A. Turun una an 1. Penge Pengerti rtian an Tu Turun runan an Suatu Suatu Fungs Fungsii
Perhatikan grafik fungsi
y = f ( ( x x ) berikut:
Jika Jika vari variab abel el x nila nilain iny ya beru beruba bah h sebe sebesa sar r
h ( ∆ x ) , yaitu dari
( a +h )
a ke
, mengakibatkan
variabel y nila nilain iny ya juga juga beru beruba bah h sebe sebesa sarr yaitu aitu dari dari
( y + ∆ y )
ke
f ( ( a + h )
. Oleh karena karena tingka tingkatt peruba perubahan han rata-rata rata-rata dari dari suatu suatu fungsi fungsi
perbandingan antara perubahan variabel vari variab abel el
f ( ( a )
x
y
ata atau dar dari
∆y , y
ke
( x ) adalah y = f (
(variabel terikat) dengan perubahan perubahan
(variab (variabel el bebas), bebas), maka maka tingka tingkatt peruba perubahan han rata-ra rata-rata ta ini dapat dapat dinyat dinyataka akan n
sebagai:
( a ) f ( ( a + h ) −f ( ( a ) ∆ y f ( ( a + h ) −f ( = = ∆x h ( a + h )− a
ntu ntuk k
∆x
seke!il-ke!ilny seke!il-ke!ilnyaa ( ∆ x
mendek mendekati ati n"l), n"l), apabila apabila
diferensi) mempunyai harga, maka harga dari
∆y ∆ x untuk
∆x
∆y ∆x
(disebut (disebut k"usien k"usien
mendekati n"l itu disebut
( x ) terhadap x . sebagai derifatif pertama atau turunan pertama dari fungsi y = f ( #efinisi
$pab $pabil ilaa
lim ∆ x→ 0
f ( ( x + ∆ x )− f ( ( x ) ∆x
ada hargan harganya, ya, maka maka harga harga tersebu tersebutt dikatak dikatakan an sebaga sebagaii
turunan turunan (derivatif) (derivatif) pertama dari fungsi n"tasi
y = f ( ( x x ) terhadap terhadap
x dan biasa ditulis dengan
( x ) ' dy dy df ( = = y = f ' ( x=) y ' = lim f ( ( x + ∆ x )−f ( ( x ) dx x dx ∆x ∆ x→ 0
Jadi,
Pr"ses penarikan limit atas suatu k"efisien diferensiasi, dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati n"l disebut pr"ses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. %edangkan hasil yang diper"leh dari diferensiasi disebut turunan atau derivatif.
2. Turun runan an dala dalam m Berbag Berbagai ai Fung Fungsi si
&.& 'urunan ungsi $ljabar (1) Turunan Fungsi Konstan
( x )= k y = f (
dy =0 dx
(2) Turunan Fungsi Pangkat Pangka t n
( x )= k . x y = f (
dy =kn.x n−1 dx
n bilan bilan an bulat bulat "sitif "sitif (3) Turunan Suatu Fungsi yang Dipangkatkan n
( x )= k { f ( ( x y = f ( x ) }
dy =k . n { f ( ( x ) }n −1 . f ( ( x ) dx
(4) Turunan Penjumlahan atau Pengurangan Dua F ungsi
( x ) ± g ( x ) y = f (
dy = f ’ ( x ) ± g ’ ( x ) dx
$pab $pabil ilaa
lim ∆ x→ 0
f ( ( x + ∆ x )− f ( ( x ) ∆x
ada hargan harganya, ya, maka maka harga harga tersebu tersebutt dikatak dikatakan an sebaga sebagaii
turunan turunan (derivatif) (derivatif) pertama dari fungsi n"tasi
y = f ( ( x x ) terhadap terhadap
x dan biasa ditulis dengan
( x ) ' dy dy df ( = = y = f ' ( x=) y ' = lim f ( ( x + ∆ x )−f ( ( x ) dx x dx ∆x ∆ x→ 0
Jadi,
Pr"ses penarikan limit atas suatu k"efisien diferensiasi, dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati n"l disebut pr"ses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. %edangkan hasil yang diper"leh dari diferensiasi disebut turunan atau derivatif.
2. Turun runan an dala dalam m Berbag Berbagai ai Fung Fungsi si
&.& 'urunan ungsi $ljabar (1) Turunan Fungsi Konstan
( x )= k y = f (
dy =0 dx
(2) Turunan Fungsi Pangkat Pangka t n
( x )= k . x y = f (
dy =kn.x n−1 dx
n bilan bilan an bulat bulat "sitif "sitif (3) Turunan Suatu Fungsi yang Dipangkatkan n
( x )= k { f ( ( x y = f ( x ) }
dy =k . n { f ( ( x ) }n −1 . f ( ( x ) dx
(4) Turunan Penjumlahan atau Pengurangan Dua F ungsi
( x ) ± g ( x ) y = f (
dy = f ’ ( x ) ± g ’ ( x ) dx
(5) Turunan Perkalian Dua Fungsi
( x ) . g ( x ) y = f (
dy =f ’ ( x ) . g ( x )+ f ( ( x ) . g ’ ( x ) dx
() Turunan !asil "agi Dua Fungsi
( x ) dy f ( x ) . g ( x ) − g ( x ) . f ( ( x ) f ( = y = 2 g ( x ) dx { g ( x ) } '
'
(#) Turunan Fungsi "erantai Jika y f(*) dan * f(x), maka
dy / dx = dy / dx.dz / dx
&.+. 'urunan ungsi "garitma #alam perhitungan l"garitma ada + basis yang biasanya dipakai yaitu bilangan & dan e. "garitma yang memakai basis & disebut l"garitma l"garitma biasa (rigg), dan yang memakai basis e disebut l"garitma naturalis (l"garitma /apier).
( )
1 lim 1 + e n→0 n
n
+,0&1+1
#i sini perlu juga diingat bah2a : e l"g x 3n x , 3n e e l"g e & e
l"g a 3n a
(&) 'urunan ungsi "garitma iasa (ilangan asis &)
y l"g f(7)
dy dx
1 ( x ) .(l"g f (
(+) 'urunan ungsi "garitma /aturalis (ilangan asis 4)
y 3n f(x)
dy dx
&.5. 'urunan ungsi 6ksp"nen
ntuk menentukan turunan fungsi eksp"nen digunakan dua (+) basis bilangan yaitu basis bilangan e dan a (a adalah bilangan bukan e , dan a 8 ) (1) Turunan Fungsi eksponen $engan "asis e f ( x )
y = e
dy =e f ( x ) . f ’ ( x ) dx
(2) Turunan Fungsi %ksponen "er&asis Konstanta (a bilangan selain e)
y = a
f ( x )
dy = af ( x ) . f ’ ( x ) dx
&.9. 'urunan ungsi 3mplisit ntuk men!ari turunan fungsi implisit dapat dilakukan dengan dua !ara yaitu : Pertama,bentuk fungsi dirubah terlebih dahulu menjadi bentuk eksplisit (bila dimungkinkan), baru diselesaikan. Kedua, fungsi tetap dalam bentuk implisit dengan peme!ahan melalui diferensial implisit. 'ontoh
dy dx dari fungsi implisit di ba2ah ini
arilah
(a) +x;5y<&= (b)
4 x
(!) x
3
(d) x
2
2
2
; =xy ; 3 y < += 3
; x y ; xy -
3
; +y < 1
2 y
3
-&
Penyelesaian (a) Pertama : #iubah terlebih dahulu menjadi fungsi eksplisit +x ; 5y < &=
2 y- 3 x;=
dy 2 dx - 3 >edua : angsung diturunkan melalui pendiferensialan fungsi implisit +x ;5y < &=
dx + dx ; 5
+; 5
dy dx
dy dx
5
dy dx -+
2 3
2
4 x < =xy ;
(b)
dy dx <
2
3 y <+=
dy dx dy dy dx < = dx <=x dx ; 4y dx -
1x
dy dy 1x<=y<=x dx ; 4y dx dy dy -=x dx ; 4y dx =y <1x dy dx (4y-=x) =y <1x dy dx
5 y −8 x 6 y −5 x
( c ) x 3 ; x 3 y 3 ; +y < 1 2
3 x
2
3 x
2
3
2
3
;
3 x y
;
3 x y
3
;
x 3 y
3
;
2
x 3 y
dy dx
2
dy ; + dx
dy dy dx ; + dx
-
3
3 x
y
.
2
dy dy dx ;+ dx
dy 2 3 3 x y ; +) ( dx
2
2
3 x y
3
−3 x 2 - 3 x2 y 3
−3 x 2−3 x2 y 3 2 3 3 x y + 2
dy dx
(d) x
−3 x 2 -
2 y
; xy -
3
-&
dx dx dy 2 dy 6 y -=x dx ; y dx ; x dx dx - dy +x ; y ; x dx dy dx -
x
6 y
dy x dx (xdy dx
2
6 y
6 y
2
dy dx
dy dx
2
¿ -+x
−2 x − y 2 x −6 y
3. Arti Turunan Suatu Fungsi
'urunan (pertama) dari suatu fungsi memiliki 5(tiga) arti penting yaitu: &.'urunan pertama sebagai angka arah garis singgung (artis ge"metris). +.'urunan pertama sebagai tingkat perubahan suatu fungsi (sebagai harga pendekatan). 5.'urunan pertama sebagai ke!epatan sesaat (arti fisis).
4. Titik Stasioner
?isalkan terdapat fungsi
y = f ( x ) yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk
menentukan titik stasi"nernya kita harus menentukan nilai menggunakan syarat stasi"ner yaitu :
f ( x )=0 '
x
terlebih dulu dengan !ara
f ( x ) =0 , akan kita per"leh nilai '
#ari syarat stasi"ner persamaan tersebut, 'itik
x =c
x
yang memenuhi
yang memenuhi f ( c )=0 . $kan kita per"leh : '
( c , f ( c )) disebut sebagai titik stasi"ner, dan
/ilai fungsi y = f ( c ) disebut sebagai nilai stasi"nernya. Contoh soal :
'entukan titik stasi"ner dan nilai stasi"ner dari fungsi berikut
f ( x )= 3 x −36 x 3
Penyelesaian
f ( x ) =0 '
%yarat stasi"ner
f ( x )=9 x −36 =0 '
2
2
x −4 =0 x 1=−2 dan x 2=2
Jadi titik stasi"nernya adalah
x 1=−2 dan x 2=2
. 2
/ilai stasi"ner pada saat x 1=−2 → f ( −2 )=9 (−2 ) − 36 =0 sehingga /ilai stasi"ner pada saat x 2=2 → f ( 2 ) =9 ( 2 )
2
(−2,0)
−36 =0 sehingga ( 2,0 )
5. Harga Ekstrem
/ilai ekstrem suatu fungsi dibedakan atas dua yaitu nilai maksimum dan nilai minimum. /ilai maksimum dibedakan atas nilai maksimum abs"lut dan nilai maksimum relatif. #emikian juga untuknilai minimum abs"lute dan nilai minimum relatif.
1. Nilai maksimum / minimum absolut /ilai maksimum abs"lute adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) paling tinggi dari seluruh nilai f(x) yang ada, yaitu $.
/ilai minimum abs"ulut adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) paling rendah dari seluruh nilai f(x) yang ada, yaitu 2. Nilai maksimum / minimum relatif /ilai maksimum relative adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) terbesar untuk nilai x tertentu dibandingkan nilai x di sekitarnya, yaitu . /ilai minimum relative adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) terke!il untuk nilai x tertentu dibandingkan nilai x di sekitarnya, yaitu . ara menentukkan titik ekstrem ntuk menentukan titik ekstrem dapat dilakukan dengan uji turunan pertama, dan uji turunan kedua. - Uji turunan pertama ?isalkan f k"ntinu yang memuat sebuah titik kritis !
a. Jika f ( x )> 0 untuk semua '
x < c
f ( c ) adalah nilai maksimum relatif b. Jika f ( x )< 0 untuk semua '
!. Jika f ( x )
untuk semua
x > c
maka
f .
x < c dan
f ( c ) adalah nilai minimum relatif
f ( x )< 0 '
dan
f ( x )> 0 '
untuk semua
x > c
maka
f .
'
bertanda sama pada kedua pihak !, maka
f ( c )
bukan nilai
ekstrimrelatif f . -
Uji turunan kedua ?isalkan f ' dan
f
ada pada setiap titik interval terbuka (a,b) yang memuat !,
f ( c ) =0 '
dan misalkan a. Jika
f <0,
maka
b. Jika f >0, maka
f ( c ) adalah nilai maksimum relatif f ( c ) adalah nilai minimum relatif
'ontoh
y = f ( x ) = x −6 x 3
#iketahui fungsi
2
'entukan nilai ekstremnya@ Penyelesaian ?enentukkan titik kritis dengan
f ( x )=3 x −12 x '
2
f ( x )= 0 '
f . f .
2
3 x
−12 x =0
3 x ( x − 4 )= 0
3 x =0 → x 1=0 x −4 = 0→ x 2=4 0 dan 4
Jadi titik kritisnya adalah
#engan uji turunan pertama ' x< 0 x> 0 &. ntuk maka f ( x )> 0 , sedangkan untuk maka %ehingga +. ntuk
x =0
x< 4
%ehingga
'
merupakan titik maksimum
maka
x =4
f ( x ) < 0
' f ( x ) < 0 , sedangkan untuk x > 4 maka
f ( x )> 0 '
merupaka titik minimum
#engan uji turunan kedua f (x)=6x-12 &. ntuk
x =0
, maka
f (0)=-12<0
%ehingga x =0 merupakan titik maksimum +. ntuk
x =4
, maka
f (4)=12>0
%ehingga x =4 merupaka titik minimum /ilai maksimum pada saat x =0 → f ( 0 )= 0
3
/ilai minimum pada saat x =4 → f ( 4 )=4
3
−6. 02= 0 (nilai maksimum fungsi)
− 6. 4 2=−32 (nilai minimum fungsi)
B. A!likasi Turunan dalam Ekonomi 1. Bia"a Total, Bia"a #ar$inal, dan Bia"a %ata&rata
iaya t"tal adalah fungsi dari kuantitas barang yang dipr"duksi. esarnya biaya t"tal ini merupakan hasil kali antara banyaknya barang yang dipr"duksi dengan biaya rata-rata per unit, yang dinyatakan sebagai
C = f ( Q )
´
C
biaya t"tal (t"tal !"st),
Q
kuantitas barang yang dipr"duksi, dan
´ C biaya
rata-rata per unit barang ungsi biaya marginal adalah tambahan biaya akibat tambahan satu unit pr"duksi. ungsi biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya t"tal, atau dituliskan
MC =C ’ =
d ( C ) dQ
ungsi biaya rata
AC =
C Q
'ontoh ungsi biaya t"tal sebuah perusahaan manufaktur ditunjukan "leh 2
C =f ( Q )= 2,5 Q – 20 Q + 100 'entukan a. ungsi biaya marginal b. ungsi biaya rata < ratanya !. Perusahaan mempr"duksi sebanyak 4 unit. 'entukanlah biaya marginal, biaya rataratanya, dan biaya t"talnya. Penyelesaian : a. ungsi biaya marginal 2 C =f ( Q )= 2,5Q – 20 Q + 100
d ( C ) = = =5 Q – 20 MC C ’ ?aka, dQ b. ungsi biaya rata < rata 2 C 2,5 Q – 20 Q + 100 =2,5 Q – 20 + 100 AC = f ( Q )= = Q Q Q !. A 4 iaya marginalnya, iaya rata < ratanya,
MC = 5 ( 6 ) – 20 =10 AC =2,5 ( 6 ) – 20 +
100 =11,66 6
2
iaya t"talnya,
C =2,5 ( 6 ) – 20 ( 6 )+ 100 =70
'ontoh ungsi biaya rata
AC = f ( Q )=¿ 5 Q + 40 +
120 Q
'entukanlah : a. ungsi biaya t"tal. b. ungsi biaya marginal. !. iaya marginal dan biaya rata < rata jika mempr"duksi = unit. Penyelesaian a. ungsi biaya t"talnya, C AC = Q 5 Q+ 40 +
120 C = Q Q
C =(5 Q + 40 +
120 )Q Q
2
C =5 Q + 40 Q + 120 b. ungsi biaya marginalnya, MC =C ’ =10 Q + 40 !. A = iaya marginalnya, iaya rata < ratanya,
MC = 10 ( 5 )+ 40=90 AC =5 ( 5 )+ 40 +
120 = 89 5
2. Penerimaan Total, Penerimaan #arginal, dan Penerimaan %ata&rata ungsi penerimaan t"tal adalah fungsi dari kuantitas barang yang dijual (dipr"duksi). esarnya (nilainya) merupakan hasil kali antara kuantitas barang yang dipr"duksi (dijual) dengan harga barang per unitnya. %e!ara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:
R = f ( Q )
R t"tal revenu (t"tal penerimaan, t"tal penjualan),
Q kuantitas barang yang
dipr"duksi atau terjual, dan P harga per unit barang. ungsi penerimaan marginal adalah tambahan penerimaan akibat tambahan satu unit barang yang dijual. ungsi penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan t"tal. ila fungsi penerimaan t"tal dinyatakan sebagai R = f ( Q ) maka fungsi penerimaan marginalnya adalah
'
MR = R =
d ( R ) dQ
ungsi penerimaan rata-rata ($B) adalah penerimaan t"tal dibagi kuantitas barang yang dipr"duksi (dijual).
AR =
R Q
'ontoh ungsi t"tal penerimaan sebuah perusahaan s2asta dinyatakan "leh R = f ( Q )=−5 Q 2 + 30 Q B '"tal penjualan, dan A kuantitas barang 'entukanlah a. ungsi penerimaan marginal b. ungsi penerimaan rata < rata !. esarnya penerimaan marginal, penerimaan rata < rata dan penerimaan t"tal, bila barang yang terjual 5 unit d. uatlah sketsa grafiknya dalam suatu gambar Penyelesaian a. ungs penerimaan marginal B f(A) - =A + ; 5A d ( R ) ?B BC dQ - &A ; 5 b. ungsi penerimaan rata < rata −5 Q 2+ 30Q R R $B Q - =A ; 5 Q !. A 5 Penerimaan marginal • ?B - &A ; 5 - & (5) ; 5 - 5 ; 5 Penerimaan rata < rata • $B - =A ; 5 - = (5) ; 5 - &= ; 5 &= Penerimaan t"tal • B - =A + ; 5A - = (5)+ ; 5 (5)
- 9= ; D 9= d. %ketsagrafiknya
3. Utilitas Total Utilitas !ar"inal ungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diper"leh sese"rang dari mengk"nsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dik"nsumsi semakin besar utilitas yang diper"leh, kemudian men!apai titik pun!aknya (titik jenuh) pada jumlah k"nsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dik"nsumsi terus-menerus ditambah. tilitas t"tal ialah fungsi dari jumlah barang yang dik"msumsi.#inyatakan dengan
U = f ( Q ) ungsi utilitas marginal adalah utilitas tambahan yang diper"leh dari setiap satu unit barang yang dik"nsumsi. ungsi utilitas marginal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas t"tal. Jika fungsi utilitas t"tal adalah f(A) maka utilitas marginalnya adalah
MU =
d ( U ) =U ' dQ
'ontoh ungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan &=A < =A +. 'entukanlah a. Persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas t"talnya b. erapa utilitas marginal jika barang yang dipr"duksi ditambah dari + unit menjadi 5 unit Penyelesaian a. U =15 Q – 5 Q 2
MU = U ' =15 – 10 Q maksimum jika ? E &= < &A A &,= = = ntuk Q 1,5 →U 15 Q – 5 Q2
U =15 ( 1,5) – 5 ( 1,5) 2=11,25 b. Jika A + E ? &= < &(+) - = Jika A 5 E ? &= < &(5) -&= Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas t"tal berada pada k""rdinat (&,=F&&,+=). Pada saat k"nsumen mengk"nsumsi + unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah & unit lagi, sehingga k"nsumen harus mengurangi k"nsumsi terhadap pr"duk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.
4. Elastisitas
6lastisitas
y
terhadap
x
relatif dalam variabel terikat
dari fungsi
y = f ( x ) adalah perbandingan antara perubahan
y terhadap perubahan relatif dalam variabel bebas
x .
Gang dinyatakan sebagai berikut:
∆y y ∆y x = . elastistas y tehada! x ( E yx ) = ∆ x ∆ x y x E yx= Elastisitas y terhada x ∆ y = !er"#aha$ %aria#el teri&at ( y ) ∆y = !er"#aha$ relati' dalam %aria#el teri&at ( y ) y ∆ x = !er"#aha$ %aria#el teri&at ( x ) ∆x = !er"#aha$ relati' dalam %aria#el teri&at ( x ) x 'erdapat dua !ara pengukuran elastisitas suatu fungsi, yaitu elastisitas busur dan elastisitas titik. &. 6lastisitas usur
6lastisitas busur mengukur elastisitas suatu fungsi di antara dua titik sepanjang suatu busur. 6lastisitas y terhadap x di antara dua buah titik sepanjang busur dari fungsi
y = f ( x ) , dapat dinyatakan "leh: E=
∆y x . ∆ x y
+. 6lastisitas 'itik 6lastisitas titik mengukur elastisitas suatu fungsi pada satu titik tertentu. #engan
∆ x → 0 , dari persamaan
mengambil harga limit titik dari
E= lim ∆x →0
y = f ( x ) , pada titik
E=
∆y x . ∆ x y didapat elastitas
( x , y ) sebagai berikut:
∆ y x dy x . = . ∆ x y dx y
6lastisitas dapat digunakan untuk mengukur ketanggapan permintaan dan pena2aran suatu barang terhadap perubahan harganya atau pendapat k"nsumen. 4.1 ElastisitasPermintaan '
"d ¿
6lastisitas permintaan (terhadap harga) dari suatu barang adalah perbandingan antara perubahan relatif kuantitas barang yang diminta "leh k"nsumen terhadap perubahan relatif harga barang tersebut. 6lastisitas busur dan titik dari fungsi permintaan
Qd = f ( P )
dinyatakan sebagai berikut: a. 6lastisitas (usur) Permintaan ∆Q d
"d =
Qd ∆Q d P = . ∆P ∆ P Qd P
b. 6lastisitas ('itik) Permintaan d Qd P "d = . dP Qd
"d = elastisitas ermi$taa$ P= hara er "$it #ara$
Q d =&"a$titas#ara$ a$ dimi$ta
4.2 Elastisitas Pena(aran '
"s ¿
6lastisitas pena2aran (terhadap harga) dari suatu barang adalah perbandingan antara perubahan relatif kuantitas barang yang dita2arkan "leh pr"dusen terhadap perubahan
relatif harga barang tersebut. 6lastisitas busur dan titik dari fungsi permintaan
Q s= f ( P )
dinyatakan sebagai berikut:
a. 6lastisitas (usur) Pena2aran ∆ Qs "s =
Qs ∆P P
=
∆ Qs P . ∆ P Qs
b. 6lastisitas ('itik) Permintaan d Qs P "s = . dP Qs
"s = elastisitas ermi$taa$ P= hara er "$it #ara$ Q s= &"a$titas #ara$ a$ dimi$ta 4.3 Si)at keelastisan suatu )ungsi &. ila | #|=1 , maka fungsi tersebut elastisitas satuan, artinya perubahan akan
permintaan atau pena2aran barang sama dengan perubahan harga. +. ila | #|> 1 , maka fungsi tersebut elastis, artinya perubahan akan permintaan atau pena2aran barang lebih besar dari perubahan harga. 5. ila | #|< 1, maka fungsi tersebut tidak elastis, artinya perubahan akan permintaan atau pena2aran barang lebih ke!il dari perubahan harga. 9. ila | #|=0 , maka fungsi tersebut tidak elastis sempurna, artinya jumlah yang diminta atau dita2arkan tidak mengalami perubahan dengan adanya perubahan harga. = =. ila | #| $ , maka fungsi tersebut elastis sempurna, artinya tanpa perubahan harga, perubahan permintaan atau pena2aran dapat berubah dengan sendirinya. 'ontoh erdasarkan hasil penelitian pasar pena2aran terhadap sejenis barang ditunjukkan "leh keadaan sebagai berikut. ila harga per unit barang tersebut D, maka kuantitas barang yang dita2arkan sebanyak + unit. ila harga perunit barang tersebut naik menjadi &=, maka kuantitas barang yang dita2arkan &9 unit. 'entukan a. 6lastisitas busurnya b. 6lastisitas titiknya !. 6lastisitas pena2aran pada tingkat harga & per unit d. 'entukan sifat keelastisan dari pena2aran tersebut Penyelesaian
Harga per unit (P) D &=
>uantitas yang dita2arkan (A) + &9
a. 6lastisitas (busur) pena2aran Perubahan harga ( ∆ P ) ¿ 15− 9= 6 Perubahan relatif dalam harga Perubahan kuantitas
( )
∆P =6 P 9
( ∆ Q s )=14 −2=12
( ) ∆ Qs
Perubahan relatif dalam kuantitas
Qs
= 12 =6 2
6lastisitas (busur) pena2arannya adalah
∆ Qs "s =
Qs 6 = =9 ∆P 6 9 P
b. 6lastisitas (titik) pena2aran ungsi pena2arannya P− 9 Qs − 2 = 15 −9 4 −2
2 ( P −9 ) =6 ( Qs− 2 ) 2 P −18= 6 Q s−12
Qs= 2 P −16 d Qs dP
=2
?aka elastisitas (titik) pena2arannya adalah
"s =
d Qs P 9 . =2. =9 2 dP Qs
!. 6lastisitas (titik) pena2aran pada saat P=10
P =10, %akaQ s= 4 → ( 10,4 ) Qs= 2 P −16
d Qs
=2
dP
?aka elastisitas pena2aran pada titik
"s =
( 10,4 ) adalah
d Qs P 10 . =2. = 5 dP Qs 4
|" s|=|5|> 1, ma&a si'at e$a*ara$ #ara$
d.
terse#"t adalah elastis
.
'ontoh D-& atematika %konomi e$isi ke 5* +ata ,ira-an #ari hasil penelitian pasar terhadap pena2aran sejenis barang didapat data sebagai berikut: Harga per unit (P) & &= +
>uantitas yang dita2arkan Qs ( )
= &= += a. 'entukanlah elastisitas pena2aran barang tersebut (&) ila harga per unit naik dari & menjadi &= (+) ila harga per unit turun dari + menjadi &= b. 'entukanlah fungsi pena2aran yang linier dan tentukanlah elastisitas pena2aran pada titik ( 50,85 )
Penyelesaian a. ila harga per unit naik dari & menjadi &= ∆ P=15 −10 =5
∆ Qs =15−5 =10 ∆P 5 1 = = 10 2 P ∆ Qs Qs
=
10 =2 5
∆ Qs "s =
Qs = 2 =4 ∆ P 1/ 2 P
ila harga per unit turun dari + menjadi &=
∆ P= 20−15 =5 ∆ Q s =25−15 =10 ∆ P −5 −1 = = P 20 4 ∆ Qs Qs
= 10 = 2 25
5
∆ Qs
2 Qs = 5 =−1,6 "s = ∆ P −1 P 4 b. ungsi pena2aran P −10 Qs−5 = 15 −10 15−5
2 ( P −10 ) =Q s−5 2 P −20= Q s−5 Qs= 2 P −15 Qs= 2 P −15 d Qs P
=2
?aka elastisitas pada titik pena2aran
"s =
( 50,85 )
d Qs P 50 100 =1,176 . =2. = dP Qs 85 85
4.4 Elastisitas Produksi '
" ! ¿
6lastisitas pr"duksi adalah k"efisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ("utput) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah pr"duk yang dihasilkan sedangkan 7 melambangkan jumlah fakt"r pr"duksi yang digunakan, dan fungsi pr"duksi dinyatakan dengan P f(7), maka elastisitas pr"duksinya adalah
" != lim
∆x →0
∆ P x dP x . = . ∆ x P dx P
'ontoh Hitunglah elastisitas pr"duksi dari fungsi pr"duksi
2
P=5 x −5 x
3
pada tingkat fakt"r
pr"duksi sebanyak + unit@ Penyelesaian 2
P =5 x −5 x
3
dP = 10 x −15 x 2 dx Pada saat x =2,ma&a P =−20 dan
?aka,
" !=−40 .
dP =−40 dx
2 =4 −20
5. #asala* +!timasi 5.1 Penerimaan Total "ang #aksimum
ila fungsi penerimaan t"tal dinyatakan sebagai
R = f ( Q ) , maka penerimaan t"tal
akan maksimum bila dipenuhi syarat: '
&. +.
R=
dR =0 (syarat yang diperlukan) dQ
R = ++d +2 /%er +d + +2 <0 (syarat yang men!ukupi)
5.2 Penerimaan Total #aksimum dari Pa$ak
ila fungsi penerimaan t"tal dari pajak dinyatakan sebagai
& = f ( Q ) , maka
penerimaan t"tal dari pajak yang diterima pemerintah ', akan maksimum bila dipenuhi syarat: '
1.& =
d& =0 (syarat yang diperlukan) dQ
2. & = ++d +2 /%er +d + +2 <0 (syarat yang men!ukupi) 5.3 aba-Pro)it #aksimum
¿ Pada bab sebelumnya labaIpr"fit( dirumuskan sebagai adalah fungsi penerimaan t"tal
R= f ( Q )
dan adalah fungsi biaya t"tal
= f ( Q ) . ila fungsi labaIpr"fit dinyatakan sebagai
sehingga
= R −C , dengan B C =f ( Q) ,
= f ( Q ) , maka laba akan
men!apai maksimum apabila memenuhi syarat berikut: '
1. =
d =0 (syarat yang diperlukan) dQ
2. = ++d +2 /%er +d + +2 <0 (syarat yang men!ukupi) 5.4 Bia"a Total "ang #inimum
ila fungsi biaya t"tal dinyatakan sebagai
C =f ( Q) , maka biaya t"tal akan men!apai
minimum, bila dipenuhi syarat: '
&. +.
C =
dC = 0 (syarat yang diperlukan) dQ
C = ++d +2 /%er +d + +2 >0
(syarat yang men!ukupi)
5.5 Bia"a %ata&rata "ang #inimum
ila fungsi biaya rata
1. AC =
dAC =0 (syarat yang diperlukan) dQ
2. AC = ++d +2 /%er +d + +2 >0 (syarat yang men!ukupi) 'ontoh D-& atematika %konomi e$isi ke 5* +ata ,ira-an %e"rang pr"dusen memiliki fungsi permintaan atas barangnya berbentuk:
Qd =5− 0,25 P
%ementara biaya rata-rata untuk mempr"duksi tiap unit barangnya adalah 'entukanlah laba maksimum yang diper"lehnya. Penyelesaian Qd =5−0,25 P → P =20− 4 Q ungsi penerimaan t"tal R = P . Q
.
´ =3 C .
¿ ( 20− 4 Q ) Q ¿ 20 Q −4 Q2 ungsi biaya t"tal
C =Q . ´ C
¿3Q ungsi labaIpr"fit 2
=20 Q− 4 Q −3 Q
¿ 17 Q− 4 Q2 aba akan maksimum apabila &. %yarat yang diperlukan ' ' =0 → =17 −8 Q = 0
Q=
17 =2,125 8
+. %yarat yang men!ukupi <0
=-8<0ma&sim"m ada =2,125 Jadi laba maksimum yang diterima adalah %aks ( 2,125 ) =17 ( 2,125 )− 4 ( 2,125 )
2
=18,063
'ontoh D-4 atematika %konomi %$isi ke 5* +ata ,ira-an iaya t"tal yang dikeluarkan "leh sebuah perusahaan manufaktur untuk mempr"duksi sejenis barang dinyatakan "leh fungsi,
1 3 2 C =f ( Q )= Q − 4 Q + 12 Q + 5 3 biaya t"tal dan A kuantitas barang Pertanyaan: a. erapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berpr"duksi agar biaya t"talnya minimum erapa biaya t"tal minimumnya b. erapa biaya marginal dan biaya rata < rata per unitnya pada saat biaya t"tal minimumnya
Penyelesaian 1 3 2 C = Q − 4 Q + 12Q + 5 a. 3 '
2
C =Q −8 Q + 12 %yarat yang diperlukan agar biaya t"tal minimum ' C = 0 2
Q −8 Q + 12= 0
( Q − 6 ) ( Q − 2 ) =0 Q=6 danQ =2 %yarat yang men!ukupi C =2-8>0 ntuk
Q =6 → f (6)=4>0
ntuk Q =2 → f (2)=-4<0 Jadinilai A yang memenuhi agar biaya t"tal minimum adalah
Q =6
iaya t"tal minimumnya adalah 1 3 2 f ( 6 ) = 6 −4 .6 + 12.6 + 5 3
¿ 72−144 + 72+ 5 =5 b. iaya marginal dan biaya rata < rata saat biaya t"tal minimumnya dC 2 = ( MC )= Q −8 Q + 12 iaya marginal dQ
Pada saat
2
Q=6, MC =6 −8.6 + 12
¿0 C AC )= ( iaya rata < rata Q 1 2 5 AC = Q − 4 Q + 12 + 3 Q
Pada saat
5 5 Q=6, %aka AC = 12−24 + 12 + = 6 6
. /euntungan #ono!oli
>euntungan m"n"p"li adalah keadaan dimana se"rang pr"dusen atau penguasa pasar menguasai pasar terhadap sejenis barang tertentu, sehingga ia mampu mengatur kuantitas barang yang dita2arkan atau dijualkan. Jika kuantitas barang atau jasa dikurangi, maka ia dapat menaikan harga barang atau jasa tersebut, sebaliknya jika kuantitas barang atau jasa ditambah, maka ia dapat menurunkan harga barang atau jasa tersebut. iri-!iri Pasar ?"n"p"li: &. #alam industri hanya terdapat sebuah perusahaan +. Pr"duk yang dihasilkan tidak memiliki pengganti yang sempurna 5. Perusahaan baru sulit memasuki industri 9. Perusahaan memiliki kemampuan menentukan harga (pri!e maker) =. Pr"m"si iklan kurang diperlukan akt"r-akt"r Gang ?enimbulkan ?"n"p"li a. Hambatan teknis ('e!hni!al arriers t" 6ntry) >etidakmampuan bersaing se!ara teknis menyebabkan perusahaan lain sulit bersaing dengan yang sudah ada b. Perusahan memiliki kemampuan atau pengetahuan khusus yang memungkinkan berpr"duksi sangat efisien !. 'ingginya tingkat efisiensi memungkinkan perusahaan m"n"p"lis mempunyai kurva biaya yang menurun. ?akin besar skala pr"duksi, biaya marjinal makin menurun, sehingga biaya pr"duksi per unit makin rendah >euntungan ?aksimum pada ?"n"p"li iaya '"tal () ila biaya rata-rata untuk mempr"duksi per unit barang sebesar yang dipr"duksi sebanyak
´ C dan kuantitas barang
Q , maka besarnya biaya t"tal:
C =Q ´ C Penerimaan '"tal (B) ila harga per unit barang yang dijual sebesar
Q , maka besarnya penerimaan t"talnya: R = PQ
>euntungan atau Pr"fit (
¿
P dan kuantitas barang dijual sebanyak
esarnya keuntungan yang diper"leh pr"dusen adalah = R −C (&) %yarat yang diperlukan ' ' ' =0 → R − C =0 '
'
R =C
MR = MC (+) %yarat yang men!ukupi < 0 ' '
' '
R −C < 0 ' '
R <
Pengaruh Pajak terhadap ?"n"p"li Jika terhadap barang atau jasa yang dita2arkan atau dijualkan "leh pr"dusen dikenakan pajak penjualan sebesar t per unit, maka pajak tersebut akan menaikan biaya per unit pr"duk (
´¿ C sebesar t, dan biaya t"tal
(C ) akan naik sebesar tQ , sebagai berikut:
iaya per unit pr"duk setelah pajak:
´ t = ´C +t C
iaya t"tal setelah pajak sebesar t per unit:
´ t C t =C + tQ =Q C
esarnya laba yang diper"leh,
= R −C t
¿ R−( C + tQ ) ¿ R−C −tQ aba tersebut akan maksimum, bila dipenuhi dua syarat: &. %yarat yang diperlukan ' ' =0 → R = C t ' +. %yarat yang men!ukupi <0 < + rs"# +t
´ C biaya rata-rata per unit pr"duk sebelum pajak ´ t C biaya ratarata per unit pr"duk setelah pajak C biaya t"tal sebelum pajak C t
biaya t"tal setelah pajak
'ontoh Pada pasar yang ber!"rak m"n"p"li diketahui fungsi permintaan terhadap sejenis barang
Qd =−0,5 P + 5
dan biaya rata-rata per unit
c´ =2,5
. Jika terhadap barang yang
dihasilkan (terjual) dikenakan pajak ,= per unit. 'entukanlah kuantitas barang yang harus dipr"duksi dan tingkat harga per unit barangnya agar mendapat keuntungan yang maksimum. 'entukanlah pula keuntungan maksimumnya. Penyelesaian:
Qd =−0,5 P + 5 → P = 10 −2Q R = P . Q= ( 10 −2 Q ) Q = 10 Q − 2 Q
c´ =2,5 → c =2,5 + 0,5 =3 2
C t =Q . ´c t =3 Q '
R =10 −4 Q
C t =3
R =-4
C t =0
'
¿ ungsi keuntungan ( = R −C t
¿ 10Q −2 Q2−3 Q ¿ 7 Q− 2 Q 2 %yarat yang diperlukan '
'
R =C t 10− 4 Q=3 → Q =1,75 %yarat yang men!ukupi ' '
R < C t ' '
−4 < 0 (terpenuhi) keuntungan maksimum pada saat A&,0= Harga per unit barang, P =10 −2Q
P =10 −2 (1,75 )=6,5 >euntungan maksimum yang diper"leh
=7 Q − 2Q
2
=7 ( 1,75 )− 2 ( 1,75 )
2
¿ 6,125 Jadi kuantitas dan tingkat harga barang agar mendapat keuntungan maksimum adalah &,0= dan 4,=. >euntungan maksimum yang dapat diper"leh adalah 4,&+=. 0. #odel&model Persediaan
Pengendalian persediaan dalam suatu perusahaan sangat penting, "leh karena persediaan yang terlalu banyak mengakibatkan biaya penyimpanan meningkat, dan sebaliknya persediaan yang terlalu sedikit dapat mengakibatkan kekuarangan persediaan barang untuk
dipr"duksi atau dijual. Pengendalian persedaan men!"ba menyeimbangkan antara pemesanan besar yang ek"n"mis atau menjalankan pr"duksi besar dengan biaya pemeliharaan persediaan. 'ujuan dari m"del persediaan adalah meminimalkan t"tal biaya persediaan. 'ujuan dari m"del persediaan adalah meminimalkan t"tal biaya persediaan. iaya-biaya dalam m"del persediaan ini terdiri dari tiga tipe: &. iaya pemesanan atau mulai dari menjalankan pr"duksi (set up !"st). iaya pemr"sesan dan pemesanan, biaya telp"n, biaya pengepakan, biaya ekspedisi termasuk kel"mp"k biaya ini. +. iaya pemeliharaan persediaan, termasuk biaya m"dal(bunga), penyusutan, biaya penyimpanan (!arrying !"st). 5. iaya yang berlaku sesaat, termasuk kerugiaan atau kehilangan g""d2ill (sh"rtage !"st). Pada bagian ini akan dipelajari dua m"del persediaan yaitu, a. ?"del persediaan yang mengasumsikan bah2a barang-barang masuk sebagai persediaan tidak k"ntinu. b. ?"del persediaan yang mengasumsikan bah2a barang-barang masuk sebagai persediaan se!ara k"ntinu selama peri"de pemesanan atau pr"duksi. >edua m"del tersebut mengasumsikan bah2a variabel permintaan, harga per unit pr"duk, set up !"st, !arrying !"st per unit adalah k"nstan. #ua m"del yang dibahas berikut ini tanpa mempertimbangkan sh"rtage !"st nya, dengan demikian t"tal biaya persediaan tiap peri"de dapat dinyatakan sebagai berikut '"tal biaya persediaan t"tal biaya pemesanan ; t"tal biaya penyimpanan a. ?"del pertama >edatangan barang persediaan tidak k"ntinu. ntuk m"del ini t"tal biaya persediaan tiap peri"de dirumuskan sebagai:
C =
c2 Q c 1 ( 2
+
Q
# permintaan tiap peri"de, ! & set up !"st, !+ !arrying !"st per unit barang, A kuantitas barang yang ditempatkan dalam persediaan pada suatu saat,
Q / 2=¿ persediaan rata-rata,
/ dan ( Q banyaknya kumpulan barang tiap peri"de. iaya persediaan tersebut akan minimum bila dipenuhi dua syarat yaitu : &.
dC =0 dQ
c c ( dC c2 c 1 ( = − 2 → 0 = 2 − 1 2 dQ 2 2 Q Q
Q=
√
2c 1 ( c2
2
+.
d C > 0 (untuk A8) 2 dQ
Jadi, t"tal biaya persediaan tersebut akan minimum, bila banyaknya barang yang ditempatkan dalam persediaan Q =√ ( 2 C 1 ( )/ c 2 , dalam #IA kali setiap peri"de. %elanjutnya dengan memasukkan nilai
Q=√ ( 2C 1 ( )/ c 2 ke dalam fungsi t"tal biaya
persediaan, didapatlah nilai t"tal biaya persediaan yang minimum.
b. ?"del kedua >edatangan barang persediaan sinambung atau k"ntinu. ila kedatangan barang persediaan sinambung, maka t"tal biaya persediaannya, dirumuskan sebagai berikut:
( )
1 ( C = c 2 Q 1 − 2 k
+
c 1 ( Q
# permintaan tiap peri"de, ! & set up !"st, !+ !arrying !"st per unit barang, A kuantitas barang yang ditempatkan dalam pertambahan persediaan, k tingkat kedatangan barang (kuantitas barang tiap peri"de) '"tal biaya persediaan tersebut akan minimum bila dipenuhi dua syarat, yaitu &.
dC =0 dQ
+.
d C >0 2 dQ
2
#engan menyelesaikan persamaan (&) diper"leh,
Q=√ ( 2c 1 ()/ c 2 [ 1−( ( / k ) ]
ntuk A 8 , syarat (+) akan terpenuhi. Jadi, t"tal biaya persediaan tersebut minimum bila banyaknya barang yang ditempatkan dalam pertambahan persediaan adalah Q=√ ( 2c 1 ( )/ c 2 [ 1−( ( / k )] , dalam #IA kali setiap peri"de. 'ontoh ntuk mempr"duksi sejenis barang, sebuah perusahaan membutuhkan bahan baku sebanyak = unit setiap semester. iaya untuk menyimpan satu unit per bulan sebesar &,=. iaya pemesanan sebesar &. 'entukanlah kuantitas pesanan yang meminimalkan t"tal biaya persediaan dan besarnya t"tal biaya persediaan yang minimum tersebut. a. ila perusahaan membeli bahan baku, se!ara peri"dik dengan jumlah yang besar. b. ila perusahaan membeli bahan baku, se!ara peri"dik dari supplier yang mengirimkan se!ara terus menerus &= unit setiap bulan. Penyelesaian: a. >asus kedatangan barang persediaan tidak sinambung # = , ! & & ,! + &,= x 4 D
Q=
C =
√
2 c 1 (
c2
→Q =
√
2 ( 1 ) 5000 9
= 100 3
c2 Q c 1 ( 2
+
Q
Pada saat A &I5
C =
( 9 ) 100 /3 ( 1 ) 5000 + =300 2 100 / 3
Jadi, kuantitas pesanan agar t"tal biaya persediaan minimum adalah %edangkan t"tal biaya persediaan yang minimum sebesar 5. b. >asus kedatangan barang persediaan sinambung # =, ! & &, ! + &,=x4D , k&= x 4 D
Q=√ ( 2 c 1 ( )/ c 2 [ 1−( ( / k )]= √ ( 2 ( 1 ) 5000 )/ 9 [ 1 −( 5000 / 9000 ) ]
¿
√ [ ( )] √ [ ] 10000
9 1−
5 9
=
10000 9
4 9
100 3 tiap semester.
¿
√
10000
Pada
C =
4
=25
( )
1 ( c 1 ( + Q=25 → C = c2 Q 1− 2 k Q
(
1 ( 9 ) ( 25 ) 1− 5000 2 9000
)
+
( 1 ) 5000 25
=250
Jadi, kuantitas pesanan agar total biaya persediaan minimum adalah 25 tiap semester. Sementara total biaya persediaaan yang minimum tersebut adalah 250.
AP/AS T%A AA# E/++#
isusun ole*
irman %upriadinata
(&519=4)
Kaleria 'risnaGunita
(&919=&)
