1
Bloque I. Portafolios
Presentación y manejo del portafolio de evidencias. 1. El 1. El Portafolio de Evidencias, debe de entregarse según la fecha acordada (no antes, no después) 2. 2. La portada del portafolio en forma vertical, escrita a mano y usando tu creatividad, deberá contener: a) Nombre de la escuela b) Deberá Deberá decir: Portafolio Portafolio de Evidencias Evidencias c) Asignatura, nombre del participante, grado, grupo, número de lista, teléfono, correo electrónico y direcciones de fuentes sociales (face book y/o twitter) d) Nombre del docente 3. Tabla 3. Tabla de contenido: Introducción. a) Ubicación de la materia y relación con las asignaturas del plan de estudios (tomarlo del programa vigente que se encuentra encuentra en internet) internet) b) Competencias genéricas del perfil del egresado (tomarlo del programa vigente) c) Competencias disciplinares extendidas (ídem) Datos personales del autor. a) Fotografía impresa en donde se observe claramente el rostro del autor b) Autobiografía personal personal con expectativa de vida 4. Cada 4. Cada una de las actividades deberá estar numerada en orden progresivo progresivo de elaboración. 5. Numerar 5. Numerar las hojas. 7. Solo utiliza hojas blancas. Sin decorar. Solo un margen será suficiente (si así te place). 8. Formato: A continuación se agrega una una SUGERENCIA SUGERENCIA de las actividades actividades que pueden agregarse. Recuerda que tu creatividad es importante. Puedes utilizar: Reflexiones personales, gustos, pasatiempos, imágenes, frases, mapas conceptuales, mapas mentales, investigaciones, cómics, descripciones de situaciones en trabajo en equipo, línea de tiempo, trípticos, fotos, vídeos, etc. No son parte del portafolio los ejemplos resueltos en clase, tareas o ejercicios que no pueden explicar porque solo “copiaron y pegaron”. El portaf olio olio es individual y no es válido copiar o dar copia de las actividades anexadas. 9. La 9. La presentación del portafolios es muy importante ya que revela que tan ordenado, responsable y metódico eres para realizar una actividad y es parte de tu personalidad, si no cumple con las características aquí descritas tu calificación no será relevante. 10. La 10. La hora y fecha de entrega es impostergable por lo que deberán sujetarse sujetarse a la misma. 11. Cada 11. Cada aportación comenzará en hoja nueva. 12. 12. El Contenido en cada sección deberá apegarse fielmente a los temas vistos en clase, evitando el texto innecesario (rollo mareador), ya que la calidad del trabajo estará en función del mismo.
2
BLOQUE II. Fase de desarrollo. Dada una función, realizar su gráfica y dividir el área bajo la curva en rectángulos inscritos y circunscritos en el intervalo solicitado (realizar una gráfica para cada método).
[] [] [ []
(1) (2) (3)
Los alumnos, reunidos en equipos de cinco integrantes, calculan por el método de exhaución, el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos conociendo la expresión analítica de la función que la limita. (4) (5) (6)
√ √ √ Modelos Matemáticos: Un acercamiento a Máximos y Mínimos
Actividad. Construcción de una caja1 Primero leo todo completamente. Materiales: Un pedazo de cartulina en forma de cuadrado cuyos lados midan a centímetros (es decir, cualquier medida en centímetros), regla, tijeras y cinta adhesiva. Instrucciones: En triadas, construyan una caja (sin tapa) con un pedazo de cartulina, de tal manera que pueda contener el mayor volumen posible. Introducción: Para obtener la caja con volumen máximo, cortarás un cuadrado de x centímetros centímetros en cada una de sus esquinas, doblarás hacia arriba las partes resultantes y las unirás con cinta adhesiva como se muestra en la figura. Para saber de qué tamaño t amaño deberá ser el cuadrado que cortarás en las esquinas, realiza lo siguiente: a) Determina una expresión que describa el volumen de la caja. Para esto, recuerda que el área de un rectángulo es A = (base)(altura). (base)(altura). Así que el área de la base de la caja será:
b) Para obtener el volumen multiplica el área de la base por la altura, en este caso x . De manera que el volumen de la caja es: Ahora, ¿cómo puedes saber para qué valor de x se se obtiene el volumen máximo? Supón que cada lado de la cartulina mide 1 metro, esto es, que el valor de a es 1, considerando como unidad el metro.
1
Luciano Callejas Tejeda y Amalia Ysabel Jiménez Abud, Cálculo Diferencial (México, (México, D. F.: Editorial Nueva Imagen, 2012), 24.
2
BLOQUE II. Fase de desarrollo. Dada una función, realizar su gráfica y dividir el área bajo la curva en rectángulos inscritos y circunscritos en el intervalo solicitado (realizar una gráfica para cada método).
[] [] [ []
(1) (2) (3)
Los alumnos, reunidos en equipos de cinco integrantes, calculan por el método de exhaución, el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos conociendo la expresión analítica de la función que la limita. (4) (5) (6)
√ √ √ Modelos Matemáticos: Un acercamiento a Máximos y Mínimos
Actividad. Construcción de una caja1 Primero leo todo completamente. Materiales: Un pedazo de cartulina en forma de cuadrado cuyos lados midan a centímetros (es decir, cualquier medida en centímetros), regla, tijeras y cinta adhesiva. Instrucciones: En triadas, construyan una caja (sin tapa) con un pedazo de cartulina, de tal manera que pueda contener el mayor volumen posible. Introducción: Para obtener la caja con volumen máximo, cortarás un cuadrado de x centímetros centímetros en cada una de sus esquinas, doblarás hacia arriba las partes resultantes y las unirás con cinta adhesiva como se muestra en la figura. Para saber de qué tamaño t amaño deberá ser el cuadrado que cortarás en las esquinas, realiza lo siguiente: a) Determina una expresión que describa el volumen de la caja. Para esto, recuerda que el área de un rectángulo es A = (base)(altura). (base)(altura). Así que el área de la base de la caja será:
b) Para obtener el volumen multiplica el área de la base por la altura, en este caso x . De manera que el volumen de la caja es: Ahora, ¿cómo puedes saber para qué valor de x se se obtiene el volumen máximo? Supón que cada lado de la cartulina mide 1 metro, esto es, que el valor de a es 1, considerando como unidad el metro.
1
Luciano Callejas Tejeda y Amalia Ysabel Jiménez Abud, Cálculo Diferencial (México, (México, D. F.: Editorial Nueva Imagen, 2012), 24.
3 c) Abajo está la gráfica de la función V( x ), dándole a a el valor de 1, esto es, la gráfica de la función x ),
d) En la gráfica de la función en el intervalo [0, 1], podemos observar que el punto más alto de la curva se presenta cuando x = = 1 (que representa el metro que mide la cartulina) Si analizamos la situación, nos damos cuenta que no podemos cortar un metro por lado de la cartulina, puesto que al quitar una esquina de ese tamaño nos quedaríamos sin cartulina. De hecho, lo máximo que podemos cortar es 0.5 m (50 cm) por esquina, pero en eso caso, al quitar las cuatro esquinas, nos quedaríamos sin cartulina para formar la caja (observa que x = = 0.5 es uno de los puntos más bajos que correspondería a un mínimo de la función ).
Entonces necesitamos encontrar el máximo de la función en el intervalo [0, 0.5]. En la siguiente gráfica, haciendo un acercamiento de este intervalo podemos observar que el valor máximo de la función se da cuando x está entre 0.16 y 0.17; si usamos papel milimétrico o un software (como el Geogebra) que calcule con precisión el máximo buscado, encontraremos que éste se da cuando x = 0.1667, por lo que puedes obtener una caja de volumen máximo si en cada esquina recortas cuadrados que midan 0.1667 m (o bien, 16.67 cm) por lado.
4 Procedimiento: Ahora, construye una caja de volumen máximo con un cuadro de cartulina que mida 30 cm por lado. a) Realiza tu explicación en la libreta, siguiendo la explicación del ejemplo. b) ¿Cuál es la expresión para el volumen en este caso? b) Traza la gráfica correspondiente con ayuda de algún software (Derive, Graphmatica, Geogebra, etc.). En recursos encuentras el link para bajar el Geogebra (Puedes bajar también una versión para compartir con tus compañeros que tienen equipo de cómputo pero no acceso a internet). c) De acuerdo con la gráfica, ¿cuándo deben medir los lados de los cuadrados que quitarás en cada esquina, para que el volumen sea máximo? d) ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja construida? e) Realiza una conclusión de lo aprendido en esta actividad. Evaluación: Lista de cotejo a) Explica el procedimiento que utilizaron para construir la caja (incluyendo la gráfica), justificando la solución obtenida. d) La calificación sólo será asentada cuando trascribas el reporte a tu libreta de trabajo, lo entregues en clase y presentes físicamente la caja construida. Recursos: http://www.geogebra.org/cms/es/download
[email protected] http://www.vadenumeros.es/segundo/problemas-de-optimizacion.htm
5 LÍMITES POR TABULACIÓN Instrucciones: I. Calcula los siguientes límites (como se muestra en el Ejemplo) y dibuja la gráfica señalando con línea punteada el límite buscado. Ejemplo1:
VALORES CRECIENTES x
x + 1
x
x + 1
1.9
2.9
2.1
3.1
1.99
2.99
2.01
3.01
1.999
2.999
2.001
3.001
1.9999
2.9999
2.0001
3.0001
↓
↓
↓
↓
2
3
2
3
Actividad 3
2) √ 3) 1)
VALORES DECRECIENTES
6
4)
5) Se colocan dos carriles paralelos separados por una distancia de dos metros; sobre uno de ellos se rueda una canica con una velocidad constante de 5 m/s. La velocidad con que se acerca la canica a un punto fijo del otro carril que se encuentra a una distancia x de ella está dada por:
√
.
Si los carriles tuvieran longitud infinita, ¿a qué valor tiende v cuando x tiende al infinito? a) Haz un tabulador para valores de x = {10, 100, 1000, 10 000, 100 000 y 1 000 000} y determina el límite b) Verifica tus resultados realizando la gráfica. 2
Actividad 4 .Investiga los teoremas sobre límites e inicia la actividad en tu libreta con estos teoremas. Después encuentra el valor de los siguientes límites, de manera gráfica de las funciones trigonométricas dadas. Señala con una flecha sobre la gráfica hacia donde tiende x y hacia donde tiende y .
Actividad 5. [] Actividad 6. 1) 2) 3) 4) 5)
Encuentra el valor de los siguientes límites de funciones logarítmicas, gráfica y por tabulación.
1) 2) 3) 4)
Encuentra el valor de los siguientes límites de funciones exponenciales, gráfica y por tabulación.
1) 2) 3) 4)
2
Luciano Callejas Tejeda y Amalia Ysabel Jiménez Abud, Cálculo Diferencial (México, D. F.: Editorial Nueva Imagen, 2010), 45.
7
LÍMITES DE FUNCIONES POR EL MÉTODO ALGEBRAICO Ejemplo 1. Calcular Solución:
3
y realizar su gráfica señalando el límite buscado.
El límite se obtiene sustituyendo x = 4 en la expresión.
Ejemplo 2. Calcular Solución:
Al sustituir x = 4 en la expresión se obtiene:
La condición necesaria y suficiente para que tenga límite el cociente de dos funciones en la que el denominador tiende a cero, es que el numerador también tiende a cero. Factorizando la función del numerador se tiene:
3
Francisco J. Ortiz Campos, Francisco J. Ortiz Cerecedo y Fernando J. Ortiz Cerecedo, Cálculo Diferencial , (México, D. F., Grupo Editorial Patria, S. A. de C. V., 2011): 37
8
Ejemplo 3. Calcular Solución:
√
Al sustituir x = 0 se obtiene:
√ √ √
Esta indeterminación se puede evitar si se racionaliza el numerador, es decir:
(√ ) )( ) (√ √ √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √ √ √
9 Ejemplo 4. Calcular Solución:
Sin embargo por identidad trigonométrica sabemos que:
Sustituyendo:
Pues coseno de 0° = 1
Ejemplo 5. Calcular Solución:
Para evitar la indeterminación, factorizamos el numerador.
10 Ejemplo 6. Calcular Solución:
Al sustituir x = - 1 se obtiene
Tanto el numerador como el denominador son factorizables por lo que:
4
Actividad 4 . Encuentra el valor de los siguientes límites, de manera analítica, de las funciones polinomiales y racionales. A. Resuelve correctamente los siguientes ejercicios. B. Para cada uno realiza su gráfica con Geogebra o el graficador de tu elección, señalando con línea punteada el límite buscado. 1. 2. 3. 4. 5.
4
Francisco J. Ortiz Campos, Francisco J. Ortiz Cerecedo y Fernando J. Ortiz Cerecedo, Cálculo Diferencial , (México, D. F., Grupo Editorial Patria, S. A. de C. V., 2011): 39
11 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
√ √ √ LÍMITES INFINITOS 5
Actividad 5. Calcula los siguientes límites infinitos por tabulación y realiza la gráfica correspondiente. 1)
1 10 100 1000 10000
2)
5
Luciano Callejas Tejeda y Amalia Ysabel Jiménez Abud, Cálculo Diferencial (México, D. F.: Editorial Nueva Imagen, 2010), 53
12 1 10 100 1000 10000 100 000
3)
1 10 100 1000 10000 100 000
4) 5)
LÍMITES EN EL INFINITO 6
En algunas funciones racionales el cociente puede ser una indeterminación de tipo ; cuando sucede esto, se dice que se tiene una indeterminación y para evitarla se debe dividir cada término entre el monomio de mayor exponente que tenga la función. Ejemplo: Determina el
La potencia más grande de x es x2, por ello dividimos cada término del numerador y el denominador entre ésta.
6
Ludwing Javier Salazar Guerrero, Francisco Vega Hernández y Hugo Bahena Román, Matemáticas IV (Naucalpan, Edo de México, 2004), 50
13 Realizando operaciones:
Desde luego que este tipo de indeterminaciones no siempre se puede evitar.
Actividad 6. Demuéstrelos siguientes límites si existen y realice su gráfica señalando el límite buscado 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
√ √
10)
= indeterminado
14 BLOQUE III LA VARIACIÓN DE UN FENÓMENO A TRAVÉS DEL TIEMPO7 La siguiente tabla muestra el valor del dólar el día 1 de agosto de cada año, durante el período comprendido entre 1999 y 2003. T (años)
1999
2000
2001
2002
2003
V (pesos por dólar)
9.3565
9.3667
9.1408
9.7861
10.5243
Queremos calcular qué tan rápido cambió el valor del dólar en un instante en particular. Supongamos que nos interesa conocer la razón de cambio del valor del dólar el día 1 de agosto de 2002, que señalaremos por
Para lograrlo, obtendremos la razón promedio de cambio del valor del dólar un año antes y un año después del 1 de agosto de 2002. En el intervalo 2001 a 2002, señalamos la razón de cambio promedio del valor del dólar como calculamos dividiendo el cambio en V entre el cambio en t, es decir:
, y la
Esto significa que un año antes de 2002, el valor del dólar aumentó aproximadamente a razón de 65 centavos por año. De manera similar, la razón promedio de cambio del valor del dólar en el intervalo de 2002 a 2003 es
La interpretación del resultado anterior es que después del 2002, el valor del dólar aumentó aproximadamente a razón de 74 centavos por año. Es importante aclarar que ninguno de estos dos valores corresponde a la razón de cambio del valor del dólar el día 1 de agosto de 2002; lo que sí podemos asegurar es que dicha razón de cambio está entre estos dos valores, es decir:
Por otro lado, si promediamos los valores obtenidos , podríamos decir que una estimación para la razón de cambio del valor del dólar el día 1 de agosto de 2002 es pesos por año. Sin embargo, este valor tampoco sería una buena aproximación, ya que el intervalo que utilizamos es de un año antes y un año después del 1 agosto 2002.
7
Delia A. Galván Sánchez, Dora E. Cienfuegos Zurita, Isabel C. Elizondo Ordóñez, María Fabela Rodríguez, Ana M. Rodríguez López y José Romero Álvarez. Cálculo Diferencial para administración y ciencias sociales “Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción” (México, D. F.: Pearson Educación, 2006), 115
15 Si queremos obtener una mejor estimación debemos fijarnos en intervalos más pequeños. Afortunadamente podemos conocer la cotización del dólar por mes. La siguiente tabla muestra el valor del dólar el día primero de cada mes en el período comprendido de junio a octubre de 2002. T (meses)
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
V (pesos por dólar)
9.7148
9.9568
9.7861
9.9193
10.2299
Los intervalos son ahora de un mes, 1 mes = 1/12 de año. Repetiremos la estrategia de calcular la razón promedio un mes antes y un mes después del 1 de agosto de 2002. La razón promedio de cambio un mes antes del 1 de agosto de 2002 es:
¿Cuál es el significado del signo? _________________________________________ La razón promedio de cambio un mes después del 1 de agosto de 2002 es:
Por lo tanto, se cumple que
Una estimación para la razón de cambio el día 1 de agosto es:
¿Por qué el signo es negativo? ____________________________________________ ¿Consideras que aún podemos obtener una mejor estimación? ______ ¿Sería de utilidad una tabla con la cotización diaria del valor del dólar? _________
La siguiente tabla muestra el valor del dólar en el período comprendido del 30 de julio al tres de agosto de 2002. T (días)
30 de julio
31 de julio
1 de agosto
2 de agosto
3 de agosto
V (pesos por dólar)
9.6944
9.7148
9.7861
9.8769
9.8769
Observa cómo ahora los intervalos son de un día; más pequeños aún que en la tabla anterior (1 día = 1/30 de mes = 1/360 de año). NOTA Los años fiscales se consideran de 360 días. Repetiremos la estrategia de calcular la razón promedio un día antes y un día después del 1 de agosto de 2002. La razón promedio de cambio un día antes del 1 agosto de 2002 es:
La razón promedio de cambio un día después del 1 agosto de 2002 es:
16
Por lo tanto se cumple que
Una estimación para la razón de cambio el día 1 de agosto de 2002 es:
Para obtener una mejor estimación sería necesario contar con una tabla de cotización del valor del dólar, por ejemplo, para cada hora o para cada minuto, pero dichas tablas no están a nuestro alcance, por lo que consideraremos que el valor diario es la mejor estimación que podemos hacer. Para obtener las razones promedio hemos considerado como punto inicial el valor del dólar en el instante que nos interesa (1 de agosto de 2002) y como punto final el valor del dólar en diferentes tiempos, antes y después de dicho instante. Ejemplo1. La siguiente tabla muestra el Índice Nacional de Confianza del Consumidor (INCC). Dicho índice mide el nivel de optimismo o pesimismo de los consumidores mexicanos respecto a la evolución futura de la economía y a sus propias finanzas personales. (Fuente: El Norte, 30 de marzo de 2004, sección Negocios, página 5ª). Arriba de 50 puntos se considera que hay optimismo, debajo de 50 puntos se considera pesimismo. T (mes/año)
Marzo 03
Mayo 03
Julio 03
Octubre 03
Diciembre 03
Marzo 04
INCC (en puntos)
47.59
50.81
50.59
47.84
48.72
49.25
Estima la razón de cambio del INCC en octubre de 2003. Solución: En la tabla anterior observa que los valores para la variable independiente (tiempo) no están igualmente espaciados; es decir, de julio a octubre hay tres meses de diferencia, mientras que entre octubre y diciembre solamente hay dos meses. Recuerda que entre más cercanos estén los datos, mejor será la aproximación para la razón de cambio, así que en este caso utilizaremos los valores de octubre y diciembre.
Ésta es la mejor aproximación que podemos hacer, pues no tenemos datos más cercanos. El significado de esta cantidad es que para noviembre de 2003 se esperaba que el INCC estuviera aproximadamente 0.44 puntos más arriba de los 47.84 de octubre; es decir, aún no habría optimismo en los consumidores mexicanos. Ejemplo 2: Razón de cambio de la población de México (variable continua). De acuerdo con los datos del INEGI, en 2000 la población de México era de 97.4 millones de habitantes y crecía a una tasa de 1.6% anual (Fuente: Atlas de geografía universal, educación primaria, SEP 2000). Si la tasa de crecimiento sigue la misma tendencia, la población de México estaría representada por P(x) = 97.4 (1.016)x. En donde x se mide en años a partir de 2000. Supongamos que nos interesa conocer la rapidez a la que crece la población en el año 2003 (es decir. Cuando x = 3). NOTA La rapidez de cambio, la razón instantánea de cambio y la razón de cambio en un instante son conceptos equivalentes. Solución: Del ejemplo anterior sabemos que para obtener una buena estimación de la razón de cambio en el instante x = 3, hay que obtener la razón promedio de cambio antes y después de x = 3, Y que entre más pequeña sea la longitud “h” del intervalo, mejor será la estimación.
17 En este ejemplo tenemos la ventaja de conocer la fórmula para obtener la población en cualquier instante, así que podemos escoger como longitud del intervalo una distancia h = 0.01 antes y después de x = 3. Luego, si evaluamos la función de población en x = 2.99, en x = 3 Y en x = 3.01, obtenemos P(2.99) = 102.134189, P(3) = 102.150402 Y P(3.01) = 102.166618. Con los valores anteriores construimos la siguiente tabla: x P(x)
⏞
2.99 102.134189
⏞
3 102.150402
3.01 102.166618
La razón promedio de cambio de la población en el intervalo [2.99, 3] es:
La razón promedio de cambio de la población en el intervalo [3, 3.01] es:
Del análisis anterior podemos asegurar que la razón de cambio de la población de México en 2003, denotada por P’x=3, está entre los dos valores anteriores; es decir: 1.6213 < P’x=3< 1.6216 Vemos que las razones promedio antes y después de x = 3 son muy parecidas. Si las restamos (1.6216 – 1.6213 = 0.0003) vemos que difieren en tres diezmilésimos; por lo que podríamos decir que una buena estimación para la razón de cambio de la población de México en 2003 es el promedio de ambas, es decir, 1.62145 millones de habitantes por año. Sin embargo, en este caso tenemos manera de acercamos más al instante x = 3, por lo que repetiremos el proceso, pero ahora considerando a h == 0.001 como la longitud del intervalo. De nuevo evaluamos la función de población en 2.999 y en 3.001, y obtenemos la siguiente tabla: x P(x)
⏞
2.999 102.148780
⏞
3 102.150402
3.001 102.152024*
*En esta tabla, los valores de la población fueron redondeados a seis decimales La razón promedio de cambio de la población en el intervalo [2.999, 3] es: P(2.999, 3) = _______________________ millones de habitantes por año. La razón promedio de cambio de la población en el intervalo [3, 3.001] es: P(3, 3.001) = _______________________ millones de habitantes por año. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos valores? ¿Qué podemos concluir acerca de la razón de cambio de la población de México en el año 2003? Nota: Cuando la diferencia entre las razones promedio antes y después del instante que analizamos es casi cero, como en este caso, significa que hemos obtenido una buena estimación para la razón instantánea de cambio. Si la diferencia entre las razones promedio es muy grande, debemos tomar intervalos más y más pequeños, hasta que la diferencia sea casi cero, o cero. A los acercamientos que hemos hecho alrededor del instante x = 3 para obtener una mejor estimación de la razón instantánea de cambio, se les llama límites.
18 Entonces podemos concluir que: La razón instantánea de cambio es el valor límite de la razón promedio de cambio, cuando la longitud del intervalo h es muy pequeña (casi cero), es decir,
Que a su vez puede escribirse como Sin embargo, recuerda que
Al sustituir esta última fórmula para la razón promedio de cambio de una función f(x) en la expresión que acompaña al límite, obtenemos:
En matemáticas, a la razón instantánea de cambio se le llama derivada. Entonces podemos establecer la siguiente definición de la derivada de una función: ’
La derivada de una función f(x) denotada como f (x), está dada por:
Si este límite existe.
Ejemplo.Encuentra la derivada de la función derivada.
en el punto x = 2, utilizando ladefinición de
Solución. 1) En la definición de derivada sustituimos el valor de x en el que se pide encontrar la derivada. En este caso, sustituimos el valor de 2 en la variable x, y obtenemos:
2) Para obtener el límite, sustituimos en la expresión anterior un valor de h que sea muy cercano a cero. En este caso podemos tomar h = 0.001. Desde un principio debemos escoger un valor muy pequeño para h, esto evita probar con muchos valores.
NOTA. Observa que ya no escribimos la palabra límite. Esto se debe a que al sustituir el valorde h ya estamos obteniendo el límite (es decir, tomamos un valor de x muy cercano a 2). 3) Evaluamos la función en los valores que quedaron indicados en el numerador.
En este caso, sustituimos los valores 2.001 y 2 en la función
19 Al sustituir las expresiones en la definición de la derivada obtenemos que
4) Obtenemos el valor de la expresión anterior, utilizando la calculadora
Así obtuvimos la derivada de la función
en el instante x = 2
Actividad 7: Contesta los siguientes ejercicios en tu libreta de trabajo.
1) Utiliza la definición de derivada para obtener la derivada de la función
en el punto x = 3
Definición de la derivada:
(a) Sustituye en la definición anterior, el valor de x en el que se te pide obtener la derivada. (b) Para obtener el límite, sustituye en la expresión anterior un valor de h que sea muy cercano a cero. (c) Evalúa la función en los números que quedaron indicados. (d) Encuentra el valor de la expresión anterior utilizando la calculadora (e)
2) Utiliza la definición de derivada para obtener la derivada de la función
en el punto x = - 1
(a) Sustituye en la definición anterior, el valor de x en el que se te pide obtener la derivada. (b) Para obtener el límite, sustituye en la expresión anterior un valor de h que sea muy cercano a cero. (c) Evalúa la función en los números que quedaron indicados. (d) Encuentra el valor de la expresión anterior utilizando la calculadora (e)
3) La siguiente tabla muestra el número de alumnos graduados del Ltesm durante el periodo enero-mayo en los años 2001 a 2003. Semestre
2001
2002
2003
Alumnos
832
984
1052
¿Cuál es la rapidez con la que cambia la población de alumnos graduados en el semestre enero-mayo de 2002? (Resp.
4) La siguiente tabla muestra el monto (en pesos) de las mensualidades del financiamiento de una casa durante los primeros dos años. Mes Mensualidad
1 4347.20
7 4479.26
13 4615.33
19 4755.53
¿Cuál es la rapidez con la que cambia la mensualidad en el mes 13? (
25 4875.61
)
5) La siguiente tabla muestra los porcentajes de defunción de niños entre 1 y 4 años, a causa de tumores malignos, durante el periodo de 1990 a 2001. (Fuente: http://www.inegi.gob.mx). Año
1990
1992
1994
1996
1998
2001
% defunción
2.2
3.8
3.8
4.6
4.6
6.8
20 ¿Cuál es la rapidez con la que cambia el porcentaje de defunción por tumores malignos en 1996?
6) La siguiente tabla muestra la esperanza de vida de la población de Aguascalientes en el período de 1993 a 2002. Año
1993
1996
1999
2002
Esperanza de vida
72.3
74
75
376
¿Cuál es la rapidez con la que cambia la esperanza de vida en 1999?
7) La siguiente tabla muestra la población de personas divorciadas en México durante el periodo de 1950 a 2000. (Fuente: http:// www.inegi.gob.mx). Año Personas divorciadas
1950 67 810
1960 119 045
1970 135 762
1990 406 777
¿Cuál es la rapidez con la que cambia el número de personas 1960?
2000 687 444
divorciadas en el año
8) La siguiente tabla muestra las ventas de petróleo crudo de México a Estados Unidos en los primeros cinco meses del año, durante el periodo de 2000 a 2004. (Fuente: El Norte, 14 de julio de 2004. Departamento de Comercio de Estados Unidos). Año
2000
2001
2002
2003
2004
Ventas (millones de dólares)
4624
3971
4235
6 027
6826
¿Cuál es la rapidez en el cambio de las ventas de petróleo
crudo en el año 2003?
9) La depreciación de un automóvil se rige de acuerdo con la función , donde V es el valor del automóvil, en miles de pesos, y t es el tiempo, en años, a partir de su compra. ¿Con qué rapidez cambia el valor del automóvil 6 años después de haberse comprado? 10) El costo total de producción, en miles de pesos, de una empresa está dado por la función:
, donde x se mide en miles de unidades, ¿Cuál es la rapidez con la que cambia el costo total cuando se fabrican 3000 unidades?
[ ]
11) La demanda de un producto está dada por:
[ ] [
Donde q son las unidades vendidas (en miles), t meses después de su lanzamiento al mercado. Estima la rapidez con que cambia la demanda a los cinco meses. 12) El tamaño de la población de cierto cultivo de bacterias en t días está dado por: Estima la rapidez con la que crece la población de bacterias en la primera semana.
]
13) Una empresa determina que la utilidad total, en pesos, por la producción y venta de x cientos de unidades está dada por:
21 Estima la rapidez con la que está cambiando la utilidad cuando se han producido y vendido 900
* +
unidades.
Utiliza la definición de derivada para obtener la derivada de las siguientes funciones en el valor indicado.
14) 15)
√ [ ] [ ]
22 LA DERIVADA COMO UNA PENDIENTE8 Para obtener la expresión que define a la derivada, también podemos partir de argumentos geométricos. El problema de la pendiente de la recta tangente es muy antiguo; esto se remonta a la época del científico griego Arquímedes (287 – 212 a. C.), quién creció con la noción de Euclides (365 – 300 a. C.) de una recta tangente como una recta que toca una curva en un solo punto. Esta idea de tangencia es totalmente correcta para círculos, pero completamente insatisfactoria para otras curvas.
Arquímedes descubrió que cuando se centra la atención en un punto de una curva, ocurre que en dicho punto, la curva se comporta como una recta. Por esta razón definió a la recta tangente a una curva en un punto P como la recta que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Para comprender mejor esta idea, aplicaremos el concepto de límite. Consideremos la siguiente gráfica. Deseamos obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f ( x )en el punto P.
Observa que la pendiente de la recta tangente, no se puede obtener mediante la fórmula conocemos dos puntos de la recta.
, ya que no
La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(2, 4) y Q(6, 21), está dada por
8
Delia A. Galván Sánchez, Dora E. Cienfuegos Zurita, Isabel C. Elizondo Ordóñez, María Fabela Rodríguez, Ana M. Rodríguez López y José Romero Álvarez.Cálculo Diferencial para administración y ciencias sociales “Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción” (México, D. F.: Pearson Educación, 2006),123
23 Si observamos la figura anterior, vemos que la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q, es muy diferente a la pendiente de la recta tangente en el punto P. Para aproximar la pendiente de la recta secante a la pendiente de la recta tangente, utilizaremos puntos sobre la curva que se encuentre cada vez más cercano al punto P.
Llamemos al nuevo punto Q 1 y tracemos la recta secante que pasa por P y Q 1 Calcula la pendiente de la nueva recta P – Q 1
Observa que la nueva recta secante se aproximó a la recta tangente. Realicemos nuevamente el proceso anterior. Llamemos ahora al nuevo punto Q 2 y tracemos la recta secante con P y Q 2 Calcula la pendiente de la nueva recta P – Q 2
La recta secante se aproximó todavía más a la recta tangente. Ahora, llamemos al nuevo punto Q 3 y tracemos la recta secante con P y Q 3 Calcula la pendiente de la nueva recta P – Q 3
La recta secante se aproximó todavía más a la recta tangente; esto significa que sus pendientes son aún más parecidas. Si continuamos con el mismo proceso, vemos que la recta secante quedará casi empalmada con la recta tangente. Repitamos el proceso una vez más. Tracemos la recta que pasa por P y Q 4 Calcula su pendiente m = Observa que la recta secante quedó dibujada casi encima de la recta tangente. Cuando esto ocurre, podemos decir que sus pendientes son muy aproximadas; pero eso pasa solamente si Q se encuentra muy cerca de P; es decir si tomamos el límite. Si llamamos h a la distancia horizontal que hay entre P y los puntos Q i, donde i = 1, 2, 3 y 4. ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q 1? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q 2? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q 3? ¿Cuánto vale h entre los puntos P y Q 4? ¿Qué sucede con la distancia h, a medida que tomamos puntos Q más cercanos al punto P? Conclusión: A medida que el punto Q está más cerca del punto P, la distancia h que hay entre las x , se hace más pequeña, es decir, tiende a cero. Podemos entonces concluir que:
() ( )
En general, si conocemos los puntos expresada como:
y
de una recta secante, su pendiente queda
24
Al sustituir la pendiente de la recta secante en la conclusión anterior obtenemos:
Observa que es la misma expresión que define la derivada de una función. Por lo tanto, podemos decir que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en el punto P.
Ejemplo 1. Obtén la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función x = 1.
, en el punto en donde
Solución: Dibujemos la gráfica de la función y marquemos la recta tangente, para comprender qué estamos buscando.
Sabemos que la pendiente de una recta tangente está dada por la derivada de la función, así que en este caso debemos encontrar la derivada de la función en el punto x = 1 (que es en donde ocurre la tangencia); en la sección anterior vimos cómo obtener la derivada de una función en un valor específico, utilizando la definición de derivada. Para obtener la pendiente, utilizaremos este proceso. La definición es:
Como deseamos obtener la derivada en el punto en donde x = 1, y sabemos que el valor de h debe ser muy pequeño (acercarse a cero) para obtener una buena estimación de la derivada, tomemos, por ejemplo h = 0.0001. Sustituimos el valor de x y de h en la definición y obtenemos:
Observa que ya no utilizamos la palabra límite, esto se debe a que al sustituir el valor de h, ya estamos obteniendo el límite (es decir, tomamos un valor de x muy cercano al número 1). Si evaluamos la función en los números que quedaron indicados, obtenemos:
25
Con una calculadora obtenemos el valor de esta expresión y llegamos a:
, es decir;
; es decir,
.
Actividad 8. En las siguientes funciones obtén la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. 1) 2) 3) 4) 5)
√ [] [] [] [] [
]
6) La siguiente gráfica muestra la tasa de crecimiento de la población de México en el período de 1985 a 1995 (Fuente:http://www.inegi.org.mx/Sistemas/temasV2/contenido/DemyPob/epobla02.asp?s=est&c=17510) Tasa de crecimiento media anual de la población, 1895 a 2010
a) Estima la pendiente de la recta tangente en el período de 1970 a 1980. [Resp. – 0.07] b) Estima la pendiente de la recta tangente en el período de 1940 a 1950. [Resp. 0.066]
26 7) La siguiente gráfica muestra el total de viviendas habitadas en México en el período de 1950 a 2010. (Fuente: http://www.inegi.org.mx/Sistemas/temasV2/contenido/sociedad/epobla11.asp?s=est&c=22236) Total de viviendas habitadas 1950 – 2010
a) Estima la pendiente de la recta tangente en el año 1980. [Resp. 0.395] b) ¿Qué información proporciona el resultado del inciso anterior con respecto al total de viviendas habitadas en México en 1980? 8) La siguiente gráfica muestra la población residente en México y el crecimiento relativo de la población en el período de 1900 a 2000 (Fuente: http://www.inegi.gob.mx)
a) Estima la pendiente de la recta tangente, en el año 1950 del crecimiento relativo de la población.
]
[
b) ¿Qué información proporciona el resultado del inciso anterior con respecto al crecimiento relativo de la población en 1950?
27 BLOQUE III. RÚBRICA PARA COEVALUAR LA ACTIVIDAD 8 Bloque III. Actividad 8. La derivada como pendiente Profesor: Josué Hernández Zamora
COBATAB Plantel 5 Cárdenas Tabasco
Nombre completo del alumno
Fecha de entrega
Nombre completo del evaluador
Actividad 8
Excelente (100)
Bueno
Regular
Tres participaciones
Dos participaciones
Una participación
(a) Resolvió los 8 ejercicios contestando todos los incisos
Carece de dos elementos solicitados
(b) Cada ejercicio tiene su enunciado (incluidas las gráficas si el problema las tiene) (c) Todos los ejercicios tienen el procedimiento correcto de solución (d) El procedimiento es lógico, secuencial y fácil de leer (e) Los resultados de los ejercicios son correctos (f) Entregó este formato a tiempo
Carece de 3 de los elementos solicitados
Deficiente
Carece de 4 o más elementos solicitados
28
29 Derivación Inmediata
12. y = – 6 x
a) Coeficiente entero 1. y = 5
2. y = 2
3. y = x
4. y = 2 x
5. y = 3 x
6. y = 4 x
7. y = 5 x
8. y = 6 x
9. y = – 3 x
10. y = – 4 x
11. y = – 5 x
dy
dx
13. y = – 7 x
dy dx
14. y = – 8 x
dy dx
dy
dx
dy dx
b) Exponente entero.
dy
dx
15. y = x 2
dy
16. y = x 3
dy
17. y = x 4
dy
18. y = x 7
dy
19. y = x 8
dy
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dy
dx
20. y = 4
dy dx
dx
dy dx
21. y = x – 2 dy
dx
23. y = x – 4 dy dx
dy dx
22. y = x – 3 dy dx
dy
24. y = x – 5 dy dx
dy dx
30 25. y = x – 6 dy dx
dy
40. y = – 5 x – 7
dy
dx
26. y = 5 dy dx
39. y = 7 x –5
dx
41. y = – x – 11
c) Exponente y coeficiente entero. 27. y = 2 x 2
dy
28. y = 4 x 3
dy
dx
dx
dx
dx
30. y = 7 x
dx
31. y = – 9 x 2
dy
9
33. y = – 4 x
x
x
x
x
x
x
1 3
1 4
dx
dx
2
44. y dy dx
dy
32. y = – 5
x
43. y dy dx
dy
5
1
dy
29. y = 6 x 4
dy dx
45. y dy dx
1 6
46. y dy dx
1 7
34. y = – 3 x 10
35. y = – x 11
– 2
36. y = 5 x
dy dx
dy dx dy dx
47. y dy dx
48. y dy dx
37. y = 4 x – 3
– 4
38. y = 8 x
1 8
1 25
dy dx
dy dx
dx d) Exponente fraccionario
42. y dy
dy
49. y x dy
dx
1 2
31 50. y dy dx
x
1
7 3
60. y dy dx
51. y dy dx
x
1 4
5
61. y dy dx
x
6x
2
6 17
62. y x dy dx
3
x
1 7
9
63. y dy dx
1
dx
1
54. y dy
53. y dy dx
x
52. y dy dx
25
3x
4
5
x
13
64. y x dy dx
6
e) Exponente fraccionario y coeficiente entero.
15
3
55. y dy dx
65. y dy
x 2
dx
25
x
9
5
56. y dy dx
66. y dy
x 3
dx
dx
x
6 x 5
f) Exponentes positivos y enteros.
3
57. y dy
4
67.
1
y
y
x
2
dy dx
5
58. y dy dx
x 6
68.
dy 3
59. y
x 7
dx
dy dx
3
x
4
32 69.
y
dy
7
x
4
dx
dy dx
70.
79. y y
x
3
dx
y
6
x
7
x3
5
7
dy
dx
72.
x3
4
80. y
dy dx
8
dy
71.
x2
3
9
dy dx
5
y
4
7 x
8
81. y
dy dx
dy
73.
y
dx
7
4 x
5
82. y
dy dx
x
dy y
5
5 x
dx
5
83. y
dy
8
x 5
dy
75. dy dx
2
74.
dx
y
x
76. y dy dx
3
dx
84. y x 5
3
4
x
dy dx
77. y dy dx
y 3
x
2
dy
78. y
85.
dx 6
x 7
8
4
x 3
33 MOVIMIENTO SOBRE UNA RECTA Una interpretación de las derivadas primera y segunda en términos de la razón de cambios aparece en el movimiento de un objeto que se mueve en línea recta. MOVIMIENTO SOBRE UNA RECTA9 Supongamos que una partícula P se mueve sobre una línea recta, y para simplificar se va a suponer que ésta es horizontal. El movimiento de la partícula estará completamente determinado si se especifica la posición de la misma. Esto es fácil de hacer si se elige un punto de la recta como origen y se establece un sistema de coordenadas. En lugar de la x empleada hasta ahora. Utilizaremos la letra s para designar la distancia dirigida sobre dicha recta. Sea la función particular que da la distancia dirigida desde el origen hasta la partícula en movimiento, P, en el tiempo t . El movimiento de la partícula quedará completamente definido siempre que se conozca esa función.
Por ejemplo, sea , empleando cualquier sistema de unidades. En este caso consideremos que s está en centímetros y t en segundos. Esta ecuación establece que cuando entonces , por lo que la partícula se halla a 4 cm a la izquierda del origen. Lo anterior se indica en la figura 1, donde la recta inferior es la recta dirigida sobre la cual se mueve la partícula y la superior representa el movimiento de la partícula, pero se ha dibujado aparte de la recta inferior para mayor claridad. Los valores del tiempo se marcan en la recta superior mientras que los correspondientes valores de s están en la recta inferior.
Se puede observar que cuando , de modo que la partícula pasa por el origen dos segundos después de partir. Cuando la partícula se encuentra a 21 cm a la derecha del origen.
La velocidad de una partícula en movimiento se calcula dividiendo la distancia dirigida que recorre, entre el tiempo necesario para recorrerla. Esto es correcto si la partícula se mueve uniformemente; o sea, si no aumenta o disminuye su velocidad en tiempos diferentes. Si el movimiento no es uniforme como en el caso del ejemplo que se presenta, entonces esta relación sólo da el valor medio de la velocidad, el cual no es necesariamente constante.
⁄ ⁄ ⁄
Para ilustrar lo anterior supongamos nuevamente que . En el intervalo de 2 s entre y partícula se mueve desde el punto hasta el punto , por lo que recorre una distancia cm. La velocidad media durante este intervalo de 2 s es .
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
la
En el intervalo de 2 s entre y la partícula se mueve desde el punto hasta el punto , por lo que recorre una distancia de 16 cm. La velocidad media durante este intervalo de 2 s es . Si se considera otro intervalo de tiempo, o se cambia su duración se obtendrían más valores diferentes para la velocidad media. De las consideraciones anteriores se deduce claramente que lo que se desea es la velocidad instantáneacorrespondiente a un valor fijo de t , y esta velocidad instantánea es precisamente el valor límite de la razón , cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
9
A. W. Goodman , Geometría Analítica y Cálculo (México: Unión Tipográfica Editorial Hispano Americano, 1963), 163
34
Definición. Si da la posición de una partícula que se mueve en una recta, entonces velocidad instantánea en , se define por la ecuación:
, la
Para abreviar, a la velocidad instantánea se la denomina simplemente velocidad . Se llama a veces rapidez al valor absoluto de su velocidad.
Es claro que la velocidad es la derivada de
por lo que se puede escribir:
Por definición, la aceleración de una partícula es la rapidez instantánea de variación de la velocidad. Si se emplea para designar esta cantidad, se tiene por la definición de la aceleración:
La aceleración de una partícula, que se mueve sobre una recta es la segunda derivada con respecto al tiempo de la función que da la distancia dirigida de la partícula a partir de un origen fijo.
Ejemplo: Supongamos que representa la ecuación de la posición (en donde se encuentra en determinado tiempo t ) de un objeto que se mueve en línea recta. Encuentre la ecuación de su velocidad y la ecuación de la aceleración. La ecuación de la velocidad es la derivada primera de la ecuación de la posición, de donde:
La ecuación de la aceleración es la derivada segunda de la ecuación de la posición (o sea, la derivada primera de la velocidad.)
Ejemplo 1. Analizar el movimiento de una partícula en movimientosobre una recta si su posición la da , donde s se expresa en centímetros y t en segundos.
Solución. En la ecuación da s = 0, de modo que la partícula parte del origen. La velocidad en un instante cualquiera está dada por:
⁄
Por tanto en , de modo que la partícula se mueve hacia la izquierda. Estos hechos se muestran esquemáticamente en la figura. Aunque la partícula se mueve sobre el eje s, la recta inferior de la figura, su movimiento se indica para mayor claridad en la gráfica superior. La flecha Movimiento debido a la gravedad. Para todo objeto que se mueve libremente (despreciando la resistencia del aire) bajo la influencia de la gravedad, su posición se puede representar por la ecuación s = -4.9 t2 + vo t + so
para g = - 9.8 m/s2 s = -16 t2 + vo t + so para g = -32 ft/s2
Donde: s = posición en m o pies.
35 t = tiempo en segundos. vo = velocidad inicial. so = posición inicial.
Ejemplo: Supóngase que la ecuación representa la posición (en pies) sobre el suelo de una pelota que se arroja al aire desde el borde de un acantilado. a) ¿Cuál es la altura del acantilado? b) ¿Cuál es la velocidad inicial v o a la que se arroja la pelota? c) ¿Cuál es la aceleración a de la pelota? Solución a) Puesto que la altura inicial se tiene cuando t = 0, resulta que s = so, de donde:
b) Derivamos s para obtener la ecuación de la velocidad; v = -32 t + 48. Puesto que la velocidad inicial se tiene cuando t = 0, resulta que v = v o, de donde: v = -32(0) + 48 = 48 pies/ s.
c) Derivamos la velocidad para obtener la ecuación de la aceleración; a = -32 pies/ s 2. Actividad 12. Aplicando las ecuaciones para caída libre de un objeto, resuelve: 1) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra desde la orilla de la azotea de un edificio de 48 pies de alto con una velocidad inicial de 32 pies/s. Halle la altura máxima que alcanza la piedra y el tiempo en que toca el suelo. (64 pies, 3 s) 2) Se deja caer una bomba desde un aeroplano que vuela a 480 m de altura. ¿En qué tiempo llega al suelo y cuál es la velocidad de la bomba inmediatamente antes de que choque contra el suelo? Desprecie la resistencia del aire y el movimiento horizontal de la bomba debido al movimiento horizontal del avión. Realmente la bomba se mueve según una parábola, pero en este caso suponga que la caída es vertical. (9.9 s, 97 m/s) 3) Un hombre de pie en el suelo arroja una piedra verticalmente hacia arriba. Obtenga una fórmula que dé la altura máxima que alcanza la piedra en función de la velocidad inicial v o, despreciando la altura de la persona. ¿Cuál es el mínimo valor de vo que será suficiente para que la piedra llegue a la parte más alta de un edificio de 2 30 m? ( vo 2 g , 24.25 m/s) 4) Desde la azotea de un edificio de 144 pies de alto se deja caer un objeto. Un segundo después se lanza otro objeto hacia abajo desde la azotea del mismo edificio con una rapidez inicial . ¿Cuál deberá ser el valor de |vo| para que ambos objetos toquen tierra al mismo tiempo? (40 pies/s)
||
5) Se deja caer una bola desde una altura de H metros por encima del suelo. Demuestre que aquella llegará al suelo en
√ ||
6) Si la bola del problema 5 es tirada hacia abajo con una velocidad inicial de suelo en
||
m/s, demuestre que llegará al
7) Un hombre que está de pie en un puente lanza una piedra verticalmente hacia arriba. Exactamente 3 s después la piedra pasa frente al hombre en su caída, y 2 s después choca contras el agua. Encuentre la velocidad inicial de la piedra y la altura del puente sobre el agua. (14.3 m/s, 48 m)
36 8) Un astronauta se encuentra de pie en la orilla de un acantilado y deja caer una piedra. Observa que tarda 3 s en llegar a tierra. ¿Cuál es la altura del acantilado(con respecto al punto de llegada de la piedra) si: (a) el astronauta está en Venus donde g = 8.5 m/s2; (b) en Marte, donde g = 3.7 m/s 2; (c) en la Luna, donde g = 1.7 m/s2. (38 m; 17 m; 8 m) 9) Un segundo astronauta se encuentra al pie del acantilado del problema 2.80 y devuelve la piedra para repetir el experimento. En cada uno de los casos calcule la velocidad mínima con la que debe tirar la piedra para que llegue a la orilla del acantilado.(25 m/s; 11 m/s; 5 m/s) 10) Un astronauta lanza una piedra verticalmente hacia arriba y la recibe luego exactamente 4 s después. Determine la velocidad inicial del proyectil si el astronauta está en (a) en la Tierra, (b) en Venus, (c) en Marte y (d) en la Luna.(64 f t/s; 56 f t/s; 24 ft/ s; 11 ft/s) 11) Un astronauta ha sido capaz de desarrollar una técnica tal que puede lanzar una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de exactamente 24.2 m/s. En la Tierra recibe la piedra después de 5 s; en Venus, después de 5.7 s; en Marte, después de 13.3 s; y en la Luna después de 29 s. Emplee la información obtenida a fin de calcular g para cada uno de esos cuerpos.(Ver problema 3.220) 12) La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por s = t 3 – 6t2 +15 t –5, donde t indica tiempo en segundos. Determine la posición de la partícula cuando la velocidad es de 6 unidades por segundo (s = 5, 13) 13) Resuelve el problema 3.224 si s = t3- 6 t2 + 6t + 11 (s = 11, 3) 14) Sea s = t 3 + 3t2 – 45t + 8. Localice la posición de la partícula y calcule su velocidad cuando: (a) la aceleración vale 12, y (b) cuando la aceleración es igual a 30. (s = -33, v = - 36; s = -60, v = 27) 15) Suponga que s = t4 – 12 t3 + 60 t2 + 11 t - √29 da la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta. Halle la velocidad de la partícula cuando: (a) la aceleración vale 24, (b) la aceleración vale 60, (c) la aceleración es igual a 12. (t = 2, v = 117, o t = 4, v = 149; t = 1, v = 77, o t = 5, v = 189; t = 3, v = 133 ) RECTA TANGENTE Y RAZÓN DE CAMBIO10 Actividad 13. En los problemas 1 a 15 encuentra la ecuación de la recta tangente de la función dada en el punto indicado. Dibuja la grafica de la función y de la recta tangente en los mismos ejes.
√ * √ √ √ + [ ] [] * + + * * + * + [ ] [ ]
1. f ( x )=
en
2. f ( x )= 3. f ( x )=
4. g( x )=
en (0 , 0)
en (1, 1)
en (1, )
5. g( x )=
en x = 2
6. h( x )=
en x = 3
7. f(x)=
en el punto (3, ¾)
8. 9. 10
en el punto (0, )
en (0, 3)
Delia A. Galván Sánchez, Dora E. Cienfuegos Zurita, Isabel C. Elizondo Ordóñez, María Fabela Rodríguez, Ana M. Rodríguez López y José Romero Álvarez.Cálculo Diferencial para administración y ciencias sociales “Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción” (México, D. F.: Pearson Educación, 2006),166
37 10. 11. 12. 13. 14. 15.
[ ] [ ] [ ] [] [] [] en
en el punto (1, )
en
en
en (0, 1)
en
En los ejercicios 16 a 30 realiza lo que se te pide
16. Si q es la cantidad producida de cierto artículo, la función de costos está dada por , todo en dólares. ¿Con que rapidez aumenta el costo cuando q=100? [R. El costo aumenta con una rapidez de 22.2619 dólares por unidad producida.]
17. La función de costos total (en pesos) de una fábrica de zapatos está dada por En donde q es la cantidad de pares de zapatos producidos. Encuentra el costo marginal cuando se han producido 500 pares de zapatos.[R. El costo marginal es $501.89]
18. El saldo en una cuenta bancaria aumenta exponencialmente de acuerdo con la función dólares, donde t son los días desde que se abrió la cuenta el 1° agosto 2002. ¿Cuál es la rapidez a la que aumenta el saldo en la cuenta al final del segundo mes?[R. El saldo aumenta con una rapidez de 0.221872 dólares por día.]
19. El saldo en una cuenta bancaria aumenta exponencialmente de acuerdo con la función dólares, donde t son los años trascurridos desde que se abrió la cuenta en 2004. ¿Cuál es la rapidez con la que aumentara el saldo en 2007?[R. El saldo aumentara con una rapidez de 1127.0904 dólares por año.]
20. La función de demanda para ciertas computadoras portátiles está dada por , donde pes el precio unitario en dólares y x son las unidades demandadas. ¿Cuál es la razón de cambio del precio unitario si la cantidad demandada son 3000 computadoras?[R. El precio disminuye 1802 dólares por computadora.]
21. La función de demanda para una fábrica de llantas está dada por donde D es la cantidad de llantas demandadas a los t meses. ¿Cuál es la razón de cambio de la demanda en el primer año?[R. La demanda disminuye 71 llantas por mes.] 22. La población de China, en miles de millones de personas, a partir de 2003 está dada por , con t medido en años. ¿Cuál es la rapidez a la que crecerá la población en 2007? [R. La población crece a una rapidez de 7.8183 millones de personas por año.]
23. La población de Alemania, en millones de personas, a partir de 2004 está dada por , con t medido en años. ¿Con que rapidez crecerá la población en 2010?[R. La población crece a una rapidez de 0.580635 millones de personas por año.]
24. La utilidad, en pesos, de una empresa que se dedica a la venta de libros de matemáticas está dada por , donde x es el número de libros vendidos. ¿Cuál es la utilidad marginal si se venden 150 libros?[R. La utilidad marginal es de $306.75]
25. La utilidad, en miles de pesos, de una empresa acerera está dada por , donde x es el número de toneladas de acero vendidas. ¿Con que rapidez cambia la utilidad si se venden 20 toneladas?[R. La utilidad aumenta con una rapidez de $6, 000,223.60 por tonelada de acero.]
38 26.La productividad mensual p de un empleado de una maquiladora de ropa (en unidades producidas) está en función del número de años de servicio, t . la función de productividad está dada por . ¿cuál es la productividad marginal a los 15 años de Servicio?[R. La productividad marginal es de 10 unidades.]
27.Se estima que la producción semanal, en kilogramos de una tortillería está dada por , donde n es el número de trabajadores. ¿Cuál es la producción marginal si emplea 12 trabajadores?[R. La producción marginal es de 2076 kg.]
28.Los ingresos diarios (en miles de pesos) de una empresa citrícola, están dados por , donde q representa los litros de jugo de naranja vendidos. ¿Cuál es el ingreso marginal si se vendieron 40 litros?[R. El ingreso marginal es de $2500.]
29.Los ingresos mensuales, en dólares, de una empresa están dados por , donde q son las unidades vendidas. ¿Cuál es la razón de cambio del ingreso con respecto al número de unidades vendidas cuando q = 20? [R. El ingreso aumenta a una razón de 85 dólares por unidad vendida.] 30. Estudios médicos determinaron que el peso, en miligramos, de un tumor canceroso esta dado por , donde t esta medido en meses. Determina con qué rapidez crece el tumor a los 6 meses de haberse detectado.[R. El tumor crece a una rapidez de 2325.94 miligramos por mes.]
BLOQUE III. RÚBRICA PARA COEVALUAR LA ACTIVIDAD 13 Bloque III. Recta tangente y razón de cambio
COBATAB
Profesor: Josué Hernández Zamora
Plantel 5 Cárdenas Tabasco
Nombre completo del alumno
Fecha de entrega
Nombre completo del evaluador
Actividad 13
Excelente (100)
Bueno
Regular
Cuatro participaciones
Dos participaciones
Una participación
Carece de tres elementos solicitados
Carece de 4 de los elementos solicitados
(a) Resolvió los 30 ejercicios (b) Cada ejercicio tiene su enunciado (c) Todos los ejercicios tienen el procedimiento correcto de solución (d) El procedimiento es lógico, secuencial y fácil de leer (e) Los ejercicios del 1 al 15 incluye la gráfica de la función con la tangente en el punto indicado (f) La mayoría de las gráficas no son
Deficiente
Carece de 5 o más elementos solicitados
