APLICACIONES DE MODELO DE DIFUSIÓN DE UNA ENFERMEDAD EN ECUACIONES DIFERENCIAL ORDINARIAS
Liseth Tatiana Amashta Daniel alberto Bermudez Tellez José Francisco González cuello Kelly Dayana Mendoza villazon Laura Ochoa Díaz Fundación Universitaria del Área Andina, Valledupar - Colombia Resumen
Las ecuaciones diferenciales han venido desempeñando un papel crucial en diferentes ámbitos de las matemáticas e ingeniería, así como en el estudio de las ciencias tales como, la economía, mediana, psicología, investigación de operaciones entre otros. Se han desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita o función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.
Palabras clave: epidemiología, modelos de transmisión de enfermedades.
Abstract
The differential equations have been playing a crucial role in various areas of mathematics and engineering, as well as in the study of the sciences such as economics,
medicine,
psychology,
operations
research
and
others.
Mathematicians have been developed to help understand the phenomenology
INTRODUCCIÓN
En las ramas de la ciencia se tiene un puente entre la notación, muy simplificada, que utiliza la matemática en el estudio de las ecuaciones diferenciales y la que aparece, de forma natural, al estudiar algunos problemas de Ingeniería. La teoría de ecuaciones diferenciales es de gran importancia en el análisis de modelos matemáticos de las Ciencias Aplicadas y la Tecnología. Con muchas observaciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias
de
primer
orden
se
dan
algunas
aplicaciones
a
la
epidemiologia y a otras ciencias experimentales.
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita 1.
“El primero en determinar la propagación de las enfermedades infecciosas mediante un modelo matemático fue D’Alembert, en el siglo XVIII, además allí se dice que el primer artículo conocido que incluye un modelo matemático
1 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela
explicito para una enfermedad infecciosa lo público Daniel Bernoulli (17001782) en 1760, el trabajo sus modelos a través de ecuaciones diferenciales ordinarias y además, que a Bernoulli le siguió el famoso epidemiólogo y malariologo Ronald Ross, quien explico el ciclo completo de la malaria humana, con la inclusión del mosquito como vector y el parasito Plasmodium.”
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Debido a la cantidad de enfermedades infecciosas que hemos presentado hasta la actualidad, por ello, el uso de sistemas cuantitativos basados en modelos matemáticos para asimilar la dinámica de transmisión y control de las enfermedades infecciosas tales como los modelos SI, SIR, y SIS que nos enfocaremos en este artículo.
Los modelos a estudiar serán modelos determinísticos a base de sistemas dinámicos, estos modelos están ajustados en los estados por los que pueden pasar los individuos, manipulando a los individuos de manera conjunta en lugar de hacerlo de forma individual.
El modelo SI es el modelo más simple, que consta de dos variables dependientes y es un modelo continúo, quiere decir que pasa del estado susceptible al estado de infectados y viceversa, consiste en un sistema de dos ecuaciones diferenciales:
Las variables dependientes son el número de personas susceptibles (S) y el número de personas infectadas (I), La constante (a) es una medida de la
2 Mayrelly Valera, Dinámica de un Modelo Epidemiológico SIRS, Barquisimeto, Junio de 2013
rapidez de transmisión de la enfermedad de una persona infectada a la población susceptible. La constante (b) representa la razón con la que sana la población infectada, es decir, sale de la población infectada (y con ello se supone que queda inmune). 2. MARCO TEÓRICO
Existen dos tipos de modelos matemáticos: determinísticos y estocásticos. En un modelo determinístico se pueden controlar los factores que intervienen en el estudio del proceso o fenómeno y por tanto se pueden predecir con exactitud sus resultados. En un modelo estocástico no es posible controlar los factores que intervienen en el estudio del fenómeno y en consecuencia no produce simples resultados únicos. Cada uno de los resultados posibles se genera con una función de probabilidad que le adjudica una probabilidad a cada uno de éstos, por ejemplo un modelo para predecir el tamaño de una epidemia en una población de N individuos. Para el caso determinístico se proporciona un valor único, C, mientras que el modelo estocástico permite la posibilidad de obtener desde cero hasta N individuos y se adjudica una cierta probabilidad a cada uno de estos sucesos. La diferencia es más grande de lo que parece, ya que en un modelo matemático determinístico en el contexto epidemiológico; un solo sujeto causa una epidemia generalizada, mientras que bajo un modelo estocástico existe la posibilidad de que la epidemia se extinga.
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Dentro de los modelos determinísticos fundamentados en estados hay una gran diversidad de posibles modelos a utilizar. El acrónimo de un modelo solicita revelar los otros estados por los que van los individuos. Por ejemplo, un modelo SIR establece que los individuos pueden pasar de ser susceptibles, a infecciosos y de ahí a resistentes. Si el modelo fuese cíclico, el acrónimo terminaría en la misma letra que haya empezado como es en el caso del
3 Osval Antonio Montesinos-López, Carlos Moisés Hernández-Suárez, Facultad de Telemática, Universidad de Colima.
Colima, México
modelo SIRS demuestra que los individuos pueden cambiar de estados de susceptible a infectado, recuperado y nuevamente a susceptible. El modelo a utilizar dependerá de los agentes infecciosos por los que se transmita la enfermedad a modelizar, ya que varían de una enfermedad a otra. Por ejemplo, las enfermedades cuyos agentes infecciosos son virus, provocan que aquellos individuos que se recuperan de la enfermedad pasen a un estado de resistencia en el que no pueden volver a ser infectados.
Los estados presentes en los modelos de difusión de una enfermedad tanto como son el modelo SI, SIS, SIES, SIRS, SIERS son:
Los individuos Susceptibles (S) o individuos sanos pero sensibles a la enfermedad.
Los individuos Expuestos (E) son individuos sanos que están en contacto con los agentes trasmisores de la enfermedad pero no la padecen.
Los individuos Infectados (I) o individuos que poseen la enfermedad y son capaces de transmitirla.
Los individuos Recuperados (R) o individuos que padecieron la enfermedad y se recuperaron adquiriendo una inmunidad temporal o de por vida.
El tránsito de un individuo por las distintas categorías lo podemos ver en el siguiente esquema: S −→ E −→ I −→ R −→ S.
El modelo SIS se puede demostrar en ecuación diferencial como 2 expresiones, como se ilustra a continuación :
El número de personas susceptibles ( S) y el número de personas infectadas (I). En este modelo, bajo su versión estocástica, cada individuo infeccioso tiene contacto con otro, escogido al azar, a una tasa λ (contactos por unidad de
tiempo). El término µI( t), que describe el ritmo al que los individuos se recuperan de la enfermedad o se convierten en susceptibles, por lo que se aplica en ambas ecuaciones. En el modelo SIS estocástico la tasa de contacto es también λ (contactos por unidad de tiempo). De nueva cuenta, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la infección del individuo k-1 y el individuos k, para k=1, 2,3,…, tiene una distribución exponencial con parámetro λ. Del
mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperación (el individuo se vuelve otra vez susceptible) del individuo k-1 y el individuo k, para k=1, 2,3,…, tiene una distribución exponencial con parámetro µ. Ambas, λ y µ, son constantes que no cambian con el ti empo. Por lo tanto, la variable
aleatoria X (t), que alude al número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso Poisson homogéneo ( ley de los sucesos raros)
y
también N=S(t)+I(t), de manera que los estados del proceso al tiempo t se identifican por X(t)={S(t),I(t)}, es decir, el número de susceptibles e infectados al tiempo t. Aquí, cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de transición son:
De igual manera, o (δ) es una cantidad que tiende a cero cuando también lo hace δ. La solución al modelo SIS en ambas versiones también muestra que
se debería esperar una trayectoria en forma de S en la cifra de infectados. No obstante, la trayectoria SIS difiere de la SI en que el número de personas infectadas al mismo tiempo nunca alcanza el total de la población (lo que no excluye la posibilidad de que cada uno de los individuos pueda infectarse en algún otro momento). Por el contrario, el proceso alcanza un equilibrio cuando exactamente el mismo número de individuos infecciosos se convierte en susceptible o viceversa.
El último modelo descrito es el SIR, que en su forma más simple puede formularse como un conjunto de ecuaciones diferenciales, tal y como se muestra a continuación:
Por último, en el modelo SIR estocástico cada individuo infeccioso tiene también contacto con otro, escogido al azar, a una tas a λ (contactos por unidad
de tiempo). A diferencia del modelo SIS, un individuo infectado se recupera y en lugar de susceptible se vuelve inmune a una tasa µ. De nueva cuenta, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la infección del individuo K-1 y el individuo k, para k=1, 2,3,…, muestra una distribución exponencial con parámetro λ. Del mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre
la recuperación (el sujeto se vuelve inmune) de los individuos k-1 y k, para k=1, 2,3,…, tiene una distribución exponencial con parámetro µ. Ambas, λ y µ, son
constantes que no cambian con el tiempo. Por consiguiente, la variable aleatoria X(t), que denota el número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso Poisson homogéneo ( ley de los sucesos raros) y aquí N=S(t)+I(t)+R(t); en consecuencia, los estados del proceso al tiempo t pueden
identificarse con X(t)={S(t),I(t)}, esto es, el número de susceptibles e infectados al tiempo t. Aquí, las probabilidades de transición son:
También en este caso o(d) es una cantidad que tiende a cero cuando d también lo hace. El modelo SIR describe el proceso en las tres distintas etapas. La solución al modelo SIR muestra asimismo una trayectoria en forma de S en las primeras fases de la epidemia. Este modelo difiere tanto del modelo SI como del SIS porque muestra una propensión a acabar en cero infectados a largo plazo.
Para un poner un ejemplo de un problema epidemiológico nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una fórmula para el número de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un número especificado de estudiantes infectados 4.
4 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela
Formulación Matemática:
Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él número total de estudiantes, asumido constante, tenemos el modelo SI 5 N = Ni + Nu La tasa de cambio en él número de estudiantes infectados está dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la última formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
Ni = N _ 1 + (N/No - 1)e
5 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela
3. CONCLUSIÓN
El empleo de ecuaciones matemáticas para enfermedades infecciosas es de gran ayuda para la medicina, para establecer las políticas de vacunación utilizando los diversos modelos de ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente en muchos casos estos modelos matemáticos no son de gran exactitud ya que en muchos casos no se cuenta con datos confiable para realizar cuantificaciones de los parámetros requeridos, para tomar medida lo cual da lugar a un gran margen de error, de esta manera cabe mencionar que los resultados de estos modelos deben tomarse con muchos cuidado y asi poder tener el efecto de las medidas de control aun antes de iniciar una epidemia.
Existen diversos modelos epidemiológicos sencillo que no requieren ser un experto en la materia, solo hay que hacer buen uso de ellos. También existen modelos muy complejos que a menudo son incomprensibles para el profano en la materia. Por lo tanto, para hacer un uso adecuado de ellos se necesitan mayores herramientas matemáticas y computacionales.
Por otro lado, vale la pena mencionar que no existe una metodología sistemática para la modelación y pruebas de hipótesis de enfermedades infecciosas para profesionales de la salud. Por ello es importante que los profesionales de la salud tengan conocimiento de la existencia de estos modelos y fortalezcan su colaboración con modeladores de enfermedades, para diseñar en forma conjunta medidas eficaces de control y erradicación de enfermedades infecciosas. Por último, es prudente mencionar que dado que el actual es un mundo cada vez más interconectado e interdependiente, las
amenazas de brotes de epidemias son muy altas, por lo que es sumamente importante fortalecer un sistema de vigilancia epidemiológica para prevenir y combatir la aparición de enfermedades infecciosas capaces de alterar la salud y la economía.
REFERENCIA
1. Nagle,R.k, -Saff, EB, Snidder, A,D. ecuaciones diferenciales y problemas con valores de la frontera, Ed. Addision-Wesley-Pearson Education (2001).
2. http://bvs.insp.mx/rsp/articulos/articulo.php?id=001978
3.
http://www.mat.ucm.es/~ivorra/papers/Diego-Epidemiologia.pdf
4.
http://bibcyt.ucla.edu.ve/Edocs_bciucla/Repositorio/TGMQA372V352013.pdf
5.
http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferencialesde-primer-y-segundo-orden.html
