FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO UNIVERSIDADE DE CAMPINAS
PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS Capítulos de 1 a 7
RODRIGO DE MELO PORTO
Edição atualizada a partir do original publicado em Limeira em agosto de 1977.
CAPITULO 1
UNIDADES, COMPRESSIBILIDADE COMPRESSIBILIDADE DOS LIQUIDOS E DOS GASES E PROPRIEDADES 1.1- Dar as dimensões de: a) Potência; b) Módulo de elasticidade; c) Peso específico; d) Velocidade angular; e) Energia; f) Momento de uma força; g) Coeficiente de Poisson; h) Deformação unitária; i) Tensão superficial. 1.2- Qual é a relação entre as escalas de aceleração no sistema inglês técnico e no MKS? 1.3- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea. homogênea. F
y 3 (h y )(h ) t t (1 )( Rd ) 2 4 Ey 2
2
onde E = módulo de Young = coeficiente de Poisson d , y, h = distâncias R = relação de distâncias F = força Qual é a dimensão t ? ?
1.4- Se a água têm um módulo de compressibilidade volumétrica K = 2,06 x 10 9 Pa, qual é o acréscimo de pressão pr essão requerido para reduzir seu volume de 0,5% ? 1.5- Qual é o valor do volume especifico em m 3/Kg, de um líquido cuja densidade vale 0,8. 1.6- Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal p=101300 Pa e temperatura de 27°C. Dado constante do ar R=287 m 2/(s2.K). Supor g = 9,8 m/s 2. 1.7- A massa especifica da água a 20°C e à pressão atmosférica vale 998 kg/m 3. Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 108 Pa, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas. f órmulas. 1.8- Determinar o valor da constante r, em m 2/(s2.K), para o ar atmosférico, supondo que este seja composto de 80% de nitrogênio e 20% de oxigênio. Dados: massa molecular molecular do nitrogênio - 28 massa molecular do oxigênio - 32 constante universal dos gases perfeitos R = 8314 m 2/(s2.K).
CAPITULO 1
UNIDADES, COMPRESSIBILIDADE COMPRESSIBILIDADE DOS LIQUIDOS E DOS GASES E PROPRIEDADES 1.1- Dar as dimensões de: a) Potência; b) Módulo de elasticidade; c) Peso específico; d) Velocidade angular; e) Energia; f) Momento de uma força; g) Coeficiente de Poisson; h) Deformação unitária; i) Tensão superficial. 1.2- Qual é a relação entre as escalas de aceleração no sistema inglês técnico e no MKS? 1.3- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea. homogênea. F
y 3 (h y )(h ) t t (1 )( Rd ) 2 4 Ey 2
2
onde E = módulo de Young = coeficiente de Poisson d , y, h = distâncias R = relação de distâncias F = força Qual é a dimensão t ? ?
1.4- Se a água têm um módulo de compressibilidade volumétrica K = 2,06 x 10 9 Pa, qual é o acréscimo de pressão pr essão requerido para reduzir seu volume de 0,5% ? 1.5- Qual é o valor do volume especifico em m 3/Kg, de um líquido cuja densidade vale 0,8. 1.6- Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal p=101300 Pa e temperatura de 27°C. Dado constante do ar R=287 m 2/(s2.K). Supor g = 9,8 m/s 2. 1.7- A massa especifica da água a 20°C e à pressão atmosférica vale 998 kg/m 3. Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de 108 Pa, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas. f órmulas. 1.8- Determinar o valor da constante r, em m 2/(s2.K), para o ar atmosférico, supondo que este seja composto de 80% de nitrogênio e 20% de oxigênio. Dados: massa molecular molecular do nitrogênio - 28 massa molecular do oxigênio - 32 constante universal dos gases perfeitos R = 8314 m 2/(s2.K).
1.9 -Um fluido tem viscosidade igual a 4x10 -3 kg/(m.s) e massa especifica 800 Kg/m 3. Determinar sua viscosidade cinemática. 1.10- Qual é o módulo de compressibilidade volumétrica de um líquido que tem um aumento de 0,02% na massa específica para um aumento na pressão de 47000 Pa? 1.11- Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de l0 m a uma altitude de 45.000 m. Se a pressão e a temperatura nesta altitude são respectivamente 19600 Pa (abs) e -60 oC, determinar o volume de hidrogênio a 98.000 Pa (abs) e 20 oC necessário para encher o balão na Terra. 1.12- Deseja-se ensaiar um longo conduto circular, para uma pressão de 3,9 MPa. Enche-se primeiro o conduto com água a pressão atmosférica, tapam-se suas extremidades e obriga-se a entrar mais água por meio de uma bomba, até conseguir-se a pressão proposta para o ensaio. ensaio. Supondo que o conduto não se dilate longitudinalmente, longitudinalmente, calcular a quantidade (massa) de água introduzida pela bomba. Dados: comprimento do tubo diâmetro interno espessura da parede (e) módulo de compressibilidade volumétrica da água (K) módulo de elasticidade do tubo (E)
2.500 m 0,55 m 1,4 cm 2,06 10 9 Pa 206 10 9 Pa
FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 1
1.1 – a) a) – F F L T-1 b) – F F L-2 c) – F F L-3 d) – T T-1 e) – F F L f) – F F L g) – Adimensional Adimensional h) – Adimensional Adimensional i) – F F L-1 1.2 – r r = 0,305 1.3 – [ [t ] = L – p = 10,3 Mpa 1.4 – -3 3 – v = 1,25 x 10 m /kg 1.5 – v
– = 1.6 – = 11,5 N/m 3 = 1.7 – = 1047,6 kg/m 3 ; = = 1046,4 kg/m 3 2 2 R = 288,7 m /(s .K) 1.8 – R
1.9 – = 5x10 -6 m2/s K = 1.10 – K = 235 MPa – V = 1.11 – V = 144 m3
1.12 - m i
p pDi 2 L 1 1 1 4 K 2eE
Di
2
CAPITULO 2
LEI DE VISCOSIDADE DE NEWTON 2.1- Uma placa infinita se move com velocidade constante V 0, sobre uma película de óleo que descansa por sua vez sobre uma segunda placa, como mostrado na figura. Para e pequeno pode-se supor nos cálculos práticos, que a distribuição de velocidade no óleo é linear. Qual é a tensão cortante sobre a placa superior?
2.2- a) Determinar o torque T requerido para se girar um disco de diâmetro d, com uma velocidade angular constante , sobre um filme de óleo de espessura h e viscosidade . b) Determinar o torque T requerido para se se girar um cilindro A concêntrico concêntrico a outro B com uma velocidade angular constante . Entre os dois cilindros existe um filme de óleo de espessura h e viscosidade . Assuma em ambos os casos uma distribuição linear da velocidade no filme de óleo. ól eo. a)
b)
2.3- Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de l0 cm de diâmetro. A tensão cisalhante na parede da canalização é 32,36 kPa e o perfil de velocidade é dado por v= 2- 800 r 2 (m/s), onde r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo ? 2.4- Um bloco pesa 245,25N e têm 20 cm de aresta. Deixa-se o bloco escorregar em um plano inclinado no no qual existe uma película de óleo óleo cuja viscosidade viscosidade é igual a -3 2.10 Pa.s. Qual é a velocidade limite que o bloco atingira, supondo-se que a espessura do óleo é de 0,025 mm? Utilize a hipótese de distribuição de velocidade linear.
2.5- A figura mostra o escoamento de um fluido viscoso, sobre uma placa plana. Supondo que : 1- a. velocidade varie somente em y. 2- o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão V(y)= ay2 + by + c. 3- a. tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada. 4- o fluido é Newtoniano. Pede-se calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana (y = 0) em função da velocidade Vo, da espessura h e da viscosidade absoluta do fluido.
2.6- A figura representa. o perfil de velocidade de um fluido em escoamento, são dados: , a, b e o valor V max. Pede-se calcular o valor da tensão tangencial no ponto de coordenadas x= a, y= 0. Fazer as hipóteses necessárias.
2.7-Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a rad/s. Uma película de óleo de viscosidade separa o cone do recipiente que o contem. A espessura da película de óleo é e. Que torque se necessita para manter o movimento? O cone tem uma base de raio igual a R e uma altura H. Suponha uma distribuição de velocidade linear e o fluido Newtoniano.
2.8-O peso da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões conhecidas, com velocidade angular constante . Determinar o valor do peso G, desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear. Dados: , De, Di, L, e D. Discutir a solução.
2.9-São dados dois planos paralelos distanciados de 0,5cm. O espaço entre os dois é preenchido com um fluido de viscosidade absoluta l0 -4 kg/(m.s). Qual será a força necessária para arrastar una chapa de espessura de 0,3cm, colocada a igual distância dos dois planos, de área l00 cm 2, a velocidade de 0,15 m/s.
2.10- Classificar as seguintes substâncias com base nos dados de velocidade de deformação a)
dV
dv dy
rd/s
dy
N/m2
dV
c)
rd/s
dy
N/m2
e tensão cisalhante .
0
1
3
5
0,1
0,2
0,3
0,4
0
0,5
1,1 1,8
0
0,2
0,4 0,6
b)
dV
rd/s
dy
N/m2
dV
d)
rd/s
dy
N/m2
0
3
4
6
5
0,2
0,4
0,6 0,8 0,6
0
0,3
0,6 0,9 1,2
0
0,2
0,4 0,6 0,8
4 0,4
2.11- Dois discos são dispostos coaxialmente face a face separados por um filme de óleo lubrificante de viscosidade e espessura e. Aplicando-se um momento torsor M t ao disco l este inicia um movimento em torno de seu eixo e através do óleo, estabelecese o regime, de forma que as velocidades angulares 1 e 2 permanecem constantes. Admitindo o regime estabelecido, demonstre que 1 2
32eMt D 4
, onde D é o
diâmetro dos discos.
2.12- Entre duas placas, paralelas e infinitas existe um filme de óleo Newtoniano de viscosidade e espessura h. A placa superior move-se com uma velocidade constante Va e, uma vez atingido o regime, a placa inferior desloca-se com uma velocidade Vb constante ( Vb < Va ) devido a viscosidade do óleo. Supondo um perfil de velocidade linear, determine: a) a tensão tangencial sobre a placa A. b) a relação entre a tensão tangencial sobre a placa A e a tensão tangencial sobre a placa B.
2.13- Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas distâncias hl e h2, possuem entre elas óleos newtonianos de viscosidade l e 2, respectivamente. A placa A move-se com uma velocidade constante V A e a placa C com velocidade
constante ( VC< V A ). A placa B, inicialmente em repouso, começa a deslocar-se para a direita. Calcular a velocidade V B de regime, isto é, a velocidade V B constante, após o equilíbrio do sistema. Qual a relação entre V A e VC para que a placa B não se mova? Considere em ambos os casos um perfil de velocidade linear em ambos os filmes de óleo.
2.14- Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio (centro) de uma brecha cheia com um óleo de viscosidade o e é puxada com uma velocidade constante v. Se um outro óleo de viscosidade for colocado na brecha substituindo o primeiro, verifica-se que para a mesma velocidade v a força de atrito sobre a placa só será igual a força anterior se a placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro) da brecha, mas paralela as paredes. Determine, em termos de o , e h (altura da brecha), a que distância deve ficar a placa da parede mais próxima, para que a força de atrito seja a mesma para os dois óleos. Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se > o ? Faça todas as hipóteses necessárias à resolução do problema. 1
1
1
2.15- Determinar o torque necessário para girar com velocidade angular constante , o tronco de cone da figura. Um filme de óleo de viscosidade e espessura e preenche o espaço entre o tronco de cone e as paredes. Despreze o momento desenvolvido na face inferior do tronco de cone. Faça as hipóteses necessárias.
2.16- A distribuição de velocidades em uma determinada secção de uma tubulação cilíndrica e dada por:
B D 2 V ( r 2 ) 4 4
no qual: B e uma constante, r distância do eixo da tubulação ao ponto considerado, D o diâmetro da tubulação e V a velocidade a uma distância r do eixo. Determinar: a) A tensão cortante na parede da tubulação. b) A tensão cortante em um ponto tal que r = D/4. c) Se a distribuição de velocidades se mantém em um comprimento L ao longo da tubulação, que força de reação sofre o fluido devido à parede da tubulação? 2.17.- Através de uma brecha estreita de altura h, uma placa delgada e de grande área esta sendo puxada com velocidade constante v o. Sobre uma face da placa existe um óleo de viscosidade k e sob a outra face um óleo de viscosidade . Calcular a posição da placa, com relação à parede da brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja mínima. Verifique a resposta quando k = 1. 2.18 -Em um canal retangular de 0,50 m de largura e 0,30 m de altura, escoa água e o perfil de velocidade é parabólico com velocidade máxima de 0.80 m/s ocorrendo na superfície da água. Desprezando a tensão tangencial entre a água e o ar e sabendo que a água é um fluido newtoniano determine o módulo da força tangencial que a água provoca sobre o fundo do canal, por metro de comprimento longitudinal. Dado: H2O = 1,01x10-6 kg/(m.s).
FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 2
V 0
2.1 2.2 T
e d 4
32h
T
d 3 L 4h
2
2.3 = 0,476 m /s 2.4 Vo =24,2 m/s 2.5 Y 0 2.6
2 v
h Vmax a 2 b2
R3 2.7 M ( L R) 2e 2 Di 3 L 2.8 G D( De Di)
onde L2 H 2 R 2
2.9 F = 3x 10-4 N
2.10- a) p1ástico ideal b) Não-newtoniano c) Não-newtoniano d) Newtoniano 2.12
a)
va - vb h
b) -1 1
2.13
a) V B
h1
V A 1 h1
b) 2.14
V A V C
y
2 h2 2
V C
h2
2 h1 1h2
h h 1 1 / 0 2
Se 1 0 fisicamente impossível. 2.15
M 0
tg 4 2e sen
2.16 a) 2.17 y
- D 4
h 1 K
(a b)
4
b)
a4 - D 8
c) F
D 2 L 4
2.18 F = 27.10 -6 N
CAPITULO 3
TENSÃO EM UM PONTO-GRADIENTE-EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 3.1- Uma distribuição de forças mássicas, por unidade de massa do material é dada por
2 B 16 xi 10 j . Se a massa especifica do material é dada por = x + 2z, qual é a
força mássica resultante sobre o material contido na região mostrada na figura?
3.2- Pode-se obter um campo vetorial tomando o gradiente de um campo escalar. Se = xy+l6t2 + yz3 qual é o campo grad ? Qual é o módulo do vetor grad no ponto (0,3,2) quando t=0. 3.3- Dada a seguinte distribuição hipotética de pressões p=xy + (x + z 2) + l0, qual a força por unidade de volume sobre um elemento do meio fluido situado no ponto x=10, y=3, z=4, na direção e 0,95i 0,32 j 3.4- Qual é a pressão relativa em um ponto de um fluido distante h da superfície livre se a massa específica do fluido é variável e dada por 0 k h (kg/m3) no qual o é a massa específica na superfície e k uma constante. 3.5- O peso específico da água em um oceano pode ser calculada pela relação empírica 0 K h no qual é o peso específico na superfície e h é a distância entre a superfície do oceano e um ponto qualquer da massa de água. Determine uma expressão para a pressão relativa em um ponto qualquer situado a uma distância h abaixo da superfície. 0
3.6- Demonstrar que a equação fundamental da estática dos fluidos
dP dZ
, pode ser
deduzida diretamente da equação geral da Física f , onde f é uma força por unidade de volume e um campo escalar, que no caso seria o campo de pressões dentro da massa fluida. 3.7- Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é e o módulo de compressibilidade volumétrica K for constante, determine o peso especifico do líquido a 0
uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água, K =2,06 109 Pa, para profundidades relativamente baixas, por exemplo h= 100 m, para propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível. FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 3
3.1 F 8448 i 2000 j
3.2 grad y i x z 3 j 3 yz 2k ; grad 37 3.3 f=-7 unidades
3.4 p g 0h kh2 / 2 3.5 p 0h 2 3 kh2 3 3.7
0 h 0
para h=100m =9804,7 N/
CAPITULO 4
MANOMETRIA E ESTÁTICA DA ATMOSFERA 4.1- Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos depósitos da figura?
4.2- Qual é a diferença de pressões entre os depósitos A e B. Densidade relativa do mercúrio igual a 13,5.
4.3- Qual é a pressão p no ponto P mostrado na figura abaixo. Densidade relativa do óleo igual a 0,8.
4.4- Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de secção constante em forma de "U", como na figura. Os depósitos estão cheios de água e suas cotas piezométricas são respectivamente Hl e H2 (Hl> H2). As partes escuras do manômetro contem mercúrio e o resto contem água. Pede-se de terminar a diferença de cotas (Hl - H2) entre os reservatórios. Dados H2O, Hg e h.
4.5- Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja distribuição media de temperatura e indicada abaixo. O barômetro indica uma pressão absoluta de 27 kPa . Calcular a que altura voa o avião. Dados R = 287 m2/(s2K) (ar), g=9,8 m/s2, N.M.M. corresponde ao nível médio do mar.
4.6- Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos em "U" cujo plano é inclinado de um ângulo a relativamente a horizontal. Sabendo-se que o fluido manométrico é álcool, de massa especifica =764 kg/m3, qual é diferença de
pressões p medida pelo manômetro, expressa em mm de coluna de água, quando a distância entre os dois meniscos, contada segundo a linha de maior declive do plano do manômetro, for igual a l = 0,45m. Adotar = arc sen 1/2. 4.7- Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação de manômetros de peso morto, com um manômetro de coluna liquida de um só tubo, conforme esquema. Conhecendo-se os valores dados na figura, determinar a pressão no reservatório que contem água. Dados: Hg, óleo e H20.
4.8- Nas medidas de pressões com grande precisão utiliza-se um micromanômetro; a figura mostra um determinado tipo. Neste sistema empregam-se dois líquidos miscíveis de pesos específicos l e 2 respectivamente. Supondo que nos recipientes A e B temos gases de pesos específicos desprezíveis, calcular Pa -Pb em função dos dados ( , d , 1e 2 ). Se a área da secção reta do tubo é a, e a dos depósitos C e D é A, determinar em função de d, e justificar porque quando a/A for muito pequeno e l quase igual a 2, uma pequena diferença de pressão Pa – Pb produzirá uma grande variação de d, o que dará por sua vez um instrumento muito sensível.
4.9- Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície livre de uma represa, na cota zi = 520 m, indicando pressão atmosférica local de 746 mmHg. Em uma secção da adutora que sai da represa, situada na cota z 2 = 20 m, tem-se outro tubo barométrico indicando pressão atmosférica local de 760mmHg. Qual é a pressão relativa em kPa, no eixo da adutora na cota z 2 = 20 m, sabendo-se que não há escoamento através da adutora. Dado =9800 N/cm3.
4.10 – Determinar analiticamente a diferença de pressões P A -PB entre os eixos dos dois reservatórios A e B indicados na figura. Considerar como grandezas conhecidas Hg, H2O, h, h1 e h2.
4.11- Determinar as pressões relativas e absolutas: 1) do ar 2) do ponto M, da configuração abaixo Dados: leitura barométrica local 735 mmHg densidade relativa do óleo 0,85 densidade relativa do mercúrio 13,6
4.12- Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma Pvk =cte, onde k é uma constante igual a relação dos calores específicos C p e Cv. Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a elevação Z para esta atmosfera, utilizando como referência o nível do solo (índices zeros) é:
P
0
Po
K 1 K
( Z Zo)
4.13- Determinar a, Po e Poabs na configuração abaixo sendo dados: ρ h b = 0,1 m 3 b 1000 kg /m 1 atm = 101300 Pa
ha = 0,2 m Pa = P b =1 atm g = 10 m/s 2
4.14- A figura representa um recipiente contendo um líquido mantido a nível constante, cuja temperatura varia linearmente com a profundidade, decrescendo da superfície para o fundo, onde vale 20 oC. A taxa de variação e igual a 40 oC/m. Sabe-se que o peso específico do líquido varia linearmente com a temperatura, diminuindo quando esta aumenta, com uma taxa e variação de 50 N/m 3/oC. A 20oC o peso específico vale 12.000 N/m3. Com as informações acima e os dados da figura calcular o valor da altura H da superfície livre do líquido contido no recipiente. H =13600 Kgf/m3.
4.15- Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27 oC e cai l oC para cada 275 m de elevação. Se a constante do ar é R = 287 m2/(s2K), qual é a elevação sobre o nível do mar onde a pressão é 70% da que existe sobre o nível do mar? 4.16- Para medida de pequenas variações de pressão em gases, utiliza-se algumas vezes um manômetro de cúpula. Basicamente consiste em uma cúpu1a cilíndrica de raio R e
espessura da parede e, colocada em um determinado 1íquido, como na figura e sustentada por um contra-peso w, o gás cuja variação de pressão se deseja medir fica aprisionado na câmara C formada pela superfície do líquido e o fundo da cúpula cilíndrica. Pata um líquido de peso específico e um gás cuja pressão P deseja-se medir, calcular: 1) A expressão
dp dz
, isto é, a relação entre a variação de pressão e a variação z,
demonstrando que este manômetro e realmente sensível, isto é, para pequenos dp teremos grandes dz. 2) Para R=100 mm, e=1,0 mm calcular o deslocamento vertical da cúpula, devido ao aumento de pressão no gás de 1 mm de coluna de água.
4.17- Calcule H
4.18- Calcular a leitura, em Pa, do manômetro A da figura. Densidade relativa do mercúrio 13,6.
4.19- Determinar a altura x e a pressão do ar dentro da campânula, na configuração abaixo. Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6.
4.20- Calcular a diferença de nível H entre as superfícies dos dois reservatórios que contem água, quando o desnível manométrico vale 0,50 m. Densidade relativa do líquido manométrico igual a 0,70.
4.21- Manômetro metálico ou de Bourdon. Pressões ou depressões são comumente cedidas pelo manômetro de Bourdon.
Ao ligar o manômetro pela tomada de pressão, o tubo metálico fica internamente submetido a uma pressão p que o deforma, havendo um deslocamento de sua extremidade, que ligada ao ponteiro por um sistema de alavancas relacionará sua deformação com a pressão do reservatório. A leitura da pressão e feita diretamente no mostrador quando o manômetro tiver a sua parte externa a pressão atmosférica. Suponhamos agora o caso da figura abaixo.
Neste caso, a parte interna do tubo metálico estará submetido ã pressão P l enquanto que a externa estará a pressão P 2. Desta forma o manômetro indicara não a pressão P l, mas o saldo Pl -P2. Logo: Pleitura = Ptomada -Pexterna 4.22- Dado o dispositivo da figura, calcular a pressão relativa na câmara (1) quando o manômetro de Bourdon indica uma leitura de 245 kPa. Dado Hg 133300 N/m 3.
4.23- Os dois recipientes da figura são fechados e cheios de ar. Quando as leituras nos manômetros A e C forem as indicadas, determinar o desnivel de mercúrio x. Leitura barométrica local 750 mmHg.
4.24- O manômetro mostrado na figura mede uma pressão correspondente a 0,10 m de coluna de mercúrio. Se a pressão absoluta no ponto A for dobrada, qual será então a leitura no manômetro, em metros de coluna de mercúrio? Pressão atmosférica local 740 mmHg.
4.25- Determinar o desnível no fluido manométrico de dr = 1,60, dentro do manômetro em "U", quando a válvula V for aberta.
4.26- Um cilindro oco de altura l=0,20 m é mergulhado em água até uma profundidade h=1,00 m. Determinar a altura de água dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado no cilindro se comprima adiabaticamente, durante o processo. Dado: leitura barométrica local 735,7 mmHg.
FOLHA DE RESPOSTAS CAPITULO 4
4.1 p A p B Hg d 2 H 2O d 2 d 3 4.2 p A p B Hg d 4 cos 45o Hg d 3 H 2O d 1 4.3 p = 1764 Pa (relativa) 4.4 h
2h Hg H 2O H 2O
4.5 z = 7.322 m 4.6 h = 17,2 cm de água P Hg z 2 Hg z 1 o z 3 (relativa) S p a d 4.8 d A 2 1 1 a A 4.9 p = 4898 Pa 4.10 p A p B h1 h2 Hg H 2O H 2Oh
4.7 p
4.11 1) p = 33,3 kPa (rel) = 131,3 kPa (abs)
2) p = 35,8 (rel) = 133,8 (abs)
4.13 A = 500 kg/m3; pA = 980 Pa (rel); p0 = 100 kPa (abs) 4.14 H = 1,92 m 4.15 z = 3096 m 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26
dp
2 e
dz R H =1,875 m
p=7,8 Pa x = 3,22 m p ar = 3,16 Pa H = 0,15 m p = 26,5 kPa x = 1,72 m L = 0,16 m Hg h = 0,87 m x=2
CAPITULO 5
ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 5.1- Determinar a força resultante sobre a parte superior da superfície submersa. Determinar de forma completa a resultante.
5.2- Determinar o módulo e a linha de ação da força resultante da ação dos fluidos sobre a comporta mostrada. Dado H20=9800 N/m3. Pman =68647 kPa.
5.3- Que altura de água fará girar a comporta da figura no sentido dos ponteiros do relógio? A comporta tem uma largura de 2 m, despreze o atrito e o peso próprio da comporta.
5.4- Aplaca OB na figura tem largura b e comprimento a articulada em O, se o peso da placa é w e esta é suportada pela coluna de água determinar o ângulo de equilíbrio em função da altura h da coluna de água.
5.5.- A comporta ABCDEF da figura, articulada no extremo A, mantem-se em equilíbrio pela ação da força horizontal H aplicada em F, sendo a largura da comporta igual a 2,0 m, determinar o valor da força que solicita a articulação A.
5.6 -Determinar a força necessária para levantar a comporta quadrada da figura, cujo peso é 4900 N. Dado H2O =9800 N/m3.
5.7- A comporta da figura pode girar em torno do ponto O. Determinar a mínima altura h para a qual a comporta irá abrir. Dado H20=9800 N/m3.
5.8.- Determinar O mínimo valor de Z, para o qual a comporta da figura girará em torno do ponto O, se a comporta é retangular de 2m de largura. Dado H20=9800 N/m3.
5.9- A figura representa a secção de uma barragem de concreto. Admitindo que não haja subpressão, determinar, para um metro de largura, as componentes horizontal e vertical do empuxo de água sobre a face de montante. Supondo um coeficiente de atrito entre a barragem e o terreno da base, igual a 0,4, verificar se haverá tombamento da barragem. Verificar a estabilidade ao deslizamento. Definir coeficiente de segurança em relação ao escorregamento e tombaento e calcular seus valores para a barragem. Peso especifico do concreto igual a 20,58 kN/m3.
5.10- Fazer o exercício 5.9, admitindo um diagrama de sub-pressão hidrostática, triangular, agindo sobre a base da barragem, e cujo maior valor a pressão vale 8 , e mostrar que a resultante das forças ativas passa pelo terço médio da base da barragem. Traçar o diagrama de tensões para a base da barragem. Adote um coeficiente de atrito entre o maciço e a base igual a 0,6. 5.11.- A comporta retangular mostrada na figura está articulada em A e apoiada em uma parede vertical lisa em B. A largura da comporta e 5 m. Determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e B. Dado H20= 9800 N/m3 .
5.12- Imagine um líquido que quando está em repouso se estratifica de forma que seu peso específico é proporcional a raiz quadrada da pressão. O peso específico na superfície livre é 0. Qual é a pressão em função da profundidade h medida a partir da superfície livre? Qual é a força resultante sobre uma das faces da placa que é mostrada na figura. A largura da placa é b.
5.13- Determinar o módulo e o ponto de aplicação da resultante das forças devido aos fluidos que atuam sobre a comporta da figura, de 1,50 m. de largura e articulada em B. Despreze o peso da comporta.
5.14- Determinar o momento M, necessário para que a comporta da figura matenha-se fechada. A comporta está articulada em O e apoiada em B.Largura da comporta 1,80 m.
5.15.- A comporta AB de 1 metro de largura é articulada em B e repousa sobre uma superfície lisa em A. A comporta separa dois reservatórios contendo água. No reservatório da esquerda existe um "colchão" de ar comprimido, e o manômetro colocado em C, indica uma pressão de 29,4 kPa. O reservatório da direita é aberto para a atmosfera. Com os dados da figura, calcule as componentes da reação na articulação B. Dado H20= 9800 N/m 3.
5.16- A comporta triangular BAB de peso desprezível é articulada por um eixo que passa por BB e apoiada em A. Um peso W colocado em C é rigidamente ligado à placa BAB, serve de contra-peso para manter a comporta fechada. Determinar o peso W para que a comporta esteja na iminência de abrir, quando a altura d'água no canal for h =0,6 m.
5.17- Calcular o módulo e o ponto de aplicação, com relação à superfície livre da força provocada pela água sobre um lado de área plana vertical mostrada.
5.18- A comporta retangular mostrada na figura, de peso desprezível, está articulada em 0 e apoiada em B. Determinar a altura h, a partir da qual a comporta girara em torno do eixo que passa em 0.
Momentos de Inércia
Retângulo
Triângulo
Círculo
Semicírculo
Um quarto do círculo
Elipse
RESPOSTAS 5.1 – F = 15.538 N yCE -yCG = 0,033 m xCE -xCG = 0,023 m 5.2 – F = 4.743 kN yCE -yCG = 0,975 .10 -2 m 5.3 – h = 2,78 m 5.4 – sen cos 2
h3b w
5.5 – H = 3.998 N Fva= 10.113 N Fha= 2.352 N 5.6 – F = 9.800 N 5.7 – h = 3,47 m 5.8 – z =6,7 m 5.9 – coef. seg. deslizamento = 1,17 coef. seg. tombamento = 4,65 5.10 –
5.11 – FhA = 35 FvA= 120 FhB= 125 2
5.12 -
0 h 2 patm 0 h p 4 patm
0 2l 3 0l 2 patml F b 12 p 2 atm
5.13 – F = 33,8 kN x =0,53 m de A 5.14 – M= 5080 N.m
5.15 – FvB = 17.150 N FhB = 58.800 N 5.16 – w = 882 N 5.17 – F = 45.511 N yCE = 2,456 m 5.18 – h = 1,51
CAPITULO 6
ESFORÇOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUBMERSAS - PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES. 6.1- Determine o módulo da força resultante que atua sobre a superfície esférica da figura e explique porque a linha de ação passa pelo centro 0.
6.2- Qual é a força resultante sobre a comporta AB, cuja secção é um quarto de circunferência? A largura da comporta é 1,2 m. Determine a cota a partir da soleira, do centro de pressão.
6.3- A comporta ABCD de peso desprezível, separa dois depósitos com líquidos de peso específico l e 2. Sendo r o raio da circunferência e estando a comporta em equilíbrio na posição mostrada na figura, determine a relação 2/ l. A comporta esta articulada em C.
6.4- Determine a força horizontal devido aos fluidos que atuam sobre o obturador cônico mostrado na figura.
6.5- Determine as componentes horizontal e vertical, bem como as respectivas linhas de ação, da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica da figura, cujo raio é 1,0 m e cuja geratriz mede 4,0 m.
6.6- Determine o módulo e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a comporta AB da figura sabendo-se que sua largura é 3,0 m e o raio é 0,9 m e a comporta esta articulada em C.
6.7- O peso específico de um "iceberg" é de 8.970 N/m 3 e o da água do mar é 10.040 N/m3. Se da superfície livre do mar emerge um volume de "iceberg" igual a 30.000 m 3 qual é o volume total do "iceberg" ? 6.8- Um cilindro de ferro fundido de 30 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento é imerso em água do mar ( =10.090 N/m 3 ). Qual é o empuxo que a água exerce sobre o
cilindro? Qual é o empuxo se o cilindro fosse de madeira? Neste caso, qual seria a altura submersa do cilindro? mad=7.350 N/m3.
6.9- Calcular o raio mínimo que deve ter a esfera oca e peso desprezível, a fim de que a comporta articulada em O não abra. Admita que o cabo que liga a esfera a comporta bem como a roldana A sejam ideais. Dado: 3 H2O =9.800 N/m
6.10- Um reservatório com uma abertura circular fechada por uma esfera. A pressão no interior do reservatório é 50 lbf/pol 2 (absoluta). Qual a força horizontal exercida pela esfera sobre a abertura? Dado 1atm = 14,7 lbf/pol 2.
6.11- Uma semi-esfera cheia de liquido esta submetida a pressão correspondente a uma altura h. Achar o empuxo vertical na parede interior da semi-esfera de raio r. Dado peso especifico do liquido .
6.12- Uma cápsula hemisférica cobre um tanque fechado. Se o tanque esta completamente cheio ce gasolina (densidade relativa = 0,72), e o manômetro indica a pressão de 90 kPa, qual e a força total sobre os parafusos que prendem a cúpula?
6.13- Uma comporta cilíndrica de raio r e largura l, barra a água, como mostra a figura. O contato entre o cilindro e a parede é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que o nível d'água seja ó mostrado. Determine também as linhas de ação das componentes horizontal e vertical da força devido a água sobre à comporta, tomando como referência o ponto O.
6.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força devido ao líquido de peso específico , sobre a comporta cilíndrica de comprimento l e secção igual a 3/4 de circunferência de raio r .
6.15- Verificar as condições de estabilidade da barragem da figura, por metro de largura, calculando os coeficientes de segurança ao deslizamento e ao tombamento. Verificar se há possibilidade de aparecer tensões de tração na base da barragem. Coeficiente de atrito entre a barragem e a fundação 0,50. Determinar também a tensão de compressão mínima, na base do maciço.
6.16- Um submarino pesa 8800 kN. Com esse peso ele flutua na superfície da água doce com 90% do seu volume total imerso. Que volume de água deve ser admitido em seus tanques afim de que ele possa submergir totalmente? Dados: g=9,8 m/s 2 3 =1000 kg/m 6.l7- Determine o módulo e as linhas de ação, em relação ao ponto O, das componentes horizontal e vertical da força que a água exerce sobre o cilindro mostrado na figura. O cilindro, de 0,80 m de diâmetro, esta articulado por um eixo horizontal que passa por O. Calcule as forças por unidade de largura do cilindro.
6.18- O cilindro de 3,0 m de comprimento está articulado no ponto A. Calcular o momento, em relação ao ponto A, requerido para manter em equilíbrio o cilindro, na posição mostrada.
6.19- A figura mostra uma comporta semi-esferica de ferro fundido (dr=7,8) articulada em A e simplesmente encostada em B. Determine os módulos das componentes horizontal e vertical das forças em A e B. O centro de gravidade da semi-esfera dista 3r/8 da base, onde r é o raio.
6.20-0 cilindro de 0,60 m de diâmetro e 2,0 de comprimento está em repouso na posição mostrada na figura. Determinar o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto O, das componentes horizontal e vertical da força devido à água sobre o cilindro.
6.21- Determinar os módulos das componentes horizontal e vertical, bem como suas linhas de ação com relação ao ponto O, da força devido a água sobre a comporta tipo setor, mostrada na figura. A comporta é articulada a um eixo que passa pelo ponto O e seu comprimento é 6,20 m.
RESPOSTAS
6.1 F 3 r 2 i 2 3 r 3 j 6.2 Fr = 14.103 N d = 0,55 m
6.3 2 6,88 1 Pa d d 6.4 F x h l tg 2 2
2
6.5 Fh=14,1 Fv=23,4 y = 67mm abaixo de O x=40mm à esquerda de O 6.6 Fx = 11.907 N Fy = 18.698 N y CE=0,6 m abaixo de c x CE=0,38 m à esquerda de c 6.7 Vt = 280.000 m 3 6.8 E = 213,6 N E = 155,8 N h = 0,218 m 6.9 R = 44 cm 6.10 Fh = 1770 lbf 6.11 Ev r 2 h r 2
3
6.12 Ev = 325 kN 6. 13 Fd r 2l Peso r 2l 1 1 2
yCE
6.14 y CE
1 r acima de O 3
Fh rl h
r h 2 3 r 2h r
3 4
x CE = 0,0049 à direita de O r
2
Fv rl h
4 3
r
x CE
r h 2 3 r 2h 2 3 r
à direita de O
acima de O
6.15 Cdesl = 2,33 Ctomb= 4,95 min=153,8 kN/m2 6.16 V = 100 m3 6.17 Fh= 2285 N, Fv= 4580 N, yCE = 0,06 m abaixo de O, x CE = 0,03 m, à esquerda de O 6.18 M=10,7 kN.m 6.19 HA = 2,02 kN VA = 8,94 kN HB = 5,86 kN 6.20 Fh = 7.940 N Fv = 12.980 N, y CE = 0,14 m acima de O, x CE = 0,09 m, à direita de O 6.21 Fh = 131,2 kN Fv = 44,1 kN, y CE = 0,6 m acima de O, x CE = 2,05 m, à esquerda de O
CAPITULO 7
PROBLEMAS GERAIS-SOBRE O PRINCIPIO DE ARQUIMEDES E ESTÁTICA DOS FLUIDOS. 7.1- Um sarrafo de pinho de secção reta (2,5 x 5)cm, está articulado em B. A extremidade A está presa ao piso do deposito que contém água, por um cordão C, mantido vertical. Com os dados da figura calcule a tensão no cordão. Dado: massa especifica do pinho = 17g/cm3.
7.2- Dois cubos iguais de 1 m 3 de volume, um de densidade relativa igual a 0,80 e outro de 1,10, estão unidos mediante um cordão curto e colocados na água. Que volume, do cubo mais leve, fica acima da superfície livre da água? Qual é a tração a que o cordão está submetido?
7.3- Um cubo, de 60 cm de aresta, tem sua metade inferior de densidade relativa igual a 1,4 e a metade superior igual a 0,6. Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o inferior de densidade relativa igual a 1,2 e o superior de 0,9. Determinar a altura do cubo que sobressai por cima da interface dos dois líquidos.
7.4- Determinar a densidade e o volume de um objeto que pesa 29,4 N, quando colocado na água, e 39,2 N quando colocado em um óleo de massa específica relativa 0,8.
7.5- Deseja-se determinar a densidade em g/cm 3 de uma pequena amostra de basalto, para isso foi determinada a massa da amostra no ar e na água, a primeira medida foi de 31 g e a segunda de 20 g. Qual é a densidade da amostra? 7.6- O densímetro é um aparelho destinado a medir a densidade relativa dos líquidos, baseado no principio da flutuação. O aparelho é tarado com pequenas esferas metálicas, para que seu peso seja W. O densímetro tem uma haste de secção reta constante e igual a s. É feita a calibração do aparelho colocando-o em água destilada (dr=l), determinando-se o volume submerso V 0 e marcando-se na haste, o zero da escala, correspondente ao nível da superfície livre da água. Quando o densímetro flutua em outro liquido a haste sobe ou desce em relação ao zero da escala de calibração, de uma altura h, como no diagrama da direita, Calcular em função de Vo, s e h a densidade relativa dr de um liquido qualquer.
7.7- A parede de um reservatório d'água tem a forma apresentada na figura. As ondulações têm a forma de semicircunferências de raio R. Determinar a força horizontal provocada pela água e seu momento em relação ao ponto A. A largura do reservatório é L e pede-se a resposta para um número n de ondulações.
7.8- Qual o valor do empuxo sobre a esfera da figura se as secções do depósito estão totalmente isoladas uma da outra.
7.9- O cilindro da figura está cheio com um liquido conhecido. Determine: a) a componente horizontal da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação em relação ao centro O. b) a componente vertical da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação, em relação ao centro O.
7.10- Calcular o módulo e o ponto de aplicação (em relação ao ponto O), da resultante das forças devido aos fluidos, agindo sobre a tampa do deposito cilíndrico de raio r, com meia secção contendo água e meia secção contendo ar sobre pressão. Dado: momento de inércia de um circulo, com relação ao diâmetro r 4/4.
7.11- uma comporta ci1indrica de raio r = 0,60 m e largura igual a 2 m, barra óleo e água, conforme a figura. O contato entre o cilindro e a parede, é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que os níveis dos líquidos sejam os mostrados. Determine também as linhas de ação dos componentes horizontal e vertical da força devido aos líquidos sobre a comporta, tomando como referencia o ponto O.
7.12- A comporta de peso desprezível, de largura L, está suspensa por um eixo que passa pelo ponto O, e separa dois reservatórios que contem água. Qual deverá ser o valor da medida x, para que a comporta permaneça na posição da figura, sem haver tendência de girar? Despreze o atrito no ponto A.
7.13- Determine o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto C, das componentes horizontal e vertical da força devido à água, sobre a comporta ABC de 4 m de largura.
7.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação dos componentes horizontal e vertical da força devido ao liquido de peso especifico , sobre a comporta AB de comprimento L e a secção igual a ¼ de circunferência de raio R. Relacionar as linhas de ação dos componentes com o ponto O.
7.15- Determinar o mínimo valor da força F para manter a comporta de 1,20 m de comprimento, peso desprezível e cuja seção e ¼ de circunferência de raio 1 m, em equilíbrio. A comporta é articulada em A.
7.16- Na parede de um deposito há uma chave de fechamento que gira em torno de O. Seu comprimento é L e sua seção é ¾ de circulo. Calcular: a) Os empuxos vertical e horizontal sobre o eixo da chave, devido ao liquido de peso especifico . b) A inclinação do empuxo em relação a um plano horizontal. c) O momento em relação ao eixo da chave.
7.17- A quilha de um navio é curta na forma de um arco de circulo de 1,0 m de raio. Com a água no nível mostrado calcule para uma faixa de 2,0m de largura, as componentes horizontal e vertical da força de pressão sobre A-B bem como as respectivas linhas de ação. Dado: mar =10.045 N/m 3.
7.18- Calcular a força F necessária para manter a comporta de 1,2 m de largura mostrada na figura, fechada, quando R=0,45 m. A comporta esta articulada em A e tem peso desprezível.
7.19- A comporta AB mostrada na figura é articulada em A e repousa contra uma parede vertical perfeitamente lisa em B. A comporta tem 6,0 m de largura. Com a água no nível mostrado, determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e B. Dado: =9800 N/m3.
7.20- Um reservatório de água, de largura L tem os cantos superiores em forma de 1/4 de circunferência de raio r, com o nível d’água mostrado, calcule as componentes
horizontal e vertical, bem como as linhas de ação da força devido à água sobre a superfície curva AB.
RESPOSTAS
7.1 T = 2,9 N 7.2 V= 0,1 m3 T=980 N 7.3 X = 0,4 m 7.4 = 1600 kg/m 3 7.5 = 2800 kg/m 3 7.6 dr 1
1 s V 0
h 8
7.7 F h 2 R 2n2 L M A R3n3 L 3
7.8 F = 2058 N 7.9 Fh = 1001 N Fv = 1572 N y = 0,61 m x = 0,387 m 2 7.10 R r y = 0,1765 m abaixo de O 3
2
3
7.11 Fh = 2822 N y = 0,2 m acima de O Fv = P = 21.158 N x = 0,03 m à direita de O 7.12 x r 2 7.13 Fh = 78,4 kN y = 0,46 m acima de c Fv = 117,6
kN x = 0,64 m à esquerda de c
R R H 2 R 3 7.14 F h RL acima de O H y
F v RL H
2
2 H R
R
R H 2 R
x 4
3
R 2 2 H
à esquerda de O
7.15 8434 kN 7.16 F h 2 h rL
7.17 Fh = 64,3 kN
F v
1 4
r 2 L tg
r 8h
1 M r r 3 L 3
Fv = 70 kN
x = 0,49 m à direita de O y = 0,47 m acima de A 7.18 F = 2539 N 7.19 Fh = 29,4 kN Bh = 46,2 kN
Fv = 46,2 kN Ah = 16,8 kN Av = 46,2 kN
1 7.20 F h Lr 2 F v Lr 1 2
2
x
2 r 3 4
à
4
esquerda
de
B
y
1 3
r
acima
de
A
