumo específico de energía por unidad de área producida, por ejemplo, en joules/m2 , puede ser utilizado como una guía comparativa de eficiencia, porque un valor alto de este parámetro es ciertamente un índice de una mayor reducción de tamaño por unidad de energía suministrada. Por cierto no será necesariamente constante para un determinado equipo y material ya que puede aumentar o disminuir con mayor grado de reducción de tamaño.
39
FALLA
RESORTE BAJO TENSION
FRACTURA DEL RESORTE EN DOS MITADES CONTRAÍDAS Y A MAYOR TEMPERATURA
Figura 2.19 : Ilustración de la energía de deformación en un sólido bajo esfuerzo simple, convertida en calor luego de la fractura.
2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA Ahora es posible postular algunas hipótesis para explicar por que es difícil moler materiales a tamaños pequeños en forma rápida y económica. En primer lugar, con el progreso de la molienda la ruptura ocurre a partir de las fallas grandes contenidas en las partículas. Los fragmentos más pequeños producidos tienen claramente una menor probabilidad de contener defectos grandes. En principio las partículas muy pequeñas se aproximan a una resistencia ideal. Schönert [2.7] ha demostrado que aunque el cemento es considerado un material frágil, partículas de éste de unos pocos micrómetros de tamaño, se deforman plásticamente sin fracturarse bajo la aplicación de esfuerzos. En segundo lugar, si se considera el acto de tensionar partículas en cualquier equipo industrial, es claro que cada vez es más difícil capturar las partículas para tensionarlas a medida que se van empequeñeciendo. Por ejemplo, considere las bolas en un molino rotatorio que contiene una masa fija de colpas de 10 cm3 de volumen. Cada vez que una colisión bola-bola muerde un trozo de colpa, ella tensiona los 10 cm3 quizás al punto de 40
fractura. Sin embargo, cuando el trozo es reducido a 10 µm en tamaño (es decir un volumen de cerca de 1000 µm3 =10-9 cm3) la colisión de bola con bola tiene que impactar 1010 partículas para golpear la misma masa. En cualquier impacto de bola con bola habrá solamente una pequeña fracción de esta masa que estará localizada exactamente en la pequeña región donde las dos superficies entran en colisión. En tercer lugar, la presencia de partículas muy pequeñas en la masa de polvo puede afectar la habilidad de los medios de molienda para producir un buen impacto a cualquiera de las partículas contenidas en la masa de polvo en el molino. Se mostrará ejemplos de este efecto más adelante pero pueden ser ilustrados en esta etapa si se considera un molino de bolas conteniendo una suspensión de polvo en agua. Es bastante bien conocido que si el polvo es fino, la suspensión será altamente viscosa y no es difícil de imaginar que la naturaleza viscosa de la suspensión absorberá (amortiguará) la fuerza de impacto como si fuese una goma, produciendo una menor fractura de las partículas en la suspensión. En cuarto lugar, es posible que las fuerzas cohesivas que existen entre partículas muy pequeñas le impartan propiedades especiales (semejante a fluido, por ejemplo) al lecho como un todo, de tal manera que todas las partículas estén menos bien situadas para recibir un impacto cuando hay lamas. Esto es diferente de la segunda razón porque aquí se trata de un efecto físico-químico y no de un simple efecto geométrico. En quinto lugar, es posible que pequeñas partículas en contacto bajo un gran esfuerzo puedan volver a reintegrarse. Debe distinguirse aquí entre la simple aglomeración y la reintegración. La aglomeración de partículas finas en una partícula más grande (aparentemente única) da una partícula que es débil y porosa y que tiene un área por B.E.T. (N2 líquido) que corresponde al área de los fragmentos constituyentes. Tales partículas son en general fácilmente desintegradas. En cambio verdadera reintegración puede ocurrir, lo que conlleva la restitución de los enlaces químicos entre las moléculas de las superficies para producir una partícula refundida resistente y densa. Este segundo caso probablemente requiere un alto grado de ductibilidad de la partícula, de manera tal que las superficies se apreten en un contacto estrecho. Es posible, por ejemplo, crear verdaderas aleaciones [2.8] moliendo juntos polvos finos de metales DIFICULTAD DE FRACTURAR PARTÍCULAS PEQUEÑAS (1) INHERENTEMENTE MAS RESISTENTES (2) ESCASA PROBABILIDAD DE CAPTURA DE PARTICULAS PEQUEÑAS (3) AMORTIGUACION DE IMPACTOS POR FINOS (4) PROPIEDADES DEL LECHO DAN MENOR CAPTURA (5) REINTEGRACION
Figura 2.20 : Dificultad de fracturar partículas pequeñas.
41
dúctiles. Se sabe desde hace bastante tiempo que el carbón, que normalmente se fractura como un sólido frágil, puede exhibir un comportamiento plástico cuando está en tamaños de unas pocas décimas de micrómetros [2.9]. Moliendo escoria de cemento por largos tiempos en un molino de bolas discontinuo conduce a una distribución granulométrica establece con un área B.E.T. constante [2.10, 2.11]. El trabajo de Schönert sugiere que esto puede ser debido a un verdadero crecimiento de partículas, de forma tal que se alcance un balance entre fractura y crecimiento. La Figura 2.20 resume la discusión anterior. Es muy conveniente analizar un sistema de molienda para determinar cual de estas causas está actuando, porque entonces se pueden tomar decisiones lógicas para mejorarlo. La metodología propuesta es el análisis de la cinética de molienda, que es capaz de distinguir entre los varios mecanismos enumerados en la Figura.
2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES Se sabe que el tratamiento prolongado aplicando esfuerzos repetidos sobre un material, en un molino de bolas por ejemplo, puede causar cambios masivos en las propiedades del material. Rose [2.12] mostró que el cuarzo experimenta un cambio de fase de una forma a otra durante la molienda en molino de bolas. Este caso fue revisado recientemente [2.13] incluyendo muchos ejemplos. Se ha sugerido que los esfuerzos de cizalle causan la nucleación y crecimiento de una fase desde cristales de otra en una partícula. En la molienda de polímeros orgánicos duros en un molino de bolas, éstos pueden sufrir un período de demora en el cual prácticamente no se quiebran seguido por otro período de ruptura. Posiblemente el golpe de las bolas debilita el material al ocasionar algún grado de cristalización (alineamiento molecular). Se sabe que pequeños
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golpes crean o extienden grietas en un carbón de manera que éste eventualmente se rompe. Aunque el carbón es un polímero frágil con planos de debilidad ocasionados por el proceso geológico de depositación, otros materiales podrían mostrar el mismo efecto. Benjamin [2.8] ha discutido la formación de soluciones sólidas de metales dúctiles mediante la molienda prolongada en un molino de bolas, desde una mezcla de polvos de sus componentes, y la creación, en forma similar, de una dispersión fina de un material quebradizo en una matriz dúctil. El mecanismo parece ser la soldadura fría de superficies limpias producidas por fractura o aplastamiento, de modo que ocurra simultáneamente tanto reducción de tamaño como crecimiento. En este caso la acción del molino debe ser tal que fuerce a las partículas entre sí y las fracture también. Se sabe que se pueden formar componentes organo-metálicos moliendo cromo y níquel en líquidos orgánicos, produciéndose un rearreglo de las moléculas orgánicas a otras formas con el desprendimiento de H2 , CH4 y CO2. En forma similar, reacciones tales como Cr(s)+3TiCl4 (l) → CrCl3 (s)+ 3TiCl3 (l) ocurren en líquidos anhidros. Nuevamente, la causa es indudablemente la alta reactividad de las superficies recientemente creadas por fractura.
2.8 REFERENCIAS 2.1
Griffith, A.A., Phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 221A(1920)163-198.
2.2
Nadai, A., Theory of flow and fracture of solids, McGraw Hill, Inc., New York, 1950, p. 89. Ver Developments in Fracture Mechanics, Vol. 1, F.G. Shell, ed. Applied Science Publishers, 1979.
2.3
Griffith, A.A., The theory of rupture, Proc. First Int. Cong. for Applied Mechanics, Delft, 1924.
2.4
Orowan, R., Fracture and strength of solids, Reports of Progress in Physics, Physical Society (London), 12(1949)185.
2.5
Rumpf, H., Chemie-Ing. Techn., 37(1965)187-202.
2.6
Kanda, Y., Sano, S. and Yashima, S., Powder Technol., 48(1986)263.
2.7
Schönert, K., Clausthal University, private communication (1984), También , Dechema Monograph., 69(1972) 167.
2.8
Benjamin, J.S., Scientific American, 234 May(1976)41-48.
2.9
D.S.I.R. Bibliography, Crushing and Grinding, Chemical Pub. Co. (New York., N.Y.), 1958, p. 23.
2.10 Ghigi, G. and Rabottino, L., Dechema Monograph., 57(1967)427. 2.11 Hukki, R.T. and Reddy, I.G., ibid, p. 313. 2.12 Rose, H.E., Kings College, London, U.K., private communication (1964). 2.13 Lin, I.J. and Nadir, S., Mat. Sci. and Eng., 39(1979)193- 209.
43
44
CAPITULO 3 ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS
3.1 INTRODUCCION En principio es posible predecir el tamaño que debería tener un molino industrial para lograr una determinada capacidad a partir de datos obtenidos en ensayos continuos en escala de laboratorio, siempre que se conozcan las correspondientes leyes de escalamiento. En la práctica es difícil obtener una similitud exacta entre el molino industrial (mezcla de bolas, material retenido, acción del clasificador, etc.) y el molino de laboratorio, y los ensayos son difíciles de realizar. Por otra parte, cuando el molino de laboratorio se elige suficientemente grande para obtener una buena similitud, el ensayo se convierte en escala piloto. Para evitar el costo de construir y operar un sistema piloto se ha desarrollado métodos aproximados de diseño, los que serán discutidos en este capítulo.
3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS El método de Bond será discutido en mayor detalle porque ha encontrado amplia aceptación en la industria minera-metalúrgica. El método tiene dos grandes ventajas desde el punto de vista de la ingeniería. En primer lugar, es muy simple, y en segundo lugar, la experiencia demuestra que es efectivo para muchas (aunque no para todas) circunstancias.
3.2.1. Ecuaciones de Diseño El objetivo del método es seleccionar el diámetro y largo de un molino para producir Q toneladas por hora de un material con un porcentaje Ψ menor que el tamaño p1. Se debe especificar además el tamaño de las bolas de la recarga y la potencia del molino. El método consta de seis etapas importantes: (1) Un ensayo de “moliendabilidad” normalizado para el material. (2) Una ecuación empírica que convierte los resultados de los ensayos de moliendabilidad a los que se obtendrían en un molino continuo de 2.44 m (8 pies) de
45
Figura 3.1: Método normalizado de Bond simulando un circuito cerrado de molienda con una carga circulante de 350%; F/Q = 3.5.
diámetro interior, con descarga de rebalse, trabajando en húmedo y en circuito cerrado con 350% de carga circulante. (3) Relaciones de escalamiento que permiten predecir el resultado en molinos mayores. (4) Una serie de factores de corrección, basados en la experiencia, que permiten describir otras condiciones de operación. (5) Una ecuación empírica que permite calcular la energía específica consumida para una determinada razón de reducción. (6) Una ecuación empírica que permite calcular la potencia necesaria para mover un molino en función de la masa de medios de molienda. El trabajo original de Bond fue resumido en una importante publicación [3.1] la que, desafortunadamente, contiene una gran cantidad de errores. La publicación tiende a confundir resultados empíricos valiosos con razonamientos científicos dudosos. En un artículo reciente, Rowland y Kjos [3.2] dan una discusión clara y muestran la aplicación del método. La discusión que sigue se basa en ese trabajo.
ETAPA1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond El material se prepara con un tamaño de 100% menor a 6 mallas (3.350 mm), lo que corresponde aproximadamente a 80% menos de 2 mm. Se miden 700 cm3 a granel de este material, lo que da un total de W gramos, cuidando que la densidad aparente sea reproducible, y se carga en un molino de bolas de 305x305 mm (12x12 pulgadas), con bordes interiores redondeados. La carga de 285 bolas de acero de 20.125 kg tiene la distribución que sigue: 43 bolas de 67 bolas de 10 bolas de 71 bolas de 94 bolas de 46
36.83 mm 29.72 mm 25.40 mm 19.05 mm 15.49 mm
(1.45") (1.17") (1.00") (0.75") (0.61")
El material se muele por un corto período, generalmente 100 revoluciones, tamizando el producto por una malla p1 seleccionada para eliminar el bajo tamaño y reempla za rl o por mat erial fresco, simulando un circuito cerrado de molienda-clasificación. Esta nueva carga se vuelve a moler tratando de obtener una carga circulante de 350%. Como F/Q=3.5 (ver Figura 3.1), el porcentaje ψ1 (p1) de material menor a la malla p1 en el producto del molino deberá ser 100/3.5. Suponiendo que la fracción de finos producida es proporcional al número de revoluciones del molino, el número de revoluciones para la nueva etapa de molienda r2 se calcula de las revoluciones de la etapa anterior r1 mediante r2 = r1
(100 ⁄ 3.5) Ψ1 (p1)
(3.1)
donde ψ1(p1) es el porcentaje del material en el molino que tiene un tamaño menor que p1 después de r1 revoluciones. Una vez alcanzada la carga circulante de 350%, se define como moliendabilidad, y se designa por Gbp, a los gramos netos de material menor al tamaño p1, producidos por revolución del molino: Gbp = (ψ1(p1) − ψF (p1)) W ⁄ 100r∗ donde ψF(p1) y ψ1(p1) son el porcentaje menor que la malla de separación p1 en la alimentación fresca al molino y en la descarga respectivamente, W es la masa total de mineral cargada al molino y r* es el número de revoluciones necesarias para obtener la carga circulante de 350%. Finalizado el ensayo, se efectúa un análisis granulométrico completo del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca (menor a 6 mallas).
ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo Por comparación de ensayos realizados según la etapa 1 con resultados experimentales de molienda a escala piloto, Bond concluyó que el material se podía caracterizar mediante un parámetro que denominó Indice de Trabajo Wi (Work Index) y que relacionó con la moliendabilidad del ensayo normalizado según la ecuación empírica: WiT =
(1.1)(44.5)
10 − 10 xQT x GT √ √
,
kWh/ton métrica
(3.3)
0.82 p0.23 1 Gbp
donde WiT es el índice de trabajo del ensayo expresado en kWh/ton métricas, p1 es el tamaño en micrometros de la malla de separación, Gbp es la moliendabilidad, xQT es el tamaño del 80% en el producto y xGT es el tamaño del 80% en la alimentación fresca (cercana a 2000 µm), todos determinados en el ensayo de Bond. Se debe destacar que el número 10 en la ecuación (3.3) corresponde a √ 100µm , por lo que 10 ⁄ √ x es adimensional. El factor 1.1 convierte el Indice de Trabajo de Bond de kWh/tonelada corta a kWh/tonelada métrica. 47
Tabla 3.1 Indices de Trabajo de Bond Típicos
Material Arena de Zirconio Bauxita Carburo de Silicio Clinker de cemento Cuarzo Corundo Dolomita Feldespato Ferrosilicio Pedernal Fluorespato Granito Roca de yeso Hematita Caliza Magnetita Mineral de Cobre Roca de fosfato Pirita
Indice de Trabajo WiT, kWh/ton métrica * 28 11 32 16 16 33 14 13 12 32 11 12 8 15 15 12 13 12 11
(*) Estos valores se dan solamente como una guía de la magnitud de WiT. El Indice de Trabajo de Bond para un determinado material tiene un rango de valores. Por ejemplo, la caliza tiene propiedades de molienda que van desde blanda a muy dura.
Tabla 3.2 Conversión de circuito cerrado a circuito abierto. P(p1) 50 60 70 80 90 92 95 98
48
K1 1.035 1.05 1.10 1.20 1.40 1.46 1.57 1.70
Figura 3.2 : Variación del Indice de Trabajo de Bond con el tamaño de la malla de separación [3.3].
El índice de trabajo obtenido de esta manera es algunas veces, una función débil del tamaño de la malla de separación p1, la que puede ser elegida entre 28 y 325 mallas dependiendo del tamaño de corte que se desea simular. Sin embargo, lo más frecuente es utilizar la malla 200 (p1=75 µm), ver Figura 3.2. Valores típicos de los Indices se muestran en la Tabla 3.1.
ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores Para utilizar el Indice de Trabajo en molinos mayores, Bond propuso las expresiones de escalamiento que siguen: (2.44 ⁄ D)0.2WiT Wi D = 0.914Wi T
par a D ≤ 3.81m
(3.4)
para D > 3.81m
49
donde WiD es el índice de trabajo a usar en un molino de diámetro D.
ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación Para utilizar el Indice de Trabajo WiD en otras condiciones de operación, es necesario introducir factores de conversión. El Indice de Trabajo Wi para un caso determinado se relaciona al WiD , mediante: Wi = K Wi D
(3.5)
donde : K = K1 K2 K3 K4 K5 con: K1 es un factor de conversión a circuito abierto K2 es un factor de conversión a molienda seca K3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K4 es un factor de corrección por la fineza de molienda K5 es un factor de corrección por razón de reducción Conversión a circuito abierto: La ecuación (3.3) fue desarrollada para un circuito de molienda cerrado. Para utilizarla en circuito abierto es necesario introducir un factor de corrección constituido por el multiplicador K1 de la Tabla 3.2, donde p1 es la malla de separación en el test de Bond y P(p1) el porcentaje menor a la malla p1 deseado en el producto del circuito abierto de molienda. Conversión a molienda seca : Aun cuando el ensayo de Bond se realiza en seco, la ecuación (3.3) es válida para molienda húmeda. Por lo tanto, se debe aplicar un factor de corrección cuando se desee diseñar un molino seco ya que la molienda seca es menos eficiente que la húmeda: K2 =
1.3 1.0
molienda seca
(3.6)
molienda húmeda
Corrección por sobretamaño en la alimentación : Si el tamaño de alimentación es tal que se cumple: xG > 4000√ 1.10(13 ⁄ Wi T)
(3.7)
es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica, mediante el factor K3 dado por:
50
K3 = 1+
xG − 1 [ (WiT ⁄ 1.10)− 7] 1.10(13 ⁄ Wi T) 4000√ (xG ⁄ xQ)
(3.8)
Corrección por fineza de molienda: Cuando la molienda es fina, tal que xQ < 75 µm en molienda húmeda y 15 µm ≤ xQ ≤ 75 µm en molienda seca, el Indice de Trabajo debe ser corregido mediante: K4 =
(xQ + 10.3) 1.145xQ
(3.9)
Para la molienda húmeda esta corrección no debe sobrepasar 5. Corrección por razón de reducción pequeña: Para moliendas con razón de reducción pequeña, tal que xG ⁄ xQ < 6 , se debe corregir el Indice de Trabajo con K5: K5 = 1 +
0.13 (xG ⁄ xQ) − 1.35
(3.10)
ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada Bond estableció que, dentro de un amplio rango de tamaños, la energía específica necesaria para la conminución se podía relacionar a los tamaños de alimentación xG y producto xQ mediante la expresión: 10 10 E = Wi − xQ √ xG √
(3.11)
donde E es la energía específica de molienda en kWh/ton y xQ y xG son los tamaños del 80% del producto y alimentación al circuito en µm y Wi el Indice de Trabajo en kWh/ton. Se puede concluir que el circuito en el método de diseño de Bond es tratado como si fuera equivalente a un molino en circuito abierto como se ilustra en la Figura 3.1. La energía específica de molienda dada por la ecuación (3.11) está basada en la potencia que consume el molino en el eje (sin tomar en cuenta las pérdidas eléctricas), tal que se cumple: mp = QE
(3.12)
donde mp es la potencia en el eje en kW y Q el flujo de mineral en ton/h, para producir la reducción de tamaño de xG a xQ. El Indice de Trabajo Wi ha sido frecuentemente interpretado como “la energía específica de molienda necesaria para producir una reducción de tamaño desde una alimentación con xG = grande a un xQ = 100 µm”. De la ecuación (3.11) se deduce que, en estas circunstancias, E=Wi. Sin embargo, esta explicación es engañosa ya que la 51
ecuación (3.3) no es aplicable cuando xG adquiere valores grandes. Como la ecuación sí es válida para xG = 900 µm, es conveniente interpretar Wi como Wi = 1.5E*, donde E* es la energía específica para ir desde una alimentación fresca de xG=900 µm a un producto del circuito de xQ = 100 µm, en un molino de 2.44 m de diámetro interior, en húmedo y operado con 350% de carga circulante.
ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda Bond propuso una ecuación que da la potencia necesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de medios de molienda está dada por
πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4, donde J es la fracción de llenado o volumen aparente ocupado por los medios de molienda, ε es la porosidad de la carga de bolas y ρb la densidad de las bolas.Usandoε = 0.4 la potencia en el eje en kW está dada por:
0.1 mp = 7.33A J ϕc (1 − 0.937 J )1 − 9 − 10ϕ ρb L D2.3 2 c
(3.13)
donde A es una constante igual a 1 para la molienda húmeda en un molino de rebalse; 1.16 para la molienda húmeda en un molino de parrilla y 1.08 para la molienda seca, y ϕc es la fracción de velocidad crítica.
3.2.2 Procedimiento de Cálculo El diseño de un molino se basa en la determinación de la potencia en el eje necesaria para producir la reducción de tamaño, ecuación (3.12) e igualarla a la potencia en el eje necesaria para mover la carga, ecuación (3.13). De la ecuación resultante se puede obtener el diámetro del molino, cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón para L/D. (a) Capacidad de un molino de bolas Combinando las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) se obtiene: Q = 6.13ZD3.5
D ≤ 3.81 m
(3.14)
Q = 8.01ZD3.3
D ≥ 3.81 m
(3.15)
0.1ϕc L Aρb J − 0.937J2 ϕc − 9 − 10ϕ 2 D Z= K WiT (10 ⁄ √ xG ) xQ − 10√ c
52
(3.16)
Figura 3.3 : Capacidad de un circuito cerrado de molienda (c = 2.5) en húmedo con descarga de rebalse pronosticado por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35, ϕc = 0.70, WiT = 10 kWh ⁄ ton.
donde ρb= 7.9 ton/m3, es la densidad de las bolas, A=1 para molienda húmeda y 1.08 para molienda seca, L y D son el largo y diámetro interno del molino, J es la fracción de llenado de bolas, ϕc es la fracción de velocidad crítica, K es el parámetro de corrección en la ecuación (3.5), WiT es el Indice de Trabajo determinado por el ensayo normalizado de Bond, xG y xQ son los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito en micrometros. (b) Diámetro de un molino de bolas Las mismas ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) pueden ser ordenadas para dar el diámetro del molino: D = 0.60(Q ⁄ Z)0.286
D ≤ 3.81 m
(3.17)
D = 0.53(Q ⁄ Z)0.303
D ≥ 3.81 m
(3.18)
donde D es el diámetro interior del molino en m, Z está dado por ecuación (3.16) y Q es el flujo másico de alimentación fresca al molino (que opera a 350% de carga circulante) en toneladas por hora. La Figura 3.3 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35, L/D=1.5, ϕc=0.7, WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D y tamaño de alimentación xG. Por ejemplo, un molino de 3.8 m de diámetro que de un producto con 53
Tabla 3.3 Factores de corrección para Q de la Figura 3.3 (circuito cerrado húmedo con descarga de rebalse, C = 2.5) para otros valores de J y ϕc.
J
J − 0.937J2
Factor
ϕc
0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50
0.16 0.17 0.17 0.18 0.19 0.19 0.20 0.20 0.21 0.21 0.22 0.22 0.22 0.23 0.23 0.24 0.24 0.24 0.24 0.25 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.27 0.27
0.69 0.71 0.79 0.77 0.79 0.81 0.84 0.86 0.88 0.90 0.91 0.94 0.95 0.97 0.99 1.00 1.01 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.10 1.11 1.12 1.11 1.13 1.13
0.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.90
ϕc −
0.1ϕc 29 − 10ϕc 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.72 0.73 0.74 0.75 0.75 0.76 0.77 0.77 0.78 0.78 0.79 0.79 0.80 0.80 0.81 0.81
Factor 0.87 0.88 0.90 0.91 0.92 0.94 0.95 0.96 0.97 0.99 1.00 1.01 1.02 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.16 1.17 1.18 0.18 1.19
xQ = 150 µm desde una alimentación con xG = 2.0 mm tendrá una capacidad aproximada de 210 ton/hora con un consumo de energía específica de 6.0 kWh/ton. La Figura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc utilizando la tabla 3.3. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc = 0.75, la capacidad del molino de 3.8 m será de Q=0.91x1.06x210=203 ton/hora. Por otra parte, si el material tiene un WiT = 15, como la hematita, la capacidad para las últimas condiciones será Q=(10/15)x203=135 ton/hora.
54
3.2.3 Discusión del Método de Bond El método de diseño de molinos de Bond es válido para la molienda en circuito cerrado en condiciones “normales” de operación. El método no considera un número importante de efectos menores y por lo tanto no puede ser utilizado para el ajuste u optimización de un sistema determinado, ya sea desde el punto de vista operacional o económico. Esto implica que el método posee un cierto número de desventajas: (1) El método se basa en el ajuste empírico de datos de muchos molinos y materiales operando bajo condiciones normales y, por lo tanto, para casos específicos producirá un rango de errores. El método no toma en consideración varios factores de diseño y operación que obviamente son importantes: (i) razón de recirculación y eficiencia del clasificador; (ii) mezcla de bolas de diversos tamaños en el molino; (iii) variación de la distribución de tiempos de residencia con la geometría y la densidad de pulpa; (iv) influencia del diseño de las barras levantadoras; (v) influencia de la densidad de pulpa y reología de la pulpa sobre las velocidades de molienda, y efectos químicos sobre la reología; (vi) variaciones causadas por los diversos grados de llenado que adquiere el molino a medida que cambia el flujo de alimentación, especialmente para molinos con descarga por parrilla o en la periferia, los que no se comportan igual que los molinos de rebalse. (2) Se sabe que la energía específica de molienda E no es independiente de la carga de bolas J, mientras que la ecuación (3.11) muestra explícitamente independencia de J. La práctica industrial y también ensayos de laboratorio muestran que la energía específica es menor para cargas pequeñas de bolas que para cargas mayores que den la capacidad máxima. (3) El método usa solamente los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito como caracterización de la distribución de tamaño, aunque está claro que la
Figura 3.4 : Circuito cerrado inverso tratado como dos clasificadores idénticos.
55
capacidad del molino depende, en general, de la forma de toda la distribución de tamaño de la alimentación y producto. El mejor ejemplo de esto es el uso del circuito cerrado inverso, como se muestra en la Figura 3.4, el que presenta ventajas cuando la alimentación fresca contiene una cantidad significativa de material que cumple las especificaciones de fineza. Conceptualmente, este circuito puede ser tratado como si existieran dos clasificadores idénticos, uno clasificando la alimentación y el otro el producto del molino. La descarga del primer clasificador es la alimentación fresca efectiva al circuito cerrado normal. En principio, el cálculo de Bond debe ser realizado en la parte de circuito cerrado normal de este circuito, lo que requeriría un conocimiento de la acción de clasificación sobre la alimentación fresca. Sin embargo, las simulaciones, dadas en el capítulo 11, muestran que frecuentemente la capacidad y distribuciones de tamaño producidas por el circuito inverso son casi idénticas a las del circuito normal, siendo el resto de los factores idénticos. Esto ocurre porque la razón de recirculación real en el molino es menor para el circuito inverso que para el normal, si ambos usan el mismo clasificador, lo que compensa las ventajas de remover los finos de la alimentación fresca. Por lo tanto, el cálculo de Bond se realiza como si el circuito fuese un circuito normal, usando el tamaño del 80% de la carga fresca y del producto final del circuito. El modo correcto de diseñar un circuito inverso, para utilizar la ventaja de la acción clasificadora sobre la alimentación fresca se discute en el capítulo 11. (4) La aplicación del método de Bond a un circuito abierto envuelve un problema lógico. El factor K1 de la Tabla 3.2 reduce la capacidad de un molino (aumenta el Indice de Trabajo) por un factor que depende del porcentaje menor a la malla de separación p1 deseada en el producto del molino (del circuito abierto). Sin embargo, la Figura 3.2 muestra que el Indice de Trabajo no cambia significativamente para algunos materiales. Para un molino y un material determinado el porcentaje menor a p1 cambia al variar el tamaño de separación p1 y si el Indice de Trabajo no cambia con p1 para compensar por los diversos multiplicadores de la Tabla 3.2 se obtendrá un molino diferente en cada cálculo, lo que es ilógico. De hecho, la experiencia general es que el método de Bond no da el nivel de precisión requerido cuando se lo utiliza para el diseño de circuitos de molienda abiertos.
3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL Rowland [3.4] introdujo el concepto de Indice de Trabajo Operacional, Wiop, definido como el Indice de Trabajo que resultaría al aplicar la ecuación para la energía de Bond ecuación (3.11), a los datos de planta: Eop = Wiop(
10 10 − ) √ xG √ xQ
(3.19)
donde Eop es la energía específica real consumida en la planta en kWh/ton y xG y xQ son los valores del 80% de la alimentación y producto del circuito. Si designamos con E la energía pronosticada con la ecuación de Bond en base al Indice de Trabajo obtenido en el laboratorio Wi, según la ecuación (3.11) para producir la misma razón de reducción, reemplazando en la ecuación (3.19) resulta:
56
Tabla 3.4 Comparación del Indice de Trabajo experimental y operacional para molinos de bolas en circuito cerrado, incluyendo molinos de barras y bolas. Diámetro Diámetro interior interior del molino del molino m
pies
xG
xQ
Indice de Trabajo Operacional kWh/ton Wiop
3 3.5 3.8 3.8 3.8 3 3 3 3.7 3.7 3.7
10 11 - 1/2 12 - 1/2 12 - 1/2 12 - 1/2 10 10 10 12 12 12
1280 1150 1330 1123 1226 1568 1321 1444 1264 1135 1200
165 230 35.3 38.0 36.6 121 107 114 181 185 183
14.50 11.48 10.71 9.77 10.24 5.34 5.96 5.56 11.78 13.17 12.45
Wi op = Wi
Tamaño en µm : Alimen.
Tamaño en µm : Produc.
Eop E
Indice de Trabajo Experimental kWh/ton Wi 14.61 8.90 11.2 11.2 11.2 5.99 6.26 6.12 13.34 13.18 13.26
Wiop Wi
0.99 1.29 0.96 0.87 0.91 0.89 0.95 0.92 0.88 1.00 0.90 0.945
Número de datos
1 1 1 1 2 6 6 12 4 4 8 24
(3.20)
En el caso que las potencias calculadas y reales resulten iguales, la razón Wiop ⁄ Wi corresponde a la razón entre la capacidad pronosticada y la real. Para un molino operando eficientemente, variaciones en la eficiencia de clasificación, distribución de tamaño de la alimentación, distribución de tamaño de bolas, etc., pueden dar razones de Wiop/Wi diferentes de la unidad. Rowland ha dado resultados para molinos de bolas pertenecientes a un circuito molino de barras-molino de bolas que muestran variaciones de esta razón en el rango 0.87 hasta 1.29, con un promedio de 0.945 (ver Tabla 3.4). Este rango de variación es consistente con los efectos de variación en la eficiencia de clasificación, parámetros de ruptura primaria, mezcla de bolas, etc., como se predice por simulación de un circuito completo de molienda-clasificación para una operación eficiente. Si la razón se torna muy grande, esto es, mayor a 1.3, ello es indicación de que las condiciones de molienda no son correctas y hay ineficiencias directas.
57
3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS El diseño de molinos de barras mediante el método de Bond sigue el mismo procedimiento que el diseño de molinos de bolas. Se puede distinguir las mismas seis etapas. Daremos una muy breve reseña de este procedimiento, indicando las ecuaciones pertinentes.
3.4.1 Ecuaciones de Diseño ETAPA 1. Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond Para la molienda primaria en molino de barras el ensayo normalizado de moliendabilidad se realiza en un molino de 305x610 mm (12x24 pulgadas) conteniendo una carga de barras de 33,380 g con la distribución que sigue: 6 barras de 31.8x533 mm(1.25x21 pulgadas) 2 barras de 44.5x533 mm(1.75x21 pulgadas) La alimentación al molino es de menos de 12.7 mm (1/2 pulgadas) con un volumen a granel de 1250 cm3. Simulando un circuito cerrado con una carga circulante de 200%, en seco y usando tamices con mallas entre 4 y 65 mallas para la clasificación, se determina la cantidad de gramos de producto por revolución del molino, Grp. En cada etapa del procedimiento, el número de revoluciones se calcula según: r2 = r1 (100 ⁄ 2.0) ψ1(p1) donde ψ1 es el porcentaje de material en el molino que tiene un tamaño menor que p1, después de r1 revoluciones. Una vez alcanzado el equilibrio con una carga circulante de un 200%, la moliendabilidad Grp se calcula según: 1 ψF W Grp = − ∗ 2 100 r
(3.22)
donde ψF es el porcentaje menor que el tamaño p1 en la alimentación fresca, r* corresponde a las revoluciones para producir 200% de carga circulante, y W es la carga total de mineral en el molino. Finalizado el ensayo se efectúa un análisis granulométrico del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca.
ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo El Indice de Trabajo para la molienda húmeda en un molino de barras de 2.44 m de diámetro, operando en circuito abierto se puede obtener de:
58
Wi T =
p1
0.23
Grp
(1.1)(62.2) x GT ) (10 ⁄ √ x QT − 10 ⁄ √
0.625
kWh ⁄ ton métrica
(3.23)
donde WiT es el Indice de Trabajo del ensayo, en kWh/ton métrica, p1 es el tamaño de la malla de separación en µm, Grp es la moliendabilidad para molino de barras, xQT y xGT son los tamaños del 80% del producto menor a p1 y de la alimentación fresca, respectivamente.
ETAPA 3. Escalamiento a molinos mayores El escalamiento del Indice de Trabajo a molinos mayores a 2.44 m es el mismo independientemente de si la carga está constituida por bolas o barras. Entonces, como se muestra en la ecuación (3.4): Wi D =
(2.44 ⁄ D)0.2WiT 0.914Wi T
par a D ≤ 3.81 m
(3.24)
para D > 3.81 m
donde WiD es el Indice de Trabajo a usar en un molino de diámetro D.
ETAPA 4. Corrección para otras condiciones de operación Para utilizar el Indice de Trabajo en otras condiciones de operación, es necesario introducir factores de conversión tales que el Indice de Trabajo Wi para un caso determinado se relacione con WiD mediante: Wi = KWiD
(3.25)
con K = K1K2K3K4 donde : K1 es un factor de conversión por tipo de circuito K2 es un factor de conversión a molienda seca K3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K4 es un factor de conversión por razón de reducción Conversión por tipo de circuito: La eficiencia de la molienda en un molino de barras es afectada por el control que se tiene sobre su alimentación: Para un molino de barras solo, usar el factor: K1 =
1.4 1.2
alimentación molino proviene de circuito abierto de trituración
(3.26)
alimentaciónmolino proviene de circuito cer r adode trituración
Para un circuito con molino de barras-molino de bolas usar el factor:
59
K1 =
1.2 1.0
alimentación molino proviene de circuito abierto de tr itur ación
(3.27)
alimentaciónmolino proviene de circuito cerrado de trituración
Conversión a molienda seca: El factor de corrección para molienda húmeda o seca es el mismo que para molinos de bolas, ecuación (3.6): K2 =
1.3
Molienda seca
1.0
Molienda húmeda
(3.28)
Corrección por sobretamaño en la alimentación: Si el tamaño de la alimentación es tal que se cumple: xG > 16,000√ 1.10(13 ⁄ Wi T)
(3.29)
es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica mediante el factor K3 dado por : [(WiT ⁄ 1.10) − 7][ K3 = 1 +
xG − 1] 16,000√ 1.10 (13 ⁄ Wi T) (xG ⁄ xQ)
(3.30)
Corrección por extremos en razón de reducción: La razón de reducción normal xG ⁄ xQ para un molino de barras está dado por (xG ⁄ xQ)0 = 7.5 + 5L ⁄ D
(3.31)
donde L y D son el largo y diámetro interiores del molino. En aquellos casos en que (xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0 > 2 , es necesario aplicar un factor de corrección K4: 2
K4 = 1 + [ (xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0] ⁄ 150
(3.32)
Para razones de reducción grandes, el factor K4 sólo se aplica si WiT > 8.
ETAPA 5. Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada. Para molinos de bolas y barras el cálculo de la energía específica de molienda E es el mismo. Entonces, de las ecuaciones (3.11) y (3.12)
10 10 E = Wi − √ xG √ xQ
60
(3.33)
mp = QE
(3.34)
donde Wi es el Indice de Trabajo corregido en kWh/ton, xQ y xG son los tamaños del 80% del producto y de la alimentación al molino de barras en µm, Q es el flujo de alimentación en ton/h, E es la energía específica de molienda en kWh/ton y mp es la potencia en el eje del molino expresada en kW.
ETAPA 6. Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda Al igual que para molinos de bolas, Bond propone una ecuación que da la potencia necesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de barras está dada por πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4, con ε = 0.20, la potencia en el eje queda expresada por: mp = 6.94Jϕc(1 − 0.857J)ρbLD2.34
kW
(3.35)
3.4.2 Procedimiento de cálculo Igualando las ecuaciones (3.34) y (3.35) se puede obtener el diámetro del molino cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón L/D.
Figura 3.5 : Capacidad de un molino de barras en húmedo pronosticada por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35, ϕc = 0.70, WiT = 10 KWh/ton.
61
Tabla 3.5 Factores de corrección para Q de la Figura 3.5 para valores de J y ϕc. J
1 − 0.857J
Factor 1
ϕc
Factor 2
0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50
0.83 0.82 0.81 0.80 0.79 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.73 0.72 0.71 0.70 0.69 0.68 0.67 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62 0.61 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57
0.68 0.70 0.73 0.75 0.78 0.80 0.82 0.85 0.87 0.89 0.91 0.93 0.95 0.97 0.98 1.00 1.02 1.03 1.05 1.06 1.07 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.15 1.16 1.17
0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90
0.86 0.87 0.89 0.90 0.91 0.93 0.94 0.96 0.97 0.99 1.00 1.01 1.03 1.04 1.06 1.07 1.09 1.10 1.11 1.13 1.14 1.16 1.17 1.19 1.20 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.29
(a) Capacidad de un molino de barras. Combinando las ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) se obtiene: Q = 5.81XD3.54
, D ≤ 3.81 m
(3.36)
Q = 7.59XD3.34
, D > 3.81 m
(3.37)
donde :
62
X=
ρb(L ⁄ D)(J − 0.5871J2)ϕc KWiT(10 ⁄ √ xQ − 10 ⁄ √ xG )
(3.38)
ρb= 7.9 ton/m3 es la densidad de las barras. (b) Diámetro de un molino de barras Las mismas ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) pueden ser ordenadas para obtener el diámetro del molino D = 0.61(Q ⁄ X)0.282
, D ≤ 3.81 m
(3.39)
D = 0.55(Q ⁄ X)0.299
, D > 3.81 m
(3.40)
donde X está dado por la ecuación (3.38) y Q es el flujo másico de alimentación al molino en toneladas por hora. La Figura 3.5 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35, L/D=1.5, ϕc= 0.70 y WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D(3.0 a 5.0 m) y tamaño de alimentación xG (10 a 20 mm). Por ejemplo un molino de 3.8 m de diámetro que dé un producto con xQ=1000 µm desde una alimentación con xG=10.0 mm tendrá una capacidad aproximada de 630 ton/h con un consumo de energía de 1.2 kWh/ton. La Figura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc utilizando la Tabla 3.5. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc =0.75 la capacidad del molino de 3.8 m será de Q=0.93x0.86x630=504 ton/h. Por otra parte, si el material tiene un WiT=15, como la hematita, la capacidad del circuito, para las últimas condiciones será Q=(10/15)x504=336 ton/h.
3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO El método de Bond es aplicable a molinos de bolas y barras, como hemos visto en las secciones anteriores. Otros tipos de molinos deben ser diseñados mediante otros procedimientos que no serán analizados en este texto. Un molino de bolas que opera en condiciones anormales, como por ejemplo a una alta densidad de pulpa da resultados que no pueden ser pronosticados por el método de Bond. En casos como ése es frecuente realizar experiencias en equipos piloto que se acerquen lo más posible a las condiciones del molino industrial, expresando el resultado como “kWh/ton de producto”, lo que corresponde a una determinación directa de la energía específica de molienda. Esta debe ser corregida para descontar la potencia “en vacío”, ya que los molinos piloto tienen frecuentemente mayores pérdidas en los descansos y transmisión que los molinos industriales. El valor de E se escala entonces a molinos de mayor diámetro usando las relaciones:
63
ET E = ET(2.44 ⁄ D)0.2 0.914E T
, DT ≤ D < 2.44 m , 2.44 ≤ D ≤ 3.81 m ,
(3.41)
D > 3.81 m
Como la corrección mediante la expresión de Bond (10 ⁄ √ xQ − 10 ⁄ √ xG ) para otros tamaños de alimentación y producto puede no ser aplicable, el método usual es calcular la energía específica por tonelada neta de algún producto específico. E∗T = ET ⁄ (Q(x∗)T − G(x∗)T)
(3.42)
donde Q(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* especificado en el producto del ensayo piloto y G(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* en la alimentación. Por ejemplo, si x* se escoge como 500 µm, E*T son los kWh/ton netos de producción de tamaño menor 500 µm (descontando los contenidos de tamaños menores a 500 µm en la alimentación). En ese caso la energía específica de molienda para otros valores de Q(x*), G(x*) está dada por: E = E∗T [Q(x∗) − G(x∗)]
(3.43)
Finalmente, es importante destacar que en el laboratorio es posible utilizar otros molinos, diferentes al de Bond, para obtener Gbp o Grp. En estos casos, es necesario obtener los factores de calibración por los cuales es necesario multiplicar el miembro derecho de las ecuaciones (3.3) y (3.23) para obtener el valor de WiT normalizado.
3.6 REFERENCIAS 3.1
Bond, F.C., Crushing and Grinding Calculations, Brit. Chem. Eng, 6(1960)378-391, 543-548.
3.2
Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Ball and Rod Milling, Mineral Processing Plant Design, 2nd Ed., ed. A. Mular and R. Bhappu, eds., AIME, New York, NY(1978)239-278; Molinos de Barras y Bolas, Diseño de Plantas de Proceso de Minerales, 2nd Ed., A. Mular y R. Bhappu, eds., Editorial Roca y Minerales, Madrid(1982)214-247.
3.3
Smith, R.W. and Lee, K.H., Trans. AIME, 241(1968)91-99.
3.4
Rowland, C.A., Jr., Comparison of Work Indices Calculated From Operation Data with Those from Laboratory Test Data, IMM (London), Proc. 10th IMPC, ed. M.J.Jones, ed.,(1973)47-61.
64
CAPITULO 4 CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS
4.1 INTRODUCCION La Figura 4.1 proporciona el resultado típico de una prueba de molienda discontinua en un molino de bolas de laboratorio. Son datos como éstos los que condujeron al desarrollo de descripciones empíricas tales como la “Ley de Charles” y la “Ley de Bond” para la molienda discontinua. En este capítulo analizaremos más detalladamente este patrón básico de datos experimentales, utilizando los conceptos de velocidad específica de fractura y distribuciones de tamaño de la progenie en un balance de masa por tamaño completo, [4.1 a 4.8]. Esta descripción detallada es mucho más útil para analizar datos experimentales y los conceptos involucrados nos permitirán efectuar simulaciones precisas de circuitos de molienda y describir con bastante seguridad la influencia de las variables en el proceso. La Figura 4.1 muestra el excelente acuerdo entre valores calculados y datos experimentales que se logra obtener. Este capítulo mostrará las bases para realizar la simulación.
4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN Considere un molino discontinuo de laboratorio como si fuese un reactor bien mezclado que contiene una masa W de material en polvo, la que recibe una variedad de acciones de fractura cuando el molino está en operación. Es conveniente representar la distribución granulométrica del polvo en el molino como se muestra en la Figura 1.2, donde los intervalos de tamaño corresponden a una serie geométrica de tamices con 4 2 . Si la alimentación inicial del molino está limitada a partículas dentro del 2 ó √ √ intervalo de tamaño mayor, numerado como intervalo 1, entonces la condición inicial es w1(0)=1. Esta alimentación se muele por un intervalo de tiempo t1, se muestrea el producto para determinar por tamizaje la fracción en peso que permanece en el intervalo de tamaño original y, retornando la muestra al molino, se continúa su operación por un intervalo de tiempo adicional t2, repitiendo todo el procedimiento. Parecería razonable que la velocidad de desaparición de la masa de la fracción de tamaño 1 concuerde con una ley de primer orden, esto es : d [w1(t)W ] dt
∝ − w1(t) W
65
Figura 4.1 : Distribución de tamaños experimentales y calculados para la molienda seca de monotamaño de cuarzo 20× 30 mallas US en un molino de 8 pulgadas de diámetro (U = 0.5; J = 0.2; ϕc = 70% c.s.; bolas de pulgada de diámetro; W = 300 g; mp = 0.013 kW): -, calculado; o, experimental por tamizado; o, experimental por Sedigraph. Velocidad de desaparición de la masa de partículas de tamaño 1 por ruptura
∝
Masa de partículas de tamaño 1 presente en el molino en el tiempo t
Como la masa retenida en el molino W es constante, resulta: dw1(t) = − S1w1(t) dt
(4.1)
donde S1 es una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de velocidad específica de fractura y tiene unidades de t-1. Entonces, si S1 no varía con el tiempo, integrando la ecuación (4.1) sujeta a la condición inicial w1(0) da: w1(t) = w1(0) exp( − S1t) o también
66
log[w1(t) ] = log[w1(0) ] − S1t ⁄ 2.3
(4.2)
La Figura 4.2 muestra un resultado experimental típico. Se debe reconocer que no hay una razón fundamental de por qué la hipótesis de primer orden debiera ser aplicable en cualquiera de las situaciones de molienda, y más tarde serán discutidos varios casos de desviación de esta norma. Sin embargo, muy frecuentemente la hipótesis de primer orden es una excelente aproximación a la verdad. Una verificación experimental de la hipótesis, con resultados como los de la Figura 4.2, prueba que la acumulación de finos no afecta la velocidad de fractura específica del material de mayor tamaño. Sin embargo, esto no prueba que el material más fino también se fracturará con una cinética de primer orden, en presencia de cantidades variables de material más grueso. Este chequeo básico fue ejecutado por Gardner y Austin usando una técnica de trazadores radioactivos[4.7]. Si algún tamaño es marcado con un trazador, entonces el desaparecimiento de esa fracción de tamaño con el tiempo puede ser distinguido de la aparición, en ese mismo tamaño, de productos de fractura de tamaños mayores, ya que éstos no estarían marcados. Entonces: w∗j (t) ⁄ w∗j (0) = exp( − Sjt) donde w∗j (t) es la fracción de material marcado de tamaño j. La Figura 4.3 muestra los resultados obtenidos por Gardner y Austin, donde se demuestra que la fractura es de primer orden en un ambiente en el cual la cantidad de ambos tamaños, menores y mayores, está cambiando con el tiempo. Si esto es verdad, entonces también aparece como razonable suponer que, para condiciones de molienda dada y un W fijo, el ensayo de molienda discontinua puede ser repetido con un tamaño menor como tamaño máximo de alimentación y el valor de S determinado para este tamaño, como se muestra en la Figura 4.2, da el mismo resultado que un ensayo con trazador. Esta metodología es conocida como la técnica de monotamaño. La Figura 4.4 muestra un conjunto de resultados típicos para la molienda en un molino de bolas de laboratorio. La convención adoptada es la de representar gráficamente el valor S de un intervalo de tamaño versus el tamaño superior del intervalo y el tamaño es denotado por el tamaño superior del intervalo.
4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE En el sentido que aquí se utiliza, la fractura se define como ocurriendo solamente cuando el producto fracturado tiene un tamaño que cae fuera del rango del tamaño original. Por lo tanto en un intervalo de tamaño de √ 2 , por ejemplo 16 x 20 mallas U.S., el material debe alcanzar un tamaño menor que 20 mallas para que se considere que hubo fractura, y por esta razón, los productos de la fractura aparecen en los tamaños menores que 20 mallas. La fractura primaria se define como sigue: Si un material se rompe y los fragmentos producidos se mezclan de nuevo con la masa de polvo en el molino, y si esta distribución de fragmentos pudiese ser medida antes que algunos de ellos sean refracturados, entonces el resultado obtenido sería la distribución de fractura primaria, ver Figura 4.5. El término primario no necesariamente significa que los fragmentos son producidos por propagación de “una” fractura, sino solamente que son producidos por acciones de ruptura que ocurren
67
Figura 4.2 : Ejemplo de gráfico de primer orden; antracita de 16x20 mallas US en un molino de 0.6 m de diámetro.
68
Figura 4.3 : Gráfico de primer orden para carbón irradiado molido en una máquina de Hardgrove normalizada.
antes que los fragmentos sean remezclados de nuevo al seno del material. Se debe también notar que los valores medidos en situaciones de molienda son presumiblemente el promedio de una gran variedad de acciones de fractura sobre muchas partículas y no se puede esperar que ellas se comparen directamente con resultados de pruebas compresivas sobre partículas individuales. Aunque la fractura se aplique a un solo tamaño, ella da todo un rango de tamaños en el producto y para describir el proceso de molienda es necesario describir esta distribución granulométrica. Existen dos formas convenientes para caracterizar la distribución de tamaño de la progenie. Primero, si el material de tamaño 1 es fracturado, la fracción en peso del producto que aparece en el intervalo de tamaño i es llamado bi,1. El conjunto de números bi,1, en que i varía desde 2 a n, describe entonces la distribución de fragmentos producidos por el tamaño 1. En general, se requiere una matriz de números bi,j para describir la fractura de todos los tamaños de interés, esto es, el conjunto bi,1 con n ≤ i ≤ 2, más el conjunto bi,2 con n ≤ i ≤ 3, etc. La segunda forma de describir la distribución de tamaño de la progenie, es el acumular los valores de b desde el intervalo inferior y hacer que Bi,1 represente la fracción en peso acumulativa de material fracturado del tamaño 1 que resulta ser menor que el tamaño superior del intervalo de tamaño i, ésto es:
69
Figura 4.4 : Ejemplo de variación de la velocidad específica de fractura con el tamaño de partícula para cuarzo: molino de 8 pulgadas de diámetro con bolas de 1 pulgada; 2 (ver Figura 4.1). tamaños en intervalos de √
Figura 4.5 : Gráfico de barras típico de la distribución de fragmentos de la progenie primaria.
70
n
Bi,j = bn,j + bn−1,j + ........ + bi,j =∑ bkj
o también
k=i
bi,j = Bi,j − Bi+1,j
(4.3)
La forma B es conveniente para graficar valores y suavizarlos, ver Figura 4.6. Valores reales típicos se dan en la Tabla 4.1. Los valores de Bij (es conveniente eliminar la coma de los valores bi,j y Bi,j cada vez que ello no produzca confusiones) pueden ser determinados mediante pruebas con monotamaños a tiempos de molienda cortos, para los cuales las correcciones aproximadas para tomar en cuenta la reselección para la fractura de los fragmentos primarios son razonablemente válidas. Está implícito que los valores de Bij no cambian con el tiempo de molienda en el molino. Esto fue demostrado por los experimentos con trazadores radioactivos efectuados por Gardner y Austin[4.7] y que ya hemos mencionado. Puede parecer una labor imposiblemente complicada el medir la matriz de valores de B para todos los materiales bajo todas las condiciones de molienda. Sin embargo, se encuentra a menudo[4.9] que los valores de B son insensibles a las condiciones de molienda, por lo menos en el rango de operación normal de los molinos. Por añadidura, los valores de B para todos los materiales que hemos examinado muestran una forma general similar (ver capítulo 5). Además, se ha encontrado que los valores de B son frecuentemente normalizables, ésto es, que la fracción que aparece en tamaños menores que, por ejemplo, la mitad del tamaño inicial es independiente del tamaño de partida. Por esta razón, es una práctica común graficar los valores de B versus el tamaño adimensional (normalizado), como se muestra en la Figura 4.6 Si los valores de B son normalizables, la matriz de valores de B se reduce a un vector, como se ilustra en la Figura 4.7. Entonces, bij puede ser reemplazado por bi−j .
4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA La velocidad de producción de cada tamaño puede ser representada en términos de Si y bij en la forma: Velocidad de producción de tamaño i a partir de la fractura del tamaño j
= bijSjWwj
=
fracción de tamaño j que por fractura pasa a tamaño i
velocidad de fractura del tamaño j
(4.4)
En base a los parámetros de fractura Si y bij se puede establecer un balance de masa por tamaños para la molienda discontinua. Este balance, representado en la Figura 4.8, se puede expresar en la forma que sigue:
71
Tabla 4.1 Conjunto típico de una distribución de tamaños de la progenie. Tamaño malla U.S.A Número del intervalo i 18/25 1 25/35 2 35/45 3 45/60 4 60/80 5 80/120 6 120/170 7 170/230 8 230/325 9 <325 10
bi,1 0.0 0.52 0.21 0.10 0.05 0.031 0.021 0.015 0.0115 0.038
Bi,1 1.0 1.0 0.48 0.27 0.17 0.12 0.086 0.064 0.049 0.038
Figura 4.6 : Distribución de fractura primaria acumulativa para molino de bolas , de monotamaño de cuarzo de 20× 30 mallas US (ver Figura 4.1); , en seco, , en húmedo (45% de sólidos en volumen).
72
73
Figura 4.7 : Ilustración de la transformación de la matriz de fractura a su forma normalizada.
Velocidad neta de producción de material de tamaño i
=
velocidad de aparición de tamaño i por fractura de todos los tamaños mayores
–
velocidad de desaparición del material de tamaño i por fractura
Si consideramos que la carga W de material en el molino permanece siempre bien mezclada, las ecuaciones (4.1) y (4.4) permiten expresar este balance en forma matemática: d[Wwi(t)] =[ bi1S1W w1(t) + bi2S2W w2(t) +......+ bi,i − 1Si − 1Wwi − 1(t)] − [SiWwi(t)] dt Este balance de masa es ilustrado en la Figura 4.8. En forma más compacta se puede escribir: dwi(t) = − Siwi(t) + dt
i− 1
∑
bijSjwj (t) , n ≥ i ≥ j ≥ 1
(4.5)
j=1
i>1
Este es el balance fundamental de masa por tamaño para una molienda discontinua en que la carga del molino está completamente mezclada. Este conjunto de n ecuaciones diferenciales describe el proceso de molienda y da, por supuesto, el resultado de la ecuación (4.1) cuando i=1. Si los valores de S y b son independientes del tiempo de molienda, existe una solución analítica para una condición inicial wi(0) determinada. La solución para diversos tiempos de molienda genera valores de wi(t) desde los cuales P(xi,t) puede ser calculado rápidamente por acumulación.
Figura 4.8 : Ilustración del balance de masa por tamaños para un molino discontinuo de laboratorio perfectamente mezclado : el intervalo de tamaño 2 recibe material del intervalo 1; el intervalo de tamaño 3 recibe material de todos los tamaños 1 y 2, etc. y el sumidero recibe material de todos los tamaños mayores.
74
La Figura 4.1 muestra la solución calculada para varios tiempos de molienda utilizando los valores normalizados de B de la Figura 4.6 y los valores de S de la Figura 4.4 para la alimentación indicada. También se muestra los valores experimentales determinados por tamizaje y una extensión a tamaños finos utilizando el Sedigraph. Está claro que el acuerdo entre resultados experimentales y calculados es excelente. Esto es una confirmación de que las suposiciones que se hizo al medir y aplicar los valores de S y B a la solución son correctas para este conjunto de datos: que la molienda es de primer orden y que los valores de b son constantes en el tiempo. Está implícito que no sucede un crecimiento de partículas más pequeñas a más grandes mediante soldadura fría. También está implícito que las propiedades de fractura de un determinado tamaño j en los productos de la fractura son iguales que las del material de tamaño j en la alimentación. Esto no siempre es verdadero, ya que la historia del material de alimentación puede afectar las propiedades de la fractura. También es necesario, por supuesto, que el material que se va a fracturar sea “homogéneo” desde el punto de vista de fractura, es decir, que no consista de una mezcla de componentes resistentes y débiles. Es sorprendente cuan homogéneos son la mayoría de los materiales, desde este punto de vista; rocas visualmente inhomogéneas a menudo proporcionan excelente ruptura de primer-orden.
4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA La ecuación de molienda discontinua fue solucionada por Reid [4.11] en la forma que se indica a continuación: Para i=1 dw1(t) ⁄ dt = − S1w1(t) lo que por integración da: w1(t) = w1(0)exp( − S1t) Para i=2 dw2(t) ⁄ dt = − S2w2 (t) + b21S1w1(t) Sustituyendo w1(t) resulta: dw2(t) ⁄ dt + S2w2(t) = b21S1w1(0)exp( − S1t) Multiplicando por el factor de integración exp(S2t) se obtiene exp(S2t)
dw2(t) + S2w2(t) exp(S2t) = b21S1w1 (0) exp[ − (S1 − S2) t] dt
d[w2(t) exp(S2t)] ⁄ dt = b21S1w1(0) exp[ − (S1 − S2) t] Por lo tanto para S2 = S1 se puede integrar esta expresión por separación de variables: w2(t) =
b21S1w1(0) b21S1w1(0) exp( − S2t) exp( − S1t) − + w2(0) exp( − S2t) S2 − S1 S2 − S1
75
Procediendo similarmente para i=3, i=4, etc. y solucionando términos y deduciendo el término general, se obtiene: i
∑ aij exp ( − S t)
wi(t) =
j
, n≥ i≥ j≥ 1
(4.6a)
j= 1 i−1 wi(0) − ∑ aik k=1 i>j aij = i−1 1 Si − Sj ∑ Sk bik akj k=j
,i=j
,i>j
Esta expresión se denomina solución de Reid . En esta ecuación los valores de aij no dependen del tiempo de molienda pero sí dependen de la distribución granulométrica de la alimentación. La Tabla 4.1 proporciona los primeros términos de la solución. El número de términos crece rápidamente cuando i se hace grande. Reagrupando los términos de un modo diferente, Luckie y Austin [4.12] mostraron que la solución de Reid se puede expresar en la forma: i
wi(t) =
∑ d w (0) ij
j
, n≥ i≥ 1
(4.6b)
j= 1
donde dij está dada por : 0 e − Si t dij (t) = i−1 ∑ cikcjk(e− Skt − e − Sit) k=j
, ij
y cij es : j− 1 − ∑ cikcjk k= i cij = 1 i− 1 ( 1 ) Sb c Si − Sj ∑ k ik kj = k j
76
, i j
Tabla 4.2 Primeros tres términos en la solución de Reid de la molienda discontinua.
w1(t) = w1(0) e − S1t w2(t) =
S1b21 S1b21 w1(0) e − S1t + w2(0) e − S2t − w1(0) e − S2t (S2 − S1) (S2 − S1)
w3(t) =
S1b21 S2b32 S1b31 w2(0) e − S1t + w1(0) e − S1t + (S3 − S1) (S2 − S1) (S3 − S1)
S2b32 S1b21 S2b32 w2(0) e − S2t − w1(0) e − S2t + (S3 − S2) (S2 − S1) (S3 − S2) w3(0) e − S3t − −
S1b31 S1b21 S2b32 w1(0) e − S3t − w1(0) e − S3t (S3 − S1) (S2 − S1) (S3 − S1)
S2b32 Sb S2b32 w2(0) e − S3t + 1 21 w1(0) e − S3t (S3 − S2) (S2 − S1) (S3 − S2)
Esta forma es más conveniente que la solución Reid para algunas aplicaciones, porque el conjunto de valores de dij representan la función de transferencia para llevar la alimentación al producto. Los valores de dij dependen del tiempo de molienda pero no dependen de la distribución granulométrica de la alimentación. Por otra parte, la solución de Reid puede dar origen a inestabilidades numéricas para pequeños valores de t, lo que lleva a resultados incorrectos, mientras que la forma de Luckie-Austin es más estable y por lo tanto debe ser preferida.
4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA A esta altura pueden establecerse algunas conclusiones muy importantes concernientes a la molienda. En primer lugar, como la solución a las ecuaciones de la molienda discontinua produce resultados virtualmente idénticos a los datos experimentales de la Figura 4.1, las relaciones empíricas que se puedan deducir por aplicación de las leyes de Charles y Bond a los datos, deben también ser consecuencias de la hipótesis de molienda de primer orden, combinada con la forma de los valores de Si y Bij como función del tamaño de las partículas. No existe necesidad, por lo tanto, de buscar las razones fundamentales de por qué estas relaciones son aplicables: son resultados fortuitos de una hipótesis razonable (y probada experimentalmente) y de la forma de los valores de S y B. Por esta razón, el argumento fundamental es “¿Por qué los valores de S y B varían con el tamaño de las partículas y condiciones en el molino en la forma observada?”. Esta pregunta será contestada en el capítulo 5. En segundo lugar, la familia de distribuciones granulométricas obtenidas en la Figura 4.1 depende del tamaño de la alimentación seleccionada. Sin embargo, el balance de masa por tamaño puede ser resuelto mediante los valores de S y B para cualquier distribución granulométrica de la alimentación y, por lo tanto, proporciona una
77
simulación general de la molienda discontinua. Esto se ilustra en la Figura 4.9 donde se utilizó una distribución granulométrica de alimentación poco natural. Claramente no se puede aplicar relaciones empíricas tales como la ley de Charles a tales datos. En tercer lugar, supongamos que se comparan situaciones de molienda en que los valores de B no cambian pero los valores de S se modifican mediante un factor constante k , esto es: S′i = kSi
, n≥ i≥ 1
(4.7)
Las ecuaciones de molienda para cada una de esta situaciones son: i−1
dwi ⁄ dt = − Siwi +
∑ bijSjwj
(A)
j=1 i>1
Figura 4.9 : Cálculo de la distribución de tamaño de la molienda discontinua con una distribución granulométrica de la alimentación poco natural.
78
i−1
dwi ⁄ dt = − S′iwi +
∑ bijS′jwj
(B)
j=1 i>1
Substituyendo la ecuación (4.7) en (B) : i−1
dwi ⁄ d(kt) = − Siwi + ∑ bijSjwj
, n≥ i≥ j≥ 1
(C)
j=1
i>1
Si las ecuaciones A y C se resuelven con la misma distribución granulométrica de alimentación para un tiempo de molienda total τ para A y τ′ para C, es claro que las soluciones producirán resultados idénticos cuando kτ′ en el caso C iguale a τ en el caso
Figura 4.10 : Comparación de la distribución de tamaño de un monotamaño de 16x20 mallas US de coque molido en : , molino de bolas de 8 pulgadas de diámetro; , molino de bolas de 2 pies de diámetro (U = 1, J = 0.3, ϕc = 0.7, bolas de una pulgada de diámetro).
79
A, porque las ecuaciones son idénticas si kt es reemplazada por t en la ecuación C. Dicho de otra manera, si en el caso B todo es idéntico al caso A excepto que todas las velocidades específicas de fractura son el doble (en general, son aumentadas en k ), es claro que la solución al caso A para un tiempo de molienda, por ejemplo, τ =5 minutos, es idéntica a la solución del caso B para τ =2.5 minutos ( τ′ = τ ⁄ k , en general). El tiempo de molienda τ para ir desde una alimentación dada a un producto deseado es: τ ∝ 1 ⁄S
(4.8)
Esta es una conclusión extremadamente útil porque, si se encuentra que dos diferentes pruebas de molienda dan la misma familia de curvas pero desplazadas solamente por un factor de escala de tiempo, se puede suponer que los valores de B son los mismos y que la variación de S con el tamaño es la misma y que solamente hay un factor de escala en S. Esto se ilustra en la Figura 4.10, donde se ve que la distribución granulométrica varía idénticamente con el tiempo, pero está desplazada por un factor de 1.85 en el tiempo, es decir, el molino de diámetro más grande produce la misma distribución de tamaños del producto en una fracción 1/1.85 del tiempo. En cuarto lugar, si es que el concepto de una energía específica constante E para obtener una determinada molienda (desde una alimentación dada a un producto deseado) ha de ser válida, los valores de S deben ser proporcionales a la potencia consumida por el molino por unidad de masa de material retenido en él. Es decir, doblando la velocidad de aplicación de energía por unidad de masa de material en el molino, debe conducir a una duplicación de los valores de S, a un acortamiento a la mitad del tiempo para producir una determinada molienda y, en consecuencia, el consumo de la misma energía por unidad de masa: E = mp ⁄ SW Por lo tanto la energía específica de molienda es constante aun cuando las condiciones de molienda cambian si mp/SW es constante para todas las condiciones. Esto ha sido confirmado bajo ciertas condiciones en molinos rotatorios de bola de laboratorio por Malghan y Fuerstenau[4.10]. Las implicaciones de esta conclusión son que la molienda de un material determinado en un molino de bolas es un proceso idéntico, en todos los aspectos, para diversas condiciones de operación, excepto en el factor escala de tiempo para los valores de S. Por lo tanto, una fractura eficiente se obtiene cuando mp/SW es mínimo. Condiciones de molienda erradas tales que aumentan mp/SW causan ineficiencia directa.
4.7 REFERENCIAS 4.1
Brown, R.L., J. Inst. Fuel (London), 14(1941)129-134.
4.2
Broadbent, S.R. and Callcott, T.G., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A249(1956)99-123; J. Inst. Fuel(London), 29(1956)524-528; J. Inst. Fuel(London), 29(1956)528-539; J. Inst. Fuel(London), 30(1957)13-17.
80
4.3
Epstein, B., J. Franklin Inst., 244(1947)471-477; Ind. Eng. Chem., 40(1948)2289-2291; Epstein, B. and Lowry, H.H. reprint, Some Aspects of the Breakage of Coal, Blast Furnace, Coke Oven and Raw Materials Conf., AIME, April 1948.
4.4
Sedlatschek, K. and Bass, L., Powder Met. Bull., 6(1953)148-153.
4.5
Filippov, A.F., Theory of Probability and Its Applications (USSR, English Trans.), 6(1961)275-280.
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4.8
Austin, L.G., Powder Technol., 5(1971/72)1-17.
4.9
Shoji K., Lohrasb, S. and Austin, L.G., Powder Technol., 25(1979)109-114.
4.10 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and K. Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr 1576-1588, Verlag Chemie, Weinheim(1976)613-630. 4.11 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963. 4.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51.
81
82
CAPITULO 5 INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO
5.1 INTRODUCCION Nuestro conocimiento actual de la molienda en molinos de bolas está basado en una combinación de experiencia pasada con molinos pilotos y de gran escala y resultados de molinos pequeños de laboratorio. Como se discutió en el capítulo 1, la descripción de un molino contínuo de gran escala debe incluir su distribución de tiempos de residencia. Por el contrario, las pruebas de molienda discontinua en un molino de laboratorio pueden ser enfocadas directamente hacia los factores que afectan la ruptura, sin los efectos complicadores de transferencia de masa. A esto se agrega que es posible examinar cuantitativamente la influencia de cada factor que influye en la ruptura, porque los experimentos son más fáciles y rápidos de efectuar en escala de laboratorio y pueden ser controlados más precisamente. Sin embargo, no existe una garantía a priori que los resultados de un molino a pequeña escala serán idénticos o similares a aquellos efectuados en un molino grande. La correspondencia entre la escala de laboratorio y la piloto o la gran escala debe ser probada experimentalmente. No existe duda de que hay algún grado de correlación entre los resultados de laboratorio y los resultados a gran escala, de otra manera la utilización de pruebas de moliendabilidad en laboratorios, para estimar el tamaño requerido de molinos en gran escala, no daría respuestas correctas. Los métodos de dimensionamiento se han basado principalmente en igualar los resultados de laboratorio, bajo condiciones estandarizadas, con los resultados en escala industrial o con pruebas pilotos en molinos continuos relativamente grandes. Sin embargo, la aplicación de los resultados de pequeña escala a molinos de gran escala puede ser efectuada correctamente solamente vía el detallado método de balance de masa por tamaños, para tomar en consideración todas las diferencias entre las pruebas de laboratorio y la operación a escala completa. Sólo recientemente ha quedado disponible toda la información para hacer esto. Los capítulos siguientes presentan información de pruebas de laboratorio que sin duda alguna corresponden cualitativamente con resultados a gran escala. Se cree que en muchos casos las ecuaciones que se ha desarrollado basadas en pruebas de laboratorio pueden ser cuantitativamente extendidas a molinos de gran tamaño.
83
5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS Es instructivo volver a describir el modo de operación de un molino rotatorio de bolas. Si se concentra la observación en el comportamiento de fractura, la operación del molino es la siguiente. La rotación lleva bolas y polvo alrededor del molino como se ilustra en la Figura 5.1. Cuando las bolas caen en tumbos en el molino golpean polvo atrapado entre otras bolas. Por otra parte, el movimiento general de las bolas en el lecho frotará partículas entre ellas. Crabtree et al. [5.1] distinguen varios diferentes tipos de fractura que pueden suceder. En primer lugar, el impacto masivo produce desintegración completa de una partícula (fractura); Schönert [5.2] ha fotografiado la fragmentación que ocurre y la violencia con la cual las partículas son arrojadas de la región de fractura. En segundo lugar, un golpe de refilón puede astillar una esquina (astillamiento); este mecanismo redondea rocas irregulares a piedras aproximadamente esféricas en la molienda autógena. En tercer lugar, la fricción produce desgaste de las superficies (abrasión); nuevamente en molienda autógena las piedras más o menos esféricas, formadas por astillamiento, se desgastan hasta formar piedras suaves como las piedras de ríos. El astillamiento y la abrasión conducirán a la producción de material fino. Su efecto combinado se denomina atrición. En cualquier molino rotatorio de bolas, bajo condiciones normales, todos estos mecanismos de reducción de tamaño estarán operando. Los valores mensurables de la velocidad específica de ruptura son el efecto neto de la suma de estos mecanismos. Los valores medidos de la distribución de la progenie primaria serán el promedio total de los
Figura 5.1 : Ilustración del movimiento en un molino de bolas a una velocidad normal de operación.
84
fragmentos producidos por cada mecanismo. Debido a la extensa variedad de tipos de impacto presentes en este tipo de molino, cargado con pesadas bolas de acero, es aún posible que los mecanismos se traslapen formando una acción continua de ruptura. Si éste continuo cambia de un mecanismo hacia otro, cuando las condiciones en el molino cambian, se puede esperar que los valores de B cambien, ya que las distribuciones de fragmentos primarios producidas por cada uno de los tres mecanismos son diferentes. A una velocidad de rotación baja, las bolas presentan una acción de volteo relativamente suave y en efecto, existe una tendencia de la masa de bolas a ser levantada por la acción de rotación de las paredes del molino y a deslizarse hacia atrás como una masa compacta. A medida que se aumenta la velocidad, la acción de volteo aumenta y el lecho aparece como una superficie inclinada de la cual están emergiendo bolas rodando hacia abajo y reentrando en la superficie. El lecho de bolas se expande permitiendo a las partículas o a la pulpa penetrar entre las bolas. La serie de colisiones con otras bolas, mientras una bola da tumbos, es el método principal de transferir esfuerzos a las partículas. El lecho está en un estado de cascada. A una velocidad de rotación más alta una cantidad mayor de las bolas son lanzadas de la superficie a lo alto del molino, formando una catarata de bolas. La fracción de velocidad crítica a la cual estos procesos ocurren depende de las condiciones de llenado y del tipo de barras levantadoras (lainas)[5.3]. Las barras levantadoras pueden llevar una fracción de las bolas hacia la formación de catarata, mientras que lainas de ondas o barras levantadoras dentadas requieren velocidades de rotación más elevadas para dar el mismo grado de catarata. El desgaste de las barras levantadoras puede cambiar el desempeño del molino con el tiempo. La potencia requerida para mover el molino pasa a través de un máximo cuando la velocidad de rotación aumenta, correspondiendo a un máximo en la velocidad de elevamiento de las bolas y en el promedio de la altura de elevación. Para el caso de ruptura de partículas de tamaño normal, tales que al no ser demasiado grandes son completamente fracturadas, parece que el número mayor de impactos de bola-polvo-bola causados por el rodar en cascada es lo óptimo para la ruptura. Por consiguiente, las velocidades máximas de fractura se obtienen aproximadamente a la velocidad de máximo consumo de potencia, normalmente cerca de un 75% de la velocidad crítica, dependiendo de la carga de bolas y del tipo de barras levantadoras.
5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LAS PARTICULAS La Figura 5.2 muestra un resultado típico de la variación de la velocidad específica de fractura con el tamaño de partícula xi(tamaño superior del intervalo i), para una carga de bolas de un solo tamaño d. Para las partículas menores: Si = a xαi
, xi << d
(5.1)
La teoría de fractura sugiere que las partículas más pequeñas son relativamente más fuertes porque contienen menos fallas de Griffith. Por añadidura, es más difícil atrapar una determinada masa de partículas pequeñas en un molino en comparación con partículas grandes, de modo que se presenta un efecto geométrico. El hecho de que las velocidades específicas de fractura dependan según una función de potencia del tamaño no ha sido 85
Figura 5.2 : Velocidades específicas de fractura de un mineral de oro de Africa del 4 2 ; molino de 200 mm de Sur como función del tamaño de partícula (intervalos de √ diámetro y bolas de 26 mm de diámetro).
adecuadamente explicado por la teoría, pero ha sido demostrado por muchos experimentos. El valor de α es un número positivo, normalmente en el rango de 0.5 a 1.5, que es característico del material (siempre que las condiciones de la prueba estén en el rango de operación normal, ver más adelante), pero el valor de “a” variará con las condiciones del molino. Las unidades de “a” en la ecuación (5.1) variarán para diferentes valores de α, de manera que para comparar un material con otro, bajo condiciones de prueba estandarizadas, es conveniente utilizar la ecuación (5.1) en la forma: Si = a(xi ⁄ xo)α ,
con xo = 1 mm
(5.1a)
donde a ahora tiene dimensiones de recíproco del tiempo. Para partículas más grandes se encuentra que la desaparición de material desde un monotamaño no es a menudo de primer orden y parece consistir de una velocidad inicial más rápida, seguida de una velocidad más lenta. Algunas de las partículas son demasiado grandes y fuertes para ser atrapadas adecuadamente y fracturadas por las bolas y por lo tanto tienen una velocidad de fractura lenta. Nos referimos a la ruptura de primer orden de los tamaños más pequeños como fractura normal y a la fractura de orden distinto del primero de los tamaños mayores, como la región de fractura anormal. En esta región puede ser definida una velocidad específica efectiva promedio por el tiempo requerido 86
Tabla 5.1a Propiedades de fractura de algunos materiales (D=190 mm, volumen del molino = 5250 cm3 ; diámetro de las bolas d=26 mm). Características de fractura
Velocidad de fractura
Valores de B, tamaños pequeños
Condiciones experimentales
α+
Cuarzo de Carolina del Norte 0.80
minerales Mineral de Cobre 0.95
a+, min− 1, seco
0.60
0.70
0.95
a+, min− 1, húmedo
1.00
1.20
N.D.
µ+, mm
1.90
1.40
1.30
Λ∗
3.70
2.70
2.00
γ+
1.30
0.70
0.65
β∗
5.8
4.3
3.2
Φ
0.55++
0.40++
0.28++
δ
0.00
0.00
0.34
328.0
343.0
338.0
2.7 0.2
2.7 0.2
2.7 0.2
0.72
0.75
0.75
Parámetros
Peso del polvo, g Peso específico Fracción de llenado de bolas Velocidad de operación ϕc
Caliza de Pennsylvania 0.90
+ Valores redondeados al más cercano 0.05 * Valores redondeados al más cercano 0.1 ++ Monotamaño 18× 25 mallas N.D. No determinado
87
(continuación Tabla 5.1a)
Características de fractura
Parámetros
Velocidad de fractura
α+
Valores de B, tamaños pequeños
Condiciones experimentales
Carbones Antracita Kentucky Belle Ayre de So. Nº9 Shamokin Wyoming 0.75 0.80 0.80
Lower Freeport
0.80
1.05
a+, min− 1, seco
0.95
1.60
1.80
1.40
2.50
a+, min− 1,húmedo
0.95
2.00
2.20
2.00
4.70
µ+, mm
1.80
3.60
3.70
2.40
3.40
Λt
3
3
3
3
3
γ+
1.00
0.90
0.90
0.95
0.80
β∗
3.1
2.8
2.8
3.5
2.3
Φ+
0.40
0.40
0.40
0.50
0.50
δ
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
120.0
120.0
120.0
120.0
120.0
1.45
1.40
1.30
1.60
1.60
0.20 0.72
0.20 0.72
0.20 0.72
0.20 0.72
0.20 0.72
35
55
58
65
88
Peso del polvo, g Peso específico+ J
ϕc
Indice de moliendabilidad de Hardgrove
+ Valores redondeados al más cercano 0.05 * Valores redondeados al más cercano 0.1 t Un valor de Λ =3 es una aproximación suficiente para carbones.
88
Nº9
Ohio
(Continuación Tabla 5.1a)
Cementos Clinker Clinker M P
Características de fractura
Parámetros
Clinker L
Velocidad de fractura
α+
0.90
0.90
1.10
0.95
Slag Clinker P 1.60
a+, min− 1, seco
0.80
0.85
1.20
0.80
1.68
a+, min− 1,húmedo
N.D
N.D
N.D
N.D
N.D
µ, mm
1.75
1.70
1.75
2.05
1.50
Λ+
2.50
4.05
3.35
3.60
4.20
γ+
0.75
0.90
0.85
0.80
1.25
β∗
4.0
4.0
4.0
3.3
4.3
Φ
0.34**
0.51**
0.34**
0.28**
0.58**
δ
0.23
0.20
0.25
0.22
0.00
Peso del polvo, g
300.0
300.0
300.0
300.0
300.0
Peso específico* J
3.2 0.20 0.80
3.2 0.20 0.80
3.2 0.20 0.80
3.2 0.20 0.72
3.2 0.20 0.80
Valores de B, tamaños pequeños
Condiciones experimentales
ϕc
Clinker S
+ Valores redondeados al más cercano 0.05 * Valores redondeados al más cercano 0.1 ** Monotamaño de 16x20 mallas
89
Tabla 5.1b Parámetros de fractura para minerales
Diámetro del molino, mm Largo del molino, mm Diámetro de bolas d, mm Velocidad del molino, % de velocidad crítica Llenado de bolas, % (basado en una porosidad de 0.4) Densidad del mineral, kg/m3 % de sólidos en peso Peso total de sólidos, kg Llenado intersticial, U (basado en una porosidad de 0.4) aT, min− 1 α γ Φ β δ Λ µ, mm
Galena 200 175 25 89 20
Cobre (Andina) 612 317 25; 38; 50; 64; 76 75 30
7.50x103 45 0.90 0.45
2.70x103 60 13.1 0.75
1.26
29.7/(d mm)
0.87
0.93
0.84
0.51
0.68
0.32
3.00
4.50
0.00
0.00 3.00 0.032x(d mm)1.2
para fracturar 95% del material. Este valor también se muestra en la Figura 5.2. Se puede observar que las velocidades específicas de fractura promedio de los tamaños más grandes empiezan a disminuir, de modo tal que Si pasa por un máximo a un determinado tamaño, xm. La presencia de un máximo es bastante lógica porque las colpas mayores serán obviamente demasiado fuertes para ser fracturadas en el molino. La presencia de fractura anormal en una determinada situación de molienda representa una ineficiencia directa: las partículas son demasiado grandes para que la energía de las bolas en movimiento sea utilizada eficientemente para causar fractura. Para tomar en cuenta las velocidades de fractura promedio más lentas de los tamaños mayores deben ser introducidos factores de corrección Qi en la ecuación (5.1): Si = a(xi ⁄ xo)α Qi
(5.2)
donde Qi es igual a 1 para los tamaños menores y se hace más pequeño para tamaños mayores. Los valores de Qi determinados experimentalmente pueden ser ajustados mediante la función empírica: 90
Qi =
1 1 + (xi ⁄ µ)Λ
(5.3)
donde µ es el tamaño de partículas para el cual el factor de corrección es 0.5 y Λ es un número positivo que indica la rapidez de caída de la velocidad de la fractura con el aumento de tamaño; mientras mayor es el valor de Λ más rápidamente decrecen los valores. Λ parece ser principalmente una característica del material, pero µ variará con las condiciones de operación del molino. La Tabla 5.1 da valores característicos de a y Λ para un número de diferentes materiales medidos bajo condiciones estandarizadas. Parece probable que las barras levantadoras que proporcionan más acción de catarata a la carga de bolas aumenten las velocidades de fractura de tamaños mayores, debido a las fuerzas de impacto más grandes producidas por la acción de catarata. Por consiguiente, se espera que µ sea superior para este tipo de barra elevadora a una velocidad de rotación determinada. Similarmente, velocidades de rotación superiores tendrían el mismo efecto por la misma razón. Sin embargo, no hay disponibles hasta la fecha relaciones cuantitativas para tal efecto. Los valores del tamaño xm para los cuales S es máximo varía de algún modo de un material a otro, siendo mayor para sólidos débiles que fracturan más rápidamente. xm está relacionado con µ debido a que ambos dependen de en qué lugar empieza a inclinarse la curva S versus x. Insertando la ecuación (5.3) en (5.2), diferenciando y haciendo dS/dx = 0 para x=xm resulta : 1
⁄Λ
Λ − α µ= xm , α
con Λ > α
(5.4)
La distribución de fragmentos de la progenie primaria para la región de fractura normal tiene la forma que se muestra en la Figura 5.4 donde los valores son mostrados gráficamente en la forma acumulativa Bij versus tamaño de fracción del tamaño de fractura xi ⁄ xj . Tres importantes aspectos deben ser notados. En primer lugar, estos valores de B no parecen ser sensitivos a condiciones de molienda tales como carga del polvo, carga de bolas, diámetro del molino, etc. No existe una explicación satisfactoria de este hecho, pero él ha sido verificado experimentalmente en muchas pruebas. El resultado sugiere que el promedio de la acción de fractura efectuada por una colisión de bola con bola es la misma para diferentes diámetros del molino, lo que implica a su vez, que la acción de cascada es la principal. Una bola cayendo en cascada en un molino de gran diámetro cae desde lo alto con una serie de impactos menores de la misma magnitud que en un molino de diámetro menor. Por el contrario una bola cayendo en catarata tendrá una fuerza de impacto superior en un molino de diámetro más grande. La fuerza de fricción entre bolas, cuando éstas se elevan en el lecho, se espera produzca atrición. En segundo lugar, para algunos materiales las curvas de Bij caen una encima de otra para todos los valores de j. A este caso se le denomina B normalizado y significa que todas las partículas que se fracturan presentan una distribución de ruptura con
91
Figura 5.3 : Distribución acumulativa de los fragmentos de la progenie a partir de partículas de cuarzo de 20x30 mallas normalizadas US, bajo varias condiciones de molienda (D = 195 mm, d = 26 mm, ϕc = 0.7 ).
similaridad dimensional, esto es, la fracción de peso de producto menor que, por ejemplo, la mitad del tamaño de fractura es constante. En tercer lugar, los valores de Bij pueden ser ajustados por una función empírica constituida por la suma de dos líneas rectas en un papel log-log, esto es: γ
β
xi − 1 xi − 1 Bij = Φj + ( 1 − Φj) x j xj
,
0 ≤ Φj ≤ 1 , i > j
(5.5)
donde Φj y β se definen en la Figura 5.3 y son características del material. La función en la ecuación (5.5) es la función de distribución de fractura primaria. Si los valores Bij no son normalizables el grado de no-normalización puede a menudo ser caracterizado por un parámetro adicional δ (ver ecuación 6.5). Los valores de γ se encuentran entre 0.5 y 1.5 y β está típicamente entre 2.5 y 5 (ver Tabla 5.1). Broadbent y Callcott [5.4] utilizaron una ecuación que daba los mismos valores de Bij para todos los materiales, pero nosotros no encontramos que esto pueda ser 92
Figura 5.4 : Variación típica de la distribución de fractura primaria para partículas grandes (D=0.6 m, d=26.4 mm).
aplicable. En particular, la distribución granulométrica del producto de un molino es sensitiva al valor de γ . Las distribuciones de fragmentos de la progenie para partículas de gran tamaño esto es, hacia la derecha del máximo de S en la Figura 5.3, tendrán a menudo diferentes valores de B. Esto es debido probablemente a que la acción promedio de fractura en esta región contiene componentes mayores de astillamiento y abrasión, los que conducen a mayores valores relativos de material muy fino y muy grueso. Por lo tanto, la forma de la distribución tiende a ser diferente, con una meseta en la región de tamaño medio, como se muestra en la Figura 5.4.
5.4 VELOCIDAD DE ROTACION En la Figura 5.5 se muestran las variaciones típicas de la potencia neta que se requiere para girar un molino como función de la velocidad de rotación. Las velocidades específicas de fractura normal varían con la velocidad de rotación de la misma manera. Sin embargo, el máximo en la potencia sucede a diferentes fracciones de velocidad crítica para diversos molinos, dependiendo del diámetro del molino, del tipo de barras elevadoras, de la razón de diámetros de bola a molino y de las condiciones de llenado de bolas y polvo. El máximo se encuentra usualmente en el rango de 70 a 85% de la velocidad crítica, con 70 a 75% siendo el rango usual para molinos de diámetro grande con una carga completa de bolas (J = 0.4).
93
Figura 5.5 : Variación típica de la potencia neta con la velocidad de rotación, para un molino de laboratorio provisto de barras levantadoras (D=0.6 m, L=0.3 m, J=0.35, d=25.4 mm) y un molino piloto (D=0.82 m, L=1.5 m, J=0.35 y mezcla de bolas).
Dentro del rango de velocidades cercano al máximo consumo de potencia hay sólo pequeños cambios en las velocidades específicas de fractura normal con la velocidad rotacional. Los resultados de pruebas descritas en las secciones anteriores y posteriores a ésta se obtuvieron con velocidades de molienda dentro de este rango. No existen variaciones significativas en los valores de B con la velocidad de rotación dentro de este rango. Un ajuste empírico de los datos proporciona la siguiente expresión aproximada para la potencia de molienda: 1 , mp ∝ (ϕc − 0.1) 1 [15.7( ] + exp − 0.94) ϕ c 94
0.4 < ϕc < 0.9
(5.6)
Esta ecuación puede ser utilizada para dar una corrección aproximada de los valores S desde una velocidad rotacional a otra: 1 Si ∝ (ϕc − 0.1) 1 + exp[15.7( ϕ c − 0.94)]
,
0.4 < ϕc < 0.9
(5.6a)
5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO Si se efectúa pruebas de molienda con una masa constante W de polvo retenida en el molino o con una fracción de volumen de llenado fc, los valores de la velocidad específica de fractura son un índice directo de la habilidad del molino para fracturar el material. Sin embargo, si las pruebas se comparan en condiciones en que fc es una variable, es necesario incluir la cantidad de material sobre la que se actúa. Por consiguiente, es más informativo en estos casos comparar las velocidades de fractura absolutas, definidas por SiW o por Sifc. Este término tiene el significado físico de masa de polvo fracturado, por unidad de tiempo y por unidad de volumen del molino, si todo el polvo fuese de tamaño i. Se ha demostrado que para una determinada carga de bolas J, es tan indeseable llenar poco como sobrellenar el molino con polvo. A bajo llenado de polvo la mayor parte de la energía de las bolas se consume en el contacto de acero con acero produciendo valores de Sfc bajos. La potencia de molienda es aproximadamente la misma, tanto para un llenado de polvo bajo como para uno normal, de tal modo que un valor de Sfc bajo resulta en una baja eficiencia energética, ya que bajos valores de mp /SW producen ineficiencia directa. Por añadidura, los valores de α resultan menores que lo normal, lo que tiene el efecto de moler el material fino más rápido proporcionando una sobre molienda de finos. La carga relativa de polvo-bolas queda definida por U = fc / 0.4J obteniéndose valores de este parámetro mayores a 0.2 ó 0.3 para valores normales de α y de las distribuciones de fragmentos de la progenie primaria. Por otra parte, un llenado alto de polvo parece amortiguar la acción de fractura y Sfc resulta nuevamente menor que lo normal. Esto también da origen a velocidades de fractura diferentes al primer orden, con la velocidad disminuyendo a medida que los finos se acumulan en el lecho. La Figura 5.6 muestra la variación de la velocidad absoluta de fractura como una función de J y fc, en el área de ruptura normal para una molienda seca de cuarzo en un molino de laboratorio equipado con barras elevadoras pequeñas. La forma general de la curva de velocidad de fractura versus el llenado de polvo, a una predeterminada carga de bolas, se explica como sigue. Un llenado bajo de polvo produce obviamente una velocidad de fractura menor. A medida que la cantidad de polvo es aumentada, los espacios de colisión entre las bolas se llenan y las velocidades de fractura aumentan. Cuando todos los espacios en los que están sucediendo colisiones entre las bolas en movimiento se llenan con polvo las velocidades de fractura llegan a un máximo. Una cantidad adicional de polvo aumenta el material retenido en el molino, pero no produce incremento de fractura porque las zonas de colisión están ya saturadas y el polvo adicional entra sólo como un depósito en el molino obteniéndose una meseta de velocidades de fractura casi constante. Eventualmente el sobre llenado de polvo conduce a una amortiguación de las colisiones debido a un acolchonamiento producido por el
95
bajo α
no es de primer orden
Figura 5.6 : Variación de la velocidad absoluta de fractura relativa con el llenado de bolas y polvo, para la molienda seca en un molino de laboratorio.
polvo; el lecho de bolas y polvo se expande produciendo un mal contacto bola-bola-polvo y resultando en una disminución de las velocidades de fractura. Los resultados de varios investigadores que utilizaron molinos pequeños con una carga fija de bolas fueron resumidos por Shoji et al. [5.6]. Un trabajo posterior [5.7] demostró que se podría utilizar una expresión más simple en la región normal de llenado, incorporándose también la variación con la carga de bolas: a ∝
1 exp[−cU] 1 + 6.6J 2.3
, 0.5 < U < 1.5, 0.2 < J < 0.6
(5.7)
donde c es 1.20 para la molienda seca. El valor para molienda húmeda depende de las condiciones reológicas de la suspensión: se ha encontrado valores entre 1 y 1.3 para densidades de suspensión normales. La representación gráfica de la ecuación (5.7) se muestra en la Figura 5.6. Si se diferencia Sfc con respecto a U y se lo hace cero, se demuestra que las velocidades absolutas de fractura máximas se producen a un valor de Um=1/c. Se concluye que el rango 0.6 ≤ U ≤ 1.1 es la condición óptima de llenado para obtener velocidades máximas de fractura, a cualquier carga de bolas. Sin embargo, los molinos operan normalmente cercanos al punto más elevado de este rango para evitar el 96
Figura 5.7 : Energía específica, relativa de molienda como función del llenado de bolas: molienda seca en un molino de laboratorio.
desgaste excesivo de las bolas producido por un llenado más reducido de polvo. La capacidad máxima de molienda se obtiene a llenado de bolas de 40 a 45% (para molinos pequeños). El efecto de acolchonamiento se puede cuantificar en forma aislada si se lo define como la reducción de la fractura más allá de Um, de tal manera que no se considera efecto de acolchonamiento hasta la velocidad de fractura absoluta máxima. El factor de reducción de la velocidad de fractura más allá del llenado óptimo de U es entonces el factor de sobrellenado:
Ko =
(U
1 ⁄ Um )exp( − [(U ⁄ Um ) − 1])
, U ≤ Um
(5.8)
, U ≥ Um
Por ejemplo, con Um = 1, el factor es 0.91 para U = 1.5 y 0.74 para U = 2.0. La potencia neta del molino como función de la carga de bolas se ajusta a la función empírica: mp ∝
1 − 0.937J 1 + 5.95J 5
, 0.2 ≤ J ≤ 0.6
(5.9)
97
Tabla 5.2 Parámetros de B como función del diámetro de bolas: molienda seca de cuarzo β = 5.8. Tamaño de bola d, mm
Tamaño de bola d, pulgadas 3/4 7/8 1 1 1/4 1 1/2 1 3/4 2 2 1/2
19 22 25 32 38 44 51 64
γ
γ ⁄ γ(25 mm)
Φ
Φ ⁄ Φ(25mm)
1.10 1.09 1.08 1.05 1.00 0.95 0.88 0.78
1.02 1.01 1.00 0.97 0.93 0.88 0.81 0.72
0.51 0.58 0.63 0.68 0.69 0.70 0.70 0.70
0.81 0.92 1.00 1.08 1.10 1.11 1.11 1.11
Si se combinan las ecuaciones (5.7) y (5.9) se obtiene los resultados que se muestran en la Figura 5.7. Aun cuando la capacidad de un molino de bolas de laboratorio presenta un máximo a cargas entre un 40 y 45%, la energía específica relativa de molienda mp /SW es mínima alrededor de 15 a 20% de carga. En la práctica, cargas de bolas menores de 25% no son normalmente utilizadas porque pueden producir excesivo desgaste de las barras elevadoras. Por añadidura, la capacidad de molienda es claramente inferior para cargas menores.
5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS Si se considera una unidad representativa de volumen de molino, la velocidad de contactos bola-bola por unidad de tiempo aumenta con una disminución del diámetro de las bolas, porque el número de éstas en el molino aumenta con 1/d 3. Entonces, las velocidades de ruptura en el rango normal son mayores para diámetros de bolas menores. La Figura 5.8 muestra el efecto del diámetro de bolas en un molino de dos pies de diámetro [5.8], que puede ser representado por:
1 1 a ∝ N ∗ d 1 (d d ⁄ + ) 0
, d∗ ≈ 2 mm , d ≥ 10 mm
(5.10)
donde a es el factor pre-exponencial en la ecuación (5.1) que depende de las condiciones del molino, y d es el diámetro de la bola. El segundo término en el miembro derecho de la ecuación (5.10) es una corrección para tomar en cuenta la curvatura de la curva para diámetros de bolas más pequeños. El valor del exponente N0 se conoce en forma precisa [5.9] y se ha informado entre 0.6 y 1.0. Pruebas utilizando el mismo rango de diámetro de bolas en un molino de 200 mm de diámetro no dieron un efecto del diámetro de la bola, esto es, N0=0. Por añadidura, parece que los valores de B también cambian en una forma sistemática, por lo menos para ciertos materiales. Por ejemplo, el mejor y más reciente 98
cálculo de la variación de los parámetros B para cuarzo se presenta en la Tabla 5.2 y Figura 5.9. Parece que una bola más grande produce, de algún modo, una mayor proporción de finos, esto es, un γ menor y un Φ mayor. Por lo tanto, la menor velocidad de fractura específica debido a bolas más grandes se compensa parcialmente por una producción más elevada de fragmentos finos. Si los valores de B cambian con el diámetro de la bola, un __ modelo de simulación adecuado requiere la utilización de un promedio apropiado Bij de los valores de B. Considere una mezcla de bolas con fracciones en masa m1 del tamaño 1, __ m2 del tamaño 2, etc., se supone que la velocidad de ruptura para la mezcla de bolas Sj es una simple suma de las velocidades de ruptura Sjk con cada tamaño de bola dk ponderado con su fracción en masa mk: _ Sj =
∑ mk Sj,k k
Figura 5.8 : Variación de la velocidad específica de molienda en un molino de bolas para la molienda seca de cuarzo (D = 0.6m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).
99
__ Bi,j =
∑ (mk Sj,k Bi,j,k) ⁄ ∑ (mk Sj,k) k
(5.11)
k
La Tabla 5.2 y la Figura 5.10 muestran los valores de B de una molienda discontinua de cuarzo con una mezcla de bolas de diferentes tamaños, comparados con los valores de molienda con bolas de un diámetro de 26 mm ó 50 mm. Como se espera, los valores están entre aquellos de los tamaños extremos; la serie de distribuciones granulométricas a diversos tiempos de molienda también mostró pendientes de Schuhmann entre aquellas que se obtuvieron con bolas de diámetro de 26 mm y 50 mm. Esto sugiere que los valores __ promedio Bij quizás puedan ser con la forma usual de la ecuación (5.5) con _ _ajustados _ _ valores efectivos que incluyen γ, Φ y β. Esto se demuestra en la Sección 8.4. Por ejemplo, para una mezcla _ balanceada de Bond con un tamaño máximo de_51 _ mm (2 pulgadas), el valor global γ es 0.91 veces el valor γ para bolas de 25.4 mm y Φ es 1.06 veces Φ para bolas de 25.4 mm, para los datos indicados. Es obvio que no es deseable alimentar un molino con partículas de tamaños muy grandes, debido a que los valores de Si para estos tamaños estarán a la derecha del máximo
Figura 5.9 : Variación de los parámetros de B con el tamaño de las bolas para la molienda seca de cuarzo (D = 0.6 m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).
100
Figura 5.10 : Valores experimentales de B para la fractura de cuarzo en un molino con mezcla de bolas: 40% de 50.8 mm, 45% de 38.1mm y 15% de 25.4 mm (40% de sólidos en volumen, D = 0.6 m; ϕc = 0.7).
que se muestra en la Figura 5.2, produciendo bajas velocidades de fractura. Se sabe desde hace mucho tiempo que bolas de gran tamaño fracturan las partículas grandes más eficientemente. En términos de las velocidades específicas de fractura, este concepto puede ser cuantificado mediante la ecuación empírica: xm ∝ d N3
(5.12)
donde xm es nuevamente el tamaño al cual ocurre el valor máximo de S (para un determinado conjunto de condiciones) y d es el diámetro de la bola. La ecuación (5.12) enuncia que la posición del máximo en S se mueve hacia tamaños de partículas mayores cuando el diámetro de la bola se aumenta o dicho de otra manera, cuando el diámetro de la bola se aumenta el molino puede fracturar eficientemente una alimentación que contiene tamaños de partículas más grandes. El valor de N3 no es fácil de obtener experimentalmente debido a la interferencia producida por la ruptura de orden distinto del primero en la región de ruptura anormal. Sin embargo, pruebas recientes [5.10] sugieren 101
que N3=1.0 para materiales frágiles duros, y no un valor de N3=2 como fue utilizado previamente por Austin, Klimpel y Luckie. Como un ejemplo, consideraremos los resultados obtenidos en una serie de ensayos de molienda húmeda de mineral de cobre de Andina de Codelco Chile [5.11], como se muestra en la Tabla 5.1b. Se usaron monotamaños de bolas de 1, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0 pulgadas y monotamaños de partículas de 40x60, 16x20 mallas y 1/4"x3/8". Tomando en cuenta los límites de reproducibilidad y el hecho que se produce fractura de orden distinto del primero para la molienda húmeda, especialmente de partículas de gran tamaño con bolas pequeñas, se llegó a las siguientes conclusiones: •
el valor de a ∝ 1 ⁄ d, esto es, No=1.0
•
los valores de B en la región de fractura normal no cambian en forma significativa con el tamaño de las bolas
•
el valor de Λ resultó constante, Λ =3
•
el valor de µ ∝d1.2, esto es, N3=1.2
Los valores de "a" y xm dependen del material y condiciones de molienda. Sin embargo, el valor de α no parece variar con el diámetro de la bola en la región de fractura normal. El valor de "a" muestra una gran variación desde materiales blandos (débiles) a duros (fuertes), pero el rango de variación de xm es relativamente estrecho: xm depende
Figura 5.11 : Variación pronosticada de los valores de S con el tamaño de bolas para la molienda húmeda de un mineral de cobre (J =0.3, U = 0.75, ϕc = 0.7, D = 0.6 m).
102
no sólo de la resistencia de las partículas grandes sino que también de la geometría del atrapamiento de partículas entre bolas, que es un factor que no cambia mucho con el tipo de material. Si se combinan las ecuaciones (5.2), (5.3), (5.4), (5.10) y (5.12) se obtiene el resultado típico que se muestra en la Figura 5.11, en que se hizo N0=1 y N3 =1.2 y en que los valores de Si corresponden al valor superior del intervalo i. Las curvas representan la mejor descripción de las constantes cinéticas de primer orden. El efecto total de una mezcla de bolas de diversos tamaños, en la región de ruptura normal es nuevamente la suma ponderada:
_ Si =
∑ Sik mk
(5.13)
k
donde mk es la fracción en masa de bolas en el intervalo de tamaño denotado por k y Sik es la velocidad de ruptura específica de las partículas de tamaño xi con bolas de tamaño dk. Si el tamaño de alimentación es suficientemente pequeño como para que la ecuación (5.1) sea válida para las bolas de todos los tamaños en el molino:
_ Si ∝ xαi
mk
(5.13a)
∑ (d
N0 ) k
k
_ y el molino se comporta como si tuviera un tamaño de bola único promedio d definido por: _ 1 Si ∝ _ N xαi = xαi d 0
mk N k
∑ d k
0
Si N0=1, _ 1⁄ d =
m
∑ dkk
(5.13b)
k
Nótese que éste es un diámetro de bola promedio volumétrico superficial (de área específica), esto es, el diámetro de bola que proporciona una área específica igual al promedio del área específica de la mezcla de bolas. La Figura 5.8 muestra el valor de S determinado para una mezcla de 50% de bolas de 27 mm y 50% de bolas de 50 mm. El resultado cae en la línea de un tamaño de bola de 36 mm. La ecuación (5.13b) da _ 1/ d=(0.5/27)+(0.6/50)=35 mm para N0=1. Esto demuestra la aditividad simple en la región de fractura normal. Sin embargo, no es posible definir un tamaño promedio de bola para las condiciones en que la ecuación (5.2) es aplicable, porque ningún tamaño único de bola puede duplicar la acción de fractura de una mezcla de bolas sobre las partículas de tamaño grande. Un método para evitar las incertidumbres en cuanto al efecto del tamaño de las bolas sobre los parámetros de ruptura y a la aditividad de las mezclas de bolas, es determinar los parámetros S y B en un molino conteniendo exactamente la distribución de bolas que se usará en la práctica. Esto no se puede realizar en un molino demasiado 103
pequeño y recomendamos que los ensayos discontinuos se hagan en un molino de por lo menos 0.6 m de diámetro, si las bolas a usar son de 60 mm de diámetro como máximo. La potencia del molino no varía mucho con el tamaño de las bolas (con bolas mayores a 19 mm), de modo que una mala elección del tamaño de bola conduce a un bajo valor de Si dando una ineficiencia directa , bajando el parámetro SiW/mp y aumentando la energía específica de molienda. Sin embargo, y debido al desgaste de bolas, en la práctica es necesario recargar bolas grandes para establecer una carga balanceada apropiada (ver sección 8.3). Además, una carga de bolas demasiado pequeñas produce deslizamiento de la carga y por lo tanto una caída en el consumo de potencia y un excesivo consumo de acero. La selección óptima de tamaño de las bolas depende claramente de la distribución granulométrica de la alimentación y del producto deseado y del balance entre el costo de la energía y del acero (ver sección 8.7). Rose y Sullivan [5.12] demostraron que la dureza de las bolas no afecta la capacidad del molino, siempre que ellas estén por sobre una dureza razonable. Von Seebach [5.13] hizo experiencias en seco con bolas de acero huecas, demostrando que el efecto de la densidad de las bolas sobre la velocidad específica es lineal: Si ∝ a ∝ ρb
(5.14)
donde ρb es la densidad de la bola. Se debe notar que la potencia también es proporcional a ρb, de manera tal que un molino operando con medios de molienda livianos tendrá baja capacidad y bajo consumo de potencia dando, por lo tanto, un consumo de energía específica de molienda comparable a uno trabajando con bolas de alta densidad. Sin embargo, ensayos en molinos de 0.6 m de diámetro dieron una razón de Si de 1.75 entre bolas de una aleación de acero ( ρb=7.8x103 kg/m3) y bolas de cerámica( ρb=3.7x103 kg/m3), que es menor que la razón de densidad de 2.1, aunque la potencia sí varió en proporción a 2.1. Esto sugiere que es mejor determinar los valores de Si para las bolas del material que se utilizará en la práctica, en vez de usar la ecuación(5.14), especialmente en la molienda húmeda.
5.7 DIAMETRO DEL MOLINO Se han realizado muy pocas medidas directas de los valores de S y B en molinos de gran diámetro y el recálculo de los valores de S y B desde datos de molinos continuos de gran tamaño está sujeto a grandes errores (ver capítulo 6). Por lo tanto, es necesario extrapolar resultados de molinos menores y también inferir resultados de la variación de la capacidad de un molino industrial en relación al diámetro de éste. Austin[5.14] y Malghan y Fuerstenau[5.15] han demostrado que los valores de Bij son a menudo los mismos para un determinado material en molinos de 0.15 m a 0.60 m (2 pies) de diámetro y que el exponente es el mismo. Bajo condiciones idénticas de llenado la velocidad específica de fractura aumenta en razón a DN donde N1 es cercano a 0.5 (ver Figura 5.12) por lo tanto: 1
Si ∝ a ∝ DN
1
104
(5.15)
Figura 5.12 : Variación de los valores de Si con el diámetro del molino (fractura normal, d = 25 mm).
Como en la sección 5.3, este resultado sugiere [5.14] que es la acción de cascada la que produce la acción normal de ruptura en el molino. Un valor de Si corresponde a una fracción quebrada por unidad de tiempo y, por lo tanto, representa la fractura por unidad de volumen del molino. El número promedio de bolas que suben y voltean por revolución del molino y por unidad de volumen es constante independiente del diámetro del molino, pero el número promedio de impactos que una bola efectúa cuando cae en cascada en la carga del molino es proporcional a D. Sin embargo, a una determinada fracción de velocidad crítica el número de revoluciones del molino por unidad de tiempo es proporcional a 1/√ D . Si se combinan estos factores y se supone que cada impacto contribuye a la fractura, resulta Si ∝ D ⁄ √ D , esto es, Si ∝ D0.5. Si se supone que los valores de α y Bij permanecen constantes, incluso para molinos grandes, la capacidad del molino como función del tamaño del molino (para ir desde la misma alimentación hasta el mismo producto baja las mismas condiciones de carga) sería: Q ∝
π LD 2 + N1 4
o en forma adimensional
105
L2 D2 Q2 ⁄ Q1 = L1 D1
2 + N1
donde L es la longitud del molino. Esto también supone que la capacidad del molino por unidad de longitud es constante, esto es, que existe un efecto insignificante de las paredes finales del cilindro. La bien conocida regla empírica para capacidad de un molino es por supuesto: Q ∝
π 2.5 LD 4
Bond [5.16] indica que la capacidad de molinos superiores a D=3.8 metros en diámetro es proporcional a ( π L ⁄ 4 ) (D ⁄ Do)2.3, Do=3.8 m, lo que sugiere que N1 disminuye algo para molinos de diámetros grandes. La capacidad es entonces: 2
L2 D2 Q2 ⁄ Q1 = L1 D1
0.5
Do D1
0.3
D2 Do
D ≥ Do = 3.8 m
La potencia del molino también varía con LD2.5 para molinos pequeños, de modo que la energía específica de molienda se mantiene constante al variar el diámetro del molino, para pruebas en molinos pequeños. Por añadidura, es de esperar que un molino de diámetro mayor desplazará el máximo en S hacia partículas de tamaños mayores, para un determinado diámetro de bola. Hemos utilizado la expresión empírica: xm ∝ µ ∝ DN2
(5.16)
donde N2 es aproximadamente 0.2. Por consiguiente, el tamaño de bola máximo para un determinado tamaño de partícula máximo en la alimentación puede ser reducido para un molino de mayor diámetro. El desgaste y daño de las lainas debido al impacto de las bolas mayores se agrava por el gran diámetro del molino, por esta razón es también conveniente reducir el tamaño y cantidad de las bolas mayores en molinos de gran diámetro.
5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO Es bien conocido que la molienda húmeda en molino de bolas produce capacidades superiores que la molienda en seco, con la condición que la proporción de sólido a agua (densidad de suspensión) no sea tan alta como para que la carga del molino se vuelva espesa y viscosa. Bond [5.16] indica que la capacidad de la molienda húmeda en escala industrial es 1.3 veces aquella para la molienda seca, con todas las otras condiciones semejantes. Austin et al. [5.17] demostraron que los valores de Bij y α eran aproximadamente los mismos para la molienda húmeda o seca en un molino pequeño de laboratorio (al menos para los materiales investigados). Los valores también fueron los mismos para densidades de pulpa diferentes, con la condición que ésta permaneciese fluida. Sin embargo, la razón de los valores de S, esto es, el factor “a” varió de 1.1 a 1.7 entre la molienda seca y la húmeda para diferentes materiales. La razón fue 1.7 para 106
% de sólidos en volumen
Figura 5.13 : Variación de la velocidad específica de fractura del tamaño máximo (cuarzo de 20x30 mallas), con el tiempo para varias densidades de pulpa (D=200 mm, d=25 mm, J=0.3, U=1.0).
cuarzo. Cuando los valores Bij y α no cambian, la capacidad del molino será función directa de estas proporciones. En pruebas de molienda discontinua de laboratorio, lo que se estudia es la acción de fractura y no la transferencia de masa a lo largo del molino y por lo tanto, los resultados muestran que la fractura ocurre más rápidamente en la presencia de agua. Por añadidura, la comparación de molienda húmeda y seca se efectúa en la región de fractura normal de primer orden, donde el efecto desacelerador de las velocidades de fractura no es evidente (ver más adelante). Por consiguiente, el agua no actúa principalmente para prevenir la desaceleración, recubrimiento de las bolas o reaglomeración de los finos. Por otra parte, 107
los aditivos químicos de molienda no cambian las velocidades de fractura hasta que la densidad de pulpa es alta, en cuyo caso operan afectando la fluidez de la masa. Por lo tanto, la influencia del agua parece ser principalmente el permitir una mejor transferencia de la acción mecánica de las bolas en movimiento hacia las partículas lo que conduce a velocidades de fractura más alta, pero no obstante produciendo el mismo tipo de fractura y, en consecuencia, aproximadamente la misma distribución de fragmentos de la progenie primaria. Tangsathitkulchai y Austin [5.18] realizaron un detallado estudio de la molienda húmeda en un molino de laboratorio mediante el análisis de los valores de S y B. Sus resultados para cuarzo molido en agua destilada se puede resumir como sigue: la fractura de un monotamaño de alimentación de 20x30 mallas proporcionó en forma sistemática una fractura de orden diferente del primer orden, como se muestra en la Figura 5.13. La aceleración o desaceleración de la velocidad de fractura del monotamaño fue producida por la acumulación de material fino, ya que ésta pudo también ser obtenida iniciando la prueba con una alimentación de 50% de cuarzo de malla 20x30 más 50% de material fino. Que la cinética de molienda del monotamaño (gráfico de primer orden) muestre aceleración, comportamiento de primer orden o desaceleración depende de la carga de bolas y polvo en el molino además de la densidad de pulpa. El efecto parece deberse a que la reología de la pulpa en el comienzo de la molienda permite que las partículas grandes escurran desde la superficie de las bolas, de manera que las zonas de fractura entre las bolas que ruedan por la superficie libre de los medios de molienda han sido parcialmente lavadas de partículas. A medida que cambia la reología con la acumulación de finos, las zonas de fractura comienzan a cubrirse de pulpa que no escurre tan fácilmente, y por lo tanto la velocidad específica de fractura y la eficiencia de fractura aumentan. Sin embargo, una vez que se ha producido suficiente fractura para dar origen a una distribución de tamaño más natural, y que se ha acumulado suficiente cantidad de finos para dar una reología más normal, la fractura de las partículas más pequeñas puede ser considerada de primer orden, de manera que en todo el rango de interés se puede aproximar una cinética de primer orden. La Figura 5.14 muestra la variación del valor de “a” para esta región normal, más la velocidad neta de producción de material menor de 270 de mallas. Se concluye que existe un pequeño máximo para una densidad de pulpa de 45% de sólidos en volumen que produce las velocidades máximas de fractura. Un pequeño aumento de la densidad de pulpa por sobre 45% produce una disminución rápida de la velocidad de fractura. La Figura 5.15 muestra los valores de B para estas condiciones. Dentro del rango de reproductibilidad experimental, los valores son constantes (y normalizados) para densidad de pulpa normal, pero cambian a un conjunto de valores diferentes (también normalizados) para la densidad de suspensión alta con una producción más alta de finos. La velocidad neta de producción de finos varía con la densidad de suspensión de la misma manera que “a”, pero la semejanza no es exacta debido al cambio en los valores B. La Figura 5.16 muestra las distribuciones granulométricas producidas a densidades de pulpa normales y altas desde una alimentación de monotamaño de cuarzo de 20x30 mallas. La diferencia en inclinación de las curvas de Schuhmann es bastante clara. La figura también muestra que la fractura desacelera para tiempos largos de molienda, porque la distribución
108
Figura 5.14 : Efecto de la densidad de pulpa en la velocidad de fractura del cuarzo (ver figura 5.12).
Figura 5.15 : Variación de B con la densidad de pulpa (ver Figura 5.10); % en volumen 40%, 40%, 45%, 45%, 47%, 50%, Δ 52%, 54%, 56%
109
Figura 5.17 : Variación de la velocidad de fractura con el llenado del molino y con la densidad de pulpa.
Figura 5.16 : Comparación de las distribuciones de tamaño de molienda discontinua de cuarzo de 20x30 mallas a densidad de pulpa normal y alta (D=200 mm; d=26 mm; J=0.3; U=1.0 ; ϕc=0.7)
110
granulométrica experimentalmente determinada no es tan fina como la pronosticada por la simulación de primer orden. Conclusiones esencialmente similares fueron previamente reportadas por Klimpel et al. [5.19-21] basadas en la velocidad de producción de tamaños finos y no en velocidades de fractura. La Figura 5.14 demuestra que la velocidad de producción de tamaños finos (por ejemplo, menores a 270 mallas) varía de la misma manera que las velocidades de fractura. En base a ésto, los resultados de Klimpel[5.21] con respecto al llenado del molino y la densidad de pulpa son presentados en la Figura 5.17, donde los valores han sido ajustados mediante una forma de la ecuación (5.7) Velocidad neta de producción de finos = kUexp [ − cU ]
(5.17a)
Parece que el nivel óptimo de llenado a una determinada densidad de pulpa cambia hacia valores de U más altos cuando la densidad de la suspensión aumenta. El máximo que se observa en la velocidad de fractura como una función de la densidad de suspensión en la Figura 5.14 se explica convencionalmente postulando que las bolas son cubiertas por una suspensión suficientemente gruesa conduciendo a colisiones eficientes de bola-partícula-bola. Sin embargo, Tangsathitkulchai y Austin [5.17] y Katzer et. al.[5.21] encontraron que, a diferencia de la molienda en seco, la potencia neta entregada al molino discontinuo de laboratorio aumenta y disminuye con la densidad de la suspensión en forma muy similar a la variación de las velocidades de fractura, excepto en condiciones extremas de bajo-llenado, sobre-llenado o alta densidad de pulpa. Esto significa que la energía específica de molienda fue casi constante y que los óptimos en el desempeño del molino fueron óptimos de capacidad y no de energía específica. Esto implica que el efecto de la densidad y reología de la suspensión en estas pruebas es cambiar la acción de las bolas en movimiento: la reología óptima de la suspensión causa el mejor elevamiento de las bolas, el máximo consumo de potencia por el molino y, consecuentemente, las velocidades de fractura (que son una consecuencia de la acción de volteo) también más altas. Por lo menos en molinos pequeños de laboratorio el efecto puede ser explicado de la siguiente manera. Para densidades de pulpa bajas, la sedimentación produce una capa de partículas que se mueve junto a las paredes del molino y cuyo efecto es el de disminuir el diámetro efectivo del molino y por lo tanto reducir la potencia. En condiciones óptimas las partículas sedimentan más lentamente y caen de las paredes del molino a medida que son levantadas, por lo que se encuentran mejor dispersas en la pulpa y más homogéneamente distribuidas en el lecho de bolas. Cuando una pulpa espesa se muele a tamaños finos, nuevamente comienza a pegarse en las paredes del molino reduciendo el diámetro de éste. Esta última acción es claramente visible en experiencias discontinuas, como lo es el hecho que las bolas también se pegan en las paredes debido a la densa y viscosa pulpa que allí está adherida.
5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA La Figura 5.16 muestra que la capacidad de las simulaciones de primer orden para predecir las distribuciones granulométricas correctas del producto comienza a fallar para
111
la molienda muy fina. Este efecto de desaceleración se observa tanto en la molienda seca como en la húmeda. El fenómeno se trata como sigue. Como una primera aproximación se supone que la desaceleración de las velocidades específicas de fractura se aplica igualmente a todos los tamaños en la carga del molino. Esto conduce al hecho importante que la forma de la familia de distribuciones granulométricas que produce la molienda discontinua permanece sin cambio en presencia del efecto de desaceleración, pero el tiempo de molienda requerido para llegar a una distribución granulométrica determinada es mayor. El efecto mencionado puede suceder sólo si B permanece constante. Por lo tanto [5.22] : Si′(t) = KSi(0)
(5.17)
donde Si(0) es el conjunto de valores normales de S, ySi′(t) es el valor promedio de Si para el tiempo t. El parámetro K es el factor de reducción (0 ≤ K ≤ 1) que se vuelve menor cuando el porcentaje de finos aumenta. Designando por θ el tiempo equivalente de una molienda de primer orden (el tiempo ficticio) necesario para alcanzar la distribución, w1(t) ⁄ w1(0) = exp[ − S1(0)θ ] = exp[ − KS1(0)t ], y esto es : K = θ⁄t
(5.18)
El valor instantáneo de Si al tiempo t puede ser representado por: Si (t) = κ Si (0)
(5.19)
donde κ es también un factor de reducción 0 ≤ κ ≤ 1, que es una función de la fineza del material en el molino (por lo tanto una función de t); como dw1(t) = − S1(0)w1(t)dθ y dw1(t) = − S1(t)w1(t)dt, κ = dθ ⁄ dt
(5.20)
Conociendo la variación de θ con t se puede determinar κ por diferenciación gráfica. La relación entre K y κ es claramente Kt = ∫0 κdt La Figura 5.18 muestra el resultado de la t
molienda húmeda de cuarzo. La fractura progresa a velocidades normales (κ =1) hasta que la distribución granulométrica alcanza un tamaño del 80% cercano a 150 µm; luego la velocidad cae a un valor menor para distribuciones de aproximadamente 80% menor a 30 µm o más fina, a una densidad de pulpa de 40% de sólidos en volumen. La disminución ocurre a moliendas más gruesas para densidades de suspensión más alta y los valores de κ disminuyen a valores pequeños para densidades de pulpa muy altas. También se ha encontrado [5.22-23] que la molienda seca a tamaños muy finos puede producir una acción desaceleradora del proceso global de molienda. En la Figura 5.18 se muestran los resultados típicos. Esto no parece ser debido principalmente al recubrimiento de las bolas, ya que no se observó recubrimiento con cuarzo. Posiblemente un lecho de partículas cohesivas finas desarrolla propiedades parecidas a las de un líquido de modo tal que las partículas se deslizan de la región de colisión de bola con bola y se 112
Figura 5.18 : Efecto de desaceleración κ como función de la fineza de molienda (20x30 mallas de alimentación) y densidad de pulpa (D = 200 mm, d = 26mm, ϕc = 0.7) : molienda húmeda : (J = 0.3, U = 1.0), A 40% de sólidos en volumen, B 54% de sólidos en volumen, Molienda seca : (J = 0.2, U = 0.5). 1 cuarzo, 2 Carbón de Western Kentucky # 9, Indice de Moliendabilidad de Hardgrove 52. 3 Clinker de cemento. 4 Carbón de Lower Kittanning.
transmite un esfuerzo insuficiente a las partículas individuales para que suceda la fractura. En la figura se ve bastante claro que materiales diferentes muestran este efecto en diferente grado, posiblemente debido a grandes diferencias en las fuerzas cohesivas de los materiales diferentes. Es bien conocido [5.24] que la molienda seca de materiales por largos intervalos de tiempo (varias horas) puede conducir a la peletización y a la soldadura en frío de finos para formar partículas más grandes. Sin embargo, el efecto de desaceleración sucede en tiempos más reducidos y no demuestra la incorporación de material fino (que fue marcado con trazadores) para formar gránulos mayores [5.25].
5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES Las partículas que son mucho mayores que xm, hacia la derecha del máximo en la curva de S versus x, usualmente se fracturan en forma anormal, como se muestra en la Figura 5.19. A diferencia de la fractura normal, la que generalmente produce una velocidad de fractura de primer-orden, la región de fractura anormal produce una velocidad inicial más rápida seguida por una más lenta. Partículas que son débiles o que poseen una forma tal que les permite ser atrapadas en la colisión entre bolas con bolas son fracturadas más rápidamente, mientras que existe una fracción de partículas más
113
fuertes que se fracturan más lentamente y de ahí que persisten, después que las partículas más débiles han sido fracturadas. No es difícil de imaginar que estas partículas más grandes y fuertes se someterán a un continuo astillamiento y redondeamiento mientras esperan la probabilidad de un impacto intenso que las fracture. El 6% del monotamaño inicial que quedó después de ser éste molido hasta una fractura del 94%, se recogió y se volvió a moler en las mismas condiciones del material inicial, ver Figura 5.19, dando una velocidad de fractura mucho más lenta, que continuaba disminuyendo. Si se compara la forma de las partículas de la alimentación inicial con aquellas del material más fuerte que se recogió, se observa un evidente redondeamiento parcial del material más fuerte. La correcta forma de considerar la velocidad de fractura para cualquier tiempo es considerar la suma de las velocidades de fractura de todo el material que queda en ese tiempo, desde una alimentación inicial con una distribución completa de resistencias, cada material de una resistencia determinada rompiéndose de acuerdo a la hipótesis de primer orden: w0 = 1, S = ∞
w0(t) =
∫w = 0, 0
exp( − St) dw0(S)
(5.21)
S=0
donde w0(S) es la fracción acumulativa de material de una velocidad específica de fractura menor o igual a S en el material de la alimentación de tamaño uno. Sin embargo, esta es una función complicada para manejar y es conveniente aproximar el proceso como la suma de un número finito de materiales, por ejemplo, sólo dos componentes, una fractura rápida y una lenta. Se ha encontrado que estas velocidades específicas de fractura también
Figura 5.19 : Velocidad de fractura de cuarzo para tamaño de alimentación inicial 6.3x9.5mm, y final 6% 6.3x9.5mm (D = 200mm).
114
Figura 5.20 : Forma típica para la suma de la velocidad específica de fractura en molienda SAG.
pasan a través de un máximo cuando la carga de polvo aumenta, de modo que la ecuación (5.7) todavía es aplicable para estos tamaños. Mientras más grandes sean las partículas con respecto al diámetro de bola, menores serán las velocidades de fractura específica. Sin embargo, a medida que las partículas llegan al tamaño de la bola, las colpas empezarán a actuar como un medio de molienda y, por lo tanto, a contribuir a la fracción de llenado del medio J. En este punto, el astillamiento será una gran contribución a la acción de fractura. A tamaños aún mayores, la ruptura autógena de las rocas empezará, como en la molienda semi-autógena (ver capítulo 12). Por consiguiente, una descripción más completa de la variación de los valores de Si con el tamaño de la partícula se muestra en la Figura 5.20. La Figura 5.21 ilustra el cambio en los valores de B que se esperan cuando el astillamiento y la abrasión llegan a ser los componentes más importantes de la fractura completa. Por el momento no existe información suficiente para proporcionar ecuaciones de los valores de B en la región de fractura anormal. Como las colpas grandes forman usualmente una proporción pequeña de la alimentación a un molino de bolas, a menudo es suficientemente preciso utilizar los valores normales de B o un vector único de valores promedios de B para todos los tamaños a la derecha del máximo en los valores de S.
5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO La Figura 5.6 y la ecuación (5.7) muestran que las velocidades de fractura disminuyen a medida que el molino es sobrellenado. Medidas recientes de distribuciones de tiempos de residencia en molinos industriales [5.26] han permitido estimar la cantidad de material retenido en el molino. La Tabla 5.3 muestra los resultados como fracciones de llenado del molino con polvo para una porosidad formal de 0.4. Como la carga de bolas es de aproximadamente 35 a 45% para estos molinos, un llenado de aproximadamente 0.16 corresponde a U=1, y está claro que los molinos son 115
Figura 5.21 : Valores experimentales de B para la molienda de clinker de cemento en 2; un molino de bolas de laboratorio, tamaños de alimentación de intervalos de √ 40x50 mallas; 16x20 mallas; Δ 4x6 mallas.
frecuentemente operados en condiciones de sobrellenado (U>1). Con el objetivo de tomar en cuenta este factor en los modelos de simulación, es necesario disponer de una ley de transporte de masa que relacione el material retenido en el molino con el flujo. Desafortunadamente, esta ley dependerá de las propiedades reológicas de la pulpa, las que a su vez, serán función de la densidad de pulpa y de la fineza de la molienda. Por añadidura la ley dependerá de otros factores tales como el tipo de descarga del molino y la mezcla de bolas en la carga. Ya hemos visto en la sección 5.8 que la cantidad de finos en la pulpa influencia la velocidad específica de fractura, dando mayores velocidades de molienda para cantidades de finos “normales” que para un exceso o defecto. Pequeños flujos a través del molino tienden a producir material fino y, como los molinos son buenos mezcladores, existe allí suficiente cantidad de éstos para dar altas velocidades de fractura. Por otra parte, altos flujos al molino producen pequeñas cantidades de finos y por lo tanto menores velocidades de fractura. En circuito cerrado la eficiencia de clasificación, especialmente la magnitud del cortocircuito, afectará el tamaño promedio de finos en el molino. Es posible, entonces, que la determinación de parámetros de fractura en condiciones estandarizadas a partir de ensayos de molienda discontinua no sea suficiente para describir el circuito, si éste es operado con altas variaciones de flujos, como en el caso de cambiar desde circuito abierto a circuito cerrado con grandes cargas circulantes.
116
Tabla 5.3 Material retenido de molinos húmedos de rebalse. Diámetro del molino m
L/D
0.3 0.3 1.83 2.03
1 1 2 1.5
2.21 2.30 2.32
5.5 0.93 0.75
2.34 2.34 2.70 2.93
0.78 1.2 1.37 0.8
3.20
1.34
Flujo de Densidad Peso sólido a de pulpa específico través % del del sólidos sólido ρs molino en peso F tph 0.08 67 2.65 0.14 70 3.8 114 76 3.9 65 63 3.8 122 71 3.2 44 76 3.2 133 70 2.7 155 75 3.5 47 65 3.0 100 52 4.2 232 68 3.0 60 72 2.9 185 79 3.9 82 70 4.2 295 78 3.7 375 75 3.7 388 81 3.6 163 71 3.4
τ min.
1.72 (2.27) 3.5 1.45 1.72 2.44 8.6 2.00 1.67 1.03 0.90 1.85 2.72 4.72 3.13 1.70 3.30 6.58
fc Material Fracción U= retenido de 0.152 W llenado ton met. con polvo fc 0.0023 0.0053 6.6 1.6 3.5 1.8 19.0 5.2 1.3 1.7 3.5 1.85 8.4 6.5 15.4 10.6 21.0 18.0
0.21 0.49 0.29 0.07 0.16 0.08 0.25 0.28 0.10 0.10 0.27 0.13 0.28 0.12 0.45 0.30 0.29 0.25
1.4 3.2 1.9 0.5 1.0 0.5 1.6 1.8 0.7 0.7 1.8 0.9 1.8 0.8 3.0 2.0 1.9 1.6
En el capítulo 8 se mostrará otras relaciones que han sido propuestas para explicar la transferencia de masa en molinos. Sin embargo, ellas están basadas en un número limitado de estudios en planta piloto y a escala industrial. Debido al escaso conocimiento respecto al efecto del flujo de alimentación a un molino sobre la velocidad específica de fractura, ya sea vía cambios en el nivel de llenado o en la cantidad de finos en la pulpa, nosotros escogeremos realizar simulaciones de diseño estandarizadas utilizando valores promedios para las velocidades específicas de fracturas, e introduciendo luego factores de corrección que permitan tomar en cuenta los efectos de grandes cambios en los flujos a través de molino. Esto permitirá introducir diferentes factores de corrección a medida que la experiencia se acumule, sin la necesidad de descartar el programa básico de simulación.
5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDA DISCONTINUA DE LABORATORIO Las ecuaciones empíricas que predicen como cambian los valores de Si con el diámetro de las bolas del molino, con la carga de bolas y de polvo y con la velocidad de 117
Figura 5.22 : Variación de la retención de pulpa, expresada como fracción de llenado intersticial del lecho de bolas, con el flujo volumétrico de pulpa, para J = J0 (densidad de pulpa ≈ 40% en volumen): molino de rebalse de laboratorio de 0.3 m de diámetro por 0.6 m de largo.
rotación del molino son las ecuaciones (5.2) a (5.4), (5.6), (5.7), (5.9), (5.10), (5.12) y (5.16). Ellas se pueden combinar para obtener : 1 CCCC Si (d) = aT (xi ⁄ x0)α 2 3 4 5 C 1 + (x µ ⁄ ) 1 T i donde: N2
N3
d D C1 = DT dT N0
dT 1 + (d∗ ⁄ dT) , C2 = ∗ d 1 + (d ⁄ d)
d ∗ = 2 mm, d ≥ 10 mm
N1
D D T C3 = N 3.8 DT
D ≤ 3.8m
1
N1 − 0.2
D 3.8
1 + 6.6JT2.3 exp[ − c(U − UT)] C4 = 2.3 1 + 6.6J
118
D ≥ 3.8m
(5.23)
Figura 5.23 : Variación de la densidad de pulpa (expresada como % de sólidos en volumen) con el flujo de pulpa, para tres densidades de pulpa diferentes (ver Figura 5.22).
Figura 5.24 : Variación de los factores de aceleración con la fineza del contenido del molino, para dos niveles de llenado.
119
ϕc − 0.1 1 + exp[15.7(ϕcT − 0.94)] C5 = ϕcT − 0.1 1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)] donde el subíndice T se refiere a las condiciones y resultados del molino de laboratorio (Test). Los valores aT y µT para el tamaño de bola y la carga de bolas y polvo de interés, son características del material, tal como α , Λ , y los parámetros de Bij, a saber, γ, β y φ. No se ha hecho suficiente trabajo para determinar los valores de N0, N1, N2 y N3 y saber si son constantes o dependen de cada material. La combinación _ de __ estos cálculos con las ecuaciones (5.5), (5.11) y (5.13) permiten el cálculo de Si y Bij, que son los valores requeridos para la solución de la ecuación de molienda discontinua: __ Bi, j = ∑ mk Sj,k Bi,j,k ⁄ ∑ mkSj, k k
k
__ Si = ∑ mkSi,k k
donde, para bolas de tamaño promedio dk, los valores de Sik, están dados por (5.23) y los valores de Bi,j,k se los puede calcular de la ecuación 5.5: γ
β
xi − 1 xi − 1 + ( 1 − Φj) Bi, j, k = Φj , xj xj
0 ≤ Φj ≤ 1
(5.5)
En forma alternativa se puede usar ensayos de molienda discontinua de laboratorio _ para determinar los valores de Si, C3, C4 y C5 en un molino razonablemente grande (por ejemplo D = O.60 m) con la mezcla de bolas y la carga __ se anticipa será usada en el _ que _ molino de gran escala. En este caso, los valores de µT y ΛT son para los valores de Si producido por la mezcla de bolas y d=dT en C1 y C2. Esta técnica tiene la ventaja de evitar suposiciones concernientes a la aditividad del efecto de las bolas.
5.13 REFERENCIAS 5.1
Crabtree, D.D., Kinasevich, R.S., Mular, A.L., Meloy, T.P. and Fuerstenau, D.W., Trans. AIME, 229(1964)201-210.
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5.3
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5.4
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5.6
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5.8
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5.9
Gupta, V.K., Powder Technol., 42(1985)199-208.
120
5.10 Cuhadaroglu, M., “A Study of Breakage Kinetics of Large Particles in a Ball Mill”, M.S. Thesis, Mineral Processing Section, The Pennsylvania State University, 1986. 5.11 Magne, L., “Efecto del Tamaño de Bolas en los Parámetros de Molienda”, Habilitación Profesional para optar al título de Ingeniero Metalúrgico, Universidad de Concepción, 1987. 5.12 Rose, H.E. and Sullivan, R.M.E., Rod, Ball and Tube Mills, Chemical Pub. Co., New York, NY (1958). 5.13 Von Seebach, H.M., Effect of Vapors of Organic Liquids in the Comminution of Cement Clinker in Tube Mills, Research Institute Cement Industry, Dusseldorf, W. Germany (1969); Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., 11(1972)321-331. 5.14 Austin, L.G., Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Develop., 12(1973)121-129. 5.15 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th. European Sym. Zerkleinern, ed., H. Rumpf and K. Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr. 1576-1588, Verlag Chemie, Weinheim(1976)613-630. 5.16 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6(1960)378-391, 543-548. 5.17 Austin, L.G., Celik, M. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)235241. 5.18 Tangsathitkulchai, C. and Austin, L.G., Powder Technol., 42(1985)287-296. 5.19 Klimpel, R.R., Mining Engineering, 34(1982)1665-1668 and 35(1983)2126. 5.20 Klimpel, R.R., Powder Technol., 32(1982)267-277. 5.21 Katzer, M., Klimpel, R.R. and Sewell, J., Mining Engineering, 33(1981)1471-1476. 5.22 Austin, L.G. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)83- 90. 5.23 Shah and L.G. Austin, Ultrafine Grinding and Separation of Industrial Minerals, S.G. Malghan, ed., AIME, New York, NY, (1983)9-19. 5.24 Benjamin, J.S., Scientific American, 234(1976)40-48. 5.25 Austin L.G., Shah, J., Wang, J., Gallagher, E. and Luckie, P.T., Powder Technol., 29(1981)263-275. 5.26 Weller, K.R., Proc. 3rd IFAC Symposium, J. O’Shea and M. Polis, eds., Pergamon Press, (1980)303-309.
121
122
CAPITULO 6 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B
6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO La prueba más simple de realizar para obtener los parámetros de fractura de un material es una experiencia de molienda discontinua utilizando el método de monotamaños. Este consiste en moler un material que, en un comienzo, es predominantemente de un solo intervalo de tamaño, por ejemplo, el material retenido en un tamiz de la serie √ 2 . Este tamaño es preparado del material inicial por tamizado, triturando partículas mayores si fuera necesario para obtener una mayor cantidad del monotamaño. Mientras mayor es el molino de prueba, más tedioso es preparar una masa suficiente de monotamaño, siendo conveniente tener equipos de tamizado que utilicen tamices mayores que los standard de ocho pulgadas (por ejemplo, un sistema Tylab de 18 pulgadas cuadradas o un tamiz vibratorio Derrick de 1.5 x 4 pies). Se toma una muestra de este material y se somete a una prueba de tamizado en “blanco”, con la misma cantidad de material y tiempo de tamizado que se usará en los ensayos, utilizando los dos tamices que define el monotamaño. Es posible encontrar que una pequeña fracción del material queda retenido en el tamiz de mayor tamaño. Este puede ser considerado como “del tamaño” sin mayor error. También por lo general se encuentra que algún porcentaje de material pasa el tamiz menor de la serie. Este material, que es “casi del tamaño”, tiene malas propiedades de harneado, porque debe golpear las mallas con una orientación adecuada para poder pasar a través de ellos. Este material que pasa a través del tamiz menor hasta el intervalo próximo puede erróneamente ser clasificado como “quebrado”, aun cuando todavía no se ha aplicado trituración. Este error recibirá el nombre de error de tamizado incompleto y no debe ser mayor que 5% si se quiere obtener valores de B precisos (ver más adelante). Si la prueba se realiza solamente para obtener un valor de S, basta con que la cantidad del tamaño que se investiga forme una parte substancial de la muestra. Cuando una cantidad adecuada de material del tamaño deseado ha sido preparado y se ha ejecutado un análisis granulométrico en blanco, el molino de prueba se llena con la carga de bolas y de material deseado (más líquido si se estudia molienda húmeda), extendiéndolos uniformemente en el molino. Se muele el material a diversos tiempos, que son seleccionados para permitir que B sea calculado mediante datos de corto tiempo y S mediante datos de tiempo más largo (se debe contar las revoluciones del molino para estar seguro que un determinado tiempo corresponde al número correcto de revoluciones del molino). El contenido del molino se muestrea, efectuándose un análisis 123
granulométrico de la muestra. Luego el material puede ser retornado al molino para ser molido por un nuevo período o se puede usar una nueva carga de monotamaño, lo que fuese más conveniente. Para un molino grande la muestra puede ser demasiado pequeña para requerir su retorno al molino, en cuyo caso la secuencia completa de tiempos de molienda puede ser efectuada inmediatamente con paradas para obtener muestras. Para molinos pequeños, las muestras pueden ser obtenidas vaciando completamente el contenido del molino a través de una malla gruesa para retener las bolas y dividiendo la carga hasta obtener una muestra de tamaño adecuado. Para molinos más grandes, la toma de muestra directamente del molino detenido ha sido satisfactoria en molienda seca. La mayoría de los molinos son buenos mezcladores por lo que se debe evitar un manejo excesivo del material por cono y cuarteo u otro procedimiento, porque es muy posible que la muestra se “desmezcle” más que se mezcle. Para molienda húmeda, sin embargo, al detener el molino se produce una separación parcial inmediata del sólido y líquido, con el material fino suspendido casi por completo en el líquido. En este caso es necesario vaciar todo el contenido del molino, filtrarlo y secarlo. El material seco es entonces mezclado y muestreado para obtener una pequeña porción representativa. Para la determinación de los valores de S, es necesario determinar solamente la fracción del material que queda del monotamaño luego de cada molienda, de modo tal que basta utilizar un solo tamiz. Sin embargo, para determinar los valores de B es necesario un análisis granulométrico completo y exacto después de un pequeño intervalo de tiempo de molienda. Por otra parte, los valores determinados de S y B son utilizados para obtener una predicción de la distribución granulométrica que se espera, para ser comparada con los datos experimentales y de este modo revisar la consistencia de los datos. Para realizar esta comparación son necesarios análisis granulométricos completos de los productos. El estudio completo de un material específico, bajo un determinado conjunto de condiciones experimentales, requiere medir los valores de S para tres, cuatro o cinco monotamaños iniciales, y obtener las distribuciones granulométricas resultantes de por lo menos dos de los tamaños iniciales. Es ventajoso poder medir las variaciones de potencia del molino de prueba durante las experiencias, ya que cambios inusuales de potencia indicarían irregularidades en las condiciones del molino. Esto no es posible hacerlo midiendo el consumo eléctrico (Watts) del motor del molino si las pérdidas de energía en la transmisión contituyen gran parte del consumo, ya que en estas circunstancias la medida no sería suficientemente sensible para indicar variaciones en el consumo de potencia del molino. Para materiales blandos que se desgastan rápidamente, o para materiales pegajosos, es mejor tamizar en húmedo a 400 mallas, seguido por un secado del material retenido y un tamizado en seco de acuerdo a un procedimiento adecuado. Si se dispone de un filtro de vacío, el material -400 mallas puede ser filtrado y recuperado. El tamizado en húmedo es más eficiente si la muestra se agita con líquido en una vasija grande, con un agente dispersante adecuado, si fuese necesario, y se le permite asentar. El líquido sobrenadante contiene la mayoría de los finos que entonces pueden ser pasados fácilmente a través del tamiz con un lavado mínimo. El sólido asentado se vuelve a lavar si es necesario, se filtra y seca y luego se tamiza en seco. Esto evita la incomodidad de utilizar grandes cantidades de agua (u otro líquido) necesarios para lavar con rociado toda la muestra en los tamices y conduce, además, a deshacerse de los finos adheridos a las fracciones de tamaño mayores. 124
Por supuesto que es necesario usar el sentido común en la selección de las cantidades de muestras a tamizar, para evitar la obstrucción de los tamices. Una muestra de 50 a 100 gramos es adecuada para el tamizado de materiales cuyos tamaños están predominantemente en el rango de tamaños de 8 a 14 mallas, pero el peso de la muestra debe ser reducido cuando contiene materiales más finos. Una guía aproximada es que la cantidad de material menor a 325 mallas nunca debe exceder los 10 gramos. Por otra parte, si la mayoría de las partículas son de tamaño superior a las 8 mallas, debe utilizarse una cantidad mayor de muestra. El procedimiento de tamizaje debe ser seleccionado de manera que sea un compromiso entre un tiempo suficiente para un tamizado completo y uno menor al que comienza a producir demasiada abrasión de las partículas y que conduce a una distribución granulométrica demasiado fina. Generalmente es suficiente utilizar un tiempo de tamizado de 10 minutos, seguido por un cepillado de la malla de los tamices invertidos, para remover el material que obstruye las aberturas, seguido por otros 5 minutos de tamizado. El procedimiento de tamizado debe acortarse para materiales fácilmente desgastables y alargarse para materiales pegajosos.
6.2. TECNICAS DE CALCULO Designemos por w1(t) la fracción en peso de partículas del monotamaño en estudio. La molienda de primer orden da como resultado: logw1(t) − logw1(0) = S1t ⁄ 2.3
(6.1)
Por lo tanto, un gráfico de w1(t), en escala logarítmica, versus t, en escala lineal, debe producir una línea recta, ver Figura 6.1. El punto a tiempo cero se obtiene de la prueba de molienda en blanco y por lo tanto permite corregir automáticamente por errores en tamizado incompleto del monotamaño. No es correcto trazar una línea que pase por cero a t = 0, a menos que la prueba en blanco muestre que no hay error de tamizado incompleto. De la Figura 6.1 se desprende que los tiempos para los ensayos de molienda varían según las características de cada monotamaño; idealmente ellos deben ser seleccionados para dar una secuencia de valores de w1 de aproximadamente 0.8, 0.5, 0.1 y 0.05. El valor de S se determina de la pendiente de la recta. Graficando los valores de Si obtenidos para cada monotamaño xi versus xi en una escala log-log, se puede determinar el valor de a y α de las ecuaciones (5.1) y (5.2). Es a menudo necesario “preacondicionar” la alimentación al molino por medio de una corta molienda para eliminar todo material normalmente débil que pudiera falsear los resultados. Generalmente este tipo de heterogeneidad da líneas rectas en los gráficos de primer orden, pero que comienzan a valores muchos menores de w1(0) =1 para t=0 y falsean las distribuciones de tamaño, especialmente de los finos. El tiempo de preacondicionamiento debe ser determinado experimentalmente, pero generalmente 0.5 minutos son suficientes. Por definición de los valores B, éstos son deducidos de la distribución granulométrica para tiempos cortos de molienda, cuando la carga del molino está constituida predominantemente por el tamaño x1 y solamente cantidades menores de tamaño más pequeño. Así se asegura que éstos no sean retriturados. Mientras más pequeña es la cantidad de material de tamaño x1 quebrado, más precisos son los cálculos de B, especialmente si la corrección por tamizado incompleto es también pequeña. Es difícil efectuar un tamizado y pesado en forma adecuada para el material de tamaño x1 125
Figura 6.1 : Gráfico de primer orden para: 16/20, 40/50, 4/6, 140/200 mallas de clinker de cemento.
molido, si éste constituye solamente un pequeño porcentaje del total, sin embargo, un análisis muy cuidadoso puede dar resultados excelentes bajo estas circunstancias. Como hemos ya mencionado, la molienda inicial es a menudo anormal y cuando esto se observa, la alimentación debe ser preacondicionada como se discutió anteriormente. La experiencia sugiere que se puede obtener buenos resultados cuando se selecciona el tiempo de molienda en forma tal que la cantidad de material de tamaño x1 molido sea de aproximadamente un 20% a 30% del total. Sin embargo, en estas condiciones de molienda es seguro que ha habido un cierto grado de refractura y, por lo tanto, es necesario introducir una corrección. Una técnica de cálculo, denominada Método BI, consiste en medir las distribuciones granulométricas como función del tiempo y extrapolar para tiempos cercanos a cero. Entonces por definición los valores de B se calculan en la forma: Método BI : b2,1 ≈
peso que llega al tamaño 2, para t → 0 peso eliminadode tamaño 1, para t → 0
(6.2)
Desafortunadamente, es difícil obtener distribuciones granulométricas correctas para pequeños grados de fractura y resulta tedioso hacer pruebas cuidadosas a varios tiempos 126
cortos para permitir una extrapolación a tiempo cercano a cero. La extrapolación a tiempo cero desde tiempos más largos está sujeta a errores sistemáticos grandes, incluso cuando P(xi,t) versus t parece ser lineal a tiempos grandes. Para corregir por la fractura secundaria se utiliza un segundo método, denominado Método BII [6.1]. Método BII : Bi,1 ≈
log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))] , i> 1 log[(1 − P2(0)) ⁄ (1 − P2(t))]
(6.3)
En general, si el tamaño superior se denota con j, la ecuación (6.3) puede ser expresada como : Bi, j ≈
log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))] , log[(1 − Pj + 1(0)) ⁄ (1 − Pj + 1(t))]
i> j
(6.3a)
Que este procedimiento de corrección funciona bien para molienda en molino de bolas ha sido comprobado por Austin y Luckie [6.1], quienes utilizaron valores típicos de S y B para calcular distribuciones granulométricas de una molienda discontinua a varios tiempos y después aplicaron las técnicas de cálculo BI y BII a los datos simulados. Como las distribuciones granulométricas son exactas, no existen errores experimentales en las curvas y una comparación de los valores de B calculados con los valores “verdaderos” conocidos da una medición del error en las técnicas aproximadas de cálculo. El método es apropiado sólo para tiempos de molienda cortos, en los que la cantidad de monotamaño fracturada es menor que el 30%. Si el material se tritura por tiempos más prolongados los valores de B calculados mediante la ecuación (6.3) resultan demasiado grandes. Obtener buenos valores experimentales de B es la parte más difícil de las pruebas para el cálculo de S y B, porque es necesario (como se mostró arriba) utilizar un pequeño grado de molienda para evitar una fractura secundaria excesiva, y es necesario utilizar un monotamaño como alimentación. Sin embargo, los ensayos a tiempos de molienda cortos son a menudo aquellos en que es difícil de obtener buenos resultados debido a la existencia de componentes débiles en el monotamaño y a errores experimentales. Consecuentemente, el resultado que se muestra en la Figura 6.2 es bastante común: ensayos repetidos de la determinación producen una banda de resultados para B y los valores de B obtenidos por una prueba no son exactamente repetibles en otra. Por lo tanto, errores que resultan en la aproximación del método BII son dominados por la incertidumbre que se produce debido a la variabilidad experimental. A menudo se presenta el caso que las distribuciones granulométricas del producto son paralelas para tiempos diferentes, como se observa en la Figura 4.1. La pendiente de las partes rectas de las distribuciones granulométricas puede ser utilizada como guía para trazar la inclinación correcta a través de los puntos de figuras como la Figura 6.2. Estos métodos de cómputo para B se basan en un efecto de compensación que se aplica como una aproximación solamente para la fractura normal, en la región hacia la izquierda del máximo de Si que se muestra en las Figuras 4.4 y 4.5. Para la fractura anormal, hacia la derecha del máximo de Si, es necesario utilizar el método BIII [6.1] que requiere estimaciones de las velocidades de fractura específica. En esta región los valores de B no son usualmente normalizables. 127
Algunos materiales producen valores de B no-normalizables incluso en la región de fractura normal. Esto ha sido observado para algunas escorias de cemento y puede estar asociado a la naturaleza altamente porosa de las partículas mayores. La Figura 6.3 muestra el resultado típico para un material en que los valores de B son inequívocamente no-normalizados. Para molienda en molino de bolas, siempre hemos encontrado que los valores de B son no-normalizables de la misma manera que se muestra en esta figura. Esto es, mientras más pequeño es el tamaño fracturado más fina es la correspondiente distribución adimensional de B, cuando valores de B no-normalizables se encuentran en la región de fractura normal. Austin y Luckie [6.2] han descrito una técnica para caracterizar tales distribuciones. La forma de los valores de B se puede describir bien como la suma de dos funciones de potencia (que aparecen como dos líneas rectas en el diagrama log-log (ver Figura 6.3); esto es, γ
Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1) + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)
β
,
i> 1
(6.4)
donde Φ es la intercepción que se muestra en la Figura 6.3 y γ es la pendiente de la parte fina de la distribución. Como γ y Φ 1 son estimados desde el diagrama, el último término del lado derecho de la ecuación (6.4) se calcula y grafica para dar el valor de β. La Figura 6.4 da la variación de Φ i con el tamaño xj:
Figura 6.2 : Función distribución de fractura primaria, en triplicado, para molienda húmeda de cuarzo en un molino de laboratorio.
128
logΦj = − δ log(xj ⁄ x1) + logΦ1
(6.5)
donde xj es el tamaño superior del intervalo que se considera, -δ es la inclinación (δ > 0) para la molienda en molino de bolas de la línea en la Figura 6.4, Φ1 es la intercepción medida para el tamaño x1. Entonces, las ecuaciones (6.4) y (6.5) son una representación matemática empírica de los valores de B, con parámetros γ, β, δ y Φ1. Para valores de B normalizados, δ=0. La ecuación (6.5) puede ser utilizada para extrapolar solamente hasta Φj = 1 y entonces es usualmente suficiente tomar Φ1 = 1.0 para los valores mayores de j (tamaño xj más pequeños). Hasta la fecha, cada vez que hemos ejecutado una extensión cuidadosa de las distribuciones granulométricas hasta tamaños menores a los de tamizado, para la molienda de primer orden y teniendo en cuenta las diferencias de factores de forma, hemos concluido que los resultados están de acuerdo con las predicciones obtenidas de la
Figura 6.3 : Valores experimentales de la función B para Clinker de Cemento del Tipo II, para varios tamaños de alimentación.
129
Figura 6.4 : Interacción en los gráficos de B como función del tamaño fracturado.
extensión de las funciones de potencia de los parámetros S y B a tamaños menores (ecuaciones (5.1) y (6.1), ver Figura 4.1). Como regla general, si la forma de la distribución granulométrica cambia cerca o en el tamaño en el cual se cambia de método de análisis granulométrico, el cambio de inclinación debe ser considerado como sospechoso.
6.3. RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA En esta sección se describe las técnicas para la determinación indirecta de los valores de S y B por retro-cálculo desde datos experimentales. La base de esta técnica es la utilización de un programa computacional de búsqueda para encontrar los valores de los parámetros característicos de S y B que hacen que los resultados simulados por el modelo del molino se acerquen lo más estrechamente posible a un conjunto de datos experimentales de laboratorio, planta piloto o planta industrial. Las ventajas del método de retrocálculo son: (i) utiliza simultáneamente todos los datos disponibles en el cálculo y por lo tanto distribuye los errores; (ii) puede ser utilizado con datos limitados, reduciendo así la necesidad de una gran cantidad de trabajo experimental; (iii) puede ser aplicado a datos de molienda continua industrial (ver más adelante). La mayor desventaja es que se fuerza a los datos a ajustarse a las suposiciones del modelo propuesto, no siendo siempre posible detectar cuando algunas de estas suposiciones no son válidas.
130
Si se considera los resultados que se muestra en la Figura 4.1, está claro que los resultados simulados están de acuerdo con los resultados experimentales con bastante precisión. Esto significa que la solución de las ecuaciones de molienda discontinua con un apropiado conjunto de valores de S y B predice con gran exactitud los datos experimentales de la molienda discontinua. Entonces, debe ser posible realizar el proceso inverso: dado un conjunto de datos experimentales determinar que valores de S y B que son necesarios para generar estos datos por simulación. Los programas desarrollados por Klimpel y Austin [6.3, 6.4] utilizan suposiciones simplificadas sobre las formas funcionales de S y B con respecto al tamaño de partícula, para reducir el número de parámetros en la búsqueda. En una opción, las formas funcionales escogidas para los valores de S y B son: α
Si = A(xi ⁄ x1)
n> i≥ 1 , β
γ
Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1) + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)
,
n≥ i> 1
Luego, si se supone que B es normalizable, se reduce los parámetros desconocidos α , A, γ, β y Φ1. Para valores de B no-normalizados:
Φj = Φk(xj ⁄ xk)
−δ
,
δ > 0, Φj ≤ 1 ,
que introduce el paramétro adicional δ. Para valores de S que pasan por un máximo con respecto al tamaño: α
S1 = A(xi ⁄ x1) Qi donde los factores de corrección Qi son descritos por la distribución log-logística de dos parámetros: Qi =
1 Λ
1 + (xi ⁄ µ)
, Λ>0
Por lo tanto se introduce dos parámetros más, µ y Λ. Para obtener valores confiables de los parámetros de B, Φ1, γ , δ y β , desde datos de molienda discontinua, es necesario utilizar datos experimentales de tiempos cortos de molienda de monotamaños. Para obtener un valor adecuado para el parámetro α es necesario tener datos experimentales de tiempos de molienda más largos. Por lo tanto, los datos de la Figura 4.1 son el tipo de datos necesarios para obtener valores retrocalculados confiables del conjunto completo de parámetros. El programa A se basa en la solución de Reid [6.5] del conjunto de ecuaciones de la molienda continua, modificada por Gardner, Verghese y Rogers [6.6]:
131
i
pi =
∑ aij ej
,
n≥ i≥ 1
(6.6)
j= 1
con :
i− 1 fi − ∑ aik ,i= j k = 1, i > 1 aij = i− 1 1 Skbikakj , i > j Si − Sj ∑ = j k ∞
ej =
∫ ϕ(t) exp( −
Sjt) dt
0
Para la molienda discontinua (flujo pistón): ej = exp(−Sj t) Se supone que los valores de Si y Bij tienen las formas que se dió anteriormente. Por lo tanto los parámetros descriptivos son A, α, µ, Λ, Φ, γ, β y δ. La entrada del programa consiste en un mínimo de tres distribuciones granulométricas, incluyendo la alimentación a t = 0 y los valores a dos tiempos t1 y t2 en la forma de valores P(xi,t). El programa busca el mejor conjunto de valores de α, β, γ, S1 y Φ1 que minimice el error entre los valores de p(xi,t) calculados y experimentales, suponiendo una fractura de primer orden perfecta. La función objetivo utilizada es: n
2
Min SSQ = ∑ ∑ wi [pi (experimental ) − pi (calculado)]
(6.7)
k i=1
donde la suma sobre k es para todos los pares de tiempo t=0 y t1, t=0 y t2, etc. Los detalles del resto del programa son semejantes a los del Programa B que se discutirá más adelante. Los factores de ponderación wi dependen de la estructura de errores de los datos, la que se determina haciendo réplicas de las pruebas de molienda discontinua (ver más adelante). El procedimiento para determinar los parámetros descriptivos es como sigue: (1) Se hace ensayos con un tamaño de alimentación que dé en forma segura una fractura normal, esto es, un tamaño a la izquierda del máximo en S versus x. Se muele el material por un mínimo de cuatro tiempos, obteniendo las distribuciones granulométricas para cada uno de estos tiempos. A partir de estos datos se usa el 132
programa de retro-cálculo para determinar los parámetros, β, γ, Φ1 y A, haciendo δ = 0. El programa requiere estimaciones iniciales de los parámetros: la estimación inicial de A (=S1) se obtiene del gráfico de primer orden; γ, Φ1 y β se los calcula del gráfico BII y del gráfico de variación de S1 con el tamaño de partícula, o haciendo α = γ . Normalmente los valores de A, y β no se apartan mucho de estos valores calculados y los resultados son insensibles a los valores de β. Los tiempos de molienda se seleccionan para dar distribuciones granulométricas correspondientes, aproximadamente, a las de las distribuciones de 1/3, 2, 5 y 15 minutos de la Figura 4.1, porque los datos de tiempo corto permiten un cálculo más confiable de A y B, y los datos de tiempo prolongado aumentan la confiabilidad del cálculo de α. Los valores de B son más confiables cuando la alimentación consiste solamente en un monotamaño. (2) Los cálculos son repetidos con δ como variable y la suma de cuadrados (SSQ) correspondiente al δ óptimo se compara con la SSQ con δ=0 mediante el test F para comprobar si la adición de la variable δ produjo un mejoramiento estadísticamente significativo. Si este no fuese el caso se hace δ=0. (3) Se elige una alimentación de tamaño mayor tal que se encuentre a la derecha del máximo de S y se muele por lo menos a cuatro tiempos, produciendo cuatro distribuciones granulométricas. (4) Los valores de α, β, γ y δ previamente determinados, junto a Φ1 y A, todos escalados para el nuevo monotamaño, se utilizan como datos fijos en el programa de retro-cálculo y la búsqueda se hace solamente por µ y Λ . La posibilidad de ajustar uno o más de los parámetros durante la búsqueda ha demostrado ser muy valiosa porque: (a) permite mantener en su valor correcto aquellas variables que se conocen en forma precisa de la experimentación; (b) permite investigar la sensibilidad de cualquiera de los parámetros en función de cambios controlados de otros parámetros. En particular, los valores de Bij para los tamaños mayores pueden ser diferentes de los valores normales, de modo que es conveniente suministrar una matriz conocida de valores de Bij para determinar buenos valores para µ y Λ . Se debe hacer notar que este programa impone una ley de primer orden sobre cualquier resultado que provenga de una cinética de orden distinto del primero obtenido con tamaños mayores, de modo tal que µ y Λ son valores promedio efectivos que se basan en una cinética de primer orden. No es novedad por lo tanto, que simulaciones de los resultados no pueden reproducir muy exactamente, en este caso, los valores experimentales para la molienda discontinua, porque la fractura de los tamaños mayores no es necesariamente de primer orden. Sin embargo, el uso subsecuente de los parámetros para simulaciones de molinos continuos, donde la alimentación que entra al molino tiene una distribución granulométrica completa, con pequeñas fracciones de tamaños mayores, ha demostrado ser bastante exitosa. También se debe notar que el programa de retro-cálculo de S y B para la molienda discontinua está diseñado específicamente para operar con datos de ensayos que utilizan 133
un monotamaño de alimentación. Cuando se aplica a datos con una amplia distribución granulométrica existe normalmente demasiado error experimental para esperar obtener valores correctos de los parámetros B, porque entonces el cambio de la distribución granulométrica con el tiempo se hace insensible a los valores de γ, β y Φ. En este caso se puede fijar Φ =0.5 y β =4.
6.4.RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA Lynch et al. [6.7], Kelsall et al. [6.8] y Everell et al. [6.9] han desarrollado varias formas de retrocálculo aplicable a datos de plantas industriales, haciendo los cálculos de Si intervalo por intervalo, donde S1 se determina primero y luego es utilizado en el cálculo de S2, etc. Sin embargo, Austin y Klimpel [6.4] prefieren utilizar formas funcionales para Si de modo de evitar la acumulación de errores. Ellos tienen dos programas diferentes para el retrocálculo desde datos de molinos continuos [6.4], ambos escritos en Fortran IV, con entrada y salida semejantes y utilizando el mismo algoritmo de búsqueda del óptimo. El Programa A es utilizado ya sea para el retrocálculo desde datos de molienda discontinua, discutida anteriormente, o para un “Circuito Abierto”. “Circuito Abierto” significa aquí que la distribución granulométrica de la alimentación al molino y el producto de éste son los valores experimentales; si el molino está en “Circuito Cerrado”, se estima la razón de recirculación de la manera usual y la distribución granulométrica de la alimentación al molino se determina a partir de la alimentación fresca y de la carga circulante. La distribución de tiempos de residencia (DTR) se introduce vía el vector de valores ej. Hay disponibles seis opciones: (i) flujo pistón, para ser utilizada para la molienda discontinua; (ii) mezcla perfecta, (iii) serie de m reactores completamente mezclados de igual tamaño; (iv) modelo de un reactor grande seguido de dos pequeños; (v) modelo de Rogers/Gardner [6.10] y (vi) modelo semi-infinito de Mori et al. [6.11]. Se ha encontrado que si la DTR de un molino, determinada experimentalmente se ajusta a las DTR que resultan de alguno de esos modelos, entonces ese modelo debe ser utilizado en la computación. Se debe reconocer que el material retenido en un molino normalmente no se determina en una prueba industrial, excepto cuando se efectúa una medida de la DTR. Sin embargo, se puede suponer que la forma de la DTR adimensional es similar a la que se puede medir para molinos semejantes, por lo que se puede calcular un tiempo de residencia promedio formal, suponiendo que el material retenido corresponde a un llenado intersticial completo de la carga de bolas (U=1.0). El valor de α obtenido por retro- recálculo no cambia al variar τ y el valor de τ formal produce un valor formal de A. El programa tiene la ventaja de su flexibilidad en la selección de la distribución del tiempo de residencia. Sin embargo, la solución Reid tiende a volverse inestable cuando existe un número de términos en que Si-Sj se vuelve pequeño. Esto es particularmente verdadero cuando se intenta utilizar todas las distribuciones granulométricas, alrededor de un circuito cerrado, en la función objetivo. Por esta razón se desarrolló un segundo programa con un método completamente estable.
134
En el programa B se utiliza el algoritmo de un molino en circuito cerrado desarrollado por Luckie [6.12] para una DTR correspondiente a tres reactores perfectamente mezclados y distintos en serie. Con una selección apropiada de τ1, τ2, y τ3, en que el tiempo de residencia promedio total es τ = τ1 + τ2 + τ3, este modelo de DTR puede representar claramente uno, dos o tres reactores completamente mezclados iguales, un reactor grande seguido por dos pequeños iguales o tres reactores distintos, todos ellos completamente mezclados en serie. Weller [6.14] ha indicado que las DTR que se ha medido en varios molinos industriales de gran escala se las puede aproximar razonablemente con el modelo de un reactor grande seguido por dos pequeños iguales. La función objetivo que se utiliza en este caso es: 2
2
Minimizar F = W1 ∑ w1i (qi obs − qi calc) + W2 ∑ w2i (fi obs − fi calc) + 2
2
W3 ∑ w3i (pi obs − pi calc) + W4 ∑ w4i (ti obs − ti calc) + 2
(6.8)
2
W5 ∑ w5i (qi obs − qi calc) + W6 (C obs − C calc)
Generalmente los factores de ponderación W se toman como 1 ó 0 para facilitar el análisis estadístico; hasta cinco de ellos pueden ser puestos iguales a cero si se desea. El retro-cálculo se hace normalmente fijando los parámetros de B en los valores que se determinaron en el laboratorio y calculando A y α. Si hay tamaños grandes en la alimentación, el cálculo se repite con µ y Λ como variables adicionales para ver si se obtiene un mejoramiento estadístico significativo en el ajuste [6.4]. Finalmente, los parámetros de Φ y γ se introducen como variables adicionales (los resultados son insensibles a β) y se prueba nuevamente el mejoramiento estadístico de ajuste. El programa también da valores de Si intervalo por intervalo para efectuar una comparación. Los factores de ponderación apropiados para el análisis de datos de planta fueron deducidos como sigue: La Tabla 6.1 muestra distribuciones granulométricas en triplicado obtenidas por tamizado de datos de planta cuidadosamente repetidos. Cada muestra fue un compósito de muestras de suspensión tomadas a intervalos de cinco minutos en un período de 30 minutos de operación continua; los tres compósitos fueron obtenidos al mismo tiempo. Se puede observar que los intervalos granulométricos que contienen mayores cantidades de valores más grandes de la varianza sin __ material producen __ ponderación Vi = (pi - pi)2/3 donde__pi es el promedio aritmético de pi. La graficación de __ la varianza no ponderada versus pi en una __ escala log-log sugiere que Vi ∝ pi, de modo que factores de ponderación w__i = 1/__ pi dan una distribución aleatoria de errores ponderados, definidos por ( pi − pi )2 ⁄ pi. La varianza media de estos errores ponderados definida por: V=
∑∑ k
i
__ 2 __ [( pi − pi ) ⁄ pi ] n(k − 1)
(6.9)
135
Tabla 6.1 Réplicas de datos (en triplicado) de la molienda industrial de un mineral de cobre. Intervalo de tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Producto de la molienda fracción en peso, pi 0.010 0.008 0.026 0.049 0.076 0.084 0.095 0.101 0.092 0.083 0.084 0.062 0.041 0.045 0.032 0.113
0.008 0.009 0.031 0.054 0.082 0.094 0.106 0.104 0.093 0.079 0.076 0.057 0.036 0.037 0.034 0.100
0.001 0.012 0.028 0.052 0.084 0.089 0.103 0.095 0.087 0.077 0.078 0.059 0.044 0.042 0.026 0.113
Promedio __ pi 0.0097 0.0097 0.0283 0.0517 0.0807 0.0890 0.1013 0.1000 0.0907 0.0797 0.0793 0.0593 0.0403 0.0413 0.0307 0.1087
Varianza sin ponderación x 104 0.023 0.043 0.063 0.063 0.173 0.250 0.323 0.210 0.103 0.093 0.173 0.063 0.163 0.163 0.173 0.563
resultó ser 4x10-4 para este conjunto de datos. Se supone que los mismos factores de ponderación son aplicables a todas las distribuciones granulométricas utilizadas en el cálculo de un circuito cerrado y que la varianza promedio se calcula por medio de réplicas de todas esas distribuciones. Otro conjunto de datos dió una varianza ponderada promedio de 16x10-4, 11x10-4, 8x10-4 y 4.5x10-4 ,dependiendo del cuidado para obtener buenas muestras granulométricas para calcular la varianza. Un procedimiento similar aplicado a una prueba de molienda discontinua en húmedo de cuarzo, en un molino de 200 mm de diámetro interior por 1, 3, 7 y 15 minutos produjo los mismos factores de ponderación y una varianza promedio total de 3x10-4. Klimpel y Austin [6.4] dan un número de ejemplos para ilustrar los problemas del retro-cálculo de valores a partir de datos industriales. Ellos concluyeron que: (i) El retro-cálculo, intervalo por intervalo, raramente proporciona valores correctos de Si para los tamaños superiores y pequeños errores en las medidas de los tamaños finos dan grandes errores en los valores de Si obtenidos intervalo por intervalo para estos tamaños. (ii) El retro-cálculo, suponiendo que un molino de bolas se comporta como un mezclador perfecto, produce valores de Si radicalmente incorrectos (el valor de α es demasiado grande), cuando se los aplica a datos de un molino de bola con un DTR real.
136
(iii) En presencia de errores experimentales típicos no es posible deducir que la DTR de un reactor perfectamente mezclado es incorrecta (esto es, que el modelo es inadecuado). Los valores incorrectos de Si reproducirán la distribución granulométrica del producto del molino, sin embargo, la utilización de los valores incorrectos de Si a cualquier otro flujo de alimentación producirá predicciones de la distribución granulométrica del producto radicalmente incorrectas. (iv) La utilización de una DTR más cercana al flujo pistón que al DTR correcto da un α demasiado pequeño y vice versa. (v) El uso de los valores de B con un γ menor que el valor correcto produce un α demasiado grande y vice versa. (vi) En el retro-cálculo se debe utilizar el mayor número posible de distribuciones granulométricas del circuito cerrado, ya que éste proporciona el rango más estrecho de valores estadísticamente aceptables y da valores de α más en acuerdo con aquellos determinados por experimento directo.
6.5 REFERENCIAS 6.1
Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)215-222
6.2
Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)267-277.
6.3
Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Int. J. of Mineral Processing, 4(1977)7-32.
6.4
Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol., 38(1984)77-91.
6.5
Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.
6.6
Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, R.S.C., Mining Engineering, 239(1980)81-82.
6.7
Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier (1977).
6.8
Kelsall, D.F., Reid, K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 1(1967/68)291-300.
6.9
Hodouin, D., Berube, M.A. and Everell, M.D., Industrie Minerale Mineralurge, (1979)29-40.
6.10 Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., A.I.Ch.E. Journal, 25(1979)229-240. 6.11 Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 29(1964)204-213. 6.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51. 6.13 Weller, K.R., Proceeding, 3rd Symposium Automation in Mining, Mineral and Metal Procesing, Int. Federation of Automatic Control, O’Shea J. and Polis, H., Eds.,(1980)303- 309.
137
138
CAPITULO 7 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA
7.1. INTRODUCCION La utilización de modelos macroscópicos como representación de la operación de molienda hace desaparecer la posición en el equipo como variable independiente. Toda información respecto a la distribución espacial de propiedades del material en el molino se ha perdido y debe ser introducida mediante ecuaciones adicionales que describan el movimiento de las diversas “partículas” (mineral y agua) que constituyen la carga del molino. Esta información es menos detallada que la de un modelo microscópico y generalmente se expresa mediante propiedades estadísticas. Se ha demostrado en la práctica que el conocimiento estadístico del tiempo de permanencia de las diversas “partículas” en el molino es suficiente para completar el modelo de la molienda contínua. Se ha elegido como parámetro representativo el tiempo de residencia de las partículas en el molino, describiendo el movimiento de éstas mediante la función de distribución de tiempos de residencia. Desde un punto de vista teórico la función de distribución de tiempos de residencia de las partículas en un molino podría ser deducida de las ecuaciones que describen la tranferencia de masa en el molino, la que está asociada al transporte de material desde que entra hasta que sale del equipo. Desafortunadamente, los estudios de transporte de masa en los molinos no han progresado al punto de entregar información suficiente para su predicción. Por esta razón, es necesario obtener la información de distribución de tiempos de residencia en forma experimental. En esta sección se definirán los conceptos de edad y tiempo de residencia de una partícula, se describirán métodos para medirlos, se estudiarán diversos modelos matemáticos que pueden representar las curvas de distribución de tiempos de residencia y las técnicas computacionales necesarias para determinarlos. Finalmente se desarrollarán las ecuaciones que describen la molienda continua.
7.2. EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA. Denominaremos edad de salida t de una partícula del material que escurre en el molino al tiempo transcurrido entre el instante θ de entrada de la partícula y el instante t de salida de la misma, con − ∞ < θ < t, 0 < t < ∞ y t ′ = t − θ. Obviamente en un molino existen partículas de diversas edades ya que no todas ellas pasan por el molino
139
Figura 7.1 : Representación discreta de la función DTR.
a la misma velocidad. Es así como se puede definir una función de distribución de edades de salida. Consideremos un flujo másico constante de partículas F al molino y denominemos W la masa total constante de partículas retenida en el molino. Supongamos que podemos identificar en la salida del molino los diversos grupos de partículas que tienen la misma edad de salida. Si mi es la masa de partículas con edad t, mi/W será la fracción de partículas en el molino con edad t comprendida en el intervalo ti-1 ,ti, con i=1,2,..., n+1, to = 0, tn+1= ∞ y W= ∑ ni =+ 11 mi , la distribución de edades de salida o distribución de tiempos de residencia (DTR) será ϕi, tal que se cumpla (ver Figura 7.1) :
ϕi Δti = mi ⁄ W 140
(7.1)
Se puede comprobar que ϕi está normalizada, ya que: n+ 1
n+ 1
1 ∑ ϕi Δti = W ∑ mi = 1
i= 1
(7.2)
i= 1
La distribución de tiempos de residencia también puede ser definida como una función continua del tiempo (ver Figura 7.2):
ϕ(t)dt = (1 ⁄ W)dm
(7.3)
donde : ∞
W=
∫ dm
y
∫ ϕ(t)dt =
1
(7.4)
0
Una forma de caracterizar la función DTR es mediante la media y la varianza de la distribución. El valor medio, tiempo promedio de residencia o edad promedio de salida queda definido por: _ t=
∞
∫ tϕ(t) dt, 0
_ o t = ∑ ti ϕi Δti
(7.5)
en que ϕ(t) o ϕi están normalizadas. Como se demuestra en la sección 7.4, el tiempo promedio de residencia, definido por la ecuación (7.5), resulta ser igual al parámetro: _ τ= W ⁄F = t La dispersión de la distribución queda medida por la varianza σ2: ∞
_ σ = ∫ (t − t)2 ϕ(t)dt = 2
0
∞
∫t
2
_ ϕ(t)dt − t 2
(7.6a)
0
o en forma discreta : ∞ 2
σ =
_2 − (t i ∫ t) ϕi Δti = 0
_2 2 t ϕ Δt − t i i i ∑
(7.6b)
La función distribución de tiempos de residencia puede ser_expresada en forma adimensional. Haciendo uso _ del tiempo promedio de residencia t se puede definir el tiempo adimensional t*= t / t, tal que (ver Figura 7.2) 141
Figura 7.2 : Representación continua de la función DTR en forma dimensional y adimensional para un molino industrial de barras de 3 x 4.25 m.
ϕ∗(t∗)dt∗ = ϕ(t)dt _ y como dt* = dt/ t resulta: _ ϕ∗(t∗) = t ϕ(t)
(7.7)
La varianza adimensional será: ∞
_ σ = σ ⁄ t 2 = t∗2 ∫ ϕ∗(t∗)dt∗ − 1 ∗2
2
0
142
(7.8)
7.3.MEDICION EXPERIMENTAL La función DTR puede ser determinada experimentalmente mediante la adición de un trazador junto a la alimentación del molino. Un trazador es una pequeña porción de una sustancia que se comporta en forma similar al material de alimentación y que posee una propiedad que lo distingue de él y que permite su detección a la salida del molino. Dependiendo del sistema se pueden utilizar trazadores cuya propiedad a medir es la conductividad, la absorbancia de la luz, la concentración de un determinado catión, la radioactividad u otra. Por esta razón diferentes trazadores requieren diferentes técnicas experimentales. Entre los factores que deben ser considerados para la selección del trazador para una determinada aplicación se puede mencionar (1) la disponibilidad del trazador y del equipo de detección, (2) el límite de detección a baja concentración, (3) propiedades físicas similares a las del material que se transporta y (4) no debe reaccionar químicamente ni debe absorberse en las paredes del equipo o en las partículas del material.
7.3.1.Trazadores utilizados en molinos industriales En la molienda húmeda frecuentemente se supone que la densidad de la pulpa en el molino es igual a las de la entrada y salida del molino, y que la DTR de las partículas sólidas es igual a la del agua. Bajo estas suposiciones basta determinar la DTR del agua, lo que se logra fácilmente usando cloruro de sodio (NaCl) como trazador y detectando la conductividad del agua a la salida del molino.En molinos industriales húmedos basta con lanzar un saco de papel conteniendo la sal directamente dentro del molino y tomar muestras de la descarga, dejando decantar el sólido y midiendo la conductividad de la solución. Otro trazador que se utiliza para determinar la DTR del agua en molinos es el sulfato de cobre, con determinaciones colorimétricas de las muestras y trazadores radioactivos líquidos, con medición de la radiación emitida. La mayoría de los trazadores radioactivos líquidos se obtienen por irradiación directa de sales y otros compuestos en un reactor nuclear y son emisores de radiación gamma. Ejemplos de este tipo de trazador se dan en la Tabla 7.1. La suposición de que la DTR del agua es igual a la de las partículas en un molino húmedo no es correcta, como se verá más adelante, por lo que en general es conveniente conocer la DTR del sólido además de la del agua. Por otra parte, en la molienda seca se debe determinar siempre la DTR de las partículas sólidas. Dos métodos son frecuentemente usados para marcar partículas sólidas: el teñido con fluorescina y la irradiación nuclear. El método más antiguo, utilizado en la molienda seca de clinker de cemento [7.2], es el que usa fluorescina. Se utiliza aproximadamente 1 g de fluorescina por tph de capacidad del molino, disolviéndola en 1.5 veces su peso en agua. Diez gramos de clinker se someten a vacío en una bolsa de plástico, admitiendo luego la solución de fluorescina de modo que ésta queda incorporada como una capa en los poros internos del clinker. La bolsa se arroja dentro del molino y se toma muestras del polvo que sale de él. El contenido de fluorescina de cada muestra se determina agitando 2 g de muestra con 50 cm3 de agua por 30 segundos, dejando sedimentar el sólido por dos minutos y filtrando. El líquido se coloca en un tubo Nessler y se mide la intensidad comparando visualmente con la solución normalizada, o se determina la concentración con un fotofluorímetro (nefelómetro) que permite detectar 1 parte de fluorescina por 108 partes de muestra. 143
Tabla 7.1 Propiedades de isótopos radioactivos líquidos [7.1] Radio-isótopos Material blanco
82 Br
Reacción nuclear
Vida media 36.0 h
Energía MeV 0.55 y 1.47
KBr ó 81 Br(n,γ) 82 Br NH4Br 15.0 h 1.37 y 2.75 24 Na NaCl ó 23 Na(n,γ) 24 Na Na2CO3 27.8 d 0.325 51 Cr Cromo 50 Cr(n,γ) 51 Cr metálico 12.8 h 0.51 64 Cu Cobre 63 Cu(n,γ) 64 Cu metálico ó CuO 2.7 d 0.41, 0.68, 109 198 Au Oro 197 Au(n,γ) 198 Au metálico 45.6 d 1.1 y 1.29 59 Fe Fe2O3 58 Fe(n,γ) 59 Fe 8.06 d 0.364 131 I Teluro 130 Te(n,γ) 131 Fe metálico Para molinos industriales húmedos, el trazador más confiable de las partículas sólidas es una porción del mismo material de alimentación irradiado en un reactor nuclear, lo que produce la activación de uno o más elementos que forman parte del mineral. De esta forma el comportamiento del trazador será idéntico al del mineral que se muele y transporta en el interior del molino. Dependiendo del objetivo del estudio se puede seleccionar como trazador una muestra de una distribución granulométrica característica del mineral de alimentación o bien una fracción de una granulometría determinada (finos). En cuanto a la variable a medir se puede seleccionar la energía gamma proveniente de uno de los isótopos en particular o bien medir el total de radiación gamma emitida por la muestra.
7.3.2.Método experimental de inyección y medición de un trazador radioactivo Como se verá en la sección siguiente, es conveniente introducir el trazador, junto a la alimentación al molino, en forma de un impulso. Esto se consigue mediante una masa o volumen de trazador muy pequeña adicionada en un intervalo de tiempo muy corto (comparado con el tiempo promedio de residencia) de modo que no perturbe el flujo de material que entra al molino. Los métodos más utilizados para efectuar una inyección puntual, y cuya elección depende del diseño del circuito de molienda y del acceso al lugar de inyección, son [7.1]: (1) volcar un frasco que contiene el trazador en la alimentación del molino, (2) romper por impacto un frasco de vidrio (o saco) que contiene el trazador directamente en la alimentación del molino, (3) inyectar un trazador líquido directamente en la alimentación mediante un método hidráulico-neumático (jeringa). La mayoría de los trazadores radioactivos utilizados para medir la DTR en molinos son emisores de radiación gamma. Por esta razón lo más común es utilizar detectores de NaI(Te) [7.1, 7.3 - 7.5]. La medición se puede efectuar montando los detectores en línea en 144
la descarga del molino, conectándolos a un equipo electrónico que permita fijar el tiempo de medición y un intervalo de espera y registrando o imprimiendo los valores de tasa de conteo. Este método se debe utilizar cada vez que sea posible y cuando la descarga del molino es de difícil acceso y no permite la toma de muestras. Cuando hay limitaciones en cuanto a la actividad a inyectar, o cuando la dilución en el molino es muy alta, puede suceder que la medición en línea no sea capaz de detectar el trazador con buena sensibilidad. En estos casos se puede recurrir a la medición mediante muestreo. Esta consiste en realizar un muestreo discreto de la descarga del molino a intervalos de tiempo determinados (cada 15 segundos durante los 3 primeros minutos, cada 30 segundos hasta los 8 minutos, cada minuto hasta los 13 minutos y cada 2 minutos hasta completar 20 minutos), tomando luego 5 litros de muestra de pulpa, filtrando y separando 400 mililitros de líquido y 1.80 gramos de sólido seco de cada muestra. Luego, se mide la actividad de cada una con un detector de NaI(Te) conectado a un analizador multicanal, el que permite separar los picos de diferentes energías, lo que hace posible la medición simultánea e independiente de isótopos diferentes. Para asegurar que se ha detectado toda la cola de la curva de DTR es necesario que el tiempo total de muestreo sea igual o mayor que 5 veces el tiempo promedio de residencia [7.1].
7.3.3.Medición de DTR en un molino en circuito abierto Consideremos el molino mostrado en la Figura 7.3. Supongamos que se agrega una cantidad Mo de trazador en la alimentación al molino, en un intervalo de tiempo de (0, ∞), siendo CF(t) la concentración de trazador en la entrada, y que éste sale del molino en el mismo intervalo (0, ∞) a la concentración CP(t). El balance de masa da: ∞
M0 =
∞
∫ FCF(t)dt = ∫ FC P(t)dt 0
(7.9)
0
Figura 7.3 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito abierto, Q =F es la alimentación en ton/h.
145
Si suponemos que la función ϕ(t) es la misma para todas las partículas sólidas independientemente de su tamaño, el balance de masa para el trazador se puede expresar en la forma: Material que sale del molino en el intervalo de tiempo entre t = y t+dt con edad t′.
Material que entra al molino en el intervalo de tiempo entre θ y θ + dθ, con 0 < θ < t.
Fracción de este material que sale con edad t − θ entre t y t+dt.
donde t′ = t − θ. Entonces: t
F(t)CP (t) dt =
∫ F(θ) CF(θ) ϕ(t − θ) dθdt 0
Simplificando y suponiendo estado estacionario t
CP(t) =
∫ CF(θ) ϕ(t − θ) dθ
(7.10)
0
Mediante un cambio de variable es fácil demostrar que esta expresión es equivalente a: t
CP(t) =
∫ CF(t − θ) ϕ(θ) dθ
(7.11)
0
La integral de la ecuación (7.11) se denomina convolución y se dice que CP(t) es la convolución de ϕ con CF, y se escribe en la siguiente notación simplificada: CP(t) = ϕ ∗CF(t)
(7.12)
Si el trazador se introduce al molino en un intervalo de tiempo muy pequeño, este estímulo puede ser considerado una función impulso de Dirac: CF(t − θ) = C0 δ(t − θ) donde
δ (t − θ) = 0 si θ ≠ t , ∞
∫ δ(t − θ)dθ =
1 ,
0
y la cantidad de trazador inyectada es: 146
(7.13)
∞
M0 = FC 0 , con C0 =
∫ CP(t)dt
(7.14)
0
De las ecuaciones (7.11) y (7.13) resulta: ∞
CP(t) = C0 ∫ δ(t − θ) ϕ(θ)dθ
(7.15)
0
Usando la propiedad de la función delta de Dirac se obtiene: CP(t) = C0 ϕ(t)
(7.16)
Despejando ϕ(t) se puede concluir que, utilizando un impulso de Dirac como estímulo de trazador en un molino, es posible obtener la función DTR directamente de los valores de concentración según:
ϕ(t) =
CP(t) ∞
(7.17)
∫ CP(t)dt 0
No es necesario conocer el valor absoluto de CP(t) en la ecuación (7.16) para calcular ϕ(t), sino que basta un valor proporcional, como por ejemplo, las fracciones de cuentas n por segundo. Entonces la expresión (7.16) también se puede escribir en la forma:
ϕ(t) =
n(t) ∞
∫ n(t)dt 0
En lo sucesivo trataremos en forma idéntica las variables C(t) y n(t), ya que la unidad en que se mide la concentración es irrelevante.
7.3.4.Medición de DTR en un molino en circuito cerrado En los circuitos de molienda hay molinos que operan en circuito abierto, como los molinos de barras, y otros, como los molinos de bolas, que generalmente trabajan en circuito cerrado. En presencia de recirculación el método experimental para determinar la función DTR descrito en la sección anterior debe ser modificado para permitir tomar en cuenta el trazador que es retornado al molino por el clasificador. Consideremos el circuito de la Figura 7.4 y supongamos que la función DTR es ϕM(t). Aplicando la ecuación (7.10) se obtiene:
147
Figura 7.4 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito cerrado. F=Q(1+C) es la alimentación total al molino, Q es la alimentación fresca y C la razón de recirculación. t
CP(t) =
∫ C (θ) ϕ (t − θ)dθ F
M
0
lo que equivale a: CP(t) = ϕM(t) ∗ CF(t)
(7.18)
Si el trazador se inyecta en forma de un impulso, la concentración del trazador en la alimentación del molino será la superposición del impulso inicial C0 δ(θ) y el pulso secundario CR (θ) (medido en la alimentación del molino) debido al trazador recirculado desde el clasificador. Entonces: CF(θ) = C0 δ(θ) + CR(θ)
(7.19)
donde C0 es la intensidad del impulso inicial dada por:
M0 C0 = = (1 + C)Q
∞
∞
∫ CP(t)dt − ∫ CR(t)dt 0
(7.20)
0
M0 es la cantidad total de trazador inyectado y Q es el flujo de alimentación fresca al molino. Si la concentración del pulso secundario se mide antes de su mezcla con la alimentación, la ecuación (7.19) debe ser reemplazada por: CF(θ) = C0 δ(θ) + CT(θ) C ⁄ (1 + C)
148
(7.21)
ya que CR (θ) = CT (θ) C ⁄ (1 + C) . Reemplazando la ecuación (7.19) en la ecuación (7.18) resulta: CP (t) = ϕM (t) ∗ C0 δ(t) + ϕM (t) ∗ CR (t)
(7.22)
Como la señal del pulso secundario CR(t) no es una función analítica, es necesario resolver la integral de convolución de la ecuación (7.22) en forma numérica. Uno de los mejores métodos se basa en la transformación de la ecuación (7.22) al dominio de frecuencia mediante la transformación de Fourier definida por [7.6]. + ∞
F[C(t)] =
∫ C(t) e − ωjt dt =
C(ωj)
(7.23)
− ∞
donde e − ω j t = cos ωt − jsen ωt, 0 < ω < ∞ , t > 0. Reemplazando la ecuación (7.22) en la expresión (7.23) tenemos: F [CP (t)] = F [ϕ M (t) ∗ C0 δ(t)] + F [ϕM(t) ∗ CR (t)] Usando sobre esta expresión el teorema de convolución de Borel [7.6] resulta: F [CP (t)] = F [ϕM (t)] + F [ϕM (t)]F [CR (t)] o en forma equivalente: CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + ϕM (ωj)CR (ωj)
(7.24)
Despejando ϕM (ωj) de la ecuación (7.24) se obtiene:
ϕM (ωj) =
CP (ωj) C0 + CR (ωj)
(7.25a)
+ ∞
∫C
P
=
(t) e− ωjt dt
− ∞
(7.25b)
+ ∞
C0 +
∫C
R
(t) e−
ωjt
dt
− ∞
Una ecuación semejante se puede obtener definiendo las integrales A, B, C y D en la forma:
149
∞
A=
∞
∫C
R
(t) cos ωt dt,
B=
0
R
(t) sen ωt dt
(7.26a)
(t) sen ωt dt
(7.26b)
0
∞
C=
∫C ∞
∫C
P
(t) cos ωt dt,
D=
0
∫C
P
0
Entonces las concentraciones CR y CF quedan expresadas por: CR (ωj) = A − Bj,
CF(ωj) = C − Dj
y por lo tanto:
ϕM(ωj) =
C(A + C0) + BD BC − D(A + C0) senωjt 2 2 cosωt − (A + C0) + B (A + C0)2 + B2
(7.27)
Midiendo CR(t) y CF(t) se puede calcular A, B, C y D para cada frecuencia en forma numérica usando algoritmos especialmente concebidos, entre los cuales se puede citar la transformada rápida de Fourier [7.7]. La función de distribución de tiempos de residencia ϕM(t) se obtiene usando la transformada inversa de Fourier [7.6]: ∞
1 ϕM(ωj) eωjt dω ϕM(t) = ∫ 2π 0
∞
BC − D(A + C0) 1 C(A + C0) + BD senωt] dω = ∫[ 2 2 cosωt − π (A + C0)2 + B2 (A + C0) + B 0
(7.28)
La Figura 7.5 muestra un ejemplo de deconvolución de una función DTR para un molino de bolas de 3.50 x 4.88 m en circuito cerrado [7.8]. Rogers [7.9] desarrolló un método para determinar la función DTR en molinos en circuito cerrado en el cual no es necesario medir la concentración CR(t) o CT(t) del trazador recirculado. El método es aplicable a cualquier circuito en el que el clasificador retorna al molino una fracción constante a (cortocircuito). Si el trazador consiste en una fracción muy fina del sólido de alimentación, una fracción constante a de este valor volverá en cada instante al molino. El valor de CR(t) para t >0 será (ver Figura 7.4): CR(t) = aCP(t)
(7.29a)
y el valor de CT(t): CT(t) = aCP(t)(1 + C) ⁄ C
150
(7.29b)
Figura 7.5 : (a) Pulsos de concentración de trazador para la entrada y la salida de un molino de bolas industrial de (3.5 x 4.88 m) operando en circuito cerrado. (b) DTR producto de la deconvolución de los pulsos [ 7.8 ].
Entonces, reemplazando la expresión (7.29a) en la ecuación (7.19) y luego ésta en la ecuación (7.22) resulta: CP (t) = ϕM (t)∗C0 δ(t) + aϕM (t)∗CP(t)
(7.30)
Tomando la transformada de Fourier: CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + aϕM (ωj)CP (ωj)
151
y la ecuación (7.25) puede ser reemplazada por:
ϕM(ωj) =
CP(ωj) C0 + aCP(ωj)
(7.31)
El mismo análisis puede ser hecho cuando se traza el agua del molino.
7.3.5.Medición de DTR en equipos en serie En algunos casos es de interés la determinación de las funciones DTR para varios equipos conectados en serie, como por ejemplo, un molino de barras, un molino de bolas y un cajón de bomba. Es posible en estos casos definir una función DTR global y una para cada equipo. Consideremos un proceso constituido por varias etapas en serie, tal como se muestra en la Figura 7.6a, usando la ecuación (7.12) podemos escribir [7.1] C1(t) = ϕ1∗C0(t) C2(t) = ϕ2∗C1(t) | | Ci(t) = ϕi∗Ci − 1(t) | Cn(t) = ϕn∗Cn − 1(t)
(7.32)
Por sustitución sucesiva se obtiene: Cn(t) = ϕn∗.....ϕi∗......ϕ2∗......ϕ1∗C0(t) Por ejemplo en la Figura 7.6a se tiene: t
C1(t) = ϕ1∗C0 ≡
∫ CF(t − θ) ϕ(θ)dθ 0 t
C2(t) = ϕ2∗ ϕ1∗C0(t) ≡
η
∫ [∫ CF(t − θ) ϕ(θ)dθ] ϕ(η)dη 0
0
t
C3(t) = ϕ3∗ϕ2∗ϕ1∗C0(t) ≡
ξ
∫ (∫ [ ∫ CF(t − θ)ϕ(θ)dθ]ϕ(ξ)dξ) ϕ(η)dη 0
152
η
0
0
(7.33)
Definiendo una función DTR global ϕ en la forma:
ϕ = ϕ1∗ϕ2∗......∗ϕn
(7.34)
la ecuación (7.18) se puede expresar en la forma condensada: (7.35)
Cn(t) = ϕ∗C0(t)
_ Por otra parte, denominando M y t la masa total y el tiempo promedio de residencia total del proceso, (ver sección 7.4), tal que: n
M=
∑ Mi, i= 1
_ M t= Q
(7.36)
se puede demostrar que: _ t=
n
∑
_ ti
(7.37)
i= 1
Para medir las funciones DTR de un proceso en serie, se introduce un impulso del trazador en la entrada de la primera etapa y se mide la distribución de concentración del trazador a la salida de cada etapa, como se indica en la Figura 7.6a. La Figura 7.6b da un ejemplo de curvas DTR para un proceso en tres etapas. Como las señales de salida de cada etapa no son funciones analíticas es necesario resolver la ecuación (7.37) de convolución en forma numérica. Usando el método de transformada de Fourier, descrita en la sección 7.3.4., podemos escribir para el término general de la ecuación (7.32): F[Ci(t)] = F[ϕi(t)∗Ci − 1(t)] = F[ϕi(t)]F[Ci − 1(t)]
(7.38)
Figura 7.6a : Proceso constituído por varias etapas en serie. Los números en circuitos indican los puntos de medición.
153
Figura 7.6b : Curvas DTR para un proceso en tres etapas.
lo que escrito en términos de variables de frecuencia es: Ci(ωj) = ϕi(ωj)Ci − 1(ωj)
(7.39)
de donde se puede deducir que:
ϕi(ωj) =
Ci(ωj) Ci − 1(ωj)
(7.40a)
+∞
∫ C (t) e i
=
− ωjt
dt
−∞ +∞
(7.40b)
∫C
i−1(t
) e− ωjt dt
−∞
Definiendo las integrales A, B, C y D en la forma: ∞
∞
A=
∫ Ci(t) cosωt dt, 0
154
B=
∫ Ci(t) senωt dt 0
(7.41a)
∞
C=
∞
∫ Ci − 1(t) cosωt dt,
D = ∫Ci − 1(t) senωt dt
0
(7.41b)
0
y recordando que e− ωjt = cosωt − senωt, la expresión (7.40b) se transforma en: ϕi(ωj) =
A − Bj A C + BD AD − BC ≡ 2 + 2 C − Dj C + D2 C + D2
(7.42)
Para cada valor de ω se puede calcular el valor de ϕi(ωj) usando la transformada rápida de Fourier [7.7]. El valor de ϕi(t) se obtiene de la transformación inversa de Fourier: 1 ϕi(t) = 2π 1 = π
+∞
∫ ϕ (ωj) e i
ωjt
dω
−∞ ∞
∫ 0
[
AD − BD AC + BD senωt] dω 2 2 cosωt − C + D C2 + D2
(7.43)
7.4.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES Los patrones de flujo observados en la práctica pueden presentar diferentes características en lo que se refiere a la varianza o desviación estándar de la función DTR, lo cual está asociado con el grado de mezcla existente en el sistema en cuestión. Los extremos que se pueden presentar son dos: el primero corresponde a una situación de _ mezcla perfecta caracterizada porque la varianza de la distribución es ϕ2 = t2 y el otro extremo asociado a la ausencia total de la mezcla en el sistema, caracterizada por σ2 = 0. Lo anterior permite definir dos reactores ideales, el reactor de mezcla perfecta y el reactor de flujo pistón. El reactor de mezcla perfecta es aquel cuyo contenido es perfectamente homogéneo, de manera que la composición a la salida es exactamente igual a la composición en cada punto interior del reactor. Un balance de materia para el trazador en un mezclador perfecto, puede escribirse en la forma: W
d (C ) = FCF − FC P dt P
(7.44)
y en consecuencia, definiendo τ = W/F se puede escribir:
τ
d [C (t)] + CP(t) = CF(t) dt P
(7.45)
155
Como se concluye de la definición de función DTR, ésta corresponde a la respuesta del sistema cuando la excitación de entrada es un impulso de Dirac, luego si CF(t)= C0 δ(t), y como en este caso CP(t)=C0 ϕ(t) (ver la ecuación 7.16), entonces la ecuación (7.45) se transforma en:
τ
dϕ + ϕ(t) = δ(t), dt
ϕ(0) = 0
(7.46)
ecuación diferencial cuya solución es:
ϕ(t) =
_ 1 − t ⁄τ e o ϕ∗(t∗ ) = e− t∗ , τ = t τ
(7.47)
y que corresponde a la función DTR para mezclador perfecto. Un análisis similar se puede realizar para el reactor de flujo pistón. Teniendo en cuenta que en este caso todo el material pasa sin mezclarse, cada elemento del material permanece en el reactor exactamente el mismo tiempo. La función DTR que se obtiene para esta situación es:
ϕ(t) = δ(t − τ) o ϕ∗(t∗) = δ(t∗ − 1) _ con τ = t.
(7.48)
_ Resulta trivial demostrar en ambos casos que t = τ, puesto que por definición : _ t=
∞
∫ t ϕ(t) dt 0
Para una demostración más general, consideremos un flujo másico F a un reactor que contiene una masa total W. En el intervalo de tiempo de 0 a t, la masa admitida al reactor es Ft. La parte W de esta masa que salió del reactor en el mismo intervalo de tiempo es : t
W(t) = F ∫
θ
∫ ϕ(ξ) dξ dθ
0 0
Por lo tanto: t
Masa material = Ft − F ∫
θ
∫ ϕ(ξ) dξ dθ
0 o
156
t
= F ∫ [1 − 0
θ
∫ ϕ(ξ) dξ] dθ
(7.49)
0
Lo anterior corresponde a la masa de material que permanece en el reactor en el tiempo t. Para tiempos largos, esto es para valores grandes de t, todo el material que había en el reactor en el instante inicial, t=0, ha salida de él, de manera que el material retenido en el reactor será: t
θ
W = lim F ∫ [1 − t→∞
0
∫ ϕ(ξ) dξ]dθ 0
Haciendo τ = W/F, t
θ
τ = lim ∫ [1 − t→∞
0
∫ ϕ(ξ) dξ] dθ
(7.50)
0
Integrando la ecuación (7.50) por partes tenemos: θ
τ = lim [(1 − t→∞
t
t
∫ ϕ(ξ) dξ)θ 0| + ∫ θ ϕ(θ) dθ] 0
0
Como el primer término se anula resulta: ∞
τ=
∫ θ ϕ(θ) dθ ≡
_ t
(7.51)
0
7.5.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS ROTATORIOS Shoji et al. [7.10], Mori et al. [7.11] y Kelsall et al. [7.12] han dado resultados de estudios de DTR en molinos rotatorios pequeños. Austin et al. [7.13] analizaron el resultado de experiencias con fluorescina como trazador en un molino de cemento de dos compartimientos de 4 m de diámetro por 10 m de largo con un flujo de 195 ton/hora y Concha y Pearcy [7.8] han mostrado resultados de ensayos con cloruro de sodio como trazador en molinos de bolas de 3 x 4.25 m y de 3.50 x 4.88 m. Las Figuras 7.7 y 7.8 muestran resultados experimentales típicos de curvas de DTR para molinos de bolas y molinos de barras. Los resultados más precisos sobre DTR disponibles son los reportados por Rogers y Gardner [7.4] usando trazadores radioactivos sólidos. Ellos investigaron tres molinos de bolas con descarga de rebalse en circuito abierto, realizando una corrección por la 157
Figura 7.7 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m.
Figura 7.8 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m.
presencia de la cubeta de descarga. Concluyeron que la función DTR del molino se podía normalizar mediante el tiempo promedio de residencia. El tiempo promedio de residencia del agua fue 15% menor que el del sólido indicando que la densidad de pulpa en el molino fue mayor que la de la alimentación o descarga del molino. Para representar las funciones DTR de molinos encontradas por experimentación y mostradas en las Figuras 7.7 y 7.8 se ha propuesto varios modelos, los principales de 158
Figura 7.9 : Función DTR para mezcladores perfectos iguales en serie.
159
Figura 7.10 : Función DTR para un molino de Bolas industrial de 3.5 x 4.88 m para m ajustado y m=L/D.
Figura 7.11 : Función DTR para un molino de barras de 3 x 4.25 m para m ajustado y m=L/D.
160
los cuales se analizan a continuación: (1) mezcladores iguales en serie; (2) un mezclador grande seguido de dos pequeños; (3)modelo de Rogers- Gardner; y (4) modelo de dispersión axial.
7.5.1.Mezcladores perfectos en serie Para m mezcladores perfectos iguales en serie se tiene (Figura 7.9):
ϕ∗(t∗) =
σ(t) =
mm t∗m − 1 e− mt∗ (m − 1) !
tm − 1 1 e−t ⁄ τ τm (m − 1) !
τT = mτ ; σ2T = σ2T ⁄ m ; σ∗2T = 1 ⁄ m
(7.52)
(7.53) (7.54)
donde t∗ = t ⁄ τT, ϕ∗(t∗) = σTϕ(t), σT∗2 = τT ⁄ τ y τ es el tiempo promedio de residencia de cada reactor. Al comparar las curvas experimentales de DTR, por ejemplo, en las Figuras 7.7 y 7.8, con las curvas de la Figura 7.9 se puede observar que hay cierta similitud entre las curvas con m pequeño (1
7.5.2.Un Mezclador Grande y dos Pequeños Un modelo que ha resultado muy exitoso para representar la función DTR de molinos es el que consiste en un mezclador perfecto grande con tiempo promedio τ1, seguido de dos mezcladores perfectos e iguales de tiempo promedio τ2 en serie. La función DTR en este modelo es [7.15 - 7.16].
ϕ(t) =
τ1 t [exp(− t ⁄ τ1) − exp(− t ⁄ τ2)] − exp(− t ⁄ τ2) (τ1 − τ2) (τ1 − τ2)τ2
(7.55)
con τT = τ1 + 2τ2 . Como τ∗2 = (1 − τ∗1) ⁄ 2, la forma de ϕ∗(t∗), donde t∗ = t ⁄ τT, es solamente función de τ∗1 ;
ϕ∗(t∗) =
τ1 [exp(− t∗ ⁄ τ∗1) − exp(− 2t∗ ⁄ (1 − τ∗1))] − (3τ1 − 1)2 ∗
(3τ∗1
4t∗ exp[− 2t∗ ⁄ (1 − τ∗1)] − 1)(1 − τ∗1)
(7.56)
161
∗ 2 σ∗2 = τ∗2 1 + (1 − τ1) ⁄ 2
(7.57)
La Figura 7.12 muestra la función ϕ∗(t∗). Frecuentemente es necesario flexibilizar la función de la ecuación (7.43) incorporando una sección de flujo pistón de tiempo τ0, de modo que en esa ecuación τ = τ0 + τ1 + 2τ2 y t debe ser reemplazado por t - τ0 en su miembro derecho. La forma de la función permanece sin cambiar, pero las curvas se desplazan en t =τ0 hacia la derecha. En las Figuras 7.13 y 7.14 se comparan las curvas experimentales y las ajustadas por este modelo para los datos experimentales de las Figuras 7.7 y 7.8.
7.5.3.Modelo de Rogers-Gardner Rogers y Gardner [7.4] propusieron un modelo de función de DTR basado en una serie de etapas, cada una de las cuales consistía en dos mezcladores perfectos de distintos tamaños en paralelo, y un reactor de flujo pistón interconectados (Figura 7.15). La
Figura 7.12 : Curvas DTR para el modelo de un mezclador grande seguido de dos pequeños en función de τ∗ = τ1 ⁄ τT.
162
Figura 7.13 : Función DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m según modelo de tres mezcladores en serie.
Figura 7.14 : Función DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m según modelo de 3 mezcladores en serie.
163
función DTR es compleja y da resultados muy semejantes al modelo de dispersión axial que veremos a continuación, ver Figura 7.16.
7.5.4.Modelo de Dispersión Axial El transporte de masa en un molino rotatorio puede ser descrito como un flujo convectivo a lo largo del molino originado por la alimentación en un extremo y la descarga en el otro. Si no existieran los medios de molienda en el interior del molino es muy probable que este flujo convectivo fuese bien descrito mediante el modelo de flujo pistón. Sin embargo, la agitación producida por barras o bolas produce la mezcla o dispersión del material que se superpone al movimiento convectivo, como se muestra en la Figura 7.17. Es así como el transporte de un trazador introducido en el molino puede ser descrito por la ecuación de continuidad del trazador: ∂c ∂f + = 0 ∂t ∂z
(7.58)
donde c(z,t) es la concentración de trazador y f(z,t) es la densidad de flujo del trazador a lo largo del molino. Tal como se dijo, el flujo incluye una componente convectiva de velocidad u=L/τ y una componente de dispersión fD:
Figura 7.15 : Etapa básica del modelo de Rogers y Gardner [7.4].
164
Figura 7.16 : Función DTR para el modelo de Rogers y Gardner con n=4, fa =0.677, fb =0.304, fc =0.019, k=0.217 [7.4].
f (z,t) = u c(z,t) + fD (z,t)
(7.59)
Generalmente la componente dispersiva de un flujo que se origina por mezcla o turbulencia puede ser descrita por una ecuación constitutiva semejante a la ecuación de Fick: fD = − D
∂c ∂z
(7.60)
donde D es el coeficiente de dispersión, medido en cm2/s. En general es posible suponer que D es independiente de z y t y depende solo de variables de operación (ver Figura 7.18), por lo que al introducir la ecuación (7.60) en la ecuación (7.59) y ésta en la ecuación (7.58) se obtiene: ∂c ∂c ∂2c + u = D 2 ∂t ∂z ∂z
(7.61)
La solución de esta ecuación depende de las condiciones iniciales y de contorno. Si suponemos que el trazador se introduce en el instante inicial , t=0, a concentración c0 y que antes de la inyección no existía trazador en el molino, la condición inicial será: c (0,0)=c0 y c(z,0)=0 para 0
previenen la dispersión para z=0 y z=L y por ello el flujo en estos puntos será sólo el flujo convectivo a través de la alimentación y descarga. Recordando que en la entrada sólo hay flujo de trazador en el instante t=0, debemos esperar que para t>0, f(0,t)=0 y f(L,t)=uc(L,t). De la ecuación (7.57) y ecuación (7.58) se deduce entonces las condiciones de contorno en z=0 y z=L para t>0: ∂c ⁄ ∂z |z=0 = uc(0,t) y ∂c ⁄ ∂z |z=L = 0. Resumiendo, las condiciones iniciales y de contorno serán:
c(z,t) =
C0 0
z = 0,
t= 0
0 ≤ z ≤ L,
t= 0
,
,
∂c − uc (z,t) D = ∂z 0
,
z = 0,
t> 0
,
z = L,
t> 0
(7.62)
(7.63)
Es conveniente escribir la ecuación de difusión convectiva, ecuación (7.61), y condiciones iniciales y de contorno, ecuación (7.62) y ecuación (7.51) en forma adimensional. Definiendo los parámetros característicos L= largo del molino, τ= tiempo promedio de residencia y c0= concentración de trazador inyectado, tal que ϕ(z,t)= c(z,t)/c0 y recordando que u=L/τ se puede establecer las variables adimensionales:
Figura 7.17 : Ilustración de la dispersión causada por una rotación de molino.
166
Figura 7.18 : Variación del coeficiente de dispersión D de un molino seco en función de la fracción de llenado de bolas y de polvo.
z∗ = z ⁄ L, t∗ = t ⁄ τ, ϕ∗ = τϕ = τc ⁄ c0 ,
(7.64)
mediante las cuales las ecuaciones (7.59) a (7.63) se transforman a: ∂ϕ∗ ∂ϕ∗ ∂2ϕ∗ + = D∗ ∂t∗ ∂z∗ ∂z∗
(7.65)
Con condiciones iniciales y de contorno :
167
ϕ∗(z∗,t∗) =
1 0
,
z∗ = 0,
t∗ = 0
,
0 < z∗ ≤ 1,
t∗ = 0
1 ϕ∗(z∗,t∗) , ∂ϕ∗ D∗ = ∂z∗ , 0
z∗ = 0,
z∗ = 1,
t∗ > 0 t∗ > 0
(7.66)
(7.67)
Figura 7.19 : Solución a la ecuación de Difusión Convectiva adimensional con condición de contorno completa ecuación (7.67).
168
La solución a estas ecuaciones es complicada y se la puede encontrar en el texto de Austin, Klimpel y Luckie [7.17] . Su representación gráfica se da en la Figura 7.19. Mori et al [7.18] resolvieron la ecuación (7.65) para el caso semi-infinito, esto es, con las condiciones iniciales de la ecuación (7.66) y para las condiciones de contorno se usó ∂ϕ∗ ⁄ ∂z∗ = 0, para z*= ∞ y t*> 0. La solución resultó que: ϕ∗(z∗,t∗) =
ϕ(z,t) =
1 1 exp[− (z∗ − t∗)2 ⁄ (4D∗t∗)] 2 √ πD ∗ t ∗3
1 1 exp[− (z − ut)2 ⁄ (4Dt)] 2 √ π Dt 3
(7.68)
(7.69)
Esta solución, obtenida al utilizar la condición de contorno errada para z=L, se muestra en la Figura 7.20 con D* como parámetro. Se puede observar al comparar las Figuras 7.19 y 7.20 que la solución semi-infinita da curvas bien semejantes a las obtenidas con la condición de contorno correcta para valores de D*<0.1. Como los molinos industriales D*<0.25 el modelo de Mori (solución de la ecuación de difusión convectiva con condición de contorno semi-infinita) es una solución aproximada simple y útil. Las Figuras 7.21 y 7.22 comparan los resultados del ajuste de este modelo con los datos experimentales de las Figuras 7.7 y 7.8.
7.6.MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA ESTACIONARIA La molienda continua puede ser descrita mediante el mismo modelo de la molienda discontinua utilizando la función de distribución de tiempos de residencia para respresentar en forma estadística el tiempo de molienda de cada “partícula ” de material. El modelo se basa en las siguientes suposiciones: (i) El régimen es permanente, (ii) La cinética de conminución puede ser descrita mediante ecuaciones lineales y (iii) la función distribución de tiempo de residencia (t) es única para todos los tamaños de partículas. Denominemos fi y pi a las fracciones de partículas de tamaño i alimentadas y producidas por el molino respectivamente para el tiempo t en una molienda discontinua. W es la masa de partículas retenida en el molino y F el flujo másico de alimentación y descarga. Ver Figura 7.23. Cuando la cinética de molienda puede ser descrita por ecuaciones lineales, la molienda continua se comporta en forma similar a la molienda discontinua, tal que cada fracción de partículas con un tiempo de residencia t-θ en el molino continuo adquiere la misma granulometría que tendría si hubiese sido molida por un tiempo t-θ en forma discontinua. Por este razón la granulometría de salida de un molino continuo se obtiene ponderando la solución de la cinética discontinua para el mismo molino con la función de distribución de tiempos de residencia. Entonces: +∞
pi(t) =
∫ wi(t − θ) ϕ(t −
θ) dθ
(7.70)
−∞
169
Figura 7.20 : Solución de la ecuación de difusión convectiva adimensional con condición de contorno de Mori et al. ∂ϕ∗ ⁄ ∂z = 0, z∗ = +∞, t∗ > 0.
170
Figura 7.21 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m según modelo de difusión de Mori et al.
Figura 7.22 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m según modelo de difusión de Mori et al.
171
Haciendo un cambio de variable se puede demostrar fácilmente que la ecuación (7.70) es equivalente a: ∞
pi(t) =
∫ wi(t) ϕ(t) dt
(7.71)
0
Considerando la solución a la molienda batch, Austin, Klimpel y Luckie escriben la ecuación (7.71) en la forma (ver sección 4.5) : i
pi(t) =
∑ dij fj
,1≤ i≤ n
(7.72)
j= 1
ej dij = i − 1 Cik(ek − ei) = j k
∑
i− 1 ∑ CikCjk k= j Cij = 1 i− 1 1 Sb C Si − Sj ∑ k ik kj k= j
,i= j
(7.73)
,i≠ j
,i< j ,i= j
(7.74)
,i> j
∞
donde : ej =
∫ e− S t ϕ(t) dt j
(7.75)
0
Figura 7.23 : Extensión del concepto de molienda discontinua a molienda continua.
172
Tabla 7.2 Modelos de DTR para molinos rotatorios. Modelo de flujo
ϕ(t)
ej
Pistón
δ(t ⁄ τ)
exp(− Sj τ)
Mezcla perfecta
1 − t ⁄τ e τ
1 1 + Sj τ
m mezcladores perfectos en serie
tm − 1 m e− m t ⁄ τT ( )m τT (m − 1) !
1 (1 + Sj τT ⁄ m)m
1 mezclador grande seguido de 2 pequeños iguales en serie
τ1 [e− t ⁄ τ − e− t ⁄ τ ] − (τ1 − τ2) t e−t ⁄ τ (τ1 − τ2 ) τ2
1 (1 + Sj τ1)(1 + Sj τ2)2
Semi-infinito con dispersión axial (Mori) 4 etapas iguales en serie con flujo cruzado (Rogers-Gardner)
1
2
2
(1 − t ⁄ τ)2 −√ (1 ⁄ τ) 1 + 4D ∗τS j − 1 exp− ∗ exp ∗ 3 ∗ 2√ π D (t ⁄ τ ) 2D 4D (t ⁄ τ) 0 ≤ D∗≤ 0.5 (Ver referencia 7.4)
(Ver referencia 7.4)
173
De la expresión (7.75) se desprende que ej es la transformada de Laplace de la función DTR con respecto a la variable Sj. De esta forma para diversos tipos de ϕ(t) se puede calcular ej, como se muestra en la Tabla 7.2.
7.7.REFERENCIAS 7.1. Comisión Chilena de Energía Nuclear, Obtención de la función DTR para el análisis y modelación de equipos de procesos, Curso Latinoamericano sobre Aplicación de Trazadores Radioactivos en Procesos Industriales y Naturales, Santiago, 1985. 7.2. Mardulier, F.J. and Wightmann. D.L., Rock Products, 74 (1971) #6,74-75; 90-99; #7,78-79; 90-91; 108-110; #8,60-61; 86-88. 7.3. Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, S.C.R., Mining Engineering, 32 (1980), 422-431. 7.4. Rogers , R.S.C. and Gardner, R.P., J.A.I.Ch.E., 24(1979), 229-240. 7.5. Gardner, R.P., Rogers, R.S.C. and Verghese, K., Int. J. App. Radiation and Isotopes, 28(1977), 861-871. 7.6. Korn R.A. and Korn T.M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw Hill, New York, (1961) 4.11.6. 7.7. Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1974. 7.8. Concha, F. y Pearcy F., Fundamentos Dinámicos de la Mineralurgia, Curso Panamericano de Metalurgia Extractiva, Universidad de Concepción, 1985. 7.9. Rogers, R.S.C., Bell, D.G. and Hukki, A.M., Powder Technol., 32(1982), 245-252. 7.10. Shoji, K., Hogg, R. and Austin, L.G., Powder Technol., 7(1973), 331-336. 7.11. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 28(1964), 204-213. 7.12. Kelsall, D.F., Reid. K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 3(1969-70), 170-178. 7.13. Austin, L.G., Luckie, P.T. and Ateya, B.G., Cement and Concrete Research, Pergamon Press, 1(1971), 241-256. 7.14. Herbst, J.A. and Bascur, O. ESTIMILL , Department of Metallurgy and Metallurgical Eng., University of Utah, Salt Lake City, UT, 1979. 7.15. Weller, K.R., Automation in Mining, Mineral and Metal Processing, 3rd IFAC Symposium Proc., O’Shea, J. and Polis, H., eds., Pergamon Press, (1980), 303-309. 7.16. Marchand, J.C.Hodouin, D. and Everell, M.D., Ibid, (1980), 295-302. 7.17. Austin, L.G., Klimpel R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, SME-AIME, Inc., New York, NY (1984), 531-535. 7.18. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Proc. 2nd. European Symp. Zerkleinern, Verlag Chemie, Weinheim, ed. H. Rumpf and W. Pietsch, Dechema Monographien 57, Nr. 993-1026 (1967), 605-632.
174
CAPITULO 8 ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DE BOLAS Y TRANSPORTE DE MASA
8.1.INTRODUCCION Este capítulo muestra los procedimientos para combinar las ecuaciones de ruptura dadas en el capítulo 5 con las ecuaciones de la molienda continua para construir un simulador de la molienda. Esto involucra el cálculo de la ruptura para mezclas de bolas, lo que a su vez requiere la determinación de la distribución de tamaño de las bolas en el molino. Para el escalamiento de los parámetros de ruptura se utilizan las relaciones de Bond para la capacidad, potencia y energía específica de molienda. A continuación se utiliza una relación para el transporte de masa en el molino que toma en cuenta la condición de sobrellenado a flujos de alimentación altos; aquí nuevamente se supone que el método de diseño de Bond es válido bajo condiciones normales de operación.
8.2.POTENCIA DEL MOLINO 8.2.1.Teoría Hay dos enfoques para la derivación de las ecuaciones que describen la potencia requerida para mover un molino rotatorio [8.1-8.4]. El primero trata el problema calculando la trayectoria de las bolas sobre todas las posibles trayectorias. El segundo enfoque [8.5] considera el momento del centro de masa de la carga de bolas y polvo con respecto al centro del molino y considera que debe ser igual al momento de las “fuerzas de fricción” en las paredes del molino. Es instructivo observar el interior de un molino rotatorio de laboratorio acondicionado con una pared lateral transparente, de modo que se pueda estudiar el movimiento de la carga directamente por observación. Una descripción aproximada, como se ve en la Figura 5.1, muestra que una bola entra en la superficie de la carga bajo la marca de la mitad de la superficie y se mueve alrededor del eje hasta que llega a la superficie. Una vez que emerge, rueda hacia abajo por la superficie, de modo que aparece una corriente de bolas, formando una superficie libre que recibe el nombre de cascada. Sin embargo, hay algunas bolas que, junto a parte del polvo son proyectadas en el espacio interior del molino en una trayectoria parabólica que recibe el nombre de catarata. Las barras levantadoras previenen que la carga deslice como un todo por la superficie interior del molino. En principio, un análisis correcto de las fuerzas en los dos enfoques descritos debiera dar el mismo resultado. Sin embargo, el cálculo mediante el torque del centro de 175
Figura 8.1 : Variación de la potencia del molino con la fracción de la velocidad crítica con la carga de bolas como parámetro : molino de laboratorio de 0.6 m de diámetro.
la masa no toma en consideración que un cierto número de bolas está en vuelo, y que por lo menos parte de la energía cinética de estas bolas debe recuperarse al chocar éstas con las paredes del molino. Por otra parte, la descripción de las trayectorias de todas las bolas se torna muy difícil debido a la complejidad de las fuerzas de interacción entre las bolas y especialmente por el polvo atrapado entre ellas. Debido a la complejidad en el análisis teórico del sistema descrito, frecuentemente se utiliza ecuaciones que se basan en experimentos y no en teoría. Aquí daremos un tratamiento elemental al problema de la potencia de un molino que involucra conceptos simples de mecánica y similitud geométrica.
176
_ Definamos la altura media de elevación de las bolas h, a través de la energía potencial media de una bola. Si ρb es la densidad y d es el diámetro de la bola, la energía _ necesaria para levantar cada bola a la altura h es igual a su energía potencial _a esa altura, _ más la energía cinética de rotación m(rω)2 ⁄ 2, donde la masa m = πρb d 3 ⁄ 6, r es el radio medio de la trayectoria de la bola y ω es la velocidad de _rotación. Entonces, la energía _ 3 2 media_ para levantar una bola será proporcional a ρb d [h + ( rω) ⁄ 2]. Se supone aquí que h es independiente de las propiedades de la bola, tales como tamaño o densidad. Haremos la suposición que la forma del movimiento de una bola en molinos de diversos tamaños es similar e independiente del tamaño de éste para un tamaño de bola mucho menor al tamaño del molino y para una longitud del molino tal que haga despreciable los efectos de las paredes laterales. En estos casos es razonable suponer que la_ altura media de elevación de las bolas es proporcional al diámetro del molino, esto es h ∝ D, y por lo tanto la: (energía media para levantar una bola) ∝ ρb d3D Para un determinado porcentaje de llenado del molino, esto es para un valor prescrito de J, el número de bolas en el molino será proporcional al cuociente entre el volumen del molino y el volumen de una bola: (número de bolas presentes en el molino) ∝ D2L ⁄ d3 Se puede suponer que el número de bolas levantadas por unidad de tiempo es proporcional al producto del número de bolas presentes y la velocidad del molino. Como la velocidad del molino es rpm = ϕc 42.3 ⁄ D1 ⁄ 2 , la energía requerida por unidad de tiempo, esto es la potencia mp para mover los medios de molienda, será : mp ∝
42.3ϕc D2L 3 3 ρbd D 1⁄2 d D
mp ≈ K ρbD2.5
(8.1)
donde el valor de K es constante solamente para determinadas condiciones en un molino. Debido a que el modelo utilizado en la derivación de la ecuación (8.1) es sobresimplificado, es preferible introducir un coeficiente variable en el exponente de D, tal que (8.1) se exprese en la forma más general: mp = Kρb D2 + n2
(8.1a)
donde se puede esperar que n2 sea cercano a 0.5. Como se ha supuesto que no hay efecto de las paredes laterales del molino, al doblar el largo de éste se duplican los requerimientos de potencia. El valor de K variará con la magnitud de la carga de bolas en el molino. A pequeñas cargas de bolas en el molino se puede suponer que la potencia aumentará en forma proporcional a la carga, mientras que a mayores cargas la potencia disminuye debido a que a valores altos de J , las bolas que ruedan sobre la superficie forman un pie en la base de la superficie inclinada. Por ello, no son levantadas desde el punto de contacto 177
Figura 8.2 : Coeficiente para la potencia del molino utilizando la ecuación de Beeck para la molienda de cemento, (datos U.S.A. Hackman et al [8.9], D=2.9 a 4.5 m, L/D=2.7 a 3.7, ϕc=0.7 a 0.8).
_ con la carcaza del molino, sino desde la superficie del pie, con lo cual h disminuye. Se espera, entonces, que la potencia pase por un máximo a medida que la carga de bolas aumente, como se muestra en la Figura 8.1.
8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino Tal como vimos en la capítulo 3, Bond [8.6] da una ecuación empírica para la potencia en el eje de un molino de bolas de rebalse : mp ⁄ M = 15.6D0.3ϕc(1 − 0.937J)1 − 0.1 ⁄ 29 − 10ϕc , kW ⁄ ton
(8.2)
en que D es el diámetro interno en metros y M es la carga de bolas en toneladas. El resultado debe ser multiplicado por 1.08 para la molienda seca en molinos de parrillas. También se da una corrección Ss que debe ser subtraída de la ecuación (8.2), para el caso en que las bolas tengan un diámetro máximo dm menor que 45.7 mm (1.8 pulgadas) en un molino de diámetro mayor que D =2.4 m (8 pies). Ss = 1.1(1.8 − dm ⁄ 25.4) ⁄ 2 , kW ⁄ ton
(8.3a)
en que dm está en milímetros. Por ejemplo, para bolas de 12.7 mm (0.5 pulgadas) la corrección es de 0.7 kW/ton. Rowland [8.7] modificó esta relación para molinos mayores que 3.6 m (12 pies) dando: dm 9.84D Ss = 1.1 − , kW ⁄ ton 20 25.4 178
(8.3b)
Figura 8.3 : Potencia neta como función de la carga de bolas y fracción de velocidad crítica para un molino de laboratorio; D=0.6 m, d=26 mm.
en que dm está en milímetros y D en metros. Beeck [8.8] propuso una ecuación empírica para la molienda seca de cemento: mp ⁄ M = 42.3CBe D0.5ϕc , kW ⁄ ton
(8.4)
donde M es la carga de bolas en toneladas métricas y el valor de CBe varía con J como se muestra en la Figura 8.2. En la misma figura se muestran valores de CBe calculados de los valores de J, ϕc y mp en molinos finales de la industria norteamericana de cemento coleccionada por Hackman et al. [8.9]. La práctica industrial del cemento en los Estados Unidos es bastante diferente que la alemana; por ejemplo, el nivel de llenado de bolas es consistentemente mayor, con un promedio de J=0.36; el porcentaje de velocidad crítica está normalmente entre 70% y 80% con un promedio de 75%. La distribución de los datos norteamericanos para CBe se muestra en función de J en la Figura 8.2. Se debe destacar que la medición de potencia en molinos grandes puede no ser muy precisa y que la potencia medida variará también con la eficiencia del motor y la transmisión. La
179
Figura 8.4 : Potencia neta por tonelada métrica de medios de molienda como función de la carga de bolas a 70% de la velocidad crítica para molinos de laboratorio.
disposición de los datos originales muestra que los molinos de grandes diámetros tienen una potencia específica mp/M significativamente mayor, sin embargo los datos están demasiado dispersos para obtener un valor preciso del exponente de D. La Figura 8.3 muestra la variación típica de la potencia con la carga de bolas, a varias fracciones de velocidad crítica. La potencia máxima resulta a fracciones de llenado de 45% para cada velocidad de rotación. Haciendo cálculos con la expresión ϕc(1 − 0.1 ⁄ 29 − 10ϕ ) en la ecuación (8.2) de Bond , se puede demostrar que ella no da la forma correcta de variación con la velocidad de rotación para este molino. Un ajuste empírico de los resultados da: c
mp ∝ (ϕc − 0.1)
1
1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]
para 0.4 < ϕc < 0.9
(8.5)
La Figura 8.4 muestra los resultados de potencia por tonelada de medio de molienda como función de J. El resultado no se ajusta a la relación de Bond de (1-0.937J) Como conclusión se propone que la ecuación de Bond sea usada para molinos grandes, D>2 m y que para molinos más pequeños, usados en el modo discontinuo y en seco, se utilice la siguiente ecuación para la potencia neta: 180
(1−0.937J) (ϕc − 0.1) mp ⁄ M = 13.0D0.5 , kW ⁄ ton 5 1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)] (1+5.95J )
(8.6)
donde D está dado en metros y M en toneladas métricas. Esta ecuación es válida para la potencia neta en la molienda discontinua seca, mientras que la ecuación de Bond es válida para la potencia en el eje, en molienda continua húmeda de molinos de rebalse. Se realizó una experiencia con un molino de 0.82 m de diámetro interior por 1.53 m de largo, provisto de rodamientos hidráulicos, que consistió en operar el molino en forma discontinua en seco y continua en circuito abierto y en húmedo, a los mismos valores de J y ϕc. Se comprobó que la operación continua dio un valor de potencia 1.07 veces mayor a la operación discontinua y que debía agregarse otro factor de 1.10 para tranformar la potencia neta en potencia en el eje. Entonces la razón de potencia para el molino en operación continua húmeda a discontinua seca es de 1.18. Esto da la intersección para molinos pequeños en la Figura 8.5 (línea sólida) con la ecuación de Bond a D=2.5 m (8 pies) para J=0.35. Un aumento de la velocidad de rotación del molino hace que más bolas volteen por unidad de tiempo, y por lo tanto, que aumente la potencia requerida para mover el molino. Sin embargo, a velocidades de rotación superiores al 70 a 80% de la velocidad crítica, este aspecto es contrarrestado por el aumento del pie de la carga. Por lo tanto, la potencia requerida para operar un molino rotatorio de bolas es una función compleja de la frecuencia de las acciones de volteo y de la altura de éste, las que actúan en sentido contrario para dar una potencia máxima en la región de 0.4
Diámetro del Molino, m Figura 8.5 : Potencia del molino por tonelada métrica de medios de molienda, como una función del diámetro del molino (ϕc=0.7).
181
Figura 8.6a : Vista a través de la sección y dimensiones para lainas corrugadas, barras levantadoras y lainas en espiral angular.(ver Fig. 8.6b)
Figura 8.6b : Potencia neta para un molino de bolas de 0.9 m x 1.52 m con diferentes lainas y operado con una carga de bolas del 35% (por volumen).
182
Figura 8.7 : Velocidades de fractura específica para cuarzo molido en un molino de 0.9 m x 1.42 m con lainas ; (C) corrugadas, (B) barras levantadoras y (A) espiral-angular.
que otros a la misma fracción de velocidad crítica y carga de bolas, y por lo tanto, deberían dar una potencia máxima a diferentes valores de J y ϕc. Parece que en la literatura existen pocas relaciones cuantitativas sobre el efecto del diseño de barras levantadoras. Por ejemplo, Rowland [8.7] muestra una potencia máxima a J =0.42 para un molino de 18 pies de diámetro interno, con bolas de 75 mm (3 pulgadas) en la recarga ; lainas nuevas de onda simple dan 10% mayor potencia que la dada por la ecuación de Bond y lainas nuevas de doble onda dan 10% menos potencia que la dada por el cálculo de Bond. Rogers y colaboradores [8.10] informaron sobre la diferencia en la ruptura normal (dominada por efecto de cascada) y ruptura anormal (dominada por catarata) producida por tres diferentes diseños de lainas en un molino de 0.9 m de diámetro, a un valor fijo de la fracción de velocidad crítica. Las Figuras 8.6 y 8.7 dan sus resultados. A valores de 70% de la velocidad crítica, las lainas corrugadas y las angulares requirieron casi la misma potencia, pero la laina corrugada dio mayores velocidades de ruptura normal (más cascada) y menores velocidades de ruptura de tamaños grandes (menor catarata). Las barras levantadoras dieron menores potencias pero una ruptura igualmente efectiva que las lainas en espiral, a la velocidad indicada. La Figura 8.8 muestra un efecto equivalente en un molino de laboratorio (molienda seca). Las bolas de mayor diámetro son menos propensas a caer en catarata por efecto del levantador, de modo que el molino presenta más cascada y menos catarata. Con las bolas más pequeñas ocurre lo contrario. Las bolas de mayor diámetro consumen un poco 183
Figura 8.8 : Variación de la potencia de un molino con la fracción de la velocidad crítica para un molino de laboratorio, con el tamaño de bola como parámetro (D=0.6 m, J=0.35, fc=0.14).
más potencia a las velocidades bajas que favorecen la cascada, mientras que las bolas más pequeñas muestran un mayor consumo de potencia a las velocidades mayores que favorecen la catarata.
8.3. OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARA MOLINOS ROTATORIOS De los argumentos dados en la sección anterior, se puede concluir que los molinos de bolas deben ser operados a valores de J y ϕc cercanos al máximo consumo de potencia, 184
ya que esto da la capacidad máxima de producción del molino. Sin embargo, el costo de moler, por tonelada de producto, es dependiente de un cierto número de costos fijos y variables. Estos incluyen el costo de capital del molino (CM en $), el costo de la carga de bolas y lainas (CB en $), el costo de la energía usada por tonelada molida (cE en $/ton), el costo de reemplazo de acero desgastado de bolas y lainas por toneladas molida (cB en $/ton), costo de mantención por tonelada molida (cR en $/ton) y finalmente, otros costos fijos tales como supervisión, sistemas de control, etc. (CL en $). Es el costo neto por tonelada de sólido procesado el que debe ser minimizado. Consideremos una inversión y situación de impuestos en que la conversión de cargas fijas a la base horaria es de R $ por hora por $ de costo fijo. Entonces el costo de molienda será: (Costo molienda en $/ton)=
R (C + CB + CL) + (cE + cR + cB) Q M
(8.7)
donde el producto promedio es Q TPH. A una energía específica de molienda de E kWh/ton, esto requerirá una potencia de mp=QE. Esta potencia puede ser usada para mover un molino de volumen V1 con un valor de Jm que da el mayor valor de la potencia, pero también puede ser usada para mover un molino mayor, de volumen V2, con un valor menor J2; esto es V1Jm >V2J2, ver Figura 8.4. En el segundo caso, CM aumentará pero CB disminuirá por que se usarán menos toneladas de bolas, y por añadidura, el valor de cE será menor. Obviamente, el mínimo en el costo de molienda depende de los costos relativos del volumen del molino y de la carga de bolas, de cómo el costo aumenta con el volumen del molino y del valor de cE para varias cargas de bolas. El valor de cB depende tanto de la velocidad de rotación de molino como de la abrasividad del material, mezcla de bolas, etc. Un molino de mayor diámetro significa mayores valores de la velocidad periférica, ya que la velocidad periférica = πDϕc (42.2 ⁄ √ D ) = 132ϕc √ D m/min. Un deslizamiento en las paredes del molino dará mayor desgaste para mayores velocidades periféricas, como también lo dará el impacto de la catarata de bolas, especialmente de las bolas mayores. Como se muestra en la Tabla 8.1., Rowland y Kjos [8.11] recomiendan que la fracción de velocidad crítica ϕc sea reducida para molinos grandes, presumiblemente para reducir el nivel de acción de catarata y compensar por la mayor velocidad periférica.
Tabla 8.1 Velocidad de rotación recomendada por Rowland y Kjos para molinos de bolas [8.11]. Diámetro interno m 0-1.8 1.8-2.7 2.7-3.7 3.7-4.6 >4.6
% de la velocidad crítica recomendado 80-78 78-75 75-72 72-69 69-66
185
Una conclusión similar fue informada por Trelleborgs Gummifabriks AB [8.12] para barras levantadoras de goma; se observó una reducción de la vida útil de las barras levantadoras de 4 a 1 cuando la velocidad de rotación fue aumentada más allá de 75% de la crítica, con la vida útil aproximadamente proporcional al recíproco del diámetro de la bola a una determinada velocidad de rotación.
8.4.DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS Bond [8.6] hace un tratamiento del desgaste de bolas basado en dos suposiciones: (i) que la velocidad de desgaste de una bola es proporcional a su superficie y (ii) que la recarga de bolas consiste de solamente un tamaño. La formulación que sigue extiende el tratamiento de Bond para casos con otras leyes de desgaste y formas de recarga de bolas. Utilizamos el simbolismo de la Figura 8.9. Durante el desgaste de las bolas no hay problema en distinguir entre las bolas y el polvo producto del desgaste, de modo que este polvo puede ser considerado simplemente como masa perdida de la carga de bolas. Consideremos una unidad de masa de bola en el molino que contiene un número total de bolas NT, con una distribución fraccional acumulativa en número igual a N(r), en que r es el radio de la bola. Designemos por nT el flujo o número de bolas adicionales por unidad de tiempo en la recarga, con una distribución acumulativa en número igual a n(r). El flujo de bolas en la recarga depende de la velocidad de desgaste de las bolas en el molino (la masa perdida debe reponerse) por lo que se puede hacer el siguiente balance en número para las bolas que se desgastan a tamaños menores a un radio r. Designaremos con f(r) la tasa de desgaste lineal (L/T) de una bola de tamaño r, (f(r) = dr/dt). En un intervalo de tiempo diferencial dt una bola de tamaño r + dr se desgastará justo hasta el tamaño r. Por lo tanto, el número de bolas Número de bolas que se desgastan a tamaños menores a r en el tiempo dt
=
Número de bolas que se adicionan al molino como recarga en el tiempo dt
que se desgastan a tamaños menores a r por unidad de tiempo será igual al número de bolas que existe en ese rango de tamaño, es decir, NT(dN(r)/dr)dr. Por otra parte para reponer estas bolas es necesario adicionar en el intervalo de tiempo dt un número de bolas igual a nT(1-n(r)dt, por lo que se puede establecer el siguiente balance en número en el estado estacionario: NT
dN(r) dr = nT(1 − n(r)) dt dr
de donde resulta: NT
186
dN(r) f(r) = nT(1 − n(r)) dr
(8.8)
Figura 8.9 : Ilustración del balance en número de bolas en un molino en el estado estacionario.
La tasa lineal de desgaste f(r) es un parámetro característico del material y de las condiciones de operación y debe ser determinado experimentalmente. Supongamos la siguiente ecuación constitutiva para el desgaste lineal para f(r) :
f(r) = κr∆
(8.9)
Sustituyendo la ecuación (8.9) en la ecuación (8.8) y rearreglando se llega a la ecuación diferencial que da la distribución en número de bolas en un molino en el estado estacionario: dN(r)
dr
=
nT 1 − n(r) κNT
r∆
(8.10)
Para integrar esta ecuación es necesario estipular la distribución de bolas en la recarga n(r). Si la recarga es un monotamaño r1, con n(r)=0 para r
187
nT 1−∆ 1−∆ (1 − ∆)κNT r − rmin N(r) = nT κN ln(r ⁄ rmin) T
, ∆≠ 1 (8.11) , ∆= 1
Para r = r1, la ecuación (8.11) da: 1−∆ 1−∆ κNT r1 − rmin = (1−∆) nT ln(r1 ⁄ rmin)
,∆ ≠ 1 ,∆ = 1
(8.12)
Reemplazando en la ecuación (8.11) se obtiene: − ∆ r1 − ∆ − r1min 1− ∆ 1− ∆ N(r)= r1 − rmin ln(r ⁄ rmin) ⁄ ln(r1 ⁄ rmin)
,∆ ≠ 1
(8.13)
,∆ = 1
Recordando que los cálculos se están haciendo por unidad de masa de la carga de bolas en el molino, la relación entre la fracción en número de bolas menores al tamaño r en el molino N(r) y la fracción en masa M(r) es: dN(r) dM(r) 4π 3 r ρb NT = dr 3 dr
(8.14)
Reemplazando la ecuación (8.10), recordando que n(r)=0 para r
4−∆ d 4 − ∆ − dmin
d1
4−∆
4−∆ min
− d
, dmin ≤ d ≤ d1
(8.15)
donde: −∆ r41 − ∆ − r4min =
(4 − ∆) κ (4 ⁄ 3)πρnT
(8.16)
M(d) es la fracción acumulativa en masa de bolas de diámetro menor a d en la carga del molino y d1 es el diámetro de las bolas en la recarga. . El flujo másico de bolas en la recarga m1 se relaciona al flujo en número nT . mediante m1 = (4 ⁄ 3) πr31 ρb nT. Tomando en cuenta la ecuación (8.16) podemos escribir:
188
. (4 − ∆) κr31 m1 = − ∆ r41 − ∆ − r4min
(8.17)
Para una cinética de orden cero, ∆=0, esta expresión se simplifica a: . m1 =
8 κ ⁄ d1 ≈ 8 κ ⁄ d1 1 − (dmin ⁄ d1)4
(8.18)
ya que (dmin ⁄ d1)4 ≈ 0. Para una recarga con bolas de más de un tamaño, la distribución de tamaño de las bolas en el molino resulta ser la suma ponderada de los valores predichos para adiciones de monotamaños en la recarga, esto es:
d4−∆ − m1′ 4 − ∆ d1 − __ M(d) = d4− ∆ − m ′ 1 4− ∆ − d1 etc.
4−∆ dmin 4−∆ dmin
, d2 < d ≤ d1
+ m2′ + m3′ +
4− dmin
∆
4− dmin
∆
+ m2′
4− d 4 − ∆ − dmin
∆
4− d24 − ∆ − dmin
∆
+ m3′ + , d3 < d ≤ d2
(8.19)
etc.
donde m1′, m2′, etc., son respectivamente las fracciones en masa de bolas en el molino derivadas de tamaño d1, d2, etc. en la recarga. Los valores de m′1, m′2, etc. se obtienen de: . . mi′ = (m∗i ⁄ mi) ⁄ ∑ (m∗k ⁄ mk)
(8.20)
k
donde m∗i es la fracción (de masa) de la recarga con bolas de tamaño di y los valores de . mi resultan de : . mi =
(4 − ∆)κri3
(8.18a)
ri4 − ∆ − rmin4 − ∆
. El flujo total de bolas en la recarga por tonlada de bolas dentro del molino mT es ahora: . . . mT = m′1m1 + m′2m2 + ......... =
1 m∗i
(8.20a)
∑ m. i i
189
Tabla 8.2 Indices de Abrasión Promedios [8.16]. Material
Peso específico
Ai
Dolomita Shale Caliza Clinker de cemento Magnesita Sulfuros pesados Mineral de cobre Hematita Magnetita Gravilla Roca (trap) Granito Taconita Cuarcita Alúmina
2.7 2.62 2.7 3.15 3.0 3.56 2.95 4.17 3.7 2.68 2.80 2.72 3.37 2.7 3.9
0.016 0.021 0.032 0.071 0.078 0.128 0.147 0.165 0.222 0.288 0.364 0.388 0.624 0.775 0.891
Aun cuando en estas ecuaciones se ha considerado que κ es una constante, es posible imaginar que ella puede depender de la distribución de bolas en el molino, ya que ella alteraría la probabilidad de impacto de las diversas bolas. Como esta distribución depende de la distribución de la recarga, κ sería función de esta recarga.
8.5.DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS La abrasividad de un determinado material se determina usualmente mediante algún tipo de ensayo empírico de abrasividad [ 8.13 - 8.15]. Cada fabricante ha desarrollado su propio ensayo y algunos usuarios también han desarrollado ensayos específicos de acuerdo a sus necesidades. La discusión de tales ensayos no se hará en este texto, especialmente porque no hay ensayos comparativos de los diversos métodos con un mismo material. Sólo mencionaremos el test de Bond [8.16], desarrollado en base a un ensayo informado por la Pennsylvania Crusher. Basado en este ensayo, Bond dio las siguientes relaciones para el desgaste en molino de bolas:
Molienda húmeda:
Molienda seca
:
Bolas 0.16(Ai − 0.015)1 ⁄ 3
kg ⁄ kWh
Lainas 0.012(Ai − 0.015)0.3
kg ⁄ kWh
Bolas 0.023A0.5 i
kg ⁄ kWh 0.5
Lainas 0.0023Ai
(8.21)
(8.22)
kg ⁄ kWh
Para estas expresiones no se indicó la desviación estándar. La Tabla 8.2 da los índices de abrasión promedios para varios materiales [8.16]. 190
Una bola típica de un molino rotatorio seco muestra rayas superficiales indicando abrasión [8.16]. Las bolas provenientes de la molienda húmeda son más suaves pero tienen picaduras, indicando el rol de la corrosión en la pérdida de metal. No hay duda que las microsuperficies formadas por abrasión, bajo esfuerzos mecánicos, son altamente reactivas hasta que los enlaces químicos son estabilizados por reacción con el fluido de la molienda [8.17] Por esta razón se espera que el desgaste de metal en la molienda húmeda sea altamente variable comparado con el indicado por el ensayo de abrasión en seco, dependiendo de las propiedades corrosivas (electroquímicas) del sistema [8.18]. Los índices de abrasividad sólo deben ser usados con fines comparativos. Predicciones precisas de consumo de acero deben ser hechas con ensayos en molinos reales. Uno de los datos más antiguos es el de Davis [8.19] que indica que para un molino cónico Hardinge y para un molino en seco de DxL = 6 x 8 pies, la ley de desgaste fue ∆=1, correspondiente a una pérdida de “masa proporcional a la masa de las bolas”. Lorenzetti [8.20] encontró que la ecuación (8.23) daba una aproximación para el desgaste de bolas con ∆ =0, para molienda húmeda, dando un valor para la velocidad específica de desgaste lineal κ entre los valores 3.8 < κ < 15.4 µm/hora, para un mineral blando de fierro y uno duro de cobre , usando bolas Armco Moly-Cop. Austin y Klimpel [8.13] analizaron datos de un molino industrial de rebalse en húmedo de DxL = 4.3 x 5 m, usando bolas de acero de peso específico 8.5 y dureza Brinell de 600, con una carga de bolas de 110 toneladas. El molino se operó con recarga de monotamaño de bolas en dos condiciones de operación: usando bolas de 100 mm en la recarga, para un tonelaje de 1600 ton/día, en que el consumo de acero fue de 1.25 kg/ton de mineral tratado o de 0.0676 kg/kWh; para una recarga con 100% de bolas de 75 mm, y un flujo de 1480 ton/día, el consumo de acero fue de 1.82 kg/ton ó 0.0984 kg/kWh. Los datos experimentales ajustaron bien la ecuación (8.23) con ∆ = 2, dando un valor de la velocidad específica de desgaste lineal de κ=7.6x10-6 1/[mm hora], para las bolas originadas de las de 100 mm y κ =12.3 x 10-6 1/[mm hora] para las originadas de las de 75 mm. En este ensayo parece que las bolas grandes se gastaron más rápidamente que las más pequeñas, en relación a lo que predice la expresión de Bond, dando como resultado una distribución de bolas más plana. También parece que las tasas de desgaste serían más grandes en la mezcla de bolas menores. Por ejemplo, la tasa de desgaste lineal de las bolas de 75 mm fue de 11 µm/hora para la mezcla de bolas mayores y 17 µm/hora para la mezcla de bolas menores, correspondiente a tasas de pérdida de peso de 1.6 y 2.6 g por bola y por hora, es decir, una razón de 1.6/2.6 ≈ 1.7. Como el número total de bolas en el molino se puede obtener de las ecuaciones (8.12) y (8.16) para ∆ ≠ 1: 1−∆ 1−∆ 6 4 − ∆ d1 − dmin NT = 4−∆ 4−∆ πρb 1 − ∆ d1 − dmin
(8.23)
y para ∆ =2 y dmin = 12 mm la razón entre NT (d1 = 75 mm) /NT( d1 = 100 mm) ≈ 1.7, se puede suponer que la mayor velocidad de desgaste para la mezcla de bolas menores se debe a que el mayor número de bolas existentes produce un aumento del número de colisiones por unidad de tiempo.
191
En el mismo trabajo, Austin y Klimpel informan el resultado de desgaste de bolas, para un molino de DxL=4x4.8 m en húmedo, moliendo 1000 ton/día de mineral de oro, el que se ajusta a una cinética de orden cero, esto es ∆=0, dando una constante específica de 18 µm/hora. Menacho y Concha [8.21] informaron de las tasas de desgaste para tres molinos industriales de la industria de cobre, ajustando todos a una cinética de orden cero (∆ =0). Las velocidades específicas obtenidas fueron: κ=4.9 µm/hora para un molino de DxL=3.7x2.9 m con una carga de bolas de 47.6 ton, operando a 121 ton/hora con recarga de 100% 50.8 mm; κ= 3.7 µm/hora para un molino de DxL=4.3x3.0 m, con una carga de bolas de 67.6 ton, operando a 130 ton/hora con recarga de 50% 50.8 mm y 50% 38.1mm y κ=4.6 µm/hora para un molino de DxL=3.9x3.7 m, operado a 155 ton/hora con una recarga aproximada de 39% 76.2 mm, 10% 63.5 mm y 51% de 50.8 mm y una carga de bolas de 106.6 ton. De los resultados informados se desprende que la evidencia industrial mayoritaria indica una cinética de orden (∆ =0) para el desgaste de bolas. Cualquiera sea la cinética expresada mediante el índice ∆, la ecuación (8.20) expresa que el consumo de acero en toneladas por hora, por tonelada de bolas, es constante para una determinada recarga de bolas y condición de molienda: . mT = κ (constante)
(8.24a)
Por lo tanto, el consumo de acero para un molino cilíndrico de diámetro D y largo L será: Cons. bolas kg ⁄ h = (103)(constante)(κ)(πD2L)(0.6J)(ρb)
(8.24b)
donde J es la fracción de llenado del lecho de bolas. Sin embargo, se debe recordar que el desgaste por abrasión es un proceso cinético, comparable a la fractura, de modo que se puede esperar que la velocidad específica de desgaste varíe con el diámetro del molino, con la velocidad de rotación y con la carga de bolas de alguna manera semejante a la velocidad específica de fractura. Por ejemplo, para valores comparables de J y ϕc: κ ∝ D0.5
(8.24c)
Esta es una tasa de abrasión que depende del número promedio de impactos de las bolas en la superficie rodada libre (∝ D) y de la rotación por unidad de tiempo (∝ 1 ⁄ √ D ), esto es, una dependencia de D ⁄ √ D = √D . Reemplazando la ecuación (8.24c) en la ecuación (8.24b) resulta: Consumo bolas kg ⁄ h ∝ D2.5L esto es, es proporcional a la capacidad del molino en toneladas de mineral por hora y también a la potencia en kW. Se concluye que el desgaste en kg de acero por tonelada 192
Figura 8.10a : Tasa de desgaste para bolas o conos como función del tamaño del producto que sale del molino : circuito abierto ; D=0.6 m; gravilla de cuarzo ; pulpa de 75% de sólido en peso.
de mineral debería ser aproximadamente constante y el desgaste expresado como kg de acero por kWh debería también ser aproximadamente constante, siempre que las demás condiciones sean constantes. Si las condiciones no fuesen constantes, esto es, si el flujo de mineral no es el adecuado para llevar una determinada alimentación al mismo producto, estas reglas no pueden ser aplicadas. Obviamente para una molienda más fina el mineral permanece por más tiempo en el molino, de modo que el desgaste por tonelada de producto debe aumentar. Sin embargo, hay otro factor que se debe tomar en cuenta. Una molienda más gruesa implica la presencia de partículas más grandes en el molino, las que pueden producir una acción de desgaste más intensa. Esto es comparable a un desgaste más rápido con un esmeril construido con partículas mayores. La Figura 8.10 muestra resultados de ensayos en un molino continuo de laboratorio de 0.6 m de diámetro por 0.6 m de largo operado a una velocidad de 77% de la velocidad crítica, con bolas de 60 mm y conos del mismo tamaño [8.21]. El material de alimentación era gravilla de cuarzo con un tamaño de 95% en el rango de 0.85 a 3.35 mm, en una pulpa de 75% de sólidos en peso. Estos resultados pueden probablemente ser usados para corregir las tasas de desgaste para diversas distribuciones de tamaño del producto en el molino, de acuerdo a lo indicado por el producto que sale del molino según la Tabla 8.3, o usando la ecuación (8.25) (ver Figura 8.10b). (Tasa desg. x% más que 75 µm) = (Tasa desg. y% más que 75 µm) (
1.5 + x ⁄ 10 ) (8.25) 1.5 + y ⁄ 10
193
Tabla 8.3 Tasa de desgaste relativa para diversas granulometrías que salen del molino. Tamaño del producto 80% menor : µm
Tasa de desgaste relativa
425 300 212 150 106 75 53
2.48 2.22 1.89 1.55 1.27 1.00 0.79
8.6.CALCULOS DE CARGA BALANCEADA En el capitulo 5 se dio las siguientes ecuaciones para el escalamiento de las velocidades de ruptura con una mezcla de n clases de bolas : 1 C C C C Si (d) = aT (xi ⁄ x0)α 2 3 4 5 Λ 1 + (xi ⁄ C1µT)
(5.23)
donde, C1 = (D ⁄ DT)N (d ⁄ dT)N3 2
1 + (d∗ ⁄ dT) C2 = (dT ⁄ d)N , ∗ 1 + (d ⁄ d) 2
(D ⁄ DT)N1 C3 = N1 (D0 ⁄ DT)
d∗ = 2 mm , D ≤ D0 = 3.8 m
(D ⁄ D0)N
1
− ∆
, D ≥ D0 = 3.8 m
1 + 6.6JT2.3 exp[− c(U − UT)] C4 = 2.3 1 + 6.6J ϕc − 0.1 1 + exp[15.7(ϕcT − 0.94)] C5 = ϕcT − 0.1 1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)] _ Si =
m
∑ mk Si (dk)
(5.13)
k= 1
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas inmediatamente durante la puesta en marcha de un molino, ya que en ese caso se conoce los valores de dk y mk. Sin embargo, para una 194
Figura 8.10b : Tasa de desgaste κ como función del % menor a 75 µm en el producto de molienda de gravilla de cuarzo en un molino de D=0.6 m, con pulpa de 75% de sólido en peso, a 77% de la velocidad crítica y con bolas de 60 mm.
distribución continua de bolas, como por ejemplo la carga balanceada de Bond, es necesario dividir la carga de bolas en conjuntos arbitrarios de clases, con un tamaño promedio adecuado, o alternativamente, integrar sobre toda la distribución de bolas. Esta sección da ecuaciones para este cálculo. 2 para definir Se prefiere usar una secuencia de tamaños de bolas de acuerdo a 4√ las clases (Tabla 8.4). Esto da un rango lo suficientemente pequeño como para que un tamaño de bola promedio, definido como el promedio geométrico de los límites de cada dkmdkl , de la velocidad global de ruptura que daría una integración en el rango. clase dk = √ En la definición de dk, dkm es el límite superior y dkl el límite inferior de la clase k. Para una recarga de bolas de tamaño d1 , la ecuación (8.15) permite calcular mk con dmin
195
Tabla 8.4 Clases de bolas típicas para una carga balanceada proveniente de una recarga con 2 . monotamaño de 2 pulgadas y con ∆ = 0 y R=1/4√ Clase k pulgadas
Clase k mm
mk
50.8× 42.7
Tamaño promedio dk mm 47.0
2.0× 1.68 1.68× 1.41
42.7× 35.9
39.5
0.254
1.41× 1.19
35.9× 30.2
33.2
0.126
1.19× 1.00
30.2× 25.4
28.0
0.064
1.00× 0.84
25.4× 21.4
23.4
0.032
0.84× 0.71
21.4× 18.0
19.8
0.016
_ Si (dj) =
∑ mk Si (dk )
0.507
(8.24a)
k
dkm
mk =
∫ dM =
dkl
4−∆ − dkl4−∆ dkm
4−∆ d 4−∆ − dmin
(8.25)
y donde dkl y dkm son los tamaños de bolas que limitan la clase k. Designando por R la razón R=dkl/dkm, la ecuación (8.25) se reduce a: mk =
(1 − R4 − ∆ ) R(k −
1)(4 − ∆)
∆)
1 − Rn (4 − B
, k = 1,2,…,nB
(8.26)
donde nB es el número de clases de bolas en el molino hasta dmin. Cada clase es representada por un tamaño promedio dk definido en forma tal que se cumpla la expresión. dkm
mk (dT ⁄ dk)N = 0
∫
(dT ⁄ d)N dM 0
dkl
Utilizando el valor de dM dado con anterioridad e integrando se obtiene: 1 ⁄ No
4 − ∆ − No dk = dkm 4− ∆
1 ⁄ N0
1 − R4 − ∆ 4−∆−N 1−R
(8.27)
0
Con ∆=0 y R=1/4√ 2 , para varios valores de No resulta: No=1,dk/d km =0.925; No=0.75, dk/dkm =0.925; No =0.5, dk/dkm=0.926. Como el promedio geométrico da dk/dkm =0.92, queda demostrado que éste es una aproximación suficiente del intervalo de tamaño. El efecto global_ de recarga con diversos tamaños dj con fracciones en masa mj∗ resulta en un valor de Si: 196
_ Si =
_ m ′ j ∑ Si (dj)
(8.28a)
j
donde mj′ se obtiene de la ecuación (8.20) con (8.18a). Hay dos métodos para tomar en cuenta la variación del parámetro B con el tamaño de bolas, para la molienda normal. __ Si el método de clase de bola es usado para los valores de S, el conjunto de valores de Bij se puede calcular automáticamente de: nB
__ Bij =
∑
mkSj (dk )Bij (dk)
k= 1
_ Sj
(8.28b)
siempre que se ingresen los valores Bij(dk) para cada clase de bola.
__ Por otra parte se ha encontrado que el conjunto de valores medios Bij, para la ruptura normal en una carga balanceada, _ __ _ también se puede ajustar mediante la forma usual, con valores apropiados de γ, Φ y β. Para una distribución continua de tamaño de bolas, la ecuación (8.29) se transforma en: dmax
Bij =
Bij_(d) M(d) Sj
∫ Sj(d) dmin
(8.29a)
donde Bij(d) es el valor de Bij para bolas de tamaño d. Si se define una variable f(d,i,j)= Bij(d) /Bij(ds ) y se supone que Sj(d)∝ 1/dNo, en la zona de ruptura normal, la ecuación pasa a ser: __ Sj(ds) Bij = Bij(ds) _ dsN Sj
d1 0
∫ (1 ⁄ d N ) f (d,i,j) dM(d)
(8.29b)
0
dmin
Reemplazando dM por el correspondiente a una carga balanceada resultante de una recarga con monotamaño, resulta: d1
3−∆−N __ 4−∆ Sj(ds) d d ,j) f (d,i d (8.29c) Bij = Bij(ds) _ ∫ ds S d 4−∆ 4−∆ i (d1 ⁄ ds) s − (dmin ⁄ ds) dmin o
Esta ecuación fue integrada numéricamente usando valores normalizados de Bij según: γ
β
xi− 1 xi−1 Bij(ds) = Φ + (1 − Φ) xj xj
, n≥i>j
197
Tabla 8.5 Variación de los parámetros de Bij con la mezcla de bolas en un molino para ∆=0. __
_
Φ⁄ Φ
β⁄β
0.72 0.82
1.08 1.08
0.96 0.98
2.0
0.90
1.06
1.00
β = 2.9
1.75
0.93
1.05
1.00
Cuarzo
γ = 1.10
1.5 3.0 2.5
0.97 0.73 0.83
1.02 1.08 1.08
1.00 0.92 0.97
Φ = 0.65
2.0
0.91
1.06
0.98
β = 5.8
1.75
0.94
1.05
1.00
1.5
0.96
1.02
1.00
Mena
d1/ds
Cobre
γ = 0.61
3.0 2.5
Φ = 0.63
_
γ⁄γ
y calculando f(d,i,j) usando_ los de ϕ y γ del cuarzo para otros tamaños de bolas. __ valores _ Los valores apropiados de γ, Φ y β para ajustar la ecuación en forma bastante precisa se Se dan en la Tabla 8.5 como cuocientes con los valores γ, Φ y β del Bij, normalizado. _ __ _observa en la Tabla 8.5 que el parámetro Bij no es sensitivo a β pero sí a γ y Φ. La razón γ ⁄ γ es esencialmente constante para cada mineral, de modo que una aproximación razonable es usar el mismo factor de corrección para todos los materiales, con valores que dependen de dmax. La complicación final en el cálculo de B es que Bij puede ser diferente para las partículas grandes rompiéndose en la zona de ruptura anormal. La práctica reciente es eliminar el uso de molinos de barras de los circuitos de molienda y usar un producto de trituración directamente en molino de bolas. En esta circunstancia la alimentación al molino de bolas tiene una fracción significativa entre 5 a 50 mm (no es usual usar bolas mayores de 90 mm debido al daño que se causa a las lainas por el impacto de estas bolas). Un modelo que incluya estas partículas grandes debe incluir valores de Si que pasan por un máximo y la distribución primaria de fragmentos de estos tamaños grandes. Carbones débiles dan el mismo valor de Bij para partículas grandes que para la región normal. Sin embargo, materiales tan fuertes como las menas y clinker de cemento dan, para partículas grandes, valores de Bij que contienen una mayor proporción de finos, debido a un mayor componente de astillamiento y abrasión en la fractura, y por lo tanto un valor menor de γ. Existe una clara necesidad de estudiar la distribución de fractura primaria de partículas grandes como función de los diámetros del molino y de las bolas. En ausencia de mayor información se puede suponer que estos valores anormales Bij dependen de la razón entre el tamaño que se fractura xj y el tamaño para la máxima fractura xmax, de modo que los valores del vector Bi-j son los mismos para el mismo xj/xmax. El diámetro de bola mínimo que da ruptura normal del tamaño j es:
198
Tabla 8.7 Condiciones de operación a gran escala de la molienda de mineral de cobre Fracción de carga de bola, J Fracción de carga fina, U
0.41 1.0 0.85
Fracción de velocidad crítica, ϕc Porcentaje en peso de sólido, %
70 25
Velocidad de desgaste lineal, κ [µm ⁄ h] 3 Densidad de bola ρb, ton/m Carga circulando, (1+C) By-pass del clasificador, a Sharpness Index, S.I.
1 ⁄Λ
dmin
x Λ − α ⁄ dT = j µT α
7.9 4.0 0.50 0.41
1 ⁄ N3
, Λ>α
(8.30)
Todas las bolas mayores darán una ruptura normal de este tamaño. Para tomar en cuenta plenamente este efecto es necesario utilizar una matriz Bij(dk) para cada clase de tamaño, o usar una matriz anormal Bij para los tamaños xj mayores que el crítico dado por : N3
1⁄
α d xj ⁄ µT = dT Λ − α
Λ
para el tamaño de bola que está siendo considerado. Sin embargo, se puede hacer una aproximación usando solamente valores normales de Bij y un vector de Bij′ como un promedio de ruptura anormal. Entonces para cualquier tamaño xj un promedio ponderado de Bij se define mediante la fracción fj de ruptura de ese tamaño que es normal, la que se define por: kmin
fj =
_ S m Sj ⁄ k j ∑
(8.31)
k= 1
donde k=1 a k=kmin es para bolas de tamaño mayor al dmin de la ecuación (8.30), entonces: __ Bij = fj Bij + (1 − fj ) B′ij (8.32)
8.7.OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS El resultado de la sección anterior se puede combinar con un modelo de molienda en circuito cerrado para crear un simulador que permita predecir la capacidad de molienda y el consumo de acero en función de la distribución de tamaño de la alimentación fresca al molino, los parámetros de fractura del mineral, las propiedades de desgaste del acero,
199
Tabla 8.7 Arreglo de la distribución de tamaño del mineral de cobre Tamaño de malla # de malla (Tyler) 3 4 6 8 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 270 400
µm
Peso % menor que el tamaño
6730 4760 3360 2380 1680 1190 850 600 425 297 210 149 105 74 53 37
100.0 95.1 86.0 75.0 64.8 55.0 47.3 41.0 35.7 31.5 27.8 24.5 21.2 19.7 17.6 16.4
Capacidad del circuito Q, ton/h
% - 65 mallas
Tamaño de la recarga
Consumo de acero cT gr/ton
Figura 8.11 : Capacidad del circuito versus consumo de acero para bolas de monotamaño acondicionadas que reunen la especificación del producto.
200
Figura 8.12 : Comparación de niveles de llenado para varias pulpas viscosas con predicción de la ecuación de transporte de masa : ! 35% sólido en volumen de carbón en aceite, D/L=0.82 / 2.44 m. " 65% sólido en volumen de carbón en agua, D/L=0.56 / 0.91 m.
el comportamiento del clasificador y la especificación del producto, para una determinada distribución de tamaño de bolas en la recarga. A este simulador se le puede agregar una rutina de optimización para encontrar los tamaños de bolas en la recarga que den la máxima capacidad sujeta a las restricciones estipuladas, o que permita encontrar el óptimo para una determinada función objetivo. Un ejemplo de este procedimiento ha sido dado por Concha, Santelices y Austin [8.22 - 8.23]. Ellos usaron el modelo correspondiente a un reactor grande seguido por dos pequeños, una ley de desgaste de orden cero con una constante de desgaste lineal igual a κ y una función de clasificación simple caracterizada por las ecuaciones (9.19 y 9.24a) de la sección 9.4, con los tres parámetros: d50, “a” y S.I. Las ecuaciones indicadas anteriormente se programaron para calcular la distribución de bolas en el equilibrio para tamaños en secuencia de 4√ 2 , con un tamaño apropiado para el diámetro promedio de cada clase. Los parámetros de fractura utilizados fueron los determinados para un mineral de la División Andina de Codelco-Chile, dados en la Tabla 5.1. Las velocidades de fractura para el mineral fueron calculadas para cada clase de tamaño de bolas mediante la ecuación (5.23) escalada para un molino de 3.35 m de diámetro interno por 4.88 m de largo (12.5x16 pies). Las condiciones de operación que se eligió para el molino se dan en la Tabla 8.6. Como alimentación se utilizó un producto típico de descarga de un molino de barras, ver Tabla 8.7. Las simulaciones se realizaron para una determinada carga balanceada, esto es, para una determinada recarga de bolas, por medio de una doble búsqueda. En primer lugar se variaba τ hasta que la granulometría del producto del circuito cumpliera con una especificación de un punto en la curva granulométrica con un error menor a ε1. Este resultado produce un valor único para la razón de recirculación C. En segundo lugar, se cambiaba el valor de d50 del clasificador, manteniendo “a” y S.I. constantes, y nuevamente se variaba τ para dar un nuevo valor de C. Esta segunda búsqueda permite satisfacer el valor deseado para la razón de recirculación C con un error menor a ε2. El resultado de esta doble búsqueda es un valor de la capacidad del circuito 201
Tabla 8.8 Resultados del procedimiento de optimización Precisión %
Producto % en peso < 65 mallas
100 100 50 25 5 1
79.9 80.1 80.0 80.0 80.0 80.0
Desgaste acero g/ton mineral 447.0 524.4* 482.8 482.8 499.1 499.7
Q ton/h 189.2 224.9 204.1 204.1 211.3 213.3
Proporción de bolas de 1.5 " % — 100 50 50 70 73
Proporción de bolas de 2.0 " % 100 — 50 50 30 27
*No reune los requerimientos de desgaste.
en toneladas por hora y una tasa de consumo de acero en gramos por tonelada de producto, para la recarga de bolas seleccionada. Variando ahora la recarga de bolas y repitiendo el proceso se obtiene, para cada recarga de bolas, la capacidad de circuito y consumo de acero asociados. En el trabajo que se comenta se eligió una función objetivo simple: “maximizar la capacidad del circuito para dar un producto con tamaño de 80% menor a 65 mallas (212 µm) y un consumo de acero restringido a un máximo de 500 g/t”. Se encontró ventajoso construir un gráfico como el mostrado en la Figura 8.11. Estas curvas corresponden a las capacidades del circuito versus el consumo de acero para recarga de monotamaños de bolas. Cada curva muestra que al disminuir el tamaño de las bolas en la recarga la capacidad del circuito aumenta, pero también lo hace el consumo de acero. En el rango de las bolas grandes, de 2.5 a 3 pulgadas, el aumento de capacidad es más rápido que el aumento del consumo de acero, mientras que en el rango de las bolas pequeñas un cambio de diámetro de 1.5 a 1 pulgada aumenta levemente la capacidad pero incrementa drásticamente el consumo de acero. Las curvas también muestran que, para un determinado tamaño de bolas en la recarga, la capacidad es mayor para una molienda gruesa y menor para una molienda más fina, como podía esperarse. Sin embargo, un aspecto interesante de las curvas es que, como las capacidades son mayores para la molienda más gruesa, la restricción de 500 g/ton se puede cumplir con un tamaño de bola óptimo menor en la recarga para una molienda gruesa que para una molienda más fina, y vice versa. El tamaño óptimo de bolas es mayor para una molienda más fina. Esto sin duda se debe al efecto de la restricción en el consumo de acero y no se obtendría el mismo resultado de no imponer esta restricción. Para este caso estudiado, la capacidad máxima del circuito que cumple además la restricción de 500 g/ton en el consumo de acero se obtiene con una recarga de bolas de entre 1.5 y 2 pulgadas, aproximadamente de 1.7 pulgadas. Es razonable suponer que un tamaño de bolas de 1.7 pulgadas corresponda a una mezcla ponderada de bolas de 1.5 y 2 pulgadas, por lo tanto, habiendo definido el área de búsqueda por medio de la Figura 8.11, el programa buscó la mezcla de bolas de estas dos clases que optimizan la función objetivo. En esta búsqueda, la precisión en la masa relativa de uno de los tamaños en la mezcla de recarga se podía elegir, esto es, una precisión de un 50% compararía solamente el resultado de recargas de 100% de bolas del tamaño 1, 100% de bolas del tamaño 2 y 202
50% de cada uno de los tamaños. Un 1% de precisión significa que la masa óptima de bolas de cada tamaño se calcula hasta el 1% más cercano. La Tabla 8.8 muestra los resultados. Estos indican que usando un 100% de bolas de 1.5 pulgadas se obtiene una alta capacidad, pero el consumo de acero es mayor de 500 g/ton, por lo que no se cumple la restricción. Una recarga con 100% de bolas de 2 pulgadas cumple la restricción en el consumo de acero pero da una capacidad de solamente 189 ton/h. La mezcla óptima es de aproximadamente 70% de bolas de 1.5 pulgadas y 30% de bolas de 2 pulgadas, dando una capacidad de 211 ton/h, esto es, un aumento de capacidad de más de 11%. No se puede esperar que los resultados presentados sean numéricamente correctos, ya que los cálculos no se corrigieron por cambios en los parámetros del molino y clasificador debido al aumento del tonelaje. Además, el valor de tasa de desgaste de acero de κ=-1.26x10-2 mm/h utilizada, fue determinada con los datos conocidos de masa de bolas de reemplazo y masa de bolas retenidas en el molino industrial, el que utilizaba un 100% de bolas de 2 pulgadas en la recarga. Es posible que la distribución de bolas más pequeñas que se originaría en un molino que utilizara sólo un 30% de bolas de 2 pulgadas y un 70% de bolas de 1.5 pulgadas diera una tasa de desgaste distinta, posiblemente mayor debido al aumento en la estadística de colisión [8.13]. Este es un factor que aún falta por investigar en forma sistemática.
8.8.EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA Como se discutió con anterioridad, parece que el flujo de alimentación tiene dos efectos sobre el comportamiento de un molino de bolas. En primer lugar, los resultados de laboratorio mostrados en el capítulo 5 sugieren que el nivel de llenado de un molino de rebalse aumenta a medida que el molino incrementa su flujo de alimentación, pero que este aumento de nivel no es muy grande. Por otra parte la densidad de pulpa en el molino también aumenta con flujos elevados. Ensayos de DTR realizados en molinos industriales han mostrado que el aumento de pulpa retenida en el molino es proporcional a F0.5. Rogers y Austin [8.24] encontraron el resultado mostrado en la Figura 8.12, en la que el flujo másico que pasa a través de molinos de diferentes tamaños fue normalizado dividiendo por D3.5 (L/D). La curva de la figura 8.12 se puede representar mediante la ecuación: U=
U [(F 1
⁄ W1) ⁄ (F1 ⁄ W1)]0.5
1.3
,U ≥ 1.3 ,U1 (F ⁄ F1)0.5 ≤ 1.3
donde F y W son el flujo de alimentación y el material retenido en el molino, U es la fracción de llenado de huecos entre las bolas por mineral y el subíndice 1 indica los valores de F y W para los cuales U=1. Rogers y Austin [8.24] usaron las simulaciones de Austin y Brame [8.25] para sugerir que F1 podría escalar con el diámetro del molino aproximadamente en la misma forma que lo hace la capacidad, esto es, F1 = k ϕc ρs D3.5(L ⁄ D)
(8.33)
203
en que la densidad del sólido convierte los flujos volumétricos a másicos. En la mayoría de los casos el nivel de la carga de bolas corresponde aproximadamente al nivel de rebalse, de modo que U también es una medida de nivel de polvo o pulpa con respecto al rebalse. Sin embargo, los resultados en escala piloto, mostrados en la Figura 8.12, fueron obtenidos en un molino de parrilla para retener las bolas, de manera que el nivel de bolas estaba considerablemente por encima del nivel de rebalse. En este caso el nivel de llenado se expresó como fracción de llenado Uc de un lecho de bolas que llega justo al nivel de descarga Jo. En base a estos resultados se puede hacer una estimación del transporte de masa mediante la ecuación. U=
Uo U (F ⁄ F )0.5 o o
, F < Fo
(8.34)
, F > Fo, U > Uo
Fo = 0.5 ρs ϕcD3.5(L ⁄ D)
(8.35)
donde Uo = 1.3Jo/J es el nivel mínimo de U para que se produzca transporte de masa y corresponde a la línea horizontal en la Figura 8.11. Las unidades de D, ρs y F están en metros, ton/m3 y tons/h; (la unidad de k en la ecuación (8.33) es de 1/m0.5 horas). Sin embargo, estos resultados no concuerdan con los resultados dados en el capítulo 5 para ensayos en escala de laboratorio. Por otra parte, no parece lógico aplicar esta ecuación, basada en el flujo mínimo para producir rebalse, a molinos con descarga de parrilla. Sin embargo, el método de diseño de Bond utiliza la misma forma para tomar en cuenta el efecto del flujo en molinos de rebalse que en molinos de parrilla. Lippek [8.26] da una ecuación que relaciona el tiempo promedio de residencia con el flujo para un molino tubular de dos compartimientos y descarga de parrilla para la molienda seca en la industria del cemento:
τ = 6.1D0.76F− 0.62L
(8.36)
El exponente -0.62 se obtuvo a partir de datos de un molino piloto de DxL=0.7x1.5 m, pero es consistente con datos de dos molinos industriales de DxL=3.2x15 m y DxL=4.4x15 m. El exponente 0.76 está basado en el escalamiento entre el molino piloto y el molino mayor, suponiendo una simple dependencia de Dn. Usando la definición de τ=W/F, y como W= (D2/4)(L)(0.4J)(0.6Uρs), la ecuación (8.36) se puede escribir en la forma: U = 1.69(1 ⁄ πJ ρs) F0.38 ⁄ D1.24 Haciendo F=F1 para U=1, la ecuación se reduce a: U = (F ⁄ F1)0.38
(8.37)
F1 = (πJρs ⁄ 1.69)2.63D3.26
(8.38)
donde
204
Se puede suponer que el flujo es proporcional a la densidad del sólido y a la fracción de velocidad crítica y, suponiendo valores razonables de ϕs, ρs, J y L/D (en la práctica europea ϕc=0.7, ρs= 3.1 (clinker de cemento), J=0.27 y L/D= 3.5 se obtiene : F1 = 0.43D0.26(ρs ϕc D3)(L ⁄ D)
, tons ⁄ h
(8.38a)
Si se ponen las ecuaciones (8.34) y (8.35) en la misma forma, resulta: U = (F ⁄ F1)0.5,
F > 1.69 , U ≥ 1.3
F1 = 0.30D0.5(ρs ϕcD3)(L ⁄ D)
(8.35a)
Una comparación de las ecuaciones (8.35a) y (8.38a) para molinos de D=3 m y D=4 m da un valor del término sin paréntesis de 0.57 y 0.62 para el cemento y 0.50 y 0.58 para la molienda húmeda respectivamente. El segundo efecto del flujo sobre el comportamiento de un molino está asociado al cambio de granulometría en su interior, el que cambia la eficiencia de molienda (ver sección 5.8). Nuevamente hay poca información para hacer aseveraciones sobre este efecto, ya que numerosas variables pueden modificar el comportamiento, tales como la pendiente en la curva granulométrica, la eficiencia de la clasificación y otras. Es posible sin embargo, que un alto flujo a un molino húmedo, ya sea en circuito abierto o cerrado mediante un clasificador funcionando con eficiencia normal o alta, conducirá a la presencia de una granulometría gruesa en el interior del molino y como consecuencia a una disminución de la velocidad de fractura por disminuir el efecto de la aceleración. Este efecto produce un resultado similar a la disminución de la velocidad de fractura debido al sobrellenado discutido más arriba. Si se supone que cualquiera de los dos efectos discutidos se aplica igualmente a todos los tamaños de partículas sometidos a fractura en el molino, es posible hacer una corrección a la capacidad pronosticada sin modificar el simulador. Este factor de corrección lo hemos denominado “factor de sobrellenado” y lo hemos designado por Ko, (con 0
(8.39)
Fo = 0.5 ρs ϕcD3.5(L ⁄ D)
(8.40)
donde F está relacionado al flujo F* sin corregir mediante: Ko = F∗ ⁄ F = Q∗ ⁄ Q
(8.41)
Para un circuito de molienda cerrado y directo, en que F*=Q*(1+C), el simulador entregará un valor de Q* basado en el valor de U que está utilizando y un valor de τ∗ basado en U* y F*. La reducción en capacidad del molino debido solamente al sobrellenado será: 205
Ko =
U exp (− cU ) U∗ exp (− cU∗)
(8.42)
La solución simultánea de estas cuatro ecuaciones da el valor de Ko y los valores corregidos de F y Q. El resto de las salidas del simulador permanecen inalteradas con el cambio de Si (siempre que éste sea constante para todo i).
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206
CAPITULO 9 CLASIFICACION E HIDROCICLONES
9.1.INTRODUCCION Se denomina clasificación a la operación de separación de los componentes de una mezcla de partículas en dos o más fracciones de acuerdo a su tamaño, siendo cada grupo obtenido más uniforme en esta propiedad que la mezcla original. Generalmente la clasificación es afectada por otras variables del material o del medio ambiente. Durante el harneado, el material es sometido a la acción de una serie de mallas por las cuales pasan las partículas pequeñas y quedan retenidas las mayores. En esta separación, por cierto, también influye la forma de las partículas. En la clasificación de una suspensión, el mecanismo que se utiliza para separar las partículas según su tamaño es la sedimentación. En este caso, también influye la forma de las partículas, las densidades del sólido y fluido y la concentración y viscosidad de la suspensión. La clasificación es en algunos casos una operación primordial, especialmente cuando el producto tiene especificaciones estrictas de tamaño. En otros casos, ella es una operación auxiliar de la molienda, y es aquí donde encuentra su aplicación más importante en la industria minero-metalúrgica. Se habla de la operación de molienda en circuito cerrado donde los objetivos de la clasificación son hacer más eficiente la molienda y asegurar que el producto de la operación esté bajo un determinado tamaño, recirculando al molino las partículas mayores. Hay varias ventajas en operar la molienda en circuito cerrado, en comparación a un circuito abierto, esto es, sin incluir una etapa de clasificación. La principal ventaja es que una porción significativa del material que ya está suficientemente fino es removido del molino evitando la sobremolienda. El circuito produce un material con una curva granulométrica de Schuhmann más empinada (menos cantidad de finos) a medida que el grado de recirculación aumenta. La eliminación parcial del material fino puede también reducir el efecto de “desaceleración” de la molienda causado por la acumulación de finos en el molino, los que producen un efecto de colchón en la molienda seca o un aumento de la viscosidad de la pulpa en la molienda húmeda. Por otra parte, hay evidencia que mucha recirculación del material al molino causa sobrellenado de éste, de manera que existe un valor óptimo de recirculación. En general la energía específica para moler hasta un tamaño determinado es menor para la molienda en circuito cerrado. El uso de recirculación permite además una mayor estabilidad de la operación, especialmente para molinos de descarga por parrilla. En este caso, el reciclo es especialmente importante para evitar la fluctuación periódica del material retenido en el molino, ayudando a mantener una potencia constante. Finalmente, 207
el uso de la clasificación añade un grado de libertad en el control del molino ayudando a corregir los cambios en el tamaño o dureza del material de alimentación. La mayor desventaja del uso de un circuito cerrado de molienda-clasificación es el capital adicional necesario para el equipo de clasificación y el sistema de recirculación. En la mayoría de los casos el producto de la clasificación está constituido por dos fracciones, una integrada preferentemente por las partículas gruesas y la otra por las partículas finas. La fracción gruesa recibe el nombre de descarga mientras que la fracción fina se denomina rebalse. En una operación perfecta los productos de descarga y rebalse quedarán separados de tal forma que la descarga contenga todo el producto mayor que cierta malla, que llamaremos tamaño de separación y el rebalse todo el material menor a ese tamaño. Los equipos de clasificación, o clasificadores, en general no producen una operación perfecta. Partículas de exactamente el mismo tamaño y propiedades físicas, tales como forma y densidad, recibirán una diferente acción de clasificación en el mismo equipo debido a efectos de entrada y efectos de pared del equipo y debido al efecto dispersivo del fluido (turbulencia). Algunas de estas partículas idénticas serán enviadas a la descarga mientras otras aparecen en el rebalse. Aun para acciones de clasificación muy simples, la presencia de dispersión aleatoria hace díficil la predicción exacta de la separación de tamaños. Otras propiedades del material de alimentación, tales como la forma y densidad, introducen complicaciones adicionales. Finalmente, se puede reconocer que la acción de separación de las fuerzas involucradas sobre las partículas, se verifica en suspensiones densas y los actuales tratamientos teóricos de éstas no son del todo satisfactorios. Por todas estas razones los clasificadores no son equipos ideales. Por ejemplo, aún cuando en todos los clasificadores se puede distinguir el tamaño de separación como aquel para el cual todas las partículas mayores son enviadas a la descarga, ésta también recibirá siempre una cierta proporción de partículas menores. Cuando se efectúa variaciones en las condiciones de operación del molino destinadas a cambiar, por ejemplo, la granulometría del producto, también se produce cambios en los parámetros del clasificador. Por esta razón, para producir simulaciones razonablemente precisas de la acción de la molienda en circuito cerrado, es necesario conocer el efecto que sobre los parámetros del clasificador tiene el diseño de éste y las variables de operación del circuito. Este tipo de información no es comúnmente conocida y, por ejemplo, en el tipo de clasificador más utilizado en las plantas de procesamiento de minerales, el hidrociclón, esta información no está completa existiendo divergencias de opinión entre los investigadores sobre las relaciones cuantitativas involucradas. Los modelos teóricos de clasificadores son en general demasiado simplificados como para dar buenas predicciones cuantitativas. El objetivo en este capítulo es demostrar como se puede cuantificar datos de la operación de clasificación, para diversos tipos de clasificadores, en una forma apropiada a la simulación de circuitos de molienda-clasificación.
9.2.PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES Los varios tipos de equipos de clasificación caen en dos categorías: (1) aquellos que utilizan la clasificación en un fluido y (2) aquellos que someten las partículas a una serie de mallas.
208
(1) Clasificación en un fluido. La clasificación en un fluido se basa principalmente en la velocidad relativa que adquieren las partículas al moverse en un fluido cuando están sometidas a una fuerza exterior. Equipos que usan este principio son los clasificadores de flujo transversal, tales como el clasificador de espiral, el clasificador de rastras, el clasificador hidráulico y los clasificadores centrífugos, tales como el hidrociclón y el clasificador de álabe.
Figura 9.1 : Principio de clasificadores de flujo transversal.
Los clasificadores de flujo transversal se caracterizan porque el campo de fuerza que produce la separación de las partículas, generalmente la gravedad, es perpendicular al campo de velocidad de la pulpa. El principio en que se basa la clasificación en estos equipos se muestra en la Figura 9.1. Durante el trayecto, las partículas sedimentan de acuerdo a su tamaño, densidad y concentración, de modo que el material de rebalse tiene una composición más fina que la alimentación. La eliminación del material grueso sedimentado, mediante un espiral sin fin, una rastra mecánica u otro mecanismo, constituye una de las principales diferencias entre los diversos equipos que se utilizan en la práctica: clasificadores mecánicos y estanques de deslamado. El clasificador mecánico fué un equipo muy utilizado en la industria minera hasta hace algunos años. En la actualidad ha sido reemplazado casi totalmente por los hidrociclones, que presentan ventajas, especialmente desde el punto de vista de la inversión de capital y de la mantención. Sin embargo, existe una serie de procesos en los cuales aun se prefiere el clasificador mecánico. Un ejemplo típico es el lavado y clasificación de arena para la construcción y para la industria del vidrio y en plantas pilotos de procesamiento de minerales de pequeña capacidad, en las que no se puede utilizar hidrociclones. La Figura 9.2 muestra diagramas de clasificadores mecánicos. El clasificador hidráulico también utiliza la sedimentación como mecanismo de clasificación, pero, en este caso, el campo de fuerza y el campo de flujo son paralelos. Estos equipos son estanques verticales en que la alimentación es introducida en la parte superior. Por la parte inferior se introduce agua para establecer un flujo ascendente. Las partículas sólidas sedimentan contra esta corriente ascendente y aquellas que tienen una velocidad terminal mayor que la velocidad del fluido caerán al fondo del equipo. Las
209
Figura 9.2a : Diagrama de un clasificador mecánico.
Figura 9.2b : Diagrama de un clasificador de espiral.
partículas más pequeñas serán arrastradas por el fluido y saldrán por la parte superior del equipo. En la Figura 9.3 se muestra un ejemplo de clasificador hidráulico. En los clasificadores centrífugos la fuerza de campo es producida por la rotación del fluido. En los hidrociclones la fuerza centrífuga se produce debido a una entrada tangencial de la alimentación, mientras que en los clasificadores de álabe la rotación mecánica de éstos produce la rotación del fluido. El hidrociclón es un estanque cilíndrico de fondo cónico con una alimentación tangencial en la parte superior. Posee dos salidas, una situada en el centro y en lo alto de la parte cilíndrica, que recibe el nombre de vortex y una en el extremo inferior del cono, que recibe el nombre de apex (ver Figura 9.4). La entrada tangencial de la suspensión produce en el hidrociclón un movimiento en vórtice en tres dimensiones. El movimiento radial está dirigido al eje en todo el equipo. El 210
Figura 9.3 : Diagrama de un clasificador hidráulico.
Figura 9.4 : Diagrama de un hidrociclón.
movimiento axial es positivo (hacia el vortex) cerca del eje y negativo (hacia el apex) en las cercanías de las paredes cilíndricas y cónicas del hidrociclón. El movimiento tangencial tiene siempre el mismo sentido con un máximo a cierto radio intermedio, pero más cercano al eje. La Figura 9.5 muestra la distribución de velocidad para una altura determinada del hidrociclón. El movimiento en vórtice produce un campo de fuerza centrífugo que impulsa las partículas hacia las paredes del equipo. En su trayectoria radial, desde la alimentación en la periferia del equipo hasta el apex o el vortex, las partículas deben vencer la resistencia del fluido que se mueve hacia el eje del equipo. Por esta razón las 211
Figura 9.5 : Distribución de velocidad radial vr, axial vz y tangencial v θ en el interior de un hidrociclón.
Figura 9.6 : Clasificador centrífugo de álabes.
212
Figura 9.7 : Harnero Vibratorio. (1) sostén de la malla, asa tranversal fija (2) marco oscilatorio, asa transversal móvil (3) amortiguador de oscilación, elemento de goma (4) malla, tensionada y sin tensión (5) polea en v (6) soporte de resortes (7) tope de goma (8) marco con soporte del motor
Figura 9.8 : Harnero curvo.
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partículas mayores llegarán más cerca de las paredes y las menores serán arrastradas hacia el eje del hidrociclón. Se establece así un gradiente radial de tamaño de las partículas en el equipo. La corriente axial separa las partículas finas de las gruesas, enviándolas en sentido opuesto. Las partículas mayores bajarán con la corriente descendente, cercana a las paredes, describiendo una trayectoria espiral y saldrán por el apex constituyendo la descarga mientras que los finos formarán una espiral central ascendente que saldrá por el vortex constituyendo el rebalse. En un ciclón de gas, el material de descarga sale del equipo y cae por gravedad en un estanque. En un hidrociclón la descarga debe contener suficiente cantidad de líquido para mantener una pulpa fluida de modo que descargue en forma de un spray cónico. El principio de acción de un clasificador de álabe consiste en que los álabes estacionarios, o movidos mecánicamente, producen un cambio de dirección del gas que contiene las partículas en suspensión. Las partículas mayores chocan con los álabes debido a la inercia, pierden velocidad y caen bajo el efecto de la gravedad, mientras que la partículas menores son arrastradas por el fluido en su cambio de trayectoria. Se puede construir equipos que combinen la acción de un ciclón y un clasificador de álabe. El clasificador de álabe que se muestra en la Figura 9.6 es el equipo típico usado para clasificar partículas finas. Consiste en dos ventiladores funcionando en direcciones opuestas. El ventilador primario succiona el aire, con la suspensión, en forma axial y lo impulsa radialmente como se ve en la figura. Las partículas finas siguen la corriente de aire mientras que las gruesas caen por efecto de la fuerza de gravedad. Mientras más rápido rote el ventilador secundario, menor es la chance que una partícula grande (de movimiento lento) pase por entre las aspas antes de chocar con los álabes y ser eliminada del flujo de aire. (2) Harneado. La segunda categoría de equipos de clasificación la forman los harneros. Estos están basados en la presentación de las partículas a superficies conteniendo aberturas uniformes. Las partículas de tamaño inferior a las aberturas de la superficie la atravesarán, separándose de las partículas mayores. Dos tipos de harneros se usan comúnmente: los harneros vibratorios, que utilizan la vibración para hacer que las partículas alimentadas sean presentadas muchas veces a la superficie antes de descargar, Figura 9.7, y los harneros curvos que se utilizan en pulpa con agua. En estos equipos la pulpa es alimentada verticalmente sobre barras horizontales que forman una curva pronunciada, como se observa en la figura 9.8., dejando una ranura entre cada barra por donde pasan las partículas finas. Las aberturas cortan parte de la pulpa que escurre sobre la superficie curva y el tamaño de las partículas que pasa entre ellas es 1/2 y 2/3 del tamaño de la abertura. La descripción detallada y aún parcial de cada equipo de clasificación está fuera de las pretensiones de este texto y podrá ser estudiada en varias referencias disponibles (ver lista de referencias). Para nuestros propósitos sólo es necesario poder describir como varían los diversos tipos de clasificadores en cuanto a su efecto en los circuitos de molienda.
214
Figura 9.9 : Circuito de Molienda-Clasificación en el estado estacionario donde C=T/Q.
9.3.CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION Para describir cambios en la separación de la masa de partículas en un clasificador en función de las condiciones de operación, es necesario poder cuantificar la clasificación. Cualquiera que sea la naturaleza de la clasificación, como el equipo en se efectúa, el proceso de separación por tamaños se puede representar mediante el esquema de la Figura 9.9, donde se muestra un circuito cerrado de molienda-clasificación. En la mayoría de los casos el producto de la clasificación está constituido por dos fracciones. Denominaremos P, Q y T a los flujos másicos de alimentación, rebalse y descarga al clasificador y por pi , qi y ti las fracciones en masa de partículas en el intervalo de tamaño i, respectivamente. Un balance de masa total y de las partículas del intervalo de tamaño i en el estado estacionario da: P= T+ Q
(9.1)
Pp i = T ti + Qqi En el capítulo 1 se definió la razón de recirculación C, de un circuito cerrado de molienda-clasificación, como el cuociente entre el flujo de material que retorna al molino desde el clasificador y el flujo de alimentación fresca al molino. Como en el estado estacionario este flujo de alimentación fresca es igual al flujo de rebalse del clasificador, la razón de recirculación será T/Q. En muchos casos es conveniente utilizar la carga circulante en vez de la razón de recirculación, definiéndola como el cuociente entre el flujo de alimentación total y el flujo de alimentación fresca al molino, esto es (Q + T)/Q. El conocimiento de la razón de recirculación C es importante en la descripción de la operación de un circuito cerrado de molienda-clasificación. Ella no se calcula generalmente a partir de los flujos másicos, de acuerdo a su definición, sino que se utiliza para ello los análisis granulométricos pi, ti y qi. De la ecuación (9.1) se puede deducir que: 215
C=
T pi − qi = Q t i − pi
, 1≤ i≤ n
(9.2)
En términos de C la carga circulante queda descrita por (C+1).
9.3.1.Método 1 Klimpel [9.1] dió un criterio mediante el cual se puede elegir una fórmula para calcular C, basado en la ecuación (9.2) y en la estructura de los errores de los datos de pi, qi y ti. Cada tipo de estructura de los errores da una fórmula diferente para C, llegándose a establecer que la fórmula basada en la minimización de la suma de los errores absolutos (estructura de errores doble exponencial) da valores satisfactorios para hidrociclones:
∑ | pi − C=
qi |
i
(9.3)
∑ | ti − pi | i
En aquellos casos en que (pi - qi) y (ti - pi) cambian signo en los intervalos de tamaños i* e i respectivamente, manteniendo el signo hasta los tamaños más pequeños, es posible escribir la ecuación (9.3) en la forma: ∗
i −1
∑ (pi − qi) +
C=
1
n
∑ (qi −
pi)
∗
i
i′ − 1
∑(ti − pi) + 1
n
∑(pi −
ti)
i′
n
y, recordando que la fracción acumulativa menor a i queda definida por Pi =∑ pi , i
n
Qi =
n
∑ qi
y Ti =
C=
Q∗i − P∗i P′i − T ′i
i
∑ ti
la expresión se reduce a:
i
(9.4)
que resulta ser un método conveniente de cálculo. Este método es especialmente apropiado cuando i*= i′ y los datos de distribución de tamaño son escasos, ya que la expresión sólo utiliza un punto de cada distribución. Debe destacarse que la utilización de la ecuación (9.3), basada en la función de distribución acumulativa, no es satisfactoria.
216
Cuando se sabe que los datos de análisis granulométricos tienen errores se debe decidir cuál flujo es susceptible de contener los mayores errores y reemplazar estos datos por valores recalculados mediante la ecuación (9.2) con el valor de C calculado por la ecuación (9.3) para que se cumpla el balance de masa. Por ejemplo, si como ocurre a menudo, la alimentación al clasificador es susceptible de contener los datos más inciertos, los nuevos valores pi′ se pueden reconstituir de: pi′ =
1 C qi ti + 1+C 1+C
(9.5)
Si los valores de la descarga fuesen los inciertos, éstos pueden ser reconstruidos de: ti′ =
1+ C 1 pi − q C i C
(9.6)
y finalmente si los valores con error son los del rebalse, entonces: qi′ = (1 + C) pi − C ti
(9.7)
9.3.2.Método 2 Un método más sofisticado escoge el valor de C que minimiza la suma de cuadrados del error absoluto, minimizando la función: F = WP ∑ ( pi − pi′)2 + WT ∑ ( ti − ti′)2 + WQ ∑ ( qi − qi′)2 i
i
i
donde WP, WT y WQ son factores de ponderación que son 1 ó 0. Sustituyendo las ecuaciones (9.5) a (9.7) en esta relación, diferenciando, e igualando a cero, resulta: 0=
WPC4 (C − C1) WT C4 (C − C2) WQ (C − C3) + + C3 C4 (1 + C)4 C4 =
∑ (pi − ti)(qi − ti)
(9.8)
i
∑ (ti − pi)(pi − qi) i
donde para C1, C2, C3 ver las ecuaciones (9.9), (9.10) y (9.11). El valor de C que satisface esta ecuación es el valor de C que se busca. Para los tres casos particulares en que todo, o la mayor parte del error ocurre en un solo flujo, se tiene:
C = C1 =
∑ (qi − ti)(qi − pi) i
∑ (qi − ti)(pi − ti)
WP = 1, WT = WQ = 0
(9.9)
i
217
C = C2 =
2 ∑ (qi − pi) i
∑ (qi − pi)(pi − ti)
WT = 1, WP = WQ = 0
(9.10)
WQ = 1, WP = WT = 0
(9.11)
i
C = C3 =
∑ (qi − pi)(pi − ti) i
2 ∑ (pi − ti) i
El caso que dé la mínima suma de cuadrados de entre los tres indicados en las ecuaciones (9.9) a (9.11) se elige como valor de C para reconstituir el flujo apropiado (alimentación para la ecuación (9.9), colas para la ecuación (9.10) o producto para la ecuación (9.11)).
9.3.3.Método 3 En caso de ser necesario, se puede utilizar un método más elaborado para reconstituir los tres flujos en forma simultánea, nuevamente en base a la minimización de la suma de cuadrados del error absoluto. Designemos con p^i, ^ti y q^i las mejores estimaciones de pi, ti y qi definidas por: minimizar: F1 = (pi − p^i)2 + (ti − ^ti)2 + (qi − q^i)2 sujeta al cumplimiento de la restricción de igualdad: p^i =
C ^ 1 ^ ti + qi 1+ C 1+ C
con la “mejor estimación” de C definida por: minimizar F2 =
∑ [(pi −
p^i)2 + (ti − ^ti)2 + (qi − q^i)2]
(9.12)
i
Reemplazando la segunda ecuación en la primera y calculando los valores que satisfacen ∂F1 ⁄ ∂t^i = 0; ∂F1 ⁄ ∂q^i = 0, da :
218
(a2 + b2) pi + bti + aqi p^i = 1 + a2 + b2
(9.13)
2 ^ti = bpi + (1 + a ) ti − abqi 1 + a2 + b2
(9.14)
api − abt i + (1 + b2) qi q^i = 1 + a2 + b2
(9.15)
donde a=1/(1+ C) y b=C/(1+C). El valor deseado de C se calcula de estas ecuaciones sustituidas en la ecuación (9.12), usando un procedimiento de búsqueda simple. Luego, se obtiene los valores de p^i, ^ti y q^i de las ecuaciones (9.13) a (9.15). El mejoramiento en la minimización de la suma de cuadrados de los errores absolutos se puede ver al comparar la suma de cuadrados de los distintos métodos para un conjunto de datos particulares. El método más elaborado se justifica si da un mejoramiento estadísticamente significativo usando el test F. Se debe comprender que el valor de C será siempre una estimación conteniendo error, pero no es posible dar una estimación cuantitativa de la desviación estándar del error sin un examen detallado de la estructura de errores de los datos.
9.4.CURVAS DE PARTICION La acción de un clasificador se puede caracterizar mediante un conjunto de parámetros, uno por cada intervalo de tamaño, que describe cómo se divide la masa de la alimentación de cada tamaño en la descarga y el rebalse. Cada uno de estos parámetros “si” recibe el nombre de selectividad y queda definido por la razón entre la masa de
Figura 9.10 : Curvas de selectividad y clasificación de un hidrociclón. El tamaño corresponde al límite superior de intervalos de la serie √ 2.
219
partículas de tamaño i que es enviada a la descarga y la masa total de partículas de tamaño i alimentadas al clasificador: si =
T ti Ppi
(9.16)
donde pi y ti son los valores de la granulometría después de la reconstitución. Usando el balance de masa, ecuación (9.1), y la definición de C, ecuación (9.2), podemos escribir: si =
ti C C + 1 pi
(9.17)
Como hemos dicho, el conjunto de valores de si, calculado de un determinado conjunto de datos experimentales, describe como se divide la masa de cada tamaño. Si estos números son los mismos para diferentes distribuciones de tamaño de la alimentación al clasificador, está implícito que el proceso de selección para cada tamaño en el clasificador es de primer orden. El intervalo de tamaño debe ser escogido de manera tal que la suposición de primer orden sea válida. La experiencia ha demostrado que los intervalos de la serie de malla doble, con razón 4√ 2 , son suficientemente pequeños y que, en la mayoría de los casos, la serie simple con razón √ 2 también es adecuada. La curva obtenida graficando la selectividad si versus el tamaño xi se denomina curva de Tromp, curva de partición o curva de selectividad. El tamaño xi puede ser el límite superior o inferior del intervalo o también el tamaño medio geométrico de éste. (Muchos datos de la literatura son difíciles de interpretar porque no se indica claramente la definición de xi). En este texto los valores de si se darán siempre para intervalos de la serie normal con razón √ 2 y la graficación se hará con xi como el límite superior del intervalo, en escala logarítmica. En un clasificador ideal todos los tamaños menores al tamaño de separación aparecerán en el rebalse, mientras que todos los tamaños mayores saldrán por la descarga, ver la Figura 9.10. Desgraciadamente los clasificadores ideales no existen. El primer tipo de comportamiento no-ideal es el cortocircuito. En la mayoría de los clasificadores la descarga contiene una cierta cantidad de finos, que se supone asociados a partículas pequeñas atrapadas entre las mayores. Como los finos no llegan a la descarga por efecto de una clasificación, se interpreta este hecho considerando que los finos aparecen allí debido a un cortocircuito entre la alimentación y la descarga. Si suponemos que de la masa de cada tamaño xi de la descarga una masa ai ha pasado por cortocircuito, podemos definir una función clasificación c(xi) tal que, cada parámetro de clasificación ci quede definido por: Tti ai − Tti − ai Ppi Ppi ci = = ai Ppi − ai 1− Ppi
220
(9.18)
Si el material ai que forma el cortocircuito es proporcional a la cantidad de material de tamaño xi de la alimentación, esto es, si ai = a P pi, entonces de la ecuación (9.16) y la ecuación (9.18) resulta : ci =
si − a 1− a
(9.19)
El efecto es como si una fracción a de la alimentación pasara a la descarga sin clasificación y otra (1-a) fuese sujeta a clasificación. Al contrario, un cortocircuito hacia el rebalse no es normal y su presencia indica mal funcionamiento del equipo. Se ha demostrado que clasificadores funcionando a diferentes condiciones de operación dan frecuentemente funciones de clasificación c(xi) similares. Esto significa que si se define para cada función c(xi), un tamaño característico, por ejemplo d50 tal que c(d50)=0.5, ver Figura 9.10, se puede obtener una única curva c(xi/d50) que recibe el nombre de función de clasificación reducida y que es característica del clasificador y del material, pero es independiente de las condiciones de operación, ver Figura 9.11a y b. Para caracterizar la función de clasificación reducida es conveniente definir un nuevo parámetro que de una medida de la inclinación de la curva. El indice de nitidez S.I., definido por: S.I. = d25 ⁄ d75
(9.20)
donde d25 es tal que c(d25)=0.25 y d75 tal que c(d75)=0.75 es un parámetro adecuado. Para una clasificación ideal S.I. = 1, mientras que S.I. = 0 cuando no hay clasificación y el equipo actúa como un partidor de muestras. En base a los parámetros S.I. y d50 se ha desarrollado varias ecuaciones para representar la función de clasificación reducida, cuatro de las cuales se muestran a continuación (ver Figura 9.11b).
(1)Ecuación de Rosin-Rammler Plitt [9.2] y Reid [9.3] han utilizado una expresión basada en la ecuación de Rosin-Rammler que, en la presente nomenclatura, se puede escribir en la forma: c(xi) = 1 − exp[− (xi ⁄ x0)λ]
(9.21)
donde: x0 = d50(0.693)− 1 ⁄ λ
λ=
1.5725 ln S.I.
(9.21a) (9.21b)
221
Figura 9.11a : Curvas de clasificación para un clasificador y el mismo material a distintas condiciones de operación.
(2)Ecuación Logaritmo Normal Aso [9.4] propuso una expresión basada en la curva logaritmo- normal:
c(xi) =
1 √2π
1 ln (xi ⁄ d50) λ
∫
exp[− u2 ⁄ 2] du (9.22)
−∞
donde: λ= −
ln S.I. 1.349
(3)Ecuación de Lynch Lynch [9.5] utiliza la siguiente ecuación:
222
(9.22a)
0.1
1
10
Figura 9.11b : Curva de clasificación reducida.
xi exp λ − 1 d50 c(xi) =
xi exp λ + exp [λ] − 2 d50
(9.23)
donde: (exp(λ) + 2) ] 3 S.I. = ln[3exp(λ) − 2] ln[
(9.23a)
La determinación de λ a partir de S.I. precisa, en este caso, un cálculo de aproximaciones sucesivas.
(4) Ecuación Logística en ln x Molerus [9.6] y Finney [9.7] propusieron una función de la forma:
223
c(xi) =
1
(9.24)
1 + exp(X − A)B
Haciendo X = ln x, A = lnd50 , y B=−λ c(xi) =
1 1 + (xi ⁄ d50)− λ
(9.24a)
donde: λ=
2.1972 ln S.I.
(9.24b)
Se ha demostrado que los resultados de la ecuación (9.24) son muy similares a los de la ecuación logaritmo-normal, siendo (9.24) mucho más fácil de usar. En base a lo discutido, se puede concluir que la función clasificación c(xi) puede ser caracterizada mediante los parámetros a, d50 y S.I. El cálculo de estos parámetros a partir de datos experimentales se ve dificultado por la dispersión en los valores de si, por lo que se debe recurrir a una técnica de estimación de parámetros basada en el criterio de mínimos cuadrados : n
Minimizar a, S.I., d50 [I = ∑ Wi [si (experimental ) − si (calculado)]2
(9.25)
i=1
donde si=a+(1-a)c(xi), c(xi) está dado por una de las ecuaciones entre (9.21) y (9.24) y Wi son factores de ponderación para cada uno de los intervalos de tamaños. Un problema que se encuentra frecuentemente cuando se calcula valores de si a partir de datos experimentales, es que no se conoce el análisis granulométrico de las partículas pequeñas incluidas en el cortocircuito. Para estos casos Austin y Klimpel [9.8] desarrollaron un procedimiento que permite obtener la curva de selectividad completa basado en la extrapolación lineal del gráfico de Schuhmann de la alimentación. Esta extrapolación es posible debido a que la descarga Pi de un molino da una línea recta en este tipo de gráfico en gran parte del rango de tamaños, especialmente en los finos, mientras que no sucede lo mismo con los productos de la clasificación Qi y Ti. En esta técnica los parámetros “a”, d50 y S.I. se determinan de: n−1
Minimizar a, S.I., d50 [I = ∑ [Wti (t^i − ti calc. )2 + Wgi (g^i − gi calc. )2 i=1
^ n − Tn calc. )2 + Wgn (Q ^ n − Qn calc. )2] + Wtn (T donde
224
(9.26)
n 1+C Tn calc. = p^ s , N ≥ n C ∑ i i N n ^ Qn calc. = (1 + C) ∑ pi (1 − si) , N ≥ n N
(9.27)
1+C ^ ti calc. = C pi si , 1 ≤ i < n ^ qi calc. = (1 + C) pi (1 − si) , 1 ≤ i < n
(9.28)
si = a + (1 − a) c(xi)
(9.19a)
donde Tn y Qn son las fracciones acumulativas menores que el tamaño n. N es el número del intervalo extrapolado más pequeño, n es el número de intervalos de los tres flujos y c(xi) es la función elegida de entre las ecuaciones (9.21) a (9.24). El valor de N debe ser elegido suficientemente grande de modo que c(xN) se aproxime a cero. Esta técnica utiliza la información contenida en el intervalo n (vía el uso de Qn, Tn, y Pn) la que, de otra forma no sería usada, ya que sn= CTn/(1+C)Pn no es un cálculo válido a menos que sn=a. Debe destacarse que el uso de la técnica descrita sólo es válido si los datos de clasificación muestran un cortocircuito en la forma de la Figura 9.10 y obviamente no servirá para curvas del tipo anzuelo, ya que ellas no ajustan a ninguna de las cuatro ecuaciones de c(xi). Las Figuras 9.12 y 9.13 muestran el uso de esta técnica sobre datos de hidrociclones, usando el modelo logístico para c(xi). Los datos para tamaños mayores de 105 µm (n=6) fueron usados para ajustar una curva de selectividad usando la ecuación (9.24) y dando por resultado los valores a=0.42, d50=190 µm y S.I. = 0.62. Al extrapolar la curva de Schuhmann de la alimentación al hidrociclón, como se muestra en la Figura 9.12 y al ser los datos analizados mediante la ecuación (9.28), con n = 6 y N = 9, los parámetros resultantes fueron a = 0.27, d50 = 170 µm y S.I. = 0.62. Este nuevo conjunto de parámetros fue usado para predecir la distribución granulométrica para tamaños menores a 105 µm. Como se puede observar de la Figura 9.12, el ajuste de las predicciones versus valores experimentales para tamaños menores a 105 µm es bueno. Esto no fue el caso del conjunto de parámetros obtenidos con los valores mayores de 105 µm.
9.5.HIDROCICLONES Existen varias revisiones bibliográficas sobre el funcionamiento de los hidrociclones [9.5,9.9- 9.11]. Por ejemplo, Bradley [9.9] discute en detalle el comportamiento de pulpas diluidas en hidrociclones. Desafortunadamente, la mayor parte de esta información no es aplicable a los hidrociclones que trabajan como clasificadores en circuitos cerrados de molienda, ya que en estos casos el comportamiento reológico de las densas pulpas involucradas es muy complejo. Pretendemos en esta sección dar una descripción cualitativa de las variables que afectan el comportamiento de un hidrociclón y mostrar los modelos empíricos que se ha desarrollado para su diseño y simulación. 225
Figura 9.12 : Distribución de tamaño de tres flujos de un hidrociclón de 600 mm operando sobre una pulpa de 33% de sólido en volumen de un mineral de cobre con densidad 2.65 g/cm3.
9.5.1.Variables que afectan la operación de un Hidrociclón Entre las variables que afectan el comportamiento de un hidrociclón se puede distinguir: (1) variables de diseño; (2) parámetros del material; (3) variables de operación; y (4) perturbaciones.
(1)Variables de Diseño Este primer grupo de variables se caracteriza porque de ellas depende el comportamiento grueso del hidrociclón, por ejemplo el tamaño al que se produce el corte y la nitidez de la separación. Las variables importantes son el tamaño del hidrociclón y los tamaños de la alimentación, apex y vortex. Está bien establecido que el tamaño de separación de un hidrociclón depende principalmente de su diámetro. La separación de partículas pequeñas requiere de hidrociclones pequeños y la separación de partículas mayores de hidrociclones más grandes. Por ejemplo, Arterburn [ 9.12] indica que d50 ∝ d 0.66, mientras que Trawinski [9.13] da d50 ∝ dc0.5 y Pires y Massarani [9.14] encuentran d50 ∝ dc0.75, donde dc es el diámetro del hidrociclón. Esto significa que en la selección del tamaño del hidrociclón no interviene directamente el flujo de material a procesar y que esto solo aparecerá para establecer el número de hidrociclones que sean necesarios. Datos coleccionados por Lynch [ 9.5] de hidrociclones geométricamente similares, pero de diferentes diámetros, entre 100 mm (4 pulgadas) a 380 mm (15 pulgadas), mostraron que todos presentaban la
226
PARTICION a’
Figura 9.13 : Valores experimentales de la selectividad.
misma función de clasificación reducida. La Figura 9.14, debida a Klimpel [ 9.16], muestra datos experimentales de dos hidrociclones, uno de 350 mm (12 pulgadas) y el otro de 610 mm (24 pulgadas), operando en las mismas condiciones sobre un mineral de cobre y muestra que el S.I. para ambos hidrociclones es el mismo, aún cuando los d50 son significativamente diferentes. En forma general se reconoce [9.5, 9.9 - 9.17] que los tamaños de la alimentación, apex y vortex influyen en el tamaño de separación. El tamaño d50 aumenta al aumentar el diámetro del vortex y el área de alimentación, y disminuye al aumentar el diámetro del apex. Por ejemplo Lynch [9.5] indica que, tanto en el caso del vortex como del apex, la relación es exponencial, ésto es, d50 ∝ exp(dv) y d50 ∝ exp (-da) respectivamente, donde dv y da son los diámetros del vortex (rebalse) y apex (descarga). El flujo volumétrico de pulpa que es capaz de tratar un hidrociclón es función de su área de alimentación A. Trawinski [9.13] indica que Qp ∝ A0.5 según algunos investigadores y Qp ∝ A0.45 según otros. Como el área de alimentación se elige proporcional a dc2, muchas veces se da el flujo como función de dc en vez de A. Generalmente los hidrociclones tienen una cierta geometría estándar. Por ejemplo, los hidrociclones fabricados por Krebs tienen una geometría tal que: A ≈ 0.05dc2; dv ≈ 0.35dc; 0.1dc< da< 0.35 dc; L ≈ dc; 10o <α <20o,donde A es el área de alimentación, L es el largo de la parte cilíndrica y α es el ángulo de la parte cónica. El tamaño del apex también influye en la fracción de cortocircuito, pero esto se discutirá más adelante.
227
Figura 9.14 : Curva de clasificación reducida para hidrociclones geométricamente similares de 12 y 24 pulgadas de diámetro operando sobre la misma pulpa de mineral de cobre.
(2)Parámetros del material Tal como se indicó en el punto anterior, la función de clasificación reducida es constante para un determinado material en hidrociclones geométricamente similares. Dos son las propiedades del material que tienen mayor influencia en el comportamiento de un hidrociclón: la densidad del material, si éste es puro, y la composición, si está constituido por una mezcla. El aumento de la densidad de un material disminuye el tamaño de separación. Arterburn [9.12] indica que d50 ∝ ∆ρ− 0.5 , donde ∆ρ es la diferencia de densidad entre el sólido y el agua. El problema se complica cuando la alimentación a un hidrociclón está constituida por una mezcla de materiales. Klimpel [9.16] afirma que el comportamiento de una mezcla de dos materiales es muy diferente del comportamiento individual de cada uno de los componentes ensayados en el mismo equipo. Por ejemplo, un material no-magnético dio como resultado los siguientes parámetros a = 0.29, d50=170 µm y S.I. = 0.64 al ser ensayado solo. En una mezcla con otro material magnético, en condiciones similares, dio a=0.42, d50=440 µm y S.I. = 0.31. Para el material magnético se obtuvo a = 0.34, d50 = 145 µm y S.I. = 0.55 y en la mezcla a = 0.54, d50 = 220 µm, y S.I. = 0.37 (ver Figuras 9.15 a 9.17). Queda claro que la selectividad de los materiales en la mezcla es totalmente diferente de aquellas de los materiales separados, ensayados en el mismo equipo y condiciones de operación. Este tipo de comportamiento contradice el análisis de mezclas realizado por Lynch [9.5]. La implicación de los resultados de Klimpel es que la curva 228
de clasificación reducida para cada material cambia como función de la proporción de ese material en la mezcla. En general, varios ensayos sostienen más bien la conclusión de Lynch, no la de Klimpel.
(3)Variables de Operación Entre las variables que permiten controlar la operación de un hidrociclón podemos mencionar variables de entrada y variables de salida. Las principales variables de entrada son el flujo, la concentración y la presión de la alimentación. De estas tres, la concentración de la suspensión, expresada como fracción volumétrica de sólidos cv, es la principal variable de control que permite cambiar en forma inmediata el tamaño de corte. Muchos investigadores [9.5, 9.9 - 9.17] han indicado que un aumento del flujo de alimentación, con el resto de las variables mantenidas constantes, produce una disminución del tamaño d50. Parece ser que este efecto se debe, en realidad, a un efecto de la presión, ya que, el flujo de alimentación Q ∝ ∆ p− 0.5 para un mismo hidrociclón y se ha demostrado que d50 disminuye al aumentar ∆p. Trawinski [9.13] y Pires y Massarani [9.14] dan d50 ∝ ∆ p− 0.25 y Arterburn d50 ∝∆ p-0.28. Si se desea mantener la presión constante, para mantener el tamaño de corte, y se aumenta el flujo de alimentación, es necesario aumentar el número de hidrociclones en forma proporcional. La mayoría de los investigadores [9.5, 9.9, 9.12, 9.14] concuerdan en que el tamaño de corte aumenta al aumentar la concentración de la alimentación, posiblemente debido al aumento asociado en la viscosidad de la suspensión. Por ejemplo, Arterburn [ 9.12] dice que d50 ∝ (1-1.9cv)-1.43, mientras que Pires y Massarani [9.14] dan una influencia mucho menor a concentraciones altas con d50 ∝ e4 cv . Lynch [9.5] y Plitt [9.19] también dan
Figura 9.15 : Selectividad global para la masa total de una mezcla de mineral de cobre y fierro en un hidrociclón de 610 mm (24 pulgadas) cerca de condiciones de acordonamiento. Tamaños son del límite superior del intervalo √ 2 .
229
Figura 9.16 : Selectividad del mineral de cobre no-magnético de la mezcla de la figura 9.15, en las mismas condiciones.
relaciones exponenciales. De acuerdo a estas conclusiones, y como la concentración normal de alimentación a hidrociclones en los circuitos cerrados de molienda es aproximadamente 0.1
(4)Perturbaciones La principal perturbación de un hidrociclón funcionando en un circuito cerrado de molienda es la distribución granulométrica de la alimentación. La frecuente variación de ésta requiere de un ajuste inmediato de la concentración de la alimentación para mantener el d50 constante. Otra perturbación, que no ha sido estudiada, es el cambio de la proporción de componentes cuando la alimentación es una mezcla. 230
Figura 9.17 : Selectividad del mineral de fierro magnético de la mezcla de la figura 9.15, en las mismas condiciones.
9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones y su incorporación a simuladores de molienda Como ya hemos mencionado, el conocimiento teórico del comportamiento de un hidrociclón no es suficiente para el desarrollo de un modelo fenomenológico que permita su diseño y simulación. Por esta razón han surgido modelos empíricos más restringidos que permiten diseñar el equipo y simularlo. En el desarrollo de modelos de hidrociclones se tienen tres objetivos diferentes : • Estimar el tamaño, condiciones de operación y número de hidrociclones requeridos para obtener un producto deseado a una capacidad determinada, partiendo de un material con una distribución de tamaño conocida. Este tipo de estimación se denomina diseño aislado y se efectúa sin considerar el comportamiento del molino. • Estimar el tamaño, condiciones de operación y número de hidrociclones requeridos para obtener un producto deseado a una razón de recirculación determinada, para un simulador de molienda. Este tipo de estimación se denomina simulación de diseño. • Determinar el comportamiento de un determinado circuito de molienda-clasificación, cuando se cambian las condiciones de operación. Esta estimación se denomina simulación de operación.
231
Balances Generales Independiente del tipo de diseño o simulación a aplicar, se debe cumplir los balances macroscópicos de masa total y de masa de partículas de cada tamaño. Haciendo referencia a la figura 9.9, podemos escribir para el balance de sólidos : sólido:
P
=
alimentación
=
T descarga
+ +
Q (9.29) rebalse
Denominando cvp, cvt y cvq las fracciones volumétricas de sólido en la alimentación, descarga y rebalse respectivamente, los balances volumétricos de pulpa y agua serán : pulpa :
P T Q = + ρs cvp ρscvt ρscvq
(9.30)
agua :
P (1 − cvp) T (1 − cvt) Q (1 − cvq) = + ρscvp ρscvt ρs cvq
(9.31)
Usando la ecuación (9.29) y dividiendo la expresión (9.31) por Q resulta : (T ⁄ Q + 1)
(1 − cvp) (1 − cvt) (1 − cvq) = (T ⁄ Q) + cvp cvt cvq
(9.32)
Utilizando el concepto de razón de recirculación, dado por la ecuación (9.2), podemos escribir el balance de agua en la forma : (C + 1)
(1 − cvt) (1 − cvq) (1 − cvp) =C + cvt cvq cvp
(9.33)
alimentación = descarga + r ebalse De la ecuación (9.33) se observa que tres de las cuatro variables cvp, cvt, cvq y C fijan la cuarta. La fracción de agua de la alimentación que va a la descarga se puede calcular desde la ecuación (9.33) : a′ =
1 cvt(1 − cvq) 1+ cvq(1 − cvt) C
(9.34)
La Figura 9.18 muestra la concentración de sólidos en la alimentación y la fracción de agua que va a la descarga en función de la razón de recirculación, para un valor fijo de la concentración de descarga cvt=0.5 y varios valores de cvq.
232
Las relaciones (9.29), (9.30) y (9.34) deben ser utilizadas en conjunto con las restricciones impuestas por las distribuciones de tamaño de alimentación al hidrociclón y del rebalse deseado. El flujo de sólidos en el rebalse en términos de la alimentación y selectividad resulta: Q = P ∑ (1 − si) pi
(9.35)
i
De la ecuación (9.19) se tiene : 1 − si = (1 − a)(1 − ci)
(9.36)
Substituyendo la ecuación (9.36) en la ecuación anterior resulta : Q ⁄ P = (1 − a)(1 − ∑ ci pi) = 1 ⁄ (C + 1)
(9.37)
i
en que a ≈ a′ El balance de masa del tamaño menor a xs será : PPp(xs) = TPt(xs) + QPq(xs) Pq(xs) = (P ⁄ Q)Pp(xs) − (T ⁄ Q)Pt(xs) = (C + 1)Pp(xs) − CPt(xs) = (C + 1)(Pp(xs) − C ⁄ (C + 1)Pt(xs)) donde Pp(xs) es la fracción de masa de tamaño menor que xs en la alimentación, etc. Reemplazando (C+1) desde la ecuación (9.37) y Pt(xs) de las ecuaciones (9.17) y (9.36), resulta : is
Pp (xs) − ∑ (a + (1 − a)ci)pi Pq (xs) =
i=n
(1− a)(1 − ∑ci pi) i
is
Pp (xs) − a∑ pi − (1 − a)∑ ci pi
=
i=n
i
(1 − a)(1 − ∑ ci pi) i
233
is
Como Pp (xs) = ∑ pi , la expresión se puede simplificar por (1- a) : i=n
is
Pp(xs) − ∑ci pi i=n
Pq(xs) =
(9.38)
1 − ∑ci pi i
donde is es el intervalo correspondiente al tamaño xs. Despejando (1 − ∑ci pi) desde la i
ecuación (9.38) y reemplazándolo en la expresión (9.37) resulta : 1+C=
Pq (xs) is (1 − a′)Pp (xs) − ∑ci pi i=n
(9.39)
Las expresiones (9.33) y (9.39) contienen las siguientes 7 variables : a′, C, cvt, cvq, Pp(xs) y ci. Luego, es necesario especificar 5 de estas variables. En general se conoce la granulometría de la alimentación Pp(xs), el producto requerido Pq(xs), las concentraciones de rebalse cvq y de descarga cvt, lo que nos deja con las siguientes variables a′, C, ci. Cualquiera de ellas que se fije permite calcular las otras dos. Por ejemplo, fijando ci (esto es d50 y S.I.), o fijando la razón de recirculación C queda especificada la repartición de agua a′y la función clasificación ci.
Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn Arterburn [9.12] desarrolló un modelo empírico que permite calcular a nivel estimativo el tamaño y número de hidrociclones necesarios para una operación determinada. El método fue desarrollado para hidrociclones Krebs de geometría normalizada y se basó en comparaciones de experiencias normalizadas con la operación habitual. Se definió como hidrociclón normal aquel que poseía la siguiente geometría : A ≈ 0.5dc2 dv ≈ 0.35dc 0.1dc ≤ da ≤ 0.35dc L ≈ dc 10° < α < 20°
234
donde A es el área de alimentación en cm2, dc es el diámetro del hidrociclón, dv y da son los diámetros del vortex y apex en cm, L es el largo de la parte cilíndrica del hidrociclón en cm y α es el ángulo de la parte cónica. Las experiencias normalizadas se refieren a : • Fluido : agua a 20°C • Partículas sólidas esféricas con densidad de 2.65 g/cm3 • Concentración de alimentación cvp < 0.01 • Caida de presión 70 kPa (10 psi) Todas las concentraciones quedan expresadas con fracciones de sólido en volumen, porque esta propiedad es la más significativa desde el punto de vista reológico en la determinación del comportamiento del hidrociclón.
Objetivo 1 : Diseño Aislado Especificar un hidrociclón para tratar un determinado flujo volumétrico de alimentación Qp de granulometría conocida pi y producir un rebalse con granulometría especificada Pq(xs) y concentración cvq. (Si la distribución de tamaño de la alimentación no fuese conocida, ver nota que sigue a la ecuación (9.52)). Arterburn propone una ecuación empírica para relacionar el diámetro del hidrociclón normal necesario para producir un tamaño de corte normalizado d50. Luego, relaciona d50 con el d50 real, introduciendo correcciones para tomar en cuenta las condiciones reales de operación. Finalmente, propone una ecuación que da la capacidad de un hidrociclón en función de su diámetro y condiciones de operación. El diseño de una batería de hidrociclones para cumplir el objetivo 1, según el modelo de Arterburn, consiste en 8 etapas cuya secuencia se da a continuación :
Etapa 1 : Elección de una concentración de descarga adecuada Arterburn sugiere que la pulpa de descarga debe tener una concentración cvt en el rango 0.50 ≤ cvt ≤ 0.53 para un circuito de molienda y 0.40 ≤ cvt ≤ 0.45 para un circuito de remolienda. Mular y Jull [9.18] establecieron una restricción en la concentración de descarga para evitar que se produzca acordonamiento. A partir del procedimiento gráfico de estos autores, Luckie [9.28] propone la siguiente ecuación : cvt < 0.49 + 0.54 cvq
(9.40)
Es frecuente operar a concentraciones cercanas a la de acordonamiento, por lo que conociendo cvq, la concentración de descarga se puede calcular mediante la expresión (9.40).
235
Etapa 2 : Estimación del valor de d50 Arterburn sugiere la utilización de la ecuación (9.23) con el valor λ=4 (S.I.=0.58) para describir la función clasificación en un hidrociclón Krebs : ci =
exp[4(xi ⁄ d50)] − 1 exp[4(xi ⁄ d50)] + exp(4) − 2
(9.41)
Introduciendo esta expresión en la ecuación (9.38) is
Pp (xs) − ∑ci pi i=n
Pq (xs) =
1 − ∑ ci pi
(9.38)
i
y usando un procedimiento de búsqueda se puede obtener el valor de d50 necesario para dar un Pq(xs) especificado. Una estimación inicial se puede hacer con una expresión empírica basada en datos de Arterburn : d50 = xs [15.53 − 3.26 ln Pq (xs) ]
(9.42)
Etapa 3 : Cálculo de cvp, C y a′ necesarios para ajustar el balance Combinando las ecuaciones (9.34) y (9.37) con a ≈ a′, resulta : cvt(1 − cvq) cvq(1 − cvt)C 1 1 − a′ = = cvt(1 − cvq) (C + 1)(1 − ∑ ci pi) 1+ cvq(1 − cvt)C i Despejando C de la expresión resulta :
∑ci pi C=
i
cvt(1 − cvq) (1 − ∑ci pi) − cvq(1 − cvt)
(9.43)
i
a′ se obtiene de la ecuación (9.34) : a′ =
236
1 cvt(1 − cvq) 1+ cvq(1 − cvt)C
(9.34)
y cvp se obtiene de la ecuación (9.33) reordenada: cvp =
1 C(1 − cvt) (1 − cvq) 1+ + (C + 1)cvt (C + 1)cvq
(9.33)
Etapa 4 : Cálculo de d50 normalizado El valor de d50 obtenido en la etapa 2 debe ser normalizado antes de poder ser usado para calcular el diámetro del hidrociclón, esto es, debe ser transformado en (d50)n, válido para las condiciones estándar: d50n =
d50 F1F2F3
(9.44) 1.43
1 F1 = 1.9 1 c − vp
(9.45)
F2 = 3.27∆P−0.28
(9.46)
0.50
1.65 F3 = ρs − ρ1
(9.47)
donde ρs y ρ1 son las densidades del sólido y del agua en g/cm3 o ton /m3 y ∆P es la caida de presión en kPa. Para iniciar el cálculo se supone que ∆P=70 kPa.
Etapa 5 : Estimar el diámetro del hidrociclón La relación entre el diámetro de un hidrociclón normal y el tamaño ( d50) nes : dc = 0.206[d50]1.515
(9.48)
donde d50 se mide en micrones y dc resulta en centímetros. A continuación se selecciona el hidrociclón estándar de tamaño más cercano al calculado. Una vez elegido éste, se recalcula el nuevo (d50) n con la ecuación (9.48) y luego la caída de presión con la ecuación (9.44) para dar el mismo d50 real.
Etapa 6 : Cálculo de la capacidad del hidrociclón elegido La capacidad de un hidrociclón de diámetro dc, expresada como flujo volumétrico de pulpa en m3/h, es : Qp = 0.0148(∆p)0.5dc1.87
(9.49)
237
Esta expresión fue desarrollada originalmente para flujo de agua. Arterburn indica que un hidrociclón puede pasar un flujo un poco mayor de pulpa y, por lo tanto, el cálculo es conservador.
Etapa 7 : Cálculo del número de hidrociclones de la batería Como la capacidad de un hidrociclón queda determinada una vez que se ha elegido su diámetro, el que a su vez depende del tamaño de partículas a separar, para lograr la capacidad total se debe calcular el número de equipos necesario. El flujo másico total de sólidos al hidrociclón es P=(1+C)Q y por lo tanto el flujo volumétrico de pulpa será (1 + C)Q ⁄ ρscvp. El número de hidrociclones necesarios para cumplir el objetivo será : (1 + C) Q ρs cvp Qp
N=
(9.50)
Si el número obtenido es fraccionario se le aproxima al entero mayor más cercano. Con este resultado se recalcula la caída de presión y tamaño de separación. No se puede iterar hasta una solución exacta con un número entero de hidrociclones porque en ese caso el sistema queda sobredeterminado.
Etapa 8 : Cálculo del tamaño del apex y vortex Reemplazando la definición de razón de recirculación C=T/Q en el balance global de masa, ecuación (9.29), se puede eliminar Q : T=
C P (C + 1)
Como los flujos volumétricos de pulpa en la alimentación y descarga son P ⁄ ρscvp y T ⁄ ρscvt , tenemos : Qt =
C P T = ρs cvt C + 1 ρscvt
C cvp = cvt Qp C 1 +
(9.51)
El diámetro del apex debe ser lo suficientemente grande como para que pase este flujo, y se calcula de la ecuación : da = 2.62Qt0.447 , El vortex se obtiene de :
238
cm
(9.52)
dv = 0.35dc , cm
(9.53)
En aquellos casos en que no se conoce la distribución de tamaño de la alimentación al hidrociclón, el valor de d50 se puede estimar de la ecuación (9.42). Sin embargo, la ecuación (9.43) no se puede resolver para obtener C porque no se conoce los valores de pi. Por lo tanto se debe elegir un valor razonable para C y continuar con el cálculo como se ha descrito. Claramente esta alternativa de diseño es solamente una estimación cruda.
Objetivo 2. Simulación de Diseño Un simulador de molienda puede utilizar un conjunto definido de valores de selectividad para dar un producto con especificación de un punto de la curva granulométrica, esto es, xs y Pq(xs). El simulador entrega las distintas granulometrías alrededor del circuito, la carga circulante y la capacidad Q en ton/h. Por otra parte, también se puede variar el valor de d50, mediante una técnica de búsqueda, para obtener una razón de recirculación C especificada. En una simulación de diseño, en que C está especificada de antemano, esto se realiza usando una determinada función para la curva de partición, ecuación (9.19), combinada con una de las ecuaciones (9.21) a (9.24). La simulación comienza con un valor estimado para d50, por ejemplo, el obtenido mediante la ecuación (9.42). El valor de “a” se obtiene de la ecuación (9.34) especificando cvq y cvt, como se hizo anteriormente. El simulador entrega el valor necesario de d50 y la capacidad del circuito. Se debe notar que los cálculos hasta este punto son distintos de aquellos del diseño aislado, porque en la simulación de diseño la granulometría de alimentación al hidrociclón no está especificada, lo que da un grado de libertad adicional para fijar el valor de C y por lo tanto “a”. A partir de este punto los cálculos continuan como se explicó en el caso del diseño aislado, excepto que ahora se utiliza el d50 y Q simulados. El d50 simulado garantiza que la razón de recirculación y las distribuciones de tamaño obtenidas a este flujo son correctas, por lo que las dimensiones del hidrociclón y el ∆P necesarios para dar este d50 pueden ser calculados y también el número de aparatos para manejar el flujo Q. Si las dimensiones del molino están estipuladas, el valor final de Q puede ser diferente de algún valor especificado con anterioridad, o alternativamente, el valor resultante de Q permite calcular las dimensiones del molino. Para valores razonables de concentraciones de rebalse y descarga, una carga circulante mayor lleva a retornos mayores de finos al molino vía mayores fracciones de agua en la descarga. Este fenómeno actúa compensando la reducción de sobremolienda obtenida con una mayor carga circulante. Un análisis cuantitativo de este efecto se realiza en el capítulo 11.
239
Objetivo 3. Simulación de Operación Cuando se desea simular el comportamiento de una planta en operación, el número y dimensiones de los hidrociclones están especificados, como también lo está el tamaño del molino. Las variables en este caso son generalmente : (1) la capacidad del molino P y/o (2) la distribución granulométrica de la alimentación. El simulador da la razón de recirculación, la distribución de tamaño del producto, la caída de presión ∆p y los flujos a través de los hidrociclones. De los resultados de estas simulaciones se puede observar que la magnitud de los cambios que se puede efectuar manteniendo una caida de presión (∆pmax ⁄ ∆pmin ≈ 4) y las concentraciones en el rango correcto es restringida. Un simulador de operación puede ser utilizado para investigar el efecto de cambio en la moliendabilidad del mineral, la composición de las bolas de recarga y otros parámetros para un sistema de molienda-clasificación existente.
9.5.3. Modelo Lynch y Rao El modelo de Lynch y Rao [9.17] consiste en ecuaciones empíricas que dan la capacidad, el tamaño de separación, la distribución de agua y la curva de clasificación. Cada ecuación contiene parámetros que deben ser determinados experimentalmente.
(1)Capacidad P = K1 ρs dv(∆p)0.5
cpp (1 − cpp)0.125 cpp + (1 − cpp) ρs
, ton ⁄ h
(9.53)
donde cpp es la concentración fraccional en peso del sólido en la alimentación. cpq es la magnitud análoga en el rebalse, y dv el diámetro externo del vortex.
(2)Tamaño de separación d50 (1 − cpq) , µm d50 = expK2 + 0.885dv − 0.657da + 0.215∆p − 0.0442Q cpq
(9.54)
(3)Distribución de Agua a′ =
(10da − K3) cpp − 0.1 P(1 − cpp)
(9.55)
(4)Función de clasificación c(xi) = donde : 240
exp[λ(xi ⁄ d50)] − 1 exp[λ(xi ⁄ d50)] + exp(λ) − 2
(9.23)
S.I. =
ln ((exp(λ) + 2) ⁄ 3) ln (3exp(λ) − 2)
(9.23a)
si = a + (1 − a)ci
(9.19)
donde dv y da son medidos en pulgadas, ∆P en psig, cpp y cpq son fracciones de sólido en peso, ρs se expresa en ton/m3 y Q y P en ton/h. La utilización del modelo de Lynch y Rao requiere de un conjunto de resultados experimentales, lo que permite calcular los parámetros K1, K2, K3 y S.I. que dependen del tamaño y tipo de hidrociclón y del material a tratar. Los datos necesarios son: (a) diámetro de apex y vortex, (b) flujo másico de alimentación, (c) presión de alimentación, (d) fracción de sólidos en peso la alimentación, (e) flujo de rebalse, (f) fracción de sólidos en peso en el rebalse, (g) análisis granulométrico de rebalse y (h) análisis granulométrico de descarga.
9.5.4.Modelo de Plitt Plitt [9.19] desarrolló un modelo empírico que se puede resumir en las ecuaciones que siguen:
(1)Capacidad C1ρs cvp(∆p)0.56dc0.21dA0.53h0.16(da2 + dv2)0.49 , ton ⁄ h exp(0.31 cvp)
P=
(9.56)
donde : cvp =
cpp cpp + ρs (1 − cpp)
(2) Tamaño de separación C2 dc0.46dA0.60dv1.21 exp(6.3cvp)ρs0.45cvp0.45 d50 = , µm da0.71h0.38P0.45(ρs − ρf)0.5
(9.57)
(3)Cortocircuito a′ = S=
S (1 − cvt) (1 + S) (1 − cvp)
(9.58a)
C3 (da ⁄ dv)3.31h0.54(da2 + dv2)0.36(ρs cvp + (1 − cvp))0.24 exp(0.54 cvp) 1.11
dc
(∆p)
(9.58b)
0.24
241
(4)Función de Clasificación ci = 1 − exp[− 0.693(xi ⁄ d50)λ] λ = C4 (
ρs cvp dv2 h S ) exp− 1.58 P 1+
(9.59a)
S
(9.59b)
De la ecuación (9.21b) podemos observar que alternativamente λ=
1.5725 , ln S.I.
S.I. = d25 ⁄ d75
(9.59c)
En estas ecuaciones todas las longitudes se miden en cm y la caida de presión ∆p en psig, h es el largo del buscador de vórtice, dA es el diámetro del tubo de alimentación, cvp y cvt son las fracciones en peso de sólidos en la alimentación y descarga respectivamente y S es la razón entre el flujo másico de pulpa en la descarga y en el rebalse. También en este modelo se requiere un conjunto de resultados experimentales para calcular los parámetros C1, C2, C3 y C4 (o S.I.). Los datos necesarios son los mismos que se indicaron para la determinación de parámetros del modelo de Lynch y Rao. Información complementaria se puede encontrar en el libro de Gutiérrez y Sepúlveda [9.20].
9.6.OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES A continuación se discutirá brevemente los clasificadores de rastra, harneros curvos, harneros vibratorios y separadores de aire mecánico.
9.6.1.Clasificadores mecánicos Este tipo de clasificador consiste en un estanque inclinado, equipado con un rebalse de vertedero y una caja colectora del producto de finos y agua. Las partículas grandes sedimentan al fondo y son descargadas en la parte alta del estanque mediante una rastra de movimiento oscilante en dirección axial o una espiral, (ver Figuras 9.2a y 9.2b). Después que la pulpa es alimentada en el equipo, la distancia que una partícula recorre depende de su velocidad de sedimentación y del intervalo de tiempo que permanece en el equipo. Este tiempo depende de la distancia desde la alimentación hasta el vertedero de rebalse y debe ser tal que las partículas gruesas tengan suficiente tiempo para alcanzar el fondo. Estas partículas son agitadas y lavadas por la turbulencia originada por el mecanismo de transporte del lodo mientras son arrastradas hasta la descarga. El control de las densidades de pulpa es importante, pero no tan crítico como en el caso de hidrociclones. Aumentando la concentración (reduciendo el flujo de agua) disminuye la velocidad de sedimentación, pero también se reduce la velocidad horizontal de la pulpa hacia el vertedero aumentando el tiempo de sedimentación, el que compensa
242
Tabla 9.1 Resultados experimentales de un clasificador de rastras de 1.83 m x 7 m. % acumulado menor :
Tamaño µm 590 420 297 210 149 105 74 Flujo másico relativo % sólido en peso
Selectividades Selectividades si ci
Alimentación 86.3 76.0 57.7 43.5 32.8 26.7 22.1
Descarga 79.5 64.2 38.4 23.3 14.8 11.0 8.4
Rebalse 100.0 99.7 96.2 83.8 68.7 58.0 49.0
1
0.67
0.33
32
74
32.6
99.0 93.6 70.9 53.0 41.5 38.0 25.3
98.7 91.5 61.0 36.9 21.6 16.8 0
el efecto anterior. Sin embargo, flujos muy altos pueden disminuir la eficiencia de la clasificación debido a la reducción del tiempo de separación. Lynch et al. [9.21] da una discusión sobre la modelación de este tipo de clasificador. Roberts y Fitch [9.22] dan resultados para un clasificador de rastras DSF Dorr de 1.83 m x 7m, operando a 19 oscilaciones por minuto, con un vertedero de aproximadamente 1 m de altura y una inclinación de 0.21 m/m. Los datos obtenidos se dan en la Tabla 9.1.
9.6.2.Harneros Curvos Los harneros curvos pertenecen a la familia de clasificadores para el harnero húmedo, la que también incluye el harnero de flujo cruzado y el Vor-Sir [ 9.23]. El harnero curvo consiste en barras horizontales que forman una curva pronunciada dejando una ranura entre cada barra (ver Figura 9.8), la pulpa se alimenta en forma pareja a lo ancho del equipo y tangencialmente a las barras. El flujo de la pulpa disminuye en altura en aproximadamente 1/4 de ancho de la abertura cada vez que pasa por ella dando una separación de los sólidos de la alimentación a tamaños considerablemente menores que la abertura de la ranura. La densidad del sólido no tiene influencia alguna en el tamaño de separación. La superficie curva asegura que la capa de pulpa permanezca en contacto con la superficie del harnero. La pulpa de finos y agua es colectada en la cámara de afluentes, desde donde se bombea para su tratamiento posterior. El queque, que contiene las partículas gruesas más una porción de finos como material impregnado en los poros, se descarga sobre el borde inferior del harnero y se devuelve al molino. Para evitar el desgaste prematuro de las barras del harnero, éstas se invierten en forma periódica. En la Tabla 9.2 se da datos de la operación de un harnero curvo en la preparación de carbones [9.24]. Lynch [9.5] desarrolló una expresión para simular un harnero curvo: 243
Tabla 9.2 Resultados experimentales de un harnero curvo operando sobre carbón. % acumulado menor :
Tamaño µm 840 590 420 297 210 149 105 74 Flujo másico relativo % sólido en peso
Selectividades Selectividades si ci
Alimentación 91.5 78.7 65.5 53.6 45.0 37.4 31.2 25.8
Descarga 86.0 64.8 44.5 29.4 20.5 15.6 12.1 9.6
Rebalse 100.0 99.8 96.0 90.2 79.5 68.5 58.5 49.8
1
0.63
0.37
37.7
58.9
23.5
d50 = b1.7exp[K0+ 0.00316(2b − 6cpp+ 0.98b1 ⁄ 3p(
90.0 81.4 58.3 42.8 37.0 32.6 24.5
1 − cpp ))+ 0.677cpp] cpp
86.5 75.0 44.1 23.2 15.5 9.5 0
(9.60)
donde d50 está en micrómetros, b es el ancho de la ranura en milímetros, P el flujo de pulpa de alimentación en ton/hora y Ko fue 5.64. Lynch encontró que λ= 4 en la ecuación (9.23) para harneros curvos.
9.6.3.Harneros Vibratorios El tipo más común de harnero es el harnero vibratorio (ver Figura 9.7). El área de harnero necesaria para separar un flujo de partículas se determina desde los datos entregados por las compañías manufactureras en forma de “capacidad básica de harneado”, dado como un gráfico de ton/hora/área unitaria versus la abertura nominal de la malla, aplicable para un material de densidad a granel 1.60 kg/m3 (100 lb/pie3). La capacidad básica se corrige luego por (1) diferencia en densidad a granel, (2) cantidad de finos en la alimentación (3) geometría de la abertura, (4) posición de la malla en un harnero de piso múltiple, (5) área libre de la malla, (6) harnero seco o húmedo y (7) eficiencia del harneado. Después que se haya determinado el área de harneado, el ancho del harnero se calcula del dato de altura del material en la descarga, el que debe ser menor que cuatro veces la abertura nominal de la malla. El largo del harnero, que determina la eficiencia del harneado, debe ser como mínimo el doble del ancho. La distribución de tamaño del sobretamaño (descarga) y bajo tamaño (rebalse) no queda establecida mediante el procedimiento de diseño antes descrito. Batterham et al. [9.25] da datos para harneado en seco en harneros vibratorios con abertura de 20 mm. (ver tabla 9.3).
244
La forma empinada de la curva de clasificación mostrada en la Figura 9.18 es típica de harneros vibratorios para tamaños grandes. A medida que el tamaño de la abertura de los harneros se torna más pequeña, la curva de clasificación se torna más plana, el cortocircuito aumenta y aumenta el problema de bloqueo de la malla por partículas de tamaño cercano a la abertura. Una variabilidad en el material de alimentación puede introducir material que no harnea bien debido a la forma de las partículas. Como una regla general, el harneado en gran escala a tamaños menores de 4 mallas requiere de experimentación y análisis detallado. Parecer ser que no existe una presentación sistemática de curvas de partición para diversos tipos de harneros y materiales como función de la carga en el harnero. Rogers y Brame [9.26] propusieron un modelo empírico para harneros vibratorios de alta velocidad. Ellos propusieron la siguiente expresión para harneros vibratorios húmedos de alta velocidad (Derrick screens): ci =
1 1 + (d50 ⁄ xi) exp[λ(1 − (xi ⁄ d50)3)]
(9.61)
donde λ está dado por: λ = 0.08 exp(4.56 S.I.)
(9.62)
Encontraron, además, que la acción de clasificación no era dependiente del flujo de alimentación al harnero, siempre que éste no fuera sobrecargado. El valor del cortocircuito “a” (igual a la partición de agua), el índice de nitidez S.I. y d50 son funciones de la abertura del harnero y de la densidad de pulpa de alimentación:
Figura 9.18 : Selectividad para un harnero vibratorio con aberturas de 20 mm.
245
d50 = 1.08xa − 50 cvp exp (0.0092xa)
(9.63)
S.I. = 0.93(d50 ⁄ xa)
(9.64)
cvp 1.56( 1 − cvp ) − 0.194 a= cvp 1.25( 1 − c ) − 0.243 vp
par a carbón (9.65) para miner ales y caliza
donde cvp es la fracción en volumen de sólido en la alimentación al harnero y xa es la abertura de la malla en micrómetros (ver Figura 9.19). La correspondencia entre los resultados experimentales y pronosticados para pulpas finas se da en la Tabla 9.4, donde el % menor de 200 mallas es para el producto fino y C es la razón de producto grueso a fino. La Figura 9.20 muestra las capacidades
Figura 9.19 : Ejemplo de d50 calculados y experimentales para un harnero de alta frecuencia en pulpa fina de : ! Carbón malla DF74, " Caliza malla DF165 y ∆ Mineral malla DF165
246
Tabla 9.3 Resultados de un harnero vibratorio con una abertura de 20mm. Tamaño
65 46 32.5 23 16.25 11.5 8 5.75 4 3 <2 Flujo de masa relativo
% acum. % acum. menor menor Alimentación Sobretamaño 100.0 100.0 96.7 89.9 89.2 67.3 79.4 37.3 66.8 6.0 51.7 1.3 43.3 1.2 35.4 1.1 31.5 0.9 27.4 0.85 24.0 0.8 1
0.33
% acum. Selectividades Selectividades ci menor si Bajotamaño 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 82.2 82.1 96.7 10.2 9.75 76.4 0.5 0.0 63.9 0.5 0.0 52.2 1.4 0.0 46.5 0.6 0.0 40.5 0.3 0.0 35.3 1.1 0.0 0.67
Figura 9.20 : Capacidad máxima para harnero de alta frecuencia en pulpa fina de carbón.
247
Figura 9.21 : Circuito de clasificación de dos etapas.
máximas como función de la designación de las mallas y de la concentración de la pulpa de la alimentación.
9.6.4.Separadores mecánicos de aire Los separadores mecánicos de aire se construyen con dos carcazas, ver Figura 9.6. El material alimentado a un plato rotatorio se dispersa en la carcaza interior y cae en forma de cortina a través del aire ascendente succionado de la carcaza exterior. Los finos y el material de tamaño intermedio son elutriados y entran en una sección que contiene aspas rotatorias. Estas separan el material intermedio de los finos, devolviendo los primeros hacia el flujo de gruesos. Las partículas finas salen de la cámara interior a la carcaza exterior suspendidas en un flujo de aire que pasa por la turbina que mantiene la circulación forzada. La rotación del aire y partículas en la carcaza exterior ayuda a efectuar la separación entre el fluido y el sólido, el último descarga mientras que el primero vuelve a entrar hacia la carcaza interior. En la Tabla 9.5 se entregan datos de clasificación de clinker de cemento en un separador mecánico de aire. El alto cortocircuito se puede atribuir a la adhesión de los finos a las partículas mayores. Sin embargo, un estudio realizado por Luckie y Austin [9.27] sobre este tipo de clasificador, en el cual se recirculaba el aire, indicó que se podía esperar curvas de selectividad de tipo “anzuelo”, porque la carcaza exterior no separaba totalmente el sólido del gas y parte del material retornaba a la acción de clasificación. Cuando la acción de
248
clasificación se analiza como una configuración de dos etapas de clasificación, la curva de selectividad toma la forma de “anzuelo”, como se observa en los datos. La variación de los valores de la selectividad para este tipo de clasificación es bastante compleja; el modelo más detallado que se conoce [ 9.28] se basa en datos de un separador de laboratorio de 1 m por lo que su aplicación a separadores industriales es cuestionable.
9.7.CLASIFICACION EN DOS ETAPAS Dos etapas de clasificación pueden ser modeladas con un solo conjunto de valores de selectividad si las selectividades individuales de cada uno de los clasificadores son conocidas para la configuración. Por ejemplo, el arreglo mostrado en la Figura 9.22a reclasifica la descarga de la primera etapa y combina los dos rebalses. En principio, esta configuración elimina finos adicionales del flujo de gruesos y puede ser utilizada cuando la combinación de los rebalses da un producto que cumple especificaciones que no se logran de otra forma. La selectividad global de esta configuración es: s(xi) = s1(xi) s2(xi) a = a1a2
(9.66)
Otra configuración, mostrada en la Figura 9.21b, reclasifica los finos de la primera etapa y combina los productos gruesos. Este arreglo se usa cuando el flujo de alimentación contiene relativamente poca cantidad de producto fino. Una regla empírica dice que para producir un material que sea 95% menor que un cierto tamaño es necesario que la alimentación sea por lo menos un 50% menor que ese mismo tamaño. Sin embargo, con una configuración de doble clasificación, como en la Figura 9.21b es
Figura 9.22 : Modelo propuesto para la clasificación en un separador mecánico de aire.
249
Tabla 9.4 Resultados experimentales de un harnero Derrick. Pulpa
Malla
cvp %
Carbón
DX 70 DF 74 DF 88 DF 105
15.4 21.3 20.3 18.3
Caliza
DF 145 DF 165
37.5 27.7
Experimental Experimental % menor a Razón de 200 mallas recirc. C 62.0 0.66 69.0 1.20 70.0 1.13 76.7 0.00 98.9 97.6
Predicción % menor a 200 mallas 60.1 67.2 69.3 77.8
Predicción Razón de recirc. C 0.60 1.18 1.08 0.93
98.5 98.3
2.13 0.97
1.83 0.77
Tabla 9.5 Resultados experimentales de clasificación en un separador mecánico de aire. Tamaño µm 177 125 88 63 44 31.5 22 15.7 11 7.75 5.5 4 Flujo másico relativo
% acum. menor a la malla Alimentación 98.9 92.0 78.4 62.1 51.9 36.9 27.5 19.9 14.0 9.4 5.0 2.9
% acum. menor a la malla Sobretamaño 98.5 89.9 71.1 49.3 36.1 20.5 14.2 10.0 7.6 5.4 3.0 1.8
% acum. menor a la malla Bajotamaño 100.0 100.0 100.0 99.0 98.4 84.8 66.6 48.9 32.9 5.4 12.5 7.5
1
0.75
0.25
Selectividad si 100.0 100.0 100.0 97.0 78.0 50.3 41.4 30.5 35.9 40.0 42.8 46.5
Tabla 9.6 Parámetros de selectividad global para las configuraciones de clasificación de la fig.9.21. Parámetro a d50 µm S.I.
250
Conf. a 0.09 113
Conf. b 0.51 81.5
Conf. c 0.11 101
Conf. d 0.38 83
0.62
0.65
0.64
0.67
posible tolerar un porcentaje menor en la alimentación. La selectividad global, en este caso es: [1 − s(xi)] = [1 − s1(xi)][1 − s2(xi)] a = a1 + (1 − a1 )a2
(9.67)
Otras dos configuraciones son de interés y ambas implican devolver alguno de los productos de la segunda etapa de clasificación a la alimentación de la primera. Estos arreglos son utilizados para disminuir la pérdida de material mientras se produce un rebalse que cumple especificaciones. En la Figura 9.21c la descarga de la primera etapa de clasificación es alimentada al segundo clasificador y los finos de éste son recirculados a la alimentación de la primera etapa. En este caso la selectividad global es: [1 − s(xi)] =
1 s1(xi) s2(xi) 1+ [1 − s1(xi)]
(9.68)
a = a1a2 ⁄ (1 − a1 + a1a2) En la Figura 9.22d, el rebalse de la primera etapa se envía al segundo clasificador y los gruesos de éste se alimentan a la primera etapa. La selectividad global es ahora: s(xi) =
s2(xi) 1 − s2(xi)[1 − s1(xi)]
(9.69)
a = a1 ⁄ (1 − a2 + a1a2) El caso especial de las dos etapas de clasificación con clasificadores mecánicos de aire, mostrados en la Figura 9.22 dan una selectividad global de: s(xi) =
s1(xi) 1 − [1 − s1(xi)][1 − s2(xi)]
(9.70)
Para comparar los resultados de cada una de estas configuraciones, supongamos que las curvas de selectividad de cada uno de los clasificadores son de la forma de las ecuaciones (9.19) y (9.24) con parámetros a = 0.30, S.I. = 0.60 y d50 = 100 µm. La selectividad global para cada una de las configuraciones de la Figura 9.21 se da en la Tabla 9.6. En las cuatro configuraciones los índices de nitidez S.I. han aumentado del valor original de 0.60, lo que representa una ventaja de tales arreglos. Sin embargo los otros parámetros característicos varían. Parece que la configuración c es mejor que la a, especialmente si los clasificadores individuales tienen un alto cortocircuito. En forma similar, la configuración d parece mejor que la b.
251
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252
CAPITULO 10 APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA
10.1.INTRODUCCION Este capítulo tiene dos funciones principales: (1) mostrar como se aplica la información desarrollada previamante al análisis de plantas piloto y plantas industriales; (2) indicar algunas de las dudas que persisten y que requieren mayor investigación. Debe tenerse en cuenta que no existe una razón a priori de por qué la fractura en un molino industrial deba ser igual a la de un molino de laboratorio y que por lo tanto es necesario validar los modelos con el comportamiento real de la planta. Es útil, en este punto, resumir los principales aspectos de la operación de molinos de bolas en forma cualitativa. Existen dos regiones de fractura de partículas mediante bolas. Fractura normal de primer orden se produce cuando las partículas son pequeñas comparadas con el diámetro de las bolas; en esta región, la distribución de fragmentos de la fractura primaria tiene una pendiente constante γ y la velocidad específica de fractura disminuye a medida que las partículas son demasiado grandes para el diámetro de la bola; entonces se produce fractura que no es de primer orden, con una velocidad inicial mayor, seguida de una velocidad menor con una distribución de fragmentos de la fractura primaria que contiene una mayor proporción de material fino. Los valores de las velocidades específicas medias efectivas de fractura decrecen a medida que las partículas se hacen mayores. Existen dos tipos de ineficiencia de la molienda. El primer tipo, que llamamos ineficiencia indirecta, se produce cuando el circuito de molienda produce exceso de fino por sobremolienda del material que ya es suficientemente fino para el siguiente proceso. Esto se produce cuando el molino está cercano a flujo totalmente mezclado, el clasificador es ineficiente y la carga circulante es baja. Si el circuito y el clasificador se ajustan para producir una distribución de tamaño con especificación factible en dos puntos (o sea, un producto específico a partir de una alimentación dada) entonces la capacidad del molino y la energía específica de molienda son esencialmente independientes de la DTR y de la eficiencia del clasificador. Por otra parte, hay causas de ineficiencia directa , donde se consume energía sin producir reducción de tamaño. Estas incluyen (i) subllenado del molino, (ii) sobrellenado del molino, (iii) uso de diámetro de bolas equivocado, por ejemplo, demasiado chicas para fracturar los tamaños mayores o demasiado grandes para la fractura eficiente de tamaños pequeños, (iv) deslizamientos en el molino debido a mal diseño de las corazas, y velocidad de rotación incorrecta, y (v) uso de una densidad y viscosidad de pulpa equivocada. Si se compara las condiciones de dos molinos cuando producen igual 253
distribución de tamaño del producto a partir de la misma alimentación, estos factores darán una capacidad menor y una energía específica mayor para las condiciones incorrectas comparadas con las condiciones correctas. Si la razón de reducción requerida del molino es relativamente pequeña, el material debe ser pasado por el molino a velocidades mayores y la relación de transporte de masa establece que el molino se sobrellenará. La eficiencia de fractura disminuye a medida que el llenado intersticial de las bolas aumenta mucho más allá de U=1 lo que lleva a ineficiencia directa. Existe un valor óptimo de la carga circulante para el cual el decrecimiento de la ineficiencia indirecta se balancea con el aumento de la ineficiencia directa. Ensayos con la potencia de un molino muestran que existen probablemente dos tipos de consumo de potencia en un molino, consumo de potencia eficiente usado para voltear las bolas y un consumo de potencia menos eficiente que produce deslizamientos de la carga de bolas y se transforma en calor por fricción. Las bolas voltean en una acción de cascada, en que hay muchas colisiones bola a bola con el polvo atrapado entre las bolas y en una acción de catarata en que las bolas son proyectadas y caen a una gran distancia antes de golpear la parte inferior de la carga. Bajo buenas condiciones, las velocidades de fractura normales tenderán a seguir el consumo de potencia en la acción de volteo. Bajo condiciones impropias es posible obtener velocidades de fractura menores a mayor consumo de potencia, lo que es una ineficiencia directa. La potencia usada para producir catarata es probable que sea eficiente para la fractura anormal, de tamaño grande, pero es menos eficiente para la fractura normal. La molienda seca muy fina o la molienda húmeda a gran densidad de pulpa produce una disminución de las velocidades de fractura, debido a la cohesión del polvo y a efecto de viscosidad de la pulpa. Esto es nuevamente una ineficiencia directa.
10.2.CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION DE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA: MODELOS AJUSTADOS Y REALES Un cierto número de autores [ 10.1-10.4] ha desarrollado modelos de simulación para molinos industriales. Hay dos enfoques básicos. El primero consiste en usar datos de la planta industrial para retrocalcular valores efectivos de S y B suponiendo un modelo de molienda de primer orden, y utilizando una distribución de tiempo de residencia conocida o supuesta o retrocalculando la DTR además de los valores S y B. Los modelos producidos por esta técnica pueden ser llamados modelos ajustados ya que no hay garantía que los valores de S y B calculados sean reales. Estos son valores que ajustan a la fuerza los datos del molino al modelo y, si se usa la DTR equivocada o si la fractura no es realmente de primer orden, los errores del modelo supuesto van a aparecer como valores irreales de S y B. El segundo enfoque es comenzar con un conocimiento acabado de los procesos de fractura del material, usualmente a partir de ensayos a escala de laboratorio, bajo condiciones de molienda controladas y escalar esta información para crear un modelo de simulación real de la planta industrial. En la práctica, a menudo hay insuficiente información para aplicar esta técnica, de manera que se usa una mezcla de los dos enfoques. Mientras menos suposiciones se haga en el retrocálculo, más probable es que los valores retrocalculados estén cerca de los valores reales. 254
10.3.ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA DE UN MINERAL DE COBRE Como un primer ejemplo se da el procedimiento seguido por Austin y Klimpel [10.5] que supone: (i) fractura de primer orden, (ii) los mismos valores de B para la mezcla de bolas en el molino que los medidos con bolas de 25 mm en un molino de laboratorio de 200 mm de diámetro interior, (iii) el mismo valor de α (en Si = a xαi ) en el molino grande y en el chico (iv) valores reales suavizados de si en el clasificador, para calcular la alimentación del molino en circuito cerrado, (v) una DTR basada en valores entregados en la literatura para molinos similares (modelo de un reactor grande y dos chicos). La configuración estudiada consistía en un circuito cerrado normal con un molino de rebalse de 3.05 m de diámetro interior por 4.7 m de largo operando en molienda húmeda de un mineral de cobre a 80% de la velocidad crítica, dando 50 tph de producto con un flujo a través del molino de 97.5 tph. El llenado de bolas se estimó en 38% con recarga de bolas de 25.4 y 50.8 mm. Los parámetros de fractura del mineral, determinados en un molino discontinuo de laboratorio [ 10.6] se dan como Mineral 1 en la Tabla 10.1. No se dan valores para µ y λ ya que los ensayos no se realizaron para tamaños grandes en el rango de fractura anormal. Los valores para las distribuciones de tamaño en el molino industrial Tabla 10.1 Ensayos de laboratorio en un mineral de cobre (10.6).
Diámetro molino, mm 3 Volumen molino, cm Diámetro bola, mm Velocidad molino, r.p.m. Fracción de velocidad crítica ϕc Volumen carga de bolas J, % (basado en porosidad de 0.4) 3 Densidad mineral, kg/m % de sólidos en peso Peso de sólido, kg Llenado intersticial U
Mineral 1
Mineral 2
200
200
5800
5800
25.4
25.4
60
60
0.64
0.64
32.5
32.5
3 2.65x10
3 2.65x10
64
72
1.11
1.36
0.93
1.14
0.34
0.30
0.93
0.91
γ
0.67
0.61
Φ
0.57
0.63
β
3.0
2.9
δ Indice Bond, kWh/ton métrica
0.0 12.7
0.0 + 15.0 + 13.8
(basado en porosidad de 0.4)
S18x24 = a ,min α
-1
+ Determinado en muestras diferentes a las usadas para los ensayos de fractura.
255
Tabla 10.2 Distribuciones de tamaño experimentales y pronosticadas para un molino de bolas en circuito cerrado directo a 50 tph : potencia del molino 700 kW.
% acumulativo menor al tamaño Tamaño µm
Alim. fresca Gi
Produc. Circuito Qi exp
Produc. Circuito Qi sim
Alim. Molino Fi exp
Alim. Molino Fi sim
Produc. Molino Pi exp
Produc. Molino Pi sim
1680
100
100
100
100
100
100
100
Reciclo
Reciclo
Ti exp 100
Ti sim 100
1180
80
100
100
90
88.8
100
99.6
99
99.2
850
65
100
100
80
79.6
99
98.6
97
97.0
600
50
100
100
69
69.3
96
96.4
92
92.1
425
43
100
99.8
63
62.1
92
92.9
85
84.8
300
37
99
99.3
54
53.9
87
87.6
74
73.8
212
32
97
97.2
45
44.8
79
80.1
60
59.9
150
28
91
91.7
36
36.4
71
71.0
45
46.4
106
24
82
82.3
28
29.6
61
61.2
36
36.3
75
20
71
70.8
22
24.2
50
51.7
28
29.1
53
16
59
59.0
18
19.5
42
42.8
23
23.6
38
13
48
48.6
15
15.8
34
35.1
19
19.2
se dan en la Tabla 10.2. Las muestras fueron analizadas en triplicado y el análisis estadístico indicó que las distribuciones de tamaño tenían una precisión de sólo dos cifras significativas. Un análisis del clasificador, un hidrociclón de 610 mm (24 pulgadas) de diámetro, dio un ajuste razonable de las selectividades con un cortocircuito constante y la función logística en ln x para la función de clasificación: si = a +(1 − a) ci
ci =
(10.1)
1 1 + (xi ⁄ d50)
−λ
donde λ está relacionado con el Indice de Nitidez mediante λ= ln (9) / ln(S.I.). Los parámetros característicos eran a=0.25, d50=193 µm y S.I.=0.50 y fueron usados como entrada al programa de simulación del circuito cerrado. El valor de la razón de recirculación, basada en los datos de la planta, fue de 0.95. Para continuar, fue necesario hacer una estimación de aquellos factores no determinados directamente. Como la alimentación del molino contenía sólo una pequeña fracción de tamaño sobre 1 mm, no se esperaba que la fracción anormal fuera un factor significativo, de manera que la ausencia de los valores µ y Λ no era importante. La distribución del tamaño de bolas en el molino se supuso una mezcla balanceada de bolas de Bond con tamaño máximo de 50.8 mm. La distribución de tiempos de residencia se 256
supuso equivalente al modelo de un reactor grande seguido de dos reactores pequeños en la razón 0.7, 0.15, 0.15. La mayor incógnita fue la retención de mineral en el molino. La relación de transporte de masa de la ecuación (9.34) predice una retención de U ≈ 1.0, justo en el límite donde empieza el sobrellenado, mostrando que el circuito había sido optimizado bien con respecto a la carga circulante. Este valor dio una retención formal de 8.34 toneladas de mineral. Los valores de laboratorio para aT, α , γ , ϕ y β fueron usados como entrada al modelo de simulación, sin concesión para algunas variaciones de los valores de B con el diámetro de bolas. La simulación se realizó para dar un producto del circuito que se ajustara a una única especificación de 59% menos de 270 mallas (53 µm), correspondiente a la operación de la planta. El resultado simulado también se muestra en la Tabla 10.2; el valor de γ fue de 5.7 minutos, la razón de recirculación pronosticada fue de C=0.85 y el valor de Q / W fue de 0.095, dando una capacidad del circuito de 47 toneladas métricas por hora, comparando con el valor medido de 50tph. Sin embargo, la posibilidad de agregar bolas de 25.4 mm haría aumentar un poco la capacidad simulada al producirse una mezcla más fina de bolas en el molino. El cálculo de la capacidad del circuito con el método de Bond, usando el tamaño del 80% de la alimentación y producto, dio una capacidad de 59 tph (métricas). Sin
__ Figura 10.1 : Comparación de los valores de Si escalados con valores retrocalculados para un molino de 3 m de diámetro (el tamaño corresponde al límite superior del 2 ). intervalo √
257
Tabla 10.3 Comparación de resultados experimentales y calculados para un molino de bolas de rebalse en molienda húmeda y circuito cerrado inverso; molino de 3 m de diámetro y circuito cerrado. Cap. tph
malla
Int. Nº
G
87
6
1
100*
102
F Exp.
F Sim.
Desc. Exp.
Desc. Sim.
Q Exp.
Q Sim.
100
P/Q Experimental
8
2
99.5*
99.7
100
12
3
96*
97.3
99.9
16
4
88*
91.6
99.3
100
20
5
79*
84.4
97.7
99.9
Simulado
30
6
69*
75.1
94.6
100
99.7
=1.57
40
7
59.5
89.2
99.8
99.2
68.2
63.9
91.2
51.3
=1.75
50
8
51*
70
9
44.8
44.6
39.3
74
80.8 70.4
95.7
93.8
97.6 % sólidos en peso
100
10
38.3
32.4
28.5
60.6
58.8
86.8
86.0
descarga molino
140
11
32.6
22.4
21.2
47.6
48.3
73.5
75.3
73.5
200
12
29.7
19.3
17.3
38.9
40.2
65.0
65.8
6
1
100
100
100
Experimental
8
2
95.0*
97.3
99.8
=1.95
12
3
88.0*
93.1
99.2
16
4
79.0*
87.1
97.8
100
20
5
69.0*
79.0
94.8
99.9
Simulado
30
6
60.0*
69.5
89.7
99.7
=1.96
40
7
49.7
50
8
45.0*
57.3
56.1
84.1
44.3
81.1
99.7
70.7
98.8 96.9
70
9
38.4
36.2
30.6
64.4
57.5
92.0
91.3
% sólidos en peso
100
10
33.1
26.1
20.5
50.8
45.3
81.2
81.8
descarga molino
140
11
28.6
17.9
14.5
39.3
35.7
70.2
70.2
76
200
12
27.4
13.1
11.8
30.9
29.2
59.6
61.6
G : descarga de molino de bolas. F : descarga de hidrociclones a molino. Q : rebalse de hidrociclón. P/Q : carga circulante.
(CONTINÚA)
258
Tabla 10.3 (continuación) Cap. tph 108
malla
Int. Nº
G
F Exp.
F Sim.
Desc. Exp.
Desc. Sim.
Q Exp.
Q Sim.
P/Q
6
1
100
100
100
Experimental
8
2
96*
98.2
99.8
=2.80
12
3
87*
93.7
98.7
16
4
75*
86.4
96.1
100
20
5
64*
77.5
91.4
99.9
Simulado
30
6
55*
66.9
84.1
99.5
=2.59
40
7
46.3
50
8
41.5*
70
9
35.9
27.3
25.7
44.9
100
10
31.0
18.9
16.5
140
11
26.8
12.7
200
12
23.2
9.3
48.1
53.0
66.7
99.0
98.4
46.1
87.0
88.5
% sólidos en peso
34.3
34.4
76.1
77.4
descarga molino
11.5
25.4
26.4
65.4
65.4
80.5
8.7
21.4
20.9
56.3
54.6
39.4
73.1 60.3
95.5
embargo, el cálculo de Bond está basado en una razón de circulación de 2.5, mientras que la planta tenía una razón de circulación de C=0.95. Como un segundo ejemplo, estos datos también fueron tratados mediante el procedimiento de "ajuste", usando la técnica de retrocálculo de Klimpel y Austin [10.7], (ver capítulo 6). Las mismas suposiciones se hicieron respecto a la distribución del tiempo de residencia y la acción de clasificación, y se supuso que los valores de laboratorio de B eran aplicables al molino industrial de gran escala. Sin embargo, este _ método retrocalcula el conjunto de valores de Si necesarios para obtener el mejor ajuste de cuadrados mínimos de los datos experimentales, de manera que no fue necesario hacer suposiciones respecto a la mezcla de las bolas en el molino o las condiciones del molino. _ con En la Figura 10.1 se muestra una comparación de los valores de Si retrocalculados _ los valores calculados. Los valores escalados y los valores retrocalculados Si = a xia tienen, claramente_ casi el mismo valor de α. También se muestra los valores retrocalculados de Si en el intervalo, que indica que la elección de una línea correcta a través de estos puntos sería difícil.
10.4.ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE El análisis simple que se mostró en la sección previa, no siempre es posible. Austin y Klimpel [ 10.5] han dado resultados para el circuito cerrado inverso mostrado en la Figura 10.2 con la distribución de tamaño dada en la Tabla 10.3. Estos ensayos se realizaron manteniendo el flujo de agua constante y aumentando el flujo de sólido, para aumentar la densidad de la pulpa. Los ensayos no se realizaron con el objetivo de construir un modelo de simulación y las distribuciones de tamaño experimentales estaban incompletas y generalmente no era posible realizar extrapolación exacta para tamaños grandes y chicos. La alimentación fresca era la descarga de un molino de barra, y al graficar su distribución de tamaño experimental, se obtuvo una línea recta en un gráfico de Schuhmann, de manera que pudo hacerse estimaciones razonables de los tamaños más pequeños y más grandes de la alimentación fresca. No fue posible realizar un análisis exacto de la clasificación para obtener valores de d50, pero las cargas circulantes (P/Q) 259
podrían ser calculadas con exactitud razonable y la mejor estimación del Indice de Nitidez fue de 0.45 y el cortocircuito estuvo dentro del rango de 0.26 a 0.30. Desgraciadamente, durante los ensayos no se tomó una muestra de mineral para la determinación experimental de S y B. Ensayos en una muestra tomada más tarde, dieron las propiedades de fractura dadas como Mineral 2 en la Tabla 10.1. Unas muestras dieron valores del Indice de Trabajo de Bond (determinado para la malla 200) de 13.8 kWh/ton métrica y otra de 15 kWh/ton, lo que demuestra la variabilidad del mineral. Durante los ensayos industriales a gran escala, la retención en el molino fue medida vaciando el molino cuando operaba a tres diferentes velocidades de flujo. En base a esto, en la Figura 10.3 se muestra el valor del llenado intersticial de las bolas por el residuo sólido. Es bastante evidente que las altas velocidades de flujo a través del molino dieron un sobrellenado substancial del mismo. Los parámetros del mineral fueron escalados para el molino industrial usando una estimación de la carga de bolas de 38% de llenado del molino, una velocidad del molino
Figura 10.2 : Circuito de molienda ensayado : puntos de muestreo.
260
Figura 10.3 : Variación del material retenido con el flujo a través de un molino de bolas de 3.5 m de diámetro con descarga por rebalse.
de 70% de la velocidad crítica y suponiendo una mezcla balanceada de bolas de Bond para una recarga de bolas de 50.8 mm. Los valores escalados de los parámetros de fractura fueron usados en simulación en circuito cerrado (DTR = 0.7, 0.15, 0.15, como antes) y la capacidad del molino se varió para dar una única especificación del producto del circuito de 75.3% menor a 106 µm, para Q=87 tph; 70.2% menor a 150 µm para Q=102 tph y 65.4% menor a 75 µm para Q=108 tph. Al mismo tiempo se varió el d50 del hidrociclón, suponiendo que el cortocircuito era de 0.28, hasta que los análisis granulométricos de alimentación y producto del molino en la simulación estuvieron en el mejor acuerdo con las distribuciones de tamaño experimentales a la especificación de 75 µm. Se encontró que los tres conjuntos de datos simulados requerían de un d50 de cerca de 190 µm para dar una coincidencia razonable de las cargas circulante y distribuciones de tamaño del circuito. Nótese que la alimentación fresca al molino de bolas fue diferente en cada experimento, siendo más gruesa a medida que la capacidad se aumentaba, ya que el tiempo de residencia en el molino de barras también disminuía. Las distribuciones de tamaños en la Tabla 10.3 y Figura 10.4 muestran tres aspectos relevantes. Primero, cambios relativamente pequeños en la capacidad total produjeron grandes cambios en el flujo másico de sólidos a través del molino, que fue de aproximadamente 150, 200 y 300 tph. En segundo lugar, las distribuciones de tamaños simulados no concuerdan muy bien con los valores medidos en la planta. A la velocidad de flujo más baja, correspondiente a operación normal, hubo menos material grueso en el producto real de la planta que en la distribución de tamaño, simulada (ver siguiente estudio de casos). El flujo más alto dio una distribución de tamaño de la planta más plana 261
(contenía más fino) que la predicción simulada. La razón probable de ésto es que el alto nivel de llenado y alta densidad de la pulpa del mayor flujo daría un γ menor que el normal (ver capítulo 5). Los valores de los parámetros de fractura para el mineral 2, dados en la Tabla 10.1, produjeron una capacidad del circuito demasiado alta, por lo tanto el valor de "a" fue ajustado para dar la capacidad correcta al menor flujo. Se encontró que tenía que ser multiplicado por un factor de 0.87, o sea, era demasiado alto en cerca de 15%. Se calcularon los valores de U y por lo tanto los factores de sobrellenado. Los valores simulados eran U = 1.2, Ko = 0.92 a Q = 87 tph y P = 150 tph; U = 1.45, Ko = 0.80 a Q = 103 tph (102 tph de planta) y P = 202; U = 1.66, Ko = 0.68 para Q = 108 tph (107 tph de planta) y P = 277 tph. Se ve, entonces, que ajustando el valor de "a" para obtener la capacidad correcta a un determinado flujo dio buenas predicciones para las otras capacidades del molino. Aun cuando el modelo de simulación no es perfecto, se concluye que exhibe los principales aspectos de los datos experimentales. Expresado de otra manera, haciendo que el modelo ajustara los datos para un set de condiciones (un modelo ajustado) permitió hacer predicciones razonables para las otras condiciones. La evidencia de sobrellenado a velocidades de flujo altas del molino y la consecuente disminución en la fractura es bastante clara. Normalmente el aumento en el flujo al hidrociclón disminuiría el d50 (ver capítulo 9), pero el aumento de la densidad de la pulpa en estos ensayos parece que produjo una compensación, obteniéndose esencialmente un d50 constante.
Figura 10.4 : Comparación de valores simulados y experimentales para molienda húmeda de cobre a tres flujos diferentes (ver tabla 10.3 ).
262
10.5.ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO 10.5.1.Descripción En esta serie de ensayos [10.8], los modelos de simulación se aplicaron a datos de varios circuitos abiertos de molienda húmeda de un mineral de fosfato de Florida (USA). Las características del molino investigado se dan en la Tabla 10.4. Los parámetros de fractura del mineral de fosfato fueron determinados en un pequeño molino de laboratorio de la manera descrita previamente. La Figura 10.5 muestra los gráficos de 2 . Es claro que las primer orden para la fractura de un monotamaño en un intervalo de √ velocidades de fractura aceleran a medida que los finos se acumulan, como se indicó en el capítulo 5. Las regiones iniciales del gráfico fueron usadas para determinar las velocidades de fractura iniciales dando un valor de α = 0.83 en Si ∝ a xαi . La Figura Tabla 10.4 Características de los molinos investigados. Modo
Dint.
L
Carga
m
m
de
W
bolas
tons.
J
Retenc.
U
Tam.
Fracc.
dreb
bola
bola
m
mm
mezcla
25.4
1
-
-
semicircular
0.0094
-
-
-
Barra
1.758
-
Jo
Tipo
Tipo
% Vcrit
revestim.
P
s/corr. descar. kW
tons. Disc.
0.195
0.175 0.00734 0.30 0.00096 0.86
70
Disc.
0.56
0.91
70
Disc.
Cont.
Cont.
0.82
0.82
3.35
1.52
1.52
7.9
0.369
1.318
1.318
114.3
0.35
0.35
0.35
0.056
0.203
0.183
0.35
22.8
1.0
1.0
0.90
1.45
70
70
70
50.8
0.4
30.1
0.45
a
25.4
0.15
1.92
38.1
0.52
1.68
25.4
0.42
a
12.7
0.06
2.04
50.8
0.4
30.1
0.45
25.4
0.15
50.8
0.4
30.1
0.45
25.4
0.15
50.8
fresca
-
0.34
-
0.24
Corru-
7.5 a
gado
7.7
Corrugado
0.58
0.39
Doble
-
7.0 a Parrilla 7.8 1180 Parrilla
onda Cont.
4.41
9.1
238.5
0.365
50.2
1.35
71
50.8
fresca
0.84
0.38
Barra
Cont.
5.0
11.1
343
0.335
68.3
1.24
73
50.8
fresca
1.40
0.32
Barra de
-
Rebalse
4350 Rebalse
goma Dint:
diámetro interno
L:
largo
Ret. :
retención
dreb. :
diámetro de rebalse
P:
potencia
Cont :
continuo
Disc. :
discontinuo
263
Figura 10.5 : Gráficos de primer orden para la molienda discontinua en un molino pequeño de laboratorio (63% sólido en peso ; D=195 mm, L=175 mm; d=25 mm; J=0.3; U=0.84; ϕc= 0.70).
Figura 10.6 : Distribución de fractura primaria para mineral de fosfato para varios molinos : ∆ d=25.4 mm; ! mezcla de bolas ; " carga balanceada con dmax = 50.8 mm.
264
10.6 da los valores de B para estos ensayos, los que se encontró que eran normalizados, o sea, eran funciones sólo de xi/xj. Como los efectos de orden distintos del primero complican la interpretación de los datos, se usó distribuciones de tamaño que contenían menos de un 30% del tamaño superior como alimentación en un simulador de molienda discontinua entregando valores de α , γ , β y Φ como entrada. Se determinó el valor de aT necesario para dar predicciones razonables de las distribuciones de tamaño para tiempos mayores, dando el resultado que se muestra en la Figura 10.7. Se encontró que este valor de aT también era capaz de predecir satisfactoriamente otras distribuciones de tamaño, como se muestra. Los parámetros de fractura determinados en el molino de ensayo, se dan en la Tabla 10.6. También se realizaron ensayos discontinuos en los molinos de 0.56x 0.91 m (2 x 3 pies) y 0.82 y 1.52 m (3 x 5 pies) y la misma densidad de pulpa. En estos casos, las muestras se tomaron mediante muestreo con cuchara del contenido del molino a través de puertas de acceso después que los molinos se detuvieron. En los tests continuos en el molino de 0.82 m y en los molinos industriales, se recolectaron 4 muestras de 1 litro de la corriente de descarga del molino en estado estacionario, a intervalos de 15 minutos y
Figura 10.7 : Comparación de distribuciones de tamaño experimentales y simuladas para la molienda discontinua de mineral de fosfato en el laboratorio (ver Fig. 10.5).
265
se combinaron. Se tomó (5 kg) de muestra desde la descarga de la correa de alimentación al molino. La potencia del molino fue medida en los tres molinos menores mediante medidores de torque, y en los molinos industriales mediante medidas de la potencia del motor. La distribución de tiempos de residencia (DTR) para el sólido en la mezcla fue determinado en el molino de 4.41 m (15 pies) de diámetro usando la técnica de trazado radioactivo de corta vida de Gardner y Rogers [ 10.9-10]. Su método obtiene los cuatro parámetros característicos del modelo de DTR adimensional de Rogers/Gardner (ver Capítulo 7). Un análisis estadístico mostró que el ajuste de los datos a este modelo caía dentro de los límites esperados de la variabilidad experimental, indicando que el modelo era lo suficientemente flexible para describir el DTR. La Figura 10.8 muestra el DTR adimensional medido en este molino.
10.5.2.Resultados Se realizó simulaciones de molienda discontinua suponiendo una fractura de primer orden, usando los parámetros de fractura (ver Tabla 10.5 para un pulpa de 70% de sólido en peso) medidos en el molino de 0.195 m, escalados a los valores esperados para la mezcla de bolas en los ensayos discontinuos de los molinos de 0.56 x 0.91 m y de 0.82 x 0.52 m, usando las relaciones de la ecuación (5.23), más la distribución de tamaño de la alimentación. Como los parámetros de fractura son similares a aquellos publicados para el cuarzo cristalino en el capítulo 5, se supuso que los factores de corrección de B para este cuarzo, eran aplicables al mineral de fosfato. La Figura 10.6 muestra los valores
Figura 10.8 : Distribución de tiempos de residencia medidos en un molino de 4.41 m (15 pies) de diámetro y ajuste de dos modelos.
266
Tabla 10.5 Parámetros de fractura de mineral de fosfato (peso específico 3.0) en el laboratorio. D, m d, mm
0.195
ϕc
0.70
J U
0.30
α γT Φ β
0.83
a
0.38 a 63% sólido
25.4
0.86 0.94 0.40 4.0 0.39 a 70% sólido
µ, mm ΛT
1.84 2.84
Figura 10.9 : Velocidad específica de fractura para los seis molinos investigados.
267
medios de B así calculados y la Figura 10.9 muestra la velocidad específica de fractura. Como se esperaba que el muestreo con cuchara de la mezcla húmeda produjera variabilidad experimental en las distribuciones de tamaño, las simulaciones se realizaron ajustando un único punto en cada distribución de tamaño y calculando el factor de conversión desde la capacidad simulada (Qsim tph) a la capacidad real (Qplanta tph) del molino, k = τsim /τ = Qplanta/Qsim, donde τ es el tiempo de molienda. La Tabla 10.6 da los valores de k para los ensayos discontinuos. Considerando los resultados del molino de 0.56 m de diámetro, se ve que hay una tendencia general a que la potencia del molino sea mayor en los ensayos de molienda más cortos y también a que las velocidades de fractura sean también mayores. La correlación entre la potencia y la velocidad de fractura es sólo aproximada y la potencia un poco más alta para la molienda de cinco minutos no puede explicar la capacidad relativamente más alta para este tiempo, lo que parece ser debido principalmente a una fractura más rápida de los tamaños gruesos que el dado por la simulación. Esto podría haberse esperado por la aceleración del efecto de orden distinto del primer, mostrado en la Figura 10.5, que produce velocidades de fractura promedio mayores para los tamaños más grandes y, por lo tanto, mayor capacidad a tiempos cortos, cuando la capacidad está denominada por la fractura de los tamaños gruesos. Más importante, la Figura 10.10 muestra que la simulación usando valores de aT ajustados por un valor promedio de k=1.11, da un ajuste razonable entre las distribuciones de tamaño experimentales y de simulación para la molienda discontinua con la primera mezcla de bolas, excepto por un desajuste consistente en el extremo de la distribución de tamaños, desajuste que se espera de la Figura 10.5. La Figura 10.11 da un resultado similar para la molienda discontinua en el molino de 0.82 m de diámetro, con un valor promedio de k=1.09. Sin embargo, el resultado simulado para tiempos de molienda mayores predice mayor cantidad de Tabla 10.6 Comparación de capacidades de planta y simuladas en la molienda discontinua de mineral de fosfato. Diámetro molino m 0.56 Disc.
0.56 Disc.
0.82 Disc.
268
Tamaño máximo bola mm 38.1
50.8
50.8
τ
Qplanta
Qsim
minutos
tph
tph
25 20 15 10 5
0.136 0.169 0.226 0.339 0.678
0.130 0.159 0.202 0.308 0.552
1.04 1.06 1.12 1.10 1.22
25 20 15 10 5
0.136 0.169 0.226 0.339 0.678
0.142 0.174 0.218 0.305 0.544
0.95 0.97 1.04 1.11 1.25
25 15 10 5
0.41 0.61 0.81 1.22
0.39 0.56 0.73 1.10
1.05 1.08 1.11 1.11
Qplanta Qsim
Pot. correg. molino kW
Pot. media molino
1.11
76.3 68.0 57.9 42.1 26.8
1.68 1.77 1.89 1.99 2.04
1.87 1.92 1.97 2.02 2.04
1.06
64.2 56.4 48.3 37.5 24.4
1.75 1.81 1.89 1.90 1.92
1.85 1.88 1.90 1.91 1.92
83.9 69.8 59.5 45.2
7.6 7.6 7.6 7.5
k
%<106µm
1.09
0
Figura 10.10 : Distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la molienda discontinua en un molino de 0.56x0.91 m, usando un valor promedio de k de 1.11, para un tamaño máximo de bolas de 38.1 mm.
Figura 10.11 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la molienda discontinua en un molino de 0.83 x 1.52m, usando un valor de k promedio de 1.09.
material más fino que los 53 µm observados experimentalmente debido posiblemente a un efecto de desaceleración. Se supuso que el modelo de DTR de un reactor grande seguido de dos pequeños equivalentes, mostrados en la Figura 10.8, era aplicable al molino de 0.82 m de diámetro y los parámetros de fractura promedio usados en las simulaciones de la molienda discontinua de la Figura 10.10 se usaron en el simulador de molino continuo. Usando el valor de Jo (carga de bola para el nivel de rebalse) dado en la Tabla 10.5, se calculó que el nivel de llenado era U=0.90 para el molino a escala piloto. La Figura 10.12 muestra los resultados de la simulación del molino continuo a escala piloto usando U=0.90, la DTR de un reactor grande y dos pequeños, y los valores 269
Figura 10.12 : Comparación de distribuciones de tamaño simulados y experimentales para la operación continua del molino de 0.83 x 1.56 m, usando un valor de k de 1.09.
del tiempo de residencia promedio calculados de τ =60W/Q para el material retenido correspondiente a U=0.90. Se puede ver que las distribuciones de tamaño simuladas tienen el mismo desajuste a valores grandes pero la predicción global de la distribución de tamaño del producto es razonable para los cuatro flujos. Los valores de B para los molinos continuos industriales fueron calculados para la mezcla de bolas esperada en estos molinos. Se supuso que la mezcla de bolas era la mezcla de bolas de equilibrio de Bond derivada de bolas de recarga de 50.8 mm (2 pulgadas) de diámetro para todos los molinos. Los valores globales de B para esta mezcla de bolas también aparecen en la Figura 10.6; ellos resultaron esencialmente idénticos a los obtenidos en la molienda discontinua con una carga de bolas de 40% de 50.8 mm, 45% de 38.1 mm y 15% de 25.4 mm. Se supuso además, que la ley de transporte de masa era aplicable al molino de 3.35 m (115 pies) de diámetro con descarga por parrilla, lo que dio U=1.3 para los molinos de 3.35 y 5 m y U=1.37 para el molino de 4.41 m. El valor de U=1.37 predice una retención de 50 toneladas métricas en el molino de 4.41 m (15 pies) de diámetro, mientras que los tiempos de residencia promedio de 21.5, 19.2 y 16.5 minutos, determinados para este molino a velocidades de flujo de sólidos de 132,145 y 170 tph respectivamente, dan una retención (retención = τ /flujo de alimentación) de 47, 46 y 47 ton métricas. Los valores de F1 dados en la Tabla 10.7 son mayores que los flujos reales, de manera que los molinos no aumentan su retención a flujos más altos. Para comparar las capacidades simuladas y experimentales de molinos desde la alimentación en la Tabla 10.8 se usó la misma técnica que para la molienda discontinua, pero usando el simulador de molienda continua apropiado en el estado estacionario, para dar el mismo porcentaje menos 200 ó 150 mallas que el valor experimental. Las Figuras 10.13-15 muestran las distribuciones de tamaño versus valores experimentales para los resultados del molino industrial, usando valores de k promedio. Se ve que las 270
Tabla 10.7 Comparación de capacidades de planta y simuladas para la molienda de mineral de fosfato en circuito abierto. Diámetro molino
F1
τ
Qplanta
Qsim
m
Tamaño máximo bola mm
tph
minutos
tph
tph
0.82
50.8
1.0
34 25 21 15
0.32 0.42 0.51 0.73
0.30 0.38 0.46 0.67
1.07 1.10 1.11 1.09
15.6 17.3 19.5 23.5
58 68 74 84
53 63 71 78
1.09 1.08 1.04 1.08
19.4 18.3 15.4
132 145 170
138 146 172
0.96 0.99 0.99
24.2 20.4 16.7 13.4
122 168 204 249
174 206 251 314
0.70 0.81 0.81 0.79
3.35 (11.5ft)
50.8
4.41 (15ft)
50.8
5.0 (17ft)
50.8
170
400
690
Qplanta Qsim
k
1.09
1.07
0.98
0.80
%<106µm
Potencia correg. molino kW
87.1 80.6 76.3 65.2
7.5 7.8 7.2 7.0
71.4 65.4 61.3 58.0
1182 1170 1194 1182
67.9 65.9 60.1
N.A. N.A. N.A.
79.7 74.9 68.6 62.0
4350 4350 4315 4415
N.A=desconocido
simulaciones generalmente predicen las distribuciones de tamaño del producto dentro de la variabilidad considerada, excepto nuevamente por el desajuste en el extremo superior de las distribuciones de tamaño. Parece que la cantidad de material bajo 200 mallas (75 µm) pronosticada es consistentemente demasiado alta para el molino de 4.41 m de diámetro y es consistentemente demasiado baja para el molino de 5.0 m.
10.5.3.Discusión de los resultados Es claro que hay una tendencia consistente a un desajuste para los tamaños mayores de las distribuciones del producto, tanto en molienda discontinua como en la continua. El valor de aT elegido de los resultados de ensayos discontinuos de laboratorio es el mejor valor, suponiendo fractura de primer orden, para reproducir la región más fina de la distribución de tamaño del producto, aún en la presencia de aceleración de la fractura de los tamaños mayores. Por lo tanto, es válido esperar que simulaciones basadas en este valor pronostiquen correctamente el extremo fino de la distribución de tamaño del producto pero no el extremo grueso, es decir, predicen más material en los tamaños grandes de los que se ven realmente y por lo tanto, un diseño de molino basado en simulación para dar un porcentaje bajo un tamaño deseado, por ejemplo, 140 mallas o un tamaño del 80% determinado, es inherentemente conservativo con respecto a alcanzar una restricción adicional en el tamaño máximo.
271
Tabla 10.8 Distribuciones de tamaño de alimentación. D, m Q, tph Tamaño
0.82 0.32-0.56
0.73
3.35
4.41
58-84
132-170
5.0 122
168
204
249
% en peso menor que el tamaño para molinos de diametro D
µm 13400
100
100
9150
100
100
100
100
96.7
98.4
6730
99.0
96.0
97.2
99.5
93.2
97.4
4760
93.1
88.1
94.2
97.5
89.9
95.5
3360
100
100
84.1
83.4
89.9
94.9
85.7
93.1
2380
99.0
99.1
71.1
64.8
85.1
90.2
81.1
89.8
1680
97.4
97.9
56.9
9810
77.5
82.0
73.5
83.2
1190
91.8
95.5
43.6
32.4
68.2
71.6
64.4
74.3
841
85.0
91.0
36.1
23.4
6.7
60.7
53.3
62.1
595
75.7
84.9
31.7
18.8
43.9
53.3
45.8
54.2
420
61.0
73.5
24.4
14.8
38.4
41.1
36.0
41.8
297
43.1
55.4
14.8
10.9
25.6
25.9
24.0
27.9
210
29.4
36.8
8.2
7.2
15.0
15.1
14.5
19.4
149
18.2
23.1
4.4
3.5
6.8
6.0
6.5
7.7
105
12.5
14.8
2.5
1.9
4.5
3.5
4.5
4.0
74
9.7
10.6
2.2
1.3
3.9
3.0
3.9
3.1
53 37
7.4 6.8
8.1 6.8
2.1 2.0
3.6 3.4
2.9 2.7
3.6 3.4
3.0 2.8
Teniendo en mente las distribuciones en la mezcla de bolas, diseño de barras elevadoras, distribución de tamaño de la alimentación, arreglos de descarga del molino, etc., el hecho que el escalamiento de los datos de fractura de laboratorio dé predicciones de la capacidad del molino con una precisión de + 11%, para un rango de molinos de 0.56 a 4.4 metros de diámetro demuestra la validez general del procedimiento de diseño. Se debe apreciar que el diseño de un molino en circuito abierto es más crítico que el de uno en circuito cerrado, ya que la ausencia de reciclo quita un grado de libertad en la sincronización fina del molino en operación. Por ejemplo, el desajuste de los resultados simulados versus los experimentales en los tamaños gruesos no sería aparente si estos tamaños se sacaran para reciclo vía clasificación. El método de Bond de diseño de molino en circuito abierto falla totalmente para estos datos, como se muestra en la Tabla 10.9. Los tamaños del 80% de las alimentaciones y productos experimentales fueron usados en el método de Bond con un Indice de Trabajo de 18.3 kWh/ton, medido con un tamiz de prueba de 200 mallas (75 µm). En un cálculo de diseño no se conoce el porcentaje menor que 200 mallas a cualquier tamaño del 80% deseado (excepto para el caso especial de 80% pasando a 200 mallas), de manera que el método de Bond de conversión de circuito cerrado a abierto no puede ser aplicado realmente para diseño. Sin embargo, aún con estas "correcciones", las capacidades reales eran sólo de 40 a 70% de las capacidades predichas por Bond, o sea, el método de Bond sobrepredice la capacidad en un 45 a 150%.
272
Figura 10.13 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la operación continua de un molino de 3.35 x 7.9 m, usando un valor de k de 1.07.
Figura 10.14 : Comparación de distribuciones de tamaño simulados y experimentales para la operación continua de un molino de 4.41 x 9.1 m, usando un valor de k de 0.93. 273
Figura 10.15 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la operación continua de un molino de 5.0 x 11.1m, usando un valor de k de 0.80.
El método de Austin-Klimpel-Luckie predice capacidades que son un 25% demasiado altas para el molino de 5 m (17 pies) de diámetro. Esta magnitud de error es inaceptable. Esto no se debe a que el molino consuma una potencia baja anormal, ya que el molino industrial consume la potencia esperada de la ecuación de Bond, como se muestra en la Figura 10.16. Hay evidencia, a partir de ensayos de DTR, que la densidad de la pulpa en un molino de rebalse es mayor que la de la pulpa que entra y sale del molino. Sin embargo, la Tabla 10.6 muestra que no hay efecto grande de la densidad de la pulpa en las velocidades de fractura del material. Debe concluirse que el escalamiento de los valores Si de acuerdo con D 0.3 para D > 3.81 no es correcta cuando D se hace muy grande. Esto puede deberse a la distribución de tamaño del producto más plana del molino grande, ver Figura 10.17, lo que sugiere que una proporción más grande de la energía de las bolas se usa en producir material excesivamente fino a expensas de velocidades de fractura normales más bajas y menor capacidad del molino. El simulador del molino se operó [ 10.11] sintéticamente para que diera más o menos la distribución correcta de tamaño del producto, mediante el cambio de la DTR para estar más cerca del caso totalmente mezclado, usando reactores de tamaño relativo 0.85, 0.075 y 0.075. Los 274
Tabla 10.10 Comparación de capacidad de la planta con predicciones de método de Bond para circuito abierto en molienda de fosfato.
75 µm
Multip. de Bond
Capacidad tph Bond
Capacidad tph Planta
Razón Planta Bond
130 155 170 190
59.3 54.0 50.6 47.8
1.049 1.041 1.036 1.035
94 106 113 121
58 60 74 84
0.62 0.64 0.65 0.69
3000 3000 3000
149.5 152 180
53.8 51.5 47.8
1.041 1.037 1.035
236 239 267
132 145 170
0.56 0.61 0.64
2000 1600 2300 1500
106 130 160 190
69.0 64.2 58.9 52.7
1.095 1.071 1.047 1.039
304 373 411 517
122 168 204 249
0.40 0.45 0.50 0.48
Tamaño molino m
Tamaño del 80%
Tamaño del 80%
Alim. (µm)
Prod. (µm)
3.35
3000 3000 3000 3000
4.41
5.0
% menos
Figura 10.16 : Potencia en el eje del molino por tonelada de medios de molienda versus diámetro del molino a J = 0.35, ϕc=0.70 para ensayos de molienda de fosfato.
275
Figura 10.17 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y reales para un molino de 5 m de diámetro.
Figura 10.18 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la molienda de fosfato en un molino de 5 m de diámetro usando un modelo de DTR cercano a mezcla perfecta.
276
Tabla 10.11 Comparación de predicciones de Austin, Klimpel y Luckie (AKL) con datos experimentales para un molino de 5 m de diámetro con DTR de mezcla perfecta. Tamaño de 80 % en la alimentación
% menor a tamaño :
µm
Planta
AKL
Planta
AKL
Planta
AKL
Qplanta Qsim
2000
53.4
54.3
69.0
70.8
79.7
79.7
0.91
1600
48.3
48.0
64.2
65.1
74.9
74.9
1.02
2300
43.6
42.6
57.9
58.4
68.6
68.6
0.99
1500
38.8
35.6
52.7
52.0
62.0
62.0
0.93
38 µm
75 µm
106 µm
resultados se muestran en la Figura 10.18 y Tabla 10.10. Las nuevas capacidades simuladas concuerdan bastante bien con los valores de la planta. Esto no prueba que los molinos con diámetros grandes tengan DTR cercanas al comportamiento de mezcla total, pero sugiere que el 25% de la capacidad demasiado baja para este tipo de molino se debe a algún factor que hace que la energía del molino se use ineficientemente sobremoliendo los finos. Es probable que una mezcla lenta en el sentido radial dé un efecto equivalente a un espacio muerto parcial en el molino. Un espacio muerto tiene el efecto de dar una cola larga a la distribución del tiempo de residencia, lo que llevaría a sobremoler los finos.
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10.4.
Gelpe, T., Flament, F. and Hodouin, D., Computer Design of Grinding Circuits Flowsheets Application to Cement and Ore Processing, preprint 83-191, AIME Annual Meeting, (1983).
10.5.
Austin, L.G. and Klimpel R.R., Chapter 9, Control’84, Mineral /Metallurgical Processing, J.A. Herbst, ed., SME-AIME, New York, NY, (1984)167-184.
10.6.
Klimpel, R.R., Min. Eng., Part I, 34(1982) 1665-1668; Part II, 35(1983)21-26.
10.7.
Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol., 38(1984)77-91.
10.8.
Rogers, R.S.C., Austin, L.G. and Brame, K.A., Min. and Met. Processing, 3(1986) 240-246.
10.9.
Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., J.A.I.Ch.E., 24(1979)229-240.
10.10 Gardner, R.P., Verghesse, F. and Rogers, S.C.R., Min. Eng., (1980)422-431. 10.11 Austin, L.G., and Tangsathitkulchai, C. Ind.Eng.Chem.Research, 26(1987)997-1003.
277
278
CAPITULO 11 SIMULACIONES DE CIRCUITOS
11.1. COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS CON EL METODO BOND Se recordará del capítulo 3 que el método de diseño de molinos de Bond proporciona una descripción aproximada de la capacidad de molienda para molinos de bolas de rebalse en circuito cerrado directo, operando en húmedo con una razón de recirculación de C=2.5, ver Figura 3.2. No es posible efectuar una simulación exacta que corresponda al método de Bond porque variables importantes, tales como la distribución granulométrica de la alimentación, la mezcla de tamaños de bolas en el molino, la densidad de pulpa, la DTR y la curva de partición del clasificador no son especificadas en el método de Bond. Sin embargo, usando estimaciones razonables de estos factores no especificados, se hizo simulaciones del modelo para realizar una comparación con los resultados del método de Bond. El material seleccionado para el estudio fue un mineral de cobre con ganga cuarcífera que tenía un Indice de Trabajo Bond de 15 kWh/tonelada métrica, que es un valor promedio representativo (se supuso que el valor WiT no variaba con el tamaño del tamiz, ver Figura 3.3). Los parámetros de fractura característicos se dan en la Tabla 11.1. Estos valores fueron escalados a un molino de diámetro interior de 3.05 m y L/D=1.6, para una carga de bolas de J=0.35, una velocidad de rotación de 70% de la crítica y un llenado intersticial nominal de U=1 que da W=7.57 toneladas métricas. Se puede notar que el escalamiento con las ecuaciones del capítulo 5 da esencialmente la misma variación de capacidad con el diámetro del molino con L/D y con J que el método de Bond ( en esta región de D, L/D y J), de modo que cualquier valor razonable puede ser utilizado con el propósito de la comparación. La mezcla de bolas se tomó como la mezcla de equilibrio de Bond para una recarga con bolas de un diámetro de 50.8 mm. La distribución de tiempos de residencia utilizada fue la del modelo de un reactor grande seguido por dos pequeños con tamaños relativos de 0.73, 0.135 y 0.135. La distribución granulométrica de alimentación que se supone fue de 80% menor a 1 mm, con una pendiente de Rosin-Rammler de 0.50. Finalmente, los valores de selectividad del clasificador se calcularon utilizando la función logística en ln xi con un cortocircuito de 0.3 y un índice de nitidez de 0.5. Se efectuó simulaciones para proporcionar una serie de tamaños del 80% en el producto de circuito a C=2.5, buscando los valores de Q y d50 para obtener las especificaciones deseadas y suponiendo que U=1 para cada condición. La Figura 11.1 muestra los resultados comparados con los cálculos mediante el método de Bond. Como se esperaba, los cálculos no ajustan exactamente porque las condiciones “normalizadas” que se seleccionó para las simulaciones requerían suposiciones sobre un número de parámetros. (Se recordará que la razón media entre la 279
Tabla 11.1 Parámetros de ruptura de mineral de cobre. Peso de sólido Peso específico verdadero Densidad de pulpa Cargas de bolas : Molino
Parámetros de ruptura
1.36 kg 2.65 72% peso sólido 49% vol. sólido d = 25.4 mm J = 0.325 D = 203 mm 3 V = 5790 cm r.p.m.=60 α = 0.91
γ = 0.61 Φ = 0.63 β = 2.9 δ=0
-1
S12x16 = 0.57 min -1 a = 0.35 min
Figura 11.1 : Comparación de la simulación del modelo con la predicción de Bond para un molino de 3 m de diámetro, suponiendo una cantidad de material retenido constante de 7.75 ton. 280
capacidad real y la capacidad Bond, que fue citada en el capítulo 3 es de 1.06, ésto es, existe normalmente un factor de seguridad inherente al cálculo de Bond). Multiplicar los valores del modelo por 0.80 proporciona un ajuste razonable para los valores de xQ menores que 26 µm, ésto es, para una capacidad del molino menor a 20 tph. En esta región los factores de “fineza de molienda” de Bond son muy significativos, de manera tal que se puede observar que estos factores son una consecuencia natural del modelo de simulación. Sin embargo, a altos flujos de alimentación (tiempos de residencia bajos) suponiendo que U=1, la simulación proporciona valores de la capacidad de hasta tres veces lo que predice el método Bond. Esto se debe sin duda al hecho de despreciar los efectos de sobrellenado del molino a tan altos flujos: es claramente imposible pasar flujos de F=1000 tph (Q=286 tph) a través de un molino de 3 m de diámetro sin conducir a un sobrellenado. Este efecto fue incorporado en la simulación al suponer una retención versus flujo másico de la forma de las ecuaciones (5.22) y (8.34) W=
W (F ⁄ F )0.5 1 1 1.3W1
, F ≥ F1 , F ≤ F1
El valor de U a cualquier flujo de sólido a través del molino es entonces, W/W1, y la ecuación (5.7) fue utilizada para calcular el cambio en los valores de Si y, en consecuencia, cambios en capacidad, como se discutió previamente. Para el caso que se considera aquí, U=1.3 solamente para valores de F menores a F1 ≈ 70 tph, Q ≈ 20 tph, y para este valor de U, Ko = 0.875. Multiplicando las capacidades simuladas de la Figura 11.1 por 0.875, para los flujos menores a 20 tph, dió una proporción de simulado a Bond de 1.09, muy cercano del 1.06 que se deduce a partir del Indice de Trabajo Operacional. El molino empieza a llenarse a flujos mayores y los valores de Qf simulados en base a U=1 deben ser multiplicados por valores de Ko menores para obtener valores reales de Q. Esto no prueba que el sobrellenado es un efecto real porque el desacuerdo cada vez más grande entre el método Bond y las capacidades del simulador de molienda sin corrección a flujos altos podría deberse a otras razones. Por ejemplo, en un circuito real un intento para forzar un molino a flujos más altos y razones de reducción más bajas puede sobrecargar los clasificadores y, en consecuencia, producir un aumento del cortocircuito disminuyendo el S.I. y la capacidad del molino más allá de lo esperado. La forma exacta de la relación de transporte de masa en molinos no es conocida y el valor de k=0.5 en la ecuación (8.35) (en unidades métricas) es sólo una estimación que se basa en datos limitados, y la disminución de las velocidades de fractura a fracciones de llenado muy elevadas también se basa en un limitado número de datos de laboratorio. En consecuencia, el efecto numérico exacto del sobrellenado está en duda. De todos modos se cree que la reducción de capacidad del molino (en relación a la que se espera de una simulación de molienda sin corrección) que ocurre a flujos altos es un efecto real.
281
11.2.COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS DE CIRCUITOS DE MOLIENDA 11.2.1.Introducción Como los efectos de desaceleración y de sobrellenado son causa de ineficiencia directa y varían con la densidad del material y de la pulpa, la discusión siguiente versará sobre ambas: (a) ningún efecto de desaceleración o sobrellenado, de modo que las conclusiones ilustran cambios en la ineficiencia indirecta solamente; (b) efecto de sobrellenado suponiendo que la relación de transporte de masa es aplicable a molinos húmedos de rebalse. Un molino que no se sobrellena en la misma medida debido a una forma de descarga diferente debiera dar un resultado intermedio entre estos dos extremos. Las condiciones del molino de la sección previa fueron utilizadas con propósito ilustrativo, generalmente con la alimentación representada por un 80% menor a 1 mm, con una pendiente de Rosin-Rammler de 0.75 y con sobrellenado para flujos superiores a los 90 tph.
Figura 11.2 Caso 1 : Comparación de la distribución de tamaño de un circuito abierto para τ = 5 min, para diferentes DTR.
282
Figura 11.3 CASO 2 : Distribuciones de tamaño para circuito abierto, moliendo a varios tiempos de residencia para modelo de tres reactores en serie (0.7:0.15:0.15).
11.2.2.Caso 1 En primer lugar consideremos un molino de bolas operando en circuito abierto, con valores conocidos de Si y Bij, un material retenido W constante y una alimentación constante. La Figura 11.2 muestra la distribución granulométrica calculada para flujo pistón, flujo perfectamente mezclado y para un DTR correspondiente a 3 reactores en serie, de tamaño relativo 0.7 :0.15 :0.15 y un valor de τ de 5 minutos. El flujo del producto Q es el mismo para cada uno ya que Q/W = τ para un circuito abierto. Se concluye que el flujo pistón produce una distribución granulométrica más fina, con menos material grueso y es, por lo tanto más favorable. Físicamente esto se debe a que un sistema perfectamente mezclado da una oportunidad mayor para que partículas grandes puedan escapar antes de ser molidas en él y la distribución granulométrica sobre la que se efectúa la molienda es la del producto. Por otra parte, con flujo de pistón el molino está operando sobre distribuciones granulométricas más gruesas en la mayor parte de la longitud del molino y es más eficiente porque la fractura de partículas mayores es más rápida. Las distribuciones granulométricas convergen para las partículas muy finas.
283
Figura 11.4 Caso 3 : Distribuciones de tamaño para la molienda en circuito cerrado con selectividades determinadas, como función del flujo de alimentación Q, DTR de tres reactores en serie.
11.2.3.Caso 2 En segundo lugar, consideremos el mismo molino con una DTR correspondiente a tres reactores en serie operados bajos condiciones de circuito abierto para diferentes tiempos de residencia promedio. El resultado se muestra en la Figura 11.4; como se esperaba, tiempos de residencia mayores (un flujo de producto Q menor) proporcionan una molienda más fina.
11.2.4.Caso 3 En tercer lugar, consideremos el mismo molino operado bajo condiciones de circuito cerrado con un clasificador que tiene un conjunto de valores de si fijos (a=0.3, S.I.=0.5 y d50=150 µm). El resultado se muestra en la Figura 11.4 Aún cuando los parámetros del clasificador son fijos, el sistema todavía tiene un grado de libertad porque cambiando el flujo de alimentación fresca cambia el tiempo de residencia en el molino. Para flujos de alimentación muy bajos, la molienda es tan fina que el clasificador casi no opera. de modo tal que el resultado es idéntico al de la Figura 11.3. Cuando el flujo de alimentación aumenta la molienda es más gruesa, el clasificador envía más material para ser recirculado, la razón de recirculación aumenta y el producto del circuito se vuelve más grueso. Un aspecto muy importante surge de la simulación. El conjunto de valores 284
típicos de si son 1 para las partículas grandes, lo que significa que el clasificador no permitirá que el material grueso deje el circuito. Existe un tamaño de corte superior que se comporta como una parrilla o tamiz previniendo la salida del material grueso. Entonces, cuando el flujo de alimentación aumenta se alcanza una capacidad máxima que es controlada por las velocidades a las que se fracturan las partículas de la alimentación cuyos tamaños son mayores que el tamaño de corte para producir partículas de tamaños menores a las de corte. Cualquier tentativa de alimentar el circuito a velocidades mayores conducirá a una obstrucción del molino por la acumulación de material grueso no fracturado. La razón de recirculación en esta etapa llega a ser grande. La capacidad a la cual esto sucede es, por supuesto, más baja en presencia del efecto de sobrellenado.
11.2.5.Caso 4 Se puede ahora apreciar por qué no es posible comparar el resultado de usar un circuito cerrado versus usar uno abierto sin definir las condiciones más cuidadosamente, ya que cambian las distribuciones granulométricas. De aquí se deduce el importante concepto de simulación que indica que para comparar dos sistemas ellos deben ser
Figura 11.5 CASO 4 : Comparación de las distribuciones de tamaño para molienda en circuito abierto, con un punto de control en 80% menor a 200 mallas (75 µm), ver figura 11.3.
285
operados para dar un mismo producto deseado. Para empezar, podemos utilizar un solo punto de control, esto es, los circuitos se fijan para producir una distribución granulométrica que pase a través de un punto específico, el punto de ajuste único. Por lo tanto, el caso 4 es una repetición de los resultados de circuito abierto de la Figura 11.2, pero con el flujo de producto cambiando para obtener un 80% menor a 75 µm, dando el resultado que se muestra en la Figura 11.5. Es obvio que sólo existe un flujo de alimentación que produce el punto de ajuste único. En otras palabras, el único grado de libertad en la operación del molino que estaba disponible, y que se podía usar para fijar el flujo de alimentación fresca, es eliminado al especificar el punto de ajuste único. Está claro que el flujo pistón produce una capacidad mayor que un molino con flujo perfectamente mezclado, pero este último tiene un porcentaje de finos mucho más elevado. Simulaciones de molienda correctas pueden ser obtenidas solamente si se utiliza un modelo razonable de DTR para este caso. El factor de sobrellenado no fue significativo para la fineza de molienda en juego con el circuito abierto de molienda.
11.2.6.Caso 5 Cuando esto se repite en molienda en circuito cerrado con los parámetros de clasificadores fijos utilizados en el caso 3, para un conjunto dado de valores de si, existe
Figura 11.6 Caso 5 : Distribuciones de tamaño con un punto de control en 80% menor a 75 µm a C = 2.5.
286
nuevamente sólo un valor del flujo de alimentación (y por tanto de C) que cumplirá el criterio de un punto de control. Sin embargo, si diseñamos el clasificador diferentemente, o si es un clasificador ajustable, se introduce otro grado de libertad ya que el conjunto de valores si es entonces controlable. Es conveniente representar el cambio del tamaño de separación del clasificador por medio de un cambio en el valor de d50. Permitiendo la variación del d50 se puede comparar las diferentes DTR del molino a una determinada razón de recirculación, C=2.5. Si se compara los tres diferentes tipos de DTR (ver Figura 11.6) se observará que la influencia de cerrar el circuito es reducir grandemente las diferencias entre las distribuciones granulométricas y las capacidades para las tres diferentes DTR, en comparación con la operación en circuito abierto. Esto significa que para una simulación en circuito cerrado no es necesario conocer la DTR con gran precisión. Más importante, la comparación con el caso 4 muestra que cerrando el circuito se produce distribuciones granulométricas con pendientes más inclinadas y una mayor capacidad Q. La razón física para esto es, por supuesto, que la clasificación remueve los finos y recircula el material grueso. de tal modo que el tiempo de residencia τ necesario para producir el punto de ajuste único es más corto para el circuito cerrado. El molino está operando sobre una mezcla de partículas que en promedio es más gruesa para el
Figura 11.7 Caso 6 : Banda permitida de distribuciones de tamaño con un punto de control en 80% a 75 µm con d50 variable en el clasificador DTR de 3 reactores en serie (ver figura 11.6).
287
circuito cerrado que para el abierto, y la energía de fractura no es utilizada para la sobremolienda de finos.
11.2.7. Caso 6 En seguida emerge el caso 6. Ajustando el clasificador a un d50 más pequeño significa que operará con un tamaño de corte más pequeño, de modo que el tamaño máximo de partículas en el flujo de producto se reduce y material más fino es recirculado. Debido a que se ha introducido un grado extra de libertad, es posible obtener el punto de ajuste único para todo un rango de flujos de alimentación fresca Q (y por lo tanto de razones de recirculación C), correspondiente cada valor de Q y C a un nuevo valor de d50. La Figura 11.7 muestra el resultado, que constituye una de las conclusiones más importantes obtenidas de las simulaciones de circuitos de molienda. Un valor de d50 alto permite al circuito operar como un circuito abierto (C=0) y el valor apropiados de Q da una distribución granulométrica plana que pasa por el punto control. Un valor de d50 bajo da un C muy elevado y el valor apropiado de Q proporciona una distribución con gran pendiente que pasa por el punto control; por lo tanto, existe una banda permitida de distribuciones de tamaño entre C = 0 y C = ∞. Cualquier tentativa para obtener una distribución granulométrica que pase a través de un punto de control y que también pase a través de un segundo punto de control que esté fuera de la banda permitida no se puede lograr. Obviamente un valor alto de C produce capacidad Q más elevada.
Figura 11.8 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación para un material duro y alimentación gruesa (aT=0.25 min-1).
288
Figura 11.9 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación para material de dureza intermedia y alimentación gruesa (aT=0.50 min-1).
Si hay un factor grande de sobrellenado aparece otro punto muy importante. Si se intenta mejorar la eficiencia indirecta aumentando la recirculación se originará un aumento del sobrellenado y una reducción en la eficiencia indirecta aumentando la recirculación. Se originará un aumento del sobrellenado y una reducción en la eficiencia directa: entonces se deduce que existe, una razón de recirculación óptima. Se observa también que la existencia de un cortocircuito “a” en el clasificador significa que hay un valor mínimo de C cuando se cierra el circuito. Las Figuras 11.8 a 11.11, muestran otros resultados similares [11.2] para demostrar la variación general con las condiciones del molino. En estas simulaciones la moliendabilidad del material cuantificada por aT (fracción por minuto) fue variada en la proporción 0.5:1:2, y se varió la especificación de punto único en el producto dejando todo lo demás constante. Se concluye que: (1) El material más blando (moliendabilidad más alta) da razones de recirculación óptima más bajas porque los flujos son mayores para razones de reducción dadas y viceversa. (ii) Una molienda fina (razón de reducción alta) de un material duro puede dar casi la misma capacidad en un amplio rango de razones de recirculación (superior a C=2.5, por ejemplo), porque la ineficiencia directa de sobrellenado equilibra el aumento en eficiencia indirecta debido a la razón de recirculación más elevada. (iii) Las más bajas razones de recirculación óptima se obtienen para pequeñas razones de reducción de materiales blandos. 289
Figura 11.10 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación para un material de dureza intermedia y alimentación fina (aT=0.50 min-1).
Estas simulaciones se hicieron a modo de simulaciones de diseño, ésto es, se despreció las variaciones en densidad de pulpa que ocurrirán alrededor del clasificador como consecuencia de la variación de C y se supone que un diseño apropiado del clasificador puede ser hecho para proporcionar el d50 deseado para cualquier condición. Se debe comprender que la operación a una razón de recirculación más allá del óptimo puede conducir a cierta inestabilidad en el control del circuito de molienda porque, si el material se vuelve más duro, el producto del molino se torna más grueso, la recirculación aumenta y el molino se sobrellena más produciendo una disminución de las velocidades de fractura. Esto requiere que el flujo de alimentación fresca deba ser reducido para evitar obstrucciones. Por otra parte, una operación por debajo de los valores óptimos de C permite que la razón de recirculación aumente y el molino se establezca en un C más elevado pero con un producto más grueso.
11.2.8. Caso 7 Consideremos ahora el caso 7, donde se especifican dos puntos de control. Si estos puntos están espaciados razonablemente, cualquier distribución granulométrica que pase a través de los dos puntos es casi idéntica a cualquier otra distribución a través de los 290
Figura 11.11 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación para un material blando y alimentación gruesa (aT=1.0 min-1).
Figura 11.12 Caso 7 : Distribuciones de tamaño con dos puntos de control en 80% menos 75 µm y 55 % menos 38 µm.
291
mismos puntos. Obviamente, el segundo punto de control factible remueve un grado de libertad, de modo tal que existe solamente un valor de d50 (con valores correspondientes C y Q) que permite obtener la igualdad de los dos puntos. La Figura 11.12 muestra el resultado, que nuevamente es un resultado extremadamente importante. Dice que si un circuito puede operar para satisfacer los dos puntos deseados, el valor de Q es virtualmente idéntico para cualquier DTR. Para un molino operando cerca de la condición de mezcla perfecta es necesario un C más elevado para alcanzar este estado, pero Q es virtualmente el mismo que para un flujo pistón. Sin embargo, en la presencia de un efecto grande de sobrellenado, el flujo mayor obtenido para el caso de mezclas perfectas ocasiona un factor de corrección más alto y por lo tanto, disminuyendo la capacidad: nuevamente, el efecto es mayor para moliendas más gruesas. En estas simulaciones se ha supuesto que las comparaciones se efectúan para molinos geométricamente similares con valores fijos para los parámetros S, B, etc. Por lo tanto, las comparaciones son todas hechas a potencia constante del molino. La energía específica de molienda para el producto del circuito es E=mp/Q, donde mp es constante, por lo tanto, en ausencia de sobrellenado los resultados del caso 5, esto es, un punto único de ajuste, indica que E es menor para un flujo de pistón que para uno de mezcla perfecta. El resultado del caso 6, un punto único de ajuste con d50 variando, indica que E es menor para una razón de recirculación más alta (bajo el óptimo). El resultado del caso 7, dos puntos de ajuste, indica que la producción y energía específica son virtualmente idénticas
Figura 11.13 Caso 8 : Variación de la distribución de tamaño del producto, a flujo fresco constante (Q=45.5 tph), variando d50; DTR tres reactores en serie, sin incluir efecto de sobrellenado.
292
Figura 11.14a : Variación de la selectividad del clasificador al variar S.I : d50 =75 µm y a=0.3 constante.
Figura 11.14b : Variación de la selectividad de clasificadores en función del cortocircuito a y manteniendo d50 =75 µm y S.I.=0.5 constantes.
293
para cualquier DTR y razón de recirculación. Entonces, para producir la misma distribución granulométrica se requiere prácticamente la misma energía específica en un molino determinado, independientemente de la DTR utilizada, si se considera solamente la ineficiencia indirecta. En presencia de efecto grande de sobrellenado, un molino con flujo pistón es más eficiente que uno que dé mezcla perfecta, especialmente para molienda más gruesa.
11.2.9. Caso 8 Si el circuito es operado con una alimentación fresca Q constante, la distribución granulométrica puede ser variada cambiando el d50 (caso 8). Los resultados son ilustrados en la Figura 11.13. donde se muestra los cambios requeridos en d50. Como se podía esperar, si el d50 disminuye a capacidad constante, resultan cargas circulantes más
Figura 11.15 : Efecto del índice de nitidez del clasificador sobre la capacidad del cortocircuito (ver figuras previas para condiciones del molino) : a=0.3, producto con 80% menor a 75 µm.
294
elevadas y distribuciones granulométricas más empinadas del producto con valores del tamaño del 80% menores. Nuevamente, tal como se discutió en el caso 3, hay un límite en que el tamaño de corte superior del clasificador actúa como una parrilla y el valor de Q es el máximo que puede pasar a través del circuito de molienda-clasificación. Para un Q constante, este límite se alcanza cuando d50 llega a un tamaño límite pequeño, 39 µm, como se indica en la Figura. Incluyendo un efecto grande de sobrellenado, el menor valor de d50 y el correspondiente valor más elevado de C proporciona más sobrellenado, el que reduce la fineza de la molienda. Por lo tanto, la variación en la distribución granulométrica debido a la variación del clasificador, a un flujo fijo de Q, es bastante limitado (excepto para molienda muy fina a flujos bajos).
11.3. EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR Las curvas de Tromp para la mayoría de los clasificadores industriales húmedos, pueden ser representadas por una ecuación de tres parámetros : si = a + (1 − a) ci ci = f (d50, λ) donde los tres parámetros descriptivos son a, d50 y λ. Por ejemplo, una función adecuada para ci puede ser : ci =
1 1 + (xi ⁄ d50)
−λ
El valor de “a” es la fracción de cortocircuito aparente, esto es, la fracción de todos los tamaños de alimentación que es enviada a la descarga incluyendo a las partículas más finas. Mientras más pequeña es “a”, más eficiente es el clasificador, ya que menos finos son recirculados hacia la alimentación del molino. Si se define un Indice de Nitidez mediante el cuociente de los tamaños para los cuales ci=0.25 y 0.75 proporciona: 1⁄λ
S.I. = (1 ⁄ 9) ,
0 ≤ S.I. ≤ 1
ésto es : λ = 0.954 ⁄ log (S.I.) El Indice de Nitidez es un parámetros más fácil de visualizar que λ , ya que S.I. = 1 representa una línea vertical y S.I.=0 una línea horizontal. El valor de d50 es el factor que determina donde se encuentra la curva Tromp en la escala de tamaño de partículas. La Figura 11.14 ilustra el efecto de variar “a” y S.I. Mientras mayor es la inclinación de la curva Tromp, más nítido es el corte del clasificador y la línea punteada muestra la curva de selectividad ideal más eficiente, con S.I.=1. Una línea horizontal corresponde a un clasificador ideal ineficiente, ya que representa una separación de flujos sin una clasificación granulométrica preferencial. 295
Figura 11.16 : Efecto del cortocircuito del clasificador sobre la capacidad del circuito (ver figuras previas para condiciones del molino) : S.I.=0.5, producto con 80% menor a 75 µm.
Preguntémosnos ahora: ¿Qué efecto tiene la eficiencia del clasificador en el desempeño del circuito y en la energía específica de molienda? Las Figuras 11.15 y 11.16 muestran los resultados de variar los parámetros de eficiencia del clasificador, en el mismo molino considerado previamente. Como se podía esperar en un ajuste de un punto, con una determinada razón de recirculación, el mejoramiento de la eficiencia del clasificador empina la distribución granulométrica, aumenta la capacidad Q del circuito y reduce la energía específica E, tanto con o sin efecto de sobrellenado. El valor del cortocircuito “a” tiene una influencia particularmente fuerte en la capacidad. Como antes, la presencia de un efecto grande de sobrellenado disminuye la capacidad pronosticada para razones de recirculación máa elevadas. Por añadidura, cuando el clasificador es menos eficiente (ya sea a un bajo S.I. o a un alto "a"), la razón de recirculación óptima es mayor. Esto se debe a que la disminución de la producción ocasionada por la menor eficiencia del clasificador significa que se requiere mayores
296
Figura 11.17 : El esquema superior corresponde a un circuito cerrado inverso. Este puede ser tratado como se indica en el esquema inferior, donde el preclasificador y el clasificador tienen la misma selectividad. El circuito es ventajoso sobre el circuito directo solamente si la alimentación fresca G ′, contiene una cantidad significativa de material suficientemente fino, de modo que la preclasificación evite la sobremolienda de este material fino. Tabla 11.2 Comparación de un circuito cerrado inverso con un circuito cerrado normal : tamaño del 80% en alimentación 1 mm, tamaño del 80% del producto 75 µm (S.I.=0.5, a=0.3, d50 variado). Circuito
τ min
d50 µm
Normal Inverso Normal Inverso Normal
6.0 6.0 3.7 3.7 2.5
145 125 111 104 92.5
Inverso
2.5
87
Q tph
28.2 30.4 35.0 37.3 37.1 (39.8*) 38.5 (41.1*)
P tph
56 56 90 90 124 (134*) 124 (134*)
1+C (P/Q)
Producto Circuito % menor que: 26 µm
75 µm
1.98 1.83 2.58 2.42 3.36
48.6 47.0 45.3 44.1 43.4
80 80 80 80 80
3.25
43.1
80
* Sin ningún factor de sobrellenado.
297
Figura 11.18 : Circuito general de dos molinos.
razones de recirculación para producir los flujos a través del molino que producen sobrellenado. Finalmente, se debe destacar que es fácil extender las simulaciones al bien conocido tipo de circuito que se muestra en la Figura 11.17 (circuito inverso). La alimentación fresca G ′ es sometida a la acción de clasificación y el producto grueso es la alimentación fresca real G al molino. El molino se trata exactamente como se describió anteriormente y el producto total es la suma de dos corrientes hipotéticas Q y Q′. Este tipo de circuito es ventajoso solamente cuando la alimentación fresca contiene una fracción sustancial de material ya suficientemente fino y cuando es deseable evitar una sobremolienda de este material. Simulaciones de este tipo de cicuito en comparación con circuitos cerrados normales usando la misma alimentación y especificaciones del producto y el mismo molino, muestran los siguientes rasgos. En un circuito cerrado normal, operando a capacidad y razón de recirculación óptima, el flujo de sólido a través del molino está dado por P=(1+C)Q, donde Q es la capacidad del circuito. En el circuito cerrado inverso solamente una fracción de Q se obtiene del molino, de modo que el flujo del molino y la razón de recirculación son diferentes y no necesariamente las óptimas. Si se utiliza los mismos indicadores del clasificador, el flujo menor a través del molino lleva a un producto de molienda más fino y a una menor recirculación. Esto debe ser compensado mediante una reducción de d50 para aumentar el flujo a través del molino de modo de devolverlo al óptimo. Esto se ilustra en la Tabla 11.2, donde el flujo real a través del molino se mantiene constante durante la comparación. La producción óptima es de 38.5 toneladas por hora obtenidas en un circuito cerrado inverso a una carga circulante de 3.25, para esta especificación en la fineza del producto. mientras más gruesa es la especificación del producto, mayor es la ventaja del circuito inverso para la misma alimentación. La reducción de la cantidad de material fino que entra al molino aumenta la capacidad 298
(eficiencia indirecta) si el factor de sobrellenado se mantiene igual operando al mismo flujo total a través del molino.
11.4.CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS 11.4.1.Formulación Una de las aplicaciones más beneficiosas del concepto de construir modelos de simulación para molinos es la habilidad para examinar diferentes configuraciones de circuitos con los modelos. Es posible, por supuesto, diseñar un modelo específico de circuito para cualquier configuración de interés y la construcción y programación de modelos para circuitos que contienen dos molinos ha sido discutido por Luckie y Austin [11.3] y Austin, Klimpel y Luckie [11.4]. Sin embargo, hemos desarrollado y programado un circuito de dos molinos mucho más general que permite comparar con un mismo programa diferentes circuitos. El circuito que se analiza se muestra en la Figura 11.18 (las cubas no se indican). Consiste de dos molinos en circuito cerrado normal, con un circuito pre-clasificador y un pre-clasificador intermedio entre los molinos. La descarga del clasificador, ubicado después del primer molino, pasa a un divisor (separador de la corriente) que envía una fracción r1 de todos los tamaños de vuelta a la alimentación del molino y otra fracción (1-r1) a la alimentación del segundo molino. La descarga del clasificador instalado después del segundo molino pasa a otro divisor que envía una fracción r2 de retorno al molino y la otra (1-r2) a la alimentación del primer molino. Normalmente r2 es 1 ó 0 de modo que este divisor actúa como un interruptor direccional. La descarga del pre-clasificador intermedio pasa a alimentar el segundo molino. La corriente fina del pre-clasificador inicial puede ser enviada directamente al producto o recirculada al pre-clasificador intermedio por medio del tercer interruptor direccional r3. Ocho formas reducidas de este circuito se muestran en la Figura 11.19. Las condiciones necesarias para obtenerlas aparecen en la Tabla 11.3. Existen, por supuesto, un gran número de otros circuitos posibles, pero se consideran éstos los más importantes para los propósitos de este capítulo. Considerando el simbolismo de balance de masa alrededor de un pre-clasificador (ver Figura 11.20) se define el parámetro de selectividad si del clasificador para el tamaño i por: G ′gi′si = G gi
(11.1)
Esto es, n
gi = gi′si ⁄ ∑ gj′sj j= 1
n
gi = gi′(1 − si) ⁄ ∑ gj′(1 − sj)
(11.2)
j= 1
299
Figura 11.19 : Algunas formas reducidas del circuito general.
300
Figura 11.19 : Continuación.
301
Tabla 11.3 Reducción del circuito general.
2a.Alimentación preclasificada, molino 1 circuito abierto, molino 2 circuito cerrado inverso 2b.Molinos en circuito abierto, producto preclasificado, molino 2 circuito normal inverso 2c.Molinos en circuito abierto molino 2 en circcuito cerrado inverso 2d.Molino 2 en circuito cerrado inverso a alimentación de molino 1 2e.Alimentación preclasificado, molinos 1 y 2 en serie circuito cerrado normal 2f.Molino 1 y 2 en circuito cerrado inverso 2g.Dos molinos en circuito cerrado normal reciclo del primero se divide en los dos 2h.Dos molinos en serie cada uno en circuito cerrado
302
r1
r2
soi
s1i
s2i
s3i
s4i
0
1
Def. aprop.
Def. aprop.
s1i
0
0
0
1
1
Def. aprop.
Def. aprop.
0
-
0
1
1
Def.
s1i
0
-
0
0
aprop.
aprop.
si
0
0
0
0
aprop.
1
aprop.
0
0
0
0
aprop.
1
si
0
0
ψ
1
1
Def. aprop.
Def. aprop.
1
-
1
1
1
Def. aprop.
Def. aprop.
1
-
Figura 11.20 : Simbolismo del balance de masa alrededor de un preclasificador : C es la razón de recirculación para este clasificador.
Los flujos másicos son: n
G = G ′ ∑ gj′sj
(11.3)
j= 1 n
Q = G ′ ∑ gj′(1 − sj)
(11.4)
j= 1
Las mismas formas de ecuación son aplicables alrededor de cada clasificador. Un modelo de molino de primer orden para el molino se puede expresar en la forma: i
pi =
∑
dij fj
(11.5)
j=1
donde pi es la fracción del producto del molino de tamaño i y dij es la fracción de la alimentación fj de tamaño j que aparece como material de tamaño i en el producto del molino. Los valores de dij dependen de las propiedades de fractura del material en el molino, de la distribución de tiempo de residencia adimensional y del tiempo promedio de residencia τ. El valor desconocido de fj es reemplazado generalmente de: (1 + C) fj = gj + C tj donde gj es la fracción de material de tamaño j en la alimentación fresca y tj es la fracción en la recirculación. Como la corriente de recirculación está dada por: C tj = (1 + C) pjsj 303
Tabla 11.4 Parámetros de entrada : roca de fosfato.
Tamaño de clase
Tamaño máximo de la clase (µm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9520 6732 4760 3366 2380 1683 1190 841 595 421 298 210 149 105 74 53 38
Alimentación fresca menor tamaño 100.0 80.0 63.1 44.10 29.10 26.90 13.60 10.10 5.40 4.80 4.20 3.20 2.50 2.20 2.10 2.00 0.00
_
-1
Si, min
1.87 2.09 2.00 1.73 1.39 1.08 0.82 0.62 0.46 0.35 0.26 0.20 0.15 0.11 0.083 0.062 0.00
Figura 11.21 : Circuito inverso de dos molinos en paralelo.
304
__
Bi−j 1.0000 1.0000 0.8660 0.5090 0.3440 0.2470 0.1810 0.1340 0.1000 0.0740 0.0550 0.0410 0.0300 0.0230 0.0170 0.0130 0.0090
entonces: i
∗ pi
= (1 + C) pi =
∑
∗
∗
pi dij( gj + pj Sj)
(11.6)
j= 1
Calculando pi* a partir de i=1, da C de: n
1+ C=
∑
∗
pj
(11.7)
j= 1
Los balances de masa alrededor del circuito general fueron hechos utilizando estos conceptos, combinados con la acción de los tres divisores y el algoritmo resultante fue programado para uso en un computador. Finalmente se incorporó el nivel de retención de cada uno de los molinos como función del flujo sólido a través del molino utilizando la relación empírica de transporte de masa de la ecuación (8.35). El efecto del aumento del material retenido a flujos altos es el de reducir las velocidades de fractura en el molino por la acción de amortiguación como se discutió anteriormente en el texto. Las velocidades de fractura como función del tamaño de los molinos, condiciones operantes y propiedades del material, fueron calculadas en el programa utilizando las ecuaciones de Austin-Klimpel-Luckie (ver Capítulo 5). Como distribución de tiempo de residencia adimensional se tomó el modelo de tres reactores en serie, uno grande y dos pequeños, con tamaños relativos de θ1, θ2 y θ2 (θ1 + 2θ2 = 1) . Especificando el tiempo de residencia promedio τ en el molino define entonces los valores de dij, con tal que se tenga en cuenta cualquier disminución en capacidad debido a sobrellenado del molino a flujos altos. Es necesario especificar las dimensiones relativas del molino, definidas como Ω =V2/V1. Los valores especificados de si para los clasificadores pueden ser ingresados como vectores o en la forma parámetrica: si = a + (1 − a)ci −λ
ci = 1 ⁄ [1 + (xi ⁄ d50) ], λ = 0.9553 ⁄ log (1 ⁄ S.I.) donde a es la fracción de cortocircuito aparente, d50 el tamaño del 50% de la curva del clasificador corregida y S.I. el Indice de Nitidez de la misma (definido por S.I.=x25/x75). Especificando τ , queda definido el flujo de sólido a través del primer molino, pero el flujo a través del segundo molino, caracterizado por τ2, depende de la cantidad de fractura en cada molino y de los parámetros del clasificador y divisor, esto es, del grado de recirculación. Un procedimiento de búsqueda fue necesario para encontrar el valor de τ2 que genera el grado correcto de recirculación que completa el balance de masa del circuito. Finalmente se programó un segundo procedimiento de búsqueda que variar τ1 (con búsqueda simultáneamente en τ2 ) hasta que el circuito proporcionó la especificación de un punto deseado en el producto. 305
Figura 11.22 : Capacidad del circuito de dos molinos ; con especificación de producto del 80% menos 106 µm. 1. Molinos en paralelo, ambos en circuito cerrado inverso. 2. Molinos en serie, primero circuito abierto, segundo circuito cerrado inverso. 3. Molinos en serie, primero circuito abierto, segundo circuito cerrado normal. Líneas quebradas indican operación sin efecto de sobrellenado.
Simulaciones utilizando el esquema anterior mostrarán siempre un aumento de la capacidad del circuito con una carga circulante creciente. Sin embargo, los molinos no pueden pasar flujos muy elevados sin sobrellenarse de modo tal que las simulaciones se repitieron haciendo la mejor estimación posible del efecto de sobrellenado. La ecuación de transporte de masa utilizada fue: U=
1.3(F ⁄ F )0.5 1 1.3
, F ≥ F1
(11.8)
, F ≤ F1
en que el flujo crítico F1 es: 0.35
F1 = k ϕc ρs D
(L ⁄ D)
(11.9)
donde ϕc es la velocidad del molino expresada como fracción de la velocidad crítica, ρs es la densidad del sólido en toneladas métricas/m3; D es el diámetro interno del molino
306
Tabla 11.5 Resultado de simulaciones. Tipo de circuito
Tamaño corte d50 µm
Razón recirc. C
Capac. circuito Qfalso tph
% que pasa : Q tph 212 µm 106 µm
38 µm
Dos molinos en paralelo ambos circuitos inversos
377 198 166 149 139 132 121
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 5.0
92.03 128.61 148.00 160.39 169.11 175.51 184.18
80.53 112.52 129.48 134.74 133.44 130.81 124.38
94.32 97.89 98.43 98.65 98.75 98.82 98.90
80.04 79.97 79.94 80.01 79.99 80.01 80.09
49.21 40.49 36.66 34.46 33.00 31.97 30.65
Dos molinos en serie, primero abierto, segundo cerrado inverso
421 298 210 149 140 135 130
0.54 0.66 0.96 1.78 2.01 2.31 2.56
77.30 93.97 122.89 173.31 186.08 195.62 205.23
67.63 82.22 107.52 134.75 133.96 133.06 131.45
93.80 95.77 97.74 98.79 98.89 98.93 98.97
80.00 80.08 79.99 80.04 80.08 79.94 79.94
52.22 48.49 42.03 35.50 34.70 36.19 33.85
Dos molinos en serie, primero abierto, según cerrado normal
421 298 230 170 149 140
0.68 0.57 0.71 1.17 1.60 1.90
105.32 112.39 123.35 161.49 180.68 192.84
98.50 102.50 107.56 120.47 121.24 120.72
95.12 96.59 97.77 98.64 98.88 98.95
79.95 80.02 80.09 79.86 80.04 80.04
46.28 44.69 42.53 38.63 37.06 36.34
Dos molinos en serie, primero abierto, segundo cerrado combinado
210 149 130 105 98 92
0.54 0.74 0.92 1.52 1.98 2.38
99.84 111.44 119.22 138.74 152.11 159.75
87.35 97.50 104.30 125.99 128.64 128.30
95.85 95.64 95.47 95.27 95.21 95.22
79.99 80.00 79.97 80.09 79.91 80.07
47.17 44.77 43.25 40.51 38.93 38.45
298 149 130 120 115
0.53 1.24 1.82 2.36 2.72
112.76 148.04 167.46 181.86 189.55
96.65 131.44 134.11 133.67 132.60
97.17 97.97 98.00 98.02 98.04
80.06 80.09 80.01 79.98 80.06
44.25 38.16 36.14 35.14 34.78
298 210 170 130
0.58 0.83 1.21 2.54
125.56 139.93 157.40 196.38
122.45 129.10 133.67 132.69
97.18 98.25 98.63 98.89
79.99 79.99 79.97 80.10
41.59 39.20 36.95 34.21
298
210
149
307
en m, L es la longitud de éste en metros y k se tomó como 0.5 para F1 en toneladas métricas por hora. El mayor valor de U debido al sobrellenado se supuso que disminuirá las velocidades específicas de fractura según el factor. Si
∝
exp [− c (U − 1)]
(11.10)
El valor de c se tomó como 1.3. La disminución fraccionaria Ko de la capacidad de molino debido a este efecto (si se compara con un llenado formal de U=1) se obtuvo definiendo un τ∗ formal mediante τ∗=F1/W1, siendo W1 la capacidad para U=1, que hace que la ecuación (11.8) se convierta en: ∗
0.5
U = 1.3K0(τ ⁄ τ)
, F ≥ F1
donde τ es el tiempo promedio de residencia de la simulación sin corrección. Como la capacidad del molino es proporcional a UW1Si, la ecuación (11.10) proporciona:
Uexp [− c(U − 1)] , τ∗ ⁄ τ ≥ K0 = ∗ , τ ⁄τ ≤ 1.3 exp (0.3c)
(
1 )exp(0.3c) 1.3
(
1 )exp(0.3c) 1.3
Combinando las ecuaciones, U (y por lo tanto Ko) se puede explicitar mediante un algoritmo de búsqueda desde: 2
∗
∗
(1.3) ( τ ⁄ τ) = Uexp[c (U − 1)] , τ ⁄ τ > (
1 )exp(0.3c) 1.3
Esto se hace en ambos molinos del circuito, cada uno con su característica τ∗.
11.4.2.Ejemplos Típicos No es factible dentro del alcance de este capítulo hacer una investigación sistemática de todos los posibles casos de interés, en consecuencia, se proporciona solamente unos pocos ejemplos para ilustrar el uso del programa. La distribución granulométrica de la alimentación fresca utilizada se da en la Tabla 11.4 y se supuso que la especificación para el tamaño del producto era de 80% menos 14 mallas (106 µm). Se utiliza dos molinos de igual tamaño y carga balanceada de bolas, con velocidades de fractura específica y distribución de fractura primaria promedio normalizada, como se muestra en la Tabla 11.4 [11.5]. Se supuso que los dos molinos tenían distribuciones de tiempos de residencia que correspondían a tres reactores en serie con retenciones formales relativas de 0.5, 0.25, 0.25 y con una retención formal en cada molino de 18.7 toneladas métricas. Cada molino tenía un diámetro interno de 3.35 m y una longitud de 7.9 m y operaba con una fracción de llenado de bolas de 0.35, fracción de velocidad crítica de 0.70 y con una recarga de bolas de tamaño único de 50.8 mm (2 pulgadas).
308
Se supuso que los clasificadores eran hidrociclones con un cortocircuito “a” típico de 0.3 y un Indice de Nitidez de 0.6. Las simulaciones fueron hechas en el modo de diseño, esto es, se supuso que se podía lograr un adecuado flujo de descarga y de rebalse y los valores de d50 correspondientes para los flujos involucrados en cada conjunto de circunstancias. Los valores de d50 de los hidrociclones fueron variados para proporcionar resultados en un rango de cargas circulantes. Los tres primeros circuitos comparados fueron los de dos molinos en paralelo y en circuito cerrado inverso de la Figura 11.21., el de un molino en circuito abierto seguido de otro molino en circuito cerrado directo de la Figura 11.19b y el de un molino en circuito abierto seguido de otro molino en circuito cerrado inverso de la Figura 11.19c. Dos molinos iguales en paralelo pueden ser tratados como un solo molino con una producción igual al doble de la de un solo molino y se puede obtener del circuito general haciendo r1=1 y s1i= s0i. La Tabla 11.5 y la Figura 11.22 muestran los resultados, donde Qfalso es la capacidad pronosticada sin el efecto de sobrellenado y en que Q incluye la reducción en tonelaje causada por el sobrellenado. Incluyendo el efecto de sobrellenado, los dos molinos en paralelo y circuito cerrado inverso proporcionaron la máxima capacidad de 135 tph a una razón de recirculación
Figura 11.23 : Dos molinos en serie, el primero en circuito abierto, el segundo en circuito cerrado combinado con un pre y un posclasificador; especificación de producto 80% -106 µm. Líneas quebradas indican operación sin tomar en cuenta efecto de sobrellenado.
309
óptima de 3, con un d50 de 150 µm. Los dos molinos en serie con circuito cerrado para el segundo molino, da prácticamente la misma capacidad máxima con una razón de recirculación óptima de 1.9 y un d50 de 140 µm. El otro circuito de dos molinos da una capacidad máxima menor de 121 tph a una razón de recirculación óptima de 1.4. demostrando que un circuito cerrado inverso es más eficiente que un circuito cerrado normal. Como muestra la Tabla 11.5, la menor capacidad del último circuito se asoció con un porcentaje más alto de material menor que 400 mallas, 37%, contra 35% para los circuitos más eficientes. El gran aumento en capacidad pronosticado para cargas circulantes mayores si no se incluye el efecto de sobrellenado, no está de acuerdo con la experiencia industrial. El efecto de la doble clasificación en el circuito de dos molinos en serie se investigó variando el d50 de s1i, (Figura 11.20b) con diferentes razones de recirculación obtenidas por variación del d50 de s2i, para cada conjunto de s1i, (ver Figura 11.23 y Tabla 11.6). Si se fija muy grande el valor de d50 del preclasificador, demasiado material fino de la alimentación será enviado al segundo molino a sufrir sobremolienda y al reducir éste por aumento de la razón de recirculación, se producirá sobrellenado que conduce a una disminución de la capacidad máxima del circuito. Sin embargo, existe un rango de pares de d50 para pre- y post-clasificación que da una capacidad óptima de aproximadamente 135 tph. Los resultados típicos del simulador de dos molinos, discutidos en esta sección, muestran que éste puede ser utilizado para comparar circuitos diferentes y definir el tamaño de corte óptimo de los clasificadores. Cuando los clasificadores son hidrociclones el cálculo incluye el balance de agua alrededor de los clasificadores, especificando las densidades de pulpa correspondiente. Por supuesto que los números que se dan en las simulaciones son correctos solamente para el material particular, el tamaño del molino, la distribución granulométrica de la alimentación fresca y especificación del producto utilizado en las simulaciones, además de la magnitud del efecto de sobrellenado, pero el comportamiento general se puede aplicar a cualquier tamaño de molienda y a cualquier material.
11.5.REFERENCIAS 11.1.
A.F. Taggart, Handbook of Mineral Dressing, Ores and Industrial Minerals.Wiley, New York, 1945.
11.2.
L.G.Austin, P. T. Luckie y K. Yildirim, Int. J.Mineral Proc.,21(1987)205-215.
11.3.
P.T.Luckie and L.G. Austin, Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-52.
11.4.
L.G. Austin, R.R. Klimpel and P. T. Luckie, The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, publicado por la Society of Mining Engineers of the American Institute of Mining, Metallurgical and Petroleum Engineers, Inc., New York, NY, 561 pp., 1984.
11.5.
R.S.C. Rogers, L.G. Austin and K.A. Brame, Minerals and Metallurgical Processing, 3(1986)240-246.
310
CAPITULO 12 MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG)
12.1.INTRODUCCION Hay consenso en el sentido de que los molinos semi-autógenos (SAG) o autógenos (FAG) seguidos de un molino de bolas relativamente pequeño, si es que fuese necesario, ofrecen ventajas sobre el esquema convencional, consistente en la secuencia: trituradoresmolino de barras-molino de bolas. Ha habido suficiente experiencia para verificar que una línea que incorpore la molienda SAG requerirá un menor costo de capital que la línea tradicional. El consumo de energía global en kWh/ton de producto es comparable para ambos sistemas, tendiendo a ser un poco mayor para sistemas SAG, pero el costo de acero por reemplazo de las bolas gastadas es menor para estos últimos. Además el costo de mantención de una línea SAG es menor que el de una convencional debido a la eliminación de las etapas de trituración secundaria y terciaria. Se debe recordar que no se ha tenido éxito en aumentar el tamaño de molinos de barras más allá de seis metros (20 pies) de largo debido a la excesiva ruptura y trabado de las barras cuando se ha usado barras más largas. Existe evidencia que los molinos de bolas de gran diámetro son menos eficientes que lo esperado, encontrándose problemas para obtener la capacidad de diseño. Por otra parte, la gran razón diámetro/largo de un molino SAG típico permite un volteo satisfactorio de la carga, ver Figura 12.1. En molinos de hasta 11 metros (38 pies) de diámetro se aprovecha la economía de escala, permitiendo obtener altas capacidades con una potencia instalada de 11.000 kW por molino. Está claro que el método de diseño de molinos de Bond no es satisfactorio para molinos SAG, debido a que está basado en información empírica de molinos de bolas y barras en los que la razón diámetro/largo es muy diferente y en los que la acción de fractura y la potencia son controladas solamente por la carga de los medios de molienda. En efecto, ha sido demostrado que el método de Bond no da buenos resultados para diseñar molinos SAG. El método que se usa actualmente para diseñar estos molinos requiere un número extenso de experiencias en un molino piloto de geometría similar a la del molino requerido. Habría una ventaja si se pudiera utilizar métodos de diseño y escalamiento basados en ensayos de laboratorio, ya que se reduciría el tiempo involucrado y el costo de experimentar la molienda SAG en planta piloto para un mineral determinado. En forma adicional, el conocimiento del proceso de fractura en un molino SAG permitiría un mejor enfoque de los problemas asociados al diseño y operación del molino, espccialmente en relación a los procedimientos de control necesarios para dar una operación estable. Por esta razón daremos un discusión de estas acciones de fractura y
311
formularemos modelos de simulación usando aproximaciones para ilustrar el comportamiento del molino SAG.
12.2.ENSAYOS CONVENCIONALES PARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG La Figura 12.2 muestra un molino y circuito típico utilizado para el ensayo de molienda SAG.El molino piloto tiene un diámetro de 1.89 metros por 1 metro de largo, con un volumen activo de 2 metros cúbicos. Debido a la dificultad de operar hidrociclones a un tamaño de corte determinado para pequeños flujos, es usual utilizar otro tipo de clasificador más sensible, como el clasificador de espiral o harneros, u operar el molino en circuito abierto. Los molinos de prueba son sensibles al tamaño de las partículas en la alimentación, de modo que se debe tener cuidado de asegurar una distribución granulométrica uniforme en ésta. Para flujos bajos es muy difícil lograrlo ya que, en estos casos, la alimentación consiste en pocas rocas de gran tamaño y peso. Por lo tanto, lo que se acostumbra es separar el material en cuatro o cinco tamaños y reconstituir una alimentación de distribución uniforme, mezclando las fracciones en proporciones adecuadas. Como se verá más adelante, hay poderosas razones de por qué estos molinos demoran tanto tiempo en llegar al estado estacionario, lo que implica que los ensayos requieren de ocho a diez horas para llegar a este estado, una hora para tomar las muestras y una hora adicional para asegurar que el muestreo se realizó en condiciones constantes. La potencia utilizada por el molino debe permanecer constante durante y después del período de prueba. Hay dos problemas para obtener buenos datos de potencia. En
Tolva de alimentación
descanso
parrillas de descarga
revestimiento del manto
Carcasa Figura 12.1 : Vista en corte de un molino SAG típico de gran razón D/L
312
primer lugar, el pequeño volumen del molino hace que la acción de volteo de la carga varíe en intervalos cortos de tiempo, dando una medición “ruidosa” de potencia (o torque). Es ventajoso disponer de un circuito electrónico integrador-diferenciador que suavice estas variaciones, o alternativamente llevar los datos directamente a un microprocesador que los suavice por medio de software. En segundo lugar, los molinos piloto tienen generalmente una gran pérdida en la transmisión. Por ello es necesario realizar ensayos de consumo de potencia en vacío llenando completamente el molino con roca o arena y agregando unas pocas bolas, de modo de calibrar el consumo de potencia para diversos pesos de carga en el molino, pero sin acción de volteo. Esta calibración debe ser realizada una vez que el motor, transmisión y descansos hayan llegado a la condición de trabajo. Durante el intervalo de tiempo que dura el ensayo se toman muestras de alimentación, producto y reciclo del molino y flujos del clasificador, si es que éste existe. Al final del ensayo se detiene el molino, se mide el nivel de carga y se vacia ésta, determinando su contenido de sólido y su granulometría. El peso total de la carga se usa para determinar el consumo de potencia en vacío y calcular el consumo neto de potencia. Como durante el ensayo se midió el flujo de alimentación al molino, se puede calcular el consumo neto de energía como kWh/ton. Frecuentemente es difícil lograr una simulación exacta de las condiciones industriales, ya que el tamaño máximo de roca de alimentación al molino no debe exceder de 1/10 del diámetro del molino aproximadamente, esto es, 15 a 20 centímetros (6 a 8 pulgadas) para un molino de 1.83 metros (6 pies) de diámetro. La distribución granulométrica esperada en la alimentación a un molino industrial es generalmente una estimación basada en el rendimiento esperado de la trituración primaria o de la mina. Por
Ciclón Tolva
Alimentador de correa
molino semiautógeno
Harnero
Cajón de descarga
Bomba de pulpa de velocidad variable
Estanque de pulpa
Figura 12.2 : Esquema de una planta piloto para pruebas de molienda semiautógena
313
otra parte, no es frecuente utilizar tamaños de bolas mayores a 100 milímetros (4 pulgadas) en los molinos de ensayo, mientras que hay disponibles bolas de 125 ó 150 milímetros (5 ó 6 pulgadas) para los molinos industriales. Sin embargo, en un molino industrial el proceso de desgaste de los cuerpos moledores da origen a una distribución completa de tamaños de bolas luego que la carga ha llegado al estado estacionario. Pruebas de bola marcada en molinos SAG han demostrado que el desgaste sigue la ley de Bond (ver capítulo 8), lo que significa que la mayor cantidad de bolas se encontrará en el rango de 1 a 0.6 veces el tamaño máximo (ver Tabla 8.4). Por lo tanto, una carga para el molino de ensayo que contenga un 50% de bolas de 100 milímetros (4 pulgadas) y otro 50% de bolas de 75 milímetros (3 pulgadas) constituye una buena aproximación a la distribución resultante de una recarga de bolas de tamaño único de 125 milímetros (5 pulgadas). Se realiza una serie de ensayos variando los flujos de alimentación, lo que da como resultado diferentes cantidades de material retenido en el molino y diferentes distribuciones granulométricas del producto. Para poner los resultados en una forma comparativa, se expresan como la energía consumida por tonelada (kWh/ton) de producto menor que un tamaño especificado, descontando la cantidad menor que este tamaño existente en la alimentación, en vez de los kWh/ton de producto total. Los ensayos se repiten con un rango de carga de bolas, expresadas como fracción del volumen del molino ocupado por las bolas, JB, usando la porosidad formal de ε= 0.4, por ejemplo, JB = 0.06, 0.08, 0.10, 0.12. Otros factores como la distribución del tamaño de la alimentación, densidad de pulpa, tamaño de bolas, grado de reciclo (controlado por la operación del clasificador), etc., también pueden ser ensayados. El efecto de la remoción de algunas fracciones de rocas de tamaño “crítico” (ver más adelante) a través de puertas especiales en los molinos industriales, puede ser aproximada removiendo estos tamaños (o tamaños algo mayores) de la alimentación fresca al molino de ensayo y controlando que la carga estacionaria, que se obtiene al descargar el molino, contenga una menor cantidad de estos tamaños. Se puede realizar ensayos en circuito abierto, estimando la distribución granulométrica del producto y la acción del clasificador desde experiencias previas, logrando obtener, de esta forma, una estimación de la carga circulante y de la distribución del reciclo. Este método se utiliza para estimar la alimentación que se obtendría en un circuito cerrado, para luego preparar esta alimentación mezclando los tamaños apropiadamente.
12.3.ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA: ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS En todos los casos descritos en la sección anterior el resultado final de los ensayos es la energía específica E en kWh/ton de producto, en que el “producto” se define como el material menor que un cierto tamaño x*, estableciéndose las mejores condiciones del molino para consumir el mínimo de esta energía y obtener el máximo de capacidad (ton/h). Luego se especifica una distribución granulométrica deseada para el paso siguiente en el proceso de reducción de tamaño, por ejemplo, un porcentaje P(x*) de tamaño menor que x* deseado como alimentación al molino de bolas que sigue al molino SAG. Si se especifica el tonelaje Q deseado de este producto en ton/h, la potencia neta necesaria para el molino industrial es:
314
mp(neta) = EQ [ P(x∗) − G(x∗)] ⁄ 100
(12.1)
donde G(x*) es el porcentaje menor al tamaño x* en la alimentación fresca al molino SAG. Este procedimiento, aunque no del todo correcto, es razonablemente preciso cuando G(x*) es pequeño y los valores de P(x*) y G(x*) para el molino piloto y el molino industrial son cercanos. Los cálculos de diseño se completan con el uso de una ecuación que relaciona la potencia usada por el molino con las dimensiones del molino y sus condiciones de operación. Sin embargo esto no es tan sencillo como en el dimensionamiento de molinos tradicionales con el método de Bond y por ello se discutirá en detalle a continuación. Consideremos el movimiento idealizado de la carga de un molino, de acuerdo al análisis de Hogg y Fuerstenau [12.1], basado en la teoría del movimiento de material en un horno rotatorio [12.2], [12.3] que se muestra en la Figura 12.3. Esta supone que bolas y rocas se mueven en forma ligada desde el fondo a la parte superior del molino y, que cuando llegan a la superficie inclinada de la carga, ruedan por la superficie y reentran al lecho al azar y por debajo de la mitad de esta superficie, para ser llevadas de nuevo hacia arriba. La energía potencial para cada trayectoria se puede calcular fácilmente y una integración sobre todas las trayectorias da: mp = k ϕc ρcLD2.5(1+γ) senα sen3θ
(12.2)
Figura 12.3 : Movimiento de la carga de un cilindro rotatorio : modelo de potencia de Hogg-Fuerstenau.
315
donde α es la inclinación de la carga, como se observa en la Figura 12.3, el ángulo θ está relacionado con la fracción de llenado del molino, ρc es la densidad aparente promedio de la carga supuesta constante en el espacio, k es una constante y γ está dado por: 3 ϕ2c 1−cos4θ γ= 3 16 senϕc sen θ Para condiciones normales, γ es aproximadamente 0.25, de manera que el término (1+ γ) es aproximadamente constante. Se supone implícitamente que: (a) el tiempo empleado por el medio en rodar por la superficie de la carga es despreciable y (b) que el proceso es puramente mecánico, esto es que la energía potencial se recupera íntegramente como energía cinética de la carga (que a su vez se convierte en energía de deformación, fractura y calentamiento), sin recuperación de la energía para mover el molino. La relación entre J y θ es: 1 J = θ − sen 2θ ⁄ π 2
(12.3a)
Figura 12.4 : Relación funcional entre sen3 θ/J y J. La potencia del molino es proporcional a sen3θ/J, se mantiene α constante en la Figura 12.3.
316
cosθ = a ⁄ R
(12.3b)
La relación entre sen3θ/J y J se muestra en la Figura 12.4, de donde se puede extraer una relación útil con buena precisión en el rango 0.2 ≤ J ≤ 0.5: sen3θ = 4.15J(1 − 1.03J)
(12.4)
La relación entre la densidad promedio aparente de la carga, la densidad de las bolas, fracción de llenado de bolas, llenado intersticial y densidad de la pulpa es: Jρc = J(1 − εb) ρb + fJεb ρs (1 − εs) U ⁄ ws
(12.5)
donde J es la fracción de llenado de bolas, εb su porosidad, ρb la densidad del acero, εs la porosidad del polvo, ρs la densidad del sólido y ws es la fracción en peso del sólido en la pulpa; f es un factor menor o igual a 1 que toma en cuenta el levantamiento promedio menor de la pulpa en comparación con las bolas. En efecto, la ecuación 12.5 supone que el lecho de bolas no se expande durante la acción de volteo o por la presencia de la pulpa, debido a la alta densidad de las bolas. Ordenando las ecuaciones (12.4) y (12.5) y sustituyéndolas en la ecuación (12.2) da por resultado :
fεb ρs(1−εs)U mp = (4.15) ksenα(1+γ)(1−εb)J(1−1.03J)ϕc ρbLD2.51+ ρb(1−εb)ws
(12.6)
donde se puede agrupar (4.15)(ksen α )(1+γ)(1- εb) en una sola constante. Esta expresión debe ser comparada con la ecuación de Bond para la potencia de molinos mostrada en la siguiente ecuación: 0.1 ρb L D2.3 kW mp = 7.33J(1−0.937J)ϕc1 − 29−10ϕc
(12.7)
donde ρb es la densidad del acero de las bolas en ton/m3 y D y L están en metros. Está claro que la derivación simple de la ecuación (12.6) no incluye el efecto del aumento de la altura del pie de la carga a altas fracciones de la velocidad crítica (lo cual produce un bajo promedio de altura de levantamiento) haciendo que la potencia de éste pase por un máximo entre 75 y 85% de la velocidad crítica (ver Figura 8.1). La forma de variación de la potencia del molino con J tampoco coincide en ambas ecuaciones, pero la diferencia no es grande. La mayor diferencia consiste en que la ecuación de Bond no contiene ningún término relacionado con el llenado de polvo o pulpa. Esto sugiere que el polvo o la pulpa puede escurrir a través del medio que está levantándose en el molino, el que no lo arrastra consigo en una misma trayectoria y hasta la misma altura, de manera que el factor f en la ecuación (12.6) puede ser significativamente menor que 1. Tomando valores aproximados de εb = εs = 0.4, U = 1, ws=0.65, ρs= 3 y ρb = 8 se obtiene el valor del último 317
término de la ecuación (12.6) como (1+0.23f), de modo que la diferencia entre las dos ecuaciones es bastante grande en relación a la carga de pulpa, a menos que el valor de f sea muy pequeño. Por otra parte existe acuerdo [12.4] en que, para molinos SAG de L/D pequeño, el exponente de D en la ecuación de potencia es más cercano al valor teórico de 2.5 que el valor empírico de 2.3 de la ecuación de Bond. Parece ser que las proporciones de estos molinos mantienen la similitud geométrica en el volteo de la carga hasta molinos de diámetros muy grandes. Basados en esto utilizaremos una ecuación de potencia para molinos SAG dada por:
0.1 ϕc mp = KD3.5(L ⁄ D)J(1−A J)ϕc1 − 9−10ϕc 2
kW
(12.8)
donde A es 0.937 para la ecuación de Bond, ó es 1.03 según la Figura 12.4, o tal vez 1.065 como lo sugieren Gutiérrez y Sepúlveda [12.5]. Sería instructivo, a esta altura, realizar cálculos aproximados de potencia para molinos SAG como función de la carga de bolas y mineral. Por convención se utiliza la misma porosidad formal para calcular JB. Por lo tanto εb = 0.4 y 0.6JB= (masa de bolas/ρbV), donde V es el volumen del molino. Esto requiere la definición de una densidad aparente promedio (incluída el agua) de la carga en el molino. Si εB es la porosidad efectiva de bolas y roca y x el verdadero volumen de roca por unidad de volumen de molino y wc es la razón entre la masa de agua y la masa de roca en el molino, la densidad aparente promedio de la carga será:
ρc =
xρs(1+wc) + 0.6JB ρb J
donde ρb es la densidad de las bolas y ρs la densidad real de las rocas. El volumen de sólidos y bolas en el lecho por unidad de volumen del molino es J, y queda dado por: J = (x + 0.6JB) ⁄ (1−εB)
(12.9)
o también x = (1 − εB)J − 0.6JB Sustituyendo en la ecuación anterior : Jρc = (1 − εB)Jρs(1+wc) + 0.6JB(ρb − ρs(1+wc))
(12.10)
Esta expresión debe ser sustituida en la ecuación (12.8) para obtener la variación de la potencia del molino con J y JB, donde J > JB. Diferenciando con respecto a J, manteniendo todas las otras condiciones constantes e igualando a cero, se obtiene el valor de J para el cual la potencia es máxima:
318
Figura 12.5 : Variación de la potencia normalizada con la fracción de llenado del molino SAG por bolas (JB) y carga total (J), para valores grandes de D/L.
1− Jmax =
0.6AJB 1 − εB
ρb ρ (1+w ) − c s 2A
1
(12.11)
319
donde wc = 0 para molienda en seco. El resultado se muestra en la Figura 12.5 cuando se utiliza A=1.03 y una porosidad de lecho εB =0.3. También se muestra el pronóstico de la potencia neta y de la retención de material en el molino dado por Tanaka y Tanaka [12.6] de Kobe Steel, para el diseño del molino SAG de Los Bronces en Chile, usando un valor de K=10.6. El valor de K en la ecuación (12.8) resulta ser K=11.2 calculado por comparación de esta ecuación con la de Turner [12.7] y K=12.8, cuando se compara con la ecuación de Dorr [12.8] , aunque ésta tal vez se refiera a potencia en el eje. Los cálculos de Tanaka y Tanaka parecen estar basados en una ecuación de diseño que utiliza A=0.937, en cuyo caso K=10.3 si la comparación se hace a J=0.25. Los valores de potencia pronosticados por estas ecuaciones dependen del valor escogido para wc y εb. Se puede esperar que la razón de sólido a agua en el molino sea mayor que la de la alimentación y descarga, ya que el agua puede escurrir a través de la rejilla de descarga pero las rocas mayores no pueden. Por otra parte, si la pulpa no es levantada por el movimiento del molino a una altura similar a la de la carga de bolas y rocas en éste, el valor efectivo de ρc será menor, y wc parecerá más cercano a 0, por lo menos en lo concerniente a la potencia. La ecuación 12.9 es válida para un molino cilíndrico. Sin embargo, por razones estructurales los molinos SAG están construidos con una sección cilíndrica y dos secciones cónicas en los extremos, por lo que es necesario hacer ciertas correcciones en la ecuación. La Figura 12.6 muestra la geometría que más se utiliza. La definición de J usada previamente se puede aplicar solamente a aquella parte de la carga contenida en la parte cilíndrica del molino, mientras que el J total incluye las partes cónicas hasta las aberturas de entrada o descarga. De la Figura 12.6 el volumen de cada cono truncado es: x1+x2 2 x2 V = π(R)2 − π( D1 ⁄ 2) 3 3 Como (x1+x2)(D1/2)=Rx2 y, por lo tanto, x1+x2=x1[1/(1-(D1/2R)] el volumen del molino será: 2
2
πD2L x1 2R 1 − (D1 ⁄ 2R)3 x1∗ 2R∗ 1 − (D1∗ ⁄ 2R∗)3 V= 1+ + (12.12) 4 2L D 1 − (D1 ⁄ 2R) 2L D 1 − (D1∗ ⁄ 2R∗) Los valores estrellados x1*, R*, y D1* se refieren a la sección de alimentación. El volumen de carga contenido hasta el nivel a en la sección cónica, ver Figura 12.6, es: a
Volumen =
∫
π r2J(r)dy
R
donde J(r) es la fracción de llenado en la posición radial r. Como dy ⁄ dr = (x1 + x2) ⁄ R, éste se transforma en:
320
Figura 12.6 : Geometría típica de un molino SAG de gran D/L.
R
x1+ x2 3 2 r r Volumen = a ∫ π (r ⁄ a) J( ⁄a) d( ⁄a) R a La relación entre a/R y la función J(r/a) está dada por la ecuación (12.4). Si se grafica π(r/a)2J(r/a) versus r/a en un papel log-log, ver Figura 12.7, se obtiene una buena aproximación mediante: π(r ⁄ a)2J(r⁄a) = 0.77(r ⁄ a)2.25 ,
J < 0.47
(12.13)
Reemplazando este valor dentro de la integral e integrando resulta: 3.25
3 x a R Volumen = 0.075πR R a 1 − D1 ⁄ 2R 2
− 1
El volumen total de la carga será:
321
Figura 12.7 : Relación entre π(r ⁄ a)2J(r⁄a) y (r⁄a) (Ver Figura 12.6).
322
Figura 12.8 : Relación entre la fracción de llenado J y a/R, (Ver figura 12.6).
Vc =
πD2JL
4
3.25
3
x1 a R + 0.075πR2 R a 1 − D1 ⁄ 2R
−1 +
(12.14)
3.25
3
a R∗ x∗1 R∗2 ∗ ∗ ∗ a R 1 − ⁄ D 2R 1
−1
donde J es la definición normal de J en un molino de sección cilíndrica. Para el rango útil de 0.2
a J ≈ 0.5 − 0.625 , (D ⁄ 2)
0.2 < J < 0.5
(12.15)
lo que da: 0.25
2 πD2LJ x1 ⁄ L 1.25R ⁄ D 0.075 2R Vc = + 1 J D 1 − D ⁄ 2R 0.5 − J 1 4 2
0.25
1.25R∗ ⁄ D x∗1 ⁄ L 2R∗ + ∗ ∗ D 1 − D1 ⁄ 2R 0.5 − J
3
0.5 − J − 1.25R ⁄ D
3
0.5 − J − ∗ 1.25R ⁄ D (12.16)
323
Figura 12.9 : Relación entre J(1-1.03)(r/a) y r/a, (Ver Figura 12.6).
324
Dividiendo _ la ecuación (12.16) por la ecuación (12.12) resulta el valor global de J, digamos J, como: _ J = J(1 + f1) ⁄ (1 + f2) (12.17) donde f1 queda definido por la ecuación (12.16) y f2 por la ecuación (12.12). Finalmente es necesario calcular la potencia para voltear la carga en las secciones cónicas. Para una sección, considerando los elementos mostrados en la Figura 12.6 y despreciando el término 0.1/29-10 ϕ , se tiene: c
dmp = K(2r)2.5J(r)(1 − 1.03J(r))ϕc (r)ρc dy La velocidad de rotación del molino es ϕc k ⁄ D0.5, manera que la fracción de velocidad crítica en la posición y es ϕc (r) = ϕc (2r ⁄ D)0.5dando: R⁄a
3
x + x r ∫ J(r)(1 − 1.03J(r)) a d(r⁄a) 1 R 2 r⁄a = 1
mp (sección) = 8k ϕc ρc D − 0.5a4 +
El gráfico de J(r)(1-1.03J(r))(r/a)3 versus r/a se muestra en la Figura 12.9, dando, para el rango significativo de J, el valor: 3
3.1
r r J(r)(1−1.03J(r)) = 0.190 a a
(12.18)
Figura 12.10 : Forma típica para la suma de velocidades específicas de molienda en un molino SAG.
325
Reemplazando dentro de la integral, integrando y arreglando términos resulta: 4
0.1
3
a − , a ⁄ R < 1 R (12.19)
R x1 mp (sección) = 0.046Kϕc ρc D D (1 −D1 ⁄ 2R) a 2.5 2R
Combinando la potencia de dos de estas secciones con la potencia de la parte cilíndrica, para un llenado J, y reemplazando de la ecuación (12.15) a/R en términos de J, resulta una potencia total de: 0.1 ρc J(1 − 1.03J)(1 + f3) mp = KD2.5Lϕc1 − 9 − 10ϕc 2
(12.20)
donde : 0.1
3
0.046 x1 ⁄ L 2R f3 = J(1 − 1.03J) 1−D1 ⁄ 2R d 3
2R∗ x∗1 ⁄ L + ∗ ∗ D 1 − D1 ⁄ 2R
1.25R ⁄ D 0.5 − J 0.1
1.25R∗ ⁄ D 0.5 − J
4
0.5 − J − + 1.25R ⁄ D 4
0.5 − J − ∗ 1.25R ⁄ D
, J < 0.45
(12.21)
Estas correcciones que reemplazan las funciones trigonométricas por simples funciones de potencia introducen muy pequeños errores, del ordern de algunos porcientos.
12.4.PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG 12.4.1.Introducción La Figura 12.10 muestra las regiones involucradas en la fractura en un molino rotatorio. No hay ninguna razón para suponer que la molienda “normal” de partículas pequeñas por un medio de molienda grande (región 1) ocurra en forma diferente en la molienda SAG que en la convencional, de manera que la molienda en esta región será tratada en forma similar a la ya discutida en el Capítulo 5, con las modificaciones apropiadas para adaptar las ecuaciones a las condiciones de los molinos SAG/FAG. Por otra parte, la fractura en la región 2, esto es, la fractura en la región “anormal”, cobra mayor importancia que en la molienda convencional. En los molinos de bolas operados en condiciones normales, la alimentación contiene muy poca cantidad de material de tamaño tal que se fracture anormalmente. El tamaño de las bolas en la recarga puede ser elegido en tal forma que de una suficiente proporción de bolas grandes en la carga balanceada, de modo que se asegure la fractura eficiente de los tamaños de partículas grandes. Sin embargo, en la molienda FAG la distribución de tamaño de los medios de
326
Figura 12.11 : Fracción acumulativa en masa de tamaño menor al radio r para una fracción de cuarzo tamizada por mallas de 2.5 x 2.12 pulgadas.
molienda será el resultado directo del proceso de fractura de la alimentación, de modo que en estos molinos se pierde un grado de libertad en el diseño. Finalmente, está claro que el proceso de molienda en la región 3, la “auto-fractura”, involucra una nueva serie de relaciones. No es posible construir un modelo realista de un molino SAG/FAG sin separar la acción de autofractura de las otras acciones. En otras palabras, las grandes rocas que actúan como medios de molienda también están siendo fracturadas durante la acción de volteo, proceso que no existe en la molienda convencional. Con el objetivo de investigar estos procesos, especialmente el proceso de autofractura, es conveniente efectuar una serie de ensayos en un molino de laboratorio (nosotros hemos usado un molino de 0.6 m de diámetro por 0.3 m de largo). Obviamente que los resultados obtenidos no tendrán por qué corresponder cuantitativamente a aquéllos de molinos industriales, pero los ensayos en pequeña escala pueden ser utilizados para explorar los patrones básicos de fractura que servirán como guía en los ensayos cuantitativos que sea necesario realizar en molinos pilotos. Como se ha conseguido hacer exitosos diseños de molinos SAG a partir de ensayos continuos en molinos pilotos de aproximadamente 1.8 m de diámetro, se puede esperar que ensayos discontinuos hechos en molinos de 1.2 m (4 pies) a 1.8 m(6 pies) de diámetro también corresponderán a los resultados de molinos industriales. Un molino de mayor tamaño permite incluir colpas
327
mayores en los ensayos, existiendo una regla que dice que la razón de diámetros entre el medio de molienda y el diámetro del molino no debe exceder de 1/10.
12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros Las ecuaciones desarrolladas para la fractura de partículas de tamaño i en el Capítulo 5 serán utilizadas aquí con algunas modificaciones. En primer lugar, las relaciones de escalamiento para el efecto del diámetro del molino fueron dadas como: N1
D Si ∝ D T
∆
3.81 D
(12.22)
donde N1=0.5 y ∆=0 para molinos de diámetros menores que D=3.81, y ∆=0.2 para molinos de diámetros mayores que D=3.81. La discusión anterior sobre molinos SAG de gran diámetro sugiere que estos molinos, a diferencia de los molinos de bolas, utilizan el exponente 0.5 en las expresiones de potencia por unidad de medios de molienda en todo el rango de tamaños. Por esta razón usaremos ∆= 0 para todos los molinos de este tipo, ya que la potencia es un índice de la acción de volteo y se espera que Si sea proporcional a la potencia del molino por unidad de medios de molienda. En segundo lugar, la carga balanceada de bolas en un molino de bolas se divide en 2 , con un diámetro de bolas efectivo igual a 0.925 veces el clases con intervalos de 4√ tamaño del límite superior de la clase. Sin embargo, para la fractura de partículas de tamaño i por colpas (guijarros) de rocas de tamaño j, esta técnica, aplicada a los guijarros 2 , mientras que requeriría la división de la carga en clases con intervalos de tamaño 4√ 2 . A su vez los intervalos para el mineral se definen normalmente en una secuencia de √ esto requeriría que los parámetros característicos de la fractura normal α, β, γ y Φ se 2 , o fueran interpolados a intervalos determinaran experimentalmente en intervalos de 4√ 4 2 usando los valores determinados para √ 2 . Para evitar esta inconveniencia, la carga de √ 2 , usando el promedio geométrico para de guijarros es considerada como secuencia de √ cada intervalo como tamaño promedio efectivo. Por otra parte, se ha demostrado [12.9] que, debido a la forma de la roca, el promedio equivalente volumétrico de las colpas es mayor que el tamaño de la malla en un factor de 1.08 (ver Figura 12.11). Por esta razón, 2 de las piedras se toma como 0.76 veces el tamaño el tamaño promedio de la clase de √ superior de la clase en cuanto a su acción como medio de molienda. En tercer lugar, la acción combinada de fractura de tamaño i es dividida en dos partes: Si = Si (B) + Si (P)
(12.23)
donde Si(B) es el efecto de la suma de fractura por todas las clases de bolas y Si(P) por todas las clases de guijarros. La fractura por bolas se calcula de ensayos en un molino de laboratorio usando bolas de tamaño dT mediante la expresión:
328
Si (B) = (JB ⁄ J) ∑ mk Si,k k
donde: α
C2,kC4,k xi Si,k = aT C3C5 , n> i≥ 1 Λ x 0 1 + (xi ⁄ C1,k µT)
(12.24)
donde Sn(B)=0 como es usual y N2
D C1,k = D T
N0
dT C2,k = dk
N3
dk dT
(12.24a)
1+d∗ ⁄ dT ∗ , d = 2 mm ∗ 1 + d ⁄ dk
(12.24b)
0.5
D C3 = DT
(12.24c)
1 + 6.6JT 2.3 C4,k = exp [ − c (Uk − UT)] 2.3 1 + 6.6J
(12.24d)
ϕc − 0.1 1 + exp[15.7(ϕcT − 0.94)] C5 = ϕcT − 0.1 1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]
(12.24e)
como se discutió en el Capítulo 5, usando N1=0.5. El valor de J a ser usado en la ecuación (12.24.d) es el valor total de J, ya que éste determina la acción de volteo, y el término JB/J convierte los valores de J formado enteramente de bolas por aquellos con una fracción de bolas JB/J. Los valores de Si(P) se calculan en forma similar, usando los valores de laboratorio apropiados para guijarros. En el caso que no haya ensayos con guijarros, se puede suponer que los valores varían con la densidad del medio de acuerdo a:
ρs aT (guijarros) = aT (bolas ) ρb
(12.25) N4
ρs µT (guijarros) = µT (bolas ) ρb
(12.26)
donde se espera que N4 valga alrededor de 1/3. El factor para corregir por la composición de la carga es claramente Jp/J en este caso, en que Jp=J-JB. Los valores correspondientes
329
de mk para guijarros son los valores wj de las rocas mayores que existen en la carga del molino, esto es, material mayor que el tamaño de la parrilla. En cuarto lugar, la aplicación de la ecuación (12.24d) para la molienda en molinos de bolas es inambigua, ya que hay una distinción clara entre el polvo y las bolas y se usa solamente el polvo para el cálculo de U en el efecto de llenado-acolchonamiento exp[-c(U-UT)]. Sin embargo, para la molienda SAG/FAG no hay una clara distinción entre los medios de molienda y el polvo. Parece razonable que la definición de U cambie con el tamaño que es fracturado y el tamaño que produce la fractura, ya que una colpa de 10 mm será medio de molienda para partículas pequeñas, pero debe ser considerada polvo para las partículas mayores. Por lo tanto, el término en la ecuación (12.24) se denota mediante Uk-UT. El cálculo de UK se deja para secciones posteriores (sección 12.7).
Figura 12.12 : Velocidad de desaparición de la fracción de mineral de cobre de 75 x 50 mm por autofractura en la molienda discontinua en un molino de 1.8 m de diámetro a 75% de la velocidad crítica con una fracción inicial de llenado a 38%.
330
El valor global de Bi,j a usar para la mezcla de bolas está dado por la suma ponderada (ver ecuación 5.11) Bi,j (B) =
∑k (mk Sj,k Bi,j,k) ⁄ ∑k (mk Sj,k )
(12.27)
La misma forma de Bi, j es usada para la fractura debida a los guijarros, con los valores apropiados de wk, Si, j Bi, j, k. En la región de fractura anormal, región 2, se sabe que los valores de B no tienen la forma normal pues contienen una componente mayor de abrasión-astillamiento (ver Figura 5.4). Se puede suponer que los valores de B se reproducen cuando el tamaño de roca que se fractura mantiene la misma razón al tamaño de roca que produce la fractura: como parece que µ es proporcional a d (esto es N2=1), esto significa que un tamaño que se fractura, por ejemplo el tercer intervalo a la derecha del tamaño al cual se produce el máximo en la velocidad de fractura, tiene el mismo valor de B independiente del tamaño de la bola. Algebraicamente esto significa: Bi,j,k = Bi,j (dk) = Bi−h,j−h (dT)
(12.28)
donde Bij(dk) es una función de dk. El cambio en el número de intervalos h se calcula mediante el entero más cercano h=dk/dT y la matriz de Bi,j(dT) se conoce experimentalmente para el tamaño de medio de molienda de ensayo, generalmente dT=25.4 mm (1 pulgada). Como µ también cambia con el diámetro del molino, el valor de h queda dado por: h=entero más cercano de (D/DT)N2(dk/dT)
(12.29)
12.4.3. Autofractura Mientras más pequeña es la fracción de bolas en la carga del molino, más importante es el fenómeno de autofractura, llegando al extremo en la molienda FAG. La Figura 12.12 muestra un resultado de molienda típico en un molino a escala piloto. El gráfico de primer orden es muy diferente del que se observaría en un ensayo equivalente en un molino de bolas convencional. Se debe destacar tres factores de importancia. En primer lugar, los “medios de molienda” están decreciendo con el tiempo pues las rocas se fracturan produciendo algunas fracciones demasiado pequeñas para ser consideradas como medio de molienda. En segundo lugar, la cantidad de polvo en el molino crece con el tiempo, cambiando cualquier acción de acolchonamiento producido por polvo o pulpa. En tercer lugar, si se examina la carga del molino en función del tiempo se observa que las colpas se redondean para formar guijarros. Es difícil separar estos efectos en este tipo de ensayo. Por esta razón se desarrolló un tipo de ensayo especial que mantiene las condiciones en el molino aproximadamente constantes en el tiempo. Este consiste en trazar la roca usando un colorante adsorbido y realizar el ensayo por corto tiempo, removiendo el contenido del molino, eliminando el material menor a la malla por harneado y reem331
Figura 12.13 : Variación del radio equivalente volumétrico con el tiempo para 85 colpas, trazadas individualmente, en el rango de 2.5 x 2.12 pulgadas (ver figura 12.11) r0 =31mm.
332
Figura 12.14 : Contribución de los mecanismos individuales a la fracción del peso total perdido . Ensayo autógeno en un molino de 0.6 m de diámetro. Colpas de cuarzo de 63 x 53 mm, U=0, J=0.30, ϕc= 0.70.
plazando la cantidad removida con la misma masa de colpas frescas no trazadas. Después del segundo intervalo de molienda, el proceso se repite, pero con separación, contando y pesando lo que queda del material trazado. Esto permite seguir la desaparición del material trazado sin la acumulación de finos y a una masa de tamaño de medios de molienda aproximadamente constante. Se encontró que era posible marcar las colpas individuales y seguir su cambio de masa en función del tiempo. Se observaron tres distintos tipos de fractura. En primer lugar, hay una disminución gradual del radio equivalente volumétrico con el tiempo, la que sigue aproximadamente una relación de abrasión, esto es, una tasa de disminución del radio constante (ver Capítulo 8). En segundo lugar, hay cambios bruscos de masa que, sin embargo, dejan intacta la mayor parte de la masa de las colpas; este mecanismo recibe el nombre de astillamiento. Por último, hay cambios bruscos de masa que dejan fragmentos menores que la mitad del tamaño de la colpa inicial, lo que se denomina fractura. Estos resultados se ilustran en la Figura 12.13.
333
Figura 12.15 : Determinación de la velocidad de fractura y astillamiento-abrasión combinadas para una alimentación fresca de cuarzo de 63 x 53 mm.(D=0.6 m, J=0.2, ϕc=0.7, sin acumulación de finos).
Como estos ensayos permiten separar el fenómeno de fractura de cada colpa, es posible promediar estos tres procesos para todas las rocas trazadas. Sin embargo, se encontró que la pérdida de masa por abrasión era pequeña, de modo que fué conveniente englobar la abrasión y el astillamiento en un solo término que se denominó efecto de astillamiento-abrasión. La Figura 12.14 muestra un resultado típico, en que la pérdida
Figura 12.16 : Velocidades de autofractura para un mineral de cobre de 26.5 x 22.4 mm. Molienda autógena seca en un molino de 0.6 m de diámetro, 70% de la velocidad crítica y llenado de polvo de 20% -100 mallas.
334
de masa por astillamiento-abrasión del material contenido en una malla se dividió en dos términos: la pérdida de peso debido a los núcleos que pasan a la malla inmediatamente menor y los fragmentos finos desprendidos por astillamiento-abrasión del material contenido en la malla. La cantidad de este último material se obtiene fácilmente por diferencia del peso total perdido de las colpas trazadas descontando la pérdida de núcleos y colpas fracturadas. Los datos muestran que las proporciones relativas de pérdida de masa son aproximadamente constantes durante el tiempo que el material es fracturado fuera del intervalo, por lo menos hasta un 70 a 80% de la fractura. Sin embargo, la Figura 12.15 muestra la velocidad total de desaparición del material marcado en función del tiempo. Nuevamente se puede constatar que el proceso no es de primer orden. Al contrario que los resultados de la Figura 12.12, el proceso de fractura parece continuar en el tiempo y no tiende a una cinética de orden casi cero. Esto se debe a que este tipo de pruebas mantiene la masa total de medios constante y previene la acumulación de finos que producen acolchonamiento. El resultado de la Figura 12.14 sugiere que una colpa que es frágil a la fractura también lo es para el astillamiento-abrasión, de manera que la probabilidad de fractura o astillamiento es la misma para una determinada “resistencia” del material aunque la proporción de masa perdida y la distribución de los fragmentos resultantes sea diferente para los diversos mecanismos. En la Figura 12.15, la cantidad de alimentación fresca agregada después de cada intervalo de molienda disminuye, debido a que el molino se está llenando de guijarros redondeados, duros y resistentes. Trazando mediante distintos colores cada lote de carga
Figura 12.17 : Gráfico de desaparición de cuarzo de 53 x 45 mm, mezclado en proporción de 50% con colpas de diversos tamaños. Ensayos autógenos en un molino de 0.6 m de diámetro U=0, J=0.30, ϕc=0.70.
335
Figura 12.18 : Distribución de la progenie primaria para la fractura de cuarzo en la molienda discontinua de colpas de 53*45 mm en un molino de 0.6 m de diámetro, ϕc=0.75, J=0.3, finos removidos luego de un corto período de molienda.
fresca, es posible determinar la cantidad restante de cada lote que aún permanece en períodos posteriores de molienda. La ley cinética de desaparición de este material fresco fue de primer orden, esto es, proporcional a la cantidad, como se indica en la línea marcada con "alimentación fresca". Este es un resultado casi trivial, pero indica que el comportamiento de fractura de la alimentación fresca no depende de si acaso se trata de alimentación fresca o de guijarros redondeados. La figura 12.16 muestra otro resultado importante. Los ensayos fueron realizados con una cantidad fija de material fino agregado a la carga del molino inicialmente y en cada intervalo, con el fin de mantener una cantidad más o menos constante de polvo o pulpa durante los ensayos. Es claro que la presencia de exceso de material fino genera un efecto de acolchonamiento sobre la fractura, de modo que las velocidades específicas de autofractura son menores para U=0.8 que para U=0.3. Es bien sabido que si un molino de bolas es operado sin polvo, la velocidad de desgaste de las bolas es mucho mayor que bajo condiciones normales de operación. Esto es causado por el impacto de bolas con bolas sin la acción amortiguadora del polvo o la pulpa en el punto de contacto. Un exceso de interacciones acero-acero causa una alta velocidad de desgaste de las bolas. El mismo efecto parece ocurrir en la autofractura de guijarros chocando unos con otros. Es esencial incluir un término que cuantifique este efecto en las ecuaciones de autofractura La Figura 12.17 muestra un efecto de segundo orden adicional. La velocidad de desaparición de material de un tamaño determinado es mayor en presencia de una fracción de colpas de tamaño mayor y es menor en presencia de una porción de colpas de tamaño menor. Esto también parece razonable ya que significa que una colpa en particular tiene probabilidad condicional de colisión con cada una de las otras colpas, dependiendo de la cantidad de ellas presente de cada tamaño. La colisión con colpas grandes dará veloci336
dades de fractura mayores y aquélla con colpas pequeñas, velocidades de fractura menores. En un caso real estos dos efectos tendrán tendencia a cancelarse mutuamente en la mayor parte de la distribución granulométrica, pero la velocidad específica de autofractura, determinada con un solo tamaño de roca, debe ser corregida para representar la mezcla de tamaños presente en un molino continuo, o la determinación debe ser hecha (usando trazadores) en una mezcla que corresponda a la esperada en el molino operando en el estado estacionario. Un efecto similar ocurre al agregar una cierta fracción de bolas a la carga del molino. Esta aumenta la velocidad específica de colisiones roca-bolas y las bolas tienen una densidad mucho mayor. Para bolas de diámetro equivalente volumétrico este efecto debería ser directamente proporcional a la densidad de las bolas en relación a las rocas y a la fracción relativa de bolas presentes, esto es: Si (S) =
( ρb JB + ρs Jp ) ′ Si (S) Jρs
(12.30)
donde S′i (S) es el valor para una fracción de llenado J de rocas solamente y Si(S) es el valor corregido para la proporción JB/J de bolas. La ecuación (12.30) se puede expresar convenientemente en la forma: Si (S) =
ρb Jb − ρs (J − JB ) ′ Si (S) J ρs
(12.30a)
La Figura 12.18 muestra la distribución primaria acumulativa de fragmentos B, determinada a partir de los fragmentos producidos en el primer minuto, aquellos producidos entre 4 y 6 minutos y los producidos entre los 28 y 35 minutos. Los resultados del primer minuto corresponden a la región de fractura rápida de rocas frescas, mientras que los resultados del minuto 35 corresponden a la fractura lenta de las piedras redondeadas y duras que quedan después que el material más blando desaparece. Queda claro que el proceso de astillamiento-abrasión sobre el material redondeado y duro da en su mayor parte fragmentos que son menores a un centésimo del tamaño que se abrasiona, esto es, menores que 0.5 milímetros. Por otra parte, el astillamiento de colpas irregulares del material de alimentación da una fracción sustancial de fragmentos distribuidos en el rango de 0.5 a 5 mm. En las secciones que siguen se desarrollará expresiones cuantitativas para el proceso de fractura discutido aquí.
12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION 12.5.1. Abrasión Pura El proceso de abrasión puede ser analizado como fenómeno cinético de acuerdo a la ley de desgaste de Bond (ver Capítulo 8):
337
Velocidad de pérdida de masa de una colpa de radio equivalente volumétrico r = κ 4πr2 ρ
(12.31)
donde κ tiene unidades de longitud dividido por tiempo y ρ es la densidad del material. Designemos por P(r,t) la fracción de masa acumulada menor o igual al tamaño r en el tiempo, y por N(r,t) el número acumulativo de colpas de tamaño menor o igual a r. Consideremos un elemento diferencial de tamaño r a r+dr. El número de colpas que se desgasta pasando a tamaño menor que este intervalo en un tiempo dt incluye a todas las colpas si el elemento dt se define como dt=dr/κ. Por lo tanto, el número de colpas que se gasta a tamaños menores a “r”, por unidad de tiempo, es [ ∂ N (r,t) / ∂r]dr/dt, que es igual a κ ∂N (r, t) / ∂r. Por lo tanto, la masa de colpas que por desgaste pasa al intervalo de tamaño siguiente es (4r3πρ/3)( κ ) ∂N (r, t)/∂r. Como dN(r,t)(4r3π ρ /3)=dP(r, t), la: Velocidad de pérdida de masa a tamaños menores a r = κ ∂P(r,t) ⁄ ∂r La velocidad de pérdida de masa por abrasión a polvo fino es dN(r,t)4πr2κρ. Sustituyendo dN en términos de dP resulta Velocidad de pérdida de masa por abrasión a polvo fino = (3κ ⁄ r)[∂P(r,t) ⁄ ∂r] dr Si el tamaño r es mucho mayor que cualquiera de los fragmentos abrasionados, la ecuación de abrasión discontinua por unidad de masa abrasionada es: En símbolos : ∂P (r, t) ∂ dr ∂r
∂t ∂2P ∂r ∂t
= κ
∂2P 2
∂r
= κ
−
∂2P (r, t) ∂r2
3κ ∂P (r, t) dr − dr r ∂r
3κ ∂P
(12.32)
r ∂r
Esta es la ecuación diferencial fundamental para el proceso de abrasión de acuerdo con la ley de desgaste de Bond. Velocidad de variación de masa en el intervalo r a r +dr por abrasión
338
=
Velocidad de masa que entra en el intervalo r a r +dr por abrasión
-
Velocidad de masa que sale del intervalo por abrasión
-
Velocidad de pérdida de masa por abrasión de partículas del intervalo.
Figura 12.19 : Fracción de masa acumulativa menor que el radio equivalente volumétrico r como función del tiempo de molienda, para la simple abrasión de colpas de un tamaño inicial ro.
La solución para la abrasión de colpas de un tamaño ro único, es bien conocida y se puede derivar fácilmente como:
r(t) ⁄ ro =
1
0 ≤ κt ⁄ ro ≤ 1
− κt ⁄ ro
κt ⁄ ro > 1
0
(12.33)
En la forma de fracción de masa acumulada resulta: 1.0 3 P(r,t) = 1 − (ξ ⁄ ro) C(r)[1 − (ξ ⁄ r )3] o
r ≥ ξ ≥ r′
ξ ≥ r ≥ r′
(12.33a)
r′ ≥ r ≥ 0
donde :
ξ ⁄ ro = 1 − κt ⁄ ro ,
0 < κt ⁄ ro ≤ 1 339
Figura 12.20 : Fracción de masa acumulativa menor al radio equivalente volumétrico como función del tiempo de molienda, para la simple abrasión de una alimentación de 2 con una distribución rectangular, para r′ / rmax << 0.5. un intervalo √
y r′ es el tamaño máximo de fragmento abrasionado. La Figura 12.19 muestra esta solución como una función del número adimensional κ t/ro. La función C(r) representa la distribución de fragmentos primarios de las partículas abrasionadas, bajo el tamaño r′ y será monótona entre los límites C(0)=0, C(r′)=1.0. Si la distribución de tamaño de la alimentación se designa por P(r,0), la ecuación (12.33) se transforma en : ∗
ro
P(r,t) =
∫
rmax
(1.0) dP (ro,0) + ∫
ro = 0
ro = ro
donde r∗o = r + t y r + κt ≤ rmax. Por lo tanto :
340
3
κt 1 − 1 − dP(ro,0) ro ∗
Figura 12.21 : Gráfico de velocidad de desaparición de una alimentación en el inter2 , sometida a una simple abrasión (ver Figura 12.20). valo √
rmax
3 κt 1 − ∫ 1 − r0 dP (ro,0) , P(r, t) = r + κt , 1
0 ≤ r + κt ≤ rmax
(12.34)
r + κt ≥ rmax
Por ejemplo, para una distribución rectangular desde rmin a rmax (ver Figura 12.11), P(r,0)=[(r/rmax)- γ ]/(1- γ ), donde γ =rmin/rmax. Por lo tanto dP(r,0)/dr = 1/rm(1-γ ), e integrando la ecuación (12.34),
341
_3 _ _2 1 t 1 1 1 − 1 − γ 1 − A + 3t ln A + 3t A − 1 − 2 2 − 1 A _3 _ _ 3t 1 3t 2 t (1 + γ) + − ln P(r, t) = 1 − γ γ γ 2γ 2 _3 _ _ 3t 1 3t 2 t (1 + γ) − + C(r) ln γ 1 − γ γ 2γ 2
,γ≤A≤1 , A′ ≤ A ≤ γ
_ , t ≤ A ≤ A′
_ _ _ _ κt/r donde t es el tiempo adimensional definido por t = A=t +(r/r ) y A′=t +(r′/rmax), max; max _ todo para 0 ≤ t ≤ 1. 2 , La Figura 12.20 muestra los resultados para la alimentación en el intervalo √ 2 . Las líneas horizontales corresponden a la segunda línea de la ecuación esto es, γ =1/ √ A′ ≤A ≤ γ , mientras que la tercera línea no aparece en la figura ya que r′ /rmax << 0.5. La Figura 12.21 muestra los resultados en la forma de un gráfico de primer orden, para la fracción en peso w1(t) que permanece en el intervalo de tamaño inicial. Claramente el resultado no es una cinética de primer orden del tipo w1(t) = w1(0) exp(-S1t), excepto para
Figura 12.22 : Comparación entre las soluciones continuas y discretas para describir el proceso abrasión de colpas de una sola clase de tamaño.
342
el 40% da w1(t) = 1 - P(γ , t) para _3 _ de la masa perdida inicialmente. La ecuación _2 (12.35) A= t +γ de donde, despreciando los términos en t y t da aproximadamente: _ _ t(1 − 3ln(γ + t)) wi (t) = 1 − 1− γ
(12.36)
_ La Figura 12.20 muestra que esta es una buena aproximación. Cuando t → 0 dw1(t)/dt 2 , de manera que la da una pendiente de -[1+3ln(1/ γ)]/(1- γ), que es 6.96 para γ = 1/√ 2 es aproximadamente (7κ /rmax). velocidad específica de fractura para un intervalo √ En forma alternativa la ecuación (12.32) se puede resolver en la forma: rm−κt ∂P dr rm − κt ∂ ∫ ∂r rm − κt ro ∂(∂P ⁄ ∂r) 1 ∂P = κ ∫ dr − 3κ ∫ dr r ∂r ∂r ∂t ro
ro
ya que el límite superior de una colpa de tamaño inicial rm _es rm - κ t. Supongamos que l/r se puede extraer del intervalo como un valor medio 1/ r, entonces para un intervalo estrecho de tamaño se tiene: ∂ ∂P(r, t) [ P(rm − κt, t) − P(ro, t)] = κ ∂t ∂r
|
rm − κt
−
∂P(r, t) ∂t
|
ro
+
3κ − _ [P(rm − κt, t) − P(ro, t)] r Ahora P(rm-κt, t) - P(ro,t)=w1(t) y como ningún material puede entrar al tamaño mayor por abrasión las pendientes pueden ser aproximadas por:
|
∂P(r, t) rm − κt = 0 ∂r ∂P(r, t) ∂t
|
r0 =
P(rm − κt, t) − P(ro, t) w1(t) = rm − κt − ro rm − κt − ro
_ El tamaño medio r se aproxima mediante un promedio aritmético: _ r = (rm − κt + ro) ⁄ 2 Entonces :
343
dw1(t) 6 1 w (t) = − κ + 1 dt r κt − κt + − − r r r m m o o Integrando y usando w1(0)=1 resulta: 6
rm − κt − r0 rm − κt + r0 w1(t) = rm − r0 rm + r0
(12.37)
En forma no dimensional : _ t w1(t) = 1 − − 1
_ 1 − t γ 1+
6
γ
(12.37a)
La Figura 12.22 muestra este resultado en comparación a la solución analítica completa. Claramente es una excelente aproximación. Nuevamente, el valor de dw1(t)/dt cuando t → 0 da la velocidad específica de fractura debido a la abrasión en la forma: S1a =
=
κ 1 6 + rmax 1 − γ 1 + γ2
κ 7 − 5γ rmax 1 − γ2
(12.38)
2 esta expresión da S1a=6.93κ /rmax, o aproximadamente 7κ /rmax, igual que Para γ =1/√ antes. El valor de b1, en términos del B aparente correspondiente a la región de desaparición de primer orden calculado usando el método BII, es 0.484 para un 30% de fractura y 0.478 para un 50% de fractura, de modo que la aplicación del método BII para tiempos cortos de molienda da valores aproximadamente constantes de B, tal como en la cinética de primer orden verdadera. Sin embargo, los valores tendrán una región tipo meseta hasta que se llegue al tamaño de los fragmentos (ver Sección 12.7 más adelante).
12.5.2. Combinación con fractura de primer orden 2 o √ 2 es hoConsideremos como es usual que la fractura en intervalos de 4√ mogénea, con valores de b dados por bi,j. El valor de wi queda dado por: wi (t) = ∫
∂P(r, t) dr, ∂r
donde los límites están definidos como los radios equivalentes volumétricos correspondientes a los límites superior e inferior del intervalo. El balance de masa por tamaños es entonces:
344
Velocidad de incremento Velocidad neta de aumento de la neto de la masa en el = masa que entra al intervalo i intervalo i por abrasión + velocidad de generación de tamaño i por fragmentos abrasionados de todos los tamaños mayores - velocidad de desaparición de tamaño i por abrasión + velocidad de generación de tamaño i por fractura de todos los tamaños mayores - velocidad de desaparición del tamaño i por fractura En forma matemática: i
∂P ∂ ∫ dr ∂r i+1 ∂t
i
=
∫
κi
∂P ∂ ∂r dr
i+1
∂r
i
i− 1
i
1 ∂P − 3κi ∫ dr r ∂r i+ 1 i− 1
1 ∂P dr + ∑ bi,j Sj wj − Siwi + 3 ∑ ci,jκj ∫ r ∂r j= 1 j= 1 j+1
(12.39)
donde ci,j es la fracción de fragmentos de tamaño i abrasionados de colpas de tamaño j y donde bi,j, Sj tienen sus significados usuales. La ecuación se puede simplificar suponiendo que es factible utilizar un radio promedio en los dos términos donde aparece l/r. La transferencia de masa como colpas a través del tamaño xi se aproxima por κ ∂P ⁄ ∂r |x , donde κ es la velocidad de abrasión del material contenido en el intervalo superior a xi, esto es κ i-1 ∂P/ ∂r |i. Esto da: i
dwi (t) dt
∂P = κi−1 ∂r
|
∂P i − κi ∂r
|
i−1 i−1 3κ w i i _ + 3 ∑ cij κi wj ⁄ rj + ∑ bij Sj wj − Siwi i+1 − ri j = 1,i>1 j = 1, i > 1
El valor de ∂P/∂r|i se puede aproximar con wi-l ,/(ri-l - ri). Procediendo igual que antes y usando un promedio aritmético para rj resulta:
345
κi − 1 7 − 5γ κi dwi (t) = − [ Si + wi (t) + wi − 1 (t) 2 dt ri ( 1 − γ) ri − 1 − γ 1 i−1
+
(12.40)
6cij κj
∑ ( (1 + γ) rj +
bij Sj ) wj (t)]
j = 1, i > 1
__ Definiendo una velocidad específica de fractura equivalente Si dada por: _ 7 − 5γ κi Si = Si + 2 ri 1 − γ
(12.41)
_ y un conjunto de valores efectivos para bij:
Figura 12.23a : Gráfico de velocidad de desaparición para un intervalo de tamaño de 2 sometido a fractura y abrasión (ver Eq. 12.45). √
346
Figura 12.23b : Gráfico de velocidad de desaparición para un intervalo de tamaño de 4 2 sometido a fractura y abrasión (ver Eq. 12.45). √
6cij κj Sj + _ bij , _ _ Si rj (1 + γ) Sj bij = 6cij κj κj Sj + _ bij + _ , _ Sj rj (1 − γ) Sj rj (1 + γ) Sj
i−1>j (12.42) i−1= j
se obtiene: _ dwi (t) = − Si wi (t) + dt
i−1
_ _ Sj wj (t)
∑ bij
(12.43)
i = 1, i > 1
Esta es la ecuación usual para la molienda discontinua y se puede resolver en la forma acostumbrada.
347
Para el caso particular del primer intervalo de tamaño, es posible resolver la ecuación (12.39) sin introducir ninguna aproximación, para una alimentación con distribución rectangular en el primer intervalo. La ecuación (12.35) da la fracción de material que permanece en el intervalo l si no ocurre fractura:
_3 _ ∗ _2 1 1 t 1 ∗ 1 f (t) = − (12.44) 1 − A + 3t lnA + 3t − 1 − ∗ 2 ∗2 1−γ A A _ _ donde A* = t + γ , t = (κ t/rm). La fracción en número de colpas que permanece sin fracturarse en el tiempo t, para una fractura de primer orden, es: N(t) = N(0) exp(− S1 t) Por lo tanto, la fracción en masa que queda en el intervalo de tamaño después de un tiempo de molienda t es: w1(t) ⁄ w1(0) = f (t) exp(− S1 t)
(12.45)
Las ecuaciones (12.44) y (12.45) permiten el cálculo del gráfico de desaparición de primer orden, cuando se conoce los parámetros S1 y κ. Esto se puede hacer muy convenientemente en forma adimensional como la razón entre la velocidad específica de molienda por fractura y la velocidad específica de molienda por abrasión usando la ecuación (12.38): La razón de fractura a abrasión : =
S1
(12.45.a)
7 − 5γ κ 2 rmax 1 − γ
El resultado obtenido se muestra en la Figura 12.23. Una razón de fractura a abrasión mayor que 2 o 4 aparecería como un gráfico de molienda de primer orden en el rango y con la precisión de trabajo normal. El equivalente a la ecuación (12.39) para un molino continuo perfectamente mezclado en el estado estacionario es: i
Fpi = Ff i + W ∫ κ i+1
i j dP i−1 ) dr 1 dP 1 dP dr dr − 3Wκi ∫ dr + 3W ∑ cij κj ∫ r dr r dr dr
d(
i+1
j=1
i−1
− Si wi W + W ∑ bij Sj wj j=1
348
j+1
Figura 12.24 : Distribución de fractura primaria pronosticada para un proceso combinado de fractura y abrasión, partiendo de cada una de las contribuciones, usando la ecuación (12.42) con r=53 mm, κ= 8 x 10-3 mm/min , Si=0.031 min -1, γ=0.84.
_ Usando las mismas aproximaciones que antes, esto es, sacando r fuera de la integral, reemplazándolo mediante el promedio aritmético y usando la expresión κdP/dr|i = κi − 1wi-1/(ri-1-r1), da: i−1
τκi−1wi−1 6cij κj 7 − 5γ κi + ∑ ( ) wi + pi = fi − τ (Si + + bij Sj )wj r (1 + γ) rj (1 − γ) ri − 1 1 − γ2 i j = 1, i > 1 Para un solo reactor perfectamente mezclado pi=wi, por lo tanto arreglando se obtiene:
fi + pi =
τ κi − 1 pi − 1
i−1
6cij κj + τ∑ + bij Sj rj (1 + γ) ri − 1 (1 − γ) j = 1 1 + τ Si +
7 − 5γ κi 2 ri 1 − γ
_ _ Definiendo Si y bij como en la ecuación (12.42), resulta:
349
i−1
fi + pi =
_ _ ∑ Sj bij pj
j=1
(12.43a)
_ 1 + τSi
El tratamiento puede ser extendido a varios reactores en serie, a un circuito cerrado o a otros casos, en la forma usual.
12.5.3. Conclusiones Del conjunto de ecuaciones, ciertamente complicadas, analizadas en la sección anterior, se puede extraer las siguientes cuatro conclusiones importantes: (1) La presencia de una componente de abrasión agregada a un proceso de fractura de primer orden da como resultado un gráfico de primer orden o una aceleración aparente de la Tabla 12.1 Deconvolución de astillamiento y fractura para cuarzo en un molino de 0.6 m de diámetro. Ensayo
1 2 3 5-B 6-C 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19-A 19-B 19-C 19-E 19-F 19-G
Bolas Acero tamaño JB mm
Guijarros tamaño JP mm
63x53 45x38 53x45 45x38 63x53 -
63x53 53x45 45x38 53x45 45x48 45x48 53x45 53x45 53x45 45x38 63x53 53x45 53x45 53x45 38x31 31x27 27x22 63x53 53x45 45x38 38x43 31x27 27x22
350
0.07 0.07 0.07 0.07 0.07 -
0.30 0.30 0.30 0.15 0.15 0.10 0.23 0.23 0.23 0.23 0.23 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05
Polvo tamaño U malla -100# -100# -100# -
0.15 0.45 0.30 -
Fractura Relativa fractura núcleos astillas f n a a/(n+a) 0.14 0.12 0.13 0.23 0.17 0.16 0.18 0.23 0.33 0.17 0.37 0.29 0.21 0.28 0.20 0.08 0.14 0.27 0.13 0.10 0.26 0.16 0.32
0.56 0.57 0.57 0.51 0.64 0.61 0.55 0.48 0.44 0.61 0.41 0.45 0.47 0.57 0.48 0.67 0.58 0.58 0.73 0.75 0.47 0.58 0.44
0.30 0.31 0.30 0.25 0.19 0.23 0.27 0.29 0.23 0.22 0.22 0.26 0.32 0.15 0.32 0.25 0.28 0.15 0.14 0.15 0.27 0.26 0.24
0.35 0.35 0.34 0.33 0.23 0.27 0.33 0.38 0.34 0.26 0.36 0.37 0.40 0.21 0.40 0.27 0.33 0.21 0.16 0.17 0.36 0.31 0.35
velocidad específica de fractura a medida que el material es molido. Por lo tanto ello no puede explicar la disminución de la velocidad de fractura observada en la Figura (12.15). (2) La ecuación (12.42) muestra que los valores de B para la combinación de fractura-abrasión son la combinación ponderada de los valores de B para cada uno de estos procesos. Esto se ilustra en la Figura 12.24 en que los valores de B para la fractura son del tipo normal, los fragmentos de la abrasión se supone que son menores a un décimo del tamaño de partida y la razón entre los valores de S de fractura y S de abrasión es aproximadamente 20. (3) La ecuación (12.42) muestra, además, que una variación de la proporción de fractura a abrasión a medida que el tamaño de partícula disminuye resultaría en valores globales diferentes para B. Mientras mayor sea la componente de abrasión, mayor será la región de pendiente plana en el centro de los valores de B, como se ve en la Figura 12.24.
Figura 12.25 : Distribución experimental de cargas de fractura en ensayos de compresión lenta de partículas de caliza de 1/4 de pulgada a -4 mallas.
351
(4) El proceso de astillamiento, que produce fragmentos relativamente grandes en comparación a la abrasión pura más un núcleo, debería mostrar una velocidad de fractura entre aquella de abrasión y aquella de fractura normal. Sin embargo, en presencia de una componente significativa de fractura, es imposible distinguir el proceso combinado de astillamiento-fractura mediante un gráfico de primer orden. Por otra parte, una componente significativa de astillamiento producirá un valor de B combinado, de forma no-normalizable, como el que se muestra en la Figura 12.24
12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA DE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO 12.6.1 Distribución de resistencias Las Figuras 12.15 y 12.18 muestran que el proceso de autofractura es altamente no-lineal, incluso en aquellos ensayos con trazadores en que las condiciones en el molino se mantuvieron razonablemente constantes. Los gráficos de orden distinto del primero no son normalizables con respecto a un tiempo adimensional. Por ejemplo, el expresar el tiempo como t/t50 en que t50 es el tiempo para lograr un 50% de fractura, no hace que las curvas de logw1(t) caigan una encima de la otra. El proceso involucrado parece claro. La alimentación fresca de colpas irregulares consiste en material que tiene una distribución de resistencia, siendo algunas colpas relativamente duras y otras relativamente blandas. Durante el proceso de molienda discontinua todo el material es fracturado en una forma probabilística, pero el material blando se fractura más rápidamente de manera que el material que queda después de un tiempo prolongado de molienda consiste en el material más resistente que se fractura más lentamente. Se podría pensar que la alta velocidad de fractura inicial es causada por el astillamiento de las irregularidades de las colpas que dejan un material redondeado que se fractura más lentamente. Sin embargo, los resultados informados en la Figura 12.14 sugieren que la mayor pérdida de masa es por astillamiento y fractura y que la proporción de astillamiento a fractura no varía durante la molienda. La Tabla 12.1 muestra las proporciones calculadas en una serie de ensayos que dieron resultados similares a aquellos de la Figura 12.14. Parece que las velocidades de fractura más lentas del material resistente, se aplican tanto a la molienda por fractura como a la molienda por astillamiento. La velocidad de abrasión pura, medida en estos ensayos mediante la técnica mostrada en la Figura 12.13, es demasiado baja para explicar la pérdida continua de masa por fragmentos y núcleos. Sin embargo, queda claro de la observación visual que las colpas resistentes que perduran se redondean formando guijarros mediante el proceso de astillamiento. Desafortunadamente, la naturaleza no lineal del proceso no permite un análisis sencillo del proceso de astillamiento para detectar si es un proceso superficial, como la abrasión, o un proceso de primer orden como la molienda normal. Un análisis de la esperanza de fractura de un material que posee un cierto rango de resistencias fue realizado por Austin, Shoji y Everell [12.10]. Como ya se mencionó en el Capítulo 2, los ensayos de compresión sobre esferas dan una desviación estándar alrededor de la media relativamente estrecha. Sin embargo, la Figura 12.25 muestra resultados de ensayos compresivos sobre partículas en una fracción de tamaño correspon2 de la serie estándar , dando una amplia distribución de diente a un intervalo de √ 352
resistencias. Esto se debe en parte a la amplia variación de volúmenes en un intervalo de 2 , de 1 a 2√ 2 , y en parte, a la amplia variación de formas y de orientaciones entre las √ placas de compresión. Esto significa que toda fractura en molinos debería ser de orden distinto del primero debido a la distribución de resistencia de las partículas. Sin embargo, en la molienda de partículas que son atrapadas entre bolas hay componentes de fuerzas y una geometría de captura que no depende de la resistencia de las partículas y por lo tanto muchas partículas atrapadas entre las bolas serán fracturadas independientemente de si son resistentes o débiles. Por otra parte, muchas de las colisiones en la fractura autógena no son suficientemente potentes para causar fractura a las colpas muy resistentes. Es fácil escribir las ecuaciones que predicen la velocidad de fractura de un material con una distribución de resistencias sometido a una distribución de fuerzas. Consideremos el primer intervalo de tamaño, el intervalo 1, y designemos con F(Y) la distribución acumulativa de “resistencia” Y, esto es, la fracción del material que tiene una resistencia menor o igual a Y. Denominemos G(Y) a la distribución acumulativa de “fuerzas” de impacto en el molino que produce la fractura de partículas de resistencia Y, y N el número de aplicaciones de esta fuerza por unidad de masa y tiempo. Un material que tenga una resistencia entre Y e Y+dY se fracturará en forma probabilística para dar una ley de
Figura 12.26 : Casos límite simples de distribuciones de fuerza aplicada y resistencia: G(Y) es la fracción acumulada de fuerza aplicada menor que la resistencia Y; F(Y) es la fracción en peso acumulada de material con resistencia menor que Y.
353
Figura 12.27 : Ilustración del caso probable de distribuciones de resistencias F(Y) y fuerzas aplicadas G(Y) e ilustración del tipo de resultado obtenido al convolucionar las distribuciones. 354
desaparición de primer orden. Si denominamos la cantidad de este material como w1(Y,t), tenemos: dwi (Y, t) = − S (Y) wi (Y, t) dt y por lo tanto, wi (Y, t) = wi (Y, 0) exp [− S (Y) t ]
(12.46)
La velocidad específica de fractura S(Y) será proporcional a la fracción de las fuerzas que son mayores que la resistencia Y, esto es:
S(Y) = K N [ 1 − G(Y )]
(12.47)
donde K es una constante de proporcionalidad. Por definición:
Figura 12.28 : Efecto de la fracción de llenado del molino en la velocidad absoluta de autofractura de mineral de cobre de 26x51 mm, para la molienda discontinua en un molino de 1.8 m de diámetro a una fracción de velocidad crítica de 75%.
355
wi (Y, 0) = wi (0)
∂F(Y)
∂Y
dY
(12.48)
donde wi(0) es la fracción de la alimentación que es de tamaño i. Finalmente: ∞
wi (t) =
∫ wi (Y, t) dY
(12.49)
o
Por lo tanto: ∞
wi (t) = wi (0) ∫ exp [ − KN (1 − G(Y)) t] 0
∂F(Y) dY ∂Y
(12.50)
La Figura 12.26 muestra cuatro casos límites obvios. En la Figura 12.26a, cada fuerza aplicada es mayor que la resistencia, de manera que la fractura sería de primer orden e independiente de la resistencia del material. En la Figura 12.26b, sucede lo contrario, y no habrá fractura. La Figura 12.26c muestra que el material de una resistencia única dará fractura de primer orden con una velocidad específica proporcional a 1- G(Y). En la Figura 12.26d, una parte del material es muy resistente para ser fracturado. La Figura 12.27a muestra el caso más probable, en que siempre habrá una fracción pequeña de fuerzas que fracturará las colpas más resistentes, pero ésta será menor que la fracción de fuerzas disponibles para fracturar las colpas más débiles. Por otra parte, hay que darse cuenta que una determinada colpa va a presentar una distribución de resistencias dependiendo de su orientación con respecto a la fuerza aplicada en el molino, ya que las colpas no son esféricas, pero este efecto será aleatorio y tendrá un resultado similar a ampliar la distribución G(Y) con respecto a la F(Y), dando una relación de primer orden. Austin, Shoji y Everell realizaron integraciones numéricas de la ecuación (12.50) _ usando el tiempo adimensional t=KNt y suponiendo una distribución Gaussiana para F(Y) y G(Y). Los resultados dependen obviamente de los cuatro parámetros σ1, µ1 para la resistencia, y σ2, µ2 para la fuerza, donde σ y µ son la desviación estándar y la media respectivamente. Estos pueden ser reducidos a sólo tres parámetros al hacer uso de las razones σ1 ⁄ µ1 y σ2 ⁄ µ2. La Figura 12.27b muestra un resultado típico (para σ1 ⁄ µ1 = σ2 ⁄ µ2 = 0.25). Los resultados tienen similitud con los gráficos de orden distinto del primero de la fractura autógena, con un mayor grado de no-linealidad a medida que decrece la razón de fuerza promedio a resistencia promedio.
12.6.2. Fractura rápida y lenta La consideración de las distribuciones de resistencia y fuerzas lleva a un tratamiento muy complejo de los datos debido a las necesarias integraciones numéricas y a la falta de conocimiento de la forma de las distribuciones F(Y) y G(Y). Por esta razón los resultados experimentales han sido tratados en una forma más o menos empírica 356
considerando que el gráfico de primer orden está formado por una fracción ψ de material de fractura lenta, con velocidad específica de fractura SB y una fracción 1- ψ de material de fractura rápida, de velocidad específica de fractura SA, como se indica en la Fig. 12.15. El resultado es: w1 (t) ⁄ w1 (0) = ψ exp(− SB t ) + (1 − ψ) exp(− SA t )
(12.51)
Si se aplica este concepto a un molino SAG en el estado estacionario, el balance de material de tamaño 1 es simplemente: Ff1 (1 − ψ) = w1A W S1A , Ff1ψ = w1BW S1B ya que el material de tamaño 1 no puede dejar el molino por ser de tamaño muy grande para pasar por la parrilla; w1A es la fracción en masa de tamaño 1 del material retenido que es de fractura rápida y w1B es la fracción de material de fractura lenta. _Definiendo una velocidad específica de fractura promedio mediante Ff1 = (w1A + w1B)WS1 da:
Figura 12.29 : Efecto de las bolas en las velocidades de fractura de cuarzo de 53x45 mm en un molino de 0.6 m de diámetro, J=0.3 y ϕc=0.2.
357
_ S1 =
1 1−ψ ψ + S1A S1B
(12.52)
La fracción de material blando a duro del tamaño 1 en el molino será w1A ⁄ w1B =
(1 − ψ)S1B ψ S1A
(12.53)
Claramente, para ψ S1A ≥ (1 - ψ ) S1B el molino se llenará con material resistente de tamaño 1 que se fractura lentamente. Los valores medios de B quedan definidos por: _ __ (w1A + w1B ) S1 Bi,1 = w1A S1A Bi,1A + w1B S1B Bi,1B esto es: __ Ff1 Bi,1 = Ff1 (1 − ψ1) Bi,1A + Ff1ψ1 Bi,1B dando __ Bi,1 = (1 − ψ1) Bi,1A + ψ1 Bi,1B
(12.54)
Figura 12.30 : Ensayos discontinuos de molienda autógena en un molino de 0.6 m de diámetro con JP=0.30, U=0, ϕc=0.7.
358
Un problema lógico aparece cuando este razonamiento se aplica a intervalos de tamaño menores. Es necesario responder a la pregunta: “¿son los fragmentos débiles siempre producidos por material débil y los fragmentos fuertes a partir de material fuerte?”. Por cierto que los núcleos de material fuerte que pasan al siguiente tamaño por astillamiento-abrasión son fuertes. Sin embargo, la fractura de este material fuerte para formar fragmentos irregulares probablemente produce una cierta fracción de material débil, debido a la forma, y otra de material fuerte. En forma similar, los fragmentos de material que se fracturan rápidamente pueden contener algunos que van a perdurar. En otras palabras, la fractura del tamaño j produce fragmentos de tamaño i, los que a su vez, tienen una distribución de resistencias. Es fácil escribir el balance de material general en un molino SAG en el estado estacionario para una mezcla de materiales duro y blando. Sin embargo, los experimentos para resolver el problema de la proporción de los fragmentos no han sido realizados, aunque la Tabla 12.1 indica que la mayor parte de la pérdida de masa en el pequeño molino
Figura 12.31 : Variación de la fractura de un cierto tamaño cuando está solo o en una mezcla con 20% de tamaño mayor (2.5 pulgadas) o menor (7/8 de pulgada).
359
de ensayo proviene de los núcleos y de los fragmentos producidos por astillamiento. Por esta razón, hemos aplicado la definición de velocidad específica de fractura promedio a los datos de los ensayos para estimar la variación de la velocidad de fractura con las condiciones en el molino, y luego, hemos formulado el modelo del estado estacionario como si el material se comportara con estas propiedades promedio.
12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA Aunque el caracter no-lineal de la autofractura hace difícil describir exactamente la fractura autógena, se ha hecho un cierto número de estimaciones basadas en datos de molinos de 0,6, 1.2 y 1.8 m de diámetro. La variación de la velocidad específica de fractura con el tamaño de la colpa se tomó igual a: Si (S) = as( xi ⁄ x0 )αs
(12.55)
en que para una dimensión estándar de xo = 1 mm, as es mucho más baja que aquellas para la fractura por atrapamiento de partículas pequeñas por bolas o guijarros. El valor de αs parece ser alrededor de 1. La variación de la velocidad absoluta de autofractura, definida como Si(S)J, en función del material retenido, se espera que siga aproximadamente las variaciones de la potencia con el material retenido. La relación encontrada, ver Figura 12.28, puede ser aproximada mediante la expresión empírica:
Figura 12.32 : Efecto de acolchonamiento de material menor a 100 mallas sobre la fractura de cuarzo de 54x45 mm, en molienda seca en un molino de 0.6 m de diámetro, J=0.3, ϕc=0.7.
360
Si (S) ∝
1 1 + (J ⁄ Jm)
Λs
(12.56)
Los valores de Jm y Λs se tomaron como Jm = 0.53 y Λs = 4, para dar un mínimo en la velocidad absoluta de fractura Si(S)J para J=0.4. La Figura 12.29 muestra la influencia de adicionar bolas de distintos tamaños a la carga de 30% de llenado de roca (cuarzo) de 53x45 mm, en un ensayo con trazador. Aunque a la fractura causada por las rocas se la denomina autofractura para distinguirla de aquella causada por el atrapamiento de las partículas por bolas o guijarros mucho mayores, parece lógico que una cantidad de bolas del mismo tamaño que estas rocas va a aumentar la fractura debido a la mayor fuerza de colisión. Las figuras muestran que las velocidades iniciales de fractura son incrementadas por la presencia de bolas y que la proporción de material de fractura lenta disminuye. Esto es lo que se debería esperar, ya que la fracción de bolas corre la curva G(Y) a valores de mayor fuerza promedio y distribución más amplia de fuerzas. El patrón de resultados es evidentemente complejo, requiriendo ecuaciones para expresar la influencia de cada tamaño de bola en cada tamaño de partícula. Ante la falta de datos suficientes para desarrollar estas relaciones en forma cuantitativa, el efecto de las bolas fue aproximado por la simple adición de una corrección a la densidad en la ecuación (12.30). Esta da una corrección para las velocidades específicas de fractura determinadas sin presencia de bolas, a una fracción de llenado de J=JP, para ser usadas en presencia de bolas: JB ρb + JP ρs Si(S) con bolas = Si(S) sin bolas ρs JP donde JP=J-JB. Por ejemplo, el factor es aproximadamente 2 para un 7% de bolas de densidad 8 y roca de densidad 2.7, en una carga total de J=0.3, y el factor es aproximadamente 4 para 15% de bolas en una carga total de J=0.3. La Figura 12.30 muestra un ejemplo típico de los valores de B medidos al comienzo del ensayo, correspondiendo a la velocidad de fractura rápida y al final del ensayo, cuando el molino estaba lleno de guijarros redondeados y fuertes. Como se podría esperar, los valores de B medidos después de 1 minuto de molienda muestran una mayor proporción de fractura o colpas grandes astilladas, mientras que los medidos a los 35 minutos (de los fragmentos producidos en intervalo final de 5 minutos), dan valores de B que corresponden a un proceso de astillamiento-abrasión. Como el tamaño mayor fue de aproximadamente 50 mm en estos ensayos, parece que había solamente una pequeña proporción de astillas en el rango de 0.5 a 5 mm, con un 20% de las astillas en el rango menor a 0.1 mm. Los valores iniciales y finales de B para los ensayos con y sin bolas son prácticamente idénticos, mostrando que las bolas aumentan la velocidad de fractura, pero que el proceso sigue siendo astillamiento. Como se podría esperar, también se encontró que la velocidad de auto-fractura de un determinado tamaño era mayor cuando el tamaño era mezclado con material de tamaño mayor y menos cuando es mezclado con material de tamaño menor. Esto se ilustra en 361
Figura 12.33 : Factores de porosidad como función del tamaño relativo.
la Figura 12.31 en que el ensayo fue hecho en una mezcla de 5% de la carga de 6 diferentes tamaños, trazando cada uno de los tamaños ensayados y los nuevos agregados para mantener la distribución de tamaño con el tiempo. En la Figura 12.31 se muestran sólo dos resultados para evitar confusión, pero los tamaños menores se fracturaban más rápidamente, los mayores más lentamente y los intermedios se mantenían más o menos igual. La Figura 12.32 muestra que el efecto de acolchonamiento es despreciable para valores de U entre 0 y 0.30, pero representa una disminución en la velocidad de fractura de más de 2 veces a valores de U=0.45. Desgraciadamente los datos no fueron suficientes para obtener una relación cuantitativa. Se supuso que los parámetros cinéticos de autofractura se escalaban en la misma forma que la potencia, esto es, que los valores de S serían proporcionales a D0.5. Combinando las ecuaciones anteriores resulta:
Si (S) = aST (xi ⁄ x0 )αs CS1 CS2 CS3 CS4
(12.57)
donde :
CS 1 = (D ⁄ DT )N1 con N1 = 0.5,
362
(12.57a)
1 + (JT ⁄ 0.53)4 CS2 = 4 1 + (J ⁄ 0.53)
CS3 =
(JB ρb + JP ρs ) ⁄ (JP ρs ) (JBT ρb + JPT ρs )(JPT ρs )
CS4= corrección por efecto de acolchonamiento, etc.
(12.57b)
(12.57c) (12.57d)
En ausencia de una función para la ecuación (12.57d), se decidió determinar Si(S) por ensayos en un molino piloto continuo de 1.82 m de diámetro, ya que esto representa la fractura en una mezcla de tamaños esperada en un molino industrial. Luego las ecuaciones 12.58a, b y c se usaron para corregir por el diámetro del molino y la carga de bolas (ver Sección 12.9).
12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y DENSIDAD DE LA CARGA Como se discutió con anterioridad, el efecto de la acumulación de pulpa entre las bolas y guijarros ocasiona una variación de las velocidades específicas de molienda de las partículas en la pulpa. En la molienda en molinos convencionales de bolas no hay problema en distinguir entre el medio de molienda y el polvo pero, para aplicar la ecuación (12.24), es necesario ser capaz de calcular Uk para cada tamaño del medio. Para hacer esto, usamos el concepto de factores de porosidad introducido por Weymont [12.11]. Cuando un molino de laboratorio se opera con colpas de un solo tamaño, el molino llegará a un consumo máximo de potencia para una determinada fracción de llenado de medios, con el valor de J definido por la masa, el volumen del molino, y una definición formal de porosidad de lecho de ε = 0.4. Sin embargo, si la carga del molino consiste en un 50% de este medio y 50% de un tamaño menor, parte del tamaño menor puede calzar en los intersticios del lecho de colpas mayores, y la fracción que no cabe actúa como medio contribuyendo al J, nuevamente con una porosidad formal de J=0.4. Por lo tanto, el molino debe ser llenado con una carga mayor antes que se logre la máxima potencia. Si se supone que el nivel de llenado J del molino para la máxima potencia es el mismo, se puede calcular la fracción de partículas menores que calzan entre las mayores. El ensayo fue repetido para un rango de tamaños, expresando el resultado como la fracción de la porosidad de las partículas de 37.5 x 25 mm llena por cada uno de los tamaños menores, obteniéndose el resultado de la Figura 12.33. Es razonable suponer que la fracción de porosidad dependerá de la razón de tamaños, de manera que los resultados son expresados en términos del tamaño relativo xi / xj. Obviamente que si ηij = 0, la partícula de tamaño i es inequívocamente un guijarro y si ηij = 1, la partícula i es inequívocamente polvo. Sin embargo, hay algunos intervalos de tamaño para los cuales 0 ≤ ηij ≤ 1. La fracción del volumen del molino ocupada por la masa del material W más las bolas se calcula de:
363
i−1
n
J=
∑
i=1
( Vi −
∑ Vij ) ⁄ V
(12.58)
j=1
donde Vi es el volumen aparente de las partículas de tamaño i (y bolas); Vij es el volumen de las partículas de tamaño i que se acomodan entre los huecos dejados por las partículas de tamaño j, y V es el volumen del molino. Para calcular el término Vij se debe considerar dos volúmenes. Uno es el volumen aparente de las partículas de tamaño i que está disponible para ser acomodado en los huecos de las partículas de tamaño j. El otro es el volumen de las partículas de tamaño j que está disponible para aceptar partículas de tamaño i. Obviamente Vij será el volumen más pequeño de estos dos. El tamaño aparente de las partículas de tamaño i que está disponible para ser acomodado en los huecos dejados por las partículas de tamaño j está dado por el volumen aparente total de partículas de tamaño i menos el volumen de las partículas de tamaño i ya acomodadas en los intersticios dejados por las partículas de tamaños mayores que j, esto es : j−1 Volumen de tamañoi disponible par aacomodar seen huecos de las partículas = ∑ Vik de tamaño j k=1
(12.59)
En forma similar, el espacio hueco aún disponible para las partículas de tamaño i en las partículas de tamaño j está dado por el volumen total de huecos dejados por las partículas de tamaño j menos los volúmenes ya ocupados por las partículas mayores de tamaño i, esto es : i−1 Volumen de huecos de las partículas j = Vj ε − ∑ Vkj ηij , i > j que están disponibles para las k = j+1 partículasde tamaño i
(12.60)
donde ε es la porosidad formal del lecho. Por lo tanto, el volumen Vij queda dado por: i−1 j−1 min V ε − ( n V ) η ; V − ∑ kj ij i ∑ Vik , Vij ≥ 0 j Vij = k=j+1 k=1 , Vij ≤ 0 0
(12.61)
donde el primer término en el lado derecho de la ecuación tiende a cero a medida que el tamaño i se torna tan grande como j.
364
Figura 12.34 : Variación de la cantidad de material que permanece en el tamaño máximo, el llenado de medio JP y el llenado intersticial U del tamaño máximo para mineral de Donoso de 76 x 51 mm, versus el tiempo de molienda seca y discontinua en un molino de 1.8 m de diámetro (ver Figura 12.15).
En cuanto a lo que a acolchonamiento del impacto de los medios de molienda por partículas más pequeñas se refiere, se adoptó una definición arbitraria : para todo medio de molienda de tamaño j, las partículas de tamaño i serán consideradas polvo (con respecto al tamaño j) si ηij > 0.5. Partículas mayores son consideradas medios de molienda. Como la distancia entre el tamaño j y el tamaño considerado como polvo es de aproximadamente 6 intervalos de tamaño, el lecho de guijarros consiste en tamaños j, todos los tamaños mayores y los cinco tamaños menores siguientes. El polvo es la suma de todos los tamaños menores. n
fcj =
∑
Vi ⁄ V
(12.62)
i= j+6
y el volumen de huecos presente en un lecho de partículas mayores que J está dado por:
365
j+5
VVj =
∑
k= 1
j+5
(Vk ε −
∑ Vik )
(12.63)
i= k+1
Entonces, el llenado intersticial de bolas y guijarros por polvo se calcula de: Uj = fcj ⁄ (V Vj ⁄ V )
(12.64)
Este se utiliza para calcular los valores de Si de la fractura de medios de tamaño k (j→k en la ecuación (12.64) ), ver ecuación (12.24d). Los volúmenes Vi y Vij se expresan como fracción del volumen del molino, ya que aparecen como Vi/V y Vij / V y son calculados de la distribución de tamaño wi del material retenido en el molino y de la densidad real del sólido: Vi ⁄ V =
wi (W ⁄ V ) (1 − ε ) ρs
+ mi JB
(12.65)
donde mi es la fracción de JB que tiene un diámetro menor a i. La masa total de material retenido más bolas, por unidad de volumen del molino, es conocida, de modo que el valor de J, calculado mediante la ecuación (12.58), permite el cálculo de la densidad global de la carga del molino (excluyendo el agua). En forma similar, se conoce el volumen verdadero de las bolas y del sólido, por unidad de volumen del molino, permitiendo el cálculo de la porosidad global del lecho:
Figura 12.35 : Ilustración del tratamiento de la parrilla como un clasificador en la descarga del molino.
366
ρc = [(W ⁄ V ) + 0.6JB ρb ] ⁄ J
(12.66)
1 − εB = [(W ⁄ V ρs ) + 0.6JB] ⁄ J
(12.67)
Estos valores se utilizan en los cálculos de potencia del molino en la sección 12.3 La Figura 12.34 muestra el resultado de la Figura 12.15 reexaminado mediante los cálculos de la variación de J y U, usando las definiciones de contribuciones a J de las colpas grandes y contribuciones al polvo de las partículas menores. Se puede observar que la velocidad de fractura decrece rápidamente a valores de U=0.45, de acuerdo al efecto de acolchonamiento informado anteriormente.
12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DE AUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE MOLIENDA CONTINUA Para predecir las velocidades de autofractura en un molino continuo a partir de parámetros de molienda determinados en ensayos discontinuos, es necesario disponer de un conjunto de relaciones que permitan calcular las velocidades promedio de fractura en el medio ambiente del molino. Se encontró que no era posible desarrollar estas relaciones para un sistema tan complejo a partir de los limitados datos experimentales disponibles. Por esta razón se utilizó los datos del ensayo [12.12] en un molino SAG de 1.8 m de diámetro para estimar los parámetros en la forma que se describe a continuación. Los ensayos discontinuos indicaban aproximadamente que αs=1.0, b21 = b32 = 0.55 y b31 = 0.094 para el material grande ( 75 x 106 mm). Como estos tamaños no pueden escapar del molino, resulta: S1w1W = f1F S2w2W = f2F+b21f1F S3w3W = f3F+b31f1F+b32(f2F+b21 f1F ) y como S2 = RαS1, S3 = RαS2, τ= W/F S1 =
(1 + b21 + b31 + b32 b21 ) f1 + (1 + b32 ) f2 + f3 τ (w1 + Rα w2 + +R2α w3 )
(12.68)
2 . donde R es la razón entre intervalos de tamaños contiguos, por ejemplo, 1/ √ Estos cálculos suponen que la fractura por atrapamiento es despreciable para estos tamaños, como fue confirmado por cálculo. Como el molino fue detenido y vaciado después de cada ensayo continuo en el estado estacionario, se pudo determinar los valores de w1, w2, w3, como también los de f1, f2 y f3 y los de W y F que permiten el cálculo de τ. Se utilizó los tres primeros tamaños, y no sólo el tamaño máximo, ya que solamente había una pequeña cantidad de este último que no permitía una determinación precisa de w1. Para un ensayo con JPT=0.135 y JBT=0.065, los valores de w y f dieron S1(S) = 0.21 min-1, lo que, a su vez, da asT=0.0007 min-1 para estas condiciones de ensayo. 367
12.10 MODELO DEL MOLINO 12.10.1 Molinos de D/L grande Hay que tener presente que el concepto de distribución de tiempo de residencia comienza a perder sentido en un molino en que las grandes colpas alimentadas no pueden escapar a través de la parrilla de descarga. Toda alimentación grande al molino debe permanecer en él hasta que se quiebre a tamaños menores a la parrilla. El valor de τ se define simplemente como W/F y no puede ser determinado por ensayos de distribución de tiempos de residencia. Es razonable suponer que molinos de gran D/L funcionando en estas condiciones están bien mezclados. La acción de retención de la parrilla se modela como una clasificación de la descarga, como se muestra en la Fig. 12.35. Un balance de masa da: i−1
_ _ _ Fpi = Ffi + ( W ∑ bi,j Sj wj ) − WSi wi , i = 1,2....n j = 1, i > 1
o, usando el simbolismo de la Figura 12.30, i − 1_ _ _ pi′ = fi ′ + τ′ ∑ bi,j Sj wj − τ′ Si wi j = 1, i > 1
(12.69)
donde pi es la fracción del _ producto del molino de tamaño i; fi es la fracción de alimentación de tamaño i; Si es la velocidad específica de fractura del material de tamaño _ i; bij es la fracción de material retenido en el molino que tiene tamaño i. El valor de τ′ queda definido por W ⁄ F ′, donde F ′ es el flujo interno aparente de sólido en el molino. El material rechazado por la parrilla vuelve al molino como una carga circulante interna C ′. Como F ′ = (1+C ′)F, el balance de masa de la alimentación aparente al molino es : (1 + C ′ ) Ffi ′ = Ffi + F (1 + C ′) wi ci esto es : (1 + C ′ ) fi ′ = fi + (1 + C ′ ) wi ci donde el valor de ci es la fracción de material de tamaño i que vuelve al molino. Este será igual a 1 para material mayor que el tamaño de la parrilla y 0 para material fino. El valor de C ′ queda definido por: C′= esto es : 368
∑i F (1 +
C ′ ) wi ci
⁄ ∑ F (1 + C ′ ) w (1 − c ) i
i
i
Figura 12.36 : Fracción de llenado del molino con pulpa versus flujo de descarga para un molino SAG de 1.83 m de diámetro operando en forma continua en el estado estacionario en circuito abierto, J=0.20, ϕc=0.25.
C′=
∑i wi ci ⁄ ∑i wi (1 −
ci )
(12.70)
Reemplazando el valor desconocido de fi ′en la ecuación (12.69) y reordenando resulta: i−1
_ _ fi + τ′ ∑ bij Sj wj (1 + C ′ ) wi (1 + C ′ ) =
j=1
_ (1 − ci ) + τ′ Si
(12.71)
En forma más general, si el circuito se cierra mediante un clasificador externo de selectividad si, se utiliza la misma técnica para reemplazar el valor desconocido de fi por el valor conocido de la alimentación fresca gi y la razón de circulación externa C:
(1 + C) fi = gi + (1 + C ) pi si donde : pi = (1 + C ′ ) wi (1 − ci ) Substituyendo en la ecuación (12.71) y reordenando se obtiene: 369
i−1
_ _ gi + τ ′ ∑ bij Sj wj (1 + C ′ ) (1 + C ) j=1
wi (1 + C ′ ) (1 + C) =
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ ′ Si
donde : wi (1 + C ′ )(1 + C ) = wi∗ i−1
_ _ gi + τ ′ ∑ bij Sj wj∗ j=1
wi∗ =
, i = 1,2,.....,n
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ ′ Si
(12.72)
La ecuación (12.72) se puede resolver, para cualquier valor seleccionado para τ′ , comenzando por el tamaño 1: w1∗ =
g1
_ (1 − c1 )(1 − s1 ) + τ′ S1
Este valor se usa luego para calcular w2*: w2∗ =
_ _ g2 + τ′ b21 S1 w1∗
_ (1 − c2 )(1 − s2 ) + τ′ S2
continuando en esta forma hasta wn*. Entonces: n
∑ wi
∗
i=1
n
= (1 + C ′ )(1 + C ) ∑ wi i=1
= (1 + C ′ )(1 + C) y
w1 =
w1∗ (1 + C ′ )(1 + C)
=
w1∗ n
∑ wi∗
i=1
por lo tanto :
370
n
wi =
wi∗
⁄ ∑ wi∗
(12.73)
i= 1
lo que corresponde a la distribución granulométrica en el molino. Para el valor seleccionado de τ′ podemos calcular: Producto del molino : pi = (1 + C ′ ) wi (1 − ci ) donde : C ′ =
∑i wi ci ⁄ ∑i wi (1 −
ci )
Producto del clasificador: qi = (1 + C) pi (1 − si ) donde : C =
∑i pi si ⁄ ∑i pi (1 −
(12.74a) (12.70) (12.74b)
si ) (12.70a)
Producto de residuo : ti = (1 + C) pi si ⁄ C
(12.74c)
Alimentación al molino : fi = (gi + C ti ) ⁄ (1 + C )
(12.74d)
El flujo al molino F también puede calcularse, ya que: F ′ = W ⁄ τ′ y F = F ′ ⁄ (1 + C ′ ) : F=
W τ′ (1 + C ′ )
(12.75)
El tiempo de residencia promedio real es τ = W/F, esto es, τ = τ′ (1 + C ′ )
(12.76)
y la capacidad del circuito, Q, resulta: Q = F ⁄ (1 + C )
(12.77)
El significado físico en la selección de τ′ es la que sigue. Si τ′ se elige pequeño, esto significa que habrá una recirculación interna alta, esto es, que el material se presentará rápidamente ante la parrilla y que el sistema llegará al estado estacionario sin material en el molino del tamaño menor a la abertura de la parrilla. Si τ′ se elige grande, la circulación interna será pequeña y el molino se llenará de material fino. Para obtener un balance correcto es necesario elegir el valor de τ′ en forma tal que se obtenga un nivel correcto de material de tamaño menor que la abertura de la rejilla de descarga en el molino. Esto requiere especificar el valor de este nivel o disponer de una ecuación para el 371
transporte de masa de pulpa en el molino. Sin esta información adicional, el sistema está indefinido. Parece ser que no existen leyes fundamentales que describan el transporte de masa a través de parrillas en los molinos SAG. Sin embargo, una serie de ensayos realizados en un molino piloto [ 12.8] de 1.73 m de diámetro interno por 0.61 m de largo dieron los resultados que se muestran en la figura 12.32 para un mineral con una densidad de 2.7 ton/m3. En esta figura, F′ representa el flujo aparente de material a través del molino y W es el material sólido retenido en el molino.La ecuación empírica obtenida es: F ′ = 29 W 0.5
(12.78)
donde F ′ está medido en toneladas por hora y W en toneladas. Por lo tanto, el material que llega a la parrilla de clasificación es una función del nivel de llenado del molino por el material. No fue posible relacionar el flujo de pulpa a través de la parrilla solamente al nivel de llenado de la pulpa, y se hizo necesario derivar una relación que utiliza la acción de clasificación de la parrilla en conjunto con la ecuación (12.78). La ecuación 12.78 puede generalizarse expresándola en términos de un flujo volumétrico que, a su vez, depende del nivel de llenado del molino por material. Es de esperar que esta ecuación pueda ser escalada en función del diámetro del molino en la misma forma que la capacidad. Por lo tanto, la ecuación se puede escribir en la forma: F ′ = k ρs D 3.5 ( L ⁄ D) Jp0.5
(12.79)
donde k dependerá del diseño de la parrilla. Expresando D y L en metros , ρs en toneladas por metro cúbico, y usando la porosidad del lecho Jp = 0.29, medida [ 12.8] con el molino detenido, la ecuación (12.78) da un valor de k = 6.4 m-0.5 horas-1 o 0.11 m-0.5 min-1.Para 0.5 cualquier otra definición de Jp, el valor de k debe recalcularse de k2 Jp0.5 2 = k1 Jp1 . Si se conoce el valor de J, el valor de Jp se puede obtener de J = JP + JB. En estas circunstancias, la ecuación (12.79) da F ′ y, como τ′ = W ⁄ F ′, el valor de τ′ se conoce de las ecuaciones (12.64-12.69) si se conoce W. La forma más simple de realizar la simulación es especificando W ( en la forma normalizada W=W/V), luego calcular J, como se describió anteriormente en la sección 12.8, y luego obtener F ′ y τ′. Si se desea especificar una definición formal de porosidad del lecho εB , J se puede calcular de la ecuación (12.67): J = [ W ⁄ V ρs + 0.6 JB] ⁄ (1−εB)
(12.67)
Se debe entender que los valores de S y B dependen de los valores de wi aún cuando se utilice un valor especificado para εB. El cálculo debe comenzar con una estimación de los valores de wi , luego calcular w∗i y, por lo tanto, los valores de wi , luego volver a calcular S y B, etc. Una iteración sobre valores estables de wi da un conjunto para los cuales las velocidades específicas de fractura equilibran el material que pasa por la parrilla.
372
373
Figura 12.37 : Modelo de un molino como una serie de reactores perfectamente mezclados con una parilla de clasificación en la descarga.
El nivel de la pulpa en el molino, expresado como fracción y compuesto por material de tamaño menor a las aberturas de la parrilla es: W fs = ig ρs cs V ∑ n
(12.80)
donde ig es el intervalo de tamaño correspondiente al tamaño de las aberturas de la parrilla y cs es la fracción volumétrica de sólidos de la pulpa en el molino. La cantidad de agua contenida en el molino es desconocida, ya que se requeriría otra ecuación de transporte para definirla. Los ensayos en el molino piloto indicaron que la razón en peso entre el agua y el sólido wc se encontraba en el rango de 0.1 a 0.2 para una roca con peso específico de 2.7. El valor de τ′ escogido en la solución de la ecuación (12.72) debe dar un valor de F ′ que esté de acuerdo con la ecuación (12.79). Por lo tanto, la ecuación (12.79) es la ecuación adicional que se necesita para definir los cálculos.
12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande Los molinos autógenos (FAG) largos, como los utilizados en Sudáfrica y en Escandinavia, no pueden ser considerados como perfectamente mezclados. El trazado de material fino en el molino demostraría que el molino tiene una distribución de tiempo de residencia a pesar de que las colpas grandes de la alimentación no pueden escapar del molino. Sin embargo, el tratamiento anterior puede ser extendido fácilmente al sistema mostrado en la Fig. 12.37, en que la DTR es tratada como una serie de reactores perfectamente mezclados:
wi,k =
i−1 k−1 _ _ 1 + C ′ ∑ el wi,k−1 + (1 + C ′ ) ci ek wi,m + τk ∑bij Sj wj j=1 l=1 k
(12.82)
_ (1 + C ′ ∑ el ) + τk Si l=1
i−1
_ _ [ 1 + C ′ (1 − em )] wi,m−1 + τm ∑ bij Sj wj wi,m =
374
j=1
_ (1 + C ′ )(1 − em ci ) + τm Si
(12.83)
donde los subíndices indican valores de la sección k. El valor τk se refiere al tiempo promedio de residencia para la sección k del molino, tal que ∑ τk = τ y cada τk queda k
definido por τk = θk τ, en que θk es la fracción de tiempo de cada sector. El término el es la fracción de reciclo interno, que retorna a cada sección. Nuevamente el valor de C ′ se obtiene de (ver ecuación 12.70): C′=
∑i wi,m ⁄ ∑i wi,m (1 −
ci )
El tiempo de residencia promedio aparente para cada sección, el que es equivalente al τ′ utilizado en el desarrollo previo, está dado por: k
τk′ = τk ⁄ (1 + C ′ ∑ el )
(12.84)
l=1
W = y τ= F
m
∑ τk′ (1 + k=1
k
C ′ ∑ el ) l=1
El valor de Wi1 es la alimentación al molino fi. Para un solo reactor perfectamente mezclado e1=1 y el modelo se reduce a lo discutido previamente.
12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando La autofractura de rocas da una ruptura distinta al primer orden, que puede ser analizada como si fuera una mezcla de roca blanda (débil) y dura (fuerte). Designemos con el subíndice “a” el material con fractura rápida y con el subíndice “b” el material con fractura lenta y definamos por ψ la fracción de la recarga de material que corresponde a material duro. Se reconoce que esta distribución es de importancia primordial para los tamaños mayores que son dominados por la autofractura. Sin embargo, no se supone que la fractura de material duro de siempre fragmentos de material duro. El proceso de astillamiento da como resultado un núcleo duro, esto es bj+1,j contendrá una gran fracción de material duro, para las astillas irregulares podrán, a su vez, ser fracturadas rápidamente y formar otros núcleos. Cuando se fractura material blando se produce una distribución de fractura primaria bai,j y se supondrá que en la fracción de tamaño i una fracción (1- ψi) será blanda y una fracción ψi será dura, excepto en el intervalo de tamaño j+1, en que las fracciones son 1- ψa y ψa para permitir la existencia de núcleos duros. La misma suposición se hace para la fractura del material "b", bbi,j, con fracciones 1- ψb y ψb para permitir núcleos densos. Entonces, la velocidad de fractura del tamaño j del material de tipo "a" es: _ [Sa j (B) + Sa j (P) + Sa j (S) ] W wa j = Sa j W wa j (12.85) 375
Figura 12.38 : Valores de la selectividad del clasificador usado en las simulaciones de 2 representados en el gráfico por el límite un molino SAG: valores para intervalos de √ superior del intervalo.
donde Sa(B), Sa(P) y Sa(S) son los efectos resultantes de la fractura del material tipo "a" por todas las clases de bolas, todas las clases de guijarros y autofractura respectivamente, y waj es la fracción en masa de material tipo "a" en el contenido del molino que tiene tamaño j. En forma similar, la velocidad de fractura del tamaño j del material tipo "b" es: _ [Sb j (B) + Sb j (P) + Sb j (S) ] W wb j = Sb j W wb j La velocidad de producción de material tipo "a" de tamaño i por fractura del tamaño j de material tipo "a" es: W wa j [(1−ψi ) bai, j (B) Sa j (B) + (1−ψi ) bai, j (P) Sa j (P) + (1−ψa i) bai, j (S) Sa j (S)] = W wa j Xai, j
(12.86)
donde bai,j(B) son los valores globales de b para un tipo de material "a" producido por fractura de bolas, guijarros, etc. y el valor de 1-ψai = 1 - ψi excepto para j=i-1. Esto significa que cualquier fragmento de tamaño i se comporta como si tuviera la misma composición de material duro y blando como el tamaño i de la alimentación excepto para el núcleo de tamaño i producido por astillamiento del tamaño inmediatamente mayor i-1, lo que da una menor proporción de fragmentos en el tipo de material blando "a" (y más del material duro tipo "b").
376
Tabla 12.2 Valores usados en la simulación de un molino SAG.
Valores de B:
Intervalo Alime. tamaño Tamaño < tamaño i % µm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
215500 152380 107750 76190 53875 83095 26940 19050 13470 9525 6735 4760 3370 2380 1680 1190 840 595 420 300 210 150 105 75 53
100.0 97.8 86.4 71.1 62.2 53.0 34.8 35.7 30.0 26.2 22.5 19.0 17.4 15.4 13.8 12.2 10.8 9.6 8.4 7.3 6.4 5.8 5.0 4.5 4.1
Autofractura
Por guijarros y bolas
Tamaños
Tamaños
Por guijarros
Por Selectividad bolas Clasificador
Tamaños Tamaños
1-3
4
5-26
1-3
4-11
12-26
12-26
si
1.0 1.0 .45 .36 .28 .25 .22 .20(5) .19 .17 .15 .13 .12 .10(5) .094 .082 .074 .063 .057 .051 .046 .042 .038 .036 .030
1.0 1.0 .49 .29 .24(5) .20 .18 .16 .15 .14(5) .13 .13 .11 .10 .089 .079 .067 .059 .050 .044 .036 .032 .029
1.0 1.0 .54 .36 .32 .27 .26 .25 .24 .23 .22 .21 .20 .18 .17 .15 .13 .12 .099 .086 .077 .065
1.0 1.0 .46 .23 .17 .16 .13 .11 .099 .089 .081 .074 .069 .062 .058 .052 .048 .042 .038 .034 .030 .025 .022 .020 .017
1.0 1.0 .59 .42 .35 .30 .29 .28 .26 .25 .24 .023 .21 .19 .17 .016 .14 .12 .11 .090 .075 .065 .52
1.0 1.0 .46 .31 .25 .20 .16(5) .14(5) .12(5) .10(5) .88 .074 .056 .045 .034
1.0 1.0 .4 .25 .16 .12 .092 .076 .066 .050 .039 .035 .025 .020
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.98 0.94 0.89 0.71 0.59 0.49 0.41 0.35 0.31 0.29
En forma similar, la velocidad de producción de tamaño i, el material "a" producido por fractura de material de tipo "b" es: W wbj [ψi bbi,j (B) Sbj (B) + ψi bbi,j (P) Sbj (P) + ψbi bbi,j (S) Sbj (S)] = = W wbi,j Xbi,j
(12.87)
Por lo tanto, la velocidad de producción de tamaño i del material tipo "a" por fractura es:
377
i−1
_ Velocidad de pr oducción de = − W Sai wai + W ∑ ( Xai ,j wa j + Xbi,j wbj ) tamañoi de material tipo “a” j = 1, i > 1
_ donde Xai,j , Xbi,j están definidos por las ecuaciones (12.86) y (12.87) y Sai queda definida por la ecuación (12.85). En forma similar, la velocidad de producción de tamaño de material de tipo "b" es: i−1
_ Velocidad de pr oducciónde = − W Sbi wbi + W ∑ (X ′bi, j wb j + X ′ai, j wa j) tamañoi de material tipo “b” j = 1, i > 1
donde : X ′ai, j = ψi bai, j (B) Saj (B) + ψi bai , j (P) Saj (P) + ψai bai, j (S) Saj (S) X ′bi, j = (1−ψi) bbi, j(B) Sbj(B) + (1−ψi ) bbi, j(P) Sbj(P) + (1−ψbi) bbi, j(S) Sbj(S)y
_ Sbi = Sbi (B) + Sbi (P) + Sbi (S) Como resultado se obtiene, entonces, que en un reactor único y perfectamente mezclado: i−1
gai + τ′ ∑ (Xai,j w∗aj + Xbi,j w∗bj ) w∗ai =
j=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ Sai
(12.88)
i−1
gbi + τ′ ∑ (Xbi,j w∗bj + Xai,j w∗aj ) w∗bi =
j=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ Sbi
(12.89)
donde : gai = (1 − ψi ) gi
y
gbi = ψi gi
La solución se obtiene del mismo modo anterior, primero calculando w∗a1 y w∗b1, y luego usando estos valores para calcular los otros valores de w∗ai y w∗bi. Obviamente que wi=wai+wbi. La ventaja de este tratamiento es que permite la utilización de dos valores diferentes de S(S) y dos valores diferentes de bij(S) para la autofractura de cada tamaño, de acuerdo a la observación experimental. El molino claramente acumulará el tipo de material "b", de modo que la generación y distribución de material en el molino estará dominada por 378
la velocidad de fractura del material de fractura lenta, el que puede ser identificado como guijarros duros y redondeados. En lo concerniente a la fractura normal por astillamiento de pequeñas partículas por las bolas y guijarros, no habrá diferencia entre Saj(B) y Sbj(B) y entre Saj(P) y Sbj(P) y entre bai,j(B) y bbi,j(B), etc. Debido a que la forma de la ecuación de fractura es la misma, con los dos términos en Xai,j waj + Xbi,j wbj reemplazando el término usual bij, Sj, wj, el análisis puede ser extendido al igual que en la sección 12.10.2
12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente en una mezcla de dos materiales de distinta dureza Consideremos una recarga de material al molino, que consiste de una mezcla de dos materiales diferentes, que designaremos mediante los subíndices A y B, cuya proporción está dada por: gA i = γi gi
y
gBi = (1 − γi ) gi (12.90)
La fracción en masa global del material de tipo A será:
γ=
∑i γi gi
(12.91)
Supondremos que la presencia de una mezcla no cambiará las velocidades específicas de fractura excepto por efecto de las diferentes cargas de equilibrio existente dentro del molino. En estas condiciones todo el análisis anterior puede ser extendido al caso presente. Por ejemplo, si se supone también que los materiales serán separados en la misma forma por el clasificador (esto es, que la diferencia de densidades es despreciable), entonces podemos escribir de inmediato para un único reactor perfectamente mezclado: i−1
gAai + τ′ ∑ (XA ai,j wAaj + XAbi,j wAbj ) w∗A ai =
j=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ SA ai
(12.92)
i−1
gAbi + τ′ ∑ (X′Abi,j wAbj + X′Aai,j wAaj ) w∗A bi =
j=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ SAbi
(12.93)
379
i−1
gBai + τ′ ∑ (X′Bai,j wBaj + X′Bbi,j wBbj ) w∗Bai =
s=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ SBai
(12.94)
i−1
gBbi + τ′ ∑ (X′Bbi,j wBbj + X′Bai,j wBai,j ) w∗Bbi =
s=1
_ (1 − ci )(1 − si ) + τ′ SBbi
(12.95)
La solución se obtiene en la misma forma anterior y wAi = wAai + wAbi como también wBi = wBai + wBbi. La solución da la proporción de materiales de tipo A y B en la alimentación al molino, en el producto del molino y en el reciclo, además de la distribución de materiales de tipo A y B en los tamaños de los productos del circuito.
12.10.5 Procedimiento computacional (1) Se ingresa: - material retenido en el molino, W, - estimaciones de w1, w2, ...wn, - diámetro D y largo L del molino - fracción de llenado de bolas, JB, - parámetros de fractura, - parámetros de clasificación, - distribución granulométrica de la alimentación, gi. (2) _Basándose en las estimaciones de wi se calcula _ las velocidades específicas de fractura Sj y las distribuciones de fractura primaria bij en una subrutina. También se calcula J usando el factor de porosidad o suponiendo εB = 0.4. Los valores de F ′ y τ′ son calculados de la ecuación de transporte de masa. (3) El programa calcula wi, como se ha descrito, incluyendo C′,C. _ _ (4) Se calcula las nuevas estimaciones de bij , Sji, J, etc. usando los nuevos valores obtenidos para wi, iterando hasta un resultado final. (5) Se calcula la potencia usando la ecuación para la potencia del molino. El valor de εB en la ecuación se calcula mediante los factores de porosidad, pero la razón agua/sólido se estima suponiendo que el material menor que el tamaño de la parrilla forma pulpa con la misma densidad que la alimentación y la descarga.
380
(6) El flujo Q (o F en el caso de circuito abierto) corresponde al valor escogido de W. Se repite la simulación para mostrar la variación de W con la capacidad Q y la variación correspondiente de la distribución de tamaño y energía específica en kWh/ton.
12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO 12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 El molino a simular tenía un diámetro x largo nominal de 28 x 14 pies, lo que dió valores interiores de D=8.25 m y L=4.27 m, con un volumen efectivo de 230 m3. Los valores de la función de distribución de fractura primaria fueron determinados en el laboratorio y se encuentran en la Tabla 12.2 Ellos fueron entregados al programa en forma de matriz. Al programa se le entregó además la distribución granulométrica de la alimentación, la que también se encuentra en la Tabla 12.2, y se realizaron simulaciones cubriendo un rango de fracciones de llenado del molino de 0.2 ≤ J ≤ 0.4, usando una carga de 50% de bolas de 76 mm (3 pulgadas) y 50% de 100 mm (4 pulgadas). El molino se cerró con un clasificador exterior cuyos valores de selectividad se muestran en la Tabla 12.2 y en la Figura 12.38. Los valores de los parámetros de fractura determinados en el laboratorio se entregan en la Tabla 12.3
Figura 12.39 : Valores reales y valores promedio calculados de clasificación en la parilla de descarga de un molino de ensayo continuo.
381
Figura 12.40 : Capacidad pronosticada para un molino SAG de 8.2 m (28 pies) de diámetro como función de la fracción de llenado total J y de la fracción de llenado de bolas JB.
Las constantes cinéticas de autofractura se determinaron en la forma que se discutió en la sección 12.10. El ensayo en el molino continuo de 1.83 m incluía la medición de las distribuciones de tamaño del material retenido en el molino wi y del material de descarga de éste, pi. El balance de masa en torno a la parrilla da :
F(1 + C′) wi (1 − ci) = Fpi Como ci es cero para tamaños pequeños, el valor de 1+C ′ se puede estimar de : i∗
1 + C ′ = ∑ pi n
382
i∗
⁄ ∑ wi n
(12.96)
Figura 12.41 : Capacidad pronosticada a J=0.25, como función del porcentaje de carga de bolas (ver Figura 12.39). Tabla 12.3 Parámetros de fractura para un mineral de cobre determinados en un molino de laboratorio. Condiciones D d JB U % sólido en volumen Densidad del mineral ϕc
=194 mm =27 mm =0.20 =0.5 =40
Parámetros α=0.95 Λ=3.3 µ=1.65 mm a=1.0 min-1 γ=0.70
=2.77 ton/m3
β=4
=0.75
ϕ=0.38
donde i* es el tamaño para el cual ci se hace mayor que cero, esto es, que pi /wi comienza a decrecer. Entonces, los valores de ci se calculan desde : 1 − ci = (pi ⁄ wi) ⁄ (1 + C′)
i < i∗ (12.97)
Alternativamente los valores de ci se pueden expresar en la forma :
383
Figura 12.42 : Velocidad específica de fractura para JB=0 y JB=0.08.
ci =
1 λg
(12.98)
1 + (x50 ⁄ xi)
efectuando una búsqueda para obtener los valores de d50 y λg para hacer que los valores calculados pi, wi y ci se acerquen lo más posible a los valores experimentales. El valor de C ′se actualizó en forma iterativa mediante la ecuación (12.96). La Figura 12.39 muestra un resultado típico. Como los valores significativos de wi son aquellos para tamaños menores que el tamaño de la parrilla (abertura de 12.7 mm), esto es, en el extremo de tamaños pequeños de la distribución del contenido del molino, ellos son suceptibles de presentar gran error experimental, razón por la cual hay una gran dispersión en el valor ci. Sin embargo, queda claro que la distribución del contenido del molino de tamaño menor al de las aberturas de la parrilla no es igual a la distribución del material que sale del molino, habiendo una acción de clasificación que incluye partículas 384
Figura 12.43: Distribución de tamaño para el caso de la figura 12.42.
Figura 12.44 : Distribución de tamaño para la molienda seca de un compósito de material de Donoso de 76x51 mm, en un molino de 1.8 m de diámetro a 75% de la velocidad crítica con JP=0.38.
385
Tabla 12.4 Resultados de la simulación de un molino SAG. JB
J
Razón recirc.
Capac. ton/h
Retenc. W tons
Distribución tamaño producto % menor que 35# 400# 94.5 35.2 93.7 34.2 92.8 33.3 92.0 32.7 91.0 32.1 90.0 31.5
kWh/ton
0
10.2 15.0 19.8 25.0 30.1 35.4
2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.2
135 195 255 305 340 365
39 56 72 88 105 121
12.0 10.9 10.5 10.3 10.3 10.4
4
14.7 18.8 22.6 27.6 32.8 38.1
2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.4
220 305 370 425 455 465
39 56 72 88 105 121
91.8 90.9 90.2 89.9 89.1 88.3
32.5 31.9 31.5 31.4 31.1 30.8
11.8 10.0 9.1 8.9 9.1 9.2
8
18.8 23.0 26.9 31.2 36.6
3.0 2.3 2.6 2.8 3.0
280 365 435 490 520
39 56 72 88 105
92.9 91.4 90.3 89.7 88.9
33.2 32.1 31.5 31.3 31.0
13.1 10.9 9.7 9.1 9.2
12
22.9 27. 31. 35.
1.7 2.1 2.4 2.7
305 415 475 525
39 56 72 88
93.8 92.1 90.7 89.8
34.0 32.5 31.7 31.4
14.4 11.7 10.3 9.6
de hasta 200 µm. El promedio de la acción de clasificación fue calculado en x50=1.11 mm con λg==1.3. La suposición de clasificación ideal en la parrilla da mucho material grueso en la descarga. El resultado de la capacidad del molino (de la sección cilíndrica solamente) en función del porcentaje de llenado se muestra en la Figura 12.40. Los pivotes del molino eran de D/3 dando un nivel de llenado para rebalsar de 29%, siendo el criterio de diseño de un 25% de llenado. La Figura 12.41 muestra que una carga de 6% de bolas parece óptima para este nivel de llenado. La Figura indica que, en esta región, la capacidad no es muy sensible a la carga de bolas. Como el simulador se operó con un conjunto de parámetros de clasificación fijos, la distribución de tamaño del producto del circuito variaba con las condiciones del molino. La Tabla 12.4 muestra que, para un determinado nivel de llenado, la distribución de tamaño del producto es un poco más gruesa para la carga de bolas mayor, pero que esta distribución de tamaño no es sensitiva a la carga de bolas o a las condiciones de llenado del molino. Se puede hacer muchos comentarios. En primer lugar, y al contrario de lo que sucede en un molino de bolas, una disminución de la alimentación al molino SAG es 386
inmediatamente compensada por una reducción en el nivel de la carga, ya que la velocidad de fractura del material en el molino debe llegar a un balance con el flujo de material de alimentación. Como la parrilla actúa como un clasificador interno, el material sólo puede dejar el molino a la velocidad que es fracturado a tamaños menores que el de las aberturas de la parrilla. Un flujo de alimentación menor llega a un balance con un nivel menor de llenado, o de material retenido en el molino. En segundo lugar, las simulaciones fueron hechas con parámetros de clasificación en la parrilla de d50=12.7 mm y λg =4, lo que da esencialmente una clasificación ideal. En la práctica, habría una selección preferencial de las colpas grandes (ver Figura 12.39), de manera que la razón de recirculación exterior sería sustancialmente menor que los valores aquí simulados. En tercer lugar, la capacidad es mayor cuando la carga de bolas se aumenta para niveles altos de llenado del molino, correspondiendo a mayores potencias consumidas. Sin embargo, para la especificación de diseño de 25% del nivel total de llenado del molino, la capacidad es sustancialmente menor para una carga de bolas de 12% que para 4, 6 u 8%. Esto implica una utilización ineficiente de la potencia del molino debido a un balance erróneo entre la carga de bolas y de mineral. Esto también se refleja en el consumo de energía calculado mediante la ecuación de potencia (12.9). Para un nivel de llenado de 25% y una carga de bolas de 6%, la corrección por efecto de las secciones laterales del molino es de aproximadamente de 7 a 8% para el nivel de llenado, potencia y capacidad, de modo que la capacidad debe multiplicarse por 1.08, pero la energía consumida, kWh/ton permanece inalterada. La Figura 12.41 muestra la predicción del consumo de energía de molienda indicando, nuevamente, que la carga óptima de bolas es de 6%, aunque la Tabla 12.4 indica que las mayores energías de molienda también corresponden a productos con distribución más fina. Las velocidades específicas de fractura del rango de tamaños presente en el molino pueden ser observadas en la Figura 12.42 para JB=0 y JB=0.08, lo que cubre el rango de operación correcto. Las pequeñas velocidades específicas para los mayores, de aproximadamente 10 mm, implican que el molino se llenará con estos tamaños, como se muestra en la Figura 12.43. El efecto más importante de las bolas es aumentar la velocidad específica de fractura de estos tamaños y reducir la cantidad de material en el rango de tamaño de 25 mm (1 pulgada) a 63 mm (2.5 pulgadas), dando por lo tanto un aumento sustancial de capacidad en comparación a la molienda FAG. La molienda por impacto de bolas, y guijarros del material de tamaño pequeño, por debajo de 2 mm, es prácticamente idéntica entre la molienda FAG y SAG con cantidades de hasta 8% de bolas. La Figura 12.44 muestra otro aspecto interesante de la molienda FAG, esto es, las distribuciones de tamaño correspondientes a las moliendas de las Figuras 12.15 y 12.34. Como se recordará la velocidad de fractura decrecía fuertemente en el intervalo de tiempo entre 0 y 20 minutos. Sin embargo, los resultados de la Figura 12.44 muestran que con cargas de 0.8% por minuto la producción de material de tamaño menor a 60 mallas (250 µm) es prácticamente constante en este período. La Figura 12.30 muestra la razón de esto: las bajas velocidades de fractura que producen pocos finos, son prácticamente compensadas por la mayor cantidad de finos en los valores de B originales por el proceso de astillamiento-abrasión. Por supuesto que cuando el nivel de pulpa en el molino llega a
387
valores muy altos las velocidades de fractura se tornan excesivamente bajas con la consiguiente caida brusca de la producción.
12.12 REFERENCIAS 12.1
Hogg, R. and Fuerstenau, D.W., Trans. SME-AIME, 252 (1972) 418-423
12.2
Saeman, W.C., Chem. Eng. Prog., 47(1951)508
12.3
Vahl L. and Kingma, W.G, Chem.Eng. Sci., 1(1952)253
1.24
Dorr, A. and Bassarear, J. Primary Grinding Mills, in Design and Installation of Comminution Circuits, Eds. A. L. Mular and G. V. Jergensen, SME-AIME (1982) 453
12.5
Gutierrez,L.R.y Sepúlveda, J.E, Dimensionamiento y Optimización de Plantas Concentradoras mediante Técnicas de Modelación Matemática, CIMM, Santiago, Chile (1986)
12.6
Tanaka T. and Tanaka, K., Design Features of a Semi-Autogenous Grinding Mills and a Comparison of Test Mill Data with Actual Operation Data, First Workshop on Autogenous Grinding, CIMM Santiago, Chile (1987).
12.7
Turner R., in Mineral Processing Plant Design, Eds. A. L. Mular and R. B. Bhappu, SME-AIME (197 )
12.8
Dorr, A. Ibid. p
12.9
Austin, L.G., Barahona, C.A. and Menacho, J.M., Powder Technol., 46 (1986)81-87
12.10 Austin, L.G., Shoji, K. and Everell, M.D., Powder Technol., 7(1973)3-8 12.11 Weymont, N.P., Analysis and Simulation of Autogenous Grinding Systems, Ph. D. Thesis. The Pennsylvania State University, University Park, Pa. (1979) 12.12 Myers, L.D., Trimmer, R.W. and Hively, H.H., Test Plant Report N 805-039, Koppers Company (now M.P.S.I.), York, PA (1980)
388
INDEX Carga de polvo del molino
A
definición, 11
Abrasión, 84 Abrasión, indices de, 190 Acolchonamiento, efecto de, 97
Cascada, 85, 175, 254 Catarata, 85, 175, 254 Cinética de molienda ley de primer orden, 65
Análisis granulométrico en blanco Ver tamizado en blanco Antracita
análisis en molinos SAG, 328 Clasificación cálculo de parámetros de ecuaciones, 224
fractura de primer orden, 68
consideraciones generales, 3
apex
definiciones, 207
Ver Hidrociclones
ecuación logaritmo-normal, 221
Astillamiento, 84
ecuación logística en ln(x), 223
Atrición, 84
en fluidos, 209
B
Lynch, ecuación de , 222 Rosin-Rammler, ecuación de , 221
Balance de masa, 71, 74
Clasificación en dos etapas, 248
Balance de masa por tamaños, 7
Clasificador de álabe
Barras levantadoras, 85, 91, 175 Método de Bond, 45, 57, 272
principio de acción, 214 Clasificador ideal, 220
cálculo de la energía específica, 51
Clasificadores centrífugos, 210
comparación con otros métodos de diseño, 279
Clasificadores de flujo transversal, 209
discusión, 54
Clasificadores hidráulicos, 209
discusión de Rowland y Kjos, 46
Convolución, 146
ecuación de potencia, 52, 61
Coque
ecuaciones de diseño, 45, 58
distribución de tamaño, 79
ensayo normalizado de moliendabilidad, 46
Cortocircuito, 220, 279
factor de fineza de molienda, 281
Cuarzo
factores de corrección, 59
distribución de fractura primaria, 72
potencia en el eje, 51
distribución de tamaños en molienda, 66
resultados pronosticados, 53
velocidad específica de fractura, 70
en molienda SAG, 311
C
Curva de partición, 219 - 220
D
Capacidad de molienda, 10
Deformación, energía de , 19
según Bond, 106
Deformación, energía reversible de , 26
efecto de la viscosidad de pulpa, 106
Descarga, 208
regla empírica, 106
Desgaste de bolas
Capacidad máxima, 285
datos de Codelco Andina, 191
Carbón irradiado
datos experimentales, 189
fractura de primer orden, 69 Carga circulante, 10, 215
efecto del tamaño de producto, 193, 195 tratamiento analítico, 186
389
Dirac, función impulso, 146 Diseño de molinos
efecto del flujo y transporte de masa, 203 Esferas elásticas, compresión de, 33
consideraciones generales, 2
Esfuerzo normal máximo, 25
factores, 3
Esfuerzos normales y de cizalle, 22
Distribución de tamaño de producto efecto del flujo de alimentación, 284 efecto del tiempo de residencia, 282 - 283 Distribución de tiempos de residencia, 139 140, 266, 279 definición, 9 flujo pistón, 9, 156 medición experimental, 143 mezcla perfecta, 9, 155 mezcladores perfectos en serie, 161 modelo de dispersión axial, 164 modelo de Mori, 169 modelo de Rogers y Gardner, 157, 162 reactores ideales, 155 resultados experimentales, 157 un mezclador grande y dos pequeños, 161
E
Esfuerzos principales, 24
F Fracción de llenado, 11 Fracción de sólido en volumen, cv, 12 Fractura, 84 anormal, 86, 90 efecto de carga de bolas y polvo, 95, 98 cálculos en carga balanceada de bolas, 193 cedencia, 22 comparación entre frágil y dúctil, 38 definición, 67 determinación experimental de parámetros, 123 dúctil, 28 efecto de ambientes húmedo y seco, 106 efecto de desaceleración, 112 efecto de la densidad de bolas, 104 efecto de la dureza de bola, 104
Edad de salida, 139
efecto del agua, 108
Edad promedio de salida, 141
efecto del diámetro del molino, 104
Energía de molienda, 39
efecto del flujo a través del molino, 115
Energía específica, 12, 207
efecto del nivel de llenado, 115
Energía específica constante, 80
efectos reológicos, 108, 111
Ensayo de bola marcada, 314
de esferas y partículas, 33
Equipos de clasificación
frágil, 28
clasificador centrífugo de álabes, 212
mecanismos en molinos de bolas, 84
clasificador de espiral, 210
normal, 86, 253
clasificador hidráulico, 211
parámetros de un mineral de cobre, 280
clasificador mecánico, 209
parámetros para algunos minerales , 90
clasificadores de álabe, 210
de partículas grandes, 113
clasificadores mecánicos, 242
por astillamiento, 115
harneros curvos, 213 - 214, 242
propiedades de algunos materiales, 87
harneros vibratorios, 213 - 214, 243
que no es de primer orden, 253
separadores mecánicos de aire, 246
quiebre, 22
tipos, 209
efecto de la velocidad de rotación, 93
Equipos de clasificación, hidrociclones Ver Hidrociclones Escala de tiempo, factor de, 80 Escalamiento, 117, 279 consideraciones generales, 83, 175
390
en molinos SAG, 326 efecto del tamaño de partícula, 85 velocidad específica efectiva promedio, 86 Fractura de esferas efecto del tamaño, 34
Fractura de primer orden, 266
método de diseño de Arterburn, 234
Fractura primaria
modelo de Lynch y Rao, 239
definición, 67
modelo de Plitt, 240
distribución de, 67
modelos, 230
Fractura, determinación experimental
parámetros del material, 227
control de la potencia, 124
perturbaciones, 230
método BI, 126
rebalse, 214
método BII, 127
simulación de diseño, 231
tamaño de muestras, 125
simulación de operación, 231
técnicas de retrocálculo, 130
variables de diseño, 225
tiempo de tamizado, 125
variables de operación, 228
tratamiento de datos experimentales , 125
vortex, 210
tratamiento de materiales blandos, 124 Fragmentos, distribución de, 69 Función clasificación, 220 Función de clasificación reducida, 221 Función de transferencia, 77 Función distribución de fractura
Hooke, ley de , 17
I Indice de nitidez, 221, 295 Indice de Trabajo, 47, 260 corrección por tamaño de malla de separación, 49
ajuste a funciones de potencia, 127
escalamiento, 49
determinación experimental, 124
factores de conversión en molinos de bolas, 50
ecuación de ajuste empírico, 92
valores experimentales y operacionales, 57
Función selección determinación experimental, 124 ecuación para zona normal, 86 efecto del tamaño de partícula, 85 factor de corrección por fractura anormal, 90
valores típicos, 48 Indice de Trabajo operacional, 56 Ineficiencia directa, 10, 90, 253, 282 Ineficiencia indirecta, 10, 253, 282
L
G Grietas, propagación de, 38
Lainas Ver barras levantadoras
Griffith, fallas de, 28
Liberación, 6
H
Llenado
Harneado, 207
M
condición óptima, 96
Harneros principio, 214 Hidrociclones, 210, 225 apex, 210 balance de masa, 231
Mallas, 207 Material homogeneidad, 75 Materiales
descarga, 214
comportamiento elástico, 17
diagrama, 211
comportamiento elasto-plástico, 19
diseño aislado, 230
comportamiento visco-elástico, 19
distribución de velocidad, 211
deslizamiento de materiales dúctiles, 32
hidrociclón normal, 234
dúctiles, 31
391
inelasticidad, 18
obtención de datos de potencia, 312
Matriz Bij, 69, 71 Matriz Bij normalizada, 71
datos de estimaciones de consumo de potencia, 320
Matriz de fractura, 73
transporte de masa a través de parrillas, 371
Modelos macroscópicos, 139
trat. autofractura como sistema duro-blando, 374
Mohr, círculo de, 24
veloc. de autofractura en molienda continua, 366
Molienda
ventajas, 311
efecto de desaceleración, 207
Moliendabilidad, 37
en circuito cerrado, 207
definición en método de Bond, 47
Molienda continua estacionaria
ensayo normalizado de Bond, 46
modelo cinético, 169
Molino
Molienda discontinua distribución de tamaño, 78
como reactor, 4 Molino de bolas
ecuación de, 75, 77 resultado típico de una prueba, 65
modo de operación, 84 Molinos
simulación, 77
descarga por parrilla, 207
solución de Reid, 76
fluctuación periódica de material, 207
Molienda FAG tiempo de residencia en molinos largos, 372
métodos aproximados de diseño, 45 Molinos convencionales
Molienda fina, dificultad de la , 39 Molienda SAG alimentación de materiales de distinta dureza, 378
limitaciones, 311 Monotamaño, técnica de, 67
N
análisis combinado de abrasión y fractura, 344 análisis de potencia de Hogg y Fuerstenau, 315
Número total de bolas en el molino, 191
análisis matemático de la abrasión, 337
P
autofractura, 331 cálculo aproximado de potencia, 318 cinética de molienda no-lineal, 335 datos de B para fractura rápida y lenta, 361 distribución de resistencia a la autofractura, 351 ecuación de potencia de Bond modificada, 318 efecto de acolchonamiento del impacto, 364 efecto de geometría de tapas en la potencia, 320 efecto de la parrilla de descarga, 367 efecto del agregado de bolas, 360 efecto del llenado en la autofractura, 355 ejemplo de simulación, 380 ensayo de autofractura, 331 ensayos convencionales para el diseño, 312 escalamiento a través de la potencia, 314 llenado de pulpa y densidad de la carga, 363 mecanismos de fractura, 333 modelación de molinos con D/L grande, 367
392
Parámetro de clasificación ci, 220 Porosidad nominal, 11 Potencia consumo eficiente e ineficiente, 254 dependencia de la velocidad de rotación, 93 ecuación de Austin para molinos pequeños, 180 ecuación de Beeck, 179 ecuación de Bond, 178 efecto de la velocidad, 176 efecto de las barras levantadoras, 181 efecto del nivel de llenado, 179 optimización del consumo, 184 teoría, 175 teórica para mover medios de molienda, 177 Potencia específica efecto del nivel de llenado, 180 Producto, 4
Progenie, 7
Sobrellenado, 207, 260, 281
distribución de tamaños, 69
Sobrellenado, factor de , 97
ejemplo de distribución de tamaños, 72
Sobremolienda, 9, 207
fractura normal, 91
Sumidero, 4
independiente de condiciones de operación, 91 valores de B normalizados, 91
T
Puntos de muestreo, 260 Tamaño de separación, 208
R
Serie normalizada de tamices, 5
Razón de recirculación, 10, 215, 257
Tamizado consideraciones generales, 4
métodos de cálculo, 216 - 218
en blanco, 123
Rebalse, 208 Recarga de bolas optimización, 199 Reid solución de ecuación de molienda discontinua, 76 Resistencia cohesiva ideal, 26
error de tamizado incompleto, 123 Técnica de retrocálculo, 259 Tiempo de molienda, 79 Tiempo de residencia, 9, 139 Tiempo promedio de residencia, 9, 141 Trazadores cloruro de sodio, 143, 157
Retención de mineral en molino, 257
fluorescina, 143, 157
Retrocálculo de parámetros, 130
material irradiado, 144
molienda continua, 134
medición en circuito abierto, 145
molienda discontinua, 131
medición en circuito cerrado, 147
Rittinger, ley de, 39
medición en equipos en serie, 152
Condiciones óptimas para la ruptura, 85
método de Rogers para circuitos cerrados, 150 método experimental con trazador radiactivo,
S 144 Sedimentación, 207 Selectividad, 219, 279 valores experimentales, 227 Selectividad, curva de, 220
radiactivos , 67 Tromp, curvas de, 220, 295
V
Si Ver velocidad específica de ruptura Simulación de molinos industriales
Velocidad crítica, 10 Velocidad de rotación
enfoques básicos, 254
consumo de potencia, 93
modelos ajustados, 254
y función distribución de fractura , 94
molienda de fosfato, 263 molienda húmeda de cobre, 259 molienda húmeda de mineral de cobre, 255 simulación desde datos de fractura, 254 Simulaciones de circuitos circuitos de dos molinos, 299
Velocidad específica de fractura, 66 cuarzo, 70 efecto del tamaño de colpa, 359 Velocidad específica de ruptura, 84 definición, 8 Ver también Velocidad específica de fractura
efecto de la eficiencia del clasificador, 295
Velocidades de fractura absolutas, 95
efecto de variables de operación, 287
Volteo, acción de, 85
393
vortex Ver Hidrociclones
W Work Index Ver Indice de Trabajo
Y Young, módulo de, 18
394
