SISTEMAS DE PARTICULAS INTRODUCCION En la primera parte de este tema se dedica a sistemas consistentes en partículas bien definidas; la segunda considera el movimiento de sistemas variables, esto es, sistemas en los cuales se ganan o pierden partículas de manera continua, o en los que ocurren ambas situaciones de manera simultánea. La segunda ley de Newton se aplicará primero a cada partícula del sistema. Al definir la fuerza efectiva de una partícula como el producto m.a de su masa m y su aceleración a, se demostrará que las fuerzas externas que actúan sobre diversas partículas forman un sistema equipolente al sistema de las fuerzas efectivas, esto es, ambos sistemas tienen la misma resultante y el mismo momento resultante alrededor de cualquier punto dado. Se mostrará que la resultante y el momento resultante de las fuerzas externas son iguales, respectivamente, a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal total y a la cantidad de movimiento angular total de las partículas del sistema. Así también se define el centro de masa del sistema de partículas y se describe su movimiento. Por otro lado, se analiza el movimiento de las partículas alrededor de su centro de masa. Las condiciones bajo las cuales se conserva la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas es lo que veremos en este tema y los resultados obtenidos se aplican a la solución de diversos problemas. Hay que observar que, si bien las deducciones dadas en la primera se refieren a un sistema de partículas independientes, éstas siguen siendo válidas cuando las partículas del sistema están conectadas rígidamente, esto es, cuando forman un cuerpo rígido. La segunda parte de este tema se dedica al estudio de sistemas variables de partículas, para cual se considerarán corrientes estacionarias de partículas, como un chorro de agua desviado por una paleta o el flujo de aire que pasa por un motor de reacción, y se aprenderá a determinar la fuerza que ejerce la corriente sobre la paleta y el empuje desarrollado por el motor. Por último, se aprenderá cómo analizar los sistemas que ganan masa de manera continua al absorber partículas, o que pierden masa al desechar partículas de manera continua.
Entre las diversas aplicaciones prácticas de este análisis se encuentra la determinación del empuje desarrollado por un motor de cohete.
APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. FUERZAS EFECTIVAS Para deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de n partículas se empieza escribiendo la segunda ley de Newton para cada partícula
Pi , donde
individual del sistema. Considere la partícula
mi
la masa de
Pi
y su aceleración
ai
1≤ i ≤ n . Sea
con respecto al sistema de
referencia newtoniano Oxyz. La fuerza ejercida sobre
Pi
por otra partícula
P j del sistema (figura 1), denominada fuerza interna, se denotará por f ij . La resultante de las fuerzas internas ejercidas sobre
Pi
por todas
n
las demás partículas del sistema es entonces
∑ f ij j=1
(donde
f ij
no tiene
significado y se supone que será igual a cero). Al denotar, por otro lado, mediante
Fi
la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre
Pi , se escribe la segunda ley de Newton para la partícula Pi en la forma siguiente:
Al denotar por
ri
el vector de posición de Pi y tomar los momentos
alrededor de O de los diversos términos en la ecuación anterior, también se escribe:
f ij
representa la fuerza ejercida por la partícula
PI
y
f ji
representa la fuerza ejercida por
Pi
Pj
sobre la partícula
sobre
Pj .
Ahora bien, de acuerdo con la tercera ley de Newton, ampliada por la ley de la gravitación de Newton a partículas que actúan a distancia, la suma de los momentos alrededor de 0 es:
Ya que los vectores
r i−r j y
f ji
en el último término son colineales.
Al volver ahora a las n ecuaciones, donde
i=¿ 1, 2, . . . , n, se suman sus
miembros del lazo izquierdo y los del lado derecho. Tomando en cuenta la primera de las ecuaciones, se obtiene:
Al proceder de manera similar con las ecuaciones y tomar en cuenta la segunda de las ecuaciones, se tiene:
El sistema de fuerzas externas que actúan sobre las partículas y el sistema de las fuerzas efectivas de las partículas son equipolentes
Los dos sistemas de fuerzas externas que tienen la misma resultante y el mismo momento resultante tendrán el mismo efecto sobre un sistema determinado de partículas. Es claro que los sistemas que se muestran en las figuras siguientes tienen la misma resultante y el mismo momento resultante; sin embargo, el primer sistema acelera la partícula A y deja inalterada a la partícula B, en tanto que el segundo acelera a B y no afecta a A. Es importante decir que dos sistemas de fuerzas equipolentes que actúan sobre un cuerpo rígido también son equivalentes.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Al definir la cantidad de movimiento lineal L del sistema de partículas como la suma de las cantidades de movimiento lineal de las diversas partículas del sistema, se escribe:
Si se define la cantidad de movimiento angular
Ho
alrededor de O del
sistema de partículas de una manera similar, se tiene:
Se concluye que los miembros del lado izquierdo de estas ecuaciones son respectivamente iguales. Al recordar que el miembro del lado izquierdo de la ecuación representa la suma de los momentos
Mo
alrededor de O
de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y al omitir el subíndice i de las sumatorias, se escribe:
La resultante y el momento resultante alrededor del punto fijo O de las fuerzas externas son, respectivamente, iguales a las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas.
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS El centro de masa del sistema es el punto G definido por el vector de posición
´r , el cual de un satisface la relación:
n
Donde m representa la masa total
descomponer los vectores de posición
∑ mi i=1
´r y r i
de las partículas. Al
en componentes
rectangulares, se obtienen las siguientes tres ecuaciones escalares, las cuales se utilizan para determinar las coordenadas
´x ´y ´z del centro de
masa:
Las partículas localizadas fuera del campo gravitacional de la Tierra, por ejemplo, tienen masa pero no peso. En ese caso es posible referirse de manera apropiada a su centro de masa, pero, evidentemente, no a su centro de gravedad.
Donde
v´
representa la velocidad del centro de masa G del sistema
de partículas. Pero el miembro del lado derecho de la ecuación anteriores, por definición, la cantidad de movimiento lineal L del sistema. Por lo tanto, se tiene:
El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si la masa total del sistema y todas las fuerzas externas estuvieran concentradas en ese punto. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ALREDEDOR DE SU CENTRO DE MASA Al denotar, respectivamente, mediante r´i y v´i el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi relativos al sistema de referencia en movimiento Gx´y´z´, se define la cantidad de movimiento angular H´ G del sistema de partículas alrededor del centro de masa G de la manera siguiente:
Un razonamiento similar al que se anteriormente demuestra que el momento resultante alrededor de G de las fuerzas internas fij del sistema completo es cero. La primera sumatoria en la ecuación se reduce consecuentemente al momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y se escribe:
Se señaló antes, la primera sumatoria es igual a cero. De tal modo H G se reduce a la segunda sumatoria, la cual por definición es igual a H´ G.
Si se aprovecha la propiedad acabada de establecer, se simplifica la notación al eliminar la prima (´) de la ecuación anterior y se escribe:
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA SISTEMAS DE PARTÍCULAS Si no actúa una fuerza externa sobre las partículas de un sistema, los miembros del lado izquierdo de las ecuaciones anteriores son iguales a cero y estas ecuaciones se reducen a
´ L=0
y
´ L=0 . Se concluye que:
También es posible aplicar el concepto de conservación de la cantidad de movimiento al análisis del movimiento del centro de masa G de un sistema de partículas y al análisis del movimiento del sistema alrededor de G. Por ejemplo, si la suma de las fuerzas externas es cero, se aplica la primera de las ecuaciones y entonces se escribe:
Si la suma de los momentos alrededor de G de las fuerzas externas es cero, se concluye que se conserva la cantidad de movimiento angular del sistema alrededor de su centro de masa:
