MAKALAH KALKULUS
APLIKASI TURUNAN DALAM KECEPATAN PERTUMBUHAN BAKTERI
Oleh Luckyta Citra Ayu Paramitha 171810101015
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2017
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. Kalkulus adalah mata kuliah yang berguna untuk membantu mahasiswa memantapkan kepribadiannya, agar secara konsisten mampu mewujudkan nilainilai dasar matematika untuk menerapkan,mengembangkan bakat dan keahlian (skill),karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral. Turunan memiliki banyak fungsi dalam kehidupan sehari-hari yang mempermudah kita dalam menyelesaikan yang berhubungan dengan matematika. Pada makalah ini salah satu manfaat yang akan dibahas adalah aplikasi turunan dalam menentukan kecepatan pertumbuhan bakteri. Sama halnya dengan mencari kecepatan,
kecepatan
pertumbuhan
bakteri
juga
dapat
dihitung
dengan
menurunkan fungsi yang telah diketahui sebelumnya.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada makalah aplikasi turunan dalam menentukan kecepatan pertumbuhan bakteri, diantaranya yaitu :
1
1.
Bagaimana
cara
mengitung
kecepatan
pertumbuhan
bakteri
dengan
menggunakan turunan ? 2.
Bagaimana pengaplikasian turunan dalam kehidupan sehari-hari ?
1.3 Tujuan
1.
Mengetahui
cara
mengitung
kecepatan
pertumbuhan
bakteri
dengan
menggunakan turunan ? 2
Mengetahui pengaplikasian turunan dalam kehidupan sehari-hari ?
2.1 Manfaat
Pada makalah ini turunan bermanfaat untuk menghitung seberapa cepat bakteri tumbuh. Manfaat mempelajari perhitungan ini yaitu, kita dapat mengetahui jumlah bakteri yang telah berkenbang dalam satuan waktu. Sehingga memudahkan kita dalam mengetahui jumlah suatu bakteri dengan cepat tanpa menghitung satu-satu setiap pertumbuhannya.
2
BAB 2. PEMBAHASAN
Meskipun biologi pada hakikatnya banyak mempelajari mahluk hidup, namun pengetahuan dasar ketiga disiplin ilmu yaitu fisika, kimia dan matematika perlu dimiliki secara memadai oleh mahasiswa agar mereka dapat memahami bilogi dengan baik. Perkembangan biologi banyak didukung oleh kemajuan di bidang kimia dan fisika. Hasil pengamatan yang lebih terperinci hingga taraf submikrokopis dimungkin kan dengan kemajuan fisika, sedangkan pengetahuan tentang susunan kimia dari substansi hidup hingga atom-atomnya memberikan orientasi yang berdimensi molekuler kepada penalaran biologi. Meningkatnya peranan ilmu fisika
dan kimia sebagai
ilmu pendukung menyebabkan
bertambahnya kadar matematika yang diperlukan untuk memahami dengan lebih baik maknanya bagi biologi. Kalk ulus
(Bahsa latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk meng
hitung) adalah ilmu mengenai perubahan yang mencakup 4 bab besar, yaitu limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Penggunaan secara mendalam dari kalkulus banyak digunakan dalam ilmu fisik, biologis dan social. Misalnya, dalam ilmu fisika digunakan untuk mempelajari kecepatan tubuh saat jatuh, tingkat perubahan dalam reaksi kimia, atau tingkat peluruhan bahan radioaktif. Dalam ilmu biologi, kalkulus digunakan untuk memecahkan masalah seperti tingkat pertumbuhan koloni bakteri sebagai fungsi waktu. Sedangkan dalam imu social secara luas kalkulus digunakan dalam bidang statistic dan proba bilitas.Kalkulus dapat diterapkan untuk banyak masalah yang melibatkan gagasan jumlah ekstrim, seperti yang tercepat, paling lambat, paling banyak, atau paling sedikit. Dengan kalkulus sangatlah mungkin untuk menentukan seberapa tinggi proyektil dengan menemukan titik dimana perubahan atas ketinggian terhadap waktu, yaitu kecepatan sama dengan nol.Dasar kalkulus yang membedakannya dari cabang matematika lainnya dan merupakan sumber dari mana semua teori kalkulus dikembangkan, adalah teori limit fungsi dari variabel. Kalkulus adalah ilmumengenai perubahan, sebagaimana geometri ada lah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmumengenai pengerjaan untuk
3
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasiyang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagaimasalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kal kulus memiliki dua cabangutama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasarkalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebihtinggi, yang khusus mempelajari
fungsi
dan
limit, yang
secara
umum
dinamakan
analisis
matematika.Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zamanpertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulusintegral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Aplikasi kalkulus didalam biologi juga dapat kita gunakan dalam meng hitung laju pertumbuhan suatu organisme. Contohnya sebagai berikut: Jika suatu populasi dari suatu organisme tertentu mengalami pertumbuhan dengan laju
y’=dy/dx (x = waktu) yang sama besarnya dengan populasi pada saat itu,
yaitu y(x), maka model populasi itu adalah y’ = y,yang merupakan suatu contoh paling sederhana dari persamaan differensial. Dari pelajaran kalkulus kita mengenal bahwa fungsi eksponensial y = ex (atau lebih umumnya y=ce x) mempunyai sifat
y’=y dengan demikian fungsi y(x) = ex (atau lebih umumnya y=ce x) merupakan suatu selesaian dari model populasi tersebut
Soal
:
Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 10.000, setelah dua jam menjadi 40.000. di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapa jumlah bakteri setelah lima jam ?
4
Jawab: Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah :
dy/dt=ky ………………(1) Dengan k factor pembanding, dengan mengintegralkan persamaan (1) dy/y=k dt
∫1/y dy= ∫k dt ln y = kt + C ………………………………(2) pada saat awal t = 0 jumlah bakteri 10.000 (y = 10.000) sehingga dengan memasukkan nilai tersebut ke persamaan (2); ln 10.000 = k(0) + C memasukkan C ke persamaan (2) menjadi: ln y = kt + ln 10.000 untuk t = 2 jam y = 40.000 ln y 40.000 = 2k + ln 10.000 k = 1/2 [ln 40.000 – ln 10.000] = 1/2 [ ln 40.000/ln 10.000 ] = 1/2 ln 4 = ln 4^(1/2)
= ln √4 = ln 2 Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi: ln y = t ln 2 + ln 10.000
untuk t = 5 jam y = ….? ln y = 5 ln 2 + ln 10.000 ln y = ln 25 (10.000) y = 320.000 jadi setelah lima jam jumlah bakteri menjadi 320.000
5
BAB 3. KESIMPULAN
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Turunan memiliki banyak manfaat dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya dalam menentukan kecepatan pertumbuhan bakteri.
6
DAFTAR PUSTAKA
Cahyani,Astuti .2003 . Konsep Penerapan Kalkulus . Bandung : Institut Teknologi Bandung Sloughter,Dan . 2000 . Pengenalan Kalkulus (Terjemahan) . Jakarta : Erlangga Soejtipto,Hadi. 1997 . Bidang Ilmu Kedokteran . Jakarta : Erlangga Soeyadi,Abdi . 2000 . Kalkulus Dasar . Ygyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta
7
