AR-10J-08 (COMPENDIO III - SEM 11- SEM 16) BG - C3-C4-L3-L4.doc

ARITMÉTICA

3alcular el residuo residuo de dividir dividir== 08.  3alcular #2&- entre 7.

a, + d, &

01.  A una función de cine asisten “N” personas. Entre dichos dic hos asistent asistentes es se obs observ ervó ó que los 2/7 de “N” vier vi eron on la pe pelí lícul cula a ín ínte tegr grae aent nte! e! lo loss "/ "/# # de “N” llor ll orar aron on co con n el $n $nal al del dr dra aa a % lo loss 2/ 2/& & de “N “N”” coieron golosinas ientras observaban la película. 'allar “N”( si el cine tiene una capacidad )*ia de 2++ personas. a, -"+ d, -+#

b, -# e, -7#

b, 7e, 

a, d, #

c, -#

b, -7# e, -+#

a, d, #

b, # e, :#

c, -&

a, -d, -"?

b, ""e, :++

c, --2

a, 7 (  ( -7 d, 7 ( -- ( -7

b,  e, "

a, ## d, #

c, "#

b, 2 e, 

c, &

b, -2 e, N.A.

c, -&

b, -- ( -& ( -7 c, & ( 7 ( - e, 7 ( -- ( -&

b, #? e, #:

c, #7

En una funció función n de cine( entre adultos( adultos( 0óvenes % 14. ni9os suan suan :-# personas. personas.
c, 7&# a, -: d, 2#

b, 22 e, 2:

c, 2&?

A un evento deportivo asistieron a lo )s 2++ 15. personas. pers onas. 1i se observa observa que la quinta quinta parte de los los se9ore se9 oress coe coen n hela helado( do( las se9 se9ora orass rep repre resent sentan an la octava parte de los se9ores % los ni9os representan la tercer ter cera a par parte te de las se9ora se9oras. s. 'al 'alle le cu)ntos cu)ntos ni9os asistieron.

c, #

07. 3u)l es el residuo de dividir &7+ entre 74 a, " d, -

b, 2 e, 

En una canasta ha% entre entre #+ % + huevos. 1i los 13. cuento to)ndolos de tres en tres e sobran dos! pero si los cuento to)ndolos de cinco en cinco e sobran ". 3u)ntos huevos ha% en la canasta4

06. 3u)l es el residuo de dividir 2 + entre 74 a, d, 2

c, -2

@n n6ero de  cifras es constituido repitiendo 12. otro n6ero n6ero de & cifras. Entonce Entoncess podeos a$rar a$rar que dicho n6ero de  cifras es siepre divisible entre los n6eros=

05.
b, & e, 

11. A una $esta de aniversario asistieron un n6ero de personas que es a%or que 2++ pero enor que &++. En cierto oento se observó que los 2/-- de los asistentes son varones que est)n bebiendo % #/-& de los isos son u0eres que est)n bailando. 1i todos los var varone oness est est)n )n bai bailan lando do o beb bebien iendo( do( cu) cu)nta ntass u0eres no est)n bailando en dicho oento4

$esta ta don donde de asi asisti stier eron on 2:+ personas personas entr entre e 04.En una $es daas( caballeros % ni9os( la cantidad de caballeros que no bailaban en un oento dado era igual a la cuarta parte del n6ero de daas % la cantidad de ni9os era igual a la s;ptia parte del n6ero de daa da as. s. 1i la qu quin inta ta par arte te de la lass da daa ass es est) t)n n casadas( se desea saber cu)ntas daas no bailaban en dicho oento. a, ## d, 7#

c, 2

10. 'allar el residuo que se obtiene al dividir el n6ero “N” entre 7( si=

03. e los "++ alunos de una escuela se supo que al $nali8ar el a9o( los 2/# de las u0eres aprobaron todos los cursos( los &/7 de ellas desaprobaron al enos un curso % los #/: de las isas seguir)n estudiando en la escuela. 3u)ntas u0eres %a no seguir)n estudiando en la escuela4 a, -2+ d, -+2

* "#27" *

09. 3u)l es el residuo de dividir entre -& un n6ero forado por 7+ cifras “2” seguidas de + cifras “”4

reunión fa faili iliar ar cuan cuando do tod todas as las da daas as 02. En una reunión bailan( un varón de0a de hacerlo. 1i se foran rondas de a # sobran " % si lo hacen de a 7 sobran . 3u)ntoss asis 3u)nto asistier tieron on a dicha reunión( sabiendo que ha% entre -2+ % -+ personas4. 5ndicar el n6ero de varones a, "+ d, 7+

b, e, >)s de &

-"  &--"

c, #

a, -# PAG – 05

1

8

b, -+

c, #?

ARITMÉTICA

d, -2+

23. El n6ero de alunos de un aula es enor de 2"+ % 2 a%or que -++. 1i  de total usan anteo0os % los 7

e, 2+

@na copa9ía de aviac aviación ión copra -& avionet avionetas as 16. por -(# illones de nuevos soles.
b, & ! 7 ! & e, : ! " ! -

#  son as)ticos. 3u)ntos alunos son as)ticos4 -& a, #2 d, -

c, # !  ! 2

b, "? e, :

a, 2 d, 

c, #

b, -22? e, ---

b, " e, -

c, 7 ?

25. 3u)ntos n6eros de cuatro cifras e*isten( que sean divisibles por -& % que terinan en "4

El n6 6e ero de pisos de un edi$cio es estt) 18. coprendido copr endido entre entre -++ % -&+. -&+. A dicho n6ero( n6ero( le falta una unidad para ser 6ltiplo de &! le falta  unidades para ser 6ltiplo de : % le sobran 2 para ser 6ltiplo de -+. 3u)l es el n6ero de pisos4 a, --2 d, -+7

c, -:2

24. 3u)ntas cifras “cuatro” se debe colocar a la derecha del n6ero n6ero -7 par para a obt obtener ener por pri prier era a ve8 un 6ltiplo de nueve4

1e convierte al sistea de nueración de base 7 17. el n6ero n6ero 2-+-/ .3u)l ser) su cifra de unidades en dicha base4 a, 2 d, 

b, 7+? e, -22

a, d, 

b, 2 e, 7 ?

c, :

reunió unión n de :& per person sonas as 26. En una re

c, -2-

fuaban %

# -7

  de los varones

#  de las u0eres bebían gaseosa. 'allar :

la diferencia entre el n6ero de hobres % u0eres.

19. En una $esta donde habían &"2 0óvenes( la cantidad de varones era

0

11

% la cantidad de daas era

0

7

a, -? d, -

(

siendo la diferencia entre ;stas cantidades ínia. eterinar el n6ero de varones= a, -&2 d, -

b, -:2 e, 2+?

c, -"2

b, 2+ e, -

a, ": d, 2:

c, 2&?

b, + e, +?

a, # d, :

b, 2-? e, 2"

c, +

b,  e, 

c, 7 ?

29. 3u)ntos n6eros ipares de & cifras son divisibles por -&4 a, : d, &" ?

c, 7+

b, &# e, &2

c, &&

un cong co ngrreso de info forr)tica asistieron 30. A persona per sonalid lidade adess eur europe opeas as % ae aeric ricanas anas!! ent entre re los

22. Bodría ahorrar 2++ soles diarios pero cada a9ana de sol gasto + soles en helados % cada a9ana de frío gasto + soles en caf;. 1i %a tengo ahorrado 1/.2#:+. 3u)ntos días ahorr;4 a, 2+ d, 2&

b, &2 ? e, "#

28. En la serie= -:( &( #"(........ . 3u)ntos n6eros de & cifras son divisibles por -"4

coe erc rcia iant nte e co cop prró e edi dias as(( ca cai ise seta tass % 21. @n co pantalones. 1i cada par de edias costó 2 soles( cada caiseta 2+ soles % cada pantalón "+ soles % ade)s copró un total de -++ artículos gastando para pa ra el ello lo "+ "++ + so sole les. s. 3 3u)n u)nto toss pa pare ress de e edi dias as copró4 a, "# d, 7#

c, -7

una a $e $est sta a do dond nde e ha habí bían an -2 -2+ + pe pers rsona onass ent entre re 27. En un daas( caballeros % ni9os. El n6ero de caballeros que qu e no ba bail ilab aban an en un o oe ent nto o er era( a( ig igual ual a la tercera parte del n6ero de daas( el n6ero de ni9os era la quinta parte del n6ero de daas % la cuarta parte del n6ero de daas fue con vestido blan bl anco co.. 3 3u) u)nt ntas as da daa ass no ba bail ilab aban an en es ese e oento4

20. @na persona decide coprarse ropa de invierno en una ti tiend enda a qu que e es esta taba ba en li liqu quid idaci ación. ón. 1i ca cada da pant pa ntal alón ón co cost stab aba a 1/ 1/"# "# % ca cada da ch cho opa pa 1/ 1/2: 2:.. 3u)ntos artículos copró si invirtió 1/ - ++- % el n6er n6 ero o de cho chop pas as ad adqui quiri rida dass fue lo í íni nio o posible4 a, 22 d, 2"

b, -: e, -#

europeos europ eos los % los

c, 22

: -#

2 #  son ;dicos( los  son ingenieros 7 -"

 son abogados.

3u)ntoss aer 3u)nto aerica icanos nos se pr prese esenta ntaron ron si en tot total al asistieron &": personalidades4 a, -2: d, -":

PAG – 05

1

8

b, --: e, -+:

c, -&: ?

ARITMÉTICA counes coun es que cu cuple plen n par para a ell ello o ve veao aoss alg alguno unoss conceptos b)sicos

31. En una reunión de #"+ personas( de las u0eres se sabe sab e que

# " 2   usan ini inifalda! falda!   son coquetas coquetas % :  #

fuan. El n6ero de varones es= a, -:+? d, &+

b, -"+ e, N.A.

CLASIF CLAS IFIC ICAC ACIÓ IÓN N DE LOS NÚ NÚE ERO ROS S EN ENTE TERO ROS S !OSITIVOS e acuerdo a la cantidad de divisores Z +

c, -+

N 2 & " #  7 : 

CUADRO DE CLAVES 01

02 03

04 05

06

07 08 09

10

11

12 13

14 15

16

17 18 19

21

22 23

24 25

26

27 28 29

20 3 30-

3 1

ivisores -! 2 -! & -! 2( " -! # -! 2! & !  -! 7 -! 2 ! " ! : -! & ! 





3antidad de divisores 2 2 & 2 " 2 " & 

1e puede puede observa observarr que
3CA

OBJETIVOS Al $nali8ar el presente capítulo( el lector estar) en la capacidad de= 01. Deconocer un n6ero prio % copuesto % sus propiedades.

NÚEROS SI!LES 1on aquellos n6eros que sólo se pueden dividir por la unidad %/o por ;l iso Ftienen a lo )s dos divisores,

02. @t @til ili8 i8ar ar la lass pr prop opie ieda dade dess qu que e po pose seen en es esto toss n6eros n6er os para reali8ar reali8ar c)lc c)lculos ulos en la acti activida vidad d diaria.

A.L+ ,"*+.C ,"*+.C Es el 6nico n6ero entero positivo positivo que posee un solo divisor( ;l iso.

03. Anali8ar los factores de un n6ero entero positivo INTRODUCCIÓN 3uando 3ua ndo re reali ali8a 8aos os c) c)lcu lculos los % re reque queri rios os que las cant ca ntid idad ades es re resu sult ltan ante tess se sean an e* e*ac acta tas. s. de debe beo oss conocer ciertas propiedades de dichos n6eros. Bor e0epl e0e plo o una ep epre resa sa que pr produ oduce ce 0ab 0abone oness deb debe e dise9ar ca0as que habr)n de contener una cantidad e*acta de 0abones. evaluando su costo % la facilidad de su distribución adecuada de los ob0etos dado un orden or den== otr otro o e0e e0epl plo o se da al div dividi idirr un ter terre reno no en parcelas de tal fora que el creciiento % la posterior cosecha de lo sebrado sea óptia= cuantitativaente los n6eros prios son aplicados en la estadística. en c)lculos de probabilidades. en cier ci erto toss e*p *per eri ien ento toss la lass cu cual ales es se da dan n u uch chas as posibilidades en la ubicación del electrón en el )too. así coo tabi;n se utili8a en las prograaciones que se reali8an en las coputadoras.

E0eplo= 1 -= 

divisor

B.E "#$%&' )&*$'.C )&*$'.C Gabi;n denoinado “prio abso ab solu luto to”( ”( es aq aque uell qu que e po pose see e e* e*ac acta tae ent nte e 2 divisores= la unidad % ;l iso. E/%$)' 2( & ( # ( 7 ( -- ( -& ( -7 ( - ( 2& ( 2 ( &- ( &7 ( "- ( "& ( "7 ( #& ( # ( - (7( 7-( 7&( 7( :&( :( 7. E/%$)'! E/%$)'!  2= -! 2  #= -! # -7= -! -7 2&=

Bodeos observar que el n6ero -& es prio % si invertios el orden de su cifras resulta &-( el cual tab ta bi; i;n n es un n6 n6e ero ro pr pri io( o( pe pero ro no to todo doss lo loss n6eros prios cuplen con ello.

1, 23

  

divisores

N#$%&' C'$),%(' Son aquellos números que poseen otro divisor  aparte de la unidad y de él mismo (entonces tienen más de 2 divisores)

En este capítulo vaos a conocer dicho con0unto de n6e n6 ero ros. s. 3o 3oo o re reco cono noce cerl rlos os % la lass pr prop opie ieda dade dess PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA 1i todas las divisiones son ine*acto ine*actos( s( entonces el n6ero es prio.

Ejemplo:

" ! ! :! ! -+ ! -2! -"! -#! -! -:! 2+ 2-! 22! 2"! 2#! 2! 27! 2:! &+ ! &2H &&! etc.

E/%$)' 313 %( )&*$' i, 313 17 ⇒ ii, 2( &( #( 7( --( -&( -7

E/%$)'( "= -! 2! " = -! 2! &!  -2 = -! 2! &! "! ! -2 1; 5 ; 7 ; 35 &#=   

iii, &-& o M 2 o

divisores

O(%&+*"  Godo  G odo n6ero copuesto( posee una cantidad de divisores siples % divisores copuestos. copuestos.

&-& L 5 M &

&-& L o M # 7

&-& L o M # 11

o

&-& L 13 M ∴ &-& es prio

E/%$)'( 1, 2, 3, 4, 6, 12 -2=      divisores

ii, 2( &( #( 7( --( -&

En general 1ea un n6ero 5N donde CDN = 3antidad de divisores de N.

o

iii, 2-7 L o M 2

2-7 L 3  M -

o

2-7 L 5 M 2

CDSN = 3antidad de divisores siples de N. CDCN = 3antidad de divisores copuestos copuestos de N.

2-7 L o 7

∴ 2-7 no es prio

1e cuple=

=

&-& L o  M 7 17

217 %( )&*$' i, 217 ≅ 14

ivisores siples de -2 son ivisores son -! 2! & ivisoress copuestos de -2 son "! ! -2 ivisore

CDN

o

 &-& L 3 M -

CLASIFICACIÓN !OR RU!OS DE NÚEROS

CDS N + CDC N

N#$%&'( )&*$'( %"&% (* :!.E.S.I.; 1e le less de deno noi ina na ta tab bi; i;n n pr pri ios os re rela lati tivo voss o copri cop rios( os( % son aqu aquell ellos os n6 n6er eros os que tie tienen nen coo 6nico divisor co6n a la unidad.

A)*+*" N 01 3u)n 3 u)ntos tos n6 n6er eros os pri prios os se esc escrib riben en co con n tr tres es cifras en el sistea cuaternario4 cuaternario4

E/%$)' 1 : ! -2 % 2# son BE15 4 Número Divisores 8 1, 2, 4, 8

Despuesta= -2 !&')*%+%( 01. El con0unto de los n6eros prios es in$nito = I2! &! #!7! --! -&! -7...J 02. 2 es el 6nico n6ero prio par. 03. 2 % & son los 6nicos n6eros consecutivos consecutivos % a la ve8 prios absolutos. 04. 1ea p un n6ero prio. si pK2( entonces Fp L o M-,v Fp L o -, 4 4

12

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 12

25

1 , 5 , 25

Único divisor común Bor lo tanto los n6eros si son BE15

A)*+*" N 02 1i a ( b % c son n6eros n6eros prios ade)s( se tiene que= a M b M c L : % a  b L &# 3alcule= F a.b  c, Despuesta= 27

E/%$)' 2 ( -# % 2- son BE154 Número Divisores 9 1, 3, 9

C$' (% %%&$*"+ (* ," "#$%&' %( )&*$' 1e e*trae la raí8 cuadrada al n6ero dado si es e*acta( se deterina que el n6ero no es prio. 3aso cont contrario rario(( se consid considera era todos todos los n6er n6eros os prios enores o iguales que la parte entera de la raí8. 1e divide de enor a a%or el n6ero dado entre cada n6ero prio considerado. 1i en dichas divisiones( se obtienen al enos una e*acta( el n6ero no es prio.

15

1 , 3 , 5 , 15

21

1 , 3 , 7 , 21 Dos divisores comunes

Bor lo tanto los n6eros no son BE15 NÚEROS !RIOS ENTRE SI 2 A 2 :!ESI 2A 2;

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1

8

ARITMÉTICA  Gres o )s n6eros son prios entre si 2 a 2 ( si al  Gres toar los n6eros de dos en dos resultan prios entre si. Bor e0eplo los n6eros &"( &# % :7 son pesi dos a dos ! puesto que = &" con &# son pesi &" con :7 son pesi &# con :7 son pesi

En general= 1ea N un n6ero copuesto= copuesto= N L a α .bβ .c χ  

.3.

a ( b ( c ... prios α ( β ( χ ... (enteros positivos

DIVISOR ELEENTAL 1e ll lla aa a di divi viso sorr el ele een enta tall de un n6 n6e ero ro(( a su enor divisor diferente de la unidad.

3uando el n6 3uando n6er ero o es re relat lativa ivaen ente te a% a%or or los c)lcu c) lculos los se deben deben de real reali8a i8arr apl aplica icando ndo alg alguna una fórula=

!&')*%+%( 01.
CANTIDAD DE DIVISORES CD N

= ( α + 1)(β + 1)( χ + 1) ......

37 N

= - + 37 BD5>R1 + 37 3R>

02. Godo  Godo n6ero prio a%or que &( es de la fora SUA DE DIVISORES

O

6 ± -( lo recíproco( no siepre es verdadero.

SD N

03.os ente 03.os enteros ros cons consecut ecutivos ivos(( siep siepre re son pri prios os entre si FBE15,.

05.1i un n6ero prio divide a un producto de 05.1i varios vari os fact factore ores( s( divid divide e nece necesaria sariaent ente e a uno de ellos.

−1

.

b β+1 b

−1

−1

.

c χ+1 c

−1

−1

!RODUCTOS DE DIVISORES DN

06. Godo  Godo n6ero copuesto puede e*pre e*presarse sarse coo el producto de factores prios

=

NCD N

O(%&+*"

07.1i 07. 1i Oa OaOO % Ob ObOO so son n n6 n6e ero ross pr pri ios os(( en entr tre e si si(( se cuple que Fa M b, % Fa * b, son prios entre entre si.

I"*+'& % ," "#$%&' Notación= φ FN, ó ψ  FN,  FN,
08.1i 08. 1i un grupo de n6eros son BE15 2 a 2( entonces son BE15( lo recípr recíproco oco no siepre se cuple. O(%&+* O(%& +*" "  G  Godo odo n6ero entero positivo a%or que uno tiene por lo enos un divisor prio. !RIER TEOREA FUNDAENTAL DE LA ARIT
(N)

DESCO!OSICIÓN CANÓNICA :D.C.;

a

1

(a

1)b

1

(b

1)...

E/$ 3u) 3u)nta ntass fr fracc accion iones es pr propi opias as irre irreduc ducti tible bless de denoinador 2+ ha% Dpta : CO!LEENTO

 Godo n6ero entero positivo a%or que la unidad  Godo se pu pued ede e e* e*pr pres esar ar co coo o el pr prod oduc ucto to de su suss divisores prios diferentes elevados a e*ponente e*ponentess enteros positivos( considerando que los n6eros pri pr ios os %a en su fo for ra a es est) t)n n de desc sco opu pues esto toss canó ca nóni nica cae ent nte! e! pr prin inci cipi pio o Pun unda dae ent ntal al de la Arit;tica FGeorea de Qauss,

DIVISOR !RO!IO
E0eplos=

= 2 3.3 3

a

−1

SUA DE INVERSAS DE DIVISORES SDN SIDN = N

04.1i un n6 04.1i n6e ero ro es pr pri io o ab abso solu luto to(( es pr pri io o relativo con todos los n6eros que no son 6ltiplos su%os.

24

=

a α +1

ivisores== -( 2( &( "( ( :( ( -2( -:( 2"( ivisores 2"( &( 72 2

1

&+ L 2 .3 .5

ivisores propios=-(2(&("( propios=-(2(&("( ( :( ( -2( -:( 2"( &

72+ L

OBSERVACIÓN D 72 = 12 ( divisores propios de 72 L --

#"+ L 2#++ L

PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA S DN  − N  L 1ua de divisores propios

Despuesta= :

1e lla llaa a div diviso isorr ele eleen ental tal de un n6 n6er ero o a su enor divisor diferente diferente de -.

03.

E0eplo= para el caso del nuero E0eplo= nuero 72( el **('& %%$%"+ %( 2 E/%$)'( D% A)*+*"


Desueltos en clase 01.

Despuesta= 2

el n6ero=

N = 1a 

a 

×

1b

 

el n6ero 2-++ calcule=
c, +

&++ n

b, "? e, 7

20.  3u)l es el producto de los divisores 6ltiplos de & de 72+ 4

c, #

* 2:  tiene * # 4

c, #

a, -++ b, c, -22? d, -2": e, -#2+ 19. 3u)l es la sua de las inversas de los divisores copuestos copuestos de ++ 4

c, "?

b, "? e, 7

b, " e, 2

18. divisores pares de :++

09. 'allar el valor de “n” si el n6ero de divisores de B L &*2-n   es 2/& del n6ero de divisores de

a, & d, 

c, 

17. 1i el n6ero  L ". 15 ! ! posee 7- divisores copuestos.. 'allar el valor de OnO. copuestos

07. e los divisores de "&2++( 3u)ntos son 6ltiplos de 2 pero no son 6ltiplos de &4

a, 2 d, #

b, #? e, :

16. 1i el n6ero= N = -&T + 2 − -&T  tiene 7# divisores copuestos. 3alcular el valor de “T”

06. 'allar “a”. 1i 1i a  b L & % el n6ero n6ero b a N L & M &  tiene &+ divisores divisores.. a, : d, #

c, --

15. eterinar OnO si la sua de los divisores del n6ero = B L 2n."#! es igual a --7+.

05. 'allar 'al lar “n “n”( si N L2- × -#n  tiene 2+ divisores copuestos. a, # d, "

b, -+? e, -&

14. 3alcular OnO si el n6ero = D L -2n.2 .2:! :! ade ad e)s )s tien tiene e -# -#2 2 di divi viso sorres copuestos.

'allar “n”( si ! EL " n × :" tiene 72 b, & e, 

c, 2p M -

13. 1i= " T + 2 − " T tiene 2 divisores( se pide( calcular el valor de “T C -”

3u)ntos divisores copuestos tiene

a, #" d, "?

b, "p C e, :p

a, & d, 7

tiene tie ne igu igual al ca canti ntidad dad de

b, " e, :

n

-#. &+

(

tiene

2"

c, #?

22. El n6ero N = "2. &n tiene & divisores enos que ++. 'allar dicho n6ero % dar la sua de sus cifras.

. 'allar el valor de “n” c, 

PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA a, 27 d, -:

b, 2" e, ?

c, 2-

d, G L I F* 2 M *, / * ∈ V ∧ & U * U -, e, G L I F*2 M *, / * ∈ V ∧ & ≤ * U -#,

23. 1i 23. 1i "2n tiene :- divisores. 'allar “n” a, 2+ d, 2#

b, -+ e, &+

c, -#

24. 3u) 3u)nt ntos os n6e n6erros cop copue uest stos os e*actaente e*actaente al n6ero -27"+4 a, 2: d, "

02.1eg6n el diagra 02.1eg6n diagraa a linea lineall Su; alternat alternativa iva es la correcta 4 R a, D ⊂ 5 b,5 % S son coparables I Q c,S % V son coparables d, N ⊂ 5 Z e, N ∈ V

b, &e, &2

divi divide den n

c, &

N

03. 1ea el con0unto AL I:( I:J( ∅J % las siguientes proposicione proposiciones= s= ?:∈A ?:⊂A ? & ∈ I  I& &J ? ∅ ∈ A ? ∅ ⊂ A ? ∅ ⊂ I&J ? I:J ∈ A ? I:J ⊂ A ? ∅ ∈ I&J ? III:JJJ ∈ BFA, ? II∅JJ ⊂ BFA,

25. 3u) 3u)nt ntos os divi diviso sore ress de ":+ ":+ son son prios con &#-4 a, : d, #

b, 7 e, "

c, 

26. 3u)nto 3u)ntoss diviso divisore ress enor enores es que -#+ tiene tiene el n6ero #++4 a, -2 d, 

b, -e, :

El n6ero de proposiciones verdaderas es= a, -d, :

c, -+

04.

27. 27. 3u)ntos divisores tiene el n6ero de la fora= *%*%*% ( si se cuple= ? E*isten E*isten en el el n6ero n6ero " divisor divisores es prios prios en total total ? El n6e n6erro de de la la for fora a *% es prio. a, -: b, 2" c, &+ d, &2 e, &

b, -+ e, n.a.

c, 

1ean los con0untos=

 

A =  * * ∈ Ζ (

− &≤

"* + <  2 

 = { * + 2 * ∈ A}

3 = { * + 2 * ∈ }

@ L A ∪  ∪ 3

'allar= FAW ∩ 3,W ∆ FWC A,

a, IC-( +( -( 2J b, IC-( +( #( J d, IC-( +( -( 2( #( J

c, I&( "J e, N.A.

05. 'allar el n6ero de subcon0untos propios que tiene el con0unto= > LI∅( I∅J( I∅( I∅JJJ

CUADRO DE CLAVES 01

02

03

04

05

06

07

a, d, -#

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

26

26

27

b, & e, N.A.

c, 7

06. 1i los con0untos A(  % A ∪  ti tien enen en respectivaente 2#! &2 % " eleentos. 'allar el cardinal de A ∩ . a,  d, -#

b, -e, N.A.

c, -&

REPASO I

07. e un gr grup upo o de : 0u 0uga gado dore res( s( ": 0u 0ueg egan an f6tbol( 2# basTet % &+ b;isbol. 1i sólo  practican los & deportes. 3u)ntos $guran e*actaente en un deporte4 a, -& d, "

b, 2& e, N.A.

c, &

08.1e tiene= A L IB/B es 08.1e es prio % de 2 cifrasJ

01. eterinar por coprensión el con0unto= 01. eterinar  G L I-2 ! 2+ ! &+ ! ... ! 2-+J

o

 = I* / * = + -J J 'allar el cardinal del con0unto potencia de A ∩ .

a, G L I F*2 M *, / * ∈ N ∧ " U *U -, b, G L I F*2 M *, / * ∈ N ∧ * U -, c, G L I F* 2 M *, / * ∈ VM ∧ * ≤ -#,

a, -+2" d, -2: PAG – 05

1

8

b, #-2 e, N.A.

c, 2#

ARITMÉTICA

09. En ca cada da pr pro opo posi sicció ión n col olo oca carr FX FX,, si es verdadero verdader o o FP, si es falso= ? El con0unto potencia es un con0unto de con0untos. ? 1i nFA, L &( entonces BFA, tiene : subcon0untos ? El con con0un 0unto to va vacío cío per perte tenec nece e a tod todo o co con0u n0unt nto o potencia. a, XX XXX X d, XPP

b, XX XXP P e, N.A.

a, -/ d, -/-

2

A

tiene

a, -#/"d, -#/"&

2

a, & d, 

e, No se a$ a$rra na nada da

a, +(-:F&-, d, +(:-F&-,

a, 22& d, -+#&

67

+ ...

c, #

+

2 62

+

1 63

b, +(+:F&-, e, N.A.

+

2 64

+ ...

c, +(:F&-,

b, 2&":

c,

e, N.A.

b, -+:+ e, --+:

c, -+2"

21. 
b, "# e, -2

c, 2&

22. El residuo de la división de un cierto n6ero entre 22. El -& es --( pero si dicho dicho n6ero se divide entre entre --( el cociente anterior auenta en - % el residuo anterior disinu%e disinu%e en -. 3u)l es este n6ero4 n6ero4

c, -#

b, ::: e, :7

66

2

20. 'allar la sua de dos n6eros( sabiendo que su 20. 'allar producto es 272:&2 % que si se resta 2+ unidades al ultiplicador( el producto disinu%e en -"".

a, #+ d, 7#

14. El n6ero n6ero &"-2n = 2&22n+-   este iso n6ero en base n M 2 se escribe a, -2d, --2

+

c, -7/"-

a, 2&":: 2::&" d, 2"&::

c, 27

b, & e, N.A

64

3

19. 1i = GALAN 19. 1i GALAN x 99 =...798 58 'allar=  LA + NALG NALGA A

13. En una encuesta de #+ estudiantes( sobre h)bitos de lectura( se encintró los siguientes datos = ? 2+ leen caretas ? 2- leen Qente ? - leen Riga ?  leen Qente % Riga ? & leen sólo Riga ? " leen sólo Qente ? & leen las tres revistas 3u)ntos leen sólo 3aretas 4 a, 2+ d, 2

+

b, " e, 7

6

c, -+

b, 2# e, &&

2

b, -/"& e, -/"-

1

12. En un oento dado de una $esta se observa lo siguiente sigu iente!! : bebe beben n % bail bailan an siul siult)ne t)neaen aente te 7 beben en el 0ardín (  bailan en el 0ardín. Entre quie qu iene ness ba bail ilan an % qu quie iene ness be bebe ben n su sua an n 2# 2#.. contando a los que bailaban o estaban en el 0ardín era 2-. 3u)ntas personas había en la $esta si 2 estaban en el 0ardín pero no bailaban ni bebían % & ni bailaban ni bebían ni salieron al 0ardín 4 a, 2& d, &+

63

+

18. Escribir en base &-( la sua de los in$nitos t;rinos de la siguiente suatoria =

'allar= n( D ) + n( B  S)  nF nFS∆D,c b, - e, N.A.

3

17. @n n6ero escrito en el sistea binario tiene -+ cif cifras ras(( 3 3u)n u)ntas tas cif cifras ras te tendr ndr) ) en el sis siste tea a eptal 4

11. 1ean 1e an lo loss co con0 n0un unto toss B( S % D! un co con0 n0un unto to universal @( tal que= nFB, L 2+! nFS, L &2! nFB ∩ S, L 7! nFB ∩ D, L-- ! nFS ∩ D, L -! nFB ∩ S ∩ D, L 7 nF@, L +. nFBc ∩ Sc ∩ Dc , = # a, : d, -&

+

6

10. 1i la unión del con0unto A con su respectivo con0unto potencia tiene -- eleentos( entonces se puede decir que= b,

c, -/&2

16. 'allar la sua de los in$nitos t;rinos de la siguiente suatoria =

c, XP XPX X

a, Es absurdo eleentos c, A tiene & eleentos d, A est est) ) inc inclu luid ido o en en BFA BFA,,

b, &/&2 e, &/-

b, #: e, 7

c, 7:

23. Al dividir A entre  se obtuvo por cociente 3 % por 23. Al residuo D! al auentar A en -:++ %  en &+ % se vuelve a efectuar la división se observa que el cociente % residuo peranecen constante. 3u)l es el valor del cociente4

c, -2-

15. 3alc 3a lcul ular ar la su sua a de lo loss in in$n $nit itos os t;rinos dados = 1 2 1 2 + + + + .... 7 4' 343 2401

a, ++ d, ++

PAG – 05

1

8

b, 7++ e, N.A.

c, :++

ARITMÉTICA 24.. 24
b, :"e, N.A.

1

b, 2 e, #

27.

7

8

9

31

Ejemplo 01 :

c, :

1ean los n6eros &+ % "# 'allando sus divisores = 30== -( 2( &( #( ( -+( -#( &+ 30 45== -( &( #( ( -#( "# 45

3.A. Y Fa + 2,Fb + &,Fc + ", Z L Fa + -,Fb − 2,F2c,

Divisores

'allar= “aMbMc”

-( &( #( -#

Co#)!es

b, 7 e, -+

6

a, Es un divisor co6n de las cantidades b, Es el divisor de los divisores counes.

1abiendo que=

a,  d, 

5

? ado un con0unto con0unto de cantidade cantidadess se de$ne al >3 de es esta tass co coo o aq aque uell n6 n6e ero ro qu que e cu cup ple le la lass siguientes condiciones.

c, &

b, :# e, 

4

=>IO COÚN DIVISOR

26.
3

c, &2:

25.. En una división ine*acta( el dividendo es #7# % el 25 cociente coc iente -2. -2. 3u) 3u)ntos ntos valor valores es puede puede toar el el divisor4 a, d, "

2

c, :

 >)*io

Bor lo tanto >3F&+!"#, L -#

28. 3alcular 3alcular el valor de Fa M b M c M *, si se cuple que =

ivisores de -# = -( &( #( -# Oservaci!n

-*-*-

+ 2*2 2*2 + &*& &*& + ... + /*/ /*/ = ab:c ab:c

a, -" d, -7

b, -# e, -:

Los divisores comunes de un conjunto de cantidades son los divisores de su MCD

c, -

En general= Bara los n6eros A(  % 3

29. 3u)ntas cifras " se escriben al nuerar del - al 29. 3u)ntas -+++  a, 2#+ d, "++

b, &++ e, 2++

MCD ( A, , C ! " #

c, &#+

A)*+*" 01 3u)ntos divisores counes tiene los n6eros + % -#+.

30. 'allar el valor de la cifra “u” si= -cdu + udc = :# % c + d = -a, 2 d, #

b, & e, 

Despuesta = . . . . . . . .

c, "

A)*+*" 02 1i el >3FA( ( 3, L #+" 3u)ntos divisores counes tiene A(  % 3 4

31. 'allar la sua de las siguiente serie arit;tica = 1 L "2n M "7n M #"n M \ M a, 7# d, 7##

b, 7#" e, N.A

Despuesta = . . . . . . . .

" t;rinos


c, 7"

I. "o "orr de desc scom ompo posi sici ci!n !n si simu mult ltán ánea ea de lo los s números en sus #actores primos$

CUADRO DE CLAVES

E/%$)' 01  3alcular el >3 de= a, :+! -2+ % 2++. b, #"! + % &

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 8

0 9

10

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

20

DESCO!OSICIÓN CANÓNICA

2

2

2

2

2

2

2

2

2

30-

Ejemplo: PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA 'alle el >3 de los n6eros A(  % 3 ( donde =

 >3

FA(  ( 3, L a MCD (

, , !

1

C AL

25

×

32

×

ado un con0unto de n6eros enteros positivos= El >3> de dicho dichoss n6er n6eros os es el enor de los 6lt 6 ltip iplo loss co cou une ness qu que e co cop par arte ten n di dich chos os n6eros.

53

 L 23 × 3 4 × 52 × 72 3 L 24

×

36

×

5

11

×

3

E/%$)' 1ean los n6eros -: % 2" >6ltiplos=

2

Entonces= >3F A( ( 3 , L 2 × 3 × 5 En general= adas las descoposiciones canónicas de varios n6eros=

e -:= -:( &( #"( 72( +( -+:( -2( -""( . . . . e 2"= 2"( ":( 72( ( -2+( -""( -:( . . . .

∗ El >3 de dichos n6eros es el producto de sus

divisores prios counes elevados cada uno a su enor e*ponente.

⇒ >  >6ltiplos 6ltiplos counes de -: % 2" =72( -""( . . . ∴ >3> F-:( 2", L 72

ALO AL ORI RIT TO O DE EU EUCL CLID IDES ES Fivisiones sucesivas, 1e utili utili8a 8a sólo para el c)lc c)lculo ulo del >3 de dos n6eros E/%$)' 01 3alcule el >3 de -# % -2+

Oservaci!n: Los múltiplos comunes de un conjunto de números enteros positivos son todos los múltiplos del MCM de dichos números

A!LICACIÓN

Cocie!+es 1

3

156 120 36 36

12

01. 5ndicar cu)ntos 6ltiplos counes tienen -2 %  entre 2"+ % #"+

3 12

%CD

0


*esid)os

I.- "o "orr %es %esco compo mposic sici!n i!n sim simult ultáne ánea a de los números en sus #actores p rimos

E/%$)' 02 'alle el >3 de los n6eros &&+ % 2##

E/%$)'

E/%$)' 03 Al calcular el >3 de A %  por las divisiones suce su cesi siva vass lo loss co coci cien ente tess fu fuer eron on 2 ! - ! & % 2 respectivaente. 'alle los n6eros si su >3 es -+.

3alcular el >3> de los n6eros= ( -2+ % -:+  -2+ : -+ " # - # - # - Entonces=

!RO!IEDADES 01.1i 01. 1i a varios n6eros se les divide a cada uno entre su >3( los cocientes sucesivos que se obtienen son n6eros BE15.

-:+ -# -# -# # -

-2 2 " & #

>3> F( -2+( -:+, L -2 * 2 * " * & * #L -""+

>3 FA( , L   & ⇒ =a ! = b  ! # # onde = a ( b % c son BE15

A!LICACIÓN 01 1e de dese sea a fo forra arr el e eno norr cu cubo bo co cop pac acto to utili8ando ladrillos cu%as diensiones son 2+ c ( : c( %  c. 1i el illar de ladrillos tiene un costo de 2"+ soles. 3u)nto gastaría en forar dicho cubo4

02 ? El >3 de varios n6eros no varía si a dos de ellos se les reepla8a por su >3. >3 FA( ( 3, L  ⇒ >3 Y A( >3 F( 3,Z L 

II. "or %escomposici!n can!nica

03.1ean 03. 1ean a ∈ V a%or que -( F α ( β( θ , ∈ VM ( tal que = A L aα   L a β  - 3 L a θ   -

El >3 >3> > de var ario ioss canónicaente PAG – 05

1

8

n6e n6 erros de desc sco opu pues esto toss

ARITMÉTICA est) dado por el producto de los factores prios counes coun es % no counes counes elevado elevadoss cada uno a su a%or e*ponente. A!LICACIÓN ado los siguientes n6eros = A L 2" × && * #"

01.@n ce 01.@n cerr rra0 a0er ero o cu cuen enta ta la lass ll llav aves es qu que e ti tien ene e po porr docenas( por decenas % de quince en quince( % en cada caso le sobran siepre 7 llaves. Al vender sus llaves a ra8ón de -+ centavos cada una( gana entr en tre e #+ % + so sole les. s. 3 3u) u)nt ntas as ll llav aves es te tení nía a el cerra0ero4

 L 2  * &  * #  * 7 &

"

2

2

3 L 22 * &# * # * -- 2 'allar el >3> de A (  % 3 !RO!IEDADES 01 1i = A L

o

,

a, # d, #"7?

>3> F A(  , L A

⇒

∧

L&

⇒ >3> F A(  , L -#

a, d, &-??

02 1i A %  son n6eros BE15

03 1i se divide el >3> de varios n6eros entre cada uno de ellos( los cocientes obtenidos son BE15.

a, -++ d, -+

>3> F A(  ( 3 , L > % &

$ (

% 

-(

% C

a, "d, &#???

04. ado dos dos F% solo solo dos, dos, n6er n6eros os A %  se cuple que

05. El >3> de varios n6eros no varía si a dos de ellos se les reepla8a por su >3>.

a,  d, #"?

>3>F A( ( 3 , L >

 >3>

Y >3>F A(  , ( 3Z L >

b, -"+ e, -:+

c, -2+?

b, & e, &&

c, &7

05.@n tornero cuenta los tornillos que ha fabricado( 05.@n por decenas( por docenas % de quince en quince % siepre resulta  tornillos sobrantes. 1abiendo que a ra8ón de -+ soles por tornillo( obtiene un ingreso de )s de #+++ % enos de +++ soles( hallar el n6ero de tornillos fabricados.

>3F A(  , * >3> F A(  , L A * 

Y A( >3>F ( 3, Z L >

c, "-

04.@n epleado traba0a # días seguidos % descansa 04.@n el se*to día. Epie8a a traba0ar el lunes. 3u)ntos día íass tie iene ne qu que e tra raba ba0a 0arr pa para ra que ll lle egue a descansar en día doingo4

r

onde= p( q % r son BE15

 >3>

b, #e, 2-

03.1e tr 03.1e trata ata de for forar ar un cu cubo bo de lad ladril rillos los cu%as cu%as diensiones son 2+ c( -# c %  c. 3u)ntos ladrillos son necesa nec esario rioss par para a for forar ar el cub cubo o )s peq peque9 ue9o o posible4

⇒ >3> FA(, L A * 

⇒

c, #7&

02.1e tra 02.1e trata ta de va vacia ciarr tr tres es bar barril riles es de ace aceite ite que contienen 2-+( &++ % "2+ litros de capacidad a envases que sean iguales entre sí % que tengan la a%o a %orr ca capa paci cida dad d po posi sibl ble. e. 3 3u) u)nt ntos os de es esto toss envases enva ses son nece necesario sarioss para que todo todoss quede queden n llenos( sin despreciar aceite4

E0eplo = A L -#

b, #:7 e, #&-

b, #&e, #-

c, #"+

06. Gres  Gres ciclistas parten a un iso tiepo % de la isa línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron tardar on respectivaente respectivaente - in. -2 s! - in. &+s % - in. "#s.  3u)ntas vueltas habr) dado cada ciclista cuando ha%an pasado nuevaente % a la ve8 por la línea de partida4 a, -+#! + % 72 b, &+! 2: % 2 d, &#! 2: 2: % 2"? e, 2"! 2+ % -:

PAG – 05

1

8

c, 72! & % -:

ARITMÉTICA 07. 'allar el enor n6ero entero que es >3> de -: n6eros enteros diferentes e indicar la sua de los divisores de dicho n6ero. a, 72 d, :-?

b, #" e, &&

d, "&

16. 'all 'a llar ar la dife difere renc ncia ia de 2 n6 n6e ero ross enteros sabiendo que su >.3.. es ": % que su sua es 2::.

c, &+

a,  d, 2::

08. 'allar la sua de 2 n6eros enteros cu%o >.3.>. es 22 "++ % tales que en el c)lculo del >.3. 3. . ed edia ian nte div ivis isio ione ness suc uces esiv ivas as se obtuvieron obtuvier on 2(# % & sucesivaent sucesivaente e coo cocientes. a, 2+"+? b, 22"+ c, 2+#+ d, 22#+ e, 2++

d,

%

1

%

2

%1 %

 b,

2

e,

%

2

c, -: % 2#

%1%2

b, -2 e, 

a, " d, 7 20.

?

c, ?

14. si ade)s es= a,  d, ":

b, 77

=  

1500

= 15

c, 2#

21. El >.3.>. de dos n6eros “a” % “b” es ::( ade)s= 2 2 a + b  L 2 +++ 'allar el valor de= a M b a,  d, 2

c, -2

b, #2 e, #

c, ":

22. 'allar dos n6eros uno de 2divisores % el otro de -+ divisores % cu%o >.3.. sea -:. 'allar la sua de dichos n6eros. a, 7&: d, :" 23. % 3.

c, 2

b, #7 e, -:

c, 2-

'allar el a%or factor co6n de A( 

2:+ − - − A = 2#2 − -  = 2:+ 3 = - a, -" − - b, 6 56 − 1 c, 2: − -

15. .3.>. % >.3.. es -+:( luego A C  es= a, --

%.C.D.( & , )

'allar = A   a, &+ b, "+ d, + e, 2+

El >.3.>. de los n6eros A %  es ::( 2 2 L 2 +++( el valor de FA M , & + , b, #2? e, 2:



%.C.%. ( & , ) %.C.D. ( & , )

b, 2"in. c, #2in. e, 0a)s ocurre un encuentro.

b, ? e, &+

c,

FA ≠ o ,. 1e cuple =

%.C%. ( & , )

13. adoss & n6eros ado n6eros A( A( % 3. 1e sabe sabe que el >. >.3. 3..FA .FA(, (, L &+ % >.3 >.3. ... F( F(3, 3, L -: -:.. 3u)l es el >.3.. de A(  % 34 a, & d, -#

L

b, # c,  e, : ados ados dos n6eros n6eros enter enteros os A % 

siendo A K 

12.& óviles A(  % 3 parten al iso tiepo de un 12.& punto de una pista circular que tiene 2"+ . de circunfe cir cunferen rencia. cia. A se despla8a despla8a con velocidad velocidad de :/s!  con velocidad de # /s. % 3 con velocidad de & /s. 3u) 3u)nto nto tiepo tiepo transcur transcurrir) rir) para para que los & óviles realicen el prier encuentro4 a, 2"+in. d, "in?

%

19. 1i el )*io co6n divisor de dos n6eros A %  es ab ( sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtuvieron al hallar el >.3.. por divisiones sucesivas sucesivas han sido= sido= #! "! & % 2. Ade)s= A M  L #77. 'allar Fa M b,

11. El >.3.. de dos n6eros n6eros es &+. 1i su producto es &7:+( cu)l es su >.3..4 a, -# d, -+

1iendo  A @ -2 * 15!

a, 72 % --"" b, -"" % ": :7& % ": d, 72 % ": e, ## % &"

. 2 c, %1  %

%1

c, 2"+

-# * 12! Ade)s = >. 3. . FA( , L -2+ 'allar el valor de “n” Fn K -, a, 2 b, & c, " d, # e,  18. 'allar 'allar dos n6eros cu%o >.3.. es -2( sabiendo ade)s que los cocientes sucesivos para para hallar hallar el >.3.. >.3.. por divisi divisione oness sucesi sucesivas vas fueron -! 2! 2! &! &.

10. 2 n6eros al ultiplicarse por tercero se obtien obtiene e que su >.3 >.3.. .. es %1   % cuando se dividen por dicho tercer n6ero el >.3.. es % 2 . 'allar el >.3.. de dichos n6eros. a,

b, -2? e, -""

17.

09. 'all 'a llar ar do doss n6 n6e ero ross A %  pr pri ios os entre sí( tales que el ínio co6n 6ltiplo de A %  es &&+ % A   L 7 a, 22 % 2 b, ## % " d, 22 % -#? e,-" % 2-

e, &?

d,

c, ":& PAG – 05

1

8

7

− - e,

"2



−-

ARITMÉTICA 24. 1i= 1i=>3> >3>FA( FA(,L ,L2 2 -++ % >3 >3FA( FA(, , L7 L7.3 .3u)n u)nto toss pares de n6eros( que tienen al enos dos cifras cuplen estas condiciones4 a, 2 d, #

b, &? e, 

diferencia entre a % b es -. 'allar el a%or de los n6eros si los dos prieros cocientes son iguales. a, :-# d, &2"

c, "

b, &7 e, -#7

c, "2

25.A un teatro asisten adultos % ni9o( el adulto paga 25.A 1/-& por entrada % cada ni9o 1/--! la recaudación total tot al es de 1/2+-.3u)nt 1/2+-.3u)ntas as personas personas asistiero asistieron n coo )*io al local4 a, -7+ d,

b, -7& -:2?

c, -:+ e, -:#

CUADRO DE CLAVES

26.e cu)ntas aneras se puede dividir 26. e*actaente en parcelas cuadradas iguales un terreno rectangular de -2 -2+ + po porr + e etr tros os44 3a 3ada da pa parc rcel ela a ti tien ene e un n6ero entero de etros cuadrados a, 2 d, :?

b, " e, -+

c, 

27.'allar la sua de dos n6eros cu%o >3 sea -:( 27.'allar sabiendo que el priero tiene -+ divisores % el segundo tiene -# divisores. a, -2 d,

b, -"" &+?

c, 2:: e, "&2

n6e n6 erros de tr tres es >3F&+( abc, = &+ 4

a, : d, --

b,  e, -2

cifr ci fras as cu cup ple len= n=

b, 2: &

2 6 

2 7 

2 8 A

2 9 3

3 0 3

0 8 A 1 6  2 4  3 2 3

^ partes toadas. toadas. part pa rtes es en que que se se di divi ^ la unidad o el total.

Es una fracción= Rbserve que= b ≠ + CLASIFICACIÓN 1. D% +,%&' +,%&' + (, ",$%&+'& ",$%&+'& A; !&')*+( FN U , 3  11 ; ; ;................ 7 ' 23

'allar >3F] 2A!] 2,

c, &2? e, "+

B; I$)&')*+( FNK , 17 15 ; ; .......... .... ' 4

abc

b,  :" e, : "+

2 5 

0 7  1 5 E 2 3  3 1 3

+ ∈V a → nuerador Entonces= f = + r∈ V b → denoinado

32. 1i= >3Fabc!7#!/72, = &! abc ≠ -& 32. 1i= 'allar la sua de todos los n6eros de la fora a,  -+# d, 7 7+"

0 6  1 4  2 2

# :

c, 7:+?

  A      = 2 . !  ] 2 ] 2    

a, 2" d,

0 5  1 3  2 1

c, -+?

31. 1i >3F]A!], L - 31. 1i

>37

0 4  1 2  2 0

INTER!RETACIÓN

q = ......F7, F2- 2- cifras,,

b, #2+ e, - 7-

0 3 3 1 1 3 1 9

CONCE!TO Depr De prese esenta nta el n6 n6er ero o de par parte tess que se to toa a del n6ero en que se divide el total.

30.  'allar la sua de los divisores counes a los 30.  n6eros p % q donde= p = .....F7, F2-& cifras,% a, &2# d, - 2:7

0 2  1 0 E 1 8

1

28.1i >3FN(22 +#+,L 22# % la cantidad de divisores 28.1i de N es -#( entonces la sua de las cifras del enor N que cuple es= a, ? b, -c, -& d, -# e, - 29.3u) 29.3 u)nt ntos os

0 1  0 9  1 7

O(%&+*" Pracción 5propia U K N6ero >i*to

c, 7 2&?

E/%$)'

33. . 3. . por el Algorito de Euclides se obtienen los restos &+! 7! a! b! + donde la

PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA 2" --

2

L 2M

--

L 2

dada por la a%or potencia de 2 ó # contenida en el denoinador.

2 --

a

parte fraccionar parte entera

# .2

;

#

E/%$)'

3

2

1

4

'

3

!

;

.......... .; 0, 46 ( ' )

.......... .....

a

f  =

a

b

b

E/%$)'

es irreductible( si= a % b son !ESI

.......... ..

!

2 &

= +(....... = ......!

= +( &&........= ........

R%+ Bara hallar la cantidad de cifras deciales que ha% en el período( basta saber en cuantos nueves coo ínio est) contenido el denoinador.

FRACCIÓN EUIVA EUIVALENTE LENTE  una fracción irreductible

aFT, Entonces= bFT, E/%$)'

< >

a b

T++ % N,%%( ! T ∈ V+

 - 2" "+  !  ! ! ......... < >  #  -+ -# 2# 

:

FRACCIONES DECIALES I. D% D%* *$+ $+ %+ %+'G 'G liitado o terinante F.E, a b

/

&! /

//

--

///

27 ! &7

////

-+-

/////

"-! 27-

//////

7 !-&

# +(abc ! porque &7 est) contenido coo ínio en &7 & nueves.

o

2 f

+( np

  ≠ 2    b≠ #   ≠ -+  

$

--

b

# .2&

II. DECIA DECIAL L INE>A INE>ACTO CTO A; D%*$+ !%&**' !,&'

c

"

a

* 2

n6eros que no tienen fa factor co co6n

Entonces=

1e=

2 .#

+( npq!

100

E/%$)' 0,6

FRACCIÓN IRREDUCTIBLE 1on aque aquellas llas frac fraccione cioness cu%o cu%oss t;r t;rinos inos no tiene tienen n ning6n factor co6n aparte de la unidad. 1on irreductibles= & : 2" ! ! 7 -- -&

"

abc

0, abc

B; %%&'"%+( Fdiferente %%&'"%+( Fdiferente denoinador, b

a "

F&+*" F&+ *" %"%&+&*H

2. D% +,%&' + +&*+( &+*'"%( A; '$'"%+( Figual '$'"%+( Figual denoinador, ! c ; ; # # # 2 6 124   E/%$)' .......... .. 5 5 5 a

+( np!

& 2

o

! b # o

1

-+

E/%$)'

3 4

..........;

12 5

11  41  7

0, abc .......

..........

2

R%+ 
5

6

>3>F2( #( , L &+

PAG – 05

1

8

     

30 c/

ARITMÉTICA

E/%$)'= 0, 3' E/%$)'=

 -   -  -    -+ . - + . - + ÷ ..... - +÷  2÷    ÷&   "    n >=  − -  − -  -    . - − ÷ ..... - −÷ - 2÷ . -  ÷&    "    n

abc '''

F&+*" F&+ *" %"%&+&*H 0, abc

.........; 0, 3 ( ' )

.........

n+n d, Fn2 M n,/2?

B; D%*$+ !%&**' *'

a,



2 a ; b 5 b  10

a, + l d, # l

o+ros E/%$)'

1'

7

.........;

'0

2

3

2  5  13

.........

30

a, d, &05.

0, abcde/4i

a, :-?

E/%$)' +( &":= ........! +(-&2

F#,

=

.........

a c e ! ! b d f 

a, 2# d, -++

c, 2#

A cu)ntos tercios es igual 274 1 b, c,  2 e, -:

b, 2( 2( dí días c, 2( 2(# dí días e, 2 dí días( 2+ horas

b,  e, #+

c, &2

08. 1i el largo de un rect)ngulo disinu%e en un quinto % el ancho auenta en su itad( qu; parte es el )rea inicial respecto del )rea $nal4

!R=CTICA DE CLASE

a,

01. 'allar el valor de 2 # 2 : =  / −  . / + -# -#   _ = 2 −&

b, #/2 e, 7/"

3

b, -? e, #+

07.
>3Fa! c! e, >3>Fb! d! f, >3>Fa! c! e, >3 Fb! d! f,

a, 2/& d, - ?

2

a, 2 2((" dí días d, 2 días

O(%&+*'"%(

a c e ! ! b d f a c e >3> ! ! b d f

c, 7+ l

06. Andrea puede hacer una obra en " días % elinda la isa obra en  días. En qu; tiepo tie po ter terin inar) ar)n n la obr obra a si es que tr traba aba0an 0an  0untas4

abcd ab F&+*" F&+ *" %"%&+&*H +(ab +( abcd cd ++

1ea las fracciones irreductibles

b, ## l e,  l?

50 ci/ras

6

>3

e, Fn2M-,/2

Deducir= 16 1616 161616 161616...1616 + + + ... + = 25 2525 252525 252525    ... 2525 

d,

3

c, Fn2  n,/2

04.

R%+ R% + Bara hallar la cantidad de cifras periódicas % no periódicas que e origina una fracción propia irreductible se sigue coo los casos anteriores aplicados a la ve8.

1

2n Fn2 + -,

03. 


/

b,

&  " # #

d,

−

1 4 4

b, e,

2 3

c,

5 6

5

 5 09.  3u)ntos litros de vino ha% que agregar a un 09.  barril donde ha% # litros de vino por cada " litros de agua para que resulte una e8cla de -:+ litros( donde por cada  litros de e8cla ha% 7 litros de vino4

7 -&

"

c, 2/#

02. Efectuar=

a, 7+ d, 7# PAG – 05

1

8

b, :+ e, -++

c, +

ARITMÉTICA

10.

a, /&#? b, /&c, #/&d, #/&7 e, :/-7 16. En un depósito se colocan " < de le0ía % : < de agua ag ua.. 1e cons nsu ue -/ -/" " de la e e8c 8cla la % se reepla8a con agua. 3u)ntos < de agua ha% en la e8cla $nal4.

1e e*traen "++    de un tanque que

estaba est aba lleno hasta hasta sus 3 5

2 3

  quedando hasta sus

3u)ntos litros faltan para llenar el tanque4

a, & ++   d, 2 "++   11.

a, 
b,  +++   c, - 2++   e, 2 +++  
de #"+ ]( a los

2 3

17.

 de la carretera( a partir de

b, 72 ] e, -:+ ]

a,  d, &

c, &+ ]

a, d,

5 12 7 12

13.

b, e,

1i

6

:  del recorrido4 -#

c,

13 5



los

t;rinos

de

2

3 

5

c,

a,

b, # e, :

6

b,

11 d, &

2 3

. ar

c, 

2 3

c,

3 2

e, 2

21. Gres  Gres ca9os pueden llenar un tanque en &! " % # horas( traba0ando solos. 1e abre el priero( al cabo de "# inutos el segundo % luego de &+ inutos el terc tercer ero. o. 'all 'allar ar la capa capaci cida dad d del del tanq tanque ue si -# inutos despu;s habían llenado - 77+ litros

  de lo que lleva( en el cuarto suben #+

 de los que lleva( llegando a este con :+

b, -# e, &2+

c, -:

20.
a, 2 &++   d, & &++  

pasa0ero pasa0e ros. s. e eter terin ine( e( co con n cu) cu)nto ntoss pas pasa0e a0ero ross partió= a, 2++ d, -+

b, 2+ e, 2"

a, " d, 7

le

pasa0eros % en el tra%ecto al quinto paradero de0a los

c, 7

coo respuesta la diferencia de los t;rinos.

14. @n tranvía parte con cierto n6ero de pasa0eros. 14. @n En el prier paradero de0a la tercera parte( en el segundo suben # pasa0eros( en el tercero ba0an 5

  de lo que le

2-. 'allar la fracción si es equivalente a

a, 2++ % #++ b, 2++ % ++ -#+ % ##+ d, -++ % ++ e, 2#+ % "#+

3

5

de

19. El producto de los dos t;rinos de una fracción es 19. El

15

auentaos 2 n6eros que suan 7++ resulta una fracción equivalente a la original( cu)les son los n6eros4

los

b, " e, #

a, - d, -#

13 a

3

5

18.  Gres  G res hobres hacen un traba0o en " días. 1abiendo que el priero sólo lo haría en  días % el segundo en -2. Su; tiepo tardaría el tercero traba0ando solo4 FEn días,

@na @n a pe pers rson ona a %a av avan an8ó 8ó

avan8ar para llegar a los

1

@n autoovilista observa que

falta por recorrer( cu)ntas horas habr) epleado hasta el oento( si todo el via0e lo hace en -2 horas4

  de su # recorrido. Su; fracción de lo que le falta debe

12.

c, & <

lo que ha recorr recorrido ido equiva equivale le a


b,  < e, : <

22.3 22.3on los

c, &++

b, &-++   e, 2 2#+   2 7

c, 2 "++  

de la prop propina ina que recib recibió ió `uanit `uanito( o(

copró un par de calcetines( con los

2

del resto 7 un pa9uelo( con lo que quedó de resto( copró & entradas para un teatro % a6n le quedó 1/. -2 )s de lo que gastó gastó en pa9uel pa9uelos. os. 1i los calcet calcetine iness

15. @na epresa copra igual cantidad de dos tipos de l)pices. @tili8a "/# de un tipo % /7 del otro. Su; fracción del total quedó sin usar4. PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA cuestan 1/. "+ )s que una entrada al teatro( a cu)nto ascendía la propina4 a, -:+ d, :+

b, - e, 72

27.Qast; 27.Qast;

b, 2 2"+ e, - :+

c, :

a, 1/. 2+ d, 1/. 2

b, 1/. #: e, 1/. ":

a, 2- días d, &2 días

a, - día d, # días

5

1 13 5 d, 2 13 a, &

  de lo que no

est) lleno( se e*trae una cantidad igual a

1

de lo 6 que no se e*trae. Su; parte de la capacidad del depósito quedar) con líquido4 a, d,

1  4

11

b, e,

1 7 5

c,

2 '

12

26. Gengo  Gengo un vaso lleno de alcohol( bebo la se*ta 1 part parte( e( lueg luego o bebo bebo de lo que que qued queda. a. Su; Su; 4 fracción de lo que queda debo volver a beber para 3 que a6n sobren los  del vaso4  a, d,

2 3 1

3

b, e,

2 5 1

c,

c, 1/. 2#

b, 27 días? e, &+ días

c, 2" días

b, " días e, & días

c, 2 días

30.“A” 30.“A” hace una obra en  días( “” hace el iso traba0o en -2 días % “3” lo hace en un tiepo igual al proedio de los otros dos. 'allar en cu)ntos días hacen el traba0o los tres 0untos.

c, 1/. 2" 1

b, 1/. 2" e, 1/. -:

29.@n 29.@n operario se coproete coproete en hacer una obra 2 en 2 días( un segundo operario en & días % un 5 tercero en " días. 1e contrata a los tres para que haga hagan n la obra obra a la ve8! ve8! halla hallarr cu)n cu)nto to tie tiepo po tardar)n.

c, 2 -2+

25.e 25.e un depósi depósito to que est) est) lleno lleno

1

28.A 28.A es el triple de r)pido que  % doble de lento que 3. 1i 0untos pueden hacer una obra en -: días( en cu)nto tiepo haría la obra 3 solo4

24.3on 24.3on los dos quintos de la recaudación de la rifa de 3 un cuadro se cancela el valor de ;ste( con los 4 del resto se copra 0uguetes para los ni9os pobres! con con lo que queda queda del del resto resto % 1/. &#+ &#+ )s se copra otro cuadro siilar al anterior % al iso prec precio io.. 3u) 3u)nt nto o se gast gastó ó en la cop copra ra de los los  0uguetes4 a, 1/. #+ d, 1/. &+

de lo que no gast;( luego recupero

3 3 de lo que no recupero % tengo entonces 2: soles. 1 3u)nto e quedaría luego de perder de lo que 4 no logr; recuperar4

23.os 23.os coerciantes 0untaron un capital( aportando suas que guardaban relación con los n6eros - % 3 #( con los de es este te capi capita tall cop copra rarron 4 ercad ercaderí erías as % el resto resto se dividi dividier eron on en partes partes iguales! pero coo uno de ellos había aportado )s que el otro! este 6ltio tuvo que devolver 1/. 2"+ a su socio( para que las ganancias obtenidas del del nego negoci cio( o( pudi pudier eran an repa repart rtir irse se en la is isa a relación que sus aportaciones. 3u)nto invirtieron en la ercadería4 a, 2 -+ d, - :+

2

1 6

5

PAG – 05

1

8

10 13 10 e, & 13 b, 2

c, 2

7 13

ARITMÉTICA

2 = 7  veces la 4 teperatura de Giclio. Notaos que para llegar a esta conclusión heos coparado las teperaturas teperatur as por edio de una división. ♦ A to toda da co cop par arac ació ión n en entr tre e do doss ca cant ntid idad ades es la llaareos DAVN(
♦

1i la coparación es por edio de una sustracció sustracción n le lla llaar areo eoss DAV AVN N AD AD5G> 5G>G5 G53A 3A % si es po porr edi e dio o de un una a di divi visi sión ón le ll lla aar are eos os DAV AVN N QER>GD53A.

CUADRO DE CLAVES 0 1  1 1

0 2  1 2

0 3 E 1 3

0 4  1 4

2 1

2 2

2 3

2 4

0 5 A 1 5 A 2 5

0 6

0 7

0 8

0 9

1 0

1 6 A 2 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 7

2 8 

2 9

3 0


R+H" %'$&*+ a

=T

b RAZONES Y PROPORCIONES

En donde llaareos llaareos== a= b= r = T=

OBJETIVOS. OBJETIVOS. Al $nali8ar el present presente e capítulo el estudiante estar) en la capacidad de= ? 3o 3op par arar ar do doss can canttid ida ade dess ? >a >ane ne0a 0arr adecu adecuad ada aen ente te las las prop propie ieda dade dess de las ra8ones ra8on es % pro propor porcione cioness en la res resoluc olución ión de los probleas de la vida real ? Entender el ob0etivo de los proedio ioss % su interpretación interpreta ción la vida real.

Xeaos algunas observaciones= 01. 
INTRODUCCIÓN En nuestro nuestro quehacer cotidiano( cotidiano( pode podeos os nota notarr que estab es tablec leceo eoss con const stant antee eente nte co copar paraci acione oness coo por e0eplo un )rbol es )s alto que otro( el peso de una persona es el doble que el de la otra( etc. En es este te ca capí pítu tulo lo(( ab abar arca care reo oss el es estu tudi dio o de la lass copar co parac acion iones es que se pue pueden den est establ ablece ecerr en la naturale8a en fora cuantitativa.

Bor e0eplo. cu)l es la ra8ón entre 2- % 2:4. cu)l es la relación entre entre 2- % 2:4 02.
RAONES  !RO!ORCIONES

1ean las cantidades ( -+ % -" 1ean las cantidades 2:( 2+ % &

RAÓN Bor e0eplo= 3arlos se encuentra en 3hosica % se da cuenta que est) a 2++ . sobre el nivel del ar Fs.n.., % una teperatura proedio de 2: 3 este piensa visitar a eto que se encuentra en la ciudad de Giclio la cual est) a "2++  s.n.. % a una teperatura teperatur a proedio de " 3. ♦

antecedente consecuente valor de la ra8ón arit;tica valor de la ra8ón geo;trica geo;trica

A!LICACIÓN 1 anuel % >arco est)n en la relación de & a #( dentro de “” a9os estar)n en la relación de 7 a -+ a9os. 1i dentro de “2 ” a9os sus edades suar)n -+:( cu)l es la edad de >anuel4

Bodeos observar que=  Giclio se encuentra a "2++  2++ L "+++  )s sobre el nivel del ar respecto a 3hosica. Notaos que qu e pa para ra ll lle ega garr a es estta conc nclu lusi sió ón he he os co opa parrad ado o la lass alt ltur ura as po porr e ed dio de una sustracción.

A!LICACIÓN 3 A un una a re reun unie iero ron n as asis isti tier eron on 2# 2#2 2 pe pers rson onas as.. 1e observo que por cada # hobres había 7 u0eres. 3u)ntas pare0as tendría que retirar para que la

PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA nueva relación entre hobres % u0eres sea de # a :4

15 5

SERIE DE RAONES EO
27

=3!

5

6

= 3  !

'

1

= 3  !

2

6

5

=

27 '

=

6

=

2

1 6

=3

b

c d

e

=



/



=

b

c

=

d

e



/



5

'

6 2

=

3alcule = a M b M c S%&*%( % R+H'"%( %'$&*+( EM,*+%"%(  C'"*",+( Xeaos los siguientes 1.D.Q.E.

+-.

1 6

=

5

=

27 − 6 '−2

27

=

'

=

6 2

=

1 6

=

54 1

=

1 6

6

=

2

15 + 27 + 6

5 20

=

20 0

=

0 320

a

'× 2× 6

=

b

02. S)#a de co!sec)e!+es

17 '

×

6 2

×

1 6

=

'× 2×6

320 120

=

1 4

b

=

c

c

=

d

d e

=

de donde podeos deducir=

  Co!s+a!+e de     =    $ro$orcio! aidad    

27 × 6 × 1

=

A las 1.D.Q.E. que cuplen dicha condición( los llaareos SERIE DE RAONES EO
5+'+2

27 + 6 − 1

S)#a de &!+ecede!+es

=3

=3

01. 15

31 + b

A!LICACIÓN 5. a 2 c = = 1i =  ( ade)s a  c L "# 36 b 20

+2 3=

25 − a

3alcule “a M b”.

Bor e0eplo( sea la 1. D. Q. E.

=

b + = = b + 24 16 − b

=

V%+$'( +K'&+ +( )&')*%+%( $( *$)'&+"%( % ,"+ S. R .  . E.G )+&+ %' )+&*&%$'( % %/%$)'( )+&+ ,%' %"%&+*H+&'(.

27

  Co!s+a!+e de  !   =     $ro$orcio!aidad  

a

1i se cuple que=

=

5× '× 2× 6

= 34

A!LICACIÓN 4

=

a( c( e % g son antecedentes b( d f % h son consecuentes % T le llaareos constante de proporcionalidad

=

6

15 × 27 × 6 × 1

=

Baseos a resolver algunas aplicaciones respecto a las propiedades.

e donde=

15

1

15 + 5 27 + ' 6 + 2 1 + 6 3 +1 = = = = 15 − 5 27 − ' 6 − 2 1 − 6 3 −1

Bodeos establecer la equivalencia entre ellas( a la que llaareos 1. D. Q. E. a

2

×

03. Al ef efec ectu tuar ar la lass op oper erac acio ione ness de adición %/o sustracción con los t;rinos de una ra8ón de una 1.D.Q.( estas isas operaciones se veri$can con los t;rinos de las otras dos ra8ones. 15 27 6 1 3 = = = = 15 − 5 27 − ' 6 − 2 1 − 6 3 − 1

=3

=

'

6

n. n6er n6ero o de ra8o ra8ones nes que que se ult ultipl iplica ican n en la serie.


=

×

rodc+o de co!sece!+es

A lo que llaareos serie de ra8ones geo;tricas equivalentes F1.D.Q.E.,

a

27

rodc+o de a!+ecede!+es

Bodeoss notar que todos Bodeo todos tien tienen en el iso valor valor de ra8ón( por lo que podeos a$rar que son equi eq uiva vale lent ntes es(( lo qu que e po pode deo oss in indi dica carr de la siguiente fora = 15

×

e 4 e 3

= 33 PAG – 05

1

8

=

e 3 e 2

=

e 2 e

=

e e

=

ARITMÉTICA A!LICACIÓN 6 1i =

a b

=

b c

c

=

d

=

d e

=

1

Bodeos notar( en abos e0eplos( que heos igualado ra8ones de la isa clase que tienen el iso valor( a cada uno de estas. G53R( por igualar 2 ra8ones arit;ticas( % para el segundo caso QER>GD53R( por igualar 2 ra8ones geo;tricas.

% e  b L 7+

2

calcule = a M b M c Md M e A!LICACIÓN 07 En un una a se seri rie e de tr tres es ra ra8o 8one ness ge geo o;t ;tri rica cass continuas cont inuas equivalentes equivalentes de cons constant tante e ente entera( ra( se observ obs erva a que la su sua a de sus t;rin t;rinos os es 7 7.. 3alcule el tercer t;rino.

Xeaos ahora para las cantidades “a”( “b”( “c” % “d”. !RO!ORCIÓN ARIT
!RO!ORCIÓN

abLr

Bor e0eplo=

cdLr

01. En una reunión hubo 2# hobres % 2 u0eres. 01. En En un de dete terri ina nado do o oe ent nto o -7 ho hob brres estuvieron bailando( por consiguiente -7 u0eres tabi;n bailaban en ese oento( es decir= ^ 'obres -7 :

^ ailan ^ No ailan

∴ a −b

^ >u0eres -7 2

refresco

refresco

20.

6. 600g

!úcr 

!úcr 

-ro. 2do. &ro. "to. ?G;ri ?G ;rinos nos = a b c d 1i ana anali8 li8ao aoss una pr propo oporc rción ión(( que pue puede de ser arit;tica o geo;trica( respecto a los t;rinos edios ed ios pod podeo eoss ind indica icarr que es estas tas pue pueden den ser dife di ferren ente tess en cu cu% %o ca caso so a la pr prop opor orci ción ón le *(&%+(( o pueden ser iguales a la llaare lla areos os *(&%+ '"*",+.. Ento que llaareos llaareos proporció proporción n '"*",+ Entonces nces(( veaos= !&')'&*" A&*$*+   +    1   % a    &   4   (    *    D En

200g

Bodeoss observar que en el prier recipiente Bodeo recipiente== 20 2000r

=

100r

600r

=

1 100r

por cada litro de refresco ha% -++ gr de a86car( con lo que concluios que son de igual calidad las e8clas( por lo que podeos indicar que=

20 2000r

=

6 600r PAG – 05

1

8

!&')'&*" %'$&*+

b Lc  dFb ≠ c,

a

donde=

b

d= cuarta cuarta de= a( b % c

1

por cada litro de refresco ha% -++ gr de a86car( % que en el segundo recipient recipiente e= 6

a c = b d

∴

? a % d = t;rinos e*treos ? b % c = t;rinos edios

2. @na vendedora de refresco tiene 2 recipientes con refresco de aracu%). El priero tiene 2+ litros el cual endul8ó con 2+++ gr. de a86car % el segundo tiene  litros el cual endul8ó con ++ gr. de a86car. II"

=c−d

En donde llaareos=

Bodeos observar que la cantidad de hobres % la cantidad de u0eres se diferencian diferencian en 2# - L ( tal así coo el n6ero de hobres que no bailan con el n6ero n6ero de u0eres que no bailan F:  2 L ,( por lo que podeos a$rar que= 2#  - L :  2.

I"

!RO!ORCIÓN EO
=

c d

b≠ c

En donde= diferen diferencial cial

d= cuarta de= a( b % c

proporcional proporcional

ARITMÉTICA

abLbc donde=

  +   ,   " En    *    1   "   '    C

c= tercera de= a%b b= edi edia a de=  a % c

a

b En donde= diferencial diferencial

c= tercera tercera de= dife difere renc ncia iall a % b b= edi edia a de= a%c

=

02. 1i=

b

$+-

=

$−-

7

-+r



3

-−r

=

11 5

. 'allar=

$ r

c a,

proporc proporciona ionall d,

prop propor orci cion onal al 3. 1i=

6

b,

5 20

?

3

e,

6

c,

7 1'

3

3

, *  = +(& % * M % L 2++. %

a, - d, "&

2

'allar “*”

b, 2# e, #+?

c, &7

Xeaos algunos e0eplos= +-. +2. +&. +". +#. +.

04. 1i=

3u)l es la cuarta diferencial diferencial de -#( 7 % &-4 3u)l es la la cuarta proporc proporcional ional de -( : % 7+4 3u)l es la la edia difere diferencia nciall de -& % 74 3u)l es la la tercera tercera diferen diferencial cial de &# % 24 3u)l es la la edia propor proporcion cional al de & % 2#4 3u)l es la la tercera tercera proporcional proporcional de & % -24

c

=

d

A)*+*" 08 En una proporción geo;trica continua se sabe que la sua de los t;rinos e*treos es #2. 3alcule la sua de los " t;rinos de dicha proporción( si la constante es un n6ero entero positivo.


 

a b

3alcule 3alcul e el a% a%or or t; t;r rino ino de una pr propo oporc rción ión de t;rinos enteros( enteros( donde la sua de sus " t;rinos t;rinos es 2" % la sua de los e*treos es -& % la diferencia de los edios es -.

d,

a, -:+ d, -+#

b, -#+ e, N.A.

3

=

c d

=



b+d

a + 0,6 b + 1,4

si 8  ≠

d−b

c, --

10 3 11 e, 4

b,

=

2c + 3 2d + 7

3 7 c,

7 3

?

07. A una $esta asistieron ++ personas. 1e sabe que por cada 7 u0eres ha% # hobres. Ade)s de cada -# hobres( 7 son casados % de cada 7 u0eres( & usan inifalda. 3alcular la relación entre los hobres solteros % las u0eres que no usan inifalda in ifalda a,

!

b, - e, :

11 3 5 d, 4

A)*+*" 10

7

c, "2-

&  C Ade)s )s== ---A A M & M 3 L = = ( Ade 3 11 5

3alcular=

a,

=

b, &- e, "+?

a, 2"? d, 

06. 1i=

#

% d  c L 2-+. 'allar d M c

#:. 'allar 'all ar “A”

A)*+*" 09

%

555

a, 27" d, "#" 1ean an== 05. 1e

01. 1i=  M n L &++

222

3 2 4

3

b, e,

5 3 5

c,

2 3

?

3

08. 1e tienen 2 recipientes llenos que contienen agua % vino. En el priero la relación es de & a 2 % en el segundo de 2 a & respectivaente. 1e intercabian # litros % en el priero la relación cabia a " a &. 1i la sua de las capacidades de abos recipientes es + litros . 3alcular cu)l es la nueva relación en el segundo recipiente

. 'allar 'allar   n c, -2+?

a, PAG – 05

1

8

3 5

b,

 5

c,

11 17

ARITMÉTICA

d,

21 2'

e,

23 32

 a la edi edia a prop proporc orciona ional. l. 3alcu 3alcular lar el e*t e*tre reo o enor

?

a,  d, 2

09. 'allar el valor de=  L # $ R $ I $ %  

%iendo& # & medi diferenci' de 24 ( 34 R & medi )ro)orcion' de 88 ( 22 I & *ercer )ro)orcion' de 8 ( 24

b, -e, -7

c, 2#&

a, &+? b, 2 c, "+ d, & e, "2 18. En un una a pr prop opor orci ción ón ge geo o;t ;tri rica ca co cont ntin inua ua de t;rri t; ino noss en ente terros po posi siti tivo voss la su sua a de lo loss cuadrados de los antecedentes es #++ % la edia arit;tica de los e*treos es 2(#. 3alcular el t;rino edio

bolas blancas( ro0as % 10. 1e tiene un cierto n6ero de bolas a8ules( donde se cuple que por cada " blancas ha% # ro ro0a 0ass % po porr ca cada da 7 ro ro0a 0ass ha ha% % -- a8ule a8ules. s. 1i la cantidad de a8ules e*cede a los ro0os en -"+. En cuanto e*cede las bolas a8ules respecto a las bolas blancas. a, " d, -:?

b, - e, -

a, 22? d, -#

c, -:

11 % la diferencia de los 3

isos es ++. 'allar el tercer n6ero. a, #++ d, &2#

b, ##+ e, &7#?

a, 22 d, 2#?

c, +:

12.  En un recipiente ha% -# litros de agua % -2 litros de vino( se e*trae  litros del contenido % se a9ade al recipiente  litros de agua. 3alcular cuantos litros de vino se debe a9adir para que la relación de agua % vino sea la inversa de la que había inicialente. a, -+ d, -2?

b, -e, -:

20. En la serie=

b, 2 e, -

b, 2: e, &2

b, 2& e, 2: a

a, + d, 7"

c, -"

21. 1ab 1abien iendo do que

=

6

c, 2-

=

c

=

10

b, & e, 72 aa +1 aa

c, :+?

=

aa b

% que la sua de los

t;rinos de ;sta proporción es -"". 3alcular el valor de la edia proporcional

c, "?

a, - d, 

14. En una proporción geo;trica continua( la sua de lo loss t; t;rri ino noss e*tr tre eos os es + % la de lo loss $%* *+ + anttece an cede dent ntes es es 2" 2".. 3a 3alc lcul ular ar la  $% *%&%"*+ P de la edia proporcional % uno de los e*treos. a, &? d, "+

c, -2

( 1e tiene que= +G 65 b 35 d G    foran  foran una proporción arit;tica. ar a MbMcMd

ness geo;tricas 13. En una serie de tres ra8one equivalente % continuas( el prier antecedente es " veces el 6ltio consecuente. 'allar el valor de la constante de proporcionalidad. a, d, :

b, &2 e, &

19. En una proporción geo;trica continua se sabe que la diferencia de los e*treos es "+ % la sua de lo loss t;r ;r in inos os es :+ :+.. 3a 3alc lcu ula larr la e edi dia a arit;tica de los e*treos.

11.
c, "

17. En un una a pr prop opor orci ción ón ge geo o;t ;tri rica ca di disc scrret eta( a( el prod pr oduc ucto to de lo loss an ante tece cede dent ntes es es -2 -2+ + % el producto de los consecuentes es 27+. 1i la sua de los 2 t;rinos de la priera ra8ón es 2#. 3u)l es la sua de los t;rinos de la segunda ra8ón4

1= cuarta proporcional de :+! -# % -

a, -":? d, 22+

b, -2 e, &?

b, 27? e, 2#

c, &2

22. En una proporción geo;trica la sua de los 2 pri pr ier eros os es 2+ % la su sua a de lo loss do doss 6l 6lti tio oss t;rinos es 2#. 'allar el enor de los t;rinos edios si la sua de los consecuentes es 27.

c, ":

a, -+? d, -:

15.
b, -2 e, -"

c, -

23. En una proporción geo;trica continua( la sua de sus t;rinos e*treos es #- % la sua de sus cubos es --+ -.'allar la sua de los t;rinos de la proporción.

a, 7/-7? b, :/2c, #/"" d, 7/-: e, :/"16. En una proporción geo;trica continua la a%or diferencia positiva que e*iste entre dos de sus t;rinos es igual a la enor sua que se tiene entre dos de ellos. 1i el e*treo a%or e*cede e*cede en

a, -+2 b, # c, :+ d, 7#? e, -:+ 24. En una pr propo oporc rción ión geo geo;t ;tric rica a la su sua a de lo loss cuadrados de los t;rinos de la priera ra8ón % los de la segunda ra8ón son # % 2+

PAG – 05

1

8

ARITMÉTICA respect respe ctiva ivaen ente te.. 3al 3alcul cular ar la ra ra8ón 8ón ent entre re los productos de antecedentes % el producto de los consecuentes. a, &2 d, :+

b, "? e, 2



c, 72

25. En una proporción geo;trica continua el prier ante an tece cede dent nte e es a a%o %orr en : un unid idad ades es qu que e el segundo consecuente. 3alcular el t;rino edio( sabi sa bien endo do qu que e el pr prod oduc ucto to de su suss t; t;rri ino noss diferentes es -2+ siendo los t;rinos cantidades enteras. a, : d, -+

b, " e, -2

c, ?

a b = ( b c Ade)s= a  c L - ! a + c = : 3alcular la edia proporcional. a, 2 b, 2" c, -# ? d, 2+ e, "

26. 1i=

27. ada la siguiente serie de ra8ones= a2 + = -#

b2 + " = &+

c2 +  . "#

'allar a+b+c si= a M b M c L  a,  ? d, -#

b,  e, -:

c, -2

a c e 2 = = = ! ef  ab  cd L7-" % a2 + c2 = #2 . b d f 7 3alcular= e M f

28.. 1i= 28

a, 7+ d, 7&

b, 7e, 7"

c, 72 ?

29.
b, & e, :

c, "

CUADRO DE CLAVES 0 1 3 1 1 E 2 1

0 2  1 2  2 2

0 3 E 1 3 3 2 3

0 4 E 1 4 A 2 4

0 5 A 1 5 A 2 5

0 6 3 1 6 E 2 6

0 7 3 1 7 A 2 7

0 8 E 1 8 A 2 8

0 9 A 1 9  2 9

1 0  2 0 3 3 0 PAG – 05

1

8

A





3

3

A

3

