Ley de Fick. La ecuacio´n de difusio´n
Una de las ecuaciones fundamentales de la F´ısica Matema´tica es la conocida como ecuaci´ on del calor, que gobierna los feno´menos de conduccio´n t´ermica en medios materiales continuos, ya sean ´estos s´olidos, l´ıquidos o gases: ∂T
= α ∇2T (1) ∂t en donde T (x, y, z, t) representa la distribucio´n de temperatura en un medio como una funcio´n del espacio y del tiempo, y α es un para´metro positivo que depende de las propiedades del medio y que da una medida de la facilidad con la que el calor se puede transmitir a trav´es de ´el. La conduccio´n t´ermica fu´e estudiada de una forma detallada por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), autor de Th´eorie analitique de la chaleur [1], una obra de gran influencia en el desarrollo posterior de la F´ısica Matema´tica. A modo de indicacio´n de su trascendencia, baste sen ˜ alar que la rama del An´alisis Matema´tico que se ocupa de las series (y transformadas) de Fourier, el an´alisis arm´onico, nace de los m´etodos desarrollados por Fourier para la solucio´n de la Ec.(1). Aparte de la conduccio´n t´ermica, existen otros feno´menos f´ısicos que esta´n gobernados por una ecuacio´n similar a la Ec.(1), y que, por lo tanto, pueden estudiarse utilizando las mismas herramientas desarrolladas para la ecuacio´n del calor. Un feno´meno importante de este tipo es la difusio ´n molecular. La mejor manera de describir el feno´meno es mediante un ejemplo concreto, como el que se presenta a continuacio´n. Consider´ese un recipiente lleno de agua en equilibrio hidrosta´tico. Sabemos que, desde un punto de vista microsco´pico, en el recipiente hay un enorme nu ´ mero de mol´eculas de agua, cada una de las cuales no esta´ en reposo sino que se mueve aleatoriamente debido a sus continuas colisiones con mol´eculas vecinas, con una rapidez promedio que depende de la temperatura. Supo´ngase ahora que en el centro de la masa de agua se deposita una gota de un l´ıquido coloreado, por ejemplo una gota de tinta con una jeringuilla. En el momento de depositar la gota (si la sustancia se ha elegido adecuadamente) se podra´ observar claramente la regio´n ocupada por la nueva sustancia, con una frontera n´ıtida que la separa del resto del volumen de agua. Sin embargo, con una rapidez que depende de la sustancia elegida, esa frontera se ira´ difuminando y la sustancia coloreada va invadiendo toda la regio´n que inicialmente s´olo contenia agua pura, hasta que finalmente la tinta se habra´ extendido por todo el volumen de manera homog´enea, lo cual se manifiesta en una coloracio´n uniforme del l´ıquido. 1
La explicacio´n microsco´pica de ese proceso es lo que se llama difusio´n molecular. La gota de tinta, microsco´picamente, consiste en otro nu ´ mero enorme de mol´eculas de una nueva especie, que tambi´en se mueven en direcciones aleatorias con una rapidez promedio dependiente de la temperatura. En un punto pro´ximo a la superfice de la gota habra´ mol´eculas de tinta que se mover´an hacia el interior de la gota, pero tambi´en habra´ otras que se mover´an en el sentido opuesto, escapando de la regio´n inicial y disolvi´endose entre las mol´eculas de agua. Las colisiones de las mol´eculas de tinta con las mol´eculas de agua que las rodean por todas partes hacen que aqu´ellas mantengan una distribucio´n iso´tropa de velocidades en cualquier punto del l´ıquido. Si en un punto dado se considera un elemento de superficie con una determinada orientacio´n (una pequen ˜ a ´area plana ∆S con normal n), en un instante dado habra´ mol´eculas de tinta que atraviesen ese elemento de ´area en los dos sentidos. En el caso de que la concentracio´n (nu ´ mero de mol´eculas por unidad de volumen) de tinta sea distinta a ambos lados del elemento de superficie, habra´ un flujo neto de mol´eculas de tinta a trav´es de ∆S desde el lado en donde la concentracio´n es mayor hacia el lado en que es menor. La relacio´n cuantitativa entre la cantidad de flujo neto y las variaciones de concentracio´n de un punto a otro viene expresada por la denominada ley de Fick: j = −D∇n
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en donde n(r, t) representa la concentracio´n de mol´eculas, j(r, t) el flujo neto en ese punto, definido como el nu ´ mero de mol´eculas que atraviesan un ´area unidad por unidad de tiempo, y D es un para´metro que depende del tipo de mol´eculas inyectadas y que se llama coeficiente de difusi´on. Este coeficiente da una medida de la facilidad con la que las mol´eculas de una especie (tinta) pueden moverse a trav´es de las de la otra especie (agua.) Esta ley emp´ırica, que tiene un amplio rango de validez, fue propuesta originalmente en 1855 por un fisio´logo alem´an, Adolf Fick (1829-1901.) La distribucio´n en el espacio y en el tiempo de las mol´eculas de la nueva especie esta´ gobernada por la Ec.(2), y tambi´en por la restriccio´n de que el nu ´ mero total de mol´eculas se mantiene constante (se excluyen problemas m´as complejos en los cuales pueden intervenir adem´as reacciones qu´ımicas.) Esta ley de conservaci´ on del nu ´ mero de mol´eculas (ni se crean ni se destruyen, s´olo pueden trasladarse, o fluir, de un sitio a otro) se expresa matema´ticamente mediante la llamada ecuacion de continuidad. Se trata de una de las ecuaciones b´asicas en distintos campos de la F´ısica, y aparece siempre que alguna magnitud f´ısica esta´ sometida a un principio de conservaci´on local. La forma de llegar a la ecuacio´n de continuidad es la siguiente. Sea A una regio´n acotada dada en el sistema, es decir, un trozo dado del volumen total ocupado por el l´ıquido. La cantidad total NA (t) de mol´eculas de tinta que hay dentro de A en un instante t es: ¸ n(r, t) d3r (3) NA(t) = A
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Si j(r, t) representa el flujo de mol´eculas, por unidad de ´area y de tiempo, en cada punto, el nu ´ mero total de mol´eculas que salen de A a trav´es de su frontera ∂A por unidad de tiempo sera´: ¸ flujo neto saliente = j · n da (4) ∂A
en donde n es la normal exterior en cada punto de ∂A. Ahora bien, por la ley de conservaci´on, la p´erdida neta de mol´eculas en A por unidad de tiempo, − dNdtA , es justo igual a ese flujo saliente, de modo que se tiene: ¸ ¸ d 3 n(r, t) d r = − j · n da (5) dt A ∂A La primera integral en esta ecuacio´n puede transformarse mediante la regla usual para derivar integrales dependientes de para´metros, ya que se supone que se cumplen todas las condiciones de suavidad requeridas: ¸ ¸ d ∂n 3 n(r, t) d3 r = d r (6) dt A A ∂t La segunda integral en la Ec.(5) puede transformarse en una integral sobre la regio´n A utilizando uno de los resultados fundamentales del An´alisis Vectorial, el teorema de la divergencia: ¸ ¸ j · n da = ∇ · j d3r (7) ∂A
A
As´ı, la Ec.(5) puede reescribirse en la forma: . ¸ . ∂n d3r = 0 ∂t + ∇ · j A
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Puesto que el razonamiento anterior es v´alido para cualquier elecci´on de la regio´n A, el integrando de la Ec.(8) ha de ser nulo en cada punto del interior del volumen y en cualquier instante de tiempo. Esto permite expresar el principio de conservaci´on de una forma local, que es la que habitualmente se denomina ecuacio´n de continuidad: ∂n +∇ ·j=0 (9) ∂t Si ahora se combina la ecuacio´n de continuidad, Ec.(9), con la ley de Fick, Ec.(2), se obtiene finalmente la relacio´n: ∂n ∂t
= D ∇ 2n
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que es la ecuaci´ on de difusio ´n. Como vemos, desde el punto de vista de las Matema´ticas se trata de la misma ecuacio´n diferencial lineal en derivadas parciales de segundo orden que la que describe la conduccio´n del calor en medios materiales. En realidad no se trata de 3
una pura coincidencia, pues, si se analiza desde un punto de vista microsco´pico, la conduccio´n t´ermica consiste esencialmente en un feno´meno de difusio´n, pero no de materia sino de energ´ıa[2].
Referencias [1] J. Fourier, The analytical theory of heat, Dover Phoenix Editions, 2003. [2] M. Alonso and E. J. Finn, Fundamental University Physics, Vol. 2, Addison-Wesley 1967.
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