Capitulo 15
15.1 Introducción Aunque la capacidad de los computadores, tanto en tamaño de la memoria como en velocidad, ha venido en aumento en los últimos años, a niveles nunca sospechados; la obtención de la respuesta dinámica por medio de técnicas de análisis cronológico, como las presentadas en el Capitulo anterior, sigue siendo dispendiosa y de difícil interpretación para efectos de diseño. Dado que los valores que se leen de un espectro, ya sea de respuesta o de diseño, corresponden al valor máximo que puede tener la respuesta de un sistema dinámico de un grado de libertad -- en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración -- es evidente que conociendo el espectro se puede determinar ti valor máximo de la respuesta .:;ae puede tener un grado de libertad desacoplado, y por ende se podría utilizar estos valores para determinar la máxima respuesta que tendría un sistema de , arios grados de libertad. El presente Capítulo se dedica a la formulación del análisis dinámico de sistemas de varios grados de libertad utilizando espectros, ya sean de respuesta ante sismos registrados, o de diseño para movimientos sísmicos futuros. Las metodologías presentadas en el presente Capítulo, al igual que en el anterior, solo pueden emplearse en sistema que permanecen dentro del rango elástico y donde es aplicable el principio de superposición.
15.2 Formulación del análisis modal espectral De acuerdo con lo presentado en las Secciones lCA y l-lA, las ecuaciones de moximiento para un sistema sometido a una excitación en su base tienen la forma dada en la siguiente ecuación: (l S-1)
Las matrices de masa [M] y rigidez [K] de la estructura se obtienen de acuerdo con lo presentado en el Capítulo 11. La obtención de la matriz [y] se realiza de acuerdo con lo presentado en las Secciones 11.3.1(h), 11.5 Y 14.8, Y su forma depende de si la estructura se ve afectada por una, dos o tres componentes del acelerograma, representadas en un vector {x o } columnar con 1, 2 o 3 términos, casos en los cuales [y] tiene dimensiones n x 1, n x 2 ó n x 3 respectivamente, siendo n el número de grados de libertad de la estructura. Dado que podemos obtener los modos y frecuencias, [] y [ol], de la estructura con base en sus propiedades para vibración libre representadas en el lado derecho igual a B07
Dinámica est ruct Ilra I aplicada al diseño sísmico
cero en la ecuación (15-1); la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas se obtiene desacoplando el sistema por medio de la aplicación de la siguiente transformación de coordenadas: (15-2)
{u} = []{TI} y derivando dos veces contra el tiempo:
{ü} = []{ il}
(15-3)
Reemplazando (15-2) Y(15-3) en (I 5-1), Y premultiplicando por []T obtenemos: (15-4)
Tanto [1] como rol], son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla, lo cual implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: ..
2
..
05-5)
Tli + m¡ Tli = -a i X o y si se aplica amortiguamiento modal:
(15-6) La solución para las ecuaciones (15-5) o (15-6) se puede llevar a cabo por medio de cualquiera de las metodologías presentadas en los Capítulos 2 y 3 para sístemas de un grado de libertad. Una vez se obtienen los valores de {TI(t)}, para cualquier tiempo t, por medio de la ecuación (15-2) se pueden obtener los desplazamientos de la estructura para ese instante. La diferencia fundamental entre el análisis modal cronológico y el análisis modal espectral se presenta aquí, pues de acuerdo con la definición de espectro de respuesta de desplazamiento (Sección 5.2): el máximo valor que puede tener el desplazamiento relativo u, entre la base y la masa de un sistema de un grado de libertad sometido a un acelerograma en su base xo(t) , es precisamente el valor que se lee del espectro de desplazamiento Sd(T,S), calculado para el mismo acelerograma, utilizando lo valores del período T, y el amortiguamiento S, del mismo sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el máximo valor de puede tener Tli en las Ecuaciones (15-5) o (15-6) corresponde al valor leído del espectro de desplazamientos de la excitación amplificado por el coeficiente de partícípación
508
15 • Aná.lisis modal espoct re . ) ( 11 '1,
max
= la. ._12 . S a (T.,,.", )1 = la.. 4T¡22 j:: •
I
I
O)¡
.
1t
S a (T., 1;.I I
)1
(15-8)
Dado que, por medio de cualquiera de los dos procedimientos alternos, se dispone de unos valores máximos de los grados de libertad desacoplados 11¡; en principio, bastaría con aplicar la transformación de coordenadas implícita en la ecuación 05-2) para obtener los valores máximos de los desplazamientos de los grados de líbertad de la estructura {U}. Desafortunadamente, este procedimiento es errado debido a que los valores máximos de los desplazamientos, o aceleraciones, que se coleccionan en el espectro de respuesta no ocurren en el mísm.. mstante en el tiempo. En la Figura 15-1 , tomada de la Figura 5-3 se muestra cómo en el calculo del espectro de desplazamientos las respuestas para los diferentes períodos de víbracíón ocurren en instantes diferentes. RESPUESTA EN TERMINOS DE DESPLAZAMIENTO (mi PARA SISTEMAS CON DIFERENTE PERIODO
PERIODO
T=3.0s
0.3
T
j T=2.5 s
o
i
f.d-"\-il-+-i-+-+--I;-+-\c-:~.p..-~f"'ocr
l
T=2.0s
I T=1.5s
o
O
~ Vv'J~ V........ «ioe»;
f\(\l\lIfll\~_
AA'""
Desplazamiento
V \TU 1T\T~v
I
(m) ,0.31 0.3
1
'ji. VVI[V /) 11-;:-"" t
!
T= 1.0s
O
m2ximo 0.128
A
VOl)
IT
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-0.3
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T=0.5s
,
I
0.30 0.25
1t
I
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t
I
I
i
I
7.5
2.0
25
'1 3.0
1
J\fvo------::r-~1 I ~~J--_l_-l__
'ti
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I I
0.00
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0.0
o \ •./to..
'(~i;;;o 0./51
0.5
j
m
1.0
Periodo T (s)
ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOS TEMBLOR DE EL CENTRO
-0.3 ,
Amorliguamiento 5%
2 I l'
o -2 -4
O
5
10
15
20
25
t (s)
Figura 15-1- Cálculo del espectro de respuesta de desplazamientos del Temblor de El Centro. Debe observarse que los valores que se coleccionan en el espectro no ocurren en el mismo instante
Además, debe notarse que el signo, positivo o negativo, de la respuesta también se pierde, debido a que al espectro se lleva el valor absoluto de ella.
Dado que la ecuación (15-2), implícitamente, realiza la superposicíón de las respuestas individuales de cada uno de los modos:
SOD
Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico
{u}
=
[]{ TI} =
i
{Ij>(i) }TI¡ (t)
¡=l
= {Ij>(l) }Tll (t) +{1j>(2) }Tl2 (t) + ... +{Ij>(n) }Tl n(t) =
(l
5-9)
{U(l)}+{U(2)} + '" +{u(n)}
su utilización directa, tal como se presenta en la ecuación (15-9) es errada pues suma valores de desplazamientos modales que no ocurren en el mismo instante y además no toma en cuenta su signo al sumar algebraícamente, En principio, las respuestas modales individuales son correctas y corresponden a los . máximos valores que tendrían cada una de ellas, simplemente hay que tener en cuenta que pueden ser tanto positivas como negativas. La dificultad radica en determinar una manera apropiada de combinarlas para obtener una. respuesta apropiada. Esto se logra por medio de lo que se conoce con el nombre de métodos de combinación modal espectral. La presentación de estos métodos se hace más adelante en la Sección 15.3, la cual se dedica a discutir sus fundamentos y la forma como deben emplearse; no obstante, es importante dejar establecidas las diferentes formas que pueden tener las respuestas modales Indívíduales, pero sin llegar a combinarlas. Los desplazamientos dinámicos modales máximos que se presentan en la estructura, correspondientes a cada modo individual, por ejemplo el modo O), pueden obtenerse por medio de: (15-10) En la ecuación anterior debe tenerse en cuenta que el resultado multiplicado por (-1) también es factible, dado que se trata de un movimiento alternante derivado de un fenómeno ondulatorio. Esta posibilidad de un cambio de signo se manifiesta en todas las diferentes formas de la respuesta modal.
Para cada modo individual (í), las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas que se presentan en la estructura pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos modales máximos por la matriz de rigidez de la estructura: (15-11) Cada una de estas fuerzas modales máximas pueden utilizarse como un conjunto de fuerzas estáticas y con ellas, independientemente, por medie de un análisis estático convencional, llegar a encontrar las fuerzas internas causadas por el modo (i) en cada uno de los elementos de la estructura. Estas fuerzas internas modales máximas pueden obtenerse, también, utilizando los desplazamientos modales máximos obtenidos por medio de la ecuación (15-10). Las dos alternativas conducen a resultados idénticos. En este punto se tendría la respuesta máxima, individual por modo, de los diferentes parámetros relevantes causados por unas fuerzas inerciales aplicadas a la estructura como si fueran fuerzas estáticas externas. Estos parámetros comprenden las fuerzas internas en los elementos de la estructura, las derivas de piso, el corte basal y el momento de vuelco, entre otros. Habrá tantos conjuntos independientes de parámetros como modos tenga la estructura. Tan solo bastaría combinarlos.
510
· 15 • Análisis modal espect ral
Ejemplo 15-1 Se desect ev¡,colttmr Los valores de Lct respH,{'stct deL eetiJicío elnpLectdo en eí EjempLo 14-3 ete Lct Secciém 14.5, ctL ser sOI,'}teLido ct Lct CüVltr10Jteltte N-S del twttlLor de EL Centro. CctLifomict, de MctljO 18 de 1940, emrILe(;utdo témims CSYlcctmLes, Lcts rJroYJiedades de mctsct lj de rigidez eseria descritcts CI1 eL Ejentplo 14-3, EL edificio se Inll,{'stm, Itl1.eVctVlteltte elt Lct rigl1,m 15-2, Halj iVl.terés en Lct reSrll1.('stct de Lct estmctluct en Lct direcciólt mostmetct en LctJigl1.m,
Figura 15-2 - Ejemplo 15-1
256
O
o
O
O
U
O
256
O
O
O
O
O
O
256
O
O
O
O
O
O
256
O
O
O
O
O
O
256
O
O
O
O
O
O
256
.,
-306.77
105.49
- 306.77
668.24
- 475.14
137.94
- 29.375
5.3857
105.49
- 475.14
731.37
- 493.23
159.60
- 21J.327
-19.561
137.94
- 493.23
-494.47
145.71
4.2822
- 29.375
159.60
749.02 -494.47
738.11
- 515.90
- 0.51088
5.3857
- 29.327
145.71
- 515.90
889.94
216.76
.Al
n
-19.561
4.2822 - 0.51088
511 ...
--'
Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ AL resolver el prolJLevvLa de valores propios pLa/1,teado por La al-tterior emació/t de eq¡úLilJrio, se olJtie¡-te1t tas sig/tie/ltesjreutevu:ias Ij períDdos:
1 ¡ .~
I
Modo 1
(ji
O)
(rad/s)2
(rad/s)
29.108 301,81
2 3 4 5 6
T
f (Hertz)
973.78 2494,3
5.3952 17.373 31.205 49,943
4686.5 7113.8
68.458 84-.344
(s) 1.1646 03616 0.2013
085866 2.76495 4.96647 7.94849 10,89550
0.1258 0.0918 0.0745
13.42372
Los f1wdos ci..e vi~)m.ciólt correStl0/1ci..ie¡1tes son. ~
0.036721 -0.032775 0.029168 -0.020667 0.033690 -0.011592 -0.014245 0.032483 -0.034529
0.028533
-0.029103
0.020961
0.033322
-0.005049 -0.034504 -0.003317
0.033609
0.012243 L 0.004460
0.033525
0.031633
0.015888
0.025184
I I!
4
1/
3
I
2
I
0.00
o
0.04
Modo 1
(TI = 1.165 s)
000
004
Modo 2 (T 1
=
0.362 s)
~04
¡--......
<,
3
r-,
V
/
<,
¡--......
"
V
!/
o
Moci..o3 (T3 = 0.201 s)
000
~04
/
.......
4
=
0,126 s)
6
4
V
2
r--..... r-.... /'
~04
1"'-......
V
000
004
Modos
(Ts = 0,092 s)
Figur¡:. 15-3 - Ejemplo 15-1- Modos y períodos de vibración de la estructura
Los cotjkielltes de rJarticirlació¡i. S(1I1: 34.970 13.540 8.2331 6.0279 4.4695 2.3861
512
...v
r-....
3
IV
2
~,
5
r-. r-.... V
o 004
Moci..o4 (T4
5
0.023711
VI-'"
3
......
004
0.035774
./'
2
/ 000
r-,
./
)
¡
-0.04
"- <,
-0.024392 -0.031454
6
<,
4
I
o
0.006893 0.034025
5
I
2
1/
0.005317
6
-: ./
5
il
3
0.018512
0.014524
s
4
-0.005955
0.028524
[<1>] =
5
0.013049 - 0.032188
o ~04
,/
--
;,v V .......
<, ,/
r-.... r-, 1/ 000
004
M oci..o 6 (T6 = 0.075 s)
Dinámica estructural aplicada (/1 diseño sísmico Tabla 15-2 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para los grados de libertad desacoplados
Moeto
SiT;,~)
i
(m)
(m) 0.1158
34-.9700 13.54-00 8.2331 6.0279 4.4695 2.3861
1 2 3 4 5 6
1
(l1¡}max =a¡ xSd(T¡,l;¡)
.0:
4.0495 0.29571 0.055458 0.017155 0.0050639 0.0017170
0.02184 OJJ06736 0.002846 0.001133 C).0007196
DestJ LazGunic VLtOS fntixi/!VWs l11DetuLe s (In) Los desYILazGunieVl.tos I1tW
Esto Vl1.iSfl1D se YJIi.eete Logrur fl1.Gl.tricit.ú¡·1tC/1.te. COLOCGl.f1.etO Los vGl.Lores etc (ll¡)max ('/1. Lu etiGl.gOl1.Gl.L ete IH1.U f11.Gl.triz w.Gl.etrGl.etGl. [Trnod] U reGl.LizGl.Vl.eto LGl. operucióVl.:
LVI. eL wesevLte rr;j,SO. LGl. 111.Gl.triz [Trnod] tiene LuJoYf11.Gl. siglüeVl.te:
(TlILx
[r mocI]=
o o o o o
o
o o
I (Tlz)max
o o o o
o o o
(Tl3)max
o o o
o o o o o
o o o o
I (114)max
o o
(l1 s)max
o
(116)ma.
U Gl.L reel11.pLazGl.r Los vatores Gl.proy'iGl.etos. 4.0495
o
o o o o o
0.29571
o o o o
o o o
o o 0.0055458
{U~~}
o o o
o o o o
0.015155
} { U (2) mod
o o
0.0050639
o
{
U (3 ) } mod
o o o o o 0.001717
{U::~}
0.148703
-0.009692
0.001618
-0.000355
0.136429
-0.003428 -0.000790
0.000557
{U~} -0.000163
0.115519
0.004295
-0.001915
-0.000280 -0.000592 -0.000017
0.000091
0.084882
0.009854
0.049588
0.009914
0.001754
0.000118
0.018061
0.004698
0.001397
0.000584
514
{U~ld}
0.000066 -0.000010 0.000032
0.000144 -0.000050
,J.gdl
U6 Us U4
0.000058
u3
-0.000124 -0.000054
Uz UI
0.000181
0.000041
T\2 + 2~2OO2"2 + OO;lh = -13.540x O 113 + 2~3OO3"3 + 00;1'\3
= -8.233lX O T\4 + 2~4OO4"4 + 00:1'\4 = -6.0279x O
11 5 + 2~5OO5"5 + 00;1'\5 = -4.4695x O 116 + ~6OO6"6 + OO~1'\6
= -2.386lX O
EJl Lus seis eu{,uciones, de uCI1,erdo con el eV1fHuiudo deL rrobLevl1u,
~
=0.05
tu rest'!ltestu t'!um mdu IH1.U de estus eC/tUciOf1.eS desucorLudus, se obUei1.e /ttWzundo el espectro de desrJLlIlZuvlüel1tos de Lu COVVLt'!OfteJ1.te N-S del tel·nt,Lor tA.e EL Cel1.lro. EI1. Lu Figlua 15-4 se mlH'stru et esnectro 0 La Inal1.eru de obtener Los vuíores corresponzüentes el1.J,Huióf1. de Los (,:tLferelttes rJeríü(,:tos de vitlración correspOfltA.ielttes u wvciu lUtO tA.e Los vVLocios de vik¡mciól1.. Amortiguamiento
.;= 0.05
0,20
,
0.15
0.1158 m
Sd (m)
0.10
-t I
I
0.05 I
,
0.02184m _. 0.006736 m. 0,002846 m0.001133 m 0.0007196 m'
¡¡¡;
;
,0.'00 0.0
1, • ,:
•
I
•
0.5
1.5
1.0 Período T (s):
2.0
~
Ti
Figura 15-4 - Ejemplo 15-1 - Espectro de desplazamientos de El Centro Tabla 15-1 - Ejemplo 15-1- Valores leídos del espectro de desplazamiento
Mo~to
Ti (s)
1
1.1646 0.3616 0,2013 0,1258 0.0918 0.0745
2
3 4 5 6
Sd(Th~)
(m)
0.1158 0.02184 0.006736 0,002846 0.001133 (HlOO7196
CClI1. La iVl:fon11.aciól1. anterior pOClel1"LOS obtener Los valores mcixifnos Cij/te rl1,edel1. tener [os 01'w,tos
518
~ 6
5
4
3
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o
V
V
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/
/
1'" -, "'
5
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3
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VI
o 0.05
5r-----1.~-+__--t_-_j
2
V
0.00
6
.(}.02
.(}.01
0.00
0.01
0.02
.(}.001
0.000
0.001
Deflexión(m)
Dcflexión (m)
Deflexión (m)
I1Wci.O 1
modo 2
modo 3
0.002
6
r----,----,-~--r---,
5 r----+---j----f\---j
5
f---'~--t---+__-
5r----+----I---+-+----j
4 r-----t----J7"'----t---j
4
r----+---j----j-~r_-j
4r-------io::---I-----t-----j
3 r----+-------7'9----j----j
3r----+---t----H'----1
2 ¡-------"...r----t--
2
3
f---t+---1---t----i I
2
o
Ir---r--___I~___I,--___I
o
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'(}.0005
0.0000
0.0005
0.0010
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Deflexión (m)
0.0000
0.0001
0.0002
1------!---_---1-----1
.(}.00010 .(}.00005
0.00000
0.00005
Deflexión (m)
Dcflexión (m)
VlWci.o ')
Inoci.06
0.00010
Figura 15-5 - Ejemplo 15-1- Desplazamientos máximos horizontales de cada modo
Derivu ci.e YJiSO ¡n6txÍfnu (%IL) utiLiZlíLItci.o Lo.'". ci.espLlíLlumie/ttos u/tteriores es positlLe ClíLLmLur rntrlíl. ClíLci.u modo Lu derivu miÁXimu Ll'i.e plte&tE' tevIN cuci.u VJiso de Lu estmctttr~: como eL despLlíLlumie/tto reLutivo entre piso !1 piso. Es costtunkJrc expresur estu derivI/L corno Vlorce/ttuje de Lu uLtluu de cuciu YJiso: Tabla 15-3 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para la deriva de piso
como porcentaje de su etture
1
VI'wdo 2
¡nodo 3
I1wdo 4
Vltoeto 5
Inod06
6
0.409%
-{).209%
0.080%
-{).030%
0.008%
-<1.001%
t: .J
0.697%
-{l257%
0.037%
0.016%
-o.o 10%
4
1.021%
0.023% -{).024-%
0.003% -{).004-%
1.177%
-{).054-% -{).068%
0.005%
:3
-0.185% -{).002%
2
1.051 %
0.174%
-{1.016%
0.004-% -{).()10%
0.004% -{).O03%
1
0.602%
0.157%
0.012% 0.()47%
0.019%,
0.006%
0.001%
YJiso
IYU)l.ÍO
E/'l LI/L Jigarlíl. siglüe/'lte se mrv'sLrlíLlt Lf/LS cterivus in6tximus cte piso PUrDl. cuctu lUtO cte Los ',UJctos:
Dinámica est rHC( HrU[ aplicada uf diseño sísmico 6
5
I
I
4
0.00
5
I
I
I
I
2
I
I
o
1.00 Deriva ('Joh)
\
3
2
11 0.50
I
4
1\
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I
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4
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1.50
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-0.10
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0.10
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I
O -0.10
-0.05
0.00
Deriva ('!'oh)
n'lOdo 1
0.05
V.l0
Deriva (%h)
Inocto 2 6
51--L..---"---+--~+---:
I
5
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I
5
I
,I
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3
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21--~_,_--+--+_--
2
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I
I
of------!---+----I-----i
o
-0.04
-0.015 -0.010 -0.005
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-0.02
0.00 0.02 Deriva ('!'oh)
0.04
I I 0.000 0.005 Deriva ('!'oh)
111Octo 4
i
I
I
o 0.010
-0.004
-0.002
0.000
Deriva (%h)
ftWUO 6
ftwdo 5
Figura 15-6 - Ejemplo 15-1- Deriva de piso (%h) máxima de cada modo
FI1,frza<, iHerciaLes f1tw<Ünas (l
,~
1
te.)
l
{F(l) } {F(2)} {F(Jl} {F(4l} {F(Sl} {F(6l} mod
mod
mod
mod
mod
mod
-18.61
1108.3
-748.9
403.3
-226.4
79.3
1016.2
-264.8
-1%.9
355.8
-195.6
57.9
860.2
331.8
-477.4
58.2
173.4
-91.0
632.9
761.5
-69.8 -378.0
-20.2
369.4
765.9
437.3
75.5
-148.2
-98.4
135.1
363.0
348.2
372.7
217.3
74.1
ti
,J.gdl
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Fuerzas Modales
Fuerzas Modales
Fuerzas Modales
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(kN)
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Fuerzas Modales
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(kN)
(kN)
(kN)
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I
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3
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2
-1000
6
Wl.Or;tO
i
6
Figura 15-7 - Ejemplo 15-1 - Fuerzas inerciales máximas de cada modo
CurCcutCe In&tXlVVtO
1110etaL etc !1lS0
(I
EL cortnnte InélXLlTLO f1waaL
etl'
rJlSO
se atf~ne COf1W v~i) = ~ F~i) .1 k,¡ k=j
Tabla 15-4 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el cortante de piso
rnsCJ
V(l) mod
V(l) mod
(kN)
(kN)
V(3)
mod
V(4) mod
V(S) mod
V(6) mod
(kN)
(kN)
(kN)
(kN)
6
1108.3
748.9
4D:U
-226.4
79.3
18.6
r
-)
2124.6
10137
206.3
129.4
116.3
3<).3
~
2984.8
681.9
-271.0
187.7
57.1
3
-
r~
~)
,
,
3617.6
79.6
3409
-190.3
369
53.4
2
3987.U
8455
96.5
111.3
450
-t
,
4122.1
1208.5
444.6
114.8 2')7<)
4-1/2.1
120S.5
444.6
257.9
10ó.1 ¡ 0(..-;
291
()
517
2q1
ISeO
-Dillá;llica est ructural aplicada al diseño sísmico 6
I
5
I
4
6
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5
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I
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I I
4
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250
(kN)
(kN)
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11tOGÍÓ 2 6
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I
I
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75
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(kN)
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I
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Cortante de piso
1I 3
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Cortante de piso
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I
Cortante de piso
6
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I
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I
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I
4
I
I
I
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iI
-60
o
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Cortante de piso
Cortante de piso
Cortante de piso
(kN)
(kN)
(kN)
Hwdo 4
InodoS
I'Jwdo 6
30
60
Figura 15-8 - Ejemplo 15-1- Cortante máximo de piso para cada modo
Corte /rlasal (kN\ El cortante
eIt La LIase
del edificio, C/IL kN, de cada Hwdo se ¡:Jltcde oL¡te/ILer r,or Inedia de: 403.3 -226.4 1108.3 -748.9 1016.2 - 264.8 -196.9 355.8 860.2 331.8 -477.4 58.2
= {4122.l11208.5 1 444.61 257.9 Vil)
mod
V(4) mod
I
632.9 369.4
761.5 765.9
135.1
363.0
106.11 ViS)
79.3 -195.6
173.4 -69.8 -378.0 -20.2 437.3 75.5 -148.¡ 348.2
372.7
217.3
-18.6 57.9 -91.0 105.1 -98.4 74.1
29.1} V(6) mod
mod
Pactie verse &jIte este valor corresrJov¡,de al cortante oLlteltido ¡:Jara el ¡:Jrimer y,iso ev¡, cada IOta de los Inodos. n¡, el paso altterior.
518
......,(l.{l(((("~I":>
1 U
Ilt\.." .•
,.I.' "JI"''''
Movvtel'tto eLe v/trLco (kN . va) n
L
EL momento eLe vuelco en CliI.eLcJt ~)iso se obCio'\,(' por vneeLio eLe M~i) =
(h k
-
hj )
'
FP)
k=j+1
Tabla 15-5 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el momento de vuelco de piso M(l) mod
piSO
M(2)
M(3)
(kN - m) 0.0 ; 2D9.8
(kN -m) 00 -679.2
(kN- m) 0.0
(kN -m) 00
237.8
-')287.8
18287
-290.9
73336 70'-)1./
~C)~5.6
272.2 298.7
. -4558J
282.4-;é,-;ó.]
n1.0 60.2 170.9 162.9 155.3
:>5.9 61.9 -933 h6.8 68.2
(kN -m) 0.0
5
3324.9
4
9698.6 18652.9 7.950')8 4H66.8 5]833 ;
-937. 7
0
7. ~
o
M(Ó) mod
M(S) mod
(kN' m) 0.0 -224óJ
Ó
.,
M(4) mod
mod
mod
6.9
ó43.1
130./
19.;2
6,----.,----,-------,
6r---r------,--~
s-l-\---+_--+_-----1
sl------i----'--...4---!-
4+-~-+---+----j
4t-----h;C-----t---!-
4 I------t--t-----t---+--+--J
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sf-----t--+-~=--+_--1
2+---.,---'<--+---------1
2
2 r---l'---t-----t---+---j
f---l~-j-----+----+
ol------!--t-----t---""""----J 20000
40000
-6000
60000
-4000
-2000
o
-SOO
Momento de vuelco (kN • m)
Momento de vuelco (kN . m)
11tOdo 1
VltOctO
o
SOO
1000
1500 2000
Momento de vuelco (kN . ro)
11wao 3
2
sl------.~I----!___----1
sl----'I,t-----l----j-----J
4r----j--"""'-!___----1
4r---+---+----j¿--------1
s
sl-Ec-+_--+---+---1
2f----h~-f------I
21------1----",1-1------1
2
f---+_--+----+-7--1
01------1------f""--------1 ·1000
-SOO
o
o
SOO
Momento de vuelco (kN • ro)
200
Momento de vuelco (kN . m)
4Q()
-so
o
50
100
Momento de vuelco (1lN . m)
mocto 4 Figura 15-9 - Ejemplo 15-1- Momento de vuelco para cada modo
Et 11V)111,e¡tlo eLe vuelco eH tu rJ or mectio ele
l'!CLse. elt
kN . In. covtCrivl/ücto r10r cuctcJt morto. se rJltecte ohtcner
519
, ..~
Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico
1
= {53833I -933
M~~d
I
M~ld
16161
131
I
155
-18.6 57.9 -91.0
403.3 -22M 1108.3 -748.9 355.8 1016.2 -264.8 -196.9 58.2 331.8 -477A 860.2
79.3 -195.6 -20.2
105.1
173.4
632.9
761.5
-69.8 -378.0
369.4
765.9
437.3
75.5
-148.2
-98.4
135.1
363.0
348.2
372.7
217.3
74.1
I
19}
M~~d M~~d M~ld M:::~d
Octdo IIjI1R eVL ejevl1pLo 14-3 se encontró Lct reSpl1Rstct crmlOLógim de Lct mismct estrttctlUct wtte el I'lÜSVllO ctceLerogrctmct de EL Cefltro. Cf1,!jO espectro se emrJLeó e11 el prese11te ejevnpLo, pl1,edell hctcerse ctLgl1Hcts compctrctcio11es acerca de Los valores mcixifnos o!:ltefüdos en el ejempLo 14-3 l::J Los valores modctLes Hlciximos o!:ltellidos en eL presente ejempLo, Ell Lct tctbLct 15-6 se COI'ltpctrctlt Los valores obteltidos flctrct Los grctdos de Libertctd desctcopLctdos en el ejelnpLo 14-3, con Los valores de estos miSf'ltoS gmdos de Hbertctd efnpLeLLdos en el I'Jrescnte cjcf'ltpLo Tabla 15-6 - Ejemplo 15-1- ComparDción de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3 y 15-1
Gntc;{o de L,iJertlMi desv,copLl/t.do 111 112 113 114 115 116
Ele~nrLo 15-1
EjemrLo 14-3
mi,x,wlO mivüww W\.Vlx, m.o mi m VYto V'M'X'V'/I.o
mímwlo VVlÚX,WW mí ru ww mitX,WW miVLLV'(\.() vvu,',xiww mí v', 1w..o
t
(11¡)max =a¡ x Sd(T¡,~¡)
11¡ (ro)
(s)
4.049463 -3,664644
5.90 3,04
4.0495
0.295191 -0284971
4.76
029571
0,047073 -0,054570
3.22
(ro)
4.58
0,055458
2.52
0,010581
2,51'
-OO1711S
2.64
0.003448 -0,004919
2.24
0,001150
2.16
-O.OO"4q~
2./?
2,12
0,017155 0,0050639 0,0017170
COI'110 p/lRde verse Los vctLores son ese11cictLW\.C/ltc ig/{"ctLes, !j LlA.s diferencicts o!:wdeCeft ct errores uc r¡recisiólt lj redCHtdeo dlA.do IIjI1R ellA.Lgoritmo ef'l1.pLectdo plA.m eflCOf1trctr LlA. resp/lRsta en eL cjempLo 14-3 es diferente del IttiLimdo /:'lctrct cctLuüm el espectro empLectdo eft el presef1.te ejentpLo, odIe notarse. tctnt!:liéft, el hecfLO de GjI1R lüng/HIO de Los valores VVlcixÍlno o l'l-tíl1.í1no ocurre en eí miSf'110 iltStwlte, EL mciximo ues~JLWctVlüeftto ILOriLmttctL de Lct c¡ü¡iertu ueL edificio, tctL como se obtltvo en el ejempLo 14-3, Jite de 0,148729 m, La S/H'llct ctLgebruim de Los valores de Los despLwamientos nlOdctLes IncixinlOs en eL /:'liso 6 ojr,tenidos en el presenLc ejempLo, es 0,140330 1'l'L !j Lct SH,mct de S/tS valores ctbsoLtttos es 0,160443 m, Cm'110 pltede verse La S/M'l-ta ctLgejrJruicct slüJestimct eL valor obteflido eVL La resp/testa crmlOLógim, lj La sltma de Los valores a!:lsoLlttos Lasobrestima,
J'¡
EL mciximo valor deL cortante ell Lct bctse deL edificio. taL como se obtuvo en el ejempLo 14-3.JIlR de 4355,8 /
f-------------------520
..
~.~-
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
1 b • ,'Ulal/SI.'; 1I1(}(HII
e~jJeC( n l l
La SI1,f1il,a aLgebraica ete Los valores ete los IWll11RlttoS modcües Vl1tÁXÚ1WS en la base otJtevüctos en et presente ejempLo es 54822 kN . f1il" U La S/tlna ete Los valores a~)soLI1,tos es 56687 kN . lit. Como piteete verse Las S/iVl1IAS sotlrestiman eL valor obtel1ieto en Lu respHesta crorwLógica. EL valor meixif1w cteL 1110/'11('/tto elt La blAse pIAra Los f'11OetOS i-tíJermtes ctd Jlutciavltentul es peVjlteilo comrJaraÜvame/tle al del JI Htciame vLt(;tL el1 el preSCltte ejempLo. Lj el1 Lu resrw~sta crorwLóg ica ocurre ¡;ügo simiLar. 11
15.3 Métodos de combinación de la respuesta modal 15.3.1 Generalidades
En la Sección anterior, con su ejemplo, se presentó la forma como se puede llegar a encontrar la respuesta máxima para cada uno de los modos para diferentes parámetros de la respuesta estructural ante un sismo. Así mísmo en el ejemplo 15-1 se realizó al final una corta discusión acerca de las diferencias que se obtendrían para algunos de estos parámetros al comparar la respuesta cronológica con los resultados espectrales. Es evidente de la presentación que la suma de los valores absolutos de la respuesta espectral siempre conduce a valores mayores que los obtenidos por medio de la respuesta cronológica debido a la no simultaneidad de los valores máximos de las respuestas modales. En general cuando un modo llega a su máximo; las otras respuestas modales, en ese instante, son menores que sus máximos índíviduales, Es obvio, entonces, que el límite superior de la respuesta combinada f , de los diferentes valores modales r¡, es la suma de los ro valores absolutos, siendo ro el número de modo": m
r~IJd
(15-12)
¡=1
El grado de conservatismo que se introduce por medio de la suma de los maximos valores absolutos varía de un parámetro a otro. Por esta razón se recurre a técnicas de combinación de la respuesta modal basadas en análisis estadístico y conceptos de \ibraciones aleatorias, las cuales permiten determinar un valor máximo factible de la respuesta. En [Cupta, 19901 se deducen y discuten diferentes métodos de combinación de la respuesta modal. A continuación se presentan las metodologías más empleadas en la actualidad. 15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de les cuadrados (ReSO
El método más conocido de combinación modal espectral es el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (ResC). Este método fue desarrollado por E. Rosenblueth en su tesis doctoral [Rosenblueth, 1951) y postula que para cualquier parámetro modal respuesta r, el valor máximo factible del parámetro r, al tomar en cuenta las diferentes componentes modales máximas r., se obtiene a través de: (15-13)
.-\ la luz de la teoría moderna de confiabilidad [Ang y Tanq, 19841. la respuesta de un grado de libertad desacoplado TI¡(t), ante una excitación sísmica puede considerarse una variable aleatoria con una media ~, y una desviación estándar O'j. La transformación de estos grados de libertad desacoplados en los grados de libertad de la estructura se realiza por medio de la ecuación (15-2). Dado que esta transformación es lineal y suponiendo que los diferentes grados de libertad desacoplados son estadísticamente 521
Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico
independientes, utilizando la teoría de probabilidad, es posible demostrar que el resultado de la transformación también es una variable aleatoria, cuya media es igual a emplear la transformación utilizando los valores medios
{u} =[<1>]{~} = i
{
(15-1-4)
i=1
y su desviación estándar [Ang y Tanq, 1984], es: (15-15) Si el sismo es suficientemente largo puede decirse que la respuesta lineal a él está la mitad del tiempo del lado positivo y la otra mitad del lado negativo, por lo tanto en este caso, la media del valor de 11¡(t) es cero (~ = O); y cualquier parámetro de respuesta r, que se transforme linealmente, desde el punto de vista estadístico, tendrá un valor r , igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores modales individuales máximos del parámetro fj, que es precisamente lo que indica el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados a través de la ecuación (15-13). No sobra insistir que se partió de la premisa de que las respuestas modales son independientes estadísticamente entre si. Cuando se viola esta premisa el método conduce a resultados no conservadores. Si existen modos de víbracíón CO:l períodos de vibración con valores cercanos, en alguna medida, hay correlación entre sus respuestas y el método no es aplicable. El método RCSC:, raíz cuadrarla de la suma de los cuadrados debe emplearse sobre los resultados máximos modales del parámetro bajo estudio fjo Debe tenerse en cuenta que para cualquier parámetro obtenido aplicando el método RCSC de combinación modal, el resultado siempre será positivo, pero en realidad puede ser positivo o negativo pues es una representación de un movimíento oscilatorio. Este aspecto debe tenerse en cuenta en la combinación de estas fuerzas de origen sísmico con otras fuerzas de origen gravítacíonal, como pueden ser las cargas vivas o muertas. La manera de aplicar el método rle la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) a los diferentes parámetros de respuesta es la siguiente, donde la estructura bajo estudio tiene jl pisos y ID modos: (a) Desplazamientos horizontales maximos de la estructura - Por medio de la ecuación (15-10) se obtienen los desplazamientos de máximos de cada piso, por ejemplo el piso j, para el modo i: U~il Luego, por medio de la aplicación del método o
RCSC,
Uj" =
~(U~i)f = (U~ll)2 +(U~2lf +o.o+(ujmlr
(15-16)
1=1
se determina el valor máximo factible del desplazamiento del piso j. (b) Derivas máximas de piso - Utilizando los valores de los desplazamientos de máximos de cada piso obtenidos al comienzo del paso anterior, por ejemplo para el piso j, en el modo i: U~il. Se determina primero la máxima deriva inducida por el modo i en el piso J. así:
J-------59.')
15 • Análisis modal espectro A(i) _ U(i) _ U(i) ti
j
-
j+1
(15-17)
j
Luego, aplicando el método RCSC, (15-18) se determina el valor máximo factible de la deriva del piso j. Es importante tener en cuenta que es errado calcular la deriva de piso utilizando valores de los desplazamientos ya combinados, por lo tanto no es lícito, dentro de la metodología, emplear los desplazamientos máximos obtenidos por medio de la ecuación (15-1 G) para obtener las derivas máximas factibles. (e) Cortantes máximos de piso - Por medio de la ecuación (15-10) se obtienen las fuerzas modales máximas de cada piso, por ejemplo el piso k, para el modo i: F~i). Luego se determina el máximo cortante inducido por el modo i en el piso J. así: (15-19)
y aplicando el método RCSC,
Vmax= f(V.lilf j
=
(V.ll)r +(vYlr +... +(v.¡mlr
(15-20)
i~1
se determina el valor máximo factible del cortante del piso j. Debe hacerse la misma advertencia que en al caso de la deriva, pues es errado calcular el cortante de piso utilizando valores de las fuerzas ya combinadas. (d) Cortante basal máximo - Primero se obtiene la fuerza cortante máxima para cada uno de los modos sumando algebraícamente todas las fuerzas modales máximas del modo en los diferentes pisos, F~i): p
V(i)
= I, F~il
(15-21)
k=l
y aplicando,
O) )1. +(V(2modl )2 +.. +(v(m) Vmax= f(V~¿dr = (Vmod mod )2 o
(15-22)
i=1
se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otros casos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzas horizontales ya combinadas. (e) Momentos de vuelco máximos de piso - Con las fuerzas modales de piso para el modo I: F~i), se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i en el piso j, así:
Jinámicn estructural opliccul« al diseño sísmico
M~i) =
±[(h
k -
h F~i)] j
(15-23)
) .
k=j+l
donde h, Y h j son las alturas, medidas desde la base, de los .pisos k y j, respectívamente, Aplicando el método RCSC,
f(M~i)r = (M~l)r +(M~2)r +".+(M~m)r
Mjax =
i=l
(15-24)
se determina el valor máximo factible' del momento de vuelco del piso j. Debe hacerse la misma advertencia, pues es errado calcular el momento de vuelco de piso utilizando valores de las fuerzas ya combinadas. (e) Momento de vuelco máximo en la base - Con las fuerzas modales de piso para el modo i: F~i}, se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i en la base así: (15-25) y aplicando,
Mmax= f(M~~dr = (M~~d)2 +(M~~r +... +(M~~r i=l
(15-26)
se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otros casos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzas horizontales ya combinadas. (f)
Fuerzas horizontales estáticas correspondientes a las fuerzas máximas modales Con en fin de obtener las fuerzas internas en los elementos de la estructura es conveniente disponer de un conjunto de fuerzas horizontales estáticas que representen las fuerzas máximas factibles que puede desarrollar el sismo. De esta manera las fuerzas estáticas correspondientes se pueden emplear en un análisis estático convencional y así determinar las fuerzas internas de los elementos utilizando la misma metodología que se emplee para las demás fuerzas estáticas. Las fuerzas estáticas correspondientes se determinan a partir de las fuerzas cortantes máximas factibles de piso obtenidas en el paso (e). La fuerza correspondiente de cualquier piso se obtiene como la diferencia entre la fuerza cortante del piso y la del piso inmediatamente por encima. En el piso superior es igual al cortante de ese piso. Entonces, para cualquier piso j, la fuerza estática correspondiente es: FE _ j
1
l
-
ax vjm
l
V max j
_
V max j+1
para
J> p
para
j:;t: p
(15-27)
Lo anterior se presentó teniendo en mente un análisis modal planar. Al aplicar el método RCSC a sistemas tridimensionales hay que tener en cuenta algunos aspectos adicionales que serán discutidos más adelante en el presente Capítulo.
15 • Análisis modal especti
Ejemplo 15-2 Se ueselit eVftrJLeliLr eL método de Lu míz cltlitdmdlit de LIit SIHnlit de Los CluAdmdos (RCSC) lit Los resl1Ltlituos deL ejefnpLo 15-1. EL emf'JLeo de rJrocedUnimto COftdltce lit Los sigaientes resl1.Ltlitdos: DesnLliLZlitvvtientos horizcHttlitLes f1tcixil11OS (m) Los desr¡LliLZumiefttos múxil1tOS en. ml.Í1it 11tOUO, se okJltwierovL de:
litsí: {
U (I ) } mod
{
U (Z ) } mod
{
U (3) } mod
{U::~}
{
U (S ) } mod
{U~~d}
J, gdl
0.148703
-0.009692
0.001618
-0.000355
0.136429
-0.003428
-0.000790
0.000557
-0.000163
0.000032
U6 Us
0.115519
0.004295
-0.001915
0.000091
0.000144
-0.000050
u4
-0.000592 -0.000017
0.000058
0.000066 -0.000010
0.084882
0.009854
-0.000280
0.049588
0.009914
0.001754
0.000118
-0.000124
-0.000054
U3 U2
0.018061
0.004698
0.001397
0.000584
0.000181
0.000041
uI
AlwrlA. Iitr¡Liml1tOs et procedilnieltto de RC')C lit mdu IUtlit de LlitsJiLlits de LIit fnlittriz IiLftterio:'. lit f1tOl.ÍO iLltstmtivo, rJlitm el sexto riso:
ASÍ,
2
U;¡"'x = J(0.148703)2 +(-0.009692)2 + {0.OCI618)2 + {-0.000355/ + (0.000066) + {-0.00001O)2 = 0.14903 m
Este valor se compum kJustultle bien, COVI. eL valor de 0.14873 In obtenido rJOr vftedio (le llA resfJl1.estu crOftOlógim reuLizudu evl. el ejef11.pLo 14-]. El resl1.Ltlitdo, eVl. m. pun/l.lodos los piSOS es: ,J.,gdl
rO.14903 o.13M 8 {U
ma x
0.11560 }=±-0.08545
j
0.05059 0.01872
Se hu cotocaao el sín1.kJolo ± plitm ütsistir qli.e los reslütudos RCSC rJltcl.Íelt ser positivos o neglittivos.
vltl.~ximos
obU'-Itidos rJOr /11.fdio dc
Derivlits múxime/l.s de tJiso
El valor de LIit derivu f'Jum mdu modo en ml.Íu piso se mlwJu IttiLizliLf1.do los vatores mosirul.Íos en fUmad]. EmrJteuvLdo tu eCltlitciólt (15-17) se OkJtielteft los siglúeVl.tes resltltudos:
525
'lámica estructural aplicada al diseño sísmico {
AhorcA.
ar)L~cavJws
/!,( 2 ) } mod
{
/:;.( 3 ) } mod
{
/:;.(4 ) } mod
{
/:;.(S) } mod
{/:;.<;~d } t piso
0.012274
-0.006264
0.002408 -0.000912
0.000229
-0.000042
6
0.020920
-0.007723
0.001125
0.000466
-0.000307
0.000082
5
0.030627
-0.005559
-0.001635
0.000683
0.000161
-0.000108
4
0.035304
-0.000060
-0.002034
-0.000710
0.000107
0.000112
3
0.031517
0.005216
0.000358
-0.000465
-0.000305
-0.000095
2
0.018061
0.004698
0.001397
0.000584
0.000181
0.000,,41
1
eL
woced~f1t~eftto RCSC
por ejemplo. aL tercer piso:
/:;.';,'" = J(0.035304)2 + {_0.00006O)2 +(-0.0~2034)2 +(_0.000710)2 +(0.000107)2 + {0.0(0112)2
= 0.03537 ID IJ para todos Los r~S05. -ipiso 0.01402
0.467%h'
Ó
0.0223.t
0.744%h
5
0.03118
1.039%h
4
1.179%h
3
0.03537
ID=
0.03195
1.065%h
o.ousn
0.624%h
2
j
1
Ahora, s~ las derivas se ¡~It¡"'~esell ClíLLcltL1A.do, E'YrcA.dlíLlne~tte. a ~1ayt~y de Los vaLores de {U'?"}. los yeslütados seYiavl, Los s~glüelltes, COVJW rDrcentaje de La aLtlHa de r)Lso (%h): ..l.piso 0.418%h' 0.696%h
--1.005%h
--1.162%h -l.06~%h --
0.624%h J
<= resutado <= resutado 4 <= resutado 3 <= resutado 6
errado
5
errado errado errado
2
1
FI1,erzas Ú1.eyclales 11uH;l.ales (kN) Las Jl1.erzus inerciales mrix~mlíLs rlOY v11.odo tijltc ivnpmte eL S~SI1W sobre la estmcU1XlíL. se eri el ejemr)la 15-1 mlüt~/1l~ClíLndo llíL mlíLtr~z de Y~g~del ¡;(e ta¡;(a La cstntctlulA. VIOY Los ¡;(eSr)LlíLZlíLInie~ltas Inrix~f1ws carreSrlOflCÜf'fttes líL ClíLíilíl. f1wdo. el yeslütlíl.¡;(o estti elt kN:
obtHN~eYmt
{F(l)} {F(2)} {F(3)} {F(4)} {F(S)} {F(6) 1J mod
1108.3
-748.9
403.3
-226.4
79.3
1016.2 -264.8
-196.9
355.8
-195.6
57.9
331.8
-47'7.4
58.2
173.4
- 91.0
86a.2
l
mod
mod
mod
moti
mod
tgdl
-18.6
632.9
761.5
-69.8
-378.0
-20.2
105.1
369.4
765.9
437.3
75.5
-148.2
-98.4
135.1
363.0
348.2
372.7
217.3
74.1
Debe evitarse combÚtlíLY estlíLsJIH'17líl.S I1w¡;(aLes líL truvés de RCSC. pites COlt¡;(,tclyilíl. a reslütlíl.aos CYYlíL¡;(as posteYiaYvllCflte elt el ctiLutLa ¡;(e Los cortlíLfltes de piso lJ f1wlnenlos (M vaetco.
15 • Análisis modal espectr.
Cortcutte Inrixilno vnoduL de t'Jiso (kN)
EL cortante vnrixüno de r¡iso rJum mdu ¡nodo se ohtiene r¡or vftedio de iu ec/{,ucióft (15-19): p
vii) = LF~i) k=j
Tabla 15-7 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del cortante modal de piso
rnso
y(l) mod
y(2) mod
(kN)
(kN)
y(3) mod
681.9 79(,
200.3 271.0 '340.9
129.4 1877 ~ 190.3
116.3 57.1 369
3987.0
84';.'1
Q¿'.5
-11'18
4122.1
1208.'1
444.6
257.9
~748.9
S
2124.6 2984.8 J()':76
10"13.7
2 1
(kN)
y(6) mod
(kN) 79.3
110S.:J
3
(kN) 403.3
y(5) mod
~226.4
6 '1
y(4) mod
'1 .., - • 1
1
(kN) ~18.6
39.3 C"1 - ,)
7
1. /
S:L4--1-5.0
'1
t .~)
106.1
29.1
Alwm Ur¡Licwnos eL Y¡Y(Jcecü,nien((J RC<.;C. por ejemy¡Lo. uL scg/1.ndo r¡iso:
y~x
=
~(3987.0)2 +(845.5)2 +(96.5)2 +(_114.8)2 +(_1ll.3)2 +(-45.0)2
= 4080.2
kN
El resH.Ltucio. eft kN. rlCua tocios Los rJisos es: J.piso
{
1417.6
6
2369.8
5
y max } = ± 3080.3 3640.1
3
4080.2
2
4327.6
1
4
Corte LJusaL ,nrixiww EL cortante en Lu ¡.,use deL edificio
('VL
ki'-J. se OtltliViJ en eL cjevvLpLo 15-1 r¡ara mda nVJ(.io así 1108.3
-748.9
403.3
-226.4
79.3
1016.2
- 264.8
-196.9
355.8
-195.6
57.9
331.8 -477.4
58.2
173.4
-91.0
860.2
= {4122.l 11208.5
I
444.6
I
257.9
I
-18.6
632.9
761.5
-69.8
-378.0
-20.2
105.1
369.4
765.9
437.3
75.5
-148.2
-98.4
135.1
363.0
348.2
372.7
217.3
74.1
106.11
29.1} y(6)
y(l)
mod
mod
Alwm upLLCI;tvnos eL y¡rocedimiell.t.o RCSC ymax
= ~(4122.1)2 +(1208.5)2 +(444.6)2 +(257.9)2 +(106.1)2 = 4327.6
+(29.1)2
kN
--------------
'iruunica estructural aplicada al diseño sísmico
MOlneV\,to de VlteLco
EL VVWVVlCV\,to de vuelco en cadlíl piso se obtiene por Inedia de Llíl eCl-LlílcióVl (15-23):
±[(h
M~i) = .1
k
-h')'F~i)lJ .1 .1
k=j+1
Tabla 15-8 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del momento de vuelco modal de piso
riso
M(l) mod
M(2) mod
M(3) mod
(.kN' m)
(kN 'm)
(kN 'm)
0.0 3324-.9
él
5 4
9698.6
3 2 1
18652.9 29505.8 414-66.8
()
53833 1
M
(4) mod
(kN' m)
M(S) mod
M(6) mod
(kN 'm)
(k.~. ro)
00 -224-67 -5287.8
00 1209.8 1828./
0.0 -679.2 290.9
0.0 237.8 i 11 .0
6~9
-7333.6 -7094.7
1015.6 -6.9
60.2 170.9
-93.3
-4-558.2 -932.7
282.4 1616.3
272.2 -298.7 -6431 130.7
0.0 -55.9
1(l2.Y
66.8 68.)
~
19.2
55.3
Altorn apLiclílfnos el procedivI-tiCf1to RCSC por ejevl1rLo. aL marta r1iso:
M:"X
~(9698.6)2 +(-5287.7)2 +(1828.7)2 +(_290.9)2 +(-111.0)2 +(61.9)2 = 4080.2 kN
=
EL resltLtado. en I
0.01
4252.9
{l\l
ma x}=
6 5
11201.3
4
~OO70.6
3 2
30348.81 41722.9 53865.8
1
o
MOVI-1CfttO de vHdco el1 Llíl tJlílse EL ;nOVl1Cftto de vuelco en La tJlílse. eVl, I
r {M_l" {h}'[F_l" {"lIS 1121916131
= {53833I -933 \ 1616\
1311
403.3
- 226.4
79.3
1016.2 - 264.8 -196.9 860.2 331.8 -477A
355.8
-195.6
57.9
173.4
-91.0
632.9
761.5
58.2 -69.8 -378.0
369.4
765.9
437.3
75.5
-20.2 -148.2
-98A
135.1
363.0
348.2
372.7
217.3
74.1
155 1
19}
M(4) mod
M max
-18.6
= ~(53833.1)2 +(-932.7)2 +(1616.3)2 +(130.7)2 +(155.3)2 +(19.2)2 = 53865.8 kN· m
105.1
15 • Análisis modal espect
r Iterzas lLorizont.uLes estlÁ.t:icus corresroVLcÜefttes Est.usJ/terzus, en kN, se cr;lJu1.Laft por vVLeGiio Gie La ew,aciÓft (15-27), con base en Los cortantes fnoGiaLes Gie piso vVLeixilnos: J.piso r1417.6 2369.8-1417.6
1417.6
6
951.9
5
3080.3 - 2369.8
710.5 =+-- 559.8
3
4080.2 - 3640.1
440.3
2
4327.6- 4080.2
247.6
1
3640.1- 3080.3
4
EL VltÓfneftt.o Gie V/teLCO eft La base, eft kN . flt c(;¡Juüacto rJara est.asJI1.erzas corresr)()/'ldie/'l{:fs es: 1417.6 951.9 ME={hf[FE]={18115112191613}
710.5 =56742.1 559.8 440.3
kN.m
247.6
Este ¡1'!ülnento ~1.e vnctco es. e/t este caso, Ugeramenle s/tperior aL q14.e se obt.nvo w],teriorme/'l{e a/'lLicanúio RC5;C cte Los flWV!tentCJs de vuetco flwdaLes. Dado qH,e e/t eJE' 111fJ Lo 14--3 "e encontró Lu resp/testa umwLógim de La misvna estrttctH.ra aftte eL misvlw acderograma de El Ce/ttro, mijo eSrJectro se empLeó en et presente ejempLo, 11/.¡.eden ILacerse aLg/utas comrJaraciones ucerca Gie Los vatores 1·1teixÍflWS o~JtevLidos en eL ejenwLo 14-3 Ij Los valores meixÍflws rro~lalJLes cubüudos Itt.Uizal1I1.o RCSC en et presente ejempLo. Tabla 15-9 - Ejemplo 15-2 - Comparación de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3, 15-1 Y 15-2
Pvm'imetro DesplViZVimieVl.to de L¡;'i cuhierw
E¡em¡olo 14-3 AVl.6tlisis CroVl.ológico
EJempLo 15-1 Espectml MOviv¡[ Vvilor íl.hsoluto
Ejemplo ¡52 EspectmllV1o¡;{vil
0.14873 m
0.16044 m
O. i~9OJ m
Corte BViS¡;,il
4355.8 kN
rv10VVUeVl.I"() ¡;fe vuelco
51'r 40tJ kN . m
6168.4 kN 56687 kN,
m
RCSC
~327.6 k,"'~
5:l866 kN·
m
COVV\.() rJlteGie verse Los vaLores o~lteftidos por meGiio deL I1roceGiimiento RC';C soto varialt con resl1ecto aL fl'leixÍfI'lO valor crmtoLógico ef'l Lu terceru ciJra decimaL
•
Con el fin de aclarar un paco más aquellos casos en los cuales no es lícito utilizar el método RCSC, los dos errores más comunes en su aplicación consisten aplicar el procedimiento a los desplazamientos modales [Umod ] , o a las fuerzas modales [Fmod ] , obteniendo un vector de desplazamientos, o de fuerzas horizontales, de los pisos; para luego ser empleado directamente en un análisis de la estructura por procedimientos convencionales. El error se introduce en aquellos pisos en los cuales los desplazamientos o las fuerzas cambian de signo, con respecto al piso inmediatamente superior, pues tanto la deriva como el cortante de piso se calcula dentro del modo como la diferencia algebraica, tomando en cuenta el signo; pero si esta diferencia se calcula a partir de desplazamientos, o tuer-zas, que se obtuvieron sacando raíz cuadrada de los cuadrados de los valores de cada modo, los valores pierden su signo al elevar al cuadrado, y la diferencia es en consecuencia menor.
529
