860
Sistemas de partículas
CAPÍTULO 14 SISTEMAS DE PARTÍCULAS 14.1 14.2
14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12
Introducción Aplicación de las leyes de Newton al movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas efectivas Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas alrededor de su centro de masa Conservación de la cantidad de movimiento para sistemas de partículas Energía cinética de un sistema de partículas Principio del trabajo y la energía. Conservación de la energía para un sistema de partículas Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un sistema de partículas Sistemas variables de partículas Corriente estacionaria de partículas Sistemas que ganan o pierden masa
14.1. INTR INTRODUCCI ODUCCIÓN ÓN En este capítulo se estudia el movimiento de sistemas de sistemas de partículas, esto es, el movimiento de un gran número de partículas consideradas en conjunto. La primera parte del capítulo se dedica a sistemas consistentes en partículas bien definidas; la segunda considera el movimiento de sistemas variables, esto es, sistemas en los cuales se ganan o pierden partículas de manera continua, o en los que ocurren ambas situaciones de manera simultánea. En la sección sección 14.2, la segunda ley ley de Newton se aplicará aplicará primero primero a cada partícula del sistema. Al definir la fuerza efectiva de una partícula como el producto m producto m ia i de su masa m masa m i y su acelerac aceleración ión a i, se demostrará que las fuerzas las fuerzas externas que actúan sobre diversas partículas forman un sistema equipolente al sistema de las fuerzas efectivas, esto es, ambos sistemas tienen la misma resultante y el mismo momento resultante alrededor alrededor de cualquier punto punto dado. En la sección 14.3 se mostrará que la resultante y el momento resultante de las fuerzas externas son iguales, respectivamente, a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal total y a la cantidad de movimiento angular total de las partículas del sistema. En la sección sección 14.4 se define define el centro de masa del sistema de partículas y se describe su movimiento. En tanto que en la sección 14.5 se analiza el movimiento de las partículas alrededor de su centro de masa. Las condiciones bajo las cuales se conserva la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas se estudian en la sección 14.6, y los resultados obtenidos en esa sección se aplican a la solución de diversos problemas. Las secciones 14.7 y 14.8 abordan la aplicación del principio del trabajo y la energía en un sistema de partículas, y en la sección 14.9 se estudia la aplicación del principio del impulso y la cantidad de movimiento. Estas secciones contienen también varios problemas de interés práctico. Hay que observar que si bien las deducciones dadas en la primera parte de este capítulo se refieren a un sistema de partículas independientes, éstas siguen siendo válidas cuando las partículas del sistema están conectadas rígidamente, esto es, cuando forman un cuerpo rígido. De hecho, los resultados obtenidos aquí contienen los fundamentos del estudio de la cinética de cuerpos rígidos presente en los capítulos 16 a 18. La segunda parte de este capítulo se dedica al estudio de sistemas variables de partículas. En la sección 14.11 se considerarán corrientes estacionarias de partículas, como un chorro de agua desviado por una paleta o el flujo de aire que pasa por un motor de reacción, y se aprenderá a determinar la fuerza que ejerce la corriente sobre la paleta y el empuje desarrollado por el motor. Por último, en la sección 14.12 se aprenderá cómo analizar los sistemas que ganan masa de manera continua al absorber partículas, o que pierden masa al desechar partículas de manera continua. Entre las diversas aplicaciones prácticas de este análisis se encuentra la determinación del empuje desarrollado por un motor de cohete.
14.2. APLIC APLICACI ACIÓN ÓN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. FU FUER ERZA ZAS EFECTIVAS Para deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de n partículas se empieza escribiendo la segunda ley de Newton para cada partícula individual del sistema. Considere la partícula P i, donde 1 i n. Sea m Sea m i la masa de P i y a i su aceleración con respecto al sistema de refe-
860
861
14.2. Aplicación de las leyes de Newton al movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas efectivas
rencia newtoniano Oxyz. La fuerza ejercida sobre P i por otra partícula P j del sistema (figura 14.1), denominada fuerza interna, se denotará por f ij. La resultante de las fuerzas internas ejercidas sobre P i por todas las n
demás partículas del sistema es entonces j
f ij
(donde f ij no tiene sig-
y
1
F i
y P i
P i
nificado y se supone que será igual a cero). Al denotar, por otro lado, mediante F i la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre P i, se escribe la segunda ley de Newton para la partícula P i en la forma siguiente
r i
f ij
r i
=
m i a i
P j
n
F i
j
f ij
m ia i
(14.1)
O
1
Al denotar por r i el vector de posición de P i y tomar los momentos alrededor de O de los diversos términos en la ecuación (14.1), también se escribe n
r i
F i
(r i
j
f ij)
r i
m ia i
(14.2)
1
Si se repite este procedimiento para cada partícula P i del sistema, se obtienen n ecuaciones del tipo (14.1) y n ecuaciones del tipo (14.2) , donde i toma sucesivamente los valores 1, 2, . . . , n. Los vectores m ia i se denominan las fuerzas efectivas de las partículas.† En consecuencia, las ecuaciones que se obtienen expresan el hecho de que las fuerzas externas F i y las fuerzas internas f ij que actúan sobre las diversas partículas forman un sistema equivalente al sistema de las fuerzas efecti vas m ia i (esto es, un sistema puede sustituirse por el otro) (figura 14.2). F i
y
y
P i
P i r i
f ij f ji
O
r j
r i
=
m i a i
F j
P j O
x
x
z
z
Figura 14.2
Antes de continuar con la deducción, hay que examinar las fuerzas internas f ij. Advierta que estas fuerzas ocurren en pares f ij, f ji, donde f ij representa la fuerza ejercida por la partícula P j sobre la partícula P i y f ji representa la fuerza ejercida por P i sobre P j (figura 14.2). Ahora bien, de acuerdo con la tercera ley de Newton (sección 6.1), ampliada por la ley de la gravitación de Newton a partículas que actúan a distancia (sección 12.10), las fuerzas f ij y f ji son iguales y opuestas y tienen la misma línea de acción. Por lo tanto, su suma es f ij f ji 0, y la suma de sus momentos alrededor de O es r i
f ij r j f ji r i
(f ij f ji) (r j r i)
f ji
0
ya que los vectores r j r i y f ji en el último término son colineales. Al †
Puesto que estos vectores representan las resultantes de fuerzas que actúan sobre las diferentes partículas del sistema, pueden realmente considerarse como fuerzas.
z
Figura 14.1
O
x
z
x
862
Sistemas de partículas
agregar todas las fuerzas internas del sistema y sumar sus momentos alrededor de O, se obtienen las ecuaciones n
n
n
i
1 j
f ij
n
(r i
0
1
1 j
i
f ij)
0
(14.3)
1
que expresa el hecho de que la resultante y el momento resultante de las fuerzas internas del sistema son cero. Al volver ahora a las n ecuaciones (14.1), donde i 1, 2, . . . , n, se suman sus miembros del lazo izquierdo y los del lado derecho. Tomando en cuenta la primera de las ecuaciones (14.3), se obtiene n
n
i
F i
1
m ia i
i
(14.4)
1
Al proceder de manera similar con las ecuaciones (14.2) y tomar en cuenta la segunda de las ecuaciones (14.3), se tiene n
n
(r i
i
F i)
1
(r i m ia i)
i
(14.5)
1
Las ecuaciones (14.4) y (14.5) expresan el hecho de que el sistema de las fuerzas externas F i y el sistema de las fuerzas efectivas m ia i tienen la misma resultante y el mismo momento resultante. Al recordar la definición dada en la sección 3.19 para dos sistemas equipolentes de vectores, se puede consecuentemente enunciar que el sistema de fuerzas externas que actúan sobre las partículas y el sistema de las fuerzas efectivas de las partículas son equipolentes† (figura 14.3).
y
P3
F1
m3a 3
y
P1
m1a 1 m2a 2
=
P2 O
z
P3
P1
F2
P2 O
x
x
z
Figura 14.3
†
El resultado que acaba de obtenerse con frecuencia recibe el nombre de principio d’Alembert, en honor al matemático francés Jean le Rond d’Alembert (1717-1783). Sin embargo, el enunciado original de d’Alembert se refiere a un sistema de cuerpos conectados, con f ij representando las fuerzas restrictivas, las cuales si las aplican a ellos mismos no pro vocarán el movimiento del sistema. Puesto que, como se demostrará a continuación, éste no es en general el caso para las fuerzas internas que actúan sobre un sistema de partículas libres, la consideración del principio de d’Alembert se postergará hasta que se considere el movimiento de cuerpos rígidos (capítulo 16).
Las ecuaciones (14.3) expresan el hecho de que el sistema de las fuerzas internas f ij es equipolente a cero. Sin embargo, observe que no se afirma que las fuerzas internas no tengan efecto sobre las partículas que se están considerando. De hecho, las fuerzas gravitacionales que el Sol y los planetas ejercen entre sí son internas al sistema solar y equipolentes a cero. A pesar de eso, estas fuerzas son únicamente responsables del movimiento de los planetas alrededor del Sol. De manera similar, no se indica a partir de las ecuaciones (14.4) y (14.5) que los dos sistemas de fuerzas externas que tienen la misma resultante y el mismo momento resultante tendrán el mismo efecto sobre un sistema determinado de partículas. Es claro que los sistemas que se muestran en las figuras 14.4a y 14.4 b tienen la misma resultanF
A
A =
B
B F
a)
b)
Figura 14.4
te y el mismo momento resultante; sin embargo, el primer sistema acelera la partícula A y deja inalterada a la partícula B, en tanto que el segundo acelera a B y no afecta a A. Es importante recordar que cuando se señaló en la sección 3.19 que dos sistemas de fuerzas equipolentes que actúan sobre un cuerpo rígido también son equivalentes, se advirtió de manera específica que esta propiedad no podría extenderse a un sistema de fuerzas que actuaba sobre un conjunto de partículas independientes como las consideradas en este capítulo. Para evitar cualquier confusión, se utilizarán signos de igualdad de tono claro para conectar sistemas de vectores equipolentes, como los que se indican en las figuras 14.3 y 14.4. Estos signos indican que los dos sistemas de vectores tienen la misma resultante y el mismo momento resultante. Los signos de igualdad se continuarán utilizando para indicar que dos sistemas de vectores son equivalentes, esto es, que un sistema puede realmente sustituirse por el otro (figura 14.2).
14.3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Las ecuaciones (14.4) y (14.5) , que se obtuvieron en la sección anterior para el movimiento de un sistema de partículas, pueden expresarse en una forma más condensada si se introduce la cantidad de movimiento lineal y angular del sistema de partículas. Al definir la cantidad de movimiento lineal L del sistema de partículas como la suma de las cantidades de movimiento lineal de las diversas partículas del sistema (sección 12.3) , se escribe n
L
m iv i
i
1
(14.6)
14.3. Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas
863
