AVANCES EN LA OPTIMIZACION DE CIRCUITOS CIRCUITOS DE MOLIENDA Y CLASIFICACION POR MODELACIÓN MATEMÁTICA Ingº Manuel CARHUAZ ROMAN. RESUMEN
La técnica de modelamiento matemático, busca desarrollar ecuaciones capaces de predecir la granulometría y grado de liberación en función de las condiciones operacionales que influyen en la performance del circuito de molienda. El modelo de cada unidad operacional (Molino, clasificador, cajón de agua, etc.), tiene como tarea cuantificar los efectos de las variables operacionales. Así usando los modelos se puede alcanzar el punto máximo del circuito. En este trabajo se presentan las bases teóricas, ecuaciones para describir los procesos de quiebra que amarrados a la reología de la pulpa y la clasificación posibilitan la preparación de un simulador, además se presentan ejemplos de casos prácticos, en el primer caso la estimación de parámetros cinéticos y simulación a escala de laboratorio (Batch), para determinar el ajuste del modelo, y finalmente un caso de simulación a escala industrial.
OBJETIVOS: El principal objetivo es mostrar que usando las técnicas de la modelación matemática es posible aprovechar los resultados de los mismos con la finalidad de optimizar para un trabajo a escala industrial, ya que el modelo amarra muchas variables a la vez y nos da como resultados la combinación optima y puntos críticos. INTRODUCCIÓN. El circuito de molienda determina la capacidad de la planta entera, de manera que si se quiere aumentar la capacidad de la planta se debe de aumentar en los circuitos de molienda. El objetivo de las plantas de procesamiento de minerales es conseguir niveles óptimos operacionales, principalmente en circuitos de molienda y clasificación. Para hallar estos niveles se tienen dos alternativas; la primera consiste en realizar una campaña experimental en la misma planta. Eventualmente, este método producirá una mejor performance, sin embargo durante la campaña (que dura un periodo corto o largo de tiempo), la producción de la planta sufrirá perdidas cuando la combinación de las condiciones sean malas. La segunda alternativa esta basado en la simulación con modelos matemáticos que reflejan en gran medida los efectos de las condiciones operacionales. De manera que podríamos denominar a la simulación como una combinación optima. Este método se basa en el punto critico en que los modelos matemáticos usados representan los efectos de condiciones operacionales con una precisión aceptable. Por estas razones, la simulación es el método más efectivo de optimización en los circuitos de molienda y clasificación en el procesamiento de minerales. La eficiencia aumentada de molienda lograda mediante la optimización puede ser usado en :
Aumentar la capacidad de la planta para una granulometría dada. Reducir el tamaño de partículas para una capacidad determinada. Reducir el consumo de energía en el molino.
TEORIAS CLÁSICAS DE CONMINUCIÓN. La primeras investigaciones encaminadas a la mejor comprensión en el proceso de Conminución eran los concernientes a la relación Energía Consumida por el molino y la Reducción de Tamaño que el consumo de energía traía consigo, la reducción dimensional era estudiado como una función de : Área de la nueva superficie de las partículas producidas
El volumen de material fracturado. El diámetro de las partículas del producto.
1. POSTULADO DE RITTINGER (1867) E R K R S 2 S 1
Donde:
E R = Energía entregada por unidad de volumen. K R = Constante. S 2 = Superficie especifica Final. S 1 = Superficie especifica inicial.
2. POSTULADO DE KICK (1885)
V 1 V 2
E K K K . Log
Donde:
E K = Energía entregada por unidad de volumen. K K = Constante. V 2 = Volumen final de la partícula. V 1 = Volumen inicial de la partícula.
3. POSTULADO DE BOND (1952)
10 10 P F 80 80
W W I .
Donde:
W = Consumo de energía especifica (Kwh/ton). K K = Constante. P 80 = Tamaño 80% pasante del Producto. F 80 = Tamaño 80% pasante del Alimento.
Muchas han sido las publicaciones sobre estudios de relación Energía – Reducción Dimensional ; y la validez de varios métodos para estas relaciones han sido comparados y revisados. En general, las
relaciones propuestas son solamente validas sobre gamas limitadas de tamaño de variables en casos específicos, Consumo de energía Vs. Tamaño de Partícula
1,E+05
) n 1,E+04 o t / h w K ( 1,E+03 a d i m1,E+02 u s n o C1,E+01 a i c n e t o 1,E+00 P
GAMA CONVENCIONAL DE MOLIENDA KICK Pendiente = - 1
GAMA CONVENCIONAL DE TRITURACION
GAMA POCO CONOCIDA
BOND Pendiente = -0,50
1,E-01 1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
RITTINGER Pendiente = 0
1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07
Tamaño de Particula (Micrones)
Sin embargo el método general de representar las distribuciones granulométricas por medio del tamaño del tamiz en que el 80% en peso del material pasa y el 20% queda retenido, por este ultimo método, es posible representar diferentes análisis granulométricos por un valor, como muestra la Figura 2 esto es inadecuado.
Un P80 Representando varias Granulometrias 100
Gama Ancha de Tamaño
Tamaño 80%
e t n a s 10 a P
Pasante
%
Gama Estrecha de Tamaño
1 10
100
1000
Tamaño en Micrones
10000
LIMITACIONES DEL METODO DE BOND. El método de Bond tiene dos ventajas indiscutibles para la Ingeniería Es muy simple. Por la experiencia se ha probado que es una aproximación razonable para muchas circunstancias. Pero, aparte de empirismo y posibles errores en la determinación del Work Index (humanos o de
muestra), presenta las siguientes limitaciones principales. No considera las variables tan importantes como: Carga circulante. Eficiencia de clasificador.
Nivel de bolas y collar de bolas Características de la pulpa.(Viscosidad y reología de la pulpa
No considera que tanto el producto como el alimento son distribuciones de tamaño y usa solamente el P80 Y F80 respectivamente para representarlos. Es por ello que Bond a debido de incluir una serie de factores de correctores dentro de su formula básica, a fin de tomar en cuenta el efecto de las diversas variables de operación sobre el consumo energético de la molienda, existen correcciones para: Molienda seca. Circuito abierto.
Fineza exagerada del producto. Tamaño de alimentación demasiado grueso. Efecto del diámetro del molino.
El objetivo principal de estos factores de corrección es disminuir las diferencias observados en la planta, tanto en capacidad como consumo de potencia. MODELO MATEMÁTICO DE MOLIENDA Y CLASIFICACION. Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que calcula los valores de las variables de salida del proceso en función de las condiciones de operación y las características del material. Para que un modelo sea efectivo debe tener la capacidad de predecir con una precisión aceptable, la granulometría y tonelaje de sólidos, como para cada flujo del circuito y el consumo de energía específica (Kwh/ton) teniendo como variables operacionales al:
Molino
Potencia, Tamaño de bolas de recarga, % de Sólidos Hidrociclon. Caudal, % Sólidos, Dimención de los orificios.
La potencia, el nivel de bolas, y velocidad de rotación depende de las dimensiones del molino; el % de sólidos en el molino y en la alimentación al nido de ciclones dependen del caudal de adición de agua para el molino y el cajon.
MAYORES
Tamaño de Partículas Distribución de Fragmentos
MENORES
Mayores TASA DE QUIEBRA
1 -S 1Hm 1
TASA DE ACUMULACION (SUMAR EN LINEA)
2
dHm 3 b 21S 1Hm 1
-S 2Hm 2
b 31S 1Hm 1
b 32S 2Hm 2
dt
= -S 3Hm 3 + b 31S 1Hm 1 + b31S 1Hm 1
3
b 41S 1Hm 1
b 42S 2Hm 2
b i1S 1Hm 1
b i2S 2Hm 2
-S 3Hm 3
b 43S 3Hm 3
-S 4Hm 4
Menores
i b i3S 3Hm 3
b i4S 4Hm 4
-S iHm i
n b n1S 1Hm 1
Figura 3, Representación de la distribución de Fragmentos
MODELO LINEAL DE LA CINÉTICA DE QUIEBRA DE LAS PARTICULAS. Para formular un modelo de Conminución que puede ser usado en la práctica necesitamos identificar la característica de la quiebra del material, estas son: La Función Selección S y la función Fractura B, la primera referida también como Moliendabilidad guarda relación con la cinética o velocidad de fractura de cada partícula independiente y la segunda también referida como distribución de fragmentos primarios, caracteriza la distribución granulométrica de los fragmentos producidos como consecuencia de un evento dado de fractura, la Figura 3 ayuda a definir con mas claridad ambos conceptos.
La tasa de acumulación del mineral en el i-esimo intervalo, esta representado por la suma de la iesima línea. dHmi dt
i 1
S i Hmi bij S j Hm J 1
Donde
H
:
Peso de un conjunto de partículas.
.mi Hmi
: Distribución granulométrica discreta. : Fracción en peso contenido en el i-esimo intervalo granulométrico que se modifica durante la quiebra. Entonces, la tasa de acumulación en el en el intervalo granulométrico i es: dHmi dt
B D i 1
Donde
B
:
bij .S j .Hm j
=
Función distribución de partículas.
=
Función Selección o tasa de quiebra.
j 1
D
:
S i Hmi
La relación anterior puede representarse como: dHmi dt
i 1
S i Hmi bij S j Hm j
; i = 1, 2, 3 ... n.
j 1
El cual constituye el modelo general de la molienda en su forma diferencial. La solución analítica de este complejo sistema de ecuaciones diferenciales es ampliamente conocida, considerando que la función selección S y la función distribución B son constantes con el tiempo de molienda, la ecuación tiene la solución particular del sistema general denominada “Modelo Lineal”, que en su forma matricial se expresa como: m(t ) T . J t .T 1 .m(0)
Donde
m(t) : m(0) : T :
Granulometría del mineral en el tiempo t. Granulometría inicial del mineral. Matriz triangular inferior de valores Tij. (n x n)
Jt
Matriz triangular de valores (n x n)
:
0 T ij 1 i 1 bik .S k T kj S S j 1 i j 0 J ij exp(S i t )
i j i j i j
i j i j
Molienda Batch.
0 N J ij S i . 1 N
i j
0 N E J ij S i . E 1 N
Donde
Molienda Continua (función del tiempo)
i j
i j
Molienda Continua.(Función de la energía)
i j
=
Tiempo de residencia.
N
=
Parámetros característicos de la DTR de la pulpa mineral en el . molino, representada matemáticamente.
N 1
t N . exp N t E (t ) .( N ) N
Expresión ampliamente conocida como el modelo de N mezcladores en serie y donde el parámetro N es normalmente aproximado a (L/D) del molino. El rol critico de la energía especifica (KWh / Ton), destacado tempranamente por Bond y sus antecesores, se hace explicito en las formulaciones anteriores a través de un simple cambio de variable, al introducir el parámetro de la función Selección Especifica. H P
S i E S i
;
i= 1, 2, ... n
Sabiendo que: H P
E t
Molienda Batch.
H P
E
Molienda continua
Se concluye que: S i E S i E
; i = 1, 2, ...n
Por tanto basta reemplazar (Si) por (SiEE) para obtener las ecuaciones del modelo lineal de molienda en términos de la función selección especifica SiE que esta expresado en Ton/Kwh. Los elementos de la matriz función fractura B, prácticamente no dependen de las condiciones operacionales del molino, la función selección depende de las condiciones operacionales y también es sensible a la distribución granulométrica en el molino. S i = S (m, D B , % S m , D m , L v , N v , %V , c H, d )
Donde: m DB % Sm Dm, Lm Nv
= = = = =
Granulometría del material. Diámetro de la recarga de bolas. % de sólidos en el molino. Diámetro y largo interno del molino. % de carga de bolas o nivel de bolas.
%Vc
=
% de velocidad crítica.
H d
= =
Peso total del mineral contenido en el molino. Densidad el mineral.
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS CINÉTICOS. Existen 3 métodos de estimación, los cuales son: Estimación de parámetros con ensayes de laboratorio con mono-tamaños. Estimación de parámetros por regresión no-lineal. Estimación de parámetros por el método simplificado. De los métodos descritos arriba, el método de regresión no lineal es el de más fácil manejo y a la vez prevé resultados con una precisión aceptable y es facilitada por la incorporación de las
siguientes ecuaciones, entre estos parámetros y su correspondiente tamaño de partícula asociada: Para la función selección: 0 .d i
E
S i
1 2
d 1 i d crit
Para la función Fractura. 1
2
d d Bij 0 i 1 0 i d j d j Dichas ecuaciones reducen considerablemente el numero de parámetros a estimar a un numero máximo de 7 parámetros. (0, 1, 2, Dcrit, 0, 1, 2.). Con el método de regresión no-lineal se puede estimar estos parámetros minimizando la función objetivo.
n
w m i
i
mi
2
ˆ
i 1
Donde: wi mi
= = =
Función Objetivo. Factor de ponderación. Granulometría experimental de descarga del molino
mi
=
Granulometría simulado de la descarga del molino.
ˆ
Existen muchos algoritmos utilizables para la solución del problema de minimización, y el más adecuado es el método de GAUSS-NEWTON y/o el método MONTECARLO, ambas herramientas de iteración están incorporados en los complementos del Excel. A grandes rasgos la figura 5 ilustra la estructura lógica de la rutina de estimación requerida.
Estimación Inicial Parámetros
Modelo Define nuevos Par ámetros Función Objetivo
No
Mínima?
Si
Respuest
Figura 5: Estructura Lógica de la rutina de estimación de Parámetros por Regresión no-Lineal MODELO DE CLASIFICACION EN HIDROCICLONES. La modelación de los hidrociclones se apoya en las formulaciones empíricas, y la usada en este trabajo fue el modelo de Plitt. EFECTO DE LAS VARIABLES OPERATIVAS. En la Figura 6 se identifican las variables operativas que dependen de los niveles de las variables operacionales, en la molienda tenemos dos grupos de variables: Variables que afectan la eficiencia de fractura o Variables Intensivas, y
Variables que no afectan la eficiencia o Variables Extensivas.
Las variables intensivas pueden aumentar la eficiencia y son capaces de conseguir con el mismo consumo de energía, de otro modo las variables extensivas consiguen mas capacidad solo cuando se añade mas potencia.
Variables Intensivas. Distribución de tamaño de bolas. % de Sólidos en el molino. (Afectan la eficiencia de fractura)
Variables Extensivas. Nivel de Bolas. % De Velocidad Crítica.
(Determina la potencia del molino no afecta la eficiencia de fractura)
. Sabemos que: 1. Una distribución gruesa de bolas muele bien partículas gruesa y una distribución fina de bolas muele bien partículas finas
EFECTO DEL TAMAÑO DE BOLAS EN LA TASA DE QUIEBRA 10,000
h 1,000 w K / t , n ó i c c e 0,100 l e S n ó i c n u F 0,010
Bolas de Diámetro Menor
0,001 10
100
1000
10000
100000
Tamaño de Partícula, Micrometros
2. Un porcentaje bajo de sólidos favorece a una molienda de partículas gruesas y un alto porcentaje de sólidos favorece a una molienda de partículas finas.
LA TASA DE QUIEBRA EN FUNCION DEL PORCENTAJE DE SOLIDOS 1,000
70 % h w K / t , a c i f 0,100 i c e p s E n ó i c c e l e S0,010 n ó i c n u F
74 % 78 %
0,001 10
100
1000
10000
100000
Tamaño de Partícula, Micrometros
3. El caudal, el porcentaje de sólidos en la alimentación del Hidrociclon y las dimensiones de sus orificios principalmente afectan el tamaño de corte con un efecto menor en la pendiente de la curva de eficiencia con todo el efecto de estas variables es complicado y difícil predecir sin la ayuda de una correlación matemática.
CURVA DE CLASIFICACION Y SEPARACION DEL HIDROCICLON 100
90
EFICIENCIA REAL 80
EFICIENCIA CORREGIDA % ( n ó i c a c i f i s a l C e d a i c n e i c i f E
70
60
50
40
30
20
TAMAÑO DE CORTE
10
0 10
100
1000
Tamaño de Particulas, Micrometros
10000
Para conocer los efectos cuantitativos de las variables operacionales en el circuito de molienda, es necesario usar los modelos matemáticos avanzados que contiene estos mismo efectos. CONCLUSIONES: 1. Los modelos desarrollados son capaces de predecir, con una precisión aceptable l os efectos de las condiciones operacionales en circuitos de molienda, con lo cual es posible aprovechar los resultados con el fin de optimizar a escala industrial. 2. El dominio de esta técnica es una poderosa herramienta para el metalurgista de hoy, los recursos necesarios son: un molino de Laboratorio, el modelo matemático en forma de SOFTWARE DE SIMULACIÓN que contiene una manera de predecir el efecto de las condiciones operacionales críticas. REFERENCIAS: 1. M. Carhuaz R. “Modelación Matemática en circuitos de molienda y Clasificación” ; Tesis para optar el Grado de Ingeniero Metalurgista. 2002 2. J. E. Sepúlveda “ Los 10 mandamientos, VIII Simposio Moly -Cop Sobre procesamiento de minerales, Chile 1997. 3. A. E. Oblad, “Curso: Los Modelos Matemáticos de las Operaciones de Conminución” Universidad Mayor de San Marcos, Lima – Perú 1994. 4. L. Gutierrez y J. E. Sepúlveda, “Dimensionamiento y optimización de Plantas Concentradoras Mediante Técnicas de Modelación Matemática”, Publicación CIMM -Chile
1986.
Prueba N°
12
ESTIMACION DE PARAMETROS DE MOLIENDA Mineral con alto oxido, Zn = 14%, Pb = 0,8%, Fe = 2%, ZnO = 6%
Comentarios
CALCULO Y CONDICIONES OPERATIVAS Nivel Experimental (BATCH)
Mineral, kg Agua, lt Pulpa, kg Pulpa, lt Dens. De pulpa, kg/ % Solidos (En Peso
1,0 0,5 1,5 0,5 2,985 67,0
Diámetro, ft Longitud Nivel de bolas, % % Velocidad Critica Dens.Aparente, ton Potencia, KW
0,67 0,67 40,0 89,7 4,650 0,045
Distribucion de Tamaño de Partículas ( Acumulativo. % Pasante )
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Malla
Abertura
1,05 0,742 0,525 0,371 4 6 8 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 270 325 400
0 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,71 91,84 70,37 56,66 43,94 36,19 30,16 25,25 20,54 16,77 13,88 11,12 10,00 9,26
25400 16933 12700 9525 4760 3360 2380 1680 1190 841 595 420 297 210 149 105 74 63 44 37
D80, micrones
1405
Energía KW-hr / Ton Frac. Retenida+#14
0,000 0,296
Tiempo en Min. 3 5 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,42 99,95 96,81 99,73 94,50 99,50 89,20 98,82 81,67 96,60 89,09 69,53 79,46 57,22 63,45 45,09 47,85 34,36 39,22 27,99 30,06 21,14 28,00 19,00 26,15 18,48
1
0 0,750 1,000
7 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 99,86 99,60 97,39 91,33 76,13 56,92 46,99 34,93 32,00 30,26
10 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,86 99,46 97,68 88,26 70,71 57,98 43,50 38,00 35,34
402
214
164
128
2,250 0,032
3,750 0,003
5,250 0,000
7,500 0,000
PARAMETROS DEL MODELO Función Selección Promedio
Alfa 01 Alfa 02 Alfa 11 Alfa 12 Alfa 2 Diámetro Crítico
0,001614 0,0 1,04291 1,0 3,9344 1447,8
0,001547 0,001637 0,001637 0,001635 0,0 0,0 0,0 0,0 0,93998 1,07451 1,08107 1,07609 1,0 1,0 1,0 1,0 3,8073 3,8417 4,0444 4,0443 1404,4 1458,7 1464,0 1464,1
0,056919 0,0 0,045736 3,833571
0,049961 0,059209 0,059260 0,059247 0,0 0,0 0,0 0,0 0,044993 0,045988 0,045981 0,045981 3,512343 3,799249 4,010320 4,012373
Función Fractura
Beta 00 Beta 01 Beta 1 Beta 2 Función Objetivo
3,21
3,56
3,24
2,61
3,44
Simulado VS Experimental BATCH
100,00
d a l u m u c A 10,00 e t n a s a P %
3 MIN
5 MIN
Simulado
Simulad
7 MIN Simulado
10 MIN Simulad
1,00 10
100
1000
Tamaño de Partículas en Micrones
10000
