APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK
SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Ta!i"a# Uni$esitas Isla% Ne&ei Sunan Kalija&a Y'&"akata Untuk Me%enu#i Se!a&ian dai S"aat(s"aat untuk Me%pe'le# Gela Sajana Stata Satu dala% Il%u Pendidikan Mate%atika
Ole#) Nu"adin **+,+-.+
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN JURU SAN TADRIS TADRIS MIPA FAKULT FAKULTAS AS TAR/IYA0 UNI1ERSITAS UNI1ERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA -..+
1
Drs. Murtono, M.Si. Dosen Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Kepaa Yang Terhor!at, "apak Dekan Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta Di Yogyakart Yogyakartaa
NOTA DINAS
#al
$ Sk Skripsi Sauara Nuryain
%a!p. %a!p. $ & 'e!pat( 'e!pat( ekse! ekse!pla plar r
Setelah !e!ba)a an !eneliti, !eni!bang an !e!perbaiki seperlunya !aka ka!i selaku pe!bi!bing, berpenapat bah*a skripsi sauara+ Na!a
$ Nuryain
Ni!
$ &-&/&
0urusan
$ Taris e eniikan Ma Mate!atika
yang berjuul 2 APLIKASI APLIKASI LOGIKA LOGIKA MATEM MATEMAT ATIKA IKA PADA PADA PENYUSUNAN PENYUSUNAN JARINGAN JARINGAN LISTRIK LISTRIK 3
suah layak iajukan sebagai syarat untuk !e!peroleh
gelar kesarjanaan ala! il!u tarbiyah. Maka bersa!a ini ka!i sa!paikan kepaa "apak i!pinan Fakultas, engan harapan se!oga ala! *aktu ekat sauara tersebut apat ipanggil ala! siang !una4osyah untuk !e!pertanggung ja*abkan skripsinya.
Yogyakarta, 0uni //& #or!at ka!i, e!bi!bing
Drs. Murtono, M.Si. Nip. 15/ 66 66
Drs. Murtono, M.Si. Dosen Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Kepaa Yang Terhor!at, "apak Dekan Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta Di Yogyakart Yogyakartaa
NOTA DINAS
#al
$ Sk Skripsi Sauara Nuryain
%a!p. %a!p. $ & 'e!pat( 'e!pat( ekse! ekse!pla plar r
Setelah !e!ba)a an !eneliti, !eni!bang an !e!perbaiki seperlunya !aka ka!i selaku pe!bi!bing, berpenapat bah*a skripsi sauara+ Na!a
$ Nuryain
Ni!
$ &-&/&
0urusan
$ Taris e eniikan Ma Mate!atika
yang berjuul 2 APLIKASI APLIKASI LOGIKA LOGIKA MATEM MATEMAT ATIKA IKA PADA PADA PENYUSUNAN PENYUSUNAN JARINGAN JARINGAN LISTRIK LISTRIK 3
suah layak iajukan sebagai syarat untuk !e!peroleh
gelar kesarjanaan ala! il!u tarbiyah. Maka bersa!a ini ka!i sa!paikan kepaa "apak i!pinan Fakultas, engan harapan se!oga ala! *aktu ekat sauara tersebut apat ipanggil ala! siang !una4osyah untuk !e!pertanggung ja*abkan skripsinya.
Yogyakarta, 0uni //& #or!at ka!i, e!bi!bing
Drs. Murtono, M.Si. Nip. 15/ 66 66
Drs. 7arsono, M.Si. Konsultan Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Kepaa Yang Terhor!at, "apak Dekan Fakultas Tarbiyah Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta Di Yogyakart Yogyakartaa
NOTA DINAS
#al
$ Sk Skripsi Sauara Nuryain
%a!p. %a!p. $ 8 'tujuh 'tujuh(( ekse!pl ekse!plar ar
Setelah !e!ba)a an !eneliti, !eni!bang an !e!perbaiki seperlunya !aka ka!i selaku konsultan, berpenapat bah*a skripsi sauara+ Na!a
$ Nuryain
Ni!
$ &-&/&
0urusan
$ Taris e eniikan Ma Mate!atika
yang berjuul 2 APLIKASI APLIKASI LOGIKA LOGIKA MATEM MATEMAT ATIKA IKA PADA PADA PENYUSUNAN PENYUSUNAN 3, JARINGAN JARINGAN LISTRIK LISTRIK 3,
suah layak iteri!a sebagai salah satu syarat untuk
!e!peroleh gelar Sarjana eniikan Isla! ala! il!u peniikan Mate!atika i Fakultas Tarbiyah. Tarbiyah. De!ikian nota inas ini ibuat an se!oga ber!an9aat an apat igunakan seperlunya.
Yogyakarta, - 0uli //& #or!at ka!i, Konsultan
Drs. 7arsono, M.Si. Nip. 1-&/&5-
MOTTO
Ilmu itu merupakan tempat persemaian setiap kemuliaan, maka taburkan aneka kemuliaan dan anda harus prihatin bila tempat persemaian itu tidak membuahkan suatu kebanggaan.
! "
'
& % ! $ #
Ketahuilah bahwa ilmu itu tidak akan didapat oleh seseorang yang cita-cita hidupnya hanya demi makanan dan minuman .
! %" *
) (
+
!
%
Bukanlah dinamakan seorang ilmuan manakala ia mengalami dua kondisi yaitu saat sengsara atau saat berkecukupan harta lalu menjadi gelisah dan lupa diri. 'Ma4olah I!a! Sya9i:i( "elajarlah Il!u engetahuan, sebab $ ;
"elajarnya itu engan karena
;
Men)arinya !erupakan ibaah
;
Menelaahnya sebagai bertasbih
;
Menyeliikinya sebagai jiha
;
Mengajarkannya kepaa orang yang belu! !engetahui sebagai seekah
;
Menya!paikan kepaa ahlinya aalah kebaktian 'Mu:a= bin 0abal(
enulis perse!bahkan karya tulis ini untuk$
KATA PENGANTAR
# ! , ;7, : 78 9 ' ! 2 ,56 0 ) 2 3 4 / ! - . " = > ! % A @ 5 ? ;7>6 # - < = # % . Alhamdulillah segala puji hanya bagi
ke!uahan an jalan keluar ari segala kesulitan sehingga penyusunan skripsi ini apat terselesaikan sebagai !ana !estinya. Shala*at an sala! se!oga senantiasa ter)urahkan paa junjungan nabi besar Muha!!a sa* beserta para sahabatnya yang setia. enulis !enyaari sepenuhnya bah*a ala! proses penyusunan skripsi ini banyak !enapatkan bi!bingan an bantuan, baik !oral !aupun !aterial ari berbagai pihak. ?leh karena itu penulis ingin !engu)apkan Jazakumullah Ahsanul Jaza kepaa $ 1. "apak Dekan Fakultas Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. . Ibu Ketua 0urusan Taris MI< yang telah !engarahkan ala! pe!buatan proposal skripsi. -. Ibu Ketua rogra! Stui eniikan Mate!atika yang telah !e!berikan !oti@asi ala! penyusunan skripsi. &. "apak Drs. Murtono, M.Si selaku osen pe!bi!bing yang telah !eluangkan *aktunya ala! !e!bi!bing, !engarahkan an !e!oti@asi penyusunan skripsi ini.
5. "apak Drs. DS.Mulyono, M.#u! selaku osen penasehat akae!ik yang telah !engarahkan pe!buatan juul skripsi ini. 6. "apakAIbu osen 9akultas Tarbiyah yang telah *a*asan guna !enjai bahan asar ti!bulnya pe!ikiran penulis.an seluruh sta9 karya*an. 8. Segala pihak yang telah berseia !e!bantu an !e!beri se!angat ala! proses pe!buatan skripsi ini. Se!oga se!ua bantuan an bi!bingan, o:a, an pengarahan yang iberikan kepaa penulis apat inilai ibaah oleh
E85 CD
B
ED
% A
Yogyakarta, 1- Mei //&
enulis
DAFTAR ISI
#ala!an 0uul..................................... 0uul............................................................ ........................................................ ................................. ...i #ala!an Nota Dinas.............................................. Dinas..................................................................... ........................................ii .................ii #ala!an engesahan........................................ engesahan............................................................... ............................................iii .....................iii #ala!an Motto........................................ Motto............................................................... .................................................... ............................. .i@ #ala!an perse!bahan................. perse!bahan........................................ .............................................. ........................................... .................... @ Kata engantar........................................... engantar.................................................................. ...................................................@i ............................@i Da9tar Isi.............................................. Isi..................................................................... ........................................................ ................................. @ii Da9tar Ba!bar an Tabel...................... Tabel............................................. .............................................. .................................iC ..........iC Intisari...........................................................................................................Ci
/A/ I2 PENDA0ULUAN
<. %atar "elakang........................................... "elakang.................................................................. ........................................ ................. 1 ". e!batasan Masalah........................... Masalah.................................................. ...............................................5 ........................5 . eru!usan eru!usan Masalah..... Masalah.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ................ ...................5 .........5 D. Tujuan enelitian...................... enelitian............................................. .................................................. ........................... .......6 E. Kegunaan Kegunaan enelitian.. enelitian....... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ............... ................... .............6 ...6 F. Tinjauan Tinjauan ustaka.... ustaka......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ................6 ......6 /A/ II2 DASAR TEORI
<. Konsep %ogika....................................... %ogika.............................................................. ............................................ ..................... ".
/A/ III2 METODOLOGI PENELITIAN
<. Si9at enelitian........................ enelitian............................................... .........................................................-..................................-". Su!ber enelitian.......................................... enelitian............................................................................-..................................-. Metoe Metoe enelitian.. enelitian....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ................ ................... .............-& ....-&
/A/ I12 PEM/A0ASAN
<. Gangkaian Saklar............................................. Saklar............................................................................ ............................... .-8 ". Gangkaian Gangkaian %ogika 'Berbang 'Berbang %ogika(... %ogika(........ .......... .......... ............ ................. ................... ...........&5 ..&5 . enyeerhan enyeerhanaan aan Gangkaian. Gangkaian...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ............... ...................8/ ..........8/
/A/ 12 PENUTUP
<. Kesi!pulan....................................... Kesi!pulan.............................................................. .......................................... ........................86 .....86 ". Saran........................................... Saran.................................................................. ........................................ .............................. .............88 88
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAM/AR DAN TA/EL
1. Ba!bar Ba!bar 1HHHHH 1HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH.6 .6 . Ba!bar Ba!bar HHHHH HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH. . -. Ba!bar Ba!bar -HHHHH -HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH. . &. Ba!bar Ba!bar &HHHHH &HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH.-8 .-8 5. Ba!bar Ba!bar 5HHHHH 5HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH.- .- 6. Ba!bar Ba!bar 6HHHHH 6HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH.&/ .&/ 8. Ba!bar Ba!bar 8HHHHH 8HHHHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHH.&1 .&1 . Ba!bar Ba!bar HHH.H HHH.HHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHH&1 H&1 . Ba!bar Ba!bar HHH.H HHH.HHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHHHH HHHH&1 H&1 1/. Ba!bar Ba!bar 1/HHH.HHHH 1/HHH.HHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH HHHHHH..& H..& 11. Ba!bar 11HHH.HHHHHHHHHHHHHHHH..& 11HHH.HHHHHHHHHHHHHHHH..& 1. Ba!bar Ba!bar 1HHH.HHHH 1HHH.HHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH HHHHHH..&H..&1-. Ba!bar Ba!bar 1-HHH.HHHH 1-HHH.HHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH HHHHHH..&H..&1&. Ba!bar Ba!bar 1&HHH..HHH 1&HHH..HHHHHHHHH HHHHHHHHHHHH HHHHHHH.&& H.&& 15. Ba!bar Ba!bar 15HHH..HHH 15HHH..HHHHHHHHH HHHHHHHHHHHH HHHHHHH.&5 H.&5 16. Ba!bar Ba!bar 16HHH..HHH 16HHH..HHHHHHHHH HHHHHHHHHHHH HHHHHHH.& H.& 18. Ba!bar Ba!bar 18HHHH...H 18HHHH...HHHHHH HHHHHHHHHHH HHHHHHHHH51 HHH51 1. Ba!bar Ba!bar 1HHHHHHHH 1HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH. HHHHH...55 ..55 1. Ba!bar Ba!bar 1HHHHHHHH 1HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH. HHHHH...58 ..58 /. Ba!bar Ba!bar /HHHHHHHH /HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHHHH. HHHHH...58 ..58 1. Ba!bar Ba!bar 1HHHHHHHH 1HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHHH. HHHH...H5 ..H5 . Ba!bar Ba!bar HHHHHHHH HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHH.HHH H.HHHH..61 H..61 -. Ba!bar Ba!bar -HHHHHHHH -HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHH.. HHH...HH61 .HH61 &. Ba!bar Ba!bar &HHHHHHHH &HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHH.H HHH.HH..6 H..6 5. Ba!bar Ba!bar 5HHHHHHHH 5HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHH... HH...HHH6HHH66. Ba!bar Ba!bar 6HHHHHHHH 6HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHH..H HH..HHH.65 HH.65 8. Ba!bar Ba!bar 8HHHHHHHH 8HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHH..HH H..HHHH.68 HH.68 . Ba!bar Ba!bar HHHHHHHH HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHHH.H HHH.HH..6 H..6 . Ba!bar Ba!bar HHHHHHHH HHHHHHHHHHHHHH HHHHHHHH.HH HH.HHH..8/ H..8/
-/. Ba!bar -/H...HHHHHHHHHHHHH.HH...HH8/ -1. Ba!bar -1H...HHHHHHHHHHHHHHH..HH..81 -. Ba!bar -H...HHHHHHHHHHHHHHHHH....8 --. Ba!bar --H...HHHHHHHHHHHHHHHH..H..8& -&. Ba!bar -&H...HHHHHHHHHHHHHHHHHH85 -5. Tabel 1H.HH...HHHHHHHHHHHHHHHHH.- -6. Tabel H.HH...HHHHHHHHHHHHHH...HH..- -8. Tabel -H.HH...HHHHHHHHHHHHHHH....H.- -. Tabel &H.HHH...HHHHHHHHHHHHHHHH.&/ -. Tabel 5H.HHH...HHHHHHHHHHHH.HHHH&8 &/. Tabel 6 H.HHH...HHHHHHHHH..HHHHHH..& &1. Tabel 8H.HHHH...HHHHHHHHH...HHHHH..51 &. Tabel H.HHHH...HHHHHHHHHHH...HHH..5&-. Tabel H.HHHHH...HHHHHHHHHHHH.HH55 &&. Tabel 1/H.HHHH..H.HHHHHHHHHHH...HH5 &5. Tabel 11H.HHHH..H.HHHHHHHHHHHHH...6/ &6. Tabel 1H.HHHH..H.HHHHHHH...HHHHHH6 &8. Tabel 1-H.HHHH..H.HHHHHHHHHHH...HH66 &. Tabel 1&H.HHHH..H.HHHHHHHHH.HHHH..68 &. Tabel 15H.HHHHHHHHHHHHHHHHHHH..6 5/. Tabel 16H.HHHHHHHHHHHHHHHHHHH..8
INTISARI
APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK
?leh $ Nuryain &-&/&
aa skripsi ini ibi)arakan !engenai aplikasi logika !ate!atika, khususnya logika aljabar "oolean ala! penyusunan jaringan listrik, yakni ala! sirkuit saklar an igital.
A/STRA3T
APPLI3ATION OF MAT0EMATI3S LOGI3 IN 3OMPILATION OF ELE3TRI3S NET4ORK
"y $ Nuryain &-&/&
/A/ I PENDA0ULUAN
A2 Lata /elakan&
lato sebagai seorang 9ilsu9 besar Yunani, sangat !enghargai !ate!atika karena
aya
kreasi yang terapat i ala! ie;ie !ate!atika apat
!en9or!ulasikan pertanyaan;pertanyaan yang ti!bul ala! 9ilsa9at. Mate!atika, sebagai!ana il!u;il!u lain juga !e!iliki aspek teoritik an aspek terapan atau praktik, !eskipun tiak e!ikian !uah !e!beakan !ana yang tergolong !ate!atika 2!urni3 an !ana yang tergolong !ate!atika 2terapan3. Ini lebih isebabkan oleh keabstrakan ari objek;objek kajian !ate!atika, *alaupun tiak seikit teori;teori ala! !ate!atika yang ibangun ari realitas lingkungan !anusia. aa aba ke;1 ini !ate!atika telah berke!bang engan pesat. roseur !ate!atika an !ateri !ate!atika lebih banyak igunakan ala! berbagai )abang il!u, seperti 9isika, ki!ia, biologi, keokteran, ekono!i an teknik. enggunaan !ate!atika yang !akin !eningkat !enunjukkan bah*a peran !ate!atika iala! kehiupan !anusia paa 2aba teknologi3 ini sangat !utlak. Meskipun paa a*al perke!bangan !ate!atika bertujuan
untuk
!e!enuhi kebutuhan praktis atau !en)irikan keaaan yang apat ia!ati seperti !engukur an !e!bilang. Mate!atika sekarang ini tiak perlu bergantung paa unia nyata. Na!un asu!si asarnya sekaligus ia!bil an ipakai i unia nyata. Mate!atika berke!bang ari hal;hal konkrit !enuju ke yang lebih u!u! an abstrak, karena pe!ikiran kita berasarkan realitas. #ubungan antara konkrit
an abstrak tiak ta!pak jelas an sekarang ini !ate!atika !enjai lebih abstrak lagi. "agai!anapun juga !ate!atika !e!punyai huku!;huku! tertentu yang !e!batasi !ate!atika*an ala! !en)iptakan ie;ie baru. #uku!;huku! ini aalah huku! tentang )ara !enalar yang benar, yaitu huku!;huku! logika, yang !enjai asas proses berpikir, karena tanpa huku!;huku! logika kita tiak apat !enalar engan benar. %ogika Mate!atika yang !erupakan terje!ahan ari symbolic logic yang apat iartikan sebagai tata )ara berpikir atau pola berpikir !ate!atika. eniik !ate!atika perlu !engetahui sebenarnya untuk apa !ate!atika iajarkan kepaa sis*a. Tentu bukan untuk !engetahui se!ua !ate!atika yang aa atau sebanyak !ungkin !engetahui !ate!atika. Mate!atika iajarkan kepaa sis*a aalah untuk !e!bantu sis*a agar tertata nalarnya, terbentuk kepribaiannya serta tera!pil !enggunakan !ate!atika an penalarannya ala! kehiupan kelak. %ogika !ate!atika !erupakan satu bagian ala! !ate!atika yang penting, engan !aksu iajarkannya antara lain agar kita lebih )er!at, lebih teliti ala! !e!bahas an !e!e)ahkan soal;soal !ate!atika, an iharapkan lebih isiplin ala! pe!akaian bahasa !ate!atika, agar
lebih kritis ala!
!e!buat pernyataan;pernyataan !ate!atika 'ST. Negoro$ 1+ 1-(. Maksu an tujuan tersebut !erupakan suatu upaya untuk !en)etak !anusia yang berpengetahuan berkualitas. Dala! hal ini Isla! pun !enukung terbentuknya !anusia yang berkualitas. Segala bentuk pengetahuan !erupakan sebuah !isi su)i sejauh pengetahuan tersebut sejalan engan prinsip;prinsip pe*ahyuan
'Mohaeni Moha!e$ //1+ 8(.
Nyatakan '"a)alah ( engan na!a Tuhan, yang !en)iptakan !anusia Dari gu!palan arah yang !e!beku Nyatakan Tuhan yang paling berli!pah Dia !engajar !enggunakan pena Mengajar !anusia yang tiak tahu apa;apa. '<.Yusu9
Isla! !enjelaskan bah*a il!u pengetahuan an aga!a tiak apat ipisahkan. De!ikian juga !ate!atika an aga!a !erupakan kesatuan. #al ini terangku! ala! ayat sebagai berikut$
Dia yang !e!buat !atahari Ke!uliaan yang berkilau Dan sebagai )ahaya "ah*a Dia !engetahui ju!lah tahun Dan hitungan *aktu Sekali;kali tiak Tuhan )iptakan ini Tetapi ala! kebenaran an keailan Dan !enjelaskan tana;tananya;Nya Se)ara jelas paa orang;orang yang !engerti '<.Yusu9
Ini !enunjukkan bah*a pengetahuan tentang berhitung atau pengetahuan tentang !ate!atika perlu ikuasai oleh se!ua orang. "egitu juga logika !ate!atika sangat perlu an penting untuk ipelajari an ikuasai. %ogika akan apat !e!bantu !engatur pe!ikiran kita untuk !e!isahkan hal yang benar ari yang salah. Seringkali kita !e!buat asu!si 'anggapan( yang salah terhaap sesuatu hal atau terhaap orang lain, hanya karena kita salah !enginterpretasikan '!ena9sirkan pernyataan(. Seringkali pe!ba)a !e!punyai pengertian yang tiak sa!a engan apa yang itulis oleh penulis an penengar !e!iliki pengertian yang berbea engan apa yang ikatakan oleh pe!bi)ara. engertian tentang bagai!ana !enggunakan logika, apat !e!bantu kita !enghinari salah pena9siran an !eningkatkan keahlian ala! berpikir analitis 'Theresia M.#.
Tirta Seputro$ 1+ 6(. e!akaian logika !ate!atika ala! kehiupan sangat ibutuhkan. %ogika !ate!atika yang ibahas i sini aalah logika aljabar "oole.
%ogika Mate!atika !erupakan )abang il!u yang sangat penting yang perlu ipelajari, ike!bangkan, an iterapkan ala! kehiupan. %ogika !ate!atika apat iterapkan ala! berbagai biang, baik ala! biang aga!a, sosial, ekona!i, biologi, 9isika, an pengetahuan lainnya. ?leh karena itu, penelitian ini ibatasi paa aplikasi logika aljabar "oole paa sirkuit saklar an igital. !2 Peu%usan Masala#
52 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini aalah$ . Untuk !engetahui an !e!aha!i aplikasi logika aljabar "oole paa sirkuit saklar -. Untuk !engetahui an !e!aha!i aplikasi logika aljabar "oole paa igital. a2 Ke&unaan Penelitian
a. Me!berikan su!bangan il!iah berupa in9or!asi tentang aplikasi logika !ate!atika paa penyusunan jaringan listrik an rangkaian igital sehingga iharapkan bisa ijaikan kerangka a)uan bagi guru untuk !en)erasakan sis*a. b. Me!berikan su!bangan pe!ikiran terhaap !asalah;!asalah yang ihaapi oleh le!baga peniikan khususnya peniikan !ate!atika ala! pengaplikasian logika !ate!atika. i2
Tinjauan Pustaka
engantar Dasar Mate!atika %ogika an Teori #i!punan, karya Theresia M.#.Tirta Seputro, 1, !enjelaskan bah*a siste! logika an teori hi!punan banyak !e!punyai aplikasi praktis. Salah satu ari aplikasi tersebut aalah ala! s*it)hing net*orks yang apat juga ita9sirkan sebagai saklarA jaringan listrik. %ogika yang i!aksu i sini aalah logika proposisi. Dasar;asar Mate!atika Moern untuk Buru, karya E.T. Guse99eni, 1, !enjelaskan suatu saklar yang ihubungkan seri an paralel ala! susunan jaringan listrik. Ke!uian buku Elektronika Terpau$ !angkaian dan "istem Analog dan #igital , karya 0a)ob Mill!an, hristos , an #alkias yang
iterje!ahkan oleh M."ar!a*i an M.?.Tjia, 1-, !enjelaskan bah*a suatu siste! igital ber9ungsi se)ara biner.
/A/ II DASAR TEORI A2 K'nsep L'&ika
Konsep aalah sebuah kata yang berasal ari bahasa latin conseptus yang ibentuk ari kata conseptum yang berasal ari kata kerja concipio. Kata concipio berarti !enga!bil ke ala! irinya, !eneri!a, !engisap, !ena!pung , !enyerap,
atau
!enangkap.
'onceptum
berarti
!enga!bil,
!enyerap,
!e!bayangkan ala! pikiran, !engerti an !enangkap. 'onceptus berarti )erapan, bayangan ala! pikiran, pengertian, an tangkapan '0an #enrik Gaper$ 16+ 8(. Mengerti sesuatu hal atau barang berarti !enangkap aanya barang itu. Di sini akal bui !anusia !e!bentuk suatu ga!baran tentang yang ipaha!i itu. Dengan e!ikian konsep !erupakan rupa atau ga!bar atau bayangan ala! pikiran yang !erupakan hasil tangkapan akan bui terhaap suatu objek pikiran. Sesuah akal !e!bentuk pengertiannya itu !isalnya pengertian 2burung3 !aka engan pengertian itu apatlah kita berpikir an atau berbi)ara tentang burung tanpa !enghairkan seekor burung lagi, karena pengertian itu seolah;olah beraa ala! akal bui engan perantaraan pengertian atau konsep burung itu '"urhanuin sala!$ 1+ &/( Manusia !a!pu !enge!bangkan pengatahun karena !e!punyai bahasa an ke!a!puan !enalar. Ke!a!puan !enalar aalah ke!a!puan untuk !enarik konklusi yang tepat ari bukti;bukti yang aa, an !enurut aturan tertentu. Ke!a!puan !enalar ini sangat penting ala! kehiupan sehari;hari karena !erupakan su!ber ari sebagian besar pengetahuan.
Menarik konklusi !erupakan suatu proses untuk apat sa!pai paa sesuatu yang sebelu!nya kita belu! tahu 'konklusi( ari hal;hal yang kita ketahui !enurut aturan tertentu.
ketepatan berpikir. %ogika aalah il!u yang !e!persoalkan prinsip;prinsip an aturan;aturan penalaran yang sohihA@ali. Dari sekian banyak e9inisi yang pernah ibuat oleh para ahli itu, !aka penulis apat !enyi!pulkan bah*a logika aalah teori berpikir atau il!u yang !e!pelajari,
!enyusun,
!enge!bangkan
an
!e!bahas
prinsip;prinsip
penalaran yang benar an peanarikan kesi!pulan yang absah baik yang bersi9at eukti9 !aupun inukti9, e!i !en)apai kebenaran yang apat ipertanggung ja*abkan se)ara rasional. %ogika !enuntun seseorang tentang bagai!ana pe!ikiran seharusnya berjalan bukan bagai!ana keaaan sebenarnya pe!ikiran !anusia berjalan. 0uga tiak berarti belajar logika apat !erangsang terjainya pe!ikiran yang proukti9 an !e!perbaiki )ara berpikir seluruhnya. Dala! batas;batas tertentu, )ara berpikir seseorang apat iperbaiki engan !e!pelajari logika.
sesuatunya. "oole !ene!ukan suatu aljabar baru yang !enggantikan !etoe
Mate!atika !erupakan sarana yang berguna ala! analisis rangkaian listrik an igital. Se!ua operasi logika ala! rangkaian listrik tergantung paa aa atau tiaknya arus, an paa rangkaian igital tergantung paa aa atau tiaanya sinyal. Suatu @ariabel logika hanya apat !e!punyai salah satu ari ua nilai yang !ungkin terjai. Mate!atika engan logika ua nilai itu isebut aljabar "oole.
si9at sa!a. 0ika S aalah suatu hi!punan, an C an y aalah besaran tertentu, !aka C i S !enyatakan bah*a C unsur ala! S, seangkan y tiak i S !enunjukkan bah*a y bukan unsur ala! S. Suatu hi!punan engan seju!lah unsur yang apat ihitung inyatakan engan tana kura*al < 1, , -, &O+ yang artinya unsur;unsur ala! hi!punan < aalah bilangan 1, , -, an &. Suatu operasi biner paa suatu hi!punan S yang !e!punyai anggota ie9inisikan sebagai suatu aturan yang !enetapkan bah*a untuk setiap pasangan ala! unsur S aa suatu unsur yang unik ala! S itu 'Mis!ail "uiono$ 1+ 61(. #i!punan an proposisi, keuanya kelihatan !e!iliki si9at;si9at yang sa!a, yakni !e!enuhi huku!;huku! yang ientik. #uku!;huku! ini aalah huku!;huku! yang igunakan untuk !ene9inisikan sebuah struktur !ate!atika yang abstrak yang ina!akan sebuah aljabar "oole, yang ina!ai !enurut sarjana !ate!atika Beorge "oole yang hiup paa tahun 11- M an *a9at paa tahun 16& M 'Sey!our %ips)huts$ 15+ -(. a2 De6inisi Alja!a /''le
Menurut Elliot Menelson e9inisi aljabar "oole aalah sebagai berikut$ 2 By a Boolean algebra we mean a set B together with two binary operations ∧ and ∨ on B, a singulary operations ′ on B, and two speci&ic elements ) and * o& B such that the &ollowing a+ioms hold 3 '1( For any C an y in ", C ∨ y y ∨ C '( For any C an y in ", C ∧ y y ∧ C '-( For any C, y, = in ", C ∧ 'y ∨ =( 'C ∧ y( ∨ 'C ∧ =( '&( For any C, y, = in ", C ∨ 'y ∧ =( 'C ∨ y( ∧ 'C ∨ =( '5( For any C in ", C ∨ / C '6( For any C in ", C ∧ 1 C '8( For any C in ", C ∨ C′ 1 '( For any C in ", C ∧ C′ / '( / ≠1 'Elliot Menelson$ 18+ 5(.
0ai
'( untuk sebarang C an y∈", C ∧ y y ∧ C '-( untuk sebarang C, y, = ∈", C ∧ 'y ∨ =( 'C ∧ y( ∨ 'C ∧ =( huku! istributi9
'&( untuk sebarang C, y, = ∈", C ∨ 'y ∧ =( 'C ∨ y( ∧ 'C ∨ =( '5( untuk sebarang C∈", C ∨ / C '6( untuk sebarang C∈", C ∧ 1 C '8( untuk sebarang C∈", C ∨ C′ 1 '( untuk sebarang C∈", C ∧ C′ / '( / ≠ 1. 'Elliot Menelson$ 18+ 5-(. Theresia ' 1+ 1( !ena!bahkan bah*a untuk setiap C i " aa C ′ i " yang isebut ko!ple!en C sehingga aksio!a '8( an '( terpenuhi. Istilah $ C ∧ y ina!akan perte!uan '!eet( C an y C ∨ y ina!akan gabungan 'join( C an y C′ ina!akan ko!ple!en ari C / ina!akan ele!en nol 1 ina!akan ele!en unit. ?perasi biner aalah pengerjaan terhaap ua ele!en suatu hi!punan sehingga !enghasilkan ele!en tunggal yang juga !erupakan ele!en hi!punan
itu. #uku! ko!utati9 !enunjukkan bah*a urutan pena!bahan an perkalian tiaklah penting. Dengan perkataan lain, iperoleh ja*aban yang sa!a bila !ena!bahkan C terhaap y !aupun y terhaap C. De!ikian pula, ja*aban yang sa!a iperoleh bila !engalikan C engan y !aupun y engan C. #uku! istributi9 !enunjukkan bah*a suatu ekspresi "oole apat iperluas engan !engalikan ter! e!i ter! seperti ala! aljabar biasa. #uku! ini juga !enganung pengertian bah*a suatu ekspresi "oole apat i9aktorkan. Dengan perkataan lain, jika iberikan ju!lah ua buah ter!, yang !asing;!asing !enganung @ariabel yang sa!a, !aka @ariabel yang sa!a ini apat i9aktorkan. Ini aalah 'C ∧ y( ∨ 'C ∧ =(. Masing;!asing ter! !enganung C, sehingga C apat i9aktorkan untuk !enapatkan C ∧ 'y ∨ =(. !2 Te'e%a dala% Alja!a /''le
Dari aksio!a;aksio!a yang telah isebutkan paa bagian sebelu! ini, apat isusun seju!lah teore!a untuk aljabar "oole. Te'e%a 7$ Keunikan !enyangkut ko!ple!en$ jika C ∨ y 1 an C ∧ y /, !aka
y C′ "ukti$ 'i(
y y ∨ /,
!enurut aksio!a '5(
y ∨ 'C ∧ C′(,
!enurut aksio!a '(
'y ∨ C( ∧ 'y ∨ C′(, !enurut aksio!a '&( 'C ∨ y( ∧ 'y ∨ C′(, !enurut aksio!a '1( 1 ∧ ' y ∨ C′(, hipotesis
'y ∨ C′( ∧ 1, !enurut aksio!a '( y ∨ C′ , !enurut aksio!a '6( 'ii(
C′ C′ ∨ / , !enurut aksio!a '5( C′ ∨ 'C ∧ y( , hipotesis ' C′ ∨ C( ∧ 'C′ ∨ y( , !enurut aksio!a '&( 'C ∨ C′( ∧ 'C′ ∨ y(, 1 ∧ 'C′ ∨ y(,
!enurut aksio!a '1(
!enurut aksio!a '8(
'C′ ∨ y( ∧ 1 , !enurut aksio!a '( C′ ∨ y ,
!enurut aksio!a '6(
y ∨ C′ ,
!enurut aksio!a '1(
y,
!enurut 'i(
#ubungan i atas !ene9inisikan ko!ple!en C. Untuk suatu = i ", '= ′(′ = ' notasi$ kita artikan '=′(′ engan = ′′ , ''=′(′(′ engan =′′′ an seterusnya(. "ukti$ 'i( =′ ∨ = = ∨ =′ , karena !enurut aksio!a '1( iketahui bah*a C ∨ y y ∨ C. 1,
!enurut aksio!a '8(
Menurut aksio!a '1( iketehui bah*a C ∨ y y ∨ C, an !enurut aksio!a '8( iketahui bah*a C ∨ C′ 1, iperoleh = ′ ∨ = 1 'ii( =′ ∧ = = ∧ =′ !enurut aksio!a '( /
!enurut aksio!a '(
?leh karena itu engan !enggunakan teore!a 1, !isalkan C = ′ an y = iperoleh = = ′′ Te'e%a -$ Ide%p'ten + untuk setiap unsur C ∈", !aka
'i( C ∧ C C, 'ii( C ∨ C C. "ukti$ 'i(
C C ∧ 1,
C ∧ 'C ∨ C′(,
!enurut aksio!a '6( !enurut aksio!a '8(
'C ∧ C( ∨ 'C ∧ C′(, 'C ∧ C( ∨ /, C ∧ C, 'ii(
!enurut aksio!a '-(
!enurut aksio!a '(
!enurut aksio!a '5(
C C ∨ /, !enurut aksio!a '5( C ∨ 'C ∧ C′(,
!enurut aksio!a '(
'C ∨ C( ∧ 'C ∨ C′(, !enurut aksio!a '&( 'C ∨ C( ∧ 1, C ∨ C,
!enurut aksio!a '8(
!enurut aksio!a '6(
Teore!a ini !enjelaskan bah*a jika setiap unsur C ilakukan operasi perkalian atau operasi penju!lahan terhaap irinya seniri !aka iperoleh C itu seniri. De6inisi)
Dual ari sebarang pernyataan ala! sebuah aljabar "oolean aalah pernyataan yang iperoleh engan !enukar operasi ∧ an ∨, an ele!en;ele!en satuannya / an 1, ala! pernyataan se!ula 'Elliot Menelson$ 18+ 5&(. ontoh$ 1(. Dual ari C ∧ 'y ∨ =( 'C ∧ y( ∨ 'C ∧ =( aalah C∨'y∧=( 'C ∨ y( ∧ 'C ∨ =(, an sebaliknya. (. Dual ari C ∨ C′ 1 aalah C ∧ C′ /, an sebaliknya. erlu iperhatikan bah*a ual ari setiap aksio!a aljabar "oolean aalah juga sebuah aksio!a. Sesuai engan itu !aka berlaku prinsip ualitas, yakni$ Te'e%a ,) Pinsip dualitas $
0ika pernyataan < iturunkan ari aksio!a '1(;'(, !aka ual ari < juga iturunkan ari aksio!a '1(;'(. 0ai ual ari sebarang teore!a ala! sebuah aljabar "oolean aalah juga sebuah teore!a. Dengan kata lain, jika sebarang pernyataan aalah sebuah konsekuensi ari aksio!a sebuah aljabar "oolean, !aka ual ari pernyataan tersebut aalah juga sebuah konsekuensi ari aksio!a tersebut. Karena pernyataan hal itu apat ibuktikan engan !enggunakan ual ari setiap langkah pe!buktian pernyataan se!ula. "ukti$ Dual ari setiap aksio!a '1(;'( aalah aksio!a se!ula.
!asing;!asing pernyataan iganti engan !asing;!asing ualnya, hasilnya aalah pe!buktian pernyataan se!ula 'ketika aksio!a iganti engan aksio!a(. Te'e%a +) Untuk se!ua C, y, = ∈", !aka$
'i(
C ∧ / /
'ii(
C ∨ 1 1
'iii(
C ∧ 'C ∨ y( C
'i@(
C ∨ 'C ∧ y( C
'@(
0ika Py ∧ C = ∧ C Q y ∧ C′ = ∧ C′R, !aka y =
'@i(
C ∨ 'y ∨ =( 'C ∨ y( ∨ = #uku! asosiati9
'@ii(
C ∧ 'y ∧ =( 'C ∧ y( ∧ =
'@iii(
'C ∨ y(′ C′ ∧ y′ #uku! De Morgan
'iC(
'C ∧ y(′ C′ ∨ y′
'C(
C ∨ y 'C′ ∧ y′(′
'Ci(
C ∧ y 'C′ ∨ y′(′
'Cii(
C ∧ y′ / ↔ C ∧ y C
'Ciii(
/′ 1
'Ci@(
1′ /
'C@(
C ∧ 'C′ ∨ y( C ∧ y
'C@i(
C ∨ 'C′ ∧ y( C ∨ y
"ukti$ 'i(
C ∧ / 'C ∧ /( ∨ / 'C ∧ /( ∨ 'C ∧ C′( 'C ∧ C′( ∨ 'C ∧ /( C ∧ 'C′ ∨ /( C ∧ C′ /
'ii(
<alah ual ari 'i(
'iii(
C ∧ 'C ∨ y( 'C ∨ /( ∧ 'C ∨ y( C ∨ '/ ∧ y( C ∨ / C.
'i@(
<alah ual ari 'iii(
'@(
Diasu!sikan y ∧ C = ∧ C Q y ∧ C′ = ∧ C′ , !aka y y ∧1 y ∧ 'C ∨ C′ ( 'y ∧ C( ∨ 'y ∧ C′( '= ∧ C( ∨ '= ∧ C′( = ∧ 'C ∨ C′( = ∧ 1 = Dengan !enggunakan '@(, !isalkan y C ∨ 'y ∨ =( an = 'C ∨ y( ∨ =,
'@i(
!aka harus itunjukkan$ 'a(
'C ∨ 'y ∨ =(( ∧ C ''C ∨ y( ∨ =( ∧ C, an
'b(
'C ∨ 'y ∨ =(( ∧ C′ ''C ∨ y( ∨=( ∧ C′.
"ukti$ 'a( 'C ∨ 'y ∨ =(( ∧ C C ∧ 'C ∨ 'y ∨ =(( C
!enurut 'iii(, sehingga
''C ∨ y( ∨ =( ∧ C C ∧ ''C ∨ y( ∨ =( PC ∧ 'C ∨ y(R ∨ PC ∧ =R C ∨ 'C ∧ =( C
!enurut 'iii(
!enurut 'i@(
0ai 'C ∨ 'y ∨ =(( ∧ C C ''C ∨ y( ∨ =( ∧ C. 'b( 'C ∨ 'y ∨ =(( ∧ C′ C′ ∧ 'C ∨ 'y ∨ =(( 'C′ ∧ C( ∨ 'C′ ∧ 'y ∨ =(( / ∨ 'C′ ∧ 'y ∨ =(( C′ ∧ 'y ∨ =(, !aka ''C ∨ y( ∨ =( ∧ C′ C′ ∧ ''C ∨ y( ∨ =( 'C′ ∧ 'C ∨ y(( ∨'C′ ∧=(
P'C′ ∧ C( ∨ 'C′ ∧ y(R ∨ 'C′ ∧ =( P/∨ 'C′ ∧ y(R ∨ PC′ ∧ =R 'C′ ∧ y( ∨ 'C′ ∧ =( C′ ∧ 'y ∨ =( 0ai 'C ∨ 'y ∨ =( ∧ C′ C′ ∧ 'y ∨ =( ''C ∨ y( ∨ =( ∧ C′ '@ii(
<alah ual ari '@i(
'@iii(
Untuk !e!buktikan 'C ∨ y(′ C′ ∧ y′, aalah engan
!enggunakan teore!a keunikan ko!ple!en, !aka harus itunjukkan $ ')(
'C ∨ y( ∧ 'C′ ∧ y′( /, an
'(
'C ∨ y( ∨ 'C′ ∧ y′( 1.
"ukti$ ')(
'C ∨ y( ∧ 'C′ ∧ y′( 'C′ ∧ y′( ∧ 'C ∨ y( P'C′ ∧ y′( ∧ CR ∨ P'C′ ∧ y′( ∧ yR PC ∧ 'C′ ∧ y′(R ∨ PC′ ∧ 'y′ ∧ y(R P'C ∧ C′( ∧ y′ R ∨ PC′ ∧ 'y ∧ y′(R P/ ∧ y′R ∨ PC′ ∧ /R / ∨ / /
'(
'C ∨ y( ∨ 'C′ ∧ y′( P'C ∨ y( ∨ C′R ∧ P'C ∨ y( ∨ y′R PC′ ∨ 'C ∨ y(R ∧ PC ∨ 'y ∨ y′(R P'C′ ∨ C( ∨ yR ∧ PC ∨ 1R P'C ∨ C′( ∨ yR ∧1 'C ∧ C′( ∨ y
1 ∨ y y ∨ 1 1. 'iC(
<alah ual ari '@iii(
'C(
Menurut '@iii(, 'C ∨ y(′ C′ ∧ y′ , !aka 'C ∨ y(′′ 'C′ ∧ y′(′ paahal 'C ∨ y(′′ C ∨ y, !aka iperoleh 'C′ ∧ y′(′ C ∨ y
'Ci(
<alah ual ari 'C(
'Cii(
C C ∧1 C ∧ 'y ∨ y′( 'C ∧ y( ∨ 'C ∧ y′(. Diketahui C ∧ y′ /, !aka C C ∧ y. Diasu!sikan C C ∧ y, !aka C ∧ y′ / ∨ 'C ∧ y′( 'C ∧ C′( ∨ 'C ∧ y′( C ∧ 'C′ ∨ y′( C ∧ 'C ∧ y(′ C ∧ C′ /.
'Ciii(
Ketika / ∨ 1 1 an / ∧ 1 / !aka iperoleh / ′ 1 !enurut teore!a .1.
'Ci@(
<alah ual ari 'Ciii(
'C@(
C ∧ 'C′ ∨ y( 'C ∧ C′( ∨ 'C ∧ y( / ∨ 'C ∧ y( C ∧ y
'C@i(
<alah ual ari'C@(.
Te'e%a 8) Misalkan C, y i ", engan " aalah sebuah aljabar "oole, !aka
konisi;konisi berikut ekui@alen satu sa!a lain$ 'i(
C ∧ y′ /
'ii(
C ∨ y y
'iii(
C′ ∨ y 1
'i@(
C ∧ y C
Te'e%a 9)
Untuk !en)ari si9at sebuah rangkaian pengganti "oole, !aka ibentuk sebuah tabel yang analog engan tabel kebenaran untuk proposisi 'Sey!our %ips)huts$ 15+ -5(. aa siste! !ate!atika logika biner yang lebih ikenal sebagai aljabar "oole,
engan
!uah
apat
igunakan
untuk
!eguraikan
operasi
rangkaianAsirkuit saklar an sirkuit logika yang ru!it. eran)ang siste! igital !enggunakan aljabar "oole untuk !engubah suatu iagra! rangkaian !enjai pernyataan aljabar an sebaliknya.
32 Jain&an Listik a2 Aus Listik
Franklin paa tahun 185/ engan teori aliran listriknya !engga!barkan bah*a listrik sebagai suatu )airan yang tiak apat ilihat. 0ika sebuah bena !e!punyai kelebihan )airan ibaningkan engan keaaan nor!alnya, !aka bena tersebut ikatakan ber!uatan positi9. "ila bena tersebut kekurangan )airan ibaningkan engan keaaan nor!alnya, !aka ikatakan bena tersebut ber!uatan negati9. "erasarkan teori ini Franklin !enyi!pulkan bah*a !uatan listrik !engalir ari positi9 !enuju ke negati9. Teori ini sa!pai sekarang ikenal engan teori arus kon@ensional. Seangkan teori arus elektron !enyebutkan bah*a ala! sepotong ka*at te!baga, hanya !uatan yang berupa elektron bebaslah yang apat !engalir. Dengan pengaruh ari suatu !ean listrik elektron; elektron bebas ini !engalir ari ter!inal negati9 sebuah baterei !elalui ka*at !enuju ter!inal positi9. #al ini sangat bertentangan engan teori arus kon@ensional yang !eni!bulkan sebuah !asalah. Setiap orang sekarang setuju bah*a !uatan;!uatan listrik sebenarnya !engalir ari negati9 ke positi9 iala! sepotong ka*at te!baga, tetapi tiak se!ua orang ingin !enghinari pe!akaian arus kon@ensional '0a)ob Mill!an$ 1-+ ( Traisi yang suah aa aalah bah*a para insinyur lebih suka !enggunakan arus kon@ensional !aupun arus elektron aripaa !e!ilih salah satu ari keuanya. aa ruang lingkup ato! !ereka !enggunakan arus elektron untuk !enerangkan apa yang sebenarnya terjai. Di luar ruang lingkup ato! !ereka !enganggap bah*a yang !engalir aalah !uatan; !uatan positi9, bukan elektron. Mungkin paa suatu hari nanti seseorang akan berpaling paa arus elektron paa *aktu !ereka !enganalisa rangkaian;
rangkaian se)ara !ate!atis. Tetapi paa saat ini suah isepakati bah*a perubahan yang e!ikian hanya akan !eni!bulkan pertentangan. 0ika seseorang !enganggap !uatan;!uatan !engalir ari positi9 !enuju negati9, !aka ia !e!akai arus kon@ensional atau ari negati9 !enuju positi9, !aka ia lebih !enyukai arus elektron.
#uku! ?h! !enjelaskan bah*a besar arus I ala! suatu rangkaian listrik bergantung paa ha!batan ! an su!ber listrik . #uku! ?h! ini ijelaskan engan eksperi!an oleh Beorgeo Si!on ?h! paa tahun 1. 0ika iketahui ua ari , I an ! !aka yang ketiga apat ihitung. Sebagai )ontoh, engan 6 tegangan an ha!batan Ω !aka I '6( A ' Ω( -<. #uku! oh! juga !enjelaskan besarnya aya listrik sirkuitArangkaian. "esarnya aya yang ipakai ala! sebuah sirkuit sa!a engan hasil kali ari tegangan engan arus. Daya yang igunakan oleh G ala! )ontoh iatas aalah 6 C -< 1 *att. #ubungan ini berlaku untuk arus <AD ala! sirkuit. Dengan kata lain, huku! oh! apat itulis sebagai enurunan tegangan 'oltage rops( yang !elintasi ha!batan aalah hasil kali arus yang !ele*atinya engan ha!batannya, yaitu I !. 52 0uku% Ki5##'66
Terapat berbagai tipe sirkuitArangkaian yang ko!ponen> ko!ponennya tiak ala! rangkaian seri, paralel !aupun seri paralel.
paralel ari suatu rangkaian listrik. %anasan teori jaringan ini iletakkan sekitar tahun 1&8 oleh 9isika*an 0er!an, Busta@ G. Kir)hho99, yang per)obaan;per)obaan )er!atnya telah !enghasilkan huku!;huku! yang isebut engan na!anya. 7: 0uku% aus Ki5##'66
0u!lah aljabar ari arus !asuk an !eninggalkan sebarang titik ala! sebuah rangkaian harus sa!a engan nol. Dengan kata lain, huku! arus Kir)hho99 sebagai 2ju!lah aljabar ari arus yang !asuk ke sebarang titik ari suatu rangkaian listrik harus sa!a engan ju!lah aljabar ari arus yang keluar !eninggalkan titik tersebut3 '"uiono Mis!ail$ 15+ -5(. 0u!lah aljabar isini !aksunya ko!binasi ari nilai positi9 an negati9. Dengan !enggunakan huku! Kir)hho99 untuk !enyelesaikan per!asalahan ala! jaringan listrik, perlu !engaakan perjanjian yang !enjelaskan tana;tana aljabar untuk arus an tegangan. Siste! yang !uah untuk arus aalah anaikan se!ua arus yang !enuju titik )abang bertana positi9 an se!ua arus yang !eninggalkan titik tersebut bertana negati9 . #uku! arus Kir)hho99 tersebut sebenarnya tiak berbea engan huku! kekekalan !uatan listrik seperti ta!pak ala! analogi paa Ba!bar 1 '"ob Foster$ 1+ 16/(. #uku! arus Kir)hho99 se)ara !ate!atis apat ituliskan sebagai berikut$
∑ I !asuk ∑ I keluar I
HHHHHHHHHHHHH.. 'i(
I1
aliran keluar I-
aliran !asuk
'a(
'b(
Ba!bar '1(. Ske!a iagra! untuk huku! I Kir)hho99 serta analogi !ekaniknya. "ukti huku! arus Kir)hho99 ini suah jelas karena ala! hal ini tiak aa !uatan yang terti!bun paa si!pul an tiak aa arus yang !engalir keluar si!pul !enuju ke ruang bebas. 0ai paling seikit harus aa satu jalur yang !e!ba*a !uatan keluar ari si!pul itu. Dala! penggunaan huku! Kir)hho99, ta!pak arus i suatu si!pul aalah nol. e!batasan berlakunya huku! arus Kir)hho99 tersebut aalah tiak boleh aa !uatan yang terti!bun ala! si!pul. enge)ualian penting untuk huku! ini terjai jika si!pul itu terletak i tengah kapasitor, karena !uatan yang tersi!pan ala! kapasitor tersebut !enyebabkan huku! ini tiak berlaku '"uiono Mis!ail$ 15+ -6(. -: 0uku% te&an&an Ki5##'66
#uku! tegangan Kir)hho99 !enyebutkan bah*a ju!lah aljabar su!ber tegangan an penurunan tegangan I G ala! sebarang lingkaran tertutup harus sa!a engan nol. Se)ara !ate!atis, huku! ini apat ie9inisikan sebagai berikut$ 1 V V - V H V n /
HHHHHHHHHHHHHH 'ii(
∑ - / #uku! tegangan Kir)hho99 ini !erupakan akibat ari prinsip kekekalan tenaga yang setara engan keseti!bangan tenaga i!ana tenaga
yang iberikan sa!a engan tenaga yang iserap oleh rangkaian. 0ika kita !ulai ari sebarang titik paa satu pontensial an ke!bali ke titik engan potensial yang sa!a, !aka bea potensialnya potensialnya harus sa!a engan nol. Dala! !ene9inisikan tana ta na aljabar untuk tegangan 'oltage( 'oltage( 2anaikan sebarang ter!inal positi9 ari tegangan yang i)apai terlebih ahulu sebagai positi9 an sebaliknya jika ter!inal negati9 i)apai terlebih ahulu !aka tananya negati93. Metoe ini igunakan paa penurunan I penurunan I ! an ! an su!ber tegangan.
d2 Ran& Ran&ka kaia ian n List Listi ik k
Gangkaian listrik biasanya teriri ari banyak hubungan sehingga akan terapat banyak )abang !aupun titik si!pul. Titik si!pul aalah titik perte!uan tiga )abang atau lebih. aa u!u!nya u!u!nya suatu rangkaian listrik teriri ari banyak rangkaian tertutup yang !e!punyai banyak si!pul engan satu atau lebih su!ber. <a ua bentuk rangkaian yang apat !e!bantu !e!per!uah penentuan penentuan @ariable rangkaian. "entuk rangkaian listrik tersebut aalah $ a:2 Ran&kaian sei
sehingga hanya aa arus tunggal I yang !engalir ala! rangkaian tersebut '"uiono Mis!ail$ 15+ -( i1
i
@
@
Gs
i 'a(
'b(
Ba!bar . Gangkaian seri engan rangkaian setaranya. 'a( Gangkaian seri engan ua ha!batan, an 'b( Gangkaian seri se)ara u!u!. !:2 Ran&kaian paalel
"entuk rangkaian yang keua aalah bagian rangkaian paralel, seperti yang ta!pak paa Ba!bar -. Dala! bentuk ini @ariabel tegangan tunggal terpasang untuk se!ua unsur an su!bernya.
i
i G 1
'a(
G
G -
@
G p
'b(
Ba!bar -. Gangkaian paralel engan rangkaian setaranya. 'a( Gangkaian paralel tiga ha!batan, an 'b( Gangkaian paralel se)ara u!u!.
D2 Sist Siste% e% Di&i Di&ita tall
Dala! siste! igital yang berukuran besar, seperti ko!puter, siste!; siste! pengolahan ata, pengenalian, atau siste! ko!unikasi igital, operasi yang ijalankan hanya teriri ari beberapa !a)a! saja. Tentunya Tentunya operasi ini
apat terjai se)ara berulang;ulang ala! ju!lah yang a!at besar. Gangkaian yang paling la=i! igunakan ala! siste! tersebut ikenal sebagai rangkaian logika atau gerbang logika '0a)ob Mill!an$ 1-+ 1&(. Gangkaian logika aalah piranti ua ke!ungkinan, yakni yakni !e!punyai keluaran ua ke!ungkinan$ ke!ungkinan$ keluaran engan nol @olt yang !enyatakan logika / 'renah( an keluaran engan tegangan tetap yang !enyatakan logika 1 'tinggi(. Berbang logika apat !e!punyai beberapa !asukan yang !asing;!asing !e!punyai !e!punyai salah satu ari ua keaaan logika, yaitu / an 1 ' KF.Ibrahi!$ KF.Ibrahi!$ 16+ -(. Berbang logika ini apat igunakan untuk !elakukan 9ungsi;9ungsi khusus, !isalnya ?G,
Berbang aalah suatu rangkaian engan satu keluaran, an satu atau beberapa !asukan. Suatu gerbang ?G !e!punyai !e!punyai ua atau lebih ari ua !asukan atau satu keluaran. ara operasinya !engikuti e9inisi sebagai berikut$ keluaran dari suatu gerbang ! menunjukkan keadaan * jika satu atau lebih dari satu masukannya berada pada pada keadaan *. * . Ke;n Ke;n !asukan ari suatu rangkaian logika akan itanai engan huru9 A, huru9 A, B, /, 0 , an keluarannya engan huru9 1 '0a)ob Mill!an$ 1-+ 151(. Masing;!asing si!bol tersebut apat !enga!bil salah satu ari ua harga yang !ungkin yaitu / atau 1. Dengan e!ikian gerbang ?G akan !e!berikan keluaran 1 jika salah satu ari !asukannya paa keaaan 1. 0ika iinginkan keluaran bernilai / !aka se!ua !asukan harus ala! keaaan / 'KF.Ibrahi!$ 16+ 5( !2 Ge Ge!an& !an& AND
Berbang
0enis rangkaian igital asar yang lain aalah gerbang N?T yang juga isebut in@erter 'pe!balik(. Gangkaian ini !e!punyai sebuah !asukan an sebuah keluaran serta !elakukan operasi logika peniaaan 'negation( sesuai engan e9inisi berikut ini$ keluaran dari rangkaian 0$ akan mengambil keadaan * jika dan hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan * . Yang ilakukannya hanyalah !e!balik sinyal !asukan. 0ika !asukan aalah tinggi, !aka keluaran aalah renah, an sebaliknya. Ini berarti bila tegangan !asukan )ukup tinggi, transistor !enjai jenuh sehingga keluaran aalah renah. Sebaliknya, bila tegangan !asukan )ukup renah !aka transistor terpan)ung an tegangan keluaran aalah tinggi. d2 Ge!an& ;OR
Suatu gerbang W?G berasal ari kata EC)lusi@e ?r, akan !e!berikan keluaran 1 jika !asukan>!asukannya !e!punyai keaaan yang berbea. Maksunya aalah suatu gerbang W?G !e!enuhi e9inisi berikut$ Keluaran dari suatu 2+clusi3e r dengan dua masukan akan sama dengan keadaan *, jika satu dan hanya satu masukan yang sama dengan keadaan * . EC)lusi@e ?r igunakan ala! bagian proses perhitungan atau arit!etik ari suatu ko!puter.
e2 Ge!an& NAND
Kata N
Ge!an& NOR
Kata N?G !erupakan kepenekan ari kata N?T ; ?G, yang !erupakan ingkaran ari gerbang ?G. 0ai gerbang ?G yang iikuti oleh suatu pe!balik paa keluarannya isebut gerbang N?T;?G atau N?G. Berbang N?G akan !e!berikan keluaran / jika salah satu ari !asukannya paa keaaan 1 an akan !e!berikan keluaran bernilai 1 jika se!ua !asukan bernilai /. &2 Ran&kaian Flip(6l'p
Gangkaian tersebut !erupakan sel biner yang apat !enyi!pan satu bit in9or!asi. Suatu rangkaian 9lip;9lop !e!punyai ua keluaran, satu engan nilai nor!al an yang lain aalah nilai ko!ple!en bit yang tersi!pan i ala!nya. ?leh karena itu rangkaian 9lip;9lop juga isebut rangakaian bistabil, yakni rangkaian engan ua keaaan stabil.
/A/ III METODOLOGI PENELITIAN A2 Si6at Penelitian
Dengan !elihat si9at an te!pat penelitian, penyusunan an pe!bahasan skripsi ini aalah bersi9at penelitian kepustakaan 'library resear)h(, yaitu engan !engkaji, !eneliti an !enyeliiki serta !e!pelajari karya;karya il!iah yang isajikan ala! bentuk buku, skripsi, ataupun !akalah;!akalah yang rele@an engan topik penelitian. Ke!uian hasilnya ijabarkan an isusun ke!bali se)ara rin)i !enjai suatu karya tulis.
/2 Su%!e penelitian
Su!ber penelitian yang ipakai !enjai bahan penelitian berasal ari berbagai su!ber yang tertulis, baik berupa buku;buku, artikel, jurnal, an tulisan lainnya yang aa kaitannya engan !asalah logika aljabar "oole, listrik an igital. <apun su!ber penelitian yang igunakan itinjau ari si9atnya apat ibeakan !enjai ua, yaitu$ 1. Su!ber pri!er. Su!ber pri!er aalah su!ber;su!ber yang !e!beri ata langsung ari su!ber perta!a. Su!ber ini sengaja ibuat untuk keperluan i!asa atang '0ohn 7. "est$ 1+ -1(. Diantara su!ber pri!er ala! penelitian ini aalah sebagai berikut$ a(. Karya Elliot Menelson yang berjuul 2$heory and problems o& Boolean algebra and switching circuits4, 'Singapore$ M) Bra* #ill, In), 18(. b(. Karya Mis!ail "uiono yang berjuul 5!angkaian (istrik5 , '"anung$ IT", 15(. --%ea)h yang berjuul 2 %rinsip-prinsip )(. Karya
logika digital karya Mis!ail "uiono, ke!uian $eknik #igital karya KF. Ibrahi! iterje!ahkan oleh . Insap Santosa, an karya;karya yang lain. 32 Met'de Penelitian
Metoe penelitian yang ipakai aalah$ 1. Interpretasi eneliti berusaha !enangkap ata;ata yang terse!bunyi iala! hasil penelitian il!u tertentu engan ilatarbelakangi struktur hakiki an nor!a;nor!a asar ke!uian !e!berikan e@aluasi kritis an ke!uian !enyajikan ata;ata alternati9. . Ko!parasi erbaningan ilakukan !enurut beberapa segi yaitu ata lain, teori lain, an konsep teori lain.
-. Deskripsi enelitian ieskripsikan se)ara kongkrit sehingga terlihat !e!buka )akra*ala baru bagi penelitian. &. Metoe
su!ber ata pri!er an penyelesaian;penyelesaian serta penapat para ahli yang berkaitan engan !asalah yang ibahas. ( Metoe eukti9 "erpikir eukti9 aalah berpikir yang berangkat ari kebenaran u!u! !engenai suatu 9eno!ena 'teori( an !enggeneralisasikan kebenaran tersebut paa suatu ata atau peristi*a 'Sai9uin <=*ar$ 1+ &/(. Dengan e!ikian Metoe eukti9 yaitu suatu pola pe!ikiran yang berangkat ari peristi*a yang bersi9at u!u!, ke!uian itarik generalisasi yang bersi9at khusus. -( Metoe inukti9 "erpikir inukti9 aalah proses !engorganisasikan 9akta;9akta atau hasil;hasil penga!atan yang terpisah;pisah !enjai suatu rangkaian hubungan atau suatu generalisasi 'Sai9uin <=*ar$ 1+ &/(. Dengan e!ikian Metoe inukti9 aalah suatu pola pe!ikiran yang berangkat ari suatu peristi*a yang bersi9at khusus, ke!uian itarik generalisasi yang bersi9at u!u!.
/A/ I1 PEM/A0ASAN A2 Ran&kaian Sakla
enerapan aljabar "oole ala! rangkaian listrik apat itunjukkan oleh rangkaian saklar seerhana. Saklar aalah suatu alat yang ihubungkan engan suatu titik si!pul i ala! suatu sirkuit elektris an boleh iasu!sikan sebagai status tersa!bung atau terputus 'Sey!our %ips)huts$ 18+ 81(. ontoh saklar yang seerhana aalah paa bel listrik. 0ika to!bol bel itekan !aka saklar tertutup, listrik !engalir an bel berbunyi.
Dua saklar A an B apat ihubungkan oleh ka*at te!baga ala! rangkaian seri an rangkaian paralel sebagai berikut$ A A
B B 'a(
'b(
Ba!bar &. 'a( Gangkaian seri, A ∧ B. 'b( Gangkaian paralel, A ∨ B Sebuah esain rangkaian pengganti "oole berarti sebuah susunan ka*at te!baga an saklar yang apat ibentuk engan !enggunakan berulang ari rangkaian seri an rangkaian paralel, !aka esain tersebut apat ijelaskan engan !enggunakan kata sa!bung ∨ an ∧ 'Sey!our %ips)huts$ 15+ -&(. Untuk saklar ala! hubungan seri, la!pu akan !enyala jika A an B tersa!bung. Untuk rangkaian ala! hubungan paralel, la!pu akan !enyala jika A atau B tersa!bung. Keua rangkaian itu apat inyatakan engan pertolongan aljabar "oole sebagai berikut$ ( A ∧ B untuk hubungan seri, an -8 ( A ∨ B untuk hubungan paralel. 'Mis!ail "uiono$ 1+ 66(. Keua tabel berikut !enjelaskan si9at sebuah rangkaian seri A ∧ B an sebuah rangkaian paralel A ∨ B. Tabel 1. Tabel kebenaran logika untuk rangkaian seri A 1 1 / /
B 1 / 1 /
A ∧ B 1 / / /
Tabel . Tabel kebenaran logika untuk rangkaian paralel A 1 1 / /
B 1 / 1 /
A ∨ B 1 1 1 /
aa jaringan;jaringan tertentu, aa saklar yang posisinya terbuka; tertutupAitentukan oleh saklar yang lain. Yakni jika saklar yang satu terbuka !aka saklar yang lain tertutup. Dua saklar yang selalu !e!punyai posisi berla*anan ini isebut saklar yang saling berko!ple!en. Tabel berikut ini !e!perlihatkan hubungan iantara sebuah saklar A an sebuah saklar A′.
Tabel -. Tabel kebenaran untuk rangkaian yang saling berko!ple!en A 1 /
A′ / 1
0ika keua saklar yang saling berko!ple!en ini !e!punyai hubungan seri !aka listrik tiak akan !engalir. Seangkan jika keua saklar yang saling berko!ple!en !e!punyai hubungan paralel, arus listrik akan selalu !engalir !elalui rangkaian itu. Salah satu saklar akan selalu tersa!bung jika yang lainnya terputus. Ketiga tabel i atas ientik engan tabel konjungsi, disjungsi dan peniadaan 8negasi9 untuk pernyataan 'proposisi(. Satu;satunya perbeaan aalah bah*a / an 1 igunakan i sini sebagai ganti ari $ an : paa proposisi. Sirkuit
saklar !e!enuhi aturan;aturan yang sa!a engan proposisi sehingga !ereka !e!bentuk sebuah aljabar "oolean, sebagai!ana teore!a bah*a aljabar rangkaian pengganti "oole aalah sebuah aljabar "oole 'Sey!our %ips)hut=$ 15+ -5(. Untuk !en)ari si9at sebuah rangkaian pengganti "oole !aka perlu ibentuk sebuah tabel yang analog engan tabel kebenaran untuk proposisi.
B
A
B′
A′
A A′
B ' 'b(
'a(
Ba!bar 5. 'a(. A ∧ ' B ∨ A′(, 'b(. ' A ∧ B′(∨ P' A′ ∨ ' ( ∧ BR Gangkaian 'a( apat ijelaskan oleh A ∧ ' B ∨ A′( an rangkaian 'b( apat ijelaskan oleh ' A ∧ B′( ∨ P' A′ ∨ ' ( ∧ BR. Tinjaulah rangkaian Ba!bar 5'a( rangkaian i atas. "agai!ana si9at rangkaian tersebut, yakni bilakah rangkaian tersebut akan tersa!bung 'yakni bilakah arus akan !engalir( an bilakah rangkaian tersebut akan terputusL Sebuah tabel kebenaran ibentuk untuk A ∧ ' B
∨ A′( sebagai berikut$ Tabel &. Tabel kebenaran logika A 1 1 / /
B 1 / 1 /
A′ / / 1 1
B ∨ A′ 1 / 1 1
A ∧ ' B∨ A′( 1 / / /
0ai ari tabel kebenaran i atas ta!pak bah*a paa rangkaian itu arus akan !engalir hanya jika < an " keua;uanya tersa!bung. Seringkali rangkaian saklar itu ibuat see!ikian rupa sehingga bila saklar tertentu tersa!bung, se)ara oto!atis hubungan tertentu yang lain juga !enya!bung atau sebaliknya jika saklar tertentu terputus !aka oto!atis hubungan yang lain lepas. Untuk rangkaian se!a)a! ini harus ipakai saklar yang sa!a. Misalnya saklar B paa rangkaian saklar sebagai berikut, i!ana bentuk aljabar "oolenya aalah ' A ∧ B ( ∨ ' B ∧ ' ( A
B
B
'
Ba!bar 6. Gangkaian saklar Gangkaian saklar juga apat ibuat see!ikian rupa sehingga jika saklar yang satu tersa!bung !aka se)ara oto!atis saklar tertentu yang lain terputus an sebaliknya. Untuk keperluan se!a)a! ini haruslah saklar yang keua !erupakan la*an ari saklar yang perta!a, yaitu !isalnya saklar yang perta!a B !aka saklar yang keua B′. ontohnya rangkaian saklar berikut ini yang ala! logika aljabar "oole aalah ' A ∧ B( ∨ ' B′ ∧' ( A B′
B '
Ba!bar 8. Gangkaian saklar
Se)ara u!u!, konisi untuk arus listrik yang !engalir !elalui sirkuit terhubung seri aalah A1 ∧ A ∧ A- ... ∧ An sebagai!ana ta!pak paa ga!bar berikut$ A1
A
A-
H
An
Ba!bar . Gangkaian seri Seangkan konisi untuk arus listrik yang !engalir !elalui sirkuit saklar yang terhubung se)ara paralel seperti itunjukkan paa ga!bar berikut, aalah A1
∨ A ∨ A- H ∨ An
A1 A 2 2 2 An Ba!bar . Gangkaian paralel aa sirkuit saklar berikut, arus listrik !engalir jika an hanya jika ' A ∧ B( ∨ ' A′ ∨ "( aalah benar. A
B A′ B
Ba!bar 1/. Gangkaian saklar Ba!bar tersebut !enunjukkan bah*a kita boleh !engko!binasi saklar ala! bentuk seri an paralel ala! satu rangkaian. Dengan e!ikian sirkuit ini isebut sirkuit saklar seri;paralel. Se)ara lebih tepat, jika A suatu pernyataan, !aka
A
aalah sirkuit seri;paralel. 0ika " , " 1, " , H , " n !erupakan sirkuit
seri;paralel, kita bisa !e!bentuk sirkuit saklar seri;paralel baru engan !engganti suatu saklar ala! " engan yang lain.
" 1
"
" n
2 2 2
" 1 " 2 2 2 " n
2 2 2
Ba!bar 11. Gangkaian saklar seri;paralel Konisi untuk arus listrik yang !engalir !elalui sirkuit seri;paralel apat itulis ala! bentuk konjungsi an isjungsi paa logika proposisi. aa )ontoh tersebut konisi yang sesuai aalah ' A ∧ B( ∨ ' A′ ∨ B( 'Elliott !enelson$ 18+ 8(.
ontoh 1$ Tentukan pernyataan si!bolik untuk jaringan listrik berikut ini. A
B
A′
'
Ba!bar 1. Gangkaian saklar e!e)ahan$ erhatikan bah*a A an B berhubungan paralel, juga A′ an ' . Seang antara A, B an A′, ' terapat hubungan seri. 0ai pernyataan si!bolik untuk jaringan listrik i atas aalah ' A∨ B( ∧ ' A′ ∨ ' (.
ontoh $ Tentukan ekspresi "oolean untuk setiap sirkuit saklar paa Ba!bar 1-. B
' A
A
' A′
B′ ' ′
B 'a(
'b( Ba!bar 1-. Gangkaian saklar seri;paralel
e!e)ahan$ Kita !enggunakan ∨ 'penju!lahan( untuk !enyatakan sirkuit paralel, an
∧ 'prou)t( untuk !enyatakan sirkuit seri. Sehingga, 8a9 A ∧ ' B ∨ A′( ∧ ' 8b9 A ∧ '' ∨ B′( ∨ ' B ∧ ' ′(.
ontoh -$ Tentukan ekspresi "oolean yang berhubungan engan setiap sirkuit penyaklaran paa Ba!bar 1&.
B
' ′
B′ A
A
' # 'a(
#′ 'b( Ba!bar 1&. Gangkaian seri;paralel
e!e)ahan$
Dengan !enggunakan operasi ∨ untuk !enyatakan sirkuit paralel, an operasi ∧ untuk !enyatakan sirkuit seri. Sehingga 'a( A ∧ P # ∨ ' B ∧ ' ′(R, 'b( P A ∧ ' B′ ∨ ' (R ∨ #′
/2 Ran&kaian L'&ika
%ogika sirkuit aalah kerangka yang ibangun ari sirkuit;sirkuit asar tertentu yang isebut logic gate 'gerbang logika(. Berbang 'gate( aalah suatu rangkaian logika yang !ungkin iga!barkan sebagai !esin yang !e!uat satu !asukan atau lebih an tepat satu keluaran. Masukan iberikan ala! barisan n; bit yang iproses engan satu bit sirkuit sekaligus untuk !enghasilkan sebuah barisan n;bit keluaran. a2 Ge!an& OR
0enis rangkaian igital asar perta!a yang ibahas aalah gerbang ?G. Suatu gerbang ?G !e!punyai ua atau lebih ari ua !asukan an satu keluaran. Ba!bar 15 !e!perlihatkan la!bang bagi sebuah gerbang ?G 0 !asukan untuk segala jenis ran)angan engan A, B, ... , 0 !erupakan !asukan;!asukannya an 1 aalah keluarannya. A B
1 ; A < B < ... < 0
0
Ba!bar 15. Si!bol logika ?G engan 0 !asukan Untuk saat ini, akan ianalisa suatu gerbang ?G ua !asukan engan !e!batasi tegangan;tegangan !asukan paa / atau 1 . #anya terapat e!pat hal ke!ugkinan untuk ianalisa$
i(. A / an B /. Dengan keua tegangan !asukan paa nol tegangan keluaran pastilah nol karena tiak terapat tegangan i !anapun ala! rangkaian, oleh karenanya 1 / ii(. A / an B 1. "atere " !e!berikan prategangan !aju paa ioa ba*ah, !engakibatkan keluaran se)ara ieal !enjai 1. Karena batere < aalah /, !aka terlihat sebagai suatu hubung singkat. Dioa atas !ati, ioa ba*ah hiup, an keluaran 1 1 iii(. A 1 an B /. akibat si!etri rangkaian, argu!en ala! hal ini aalah sa!a engan argu!an paa hal 'ii(, ioa atas hiup, ioa ba*ah !ati, an 1 1. i@(. A 1 an B 1. engan keua !asukan paa 1 keua ioa berprategangan !aju. Karena keua tegangan aalah paralel, tegangan keluaran se)ara ieal aalah 1, oleh karenanya 1 1.
"erasarkan analisa iatas, apat ibuat suatu )ara operasi gerbang ?G sebagai!ana e9inisi berikut$ keluaran dari gerbang ! menunjukkan keadaan * jika satu atau lebih dari satu masukannya berada pada keadaan * .'0a)ob Mill!an$ 1-+ 151(. Ke 0 !asukan ari suatu rangkaian logika akan itanai engan huru9 A, B, ..., 0 an keluarannya engan huru9 1 . 0elas bah*a !asing; !asing si!bol tersebut apat !enga!bil salah satu ari ua harga yang !ungkin, yakni / atau 1. Si!bol baku untuk rangkaian ?G iberikan ala! Ba!bar 15 bersa!a engan hubungan aljabar boole untuk gerbang yang bersangkutan. ersa!aannya harus iba)a 1 sa!a engan A atau B atau ... atau 0 . Sebagai bentuk lain ari e9inisi logika ala! kata;kata apat igunakan suatu tabel logika atau tabel kebenaran 'truth table( yang !enganung a9tar ari se!ua harga !asukan yang !ungkin serta keluaran yang berkaitan. Kebanyakan rangkaian igital !enggunakan ioa an transistor sebagai saklar untuk !engubah ari satu peringkat tegangan ke peringkat yang lain. "ila kita !enganalisa rangkaian igital, kita !enentukan apakah suatu tegangan renah atau tinggi. #arga besar atau nilai tepatnya aalah tiak penting, sepanjang tegangan tersebut apat ibeakan sebagai renah atau tinggi. Dala! rangkaian igital tegangan renah atau tinggi seringkali inyatakan !asing;!asing sebagai / an 1. Sebagai )ontoh, ala! gerbang ?G peringkat !asukanya aalah salah satu atau 1/ , renah atau tinggi. 0ika kita anggap / !enyatakan an 1 !enyatakan 1/ , apat ibuat sebuah tabel kebenaran yang ekui@alen engan / an 1. Masalahnya aalah kita apat !enggunakan tegangan;tegangan sebenarnya, atau kita apat !enggunakan / atau 1 untuk
!enyatakan renah atau tinggi+ ala! keua hal tersebut gerbang ?G !e!berikan keluaran tinggi paa saat salah satu atau se!ua !asukannya tinggi. Tabel 5. Tabel kebenaran A 1/ 1/
B 1/ 1/
1 1/ 1/ 1/
Dala! paa itu, banyaknya baris horisontal ala! sebuah tabel kebenaran sa!a engan n engan n aalah banyaknya !asukan. "agi sebuah gerbang ua !asukan, tabel kebenarannya !e!punyai atau & baris. Sebuah gerbang tiga !asukan akan !e!iliki tabel kebenaran engan - atau baris, seang gerbang e!pat !asukan akan !enghasilkan & atau 16 baris, an seterusnya. Sebuah gerbang ?G apat !e!punyai berapapun banyaknya !asukan yang iinginkan. Ena! buah ioa !enghasilkan sebuah gerbang ?G ena! !asukan, se!bilan buah ioa !enghasilkan sebuah gerbang ?G se!bilan !asukan. "erapapun banyaknya !asukan, operasi suatu gerbang ?G apat iringkas !enjai$ satu atau beberapa !asukan tinggi !enghasilkan keluaran tinggi. Dala! aljabar biasa, bila kita !e!)ahkan suatu persa!aan untuk !en)ari akar;akarnya, kita apat !e!peroleh bilangan nyata positi9, negati9, pe)ahan, an sebagainya. Dengan perkataan lain, hi!punan bilangan ala! aljabar biasa aalah tak berhingga. Dala! aljabar "oole, bila kita !e!e)ahkan suatu persa!aan, kita !e!peroleh / atau 1 tiak !ungkin iperoleh ja*aban lain karena hi!punan bilangannya hanya !en)akup angka biner / an 1.
erbeaan lain yang sangat !engherankan ala! aljabar "oole aalah !akna tana
'ala! beberapa buku yang lain tana V(. Untuk !enjelaskan
!akna ini, tinjaulah Ba!bar 16 yang !e!perlihatkan sebuah gerbang ?G ua !asukan engan !asukan A an B an keluaran 1 .
A B
1
Ba!bar 16. %a!bang logika gerbang ?G ua !asukan Dala! aljabar "oole tana ∨ !ela!bangkan kerja suatu gerbang ?G engan perkataan lain, suatu gerbang ?G apat ipanang sebagai suatu piranti yang !enggabungkan A engan B untuk !e!berikan hasil 1 . Dala! aljabar "oole bila kita !enuliskan 1 A ∨ B, i!aksukan bah*a A an B akan igabungkan engan )ara yang sa!a seperti gerbang ?G !enggabungkan A an B. Ekspresi 1 A ∨ B iba)a sebagai 1 sa!a engan A atau B. Sekali lagi tana ∨ tiak !enyatakan pena!bahan biasa. Tana ini !enyatakan pena!bahan ?G yang kaiah;kaiahnya iberikan oleh tabel kebenaran ?G paa Tabel 6. Tabel 6. Tabel kebenaran untuk gerbang ?G A / / 1 1
B / 1 / 1
1 A ∨ B / 1 1 1
Untuk !e!biasakan iri engan pena!bahan ?G, !aka perlu i)ari nilai 1 A ∨ B bagi kee!pat konisi !asukan. i(. A /, B /, iperoleh 1 A ∨ B / ∨ / /
ii(. A / an B 1, ini !e!berikan 1 A ∨ B / ∨ 1 1 iii(. A 1 an B /, hal ini seperti 'ii( 1 A ∨ B 1 ∨ / 1 i@(. A 1 an B 1, iperoleh 1 A ∨ B 1 ∨ 1 1 Dala! aljabar "oole tana
!enyatakan pena!bahan ?G, jenis
pena!bahan yang ilakukan oleh gerbang ?G. 0ika iingat bah*a A, B an ' hanya apat !enga!bil harga / atau 1, !aka engan !uah apat ibuktikan persa!aaan;persa!aan ala! aljabar "oole berikut ini yang berkaitan engan operasi ?G ' ($ A ∨ B ∨ ' ' A ∨ B( ∨ ' A ∨ ' B ∨ ' (
'-(
A ∨ B B ∨ A
'&(
A ∨ A A
'5(
A ∨ 1 1
'6(
A ∨ / A
'8(
ersa!aan;persa!aan ini apat ibuktikan engan !enggunakan e9inisi ari operasi ?G, tabel logikanya, atau urutan )ara kerja rangkaian ?G seperti iberikan i atas. !2 Ge!an& AND
Berbang
ioa ieal an !e!batasi se!ua tegangan paa salah satu / atau 1 , terapat e!pat hal ke!ungkinan untuk ianalisa$ 'i(. A / an B /, karena keua batere !asukan paa / , !aka apat ipanang sebagai hubung singkat. "atere 1 !engalirkan arus kon@ensional ala! arah ke !asing;!asing segitiga ioa+ oleh karena itu, keua ioa hiup an terhubung singkat. Dengan e!ikian 1 / 'ii(. A / an B 1, ioa atas berprategangan !aju, keluaran !asih terhubung singkat ke tanah !elalui ioa atas an batere. ?leh karenanya 1 / 'iii(. A 1 an B /, akibat si!etri, argu!ennya sa!a engan argu!en untuk hal 'ii(, an 1 / 'i@(. A 1 an B 1, arus tiak !engalir ala! rangkaian. Dengan tiaanya arus paa !, tiak terapat jatuhan tegangan paa !, sehingga 1 pastilah sa!a engan 1 . Seperti biasanya kita apat !eringkaskan kerja sebuah rangkaian engan sebuah tabel kebenaran. enggunaan / an 1 hanyalah untuk !e!uahkan analisa. Kita apat !enggunakan ua nilai tegangan yang berlainan yang !anapun. Tabel 8. Tabel kebenaran untuk gerbang
B / 1 / 1
1 A ∧ B / / / 1
Dengan e!ikian suatu gerbang
berikut$ keluaran dari suatu gerbang A0# menempati keadaan * jika dan hanya jika semua masukan menempati keadaan * '0a)ob Mill!an$ 1-+ 15-(. Si!bol untuk gerbang
1
0 Ba!bar 18. Si!bol logika untuk gerbang
'perkalian( !e!punyai !akna baru ala! aljabar "oole. Untuk
!e!aha!i !akna ini, tinjaulah gerbang
"ila A / an B /, ini !e!berikan 1 A ∧ B / ∧ / / #al ini karena gerbang
'ii(.
"ila A / an B 1, iperoleh 1 A ∧ B / ∧ 1 /
#al ini karena gerbang
"ila A 1 an B /, hal ini seperti hal 'ii( 1 A ∧ B 1 ∧ / /
'i@(.
"ila A 1 an B 1, ini !e!berikan 1 A ∧ B 1 ∧ 1 1 Kee!pat hasil ini !uah untuk iingat. 7alaupun tana ∧ tiak
!enyatakan perkalian ala! pengertian biasa, na!un hasil perkalian
B / / 1 1 /
' / 1 / 1 /
1 ' A∧ B∧' ( / / / / /
1 1 1
/ 1 1
1 / 1
/ / 1
Berbang
'( '(
< ∧ < <
'1/(
< ∧ 1 <
'11(
< ∧ / /
'1(
< ∧ '" ∨ ( '< ∧ "( ∨ '< ∧ (
'1-(
< ∨ '< ∧ "( <
'1&(
< ∨ '" ∧ ( '< ∨ "( ∧ '< ∨ (
'15(
ersa!aan;persa!aan ini apat ibuktikan engan !enggunakan e9inisi ari operasi
0enis rangkaian igital yang lain aalah gerbang N?T, yang juga isebut in@erter 'pe!balik(. Yang ilakukan hanyalah !e!balik sinyal !asukan. 0ika !asukan aalah tinggi, !aka keluaran aalah renah, an sebaliknya. Gangkaian N?T !e!punyai satu !asukan an satu keluaran an !elakukan operasi peniaaan 'negation( sesuai engan e9inisi berikut$ keluaran dari rangkaian 0$ akan mengambil keadaan * jika dan hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan * '0a)ob Mill!an$ 1-+ 15-(. 0ika tegangan !asukan )ukup tinggi, transistor !enjai jenuh, sehingga keluaran aalah renah. Sebaliknya, jika tegangan !asukan )ukup renah transistor terpan)ung, an tegangan keluaran aalah tinggi. Si!bol gerbang N?T an persa!aan "oole untuk operasi peniaaan iberikan paa Ba!bar 1')(. ersa!aannya harus iba)a 1 sa!a engan bukan A atau 1 sa!a engan ko!ple!en ari A.
1 ; A′
A
'a(
A
'b(
1 A′
A
1 1 A′ ')(
Ba!bar 1. eniaaan 'pe!balikan( logika paa 'a( !asukan an 'b( keluaran, ari suatu blok 'siste!( logika+ ')( si!bol yang sering igunakanuntuk suatu gerbang N?T an persa!aan "oolean yan bersangkutan .
Tana negasi 'negation( paa !asukan ari suatu kotak logika itunjukkan ala! Ba!bar 1'a( an tana serupa paa keluarannya itunjukkan paa Ba!bar 1'b(. aa Ba!bar 1')(, !asukan A ke gerbang N?T ibalik. 0ika / !asuk, 1 keluar, an jika 1 !asuk, !aka / keluar. Dala! aljabar "oole ekspresi 1 A′
berarti !engubah A engan )ara yang sa!a seperti sebuah gerbang N?T !engubah A. Tana aksen i atas berarti !engubah atau !engko!ple!enkan kuantitas yang bersangkutan ke ala! angka alternati9 engan perkataan lain, "ila A /, !aka 1 A′ /′ 1, karena N?T / aalah 1 "ila A 1, !aka 1 A′ 1′ /, karena N?T 1 aalah /. Tabel kebenaran bagi rangkaian N?T aalah$ Tabel . Tabel kebenaran logika untuk gerbang N?T Masukan ' A( Keluaran '1 ( / 1 1 / Suatu rangkaian yang apat !elaksanakan operasi peniaaan logika isebut rangkaian N?T.
Na!un ala! penelitian ini, penulis lebih akrab engan !enggunakan tana pri!Aaksen '′( untuk !enyatakan suatu operasi N?T. ?perasi ?G,
d2 Ge!an& ;OR
Berbang W?G berasal ari kata eC)lusi@e;or, an sering iba)a sebagai ?G eksklusi9. Suatu gerbang ?G eksklusi9 !e!enuhi e9inisi sebagai berikut$ keluaran dari suatu ! eksklusi& dengan dua masukan akan sama dengan keadaan * jika satu dan hanya satu masukan yang sama dengan keadaan * '0a)ob Mill!an$ 1-+ 16-(. A 1 A ⊕ B B Ba!bar 1. Si!bol logika untuk rangkaian W?G Ba!bar 1 !e!perlihatkan si!bol stanar sebuah gerbang ?G eksklusi9. Berbang ini !e!punyai ua !asukan an satu keluaran. Masing;!asing !asukan !enuju ke sebuah in@erter. Keluaran;keluaran in@erter ini aalah A′ an B′. Seperti terlihat paa Ba!bar /, A′ an B !enuju ke gerbang
ba*ah. Berbang ?G eksklusi9 !e!punyai !asukan;!asukan ' A ∧ B′( an ' A′ ∧ B(, sehingga keluaran akhir aalah 1 ' A ∧ B′( ∨ ' A′ ∧ B(.
A
A′ B 1 ' A∧ B′( ∨ ' A′∧ B( A
B
B′
Ba!bar /. Berbang ?G eksklusi9
"ila A / an B 1, 1 '/ ∧ 1′( ∧ '/′ ∧ 1( '/ ∧ /( ∨ '1 ∧ 1( / ∨ 1 1
'iii(.
"ila A 1 an B /, 1 '1 ∧ /′( ∨ '1′ ∧ /( '1 ∧ 1( ∨ ' / ∧ /( 1 ∨ / 1
'i@(.
"ila A 1 an B 1, 1 '1 ∧ 1′( ∨ '1′ ∧ 1( '1 ∧ /( ∨ '/ ∧ 1( / ∨ / / #asil ini iringkaskan ala! tabel kebenaran paa Tabel 1/. Tabel 1/. Tabel kebenaran untuk gerbang W?G Masukan A B / / / 1 1 /
Keluaran 1 / 1 1
1
1
/
Kata N
Ba!bar 1. Misalkan A an B aalah !asukan;!asukan yang !enuju gerbang
A B
' A∧ B(
' A∧ B(′
Ba!bar 1. ontoh seerhana gerbang ko!binasi
Untuk !enganalisa suatu gerbang N
"ila A / an B /, !aka 1 ' A ∧ B(′ '/ ∧ /(′ /′ 1
'ii(.
"ila A / an B 1, !aka 1 ' A ∧ B(′ '/ ∧ 1(′ /′ 1
'iii(.
"ila A 1 an B /, !aka 1 ' A ∧ B(′ '1 ∧ /(′ /′ 1
'i@(."ila A 1 an B 1, !aka 1 ' A ∧ B(′ '1 ∧ 1(′ 1′ / #asil;hasil ini iringkaskan ala! Tabel 11. Tabel 11. Tabel logika untuk gerbang N
Keluaran 1 1 1 1 /
Dengan e!ikian gerbang N
Ba!bar . Si!bol logika an persa!aan "oole untuk gerbang N
"ila!ana kita !elihat la!bang ini, !aka perlu iingat )ara kerjanya, yaitu salah satu atau se!ua !asukan harus renah untuk !enapatkan keluaran yang tinggi. 62
Ge!an& NOR
Suatu gerbang ?G yang iikuti oleh suatu pe!balik paa keluarannya isebut gerbang N?T;?G atau N?G '0a)ob Mill!an$ 1-+ 18/( 0ai gerbang N?G !erupakan ingkaran ari gerbang ?G. Berbang N?G akan !e!berikan keluaran / jika salah satu ari !asukannya bernilai 1, jika iinginkan keluaran bernilai 1 !akase!ua !asukan harus ala! keaan /. Si!bol logika untuk gerbang N?G an persa!aan "oole untuk gerbang tersebut iperlihatkan paa Ba!bar - an tabel logikanya paa Tabel 1.
A
1 B 1 ' A ∨ B(′ Ba!bar -. Si!bol logika an persa!aan "oole untuk gerbang N?G ua !asukan.
Tabel 1. Tabel logika untuk gerbang N?G Masukan A B / / / 1 1 / 1 1
Keluaran 1 ' A∨ B(′ 1 / / /
Siste! logika biasanya !elibatkan lebih ari satu gerbang yang !e!bentuk suatu ko!binasi untuk !elakukan suatu 9ungsi te rtentu. Notasi N?T igunakan untuk !enyajikan sebarang 9ungsi pe!balik 'ingkaran(. Fungsi N?G apat ibangun engan sebuah gerbang ?G iikuti engan s ebuah gerbang N?T seperti tersaji paa Ba!bar &.
A ' A∨ B(
' A∨ B(′
B Ba!bar &. Berbang ko!binasi ?G an N?T .
Masing;!asing !asukan !enuju ke sebuah gerbang ?G, keluaran; keluaran ari ?G ini aalah ' A∨ B(. Ke!uian ' A∨ B( !enuju ke gerbang N?T, !aka keluarannya aalah ' A∨ B(′. Sehingga keluaran akhir aalah Y ' A∨ B(′
Untuk !enganalisanya, !aka harus i)ari nilai Y untuk e!pat hal ke!ungkinan konisi !asukan 'i(.
"ila A / an B /, 1 ' A∨ B(′ '/ ∨ /(′ /′ 1
'ii(.
"ila A / an B 1, 1 ' A∨ B(′ '/ ∨ 1(′ 1′ /
'iii(.
"ila A 1 an B /, 1 ' A∨ B(′ '1 ∨ /(′ 1′ /
'i@(.
"ila A 1 an B 1, 1 ' A∨ B(′ '1 ∨ 1(′ 1′ /
#asil;hasil ini iringkaskan ala! Tabel 1 i atas. Berbang N?G !e!berikan kepaa kita 9ungsi baru untuk ipergunakan. Untuk !enjelaskan )ara kerja gerbang N?G, apat ituliskan se)ara !ate!atis 1 ' A ∨ B(′ "ila!ana kita !elihat 1 ' A ∨ B(′, !aka harus kita ketahui bah*a keluaran iberikan oleh tabel kebenaran paa Tabel 1. "ila!ana kita !elihat la!bang N?G !aka harus ingat )ara kejanya, yakni se!ua !asukan harus renah untuk !enapatkan keluaran yang tinggi. ontoh &$ a.
arilah ekspresi "oole bagi keluaran paa Ba!bar 5.
b.
E@aluasilah ekspresi "oole ini bagi se!ua ke!ungkinan ko!binasi !asukan. A
1
B Ba!bar 5. Gangkaian logika. e!e)ahan$ a.
Masukan;!asukan ke gerbang
b.
"ila A / an B /, !aka 1 ' A′∧ B(′ '/′∧/(′ '1∧/(′ /′ 1 "ila A / an B 1,!aka 1 ' A′∧ B(′ '/′∧1(′ '1∧1(′ 1′ / "ila A 1 an B /, !aka 1 ' A′∧ B(′ '1′∧/(′ '/∧/(′ /′ 1 "ila A 1 an B 1, !aka 1 ' A′∧ B(′ '1′∧1(′ '/∧1(′ /′ /
ontoh 5$ Tunjukkan bagai!ana setiap pasangan barisan bit;bit berikut iproses oleh sebuah gerbang ?G a. 11///1 1/11/1 b. 1///1111 //1111// ). 1/11//111/// ///111//11/1 e!e)ahan$
erlu iingat bah*a / !un)ul sebagai keluaran ari sebuah gerbang ?G hanya bila!ana keua !asukan aalah /. Dala! 'a( keaaan ini hanya !un)ul paa posisi ke;5+ ala! 'b( hanya paa posisi ke;+ ala! ')( hanya paa posisi ke; an ke;11. sehingga keluarannya aalah 'a( 1111/1 'b( 1/111111 ')( 1/11111111/1
ontoh 6$ a.
Tentukan ekspresi "oole 1 & ' A, B, ' ( untuk sirkuit logika paa Ba!bar 6'a(.
b.
Tentukan tabel kebenarannya.
A B ' 1
'a( A B '
A B
' ′ B ' ′ A′ B 'b( Ba!bar 6. Gangkaian logika
e!e)ahan $
1 ' A ∧ B ∧ ' ′( ∨ ' B ∧ ' ′( ∨ ' A′ ∧ B(
a. Ini aalah sebuah sirkuit
' /1/1/1/1
B //11//11
A′ 1111////
' ′ 1/1/1/1/
B' ′ //1///1/
AB' ′ //////1/ A ′B //11////
Sehingga 1 //11//1/. Dengan e!ikian, tabel kebenarannya aalah$ Tabel 1-. Tabel kebenaran logika A / / / / 1 1 1 1
B / / 1 1 / / 1 1
' / 1 / 1 / 1 / 1
1 / / 1 1 / / 1 /
&2 Ran&kaian Flip(6l'p
Suatu rangkaian 9lip;9lop apat !e!pertahankan suatu keaaan biner ala! *aktu yang tak terbatas sa!pai suatu sinyal !asukan baru atang untuk !engubah keaaan itu. In9or!asi biner apat !asuk ke suatu 9lip;9lop engan berbagai )ara sehingga !engakibatkan terseia berbagai raga! jenis 9lip;9lop. Masing;!asing jenis 9lip;9lop itu !e!punyai karakteristik terseniri yang iperlukan untuk pe!akaian tertentu. erbeaan uta!a iantara berbagai jenis
9lip;9lop itu aalah banyaknya !asukan yang i!iliki an perilaku !asukan itu !e!pengaruhi keaaan biner ala! 9lip;9lop tersebut. 0enis 9lip;9lop yang ibahas ala! penelitian ini aalah jenis rangkaian 9lip;9lop asar. Suatu rangkaian 9lip;9lop apat isusun engan ua gerbang N?G atau ua gerbang N
Geset ! A
/ 1
"
B
Set Ba!bar 8. Gangkaian 9lip;9lop asar engan gerbang N?G Tabel 1&. Tabel kebenaran 9lip;9lop asar engan gerbang N?G
" 1 / / / 1
! / / 1 / 1
= '" ∨ !(′ 1 1 / / /
=′ '" ∨ !(′ / / 1 1 /
Sebagai titik a*al, ianaikan !asukan set aalah 1 an !asukan reset sa!a engan /. Karena gerbang B !e!punyai sebuah !asukan 1, keluaran =′ harus sa!a engan / yang !engakibatkan keua !asukan ke gerbang A itu sa!a engan / an keluarannya = sa!a engan 1. "ila !asukan set ike!balikan ke /, keluarannya tetap sa!a. #al itu aalah karena = tetap 1 sehingga !asih aa sebuah !asukan 1 paa gerbang B, yang selanjutnya !e!buat keluaran =′ tetap /.
Dala! operasi nor!al, keua !asukan suatu 9lip;9lop akan tetap / ke)uali jika keaaan 9lip;9lop itu akan iubah. engenaan 1 sesaat ke !asukan set !enyebabkan 9lip;9lop itu !enjai ala! keaaan set. Masukan set itu harus ke!bali ke / sebelu! suatu 1 iberikan ke !asukan resetnya. engenaan 1 sesaat ke !asukan reset !enyebabkan 9lip;9lop tersebut !enjai ala! keaaan bebas ke!bali. "ila keua !asukannya itu !ula;!ula sa!a engan /, an bila suatu 1 ikenakan ke !asukan set seangkan 9lip;9lop itu ala! keaaan set atau bila sebuah 1 yang iberikan ke !asukan reset seangkan 9lip;9lop itu ala! keaaan bebas, !aka keaaan keluarannya tiak akan berubah. "ila sebuah 1 ikenakan sekaligus ke !asukan set an reset, keua keluarannya akan sa!a engan /. Keaaan itu tiak tere9inisi an biasanya ihinari. 0ika keua !asukan itu !enjai / ke!bali, keaaan 9lip;9lop !enjai tiak tentu an tergantung paa !asukan !ana yang !eneri!a 1 lebih la!a sebelu! ke!bali ke /.
1
Set
/
" A
1 /
Geset !
B
Ba!bar . Gangkaian 9lip;9lop asar engan gerbang N
! / 1 1 1 /
= '" ∧ !(′ / / 1 1 1
=′ '" ∧ !(′ 1 1 / / 1
Gangkaian 9lip;9lop asar N
32 Pen"ede#anaan Ran&kaian
Kita telah !enggunakan logika aljabar "oole untuk !enge!bangkan sirkuit saklar an kita apat !enggunakannya untuk !enyeerhanakan suatu rangkaian 'sirkuit(. Konisi untuk arus yang !engalir paa Ba!bar aalah ' A
∧ ' ( ∨ ' A′ ∨ B(. "entuk ini akan ekui@alen engan '' A ∧ ' ( ∨ A′( ∨ B, an ekui@alen lagi engan ' ∨ A′ ∨ B, sebagai!ana perhitungan berikut$
' A ∧ ' ( ∨ ' A′ ∨ B( '' A ∧ ' ( ∨ A′( ∨ B
P' A ∨ A′( ∧ '' ∨ A′(R ∨ B
P1 ∧ '' ∨ A′(R ∨ B
'' ∨ A′( ∨ B
A
' A′
B Ba!bar . Gangkaian saklar ?leh karena itu sirkuit paa ga!bar apat iubah !enjai sirkuit seperti paa Ba!bar -/ berikut$
' A′ B Ba!bar -/. Gangkaian yang lebih seerhana Sirkuit paa Ba!bar -/ !erupakan penyeerhanaan rangkaian ari Ba!bar , sehingga hanya !e!butuhkan saklar yang lebih seikit. Dala! penggunaan praktis, seseorang atau sebuah perusahaan apat !enghe!at banyak biaya an *aktu apabila banyaknya jalur yang ibutuhkan ala! suatu jaringan atau rangkaian ikurangi. Dua buah rangkaian ikatakan ekui@alen jika keua rangkaian itu !e!punyai 9ungsi sa!a, yaitu jika listrik apat !engalir paa rangkaian yang perta!a !aka listrik juga apat !engalir paa rangkaian yang keua an sebaliknya, apabila listrik tiak apat !engalir paa rangkaian yang perta!a !aka listrik juga tiak apat !engalir paa rangkaian yang keua 'Theresia M.#.Tirta seputro$ 1+ 1-(. Misalkan sebuah rangkaian seperti iba*ah ini akan iubah !enjai sebuah rangkaian yang lebih seerhana an ekui@alen.
A
B
A
B′
A′
B′
Ba!bar -1.
Mula;!ula itulis sebuah rangkaian pengganti "oole yang !enyatakan rangkaian tersebut, yaitu ' A ∧ B( ∨ ' A ∧ B′( ∨ ' A′ ∧ B′( ke!uian iseerhanakan.
' A ∧ B( ∨ ' A ∧ B′( ∨ ' A′ ∧ B′( P A ∧ ' B ∨ B′(R ∨ ' A′ ∨ B′(
P A ∧ 1R ∨ ' A′ ∧ B′(
A∨ ' A′ ∧ B′(
' A ∨ A′( ∧ ' A ∨ B′(
1 ∧ ' A ∨ B′(
A ∨ B′
0ai konisi rangkaian ' A ∧ B( ∨ ' A ∧ B′( ∨ ' A′ ∧ B′( ekui@alen engan A ∨ B′, sehingga ga!bar rangkaiannya aalah
A
B′ Ba!bar -. Gangkaian ekui@alen Tabel kebenaran berikut !enjelaskan penyelesaian )ontoh i atas. Tabel 16. Tabel kebenaran logika. A
B
< A
B:
< A
B
:
< A
B
:
< A
B
:
1 1 1 / / 1 / / Lan&ka#
1 1 / / 1
1 / / /
1 / 1 / 1
1 1 / / -
1 1 / / 1
/ 1 / /
/ 1 / 1 1
7 7 . 7 +
/ / 1 1 1
/ / / 1
/ 1 / 1 1
1 1 / / 1
7 7 . 7 -
/ 1 / 1 1
Dari tabel kebenaran i atas na!pak bah*a rangkaian engan si!bol ' A ∧ B( ∨ ' A ∧ B′( ∨ ' A′ ∧ B′( ekui@alen engan rangkaian ' A ∨ B′(, karena keua rangkaian tersebut !e!punyai nilai kebenaran sa!a. 0ai sangat tiak praktis bila seseorang !e!buat rangkaian saklar seperti paa Ba!bar -1, lebih seerhana aalah rangkaian paa Ba!bar -. Dengan e!ikian, suatu ekspresi "oole yang ru!it apat iseerhanakan engan !enggunakan huku!;huku! an teore!a;teore!a ala! aljabar "oole. Ini berarti !e!bangun sebuah rangkaian yang lebih seerhana sebagai pengganti rangkaian yang lebih ru!it. Misalkan sebuah rangkaian igital !e!punyai keluaran yang inyatakan sebagai 1 ' A∧' ( ∨ ' A∧ B∧' ( ersa!aan ini !enyatakan bah*a keluaran Y iperoleh engan *. !eng . !eng
Gangkaian ini lebih ru!it aripaa se!estinya karena ekspresi aslinya apat iseerhanakan sebagai berikit$ 1 ' A ∧ ' ( ∨ ' A∧ B∧' ( ' A ∧ ' ( ∧ '1 ∨ B( ' A ∧ ' ( Ba!bar --'b( !engga!barkan rangkaian logika bagi 1 A ∧ ' . Gangkaian ini hanya !enggunakan sebuah gerbang
A ' B
'a(
'b(
Ba!bar --. Menyeerhanakan rangkaian logika. Untuk !e!bangun rangkaian bagi 1 ' A∧ B∧' (∨' A∧ B′∧' (∨' A∧ B∧′(, ibutuhkan piranti;piranti sebagai berikut$
• Sebuah gerbang ?G tiga !asukan untuk !ena!bahkan AB' , AB′' , an AB' ′
• Tiga buah gerbang
• Dua buah gerbang N?T untuk !enghasilkan B′ an ' ′.
Ba!bar -& !e!perlihatkan hubungan yang sesuai engan ele!en;ele!en ini. Dengan !enggunakan huku! an teore!a "oole, ekspresi aslinya apat iseerhanakan, an iperoleh 1 ' A∧ B∧' ( ∨ ' A∧ B′∧' ( ∨ ' A∧ B∧' ′( P' A ∧ ' ( ∧ ' B ∨ B′(R ∨ ' A∧ B∧' ′( ' A ∧' ( ∨ ' A∧ B∧' ′( A ∧ '' ∨ ' B ∧ ' ′(( A ∧ '' ∨ B( A ∧ ' B ∨ ' ( Ekspresi ini !engarah kepaa rangkaian logika yang lebih seerhana. #anya ibutuhkan sebuah gerbang
A B '
A∧ B′∧'
1 ' A∧ B∧' ( ∨ ' A∧ B′∧' ( ∨ ' A∧ B∧' ′(
A∧ B∧' ′ 'a( A 1 A ∧' B∨' ( B ' 'b( Ba!bar -&. Gangkaian logika ekui@alen Keua rangkaian logika paa Ba!bar -& aalah ientik sepanjang berkenaan engan operasi !asukan;keluarannya. Dengan perkataan lain,
keuanya apat saling !enggantikan. Gangkaian paa ga!bar -&'b( lebih isukai karena !enggunakan lebih seikit perangkat keras an lebih !uah ibangun.
/A/ 1 PENUTUP A2
Kesi%pulan
enerapan aljabar "oolean apat itunjukkan paa sebuah rangkaianAsirkuit saklar seerhana an rangkaian igital asar. Se!ua operasi logika ala! suatu rangkaian saklar tergantung paa aa atau tiaanya arus yang !engalir !elalui rangkaian. ?perasi logika ala! suatu rangkaian igital tergantung paa aa atau tiaanya sinyal !asukan. aa rangkaian saklar, tana ∨ !enyatakan operasi penju!lahan yang igunakan untuk sebuah rangkaian paralel. Tana ∧ !enyatakan operasi perkalian untuk rangkaian seri an tana ′ !enyatakan operasi untuk rangkaian saklar yang si9atnya terbuka;tertutup 'berko!ple!en(. aa rangkaian igital tana ∨ !enyatakan pena!bahan ?G, )ara yang igunakan oleh sebuah gerbang ?G ala! !enggabungkan !asukan;!asukannya untuk !enghasilkan keluarannya.
Tana ∧ !enyatakan perkalian
Saan
Seringkali seorang pe!ba)a !e!iliki pengertian yang tiak sa!a engan sesuatu yang itulis oleh penulis, an penengar !e!iliki pengertian yang berbea engan sesuatu yang ikatakan oleh pe!bi)ara. Maka henaknya ia !e!pelajari tentang bagai!ana !enggunakan logika. Karena logika apat 86 !e!bantu !enghinari salah pena9siran an !eningkatkan keahlian ala! berpikir analitis.
DAFTAR PUSTAKA
<.Yusu9
Da@i <, 18. Analisis dan desain rangkaian terpadu digital . 0akarta$ Erlangga Depag GI, 1. Al-=uran dan terjemahannya 8re3isi terbaru9. Se!arang$ . A. 0akarta$ Erlangga 0."ue)he Freeri)k, 1&. $eori dan soal-soal :isika. 0akarta$ Erlangga. KF. Ibrahi!, 16. $eknik digital . Yogyakarta$
