“Me gustaría saber como creo Dios este mundo. No me interesa este o aquel fenómeno. El espectro de este o aquel elemento. Lo que quiero conocer son sus pensamientos, el resto son detalles” Albert Einstein 1 “Las observaciones siempre involucran una teoría” Edwin Hubble Tomado de “ La Aventura del Universo” . . Timothy Ferris pp 140 El Cielo de Einstein
Introducción al Cálculo vectorial : : Principios de la formulación del modelo matemático de los campos electromagnéticos
Se presenta un resumen de las e cuaciones del cálculo vectorial necesarias para el desarrollo del modelo matemático del comportamiento de los fenómenos electromagnéticos tanto en condiciones estáticas como dinámicas, así como los diferentes sistemas de coordenadas usados para el desarrollo de los diferentes problemas de electromagnetismo. El cálculo vectorial es una herramienta fundamental para el modelado de campos electromagnéticos, los cuales en su forma más general se representan por vectores, debido a su naturaleza de fuerzas. De ahí que las operaciones básicas entre vectores sean comunes en el análisis electromagnético.
Producto escalar : : El producto escalar se comprende mas fácilmente cuando se estudian sus propiedades geométricas a partir de l as definiciones de suma y diferencia de vectores.
Por ejemplo, al calcular la magnitud del vector obtiene la siguiente relación:
en función de las componentes deA y B de acuerdo con la Figura 1 se
La misma distancia se puede obtener geométricamente por el teorema del coseno:
Figura 1. Diferencia de vectores
Ver Simulación
Dado que es la misma distancia obtenida por dos procedimientos diferentes, se hace evidente la i gualdad:
La cual se puede reducir de forma algebraica como sigue:
Esto es equivalente a:
Cuando se cancelan los factores comunes a ambos lados de la igualdad se llega a la ecuación mas conocida del producto escalar de vectores:
Ecuación 1 Producto escalar de dos vectores
Esta ecuación resulta de gran utilidad p orque permite calcular el producto escalar a través de las componentes, al tiempo que permite calcular el ángulo formado entre dos vectores sin necesidad de hacer abstracción geométrica de los mismos. Como se puede deducir de la Ecuación 1, el producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su magnitud.
Producto escalar : : El producto escalar se comprende mas fácilmente cuando se estudian sus propiedades geométricas a partir de l as definiciones de suma y diferencia de vectores.
Por ejemplo, al calcular la magnitud del vector obtiene la siguiente relación:
en función de las componentes deA y B de acuerdo con la Figura 1 se
La misma distancia se puede obtener geométricamente por el teorema del coseno:
Figura 1. Diferencia de vectores
Ver Simulación
Dado que es la misma distancia obtenida por dos procedimientos diferentes, se hace evidente la i gualdad:
La cual se puede reducir de forma algebraica como sigue:
Esto es equivalente a:
Cuando se cancelan los factores comunes a ambos lados de la igualdad se llega a la ecuación mas conocida del producto escalar de vectores:
Ecuación 1 Producto escalar de dos vectores
Esta ecuación resulta de gran utilidad p orque permite calcular el producto escalar a través de las componentes, al tiempo que permite calcular el ángulo formado entre dos vectores sin necesidad de hacer abstracción geométrica de los mismos. Como se puede deducir de la Ecuación 1, el producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su magnitud.
Ecuación 2 Producto escalar de un vector por si mismo.
El producto escalar cumple además la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
Ecuación 3 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma
Como se observa en el Ejemplo 2 , un producto escalar negativo indi ca que el ángulo entre los vectores implicados se encuentra ubicado en el segundo cuadrante; cuando el producto es positivo, entonces se debe asumir que este se encuentra en el primer cuadrante. Cuando los vectores son ortogonales el producto escalar es nu lo. Las relaciones geométricas enunciadas anteriormente no son las únicas relaciones que se pueden hallar p ara la completa interpretación del producto escalar. A partir de dos vectores A y B que se ubican como como se muestra muestra en la Figura 1 , es posible deducir deducir otra relación geométrica importante en el producto escalar.
Figura 2. Proyección escalar de un vector sobre otro.
El producto escalar equivale a la relación:
Cuando se usa esta relación se puede calcular la proyección de un vector sobre otro con base en el producto escalar y las proyecciones mostradas en la Figura 2 :
Ecuación 4 Proyección escalar de un vector sobre otro usando el producto escalar.
La interpretación geométrica del producto escalar como proyección de un vector sobre otro resulta altamente útil cuando uno o dos de los vectores se hacen unitarios, en este caso, l a magnitud de A o de B se hacen “ 1” y la proyección se reduce simplemente al producto punto de vectores. Cuando se desea calcular la componente normal o tangencial de un vector sobre una superficie dada, basta con encontrar un vector unitario normal o tangencial a di cha superficie y multiplicarlo mediante producto escalar con el vector deseado.
Producto vectorial : : El producto vectorial tiene asociada también una relación geométrica que se descubre a partir del cálculo de la altura del triángulo formado por los vectores A , B y A-B de la Figura 1 , en función de las componentes de los vectores A y B. A partir del teorema de Pitágoras:
Se despeja la altura
Se reemplaza por la relación expresada en la Ecuación 1
Se multiplica toda la ecuación por el común denominador del lado derecho y se obtiene:
Se simplifica el lado derecho de la igualdad
Para lo cual se utiliza la expresión
Finalmente se reduce el resultado:
Ecuación 5 Magnitud del producto vectorial en función de las componentes rectangulares
A partir de una operación matricial simple también puede obtenerse un vector cuya magnitud sea
Ecuación 6 Producto vectorial de dos vectores
La magnitud de este vector es la misma magnitud obtenida por procedimiento geométrico. Al vector indicado en la Ecuación 6 se denomina producto vectorial deA y B . Este vector es perpendicular a A y a B dirigido según la ley de la mano derecha tomada desde A hasta B. Cuando se invierten las dos últimas filas del determinante de la Ecuación 6 se obtiene un vector igual pero negativo, de donde se deduce la relación expresada en l a Ecuación 7 conocida como propiedad anticonmutativa del producto vectorial. Esta misma relación geométrica se muestra en la Figura 3 :
Ecuación 7 Anticonmutatividad del producto vectorial.
Figura 3. Producto vectorial.
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Como se puede deducir de la Ecuación 5 , el producto vectorial de un vector por si mismo es nulo. El producto vectorial cumple además la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
Ecuación 8 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma
Sistemas de coordenadas : : Se muestran tres diferentes sistemas ortogonales de coordenadas de uso común en estudios de electromagnetismo. Las matrices de transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas cumplen todas las propiedades algebraicas para transformaciones ortonormales, a saber:
La matriz de transformación directa es simplemente la transpuesta de la matriz de t ransformación inversa. El determinante de la matriz de transformación es unitario.
Coordenadas Rectangulares
En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados. En la Figura 4 , se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados. Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.
Figura 4. Sistema de coordenadas cartesianas.
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Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando l as proyecciones del vector sobre los ejes coordenados y un conjunto de tres vectores directores que apuntan en dirección de dichos ejes. En la Figura 5 , se muestran los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas rectangulares.
Figura 5. Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.
De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota en el sistema de coordenadas cartesianas como:
Donde, son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x, y , z respectivamente y vectores unitarios directores del sistema de coordenadas cartesianas.
son los
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene dado por:
Ecuación 9 Vector posición en coordenadas cartesianas.
Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cartesianas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 10 .
Ecuación 10 Rotación en los productos vectoriales del sistema cartesiano.
Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas. En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el planoXY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es l a primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano. En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.
Figura 6. Sistema de Coordenadas cilíndricas
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En este sistema de coordenadas al igual qu e en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar l a dirección de un vector. La Figura 7 , ilustra los t res vectores directores del sistema.
Figura 7. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.
Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:
Donde
es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY ,
respecto al semieje x positivo y
es la componente angular medida con
coincide con la componente cartesiana del mismo nombre.
Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 11 .
Ecuación11 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:
Los vectores del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de acuerdo con la coordenada diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas.
;a
Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivación o in tegración directa cuando se involucra la coordenada
.
Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros. En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa. Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.
Ecuación 12 Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
Ecuación 13 Transformación de coordenadas cartesianas a cil índricas.
Coordenadas esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica. Se utiliza la longitud de un vector ( R ) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo en la Figura 8 .
Los ángulos
y
y el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo
toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.
Figura 8. Sistema de coordenadas esféricas.
, tal como se muestra
En este sistema de coordenadas al igual qu e en los anteriores, existen tre s vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector y que se muestran en la Figura 9 .
Un vector en coordenadas esféricas queda definido por:
Donde
es la proyección radial del vector con respecto al origen de coordenadas,
respecto al semieje x positivo proyectada sobre el plano XY y
es la componente angular medida con
es la proyección en dirección de incremento del ángulo
.
Figura 9. Vectores directores del sistema de coordenadas esféricas.
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En el sistema de coordenadas esféricas, los productos vectoriales de los vectores directores también siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 14 .
Ecuación14 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas esféricas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas esféricas queda definido por:
En este sistema de coordenadas, la dirección de los tres vectores directores cambia de acuerdo con las coordenadas y , por lo que no se pueden asumir como constantes en operaciones de derivación, integración o transformación de coordenadas que las involucren. Para estos casos conviene también usar una matriz de transformación a coordenadas cartesianas como la ilustrada en la Ecuación 15 . En la Ecuación 16 , se muestra la matriz de transformación inversa.
Ecuación 15 Matriz de transformación directa de coordenadas esféricas.
Ecuación 16 Matriz de transformación inversa de coordenadas esféricas.
Mediante la combinación de la Ecuación 13 y la Ecuación 15 se puede obtener una matriz de transformación directa y otra de transformación inversa entre los dos sistemas de coordenadas curvilíneas lo cual completa la totalidad de las transformaciones posibles entre los tres sistemas.
Ecuación 17 Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas
Ecuación 18 Matriz de transformación inversa de coordenadas cilíndricas a esféricas.
_________________________ 2 Se reta a los estudiantes a resolver el ejemplo 5 por el método del ejemplo 6 y viceversa y a tomar atenta nota de sus conclusiones.
Diferencial de Longitud : : El diferencial de longitud expresa la distancia diferencial entre puntos localizados en la misma vecindad y permite por integración directa obtener la distancia entre puntos que no se encuentren en la vecindad. De forma semejante, se pueden obtener integrales de línea sobre curvas parametrizadas. Diferencial de longitud en coordenadas Cartesianas
En coordenadas cartesianas, la obtención de un diferencial de longitud es sencilla usando desplazamientos diferenciales en cada una de las direcciones de l os ejes coordenados.
Vectorial
Escalar
Diferencial de longitud en coordenadas Cilíndricas
En este sistema de coordenadas es un poco más difícil, debido a la existencia de una coordenada angular, por lo que se hace necesario introducir un coeficiente métrico que convierte un desplazamiento angular diferencial en un d iferencial de longitud de arco.
Vectorial
Escalar
Diferencial de longitud en coordenadas Esféricas
En este sistema se hace necesaria la introducción de dos coeficientes métricos que permiten convertir los desplazamientos angulares diferenciales en desplazamientos métricos.
Vectorial
Escalar
Diferencial de longitud en coordenadas generalizadas
Usando las ecuaciones de diferencial de longitud en los diferentes sistemas de coordenadas, se puede obtener la Tabla 1 que generaliza las ecuaciones para diferencial vectorial y escalar de longitud en un sistema de coordenadas denominado coordenadas generalizadas.
En este sistema, se pueden expresar ecuaciones generales para los diferentes operadores vectoriales obteniendo los casos particulares por reemplazo simple de los coeficientes métricos y los vectores directores según el caso.
Tabla 1 Coeficientes métricos para operadores vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas.
En coordenadas generalizadas el diferencial vectorial y el diferencial escalar de longitud quedan expresados respectivamente:
Vectorial
Escalar
Operador Gradiente : : El operador gradiente representa el conjunto de derivadas direccionales de una función de varias variables con respecto a l as diferentes coordenadas de un sistema. Es un operador vectorial dado que como resultado de la operación, resulta un vector que apunta en la dirección de máxima variación de la función dada.
Esto se puede demostrar fácilmente tomando en cuenta que el diferencial total de cualquier función
viene definido por:
El diferencial de cualquier función se puede calcular en términos del producto escalar como:
Ecuación 19 Diferencial total de una función escalar en función del operador gradiente
En la Ecuación 19 se puede apreciar, que el diferencial es cero cuando perpendicular al vector gradiente, y máximo cuando gradiente .
, es decir, cuando el desplazamiento es
es decir cuando el desplazamiento ocurre en dirección del vector
El vector gradiente es de gran utilidad en las di ferentes operaciones vectoriales, como se verá en el siguiente capítulo. Cuando se utilizan coordenadas angulares, es necesario multiplicar los diferenciales de dichas coordenadas por los factores métricos indicados en la Tabla 1 con lo que la expresión para el gradiente en coordenadas generalizadas queda:
Ecuación 20 Operador gradiente en coordenadas generalizadas.
_________________________ También puede ser cuando el desplazamiento ocurre en sentido contrario, caso en el cual Cos ? = -1
Diferencial de superficie en superficies planas : : En adelante se denominarán superficies planas , aquellas que satisfacen la ecuación coordenadas del sistema de coordenadas.
, en donde
es alguna de las
De esta forma, en cada sistema de coordenadas tridimensionales, de los que se han tratado en este libro, existen al menos tre s tipos de superficies planas. En el sistema cartesiano, son todas las superficies paralelas a alguno de los planos coordenados, como se muestra en la Figu ra 10 .
Figura 10 Superficies planas en el sistema de coordenadas cartesianas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, son aquellas superficies paralelas al plano XY, los cilindros concéntricos con el eje Z y los planos que limitan con el eje z y son perpendiculares al plano XY. Como se muestra en la Figura 11 .
Figura 11 Superficies planas en el sistema de coordenadas cilíndricas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, son las esferas concéntricas en el origen de coordenadas, los planos que limitan co n el eje z y son pe rpendiculares al plano XY, y los conos cuyo manto se for ma por ángulos polares constantes. Como se muestra en la Figura 12 .
Figura 12 Superficies planas en el sistema de coordenadas esféricas.
Independientemente del sistema de coordenadas, el diferencial de superficie se obtener de una forma relativamente simple, pues consiste en el producto de los di ferenciales de las otras dos coordenadas por sus respectivos coeficientes métricos. Para obtener el diferencial vectorial, basta multiplicar por el vector director de la coordenada respectiva. En coordenadas generalizadas el diferencial de superficie queda:
Ecuación 21 Diferencial vectorial de superficie en coordenadas generalizadas
El cual se particulariza dependiendo de la superficie plana a la que se le quiera calcular el diferencial.
Diferencial de superficie en superficies generalizadas : : Diferencial escalar
Para una superficie no plana, de la forma: superficie plana tal como un cilindro, esfera o plano.
el diferencial de superficie se puede obtener por proyección sobre una
Usando este procedimiento se puede definir el diferencial escalar de superficie como:
Ecuación 22 Diferencial escalar de superficie en superficies generalizadas
En donde la proyección y
es el gradiente de la ecuación de la superficie,
es un vector normal a la superficie sobre la que se va a realizar
es el diferencial escalar de dicha superficie.
Figura 13 Diferencial de superficie para una superficie no plana.
Diferencial Vectorial
Cuando se trata de estudios de flujo es importante definir una cantidad vectorial asociada al diferencial escalar de superficie llamado diferencial vectorial de superficie, consiste en un vector cuya magnitud es el diferencial escalar y cuya dirección es perpendicular a la superficie en todo punto. Para una superficie cualquiera, el vector gradiente de la ecuación de la superficie es perpendicular a ella, por lo que la manera más simple de obtener un vector unitario normal es dividir el vector gradiente por su propia magnitud.
Para obtener el diferencial vectorial de superfi cie, el camino mas simple es multiplicar el vector unitario perpendicular a la superficie en todos los puntos por el diferencial escalar obtenido anteriormente.
Ecuación 23 Diferencial vectorial de superficie en superficies generalizadas.
Diferencial de Volumen : : El diferencial de volumen se utiliza para análisis que involucran distribuciones volumétricas de alguna cantidad física, en coordenadas cartesianas, se obtiene de una forma muy simple, multiplicando los desplazamientos diferenciales en los tres ejes , como se ilustra en la Figura 14 . En coordenadas rectangulares:
Figura 14 Diferencial de volumen en coordenadas cartesianas
Ver animación
Para cualquier otro sistema de coordenadas, basta con multiplicar los desplazamientos diferenciales de cada coordenada por lo s respectivos coeficientes métricos obteniendo de nuevo un diferencial de volumen.
En coordenadas generalizadas:
De acuerdo con la Tabla 1 .
En coordenadas cilíndricas:
Figura 15 Diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas.
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En coordenadas esféricas:
Figura 16 Diferencial de volumen en coordenadas esféricas.
Ver animación
Preguntas de repaso : : 1.
2. 3.
¿Cómo se espera que sea el signo del producto escalar de dos vectores, cuando el ángulo formado entre ellos se encuentra en el tercer cuadrante? ¿Como se puede diferenciar del caso en el cual el ángulo está en el segundo cuadrante? ¿Cómo se interpreta geométricamente el hecho de que una proyección vectorial tenga signo negativo? ¿Cómo se pueden relacionar los siguientes cuatro conceptos geométricos? Plano tangente a una superficie, vector normal a la superficie, producto escalar de vectores, componente normal a la superficie.
4.
¿Los productos escalares entre los vectores del sistema de coordenadas cilíndricas sistema cartesiano, son constantes o dependen de las coordenadas?
y
5.
¿Los productos escalares entre los vectores del sistema de coordenadas esféricas cartesiano, son constantes o dependen de las coordenadas?
y
6.
Si se desea calcular la población completa de una región y se conoce la densidad superficial de población en cada punto como una función de las coordenadas, ¿se debe usar el diferencial escalar o el diferencial vectorial de superficie para hacer la integración? ¿Podrá existir un diferencial vectorial de volumen? ¿Cual sería su utilidad?
7. 8.
con los vectores del
los vectores del sistema
¿Como se podrá calcular el volumen de sólidos irregulares usando los diferenciales de volumen estudiados en los diferentes sistemas de coordenadas?
Ejercicios del capítulo : : 1.
Dados 3 puntos A (1, -2, 3), B (-2, 1, -1) y C (-3, 2, -2), determine el ángulo con vértice en B que forman las rectas AB y CB.
2.
Dado un vector en coordenadas esféricas dirección de R en coordenadas cartesianas.
3.
Dados dos campos vectoriales A y B tal que perpendicular a ambos campos en el punto
encuentre un vector
y
unitario en la misma
. Encuentre un vector unitario
.
4.
Hallar la longitud de arco de la curva
en el intervalo
5.
Dada una hélice generada por un cardiode de ecuación:
de tal forma que
.
Calcule la longitud de arco de la hélice en los límites
6.
Calcule el ángulo formado entre las líneas rectas
Encuentre una recta perpendicular a ellas.
y
.
7.
Calcule la masa contenida en el trapecio cónico que se muestra en la figura, tomando en cuenta que la base superior tiene un radio r o y la base inferior 2r o . La altura del trapecio cónico es d y la densidad del material constitutivo es .
8.
Un elipsoide como el mostrado en la figura, delimita una región del espacio dentro de la cual la densidad volumétrica de masa se encuentra definida por en
9.
. El elipsoide tiene cortes con los ejes coordenados . Encuentre la masa total dentro del elipsoide.
La posición de una partícula cambia en función del tiempo de acuerdo con la ecuación dirección del vector B (3, 1,- 2) para el instante
. a) Halle a) La proyección escalar de su aceleración sobre la b) La velocidad de la partícula c) Calcule los ángulos polar y
azimutal del sentido de desplazamiento de la partícula en el instante
.
10. La posición de una partícula cambia en función del tiempo de acuerdo con la ecuación
, encuentre a) La velocidad b) La dirección de desplazamiento de la
partícula en el instante
, c) La velocidad media de la partícula en el intervalo
y el ángulo polar de la dirección de desplazamiento de la partícula en el instante
d) El ángulo azimutal .
11. Se tiene un cono, de altura h y radio basal r. Se define un sistema de coordenadas cartesianas, cuyo origen coincide con el ápex del cono, y el eje z coincide con el eje del cono, como se muestra en la figura. Determine el área del manto del cono.
12. La posición de una partícula está definida por , Encuentre el vector de posición en coordenadas cilíndricas y esféricas. La velocidad, un vector unitario en la dirección de desplazamiento y la aceleración de la partícula.
